Μαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 6

Transcript

1 Μαθηµατικά β Σελίδα από 6 Μάθηµα 9 ο ΑΩΝΠΗΣΗ ΠΝΑΚΑ Θεωρία : ραµµική Άλγεβρα : εδάφιο 5, σελ 5 (µόνο την Πρόταση 6) Τα παραδείγµατα που αντιστοιχούν στην ύλη έχουν διδαχθεί Ασκήσεις :,, 4, 8, 9, σελ 58 Λυµένες Ασκήσεις Άσκηση 9 Να βρείτε τα ιδιοποσά των πινάκων 6 Α, και να εξετάσετε αν διαγωνοποιούνται Λύση : ια τον πίνακα Α είναι λ Α ( λ ) σ( Α ) ια λ το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα είναι λύση του οµογενούς συστήµατος ( Α ), και έχουµε : ια τον πίνακα βρίσκουµε λ ( λ ) ( λ ) ( λ + ) c ια λ, 7 4 ια λ T c [ ]

2 Μαθηµατικά β Σελίδα από ια λ c[ c[ 7 πίνακας έχει ιδιοδιανύσµατα γραµµικά ανεξάρτητα, εφόσον έχει διακεκριµένες ιδιοτιµές, ο δε πίνακας Α ] ] έχει µόνο ένα ιδιοδιάνυσµα Σύµφωνα µε την Πρόταση 6, σελ 5, ο πίνακας διαγωνοποιείται αλλά όχι ο Α T T Άσκηση 9 ια ποιες τιµές των παραµέτρων α, β διαγωνοποιείται ο πίνακας α α Α β β Λύση : ι ιδιοτιµές του πίνακα είναι σ( Α ) {, α β } Αν α β α + β, ο πίνακας Α διαγωνοποιείται διότι έχει γραµµικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα (Πρόταση 6) καθόσον οι ιδιοτιµές του είναι διακεκριµένες α α Αν α + β Α σ( Α ) { } α + α Στην περίπτωση αυτή έχει µόνο ένα ιδιοδιάνυσµα [ ] Τ, και ο πίνακας Α δε διαγωνοποιείται α β Άσκηση 9 Να δείξετε ότι ο πίνακας Μ που αντιστοιχεί στον β α µιγαδικό αριθµό z α + iβ έχει ιδιοτιµές z, z και να βρείτε τον πίνακα Ρ που διαγωνοποιεί τον πίνακα Λύση : Έχουµε λ Μ ( λ α ) + β σ ( Μ ) { α + iβ, α iβ} { z, z }

3 Μαθηµατικά β Σελίδα από 6 ια τις ιδιοτιµές αυτές τ αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα είναι [ i ] Τ, και [ i ] Τ Συνεπώς, Α Μ D Μ - i, όπου Μ i Άσκηση 94 Αν Α Ρ δείξτε ότι Ρ - Ρ, οι στήλες του Ρ είναι ιδιοδιανύσµατα του Α και ο πίνακας ΡΑΡ είναι διαγώνιος Λύση : Παρατηρούµε ότι P P T, και συνεπώς αρκεί να δείξουµε ότι P - P T, δηλ P είναι ορθογώνιος πίνακας Πράγµατι, σηµειώνοντας p, p, p, p 4 τις στήλες του P έχουµε p i ( i,,, 4 ) και p i p j για κάθε i j Επειδή A p p A p i p i ( i,, 4 ) σ( Α ) {, } και επιπλέον P A P P A P - diag(,,, ) Άσκηση 95 ια τον πίνακα / / Α / /, βρείτε έναν ορθογώνιο πίνακα Ρ έτσι ώστε ΑΡDΡ Τ, όπου D είναι διαγώνιος πίνακας Λύση : πίνακας Α είναι συµµετρικός Έχουµε λ Α ( λ ) ( λ ) ια λ, τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα προκύπτουν από τη λύση του οµογενούς συστήµατος ( A I ) + [ ] T c [ ] T + c [ ] T ιδιοδιανύσµατα υ [ ] Τ και υ [ ] Τ

