Osnove statistike sažetak.

Transcript

1 Oove tatitike ažetak.. Uvod Populacija je kup vih etiteta koje razmatramo, a primjer vi tudeti ekog veučilišta čie populaciju. Razmatramo eko tatititičko obilježje populacije, a primjer viiu. Viia je lučaja veličia. Uzorak je eki podkup populacije lučajo odabra, a primjer lučajo odabraih 3 tudeata. Neka je veličia uzorka, a primjer =3. Mjerejem lučaje veličie X a tom uzorku dobijemo podataka: x, x,,x. Primjer. Da bimo procijeili količiu kemikalije u poudama koje e automatki pue, izaberemo lučajo pouda i provjeravamo količiu kemikalije u jima. Dobivamo podatke koji (ako ređivaja, od majeg prema većem) možemo zapiati ovako:.98,.98,.98,.99,.99,.,.,.,.,.. Tu lučaja veličia X mjeri količiu kemikalije u poudi, uzorak čie odabrae poude, =, x, do x jeu podatci.98,,.. Neka lučaja veličia X (u primjeru ili općeito) ima očekivaje µ i varijacu : E(X) = µ V(X) = (takve ćemo ozake imati i oda ako X ema ormalu razdiobu, već eku drugu, iako u pravilu razmatramo amo lučaje veličie ormalo ditribuirae). Ta u am dva parametra od X epozata pa ih procjejujemo a oovi mjereja. Očekivaje E(X) procjejujemo aritmetičkom rediom podataka x = x x... x V(X) procjejujemo izrazom ( x = x)... ( x x), (u aziviku je -, a e ) U gorjem je primjeru: x = =.997

2 3( ) = =.33 =.4944 ( ) (..997) 3(..997) (..997). Iterval pouzdaoti za očekivaje prava vrijedot mjeree veličie. Očekivaje procjejujemo aritmetičkom rediom podataka, ali aritmetička redia e mora biti (i u pravilu ije) jedaka (epozatom) očekivaju. Zato a zaima iterval oko x uutar kojega će, uz određeu igurot, biti očekivaje µ. To je iterval pouzdaoti. Jao je da širia itervala pouzdaoti ovii o razii iguroti da e očekivaje ađe u jemu (što je ta razia veća, iterval pouzdaoti je širi). Iterval pouzdaoti e određuje a oovi ljedećih važih čijeica (koje e mogu trogo matematički ormulirati i dokazati).. Ako je X ormalo ditribuiraa oda je i x ormalo ditribuiraa parametrima µ i, dakle: x ~ N( µ, ( ) ). To e objašjava time što e x, hvaćea kao lučaja veličia, matematički može iterpretirati kao aritmetička redia X... X X := gdje u X,...,X ezavie lučaje varijable (što aludira a ezaviih mjereja) jedako ditribuiraih kao i X (što aludira a to da mo vaki put mjerili vrijedot lučaje veličie X). Sad e tvrdja lako pokaže. Ne amo to, već e dobije da x (točije X ) ima očekivaje µ i varijacu, bez obzira kako je X bila ditribuiraa. Razlika je u tome što za opću X, aritmetička redia e mora biti ormalo ditribuiraa. Veličia x = zove e tadarda grješka. Oa je to maja što je veći ( što je prirodo, jer što je broj mjereja veći igurot projeka treba biti veća). Kako je x ormalo ditribuiraa (l..) oa, prema pravilu dvije igme, potiže, vjerojatošću većom od.95 ve vrijedoti u itervalu ± dvije igme oko redie, pecijalo, i očekivaje µ bi e tu trebalo aći tom vjerojatošću. Zaključak: P( x < µ < x ) >.95 Za pravilo tumačeje ove ormule x treba iterpretirati kao lučaju varijablu, dakle kao X. Sam iterval pouzdaoti, uz 95% vjerojatot je iterval < x, x > gdje x ima začeje broja.

