ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός"

Transcript

1 014 ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

2 ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παρόν φυλλάδιο είναι ένα τμήμα μιας προσωπικής δουλειάς στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ της Α Λυκείου. Έχουν γραφεί βασικά θέματα εξισώσεων,αλλά και πολλά νέα θέματα πέραν των ορίων του σχολικού βιβλίου,για να δοθεί η δυνατότητα εξάσκησης στον Αλγεβρικό λογισμό με άμεση συνέπεια φυσικά την ενδυνάμωση της λυτικής ικανότητας. ΠΗΓΕΣ ΘΕΜΑΤΟΓΡΑΦΙΑ-ΑΡΧΕΙΟ (Βαγγέλη Α Νικολακάκη) Σχολικό Βιβλίο MATHEMATICA Μιλτ. Παπαγρηγοράκης (Ασκήσεις Άλγεβρας Α Λυκείου) Λάζαρος Ζαχαριάδης (Ασκήσεις Άλγεβρας Α Λυκείου) Υ.Γ. Το παρόν φυλλάδιο μπορεί να δημοσιευτεί ή να εκτυπωθεί και να διανεμηθεί ως έχει. Σε κάθε περίπτωση δεν επιτρέπεται η κάθε μορφής αντιγραφή και η εκ του πονηρού κλεψίτυπη εμπορική του χρήση. Κάθε κριτική, σχόλιο,παρατήρηση ή διόρθωση είναι ευπρόσδεκτη. Με εκτίμηση Βαγγέλης Α Νικολακάκης

3 1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ 1. Να λυθεί η εξίσωση εξίσωση. Να λυθεί η εξίσωση Να λυθεί η εξίσωση Να λυθεί η εξίσωση Να λυθεί η ανίσωση Να λυθεί η ανίσωση 7. Να λυθεί η εξίσωση Να λύσετε τις εξισώσεις: Να λύσετε τις εξισώσεις: α) ( 1) 5 (4 ) β) Να λύσετε την εξίσωση

4 11. Να λύσετε τις εξισώσεις: 1 α) β) γ) 1. Αν είναι λύση της εξίσωσης να δείξετε ότι α β α αβ β 1 1. Αν είναι λύση της εξίσωσης βρείτε τον λ. λ λ 7, να 14. Αν 1 είναι λύση της εξίσωσης βρείτε τον λ. λ λ 4, να Να δείξετε ότι δεν υπάρχει λ R,ώστε η εξίσωση έχει λύση την. λ λ 1 7, να 16. Αν 1 είναι λύση της εξίσωσης 1 α 4αβ 4β 1 β 5 4 β 0, να βρείτε τους α,β R. 17. Αν 1 είναι λύση της εξίσωσης α 6αβ 9β 1 β 4 β 0, να βρείτε τους α,β R. 18. Δίνονται οι εξισώσεις 5 5 = 8λ λ και Να δείξετε ότι για λ 1 οι δύο εξισώσεις έχουν άπειρες κοινές λύσεις

5 ΣΥΝΑΛΗΘΕΥΟΥΣΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 19. Να βρείτε την κοινή λύση των εξισώσεων και 0. Να βρείτε την κοινή λύση των εξισώσεων 1 7 και 1 1. Δίνονται οι εξισώσεις 4 ( 1) = 7 4 και λ 4 1 4λ Να βρείτε τον λ R,ώστε η ρίζα της πρώτης εξίσωσης να είναι πενταπλάσια από την αντίθετη της ρίζας της δεύτερης.. Να δείξετε ότι δεν υπάρχει λ R ώστε οι εξισώσεις λ 5 1 λ να έχουν και λ λ κοινή λύση την. Αν 1 είναι λύση των εξισώσεων : α β α α αβ β 4 β 4β 4 0 και, να βρείτε τους α,β R. 4. Να βρείτε τον λ R ώστε οι εξισώσεις λ 1 1 λ 5 και ρίζα 1 λ 1 λ 4 να έχουν κοινή

6 ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ ΕΠΙΛΥΣΗ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗΣ 1. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) (λ + 1) = λ + 1, β) (λ + 4) = λ Να λύσετε τις εξισώσεις: α) (λ 1) = λ 1, β) (λ 1) = λ γ) μ + μ = 1, δ) (μ + 1) = μ 1.. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) λ λ = 4λ +, β) (λ + 1) + 9 = (λ + ) + λ(λ ), γ) λ λ = 4λ +, δ) λ λ = λ 1, ε) μ 4 = μ 4μ Να λύσετε τις εξισώσεις: α) (λ 4λ) = λ + λ, β) (λ + ) = λ + 5, λ 4 λ 5 λ 1 8λ 5 γ) λ, δ) Να λύσετε τις εξισώσεις: α) λ ( 1) = 4(4 + 1) 5λ, β) λ ( 1) = 1, γ) λ(λ + 6) = λ(λ 1), δ) λ (λ 6 + λ 4 λ 1) = 1 λ 4 (1 λ ). 6. Να λύσετε τις ακόλουθες εξισώσεις για κάθε τιμή των λ, μ : α) (λ μ) = λ + μ, β) (λ 4μ ) = λ + μλ, γ) λ + μ = μ + λ( + ), ) (λ + ) + μ = μ + (λ 1)( ), λ μ ε) Να λύσετε τις εξισώσεις για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου λ. λ λ λ 1 λ λ 1 i λ 1 55 λ iv) λ 1 λ

7 8. Να λύσετε τις εξισώσεις για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου λ. λ 1 λ λ λ 1 iv) λ 1 λ λ 1 i λ 1 4λ 8 9. Να λυθούν οι παραμετρικές εξισώσεις λ ( 1) λ( 1) (α 1) α (α ) i λ ( μ) μ (μ ) λμ 1 1 ), με α,β 0,μ α β α β β α iv μ1 μ μ μ1 μ μ *. 10. Να λύσετε την εξίσωση (Υπόδειξη: να θέσετε όπου χ = ω+.) ΑΠΑΙΤΗΣΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΕΙΔΟΥΣ ΛΥΣΕΩΝ 11. Αν η εξίσωση (4 α) + α = 16 έχει δύο λύσεις, να βρείτε τον α. 1. Να προσδιορίσετε τον λ ώστε η εξίσωση: (λ + 4) λ 4 = 5( λ) + λ(λ ) να έχει μοναδική λύση το μηδέν. 1. Να προσδιορίσετε τον πραγματικό αριθμό λ ώστε η εξίσωση: λ( ) 5 = ( + ) + (λ + 1) να έχει λύση τον αριθμό =. 14. Να βρείτε το λ αν η εξίσωση: λλ 1 λ λ είναι αόριστη είναι αδύνατη. 15. Να αποδείξετε ότι αν η εξίσωση λ(5 ) = 7μ + 1 είναι ταυτότητα, η εξίσωση μ( ) + 4λ = (λ μ) + 10 είναι αδύνατη. 16. Αν η εξίσωση (4λ 1) = λ 1 έχει μοναδική λύση, να βρείτε τις λύσεις της εξίσωσης λ = Να βρείτε τις τιμές της παραμέτρου λ, ώστε η εξίσωση λ λ 5λ 6 να έχει μοναδική ρίζα την 0.

8 18. Αν η εξίσωση να βρείτε την τιμή του λ αν λ αδύνατη. λ 1 λ,λ είναι ταυτότητα, τότε: λ 1 λ θα είναι να αποδείξετε ότι η εξίσωση 19. Να βρείτε το λ ώστε η εξίσωση: λ λ λ να έχει μοναδική λύση-ρίζα το. 0. Αν η εξίσωση λ λ λ 9 λ 1 λ 5 έχει μοναδική λύση. είναι αδύνατη, να δείξετε ότι η εξίσωση 1. Να βρεθούν οι ακέραιες και θετικές λύσεις της παραμετρικής εξίσωσης λ = λ 5 όπου λ ακέραιος.. Αν η εξίσωση εξίσωση λ 9 λ 7 είναι ταυτότητα, να βρείτε το μ ώστε η λ μ 4 μ μ να είναι αδύνατη.. Αν η εξίσωση λ 1 λ λ είναι αδύνατη λ R λ λ 1 λ είναι ταυτότητα,να δείξετε ότι η εξίσωση 4. Αν η εξίσωση λ λ λ είναι ταυτότητα λ R,να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Π λ λ 008 λ 5. Να βρεθούν οι ακέραιες και θετικές λύσεις της εξίσωσης (λ 1) = λ 1 όταν λ ακέραιος. 6. Να βρεθούν οι τιμές των α, β, γ για τις οποίες η εξίσωση (α 4α) = β 6β + γ 10γ + 4, είναι αόριστη. 7. Να βρεθούν οι τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση λ λ = 9 6λ + 9 είναι αδύνατη έχει μοναδική λύση.

