Funkcie - základné pojmy

Transcript

1 Funkcie - základné pojmy DEFINÍCIA FUNKCIE Nech A, B sú dve neprázdne číselné množiny. Ak každému prvku x A je priradený najviac jeden prvok y B, tak hovoríme, že je daná funkcia z množiny A do množiny B a označujeme f : A B (krátko len funkcia f ). Prvok y nazývame hodnotou funkcie f v bode x a označujeme y = f (x) ( f: x y ). Množinu všetkých prvkov x množiny A, ktorým sú takto priradené prvky y z množiny B nazývame definičný obor funkcie f a označujeme D f alebo D(f). Platí D(f) A. Ak budeme pracovať s viacerými funkciami, budeme na ich označenie používať aj ďalšie písmená, napr. g, h, ϕ, ψ,... Ak je daná funkcia f : A B a ak vyberieme ľubovoľný prvok x A, potom k nemu zodpovedajúci prvok y = f (x) je už jednoznačne určený. Preto prvky x A nazývame nezávisle premenné a k nim priradené prvky y B závisle premenné. Niekedy sa používa aj terminológia zo zobrazení, kde prvok x sa nazýva vzor, prvok y je jeho obraz. V definícii funkcie bolo uvedené, že každému prvku x A je priradený najviac jeden prvok y B. Ale nehovorí sa v nej, že by každý prvok y množiny B musel byť priradený nejakému prvku x z množiny A. Jednoducho povedané, niektoré prvky y z množiny B môžu zostať "neobsadené". Množina tých prvkov y B, ktoré prislúchajú nejakému prvku x A (pre ktoré existuje aspoň jeden vzor x A) nazývame obor hodnôt funkcie f a označujeme H f alebo H( f ). H( f ) = { y B x A, y = f (x)} Platí H( f ) B. Príklad 1: Nech A = { 1, 0, 3, 4}, B = { 5,, 1, 3} a nech je daná funkcia f : A B taká, 1

2 že -1 1, 0 -, 3 1, 4-5 x y Danú funkciu je možné zapísať aj pomocou tabuľky: alebo grafu: Oborom hodnôt tejto funkcie je množina H( f ) = { 5,, 1}. Prvok 3 B nepatrí do oboru hodnôt, pretože neexistuje x A také, že x 3. Alebo ináč: x A platí f (x) 3. Z uvedeného príkladu vidieť, že funkcie f : A B je možné určiť viacerými spôsobmi: schematickým zobrazením množín tabuľkou pomocou usporiadaných dvojíc [ x; y] grafom Najčastejšie určenie funkcie v matematike alebo iných vedách je určenie: rovnicou Príklad : Nech A = { 1, 0, 1,, 3, 4, 5}, B = Z a nech je daná funkcia f : A B taká, že y = 8. x 3

3 Zapíšte danú funkciu zvyšnými tromi spôsobmi a určte D(f) a H(f). x Riešenie: y - Nie je celé číslo -4-8 Zlomok nie je definovaný 8 4 D(f) = A - {0; 3} = {-1; 1; ; 4; 5} a H(f) = {-8; -4; ; 4; 8} Príklad 3: Zostrojte tabuľky a grafy pre funkcie f : {-1; 0; 1; ; 3} R, f (x) = 5x + 1, t.j. y = 5x + 1 g: 1; 3 R, f (x) = 5x + 1. Riešenie: x -1-0,6 0 0,3 1 1,5,8 3 f(x) g(x) -4-1,5 6 8,

4 Definičný obor funkcie g = 1; 3 sa do tabuľky nedá celý zapísať. Na základe získaných bodov vidieť, že čím viac by ich bolo, tým tesnejšie by boli umiestnené v grafe pri sebe, až by sa nakoniec dotýkali, čím by vytvárali súvislú čiaru. Výsledok grafického vyjadrovania funkcie závisí od zadania jej definičného oboru. Ak je ním tzv. hustá množina R alebo intervaly, grafmi sú súvislé čiary. V prípade riedkych množín N alebo Z grafmi sú izolované body. Úlohy: Určte definičný obor týchto funkcií: 4

