7. Metode ispitivanja karakteristika optičkih vlakana i kablova

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "7. Metode ispitivanja karakteristika optičkih vlakana i kablova"

Transcript

1 7. optičkih vlakana i kablova 7.1 Uvod Merenje karakteristika optičkih vlakana je od višestruke koristi proizvođačima (koje interesuju tehnološki i mehanički problemi pri proizvodnji optičkih vlakana i kablova), korisnicima (koje zanima maksimalno iskorišćenje prenosa po optičkom vlaknu) i sistem inženjerima (koji projektuju optičke prenosne sisteme). Pri merenju prenosnih osobina optičkih vlakana i kablova veoma je važna mogućnost otkrivanja mesta oštećenja ili prekida optičkog vlakna. Prema IEC-u, karakteristike optičkih vlakana i kablova koje se mere podeljene su u četiri osnovne grupe: 1. Prenosne i optičke karakteristike slabljenje širina propusnog opsega disperzija impulsa granična talasna dužina nulta talasna dužina profil indeksa prelamanja numerički otvor (apertura) 2. Geometrijske karakteristike dimenzija jezgra i omotača nekoncentričnost jezgra i omotača eliptičnost geometrijske karakteristike pojedinih komponenti kabla (spoljašnji prečnik optičke žile, centralnog rasteretnog elementa, jezgra kabla, i kabla, kao i debljina cevčice sekundarne zaštite i plašta, itd.) 3. Mehaničke karakteristike promena slabljenja optičkog vlakna pod dejstvom sile izduženja otpornost optičkog kabla na udar, savijanje, pritisak i uvijanje 4. Otpornost na uticaj okoline promena slabljenja zbog promene klimatskih uslova promena slabljenja usled delovanja energetskog polja i nuklearnog zračenja propustljivost vode kod optičkog kabla i slično. Na kratkom rastojanju od mesta prodora svetlosti u optičko vlakno promena njegove prenosne karakteristike (slabljenje, disperzija) je nelinearna funkcija rastojanja zbog širine ulaznog impulsa, opadanja svetlosne snage po eksponencijalnom zakonu i razmene energije između modova. To je tzv. prelazni režim. Kada se uspostavi "stacionarno stanje", odnosno linearna zavisnost prenosnih karateristika od dužine, onda se može govoriti o definisanosti parametara dugih transmisionih linija, na koje ne utiču uslovi prodora svetlosnog zraka u jezgro optičkog vlakna. Multimodna vlakna podržavaju veliki broj prostirućih modova (disperziju zraka), ali se na kraćim rastojanjima javljaju i «cureći» modovi koji remete tačnost merenja. «Cureća disperzija» je posledica prostiranja svetlosnog snopa u mnogo pravaca. Kako se laserski snop udaljava od izvora, fotoni koji se prostiru pod prevelikim uglom nestaju usled Centar za telekomunikacije, Fakultet tehničkih nauka 7-1

2 refleksije i curenja na granicama optičkog vlakna, tako da su na većim rasrojanjima ovi «modovi» u potpunosti eliminisani. Kako bi se na što kraćem rastojanju postiglo "stacionarno stanje" koristi se "mešač" modova, odnosno vrši se pritiskanje optičkog vlakna na hrapavu površinu, ili se ono savija oko nekog profila određenog prečnika. Ovo savijanje ne treba mešati sa savijanjem optičkog vlakna pod kritičnim uglom koje se sprovodi radi namernog izbijanja fotona iz njega i grubih očitavanja parametara svetlosnog snopa. Prenosne osobine optičkog kabla zavise od prenosnih osobina ugrađenih optičkih vlakana i tehnologije kabliranja. Pri merenju karakteristika optičkog kabla, uvek se dolazi do golog vlakna, i koriste se metode merenja koje se ni malo ne razlikuju od onih korišćenih za ispitivanje osobina samog optičkog vlakna. Kabliranje predstavlja proces nanošenja zaštitnih omotača na jedno ili više optičkih vlakana sa primarnom zaštitom, kako bi se ona zaštitila od delovanja spoljnih faktora (mehaničkih, hemijskih i drugih uticaja). Na taj način se utiče na zadnje dve grupe karakteristika po IEC-u. 7.2 Prenosne i optičke karakteristike Merenje slabljenja optičkog vlakna Slabljenje svetlosne snage u optičkom vlaknu rezultat je apsorpcije, rasejanja i efekata talasovoda. Pri merenju ukupnih gubitaka prenosa signala kroz vlakno koriste se dve osnovne metode: Tehnika odsecanja (cutback technique) - najranije korišćen metod, koji se zasniva na upoređivanju izmerene svetlosne snage na maloj i velikoj dužini, pri istim uslovima ulaska svetlosnog zraka u optičko vlakno. Metoda povratnog rasejanja povratno rasejanje je osobina optičkog vlakna čiji je princip koji je korišćen kod optičkog reflektometra u vremenskom domenu Merenje slabljenja tehnikom odsecanja Ovo je destruktivna tehnika koja zahteva pristup na oba kraja optičkog vlakna, a sam proces merenja sastoji se iz dva merenja svetlosne snage. Prvo se meri snaga na daljem kraju optičkog vlakna, a onda se bez ikakve promene na ulaznom kraju preseca vlakno na nekoliko metara od izvora, i ponovo se meri snaga. Slika 7.1 Blok šema uređaja za merenje metodom odsecanja Centar za telekomunikacije, Fakultet tehničkih nauka 7-2

3 Srednje slabljenje optičkog vlakna se izračunava prema izrazu: a = (10/L) log P b /P d (db/km) gde su P d i P b izmerene optičke snage na daljem i bliže odsečenom kraju optičkog vlakna, respektivno, a L - geometrijsko rastojanje između mernih tačaka. Pridržavanje redosleda radnji kod primene ove metode veoma je bitno, kako bi se odredila tačna količina energije uneta u optičko vlakno. Takođe je veoma važno očuvanje istih uslova imisije svetlosnog zraka u optičko vlakno, jer to može uticati na vrednost izmerenog slabljenja. Vrednosti slabljenja mogu se ekstrapolirati jedino za optička vlakna u stanju uravnoteženja, koje se postiže ili metodom kontrolisanja numeričkog otvora izvora, i veličine zraka, ili primenom "mešača" modova. U slučaju da je indeks prelamanja primarne zaštite manji od indeksa prelamanja omotača, "mešač" modova se koristi i na početku i na kraju optičkog vlakna Metoda unesenih gubitaka Kod ove metode se najpre meri svetlosna snaga P 1, na izlazu iz kratkog referentnog vlakna kojim su povezani optički izvor i merni uređaj. Posle toga sa na referentno vlakno, preko konektora, veže ispitivano vlakno i meri njegova izlazna snaga P 2. Slabljenje se izračunava prema izrazu: a = 10 log P 1 /P 2 (db) Rezultati se moraju korigovati za vrednost gubitaka na konektorima Metoda povratnog rasejanja Ovo je nedestruktivna metoda, kojoj je dovoljan pristup samo jednom kraju optičkog vlakna. Jedino ovom metodom se mogu pratiti promene slabljenja duž celog vlakna, kao i njegovo eventualno oštećenje, jer je optički reflektometar u vremenskom domenu (OTDR) u osnovi optički radar. Slika 7.2 Princip povratnog rasejanja RASEJANJE INCINDENTNI SNOP GUBICI OMOTAČ JEZGRO TAČKA RASEJANJA GUBICI Centar za telekomunikacije, Fakultet tehničkih nauka 7-3

4 Izvor svetlosnog zraka je poluprovodnički laser velike snage koji periodično šalje impulse u jezgro optičkog vlakna, a njegov zrak usmerava se sistemom sočiva i polupropustljivim ogledalom (eng. beam splitter). Kao detektor povratnog svetlosnog signala koristi se lavinska foto-dioda (APD), čiji se izlazni signal pojačava pre dovođenja na ekran mernog uređaja. Da bi se obezbedio što bolji odnos signal/šum vrednosti povratnog svetlosnog signala se usrednjavaju. Slika 7.3 Blok šema OTDR-a Optički delitelj Optičko vlakno Impulsni generator Laserska dioda Optički konektor APD: lavinska dioda Pojačivač Kolo za usrednjavanje Katodna cev Karakteristike i osobine optičkih reflektometara u vremenskom domenu Optički reflektometar u vremenskom domenu je postao osnovni merni instrument svima koji se bave proizvodnjom i postavljanjem optičkih kablova, kao i onima koji se bave održavanjem optičkih linija. U reflektometru, generator impulsa kontroliše rad optičkog izvora, obično je to poluprovodnički laser, koji je modulisan frekvencijom od nekoliko khz-a (viša frekvencija kraća dužina koja se meri), i to se zove vreme ponavljanja ubacivanja laserskog impulsa. Optički izvor imituje optički impuls u vlakno, snage od 1mW pa na više, do 1 W, dok je dužina trajanja impulsa od 3ns do 10 ms. Dužina trajanja laserskog impulsa definiše snagu signala, upravo proporcionalno. U ovom slučaju postoji fizičko ograničenje u korišćenoj snazi, jer može doći do zasićenja prijemne diode. Korišćenje snage velikog intenziteta može izazvati pojavu fenomena nelinearnosti. Vreme ponavljanja emisije laserskog impulsa se odabira tako da omogućuje adekvatno merenje dužine. Usmeravanje laserskog zraka koji se imituje u jezgro optičkog vlakna se vrši sistemom sočiva i preko Y-kaplera, odnosno preko razdelnika svetlosnog zraka. Povratni signal se odvaja od emitovanog signala direkcionim kaplerom. Centar za telekomunikacije, Fakultet tehničkih nauka 7-4

