ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ."

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Στην πρώτη στήλη του παρακάτω πίνακα δίνονται κάποιες προτάσεις στην φυσική τους γλώσσα. Να συμπληρώσετε την δεύτερη στήλη του πίνακα ώστε οι προτάσεις της πρώτης στήλης να εκφράζονται με μαθηματικό τρόπο, δηλαδή παραστάσεις με μεταβλητές, ή εξισώσεις. Προτάσεις στην φυσική τους γλώσσα Μαθηματικές παραστάσεις των προτάσεων Το άθροισμα τριών διαδοχικών φυσικών αριθμών. Το αντίθετο του τριπλασίου ενός αριθμού αυξημένου κατά Το γινόμενο δύο αριθμών που διαφέρουν κατά είναι ίσο με 4 Το κόστος χ λίτρων βενζίνης αν το λίτρο κοστίζει 0,8 ευρώ. Η ηλικία του Γιάννη μετά από χρόνια θα είναι ίση με τα της σημερινής του ηλικίας. Το κόστος για χ δευτερόλεπτα συνομιλίας με ένα τηλέφωνο, αν το κόστος του ενός λεπτού είναι 0, ευρώ αυξημένου με 8% Φ.Π.Α. και 0, ευρώ πάγιο κόστος συνομιλίας.. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή, μπορεί όμως να είναι λάθος. Γράψτε δίπλα από κάθε πρόταση το Σ αν αυτή είναι σωστή και το Λ αν αυτή είναι λάθος. Αν χ ένας ρητός αριθμός τότε ο αριθμός χ είναι ένας περιττός αριθμός. Αν ν είναι ένας ακέραιος τότε το άθροισμα ν ν ν 4 παριστάνει το άθροισμα τριών διαδοχικών άρτιων αριθμών. Η εξίσωση χ 6 χ = μπορεί να γραφεί πιο απλά : χ =. Το γινόμενο (χ )(χ )μπορεί να εκφράζει το γινόμενο δύο αριθμών που διαφέρουν κατά. Στην εξίσωση χ = 7χ άγνωστοι όροι είναι το και το χ και γνωστός όρος το 7χ. Η περίμετρος ενός ορθογωνίου που οι διαστάσεις του διαφέρουν κατά είναι: Π = 4χ 4, όπου χ η μία διάστασή του.

2 Ένας δρόμος έχει μήκος 00 m. Θέλουμε να τοποθετήσουμε στο δρόμο 6 κολώνες φωτισμού ως εξής: Η πρώτη κολώνα θα τοποθετηθεί στα 00 m από την μια άκρη του δρόμου και η τελευταία στα 0 m από την άλλη άκρη του. Μεταξύ τους η κολώνες θα απέχουν ίσες αποστάσεις έστω χ m. Να βρείτε την εξίσωση η οποία θα μας βοηθήσει να υπολογίσουμε τον άγνωστο χ. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα. Εξίσωση Άγνωστος Άγνωστοι όροι Γνωστοί όροι -χ = χ 9 ψ = ψ t t 4 = 0 9 = -φ 4 φ Δύο αυτοκίνητα ξεκινούν ταυτόχρονα από δύο πόλεις Α και Β με προορισμούς τις πόλεις Β και Α αντίστοιχα. Η απόσταση των πόλεων είναι 00 Km. Η μέση ταχύτητα του αυτοκινήτου που ξεκινάει από την πόλη Α είναι μεγαλύτερη κατά 0 Km/h από αυτή του αυτοκινήτου που ξεκινάει από την πόλη Β. Σε t ώρες από τότε που ξεκίνησαν η μεταξύ τους απόσταση είναι 0 km. Να βρείτε την εξίσωση με την βοήθεια της οποίας θα υπολογίσουμε τον άγνωστο t. Δύο βρύσες γεμίζουν μια δεξαμενή χωρητικότητας m. Η πρώτη με ταχύτητα χ λίτρα την ώρα και η δεύτερη με ταχύτητα δύο λίτρων την ώρα λιγότερο από την πρώτη. Η δεξαμενή γεμίζει σε 6 ώρες. Να βρείτε την εξίσωση με την βοήθεια της οποίας θα υπολογίσουμε την ταχύτητα με την οποία οι δύο βρύσες γεμίζουν την δεξαμενή. Το 8-πλάσιο της δύναμης του 4 με εκθέτη τον αριθμό χ είναι ίσο με το 4 της δύναμης του με εκθέτη τον αριθμό χ. Με την βοήθεια των ιδιοτήτων των δυνάμεων να δείξετε ότι η εξίσωση που θα μας βοηθήσει να υπολογίσουμε το χ είναι η χ = χ.

3 8. α) «Σκέψου έναν αριθμό. Από το διπλάσιό του αφαίρεσε το. Την διαφορά που βρήκες πολλαπλασίασε τη με το και κατόπιν αφαίρεσε από το γινόμενο που βρήκες το εξαπλάσιο του αριθμού που σκέφτηκες». Μπορείτε να εξηγήσετε πως μπορούμε να καταλάβουμε το αποτέλεσμα που θα βρει κάποιος ο οποίος κάνει με το νου του της παραπάνω πράξεις; «.Το αποτέλεσμα που βρήκες είναι...!» β) «Σκέψου έναν αριθμό. Πρόσθεσε σ αυτόν το και το άθροισμα πολλαπλασίασε το με το. Κατόπιν αφαίρεσε το διπλάσιο του αριθμού που σκέφτηκες και πρόσθεσε το 0. Πες μου τον αριθμό που βρήκες για να σου πω τον αριθμό που σκέφτηκες». Μπορείτε να εξηγήσετε πως μπορούμε να καταλάβουμε τον αριθμό που σκέφτηκε κάποιος αν μας πει το αποτέλεσμα που θα βρει κάνοντας με το νου του τις παραπάνω πράξεις; 9. Το του αθροίσματος δύο διαδοχικών περιττών ακεραίων είναι ίσο με τα άρτιου ακεραίου χ που βρίσκεται μεταξύ τους. Να γράψετε την εξίσωση που περιγράφεται από την παραπάνω πρόταση.

4 .... ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ. Στην πρώτη στήλη του παρακάτω πίνακα δίνονται κάποιες εξισώσεις και στην δεύτερη στήλη οι λύσεις τους. Αντιστοιχίστε κάθε στοιχείο της πρώτης στήλης του πίνακα με ένα μόνο της δεύτερης στήλης του συμπληρώνοντας τον δεύτερο πίνακα. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ. Αδύνατη Α. χ = 8. Έχει λύσεις όλους τους αριθμούς Β. χ = χ. Γ. χ χ = χ Δ. 7χ = -9. Ε. χ χ χ χ 4 = 4χ 6. Ζ. 0χ = 0 7. Α Β Γ Δ Ε Ζ α) Η εξίσωση χ = 0 Α. έχει λύση τον αριθμό 0 Β. έχει λύση τον αριθμό Γ. έχει λύση τον αριθμό Δ. δεν έχει λύση β) Η εξίσωση χ (χ-) (χ-) (4χ-).(00χ-000) = 00 Α. έχει λύση τον αριθμό 0 Β. έχει λύση τον αριθμό Γ. έχει λύση τον αριθμό Δ. δεν έχει λύση γ) Η εξίσωση 0χ = Α. έχει λύση τον αριθμό 0 Β. έχει λύση τον αριθμό Γ. έχει λύση τον αριθμό - Δ. δεν έχει λύση δ) Η εξίσωση χ (χ-) (χ-) (4χ-).(00χ-000) = 00 Α. έχει λύση τον αριθμό 0 Β. έχει λύση τον αριθμό Γ. έχει λύση τον αριθμό Δ. δεν έχει λύση Είναι σωστό ή λάθος; α) Η εξίσωση (χ )(χ ) = 0 έχει δύο λύσεις τους αριθμούς και. Σ Λ β) Η εξίσωση χ (χ ) =0 έχει δύο λύσεις τους αριθμούς και 0. Σ Λ γ) Η εξίσωση αχ = α έχει λύση τον αριθμό. Σ Λ δ) Η εξίσωση χ = α έχει λύση τον αριθμό a. Σ Λ ε) Η εξίσωση αχ = έχει λύση τον αριθμό. a Σ Λ στ) Οι εξισώσεις χ 4 =0 και 4 = χ είναι ισοδύναμες. Σ Λ 4