9 8. Να βρεθούν οι τιμές του λ, ώστε η εξίσωση λ + 5λ = λ Να έχει μοναδική ρίζα το 1 Να έχει ρίζα το Να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε η εξίσωση λ = 4 + λ λ + Να έχει λύση το 5. Να έχει μοναδική λύση το Έστω οι εξισώσεις (1) α + β = 0, () β + γ = 0 όπου α, β, γ θετικοί πραγματικοί αριθμοί.να αποδείξετε την ισοδυναμία. Οι εξισώσεις (1) και () έχουν κοινές λύσεις β = αγ. 1 Δίνονται οι εξισώσεις λ 6 μ 4 1 και λ μ λ 4 Αν η (1) είναι ταυτότητα και η () είναι αδύνατη,να βρείτε τις τιμές των λ, μ.. Να δείξετε ότι οι παρακάτω εξισώσεις έχουν λύση για κάθε τιμή των παραμέτρων α,β i ) α α αβ β,α 0 ii ) ( α) ( β) α(α β)

10 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΕΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) ( 4) + ( 4) + ( 4) = 0, β) ( 1) + = 0, γ) ( + 1) + 1 = 0, δ) ( ) = Να λύσετε τις εξισώσεις: α) ( ) ( )(4 + ) = 0, β) ( 4)( 1) = ( 1)( ), γ) + = 0, δ) ( 1)( ) = 0.. Να λύσετε τις εξισώσεις α) 4 0 β) Να λύσετε τις εξισώσεις α) β) Να λύσετε τις εξισώσεις α) β) Να λύσετε τις εξισώσεις α) β) 7. Να λύσετε τις εξισώσεις α) ( 1) ( )( 5) 7 β) ( ) ( 1)( 4) 8. Να λύσετε τις εξισώσεις α) β) γ) Να λύσετε τις εξισώσεις 6 9 β) α)

11 10. Να λύσετε τις εξισώσεις: Να λύσετε τις εξισώσεις: v) v i iv) vi 1 0 v 1. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: 0 v) v i 1 0 v iv) 1 0 vi 0 1. Να λύσετε τις εξισώσεις α) 4 0 β) Να λύσετε: Να λύσετε την εξίσωση 16. Να λύσετε την εξίσωση Να βρείτε τις κοινές λύσεις των εξισώσεων 1 1 και 1 1 9

12 ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 18. Να λύσετε τις εξισώσεις: Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: i iv) v) Να λύσετε τις εξισώσεις: α), β) , γ) Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 4, β) 1 1 1,. Να λύσετε τις εξίσωση: Να λύσετε τις εξισώσεις: 5 α) 1 1, β) 1, 1 γ) 0, δ) Να λύσετε τις εξισώσεις: α) , β) 1,

13 γ) ( 1) 6 6, δ) Να λύσετε τις εξισώσεις: 1 1 α) 0, β) 4 1. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ - ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΥΠΩΝ 1V1 V 6. Να λυθεί ο τύπος ως προς V T T 1 7. Να λυθεί ο τύπος 1 t t 0 ως προς Να λυθεί ο τύπος F m m ως προς m 1 r 1 9. Να λυθεί ο τύπος F q q ως προς r r 0. Να λυθεί ο τύπος m m11 m ως προς 1. Να επιλύσετε τους ακόλουθους τύπους: α) P V nr T ως προς P και ως προς R, β) Q = m c Δθ ως προς Δθ. m. Να επιλύσετε τους ακόλουθους τύπους: α) d ως προς m και ως προς V, V m1 m β) υ = υ 0 + αt ως προς t, γ) F G ως προς m 1 και d. d 1. Με τη βοήθεια των τύπων S t t αποδείξετε ότι: S t. 0 και υ = υ 0 + αt, να

14 4. Έστω τετράγωνο ΑΒΓΔ με πλευρά μήκους 4cm. Να βρείτε εσωτερικό σημείο Μ της πλευράς ΑΔ, τέτοιο ώστε: α) E ABM + E MΒΓ = Ε ΜΓΔ, β) Ε ΑΒΜ = Ε ΜΓΔ. 5. Το μήκος και το πλάτος ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι 10 m και 6 m αντίστοιχα. Αν αυξηθεί το μήκος του κατά 5 m, να βρείτε πόσο πρέπει να αυξηθεί το πλάτος του ώστε να διπλασιαστεί το εμβαδόν του. 6. Μία μητέρα είναι 4 ετών και η κόρη της είναι 7 ετών. Μετά από πόσα χρόνια η μητέρα θα έχει τριπλάσια ηλικία από την κόρη της. 7. Καταθέτουμε σε μια τράπεζα δύο κεφάλαια, που διαφέρουν κατά.500 ευρώ, με επιτόκιο 5% για το μεγαλύτερο κεφάλαιο και 7% για το μικρότερο. Αν μετά από ένα χρόνο τα δύο κεφάλαια εξισώνονται, να βρείτε τα αρχικά ποσά που καταθέσαμε. 8. Ένας χημικός πρέπει να αναμίξει δύο διαλύματα του ίδιου οξέος, το Α περιεκτικότητας 7% και το Β περιεκτικότητας 4% σε οξύ, για να προκύψει ένα μείγμα 50 λίτρων περιεκτικότητας 5% σε οξύ. Πόσα λίτρα από το κάθε διάλυμα πρέπει να χρησιμοποιήσει. 9. Ένα τμήμα της Α Λυκείου που αποτελείται από 0 αγόρια και κορίτσια έγραψε ένα τεστ στα Μαθηματικά, με μέσο όρο βαθμολογίας 15,56.Αν ο μέσος όρος των γραπτών των κοριτσιών ήταν 14,6 και των αγοριών 17, να βρείτε πόσα ήταν τα κορίτσια και πόσα τα αγόρια. 40. Σε μία γιορτή βρίσκονται 40 άτομα. Αν φύγουν 8 αγόρια και έρθουν κορίτσια, τότε ο αριθμός των αγοριών είναι ίσος με τον αριθμό των κοριτσιών. Να βρείτε τον αρχικό αριθμό των αγοριών και κοριτσιών. 41. Δύο αυτοκίνητα ξεκινάνε από το ίδιο σημείο και κινούνται ευθύγραμμα και ομαλά, το ένα ανατολικά με ταχύτητα u 1 = 60 km/h και το άλλο δυτικά με ταχύτητα u = 80 km/h. Να βρείτε μετά από πόση ώρα τα αυτοκίνητα θα έχουν απόσταση 770 km.

15 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ 4. Να λύσετε τις εξισώσεις α) 4 β) 5 0 γ) 6 10 δ) Να λύσετε τις εξισώσεις α) 4 6 β) 6 1 γ) 4 8 δ) Να λύσετε τις εξισώσεις α) 7 1 β) 1 1 γ) δ) Να λύσετε τις εξισώσεις α) 5 1 β) Να λύσετε τις εξισώσεις α) 1 5 β) Να λύσετε τις εξισώσεις α) 1 9 β) Να λύσετε τις εξισώσεις α) 11 β) Να λύσετε τις εξισώσεις α) β) Να λύσετε τις εξισώσεις α) 4 β)

16 51. Να λύσετε την εξίσωση 5. Να λύσετε την εξίσωση Να λύσετε την εξίσωση 54. Να λύσετε την εξίσωση 1, όπου R 55. Να λύσετε την εξίσωση , όπου R 56. Να λύσετε τις εξισώσεις α) β) Να λύσετε τις εξισώσεις α) 1 0 β) Να λύσετε τις εξισώσεις α) β) Να λύσετε τις εξισώσεις d,1 d,1 d,1 d,1 α) β) 60. Να λύσετε τις εξισώσεις α) 1 d,1 d, β) d 1,1 1,1 61. Να λύσετε τις εξισώσεις α) β) Να λύσετε τις εξισώσεις α) 0 β) 6. Να λύσετε την εξίσωση

17 ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 64. Να λύσετε τις εξισώσεις iii 1 ) Να λύσετε τις εξισώσεις iii 1 1 ) Να λύσετε την εξίσωση 67. Να λύσετε την εξίσωση Να λύσετε τις εξισώσεις 4 α) β) Να λύσετε τις εξισώσεις ii Να λυθούν οι εξισώσεις: α) γ) ) β) δ) , 1 1 ε) 6 7 στ) ζ) η) θ)

18 4 ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1. Να λυθούν οι εξισώσεις : (α) 64 (β) 64 (γ) 8 (δ). Να λύσετε τις εξισώσεις : i Να λυθούν οι εξισώσεις : 4 6 (α) 64 (β) 01 (γ) 5 (δ) 9 4. Να λυθούν οι εξισώσεις : (α) 7 (β) 4 16 (γ) 8 (δ) Να λύσετε τις εξισώσεις : i Να λύσετε τις εξισώσεις : i Να λύσετε τις εξισώσεις: 7 0 v) 49 0 v i 1 7 v iv) 0 vi Να λύσετε τις εξισώσεις: v) v i v iv) vi