5 ROVNOSŤ FUNKCIÍ Dané sú funkcie f :A R a g:a* R. Hovoríme, že funkcie f a g sa rovnajú práve vtedy, ak A = A* a pre x A platí f (x) = g(x). Píšeme f = g. Poznámka: Dve funkcie sa rovnajú, ak sa rovnajú ich definičné obory a ak v každom bode spoločného definičného oboru nadobúdajú rovnakú hodnotu. Napr.: f: y = x, x R + a g: y = x 4 x +, x (0; ) Úlohy: Zistite, či sa dané funkcie f a g rovnajú: 5

6 GRAF FUNKCIE Grafom funkcie f :A R nazývame množinu G( f ) R R, G( f ) = {[x, f (x)] x A}. Z pohľadu geometrie grafom reálnej funkcie reálnej premennej je množina všetkých bodov v rovine so súradnicami [x, f (x)], ktoré dostaneme pre x A = D( f ). Poznámka: Z definície funkcie - x D(f) najviac jedno y sa táto vlastnosť na grafe funkcie prejaví tak, že priamka rovnobežná s osou y nepretne graf funkcie v dvoch rôznych bodoch. 6

7 Úlohy - súhrn 1) Daná je množina M = {0, 1,,..., 10}. Rozhodnite, či nasledujúce predpisy definujú funkciu f : a) f priraďuje prvku z M jeho tretiu mocninu, b) f priraďuje prvku z M jeho druhú odmocninu, c) f priraďuje prvku z M jeho prevrátenú hodnotu. Pri funkciách určte aj obor definície a obor hodnôt. ) Určte definičný obor funkcie: a) f: y = x + 3 b) 1 g : y = x + 3 c) x x h : y = d) x 1 i : y = x x + 1 6x 16 3) Nech f je funkcia definovaná na množine celých kladných čísel tak, že každému x Z + priradí funkčnú hodnotu podľa predpisu f : x x. a) Vypočítajte f(4), f ( 19) a f(301). b) Určte hodnoty premennej x, pre ktoré funkcia nadobúda hodnoty f(x) = 14, f(x) = 15, f(x) = 14, f(x) = 14. c) Načrtnite graf funkcie f. d) Rozhodnite, či je f prostá funkcia. e) Existujú nejaké celé kladné čísla, ktoré nepatria do oboru hodnôt funkcie f? Ak áno, uveďte príklad. f) Určte obor hodnôt funkcie f. g) Načrtnite graf funkcie f. 4) Zistite, či sa funkcie x x f : y = a x 3x + x + 1 g : y = rovnajú. x 1 5) Ak vyhodíme kameň kolmo hore rýchlosťou v m.s 1, jeho maximálna výška bude približne vyjadrená vzťahom h = f ( v) = 1 v. 0 a) Vypočítajte polovicu maximálnej výšky, ktorú kameň dosiahne, ak bol vyhodený postupne rýchlosťami 10 m.s 1, 0 m.s 1, 30 m.s 1. b) Akou rýchlosťou má byť kameň vrhnutý kolmo hore ak má dosiahnúť vzdialenosť od bodu vrhu aspoň 15 m? 7

8 6) Rozhodnite, ktorý z grafov, znázornených na nasledujúcom obrázku, je grafom funkcie. Pri funkciách určte aj obor definície a obor hodnôt. 7) Rozhodnite, či je daná závislosť funkciou: a) Závislosť množstva vody v nádrži od času, ak do nádrže pritečie každú hodinu 10 hektolitrov vody. b) Závislosť veku človeka od jeho telesnej výšky. 8

9 Vlastnosti funkcií Monotónne funkcie Funkciu f :A R nazývame na množine M A : rastúcou ( klesajúcou ), ak pre x 1, x M také, že x 1 < x, platí f (x 1 ) < f (x ) ( f (x 1 ) > f (x )), neklesajúcou (nerastúcou), ak pre x 1, x M také, že x 1 < x, platí f (x 1 ) f (x ) ( f (x 1 ) f (x )). Ak niektorá z uvedených vlastností platí na množine M = A, potom hovoríme (postupne), že f je rastúca, klesajúca, neklesajúca, resp. nerastúca funkcia. Rastúce, klesajúce, nerastúce a neklesajúce funkcie na množine S sa nazývajú monotónne na množine M. Rastúce alebo klesajúce funkcie na množine M sa nazývajú rýdzo monotónne na množine M. Príklad: Vyšetrime monotónnosť funkcie f : f (x) = ax + b, x R, pričom a > 0, b R sú ľubovoľné konštanty. Riešenie: Nech x 1, x R a nech x 1 < x /. a... a > 0 ax 1 < ax / + b ax 1 + b < ax + b, t. j. f (x 1 ) < f (x ). Záver: x 1, x R také, že x 1 < x, platí f (x 1 ) < f (x )... funkcia f je rastúca 9