5 4.. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: α) χ 4 = 6 β) χ 8 = -7 γ) χ = 4χ δ) 0 = 7χ 8 ε) χ 4 = -4 στ) χ χ = 4χ Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: α) χ χ = 9χ 6 β) χ 0 χ = -χ γ) 6 χ 9 = χ 9 δ) 0, 0,χ =,7, χ ε) 0,7χ, χ =,χ στ) 9,χ 4, = -,χ 7 6. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: α) = β) = 4 γ), =, 4 7 δ) = 7. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: α) ( χ) = 6 4(χ ) β) (χ ) =,(4χ 8) (-χ 6) γ) χ (χ ) = χ δ) ( χ 4) (-χ) = (7 χ ) 8 8. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: α) = 7 ( ) 7 β) = 4

6 6 γ) ) ( = δ) = 9. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: α) 6 = β) ) ( 7 = γ) = δ) 4 8 = 0. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: α) = ψ ψ ψ ψ 4 ) 6( 7,, ) ( 4 β) ( ) ( ) ( ) 4 4 4, = ω ω ω γ) t t t t t = 7,6) ( 6 9 ) (8 δ) = z z z z z. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: α) [ ] ] ) ( [ 6 4 ) ( = β) = ψ ψ ψ γ) 6 ) 4( = z z z z z

7 ω ω ω ( ω ) δ) ω = 4 ω. Αν το χ είναι η λύση της εξίσωσης 0,χ -, = 0,-,χ και το ψ λύση της εξίσωσης 0ψ 0 ( 4ψ ) 6(, 0,ψ ) =, να υπολογίσετε την τιμή της 0 ψ ψ παράστασης Π = ( ). χ a a 4 a = a Αν το είναι η λύση της εξίσωσης,όπου χ είναι ο άγνωστος της εξίσωσης και α κάποιος ρητός αριθμός,να υπολογίσετε την τιμή του α. 4. Δίνεται η εξίσωση: (μ 4)χ = λ-, όπου λ, μ κάποιοι ρητοί αριθμοί και χ ο άγνωστος της εξίσωσης. α) Να βρείτε την λύση της εξίσωσης όταν μ = και λ = β) Αν μ = και λ = τότε η εξίσωση έχει: Α.: Μία μόνο λύση την χ = Β.: Μία μόνο λύση την χ = 0 Γ.: Έχει λύσεις όλους τους αριθμούς Δ.: Δεν έχει λύση είναι αδύνατη. γ) Αν μ = και λ = 4 τότε η εξίσωση έχει: Α.: Μία μόνο λύση την χ = Β.: Μία μόνο λύση την χ = 0 Γ.: Έχει λύσεις όλους τους αριθμούς Δ.: Δεν έχει λύση είναι αδύνατη. Επιλέξτε την σωστή απάντηση δ) Αν μ = και η λύση της εξίσωσης είναι ο αριθμός 0, να βρείτε την τιμή του λ. ε) Είναι σωστό ή λάθος ότι η εξίσωση έχει πάντα λύση;. α) Η ισότητα αβ = 0 ισχύει όταν: Α.: α = 0 ή β = 0 Β.: α = 0 και β = 0 Γ.: α, β αντίθετοι αριθμοί. Δ.: α, β αντίστροφοι αριθμοί. β) Να λύσετε την εξίσωση: (χ-)(6χ-48) = 0 4(, ) γ) Να λύσετε την εξίσωση: 7 =

8 α) Η ισότητα α β = 0 ισχύει όταν: Α.: α = 0 ή β = 0 Β.: α = 0 και β = 0 Γ.: α = 0 και β 0 Δ.: α, β αντίθετοι αριθμοί Επιλέξτε την σωστή απάντηση β) Να λύσετε την εξίσωση: (χ 6) (χ) = 0 γ) Να λύσετε την εξίσωση: = 0 7. Δίνεται η εξίσωση λ(χ ) 4 = χ λ.,όπου χ είναι ο άγνωστος της εξίσωσης και λ κάποιος ρητός αριθμός. α) Να λύσετε την εξίσωση όταν λ = - β) Ποια πρέπει να είναι η τιμή του λ ώστε η εξίσωση να έχει λύση τον αριθμό 0. γ) Ποια πρέπει να είναι η τιμή του λ ώστε η εξίσωση να είναι αδύνατη. 8. Να λυθεί η εξίσωση: (χ)(χ)(χ )..(00χ) (00χ) = (χ-)(4χ-)(6χ-).(004χ-) 9. Με τη βοήθεια της επιμεριστικής ιδιότητας να λύσετε τις εξισώσεις: α) χ χ = 0 β) χ χ 6 χ = 0 γ) χ χ χ = 0 δ) χ χ χ =0 0. Να υπολογίσετε την τιμή του αριθμού λ ώστε οι εξισώσεις 7 6 λ χ λ λ χ = και χ = λ 4 να έχουν κοινή λύση.. Δίνεται η εξίσωση α α{ α α[ α α( α χ ) χ] χ} χ = 0 α) Aν α ρητός αριθμός διαφορετικός του - η εξίσωση έχει μόνο μια λύση. Μπορείτε να βρείτε ποια θα είναι αυτή. β) Αν α = - έχει λύσεις η εξίσωση; 8

9 ... ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΥΠΩΝ. Γνωρίζουμε ότι ο όγκος V ενός ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου με εμβαδό βάσης Ε και ύψος υ είναι V = Ευ Να λύσετε τον τύπο ως προς Ε και ως προς υ. Οι τύποι υ = α βt και h = αt 0,βt δίνουν την ταχύτητα και το ύψος ενός σώματος που εκτοξεύεται από την επιφάνεια της γης σε χρόνο t από την στιγμή της εκτόξευσης. Το α είναι ένας θετικός αριθμός και το β ένας αρνητικός αριθμός. α) Να λύσετε τον πρώτο τύπο ως προς t. β) Όταν το σώμα εκτοξεύεται προς τα πάνω, κάποια στιγμή η ταχύτητά του θα είναι ίση με το 0,οπότε θα αρχίσει να πέφτει. Να δείξετε ότι το μέγιστο ύψος στο οποίο φτάνει το σώμα δίνεται από τον α τύπο: h = 0, β (Υποθέτουμε ότι το σώμα εκτοξεύεται προς τα πάνω κατά τρόπο ώστε να μην ξεφύγει από το πεδίο βαρύτητας της γης).. 4. Να λύσετε ως προς χ τους παρακάτω τύπους: α) α χ = αχ β β) = α χ β β γ) α = β α χ χ δ) χ = α( ) β Δύο αυτοκίνητα κινούνται,πλησιάζοντας το ένα στο άλλο, σε κάποιο δρόμο με ταχύτητες υ και υ. Κάποια χρονική στιγμή απέχουν μεταξύ τους απόσταση α. Σε χρόνο t από εκείνη τη στιγμή η μεταξύ τους απόσταση είναι s. Να δείξετε ότι ο χρόνος t δίνεται από τον τύπο : t = s a υ υ 9

10 . 6. Ο τύπος l = l0 ( aθ ) μας δίνει το μήκος μιας ράβδου, η οποία έχει αρχικό μήκος l 0, όταν αυτή θερμανθεί. Το θ εκφράζει την αύξηση της θερμοκρασίας σε βαθμούς Κελσίου, και το α είναι ένας αριθμός που εξαρτάται από το υλικό της ράβδου. α) Να λύσετε τον τύπο ως προς θ. β) Αν α = 0,000 να υπολογίσετε την αύξηση της θερμοκρασίας ώστε να ισχύει l =,00. l 0 Ο τύπος = μας δίνει την ολική αντίσταση R ενός ηλεκτρικού κυκλώματος R R R όταν σ αυτό υπάρχουν, με κάποιο συγκεκριμένο τρόπο, συνδεδεμένες δύο αντιστάσεις R και R. Να επιλύσετε τον τύπο ως προς R...4 ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ. Στην πρώτη στήλη του παρακάτω πίνακα δίνονται κάποιες προτάσεις στην φυσική τους γλώσσα. Να συμπληρώσετε την δεύτερη στήλη του πίνακα ώστε οι προτάσεις της πρώτης στήλης να εκφράζονται με ανισώσεις Προτάσεις στην φυσική τους γλώσσα Μαθηματικές παραστάσεις των προτάσεων Το πενταπλάσιο ενός αριθμού αυξημένο κατά είναι μικρότερο του Το άθροισμα δύο διαδοχικών άρτιων ακεραίων αριθμών δεν ξεπερνά το μισό του μεγαλυτέρου. Η περίμετρος ενός ορθογωνίου με διαστάσεις χ cm και cm ξεπερνάει την περίμετρο ενός τετραγώνου με πλευρά χ cm Το διπλάσιο της διαφοράς ενός αριθμού από το είναι μικρότερο από αυτόν τον αριθμό. Η ηλικία του Γιάννη μετά από χρόνια θα είναι μεγαλύτερη από το διπλάσιο της σημερινής του ηλικίας.. α) Η ανίσωση χ > Α. έχει λύση τον αριθμό Β. έχει λύση τον αριθμό 0 Γ. έχει λύση μόνο τον αριθμό Δ. έχει λύσεις όλους τους αριθμούς που είναι πάνω από. β) Η ανίσωση -χ < 0 Α. έχει λύσεις όλους τους αριθμούς που είναι πάνω από Β. έχει λύσεις όλους τους θετικούς αριθμούς Γ. έχει λύσεις όλους τους αρνητικούς αριθμούς 0

