Generovanie náhodných čísel
|
|
- Ἰωσήφ Λύτρας
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Generovanie náhodných čísel Náhodné čísla sú dôležitá súčasť výpočtov v: modelovaní a simuláciách numerickej analýze rozhodovaní počítačovej grafike kryptografii dátovej komunikácií... Základné spôsoby získania postupnosti náhodných čísel: 1) Hardwarové generátory (snímanie hodnôt nejakého fyzikálneho deja) 2) Tabuľky náhodných čísel (uložené napr. na CDROM) 3) Generovanie náhodných čísel určitým algoritmom z počiatočných hodnôt. Súčasnosť používa sa najmä spôsob 3 - generovanie náhodných čísel algoritmom
2 Výhody rýchla SW implementácia s malými nárokmi na pamäť Oproti spôsobu 1 má výhodu opakovateľnosti oproti spôsobu 2 výhodu kompaktnosti Vlastnosti získaná postupnosť čísel je v podstate deterministická, hovoríme o generovaní, resp. generátoroch pseudonáhodných čísel (GPČ) vlastnosti odpovedajúceho generátora je treba poznať, resp. starostlivo testovať, aby sme mohli posúdiť jeho vhodnosť resp. nevhodnosť pre danú oblasť použitia. Získané postupnosti náhodných čísel majú zvyčajne rovnomerné resp. kvázirovnomerné (=diskrétne rovnomerné) rozdelenie Je možné dosiahnuť iba konečnú periódu generovaných dát
3 Generátory pseudonáhodných čísel (GPČ) Najpoužívanejšie riešenie - metódy využívajúce rekurenciu, t.j. vzťah, kde výstupné hodnoty sú generované na základe vzťahu x n = f x,, x ) 0 k n ( n 1 n k História: Prvá metóda tohto typu - metóda stredných rádov (autor J. von Neuman 1946). Nasledovné číslo bolo tvorené strednými číslicami druhej mocniny čísla predchádzajúceho.
4 Príklad: Generujteposupnosť pseudonáhodných čísiel pomocou metódy stredných rádov. Začnite z čísla Riešenie: 6100^2= ; 2100^2= ; 4100^2= ; 8100^2= T.j. výsledkom jepostupnosť (6100, 2100, 4100, 8100, 6100,...). Vidíme, že dĺžka cyklu je 5.
5 Pravidlá pri generovaní pseudonáhodných čísel: pracujeme vo všeobecnosti v matematike modulo m, t.j. na množine čísel Z m { 0,1,2,..., 1} = m pojem rovnosť nahrádza pojem kongruencia Ak m je prirodzené číslo, potom hovoríme: a a b sú kongruentné modulo m ak majú po delení číslom m ten istý zvyšok. Píšeme: a b (mod m)
6 Postupnosť pseudonáhodných čísel u n (pseudo)náhodnej premennej U s rovnomerným rozdelením zvyčajne generujeme v dvoch fázach: 1) rekurentný vzťah: xn = f ( xn 1,, xn k ) 2) výstupná hodnota: un = xn / m, u n < 0,1) Pre strednú hodnotu a rozptyl náhodnej premennej U s kvázirovnomerným rozdelením platí: E( U ) m 1 m 1 = u j p j = j = j= 0 j= 0 m m m 1 1 D( U ) = E( U ) ( E( U )) = m
7 Základné vlastnosti, ktoré by mal dobrý generátor spĺňať: 1) dlhá perióda v ideálnom prípade nekonečne dlhá, v súčasnosti napr. generátor Mersenne Twister dosahuje periódu ) rovnomerné a s rastúcou dĺžkou sekvencie čoraz lepšie zaplnenie intervalu (pokiaľ možno malo by platiť aj pre ľubovoľné subsekvencie) 3)opakovatelnosť schopnosť opakovane generovať tú istú sekvenciu pseudonáhodných čísel pomocou jednoducho špecifikovaných počiatočných podmienok 4) čas generovania zanedbateľný oproti času operácií ktoré vytvorenú sekvenciu používajú 5) požiadavky na pamäť a portabilita implementácia nenáročná na pamäť a vo vyššom programovacom jazyku 6) dobré štatistické vlastnosti generátor musí úspešne zdolať súbor štatistických testov, teoretických (ak sú k dispozícii) aj empirických, ktoré je výhodné cielene voliť vzhľadom na oblasť použitia generátora.
8 Základné typy GPČ. Lineárne kongruenčné generátory (LCG) Generátory tohoto typu zaviedol Lehmer v r Hodnoty sú generované pomocou rekurentného vzťahu: x n = n ( ax 1 + c) mod m Označujeme ho ako: LCG(m,a,c,x 0 ). Platí: Pri c = 0, hovoríme o multiplikatívnom LCG pri c 0 o zmiešanom LCG.
9 Maximálna perióda LCG je m a je dosiahnutá, keď: a) c a m sú nesúdeliteľné b) a-1 je násobkom každého prvočiniteľa m c) a-1 je násobkom 4, ak m je násobkom 4
10 Potencia Jednoduchým kritériom na posudzovanie náhodnosti LCG - koncept tzv. potencie. Potencia je najmenšie číslo s, pre ktoré platí s ( a 1) 0 za dostatočne dobrú je považovaná hodnota s 5. mod m
11 Všeobecne známe LCG a ich koeficienty Názov, použitie LCG m a c X 0 RANDU počítače IBM(1960) X 0 ANSI C funkcia rand() Program DERIVE Jazyk SIMULA ANSI C funkcia drand48() Program MAPLE Program MATHEMATICA a 48 - a 8 +1 a =
12 Špeciálne prípady LCG a ich vlastnosti Prípad max. perióda Dosiahnutie max. periódy Poznámka M=2 M, c > 0 2 M a mod 4 = 1 najnižšie bity nemajú c je nepárne náhodný charakter M=2 M, c = 0 2 M-2 a mod 8 = 3 alebo 5 najnižšie bity nemajú x 0 je nepárne náhodný charakter M prvočíslo m 1 x 0 0 alebo c 0 a je primitívny element *) Z m najnižšie bity môžu mať náhodný charakter primitívny element - prvok, ktorý je schopný svojimi mocninami generovať { 0 1 2,..., m a, a, a a 1 } Z m =. Z m, t.j. Ako zistiť či číslo p je primitívny element? Ak m je prvočíslo a c i prvočinitele m-1, potom p je primitívny ( m / element Z m, ak pre žiadny ci neplatí 1) ci p 1
13 Spektrálne charakteristiky LCG Označme u n výstupy z LCG a vytvorme N-tice: S N n ( u u,... u ) = n, n+ 1, n+ N 1 Použijeme ich ako súradnice bodov v N-rozmernom priestore. Výsledok: mriežková štruktúra pri vypĺňaní N-rozmerného intervalu N t.j. body S n ležia na množine ekvidištančných paralelných hyperrovín. aj napriek tomu sú LCG generátory vo všeobecnosti najviac používané.
14 a)lcg(256,85,1,0) b)lcg(256,101,1,0) c)lcg(256,61,1,0) d) LCG(256,237,1,0) e) LCG: ANSI C - funkcia rand()
15 Zlé vyplnenie priestoru pomocou 15 rovín pri LCG generátore RANDU
16 Fibbonaciho generátory (LFG) Rekurentný vzťah má tvar: x n = ( xn l + xn k ) mod m ; l > k >0 Väčšinou sa volí m=2 M max. perióda môže dosiahnuť Vhodná voľba je napr. l=55, k=24, M=31 Namiesto operácie + sa používajú aj operácie o " " lepšie vlastnosti avšak štvrtinová max. perióda o XOR horšie vlastnosti, jednoduchý výpočet Na výpočet potrebujeme posledných l hodnôt x n. (2 l 1) 2 M 1 Z l počiatočných hodnôt x0,..., x l 1 musí byť aspoň jedna nepárna.
17 Zložené rekurzívne generátory (MRG) Rekurentný vzťah: x n = ( a xn ak xn k ) mod m k Max. perióda je m 1. Špeciálny prípad LFSR (Linear Feedback Shift Register) generátory, kde a i = {0,1 } a m = 2. Sú použité napr. v GSM algoritme A5/1.
18 Kombinácia troch LFSR generátorov R1, R2, R3 o veľkosti 18, 21 a 22 bitov použitá na generovanie pseudonáhodných bitov v kódovacom algoritme A5/1 pre GSM. V A5/1 je naviac v aktuálnom kroku taktovaný iba generátor, ktorého bit C súhlasí s majoritnou hodnotou bitov C.
19 Tausworthove generátory Tausworthove generátory konštruujú výstupnú hodnotu z L hodnôt L u n = x ns j= 1 + j j 12, L s Ak sú hodnoty xn generované pomocou MRG s periódou ρ a nsd ( s, ρ) = 1, potom aj postupnosť u n má periódu ρ. x n
20 Nelineárne generátory Výhody lepšie autokorelačné vlastnosti ako lineárne generátory lepšie spektrálne vlastnosti (výstupné hodnoty nemajú mriežkovú štruktúru) lepšie kryptografické vlastnosti Nevýhody pomalšie
21 Inverzné kongruenčné generátory (ICG, EICG) Nech m je prvočíslo a pre x Z m nech x = 0 ak x = 0 a 1 m 2 m x = x = x mod m (analogické k Fermatovej vete: x x mod m ), ak platí ICG: x n x n = n ( ax 1 + c) mod = a( n + n0 ) + c m mod EICG:, kde ICG označuje inverzné a EICG explicitne inverzné kongruenčné generátory. Vlastnosti m m 0. Potom Maximálne dosiahnuteľná perióda je m Inverzný prvok sa počíta inverzným Euklidovým algoritmom na nájdenie celočíselných riešení rovnice x x + k m = 1 ICG, EICG majú podstatne lepšie autokorelačné vlastnosti ako LCG Sú vhodné na použitie pre paralelné algoritmy.