19 9. Να λύσετε τις εξισώσεις: v) v i v iv) vi Να λύσετε τις εξισώσεις : i Να λυθούν οι εξισώσεις : 4 (α) 8 0 (β) 4 (γ) 0 (δ) Να λυθούν οι εξισώσεις : (α) 1 7 (β) (γ) 5 (δ) Να λυθούν οι εξισώσεις : (α) 5 1 (β) Να βρείτε τον λ R,ώστε η εξίσωση να είναι αόριστη λ λ λ Να βρείτε τον λ R να έχει λύση την = Αν α,β και γ., ώστε η εξίσωση λ 5 λ λ -λ 0 α 1 α β α β γ 0 να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς Να λυθεί η εξίσωση

20 1. Να λυθούν οι εξισώσεις i 6 0 iv) ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΕΛΛΕΙΠΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΕΣ 0. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις. 4 0 i v) 5 iv) v 0. Να λυθούν οι εξισώσεις ) 1 0 i Να λυθούν οι εξισώσεις Να λυθούν οι εξισώσεις 4 0 i ΠΛΗΡΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΕΣ iv) Να λυθούν οι εξισώσεις i iv)

21 7. Να λυθούν οι εξισώσεις Να λύσετε τις εξισώσεις: i. 5 = ( 5)( + 4) ii. (4 9) = ( + ) iii. ( ) 1 = ( ) iv. 5( + ) ( 1) ( + )( 1) = 0 v. (7 + ) 4( ) = Να λυθούν οι εξισώσεις 6 0 ) i 6 0 ) 1 0 ii iv Να λυθούν οι εξισώσεις 0 ) 6 0 i 6 0 ) 0 ii iv 11. Να λυθούν οι εξισώσεις 1 4 α) 4 β) 1. Να λυθούν οι εξισώσεις ) 10 ) i i 71 ii iv ) Να λυθούν οι εξισώσεις i iv)

22 14. Να λυθούν οι εξισώσεις Να λυθούν οι εξισώσεις ) 4 0 ) i i ) ii iv Να λυθούν οι εξισώσεις Να λυθούν οι εξισώσεις ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 18. Ένα ορθογώνιο παρ/μμο έχει μήκος 8cm και πλάτος 4cm.Αν αυξήσουμε συγχρόνως τις δύο διαστάσεις κατά cm,τότε το εμβαδόν του θα αυξηθεί κατά 8cm.Να βρείτε το 19. Δύο αδέλφια είναι σήμερα και 7 ετών.σε πόσα χρόνια το γινόμενο των ηλικιών τους θα είναι 60 ; 0. Το 01 η ηλικία τοτ πατέρα είναι το τετράγωνο της ηλικίας του γιυού του Δύο αδέλφια είναι σήμερα και 7 ετών.σε πόσα χρόνια το γινόμενο των ηλικιών τους θα είναι 60 ;

23 6 ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1. Να λυθεί η εξίσωση α β αβ 0. Να λυθεί η εξίσωση α β γ α β γ 0. Να λυθούν οι εξισώσεις ) α β γ αβ αγ 0 i α β αβ 0 4. Δίνεται η εξίσωση α β γ α α γ β 0,όπου α,β, γ είναι ρητοί με α β γ Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικός ρητός d ώστε d Δ Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει ρητές ρίζες,τις οποίες και να υπολογίσετε. 5. Αν α-β+γ=0, να λυθεί η εξίσωση: αχ +βχ+γ=0 6. Nα βρείτε τους ρητούς αριθμούς α, β ώστε η εξισωση: χ +αχ+β=0, να έχει ρίζα τον αριθμό +. Ποια είναι η άλλη ρίζα της; 7. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) λ -(λ+μ)+μ=0 β) α(β-γ) +β(γ-α)+γ(α-β)=0 8. Να λυθούν οι εξισώσεις α) (λ-) -(λ+1)+λ-4=0, λ β) λ -(6λ+)+λ-5=0 9. Αν ρ είναι ρίζα της εξίσωσης +α+β=0 να αποδειχθεί ότι ρ α ρ β.

24 10. Δίνεται η εξίσωση πραγματικού αριθμού λ, το πλήθος των ριζών της. λ+1=0. Να βρείτε, για τις διάφορες τιμές του 11. Να λυθούν οι εξισώσεις: ) α β α α β 0 i α β 6αβ 0 i α β α α β 0 1. Να λυθούν οι εξισώσεις: 1 α 1 α α 1 0 ) α γ αγ β 0 ii 1. Να λυθούν οι εξισώσεις: α α β α β 1 0 α β α β α β Να βρείτε τις τιμές του λ R λ 1 λ λ 8 0,ώστε η εξίσωση έχει ριζα το. ΑΠ ( λ, ) 15. Να βρείτε τις τιμές των α,β R,ώστε η εξίσωση α β α β 0 έχει ριζα το. ΑΠ (α 1,β ) 16. Δίνεται ότι το ρ είναι ρίζα της εξίσωσης Να δείξετε ότι ρ 1 β γ β γ 0 με α Δίνονται οι εξισώσεις α β γ 0, α β γ 0 και α β γ 0, όπου α 0,οι οποίες έχουν διακρίνουσες αντίστοιχα Δ 1,Δ,Δ με Δ1 Δ Δ 0.Να βρείτε τον β R. 18. Να λυθεί η εξίσωση αβ α β 19.Δίνεται η εξίσωση (αβ 1) 0. Αν η εξίσωση έχει ως ρίζα τον αριθμό α+β, τότε να αποδείξετε ότι α = β = 1.

25 0.Αν η μια ρίζα της εξίσωσης ( ) λ 1 5λ 4 0 είναι το 1, να βρεθεί ο ακέραιος λ καθώς και η άλλη ρίζα. 1.Nα λυθεί η εξίσωση Δ Δ 0 όπου Δ η διακρίνουσά της..για ποιες τιμές του κ ε R, η εξίσωση: 9 κ κ 9 0 έχει ρίζα το -1. Για κάθε μία από τις τιμές του κ που βρήκατε, να λύσετε την εξίσωση..για ποιες τιμές των κ, λ, η εξίσωση: ρίζα το 0. 4.Για τις διάφορες τιμές του α ε R, να λυθεί η εξίσωση: α 1 1 α 4α 0. 5 κ 1 λ 4 0, έχει μοναδική 5.Να βρεθεί ο λεr, ώστε ο αριθμός -, να είναι ρίζα της εξίσωσης: λ λ 4λ 7 λ 0. 6.Για ποιες τιμές του κ ε R, η εξίσωση: Για κάθε μία από τις τιμές 9 κ κ 9 0 έχει ρίζα το -1. του κ που βρήκατε, να λύσετε την εξίσωση. 7.Να λυθούν οι επόμενες εξισώσεις. αβ αγ β γ 0, α β 0 αβ α β 1 0, α β 0 i β αβ α β Δίνεται η εξίσωση αβ α+β,να αποδείξετε ότι α=β Αν η εξίσωση έχει ρίζα τον αριθμό 9.Ένας μαθητής αντί της εξίσωσης α β 0 1, έλυσε την εξίσωση β α 0 και βρήκε δύο ρίζες. Από αυτές, η μία ήταν ίση με μία ρίζα της (1) και η δεύτερη ήταν μικρότερη κατά της άλλης ρίζας της (1). Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α και β. 0. Για ποιες τιμές του μία κοινή ρίζα; α οι εξισώσεις α 1 0 και α 0 έχουν

26 ΠΛΗΘΟΣ ΡΙΖΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ α β γ 0 1.Αν η εξίσωση α β γ 0 ότι και η εξίσωση ΑΠ ( Δ 4α γ Δ ) 1 έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες,να δείξετε β αγ 1 αγ 1 έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες.. Αν η εξίσωση β γ 0 έχει δύο ίσες ρίζες,να δείξετε ότι και η εξίσωση γ β έχει δύο ίσες ρίζες και αντίστροφα. ΑΠ ( Δ Δ1 4 β γ ). Αν η εξίσωση ρίζες,να δείξετε ότι και η εξίσωση α β γ αβ βγ αγ 0 δεν έχει πραγματικές β γα 0 δεν έχει πραγματικές ρίζες. ΑΠ (ισχύει ότι Δ1 4α γ 4β αγ 0 και Δ 4 β αγ 0 ) 4. Nα αποδείξετε ότι οι παρακάτω εξισώσεις έχουν πραγματικές ρίζες α α β β 1 0 α β α αβ β 0 i α β αβ α β 0 με α β 5. Nα βρείτε το πλήθος των ριζών των παρακάτω εξισώσεων ) β β 0 i i α α β α β 0 με α 0 κ κ 1 κ 0 με κ R 6. Αν η εξίσωση β γ 0 β, γ 0 έχει δύο ρίζες άνισες, συμπληρώστε δίπλα από κάθε εξίσωση το πλήθος των ριζών της: β γ 0 iv) γ β 1 0 β γ 0 v) i γ β Αν η εξίσωση και η εξίσωση γ β 1 0 α 1 έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες,να δείξετε ότι α 1 α 0 είναι αδύνατη. 4 9