11 Δ. δεν έχει λύση γ) Η ανίσωση -χ 4 Α. έχει λύσεις όλους τους αριθμούς που είναι πάνω από Β. έχει λύσεις όλους τους θετικούς αριθμούς Γ. έχει λύσεις όλους τους αρνητικούς αριθμούς Δ. έχει λύση το δ) Η ανίσωση Α. έχει λύσεις όλους τους αριθμούς Β. έχει λύσεις όλους τους θετικούς αριθμούς Γ. έχει λύσεις όλους τους αρνητικούς αριθμούς Δ. είναι αδύνατη. 4. χ Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή, μπορεί όμως να είναι λάθος. Γράψτε δίπλα από κάθε πρόταση το Σ αν αυτή είναι σωστή και το Λ αν αυτή είναι λάθος. Η ανίσωση 0χ>0 είναι αδύνατη. Η ανίσωση 0χ 0 είναι αδύνατη. Η ανίσωση χ->0 δεν έχει λύση τον αριθμό Ο μοναδικός αριθμός που επαληθεύει την ανίσωση <χ< είναι το. Οι ακέραιοι αριθμοί που επαληθεύουν την ανίσωση είναι το, το και το. Ο μοναδικός θετικός ακέραιος που επαληθεύει την ανίσωση 00χ 00 είναι το. - 0 χ Στον παραπάνω άξονα έχουμε σημειώσει τους αριθμούς χ για τους οποίους ισχύει : < 0 Να βρείτε ποιους αριθμούς έχουμε σημειώσει στους επόμενους άξονες. α) - 0 χ... <... β) - 0 χ γ) - 0 χ χ

12 χ... < <... χ δ) - 0 χ χ... <... ε) - 0 χ >... χ στ) - 0 χ χ.... α) Να σημειώσετε πάνω σε άξονα τους αριθμούς χ για τους οποίους ισχύει:, β) Να σημειώσετε πάνω σε άξονα τους αριθμούς χ για τους οποίους ισχύει: < γ) Να σημειώσετε πάνω σε άξονα τους αριθμούς χ για τους οποίους ισχύει: 0 < δ) Να σημειώσετε πάνω σε άξονα τους αριθμούς χ για τους οποίους ισχύει: < 8 < 6. ε) Να σημειώσετε πάνω σε άξονα τους αριθμούς χ για τους οποίους ισχύει: ζ) Να σημειώσετε πάνω σε άξονα τους αριθμούς χ για τους οποίους ισχύει: > η) Να σημειώσετε πάνω σε άξονα τους αριθμούς χ για τους οποίους ισχύει: > < ή Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις και να σημειώσετε τις λύσεις τους πάνω σε άξονα.

13 7. α) χ 8 < 7χ β) χ 4 > χ 6 γ) χ (χ ) 8 δ) 9 χ 4 8χ Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις και να σημειώσετε τις λύσεις τους πάνω σε άξονα. α) 0 ( 4 χ) < ( χ-) 7 χ β) 0 > ( χ) χ γ) 0,(4 χ),(χ ) 0 δ) [ ( χ)-χ] -χ Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις και να σημειώσετε τις λύσεις τους πάνω σε άξονα. α) 7 4 ( 4) 0 8 β) γ) 8 4 > δ) 0 Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων και να τις σημειώσετε πάνω σε άξονα.: α) 7( ) < ( ) και ( 4) ( ) 4(, 0, ) 0 > 4 < και < και < 6 β) και γ) δ) 0.. α) Αν α, β ρητοί αριθμοί με α <β και αβ<0 τότε ισχύει: Α.: α, β θετικοί αριθμοί. Β.: α, β αρνητικοί αριθμοί. Γ.: α θετικός αριθμός και β αρνητικός αριθμός Δ.: α αρνητικός αριθμός και β θετικός αριθμός β) Να βρείτε τις ακέραιες τιμές του χ για τις οποίες ισχύει: (χ)(χ-)<0. α) Αν α, β ρητοί αριθμοί με αβ>0 τότε ισχύει:

14 Α.: α, β θετικοί αριθμοί. Β.: α, β αρνητικοί αριθμοί. Γ.: α, β αρνητικοί αριθμοί ή αρνητικοί αριθμοί Δ.: α αρνητικός αριθμός και β θετικός αριθμός β) Να βρείτε τον μικρότερο θετικό ακέραιο χ και τον μεγαλύτερο αρνητικό ακέραιο χ για τους οποίους ισχύει (χ)(χ-)>0.. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: α) (χ-)(χ)<0 β) χ -4χ>0 γ) χ χ 0 4

15 . ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΟΥ ΛΥΝΟΝΤΑΙ ΜΕ ΤΗΝ ΒΟΗΘΕΙΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Α. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Δύο αριθμοί έχουν άθροισμα 7. Η διαφορά του ενός από το πενταπλάσιο του άλλου είναι ίση με. α) Αν χ ο ένας αριθμός τότε ο άλλος θα είναι: Α.: 7 Β.: 7 χ Γ.: χ 7 Δ.: 7 χ β) Να βρείτε τους δύο αριθμούς.. Δύο αριθμοί έχουν πηλίκο 7. Το πενταπλάσιο του μικρότερου αριθμού είναι κατά 4 μονάδες μικρότερο από τον μεγαλύτερο αριθμό.. α) Αν χ ο μικρότερος αριθμός τότε ο άλλος θα είναι: 7 Α.: 7χ Β.: Γ.: Δ.: 7 χ 7 β) Να βρείτε τους δύο αριθμούς Το μισό της διαφοράς ενός αριθμού από το αυξημένο κατά το αυτού του αριθμού είναι ίσο με το 4 του αριθμού. 4. Υπολογίστε αυτόν τον αριθμό. Η διαφορά δύο φυσικών αριθμών είναι ίση με 0. Η ευκλείδεια διαίρεση του μεγαλύτερου με τον μικρότερο αφήνει πηλίκο 4 και υπόλοιπο ίσο με τα 4 του διαιρέτη. Αν χ ο μικρότερος αριθμός τότε α) ο άλλος θα είναι: Α.: 0χ Β.: 0 - χ Γ.: 0 χ Δ.: χ - 0 β) Το υπόλοιπο θα είναι: Α.: χ Β.: 0 - Γ.: χ Δ.: χ γ) Να βρείτε τους δύο αριθμούς..

16 Τρεις διαδοχικοί άρτιοι ακέραιοι έχουν άθροισμα ίσο με τα του αθροίσματος των περιττών που περιέχουν. Αν χ ο μεσαίος άρτιος α) Να εκφράσετε με την βοήθεια του χ τον α και τον γ άρτιο. β) Να εκφράσετε με την βοήθεια του χ τους περιττούς που περιέχουν οι άρτιοι. γ) Να γράψετε την εξίσωση που προκύπτει από τα δεδομένα. δ) Η εξίσωση έχει: Α.: μία μόνο λύση. Β.: έχει λύσεις όλους τους ρητούς αριθμούς. Γ.: έχει λύσεις όλους τους ακεραίους αριθμούς Δ.: είναι αδύνατη. Επιλέξτε την σωστή απάντηση 6. Τρεις διαδοχικοί περιττοί ακέραιοι έχουν άθροισμα ίσο με το τετραπλάσιο του α αυξημένο κατά. Αν χ ο μεσαίος περιττός τότε: α) Να εκφράσετε με την βοήθεια του χ τον α και τον γ περιττό. β) Να υπολογίσετε το χ. γ) Να βρείτε τους περιττούς α) «Τοποθετώντας» το μπροστά από έναν διψήφιο αριθμό προκύπτει ένας τριψήφιος αριθμός. Πόσο μεγαλύτερος είναι ο τριψήφιος αυτός από τον αρχικό διψήφιο; β) Να υπολογίσετε τον διψήφιο αριθμό που είναι τέτοιος ώστε: αν «τοποθετήσουμε» το μπροστά του προκύπτει ένας τριψήφιος πενταπλάσιός του. Αυξάνοντας τον αριθμητή του κλάσματος κατά χ και μειώνοντας, συγχρόνως, τον παρονομαστή του κατά χ προκύπτει ο αριθμός. Να υπολογίσετε τον αριθμό χ. Τρεις αριθμοί έχουν άθροισμα 0. Ο πρώτος είναι κατά μονάδες μικρότερος από τον δεύτερο, ο οποίος είναι κατά μονάδες μικρότερος από τον τρίτο. α) Αν χ ο δεύτερος τότε ο α και ο γ αντίστοιχα θα είναι : Α.: χ, χ Β.: χ, χ - Γ.: χ, χ 6 Δ.: χ, χ 6 β) Να βρείτε τους τρεις αριθμούς. 0. Δύο διαφορετικοί διψήφιοι ακέραιοι έχουν τα ίδια ψηφία τα οποία διαφέρουν κατά. Τα άθροισμά τους είναι ίσο με τον μεγαλύτερο διψήφιο αριθμό. Να υπολογίσετε τους δύο αριθμούς.. 6