3 Smiao itervala pouzdaoti ije da e očekivaje µ u jemu alazi vjerojatošću.95 (aime µ ije lučaja veličia i alazi e ili e alazi u tom itervalu). Taj e miao može iterpretirati a primjer tako da bi e odprilike u 95 od poavljaja ovih mjereja, aritmetička redia x ašla u itervalu < µ, µ > (što bimo mogli provjeriti da zamo µ i ), a to je ito kao da kažemo da bi e odprilike u 95 od poavljaja, očekivaje µ ašlo u itervalu < x, x > (što bimo opet mogli provjeriti da zamo µ i ). Umjeto broja, za vjerojatot.95, mogli bimo u tablici ormale razdiobe aći preciziji podatak:.96. Naime, P(<T<.96) =.475 (broj.475 dobije e kao.95/), gdje je T jediiča ormala razdioba. Dakle Φ (.96) =. 475, odoo Φ (.475) =. 96 (l..). Treba apomeuti da bimo ličo mogli odrediti imetriče itervale oko aritmetičke redie za druge vjerojatoti, a e amo za.95.. Ako je velik (običo e uzima ako je >3), oda je veličia x približo ormalo ditribuiraa parametrima µ i, bez obzira je li X bila ormalo ditribuiraa,dakle: x ~ N( µ, ( ) ) (približo, ako X ije ormalo ditribuiraa) 3

4 Zato u ovom lučaju možemo potupiti kao u. 3. Treba apomeuti da je predpotavka da zamo (a da µ procijejujemo iz mjereja) ereala, iako ije emoguća. U praki mo gotovo uvijek priiljei procijeiti pomoću. Tada e ituacija uložjava, medjutim za parametre ormale razdiobe, tj. ako predpotavimo da je X ormalo ditribuiraa, problem e može riješiti. Formula iz. može e apiati kao x µ ~ N (, ), (gdje x hvaćamo kao lučaju veličiu, tj. kao X ), medjutim, ako zamijeimo a (hvaćeu kao lučaju varijablu), jediiču ormalu razdiobu a deoj trai treba zamijeiti a Studetovom t-razdiobom, precizije: x µ ~t(-), gdje je t(-) Studetova razdioba k=- tupjeva lobode (l.3.) Zato je (l.4.): p( x t p ( k) < µ < x t p ( k) ) = p gdje je začeje broja t p (k) objašjeo a l. 4. Tu treba biti pažljiv jer e u literaturi katkad pojavljuju i tzv. dvotrae tablice, uz uobičajee jedotruke. Ako je dovoljo velik, recimo oko 3, oda je t(-) praktičo jedaka jediičoj ormaloj razdiobi, pa potupamo kao u primjeru. Primjer. U 4 mjereja eke ormalo ditribuirae veličie, dobiveo je x =3.45 i =.44. Nađite iterval pouzdaoti za očekivaje te lučaje veličie, uz vjerojatot: a).95 4

5 b).9 Tu je =4 što je dovoljo veliko da koritimo ormalu razdiobu a) Iterval pouzdaoti je < , > 4 4 = < 3.69; 33. > b) Faktor kojim ćemo ad možiti (umjeto aktorom.96) aći ćemo u tablici ormale razdiobe kao broj Φ (.45) =. 645 (l.5.). Dakle, ad je iterval pouzdaoti uži: < , > 4 4 = < 3.8; 33.8 > Rezultati u iterpretirai geometrijki a lici. Ako je mali (do 3). Tada, uz pretpotavku da lučaja veličia X ima ormalu razdiobu, iterval pouzdaoti određujemo ovako. Faktor kojim ćemo možiti tadardu grješku (točije, jeu procjeu) određujemo, za vjerojatot.95, iz tablica Studetove (t-razdiobe) k=- tupjeva lobode kao broj t.5/ (k) za kojega vrijedi P( t > t.5/ (k))<.5, a broj.5 dobije e kao -.95 (l.6.). Opet poavljamo da kod uporabe tablica t-razdiobe treba paziti jer u u ekima tabelirae vrijedoti t za koje je P( t >t ) = p, gdje je p=.5 ili.5 ili. itd., a u ekima u tabelirae vrijedoti t za koje je P(t>t )=p (tu ema apolute vrijedoti) pa u vrijedoti u prvim tablicama za, recimo p=.5, ite kao i u drugim tablicama za p=.5 (aravo uz iti broj tupjeva lobode k). Primjer 3. Iz =6 mjereja dobiveo je x =.44, =. 54. Odredimo iterval pouzdaoti za vjerojatot: 5

6 a).95 b).9 k=6- = 5 a) Tu je, prema prihvaćeim ozakama, p=.5, t.5/ (5)=.3, Iterval pouzdaoti je: <.44.3, = <.6; 3.6>. >. 54 = 4 b) p=., t./ (5) =.753 (l.7.). Iterval pouzdaoti je < , > 4 4 = <.77; 3.>. Taj je iterval uži ego prethodi (što je jao jer je ad vjerojatot maja) Da je bilo =4, a otali podatci iti kao i prije, itervali pouzdaoti, uz itu vjerojatot bili bi dva puta širi (jer bimo u tadardoj grješki dijelili umjeto 4). To je prirodo (jer iterval pouzdaoti treba biti to uži što je broj mjereja veći). 3. Tetiraje varijace i očekivaja Skicirat ćemo potupak tetiraja očekivaja i varijace ormalo ditribuiraih lučajih varijabla. U mogim lučajevima u praki važo je da varijaca e bude prevelika (jer to zači preveliko raipaje). Zato bi, pri ozbiljom polu, tetiraje varijace u pravilu trebalo prethoditi tetiraju očekivaja. 6

7 3.. Tetiraje varijace. A. Predpotavimo da je X ormalo ditribuiraa lučaja veličia epozatom varijacom. Nepozatu varijacu procijeili mo a a oovi mjereja. Tetiramo hipotezu: H : =, za eku deklarirau vrijedot. Tetiraje e zaiva a čijeici iz teorije vjerojatoti da je: k ~ χ ( ) k, gdje je χ ( k) hi-kvadrat razdioba k:=- tupjeva lobode (l.8.) i oa e zove tettatitika. Tu e opet treba jetiti dogovora o tome da x i katkad matramo brojevima katkad lučajim varijablama, što je čet lučaj u literaturi (iako bi za varijable trebalo korititi ozake X, odoo S). To zači, ako je H itiita hipoteza (lutja), oda je k ~ χ ( k) (dodali mo idek ), pa e lijeva traa, kao pozitiva broj poaša prema joj. Potoje dvije mogućoti. (I) > (koja je u praki češća). Tada je, u pravilu, kotrahipoteza imamo: H : = >, dakle 7

8 >, Tada račuamo: W = k, gdje je k=-. Ako je W < ( Hi ) ( ) hipoteza e prihvaća, iače e odbacuje (l.9.). H a:.5 k Broj a deoj trai dobije e iz tablica hikvadrat razdiobe za k tupjeva lobode i miao je da je vjerojatot da ta razdioba poprimi rezultat veći od tog broje jedaka.5 ( tako bi bilo i za eki drugi ivo igiikatoti). Nivo igiikatoti (razia začajoti). Broj α =.5 zove e ivo igiikatoti. To je općeprihvaćea vrijedot, medjutim, oa može biti, ovio o problematici,.,.,.5 itd. Područje ipod graa ukcije gutoće tet-tatitike (u ovom lučaju (Hi) razdiobe), dijeli e a dva dijela (l..), jeda maji površie α (to je područje odbacivaja), jeda veći površie -α (to je područje prihvaćaja). Smiao je, za α =.5 ljedeći: Ako je ula hipoteza itiita oda će e, odprilike, u 95 od poavljaja po mjereja, ekperimetali podatak W aći u području prihvaćaja, a oko 5 puta u području odbacivaja. Općeito, α je pogrješka prve vrte, tj. α := vjerojatot da hipotezu H odbacimo pod uvjetom da je itiita. Aalogo: -α := vjerojatot da hipotezu H prihvatimo pod uvjetom da je itiita. Dakle, pogrješo je hvaćaje, iače široko raprotrajeo, da je to vjerojatot da je ulta hipoteza itiita. Naprotiv, ako je α maje, tj. -α veće, oda ćemo biti toleratiji prema razlici. Kokreto, a razii začajot α =., možda ećemo odbaciti ula hipotezu, koju mo odbacili za α =.5. 8