5 Direkcioni kapler se može izvesti na dva načina: Kapler jednake raspodele polja veliki nivo izolacije, čak do 50 db. Izvodi se tako što se optičko vlakno preseče pod uglom od 45 o i na njega se postavi delimično reflektivni sloj, zatim se presečeni krajevi ponovo spoje, a na njihov spoj se pod pravim uglom spaja treće optičko vlakno. Razdelnik zraka sa polarizatorskim dejstvom većina razdelnika zraka zavisi od stanja polarizacije upadnog talasa, ova pojava se koristi u OTDR-u kod delenja nepolarisanog signala rasejanja od polarisanog reflektovanog zraka na bližem kraju optičkog vlakna. Kao detektor svetlosti najčešće se koristi lavinska foto-dioda. Primljeni signal se prosleđuje u pojačavač i deo za digitalizaciju. Potom se signal prosleđuje u jedinicu koja vrši akviziciju i usrednjavanje, odnosno postiže određeni odnos signal/šum. Ovo se postiže repetitivnim uzorkovanjem signala u fiksnom vremenskom razmaku, počevši od nultog trenutka. Aritmetičko usrednjavanje uzoraka je generisano nisko-propusnim filterom ili numeričkim putem. Potom se koristi vremensko kašnjenje kako bi se prešlo na sledeći vremenski interval. Na taj način usrednjivač prelazi ceo signal. Veći broj uzoraka u vremenskom razmaku uslovljava manju efektivnu snagu šuma, odn. amplituda šuma se smanjuje sa kvadratnim korenom broja uzoraka. Posle usrednjavanja signal se transformiše logaritamskom funkcijom kako bi se signal kasnije prikazao na ekranu instrumenta, kao kriva povratnog rasejanja. Kriva prikazuje slabljenje, u db, u funkciji dužine, u metrima.karakteristika optičkog vlakna se definiše na osnovu analize tako dobijenog povratnog signala predsavljenog na ekranu mernog uređaja krivom koja može imati nekoliko tipičnih oblika prikazanih na slici 7.4: veliki početni impuls, koji je rezultat Frenelove refleksije na ulaznom kraju optičkog vlakna, dugačka opadajuća kriva, koja je rezultat Rejlijevog rasejanja, prevojne tačke, koje su izazvane nereflektivnim gubicima u optičkom vlaknu (spojevi i mehanički uticaji koji nisu doveli do prekida vlakna, ali su doveli do njegovog naprezanja) manji impulsi duž opadajuće krive, koji su rezultat manje refleksije u pojedinim tačkama (oštećenja i nehomogenosti materijala jezgra optičkog vlakna, kvalitetno izvedeni mehanički spojevi i slično) impulsi duž opadajuće krive i na njenom kraju, do kojih dolazi zbog Frenelove refleksije na graničnoj površini jezgro-vazduh (konektorski spojevi, i kraj optičkog vlakna). Centar za telekomunikacije, Fakultet tehničkih nauka 7-5

6 Slika 7.4 Izgled krive na ekranu OTDR-a Slika 7.5 Tipične vrednosti refleksije od pojedinih diskontinuiteta u vlaknu Povratni signal je rezultat Rejlijevog rasejanja svetlosnog zraka u optičkom vlaknu. Kod kvalitetnih optičkih vlakana rasejanje je najveći izvor gubitaka. Srednje slabljenje između dve tačke na rastojanjima x 1 i x 2 gde je x 2 >x 1, i dato je izrazom: a sr = -10 [log P D (x 2 ) - log P D (x 1 )] / 2 (x 2 - x 1 ) (db/km) Prednosti korišćenja optičkog reflektometra (OTDR-a) su: metoda je nedestruktivna, Centar za telekomunikacije, Fakultet tehničkih nauka 7-6

7 dovoljan je pristup samo jednom kraju optičkog vlakna, dobijanje informacija o gubicima duž celog vlakna, i mogućnost otkrivanja grešaka, prekida i spojeva na optičkom vlaknu. Nepovoljne strane korišćenja ove metode su: nemogućnost merenja spektra, nemogućnost kontrolisanja raspodele modova, slab povratni signal, što zahteva osetljiviji prijemnik, i osetljivost na neuniformnost optičkog vlakna. Slika 7.6 Izgled prednje strane OTDR-a Merenje slabljenja na mestu spoja optičkih vlakana Za merenje gubitaka na mestu spoja optičkih vlakana koristi se metoda povratnog rasejanja (OTDR) zbog mogućnosti praćenja izgleda krive na mestu spoja. Ovakva merenja se izvode u fabrikama i na terenu. Fabrička merenja i merenja na terenu se izvode istom opremom te su rezultati vrlo slični. Odstupanja u vrednostima koja se mogu izmeriti u fabrikama i na ternu su zbog različitih pratećih uslova merenja. Fabrička merenja se odlikuju velikom ponovljivošću rezultata, jer su ulazni i izlazni krajevi optičkih vlakana koja se spajaju fiksirani za vreme i posle merenja, pored toga pri fabričkim merenjima u svakom momentu su dostupna oba kraja za dodatna merenja. Na terenu se posle spajanja optička vlakna «pakuju» u spojnice, a često je onemogućen pristup daljem kraju merenog vlakna te je nemoguće izvršiti dodatna merenja. Pri merenju slabljenja na spoju postoji mogućnost pojave negativnog slabljenja. Ovo je uslovljeno spajanjem dva vlakna čija su jezgra različitih dimenzija (obe su u dozvoljanim granicama). Za određivanje što tačnije vrednosti na spoju neophodno je izvršiti merenje istog spoja sa druge strane vlakna, a vrednost slabljenja na spoju se izračunava kao srednja vrednost izmerena sa oba kraja vlakna. Centar za telekomunikacije, Fakultet tehničkih nauka 7-7

8 Slika 7.7 Izgled krive na ekranu OTDR-a i izgled vlakana pri negativnom slabljenju ON 1 i ON 2 : numerički otvori uz ON 1 ON ON 1 ON NEGATIVNO SLABLJENJE a 1 a a 2 a2 a 3 a 3 a 1 + a 1 A 1 = 2 A 2 = a 2 + a 2 2 a 3 + a 3 A 3 = 2 a i i a i su slabljenja na spojevima Otkrivanje oštećenja optičkog vlakna Otkrivanje oštećenja optičkog vlakna primenom OTDR merenja Najvažnija primena merenja OTDR metodom su otkrivanje i lokalizacija oštećenja i prekida optičkog vlakna. Tačnost lociranja greške na kraćim rastojanjima (do 300m) zavisi od primenjene širine ulaznog impulsa (odnosno od dužine nelinearnog dela krive slabljenja) i rezolucije, a na većim dužinama zavisi od tačnosti određivanja brzine prostiranja svetlosti kroz optičko vlakno tj. od tačnosti unapred određenog indeksa prelamanja (moguća greška je oko 1%), i tačnosti instrumenta. Dužina neprekinutog dela optičkog vlakna (L) data je izrazom: L = (c t) / (2 n 1 ) gde je t - vremenska razlika između ulaznog impulsa i impulsa odbijenog od mesta oštećenja ili prekida vlakna, n 1 - indeks prelamanja jezgra optičkog vlakna, i c - brzina prostiranja svetlosti u vakuumu. Pri merenju u tačkama koje su prikazane Frenelovim impulsom ili prevojnom tačkom na krivoj, dodatni problem može predstavljati bliski (do 10m) izvor povećanog slabljenja, jer je on «maskiran» ranijim prikazom na krivoj slabljenja. Na krivoj se to vidi kao jedan izvor, a u stvari ih je dva ili više na kratkom rastojanju. Problem se javlja ako je mesto oštećenja ili prekida neravna površina pa ne reflektuje dovoljno snage, te ne postoji uočljiv impuls na ulaznom kraju optičkog vlakna, nego se kritično mesto određuje prema prestanku povratnog signala, što je veoma nesigurno. Ova nesigurnost je izražena pri ispitivanju veoma dugih vlakana (zbog većeg slabljenja intenziteta reflektovanog signala). Obzirom da je Rejlijevo rasejanje u funkciji talasne dužine korišćene svetlosti, pojedine tačke gde dolazi do lokalnog slabljenja su neprimetne prikorišćenju talasne dužine 1310 nm, dok su veoma uočljive pri korišćenju talasne dužine 1550 nm. Centar za telekomunikacije, Fakultet tehničkih nauka 7-8