22 Spektrálne charakteristiky ICG(2 31-1, , 1, 0 )
23 Mocninové generátory bitov Generátory tohoto typu sú vhodné predovšetkým na kryptografické účely. RSA generátor Nech m = p q je súčinom dvoch veľkých prvočísiel. Náhodne zvoľme b také, že nsd( φ ( m), b) = 1, kde φ( m) = ( 1)( q 1) p. Potom: x n = x b n 1 mod m pričom x o 1, m 1. Výstupom je najmenej významný bit. x n
24 BBS (Blum Blum Shub) generátor Postupnosť výstupných bitov b n generovaná pomocou kde x n x 0 2 = x mod m b = x z mod 2 n 1 je nesúdeliteľné s m m je tvorené súčinom dvoch veľkých prvočísiel, ktoré sa dajú vyjadriť v tvare 4 k + 3 xn z predstavuje skalárny súčin po bitoch s náhodnou bitovou maskou z Vlastnosti: pre náhodne zvolené z, m, x 0 uspeje generátor vo všetkých štatistických testoch, ktoré sú menej náročnejšie ako faktorizovanie čísla m, t.j. generované bity sú do tejto miery neodlíšitelné od postupnosti skutočne náhodných bitov. n n
25 Metódy zlepšenia vlastností GPČ Vlastnosti už existujúcich generátorov, môžeme zlepšiť a nevhodným algoritmom resp. voľbou konštnánt aj zhoršiť a) Aritmetickým skladaním výstupov z viacerých generátorov. z n = ( x + n y n ) mod m y kde xn resp. n sú výstupy z pôvodných generátorov. Vhodné je voliť nesúdeliteľné veľkosti periód jednotlivých generátorov. b) Premiešavaním (shuffling). Touto metódou môžeme dodatočne zlepšiť vlastnosti existujúceho generátora, ktorý generuje vstupné hodnoty pre premiešavací algoritmus. Treba si však uvedomiť, že premiešavaním môžeme zmeniť iba poradie vstupných hodnôt, nie hodnoty samotné.
26 Existujú viaceré verzie metódy premiešavania, napríklad: x k I) Prvých k vstupných hodnôt uložíme do poľa. Potom z každej ďalšej vstupnej dvojice náhodných čísel pomocou prvého čísla náhodne vyberieme hodnotu z poľa, ktorá bude našim výstupom a druhé vložíme na uvoľnené miesto. II) Prvých k hodnôt x k uložíme do poľa a (k+1)-tu hodnotu do pomocnej premennej idx. Výstupné hodnoty potom generujeme v dvoch krokoch nasledovne: 1) pomocou premennej idx vyberieme hodnotu z poľa ktorá bude našim výstupom a na uvoľnené miesto vložíme novú vstupnú hodnotu 2) výstupnú hodnotu okopírujeme do premennej idx. Výhoda: Oproti metóde I) sme schopní generovať z jednej vstupnej hodnoty jednu hodnotu výstupnú.
27 Kvázináhodné postupnosti čísel také postupnosti, ktoré rovnomerne vypĺňajú daný interval, pričom medzi po sebe nasledujúcimi hodnotami môže existovať evidentná závislosť. Príklad: x ( 1 +1) mod 10 = n n x (#.4.1) Prakticky sa používajú iba také algoritmy, ktoré sa snažia o rovnomerné zapĺňanie intervalu už od začiatku postupnosti, t.j. mohli by sme hocikedy prestať a interval by bol danými hodnotami vyplnený rovnomerne. platí, že ľubovoľná sub-sekvencia zaplní interval približne rovnako rovnomerne ako iná rovnako dlhá sub-sekvencia Príklad: Haltonove postupnosti
28 Haltonove postupnosti V jednom rozmere na intervale <0,1) sa j-ty člen Haltonovej postupnosti H j generuje nasledovne: 1) zvoľme si prvočíslo b, ktoré bude predstavovať základ číselnej sústavy (napr. 2) 2) vyjadrime hodnotu j v číselnej sústave zo základom b. (napr. pre j=14, b=2 je výsledok 1100 pri základe 2) 3) hodnotu H j dostaneme tak, že získané číslice napíšeme za desatinnú čiarku a v opačnom poradí ( t.j. z príkladu dostaneme pri základe 2) Keď chceme generovať N-tice v N-rozmernom priestore, treba použiť v jednotlivých rozmeroch ako základy rôzne prvočísla. Obyčajne sa zvykne používať prvých n prvočísiel.
29 Príklad: Vygenerujte Haltonovu postupnosť na intervale 0,1) pre b=2 s periódou 8 Riešenie: Podľa krokov 2,3 postupne vypĺňame tabuľku: j (j) ( H j ) 2 0,000 0,100 0,010 0,110 0,001 0,101 0,011 0,111 H j 0 0,5 0,25 0,75 0,125 0,625 0,375 0,875 Takže výsledná postupnosť je {0; 0,5; 0,25; 0,75; 0,125; 0,625; 0,375; 0,875 }.
30 Generovanie rovnomerného rozdelenia na ľubovoľnom intervale < a,b) : Používame vzťah: u n a + ( b a). =, u < 0,1) a,b) ab u n n u n ab <
31 Tvorba náhodných premenných s nerovnomerným rozdelením Vstup: jedna alebo viac postupností s rovnomerným rozdelením Výstup: náhodná premenná so želaným rozdelením Niektoré užitočné vlastnosti, ktoré môžeme využiť: A) Ak X 1, X 2 sú nezávislé náhodné premenné s distribučnými funkciami F 1( x), F 2 ( x ) : max( X 1, X 2 ) má rozdelenie F1 ( x) F2 ( x) X, ) má rozdelenie F x) + F ( x) F ( x). F ( ) min( 1 X 2 1( x B) Nech X je náhodná premenná s funkciou hustoty pravdepodobnosti f (x) Pomocou monotónnej funkcie r vytvorme náhodnú premennú Y = r(x ) a označme g (x) jej funkciou hustoty pravdepodobnosti. Potom: g( x) = f 1 1 [ r ( x) ] ( r ) ( x)
32 Generovanie náhodných premenných so spojitým rozdelením Najznámejšie všeobecné metódy: metóda inverznej funkcie vylučovacia metóda Okrem nich existujú špeciálne metódy navrhnuté na jedno cieľové rozdelenie náhodnej premennej. Príklad: Polárna metóda na generovanie náhodných premenných s normálovým rozdelením
33 Príklady spojitých a diskrétnych rozdelení Rovnomerné rozdelenie Normálne rozdelenie Exponenciálne rozdelenie f(x) f(x) f(x) F(x) x (0, 1 > F(x) µ = 1, σ = F(x) Geometrické rozdelenie Binomické rozdelenie Poissonove rozdelenie µ = f(x) F(x) prevdepodobnosť f(x) F(x) pokusov, prevdepodobnosť f(x) F(x) λ = 5
34 Metóda inverznej funkcie Ak spojitá náhodná premenná Y má distribučnú funkciu F, potom hodnoty y náhodnej premennej Y môžeme vytvoriť pomocou náhodnej premennej U s rovnomerným rozdelením na intervale <0,1) a hodnotami u použitím vzťahu: Y = F 1 ( U ) Dôkaz: Distribučná funkcia náhodnej premennej Y je daná pravdepodobnosťou P ( Y < y) : F ( y) 1 P ( Y < y) = P( F ( U ) < y) = P( U < F( y)) = dx = teda náhodná premenná Y má distribučnú funkciu F. 0 F( y)
35 F(x) U Y X f(x) X Metóda inverznej funkcie: mapovanie náhodnej premennej U s rovnomerným rozdelením na náhodnú premennú Y s normálovým rozdelením N(0,1).
36 Príklad: Vytvorte spojitú náhodnú premennú X s exponenciálnym rozdelením pomocou metódy inverznej funkcie. Riešenie: Funkcia hustoty pravdepodobnosti náhodnej premennej s exponenciálnym rozdelením x je daná ako f ( x) = λ e λ λx ( x > 0 ). Tomu odpovedá distribučná funkcia F( x) = 1 e. Inverziou 1 dostávame F ( x) = ln( 1 x) / λ. Teda ak máme náhodnú premennú U s rovnomerným rozdelením, potom náhodná premenná X = ln( 1 U ) / λ má exponenciálne rozdelenie s parametrom λ. Keď uvážime, že 1-U má taktiež rovnomené rozdelenie, môžeme výsledok zjednodušiť na X = ln(u ) / λ.
37 Vylučovacia metóda I. Nech spojitá náhodná premenná X s hodnotami x ( a, b) má funkciu hustoty pravdepodobnosti f ( x) d a distribučnú funkciu F (x). Nech Y a Z sú náhodné premenné nasledovne vytvorené z dvoch nezávislých náhodných premenných s rovnomerným rozdelením U y a U z : Y = a + ( b a) Z = du z U y Potom hodnoty náhodnej premennej X sú výberom takých hodnôt Y, pre ktoré platí: Z f (Y ) Priemerný počet opakovaní na výber jednej hodnoty je: ( F( b) F( )) d( b a) a
38 Odmietnuté Z 0.4 f(y) Akceptované 0.1 x 2 x 1 x 3 x 4 Y Príklad: Vylučovacia metóda I pre generovanie náhodnej premennej s normálovým rozdelením N(0,1) na intervale x ( 2,2). Vygenerované sú prvé 4 hodnoty X.
39 Vylučovacia metóda II Je zovšeobecnením metódy I Môžeme ju použiť, keď chceme transformovať náhodnú premennú Y so známym rozdelením na náhodnú premennú X so želaným rozdelením. f g(y) Nech spojité náhodné premenné X a Y majú funkcie hustoty pravdepodobnosti (x) a a nech c je konštanta pre ktorú platí: f( y) c g( y) pre všetky y Potom hodnoty náhodnej premennej X môžeme vypočítať pomocou hodnôt Y a náhodnej premennej U s rovnomerným rozdelením v nasledovných krokoch: 1) Generuj po jednej hodnote z Y s daným g(y) a jednej hodnote z U 2) Ak f( Y) Ucg( Y), vyber aktuálnu hodnotu Y, t.j. X = Y 3) Opakuj od kroku 1 Pri výpočte treba nájsť čo najmenšie c.
40 Príklad: Vytvorte náhodnú premennú s normálovým X rozdelením N(0,1) pomocou exponenciálneho rozdelenia použitím vylučovacej metódy II. Riešenie: N(0,1) má absolutnu hodnotu funkciu hustoty prevdepodobnosti: 2 2 x / 2 f ( x) = e 2π, 0 < x < Zvoľme: x g( x) = e, 0 < x < Hľadaním maxima podielu týchto dvoch funkcií dostaneme c = 2e / π 1.32 Hodnoty náhodnej premennej X s N(0,1) vytvoríme v nasledovných krokoch: 1) generujme hodnotu z Y s exponenciálnym rozdelením s λ = 1 a hodnotu U s rovnomerným rozdelením na (0,1). 2 2) Ak logu ( Y 1) / 2, vyber X, t.j. X = Y, ináč opakuj od kroku 1) 3) S rovnakou pravdepodobnosťou vyber X alebo X. Opakuj od kroku 1) Poznamka: ak chceme generovať náhodnú premennú Z s rozdelením výsledok transformovať pomocou Z = µ + σx N( µ, σ 2 ), potom je treba
41 Polárna metóda Je príkladom špeciálnej metódy, pomocou ktorej generujeme dve nezávislé náhodné premenné X 1, X 2 s normálovým rozdelením. Postup: 1) Vygeneruj po jednej hodnote z dvoch nezávislých náhodných premenných, U 2 s rovnomerným rozdelením 2) Vytvor premenné V1 = 2U 1 1, V 2 = 2U 2 1, ktoré majú rovnomerne rozdelenie na intervale < -1, 1) 2 2 3) Ak pre S = V 1 + V2 platí S 1, opakuj postup znovu od bodu (1) 4) Vygeneruj výstupné hodnoty náhodných premenných s normálovým rozdelením X = V ( 2 ln S) / S X = V ( 2 ln S) / S 1 1 a opakuj postup od bodu (1) 2 2 U 1
42 Generovanie vybraných diskrétnych rozdelení: generovanie diskrétnych náhodných premenných použítím spojitých náhodných premenných U s rovnomerným rozdelením: Geometrické rozdelenie - má náhodná premenná G, ktorá predstavuje počet nezávislých pokusov medzi výskytmi nejakej udalosti, ktorá sa vyskytuje z pravdepodobnosťou p. Hodnoty G sú rovné n s pravdepodobnosťou ( 1 p) n 1 p. Postup: Hodnoty náhodnej premennej G môžeme generovať pomocou: G = lnu / ln(1 p), kde operátor znamená najvyššie bližšie celé číslo.
43 Binomické rozdelenie (t,p) má N, počet výskytov udalosti, ktorá môže nastať s pravdepodobnosťou p v každom z t nezávislých pokusov, ktoré sú k dispozícii. Platí P( N t n = n) = p p n (1 ) t n. Postup: Generujeme po jednej hodnote z t generátorov U 1, U 2,..., U t a počítame koľko z nich má hodnotu menšiu ako p. Vlastnosti: Algoritmus je efektívny pre malé t.
44 Poissonove rozdelenie so strednou hodnotou µ. Medzi exponenciálnym a Poissonovým rozdelením je podobný vzťah ako medzi geometrickým a binomickým rozdelením: Reprezentuje počet výskytov udalosti za jednotkový čas. Udalosť sa môže vyskytnúť hocikedy. Postup: Sčítavame po jednej hodnote náhodných premenných X 1, X 2,... s exponenciálnym rozdelením s so strednou hodnotou 1 / µ a zisťujeme koľko ich treba na splnenie podmienky X 1 + X X m 1. Počet N=m-1má Poissonove rozdelenie. µ Poznámka: Ekvivalentná podmienka je U 1 U 2... U m e Vlastnosti: Algoritmus je efektívny pre malé µ.
45 Testy GPČ Cieľom testov GPČ zistiť, či sa generované postupnosti správajú dostatočne náhodne. Existuje nekonečne veľa vlastností, ktoré môžeme testovať v praxi sa používajú tie, ktoré sa ukázali byť najužitočnejšie. aj keď generátor uspeje v N testoch nemôžeme si byť istý, že v N+1 teste úplne nezlyhá. (t.j. pre každý generátor existuje test, pri ktorom úplne zlyhá) S rastúcim počtom úspešne zdolaných testov však môžeme byť čoraz spokojnejší s náhodnosťou generovanej sekvencie a predpokladať že náhodná aj je.
46 Základné druhy testov Teoretické Empirické Teoretické aj empirické testy na testovanie náhodnosti používajú testovacie procedúry na testovanie hypotéz a to najmä χ 2 test KS (Kolmogorov - Smirnov) test Ekvivalentný test pre nerovnomerné rozdelenia Ak chceme zistiť či náhodná veličina Y má predpokladané rozdelenie so známou distribučnou funkciou F( y) = P( Y y), môžeme uskutočniť ekvivalentný test, kde testujeme či náhodná veličina Z = F(Y ) má rovnomerné rozdelenie.
47 2 χ (Chi-kvadrát) test. Pri tomto teste testujeme hypotézu H 0 : Postupnosť pseudonáhodných čísel má dané rozdelenie. Postup: 1. Z testovanej postupnosti použijeme ľubovoľných n za sebou nasledujúcich hodnôt x 1, x 2,..., x n, ktoré rozdelíme do k disjunktných tried. 2. Počty v jednotlivých triedach označme z j, j=1,2,...k. V praxi volíme n také aby v každej triede bolo z j > Ak označíme p j = P(hodnota je z j-tej triedy), očakávame, že do tejto triedy padne n p j hodnôt. 4. Testovacie kritérium je založené na rozdiele očakávaných a skutočných počtov v triedach: k 2 ( z j np j ) V = np V j= 1 Pre veľké n má vždy (t.j. nezávisle od očakávaného rozdelenia vstupných dát) približne 2 rozdelenie chi-kvadrát s k-1 stupňami voľnosti χ k 1. j
48 V α =P(správnu H 0 zamietneme, t.j. nastane Hodnotu testujeme na zvolenej hladine testu chyba I. druhu) pomocou kritických hodnôt Y s rozdelením 2 k 1 2 k χ 1 (α ). To sú hodnoty, ktoré náhodná veličina 2 χ prekročí s pravdepodobnosťou α, t.j. P(Y χ k 1( α )) = α. 2 k V praxi volíme α = Hodnoty χ 1 ( α) sú pre dané k-1 a α a uvedené v tabuľkách Proti H 0 svedčia o nielen príliš veľké hodnoty V (veľký rozdiel oproti očakávanému rozdeleniu) o ale aj príliš malé hodnoty (nedostatočnej náhodnosť testovanej postupnosti) Hypotézu H potom zamietneme na hladine α 0 ak platí V 2 k χ 1 ( α / 2) V χ 2 k 1(1 α / 2) Pri overovaní rovnomerného rozdelenia postupnosti pseudonáhodných čísel sa používa k= postupne pre rôzne úseky generovanej postupnosti.
49 Kritické hodnoty náhodnej premennej V s rozdelením chi-kvadrát s k-1 stupňami voľnosti.
50 Príklad: GPČ sme použili na simuláciu hádzania dvomi hracími kockami. Po 144 hodoch sme zistili nasledovné padnuté počty bodov: Získaný počet bodov Suma Početnosť GPČ A hodov ( z j ) GPČ B Podľa daných výsledkov otestujte oba generátory na hladine α =0,05. Riešenie: V našom prípade je počet tried k=11. Pomocou počtu pravdepodobnosti si najprv si zistíme očakávané (resp. ideálne) hodnoty početností (pri počte hodov 144): Trieda (j) Získaný počet bodov Pravdepodobnosť výskytu ( p j ) 1/36 1/18 1/12 1/9 5/36 1/6 5/36 1/9 1/12 1/18 1/36 Odpovedajúca početnosť ( np j ) = χ (0,025) 3, Z tabuliek dostaneme a χ10 (0,975) = 20,. Pre generátor A dostaneme V A = , 2 pre generátor B V B = 1,142. Vidíme, že generátor A v teste neuspel, lebo V A χ 10 (0, 975) a takisto musíme pre generátor B hypotézu, že generovaná postupnosť má očakávané rozdelenie, 2 zamietnuť na hladine α =0,05 lebo B χ10 (0,025) V.