17 Να βρείτε τον ακέραιο αριθμό για τον οποίο ισχύουν: Το τριπλάσιό του αυξημένο κατά είναι μεγαλύτερο από τον προηγούμενο ακέραιο. Το τριπλάσιό του αυξημένο κατά είναι μικρότερο από το διπλάσιο του επόμενου ακεραίου. Να βρείτε τον μεγαλύτερο ακέραιο αριθμό για τον οποίο γνωρίζουμε ότι το άθροισμά του με το μισό του δεν ξεπερνά το άθροισμα του αυτού του αριθμού με το,. α) Υπάρχουν άπειροι θετικοί αριθμοί που το τετράγωνό τους είναι μικρότερο από τον εαυτό τους. Μπορείτε να βρείτε κάποιον. β) Βρείτε όλους τους αριθμούς που ικανοποιούν τις προϋποθέσεις του α) και σημειώστε τους πάνω σε έναν άξονα. Να βρείτε τις ακέραιες τιμές που μπορεί να πάρει η μεταβλητή κ ώστε ο περιττός αριθμός κ να βρίσκεται μεταξύ του 4 και του 8. Η απόλυτη τιμή του αριθμού χ δεν ξεπερνάει το. α) Σημειώστε πάνω σε έναν άξονα την περιοχή που μπορεί να βρίσκεται ο αριθμός χ. β) Βρείτε τις τιμές που μπορεί να πάρει η μεταβλητή χ. Β. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ.. Οι διαστάσεις ενός ορθογωνίου διαφέρουν κατά cm, ενώ η περίμετρός του είναι 0 cm. Να υπολογίσετε το εμβαδό του. Γνωρίζουμε ότι το άθροισμα των μέτρων των γωνιών ενός τριγώνου είναι ίσο με Να υπολογίσετε τα μέτρα των γωνιών ενός τριγώνου, αν αυτά είναι διαδοχικά ακέραια πολλαπλάσια του 0.. Να υπολογίσετε τα μέτρα των γωνιών ενός τριγώνου, αν δύο από αυτά είναι ίσα, (το καθένα), με το του μέτρου της τρίτης γωνίας του τριγώνου. 4. Κόβουμε ένα σύρμα μήκους cm και φτιάχνουμε ένα τετράγωνο και ένα ισόπλευρο τρίγωνο. Αν η πλευρά του ισοπλεύρου τριγώνου είναι κατά cm μεγαλύτερη από την πλευρά του τετραγώνου να υπολογίσετε το εμβαδόν του τετραγώνου και την περίμετρο του τριγώνου.. 7

18 Θέλουμε να κόψουμε μια ξύλινη δοκό μήκους 6 m σε κομμάτια ώστε ο λόγος του α προς το β να είναι ίσος με το λόγο του γ προς το μήκος της δοκού. Αν το β κομμάτι είναι m και το α κομμάτι χ m τότε: α) Να γράψετε το μήκος του γ κομματιού με τη βοήθεια της μεταβλητής χ. β) Να υπολογίσετε το μήκος των κομματιών α και γ Α Β Γ Δ Ε Στο παραπάνω σχήμα ισχύουν τα παρακάτω: ΑΓ = cm. ΒΕ = 9 cm. ΔΕ = cm. AB ΓΔ = ΒΓ. Αν το μήκος του ΒΓ είναι χ cm α) Να εκφράσετε τα μήκη των ΑΒ και ΓΔ σε σχέση με το χ. β) Να υπολογίσετε την τιμή του χ. Να υπολογίσετε την περίμετρο ενός ορθογωνίου με διαστάσεις δύο διαδοχικούς ακεραίους αριθμούς, αν γνωρίζουμε ότι αυτή δεν ξεπερνάει τα cm. Γ. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΗΛΙΚΙΑΣ Η ηλικία που θα έχει ο Κώστας μετά από χρόνια θα είναι διπλάσια της σημερινής ηλικίας του Δημήτρη που είναι μικρότερος από τον Κώστα κατά 4 χρόνια. Να υπολογίσετε την σημερινή ηλικία του Κώστα. Το έτος 000 ρωτήθηκα από κάποιον μαθητή για το πόσων χρονών είμαι. Του απάντησα: «Πριν από 4 χρόνια η ηλικία μου ήταν τετραπλάσια της ηλικίας που είχα πριν από 8 χρόνια». Μπορείτε να βρείτε πόσων χρονών είμαι σήμερα; Η ηλικία της Μαρίας είναι 9 χρονών και του πατέρα της χρονών. Μετά από πόσα χρόνια η ηλικία του πατέρα της Μαρίας θα είναι τριπλάσια της Μαρίας; Τρία αδέρφια έχουν άθροισμα ηλικιών χρόνια. Ο μεγαλύτερος είναι διπλάσιος από τον μικρότερο, ο οποίος είναι τρία χρόνια μικρότερος από τον δεύτερο. α) Αν χ η ηλικία του δεύτερου να βρείτε σε σχέση με το χ την ηλικία του πρώτου και του τρίτου. β) Υπολογίστε τις ηλικίες των τριών παιδιών. 8

19 Αν ο Μέγας Αλέξανδρος πέθαινε 9 χρόνια νωρίτερα, τότε ο χρόνος της βασιλείας του θα ήταν ίσος με το 8 του χρόνου της ζωής του. Αν όμως πέθαινε 9 χρόνια αργότερα και εξακολουθούσε να βασιλεύει, τότε ο χρόνος της βασιλείας του θα ήταν ίσος με το του χρόνου της ζωής του. Έστω χ τα χρόνια που έζησε ο Μέγας Αλέξανδρος και ψ τα χρόνια που βασίλεψε. α) Δύο από τις επόμενες εξισώσεις μας δίνουν τα χρόνια της βασιλείας του Μέγα Αλέξανδρου. Ποιες είναι αυτές; Α.: ψ = χ 9 Β.: ψ = ( χ 9) 9 Γ.: ψ = ( χ 9) 9 Δ.: ψ = χ β) Να βρεθεί πόσα χρόνια έζησε ο Μέγας Αλέξανδρος και πόσα βασίλεψε 6... Το διπλάσιο της ηλικίας της Θάλειας μειωμένο κατά χρόνια είναι μεγαλύτερο από την ηλικία που θα έχει σε 9 χρόνια και μικρότερο από την ηλικία της σε χρόνια. Βρείτε την ηλικία της Θάλειας. (Ακέραιος αριθμός) Δ. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Ένα αυτοκίνητο διανύει μια απόσταση χ Km σε h. Αν αυξήσει την μέση ταχύτητά του κατά 0 Km/h θα διανύσει την ίδια απόσταση σε h και 4min. Υπολογίστε την απόσταση που διανύει το αυτοκίνητο καθώς και την μέση ταχύτητα που έχει όταν χρειάζεται χρόνο h για να την διανύσει. Σε μια δεξαμενή χωρητικότητας α m υπάρχουν δύο βρύσες. Η μία γεμίζει την δεξαμενή σε 0 ώρες, όταν η δεύτερη βρύση είναι κλειστή και η δεξαμενή άδεια.. Η δεύτερη βρύση αδειάζει την δεξαμενή σε ώρες, όταν η πρώτη βρύση είναι κλειστή και η δεξαμενή γεμάτη. α) Με πόση ταχύτητα γεμίζει η πρώτη βρύση την δεξαμενή, όταν η δεύτερη βρύση είναι κλειστή; β) Με πόση ταχύτητα αδειάζει η δεύτερη βρύση την δεξαμενή, όταν η πρώτη βρύση είναι κλειστή; γ) Αν οι βρύσες είναι και οι δύο ανοιχτές και η δεξαμενή άδεια τότε: Α.: Η δεξαμενή θα γεμίσει Β.: Η δεξαμενή δεν μπορεί να γεμίσει. Επιλέξτε την σωστή απάντηση και αιτιολογήστε τη. δ) Αν στο γ) ερώτημα επιλέξατε το Α τότε να υπολογίσετε το χρόνο που θα χρειαστεί να γεμίσει η δεξαμενή, αν ισχύουν οι προϋποθέσεις του γ) ερωτήματος.. Ο δρόμος που συνδέει δύο χωριά Α και Β έχει μόνο ανηφόρες και κατηφόρες. 9