27 8. Nα αποδείξετε ότι η εξίσωση α β γ α β α β γ 0 με α β γ 0 έχει πραγματικές ρίζες. ΑΠ ( Δ 4γ 0 ) 9. Αν α,β,γ είναι πλευρές τριγώνου,να αποδείξετε ότι η εξίσωση β β γ α γ 0 δεν έχει πραγματικές ρίζες. λ λ λ Δίνεται η εξίσωση Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός λ ώστε: α) να έχει μία μόνο ρίζα β) να έχει διπλή ρίζα γ) να είναι αδύνατη. 41. Nα βρείτε τις τιμές του λ R για τις οποίες η εξίσωση λ 5λ 4λ 1 0 έχει δύο ίσες πραγματικές ρίζες. ΑΠ ( λ, ) 7 4. Δίνεται η εξίσωση -λ 0.Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός λ ώστε: α) να έχει δύο ρίζες άνισες β) να είναι αδύνατη. 4. Nα βρείτε τις τιμές του λ R για τις οποίες η εξίσωση λ λ 1 λ 5 0 έχει διπλή ρίζα.στη συνέχεια να βρείτε την ρίζα αυτή. 44.Nα βρείτε τις τιμές του λ R για τις οποίες η εξίσωση λ 1 λ λ 0 είναι αδύνατη. 45.Δίνεται η εξίσωση λ λ 1 0. i ) Να αποδείξετε ότι για κάθε λ Rη εξίσωση έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες ii ) Να βρείτε τις τιμές του λ R,ώστε και οι δύο ρίζες της εξίσωσης να ανήκουν στο διάστημα,4

28 λ 1 6 λ 0. i ) Να βρείτε τον λ R,ώστε η εξίσωση να έχει ρίζα το 1 ii ) Για την μεγαλύτερη τιμή του λ που βρήκατε,να βρείτε τον 46.Δίνεται η εξίσωση εξίσωση λ κ 0 να έχει διπλή πραγματική ρίζα. κ R,ώστε η γ α γ 47.Αν α0 και 0, να δείξετε ότι η εξίσωση: α ρίζες πραγματικές και άνισες. α β γ 0, έχει δύο 48.Να δείξετε ότι η εξίσωση: όταν αδ=βγ. 49.Για ποιες τιμές των α, β η εξίσωση : οποία επαληθεύει και την εξίσωση: β β α Να δείξετε ότι, αν η εξίσωση: εξίσωση: α β γ δ 0 (αγ0), έχει μία διπλή ρίζα α β 4 0, έχει μία διπλή ρίζα η α β -4α 4β 0, έχει διπλή ρίζα, τότε η α β α β 0, έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες. 51.Αν η εξίσωση: α β γ 0, (α0) έχει ρίζες πραγματικές, να δείξετε ότι η α β γ κ α β 0, έχει ρίζες πραγματικές για κάθε κ ε R. εξίσωση: 5.Αν η εξίσωση: ότι: α β 1. 4 α β 1 α β 0, έχει μία διπλή ρίζα, να δείξετε 5.Δίνεται η εξίσωση λ λ λ 1 0, λ. Για ποιες τιμές του λ η παραπάνω εξίσωση είναι δευτέρου βαθμού; Για ποιες τιμές του λ η παραπάνω εξίσωση έχει πραγματικές; Ρίζες 54.Δίνεται η εξίσωση λ 5 0, λ. Για ποιες τιμές του λ η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζα το 1; Για ποιες τιμές του λ η εξίσωση έχει διπλή ρίζα; i Να βρεθεί η διπλή ρίζα του παραπάνω ερωτήματος. iv) Αν ρ είναι η διπλή ρίζα, να υπολογίσετε την τιμή του ρ Α,

29 55.Δίνεται η εξίσωση λ λ λ 1 0, λ. Να βρεθεί η τιμή του λ σε κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις. Η εξίσωση να έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες. Η εξίσωση να έχει ρίζα διπλή. i Η εξίσωση να μην έχει πραγματικές ρίζες. 56.Να βρεθεί ο αριθμός Να έχει μόνο μία ρίζα. Να έχει διπλή ρίζα. 57. Αν η εξίσωση λ ώστε η εξίσωση λ λ λ 0 λ 5λ λ 0, λ έχει ρίζα τον αριθμό -1, να βρείτε το λ και μετά να δείξετε ότι το -1 είναι διπλή ρίζα. 58.Να βρεθούν οι τα α και β. 59.Δίνεται η εξίσωση α, β για να είναι ρίζες της εξίσωσης λ , λ. Για ποια τιμή του λ έχει μία μόνο λύση; Για ποια τιμή του λ έχει μία ρίζα διπλή; i Να βρεθεί η διπλή ρίζα της εξίσωσης. 60.Να αποδείξετε ότι η εξίσωση α β γ αβ βγ αγ 0, α, β, γ έχει μία διπλή ρίζα, αν και μόνο αν α=β=γ. α β 0 ίσες με 61. Δίνεται η εξίσωση μ 0, μ. Να βρεθεί η τιμή του μ σε κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις. Η εξίσωση να έχει διαφορετικές ρίζες. Η εξίσωση να έχει μία διπλή ρίζα. 6.Να δείξετε ότι αν η εξίσωση 4 4 0,,, 0 διπλή ρίζα, τότε η εξίσωση α β α β α β έχει α β α β 0 έχει δύο ρίζες άνισες.

30 6.Αν η εξίσωση μ κ 0, κ, μ έχει διπλή ρίζα, να αποδείξετε ότι το ίδιο θα συμβαίνει και για την εξίσωση μ μ 1 κ μ1 κ κ κ Αν η εξίσωση η εξίσωση β γ 0, β, γ δεν έχει καμία ρίζα, να δείξετε ότι β 5γ 0 δεν έχει πραγματικές ρίζες. 65. Αν η εξίσωση β β β 0, β έχει διακρίνουσα ίση με 4,τότε : Α.Να βρείτε τις τιμές του β R. Β.Για την μικρότερη από τις τιμές του β που βρήκατε,να λύσετε την παραπάνω εξίσωση. 66.Κάθε μία από τις παρακάτω εξισώσεις λ 0 λ 1 λ 7 0 λ και Α.Να βρείτε τις τιμές του λ R. Β.Να λύσετε τις παραπάνω εξισώσεις.. έχει μια διπλή ρίζα. 67.Οι παραπάτω εξισώσεις 4λ 0 λ και 1 λ λ 4 0 έχουν την ίδια διακρίνουσα. Α.Να βρείτε τις τιμές του λ R. Β.Για την μικρότερη από τις τιμές του λ που βρήκατε,να λύσετε τις δύο εξισώσεις. 68. Δίνεται ότι η εξίσωση 1 λ λ λ 1 0, λ. έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες,από τις οποίες η μία είναι η 1. Α.Να βρεθεί η τιμή του λ. Β.Να βρεθεί η άλλη ρίζα της εξίσωσης. 69. Δίνεται ότι η εξίσωση έχει μια διπλή πραγματική ρίζα. Α.Να βρείτε τους αριθμούς λ, μ. Β.Να βρεθεί η διπλή ρίζα της εξίσωσης. λ μ λ μ 4 0, λ, μ.