10 Párne a nepárne funkcie Funkcia f :A R sa nazýva párna ( nepárna ), ak pre x A platí: a) x A x A b) f ( x) = f (x) ( f ( x) = f (x)). Z pohľadu geometrie vlastnosť a) znamená, že definičný obor funkcie musí byť množina súmerná vzhľadom k nule. Pretože párna funkcia priraďuje opačným číslam rovnaké hodnoty, graf párnej funkcie je súmerný podľa osi o y. Nepárna funkcia priraďuje opačným číslam opačné hodnoty, takže graf nepárnej funkcie je súmerný podľa počiatku O[0, 0] súradnej sústavy. Poznámka: Existujú párne funkcie, nepárne funkcie, ale aj funkcie, ktoré nie sú ani párne ani nepárne. Príklad 1: Zistime, či funkcie f a g, dané predpismi: f(x) = Riešenie: a) D(f) = {x R; x 1 0} = R - {± 1}... x D(f): x D(f) b) f( x) = ( ) x + 1 x + 1 = ( x) 1 x 1 x x = f(x)... funkcia f je párna + 1 a g(x) = x 3 sú párne alebo nepárne. 1 10

11 Graf funkcie f: a) D(g) = R x D(g): x D(g) b) g( x) = ( x) 3 = x 3 = g(x)... funkcia g je nepárna Graf funkcie g: Príklad : Zistime, či funkcia h daná predpisom: h(x) = x + x je párna alebo nepárna. Riešenie: Definičný obor funkcie f je množina D( h ) = R. Vlastnosť symetrie definičného oboru je splnená. Ale napr. pre body 3 a 3 máme h(3) = 1 a h( 3) = 6, čo znamená, že h( 3) h(3) a tiež h( 3) h(3). Čísla h( 3) a h(3) nie sú ani rovnaké, ani opačné; funkcia h nie je ani párna, ani nepárna. Graf funkcie g: 11

12 Príklad 3: Vyšetrite párnosť resp. nepárnosť funkcie: f(x) = 3x 4 + Riešenie: x a) D(f) = {x R; x 0} = R - {0}... x D(f): x D(f) b) f( x) = ( x) + 3x + 3x = = ( x) x x + = f(x)... f je nepárna Graf funkcie f: Maximum a minimum funkcie Nech f je funkcia a M podmnožina jej definičného oboru, a, b M Funkcia f má v bode a na množine M maximum práve vtedy, keď pre x M platí: f(x) f(a). Funkcia f má v bode b na množine M minimum práve vtedy, keď pre x M platí: f(x) f(b). Ak má funkcia f maximum na celom svojom definičnom obore, budeme stručne hovoriť, že funkcia má maximum. Analogicky chápeme pojem funkcia má minimum. Príklad 1: Na obrázku je graf istej funkcie h, ktorej definičným oborom je uzavretý interval -4; 5. Zistime, či má funkcia h maximum, resp. minimum na množine: a) M 1 = -4; 1 b) M = 3; 4 c) M 3 =D(f) 1