9 Slika 7.8 Zavisnost lokalnog povećanja slabljenja od talasne dužine merenja Takođe, OTDR nije moguće primeniti u nelineranim sredinama, odnosno na deonicama na kojima su prisutne repetitorske laserske diode ili u slučajevima kada svetlosni fluks premašuje optički kapacitet kabla (WDM) Merenje širine propusnog opsega optičkog vlakna Svetlosni impulsi se proširuju i izobličuju kretanjem kroz optičko vlakno zbog delovanja modalne i hromatske (materijalne i talasovodne) disperzije. Ovo proširenje impulsa, tzv. disperzija, dovodi do intersimbolske interferencije. Stepen širenja impulsa određuje informacioni kapacitet maksimalni digitalni protok, pri čemu se ovaj kapacitet obično izražava proizvodom širine propusnog opsega i dužine. Totalna disperzija u optičkom vlaknu ima dva glavna izvora: modalnu i hromatsku disperziju. Hromatska disperzija se sastoji od: materijalne i talasovodne (profilne) disperzije. Modalna disperzija predstavlja vremensko pomeranje istovremeno emitovanih impulsa koji se prostiru različitim modovima kroz vlakno. U multimodnim vlaknima dominantan je tip modalne disperzije, jer kašnjenja pojedinih talasa (modova) u optičkom vlaknu imaju veće vrednosti nego hromatska disperzija. Hromatska disperzija je dominantan tip u monomodnim vlaknima u kojima se prostire samo jedan mod, te nema modalne disperzije. Do materijalne disperzije dolazi zbog optičkog izvora, koji emituje svetlost širine nekoliko nm. Iako se kroz vlakno prostire samo jedan mod, u stvari se prostire nekoliko «podmodova». Vremensko pomeranje između «podmodova» definiše materijalnu disperziju. Talasovodna disperzija izazvana je promenom profila indeksa prelamanja za različite talasne dužine. Na taj način dolazi do različite raspodele energije osnovnog moda u jezgru i omotaču vlakna, odn. do pojave «podmodova». Ova pojava dovodi do vremenskog pomeranja «podmodova» i dovodi do disperzije. Centar za telekomunikacije, Fakultet tehničkih nauka 7-9

10 Slika 7.9 Krive disperzije Slika 7.10 Talasovodna disperzija Multimodno optičko vlakno skokovitog indeksa prelamanja ima širinu propusnog opsega oko 20 MHzxkm, vlakno gradijentnog indeksa 1 GHzxkm, a monomodna vlakna oko 100 GHzxkm. Sa poboljšanjem tehnologije izrade optičkih vlakana i optičkih karakteristika vlakana, širina propusnog opsega se povećava tako da u bliskoj budućnosti možemo očekivati mnogo veće vrednosti. Kako bi se dobila tačna predstava o izmerenoj širini propusnog opsega potrebno je definisati uslove merenja - korišćen izvor i geometrijske uslove imisije svetlosnog zraka u vlakno, talasnu dužinu na kojoj radi izvor, itd. Merenje širine propusnog opsega treba da ispuni dva zadatka: da odredi brojnu vrednost disperzije koja će postojati pri realnim uslovima primene, kako bi se mogao projektovati sistem, i da se dobije potpuna informacija o širenju i mešanju svetlosnih zraka. Merni uređaj koji se koristi mora da ima različite karakteristike i mogućnosti zavisno od optičke veze koja se testira, jer ona određuje koliki treba da bude amplitudski i frekventni opseg, odnosno domet uređaja Merenje disperzije u vremenskom domenu Tehnika direktne detekcije Najlakši način merenja disperzije impulsa u testiranom optičkom vlaknu je slanje kratkog svetlosnog signala (oko 100 ps) sa jedne strane, i merenje širine proširenog Centar za telekomunikacije, Fakultet tehničkih nauka 7-10

11 izlaznog impulsa na drugom kraju. Za monomodna vlakna se koriste veoma brzi detektori, dok se za multimodna vlakna koriste detektori čije su vremenske rezolucije samo reda ns. Ako se nekom impulsu, koji se prostire duž vlakna određene dužine, izmeri disperzija i podeli dužinom, dobije se direktno vrednost širenja impulsa u ns/km. Slika 7.11 Disperzija signala koji se kreće kroz optičko vlakno Pretpostavlja se da impulsni odziv optičkog vlakna i ulazni impuls imaju Gausov oblik, tako da se onda širina propusnog opsega izračunava prema trajanju impulsa u vremenskom domenu prema izrazu B = 0,44 / t imp (Hz) gde je t imp vreme odziva vlakna (koje je direktno srazmerno varijansi, tj. efektivnoj širini, impulsnog odziva) za signal koji prođe kroz optičko vlakno izračunava se prema izrazu: t imp = + (ns) 2 2 t 1 t2 gde su t 1 i t 2 širine impulsa ulaznog i izlaznog signala u optičko vlakno merene na polovini maksimalne amplitude impulsa, respektivno. Kod ostalih prenosnih sistema koji se ne ponašaju po Gausovom zakonu bilo bi potrebno izvršiti konverziju izlaznog i ulaznog impulsa iz vremenskog u frekventni domen Furijeovom transformacijom. Njihovim delenjem dobila bi se prenosna funkcija, koja u sebi sadrži informaciju o propusnom opsegu. Najveći nedostatak tehnike direktne detekcije je inertnost fotodetektora, pa se ovom tehnikom mere samo veoma duga vlakna. Sa druge strane, pošto širenje impulsa zavisi i od mešanja modova i od slabljenja, koji opet zavise od dužine, ne može se ekstrapolirati vrednost disperzije za neku dužinu na osnovu vrednosti disperzije za neku drugu dužinu optičkog vlakna, tako da se ovom metodom disperzija za vlakna različite dužine treba meriti za svako vlakno ponaosob Metoda kliznog impulsa (višestruke refleksije) Kako bi se prevazišli nedostaci prethodne tehnike razvijen je sistem kliznog impulsa (shuttle pulse). Krajevi optičkog vlakna se naslanjaju na delimično reflektujuća ogledala, između kojih svetlosni zrak ubačen u vlakno ''klizi'' napred-nazad (svaki put se deo energije reflektuje od odgovarajućeg ogledala). Uzorak impulsa se može uzeti na kraju optičkog Centar za telekomunikacije, Fakultet tehničkih nauka 7-11

12 vlakna posle svakih 2N-1 prolazaka, gde je N=1,2,.... Disperzija se meri tako što se upoređuje širina impulsa koji se uzimaju posle svakog "kruga" odbijanja unutar vlakna. Princip rada je prikazan na slici Broj klizećih impulsa N koji se mogu izmeriti zavisi od amplitudskog (dinamičkog) P1 MAX opsega sistema D. Važi : D = 10log gde je P 1MAX maksimalna snaga koja se može P2 MIN imitovati u vlakno, a P 2MIN minimalna snaga koja se može detektovati fotodetektorom. Slika 7.12 Blok šema uređaja za merenje disperzije optičkog vlakna metodom kliznog impulsa Slika 7.13 Princip merenja disperzije optičkog vlakna metodom kliznog impulsa Centar za telekomunikacije, Fakultet tehničkih nauka 7-12

13 Merenje disperzije u frekventnom domenu Merenje disperzije u frekventom domenu korisno je sistem inženjerima koji projektuju i proizvode korisničku opremu. Za merenje širine propusnog opsega, odnosno disperzije optičkog vlakna, postoji nekoliko metoda. Sinusoidalnom modulacijom kontinualnog svetlosnog zraka oko određenog nivoa ne može se meriti promena faze sinusoidalno modulisanog signala, osim ako to nije ekstremni slučaj fazne distorzije, ali se zato informacioni kapacitet može dobiti iz modula prenosne funkcije. Prenosna funkcija optičkog vlakna data je izrazom H (f) = P iz (f) / P ul (f) gde su P iz i P ul - snage izlaznog i ulaznog optičkog signala, respektivno, koje se mere za različite frekvencije. S obzirom da se optička vlakna ponašaju kao nisko-frekventni filter, širina propusnog opsega B određuje se kao učestanost pri kojoj amplituda signala opadne za 3 db, odnosno opadne na polovinu svoje nominalne (jednosmerne, tj. za f = 0) vrednosti. Sa slike 7.14 se vidi da je B = f B. Treba voditi računa da padu amplitude optičke snage od 3 db odgovara pad amplitude električne snage za 6 db, gledano u odnosu na graničnu učestanost. Slika 7.14 Promena amplitude signala pri prolasku kroz optičko vlakno Prednosti merenja disperzije u frekventnom domenu su: prenosna funkcija optičkog vlakna može se dobiti direktno, bez Furijeove transformacije podataka dobijenih u vremenskom domenu nije potrebna linearnost fotodetektora preko celog opsega, zbog malog signala modulacije oko konstantnog nivoa lakše je sinusoidalno modulisati optički izvor na višim učestanostima, nego napraviti seriju uskih impulsa Merenje hromatske disperzije U slučaju optičkog vlakna malog propusnog opsega ili u slučaju primene LED diode kao izvora svetlosnog zračenja (koja ima široki spektar zračenja), uticaj hromatske disperzije ne može se zanemariti, pa je za njeno merenje predloženo nekoliko metoda. Najčešće primenjivan metod (tehnika direktne detekcije) koristi slanje impulsa monohromatskog svetla različitih talasnih dužina i beleženje razlika trenutaka njihovog stizanja na drugi kraj vlakna. U slučaju upotrebe različitih izvora, treba očuvati uslove emisije svetlosnog zraka u optičko vlakno. Centar za telekomunikacije, Fakultet tehničkih nauka 7-13