31 7 ΣΧΕΣΕΙΣ VIETTA ΕΥΡΕΣΗ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ-ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ ΡΙΖΩΝ 1.Να βρείτε το άθροισμα και το γινόμενο ριζών των παρακάτω εξισώσεων Να βρείτε το άθροισμα και το γινόμενο ριζών των παρακάτω εξισώσεων Να προσδιορίσετε τον λ R ώστε η εξίσωση λ =0 να έχει ρίζες με τις 1, Αν για τις ρίζες της εξίσωσης α α β γ βγ 0 ισχύει ότι 1 1 1, να δείξετε ότι : β γ α 1 ΤΙΜΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ Π( 1, ) 5.Δίνεται η εξίσωση 0 α) Να δείξετε ότι έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες. β) Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων 1 1 i 1 iv) 1 1 ) 6.Δίνεται η εξίσωση 0 α) Να δείξετε ότι έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες. β) Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων i ) 1 v 1 iv 1 1 1

32 7.Δίνεται η εξίσωση 4 0 α) Να δείξετε ότι έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες. β) Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων 1 1 1, i 1 iv) 1 8.Αν 1, είναι οι ρίζες της 1 0, να υπολογίσετε τις παραστάσεις: Α= 1 +, Β= 1, Γ= 1 +, Δ= , Ε= Aν 1, είναι οι ρίζες της α +β+γ=0 (α 0 ), να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α Aν 1, ρίζες της εξίσωσης --=0 να υπολογιστούν οι τιμές των παραστάσεων : 1 1 α) β) 1 γ) Αν 1, είναι ρίζες της εξίσωσης -+1=0 να υπολογιστεί η παράσταση : A = Αν 1, είναι οι πραγματικές ρίζες της εξίσωσης --=0 να υπολογιστούν οι τιμές των παραστάσεων : α) ( ) ( ) ( 4)( 4) β) Δίνεται η εξίσωση β γ 0,β, γ, γ 0 με ρίζες 1,. Χωρίς να υπολογιστούν οι ρίζες να βρεθούν: Το S 1 και το P 1.,, 1, Οι τιμές των 1 γ)

33 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ Β/ΘΜΙΑΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 14.Δίνεται η εξίσωση: -5+6, (1). Γράψτε την εξίσωση που έχει ρίζες: αντίθετες αντίστροφες i διπλάσιες, από τις ρίζες της (1). 15.Να κατασκευάσετε την εξίσωση,η οποία έχει ρίζες τους αριθμούς : ) και διπλή ρίζα i 1 i 1, ) iv 1 α β, α β 16.Να κατασκευάσετε την εξίσωση,η οποία έχει ρίζες τους αριθμούς : ) και διπλή ρίζα i i 1, ) iv 1 α β, α β 17.Δίνεται ότι οι αριθμοί 1, είναι ρίζες της εξίσωσης 0 Να κατασκευάσετε την εξίσωση,η οποία έχει ρίζες τους αριθμούς : 1 1 και και i 1 1 και Αν 1, είναι οι ρίζες της εξίσωσης έχει ρίζες τις: 1 1 ρ 1 και ρ 1 1 ρ και ρ 1 1 i ρ1 1 και ρ να βρεθεί εξίσωση που να 19.Έστω 1, ρίζες της +10+5=0. Να σχηματίσετε εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες ρ 1, ρ, όταν : ρ 1 = 1, ρ = ρ 1 = 1 +, ρ = +. 0.Να κατασκευασθεί εξίσωση ου βαθμού με ρίζες : α) ρ 1 = 4 5 6, ρ = β) ρ 1 = , ρ = 0 5

34 1.Αν ρ 1, ρ είναι οι ρίζες της +7+8=0 και 1, οι ρίζες της -+=0 να σχηματισθεί εξίσωση ου βαθμού με ρίζες 1 ρ 1 + ρ και ρ ρ.αν 1, οι πραγματικές ρίζες της ++1=0 να κατασκευασθεί εξίσωση ου 1 βαθμού με ρίζες : α) ρ 1 = 1 +, ρ = β) ρ 1 = 1, ρ =.Δίνεται ότι οι αριθμοί 1, είναι ρίζες της εξίσωσης α β γ 0,αγ 0 Α.Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων S 1, P= 1 Β.Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων α β S α β α β P α β 1 και 1 Γ.Να γράψετε την εξίσωση,η οποία έχει ρίζες τους αριθμούς : 1 1 ρ 1, ρ α αβ β α αβ β Δίνεται ότι οι αριθμοί, είναι ρίζες της εξίσωσης α β γ 0,αγ 0 1 Α.Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων S 1, P= 1 Β.Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων α β S α β α β P α β 1 και 1 Γ.Να γράψετε την εξίσωση,η οποία έχει ρίζες τους αριθμούς : 1 1 ρ 1, ρ α α β αβ β α α β αβ β Δίνεται ότι οι αριθμοί 1, είναι ρίζες της εξίσωσης 0 Να κατασκευάσετε την εξίσωση,η οποία έχει ρίζες τους αριθμούς : και 1 6.Αν ρ 1,ρ είναι οι ρίζες της α β γ 0,α,β, γ,α 0 και 1, οι ρίζες της εξίσωσης κ λ μ 0, κ,λ,μ, κ 0, να βρεθεί η εξίσωση που θα έχει για ρίζες της τους αριθμούς 1 ρ1 ρ και 1 ρ ρ. 1

35 ΕΥΡΕΣΗ ΡΙΖΩΝ Β/ΘΜΙΑΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΧΩΡΙΣ ΔΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑ 7.Να βρείτε τις ρίζες των παρακάτω εξισώσεων,με βάση το άθροισμα και το γινόμενο τους i Να βρεθεί το πρόσημο των ριζών των εξισώσεων: --6=0 ++=0 i -4+=0, χωρίς να λυθούν οι εξισώσεις. 9.Να βρείτε δύο αριθμούς, y ώστε: y 6 και y 5 y 4 και y 5 0.Να βρείτε δύο αριθμούς, y ώστε: y 5 και y 1 y 6 και y 1. Ένα ορθογώνιο παρ.μμο έχει εμβσδό 16cm και περίμετρο 0 cm. Να βρείτε τις διαστάσεις του. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ.Να βρεθούν οι τιμές του λ για τις οποίες η Δύο ρίζες ετερόσημες. Δύο ρίζες θετικές και άνισες. i Δύο ρίζες αρνητικές. iv) Δύο ρίζες αντίστροφες. λ 0 έχει:.να βρεθούν οι τιμές του α Δύο ρίζες ετερόσημες. Δύο ρίζες θετικές. i Δύο ρίζες αρνητικές και άνισες. iv) Δύο ρίζες αντίθετες. για τις οποίες η α α α 0 έχει: 4.Αν οι ρίζες της εξίσωσης : 5λ 6μ 1 0 είναι αντίθετες και οι ρίζες της εξίσωσης: λ 1 λμ λ 0, (λ 0) είναι αντίστροφεςτότε : να βρεθούν οι τιμές των λ, μ ε R να λυθούν οι εξισώσεις για τις τιμές των λ, μ, που βρήκατε.

36 5.Δίνεται η εξίσωση: (μ-1) -μ+μ+1=0, (μ1) με ρίζες 1, ε R. Για ποια τιμή του μ η εξίσωση: έχει ρίζες αντίθετες iι) έχει ρίζες αντίστροφες. λ λ λ λ λ Δίνεται η εξίσωση : Για ποιες τιμές του λ έχει ρίζες α) αντίθετες β) αντίστροφες 7.Αν Δ είναι η διακρίνουσα της εξίσωσης Δ 6 0,τότε: Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει άνισες πραγματικές ρίζες,οι οποίες μάλιστα είναι θετικές. 8.Δίνεται η εξίσωση λ λ 1 λ 0,λ. Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε να έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες. Αν λ 0, 5 και 1, οι δύο ρίζες της εξίσωσης, να βρείτε την τιμή της 6 6 παράστασης Α Έστω η εξίσωση α α β β 0,α,β,α 0. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες για οποιεσδήποτε τιμές των α,β. Αν 1, οι δύο ρίζες της εξίσωσης, να αποδείξετε ότι θα ισχύει i Αν μία ρίζα της εξίσωσης είναι ο αριθμός α με α 1, δείξετε ότι α=β. 40.Έστω η εξίσωση λ 1 λ 0 Για ποιες τιμές του λ η εξίσωση έχει ρίζες άνισες; Να βρεθεί ο λ ώστε οι ρίζες της να είναι αντίθετες. i Να λυθεί η ανίσωση d,λ 5 λ, όταν η εξίσωση έχει μία διπλή ρίζα. 41.Αν 1, είναι οι ρίζες της εξίσωσης ο πραγματικός αριθμός λ, έτσι ώστε λ 1 0,λ, να βρεθεί Αν 1, οι ρίζες της -+λ=0, να βρεθεί ο λ ε R ώστε οι ρίζες να επαληθεύουν την παράσταση: λ