20 4.. Η διαδρομή από το χωριό Α προς το χωριό Β έχει Km περισσότερη ανηφόρα από ότι κατηφόρα. Αν α είναι τα χιλιόμετρα της ανηφόρας, στην διαδρομή Α προς Β, τότε: α) Πόσα θα είναι τα χιλιόμετρα της κατηφόρας στην διαδρομή Α προς Β; β) Πόσα θα είναι τα χιλιόμετρα της κατηφόρας και της ανηφόρας στην διαδρομή Β προς Α; γ) Κάποιος βαδίζει με Km/h στην κατηφόρα και με Km/h στην ανηφόρα. Σε ποια διαδρομή θα κάνει τον λιγότερο χρόνο; Αν ο χρόνος,που θα κάνει στη διαδρομή Α προς Β είναι h πόσο χρόνο θα κάνει στη διαδρομή Β προς Α; Δύο υλικά α και β περιέχουν 0% και 0% αντίστοιχα ένα στοιχείο Α. Θέλουμε να φτιάξουμε ένα μίγμα από τα δύο υλικά βάρους 0g, το οποίο να περιέχει % του στοιχείου Α. Να υπολογίσετε πόσα g από το υλικό α πρέπει να χρησιμοποιήσουμε και πόσα g από το υλικό β. Ένας ποδηλάτης με ταχύτητα π Km/h και κάποιος με αυτοκίνητο και με ταχύτητα α Km/h διανύουν μια απόσταση ΑΒ = 0 Km, με την ίδια κατεύθυνση από Α προς Β. Ο ποδηλάτης ξεκίνησε μία ώρα νωρίτερα από το αυτοκίνητο, από το Α, και έφτασε μαζί με το αυτοκίνητο στο Β. α) Την στιγμή που το αυτοκίνητο ξεκίνησε από το Α, πόση απόσταση έπρεπε να διανύσει ακόμα ο ποδηλάτης για να φτάσει στο Β; Α.: π Km Β.: π 0 Km. Γ.: 0 - π Km. Δ.: 0 Km. (Επιλέξτε την σωστή απάντηση) β) Να υπολογίσετε σε συνάρτηση με τις μεταβλητές π και α το χρόνο που χρειάστηκε ο ποδηλάτης για να διανύσει την απόσταση καθώς και το χρόνο που χρειάστηκε το αυτοκίνητο. γ) Να δείξετε ότι η σχέση που συνδέει την ταχύτητα του ποδηλάτη με την ταχύτητα του 0α αυτοκινήτου δίνεται από τον τύπο: π = 0 α δ) Αν η ταχύτητα του αυτοκινήτου ήταν 60 Km/h πόσο ήταν η ταχύτητα του ποδηλάτη; 6. Ένα τραίνο κινείται με ταχύτητα 60 Km/h. Δίπλα στις σιδηροτροχιές και σε ίσα διαστήματα, μήκους χ Km, υπάρχουν φωτεινοί σηματοδότες. Κάποιος επιβάτης του τραίνου κινείται πάνω σ αυτό με ταχύτητα Km/h και μετράει τον χρόνο που χρειάζεται να περάσει μεταξύ δύο διαδοχικών σηματοδοτών. Παρατηρεί ότι όταν κινείται προς την κατεύθυνση που κινείται και το τραίνο, ο χρόνος αυτός, είναι μικρότερος από το χρόνο που θα χρειαστεί κινούμενος αντίθετα, κατά 6 δευτερόλεπτα. α) Πόσο μήκος έχει το διάστημα μεταξύ δύο διαδοχικών σηματοδοτών; β) Να υπολογίσετε το μήκος του τραίνου αν γνωρίζετε ότι ο χρόνος που χρειάζεται από τη στιγμή που η αρχή του τραίνου συναντάει κάποιον φωτεινό σηματοδότη μέχρι τη στιγμή που το τέλος του τραίνου συναντάει τον επόμενο φωτεινό σηματοδότη είναι 0,06 h. 7. Γνωρίζουμε ότι η Γη κάνει μια περιστροφή γύρω από τον εαυτό της σε 4 ώρες. 0

21 Η Σελήνη περιστρέφεται γύρω από τη Γη σε 0, περίπου, ημέρες, με κατεύθυνση περιστροφής την ίδια μ αυτή της Γης. Κάποιος παρατηρητής στις 0:00 μ.μ., κάποια ημέρα, βλέπει την Σελήνη να ανατέλλει. Από το ίδιο σημείο που βρίσκεται ο παρατηρητής τι ώρα περίπου θα περιμένει την ανατολή της Σελήνης την επόμενη ημέρα;... Ε. ΔΙΑΦΟΡΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Δύο ποδηλάτες αναχωρούν ταυτόχρονα από το σημείο Α ενός δρόμου με την ίδια σταθερή ταχύτητα. Ένα αυτοκίνητο που κινείται στο δρόμο με σταθερή ταχύτητα συναντάει τους δύο ποδηλάτες στα σημεία Β και Γ του δρόμου. Αν η απόσταση του Β από το Γ είναι τριπλάσια της απόστασης του Α από το Β να βρείτε πόσες φορές πιο γρήγορα κινείται το αυτοκίνητο από τους ποδηλάτες. Ένα τεστ 0 ερωτήσεων πρέπει να απαντηθεί σε 0 λεπτά και βαθμολογείται με τον εξής τρόπο: Αν ο εξεταζόμενος παραδώσει το τεστ σε 0 λεπτά τότε, κάθε σωστή απάντηση πολλαπλασιάζεται με 4 και κάθε λάθος ή μη απαντημένη ερώτηση με. Στο άθροισμα αυτών των γινομένων προσθέτουμε το 0 και προκύπτει η βαθμολογία του. Αν ο εξεταζόμενος παραδώσει το τεστ σε λεπτά τότε, κάθε σωστή απάντηση πολλαπλασιάζεται με και κάθε λάθος ή μη απαντημένη ερώτηση με 4. Στο άθροισμα αυτών των γινομένων προσθέτουμε το 0 και προκύπτει η βαθμολογία του. α) Δύο εξεταζόμενοι απάντησαν λάθος σε ίσο αριθμό ερωτήσεων και πήραν τον ίδιο βαθμό. Ο πρώτος όμως, παρέδωσε το τεστ στα λεπτά και ο δεύτερος στα 0 λεπτά. Πόσες ερωτήσεις απάντησαν λάθος οι δύο εξεταζόμενοι; β) Να δικαιολογήσετε γιατί κάποιος που απαντάει λάθος σε λιγότερες από ερωτήσεις και παραδίδει το τεστ στα λεπτά θα πάρει μεγαλύτερο βαθμό από κάποιον που κάνει τα ίδια λάθη αλλά παραδίδει το τεστ στα 0 λεπτά. Ένας διαγωνισμός έγινε σε τρία μέρη α, β, και γ. Κάθε διαγωνιζόμενος που δεν αποκλείεται στο α μέρος συμμετέχει στο β. Κάθε διαγωνιζόμενος που δεν αποκλείεται στο β μέρος συμμετέχει στο γ. Κάθε διαγωνιζόμενος που δεν αποκλείεται στο γ μέρος θεωρείτε ότι τελειώνει επιτυχώς τον διαγωνισμό. Με κριτήριο την βαθμολογία που έλαβαν, από κάθε μέρος του διαγωνισμού αποκλείονται τα / αυτών που συμμετείχαν σ αυτό το μέρος και ακόμη άτομα. Αυτοί που κατάφεραν να τελειώσουν επιτυχώς τον διαγωνισμό ήταν 6 άτομα. α) Υπολογίστε πόσοι συμμετείχαν στο γ μέρος του διαγωνισμού. β) Υπολογίστε πόσοι συμμετείχαν στο α μέρος του διαγωνισμού. 4.