14 Od skoro se primenjuje veoma jednostavna tehnika sa svetlosnim izvorom širokog spektra (LED dioda) koji se sinusno moduliše. Ova metoda merenja je poznata kao tehnika duple demodulacije. Fazna pomeranja do kojih dolazi između različitih talasnih dužina odabiraju se monohromatorom i mere. Odgovarajuća vremenska kašnjenja se obračunavaju, a rezultati su veoma precizni, reda nekoliko pikosekundi. Slika 7.15 Izmerena kriva vrednosti hromatske disperzije Slika 7.16 Instrument za merenje hromatske disperzije Centar za telekomunikacije, Fakultet tehničkih nauka 7-14

15 Merenje modalne polarizacione disperzije DWDM i 10 Gb/s transmisioni sistemi učinili su modalnu polarizacionu disperziju (PMD) veoma značajnim paramertrom u industriji opičkih vlakana. PMD dominira nad drugim oblicima disperzije pri velikim brzinama komunikacije. U 40 Gb/s sistemima, kao što je metro, najvažniji parametar optičkog vlakna postaje upravo PMD. Odrđivanje PMDa takođe je veoma bitno u slučajevima kada se postojeći optički kablovi žele koristiti za sisteme sa velikim bitskim brzinama jer pre 1994 proizvođači nisu merili i deklarisali PMD. Tolerancije kašnjenja za 10 Gb/s mrežu su tipično 10 ps, a za 40 Gb/s, 2,5 ps. Postoji nekoliko mernih metoda za određivanje modalne polarizacione disperzije: 1. Interferometrijski metod (vremenski domen). 2. Merenja impulsnog kašnjenja (vremenski domen). 3. RF spektralni odziv (vremenski domen) 4. Metod faznog pomeranja (vremenski domen) Ove metode su iste kao i kod merenja ostalih oblika disperzije. Nepovoljne su zbog male rezolucije i ograničenog ospega. 5. Metod fiksnog analizatora (frekvencijski domen). Ovo je prva metoda razvijena isključivo za merenje PMD-a. Zasniva se na analizi transmisionog spektra merenog pomoću analizatora smeštenog na izlaz vlakna koje se testira. Ako se upotrebi OTDR moguće je sva merenja obaviti sa jednog kraja kabla. Postoje dve podvarijante ove metode koje koriste P-OTDR: skeniranje talasnih dužina, za koje se koristi kombinacija podešljivog lasera sa kontinualnim opsegom talasnih dužina i merač svetlosne snage. Rezultat mernja je izlazna snaga u funkciji rastojanja i talasne dužine za svaku od ravni polarizacije. Slika 7.17 Realizacije metode fiksnog analizatora skeniranjem talasnih dužina pomoću P-OTDR-a merenje statistike stepena polarizacije, za koju se koristi kombinacija impulsnog širokopojasnog lasera i optičkog spektroanalizatora. PMD se određuje indirektno merenjem dužine uparivanja h (minimalna dužina na kojoj dolazi do mešanja modova). Centar za telekomunikacije, Fakultet tehničkih nauka 7-15

16 Slika 7.18 Realizacija metode fiksnog analizatora određivanjem statistike stepena polarizacije P-OTDR-om PMD se dobija iz formule PMD = βl L / h gde je β koeficijent bi-refrakcije (relativno kašnjenje između najbržeg i najsporijeg polarizacionog moda), a L rastojanje. Kada je h malo, postoji značajno mešanje modova i PMD je proporcionalno kvadratnom korenu od L. Kada je h veoma veliko, smanjeno je uparivanje između brzih i sporih modova i PMD se povećava linearno sa rastojanjem L. Mane ove metode su dug interval merenja, kompleksna merna oprema i potreba za OTDRom veoma velike prostorne rezolucije 6. Džonsova matrična analiza sopstvenih vrednosti (Jones Matrix Eigenanalysis - JME) (frekvencijski domen). Koristi podešljivi laser za generisanje klizne talasne dužine i polarizator. Omogućuje merenja u femtosekundskom opsegu. Nedostataci su u zametnoj obradi podataka i osetljivosti na mehaničke uticaje (vibracije), zbog čega merenja od nekoliko desetina minuta mogu biti nepouzdana i njihove rezultate treba obazrivo interpretirati. 7. Generalizovana Poinkareova sferna analiza (Generalized Poincaré Sphere Analysis - GPSA), (frekvencijski domen) koja se bazira na polarizacionoj interferometriji i daleko je robusnija od JME. TIA, ITU i IEC priznaju GPSA kao ekvivalent JME metode. Moguće merenje na svim talasnim dužinama istovremeno, što skraćuje vreme pojedinačne PMD analize na svega nekoliko sekundi. Od najvećeg značaja su Džonsonova matrična analiza (JME) i Generalizovana Poinkareova analiza (GPSA), jer one jedine daju prihvatljive rezultate u femtosekunskom opsegu. Pri tome je GPSA daleko pouzdanija i rezultati merenja imaju veču ponovljivost Merenje granične talasne dužine monomodnog optičkog vlakna Granična talasna dužina (λ cutoff ) predstavlja minimalnu talasnu dužinu svetlosti pri kojoj se kroz monomodno optičko vlakno prostire samo jedan mod. Ukoliko je talasna dužina primenjene svetlosti ispod vrednosti granične talasne dužine, onda se kroz optičko vlakno može prostirati više modova, a ako je iznad nje, onda se prostire samo jedan mod. Centar za telekomunikacije, Fakultet tehničkih nauka 7-16

17 Određivanje granične talasne dužine zasniva se na činjenici da se slabljenje viših modova naglo povećava sa smanjenjem prečnika savijanja optičkog vlakna, dok je promena slabljenja aksijalnog moda (moda koji se prostire duž ose vlakna) zanemarljiva. To bitno utiče na promenu vrednosti podužnog slabljenja. Određivanje granične talasne dužine prema CCITT preporuci G.652 zasniva se na merenju spektralnog slabljenja svetlosnog zraka Merenje granične talasne dužine metodom savijanja Svetlosni zrak se iz izvora "bele" svetlosti propušta kroz podesivi monohromator kako bi se postigla spektralna širina zraka do 10 nm (na polovini amplitude impulsa svetlosnog zraka). Merenje se obavlja na komadu vlakna dužine 2m sa kružnim zavojkom poluprečnika krivine 140mm (mernom vlaknu), tako što se snaga na izlazu P1(λ) snima u funkciji talasne dužine u dovoljno širokom opsegu oko očekivane granične talasne dužine. U nastavku merenja dodaje se još jedan komad monomodnog optičkog vlakna (test vlakno), koji obrazuje novu petlju najvećeg poluprečnika 30 mm, i postavlja se iza prethodno ispitanog komada optičkog vlakna. Ova petlja postavlja se radi eliminisanja prostiranja viših modova. Zatim se meri izlaznasnaga P2(λ), na isti način kao i P1(λ). Slika 7.19 Merenje spektralnog slabljenja Dodatno slabljenje usled uvođenja nove petlje, tj. odnos prethodno izmerenih izlaznih snaga, dato je izrazom: R (l) = 10 log [P 1 (l)/p 2 (l)] gde su P 1 (l) i P 2 (l) snage izmerene kada postoji samo prva petlja (pored osnovnog postoje i neki niži modovi), odnosno obe petlje (postoji samo osnovni mod), respektivno. Granična talasna dužina prema definiciji CCITT je ona talasna dužina pri kojoj odnos snaga P1(λ) / P2(λ) iznosi 0,1 db. Centar za telekomunikacije, Fakultet tehničkih nauka 7-17