51 Kolmogorov-Smirnov (KS) test. Pri tomto type testu nedelíme hodnoty testovanej postupnosti do tried test je vhodný na testovanie spojitých rozdelení Testujeme zhodu empirickej distribučnej funkcie F n (x) s očakávanou distribučnou funkciou F (x). Postup: Z n hodnôt x1, x2,..., xn testovanej postupnosti vytvoríme distribučnú funkciu: F n (x) = (počet hodnôt x1, x2,..., xn, pre ktoré < x ) / n + Na vykonanie testu potrebujeme 2 hodnoty K n a K n : K K + n = n = n max max ( F ( x) F( x) ) n ( F( x) F ( x) ), x (, ) n n, x (, ) Na danej hladine α testu potom tieto hodnoty porovnávame s kritickými hodnotami z tabuliek, podobne ako tomu bolo pri χ 2 teste. Avšak kritické hodnoty sú vypočítané pre konkrétne n a α a nie sú použité ako aproximácie 2 2 (na rozdiel od χ k 1 ( α) v χ teste).
52 Kritické hodnoty pri KS teste
53 Opakovaný Kolmogorov-Smirnov (KS) test. KS test môžeme ľahko znovu aplikovať na výsledky KS testu, keďže distribučná funkcia F(x) + rozdelenia hodnôt K alebo K n n sa dá pre veľké n aproximovať pomocou: F ( x) 2x = 1 e, 2 x 0 Takýmto spôsobom môžeme detekovať naraz lokálne aj globálne nenáhodné správanie sa.
54 Napr. rozdelíme testované hodnoty na 20 skupín po 1000, zistíme hodnoty a pre + K 20 K 20 + K 1000 K 1000 každú skupinu a z nich následne a (globálne správanie). T.j. napr. testujeme distribučnú + funkciu F získanú z 20 hodnôt oproti očakávanej F + n (x) K 1000 (x) % 5% 50% 95% 99% 0.5 1% 5% 50% 95% 99% a) F n (x) je v norme a) b) + K 1000 b) sú evidentné nedostatky (nevyhovuje K 20 ), hoci každý dielčí výsledok je v intervale 5-95%, t.j. vyhovel na hladine α = 0. 1.
55 Empirické testy testy na overovanie náhodnosti vygenerovanej postupnosti pseudonáhodných čísel testy aplikujeme na postupnosť u n = u0, u1, u2,... reálnych čísel, o ktorých predpokladnáme, že sú rovnomerne rozdelené na intervale <0,1) V prípade, že testy boli navrhnuté ako celočíselné, použijeme pomocnú testovaciu postupnosť : y = n du n,v ktorej sú hodnoty rovnomerne rozdelené na Z d = { 0,1,..., d 1} Známe batérie testov obsahujúce rozne druhy epmirických testov sú napr. DIEHARD a NIST.
56 Test rovnomernosti rozdelenia (test frekvencie) Základný predpoklad pri všetkých GPČ je, že výstupné hodnoty majú rovnomerné rozdelenie. Pri testovaní tohoto predpokladu sú v zásade dve možnosti: a) použijeme KS test, kde F n ( x) = x pre 0 x 1, prípadne opakovaný KS test 2 b) použijeme χ test, pričom hodnoty transformujeme pomocou y n = du n. Počet tried sa potom rovná d. Sériový test V sériovom teste overujeme správanie sa N-tíc. Z n hodnôt testovanej postupnosti vyberáme postupne neprekrývajúce sa N-tice, ktoré považujeme za súradnice bodov v oblasti v N- y n = du n a aplikujeme χ 2 test. Počet tried rozmernom priestore. Transformujeme ich použitím N je potom d, t.j. treba voliť minimálne resp. trojice čísel. n > 5d N. V praxi sa najčastejšie takto testujú dvojice
57 Test maxima z t hodnôt Označme v j = max( utj, utj+ 1,..., utj+ ( t 1) ). Potom môžeme postupovať nasledovne: t a) postupnosť v j má mať rozdelenie s distribučnou funkciou F ( x) = x, čo overíme KS testom b) použijeme test rovnomernosti rozdelenia na postupnosť hodnôt. t v j Test minimálnej vzdialenosti Na testovanú postupnosť sa pozeráme ako na súradnice bodov v rovine, pričom testujeme minimálnu vzdialenosť medi nimi. N krát opakuj: a) zvoľ n náhodných bodov na jednotkovom štvorci b)nájdi minimálnu vzdialenosť d medzi 2 bodmi zo všetkých ( n 2 n) / 2 párov. Ak body boli náhodne rozdelené, potom druhé mocniny získaných N hodnôt d májú exponenciálne 2 d / µ rozdelenie so strednou hodnotou µ, t.j. 1 e má mať rovnomerné rozdelenie na <0,1), čo sa overí KS testom.
58 Test bitového prúdu Na testovanú postupnosť sa pozeráme ako na prúd bitov b1, b2,... bn, kde N=počet hodnôt postupnosti krát bitová náročnosť jednej hodnoty. Z tohoto prúdu bitov vyberáme prekrývajúce sa slová o veľkosti 20 bitov (t.j. 1.slovo=b1,b2,,b20, 2.slovo=b2,b3,,b21,...) a počítame počet 20 chýbajúcich slov. Z celkového počtu možných slov pri výbere slov zo vstupného prúdu bitov očakávame, že počty J chýbajúcich slov bude mať približne normálové rozdelenie s µ = a σ = 428. Overiť to KS testom môžeme a) hneď b) J normujeme transformáciou (J )/428) a následne prevedieme na rovnomerné rozdelenie na <0,1) a testujeme až potom.
59 Teoretické testy poskytujú možnosť odhaliť nedostatky generátorov už pred ich empirickým testovaním. umožňujú predpovedať a porozumieť ich správaniu sa za špecifických okolností. o Pracuje sa s celou periódou generátora niektoré testy (napr. test na rovnomernosť rozdelenia) nemajú veľký zmysel Najčastejšie používajú spektrálny test - použiteľný iba na generátory s mriežkovou štruktúrou výstupných hodnôt. test diskrepancie - všeobecnejší avšak vo viacerých rozmeroch príliš náročný na výpočet
60 Spektrálny test veľmi dôležitý test na kontrolu LCG Zatiaľ všetky LCG generátory o ktorých sa zistilo, že sú nevyhovujúce, neprešli ani týmto testom. Spektrálny test je úzko spätý so sériovým testom avšak výsledky sú spoľahlivejšie, lebo sú rotačne invariantné vzhľadom na orientáciu mriežkovej štruktúry vstupných údajov. Označme u n výstupy z LCG a vytvorme N-tice: S N n ( u u,... u ) = n, n+ 1, n+ N 1 Použijeme ich ako súradnice bodov v N-rozmernom priestore. Je evidentná mriežková štruktúra pri vypĺňaní N-rozmerného intervalu N Body S n ležia na množine ekvidištančných paralelných hyperrovín.
61 Spektrálny test nám poskytuje numerickú hodnotu ν N vyplnenia N-rozmerného intervalu definovaním 1 /ν N ako maximálnej vzdialenosti medzi hyperrovinami zo všetkých množín paralelných (N-1)-rozmerných hyperrovín prekrývajúcich všetky body { S n } * Hodnoty ν N môžeme normovať na ν N <0,1> pomocou: N. * 1/ 2 1/ N N vn /( γ N m ν = ) 1/ 2 γ 1/ 2 N sú Hermitove konštanty ( γ 2 = (4 / 3), γ 3 = 2, ).
62 u u n 1 Príklad spektrálnych charakteristík GPČ (generátor LCG(97,17,0,1)), vynesené n voči. Naznačené sú viaceré smery paralelných priamok a vzdialenosť medzi priamkami pre množinu s maximálnou vzdialenosťou.
63 a)lcg(256,85,1,0) b)lcg(256,101,1,0) c)lcg(256,61,1,0) d) LCG(256,237,1,0) e) LCG: ANSI C - funkcia rand() Normovaná hodnota spektrálneho testu pre generátory a) d) sa zlepšuje: a) 0,1839 b) 0,5003 c) 0,7357 d) 0,9196
Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
Διαβάστε περισσότερα1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
Διαβάστε περισσότεραVzorce pre polovičný argument
Ma-Go-15-T List 1 Vzorce pre polovičný argument RNDr Marián Macko U: Vedel by si vypočítať hodnotu funkcie sínus pre argument rovný číslu π 8? Ž: Viem, že hodnota funkcie sínus pre číslo π 4 je Hodnota
Διαβάστε περισσότεραChí kvadrát test dobrej zhody. Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky
Chí kvadrát test dobrej zhody Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova Test dobrej zhody I. Chceme overiť, či naše dáta pochádzajú z konkrétneho pravdep.
Διαβάστε περισσότερα7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
Διαβάστε περισσότεραJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18
Διαβάστε περισσότεραStart. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
Διαβάστε περισσότεραMatematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
Διαβάστε περισσότεραÚvod do testovania hypotéz
TESTOVANIE HYPOTÉZ Úvod do testovania hypotéz Hypotéza je výrok, alebo tvrdenie o stave sveta (o skutočnej hodnote neznámeho parametra populácie - základného súboru), napr: Obvinený je nevinný µ= 100 Každá
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
Διαβάστε περισσότεραSpojité rozdelenia pravdepodobnosti. Pomôcka k predmetu PaŠ. RNDr. Aleš Kozubík, PhD. 26. marca Domovská stránka. Titulná strana.
Spojité rozdelenia pravdepodobnosti Pomôcka k predmetu PaŠ Strana z 7 RNDr. Aleš Kozubík, PhD. 6. marca 3 Zoznam obrázkov Rovnomerné rozdelenie Ro (a, b). Definícia.........................................
Διαβάστε περισσότεραEkvačná a kvantifikačná logika
a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2013-2014
ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2013-2014 Επιμέλεια: Ομάδα Διαγωνισμάτων από το Στέκι των Πληροφορικών ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Θέμα Α A1. 1 δ 2 γ 3 α
Διαβάστε περισσότερα1. písomná práca z matematiky Skupina A
1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi
Διαβάστε περισσότεραMa-Go-20-T List 1. Obsah trojuholníka. RNDr. Marián Macko
Ma-Go-0-T List 1 Obsah trojuholníka RNDr Marián Macko U: Čo potrebuješ poznať, aby si mohol vypočítať obsah trojuholníka? Ž: Potrebujem poznať jednu stranu a výšku na túto stranu, lebo základný vzorec
Διαβάστε περισσότεραJednoducho o matematike
Jednoducho o matematike Prehľad matematiky zo základnej školy Spracoval: Vladimír Rýs (voľne prístupná práca o matematike základnej školy) 1 1. Úvod Prečo vlastne chcem napísať tento prehľad? Dôvod je
Διαβάστε περισσότεραΑνάπτυξη Εφαρμογών σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον
Ανάπτυξη Εφαρμογών σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Γ Λυκείου 2013-2014 Άνδρας Π. Χρήστος Το παρών σετ ασκήσεων αποτελεί συλλογή επεξεργασμένων ασκήσεων από διάφορες πηγές (βιβλία, internet) και αρκετών
Διαβάστε περισσότεραAerobTec Altis Micro
AerobTec Altis Micro Záznamový / súťažný výškomer s telemetriou Výrobca: AerobTec, s.r.o. Pionierska 15 831 02 Bratislava www.aerobtec.com info@aerobtec.com Obsah 1.Vlastnosti... 3 2.Úvod... 3 3.Princíp
Διαβάστε περισσότεραCvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2011-2012
ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2011-2012 Επιμέλεια: Ομάδα Διαγωνισμάτων από το Στέκι των Πληροφορικών Θέμα Α Α1. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον
Διαβάστε περισσότεραΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΘΕΜΑ 1 Ο
ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ 1 ο κεφάλαιο: «ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ» ΘΕΜΑ 1 Ο 1. Ένα σώµα εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση. Στο διπλανό σχήµα φαίνεται η γραφική παράσταση της ταχύτητας του σώµατος µε το χρόνο. Η αρχική φάση της ταλάντωσης
Διαβάστε περισσότεραMotivácia pojmu derivácia
Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)
Διαβάστε περισσότεραPrechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009
Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica
Διαβάστε περισσότεραΤα πέντε κριτήρια που πρέπει να ικανοποιεί ένας αλγόριθμος είναι:
Το κεφάλαιο 2 αναφέρεται στην έννοια του αλγορίθμου. Αλγόριθμος, σύμφωνα με το βιβλίο, είναι μια πεπερασμένη σειρά ενεργειών, αυστηρά καθορισμένων και εκτελέσιμων σε πεπερασμένο χρόνο, που στοχεύουν στην
Διαβάστε περισσότερα6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu
6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis
Διαβάστε περισσότεραNumerická matematika - výcuc LS 2009/2010, FMFI UK
Numerická matematika - výcuc LS 2009/2010, FMFI UK Cyby a nepresnosti reportujte na kovac zavináč fotopriestor.sk 16. mája 2010 1 Úvod 1.1 Literatúra Babušíková, Slodička, Weisz - Numerické metódy Mila
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
Διαβάστε περισσότεραPriamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava
Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné
Διαβάστε περισσότερα2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 11. Έστω η εξίσωση x + ( λ + )x + 8λ = 0 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει πραγµατικές ρίζες για κάθε τιµή του λ R. Πότε οι ρίζες είναι ίσες και πότε άνισες; Αν x 1, x είναι
Διαβάστε περισσότεραJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2013/2014 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/27
Διαβάστε περισσότεραKATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita
132 1 Absolútna chyba: ) = - skut absolútna ochýlka: ) ' = - spr. relatívna chyba: alebo Chyby (ochýlky): M systematické, M náhoné, M hrubé. Korekcia: k = spr - = - Î' pomerná korekcia: Správna honota:
Διαβάστε περισσότεραΔομή Επανάληψης Άσκηση 1 - μικρότερο/μεγαλύτερο ως φίλτρο Να γραφεί αλγόριθμος σε ψευδογλώσσα που να διαβάζει συνεχώς αριθμούς μέχρι να διαβάσει τον
Δομή Επανάληψης Άσκηση 1 - μικρότερο/μεγαλύτερο ως φίλτρο Να γραφεί αλγόριθμος σε ψευδογλώσσα που να διαβάζει συνεχώς αριθμούς μέχρι να διαβάσει τον αριθμό μηδέν. Στο τέλος να εμφανίζει στην οθόνη τον
Διαβάστε περισσότεραPredmet: Algoritmizácia a programovanie 2202 FEI Telekomunikácie Ročník: 1.ročník Rozsah: 3/2 ZS. Prednášajúci: Jiří Pospíchal. Anotácia Predmetu:
Predmet: Algoritmizácia a programovanie 2202 FEI Telekomunikácie Ročník: 1.ročník Rozsah: 3/2 ZS Prednášajúci: Jiří Pospíchal Anotácia Predmetu: Úvod do algoritmizácie. Základne vlastnosti algoritmov.
Διαβάστε περισσότερα2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008
2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Πρώτοι αριθµοί και τα Βασικά Θεωρήµατά τους Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 1 Πρωτοι αριθµοι και τα Βασικα Θεωρηµατα τους Στη µνήµη
Διαβάστε περισσότερα4. domáca úloha. distribučnú funkciu náhodnej premennej X.
4. domáca úloha 1. (rovnomerné rozdelenie) Električky idú v 20-minútových intervaloch. Cestujúci príde náhodne na zastávku. Určte funkciu hustoty rozdelenia pravdepodobnosti a distribučnú funkciu náhodnej
Διαβάστε περισσότεραUniverzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta. Katarína Starinská. Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Katarína Starinská Detekce změn v časových řadách Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí diplomové práce: Doc.
Διαβάστε περισσότερα2012-2013 Πειραιάς:17/10/2012
ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ (ΕΞΑΜΗΝΟ: 1) ΨΣ-001-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ I 08:15 08:15-10:00, 103 ΚΑΤΣΙΚΑΣ Σ., _ ΔΙΔΑΣΚΩΝ Π.Δ. 11:15 11:15-13:00, 103 ΨΣ-003-ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ 10:15 10:15-12:00, 103 ΚΑΤΣΙΚΑΣ Σ., _ ΔΙΔΑΣΚΩΝ
Διαβάστε περισσότερα42. διαβάζει την εφηµερίδα (α) ή να διαβάζει την εφηµερίδα (β) ii) Ορίζουµε το ενδεχόµενο
5 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 41. Να βρεθούν 4 αριθµοί οι οποίοι αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθµητικής προόδου αν το άθροισµα τους είναι και το άθροισµα των τετραγώνων τους είναι 166 i Αν ο µικρότερος
Διαβάστε περισσότεραΥΧΡΩΜΑ ΜΟΛΥΒΙΑ. «Γ λ υ κ ό κ α λ ο κ α ι ρ ά κ ι» της Γ ω γ ώ ς Α γ γ ε λ ο π ο ύ λ ο υ
ΤΑ Π ΥΧΡΩΜΑ ΜΟΛΥΒΙΑ Εφη μ ε ρ ί δ α τ ο υ τ μ ή μ α τ ο ς Β τ ο υ 1 9 ου Δ η μ ο τ ι κ ο ύ σ χ ο λ ε ί ο υ Η ρ α κ λ ε ί ο υ Α ρ ι θ μ ό ς φ ύ λ λ ο υ 1 Ι ο ύ ν ι ο ς 2 0 1 5 «Γ λ υ κ ό κ α λ ο κ α ι ρ
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραΑΙΩΝΑ. ΜΑΘΗΜΑ ΛΑΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ κ.μαρινα ΒΡΕΛΛΗ-ΖΑΧΟΥ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΚΑΛΑΤΗ ΕΜΜΑΝΟΥΕΛΑ ΑΡΙΘΜΟΣ ΜΗΤΡΩΟΥ 6084 ΕΞΑΜΗΝΟ Γ (3006 ~ 00Fj
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΣΧΟΛΗ ΦΙΛΟΣΟΦΙΚΗ ΤΜΗΜΑ ΙΣΤΟΡΙΑΣ-ΑΡΧΑΙΟΛΟΓΙΑΣ Α Έ Ί Ί Ί < Α Κ Έ Ν Ύ Κ Μ Α Τ Ά Κ Α Ι Α Ρ Χ Ω Ν Τ Ο Ύ 2 1 ΑΙΩΝΑ ΜΑΘΗΜΑ ΛΑΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ κ.μαρινα ΒΡΕΛΛΗ-ΖΑΧΟΥ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΚΑΛΑΤΗ
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc
Διαβάστε περισσότεραFAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY Univerzita Komenského, Bratislava. Aproximácia implicitne definovaných
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY Univerzita Komenského, Bratislava Katedra algebry, geometrie a didaktiky matematiky Aproximácia implicitne definovaných plôch v E 3 DIPLOMOVÁ PRÁCA Bratislava,
Διαβάστε περισσότεραΠΙΝΑΚΑΣ ΑΠΟΡΡΙΠΤΕΩΝ ΚΑΤΗΓΟΡΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΣ
1 581 / 4 06 2007 ΑΒΔΕΛΙΩΔΗ ΖΑΦΕΙΡΑ ΜΑΡΚΟΣ ΑΒ 652777 2 634 / 4 06 2007 ΑΓΓΕΛΗ ΕΛΕΝΗ ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΣ Ρ 988582 ΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ 3 587 / 4 06 2007 ΑΝΑΓΝΩΣΤΟΠΟΥΛΟΥ ΣΟΦΙΑ ΧΡΗΣΤΟΣ Π 171794 ΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Ανυπόγραφη Υπεύθυνη
Διαβάστε περισσότερα24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá
Διαβάστε περισσότεραΣΥΜΒΟΥΛΟΙ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ Εισαχθέντων 2011-12
ΑΓΓΕΛΑΚΗ ΚΡΥΣΤΑΛΙΑ 4441 ΚΟΥΒΙ ΑΚΗΣ Z303 Παρασκευή, 10:15-11 Z303 ΑΓΓΕΛΕΤΟΥ ΘΕΚΛΑ 4458 ΓΑΡΕΦΑΛΑΚΗΣ Z303 ευτέρα, 1:15-2 ΑΓΙΩΤΑΚΗ ΝΙΚΗ 4459 ΠΑΠΑ ΟΠΟΥΛΟΥ Ε304 Πέµπτη, 5:15-6 Ε304 ΑΚΤΟΥ ΙΑΝΑΚΗ ΓΕΩΡΓΙΑ 4485
Διαβάστε περισσότεραΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ ΜΔ. Κυριακή 4 Δεκεµβρίου 2011
ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ ΜΔ Κυριακή 4 Δεκεµβρίου 2011 ΘΕΜΑΤΑ Α. ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. Ανακοινώνεται ότι τη συνεδρίαση παρακολουθούν µαθητές από το 3ο Δηµοτικό Σχολείο Γιαννιτσών, σελ. 2269 2. Επί διαδικαστικού
Διαβάστε περισσότεραΕΛΑΦΡΑ ΛΑΣΠΩ ΗΣ ΕΛΤΙΟ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗΣ 22-1-2016. ΕΠΑΘΛΟ Ι ΙΟΚΤΗΤΗ 1 ος 3.650 2 ος 700 3 ος 450 4 ος 200
ΦΙΛΟΣ ΕΝΩΣΙΣ ΤΗΣ ΕΛΛΑ ΟΣ ΑΡΙΘΜ. Ο Ρ. : 1 Ο ΡΟΜΟΣ ΜΑΡΚΟΠΟΥΛΟΥ 1η Ο ΡΟΜΙΑ ΩΡΑ : 14:30 ΕΠΑΘΛΟ ΑΙΓΑΙΟΥ 5.000 Απόσταση 1.200 ΟΙ 4 + ΚΛΑΣΗ ΣΤ ΙΕΕ 1 ος 3.650 2 ος 700 3 ος 450 4 ος 200 1 2 ΡΑΪΖ ΤΟΥ ΠΑΟΥΕΡ (GB)
Διαβάστε περισσότεραReálna funkcia reálnej premennej
(ÚMV/MAN3a/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 18.10.2012 Úvod V každodennom živote, hlavne pri skúmaní prírodných javov, procesov sa stretávame so závislosťou veľkosti niektorých veličín od
Διαβάστε περισσότεραΞ267234 Ο Ο Α Α 19 0 4 0 0 0 18,11 37 800 0 200 0 0 0 362,20 259 Ο Ο Α Α 1.621,20 ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 3
ΑΣΗΜΑΚΗ 1 ΝΙΖΑΜΗΣ 2 ΚΑΤΣΟΥΛΑ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΑ-ΕΙΡΗΝΗ ΛΑΜΠΡΟΣ () ΕΜΠΕΙΡΙΑ Σ660448 Ο Ο Α 1 1 0 0 0 0 2 10,00 0 0 0 0 0 0 100 200,00 0 Ο Ο Α 1 300,00 ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣΘΩΜΑΣ Ξ267234 Ο Ο Α Α 19 0 4 0 0 0 18,11 37 800 0
Διαβάστε περισσότεραΟ ΜΑΚΡΟΧΡΟΝΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΠΡΟΠΟΝΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΒΑΡΥΝΣΗΣ (αερόβια. προπόνηση) ΣΤΟΥΣ ΔΡΟΜΟΥΣ ΗΜΙΑΝΤΟΧΗΣ ΑΝΤΟΧΗΣ
Ο ΜΑΚΡΟΧΡΟΝΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΠΡΟΠΟΝΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΒΑΡΥΝΣΗΣ (αερόβια προπόνηση) ΣΤΟΥΣ ΔΡΟΜΟΥΣ ΗΜΙΑΝΤΟΧΗΣ ΑΝΤΟΧΗΣ Δημήτριος Ελ. Σούλας Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. - Π.Θ Προπονητής Στίβου dsoulas@pe.uth.gr
Διαβάστε περισσότεραΧΡΟΝΙΚΑ ΙΣΤΟ Ρ ΙΑ Σ & Π Ο Λ ΙΤ ΙΣ Μ Ο Υ Ν Ο Μ Ο Υ Η Μ Α Θ Ι Α Σ ^
ΧΡΟΝΙΚΑ ΙΣΤΟ Ρ ΙΑ Σ & Π Ο Λ ΙΤ ΙΣ Μ Ο Υ Ν Ο Μ Ο Υ Η Μ Α Θ Ι Α Σ ^ ΜΑΙΟΣ - ΑΥΓΟΥΣΤΟΣ 2 0 1 3 ΕΤΟΣ ΣΤ ' - ΑΡ. ΤΕΥΧΟΥΣ 2 0 Τετραμηνιαία έκδοση της Εταιρείας Μελετών Ιστορίας και Πολιτισμού Ν. Ημαθίας (Ε.Μ.Ι.Π.Η.)
Διαβάστε περισσότεραΑΓΙΑ ΖΩΝΗ. Τό φ οβ ερ ό Μυ σ τ ήρ ι ο
ΑΓΙΑ ΖΩΝΗ ΤΕΥΧΟΣ 12 ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΕΚΔΟΣΗ ΙΕΡΟΥ ΝΑΟΥ ΑΓΙΑΣ ΖΩΝΗΣ ΠΑΤΗΣΙΩΝ ΧΡΙΣΤΟΥΓΕΝΝΑ 2008 Τό φ οβ ερ ό Μυ σ τ ήρ ι ο «Ἡ Γέννηση τοῦ Χριστοῦ εἶναι τὸ µεγαλύτερο θαῦµα ποὺ τάραξε τὴν τάξη τοῦ κόσµου, πιὸ µεγάλο
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΡΑ ΙΕΝΕΡΓΕΙΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΡΑ ΙΕΝΕΡΓΕΙΑ 5.1 Ερωτήσεις διαφόρων µορφών Στις παρακάτω ερωτήσεις (1-10) να βάλετε σε κύκλο το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1. Ραδιοϊσότοπα ονοµάζονται: α. όλα τα είδη ατόµων
Διαβάστε περισσότεραTomáš Madaras Prvočísla
Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,
Διαβάστε περισσότεραMetódy vol nej optimalizácie
Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie p. 1/28 Motivácia k metódam vol nej optimalizácie APLIKÁCIE p. 2/28 II 1. PRÍKLAD: Lineárna regresia - metóda najmenších štvorcov Na základe dostupných
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΣΛΗΨΗ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΜΕ ΣΥΜΒΑΣΗ ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΠΙΝΑΚΑΣ ΚΑΤΑΤΑΞΗΣ & ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑΣ ΚΡΙΤΗΡΙΑ (1) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)
1 2 3 4 6 7 8 Φορέας : ΗΜΟΣ ΣΑΡΩΝΙΚΟΥ ΠΙΝΑΚΑΣ ΚΑΤΑΤΑΞΗΣ & Σ () () sort ΑΛΕΞΟΠΟΥΛΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΜΟΣΧΟΠΟΥΛΟΣ ΠΑΝΤΕΛΗΣ ΗΜΗΤΡ ΡΕΠΠΑΣ ΗΜΗΤΡΙΟΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΑΛΕΞΑΡΟΣ ΜΙΧΑΗΛ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ ΕΛΙΟΥ ΜΑΡΙΑ ΘΕΟ ΩΡΟΣ
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμογές Υπολογιστών
Εφαρμογές Υπολογιστών Κεφάλαιο 7 Προγραμματισμός υπολογιστή Ψευδογλώσσα Διαδικασία επιλογής Σύνθετη ΑΝ ΣΥΝΘΕΤΗ: Δομή Αν τότε Εντολές1 αλλιώς Εντολές2 Τέλος_Αν Εφαρμογές Υπολογιστών Κεφάλαιο 7
Διαβάστε περισσότεραΟλοκληρώματα. ) x. f(x)dx = lim f(ξ. Παραδείγµατα Επισηµάνσεις Θεωρίας Θέµατα. f(ξκ) Επιµέλεια: Μάριος Ελευθεριάδης 1. + κ=1
Ολοκληρώμτ Cf f(ξκ) = 3 κ-ξκ κ - = f()d = lim f(ξ κ ) + κ= Πρδείγµτ Επισηµάσεις Θεωρίς Θέµτ Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης . Αρχική συάρτηση ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Πρδείγµτ Επισηµάσεις Θεωρίς Θέµτ Ορισµός: Αρχική
Διαβάστε περισσότεραM6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou
M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny
Διαβάστε περισσότερα,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky,
Farba skupiny: zelená Označenie úlohy:,zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Úloha: Zistiť, ako závisí účinnosť zohrievania vody na indukčnom variči od priemeru použitého hrnca. Hypotéza: Účinnosť
Διαβάστε περισσότερα0 irotmttm ------------------------------- * -------------------------------- eka.ia.gtxi Me ΤΗΝ ΠΡΟΝΟΙλ ΜΗΤΡΟΠΟΛΙΤΟΥ Μ V ΤI \ Η Ν Η C
Μ ηνιαίο fc K K ju i«ia C T ih O T F e p i o a i f i o 0 irotmttm ------------------------------- * -------------------------------- TOV ceg. eka.ia.gtxi Me ΤΗΝ ΠΡΟΝΟΙλ ΜΗΤΡΟΠΟΛΙΤΟΥ Μ V ΤI \ Η Ν Η C κογ
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ 1 η Υ.ΠΕ ΑΤΤΙΚΗΣ Γ.Ν.Α. «Ο ΕΥΑΓΓΕΛΙΣΜΟΣ- ΟΦΘΑΛΜΙΑΤΡΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ- ΠΟΛΥΚΛΙΝΙΚΗ»-Ν.Π.Δ.Δ. ΑΘΗΝΑ 27-03-2015 ΕΤΟΣ ΙΔΡΥΣΗΣ 1884
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ 1 η Υ.ΠΕ ΑΤΤΙΚΗΣ Γ.Ν.Α. «Ο ΕΥΑΓΓΕΛΙΣΜΟΣ- ΟΦΘΑΛΜΙΑΤΡΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ- ΠΟΛΥΚΛΙΝΙΚΗ»-Ν.Π.Δ.Δ. ΑΘΗΝΑ 27-03-2015 ΕΤΟΣ ΙΔΡΥΣΗΣ 1884 ΤΜΗΜΑ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑΣ ΙΑΤΡΟΙ 08:00 20.00 20.00 08.00 ΓΕΝΙΚΗ ΕΦΗΜΕΡΙΑ
Διαβάστε περισσότεραKomplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ 23 1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Συνέχεια του µαθήµατος 22 Ασκήσεις. 3 η ενότητα 17.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 η ενότητα 7. ΜΑΘΗΜΑ 3.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Συνέχεια του µαθήµατος Ασκήσεις ίνεται συνάρτηση f : R R, για την οποία ισχύουν : α) Είναι συνεχής β) 3 f () + f () = + +, για κάθε R Να αποδείξετε
Διαβάστε περισσότεραΧαρτογράφηση κινδύνου εκδήλωσης κατολίσθησης με τη χρήση GIS Ε Φ Α Ρ Μ Ο Γ Ε Σ Γ Π Σ Σ Τ Η Δ Ι Α Χ Ε Ι Ρ Ι Σ Η Κ Α Τ Α Σ Τ Ρ Ο Φ Ω Ν
Χαρτογράφηση κινδύνου εκδήλωσης κατολίσθησης με τη χρήση GIS Ε Φ Α Ρ Μ Ο Γ Ε Σ Γ Π Σ Σ Τ Η Δ Ι Α Χ Ε Ι Ρ Ι Σ Η Κ Α Τ Α Σ Τ Ρ Ο Φ Ω Ν Χ. Χ Α Λ Κ Ι Α Σ X Α Ρ Ο Κ Ο Π Ε Ι Ο Π Α Ν Ε Π Ι Σ Τ Η Μ Ι Ο - Τ Μ.
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 2003
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ο Θέµα Α. α) Έστω η συνάρτηση στο κάθε f δ) R τις τιµές του γ) Αν η συνάρτηση παραγωγίσιµη σε αυτό. Τότε ισχύει
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΜΕΝΑ Ε ΟΜΕΝΑ
ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΜΕΝΑ Ε ΟΜΕΝΑ Αριθµητικός Μέσος: όπου : αριθµός παρατηρήσεων ιάµεσος: εάν άρτιος εάν περιττός M + + M + Παράδειγµα: ηλ.: Εάν :,,, M + + 5 + +, 5 Εάν :,, M + Επικρατούσα Τιµή:
Διαβάστε περισσότερα! # %& #( #) #! # +, # # #./00
!! # %& #( #) #! # +, # # #./00 ! # 12 3 # #( 4 5 # 6 12 #5 7! 4 ( # # # #! # 8 7 5 #9 3 7! 3 : #(12 4 # # # #5 7! 4 3 #5.;
Διαβάστε περισσότεραΜέτρηση Έργου Εργόμετρα Κοσμάς Χριστούλας Αν. Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α.-Α.Π.Θ. Α.Π.Θ. Η ενέργεια εμφανίζεται με διάφορες μορφές, όπως χ η μ ι κ ή θ ε ρ μ ι κ ή μ η χ α ν ι κ ή η λ ε κ τ ρ ι κ ή η λ ε κ τ ρ
Διαβάστε περισσότεραΠρος κάθε ενδιαφερόµενο
ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ΑΝΩΝΥΜΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΟΤΑ (Α.Α.Η. Α.Ε. ΟΤΑ) ------------------------------------------------------- Οδός Σ. Μουστακλή, Παγκρήτιο Στάδιο Τηλ: 2180 264560/2810215080 Ηράκλειο, 14-01-2014
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΤΥΧΟΝΤΕΣ ΑΕΙ 2009 Αρχιτεκτόνων Μηχανικών Κρήτης
ΕΠΙΤΥΧΟΝΤΕΣ ΑΕΙ 2009 Χρηστίδης Δ. Ανωγιάτη Χ. Κοκκολάκη Α. Λουράντου Α. Χασάπης Φ. Σταυροπούλου Ε. Αλωνιστιώτη Δ. Καρκασίνας Α. Μαραγκουδάκης Θ. Κεφαλάς Γ. Μπαχά Α. Μπέζα Γ. Μποραζέλης Ν. Χίνης Π. Λύτρα
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΔΗΜΟΣ ΛΑΜΙΕΩΝ
ΠΡΟΣΚΛΗΣΗ 17 ης ΣΥΓΚΛΗΣΗΣ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΔΗΜΟΣ ΛΑΜΙΕΩΝ ΛΑΜΙΑ 31/10/2012 Αρ. Πρωτοκόλλου: 78610 Π Ρ Ο Σ (όπως πίνακας αποδεκτών) ΘΕΜΑ: «Πρόσκληση σύγκλησης Δημοτικού Συμβουλίου»
Διαβάστε περισσότεραΙ Ο Λ Ο Γ Ι Μ Ο - Α Π Ο Λ Ο Γ Ι Μ Ο Μ Η Ν Ο Γ Δ Κ Δ Μ Β Ρ Ι Ο Υ 2 0 1 5
Μ Ρ : 0 9 / 0 1 / 2 0 1 6 Ρ. Ρ Ω. : 7 Λ Γ Μ - Λ Γ Μ Μ Η Γ Δ Κ Δ Μ Β Ρ Υ 2 0 1 5 Δ Γ Ρ Ϋ Λ Γ Θ Δ ΚΔ Μ Β Δ Β Ω Θ Δ Δ Ρ Υ Θ Δ 0111 Χ / Γ Δ Θ Μ Θ Δ Ρ Ω Κ - - - 0112 Χ / Γ Λ Ρ Γ Κ Δ 2 3. 2 1 3. 0 0 0, 0 0-2
Διαβάστε περισσότερα3. Striedavé prúdy. Sínusoida
. Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa
Διαβάστε περισσότερα7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii
Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑ.Λ. (ΟΜΑ Α Β ) 2011 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα και ένα εσωτερικό σηµείο του Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο αυτό,
Διαβάστε περισσότεραHASLIM112V, HASLIM123V, HASLIM136V HASLIM112Z, HASLIM123Z, HASLIM136Z HASLIM112S, HASLIM123S, HASLIM136S
PROUKTOVÝ LIST HKL SLIM č. sklad. karty / obj. číslo: HSLIM112V, HSLIM123V, HSLIM136V HSLIM112Z, HSLIM123Z, HSLIM136Z HSLIM112S, HSLIM123S, HSLIM136S fakturačný názov výrobku: HKL SLIMv 1,2kW HKL SLIMv
Διαβάστε περισσότεραPríklady na precvičovanie Fourierove rady
Príklady na precvičovanie Fourierove rady Ďalším významným typom funkcionálnych radov sú trigonometrické rady, pri ktorých sú jednotlivé členy trigonometrickými funkciami. Konkrétne, jedná sa o rady tvaru
Διαβάστε περισσότεραλ π λ π λ λ Ε σ ρ σ ρ "'(4$ GPy t#"$!/"'"4.94(&1&$+ &1+ 9#/$ '5+ ~4-1+ 3"$ &,9+!#3$Q(%!4,9+ -&14 /!#",?5 &4 #$.",-9?4,&5&4 RFEH GEE UP $ (#"$.74,4&$" -! &"%@+ @4&$-1+
Διαβάστε περισσότεραRIEŠENIE WHEATSONOVHO MOSTÍKA
SNÁ PMYSLNÁ ŠKOL LKONKÁ V PŠŤNO KOMPLXNÁ PÁ Č. / ŠN WSONOVO MOSÍK Piešťany, október 00 utor : Marek eteš. Komplexná práca č. / Strana č. / Obsah:. eoretický rozbor Wheatsonovho mostíka. eoretický rozbor
Διαβάστε περισσότεραΣχηματισμός Υποτακτικής Παρακειμένου Ενεργητικής Φωνής. Ο Παρακείμενος σχηματίζει την Υποτακτική έγκλιση με δύο τρόπους:
Σχηματισμός Υποτακτικής Παρακειμένου Ενεργητικής Φωνής Ο Παρακείμενος σχηματίζει την Υποτακτική έγκλιση με δύο τρόπους: α. περιφραστικά (δηλ. χρησιμοποιώντας δύο λέξεις περιφραστικός ρηματικός τύπος στα
Διαβάστε περισσότερα4.2 ΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ
4. ΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ. Ταυτότητα της διαίρεσης (x) = δ(x)π(x) + υ(x), όπου υ(x) είναι ή το µηδενικό πολυώνυµο ή βαθµός υ(x) < βαθµός δ(x) (x) διαιρετέος δ(x) διαιρέτης π(x) πηλίκο υ(x) υπόλοιπο
Διαβάστε περισσότεραΠ Ι Ν Α Κ Α Σ ΔΟΚΙΜΩΝ ΠΥΡΟΣΒΕΣΤΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΚΑΘΗΚΟΝΤΩΝ ΠΟΥ ΠΛΗΡΟΥΝ ΤΑ ΠΡΟΣΟΝΤΑ ΚΑΙ ΤΙΣ ΠΡΟΥΠΟΘΕΣΕΙΣ ΓΙΑ ΠΡΟΣΛΗΨΗ Κατηγορία Α7 -Πληροφορικής Α.Τ.Ε.
1 ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 697 ΑΗ323276 Α ΑΝΑΓΝΩΣΤΟΥ ΑΝΑΣΤ ΔΗΜΗΤ ΒΑΣΙΛ 30/9/1984 6 ( 61 / 100) Αρ. Ν Ν Ν 1.611 2 ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 24 ΑΚ435432 Α ΜΕΤΑΞΑΣ ΓΡΗΓΟ ΝΙΚΟΛ ΕΛΕΥΘ 7/6/1985 6 ( 64 / 100) Γ Ν Ν Ν Ν 1.564 3 ΖΑΚΥΝΘΟΣ
Διαβάστε περισσότεραΒ.1.Να γράψετε τους αριθµούς της στήλης Α και δίπλα το γράµµα της στήλης Β που αντιστοιχεί στο σωστό είδος προβληµάτων.
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ): ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Θέµα
Διαβάστε περισσότεραΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ» ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α
3 o ΔΑΓΩΝΣΜΑ ΜΑΡΤOΣ 03: ΕΝΔΕΚΤΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΣ ΦΥΣΚΗ ΘΕΤΚΗΣ ΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 3 ο ΔΑΓΩΝΣΜΑ (ΣΤΕΡΕΟ ΣΩΜΑ) ΕΝΔΕΚΤΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΣ ΘΕΜΑ Α β δ 3 δ 4 β 5 Λ βσ γλ δσ ελ ΘΕΜΑ Β Σωστή είνι η πάντηση γ Ο ρυθμός
Διαβάστε περισσότεραΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΘΕΜΑ 1 o Α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό κάθε πρότασης και δίπλα το γράμμα
Διαβάστε περισσότεραΤ.Ε.Ι ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ Σ Χ Ο Λ Η Τ Ε Χ Ν Ο Λ Ο Γ ΙΑ Σ Γ Ε Ω Π Ο Ν ΙΑ Σ. Τ Μ Η Μ Α Θ Ε.Κ.Α. / ΙεκδΟί
Τ.Ε.Ι ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ Σ Χ Ο Λ Η Τ Ε Χ Ν Ο Λ Ο Γ ΙΑ Σ Γ Ε Ω Π Ο Ν ΙΑ Σ Τ Μ Η Μ Α Θ Ε.Κ.Α. / ΙεκδΟί ΤΕΧΝΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΛΛΙΕΡΓΕΙΑΣ ΓΙΑΣΕΜΙΟΥ (Μ3ΜΙΝΙΙΜ σκλνόιποκυμ) ΕΚΤΑΣΗΣ 4 ΣΤΡΕΜΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΝΟΜΟ ΑΤΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ
Διαβάστε περισσότεραΦυτοπλαγκτόν και Ρύπανση της Θάλασσας
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Καβάλας Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανολογίας Πτυχιακή Εργασία Φυτοπλαγκτόν και Ρύπανση της Θάλασσας Σπουδάστρια: Α.Μ. 3049 Επιβλέπων: Λιόγκας Βασίλειος Καβάλα,
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΛΟΓΟΣ. Κλείνει με τις λύσεις όλων των θεμάτων του Μαίου
ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το παρόν τεύχος δημιουργήθηκε για να διευκολύνει τους μαθητές στην ΆΜΕΣΗ κατανόηση των απαιτήσεων των πανελληνίων εξετάσεων δίνοντας τους τα θέματα των 4 χρόνων των κανονικών εξετάσεων του Μαίου
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ: ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΘΕΡΙΝΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 04/11/12 ΛΥΣΕΙΣ
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 0-03 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ: ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΘΕΡΙΝΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 04// ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑ A Στις ερωτησεις -4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα
Διαβάστε περισσότεραElektronický podpis. Ivan Bílek Žilinská Univerzita FRI 2010/2011
Elektronický podpis Ivan Bílek Žilinská Univerzita FRI 2010/2011 Definícia Elektronický podpis je matematická schéma pre demonštrovanie autenticity elektronickej správy alebo dokumentu. Platný elektronický
Διαβάστε περισσότεραΔιαφορικής Γεωμετρίας Καμπυλών και επιφανειών
Ν. Καδιανάκη Αν. Καθηγητή Ε.Μ.Π. Σημειώσεις Διαφορικής Γεωμετρίας Καμπυλών και επιφανειών ΑΘΗΝΑ Απαγορεύεται η ανατύπωση, αναδημοσίευση, αντιγραφή όλου ή μέρους του παρόντος βιβλίου, η αποθήκευση σε ηλεκτρονικά
Διαβάστε περισσότεραΤ.Ε.Ι. ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ & ΘΡΑΚΗΣ Σ.Δ.Ο. ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟΥ ΕΞΑΜΗΝΟΥ 2015-2016
Τ.Ε.Ι. ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ & ΘΡΑΚΗΣ Σ.Δ.Ο. ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟΥ ΕΞΑΜΗΝΟΥ 2015-2016 1 2 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΙI (ΝΕΟ Δ. Ε.) Μ. Πιπιλιαγκόπουλος ΜΑΝΑTZMENT
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραέχουν απομάκρυνση ίση με το αλγεβρικό άθροισμα των απομακρύνσεων που θα είχαν αν οι δύο παλμοί
ΕΠΑΛΛΗΛΙΑ (ή ΥΠΕΡΘΕΣΗ) ΚΥΜΑΤΩΝ Πριν τη συνάντηση Κατά τη συνάντηση Μετά τη συνάντηση Θεωρούμε ότι κατά μήκος ενός γραμμικού εαστικού μέσου διαδίδονται ταυτόχρονα δύο κυματικοί παμοί που βρίσκονται στο
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ 1 η Υ.ΠΕ ΑΤΤΙΚΗΣ Γ.Ν.Α. «Ο ΕΥΑΓΓΕΛΙΣΜΟΣ- ΟΦΘΑΛΜΙΑΤΡΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ- ΠΟΛΥΚΛΙΝΙΚΗ»-Ν.Π... ΑΘΗΝΑ 07-08-2015 ΕΤΟΣ Ι ΡΥΣΗΣ 1884
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ 1 η Υ.ΠΕ ΑΤΤΙΚΗΣ Γ.Ν.Α. «Ο ΕΥΑΓΓΕΛΙΣΜΟΣ- ΟΦΘΑΛΜΙΑΤΡΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ- ΠΟΛΥΚΛΙΝΙΚΗ»-Ν.Π... ΑΘΗΝΑ 07-08-2015 ΕΤΟΣ Ι ΡΥΣΗΣ 1884 ΤΜΗΜΑ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑΣ ΙΑΤΡΟΙ 08:00 20.00 20.00 08.00 ΓΕΝΙΚΗ ΕΦΗΜΕΡΙΑ
Διαβάστε περισσότεραIntegrovanie racionálnych funkcií
Integrovanie racionálnych funkcií Tomáš Madaras 2009-20 Z teórie funkcií už vieme, že každá racionálna funkcia (t.j. podiel dvoch polynomických funkcií) sa dá zapísať ako súčet polynomickej funkcie a funkcie
Διαβάστε περισσότερα(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) ΑΣΕΠ : Πίνακας κατάταξης υποψηφίων ορισµένου χρόνου 1 από 23
Υπηρεσία : Ο.Τ.Α. ΠΙΝΑΚΑΣ ΚΑΤΑΤΑΞΗΣ & Σ Υπ' αριθµ. Σ.Ο.Χ. : 1/2015 ΠΑΤΡΟΣ ΚΥΡΙΑ ΠΡΟΣΟΝΤΑ / ΣΕΙΡΑ ΕΠΙΚΟΥΡΙΑΣ 1 ΠΑΡΑΣΤΑΤΙ ΗΣ ΕΡΩΣΙ ΙΩΑ ΑΙ743407 Οχι Οχι 1 13 6 5 99 800 300 0 110 0 0 420,00 Οχι 1 Οχι 1.630,00
Διαβάστε περισσότερα