13 Riešenie: a) Pre x M 1 platí h(x) h(-). Preto h má v bode a = - maximum na M 1. Ďalej platí h(-4) = h(0) = - a pre x M 1 platí h(x) h(-4). Preto h má v bodoch b 1 = -4 a b =0 minimum na M 1. b) Ak zvolíme ľubovoľné u 3; 4, tak pre x M platí h(x) (u). Podľa toho funkcia h má v každom bode u 3; 4 maximum na M. c) Funkcia h má v bode a = 5 maximum na D(h), v bodoch b 1 = -4 a b = 0 minimum na D(h). Nech f je funkcia a M podmnožina jej definičného oboru, a, b M Funkcia f má v bode a na množine M ostré maximum práve vtedy, keď pre x M, x a platí: f(x) < f(a). Funkcia f má v bode b na množine M ostré minimum práve vtedy, keď pre x M, x a platí: f(x)>f(b). Príklad : Zistime, či funkcia h z prvého príkladu má na množine M 1 = -4; 1 ostré maximum. Riešenie: Pre x -4; 1, x a platí h(x) < h(-). Funkcia h má preto v bode a = - ostré maximum na M 1. Ohraničené funkcie Funkciu f :A R nazývame na množine M A : zdola ohraničenou, ak k R také, že pre x M platí k f (x), zhora ohraničenou, ak K R také, že pre x M platí f (x) K. Číslo k (K) sa nazýva dolným (horným) ohraničením funkcie f na množine M. Ak funkcia f je ohraničená zdola aj zhora na množine M hovoríme, že je ohraničená na množine M 13

14 Ak uvažujeme funkciu f na jej definičnom obore, t.j. pre M = A, tak zjednodušene hovoríme, že funkcia je zdola ohraničená, zhora ohraničená resp. ohraničená. Ak funkcia f :A R je na množine M A : zdola ohraničená, potom najväčšie dolné ohraničenie funkcie f na množine M nazývame infimum funkcie f na množine M a značíme inf x M f (x). zhora ohraničená, potom najmenšie horné ohraničenie funkcie f na množine M nazývame supremum funkcie f na množine M a značíme supx M f (x). Pre M = A hovoríme len infimum resp. supremum f a značíme inf f resp. sup f. Príklad: Uvažujme kvadratickú funkciu f danú predpisom f (x) = x + 1. Zistite, či je zdola ohraničená, resp. zhora ohraničená. Nájdime jej infimum, supremum, minimum a maximum, ak existujú. Riešenie: Prirodzený definičný obor funkcie f je D( f ) = R. Pre každé x R platí f (x) = x + 1 1, z toho vyplýva, že funkcia f je zdola ohraničená akýmkoľvek reálnym číslom m 1. Najväčšie zo všetkých možných dolných ohraničení je číslo 1, takže inf f = 1. Pretože 1 = f (0) (infimum funkcie je nadobudnuté), platí aj min f = 1. Funkcia f nie je zhora ohraničená. Predpokladajme opak. Nech M > 0 je horné ohraničenie funkcie f. Nech x = M. Potom x D( f ), ale f (x) = ( M) + 1 = M + 1 > M, čiže číslo M nie je horným ohraničením funkcie f, čo je spor. Takže platí pôvodné tvrdenie, že funkcia f nie je zhora ohraničená. 14

15 Úlohy - súhrn 1) Určte intervaly monotónnosti a extrémy funkcií znázornených na obrázku 1. (os x je asymptota) Obr. 1 ) Rozhodnite o párnosti, resp. nepárnosti nasledujúcich funkcií a) y = x x b) y 1 = c) y = 1 + x x + 1 3) Rozhodnite, ktoré z funkcií znázornených na obrázkoch 1 a sú párne alebo nepárne. 15

16 Obr. 4) Čo môžete povedať o hodnote f(0), ak je známe, že f je funkcia a) párna b) nepárna? 5) Čo musí platiť o koeficientoch a, b, ak je známe, že funkcia f(x) = ax + b je a) párna b) nepárna? 6) Rozhodnite, či sú nasledujúce funkcie ohraničené: 1 a) y = b) y = sin log x x + 1 7) Doplňte grafy na obrázku 3 tak, aby znázorňovali a) párne funkcie b) nepárne funkcie 16

17 Obr. 3 8) Na obrázku 4 je znázornený graf funkcie f. a) Určte jej vlastnosti (obor definície, obor hodnôt, intervaly monotónnosti, ). b) Upravte časť grafu tak, aby nová funkcie bola na intervale < 5; 5> nepárna. c) Upravte časť grafu tak, aby nová funkcie bola na intervale < 5; 5> párna. Obr. 4 17