18 Slika 7.20 Određivanje granične talasne dužine Merenje nulte talasne dužine optičkog vlakna Nulta talasna dužina predstavlja onu talasnu dužinu pri kojoj je hromatska disperzija jednaka nuli. Može se meriti istovremeno kad i hromatska disperzija (slika 7.15.). Ovaj parametar prenosa je od velike pomoći projektantima i proizvođačima korisničke opreme pri određivanju tipa emisione diode, kako bi se disperzije smanjila u što većoj mogućoj meri Merenje profila indeksa prelamanja optičkog vlakna Pri određivanju širine propusnog opsega multimodnog optičkog vlakna bitnu ulogu igra profil indeksa prelamanja. Promena njegove vrednosti može se meriti i na samom vlaknu i na pretformi (pripremljenom materijalu pre samog izvlačenja vlakna). Postoji više metoda za merenje profila indeksa prelamanja optičkog vlakna: interferometrijski metod poprečnog preseka interferometrijski metod uzdužnog preseka metod fokusiranja metod skeniranja bliskog polja metod prelamanja zraka na bližem kraju vlakna metod refleksije na daljem kraju vlakna metod rasejanja Interferometrijski metod poprečnog preseka Ova metoda zahteva isecanje tankog kružnog uzorka vlakna ili pretforme koji mora biti uglačan, ravan i veoma precizno izrezan. Svetlost koja se emituje normalno na površinu poprečnog preseka i prolazi kroz ovaj uzorak se fazno pomera (rezultat debljine uzorka i njegovog indeksa prelamanja) i na izlazu se upoređuje sa osnovnim incidentnim Centar za telekomunikacije, Fakultet tehničkih nauka 7-18

19 svetlosnim zrakom. Rezultat toga je pojava interferentnih pruga, koje odgovaraju izgledu profila indeksa prelamanja optičkog vlakna ili materijala od koga se izvlači optičko vlakno. Slika 7.21 Način merenja profila indeksa prelamanja interferometrijskom metodom poprečnog preseka Razlika u indeksima prelamanja jezgra i omotača se izračunava na osnovu izraza: n(r) - n 2 = λ S(r)/(D d) gde je D - razmak između paralelnih ivica interferentnih pruga, d - debljina uzorka, λ - talasna dužina merenog svetla, a S(r) - odstupanje centralne ivice, na rastojanju r, u odnosu na osnovnu liniju. Slika 7.22 Izgled profila indeksa prelamanja dobijen interferometrijskim metodom poprečnog preseka Interferometrijski metod uzdužnog preseka Ova metoda ne zahteva sečenje vlakna i njegovu posebnu pripremu. Optičko vlakno se potopi u tečnost kako bi se izbeglo krivljenje zraka i postavi transverzalno ispod uporednog mikroskopa. Svetlost osvetljava vlakno pod pravim uglom (u odnosu na osu vlakna) tako Centar za telekomunikacije, Fakultet tehničkih nauka 7-19

20 da svaki svetlosni zrak prolazi kroz oblasti sa različitim indeksom prelamanja. Sveukupna putanja svetlosti se mora izraziti preko integrala, pa se za dobijanje raspodele indeksa prelamanja mora rešiti integralna jednačina (Abelova integralna jednačina, Furijeova transformacija i Beselova funkcija). Oba interferometrijska metoda su vrlo tačna pri određivanju profila indeksa prelamanja Metod fokusiranja Ovaj metod se može primeniti i na vlakna i na pretforme, a bazira se na činjenici da se jezgro optičkog vlakna ponaša kao cilindrično sočivo za svetlosne zrake koji nailaze transverzalno (pod pravim uglom) u odnosu na vlakno, odnosno njegovu cilindričnu osu z (duž koje se inače prenosi svetlost). Vlakno se potapa u fluid odgovarajućeg indeksa prelamanja (da bi se sprečilo prelamanje svetlosti na spoljnoj granici omotača) i osvetljava na prethodno opisan način. Na ravnoj ploči (ravni posmatranja) dobija se gustina raspodele optičke snage i na osnovu toga se izračunava raspodela indeksa prelamanja. Rešava se numeričkim putem integralna jednačina: a n2 t y () ( t) n r n2 = dt π L 2 2 r t r Ovaj metod merenja daje veoma tačne rezultate, ali je za njegovu primenu potrebna kružna simetrija i oštre promene indeksa prelamanja. Slika 7.23 Način merenja profila indeksa prelamanja metodom fokusiranja Metod bliskog polja Kod ovog metoda se na ulaz optičkog vlakna postavlja izvor koji pobuđuje jezgro tako da ono bude ravnomerno osvetljeno po prečniku. Takva pobuda se ostvaruje Lambertijanovim izvorom, kojim se obezbeđuje da svi modovi u vlaknu budu jednako pobuđeni. Na dalji kraj vlakna postavlja se mikroskop pomoću koga se skenira raspodela energije na izlazu vlakna. Indeks prelamanja n(r) na poluprečniku jezgra r vezan je sa optičkom snagom bliskog polja (polja na izlazu vlakna) na istom poluprečniku r P(r) sledećim izrazom [n(r) - n 2 ] / [n(0) - n 2 ] = P(r) / P(0) Centar za telekomunikacije, Fakultet tehničkih nauka 7-20

21 gde je n 2 - indeks prelamanja omotača, n (0) i P (0) su indeks prelamanja i optička snaga u centru jezgra Metod prelamanja zraka na bližem kraju vlakna Ova metoda spada među najinteresantnije, jer se može koristiti za bilo koju dužinu vlakna. Nisu potrebne nikakve posebne pripreme kraja vlakna, ni uslovi čistoće, takođe je nepotrebno vršiti korekcije zbog modova koji "iscure" iz vlakna (curećih modova). Vlakno se potapa u tečnost koja ima indeks prelamanja jednak indeksu prelamanja omotača. Laserski zrak sa znatno većim numeričkim otvorom nego prihvatni ugao vlakna usmerava se na optičko vlakno malog poprečnog preseka. Slika 7.24.a) Slika 7.24.b) Slika 7.24 Merenje indeksa prelamanja jezgra optičkog vlakna metodom prelamanja zraka na bližem kraju vlakna (na slici 7.24.a) Svetlost koja pada na detektor i koja se meri je ona koja izlazi iz optičkog vlakna na njegovom bližem (ulaznom) kraju. Ova svetlost sastoji se od zraka koji padaju van prihvatnog ugla vlakna (i prelamaju se iz jezgra u omotač), i koji su "izašli" iz omotača vlakna. Za određivanje indeksa prelamanja koriste se samo svetlosni zraci koji su odbijeni, ali ne i oni viših modova koji su izašli iz omotača. Sprečavanje dejstva ovih curećih talasa se obavlja zaklonom u obliku neprozirnog prstena. Indeks prelamanja jezgra n(r) na mestu gde odgovarajući zrak ulazi u jezgro se računa prema izrazu: n(r) - n 2 = n 2 cosθ '' min (cosθ '' min - cosθ ' max ) [P(a)-P(r)]/P(a) Centar za telekomunikacije, Fakultet tehničkih nauka 7-21

22 gde je P(r) - detektovana optička snaga, P(a) - izlazna snaga merena kada je ulazni svetlosni zrak fokusiran na omotač, θ '' min minimalan ugao prema osi vlakna pod kojim svetlosni zrak napušta jezgro, koji je određen zaklonom za elimisanje viših modova koji izađu iz omotača, i θ ' max - maksimalni ugao prema osi vlakna pod kojim upada incidentni svetlosni zrak, koji je određen izvorom svetlosti. Mane ove metode su potreba za izjednačavanjem indeksa prelamanja tečnosti i omotača vlakna, zatim kvalitetan, praktično idealan presek vlakna na bližem kraju i poznavanje minimalnog ugla prelamanja θ '' min. 7.3 Geometrijske karakteristike optičkog vlakna Pri spajanju optičkih vlakana neophodno je da ona imaju jednake (ili vrlo približne) geometrijske karakteristike, da bi gubici na spoju bili što manji Merenje prečnika optičkog vlakna Za potrebe proizvođača vrši se merenje spoljnog prečnika optičkog vlakna nekontaktnim optičkim metodama, i to kao deo procesa proizvodnje. Za potrebe prerađivača i korisnika optičkih vlakana ovo merenje, odn. kontrola podataka proizvođača se može izvesti mikrometrom Merenje prečnika jezgra optičkog vlakna Kod ovog merenja javlja se problem jednoznačnog definisanja jezgra multimodnog optičkog vlakna sa gradijentnim indeksom prelamanja. Postoje dva pristupa rešenju ovog problema: Smatrati da je jezgro ona oblast optičkog vlakna za koju je vrednost indeksa prelamanja veća od predviđene vrednosti za omotač Smatrati da je jezgro optičkog vlakna ona oblast gde je lociran određen procenat (90-95 %) energije koja se prenosi kroz vlakno. Ako se jezgro vlakna definiše prema prvom pristupu onda se njegov prečnik može meriti pomoću svih metoda za merenje profila indeksa prelamanja. Definisanjem jezgra optičkog vlakna prema drugom pristupu merenje se bazira na raspodeli energije u vlaknu, i ono ima nedostatak koji se ogleda u tome da ta raspodela energije, odnosno, samo merenje, zavisi od dužine vlakna, različitog slabljenja modova i uslova ubacivanja svetlosnog zraka u vlakno. Uopšteno gledano, prema CCITT-u, merenje jezgra definisanog na prvi način je verodostojnije i adekvatnije Prečnik polja moda Prečnik polja moda je predstavljen tačkom gde amplituda svetlosnog zraka osnovnog moda opadne na 1/e ti deo. Prečnik polja moda je osnovni parametar definisanja jezgra monomodnog optičkog vlakna jer se kroz njega prostire najveći deo snage. Prečnik polja Centar za telekomunikacije, Fakultet tehničkih nauka 7-22

23 moda je promenljiv u odnosu na talasnu dužinu svetlosti koja se prostire kroz vlakno. Što je viša talasna dužina svetlosti, prečnik polja moda je veći. Raspodela svetlosnog zraka osnovnog moda u monomodnom optičkom vlaknu je bitan faktor u proceni unetog slabljenja, slabljenja spoja i slabljenju usled savijanja Metod poprečnog pomeranja Komad optičkog vlakna dužine 2 m se postavlja u sistem za merenje spektralnog slabljenja. Potom se uzorak prepolovi i polovine se fiksiraj u mikropozicionere, tako da su im vrhovi udaljeni do 10 mikrona. Jedan kraj vlakna se pomera kako bi se dostigla maksimalna vrednost prenosa svetlosti kroz ovakav sistem. Potom se od tog položaja vlakno pomera i meri se opadanje snage u funkciji radijalnog pomeraja. Svetlosni izvor emituje na jednoj talasnoj dužini, za koju se meri prečnik polja moda. Slika 7.25 Određivanje prečnika polja moda metodom poprečnog pomeranja Slika 7.26 Zavisnost prečnika polja moda od talasne dužine korišćene svetlosti Eliptičnost - koncentričnost jezgra i omotača Koncentričnost (odn. greška u koncentričnosti) se može definisati kao razmak između centara jezgra i omotača. Greške u koncentričnosti mogu se meriti tako što će se merenje profila indeksa prelamanja jezgra proširiti i na omotač. Merenje se vrši na nekoliko prečnika. Obično se nekoncentričnost javlja u vidu eliptičnosti. Centar za telekomunikacije, Fakultet tehničkih nauka 7-23

24 Slika 7.27 Prikaz nekoncentričnosti jezgra i omotača optičkog vlakna Ekscentritet jezgra optičkog vlakna izračunava se prema izrazu e = (d max - d min ) 100 / d 0 (%) gde su d max i d min maksimalna i minimalna vrednost prečnika nekoncentričnog jezgra, a d 0 - nominalna vrednost prečnika jezgra optičkog vlakna. Ekscentritet omotača izračunava se prema formuli E = (D max - D min ) 100 / D 0 (%) gde su D max i D min maksimalna i minimalna vrednost prečnika nekoncentričnog omotača, a D 0 - nominalna vrednost prečnika omotača optičkog vlakna. Koncentričnost jezgra i omotača optičkog vlakna izračunava se pomoću obrasca C = x 100 / d (%) gde je d = (d max + d min ) / 2, a x je razmak između centara jezgra i omotača Metoda četiri koncentrične kružnice Veoma jednostavan metod verifikovanja geometrijskih karakteristika optičkog vlakna je poređenje kontura jezgra i omotača sa etalonom koji ima četiri kružnice, po dve granične vrednosti prečnika jezgra i omotača. Upoređivanje se vrši metodama objektivnog ocenjivanja koje omogućuju analizu slike (npr. videoanalizator). Tehnike bazirane na vizuelnom ispitivanju (direktnom posmatranju) ne mogu se smatrati važećim (iako se u praksi koriste), zato što dozvoljavaju pojavu subjektivne greške pri merenju geometrijskih i optičkih osobina Geometrijske karakteristike optičkih kablova Pod ovim se podrazumeva ispitivanje svih ostalih komponenata kabla, osim optičkog vlakna. To su geometrijske karakteristike (spoljni i unutrašnji prečnik i debljina zida) cevčice sekundarne zaštite i plašteva postavljenih preko jezgra optičkog kabla. Takođe se mere spoljni prečnici centralnog rasteretnog elementa, optičkog kablovskog jezgra. Ova merenja se vrše kao i kod drugih kablova, sa metalnim provodnicima, u kablovskoj industriji. Centar za telekomunikacije, Fakultet tehničkih nauka 7-24

25 Bitnu karakteristiku optičkog kabla predstavlja višak dužine vlakna u cevčici. On mora biti toliki da pri termičkoj dilataciji sekundarne zaštite ne dođe do zatezanja optičkog vlakna i eventualnih promena njegovih prenosnih karateristika. Sa druge strane ne sme ga biti previše da pri skraćivanju cevčice na niskim temperaturama ne dođe do prevelikih mikrosavijanja optičkog vlakna i promene njegovih prenosnih osobina. Razlike dužine vlakna i dužine cevčice su oko 0,5%, dok razlika dužine vlakna i dužine kabla nije veća od 1%. Slika 7.28 Armirani optički kabel 7.4 Mehaničke osobine Pri mehaničkim ispitivanjima optičkog kabla testiraju se zaštitne komponente - cevčica sekundarne zaštite, centralni rasteretni element, plaštevi i armatura. Tokom eksperimenta optički kabel izlaže se različitim mehaničkim naprezanjima, i prati se promena slabljenja optičkog vlakna, odn. da li je došlo do povećanja slabljenja, odn. prekida nekog od vlakana ili vizuelno uočljivog oštećenja spoljnog plašta optičkog kabla. 7.5 Otpornost na uticaj okoline U zavisnosti od mesta primene optičkog kabla, on može biti izložen različitim uticajima iz spoljašnje sredine - mehaničkim, hemijskim, klimatskim, energetskim, nuklearnim i drugim. Centar za telekomunikacije, Fakultet tehničkih nauka 7-25

26 Ispitivanje na dejstvo klimatskih uslova obuhvata izloženost različitim temperaturnim dejstvima, kao i dejstvima povećane vlažnosti, pri čemu ne sme doći do povećanja slabljenja više nego što je to propisano. Delovanje energetskog polja i nuklearnog zračenja ogleda se u dejstvu na nečistoće i aditive (dopante) koji se nalaze u staklu optičkog vlakna, čime se povećava slabljenje. Materijali koji se uobičajeno koriste u kablovskoj inustriji kao zaštita optičkog vlakna u kablu, u ovom slučaju imaju malu ulogu, pa je potrebno ugraditi PCS optička vlakna sa jezgrom velike čistoće, ili koristiti specijalne materijale za zaštitu. Za ispitivanja karateristika optičkih vlakana i kabela iz prve dve grupe karakeristika (1. prenosne i optičke i 2. geometrijske) po IEC-u postoje instrumenti koji ih mere direktnim ili indirektnim metodama, koje su detaljno opisane u poglavljima 1. i 2. Za one osobine koje pripadaju drugim dvema grupama (3. mehaničke i 4. otpornost na uticaj okoline) se uz instrumente za merenje slabljenja (bilo kojom metodom), koriste i dodatne aparature koje omogućuju da optički kabel bude izložen potrebnom dejstvu bilo mehaničkih ili nekih drugih uticaja okoline. Propisi koji definišu vrednosti izmerenih karakteristika, kao i izgled mernog sistema i pomoćne aparature za merenje tih karakteristika dati su u međunardnim okvirima kroz IEC publikacije, a u okviru Jugoslavije u Glasniku ZJPTT. 7.6 Preporuke za nabavku opreme Postoji velik broj alata raspoloživih za ispitivanje optičkih kablova. Koje testere i mernu opremu korisiti, zavisi od tipa posla koji je potrebno odraditi, koliko često će biti potrebno testirati optičku mrežu i, naravno, od budžeta kojim se raspolaže. Bitne osobine koje ukazuju na kvalitet nekog instrumenta mogu biti subjektivno odabrane, ali postoje parametri koje je neophodno uzeti u obzir, i oni se nalaze u tabelama karakteristika instrumenta. Terenska merna oprema trebalo bi da obuhvati: jednostavne izvore bele svetlosti za identifikaciju vlakana i proveru njihovog kontinuiteta lokatori prekida optičkog vlakna sa laserskim izvorima optički set za mernje slabljenja alati za merenje podužnog slabljenja i usklađenosti sa standardima OTDR instrumenti za dijagnostiku i merenje rastojanja do optičkih pojava OTDR Za izbor OTDR-a su objektivno bitne karakteristike: Dinamički opseg, Tačnost Rezolucija Ponovljivost merenja Mogućnost automatskog merenja slabljenja na spoju Očitavanje u realnom vremenu Talasna dužina korišćene svetlosti i način njene izmene Težina i prenosivost Centar za telekomunikacije, Fakultet tehničkih nauka 7-26