4 Μαθηµατικά β Σελίδα 4 από 6 ια λ ( A I ), [ ] T c [ ] T υ [ ] Τ Επειδή υ i υ j για i έχουµε j, διαιρούµε τα ιδιοδιανύσµατα µε το µέτρο τους και Ρ 5 5 Άσκηση 96 ια τους πίνακες Α και να 5 5 βρείτε πραγµατικό πίνακα Ρ, τέτοιον ώστε Ρ Τ Α Ρ και Ρ T Ρ D, όπου D είναι διαγώνιος πίνακας Λύση : πίνακας Ρ πρέπει να είναι αντιστρέψιµος, διότι Ρ T Α Ρ ( detp ) deta detp ± Από τις ισότητες Ρ T Α Ρ, Ρ T Ρ D P - A - B P D ( A - B )P P D πίνακα A - 8 B 5 Πράγµατι, λ Α - B ( λ )( λ 4 ) και P T ( AP ) - P - A -, οι στήλες του P είναι ιδιοδιανύσµατα του για λ ( Α - B ) αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα [ ] Τ, για λ 4 ( Α - B 4 ) αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα [ ] Τ Συνεπώς, P και D diag(, 4)

5 Μαθηµατικά β Σελίδα 5 από 6 Άσκηση 97 Αν Α, και, διαγωνοποιείστε τον πίνακα Α Λύση : det λ I A λ I B λ A Α λ λ det ( λ )( λ )( λ 4 ) ια λ A ω A y I B y y Α + )ω ( ) ( Το υποσύστηµα ( Α )y y y [ ] T και από το υποσύστηµα y + ( B )ω ω ω, δηλ το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα είναι [ ] Τ ια λ, έχουµε τα υποσυστήµατα ( Α + )y, y + ( B + )ω αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα είναι [ 5 5 ] Τ ια λ, ( Α )y, y + ( B )ω y, ω + ω αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα είναι [ ] Τ και τέλος για λ 4, έχουµε το ιδιοδιάνυσµα [ ] Τ Άσκηση 98 Να λύσετε την εξίσωση Χ Λύση : Αν συµβολίσουµε µε Α τον πίνακα στο ο µέλος βρίσκουµε σ( Α ) {,, } Επειδή ο πίνακας Α έχει διακεκριµένες ιδιοτιµές, ο πίνακας διαγωνοποιείται και έχουµε Α Μ diag(,, ) M - ; M 5 4

6 Μαθηµατικά β Σελίδα 6 από 6 Θέτοντας Υ Μ - Χ Μ, η εξίσωση Υ diag(,, ) είναι ισοδύναµη της αρχικής Συνεπώς, Y diag( ±, ±, ± ) και απ αυτήν βρίσκουµε X M diag( ±, ±, ± ) M - δηλ προκύπτουν 8 διαφορετικές λύσεις της εξίσωσης από τις διατάξεις των προσήµων Άσκηση 99 Έστω, y είναι µη µηδενικά διανύσµατα του R ν και Α y T είξτε ότι σ ( Α ) {, T y } και για λ αντιστοιχούν ν γραµµικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα Αν T y, δείξτε ότι ο πίνακας Α διαγωνοποιείται Λύση : Επειδή ο πίνακας Α y T βαθµα deta σ( Α ) Επιπλέον βαθµα η λύση του συστήµατος A είναι ( ν )- παραµετρική δηλ στην ιδιοτιµή αντιστοιχούν ν γραµµικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύµατα Από την ισότητα A y Τ ( y Τ ) ( Τ y ) συµπεραίνουµε ότι Τ y σ( Α ) µε αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα το Συνεπώς για Τ y, ο πίνακας Α έχει συνολικά ν γραµµικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα και συµπεραίνουµε ότι ο πίνακας Α είναι όµοιος µε τον διαγώνιο πίνακα diag( Τ y,,, ) Άσκηση 9 ι τετραγωνικοί πίνακες Α, είναι αντιµεταθετικοί ακριβώς όταν υπάρχει ορθοµοναδιαίος πίνακας Ρ τέτοιος ώστε οι πίνακες Ρ*ΑΡ και Ρ*Ρ είναι διαγώνιοι Λύση : Αν P * Α P D, P * P D έχουµε : Α ( P D P * )( P D P * ) P D ( P * P )D P * P D D P * P D D P * ( P D P * )( P D P * ) B A