22 (Από τον μαθητικό διαγωνισμό Θαλής της Ε.Μ.Ε., για την Α Λυκείου ). 6. Σε μια τάξη διοργανώθηκε πρωτάθλημα σκακιού. Την πρώτη ημέρα έγιναν μόνο κάποιοι αγώνες στους οποίους οι δύο αντίπαλοι ήταν ένα αγόρι και ένα κορίτσι. Στους αγώνες αυτούς της πρώτης ημέρας πήραν μέρος τα /4 του αριθμού των αγοριών της τάξης και τα / του αριθμού των κοριτσιών της τάξης. Αν η τάξη έχει συνολικά 4 παιδιά να βρείτε: α) Πόσα αγόρια και πόσα κορίτσια έχει η τάξη. β) Πόσα παιδιά δεν πήραν μέρος την πρώτη ημέρα στους αγώνες. (Από τον μαθητικό διαγωνισμό Θαλής της Ε.Μ.Ε., για την Β Γυμνασίου ) Ένα δοχείο, όταν είναι κατά 0% άδειο, περιέχει 0 λίτρα περισσότερο από την περίπτωση που θα ήταν κατά 0% γεμάτο. Πόσα λίτρα περιέχει το δοχείο όταν είναι πλήρες. (Από τον μαθητικό διαγωνισμό Θαλής της Ε.Μ.Ε., για την Β Γυμνασίου ) Ο θετικός ακέραιος χ είναι άρτιος και όταν διαιρείται με το 7 δίνει υπόλοιπο. Να βρεθεί ο αριθμός χ, αν είναι μεταξύ των αριθμών και. 7. (Από τον μαθητικό διαγωνισμό Αρχιμήδης της Ε.Μ.Ε., για τους Μικρούς ) Σε προηγούμενη Μαθηματική Ολυμπιάδα για ένα από τα προβλήματα που τέθηκαν, στο οποίο η μέγιστη βαθμολογία ήταν, είχαμε τα παρακάτω αποτελέσματα: Ο μέσος όρος των βαθμών των αγοριών ήταν 4, ο μέσος όρος των βαθμών των κοριτσιών ήταν, και ο μέσος όρος του συνόλου των μαθητών ήταν,6. Να βρείτε πόσα αγόρια και πόσα κορίτσια πήραν μέρος, αν ο αριθμός των μαθητών ήταν μεταξύ 0 και 0.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΜΕΓΕΘΩΝ 2.1 Παράσταση αριθμών με σημεία μιας ευθείας.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΜΕΓΕΘΩΝ 2.1 Παράσταση αριθμών με σημεία μιας ευθείας. 1. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΜΕΓΕΘΩΝ 2.1 Παράσταση αριθμών με σημεία μιας ευθείας. α) Στην παραπάνω εικόνα οι χρωματιστοί δείκτες μας δείχνουν κάποιους αριθμούς. Συμπληρώστε τον παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=..

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=.. Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = 1 : ψ =..=.. = o Για χ = -1 : ψ =..=.. = o Για χ = 0 : ψ =..=.. = o Για χ = 2 :

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού 97 98 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθμό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί Πρόλογος Το βιβλίο αυτό περιέχει όλη την ύλη των Μαθηματικών της Β Γυμνασίου, χωρισμένη σε ενότητες, όπως ακριβώς στο σχολικό βιβλίο. Κάθε ενότητα περιλαμβάνει: Τη θεωρία Λυμένες ασκήσεις Χρήσιμες παρατηρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΟΥ ΛΥΝΟΝΤΑΙ ΜΕ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΟΥ ΛΥΝΟΝΤΑΙ ΜΕ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΟΥ ΛΥΝΟΝΤΑΙ ΜΕ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1. Η συνδρομή για την συμμετοχή στον όμιλο κολύμβησης είναι 15 τον μήνα και 5 για κάθε φορά που χρησιμοποιούμε την πισίνα. Αν τον προηγούμενο μήνα πληρώσαμε 75, πόσες

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί Πρόλογος Το βιβλίο αυτό περιέχει όλη την ύλη των Μαθηματικών της Β Γυμνασίου, χωρισμένη σε ενότητες, όπως ακριβώς στο σχολικό βιβλίο. Κάθε ενότητα περιλαμβάνει: Τη θεωρία Λυμένες ασκήσεις Χρήσιμες παρατηρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 ο. Εξισώσεις-Ανισώσεις.

Κεφάλαιο 1 ο. Εξισώσεις-Ανισώσεις. Μαθηματικά B Γυμνασίου Κεφάλαιο 1 ο. Εξισώσεις-Ανισώσεις. Μέρος Α.- Θεωρία. 1. Τι λέμε αλγεβρική και τι αριθμητική παράσταση; 2. Τι λέμε αναγωγή ομοίων όρων; 3. Τι λέμε εξίσωση α βαθμού; 4. Τι λέμε πρώτο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

2. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

2. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΡΟΣ Α.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 193. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Με την βοήθεια των εξισώσεων δευτέρου βαθμού λύνουμε πολλά προβλήματα της καθημερινής ζωής και διαφόρων επιστημών.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κ. Τζιρώνης, Θ. Τζουβάρας ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συµπλήρωµα στις λύσεις των ασκήσεων του βιβλίου Περιλαµβάνει λύσεις ή υποδείξεις για ασκήσεις του βιβλίου που αφορούν κυρίως προβλήµατα των οποίων η επίλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΆΛΓΕΒΡΑ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΆΛΓΕΒΡΑ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΆΛΓΕΒΡΑ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 5 x - 3 + 10 2-5x + 10x= - 15 + 10x i. ( ) ( ) ( ) ii. 9( 8-x) -10( 9-x) -4( x - 1)

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

Ε - ΣΤ Δημοτικού 13 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2012

Ε - ΣΤ Δημοτικού 13 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2012 1. Πόσες ώρες έχουν περάσει από τις 6:45 πμ μέχρι τις 11:45 μμ της ίδιας μέρας; Α. 5 Β. 17 Γ. 24 Δ. 29 Ε. 41 1 1 2. Αν το χ είναι μεταξύ 1 και 1 +, τότε το χ μπορεί να είναι ίσο με τον κάθε 5 5 αριθμό

Διαβάστε περισσότερα

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 1. Δυο μαθητές Α και Β παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι: Τους δίνεται ένα κανονικό πολύγωνο με άρτιο πλήθος πλευρών, μεγαλύτερο από 6 (π.χ. ένα 100-γωνο). Κάθε παίκτης συνδέει δυο

Διαβάστε περισσότερα

2. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 και του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες, όταν αντιστραφούν τα ψηφία τους; Γ. Αν, Δ. Αν, τότε. τότε.

2. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 και του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες, όταν αντιστραφούν τα ψηφία τους; Γ. Αν, Δ. Αν, τότε. τότε. 11η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα πρίλιος 010 Χρόνος: 60 λεπτά ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Το τελευταίο ψηφίο του αριθμού 1 3 5 Ε 9 7. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες όταν αντιστραφούν

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Μέθοδοι επίλυσης γραμμικού συστήματος χ Γραφική επίλυση Σχεδιάζουμε τις ευθείες που αντιπροσωπεύουν οι εξισώσεις του συστήματος. Αν: - οι δύο ευθείες τέμνονται, τότε το σύστημα έχει

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 3. Δίνεται ο πίνακας: 3 3 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ ο. Ένα κουτί περιέχει άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 5, οι μαύρες είναι 9, ενώ οι κόκκινες και οι πράσινες μαζί είναι 6. Επιλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

Α. 27 Β. 29 Γ. 45 Δ. 105 Ε. 127

Α. 27 Β. 29 Γ. 45 Δ. 105 Ε. 127 Α - Β Γυμνασίου η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 0. Αν = M = 60, η τιμή του M + N είναι: 5 45 N Α. Β. 9 Γ. 45 Δ. 05 Ε.. Ένα τετράγωνο και ένα τρίγωνο έχουν ίσες περιμέτρους. Το μήκος των τριών

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση:

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Ερωτήσεις συµπλήρωσης 1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: Φυσική γλώσσα Μαθηµατική γλώσσα ύο αριθµοί x, y διαφέρουν κατά και έχουν γινόµενο x (x

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ ο GI_V_ALG 16950 1.1 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β)

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Επανάληψης: Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Ασκήσεις Επανάληψης: Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Σχολική Χρονιά: 015-016 Ασκήσεις Επανάληψης για την B Γυμνασίου Ενότητα 1: Πραγματικοί Αριθμοί Πυθαγόρειο Θεώρημα 1. Να γράψετε σε μορφή δύναμης τα πιο κάτω: 1) ².³ = ) (³) 5 = 3) 5 : 8 = 4) ( 5. 7 ) :

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ 6 1) Να εκφράσετε τον αριθμό 48 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων με δενδροδιάγραμμα. 2) Να συγκρίνετε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ

4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 1 4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Εξίσωση µε έναν άγνωστο: Ονοµάζουµε µία ισότητα η οποία περιέχει αριθµούς και ένα γράµµα που είναι ο άγνωστος της εξίσωσης.. Λύση ή ρίζα της εξίσωσης : Είναι ο αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός 014 ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παρόν φυλλάδιο είναι ένα τμήμα μιας προσωπικής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΚΥΚΛΟΥ Τ.Ε.Ε - ΟΜΑΔΑ Α ΕΠΑ.Λ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΚΥΚΛΟΥ Τ.Ε.Ε - ΟΜΑΔΑ Α ΕΠΑ.Λ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΚΥΚΛΟΥ Τ.Ε.Ε ΟΜΑΔΑ Α ΕΠΑ.Λ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού ΑΣΚΗΣΗ Το βάρος μαθητών σε κιλά είναι : 5, 5, 57, 5, 6, 5, 5, 5, 57, 5 Να υπολογίσετε : α ) τη μέση τιμή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ A ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ

ΜΕΡΟΣ A ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Sample 2 ΜΕΡΟΣ A ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Σε αυτό το μέρος υπάρχουν 15 ερωτήσεις. Να απαντήσετε ΟΛΕΣ τις ερωτήσεις. Σε κάθε ερώτηση η σωστή απάντηση είναι ΜΟΝΟ ΜΙΑ. Να βάλετε σε ΚΥΚΛΟ τη σωστή απάντηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 4 ο (2) -2- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Φ: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ 0-0 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α - ΘΕΩΡΙΑ - ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ - ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ - ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΘΕΜΑ Β - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Όταν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις αx+βy=γ και α x+β y=γ και ζητάμε τις κοινές λύσεις τους, τότε λέμε ότι έχουμε να λύσουμε ένα γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

1.4 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 1.4 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΣΧΟΛΙΟ Για τη λύση του προβλήµατος : ιαβάζουµε µε µεγάλη προσοχή το πρόβληµα Ξεχωρίζουµε τα δεδοµένα από τα ζητούµενα Συµβολίζουµε τον άγνωστο µε µία µεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΕΙΣ ( 1 ) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις Α = 3 + 23 + 19 Β = 8 +13 +45-7 Γ = 3 + 0 Α = 3+23 +19 =

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Γ Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

β. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του ερωτήματος α).

β. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του ερωτήματος α). 1.: Έννοια της Πιθανότητας Κεφάλαιο 1ο: Πιθανότητες ΑΣΚΗΣΗ 1 (_497) Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται με ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι συμμετέχουν 3 άντρες: ο Δημήτρης (Δ), ο Κώστας (Κ), ο

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α - Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1 Εξισώσεις & Ανισώσεις

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α - Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1 Εξισώσεις & Ανισώσεις Α Λ Γ Ε Β Ρ Α - Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο Εξισώσεις & Ανισώσεις Η συλλογή των ασκήσεων προέρχεται από μια ποικιλία πηγών, σημαντικότερες από τις οποίες είναι το Mathematica.gr, παλιότερα σχολικά βιβλία του ΟΕΔΒ

Διαβάστε περισσότερα

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος.

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Ενότητα 2 Γραμμικά Συστήματα Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Να ερμηνεύουμε γραφικά τη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το 5/2 1 Παράδειγμα 2: Γράψε ένα κλάσμα που χρησιμοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική: Ασκήσεις. Β Γυμνασίου. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Φυσική: Ασκήσεις. Β Γυμνασίου. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 0 Β Γυμνασίου Φυσική: Ασκήσεις Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 0 1 Ασκήσεις στο 1 ο Κεφάλαιο Ασκήσεις με κενά 1. Να συμπληρώσεις τα κενά στις παρακάτω προτάσεις:

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 16950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό.

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Η ταχύτητα (υ), είναι το πηλίκο της μετατόπισης (Δx)

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 2. ** Να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεμιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: α) f (x) = 2 +

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 2. ** Να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεμιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: α) f (x) = 2 + Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Έστω η συνάρτηση f () = - 3 +. α) Να βρείτε τις τιμές f (), f (0), f (-3), f () β) Να βρείτε τα σημεία τομής της C f με τους άξονες γ) Να βρείτε τις τιμές f (t), f (t), f ( + h),,

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο.

ΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. (Μονάδες 10) β) Να παραστήσετε γραφικά στο επίπεδο τις δυο εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Β Α Λ Α Τ Σ Ο Σ. 4ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΛΑΜΙΑΣ 1. Γιώργος Βαλατσός Φυσικός Msc

Γ. Β Α Λ Α Τ Σ Ο Σ. 4ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΛΑΜΙΑΣ 1. Γιώργος Βαλατσός Φυσικός Msc 4ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΛΑΜΙΑΣ 1 1. Πότε τα σώματα θεωρούνται υλικά σημεία; Αναφέρεται παραδείγματα. Στη φυσική πολλές φορές είναι απαραίτητο να μελετήσουμε τα σώματα χωρίς να λάβουμε υπόψη τις διαστάσεις τους. Αυτό

Διαβάστε περισσότερα

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της.

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της. ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Α.1.2 1. Οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών αριθμών είναι οι εξής : Αντιμεταθετική ιδιότητα π.χ. α+β=β+α Προσετεριστική ιδιότητα π.χ. α+β+γ=(α+β)+γ=α+(β+γ) 2.Η πραξη της αφαίρεσης

Διαβάστε περισσότερα

Τεύχος 6. Περιοδική έκδοση για τα Μαθηματικά Γυμνασίου https://mathsgymnasio.wordpress.com/ Περιεχόμενα

Τεύχος 6. Περιοδική έκδοση για τα Μαθηματικά Γυμνασίου https://mathsgymnasio.wordpress.com/ Περιεχόμενα Περιοδική έκδοση για τα Μαθηματικά Γυμνασίου https://mathsgymnasio.wordpress.com/ Τεύχος 6 Περιεχόμενα Σελίδα 5: Σελίδα 17: Α Γυμνασίου, Μέρος Α, Κεφάλαιο 7, Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί, Α.7.8. Δυνάμεις

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

4.2 4.3 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ

4.2 4.3 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ 1 4. 4.3 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πρόβληµα : Ονοµάζουµε την κατάσταση που δηµιουργείται όταν αντι- µετωπίζουµε εµπόδια και δυσκολίες στην προσπάθεια µας να φτάσουµε σε έναν συγκεκριµένο στόχο.. Επίλυση

Διαβάστε περισσότερα

6. Πόσα πολλαπλάσια του αριθμού 9 υπάρχουν μεταξύ των αριθμών και 22550;

6. Πόσα πολλαπλάσια του αριθμού 9 υπάρχουν μεταξύ των αριθμών και 22550; 100 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΥΙΖ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΜΙΚΡΟΥΣ ΚΑΙ ΜΕΓΑΛΟΥΣ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΤΑΞΕΩΝ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΑΙ ΦΑΝΤΑΣΙΑ (ΕΧΟΥΝ ΗΔΗ ΑΝΑΡΤΗΘΕΙ ΑΛΛΕΣ 2 ΦΟΡΕΣ ΠΑΡΟΜΟΙΟΙ ΓΡΙΦΟΙ ΣΤΗΝ ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΑ ΤΟΥ ΣΧΟΛΕΙΟΥ ΜΑΣ)

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος

Διαβάστε περισσότερα

2 α1 = 0, αν+1 = 2. Να βρείτε τον αναδρομικό τύπο των ακολουθιών : α. αν = 2ν 3 β. βν = 5 3 ν γ. γν = 1 + 2 ν

2 α1 = 0, αν+1 = 2. Να βρείτε τον αναδρομικό τύπο των ακολουθιών : α. αν = 2ν 3 β. βν = 5 3 ν γ. γν = 1 + 2 ν 1. Να βρείτε τους τέσσερις πρώτους όρους των παρακάτω ακολουθιών και να παραστήσετε σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων τα αντίστοιχα σημεία. α. αν = 4ν + 3 β. αν = 2 + ( 1) ν γ. 1 1 1 1 αν = + + +... + 1 2 2

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΏΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 16-10- 2011. 1) α) Μονάδα μέτρησης ταχύτητας στο Διεθνές Σύστημα μονάδων (S.I.) είναι το 1Km/h.

ΔΙΑΓΏΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 16-10- 2011. 1) α) Μονάδα μέτρησης ταχύτητας στο Διεθνές Σύστημα μονάδων (S.I.) είναι το 1Km/h. ΔΙΑΓΏΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 16- - 2011 ΘΕΜΑ 1 0 Για τις ερωτήσεις 1-5, αρκεί να γράψετε στο φύλλο απαντήσεων τον αριθμό της ερώτησης και δεξιά από αυτόν, το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤ ΤΑΞΗΣ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ. Σάββατο, 8 Ιουνίου 2013

ΣΤ ΤΑΞΗΣ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ. Σάββατο, 8 Ιουνίου 2013 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Διεύθυνση: Προξένου Κορομηλά 51 Τ.Κ. 54622, Θεσσαλονίκη Τηλέφωνο και Fax 2310 285377 e-mail: emethes@otenet.gr http://www.emethes.gr ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Α) 4 Β) 5 Γ) 7 Δ) 6 Ε) Κανένα από τα πιο πάνω.

Α) 4 Β) 5 Γ) 7 Δ) 6 Ε) Κανένα από τα πιο πάνω. η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 200 Χρόνος: 60 λεπτά ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΑΣΚΗΣΗ Ο πενταψήφιος αριθμός 45Β7Α, στον οποίο τα ψηφία των μονάδων και των εκατοντάδων είναι σημειωμένα με Α και Β, διαιρείται

Διαβάστε περισσότερα

Α σ κήσεις για τ ι ς μέρες των Χριστ ουγεννι άτ ι κ ων διακ οπών

Α σ κήσεις για τ ι ς μέρες των Χριστ ουγεννι άτ ι κ ων διακ οπών Μαθηματικά Β Γυμνασίου Α σ κήσεις για τ ι ς μέρες των Χριστ ουγεννι άτ ι κ ων διακ οπών 1. Να χρησιμοποιήσετε μεταβλητές για να εκφράσετε με μια αλγεβρική παράσταση τις παρακάτω φράσεις: a. Η διαφορά δυο

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Β' Γυμν. - Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Άσκηση 1 Απλοποίησε τις αλγεβρικές παραστάσεις (α) 2y 2z 8ω 8ω 2y 2z (β) 1x 2y 3z 3 3 z 2z z 2 x y Επαναληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρα - Γεωμετρία Άσκηση 2 Υπολόγισε την

Διαβάστε περισσότερα

Γιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Μαθηματικά. Γυμνασίου

Γιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Μαθηματικά. Γυμνασίου Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Μαθηματικά B Γυμνασίου Μαθηματικά A Γυμνασίου Περιεχόμενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Φυσικοί & Δεκαδικοί Αριθμοί Η θεωρία με Ερωτήσεις Ασκήσεις & Προβλήματα ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Β' Γυμνασίου - Ασκήσεις επανάληψης στην Άλγεβρα Σελίδα x 1 2x 7 x 8 4

Μαθηματικά Β' Γυμνασίου - Ασκήσεις επανάληψης στην Άλγεβρα Σελίδα x 1 2x 7 x 8 4 Μαθηματικά Β' Γυμνασίου - Ασκήσεις επανάληψης στην Άλγεβρα Σελίδα 1 1) Na λυθούν οι εξισώσεις : α) 2 3x 1 x 8 x 1 (απ.: x = -2) β) γ) 2x 7 x 1 (απ.: x = -12) 4 3 4 5 x 2 x 4 2 x (απ.: x = 1) 4 5 δ) x 1

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/ Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή Δύο ποσά λέγονται αντιστρόφως ανάλογα, όταν η τιμή του ενός πολλαπλασιαστεί επί έναν αριθµό, τότε η τιµή του

Διαβάστε περισσότερα

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 2 ο : Ο ι Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ί Α ρ ι θ μ ο ί. 2.1 Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους. 2.2 Διάταξη Πραγματικών Αριθμών

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 2 ο : Ο ι Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ί Α ρ ι θ μ ο ί. 2.1 Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους. 2.2 Διάταξη Πραγματικών Αριθμών Άλγεβρα Α Λυκείου, Κεφάλαιο ο ΘΕΩΡΙΑ-ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ο : Ο ι Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ί Α ρ ι θ μ ο ί. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημερομηνία: 20/12/08 Ώρα εξέτασης: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα.κάθε θέμα βαθμολογείται με 10 μονάδες. 2. Να γράφετε με

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά, είναι τα 4, 0 και 0.

2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά, είναι τα 4, 0 και 0. Ευκλείδης Γ' Γυμνασίου 1995-1996 1. Να γίνει γινόμενο η παράσταση Α= ν 2 3ν 1 2 1. 2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗΣ. = t. (1) 2 επειδή Δx 1 = Δx 2 = Δ xoλ / 2 Επειδή Δx 1 = u 1 t 1, από την

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗΣ. = t. (1) 2 επειδή Δx 1 = Δx 2 = Δ xoλ / 2 Επειδή Δx 1 = u 1 t 1, από την 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗΣ 1) Δίνεται η διπλανή γραφική παράσταση της ταχύτητας με το χρόνο. Να γίνει το διάγραμμα (θέσης χρόνου ), αν όταν o= είναι o =. Υπόδειξη Βρείτε τα εμβαδά μεταξύ της γραφικής παράστασης

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Αριθμός Επίθετο Όνομα Όνομα πατέρα THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 0-0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (Αυτό το γραπτό αποτελείται από 0 σελίδες, συμπεριλαμβανομένης της σελίδας αυτής). THE G

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλα Αξιολόγησης Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Φύλλα Αξιολόγησης Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Φύλλα Αξιολόγησης Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Χρήστος Π. Μουρατίδης 2014 2015 Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Αγίων Αναργύρων Τάξη Β 2 ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ A ΕΝΟΤΗΤΑ : Πράξεις Ρητών αριθμών 1. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Σχολική Χρονιά: Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Σχολική Χρονιά: Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ενότητα 1: Σύνολα 1. Με τη βοήθεια του πιο κάτω διαγράμματος να γράψετε με αναγραφή τα σύνολα: Ω A 5. 1. B Ω =. 6. 4. 3. 7. 8.. Από το διπλανό διάγραμμα, να γράψετε με αναγραφή τα σύνολα: 3. Δίνεται το

Διαβάστε περισσότερα

Το βιβλίο αυτό είναι γραμμένο με βάση την αναμορφωμένη έκδοση του σχολικού

Το βιβλίο αυτό είναι γραμμένο με βάση την αναμορφωμένη έκδοση του σχολικού www.ziti.gr Πρόλογος Το βιβλίο αυτό είναι γραμμένο με βάση την αναμορφωμένη έκδοση του σχολικού βιβλίου Άλγεβρας της Αʹ τάξης του Γενικού Λυκείου, που θα διδάσκεται από το σχολικό έτος 00-0. Είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Ασκήσεις εμπέδωσης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ.Να λυθούν οι εξισώσεις: i) + = + 4-9 = + 7 6- = 9- iv) 4- = - v) ( + 4)-(-) = + vi) 4 - (7 + ) = v (+)-4 = ( + ) v 7[(y-)-(y-4)] = 8 i) - {4-[-(-) + ]} = 4 -

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ / Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 19/10/2014 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Άρχων Μάρκος, Γεράσης Δημήτρης, Τζαγκαράκης Γιάννης

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ / Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 19/10/2014 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Άρχων Μάρκος, Γεράσης Δημήτρης, Τζαγκαράκης Γιάννης ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 214-2 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ / Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 19/1/214 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Άρχων Μάρκος, Γεράσης Δημήτρης, Τζαγκαράκης Γιάννης ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) είναι πραγματικός, γ) Το 3 είναι άρρητος,

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) είναι πραγματικός, γ) Το 3 είναι άρρητος, . ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Τηλ 0676-7 /0600 Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους. Να συμπληρωθούν τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη να προκύψει το έτος γέννησης σας : +....= 9.. = ( -

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα 1. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. (Μονάδες 8)

ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα 1. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα 1 Β1. Στο σχολικό εργαστήριο μια μαθήτρια περιεργάζεται ένα ελατήριο και λέει σε συμμαθητή της: «Θα μπορούσαμε να βαθμολογήσουμε αυτό το ελατήριο και με τον τρόπο αυτό να κατασκευάσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα A Γυμνασιου

Μαθηματικα A Γυμνασιου Μαθηματικα A Γυμνασιου Θεωρια & παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 45 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 4 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 ΟΡΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Α Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου

Άλγεβρα Α Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου Άλγεβρα Α Λυκείου Στέλιος Μιχαήλογλου wwwaskisopolisgr Άλγεβρα Α Λυκείου Οι πράξεις των πραγματικών αριθμών και οι ιδιότητες τους Αν οι αριθμοί α,β είναι αντίστροφοι, να αποδείξετε ότι: 7 4 : 8 0 7 Να

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα