Statistika sažetak i popis formula

Transcript

1 Stattka ažetak pop formula Dekrptva tattka Artmetčka reda brojeva,,, : = Na prmjer, artmetčka reda brojeva,,3,4,5 je broj = = Frekvecja ekog podatka je broj pojavljvaja tog podatka Na prmjer, za podatke,,,,,3,4 broj ma frekvecoju, broj frekvecju 3, a brojev 3 4 po frekvecju Ako podatke grupramo u razrede, oda lčo deframo frekvecje razreda Relatva frekvecja (podatka l razreda), po defcj je kvocjet obče frekvecje ukupog broja podataka Zato je zbroj relatvh frekvecja jedak Medja kupa podataka je redj podatak ako je broj podataka epara, a artmetčka reda dvaju redjh ako je broj podataka para Na prmjer, za podake,, 4,, 3 medja je 4 (redj podatak), a za podatke,,4,7,,3 medja je = 5 5 (artmetčka reda 3 4 podatka) Rapo podataka,,, poredah prema velč je razlka - ajvećeg ajmajeg podatka Na prmjer, rapo podataka,,,,3,,64 je 64-=63 Kvartl djele podatke u četr jedakobroje kupe Prv l doj kvartl je broj od kojega je 5% podataka maje l je jemu jedako Drug je kvartl medja Treć l gorj kvartl je broj od kojega je 75% podataka maje l je jemu jedako Mjere rapaja (dperzje) podataka Suma apuluth vrjedot odtupaja podataka od artmetčke rede: SAO:= Proječo apoluto odtupaje od artmetčke rede: PAO:= + + +

2 3 Varjaca uzorka ( ' ) := ( ' ) defra e kao proječo kvadrato odtupaje od projeka: ( + ( + + ( 4 Stadarda devjacja uzorka ' je drug korje z varjace uzorka: ':= ( + ( + + ( 5 Korgraa varjaca (eprtraa procjea varjace populacje) ( := + ( + + ( (razlkuje e po tome što u azvku, umjeto ma -, a u ozac što ema crtce) 6 korgraa tadarda devjacja uzorka, kojom e procjejuje tadarda devjacja populacje: := ( + ( + + ( Doadašje pojmove lutrramo Prmjerom 9 z lekcje: Dekrptva tattka Prmjer 9 Mjerejem vremea zmeđu dvju uzatoph poruka prtglh a eku adreu dobve u ljedeć podatc (u ekudama):, 8,, 7, 4, 4, 4, 6,,, 3,,, 3, 8, 6, 5, 5, 6, 3,, 4, 5, 8,, 6, 7, 9,, 4,, 4, 3, 3, 8, 5, 3, 5, 7, 6 (I) Prebrojmo podatke Vdmo da h ma 4, dakle = 4 (II) Poredajmo podatke prema velč (od majeg prema većem):,,,, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6,6,6, 7, 7, 8, 8, 8,,,, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 8, 9,,,, 3, 5, 7, 3 (III) Napravmo tablcu frekvecja: Vdmo da frekvecje varraju ako maju opć tred prema opadaju To b još zraztje blo da mo tavl frekvecje za brojeve od do 3 koj e e pojavljuju (IV) Gruprajmo podatke u razrede dulje 5:

3 Vdmo da, ako ovakvog grupraja, frekvecje razreda opadaju, što e dobro vd z htograma To je jeda od ajvažjh razloga grupraja (V) Odredmo, ajmaj podatak, ajveć podatak rapo: m = ma = 3 rapo = ma m = 3- = 9 (VI) Odredmo medja artmetčku redu uaprjed procjemo jhov odo Odredmo kvartle S obzrom da u podatc vše grupra a početak, medja je maj od artmetčke rede Kako je = 4, medja je artmetčka reda -og -og podatka Dakle: 8 + Medja = = 9 Artmetčka reda, = 458 = 45 (zata je medja maj) 4 Prv kvartl: q = 45 Drug kvartl (medja): q = 9 Treć kvartl: q 3 = 7 (VII) Odredmo varjacu tadardu devjacju te korgrau varjacu korgrau tadardu devjacju uzorka Varjaca: (') = Stadarda devjacja: ' = (a 4 decmale) Korgraa varjaca: = (a 4 decmale) Korgraa tadarda devjacja: = 85 (a 4 decmale) Emprjko pravlo za zvoolke dtrbucje frekvecja Kažemo da podatc maju zvoolku dtrbucju ako za htogram frekvecja (l relatvh frekvecja, vejedo) vrjed: (N) Površa je kocetrraa oko artmetčke rede (N) Površa je prblžo metrčo rapoređea ljevo deo od artmetčke rede (N3) Površe ratu odprlke do artmetčke rede, potom padaju Uz ove uvjete htogram (odoo prpada krvulja) ma zvoolk oblk Praka pokazuje da takav oblk maju htogram dtrbucja kod velkh uzoraka, pr mjereju mogh tattčkh feomea (tattčkh oblježja), poput mae, ve, pototka elemeta koj e može ekom tehološkom metodom zdvojt z eke rudače, grješaka pr mjereju, kvocjeta telgecje td Za takva tattčka oblježja uočeo je ljedeće emprjko pravlo: 3

4 U tervalu < - ', + ' > ma oko 68% podataka, tj oko /3 podataka (površe htograma) U tervalu < - ', + ' > ma oko 95% podataka (površe htograma) U tervalu < - 3 ', + 3 ' > u gotovo v podatc (gotovo čtava površa) Procjejvaje Neka je X lučaja varjabla Očekvaje E(X) procjejujemo artmetčkom redom podataka = Varjacu V(X) procjejujemo zrazom ( = + + (, (u azvku je -, a e ) Stadardu devjacju (X) procjejujemo zrazom = ( + + ( Iterval pouzdaot za očekvaje prava vrjedot mjeree velče Ozačmo E(X)= µ V(X) = σ, bez obzra je l X ormalo dtrburaa Očekvaje procjejujemo artmetčkom redom podataka, al artmetčka reda e mora bt ( u pravlu je) jedaka (epozatom) očekvaju Zato a zama terval oko uutar kojega će, uz određeu gurot, bt očekvaje µ To je terval pouzdaot Potupak određvaja tervala pouzdaot Ako je X ormalo dtrburaa ako je pozata tadarda devjacja σ Tada je, uz 95% vjerojatot, terval pouzdaot (odprlke) σ σ <, + > Smao tervala pouzdaot je da e očekvaje µ u jemu alaz vjerojatošću 95 (ame µ je lučaja velča alaz e l e alaz u tom tervalu) Taj e mao može terpretrat a prmjer tako da b e odprlke u 95 od poavljaja ovh mjereja, artmetčka reda ašla u tervalu 4

5 σ σ < µ, µ + > (što bmo mogl provjert da zamo µ σ ), a to je to kao da kažemo da b e odprlke u 95 od poavljaja, očekvaje µ ašlo u σ σ tervalu <, + > (što bmo opet mogl provjert da zamo µ σ ) Umjeto broja, za vjerojatot 95, mogl bmo u tablc jedče ormale razdobe T (l odgovarajućoj procedur u Ecelu l Mathematc) ać preczj podatak: 96 Name, P( T <96) = 95 Slčo bmo mogl odredt metrče tervale oko artmetčke rede za druge vjerojatot, a e amo za 95 Općeto je terval pouzdaot za vjerojatot -p, jedak σ σ < z p, + z p > gdje je z p takav real broj, za kojega vrjed P(T>z p ) = p, zj broj za kojega je površa pod grafa fukcje gutoće jedče ormale razdobe jedaka p σ Velča σ = koja e tu pojavljuje zove e tadarda grješka, gdje je broj mjereja (dulja uzorka) Ako je velk (občo e uzma ako je >3), ako je pozata tadarda devjacja σ, a X e mora bt ormalo dtrburaa Tada možemo potupt kao u Treba apomeut da je predpotavka da zamo σ (a da µ procjejujemo z mjereja) ereala, ako je emoguća U prak mo gotovo uvjek prlje procjet σ pomoću Tada e tuacja uložjava, medjutm za parametre ormale razdobe, tj ako predpotavmo da je X ormalo dtrburaa, problem e može rješt 3 <3, X je ormalo dtrburaa, a σ epozat procjejujemo ga pomoću (potupak korekta za ve ) Tada je terval pouzdaot, uz vjerojatot -p: < t p ( k), + t p ( k) > gdje je t(-) Studetova razdoba k=- tupjeva lobode, a začeje broja t p (k) je ljedeće: P( t(k) > t p (k) ) = p, tj P(t(k) > t p (k) ) = p Ako je dovoljo velk, recmo oko 3, oda je t(-) praktčo jedaka jedčoj ormaloj razdob, pa možemo umjeto Studetove razdobe kortt jedču ormalu Naravo, ako e lužmo određem tattčkm paketom, to je epotrebo Takodjer, tada terval pouzdaot dobjemo zravo Tetraje hpoteze µ = µ (t-tet) 5

6 Predpotavmo da je X ormalo dtrburaa lučaja velča očekvajem µ varjacom σ Neka mo a oov mjereja dobl procjee: za jeo očekvaje µ, za jeu varjacu σ Tetramo hpotezu: H : µ = µ, gdje je µ eka deklarraa vrjedot Napomjemo da bmo prje toga trebal provjert hpotezu o blkot varjaca (koju treba formulrat), a ako što tetraje varjaaca poztvo prođe, možemo prtupt tetraju očekvaja Tetraje e zava a čjec da broj µ možemo terpretrat kao lučaju vrjedot lučaje varjable t(-) (ta e razdoba zove tet-tattka) Potupak opujemo uz kotrahpotezu µ µ, dakle mamo: (I) H : µ = µ H a : µ µ Račuamo t ep µ = Bramo vo gfkatot (razu začajot) što je občo 5 Začeje voa gfkatot je : = P(H odbacujemo H je tta) Taj e broj zove pogrješka prve vrte 3 U tablc t-razdobe određujemo krtču vrjedot t (ovo o broju tupjeva lobode k=-, kotrahpotez koja je, ako drukčje e pecfcramo µ µ ) Začeje krtče vrjedot: t = t (k), tj P( t(k) >t ) = 4 Ako je je t ep < t hpotezu prhvaćamo, ače je odbacujemo Područje zmeđu krtče vrjedot joj uprote <-t, t > zovemo područjem prhvaćaja (krtčo područje), otatak je područje odbacvaja Smao je u tome, što hpotezu prhvaćamo ako t ep upade u područje prhvaćaja, ače je odbacujemo Ovaj tet zovemo dvotrukm, azv možemo tumačt tako što e područje odbacvaja od dvaju metrčh djelova Name, tu područje odbacvaja ma dva metrča djela, vak površe, gdje je vo gfktot To je zato što je kotrahpoteza oblka µ µ, pa e dopuštaju otklo a obje trae Dakle, u lučaju =5, broj t, ozačava broj za kojega je pod grafa t-razdobe površa jedaka 5 6

7 Kotrahpotezu µ µ kortmo u pravlu oda ako u ek podatc z uzorka maj, a ek već od deklarrae vrjedot µ (II) H : µ = µ H a : µ > µ Tu hpotezu kortmo u pravlu oda ako ako u v podatc z uzorka (l veća od jh) već od µ korak je kao u (I) Tu je t = t (k), P( t(k) > t ) = (a e kao u (I)): 3 Ako je t ep < t, hpotezu prhvaćamo, ače je odbacujemo Dakle, područje prhvaćaja je <,t >, a odbacvaja < t, + > Ovo je prmjer jedotrukog teta (područje odbacvaja je od jedoga djela) (III) H : µ = µ H a : µ < µ Tu hpotezu kortmo u pravlu oda ako ako u v podatc z uzorka (l veća od jh) maj od µ Potupak je lča oome z (II), amo što je područje prhvaćaja <-t, + > Tetraje hpoteze µ = µ (t-tet) Tom tetu u pravlu predhod F-tet Nako što taj prođe atavlja e t-tetom (tetraju očekvaja), tj tetrajem hpoteze: H : µ = µ (ulta hpoteza) Hpoteza e, prmjeom t-teta, provod e lčo kao kod µ = µ (razlka je amo u prvom koraku) Izračua e: t ep = ( ) + ( + ) + gdje občo ozačavamo: ( ) + ( ) + d = + Odred e broj tupjeva lobode k= + - 7

8 3 Prhvat e ek vo gfkatot (občo =5, al može = l =) Smao voa gfkatot u tetraju je, kao ače, ljedeć: P(Potavljea e hpoteza odbacuje potavljea je hpoteza tta) = 4 Iz tablca t-razdobe zračua e krtča vrjedot pomoću koje odredjujemo upada l zračuata vrjedot t ep u krtčo područje Krtča vrjedot ov o vou gfkatot, o broju tupjeva lobode (dakle o broju mjereja), al o ašoj kotrahpotez koja može bt: a) µ µ (kad tetramo jeu l te dvje velče jedake l razlčte) Tada krtča vrjedot t ma začeje: P( t >t ) =, gdje t ozačava Studetovu (t-razdobu) Hpotezu prhvaćamo ako je t ep <t (ače je odbacujemo) Ako zrčto drukčje e kažemo uvjek matramo da je kotrahpoteza takva b) µ > µ (koja ma mla amo ako je >, ako e može provodt ače) Tada krtča vrjedot t ma začeje: P(t>t ) = (t je drukčj od oog z a)) Hpotezu prhvaćamo ako je t ep <t, ače je odbacujemo c) µ < µ (koja ma mla amo ako je <, ako e može provodt ače) Tada krtča vrjedot t takodjer ma začeje: P(t>t ) = Hpotezu prhvaćamo ako je t ep > - t, ače je odbacujemo χ - tet Rezultate mjereja lučaje varjable zapšemo u tablcu tako da u gorj redak tavljamo potgute rezultate podjeljee u L razreda: ult, prv,,(l-)-t, a u doj frekvecje f th razreda Iz predpotavke o teoretkoj dtrbucj zračuaju e prpade teoretke frekvecje (u lekcj je to pokazao za Pooovu dtrbucju) Hpoteza je da e podatc ravaju prema teoretkoj dtrbucj Potupak e provod ovako: Račuaje broja hkvadrat ekpermetalo koj je mjera udaljeot ekpermetalh teoretkh frekvecja ( f f ) ( ( ), ) ep : = t f f f t L f t L χ f f f t Određvaje broja tupjeva lobode: k=l--l gdje je l broj parametara teoretke razdobe (za Pooovu ekpoecjalu l=, za ormalu bomu l=), voa gfkatot (u pravlu =5) t t, L 3 Određvaje krtče vrjedot χ ( k ) koja ma začeje P( χ ( k ) > χ ( k )) =, gdje je χ ( k ) hkvadrat razdoba k tupjeva lobode (to je tet-tattka) 4 Hpotezu prhvaćamo ako je χ < χ ( k ) ep 8

9 (tada matramo da udaljeot zmeđu ekpermetalh teoretkh podataka je prevelka), ače je odbacujemo Dakle područje prhvaćaja (krtčo područje) je <, χ ( k) >, a područje odbacvaja < χ ( k), + > Općeto kod tetraja mamo ove azve: Pogrješka prve vrte: : = P(Hpotezu odbacujemo Hpoteza je tta) Pogrješke druge vrte: β := P(Hpotezu prhvaćamo Hpoteza je laža) Jakot teta: - β Metoda ajmajh kvadrata koefcjet regreje Ako mo mjerejem dvju zavh velča, za prvu od jh velču, dobl podatke,,,, a za drugu, velču y, korepodrajuće podatke y, y,, y, oda te podatke možemo hvatt kao uređeh parova: (,y ), (,y ), (,y ) koje geometrjk možemo predočt kao točaka rave Tada među vm pravcma jedadžbom y = a+b, ajbolje ovm podatcma odgovara oaj parametrma ( ) y y a =, ( ) y y b = Dobve pravac jedadžbom y = a+b zove e regrejk pravac Geometrjk to zač da regrejk pravac ajmaje odtupa od početh točaka T u e parametr dobl metodom ajmajh kvadrata koja e zava a ačelu da uma kvadrata razlka ekpermetalh teoretkh podataka bude mmala Vše o tome ma u lekcj Ako u točke (,y ), (,y ), (,y ) gruprae oko regrejkog pravca, oda govormo da u podatc korelra (learo korelra) Na oov toga govor e da u prpade velče,y korelrae Raza korelraot mjer e koefcjetom korelacje r : = ( y ) y y ( y ) Taj je broj zmeđu - Ako je r blzu, to je voka poztva, a ako je blzu - to je voka egatva korelraot Ako je, pak, r blzu ule korelraot je vrlo ka 9