Úvod do testovania hypotéz
|
|
- Μελέαγρος Μπλέτσας
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 TESTOVANIE HYPOTÉZ
2 Úvod do testovania hypotéz Hypotéza je výrok, alebo tvrdenie o stave sveta (o skutočnej hodnote neznámeho parametra populácie - základného súboru), napr: Obvinený je nevinný µ= 100 Každá hypotéza implikuje svoj protiklad alebo alternatívu, napr: Obvinený je vinný µ 100 Hypotéza je pravdivá alebo nepravdivá a môžeme ju zamietnuť alebo nezamietnuť, alebo ju môžeme zamietnuť na základe určitých informácií, napr. : svedectvá alebo dôkazy na súdnom pojednávaní výberové dáta
3 Rozhodovanie Jednu z hypotéz považujeme za pravdivú, pokiaľ sa nerozhodneme zamietnuť ju ako nesprávnu, napr.: Vina je dokázaná mimo všetkých rozumných pochybností Alternatíva je vysoko nepravdepodobná Rozhodnutie nezamietnuť alebo zamietnuť hypotézu môže byť: Správne Pravdivá hypotéza môže byť nezamietnutá» Nevinný obžalovaný môže byť oslobodený Nesprávna hypotéza môže byť zamietnutá» Vinný obžalovaný môže byť odsúdený Nesprávne Pravdivá hypotéza môže byť zamietnutá» Nevinný obžalovaný môže byť odsúdený Nesprávna hypotéza nemusí byť zamietnutá» Vinný obžalovaný môže byť oslobodený 3
4 Štatistické testovanie hypotéz Nulová hypotéza (označujeme ju ) je tvrdenie o jednom alebo o viacerých parametroch populácie. Je to tvrdenie, ktoré považujeme za pravdivé, pokiaľ nemáme dostatočné štatistické dôvody pre opačný záver, napr. : µ = 100 Alternatívna hypotéza (označujeme ju H 1 ) je tvrdenie o všetkých situáciách nepokrytých nulovou hypotézou, napr.: H 1 : µ 100 a H 1 sú: Vzájomne disjunktné (vylučujú sa) Vyčerpávajúce Iba jedna môže byť pravdivá. Spolu pokrývajú všetky možnosti tak, že jedna alebo druhá musí byť pravdivá. 4
5 Nulová hypotéza Nulová hypotéza: Často predstavuje situáciu status quo alebo existujúce presvedčenie. Nezamietne sa alebo sa považuje za pravdivú, pokiaľ test nevedie k jej zamietnutiu v prospech alternatívnej hypotézy. Nezamietne sa ako pravdivá alebo sa zamietne ako nepravdivá na základe úvah o rozdelení testovacej štatistiky v prípade platnosti a porovnaní jej následne vypočítanej hodnoty s kritickými hodnotami tohto rozdelenia. 5
6 Základné pojmy testovania hypotéz Testovacia štatistika je (vopred) vhodne stanovená funkcia výberových dát. Následne vypočítaná hodnota tejto štatistiky sa používa na rozhodnutie, či máme zamietnuť alebo nezamietnuť nulovú hypotézu. Rozhodovacie pravidlo testu štatistickej hypotézy je pravidlo, ktoré špecifikuje podmienky, pri splnení ktorých možno nulovú hypotézu zamietnuť. Rozhodovanie: Sú dva možné stavy: je pravdivá je nepravdivá Existujú dve možné rozhodnutia: Nezamietnuť Zamietnuť 6
7 Prijatie rozhodnutia Rozhodnutie môže byť správne dvomi spôsobmi: Nezamietnutie pravdivej nulovej hypotézy Zamietnutie nepravdivej nulovej hypotézy Rozhodnutie môže byť nesprávne tiež dvomi spôsobmi: Chyba typu I: Zamietnutie pravdivej hypotézy Pravdepodobnosť chyby typu I označíme α. Chyba typu II: Nezamietnutie nepravdivej hypotézy Pravdepodobnosť chyby typu II označíme β. 7
8 Chyby pri testovaní hypotéz Rozhodnutie môže byť chybné dvomi spôsobmi: Chyba typu I: Zamietnutie pravdivej hypotézy Vopred zvolenú (nízku) hornú hranicu pre akceptovateľnú hodnotu pravdepodobnosti chyby typu I označíme α. α nazývame hladina významnosti testu Chyba typu II: Nezamietnutie nepravdivej hypotézy Pravdepodobnosť chyby typu II označíme β. 1 β sa nazýva sila testu. α a β sú podmienené pravdepodobnosti: α = P(zamietnutie je pravdivá) β = P(nezamietnutie je nepravdivá) 8
9 Chyby typu I a II Nasledovná štatistickej hypotézy tabuľka ilustruje možné výsledky testovania Skutočný stav Rozhodnutie Nezamietnutie Zamietnutie pravdivá Správne Chyba typu I (α)( nepravdivá Chyba typu II (β)( Správne 9
10 p-hodnota (p-value) p-value je pravdepodobnosť (apriorná pred realizáciou pokusu, z ktorého získame dáta), že získame hodnotu testovacej štatistiky, ktorá je väčšia alebo rovná ako skutočne získaná hodnota za predpokladu, že je nulová hypotéza pravdivá. p-value je najnižšia hladina významnosti, pri ktorej možno zamietnuť nulovú hypotézu. Keď je p-value je menšie alebo rovné ako α,, zamietneme na hladine významnosti α 10
11 Sila testu Sila testu štatistickej hypotézy je pravdepodobnosť zamietnutia nulovej hypotézy, keď je táto hypotéza nepravdivá: sila testu = 1 - β Faktory ovplyvňuj ujúce funkciu sily testu: Sila testu závisí od vzdialenosti medzi hodnotou parametra pri platnosti nulovej hypotézy a skutočnou hodnotou tohto parametra: čím m väčšia v je táto t to vzdialenosť,, tým väčšia v je sila testu. Sila testu závisí od štandardnej odchýlky populácie: čím m menšia je štandardná odchýlka populácie, tým väčšia v je sila testu. Sila testu závisí od použitého výberu: čím m väčšív je výber, tým väčšia je sila testu. Sila testu závisí od hladiny významnosti testu: čím m nižšia ia je hladina významnosti α, tým nižšia ia je sila testu. 11
12 Jednostranný a dvojstranný test Ak je treba prijať rozhodnutie, či hodnota parametra je väčšia ako nejaká hodnota a, potom alternatívna hypotéza je, že parameter je väčší ako a, ide o pravostranný test : µ 50 H 1 : µ > 50 Ak je treba prijať rozhodnutie, či hodnota parametra je menšia ako nejaká hodnota a, potom alternatívna hypotéza je, že parameter je menší ako a, ide o ľavostranný test : µ 50 H 1 : µ < 50 Ak je treba prijať rozhodnutie, či hodnota parametra je menšia alebo väčšia ako nejaká hodnota a, potom alternatívna hypotéza je, že parameter nie je rovný a a ide o dvojstranný (two( tailed) test : µ = 50 H 1 : µ 50 12
13 zamietnutia zamietnutia testu štatistickej hypotézy je rozsah možných hodnôt testovacej štatistiky, ktorý nás privedie k zamietnutiu nulovej hypotézy v prípade, ak následne vypočítaná hodnota testovacej štatistiky padne do tejto oblasti. zamietnutia sa tiež nazýva kritickou oblasťou ou, a je definovaná kritickými bodmi. zamietnutia je definovaná tak, aby predtým, než uskutočníme výber, naša testovacia štatistika s pravdepodobnosťou α padla do oblasti zamietnutia, ak je nulová hypotéza pravdivá. nezamietnutia nezamietnutia je rozsah hodnôt (tiež určený kritickými bodmi), ktorý vedie k nezamietnutiu nulovej hypotézy, ak testovacia štatistika padne do tejto oblasti. nezamietnutia je navrhnutá tak, aby (predtým, ako sa uskutoční výber) bola pravdepodobnosť, že hodnota testovacej štatistiky padne do oblasti nezamietnutia rovná 1 - α (pri platnosti nulovej hypotézy ). V obojstrannom teste pozostáva oblasť zamietnutia z hodnôt na obidvoch okrajoch výberového rozdelenia. 13
14 p-value a testovanie hypotéz Tzv. hodnota p-value sa počíta pomocou pôvodnej distribučnej funkcie F(x) testovacej štatistiky (za platnosti ), do ktorej dosadíme hodnotu testovacej štatistiky (TS). Toto číslo udáva pravdepodobnosť, s akou sa mohli hodnoty testovacej štatistiky ocitnúť v intervale, ktorý je sprava ohraničený následne zistenou hodnotou testovacej štatistiky a je rovné tzv. p-hodnote v prípade ľavostranného testu (p-value = F(TS) = P(X TS)). V prípade pravostranného testu je p-hodnota rovná rozdielu 1 a vyššie uvedenej hodnoty pôvodnej distribučnej funkcie testovacej štatistiky v jej následne zistenej hodnote. Je to pravdepodobnosť, s akou sa mohli hodnoty testovacej štatistiky ocitnúť v intervale, ktorý je zľava ohraničený jej následne zistenou hodnotou (p-value = 1 - F(TS) = P(X > TS)). Pri obojstrannom teste je p-hodnota 2-násobkom minima p-hodnôt pre ľavostranný a pravostranný test (p-value = 2*min(F(TS), 1 - F(TS)) ). Pri danej hladine významnosti α: zamietame nulovú hypotézu vtedy a len vtedy, ak α p-value 14
15 Zobrazenie testovania hypotéz Spoločnosť, ktorá doručuje balíky v oblasti veľkého mesta tvrdí, že balík od vašich dverí doručí na miesto určenia priemerne za 28 minút. Overte, či toto tvrdenie môžeme považovať za pravdivé. Nulová a alternatívna hypotéza: : µ = 28 H 1 : µ 28 Výberové štatistiky: n = 100 x = 31.5 s = 5 95% -ný konfidenčný interval pre priemerný čas doručenia: [30.52, 32.48]
16 Zdá sa rozumné zamietnuť : µ = 28, pretože hodnota 28 leží mimo 95%-ného konfidenčného intervalu. Ak sme si na 95% istí, že stredná hodnota doručenia je medzi a minútami, je veľmi nepravdepodobné, že stredná hodnota doručenia balíka je 28 minút. Stredná hodnota doručenia balíka môže byť 28 (nulová hypotéza môže byť pravdivá), ale potom pozorovaný výberový priemer 31.5 by bol veľmi nepravdepodobným javom. Existuje len malá šanca (α = 0.05), že by sme mohli zamietnuť pravdivú nulovú hypotézu. α predstavuje hladinu významnosti (level( of significance) testu. 16
17 nezamietnutia Ak pozorovaný výberový priemer padne do oblasti nezamietnutia, potom nezamietneme, pretože je pravdivá. Okolo predpokladanej populačnej strednej hodnoty konštruujeme 95%-ný tolerančný interval a porovnáme ho s 95%-ným konfidenčným intervalom okolo pozorovaného výberového priemeru: nezamietnutia a konfidenčný interval majú tú istú šírku, ale ich stredy sú v odlišných bodoch. V tomto prípade oblasť nezamietnutia nezahrňuje pozorovaný výberový priemer a konfidenčný interval neobsahuje populačnú strednú hodnotu.
18 Zobrazenie oblasti nezamietnutia Ak by bola nulová hypotéza pravdivá, potom: Nájdeme oblasť 95%-ného výskytu hodnôt testovacej štatistiky medzi kritickými bodmi a Ostávajúcu oblasť rozdelíme na 2.5% pod a 2.5% nad (dvojstranný test). 95%-ný interval okolo predpokladanej strednej hodnoty definuje oblasť nezamietnutia (so zvyšnými 5%-ami v dvoch oblastiach). The Hypothesized Sampling Distribution of the Mean
19 Rozhodovacie pravidlo Konštruujeme (1-α) oblasť nezamietnutia okolo hypotetizovanej strednej hodnoty populácie: nezamietneme, ak výberový priemer padne do oblasti nezamietnutia (medzi kritické body). zamietneme, ak výberový priemer padne mimo oblasť nezamietnutia. The Hypothesized Sampling Distribution of the Mean x = 31.5 zamietnutia nezamietnutia zamietnutia
20 a) Testovanie strednej hodnoty populácie Prípady, keď testovacou štatistikou je Z: σ je známe a rozdelenie populácie je normálne; σ je známe a veľkosť výberu je aspoň 30 (populácia nemusí mať normálne rozdelenie). x µ Z = σ n Prípady, keď testovacou štatistikou je t: σ je neznáme, ale výberová štandardná odchýlka je známa a populácia je normálne rozdelená. t = x µ sˆ n 20
21 b) Testovanie rozptylu populácie Pri testovaní hypotézy o rozptyle populácie je testovacia štatistika: ( n ) 2 1 s χ = 2 σ 0 2 kde σ 0 je zadaný populačný rozptyl pri nulovej hypotéze. Počet stupňov voľnosti pre chi-kvadrát rozdelenie je n Poznámka mka: : Pretože chi-kvadr kvadrát tabuľky poskytujú iba kritické hodnoty, nemožno no ich použiť na výpočet presných p-hodnôt.. Ako v prípade pade t-tabuliek, možno usudzovať iba o rozsahu možných hodnôt. Štatistické programy však v umožň žňujú aj výpočet týchto p-hodnôt. 21
22 Príklad 1 Letecká spoločnosť chce stanoviť batožinovú kapacitu v lietadle. Analytik predpokladá, že priemerná váha batožiny na osobu je µ 0 = 12 libier. Aby overil svoj predpoklad, u 144 náhodne vybraných cestujúcich presne zmeral váhu ich batožiny a zistil, že priemerná váha bola 14.6 libier a štandardná odchýlka 7.8. Na základe výsledkov tohto prieskumu otestujte na hladine významnosti α = 0.05, či je predpoklad analytika správny. : µ = 12 oproti H 1 : µ 12 Pre α = 0.05 sús kritické hodnoty: ± 1.96 Štandardizované normálne rozdelenie nezamietame, ak z 1.96 zamietame, ak z < alebo z > zamietnutia nezamietnutia zamietnutia 22
23 Riešenie enie príkladu 1 Štandardizované normálne rozdelenie x µ Z = = = = σ n zamietnutia nezamietnutia zamietnutia Pretože e testovacia štatistika padla do hornej oblasti zamietnutia, zamieta a uzatvárame, že e priemerná váha batožiny je viac ako 12 libier. sa 23
24 Príklad 2 Poisťovacia spoločnosť tvrdí, že za posledných niekoľko rokov bola priemerná hodnota poistenia dolárov. U 100 náhodne vybraných klientov zistili, že priemerné poistenie bolo a štandardná odchýlka 947. Otestujte na hladine významnosti α = 0.01, či je tvrdenie poisťovacej spoločnosti pravdivé. : µ = 2000 oproti H 1 : µ 2000 Pre α = 0.01 sús kritické hodnoty: ± 2.58 nezamietame, ak z 2.58 zamietame, ak z < alebo z > Štandardizované normálne rozdelenie 0.99 x µ Z = = = = σ n Pretože e testovacia štatistika padla do hornej oblasti zamietnutia, zamietame a môžeme uzavrieť, že e priemerná hodnota poistenia bola vyšš ššia ako 2000 dolárov. zamietnutia nezamietnutia zamietnutia 24
25 Príklad 3 Priemerný čas, za ktorý počítač vykoná určitú prácu je 3.24 sekúnd. Testuje sa štatistická hypotéza, že priemerný čas vykonania práce pomocou nového algoritmu je rovnaký, proti alternatíve, že priemerný čas nie je rovnaký. Pri 200 opakovaniach sa zistil priemerný čas 3.48 a štandardná odchýlka 2.8. Test sa vykonáva na hladine významnosti α = : µ = 3.24 oproti H 1 : µ 3.24 Pre α = 0.05 sús kritické hodnoty: ± 1.96 nezamietame, ak z 1.96 zamietame, ak z < alebo z > Štandardizované normálne rozdelenie x µ Z = = = = 1.21 σ n 200 Pretože e testovacia štatistika padla do hornej oblasti nezamietnutia, nezamie- tame a môžeme uzavrieť, že e priemerný čas na vykonanie práce sa nezmenil zostal 3.24 sekúnd. zamietnutia nezamietnutia zamietnutia 25
26 Príklad 4 Podľa Japonskej národnej agentúry pôdy, priemerná cena pôdy v centre Tokia prudko stúpla o 49% za prvých 6 mesiacov Spoločnosť pre medzinárodné investície do nehnuteľností chce testovať toto tvrdenie proti alternatíve, že priemerná cena nestúpla o 49%, na hladine významnosti U 18 náhodne vybraných pozemkov sa zistilo zvýšenie ceny v priemere o 38% a štandardná odchýlka 14%. : µ = 49 oproti H 1 : µ 49 Pre α = 0.01 a (18 1) = 17 df sú kritické hodnoty t-rozdelenia: ± t- rozdelenie t = x µ = ŝ n = 11 = Pretože e testovacia štatistika je v dolnej oblasti zamietnutia, zamietame a môžeme uzavrieť, že e priemerná cena stúpla o menej ako o 49% zamietnutia nezamietnutia zamietnutia 26
27 Príklad 5 Výrobca tvrdí, že osvetľovacie teleso vydrží v priemere 65 hodín. Konkurencia predpokladá, že priemerná životnosť osvetľovacieho telesa je nižšia ako stanovuje výrobca a chce dokázať, že tvrdenie výrobcu je nesprávne. Uskutočnil sa náhodný výber 21 osvetľovacích telies. Vypočítaný výberový priemer je 62.5 hodín a výberová štandardná odchýlka je 3. Nech α = Existujú dôvody pre záver, že tvrdenie výrobcu je nesprávne? : µ 65 oproti H 1 : µ < 65 Pre α = 0.01 a (21 1) = 20 df je kritická hodnota t-rozdelenia t 0.01 : x µ t = = ŝ n = Kritický bod ľavostranného testu 0.99 Pretože e testovacia štatistika padla do oblasti zamietnutia, zamietame a môžeme prijať záver, že e tvrdenie výrobcu je nesprávne, a priemerná životnosť je menšia ako 65 hodín zamietnutia nezamietnutia 27
28 Príklad 6 Výrobca golfových palíc tvrdí, že váhy palíc sú starostlivo kontrolované, takže ich rozptyl nie je väčší ako 1 mg 2. Z náhodného výberu 31 palíc sa vypočítal výberový rozptyl 1.62 mg 2. Je to dostatočný dôvod na zamietnutie tvrdenia výrobcu pri α = 0.05 (5%)? Nech σ 2 je rozptyl populácie. Potom : σ 2 1 oproti H 1 : σ 2 > 1 χ 2 = ( 31 1) = 48.6 Pre α = 0.05 a (31 1) = 30 df je kritická hodnota χ 2 rozdelenia χ (30) = Pretože e testovacia štatistika padla do oblasti zamietnutia (je väčšia v ako kritická hodnota), zamietame a môžeme prijať záver, že e tvrdenie výrobcu je nesprávne. 28
Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
Διαβάστε περισσότεραChí kvadrát test dobrej zhody. Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky
Chí kvadrát test dobrej zhody Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova Test dobrej zhody I. Chceme overiť, či naše dáta pochádzajú z konkrétneho pravdep.
Διαβάστε περισσότεραJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18
Διαβάστε περισσότερα1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
Διαβάστε περισσότεραKATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita
132 1 Absolútna chyba: ) = - skut absolútna ochýlka: ) ' = - spr. relatívna chyba: alebo Chyby (ochýlky): M systematické, M náhoné, M hrubé. Korekcia: k = spr - = - Î' pomerná korekcia: Správna honota:
Διαβάστε περισσότεραΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ (Hypothesis Testing)
ΤΕΙ ΑΘΗΝΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 4-5 ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ (Hypothesis Testig) Ο έλεγχος υποθέσεων και η
Διαβάστε περισσότεραMotivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.
14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12
Διαβάστε περισσότεραUniverzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta. Katarína Starinská. Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Katarína Starinská Detekce změn v časových řadách Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí diplomové práce: Doc.
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
Διαβάστε περισσότερα7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
Διαβάστε περισσότεραPriamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava
Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné
Διαβάστε περισσότεραTESTOVANIE ŠTATISTICKÝCH HYPOTÉZ. Zdroje: Kompendium statistického zpracování dat, VPS s r. o.
TESTOVANIE ŠTATISTICKÝCH HYPOTÉZ Zdroje: Kompendium statistického zpracování dat, VPS s r. o. Témy prednášky ŠTATISTIKA, HYPOTÉZA TESTY ŠTATISTICKÝCH HYPOTÉZ (Testy štatistickej významnosti) t-test (STUDENTOV)
Διαβάστε περισσότεραJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2013/2014 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/27
Διαβάστε περισσότεραCvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
Διαβάστε περισσότεραAerobTec Altis Micro
AerobTec Altis Micro Záznamový / súťažný výškomer s telemetriou Výrobca: AerobTec, s.r.o. Pionierska 15 831 02 Bratislava www.aerobtec.com info@aerobtec.com Obsah 1.Vlastnosti... 3 2.Úvod... 3 3.Princíp
Διαβάστε περισσότεραVzorce pre polovičný argument
Ma-Go-15-T List 1 Vzorce pre polovičný argument RNDr Marián Macko U: Vedel by si vypočítať hodnotu funkcie sínus pre argument rovný číslu π 8? Ž: Viem, že hodnota funkcie sínus pre číslo π 4 je Hodnota
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Γενικά. 2. Πεδία Ορισµού
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 Γενικά Συνάρτηση είνι µι διδικσί µε την οοί φτιάχνουµε διτετγµέν ζεύγη ριθµών της µορφής (x,y) σύµφων µε ένν συγκεκριµένο κνόν ου ονοµάζετι τύος της συνάρτησης y= f (x) Πράδειγµ: ίνετι η
Διαβάστε περισσότεραMatematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
Διαβάστε περισσότεραEkvačná a kvantifikačná logika
a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných
Διαβάστε περισσότεραΕΚΛΟΓΙΚΗ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ ΕΒΡΟΥ
ΕΚΛΟΓΙΚΗ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ ΕΒΡΟΥ ΑΣΗΜΑΚΟΠΟΥΛΟΣ ΣΠΥΡΙΔΩΝ του ΔΗΜΗΤΡΙΟΥ ΚΑΛΑΪΤΖΙΔΟΥ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ του ΜΙΧΑΗΛ ΚΟΖΑΡΗΣ ΚΥΡΙΑΚΟΣ του ΧΡΗΣΤΟΥ ΜΑΛΚΟΥΚΗΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ του ΔΗΜΗΤΡΙΟΥ ΜΟΡΑΛΗΣ ΖΗΣΗΣ του ΙΩΑΝΝΗ ΕΚΛΟΓΙΚΗ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ
Διαβάστε περισσότεραΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΘΕΜΑ 1 Ο
ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ 1 ο κεφάλαιο: «ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ» ΘΕΜΑ 1 Ο 1. Ένα σώµα εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση. Στο διπλανό σχήµα φαίνεται η γραφική παράσταση της ταχύτητας του σώµατος µε το χρόνο. Η αρχική φάση της ταλάντωσης
Διαβάστε περισσότερα42. διαβάζει την εφηµερίδα (α) ή να διαβάζει την εφηµερίδα (β) ii) Ορίζουµε το ενδεχόµενο
5 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 41. Να βρεθούν 4 αριθµοί οι οποίοι αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθµητικής προόδου αν το άθροισµα τους είναι και το άθροισµα των τετραγώνων τους είναι 166 i Αν ο µικρότερος
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραUniverzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Viktória Rusnáková Porovnání přesných a asymptotických testů Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské
Διαβάστε περισσότεραVYMEDZENIE POJMOV. Váhy s automatickou činnosťou. Kontrolné váhy s automatickou činnosťou. Triediace váhy s automatickou činnosťou
VÁHY S AUTOMATICKOU ČINNOSŤOU (MI-006) Pre váhy s automatickou činnosťou, používané na určenie hmotnosti telesa s využitím pôsobenia gravitácie na toto teleso platia uplatniteľné požiadavky prílohy č.
Διαβάστε περισσότερα1. písomná práca z matematiky Skupina A
1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi
Διαβάστε περισσότεραΥπολογισμός ορίου συνάρτησης όταν x ±
6 Υπολογισός ορίου συνάρτησης όταν ± Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν οι τιές ιας συνάρτησης αυξάνονται απεριόριστα όταν το αυξάνεται απεριόριστα, λέε ότι το όριο της συνάρτησης στο + είναι το + και γράφουε
Διαβάστε περισσότεραΘέµατα Άλγεβρας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2000
Ζήτηµα 1ο Θέµατα Άλγεβρας Γεικής Παιδείας Β Λυκείου 000 Α.1. Να γράψετε το τύο ου δίει το ιοστό όρο α µιας αριθµητικής ροόδου (α ) ου έχει ρώτο όρο α 1 και διαφορά ω. (Μοάδες 3) Α.. Να γράψετε τη σχέση
Διαβάστε περισσότεραTesty hypotéz o parametroch normálneho rozdelenia.
Kapitola 7. A Tety hypotéz o parametroch normálneho rozdelenia. Predtavme i, že vyšetrujeme predpoklady o parametroch normálneho rozdelenia výberového úboru, pričom o normalite úboru nemáme pochybnoti
Διαβάστε περισσότεραPRIEMER DROTU d = 0,4-6,3 mm
PRUŽINY PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY VIAC AKO 200 RUHOV SKRUTNÝCH PRUŽÍN PRIEMER ROTU d = 0,4-6,3 mm èíslo 3.0 22.8.2008 8:28:57 22.8.2008 8:28:58 PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY TECHNICKÉ PARAMETRE h d L S Legenda
Διαβάστε περισσότεραŽivot vedca krajší od vysnívaného... s prírodou na hladine α R-P-R
Život vedca krajší od vysnívaného... s prírodou na hladine α R-P-R Ako nadprirodzené stretnutie s murárikom červenokrídlym naformátovalo môj profesijný i súkromný život... Osudové stretnutie s murárikom
Διαβάστε περισσότεραPrechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009
Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica
Διαβάστε περισσότερα2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 11. Έστω η εξίσωση x + ( λ + )x + 8λ = 0 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει πραγµατικές ρίζες για κάθε τιµή του λ R. Πότε οι ρίζες είναι ίσες και πότε άνισες; Αν x 1, x είναι
Διαβάστε περισσότεραPodnikateľ 90 Mobilný telefón Cena 95 % 50 % 25 %
Podnikateľ 90 Samsung S5230 Samsung C3530 Nokia C5 Samsung Shark Slider S3550 Samsung Xcover 271 T-Mobile Pulse Mini Sony Ericsson ZYLO Sony Ericsson Cedar LG GM360 Viewty Snap Nokia C3 Sony Ericsson ZYLO
Διαβάστε περισσότεραGenerovanie náhodných čísel
Generovanie náhodných čísel Náhodné čísla sú dôležitá súčasť výpočtov v: modelovaní a simuláciách numerickej analýze rozhodovaní počítačovej grafike kryptografii dátovej komunikácií... Základné spôsoby
Διαβάστε περισσότεραModerné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x
Διαβάστε περισσότεραOdporníky. 1. Príklad1. TESLA TR
Odporníky Úloha cvičenia: 1.Zistite technické údaje odporníkov pomocou katalógov 2.Zistite menovitú hodnotu odporníkov označených farebným kódom Schématická značka: 1. Príklad1. TESLA TR 163 200 ±1% L
Διαβάστε περισσότεραΤΖΑΚΙΑ ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΑ ΑΕΡΟΘΕΡΜΑ Φ 250 25,6 275 1,700 Φ 250 1,700 Φ 250 1,700 Φ 250 1,700 Φ 250 1,800 Φ 250 1,800 Υ: 1.75 B:0.59 Π: 0.
ΚΑΜΙΝΑΔΑΣ Kw ΒΑΡΟΣ 1 B:0.59 150 25,6 275 1,700 2 3 4 5 ΣΤΡΟΓΓΥΛΟ Τ 90 B:0.73 B:0.76 Υ: 1.72 B:0.62 Π: 0.98 B:0.66 Π:1.06 150 150 24 20 20 20 288 295 305 1,700 1,700 1,700 1,800 ΤΖΑΚΙΑ ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΑ ΑΕΡΟΘΕΡΜΑ
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ - ΔΕΣΜΟΙ
2 ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ - ΔΕΣΜΟΙ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 2.1 Ηλεκτρονική δομή των ατόμων 2.2 Κατάταξη των στοιχείων (Περιοδικός Πίνακας). Χρησιμότητα του Περιοδικού Πίνακα 2.3 Γενικά για το χημικό δεσμό- Παράγοντες που
Διαβάστε περισσότεραΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 11. Εισαγωγή στον έλεγχο υποθέσεων
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
Διαβάστε περισσότεραStart. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
Διαβάστε περισσότερα6 APLIKÁCIE FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH
6 APLIKÁCIE FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH 6. Otázky Definujte pojem produkčná funkcia. Definujte pojem marginálny produkt. 6. Produkčná funkcia a marginálny produkt Definícia 6. Ak v ekonomickom procese počet
Διαβάστε περισσότερα8. ΠΙΝΑΚΕΣ ΣΥΝΑΦΕΙΑΣ ΜΙΑ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΥΣΑ ΕΙΔΙΚΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ Οι rc πίνακες συναφείας που εξετάσθηκαν στην προηγούμενη ενότητα, αποτελούν εν γένει μία παράθεση φυσικών αριθμών ταξινομημένων σε r γραμμές και c
Διαβάστε περισσότεραΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 13. Συμπεράσματα για τη σύγκριση δύο πληθυσμών
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
Διαβάστε περισσότεραMotivácia pojmu derivácia
Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)
Διαβάστε περισσότεραA-1 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ ΤΩΝ ΚΛΕΙΣΤΩΝ ΘΩΡΑΚΙΚΩΝ ΚΑΚΩΣΕΩΝ ΣΕ ΠΟΛΥΤΡΑΥΜΑΤΙΕΣ
A-1 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ ΤΩΝ ΚΛΕΙΣΤΩΝ ΘΩΡΑΚΙΚΩΝ ΚΑΚΩΣΕΩΝ ΣΕ ΠΟΛΥΤΡΑΥΜΑΤΙΕΣ Π.Χουντής(1), Ν.Αντωνόπουλος(1), Κ.Χατζηβέης(2), Χ.Ρουµπέας(2), Μ.Σακελλαρόπουλος(2), Ι.Μπελλένης(1) (1)Χειρουργική Κλινική
Διαβάστε περισσότεραPríručka. (vysvetlenie pojmov, používaných v záverečných správach zo štatistického spracovania testov EČ MS) Oddelenie hodnotenia výsledkov meraní
(vysvetlenie pojmov, používaných v záverečných správach zo štatistického spracovania testov EČ MS) Oddelenie hodnotenia výsledkov meraní NÚCEM Bratislava 009 ÚVOD... 3 1 ZÁKLADNÉ INFORMÁCIE O EXTERNEJ
Διαβάστε περισσότερα,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky,
Farba skupiny: zelená Označenie úlohy:,zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Úloha: Zistiť, ako závisí účinnosť zohrievania vody na indukčnom variči od priemeru použitého hrnca. Hypotéza: Účinnosť
Διαβάστε περισσότεραHASLIM112V, HASLIM123V, HASLIM136V HASLIM112Z, HASLIM123Z, HASLIM136Z HASLIM112S, HASLIM123S, HASLIM136S
PROUKTOVÝ LIST HKL SLIM č. sklad. karty / obj. číslo: HSLIM112V, HSLIM123V, HSLIM136V HSLIM112Z, HSLIM123Z, HSLIM136Z HSLIM112S, HSLIM123S, HSLIM136S fakturačný názov výrobku: HKL SLIMv 1,2kW HKL SLIMv
Διαβάστε περισσότεραKontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť.
Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť. Ktoré fyzikálne jednotky zodpovedajú sústave SI: a) Dĺžka, čas,
Διαβάστε περισσότεραSpojité rozdelenia pravdepodobnosti. Pomôcka k predmetu PaŠ. RNDr. Aleš Kozubík, PhD. 26. marca Domovská stránka. Titulná strana.
Spojité rozdelenia pravdepodobnosti Pomôcka k predmetu PaŠ Strana z 7 RNDr. Aleš Kozubík, PhD. 6. marca 3 Zoznam obrázkov Rovnomerné rozdelenie Ro (a, b). Definícia.........................................
Διαβάστε περισσότεραPRÍLOHA MI-006 VÁHY S AUTOMATICKOU ČINNOSŤOU
PRÍLOHA MI-006 VÁHY S AUTOMATICKOU ČINNOSŤOU Pre ďalej definované váhy s automatickou činnosťou, používané na určenie hmotnosti telesa na základe pôsobenia zemskej gravitácie, platia základné požiadavky
Διαβάστε περισσότεραMa-Go-20-T List 1. Obsah trojuholníka. RNDr. Marián Macko
Ma-Go-0-T List 1 Obsah trojuholníka RNDr Marián Macko U: Čo potrebuješ poznať, aby si mohol vypočítať obsah trojuholníka? Ž: Potrebujem poznať jednu stranu a výšku na túto stranu, lebo základný vzorec
Διαβάστε περισσότεραZáklady matematickej štatistiky
1. Náhodný výber, výberové momenty a odhad parametrov Katedra Matematických metód Fakulta Riadenia a Informatiky Žilinská Univerzita v Žiline 6. mája 2015 1 Náhodný výber 2 Výberové momenty 3 Odhady parametrov
Διαβάστε περισσότεραŠtatistické riadenie procesov Regulačné diagramy 3-1
Charakteristika Štatistické riadenie procesov Regulačné diagramy 3-1 3 Regulačné diagramy Cieľ kapitoly Po preštudovaní tejto kapitoly budete vedieť: čo je to regulačný diagram, aké je jeho teoretické
Διαβάστε περισσότεραPRUŽNOSŤ A PEVNOSŤ PRE ŠPECIÁLNE INŽINIERSTVO
ŽILINSKÁ UNIVERZITA V ŽILINE Fakulta špeciálneho inžinierstva Doc. Ing. Jozef KOVAČIK, CSc. Ing. Martin BENIAČ, PhD. PRUŽNOSŤ A PEVNOSŤ PRE ŠPECIÁLNE INŽINIERSTVO Druhé doplnené a upravené vydanie Určené
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ
ΑΝΑΛΥΣΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ Ενότητα 5: ΠΡΟΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΠΩΛΗΣΕΩΝ ΚΥΡΙΑΖΟΠΟΥΛΟΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Τμήμα ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραHANA LAURINCOVÁ KLASICKÝ VS. NEPARAMETRICKÝ PRÍSTUP Štatistika Poistná matematika
UNIVERZITA KOMENSKÉHO, BRATISLAVA FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY KATEDRA POISTNEJ MATEMATIKY A ŠTATISTIKY PARCIÁLNA A MNOHONÁSOBNÁ KORELÁCIA: KLASICKÝ VS. NEPARAMETRICKÝ PRÍSTUP (Bakalárska práca)
Διαβάστε περισσότεραΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ» ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α
3 o ΔΑΓΩΝΣΜΑ ΜΑΡΤOΣ 03: ΕΝΔΕΚΤΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΣ ΦΥΣΚΗ ΘΕΤΚΗΣ ΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 3 ο ΔΑΓΩΝΣΜΑ (ΣΤΕΡΕΟ ΣΩΜΑ) ΕΝΔΕΚΤΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΣ ΘΕΜΑ Α β δ 3 δ 4 β 5 Λ βσ γλ δσ ελ ΘΕΜΑ Β Σωστή είνι η πάντηση γ Ο ρυθμός
Διαβάστε περισσότεραΑνάπτυξη Εφαρµογών σε Προγραµµατιστικό Περιβάλλον Κεφάλαιο 9
Κεφάλαιο 9 Σελίδα 1 Πίνακες 9.1 Εισαγωγή Σε πολλά προβλήµατα το πλήθος των υπό επεξεργασία πληροφοριών είναι µεγάλο. Κατά συνέπεια, η παράστασή τους και η περιγραφή της επεξεργασίας τους είναι πολύπλοκη
Διαβάστε περισσότεραΑΓΩΝΑΣ ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΟΥ ΔΙΑΜΕΡΙΣΜΑΤΟΣ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΧΩΡΟΥ 18μ Α/Γ/Ε/Ν/Π/Κ ΒΟΗΘΗΤΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΤΗΡΙΟ "Δ. ΤΟΦΑΛΟΣ" 21 ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2008 ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΜΑΡΙΟΣ
ΑΓΩΝΑΣ ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΟΥ ΔΙΑΜΕΡΙΣΜΑΤΟΣ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΧΩΡΟΥ 18μ Α/Γ/Ε/Ν/Π/Κ ΒΟΗΘΗΤΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΤΗΡΙΟ "Δ. ΤΟΦΑΛΟΣ" 21 ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2008 ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΜΑΡΙΟΣ ΒΙΣΙΛΙΑΣ ΦΩΤΙΟΣ ΚΑΡΜΟΙΡΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ 1ος 2ος 3ος ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ
Διαβάστε περισσότεραγραπτή εξέταση στο μάθημα ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
η εξεταστική περίοδος από //3 έως 7//3 γραπτή εξέταση στο μάθημα ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Τάξη: Α Λκείο Τμήμα: Βαθμός: Ονοματεπώνμο: Καθηγητές: ΑΘΑΝΑΣΙΑΔΗΣ Φ. - ΚΟΖΥΒΑ Χ. Θ Ε Μ Α Α Στις παρακάτω ερωτήσεις να επιλέξετε
Διαβάστε περισσότεραΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ. ΠΟΛΥΞΕΝΗ ΗΛΙΟΠΟΥΛΟΥ Αγρονόμος-Τοπογράφος Μηχ. Δρ. Γεωγραφίας Καθηγήτρια Τμ. Τοπογραφίας ΤΕΙ ΑΘΗΝΑΣ piliop@teiath.gr
ΧΩΡΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΞΕΝΗ ΗΛΙΟΠΟΥΛΟΥ Αγρονόμος-Τοπογράφος Μηχ. Δρ. Γεωγραφίας Καθηγήτρια Τμ. Τοπογραφίας ΤΕΙ ΑΘΗΝΑΣ piliop@teiath.gr ΘΕΜΑΤΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ Η Χωρική Ανάλυση άυση(spatiala Analysis)
Διαβάστε περισσότεραC. Kontaktný fasádny zatepľovací systém
C. Kontaktný fasádny zatepľovací systém C.1. Tepelná izolácia penový polystyrén C.2. Tepelná izolácia minerálne dosky alebo lamely C.3. Tepelná izolácia extrudovaný polystyrén C.4. Tepelná izolácia penový
Διαβάστε περισσότεραPevné ložiská. Voľné ložiská
SUPPORTS D EXTREMITES DE PRECISION - SUPPORT UNIT FOR BALLSCREWS LOŽISKA PRE GULIČKOVÉ SKRUTKY A TRAPÉZOVÉ SKRUTKY Výber správnej podpory konca uličkovej skrutky či trapézovej skrutky je dôležité pre správnu
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικό Διαγώνισµα Άλγεβρας Α Λυκείου
Επαναληπτικό Διαγώνισµα Άλγεβρας Α Λυκείου Θέµα 1 Α) Να αποδείξετε την σχέση: Ρ(Α ) 1 Ρ(Α) Β) Να δώσετε τον ορισµό της νιοστής ρίζας ενός µη αρνητικού αριθµού α. Γ) Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν,
Διαβάστε περισσότεραΝΕΑ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΓΡΑΦΕΙΟ ΤΥΠΟΥ ndpress@nd.gr
ΝΕΑ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΓΡΑΦΕΙΟ ΤΥΠΟΥ ndpress@nd.gr Τετάρτη, 9 Σεπτεμβρίου 2015 ΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ ΥΠΟΨΗΦΙΟΙ ΒΟΥΛΕΥΤΕΣ ΤΗΣ ΝΕΑΣ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΚΛΟΓΕΣ ΤΗΣ 20 ης ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΕΠΙΚΡΑΤΕΙΑ 1. ΦΟΡΤΣΑΚΗΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ
Διαβάστε περισσότερα5. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΗΣ ΕΠΙ ΟΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ
5. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΗΣ ΕΠΙ ΟΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ Κριτήριο (τεστ) αξιολόγησης είναι ένα σύνολο ερωτήσεων - θεµάτων διαφόρων τύπων που επιλέγονται µε βάση:! τους στόχους που αξιολογούνται,!
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2013
ΕΠΝΛΗΠΤΙΚΟ ΙΓΩΝΙΣΜ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 0 ΘΕΜ ο Να γράψετε στο φύλλο απαντήσεών σας τον αριµό καεµιάς από τις ακόλοες ηµιτελείς προτάσεις και δίπλα της το γράµµα πο αντιστοιχεί στο σωστό σµπλήρωµά της..
Διαβάστε περισσότεραΒ Μέρος. Περιγραφική Στατιστική & Στατιστική Συμπερασματολογία
Β Μέρος Περιγραφική Στατιστική & Στατιστική Συμπερασματολογία 8 8. Από τις πιθανότητες στη στατιστική Από τις Πιθανότητες στη Στατιστική Στα προηγούμενα, στο Α Μέρος, είδαμε πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε
Διαβάστε περισσότερα1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2
1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2 Rozdiel LMT medzi dvoma miestami sa rovná rozdielu ich zemepisných dĺžok. Pre prevod miestnych časov platí, že
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική
Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική Δημήτρης Παναγόπουλος Προσοχή: Σημειώσεις για το Μάθημα Θεωρίας Πιθανοτήτων και Στατιστικής του Τμήματος Μηχανικών Πληροφορικής Τ.Ε. του ΤΕΙ Πελοπονήσου 1. οι σημειώσεις
Διαβάστε περισσότεραReálna funkcia reálnej premennej
(ÚMV/MAN3a/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 18.10.2012 Úvod V každodennom živote, hlavne pri skúmaní prírodných javov, procesov sa stretávame so závislosťou veľkosti niektorých veličín od
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
Διαβάστε περισσότεραΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑ ΜΕΤΑΠΟΙΗΣΗ, ΠΑΡΟΧΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ, ΦΥΣΙΚΟΥ ΑΕΡΙΟΥ ΚΑΙ ΝΕΡΟΥ, ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ
Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑ ΜΕΤΑΠΟΙΗΣΗ, ΠΑΡΟΧΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ, ΦΥΣΙΚΟΥ ΑΕΡΙΟΥ ΚΑΙ ΝΕΡΟΥ, ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΜΕΓΕΘΩΝ ΓΙΑ ΤΟ 2005 Απρίλιος 2006 Επιστηµονική Επιµέλεια Κ.. Αϊβαλής
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμογές Υπολογιστών
Εφαρμογές Υπολογιστών Κεφάλαιο 7 Προγραμματισμός υπολογιστή Ψευδογλώσσα Διαδικασία επιλογής Σύνθετη ΑΝ ΣΥΝΘΕΤΗ: Δομή Αν τότε Εντολές1 αλλιώς Εντολές2 Τέλος_Αν Εφαρμογές Υπολογιστών Κεφάλαιο 7
Διαβάστε περισσότερα4. domáca úloha. distribučnú funkciu náhodnej premennej X.
4. domáca úloha 1. (rovnomerné rozdelenie) Električky idú v 20-minútových intervaloch. Cestujúci príde náhodne na zastávku. Určte funkciu hustoty rozdelenia pravdepodobnosti a distribučnú funkciu náhodnej
Διαβάστε περισσότεραΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ Ο ρ ι σ μ ό ς
ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ Ο ρ ι σ μ ό ς α 0 α = α α < 0 α = - α Ετσι από τον ορισμό : 5>0-5
Διαβάστε περισσότεραFunkcie - základné pojmy
Funkcie - základné pojmy DEFINÍCIA FUNKCIE Nech A, B sú dve neprázdne číselné množiny. Ak každému prvku x A je priradený najviac jeden prvok y B, tak hovoríme, že je daná funkcia z množiny A do množiny
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραNávrh vzduchotesnosti pre detaily napojení
Výpočet lineárneho stratového súčiniteľa tepelného mosta vzťahujúceho sa k vonkajším rozmerom: Ψ e podľa STN EN ISO 10211 Návrh vzduchotesnosti pre detaily napojení Objednávateľ: Ing. Natália Voltmannová
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΠΡΟΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΗΜΟΣΙΩΝ ΕΠΕΝ ΥΣΕΩΝ Οικονοµικό Έτος 2014 Κωδικός Αριθµός Ο ν ο µ α σ ί α ΣΥΝΟΠΤΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ 1. ΠΙΣΤΩΣΕΙΣ ΚΑΤΑ ΦΟΡΕΑ 2014 2013 ιαµόρφωση 2012 Απολογισµός
Διαβάστε περισσότεραΑνάπτυξη Εφαρμογών σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον
Ανάπτυξη Εφαρμογών σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Γ Λυκείου 2013-2014 Άνδρας Π. Χρήστος Το παρών σετ ασκήσεων αποτελεί συλλογή επεξεργασμένων ασκήσεων από διάφορες πηγές (βιβλία, internet) και αρκετών
Διαβάστε περισσότεραΠΡΑΣΙΝΟΙ ΤΟΙΧΟΙ - ΠΡΑΣΙΝΑ ΣΧΟΛΕΙΑ
Κίνηση Πολιτών Ηλιούπολης Aρ.Μητρώου Μ.Π.Α 27156 Σκρά 10, 163 46 Ηλιούπολη Ηλιούπολη 12 Μαρτίου 2012 ΠΡΑΣΙΝΗ ΑΤΤΙΚΗ ΠΡΑΣΙΝΟΙ ΤΟΙΧΟΙ ΠΡΑΣΙΝΑ ΣΧΟΛΕΙΑ 10 ο ηµοτικό Σχολείο Ηλιούπολης Μυκόνου 34, Ηλιούπολη
Διαβάστε περισσότεραZrýchľovanie vesmíru. Zrýchľovanie vesmíru. o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili
Zrýchľovanie vesmíru o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili Zrýchľovanie vesmíru o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili Zrýchľovanie vesmíru o výprave na kraj vesmíru
Διαβάστε περισσότεραKomplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené
Διαβάστε περισσότεραZADANIE 1_ ÚLOHA 3_Všeobecná rovinná silová sústava ZADANIE 1 _ ÚLOHA 3
ZDNIE _ ÚLOH 3_Všeobecná rovinná silová sústv ZDNIE _ ÚLOH 3 ÚLOH 3.: Vypočítjte veľkosti rekcií vo väzbách nosník zťženého podľ obrázku 3.. Veľkosti známych síl, momentov dĺžkové rozmery sú uvedené v
Διαβάστε περισσότερα6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu
6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis
Διαβάστε περισσότεραΑκολουθία συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο Ν*, των θετικών ακέραιων ( πάντα ν Î Ν* ) ΟΡΟΙ
parmenides5 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Αοουθί συάρτηση με πεδίο ορισμού το σύοο Ν*, τω θετιώ έριω ( πάτ Î Ν* Έστω οουθί ( : ΟΡΟΙ πρώτος όρος της οουθίς δεύτερος όρος της οουθίς 3 τρίτος όρος της οουθίς 4 τέτρτος όρος
Διαβάστε περισσότεραELEKTRICKÉ POLE. Elektrický náboj je základná vlastnosť častíc, je viazaný na častice látky a vyjadruje stav elektricky nabitých telies.
ELEKTRICKÉ POLE 1. ELEKTRICKÝ NÁBOJ, COULOMBOV ZÁKON Skúmajme napr. trenie celuloidového pravítka látkou, hrebeň suché vlasy, mikrotén slabý prúd vody... Príčinou spomenutých javov je elektrický náboj,
Διαβάστε περισσότεραΤα πέντε κριτήρια που πρέπει να ικανοποιεί ένας αλγόριθμος είναι:
Το κεφάλαιο 2 αναφέρεται στην έννοια του αλγορίθμου. Αλγόριθμος, σύμφωνα με το βιβλίο, είναι μια πεπερασμένη σειρά ενεργειών, αυστηρά καθορισμένων και εκτελέσιμων σε πεπερασμένο χρόνο, που στοχεύουν στην
Διαβάστε περισσότεραΑ1. (α). ώστε τον ορισμό του προβλήματος (Μονάδες 3)
ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΑΕΠΠ / ΑΠΟΦΟΙΤΟΙ ΣΕΙΡΑ: 1η ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 28/11/2011 ΘΕΜΑ Α Α1. (α). ώστε τον ορισμό του προβλήματος (Μονάδες 3) (β). ίνεται ο παρακάτω πίνακας που στην Στήλη 1 υπάρχουν κριτήρια κατηγοριοποίησης
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ 23 1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Συνέχεια του µαθήµατος 22 Ασκήσεις. 3 η ενότητα 17.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 η ενότητα 7. ΜΑΘΗΜΑ 3.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Συνέχεια του µαθήµατος Ασκήσεις ίνεται συνάρτηση f : R R, για την οποία ισχύουν : α) Είναι συνεχής β) 3 f () + f () = + +, για κάθε R Να αποδείξετε
Διαβάστε περισσότεραPravdivostná hodnota negácie výroku A je opačná ako pravdivostná hodnota výroku A.
7. Negácie výrokov Negácie jednoduchých výrokov tvoríme tak, že vytvoríme tvrdenie, ktoré popiera pôvodný výrok. Najčastejšie negujeme prísudok alebo použijeme vetu Nie je pravda, že.... Výrok A: Prší.
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2011-2012
ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2011-2012 Επιμέλεια: Ομάδα Διαγωνισμάτων από το Στέκι των Πληροφορικών Θέμα Α Α1. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον
Διαβάστε περισσότεραΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ. Ορισμός (Συνάρτηση Κατανομής Πιθανότητας). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) της τ.μ. Χ την: F(x) = P(X x), x.
ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Ορισός (Τυχαία Μεταβλητή). Οοάζουε τυχαία εταβλητή (τ..) κάθε απεικόιση Χ: Ω για τη οποία το σύολο { ω Ω : Χ(ω) x} έχει προσδιορίσιη πιθαότητα για κάθε x. Τούτο σηαίει ότι η ατίστροφη
Διαβάστε περισσότεραŠNEKÁČI mýty o přidávání CO2 založenie akvária Poecilia reticulata REPORTÁŽE
bulletin občianskeho združenia 2 /6.11.2006/ ŠNEKÁČI mýty o přidávání CO2 založenie akvária Poecilia reticulata REPORTÁŽE akvá ri um pr pree kre vet y, raky a krab y akva foto gr afi e Ji Jiřříí Plí š
Διαβάστε περισσότεραUČEBNÉ TEXTY. Pracovný zošit č.2. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Elektrotechnické merania. Ing. Alžbeta Kršňáková
Stredná priemyselná škola dopravná, Sokolská 911/94, 960 01 Zvolen Kód ITMS projektu: 26110130667 Názov projektu: Zvyšovanie flexibility absolventov v oblasti dopravy UČEBNÉ TEXTY Pracovný zošit č.2 Vzdelávacia
Διαβάστε περισσότερα