27 Jednostavnost rukovanja i mogućnost memorisanja podataka Brzina usrednjavanja Robusnost Dinamički opseg (Dynamic Range) Dinamički opseg je odnos maksimalne emitovane snage (P 0 ) i najmanje snage koja se može detektovati na ulazu prijemnika (P min ). D (db) = -10 log (P 0 / P min ) Dinamički opseg određuje maksimalnu vidljivu dužinu optičkog vlakna, i u tabelama karakteristika se pojavljuje u dve varijante: o onaj koji ukazuje na to koliko se maksimalno dalek Frenelov impuls na kraju vlakna može videti, i određen je dinamičkim opsegom prijemnika, o onaj koji se odnosi na merenje povratnog rasejanja (backscattering) Prilikom upoređenja vrednosti dinamičkog opsega treba obratiti pažnju na tačnu definiciju proizvođača OTDR-a, da li je opseg za jedansmerno ili dvosmerno merenje, na šta se odnosi tačka definisanja dinamičkog opsega i da li je vrednost data u «električnim» ili «optičkim» decibelima. Zbog činjenice da OTDR-om merimo samo sa jedne strane, te svetlosni signal putuje u oba smera, pravi opseg merenja instrumenta u jednom pravcu predstavlja polovinu dinamičkog opsega prijemnika. Tačka definisanja je konektor na prednjem panelu, ali neki proizvođači definišu referentnu tačku unutar instrumenta. Neki proizvođači definišu referentnu tačku «negde unutar» elektro-optičkog intarfacea, te zbog gubitaka u interface-u i razlike između dva tipa decibela, se ne dobija adekvatan podatak o «korisnom» dinamičkom opsegu Tačnost merenja dužine (Distance Measurement Accuracy) Veoma bitna osobina OTDR-a za lociranje događaja na optičkom vlaknu. Tačnost instrumenta je definisana sa dva parametra: o Sopstvenom tačnošću samog instrumenta o Tačnošću jednoznačno definisanog indeksa prelamanja jezgra optičkog vlakna. Pošto je indeks prelamanja promenljiv duž vlakna, a operater ga aproksimira nekom konačnom vrednošću od samog početka merenja se unosi sistemska greška Rezolucija (Resolution) Rezolucija očitavanja dužine (Distance Readout Resolution) definiše najmanju vrednost horizontalnog pokazivanja displeja na instrumentu. Rezolucija očitavanja gubitaka (Loss Readout Resolution) definiše najmanju vrednost vertikalnog pokazivanja displeja na instrumentu Prostorna rezolucija (Spatial Resolution) ukazuje na sposobnost instrumenta da razlikuje i locira dva prostorno bliska, izolovana događaja (oštećenja, konekcije i sl.), i direktno zavisi od širine laserskog impulsa koji se koristi. Centar za telekomunikacije, Fakultet tehničkih nauka 7-27

28 Slika 7.29 Prostorna rezolucija Savremeniji instrumenti nude mogućnost elektronskog «maskiranja» reflektivnih spojeva te se smanjuje nelinearni deo krive iza Frenelovog impulsa, a istovremeno se izbegava dovođenje prijemne diode u zasićenje. Širok impuls obezbeđuje više energije, za obavljanje merenja na većim dužinama vlakna, dok impuls manje širine smanjuje dinamički opseg, ali poboljšava prostornu rezoluciju. Sistem akvizicije preko logaritamske konverzije i metoda usrednjavanja doprinosi rezoluciji i tačnosti Merenje slabljenja OTDR-om Merenje slabljenja upotrebom OTDR-a je indirektna, i meri se slabljenje rasejane svetlosne energije duž vlakna. Količina rasejane svetlosti na prijemniku logaritamski opada sa dužinom optičkog vlakna. Faktori koji utiču na tačnost merenja slabljenja su: o Linearnost ekrana instrumenta o Odnos signal/šum o Rezolucija očitavanja gubitaka Vreme oporavka instrumenta od početnog impulsa je ograničavajući faktor koji određuje na koliko bliskoj udaljenosti se mogu vršiti tačna merenja OTDR-om. Osobine OTDR-a koje su bitne pri merenju slabljanja na spojevima su: o Jednostavno rukovanje i prenosivost o Brzina rada o Mogućnost praćenja rada u realnom vremenu o Visoka rezolucija o Laka promenljivost talasne dužine korišćene svetlosti o Ponovljivost ispravnog merenja Savremeni OTDR-i imaju razvijen sistem automatskog merenja slabljenja na spoju, tako da se pozicioniranjem kursora na spoj, obrade podaci krive iz okoline spoja na osnovu čega se izračunava vrednost slabljenja na spoju. Na ovaj način je povećana ponovljivost merenja slabljenja spoja Memorisanje i obrada podataka i upravljanje merenjem preko računara Centar za telekomunikacije, Fakultet tehničkih nauka 7-28

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U BEOGRADU KATEDRA ZA ELEKTRONIKU OSNOVI ELEKTRONIKE SVI ODSECI OSIM ODSEKA ZA ELEKTRONIKU LABORATORIJSKE VEŽBE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA Autori: Goran Savić i Milan

Διαβάστε περισσότερα

14.6. Metode merenja u optičkim komunikacionim sistemima

14.6. Metode merenja u optičkim komunikacionim sistemima 14.6. Metode merenja u optičkim komunikacionim sistemima Merenje karakteristika optičkih vlakana je od višestruke koristi proizvođačima (koje interesuju tehnološki i mehanički problemi pri proizvodnji

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

14. Merenja na optičkim komunikacionim sistemima

14. Merenja na optičkim komunikacionim sistemima 14. Merenja na optičkim komunikacionim sistemima 14.1. Osnove prostiranja svetlosti kroz optičko vlakno Glavna karakteristika optičkih sistema prenosa jeste potencijalna mogućnost prenosa velike količine

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija prenosa. Funkcija prenosa se definiše kao količnik z transformacija odziva i pobude. Za LTI sistem: y n h k x n k.

Funkcija prenosa. Funkcija prenosa se definiše kao količnik z transformacija odziva i pobude. Za LTI sistem: y n h k x n k. OT3OS1 7.11.217. Definicije Funkcija prenosa Funkcija prenosa se definiše kao količnik z transformacija odziva i pobude. Za LTI sistem: y n h k x n k Y z X z k Z y n Z h n Z x n Y z H z X z H z H z n h

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Obrada signala

Obrada signala Obrada signala 1 18.1.17. Greška kvantizacije Pretpostavka je da greška kvantizacije ima uniformnu raspodelu 7 6 5 4 -X m p x 1,, za x druge vrednosti x 3 x X m 1 X m = 3 x Greška kvantizacije x x x p

Διαβάστε περισσότερα

1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II

1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II 1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja

Διαβάστε περισσότερα

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C)

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) PRILOG Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) Tab 3. Vrednosti sačinilaca α i β za tipične konstrukcije SN-sabirnica Tab 4. Minimalni

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Antene. Srednja snaga EM zračenja se dobija na osnovu intenziteta fluksa Pointingovog vektora kroz sferu. Gustina snage EM zračenja:

Antene. Srednja snaga EM zračenja se dobija na osnovu intenziteta fluksa Pointingovog vektora kroz sferu. Gustina snage EM zračenja: Anene Transformacija EM alasa u elekrični signal i obrnuo Osnovne karakerisike anena su: dijagram zračenja, dobiak (Gain), radna učesanos, ulazna impedansa,, polarizacija, efikasnos, masa i veličina, opornos

Διαβάστε περισσότερα

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA. IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)

Διαβάστε περισσότερα

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79 TEORIJA BETOSKIH KOSTRUKCIJA 79 Primer 1. Odrediti potrebn površin armatre za stb poznatih dimenzija, pravogaonog poprečnog preseka, opterećen momentima savijanja sled stalnog ( g ) i povremenog ( w )

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 2 DIODA I TRANZISTOR

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 2 DIODA I TRANZISTOR ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U BEOGRADU KATEDRA ZA ELEKTRONIKU OSNOVI ELEKTRONIKE ODSEK ZA SOFTVERSKO INŽENJERSTVO LABORATORIJSKE VEŽBE VEŽBA BROJ 2 DIODA I TRANZISTOR 1. 2. IME I PREZIME BR. INDEKSA GRUPA

Διαβάστε περισσότερα

II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA

II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA Poožaj težišta vozia predstavja jednu od bitnih konstruktivnih karakteristika vozia s obzirom da ova konstruktivna karakteristika ima veiki uticaj na vučne karakteristike