9 (II) < Tada je, u pravilu, kotrahipoteza H : = H a: < <, dakle imamo: Tada hipotezu prihvaćamo ako je W > ( Hi ).95 ( k) (zak ejedakoti e mijeja i umjeto.5 tavljamo.95). Geometrijko je tumačeje dao likom. (B) Tetiraje hipoteze = ( F-tet) Predpotavimo da imamo dvije ormalo ditribuirae lučaje veličie: X očekivajem µ i varijacom Y očekivajem µ i varijacom. Očekivaja i varijace tih lučajih varijabla u am epozate i procjejujemo ih redom: Za X iz mjereja x, odoo, Za Y iz mjereja x, odoo. Tetiramo hipotezu o jedakoti tih varijaca. Pri tom predpotavimo da u ideki odabrai tako da bude > i da mo za kotrahipotezu odabrali >. Dakle imamo: H : = H a : >. Tetiraje e zaiva a čijeici, da je, uz pretpotavku da je ulta hipoteza itiita: ~ F(k,k ), Fiherova razdioba (k,k )= ( -, -) tupjeva lobode (l..). Hipotezu, primjeom F-teta (u pojedotavljeom obliku), provjeravamo ovako:. Račuamo F =. U tablici F razdiobe očitavamo broj F.5 ( k, k ), gdje je k = -, k = - (l.3.). 9

10 3. Ako je F < F.5 ( k, k ) hipotezu o jedakoti prihvaćamo, a u uprotome odbacujemo (tj. matramo da je razlika među jima bita). Napomijemo opet da je potupak tetiraja varijace oiticiraiji od ovog pojedotavljeog pritupa. 3.. Tetiraje očekivaja (A) Tetiraje hipoteze µ = µ (t-tet) Predpotavimo da je X ormalo ditribuiraa lučaja veličia očekivajem µ i varijacom. Neka mo a oovi mjereja dobili procjee: x za jeo očekivaje µ, za jeu varijacu. Tetiramo hipotezu: H : µ = µ,

11 gdje je µ eka deklariraa vrijedot. Napomijemo da bimo prije toga trebali provjeriti hipotezu o blikoti varijaca (koju treba ormulirati), a ako što tetiraje varijaaca pozitivo prođe, možemo pritupiti tetiraju očekivaja. Tetiraje ulte hipoteze zaiva a čijeici iz teorije vjerojatoti, da je x µ ~t(-), Studetova razdioba k:=- tupjeva lobode. Zato je, uz predpotavku da je ulta hipoteza itiita ipujeo x µ ~t(-). Potupak opiujemo uz kotrahipotezu µ µ, dakle imamo: H : µ = µ H a : µ µ. Račuamo t x µ =.. U tablici t-razdiobe određujemo kritiču vrijedot t (aalogo kao i prije, ovio o broju tupjeva lobode k=-, ivou igiikatoti što je običo.5 i kotrahipotezi koja je, ako drukčije e peciiciramo µ µ ) 3. Ako je t < t hipotezu prihvaćamo, iače je odbacujemo (l.4.). Napomea o razii začajoti i području odbacivaja. Za razliku od tetiraja varijace gdje e područje odbacivaja atoji od jedog dijela, ovdje α područje odbacivaja ima dva imetriča dijela, vaki površie, gdje je α ivo igiiktoti (l.5.). To je zato što je kotrahipoteza oblika µ µ, pa e dopuštaju otkloi a obje trae. Dakle, u lučaju α =.5, broj t, ozačava broj iza kojega je ipod graa t-razdiobe površia jedaka.5.

12 Primjer 4. Proizvođač kemikalija je deklarirao a vojim proizvodima da adrže litru kemikalije uz makimalu pogrješku ±.9 litara. Kupac mjerejem uzorka od pouda utaovio proječi rezultat.97 uz tadardo odtupaje.4. Jeu li rezultati u kladu deklaracijom? Tu je, prema pravilu «tri igme», =.3, jer je 3.3 =.9. Zato je: µ =., =.3, =, x =.97, =. 4. Prvo treba tetirati hipotezu o jedakoti varijaca: H : =. Dobivamo: k=- = W = k = U tablici hikvadrat razdiobe za k=, i ivo igiikatoti.5 dobivamo pripadajuću kritiču vrijedot Kako je < hipotezu o jedakoti varajaca prihvaćamo (ali jedva). Sad prelazimo a tetiraje očekivaja. H : µ = µ H a : µ µ x µ t = =.598 Pripada kritiča vrijedot u t-razdiobi (za kotrahipotezu µ µ, uz k= i ivo igiikatoti α =.5) t =. (l.6.). Kako je.598 >., hipotezu o jedakoti očekivaja odbacujemo (tj. matramo da e oe bito razlikuju). Tako mo odbacili deklaraciju.

13 Napomee.. Da mo umjeto kotrahipoteze µ µ, uzeli kotrahipotezu µ < µ (što bimo apravili da u, a primjer, vi rezultati mjereja ili gotovo vi, bili maji od deklarirae, što ovdje vjerojato ije lučaj), hipotezu o jedakoti bimo još uvjerljivije odbacili jer bi am kritiča vrijedot ipala.796, jer je P(t>.796)=.5 Naime, tada bimo imali: H : µ = µ H a : µ < µ pa bimo gledali (ad bez apolute vrijedoti) x µ t := = -.598, što je u kritičom području (l.7.).. Uz pretpotavku ormale ditribucije adržaja pouda (što je priroda predpotavka i već mo je prihvatili), prema pravilu tri igme : prema deklaraciji je adržaj između.9 i.9 (između.94 i.6 uz vjer..95) prema mjerejima je adržaj (približo jer ije riječ o ormaloj razdiobi) između.85 i.9 (između.89 i.5 uz vjer..95) odakle možemo dobiti ituitivu predodžbu o tome zašto mo odbacili hipotezu, ali i o tome da mo je umalo prihvatili. Vidimo da je imo prihvatili jer je vrijedot µ = ipala izva itervala pouzdaoti uz vjerojatot.95 koji je.97 ±.54 (l.8.). 3

14 4. U deklaraciji bi pialo da je adržaj poude ±. 9 (odakle mo zaključili da je tadardo odtupaje, prema pravilu tri igme trećia od.9, tj..3). Napomijemo da e u deklaricijama u pravilu koriti pravilo «dvije igme», pa bi, ako bi tako ešto prihvatili trebali uzeti =.45. Primjer 5. Možemo li prihvatiti da je adržaj poude u Primjeru jedak ±.5? U primjeru je bilo =, x =.997, =. 4944, a prema deklaraciji je µ =, =.5 (opet mo išli prema pravilu «tri igme») W = > 6.99 pa e varijace bito razlikuju. Zato odbacujemo deklaraciju. Razlog ovog dratičog odbacivaja jet u tome što početi podatci iu bili približo ormalo ditribuirai (što je pretpotavka za važeje teta). Tetiraje hipoteze µ = µ (t-tet). Tom tetu u pravilu predhodi F-tet. Nako što taj prođe atavlja e t-tetom (tetiraju očekivaja), tj. tetirajem hipoteze: H : µ = µ (ulta hipoteza) Hipoteza e, primjeom t-teta, provodi ovako:. Izračua e: t = ( ) ( x x ) gdje običo ozačavamo: ( ) ( ) d =. Odredi e broj tupjeva lobode k= Prihvati e eki ivo igiikatoti α (običo α =.5, ali može i α =. ili α =.) Smiao ivoa igiikatoti u tetiraju je ljedeći: P(Potavljea e hipoteza odbacuje potavljea je hipoteza itiita) = α. 4. Iz tablica t-razdiobe izračua e kritiča vrijedot pomoću koje odredjujemo upada li izračuata vrijedot t u kritičo područje. Kritiča vrijedot ovii o ivou 4

15 igiikatoti α, o broju tupjeva lobode (dakle o broju mjereja), ali i o ašoj kotrahipotezi koja može biti: a) µ µ (kad tetiramo jeu li te dvije veličie jedake ili različite). Tada kritiča vrijedot t ima začeje: P( t >t ) = α (l.9.), gdje t ozačava Studetovu (trazdiobu). Hipotezu prihvaćamo ako je t <t (iače je odbacujemo). Ako izričito drukčije e kažemo uvijek matramo da je kotrahipoteza takva. b) µ > µ (koja ima mila amo ako je x > x ). Tada kritiča vrijedot t ima začeje: P(t>t ) = α (t je drukčiji od oog iz a)). Hipotezu prihvaćamo ako je t <t, iače je odbacujemo (l.a). c) µ < µ (koja ima mila amo ako je x < x ). Tada kritiča vrijedot t takodjer ima začeje: P(t>t ) = α. Hipotezu prihvaćamo ako je t > - t, iače je odbacujemo (l.b). 5

16 Da e bolje uvidi razlika između a), b) i c), eka je α =.5 ; k = 8. Tada je u a) t =.36, a u b) i c) t =.86. Primjer 6. Neka je iz 8 mjereja eke ormale lučaje veličie dobive projek.56 uz tadardo odtupaje.36; a iz mjereja druge ormale lučaje veličie projek 3. uz tadardo odtupaje.84. Razlikuju li e bito te veličie? Podatci e mogu zapiati ovako: = 8, x =.56, =. 36 =, x = 3.56, =.84 k = 7, k =, k = 7.. F-tet. H' : = F = =.63 F.5 ( k, k ) =3.4. Kako je.63 < 3.4 hipotezu prihvaćamo, tj. matramo da varijace tih lučajih veličia iu bito različite.. t-tet. Tetiramo: H : µ = µ H a : µ µ Dobijemo: d =.5435 t = -.984, t =.984 Kritiča vrijedot (za ivo igiikatoti.5 i za k=7) je t =., jer je P(t>.)=.5 (polovica od vjerojatoti.5). Kako je.984 <., hipoteza e prihvaća pa e matra da e dvije mjeree veličie bito e razlikuju. Sljedeće apomee upozoravaju a relativot zaključka pri tetiraju u odou a male promjee podataka ili a odabir kotrahipoteze i razie začajoti. Napomea. Da mo u podatcima imali x =3. 66, a da u otali podatci otali iti, ve bi bilo ito oim završog rezultata t. Naime, bilo bi: t = -.84, t =.84 a kako je.49 >., hipotezu o jedakoti očekivaja bimo odbacili.. Da mo u izvorom zadatku odabrali kotrahipotezu H a : µ < µ (što ačelo ima mila jer je x < x ), hipotezu o jedakoti očekivaja takodjer bimo odbacili. Naime, tada bi kritiča vrijedot bila t =.74, jer je, za k=7, P(t>.74)=.5. Kako je.984>.74 ula hipotezu bimo odbacili. 3. Da mo imali ve kao u izvorom zadatku i izvorom rješeju, am da mo odabrali raziu začajoti α =., tada bimo hipotezu takodjer odbacili, jer bi tada kritiča vrijedot bila kao i u., tj. bilo bi t =.74. 6

17 4. Tetiraje teoretkih razdioba ( χ - tet) Jedo od ajčešćih pitaja u tatitici jet poašaju li e mjerei podatci prema ekom teoretkom zakou (razdiobi) ili e bito od jega razlikuju. Primjer 7. Regitrirajem broja poruka a ekoj adrei u ikiraom vremekom itervalu, dobivei u ljedeći podatci: ili više Dakle, u 6 mjereja ije bila i jeda poruka, u 6 mjereja točo jeda, u 36 mjereja točo itd. Formulacija u zadjem tubcu je takva jer je, možda bilo i 6 ili 7 poziva koji put, pa mo to kupili u jeda podatak. Ukupo je bilo = mjereja, koje mo vrtali u L=6 grupa. Potavlja e pitaje poašaju li e ti podatci prema Poioovu zakou ili, možda, bito odudaraju od jega. O tome je zaita teško odgovoriti amo uvidom u podatke. Odgovor a pitaje pomoću χ -teta (predložeog Karlom Pearoom 9) zaiva e a ljedećem razmišljaju. Brojevi u drugom redku tablice zovu e ekperimetale rekvecije i, dakle: =6, =6, =36, 3 =5, 4 =, 5 =7. Proječa broj poruka, dobije e kao: a= =.8 Jao je da je a procjea za očekivaje lučaje varijable X koja regitrira broj poruka u ikiraom vremekom itervalu, a ako e podatci zaita poašaju prema Poioovu zakou oda je, približo, X ~ P(a), tj. X ~ P(.8). U atavku ćemo izračuati pripade teoretke vjerojatoti p i, i=,,,... te razdiobe, prema ormuli a i i.8 p i := e -a i!, tj. p i := e -a i! i pripade teoretke rekvecije prema ormuli ti := p i, tj. ti := p i. Imamo, dakle: p = e -.8 =.493 t = p = e -.8! = t = p =.749 t = 7.49 p 3 = t3 = p 4 = t4 = p 5 := - (p p p p 3 p 4 ) =.659 t5 =

18 Tu mo, umjeto pravog p 5 tavili zbroj vih vjerojatoti od pete a dalje, tako da ukupa zbroj vjerojatoti bude ; ličo tako mo dobili da je ukupa zbroj teoretkih rekvecija jedak. Sljedeći je korak uvodjeje mjere udaljeoti ekperimetalih i teoretkih rekvecija: χ ( : = t t ) ( t t ) ( t t ) ( 3 t3 t3 ) ( 4 t 4 t 4 ) ( 5 t5 t5 ) (6.493).493 ( ) ( ) 7.49 ( ) ( ) (7 6.59) = 8.75 Završi je korak prihvaćaje ili odbacivaje hipoteze o Poioovoj razdiobi. Taj e kriterij zaiva a čijeici, da je, ako je ipujea ulta hipoteza: H : podatci e poašaju prema Poioovoj razdiobi oda χ, hvaće kao lučaja veličia, približo ima hi-kvadrat razdiobu k:=l- = 6- = 4 tupjeva lobode (l..). Iz tablica vidimo da je χ (4) , što je veće od broja χ.5 =, pa, uz raziu začajoti α =.5, hipotezu o Poioovoj razdiobi prihvaćamo (iako e avim uvjerljivo). Takodjer vidimo da je χ.(4) = , pa a razii začajoti α =. tu hipotezu odbacujemo, tj. matrama da potoji bito odtupaje od Poioove razdiobe (l..). U ljedećem ćemo primjeru dodato ilutrirati zašto je pomeuta razdioba rubo Poioova, tako što ćemo amo malo promijeiti podatke. 8

19 Primjer 8. Regitrirajem broja poruka a ekoj adrei u ikiraom vremekom itervalu, dobivei u ljedeći podatci: ili više Treba tetirati predpotavku o Poioovoj razdiobi. Lako e vidi da je tu, kao i u Primjeru 7. ipujeo: =, L=6, k=4, a=.8 pa u i odgovarajuće teoretke rekvecije jedake. Medjutim, tu je χ =.4, pa hipotezu o Poioovoj razdiobi odbacujemo a razii začajoti α =.5. Treba apomeuti da bimo predpotavku prihvatili a razii začajoti α =.5, jer je χ (4).43 (l.3.)..5 = Općeito, a e amo za Poioovu razdiobu, imamo: = ( i ti ) χ :, k := L-l-, gdje je l broj parametara o kojima ovii teoretka ti razdioba, tj. l= za ormalu i biomu l= za Poioovu i ekpoecijalu l= za jedoliku. Hipotezu o uglaoti teoretkom razdiobom prihvaćamo a razii začajoti α (u pravilu je α =.5) 9

20 ako je χ < χ ( k ), iače je odbacujemo (l.4.). α