37 4.Αν για τους αριθμούς α, β, γ ισχύει γ α β γ 0,α 0 να αποδείξετε ότι: Η εξίσωση α β γ 0 δεν μπορεί να έχει ρίζες τους αριθμούς 0 και 1. Η εξίσωση α β γ 0 έχει δύο ρίζες άνισες. i Αν 1, οι ρίζες της εξίσωσης να δείξετε ότι: Αν 1, είναι οι ρίζες της ρίζες της εξίσωσης α β γ 0,α,β, γ,α και ρ 1,ρ οι, να αποδειχθεί ότι αν οι 1, είναι ετερόσημες, τότε και οι ρ 1,ρ θα είναι ετερόσημες. 45.Αν 1, oι ρίζες της εξίσωσης : παράσταση : ( 1) λ( ) 0, να δείξετε ότι η Α (1 4)( 4) είναι ανεξάρτητη του λ. 46.Δίνονται οι εξισώσεις 4α 0 0 (1) και α 1 0 (). Να βρείτε τα αr αν γνωρίζουμε ότι η μία ρίζα της (1) είναι ίση με το άθροισμα των τετραγώνων των ριζών της () 47.Δίνονται οι εξισώσεις --λ=0 (1) και +λ+1=0 () και οι ρίζες τους 1, και ρ 1,ρ αντίστοιχα. Να προσδιορισθεί ο λ έτσι ώστε η μία ρίζα της πρώτης να είναι ίση με το τετράγωνο της διαφοράς των ριζών της δεύτερης 48.Δίνεται η εξίσωση +λ-=0, λr. Αν οι ρίζες 1, της εξίσωσης ικανοποιούν την σχέση 1 ( 1 + )=4- να βρεθεί το λν Για τις τιμές του λ που θα βρείτε να λύσετε την ανίσωση λ 49.Αν ρ 1, ρ ρίζες της εξίσωσης λόγος των ριζών να είναι Αν ρ 1, ρ ρίζες της εξίσωσης να προσδιοριστεί ο λr ώστε ρ1 ρ 1 λ 0να προσδιοριστεί ο λr ώστε ο λ 1 λ 0

38 51.Αν 1, ρίζες της λ λ 0 να υπολογιστεί η τιμή του λ ώστε : 5.Για ποιες τιμές του λ η εξίσωση +(λ-)+-λ=0 έχει ρίζες πραγματικές που ικανοποιούν την σχέση : 0<ρ 1 +ρ +ρ 1 ρ < 5.Αν 1, ρίζες της εξίσωσης 1 α, δείξτε ότι η παράσταση ( 1 )( ) είναι ανεξάρτητη του α χωρίς να λύσετε την εξίσωση. 54.Έστω η εξίσωση και ρ 1,ρ οι ρίζες της. Να βρεθούν οι τιμές των παρακάτω παραστάσεων: ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ,, 1 ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ, ρ ρ 1 1 i Να σχηματίσετε εξίσωση β βαθμού με ρίζες τις 1, των παραστάσεων του ερωτήματος και μετά να υπολογίσετε το Δίνεται η εξίσωση β γ 0, γ 0. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ρίζες άνισες. Αν 1, οι δύο ρίζες της εξίσωσης, να γράψετε συναρτήσει των αριθμών β, γ τις παραστάσεις,, i Οι ρίζες της εξίσωσης είναι ομόσημοι ή ετερόσημοι αριθμοί; iv) Να αποδείξετε ότι d, Δ, όπου Δ η διακρίνουσα της εξίσωσης. 1 λ 1 λ Να βρείτε τις τιμές του λ R η εξίσωση έχει δύο ρίζες τέτοιες ώστε το άθροισμα τους να ισούται με το γινόμενο τους. 56.Δίνεται η εξίσωση 57.Δίνονται οι εξισώσεις 5 α 0 και 7 4α 0.Να βρείτε τον α R,ώστε μια ρίζα της δεύτερης εξίσωσης να είναι διπλάσια από μια ρίζα της πρώτης. AΠ : α 1

39 8 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΕΣ ΔΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1. Να λυθούν οι εξισώσεις Να λυθούν οι εξισώσεις i iv) i iv) Δίνεται η εξίσωση 4 + (λ 4) + (λ + 1) = 0, λ ακέραιος αριθμός. Να βρείτε τον λ ώστε η παραπάνω εξίσωση να έχει τέσσερις διαφορετικές πραγματικές ρίζες ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΗΣ ΙΔΙΑΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ 4. Να λύσετε την εξίσωση Να λύσετε την εξίσωση Να λύσετε την εξίσωση 0 7. Να λύσετε την εξίσωση Να λύσετε την εξίσωση 9. Να λύσετε την εξίσωση + = = 0

40 10. Να λύσετε την εξίσωση 11. Να λύσετε την εξίσωση 1. Να λύσετε την εξίσωση 1. Να λύσετε την εξίσωση = = Να λύσετε την εξίσωση Να λύσετε την εξίσωση 6 4 ( ) Να λυθούν οι εξισώσεις 1 1 ( ) 0 ii ) 4 5( ) 10 0 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ αφ β Φ γ Να λυθούν οι εξισώσεις i iv) Να λυθούν οι εξισώσεις i 1 5 iv) Να λυθούν οι εξισώσεις 0 ) ii 1 1 0

41 0. Να λυθούν οι εξισώσεις 9 ) ii Να λυθούν οι εξισώσεις 10 ) ii. Να λύσετε την εξίσωση. Να λύσετε την εξίσωση Να λύσετε την εξίσωση Να λύσετε την εξίσωση 6. Να λύσετε την εξίσωση 7. Να λύσετε την εξίσωση Να λύσετε την εξίσωση Αν η εξίσωση έχει ρίζα τον αριθμό, να υπολογιστεί ο λ. 0. Να λυθούν οι εξισώσεις 4 0 ) ii X ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΡΙΖΙΚΑ 1. Να λύσετε την εξίσωση. Να λύσετε την εξίσωση. Να λύσετε την εξίσωση

42 4. Να λυθούν οι εξισώσεις Να λυθούν οι εξισώσεις i Να λυθούν οι εξισώσεις i 01 iv) iv) i Να λυθούν οι εξισώσεις Να λυθούν οι εξισώσεις i iv) Να λυθούν οι εξισώσεις i iv)

43 ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 40. Να λύσετε την εξίσωση 41. Να λύσετε την εξίσωση 4. Να λύσετε την εξίσωση 4. Να λύσετε την εξίσωση 44. Να λύσετε την εξίσωση 45. Να λύσετε την εξίσωση 46. Να λύσετε την εξίσωση + - = Να λύσετε την εξίσωση Να λύσετε την εξίσωση Να λύσετε την εξίσωση Να λύσετε την εξίσωση

44 ΕΙΔΙΚΕΣ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ 51. Να λύσετε την εξίσωση Να λύσετε την εξίσωση Να λύσετε την εξίσωση Να λυθούν οι εξισώσεις Να λυθούν οι εξισώσεις Να λυθούν οι εξισώσεις Να λυθούν οι εξισώσεις Να λυθούν οι εξισώσεις ) 0 i 59. ) 8 i Για τους μη μηδενικούς πραγματικούς αριθμους, ισχύει ότι : Να δείξετε ότι οι αριθμοί, είναι ίσοι ή αντίστροφοι. ii ) Να λύσετε την εξίσωση

45 45

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού 97 98 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθμό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 1) Δίνεται η εξίσωση x 2-2(λ + 2) χ + 2λ 2-17 = 0. Να βρείτε το λ ώστε η εξίσωση να έχει μία ρίζα διπλή. Υπολογίστε τη ρίζα. Aσκήσεις στις εξισώσεις Β βαθμού Για να έχει η εξίσωση μία ρίζα διπλή πρέπει:

Διαβάστε περισσότερα

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός 01 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παραπάνω φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια κυρίως στους

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ α + β + γ = 0 α 0 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑΣ 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις ως προς ή y: α) - 4 = 0 β) 3 = 4 γ) + - 15 = 0 δ) 5-18 -

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή : α+β=0 ή α=-β () λέγεται εξίσωση ου βαθμού (ή πρωτοβάθμια εξίσωση), με άγνωστο το, ενώ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άσκηση 1 Από τους µαθητές ενός Λυκείου, το 25% συµµετέχει στη οµάδα, το 30% συµµετέχει στη θεατρική οµάδα ποδοσφαίρου και το 15% των µαθητών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 3. Δίνεται ο πίνακας: 3 3 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ ο. Ένα κουτί περιέχει άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 5, οι μαύρες είναι 9, ενώ οι κόκκινες και οι πράσινες μαζί είναι 6. Επιλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η εξίσωση α + βy = γ 1. Υπάρχουν προβλήματα που η επίλυση τους οδηγεί σε μια γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, y και η οποία είναι της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Θεωρία ως και την 3. Ασκήσεις: -5 Θεωρία ως και την 3.3 Ασκήσεις: 6-8 Άσκηση Δίνεται η παράσταση: A= 3 5 +

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού 108 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθµό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

β. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του ερωτήματος α).

β. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του ερωτήματος α). 1.: Έννοια της Πιθανότητας Κεφάλαιο 1ο: Πιθανότητες ΑΣΚΗΣΗ 1 (_497) Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται με ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι συμμετέχουν 3 άντρες: ο Δημήτρης (Δ), ο Κώστας (Κ), ο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 = ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 38 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις - Ανισώσεις β βαθµού 5.1. Μορφή και διερεύνηση της εξίσωσης β βαθµού Άθροισµα και γινόµενο των ριζών της Κάθε εξίσωση β βαθµού πριν τη λύσουµε,

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Όταν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις αx+βy=γ και α x+β y=γ και ζητάμε τις κοινές λύσεις τους, τότε λέμε ότι έχουμε να λύσουμε ένα γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Ασκήσεις εμπέδωσης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ.Να λυθούν οι εξισώσεις: i) + = + 4-9 = + 7 6- = 9- iv) 4- = - v) ( + 4)-(-) = + vi) 4 - (7 + ) = v (+)-4 = ( + ) v 7[(y-)-(y-4)] = 8 i) - {4-[-(-) + ]} = 4 -

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

[ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ] ΤΟ 2 ο ΘΕΜΑ

[ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ] ΤΟ 2 ο ΘΕΜΑ [ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ] ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΟ ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Από τους μαθητές ενός Λυκείου, το 5% συμμετέχει στη ομάδα, το 30% συμμετέχει στη θεατρική ομάδα ποδοσφαίρου και το 15%

Διαβάστε περισσότερα

Α σ κήσεις για τ ι ς μέρες των Χριστ ουγεννι άτ ι κ ων διακ οπών

Α σ κήσεις για τ ι ς μέρες των Χριστ ουγεννι άτ ι κ ων διακ οπών Μαθηματικά Β Γυμνασίου Α σ κήσεις για τ ι ς μέρες των Χριστ ουγεννι άτ ι κ ων διακ οπών 1. Να χρησιμοποιήσετε μεταβλητές για να εκφράσετε με μια αλγεβρική παράσταση τις παρακάτω φράσεις: a. Η διαφορά δυο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Γ Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. 14ο Λύκειο Περιστερίου

ΑΛΓΕΒΡΑ. 14ο Λύκειο Περιστερίου ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ 4ο Λύκειο Περιστερίου Εκκφωννήήσσεει ιςς κκααι ι λλύύσσεει ιςς θθεεμμάάττωνν Άλλγγεεββρρααςς Τρράάππεεζζααςς θθεεμμάάττωνν ααννάά εεννόόττηητταα ΑΛΓΕΒΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3()

ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3() ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0% Να βρείτε: i Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11 2. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Φ: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ 0-0 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α - ΘΕΩΡΙΑ - ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ - ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ - ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΘΕΜΑ Β - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

Ανισώσεις. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. A ΛΥΚΕΙΟΥ κεφάλαιο ασκήσεις και τεχνικές σε 17 σελίδες. εκδόσεις. Καλό πήξιμο

Ανισώσεις. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. A ΛΥΚΕΙΟΥ κεφάλαιο ασκήσεις και τεχνικές σε 17 σελίδες. εκδόσεις. Καλό πήξιμο Ανισώσεις Κώστας Γλυκός A ΛΥΚΕΙΟΥ κεφάλαιο 4 391 ασκήσεις και τεχνικές σε 17 σελίδες ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr 9 / 1 0 / 0 1 6 εκδόσεις

Διαβάστε περισσότερα

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση:

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Ερωτήσεις συµπλήρωσης 1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: Φυσική γλώσσα Μαθηµατική γλώσσα ύο αριθµοί x, y διαφέρουν κατά και έχουν γινόµενο x (x

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Α Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου

Άλγεβρα Α Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου Άλγεβρα Α Λυκείου Στέλιος Μιχαήλογλου wwwaskisopolisgr Άλγεβρα Α Λυκείου Οι πράξεις των πραγματικών αριθμών και οι ιδιότητες τους Αν οι αριθμοί α,β είναι αντίστροφοι, να αποδείξετε ότι: 7 4 : 8 0 7 Να

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ ο GI_V_ALG 16950 1.1 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης. Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0%. Να βρείτε: i. Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος.

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Ενότητα 2 Γραμμικά Συστήματα Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Να ερμηνεύουμε γραφικά τη

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να

Διαβάστε περισσότερα

1.1. 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β ΘΕΜΑΤΑ

1.1. 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β ΘΕΜΑΤΑ 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β ΘΕΜΑΤΑ 1.1 16950 Β (ΑΝΑΡΤΗΘΗΚΕ 08-11-14) α) Να κατασκευάσετε ένα γραµµικό σύστηµα δυο εξισώσεων µε δυο αγνώστους µε συντελεστές διάφορους του µηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε

Διαβάστε περισσότερα

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ςες ΤΕΤΡΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παραπάνω φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια κυρίως στους μαθητές

Διαβάστε περισσότερα

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 2 ο : Ο ι Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ί Α ρ ι θ μ ο ί. 2.1 Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους. 2.2 Διάταξη Πραγματικών Αριθμών

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 2 ο : Ο ι Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ί Α ρ ι θ μ ο ί. 2.1 Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους. 2.2 Διάταξη Πραγματικών Αριθμών Άλγεβρα Α Λυκείου, Κεφάλαιο ο ΘΕΩΡΙΑ-ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ο : Ο ι Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ί Α ρ ι θ μ ο ί. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ. Δύο ομάδες Ο, Ο παίζουν μεταξύ τους σε μια σχολική ποδοσφαιρική συνάντηση (οι αγώνες δεν τελειώνουν ποτέ με ισοπαλία). Νικήτρια θεωρείται η ομάδα που θα νικήσει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1.ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1.1 Σε ένα σχολείο με 00 μαθητές, οι 90 έχουν ποδήλατο, 36 έχουν «παπί», ενώ 84 άτομα δεν έχουν ούτε ποδήλατο ούτε παπί. Διαλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 4 ο (141)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 4 ο (141) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 4 ο (141) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1. Να λύσετε τα συστήματα: 4 1 17 x y α) 19 x y δ) 1 4 17 5 5 x y β) 15 1 1 y x 1 1 0 x y ε) 1 1 8 x y στ) γ) 5 5 a 1 7 1 1 5 x y 1 7 x y. Να λυθούν τα συστήματα:

Διαβάστε περισσότερα

8. Να λυθεί η εξίσωση : 10 3 x= Αν ν είναι φυσικός αριθμός, τότε να υπολογίσετε την παράσταση: Α=(-1) ν +3(-1) ν+1-3(-1) 3ν+1.

8. Να λυθεί η εξίσωση : 10 3 x= Αν ν είναι φυσικός αριθμός, τότε να υπολογίσετε την παράσταση: Α=(-1) ν +3(-1) ν+1-3(-1) 3ν+1. Α. ΔΥΝΑΜΕΙΣ. Να γράψετε σε απλούστερη μορφή τις παραστάσεις: α.α.α = 5 : = (-).(-) - = (-0,) 5.(-0,5) 5 = α -.(α ) -.α. Υπολογίστε τις παραστάσεις (i) (ii) (-).(-0,5) - (iii) (0,) : (-0). Να γίνουν οι

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρήσεις. Προβλήματα είχαν οι ασκήσεις:

Παρατηρήσεις. Προβλήματα είχαν οι ασκήσεις: ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ Στέλιιος Μιιχαήλογλου-Δημήτρης Πατσιιμάς Εκκφωννήήσσεει ιςς κκααι ι λλύύσσεει ιςς θθεεμμάάττωνν Άλλγγεεββρρααςς Τρράάππεεζζααςς θθεεμμάάττωνν

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 112 114

4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 112 114 1. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 11 11 A Ομάδας 1. Να μετατρέψετε σε γινόμενα παραγόντων τα τριώνυμα: x 3x + x 3x Δ ( 3). 1. 9 8 1 > 0 Ρίζες: x Άρα ( 3) 1.1 3 1 3 1 ή 31 x 3x +

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. ικανοποιούν την ανίσωση 2x 3 < 11; (E) µεταξύ των απαντήσεων Α D δεν υπάρχει

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. ικανοποιούν την ανίσωση 2x 3 < 11; (E) µεταξύ των απαντήσεων Α D δεν υπάρχει ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. Αν α =β, τότε η τιµή της παράστασης κ= α β +β α είναι: ( ) 4 ( Β )0, ( )4 δίνονται. Α, C, ( D ), (Ε) δεν µπορεί να προσδιοριστεί από τις πληροφορίες που. Πόσα στοιχεία του συνόλου { 5,,0,4,6,7}

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις θεμάτων Άλγεβρας Τράπεζας θεμάτων ανά ενότητα. 2ο θέμα

Εκφωνήσεις θεμάτων Άλγεβρας Τράπεζας θεμάτων ανά ενότητα. 2ο θέμα .497 Πιιθαννότητεεςς ο θέμα Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται με ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι συμμετέχουν 3 άντρες: ο Δημήτρης (Δ), ο Κώστας (Κ), ο Μιχάλης (Μ) και γυναίκες: η Ειρήνη (Ε)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις Ορισµός πολυωνύµου Ονοµάζoυµε ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ του κάθε παράσταση της µορφής α ν ν +α ν- ν- + +α +α 0, ν ΙΝ και α 0, α,, α ν-, α ν ΙR. Παρατηρήσεις α. Τα α ν ν, α

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. 2.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Η εξίσωση αx β 0