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA MODEL VOZILA U UZDUŽNOJ DINAMICI Zanemaruju se sva pomeranja u pravcima normalnim na pravac kretanja (ΣZ i = 0, ΣY i = 0) Zanemaruju se svi vidovi pobuda na oscilovanje i vibracije,

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Katedra za elektroniku Elementi elektronike Laboratorijske vežbe Vežba br. 2 STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Datum: Vreme: Studenti: 1. grupa 2. grupa Dežurni: Ocena: Elementi elektronike -

Διαβάστε περισσότερα

LOGO ISPITIVANJE MATERIJALA ZATEZANJEM

LOGO ISPITIVANJE MATERIJALA ZATEZANJEM LOGO ISPITIVANJE MATERIJALA ZATEZANJEM Vrste opterećenja Ispitivanje zatezanjem Svojstva otpornosti materijala Zatezna čvrstoća Granica tečenja Granica proporcionalnosti Granica elastičnosti Modul

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti MEHANIKA FLUIDA Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti zadatak Prizmatična sud podeljen je vertikalnom pregradom, u kojoj je otvor prečnika d, na dve komore Leva komora je napunjena vodom

Διαβάστε περισσότερα

VEŽBA BR. 3 ODREĐIVANJE MODULA ELASTIČNOSTI

VEŽBA BR. 3 ODREĐIVANJE MODULA ELASTIČNOSTI VEŽBA BR. 3 ODREĐIVANJE MODULA ELASTIČNOSTI Za MODUL ELASTIČNOSTI je vezan HUKOV ZAKON Hukov zakon je dat izrazom R E MPa R napon ε jedinično izduženje E modul elastičnosti Modul elastičnosti (E) predstavlja

Διαβάστε περισσότερα

nagib krive je: talasna dužina - λ (nm) Slika Hromatska disperzija u funkciji talasne dužine

nagib krive je: talasna dužina - λ (nm) Slika Hromatska disperzija u funkciji talasne dužine nagib krive je: 20 S 0 = 0,095 psec 2 ( nm) km 0 disperzija - D (nsec/nm/km) -20-40 -60-80 -100-120 λ 0 =1335nm S 0 λ0 D = λ1 + 4 λ 4-140 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 talasna dužina - λ (nm) Slika

Διαβάστε περισσότερα

Poglavlje 7. Blok dijagrami diskretnih sistema

Poglavlje 7. Blok dijagrami diskretnih sistema Poglavlje 7 Blok dijagrami diskretnih sistema 95 96 Poglavlje 7. Blok dijagrami diskretnih sistema Stav 7.1 Strukturni dijagram diskretnog sistema u kome su sve veliqine prikazane svojim Laplasovim transformacijama

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log = ( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Vežba 1: Karakterizacija optičkih vlakana

Vežba 1: Karakterizacija optičkih vlakana 1 Vežba 1: Karakterizacija optičkih vlakana Vežba 1: Karakterizacija optičkih vlakana Za pripremu ove vežbe, podrazumeva se da su studenti upoznati sa materijalima sa predavanja. Posebnu pažnju treba posvetiti

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu

Διαβάστε περισσότερα

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

APROKSIMACIJA FUNKCIJA APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA

II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA Poožaj težišta vozia predstavja jednu od bitnih konstruktivnih karakteristika vozia s obzirom da ova konstruktivna karakteristika ima veiki uticaj na vučne karakteristike

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Program testirati pomoću podataka iz sledeće tabele:

Program testirati pomoću podataka iz sledeće tabele: Deo 2: Rešeni zadaci 135 Vrednost integrala je I = 2.40407 42. Napisati program za izračunavanje koeficijenta proste linearne korelacije (Pearsonovog koeficijenta) slučajnih veličina X = (x 1,..., x n

Διαβάστε περισσότερα

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

Otpornost R u kolu naizmjenične struje Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

TERMALNOG ZRAČENJA. Plankov zakon Stefan Bolcmanov i Vinov zakon Zračenje realnih tela Razmena snage između dve površine. Ž. Barbarić, MS1-TS 1

TERMALNOG ZRAČENJA. Plankov zakon Stefan Bolcmanov i Vinov zakon Zračenje realnih tela Razmena snage između dve površine. Ž. Barbarić, MS1-TS 1 OSNOVNI ZAKONI TERMALNOG ZRAČENJA Plankov zakon Stefan Bolcmanov i Vinov zakon Zračenje realnih tela Razmena snage između dve površine Ž. Barbarić, MS1-TS 1 Plankon zakon zračenja Svako telo čija je temperatura

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA.   Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

PRAVILNIK O METROLOŠKIM USLOVIMA ZA MERILA NIVOA ZVUKA. ("Sl. list SRJ", br. 27/2001) Član 1

PRAVILNIK O METROLOŠKIM USLOVIMA ZA MERILA NIVOA ZVUKA. (Sl. list SRJ, br. 27/2001) Član 1 PRAVILNIK O METROLOŠKIM USLOVIMA ZA MERILA NIVOA ZVUKA ("Sl. list SRJ", br. 27/2001) Član 1 Ovim pravilnikom propisuju se metrološki uslovi koje moraju ispunjavati merila nivoa zvuka (fonometri, zvukomeri

Διαβάστε περισσότερα

konst. Električni otpor

konst. Električni otpor Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost

Διαβάστε περισσότερα

Ponašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile

Ponašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile Ponašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile POVOĐENJE TOČKA Dejstvo bočne sile pravac kretanja pod uglom u odnosu na pravac uzdužne ravni pneumatika BOČNA SILA PAVAC KETANJA PAVAC UZDUŽNE AVNI PNEUMATIKA

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u neparametarske testove

Uvod u neparametarske testove Str. 148 Uvod u neparametarske testove Predavač: Dr Mirko Savić savicmirko@ef.uns.ac.rs www.ef.uns.ac.rs Hi-kvadrat testovi c Str. 149 Koristi se za upoređivanje dve serije frekvencija. Vrste c testa:

Διαβάστε περισσότερα

Ponašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile

Ponašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile Ponašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile POVOĐENJE TOČKA Dejstvo bočne sile pravac kretanja pod uglom u odnosu na pravac uzdužne ravni pneumatika BOČNA SILA PAVAC KETANJA PAVAC UZDUŽNE AVNI PNEUMATIKA

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

L E M I L I C E LEMILICA WELLER WHS40. LEMILICA WELLER SP25 220V 25W Karakteristike: 220V, 25W, VRH 4,5 mm Tip: LEMILICA WELLER. Tip: LEMILICA WELLER

L E M I L I C E LEMILICA WELLER WHS40. LEMILICA WELLER SP25 220V 25W Karakteristike: 220V, 25W, VRH 4,5 mm Tip: LEMILICA WELLER. Tip: LEMILICA WELLER L E M I L I C E LEMILICA WELLER SP25 220V 25W Karakteristike: 220V, 25W, VRH 4,5 mm LEMILICA WELLER SP40 220V 40W Karakteristike: 220V, 40W, VRH 6,3 mm LEMILICA WELLER SP80 220V 80W Karakteristike: 220V,

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Optička vlakna (fiberi) Kada je potrebno preneti informacije (npr. govor, slike ili podatke) na veliku daljinu, koristi se koncept komunikacije

Optička vlakna (fiberi) Kada je potrebno preneti informacije (npr. govor, slike ili podatke) na veliku daljinu, koristi se koncept komunikacije Optička vlakna (fiberi) Kada je potrebno preneti informacije (npr govor, slike ili podatke) na veliku daljinu, koristi se koncept komunikacije pomoću nosećih talasa U takvim sistemima, informacija koja

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Prosti cevovodi

MEHANIKA FLUIDA. Prosti cevovodi MEHANIKA FLUIDA Prosti ceooi zaatak Naći brzin oe kroz naglaak izlaznog prečnika =5 mm, postaljenog na kraj gmenog crea prečnika D=0 mm i žine L=5 m na čijem je prenjem el građen entil koeficijenta otpora

Διαβάστε περισσότερα

Proračunski model - pravougaoni presek

Proračunski model - pravougaoni presek Proračunski model - pravougaoni presek 1 ε b 3.5 σ b f B "" ηx M u y b x D bu G b h N u z d y b1 a1 "1" b ε a1 10 Z au a 1 Složeno savijanje - VEZNO dimenzionisanje Poznato: statički uticaji za (M i, N

Διαβάστε περισσότερα

1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka

1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka 1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje

Διαβάστε περισσότερα

Cenovnik spiro kanala i opreme - FON Inžinjering D.O.O.

Cenovnik spiro kanala i opreme - FON Inžinjering D.O.O. Cenovnik spiro kanala i opreme - *Cenovnik ažuriran 09.02.2018. Spiro kolena: Prečnik - Φ (mm) Spiro kanal ( /m) 90 45 30 Muf/nipli: Cevna obujmica: Brza diht spojnica: Elastična konekcija: /kom: Ø100

Διαβάστε περισσότερα