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. 2.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Η εξίσωση αx β 0 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ Η εξίσωση α 0 Στο Γυμνάσιο μάθαμε τον τρόπο επίλυσης των εξισώσεων της μορφής α 0 για συγκεκριμένους αριθμούς α,,με α 0 Γενικότερα τώρα, θα δούμε πώς με την οήθεια των

Διαβάστε περισσότερα

Β Λυκείου - Ασκήσεις Συστήματα. x = 38 3y x = 38 3y x = x = = 11

Β Λυκείου - Ασκήσεις Συστήματα. x = 38 3y x = 38 3y x = x = = 11 Να λυθεί το σύστημα: Β Λυκείου - Ασκήσεις Συστήματα x+ 3y= 38 3x y = 2 Θα λύσουμε το σύστημα με τη μέθοδο της αντικατάστασης: x+ 3y= 38 x = 38 3y x = 38 3y x = 38 3y 3x y = 2 338 ( 3y) y= 2 3 38 9y y =

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 4 ο (2) -2- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ & ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Α Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ & ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ & ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ τράπεζαθεμάτων θέμαδεύτεροκαιτέταρτο Επιμέλεια: ΕμμανουήλΚ.Σκαλίδης ΑντώνηςΚ.Αποστόλου ΚόμβοςΑτσιποπούλου014-15 1 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Ένα κουτί περιέχει 5 άσπρες,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές, αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα σημαντικό βοήθημα για την Άλγεβρα της Β Λυκείου, που είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Λυμένα Παραδείγματα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Λυμένα Παραδείγματα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Λυμένα Παραδείγματα. Να βρεθούν οι τιμές του λ R για τις οποίες το πολυώνυμο Ρ () = (4λ -9) +(λ -λ-) +λ- είναι το μηδενικό. Το Ρ () θα είναι το μηδενικό πολυώνυμο, για εκείνες τις τιμές του λ

Διαβάστε περισσότερα

1) Μέθοδος επίλυσης οποιασδήποτε εξίσωσης Β Βαθμού. Έστω η δευτεροβάθμια εξίσωση : = 0 1. Μεταφέρουμε το σταθερό όρο στο δεύτερο μέλος δηλ.

1) Μέθοδος επίλυσης οποιασδήποτε εξίσωσης Β Βαθμού. Έστω η δευτεροβάθμια εξίσωση : = 0 1. Μεταφέρουμε το σταθερό όρο στο δεύτερο μέλος δηλ. 1 Εξισώσεις Β Βαθμού Εξίσωση 2 ου βαθμού μ έναν άγνωστο, είναι η εξίσωση με μορφή : αx²+βx+γ=0 με α, β, γ R και α 0. 1) Μέθοδος επίλυσης οποιασδήποτε εξίσωσης Β Βαθμού Έστω η δευτεροβάθμια εξίσωση : =

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι ασκήσεις του φυλλαδίου δεν είναι ανά κεφάλαιο, αλλά τυχαία με σκοπό την τελική επανάληψη, και είναι θέματα εξετάσεων από διάφορα σχολεία του νομού Σερρών Σέρρες

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο δείγμα Α1 Αν α> με α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ> να αποδείξετε ότι ισχύει: logα(θ1θ) = logαθ1 + logαθ Α Πότε ένα πολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω βασικό σύνολο Ω = {, 4, 5, 8, 0} και τα υποσύνολα του Ω, Α = {, 5, 0}, Β = {4, 8, 0} i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn τα παραπάνω σύνολα ii) Να περιγράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο.

ΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. (Μονάδες 10) β) Να παραστήσετε γραφικά στο επίπεδο τις δυο εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Εξισώσεις 2 ου βαθμού

Εξισώσεις 2 ου βαθμού Εξισώσεις 2 ου βαθμού Εξισώσεις 2 ου βαθμού Η εξίσωση της μορφής αχ 2 + βχ + γ = 0, α 0 λύνεται σύμφωνα με τον παρακάτω πίνακα. Δ = β 2 4αγ Η εξίσωση αχ 2 + βχ + γ = 0, α 0 αν Δ>0 αν Δ=0 αν Δ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. 3.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Οι ανισώσεις: αx + β > 0 και αx + β < 0

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. 3.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Οι ανισώσεις: αx + β > 0 και αx + β < 0 3 ΝΙΣΩΣΕΙΣ 31 ΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΘΜΟΥ Οι ανισώσεις: α + β > 0 και α + β < 0 Γνωρίσαμε στο Γυμνάσιο τη διαδικασία επίλυσης μιας ανίσωσης της μορφής α β 0 ή της μορφής α β 0, με α και β συγκεκριμένους αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΑΗΜΙΑ ΚΥΒΟΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 100% www.kivosacademy.gr

ΑΚΑΗΜΙΑ ΚΥΒΟΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 100% www.kivosacademy.gr 11 ΟΗΓΙΕΣ 1. Το ebook περιέχει εργασίες δραστηριότητες για µαθητές που θα πάνε στη Γ Λυκείου και θα επιλέξουν µαθηµατικά κατεύθυνσης ή γενικής παιδείας.. Για την επίλυση θα χρειαστούν όλα τα βιβλία µαθηµατικών

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) είναι πραγματικός, γ) Το 3 είναι άρρητος,

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) είναι πραγματικός, γ) Το 3 είναι άρρητος, . ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Τηλ 0676-7 /0600 Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους. Να συμπληρωθούν τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη να προκύψει το έτος γέννησης σας : +....= 9.. = ( -

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 01-013 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 1 ο Α. Έστω a ένας πραγματικός αριθμός. Να δώσετε τον ορισμό της απόλυτης

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο

παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ η (Κατσίποδας Δημήτρης) Δίνονται οι συναρτήσεις f() = με a, β R και g() = 5.Αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 1 : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Για να λύσω μια ανίσωση της μορφής : 0 ή 0 1 ος τρόπος : Λειτουργώ όπως και στις εξισώσεις πρώτου βαθμού, δηλαδή χωρίζω γνωστούς από αγνώστους, και

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Επανάληψης: Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Ασκήσεις Επανάληψης: Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Σχολική Χρονιά: 015-016 Ασκήσεις Επανάληψης για την B Γυμνασίου Ενότητα 1: Πραγματικοί Αριθμοί Πυθαγόρειο Θεώρημα 1. Να γράψετε σε μορφή δύναμης τα πιο κάτω: 1) ².³ = ) (³) 5 = 3) 5 : 8 = 4) ( 5. 7 ) :

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1 Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Μέθοδοι επίλυσης γραμμικού συστήματος χ Γραφική επίλυση Σχεδιάζουμε τις ευθείες που αντιπροσωπεύουν οι εξισώσεις του συστήματος. Αν: - οι δύο ευθείες τέμνονται, τότε το σύστημα έχει

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ

4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 1 4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Εξίσωση µε έναν άγνωστο: Ονοµάζουµε µία ισότητα η οποία περιέχει αριθµούς και ένα γράµµα που είναι ο άγνωστος της εξίσωσης.. Λύση ή ρίζα της εξίσωσης : Είναι ο αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Στην πρώτη στήλη του παρακάτω πίνακα δίνονται κάποιες προτάσεις στην φυσική τους γλώσσα. Να συμπληρώσετε την δεύτερη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Α. 27 Β. 29 Γ. 45 Δ. 105 Ε. 127

Α. 27 Β. 29 Γ. 45 Δ. 105 Ε. 127 Α - Β Γυμνασίου η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 0. Αν = M = 60, η τιμή του M + N είναι: 5 45 N Α. Β. 9 Γ. 45 Δ. 05 Ε.. Ένα τετράγωνο και ένα τρίγωνο έχουν ίσες περιμέτρους. Το μήκος των τριών

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1.Δίνεται η συνάρτηση f()= 4 1 α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; β) Αν χ=, ποια είναι η τιμή της f; γ) Αν f()=1, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 ο. Εξισώσεις-Ανισώσεις.

Κεφάλαιο 1 ο. Εξισώσεις-Ανισώσεις. Μαθηματικά B Γυμνασίου Κεφάλαιο 1 ο. Εξισώσεις-Ανισώσεις. Μέρος Α.- Θεωρία. 1. Τι λέμε αλγεβρική και τι αριθμητική παράσταση; 2. Τι λέμε αναγωγή ομοίων όρων; 3. Τι λέμε εξίσωση α βαθμού; 4. Τι λέμε πρώτο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1 ο δείγμα Α. Θεωρία Α) Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Β) Να δώσετε τον ορισμό της εγγεγραμμένης γωνίας σε κύκλο (Ο, ρ). (Να γίνει σχήμα) Γ) Ποια

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 16950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 0 ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός . ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΟΜΟΣΗΜΩΝ- ΕΤΕΡΟΣΗΜΩΝ Σε ομόσημους κάνω πρόσθεση και βάζω το κοινό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ-ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: f ()=, g()= +3,h()= -3 Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα