Ιωάννης Μπερταχάς Γεώργιος Τζανάκης Παρασκευή Μιχελάκη Κωνσταντίνος Παυλάκης. Ηλεκτρονικό Βιβλίο Εργαστηριακών Ασκήσεων Φυσικής I

Transcript

1 Ιωάννης Μπερταχάς Γεώργιος Τζανάκης Παρασκευή Μιχελάκη Κωνσταντίνος Παυλάκης Ηλεκτρονικό Βιβλίο Εργαστηριακών Ασκήσεων Φυσικής I

2 ΙΩΑΝΝΗΣ ΜΠΕΡΤΑΧΑΣ Φυσικός Πυρηνικός Μηχανικός ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΤΖΑΝΑΚΗΣ Φυσικός ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ ΜΙΧΕΛΑΚΗ Φυσικός ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΠΑΥΛΑΚΗΣ Φυσικός Ηλεκτρονικό Βιβλίο Εργαστηριακών Ασκήσεων Φυσικής Ι

3 Ηλεκτρονικό Βιβλίο Εργαστηριακών Ασκήσεων Φυσικής Ι Συγγραφή Ιωάννης Μπερταχάς Γεώργιος Τζανάκης Παρασκευή Μιχελάκη Κωνσταντίνος Παυλάκης Κριτικός αναγνώστης Ανδρέας Καραμπαρμπούνης Συντελεστές έκδοσης Γλωσσική Επιμέλεια: Συγγραφική ομάδα Γραφιστική Επιμέλεια: Συγγραφική ομάδα Τεχνική Επεξεργασία: Συγγραφική ομάδα ISBN: Copyright ΣΕΑΒ, 2015 Το παρόν έργο αδειοδοτείται υπό τους όρους της άδειας Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Μη Εμπορική Χρήση - Όχι Παράγωγα Έργα 3.0. Για να δείτε ένα αντίγραφο της άδειας αυτής επισκεφτείτε τον ιστότοπο ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΩΝ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΩΝ Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ηρώων Πολυτεχνείου 9, Ζωγράφου

4

5 Στη μνήμη του Σήφη Καμάρη

6 Πίνακας περιεχομένων Πίνακας συντομεύσεων-ακρωνύμια Πρόλογος Εισαγωγή Μια απλοποιημένη θεωρία σφαλμάτων - Γραφικές παραστάσεις ΕΙΣ.1 Αβεβαιότητα μετρήσεων ΕΙΣ.2 Είδη σφαλμάτων ΕΙΣ.2.1 Ακούσια λάθη ΕΙΣ.2.2 Συστηματικά σφάλματα ΕΙΣ.2.3 Τυχαία ή στατιστικά σφάλματα ΕΙΣ.2.4 Σφάλμα ανάγνωσης κλίμακας οργάνου ΕΙΣ.3 Σημαντικά ψηφία ΕΙΣ.3.1 Κανόνες καθορισμού των σημαντικών ψηφίων μιας μέτρησης ΕΙΣ.3.2 Σημαντικά ψηφία και στρογγυλοποίηση ΕΙΣ.4 Σχετικό σφάλμα μέτρησης ΕΙΣ.5 Μέτρηση ενός μεγέθους ΕΙΣ.5.1 Άμεση μέτρηση ενός μεγέθους ΕΙΣ.5.2 Έμμεση μέτρηση ενός μεγέθους ΕΙΣ.6 Τρόποι ελέγχου του αποτελέσματος ΕΙΣ.7 Γραφικές παραστάσεις ΕΙΣ.8 Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Βιβλιογραφία Κριτήρια αξιολόγησης Κριτήριο αξιολόγησης 1 - Άμεσες μετρήσεις Απαντήσεις Κριτήριο αξιολόγησης 2 - Έμμεσες μετρήσεις Απαντήσεις Κριτήριο αξιολόγησης 3 - Γραφικές παραστάσεις Απαντήσεις Άσκηση 1 Μέτρηση του συντελεστή γραμμικής διαστολής του υλικού μιας μεταλλικής ράβδου ΘΕΩΡΙΑ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ Πειραματική διάταξη Μέτρηση μεγεθών Βήματα ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Βιβλιογραφία

7 Κριτήρια αξιολόγησης Κριτήριο αξιολόγησης Απαντήσεις Άσκηση 2 Υπολογισμός πυκνότητας ομογενούς στερεού ΘΕΩΡΙΑ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ Όργανα του πειράματος Μέτρηση μεγεθών ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Βιβλιογραφία Κριτήρια αξιολόγησης Κριτήριο αξιολόγησης Απαντήσεις Άσκηση 3 Υπολογισμός του μέτρου της ταχύτητας και της επιτάχυνσης ΘΕΩΡΙΑ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ Σύντομη περιγραφή της διάταξης του πειράματος Βήματα ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Πειραματικό μέρος Α : Υπολογισμός του μέτρου της ταχύτητας Πειραματικό μέρος Β : Υπολογισμός του μέτρου της επιτάχυνσης Βιβλιογραφία Κριτήρια αξιολόγησης Κριτήριο αξιολόγησης Απαντήσεις Άσκηση 4 Θεμελιώδης νόμος της Μηχανικής ΘΕΩΡΙΑ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ Διάταξη του πειράματος Βήματα ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Βιβλιογραφία Κριτήρια αξιολόγησης Κριτήριο αξιολόγησης Απαντήσεις Άσκηση 5 Υπολογισμός της σταθεράς ελατηρίου

8 5.1 ΘΕΩΡΙΑ Νόμος του Hooke για ελατήριο Απλή αρμονική ταλάντωση ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ Υπολογισμός της σταθεράς του ελατηρίου με το νόμο του Hooke Υπολογισμός της σταθεράς του ίδιου ελατηρίου από τον τύπο της περιόδου μιας γραμμικής αρμονικής ταλάντωσης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Υπολογισμός σταθεράς του ελατηρίου με το νόμο του Hooke Υπολογισμός της σταθεράς του ελατηρίου με τη μέθοδο της γραμμικής αρμονικής ταλάντωσης Βιβλιογραφία Κριτήρια αξιολόγησης Κριτήριο αξιολόγησης Απαντήσεις Άσκηση 6 Ώθηση δύναμης Μεταβολή ορμής ΘΕΩΡΙΑ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ Πειραματική διάταξη Πειραματικό μέρος Α : Μαλακό ελατήριο Πειραματικό μέρος Β : Σκληρό ελατήριο ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Βιβλιογραφία Κριτήρια αξιολόγησης Κριτήριο αξιολόγησης Απαντήσεις Άσκηση 7 Υπολογισμός της ειδικής θερμότητας υλικού ΘΕΩΡΙΑ Θερμοκρασία Θερμότητα Θερμιδομετρία Θερμοχωρητικότητα σώματος ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ Πειραματικό μέρος Α : Υπολογισμός της θερμοχωρητικότητας Κ του θερμιδόμετρου Πειραματικό μέρος Β : Υπολογισμός της ειδικής θερμότητας του υλικού ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Πειραματικό μέρος Α : Υπολογισμός της θερμοχωρητικότητας Κ του θερμιδόμετρου Πειραματικό μέρος Β : Υπολογισμός της ειδικής θερμότητας του υλικού Βιβλιογραφία

9 Κριτήρια αξιολόγησης Κριτήριο αξιολόγησης Απαντήσεις Άσκηση 8 Ελαστικές και μη ελαστικές κρούσεις - Αρχή διατήρησης της ορμής ΘΕΩΡΙΑ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ Πειραματική διάταξη Πειραματικό μέρος Α : Πλαστικές κρούσεις Πειραματικό μέρος B : Ελαστικές κρούσεις ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Πειραματικό μέρος Α : Πλαστικές κρούσεις Πειραματικό μέρος B : Ελαστικές κρούσεις Βιβλιογραφία Κριτήρια αξιολόγησης Κριτήριο αξιολόγησης Απαντήσεις Άσκηση 9 Μελέτη στροφικής κίνησης στερεού σώματος ΘΕΩΡΙΑ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ Πειραματική διάταξη Βήματα ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Βιβλιογραφία Παράρτημα Α Τιμές βιβλιογραφίας ροπής αδράνειας Παράρτημα Β Ροπές αδράνειας βοηθητικών εξαρτημάτων Κριτήρια αξιολόγησης Κριτήριο αξιολόγησης Απαντήσεις Άσκηση 10 Παίζω Μαθαίνω Αποφασίζω ΘΕΩΡΙΑ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Βιβλιογραφία Κριτήρια αξιολόγησης Κριτήριο αξιολόγησης

10 Απαντήσεις Άσκηση 11 Υπολογισμός συντελεστών κινητικής και στατικής τριβής ΘΕΩΡΙΑ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ Α : Υπολογισμός του συντελεστή κινητικής τριβής ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ Β : Υπολογισμός του συντελεστή στατικής τριβής ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Βιβλιογραφία Κριτήρια αξιολόγησης Κριτήριο αξιολόγησης Απαντήσεις ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Μέσο σφάλμα μεγέθους Βιβλιογραφία ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β Ακρίβεια Επαναληψιμότητα μετρήσεων Βιβλιογραφία ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ Όργανα άσκησης ΠαρΓ.1 Παχύμετρο ή διαστημόμετρο ΠαρΓ.1.1 Περιγραφή ΠαρΓ.1.2 Μετρήσεις ΠαρΓ.1.3 Πώς μετρώ με το παχύμετρο ΠαρΓ.1.4 Γραφή αποτελέσματος ΠαρΓ.2 Μικρόμετρο ΠαρΓ.2.1 Περιγραφή ΠαρΓ.2.2 Πώς μετρώ με το μικρόμετρο ΠαρΓ.2.3 Γραφή αποτελέσματος ΠαρΓ.3 Ζυγαριά ΠαρΓ.3.1 Περιγραφή ΠαρΓ.3.2 Πώς ζυγίζω Βιβλιογραφία ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Δ Σύντομη παρουσίαση του DATA STUDIO ΠαρΔ.1 Data Studio ΠαρΔ.1.1 Περιγραφή Βιβλιογραφία ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ

11 10

12 Πίνακας συντομεύσεων-ακρωνύμια SI ΓΠ Η/Υ ΘΝΜ ΜΣΜΤ ΣΨ ΤΒ ΤΑ Système International d Unités (Διεθνές Σύστημα Μονάδων) Γραφικές Παραστάσεις Ηλεκτρονικός Υπολογιστής Θεμελιώδης Νόμος της Μηχανικής Μέσο Σφάλμα της Μέσης Τιμής Σημαντικά Ψηφία Τιμές Βιβλιογραφίας Τυπική Απόκλιση 11

13 Πρόλογος Τώρα που η κιμωλία και ο μαυροπίνακας άλλαξαν και έγιναν ποντίκι και οθόνη, λογικό είναι και τα παλιά βιβλία να γίνουν ηλεκτρονικά. Να, λοιπόν, το νέο εργαστηριακό βιβλίο Φυσικής Ι, όπως εμείς το φανταστήκαμε. Είναι ένα μιγάδι από εμπειρίες πολλών ωρών με κιμωλίες και πίνακες συνδυασμένο με τις τεχνικές της σύγχρονης εποχής (που σε λίγο και αυτές θα είναι παλιές). Ελπίζουμε ο συνδυασμός αυτός να αποδειχθεί επιτυχής και χρήσιμος για κάποιο διάστημα. Ευχαριστούμε τον τομεάρχη Dr Λεωνίδα Ναουμίδη για τις θετικές ωθήσεις στις στιγμές των κρίσιμων αποφάσεων. Στη μεταμόρφωση του παλαιού εργαστηρίου στη σημερινή του μορφή αδιάκοπη ήταν η βοήθεια του συναδέλφου Τάσου Τσατσάκη, τον οποίο ευχαριστούμε από καρδιάς. Μια ειδική αναφορά στην Ελένη Κοντουδάκη. Άλλο βιβλίο της δώσαμε εμείς και άλλο μας επέστρεψε εκείνη, έπειτα από πολλές ώρες δουλειάς. Της εκφράζουμε άπειρες ευχαριστίες. 12

14 Εισαγωγή Μια απλοποιημένη θεωρία σφαλμάτων Γραφικές παραστάσεις Ο άνθρωπος αρχίζει να αποκτά γνώση για τον φυσικό κόσμο γύρω του, από τη στιγμή που αρχίζει να καταγράφει τα φυσικά φαινόμενα και να τα επεξεργάζεται ανάλογα με τις ικανότητές του. Η γνώση αυτή προέρχεται από την παρατήρηση και αυξάνεται συνεχώς μέχρι σήμερα (η καύση ενός κορμού δέντρου, ο βρασμός ενός υγρού, η ηλέκτριση με τριβή, οι κινήσεις των αστέρων). Η μεγάλη στιγμή είναι όταν ο άνθρωπος, με δική του πρωτοβουλία, αποφασίζει να αναπαραστήσει ο ίδιος μια μεταβολή, δηλαδή να κάνει πείραμα. (Για το πού και πότε έγινε αυτό υπάρχουν πολλές απόψεις που δεν εμπίπτουν, όμως, στον σκοπό αυτού του βιβλίου.) Στις μέρες μας η γνώση για τον φυσικό κόσμο έχει δύο πηγές: α) την παρατήρηση, β) το πείραμα. Γενικά, μπορούμε να πούμε ότι οι σκοποί ενός πειράματος είναι: η ανάλυση δεδομένων, η εξαγωγή συμπερασμάτων και η διατύπωση μιας (ίσως προσωρινής) θεωρίας που περιλαμβάνει τους νόμους στους οποίους υπακούν τα φαινόμενα του πειράματος, η σχεδίαση και διεξαγωγή πειράματος με σκοπό την επαλήθευση μιας προτεινόμενης θεωρίας η οποία ισχυρίζεται ότι μπορεί να ερμηνεύσει κάποια φαινόμενα ή παρατηρήσεις (Καραμπαρμπούνης κ.ά., 2012). Σήμερα στα Εκπαιδευτικά Ιδρύματα υπάρχουν ερευνητικά εργαστήρια που εξυπηρετούν τους παραπάνω σκοπούς. Παράλληλα, υπάρχουν και τα εκπαιδευτικά εργαστήρια Φυσικής που απευθύνονται σε νέους και ίσως άπειρους από πειραματικές διεργασίες φοιτητές, οπότε οι στόχοι τους διαφέρουν από αυτούς των ερευνητικών εργαστηρίων. Σε γενικές γραμμές οι στόχοι ενός εκπαιδευτικού εργαστηρίου Φυσικής είναι: η γνωριμία με μερικά από τα όργανα του εργαστηρίου, η εξάσκηση στη μεθοδολογία εκτέλεσης ενός πειράματος και στην επαλήθευση μερικών γνωστών νόμων της Φυσικής, η κατανόηση της αβεβαιότητας (σφάλμα) που υπάρχει σε κάθε μέτρηση, η παρουσίαση του τελικού αποτελέσματος, ώστε να περιλαμβάνει τις αβεβαιότητες του πειράματος, η σύγκριση των αποτελεσμάτων με την ήδη γνωστή αληθινή/παραδεκτή τιμή του μετρούμενου μεγέθους, όπως αυτή προκύπτει από τη σχετική βιβλιογραφία, η δημιουργία γραφικών παραστάσεων και η παρουσίαση των πειραματικών αποτελεσμάτων. Το εργαστήριο Φυσικής για το οποίο γίνεται λόγος στο συγκεκριμένο βιβλίο διαρκεί δύο διδακτικές ώρες και υλοποιείται μία φορά την εβδομάδα στη διάρκεια ενός εξαμήνου. Το εξάμηνο (ιδανικά) αποτελείται από 14 εβδομάδες. Βασική μας θέση στη λειτουργία του συγκεκριμένου εργαστηρίου είναι οι φοιτητές που το παρακολουθούν να έρχονται σε επαφή τόσο με απλά όργανα, όσο και με σύγχρονες ψηφιακές συσκευές μέτρησης. Επίσης, με την απλοποιημένη Θεωρία Σφαλμάτων που παρουσιάζουμε, ελπίζουμε να γίνει μια καλή αρχή στο σημαντικό θέμα της αμφιβολίας για κάθε πειραματικό αποτέλεσμα. Αργότερα, αξιοποιώντας πιο σύνθετες μαθηματικές γνώσεις, οι φοιτητές μπορούν, αν θέλουν, να προχωρήσουν σε επιστημονικά και ερευνητικά εργαστήρια. ΕΙΣ.1 Αβεβαιότητα μετρήσεων Μια εργασία στο εργαστήριο Φυσικής είναι η μέτρηση ενός μεγέθους, δηλαδή η σύγκρισή του με ένα ομοειδές μέγεθος που γίνεται με τη βοήθεια ενός κατάλληλου οργάνου. Το αποτέλεσμα της μέτρησης δίνεται από το όργανο. Το όργανο μπορεί να είναι αναλογικό ή ψηφιακό. Εσύ βλέπεις και καταγράφεις την απάντηση η οποία είναι ένα αποτέλεσμα συνεργασίας του παρατηρητή με το χρησιμοποιούμενο όργανο. Από αυτή τη συνεργασία προκύπτουν οι αβεβαιότητες της μέτρησης, αυτό που ισοδύναμα θα ονομάζουμε σφάλμα της μέτρησης. 13

15 Ο συνδυασμός ανθρώπου οργάνου περιβάλλοντος έχει ως αποτέλεσμα να διαφέρουν μεταξύ τους οι μετρήσεις του ίδιου μεγέθους στο ίδιο πείραμα. Έτσι, σου δημιουργείται η αίσθηση του σφάλματος, δηλαδή της διαφοράς μεταξύ της μέτρησης που έκανες και της αληθινής τιμής του ίδιου μεγέθους. Στο εκπαιδευτικό εργαστήριο Φυσικής η αληθινή τιμή με το σφάλμα της υπάρχει, επειδή κάποιος άλλος την έχει υπολογίσει πριν από εσένα ή επειδή δέχεσαι ότι υπάρχει, οπότε την ονομάζεις αποδεκτή τιμή. Η πραγματική τιμή δεν είναι δυνατόν να προσδιοριστεί σε μία σειρά μετρήσεων και έτσι προσεγγίζεται με τη μέση τιμή της και με το σφάλμα της. Παράδειγμα: Θέλεις να μετρήσεις την περίοδο ενός μαθηματικού εκκρεμούς με ένα χρονόμετρο. Σύντομα βλέπεις ότι οι μετρήσεις διαφέρουν μεταξύ τους. Γιατί συμβαίνει αυτό; Σε αυτό το αποτέλεσμα έχουν συμβάλει πολλοί παράγοντες: ο άνθρωπος: αντανακλαστικά κτλ, το όργανο: είναι καλά ρυθμισμένο, έχει κάποια μικρή βλάβη, μετάθεση του μηδενός κτλ, το περιβάλλον: δονήσεις, ρεύματα αέρα ή ηλεκτρικά, πάτωμα αγώγιμο ή μονωτικό κτλ. Τους πιθανούς τύπους σφαλμάτων και τους τρόπους αντιμετώπισής τους θα τους γνωρίσεις παρακάτω. ΕΙΣ.2 Είδη σφαλμάτων ΕΙΣ.2.1 Ακούσια λάθη Είναι τα σφάλματα που οφείλονται στον παρατηρητή ο οποίος πιθανόν: Παρατηρεί άλλο και καταχωρεί άλλο. Ακούει άλλο και καταχωρεί άλλο. Κάνει λάθος στις πράξεις. Κάνει σφάλμα παράλλαξης. (Σφάλμα παράλλαξης είναι αυτό που συμβαίνει όταν σε ένα αναλογικό όργανο κοιτάμε τη βελόνα υπό λάθος γωνία. Διαβάζουμε ή εκτιμούμε έτσι ένα λάθος αριθμό. Διόρθωση: κοιτάζουμε κάθετα την κλίμακα ή βάζουμε ένα καθρεφτάκι και φροντίζουμε να συμπίπτει η βελόνα με το είδωλό της.) Στη συνέχεια, θα δούμε τις δύο κατηγορίες σφαλμάτων που συναντάμε κάθε φορά που κάνουμε μια πειραματική μέτρηση. Ειδική αναφορά θα γίνει στα συστηματικά σφάλματα κατά την ανάγνωση μιας κλίμακας οργάνου, αναλογικού και ψηφιακού. ΕΙΣ.2.2 Συστηματικά σφάλματα Είναι τα σφάλματα που δημιουργούν διαφορές μεταξύ της μέτρησης που κάνουμε και της αληθινής τιμής. Επηρεάζουν την ακρίβεια (accuracy) (Johnson, 1994) της μέτρησης, έννοια που σχολιάζεται στο Παράρτημα Β του παρόντος βιβλίου. Τα συστηματικά σφάλματα: Μπορεί να είναι σταθερά, οπότε επηρεάζουν κατά τον ίδιο τρόπο κάθε επόμενη μέτρηση. π.χ. Λάθος βαθμονόμησης οργάνων, μία τσίχλα κάτω από τη ζυγαριά, μετάθεση του μηδενός στο όργανο, ηθελημένη απλούστευση θεωρίας σχετικής με το πείραμα. Μπορεί να αλλάζουν κατά τη διάρκεια του πειράματος. π.χ. Η ειδική θερμότητα του υλικού. Η βελτίωση των συστηματικών σφαλμάτων απαιτεί εμπειρία και καλή γνώση της λειτουργίας κάθε οργάνου. Στο εκπαιδευτικό εργαστήριο η βελτίωσή τους επαφίεται στο προσωπικό. Στα δικά μας πειράματα τα συστηματικά σφάλματα θα τα θεωρούμε αμετάβλητα. 14

16 ΕΙΣ.2.3 Τυχαία ή στατιστικά σφάλματα Υποθέτουμε ότι τα ακούσια λάθη και τα συστηματικά σφάλματα έχουν, κατά το δυνατόν, βελτιωθεί και αρχίζεις να κάνεις τις μετρήσεις του μεγέθους με σκοπό τον προσδιορισμό της παραδεκτής/αληθινής τιμής του. Παρατηρείς ότι οι μετρήσεις -οι περισσότερες- διαφέρουν μεταξύ τους. Τα σφάλματα αυτά δεν μπορείς να τα αποδώσεις σε κάποια συγκεκριμένη αιτία. Δεν είναι τα ίδια κάθε φορά, είναι τυχαία. Οφείλονται σε πολλούς λόγους, όπως: στην ευαισθησία που διαθέτουν τα όργανα για την παρακολούθηση των μεταβολών που συμβαίνουν στο πείραμα, σε ένα φαινόμενο που ονομάζεται ηλεκτρονικός θόρυβος (το οποίο δεν είναι θέμα του παρόντος βιβλίου). Στο σημείο αυτό θα δανειστούμε λίγες χρήσιμες γνώσεις από τη στατιστική θεωρία. Αυτή θα μας δώσει έναν τύπο που προσδιορίζει το εύρος μιας περιοχής τιμών μέσα στην οποία υπάρχει η αληθινή τιμή με συγκεκριμένη πιθανότητα. Σύμφωνα με τη συγκεκριμένη θεωρία, όταν κάνεις Ν ανεξάρτητες μετρήσεις, οι τιμές ακολουθούν μια κατανομή που περιγράφεται από μια συνάρτηση F(x) την οποία ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής Gauss. Υποθέτουμε ότι οι μετρήσεις παρουσιάζουν μόνο τυχαία σφάλματα και ότι τα συστηματικά σφάλματα δεν καλύπτουν τα τυχαία. Αν ορίσουμε το =, τότε η γραφική παράσταση της F(x) είναι η Εικόνα Εισ.1. Χωρίς απόδειξη, αναφέρουμε ότι στη γραφική παράσταση: 1. Το γινόμενο F(x) dx δίνει την πιθανότητα να βρίσκεται η μέτρηση μέσα στο διάστημα x και x+dx. 2. Το ολοκλήρωμα στο πεδίο τιμών του x δίνει πιθανότητα 1, δηλαδή η αληθινή τιμή υπάρχει στο πεδίο ορισμού με πιθανότητα 100%. 3. Το ολοκλήρωμα της F(x) με όρια δίνει μια περιοχή στην οποία υπάρχει η αληθινή τιμή με πιθανότητα 68%. Το s λέγεται Τυπική Απόκλιση (ΤΑ). Στη διεθνή βιβλιογραφία η ΤΑ συμβολίζεται είτε με το σ (σίγμα) είτε με το αγγλικό s από τον όρο standard deviation (Taylor, 1997). Αν, αντί για Ν μετρήσεις μία (1) φορά, κάνεις Ν μετρήσεις Ν φορές, το Μέσο Σφάλμα της Μέσης Τιμής (ΜΣΜΤ) ορίζει περιοχή με μικρότερο εύρος, αλλά με την ίδια πιθανότητα 68%, και δίνεται από τον τύπο: Παρατήρηση: Στη βιβλιογραφία το ΜΣΜΤ συμβολίζεται με το. Για λόγους γραμματοσειράς εμείς θα συμβολίζουμε το ΜΣΜΤ με το σ (σίγμα). (Εισ.1) 15

17 Εικόνα Εισ.1 Κατανομή Gauss. Στον Πίνακα Εισ.1 βλέπουμε τις πιθανότητες που αντιστοιχούν σε περιοχές της κανονικής κατανομής. Πίνακας Εισ.1 Πιθανότητες και σ. 68% 95,5% 99,7% 99,99% ΕΙΣ.2.4 Σφάλμα ανάγνωσης κλίμακας οργάνου Στο εργαστήριο Φυσικής υπάρχουν ψηφιακά και αναλογικά όργανα. Η ανάγνωση της κλίμακας και των δύο παρουσιάζει κάποια αβεβαιότητα που θα την ονομάζουμε σφάλμα ανάγνωσης. Η εκτίμηση αυτού του σφάλματος σε συνδυασμό με την ακρίβεια του οργάνου επηρεάζουν την ακρίβεια ενός πειράματος. Κάθε όργανο έχει τη δική του ακρίβεια η οποία εξαρτάται από την κατασκευή του, και είναι συνήθως γραμμένη σε κάποιο σημείο του οργάνου. Το σφάλμα ανάγνωσης το εκτιμά ο παρατηρητής ανάλογα με κάθε όργανο. Συνοπτικά, μπορούμε να πούμε ότι το σφάλμα ανάγνωσης του οργάνου προκύπτει από δύο παράγοντες: α) τον παρατηρητή, β) το συγκεκριμένο όργανο. ΕΙΣ Σφάλμα ανάγνωσης σε αναλογικό όργανο Η ακρίβεια του οργάνου είναι η μικρότερη υποδιαίρεση της κλίμακας που φέρει το όργανο. Στην Εικόνα Εισ.2 η ακρίβεια είναι 1 Ν. Εικόνα Εισ.2 Κλίμακα αναλογικού οργάνου. 16

18 Το σφάλμα ανάγνωσης το αποφασίζει ο παρατηρητής, και εξαρτάται από την κατασκευή της κλίμακας του οργάνου και την εμπειρία του παρατηρητή. Στην παραπάνω κλίμακα το σφάλμα μπορεί να είναι 0,2 Ν, οπότε γράφεις (5,4 0,2) Ν με περιοχή αβεβαιότητας (5,2 5,6) Ν (όχι καλή απάντηση), ή μπορείς να γράψεις 0,1 Ν με περιοχή αβεβαιότητας (5,3 5,5) Ν (καλύτερη απάντηση ως προς την προηγούμενη). Νομίζουμε ότι δεν υπάρχουν γενικοί κανόνες υπολογισμού αυτού του σφάλματος. Απαιτείται εξάσκηση και πείρα. Συμβουλευτείτε τον καθηγητή του εργαστηρίου. Για όλους τους παραπάνω λόγους, το σφάλμα ανάγνωσης θεωρείται στατιστικό σφάλμα (σε περίπτωση πολλών μετρήσεων), ενώ η ακρίβεια του οργάνου θεωρείται συστηματικό σφάλμα. ΕΙΣ Σφάλμα ανάγνωσης σε ψηφιακό όργανο Υποθέτουμε ότι η ένδειξη του οργάνου παραμένει σταθερή, οπότε την καταχωρείς. Ως σφάλμα ανάγνωσης αυτής της μέτρησης θεωρείς ότι είναι το μισό (1/2) της μικρότερης μεταβολής που μπορεί να κάνει το τελευταίο ψηφίο της κλίμακας. Παράδειγμα: Αν διαβάζεις 1,22 s, τότε υποθέτεις (ή ελέγχεις αν μπορείς) ότι η μικρότερη μεταβολή είναι 0,01 s. Άρα, λαμβάνεις ως σφάλμα της ανάγνωσης το 0,005 s και γράφεις (1,220 0,005) s. Παρατήρηση: Ναι, έβαλες ένα ψηφίο το οποίο δε διάβασες στη μέτρηση, γιατί το σφάλμα του οργάνου υπαγορεύει την ακρίβεια. Στον ψηφιακό παλμογράφο η μικρότερη υποδιαίρεση αλλάζει ανάλογα και με την κλίμακα ανά υποδιαίρεση. Περίπτωση: Όταν η ένδειξη του οργάνου δεν παραμένει σταθερή, αλλά αλλάζει μόνο το τελευταίο ψηφίο, τότε θεωρείς το σφάλμα στατιστικό. Παίρνεις μερικές ενδείξεις από αυτές που δείχνει το όργανο και υπολογίζεις τη μέση τιμή τους. Ως μέτρηση θεωρείς τη μέση τιμή αυτών των ενδείξεων, και την καταχωρείς. ΕΙΣ.3 Σημαντικά Ψηφία (ΣΨ) Γενικά μιλώντας, όλοι οι αριθμοί έχουν τη δική τους σημασία χωρίς να υπάρχουν ανάμεσά τους σημαντικοί και ασήμαντοι. Στις Φυσικές Επιστήμες, όμως, οι αριθμοί που αναφέρονται σε μια μέτρηση προκύπτουν από τη συνεργασία οργάνου και ανθρώπου κατά τη διαδικασία αυτής της μέτρησης. Γνωρίζουμε ότι κάθε πειραματική μέτρηση έχει μια αβεβαιότητα/σφάλμα που προκύπτει από το ίδιο το όργανο και τον άνθρωπο. Η αβεβαιότητα αυτή εκφράζεται με το πλήθος των ψηφίων τα οποία χρησιμοποιούμε στην απάντηση αυτή. Μπορούμε να συμφωνήσουμε ότι το πλήθος των ΣΨ του αριθμού της απάντησης εκφράζει το μέτρο της ακρίβειας της πειραματικής μέτρησης. Κάθε πειραματική αβεβαιότητα/σφάλμα θα γράφεται με ένα ΣΨ, μη μηδενικό. Σημείωση: Η ακρίβεια του οργάνου είναι δεδομένη και καθορίζεται από τον κατασκευαστή. Η ακρίβεια της μέτρησης εκφράζεται από το σχετικό σφάλμα της μέτρησης (βλ. Εισαγωγή, κεφ. 4), και είναι συνδυαστικό αποτέλεσμα οργάνου και παρατηρητή. ΕΙΣ.3.1 Κανόνες καθορισμού των ΣΨ μιας μέτρησης 1. Για αριθμούς μικρότερους της μονάδας, τα μηδενικά που είναι αριστερά από το πρώτο μη μηδενικό ψηφίο δεν λογαριάζονται ως ΣΨ. π.χ.: 0,03= ΣΨ 2. Για ακέραιους αριθμούς, ως τελευταίο ΣΨ λαμβάνεται το δεξιότερο μη μηδενικό ψηφίο, δηλαδή δεν λαμβάνεις υπόψη σου τα μηδενικά που ακολουθούν. π.χ.: ΣΨ 3. Για οποιοδήποτε αριθμό, αποφασίζεις πόσα ΣΨ πρέπει να έχει, τον γράφεις ως δεκαδικό με τα ΣΨ που θέλεις, πολλαπλασιασμένο με την αντίστοιχη δύναμη του 10. π.χ.: 7,55, 0,955=9, , 1, , 973, 0,000373= 3, ΣΨ 4. Με καλή γνώση του φορητού υπολογιστικού μηχανήματος (scientific calculator) που όλοι διαθέτετε, ο αριθμός των ΣΨ καθορίζεται πολύ εύκολα (αρκεί να έχεις αποφασίσει πόσα ΣΨ πρέπει να έχει η μέτρηση). π.χ.: 49700=4, ΣΨ 17

19 49700= 4, ΣΨ Συνοψίζοντας, τα ΣΨ είναι ο αριθμός των ψηφίων μιας μέτρησης που γνωρίζουμε με απόλυτη βεβαιότητα. ΕΙΣ.3.2 Σημαντικά ψηφία και στρογγυλοποίηση Όταν γράφεις το αποτέλεσμα μιας μέτρησης στο εργαστήριο Φυσικής, υπάρχουν τουλάχιστον δύο περιπτώσεις: 1. Ο αριθμός που γράφεις να εκφράζει το αποτέλεσμα μιας μέτρησης που έκανες με όργανο του εργαστηρίου. 2. Ο αριθμός αυτός να έχει προκύψει έπειτα από μαθηματικούς υπολογισμούς που έκανες χρησιμοποιώντας τα αποτελέσματα των μετρήσεων. Είναι πιθανόν τα αποτελέσματα που προκύπτουν από μαθηματικούς υπολογισμούς να έχουν μεγαλύτερο πλήθος ΣΨ από αυτά που εκφράζουν τις πειραματικές συνθήκες (δηλαδή τα όργανα και τον παρατηρητή). Πρέπει, λοιπόν, να στρογγυλοποιήσεις τους αριθμούς αυτούς. Βήμα 1ο: Στρογγυλοποιείς το σφάλμα και κρατάς ένα ΣΨ (εκτός αν αυτό είναι το 1 ή το 2, οπότε κρατάς δύο ΣΨ). Βήμα 2ο: Παίρνεις τη μέση τιμή των μετρήσεων και την στρογγυλοποιείς, έτσι ώστε το τελευταίο ψηφίο της να είναι της ίδιας τάξης μεγέθους με το σφάλμα. Παράδειγμα: Αν δx=0,01 mm, τότε =4,57 mm, οπότε γράφεις x±δx=(4,57±0,01) mm. Κατά τη στρογγυλοποίηση: Αν θέλεις να διώξεις έναν από τους αριθμούς 1, 2, 3, 4, τότε το προηγούμενο ψηφίο παραμένει ως έχει. Αν ο αριθμός που πρέπει να φύγει είναι ένας από τους 6, 7, 8, 9, τότε το προηγούμενο ψηφίο αυξάνεται κατά μία μονάδα. Αν ο αριθμός αυτός είναι το 5, τότε κάνεις ή την πρώτη ή τη δεύτερη κίνηση (υπάρχει στατιστική ισορροπία). ΕΙΣ.4 Σχετικό σφάλμα μέτρησης Όπως είδαμε, όταν γράφουμε την απάντηση x±δx, το Απόλυτο Σφάλμα δx μπορεί είτε να είναι το Μέγιστο Σφάλμα του οργάνου είτε να το υπολογίζεις με τύπο της στατιστικής (το σ). Και στις δύο περιπτώσεις το δx καθορίζει μια περιοχή, τις ιδιότητες της οποίας έχουμε ήδη αναφέρει. Ένα άλλο σημαντικό μέγεθος είναι αυτό που ορίζεται από τη σχέση: 18 (Εισ.2) και ονομάζεται σχετικό σφάλμα της μέτρησης επί τοις % ή σχετική αβεβαιότητα της μέτρησης επί τοις %. Το μέγεθος αυτό ανάγει το σφάλμα στη μονάδα του μεγέθους και όχι στο μέτρο του μεγέθους, δηλαδή είναι ανεξάρτητο από το μέτρο του μεγέθους και, γι αυτό το λόγο, εκφράζει την ακρίβεια της μέτρησης. Το μέγεθος αυτό δεν έχει μονάδες, είναι ποσοστό. Παράδειγμα: Υπολογίζεις τη μάζα ενός σώματος με δύο τρόπους και βρίσκεις: 1 ος τρόπος: (40±1) kg με Σσχ=2,5%.

20 2 ος τρόπος: (40±2) kg με Σσχ=5%. Συμπέρασμα: Ο πρώτος τρόπος είναι πιο ακριβής από τον δεύτερο. Άμεσες μετρήσεις Το βίντεο παρουσιάζει τις άμεσες μετρήσεις. Βίντεο Εισ.1 Παρουσίαση των άμεσων μετρήσεων. Βίντεο ΕΙΣ.5 Μέτρηση ενός μεγέθους ΕΙΣ.5.1 Άμεση μέτρηση ενός μεγέθους Στην άμεση μέτρηση, αφού επιλέξεις το κατάλληλο όργανο για το μέγεθος το οποίο θέλεις να μετρήσεις, κάνεις τη μέτρηση απευθείας με το όργανο και την καταχωρείς μαζί με τα αντίστοιχα σφάλματά της. 1η περίπτωση: Μία (1) μέτρηση Αν κάνεις μία (1) μόνο μέτρηση, θα γράψεις το αποτέλεσμά σου x±δx, όπου: x = το αποτέλεσμα της μέτρησης, δx = το μέγιστο σφάλμα του οργάνου που χρησιμοποίησες. Παράδειγμα: Στην Εικόνα Εισ.3 το μέγιστο σφάλμα αυτού του οργάνου, σε μια πρώτη εκτίμηση, είναι δx=0,2 ο C. Εικόνα Εισ.3 Κλίμακα αναλογικού θερμομέτρου. Άρα, για τη μέτρηση που δείχνει το βέλος γράφεις (18,60,2) ο C και δηλώνεις ότι: Για σένα η θερμοκρασία είναι το x=18,6 ο C. Μέσα στο διάστημα 18,4 18,8 ο C είσαι 100% βέβαιος ότι υπάρχει και η αληθινή τιμή της θερμοκρασίας (αν δεν είναι 18,6 ο C). Κάθε άλλη μέτρηση του ίδιου μεγέθους στις ίδιες συνθήκες πρέπει να περιέχεται μέσα στο διάστημα αυτό. Εδώ πρέπει να πούμε ότι το μέγιστο σφάλμα του οργάνου μπορεί να εκτιμηθεί διαφορετικά από κάθε παρατηρητή. Αν εκτιμήσεις ότι το απόλυτο σφάλμα είναι δx=0,1 ο C, η απάντηση θα είναι (18,6 0,1) ο C. Άρα, η περιοχή αβεβαιότητας θα είναι από 18,5 18,7 ο C. 2η περίπτωση: Πολλές μετρήσεις Αν μετρήσεις το ίδιο μέγεθος πολλές φορές και κάνεις Ν μετρήσεις, x 1, x 2, x 3,, x N, τότε γράφεις το αποτέλεσμά σου με τη μορφή:, όπου το είναι η μέση τιμή των μετρήσεων, δηλαδή 19

21 (Εισ.3) Αυτό για σένα σημαίνει ότι: Έκανες Ν μετρήσεις, επειδή το έκρινες αναγκαίο. Αυτή είναι η δική σου απάντηση για το μέγεθος. Αυτή είναι για σένα η πιθανή τιμή. Αυτή είναι για σένα η καλύτερη εκτίμηση για την αληθινή τιμή του μεγέθους. Η αληθινή τιμή είναι μια εξιδανίκευση. Είναι αυτή που πλησιάζει την τιμή του μεγέθους μετά από πολλές μετρήσεις. Το μέγεθος δx είναι το Απόλυτο Σφάλμα. Εμείς ως δx θα χρησιμοποιούμε το μέσο σφάλμα της μέσης τιμής (ΜΣΜΤ) των μετρήσεων που δίνεται από τη σχέση: 2 2 x x x x... x x 1 2 N( N 1) Παρατήρηση: Για λόγους ευκολίας γραφής αντί για θα γράφουμε σ. Μέση τιμή - Μέσο σφάλμα Βίντεο Το βίντεο δείχνει πώς υπολογίζω τη μέση τιμή και το μέσο σφάλμα με την αριθμομηχανή των Windows7. Βίντεο Εισ.2 Υπολογισμός μέσης τιμής και μέσου σφάλματος με την αριθμομηχανή των Windows7. N 2 (Εισ.4) Τι σημαίνει ο τρόπος γραφής ; Απάντηση: Σύμφωνα με τις μετρήσεις που έκανες, το είναι η καλύτερη απάντηση για το μέγεθος που μέτρησες. Είναι η καλύτερη τιμή, σύμφωνα με τις δικές σου μετρήσεις. Με βάση την κατανομή Gauss, μέσα στην περιοχή έως βρίσκεται το 68% των μετρήσεων που έκανες. Αν κάνεις μια νέα μέτρηση, αυτή έχει πιθανότητα 68% να βρίσκεται μέσα στο συγκεκριμένο διάστημα. Παράλληλα, σημαίνει ότι υπάρχει πιθανότητα 68% η αληθινή τιμή να βρίσκεται στο ίδιο διάστημα. Στην περιοχή ισχύουν τα ίδια με πιθανότητα 95% (Taylor, 1997). Παρατήρηση: Ο τύπος (Εισ.4) με τον οποίο υπολογίζουμε το ΜΣΜΤ έχει και αυτός πιθανότητα σφάλματος. Αυτή η πιθανότητα εξαρτάται από τον αριθμό Ν των μετρήσεων. Αυτό το σφάλμα του σφάλματος υπολογίζεται από τη σχέση:. Παράδειγμα: για Ν=10 το σφάλμα του είναι 24% για Ν=50 το σφάλμα του είναι 10% για Ν=300 το σφάλμα του είναι 4% για Ν=1000 το σφάλμα του είναι 2% Στα εκπαιδευτικά εργαστήρια το Ν είναι, συνήθως, Ν 10, οπότε το σφάλμα στον υπολογισμό του σημαντικό. Γι αυτό, οι τελικές τιμές των σφαλμάτων πρέπει να δίνονται με ένα (1) σημαντικό ψηφίο. ΕΙΣ.5.2 Έμμεση μέτρηση ενός μεγέθους Στην έμμεση μέτρηση ενός μεγέθους δεν μετράμε το μέγεθος απευθείας με κάποιο όργανο, αλλά το υπολογίζουμε με τη βοήθεια κάποιου μαθηματικού τύπου ο οποίος περιέχει μεγέθη που έχουμε ήδη μετρήσει. Πώς γράφω το αποτέλεσμα σε μια έμμεση μέτρηση; Απάντηση: Με τη μορφή χδχ, όπου το χ θα βρεθεί από το μαθηματικό τύπο που περιγράφει το μέγεθος. 20 είναι

22 Για τον υπολογισμό του δχ θα διακρίνουμε περιπτώσεις ανάλογα με το μαθηματικό τύπο από τον ο- ποίο υπολογίζεις το μέγεθος. Οι πλέον συχνές περιπτώσεις που θα συναντήσεις στα πρώτα σου εργαστήρια είναι: 1. Γινόμενο π.χ. V=α β γ, 2. Διαίρεση π.χ., 3. Δύναμη π.χ. V=α 3 β, 4. Άθροισμα Διαφορά π.χ. V=α+β ή V=α-β, όπου οι μετρήσεις για τα α, β, γ έχουν δώσει τα αποτελέσματα αδα, βδβ, γδγ. Ας δούμε λοιπόν τις περιπτώσεις: 1. Γινόμενο Αν ένα μέγεθος V υπολογίζεται από τον τύπο V=α β γ, τότε για να βρεις το V, πολλαπλασιάζεις τα μεγέθη α, β, γ. Για να βρεις το δv, εφαρμόζεις τον τύπο: (Εισ.5) που λέει ότι το Μέγιστο Σχετικό Σφάλμα υπολογίζεται από το άθροισμα των σχετικών σφαλμάτων των μεγεθών α, β και γ. Παράδειγμα: Αν α=(71) mm, β=(121) mm, γ=(151) mm, V=α β γ V= =1260 mm 3 και δv=369 mm 3 V±δV=(1260±369) mm 3 2. Διαίρεση Η διαίρεση είναι και αυτή γινόμενο, οπότε ισχύει πάλι ο ίδιος κανόνας. Αν, τότε V V (Εισ.6) δηλαδή και πάλι το Μέγιστο Σχετικό Σφάλμα υπολογίζεται από το άθροισμα των σχετικών σφαλμάτων των μεγεθών α, β. Παράδειγμα: α=(80±1) g, β=(20±1) cm, Απάντηση: g ( 4,0 0,3) (το μέγεθος αυτό εκφράζει τη γραμμική πυκνότητα υλικού). cm 3. Δύναμη 21

23 Η δύναμη είναι επίσης γινόμενο: V=α 3 β V=α α α β. Άρα, (Εισ.7) Αποδεικνύεται ότι και για αρνητικούς εκθέτες το Μέγιστο Σχετικό Σφάλμα γράφεται χωρίς το πρόσημο πλην. Παράδειγμα: 3 V V 3 V 4. Άθροισμα-Διαφορά Αν V=α+β, τότε δv=δα+δβ. Αν V=α-β, τότε δv=δα+δβ (πάλι). Εδώ η θεωρία λέει ότι το Απόλυτο Μέγιστο Σφάλμα του έμμεσου μεγέθους ισούται με το άθροισμα των απόλυτων σφαλμάτων των α και β, δηλαδή δv=δα+δβ (πάντα). Παράδειγμα: 1. Αν α=(62,8±0,3) g, β=(15,4±0,2) g, τότε V=62,8+15,4=78,2 g δv=(0,3+0,2) g, δv=0,5 g Απάντηση: (78,2±0,5) g 2. Αν V=α-β, τότε V=62,8-15,4=47,4 g δv=(0,3+0,2) g, δv=0,5 g Απάντηση: (47,4±0,5) g Θα ανακεφαλαιώσουμε τις πρώτες γνώσεις για τη σημασία της σχετικής αβεβαιότητας με μια παλιά ερώτηση: Αν τεντώσουμε μια αλυσίδα, σε ποιο σημείο αυτή θα σπάσει; Η απάντηση είναι: εκεί όπου υπάρχει ο πιο αδύναμος κρίκος. Με άλλα λόγια, πρέπει να βελτιώσεις την πιο ασθενή μέτρηση της διαδικασίας, δηλαδή αυτή με το μεγαλύτερο σχετικό σφάλμα, η οποία έχει και τη μεγαλύτερη συμμετοχή στον υπολογισμό της σχετικής αβεβαιότητας στο συγκεκριμένο πείραμα. Έτσι, η παρέμβαση αυτή θα γίνει αφορμή για ουσιαστικές σκέψεις πάνω στις αιτίες που συμβάλλουν στις αβεβαιότητες του πειράματος. Παράδειγμα: Για την πυκνότητα ενός ομογενούς υλικού ισχύει: Όταν υπολογίσεις τις τιμές των κλασμάτων, θα μπορέσεις να αποφασίσεις με τι ποσοστό συμμετέχει το καθένα στη συνολική αβεβαιότητα, και να δεις πώς μπορείς να κάνεις βελτιώσεις όπου χρειάζεται. Με τις σκέψεις αυτές ο υπολογισμός της σχετικής αβεβαιότητας αποκτά ένα πιο ουσιαστικό νόημα και δίνει άλλο ενδιαφέρον στις αλγεβρικές πράξεις που έκανες. Για την πρώτη επαφή με τα Σφάλματα θεωρούμε ότι είναι αρκετά μέχρι εδώ. Για περίεργους και φιλομαθείς: Αν θέλεις περισσότερα, βλ. Παράρτημα Α. Εκεί, με τη βοήθεια των Μερικών Παραγώγων, θα δεις τα γενικά θεωρήματα για Σύνθετες Συναρτήσεις. Είναι πιο εύκολο απ ό,τι φαντάζεσαι! ΕΙΣ.6 Τρόποι ελέγχου του αποτελέσματος Για τον έλεγχο των αποτελεσμάτων θα χρησιμοποιήσουμε τρεις (3) τρόπους: 1ος τρόπος 22

24 Ένας απλός τρόπος για να ελέγξεις το αποτέλεσμά σου είναι να βρεις την επί τοις % διαφορά μεταξύ της α- ληθινής τιμής Χ A και της δικής σου πειραματικής τιμής x Π : (Εισ.8) Όλες οι πειραματικές διατάξεις του εργαστηρίου δίνουν αποτελέσματα κάτω από το 10%. Αυτό βέβαια δεν είναι κανόνας, γιατί πολλά μπορούν να συμβούν κατά την πορεία των μετρήσεών σου. Συζητάς το αποτέλεσμα με τους διδάσκοντες του εργαστηρίου. 2ος τρόπος Γράφεις τη δική σου απάντηση (Χδx). Η αληθινή τιμή είναι (Υδy). Αν τα δύο διαστήματα έχουν επικάλυψη, τότε λες ότι το αποτέλεσμα είναι αποδεκτό μέσα στα όρια των σφαλμάτων της μέτρησης. Παράδειγμα: Για κάποια πυκνότητα βρήκες (7,3±0,2) g/cm 3, ενώ η θεωρητική τιμή είναι (7,6±0,2) g/cm 3. Τα δύο διαστήματα, όπως φαίνεται στην Εικόνα Εισ.4, έχουν επικάλυψη τιμών. Άρα, η απάντησή σου είναι αποδεκτή. Εικόνα Εισ.4 Διάστημα τιμών. 3ος τρόπος Με το σχετικό σφάλμα της μέτρησης, μεταξύ δύο μετρήσεων του ίδιου μεγέθους πιο ακριβής είναι αυτή που έχει το μικρότερο σχετικό σφάλμα (με την προϋπόθεση ότι οι μετρήσεις γίνονται κάτω από τις ίδιες συνθήκες). Έμμεσες μετρήσεις Το βίντεο παρουσιάζει τις έμμεσες μετρήσεις. Βίντεο Εισ.3 Παρουσίαση των έμμεσων μετρήσεων. Βίντεο ΕΙΣ.7 Γραφικές Παραστάσεις (ΓΠ) Σήμερα υπάρχουν δύο τρόποι για τη γραφική αναπαράσταση ενός συνόλου δεδομένων: 1ος τρόπος Με χάρακα, χαρτί, μολύβι, γνώση και προσπάθεια. 2ος τρόπος Με τον Η/Υ στον οποίο δίνεις μια φορά το σύνολο των δεδομένων και στη συνέχεια με ένα κλικ έχεις τη γραφική παράσταση. Προσοχή, διότι για τον τρόπο αυτόν χρειάζονται οι γνώσεις που αποκτάς από την προηγούμενη περίπτωση, καθώς και επιπλέον γνώσεις σχετικές με το πρόγραμμα που χρησιμοποιείς. 23

25 Εμείς εδώ θα ασχοληθούμε με τον πρώτο τρόπο χάραξης ΓΠ. Συγκεκριμένα, θα μιλήσουμε για ΓΠ που παριστάνουν καμπύλες/ευθείες σε δύο διαστάσεις και καρτεσιανό επίπεδο (Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσικής, 2013). Δεν θα ασχοληθούμε με ιστογράμματα και πίτες (pies). Ας δούμε τους λόγους για τους οποίους κάνουμε μια γραφική παράσταση: 1ος λόγος Για να απεικονίσουμε δεδομένα με έναν τρόπο που μας δίνει πολλές πληροφορίες, εύκολα και με μια ματιά. π.χ. Το ποσοστό αύξησης των κερδών μιας τράπεζας κατά τους τελευταίους 12 μήνες. Εύκολα μπορείς να βγάλεις συμπεράσματα για την πορεία της επιχείρησης. 2ος λόγος Κάνουμε τη γραφική παράσταση με σκοπό να αναλύσουμε ένα σύνολο πειραματικών δεδομένων και να βγάλουμε συμπεράσματα. Γι αυτό, στην περίπτωση αυτή η χάραξη πρέπει να γίνει με μεγαλύτερη αυστηρότητα. Βέβαια, τίποτα δεν αποκλείει να κάνεις τα ίδια και στην προηγούμενη περίπτωση, αλλά δεν είναι τόσο απαραίτητο. Μια διαφορά: Ο Μαθηματικός: Γνωρίζει τη συνάρτηση που συνδέει την ανεξάρτητη μεταβλητή Χ με την εξαρτημένη Υ. π.χ.: Υ=αΧ+β, οπότε δίνει τυχαίες τιμές στο Χ, κάνει πράξεις και υπολογίζει το Υ. Γράφει το αποτέλεσμά του με όσα δεκαδικά νομίζει ότι του χρειάζονται και, τέλος, βάζει τα ζεύγη (Χ,Υ) σε άξονες. Οπότε, όλα τα σημεία σχηματίζουν μια γνωστή καμπύλη (που ξέρει από τα μαθηματικά). Ο Τεχνολόγος: Έχει τα ζεύγη (Χ,Υ) που είναι αποτελέσματα μετρήσεων και περιέχουν τις γνωστές αβεβαιότητες (σφάλματα). Ξέρει ότι κάθε ζεύγος δίνει και ένα σημείο στο επίπεδο. Τι θέλει να κάνει με τα σημεία αυτά; Υπάρχουν δύο περιπτώσεις: 1η περίπτωση: Να ερευνήσει αν οι τιμές των (Χ,Υ) ικανοποιούν κάποια σχέση που περιγράφει το πείραμα από το οποίο προέκυψαν αυτές οι τιμές. Με άλλα λόγια, κάνει επαλήθευση κάποιου Νόμου ή ψάχνει για το Νόμο. 2η περίπτωση: Ξέρει από πριν την εξίσωση που περιγράφει το φαινόμενο. Άρα, ξέρει και τη μορφή της μαθηματικής καμπύλης που αντιστοιχεί στην εξίσωση. Οπότε, με βάση τα πειραματικά σημεία που διαθέτει, θέλει να χαράξει την καλύτερη καμπύλη που πλησιάζει στη θεωρητική μαθηματική καμπύλη. Αυτή η καλύτερη καμπύλη (best fit) δίνει τώρα τις πληροφορίες για το πείραμα. Τα πειραματικά σημεία δεν παίζουν κανένα ρόλο πλέον. Δεν θα τα χρησιμοποιήσει για κανέναν υπολογισμό. Τώρα μπαίνουν δύο ερωτήματα: Ερώτημα 1 ο : Πώς χαράζω την καλύτερη πειραματική καμπύλη; Απάντηση: Για να χαράξεις την καλύτερη πειραματική καμπύλη, πρέπει να βάλεις τα σημεία (Χ,Υ) σε ένα επίπεδο με άξονες Χ και Υ. Για να το κάνεις αυτό, πρέπει να βαθμονομήσεις τους άξονες. Σύμφωνα με το πεδίο τιμών των Χ και Υ, αποφασίζεις πόσες γραμμές θέλεις να αντιστοιχίσεις, έτσι ώστε να καλύψεις το μεγαλύτερο δυνατό χώρο σε όλο το επίπεδο. Υπάρχει λόγος γι αυτό τον οποίο θα δούμε παρακάτω. (Ούτε γραφική παράσταση σαν κυπαρισσάκι ούτε πατημένη από τρένο, όπως φαίνεται στην Εικόνα Εισ.5.) 24

26 Εικόνα Εισ.5 Λανθασμένες γραφικές παραστάσεις. Παράδειγμα: Σε 10 μικρές γραμμές του μιλιμετρέ δεν αντιστοιχείς 12 cm, αλλά 5 cm, 10 cm ή 20 cm, έτσι ώστε να ξέρεις εύκολα σε τι αντιστοιχεί μία γραμμή του άξονα. Περίπτωση 1η: Μία (1) γραμμή του άξονα Χ αντιστοιχεί σε 2 cm. Στο κάτω μέρος του μιλιμετρέ γράψε την αντιστοίχιση που αποφάσισες. Περίπτωση 2η: Στον Χ άξονα: μία (1) γραμμή 2 cm. Στον Υ άξονα: μία (1) γραμμή 0,1 Ν. Πάνω στους άξονες γράφεις μόνο τις τιμές της βαθμονόμησης και τις μονάδες. Δεν γράφεις πειραματικές τιμές. Μετά τη βαθμονόμηση βάζεις τα σημεία που αντιστοιχούν στα πειραματικά ζεύγη (Χ,Υ) με ή χωρίς τα διαστήματα εμπιστοσύνης (error bars). Αν y σ, τότε το διάστημα εμπιστοσύνης είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα μήκους 2σ, κάθετο στον άξονα Χ, με κέντρο το σημείο (Χ,Υ). Τώρα έχεις βάλει τα πειραματικά σημεία και πρέπει να χαράξεις την πειραματική καμπύλη. Αυτό μπορεί να γίνει με τρεις (3) τρόπους: 1ος τρόπος Χαράζεις την καμπύλη/ευθεία έτσι, ώστε όσα σημεία αφήνει έξω από τη μία μεριά, τόσα να αφήνει και από την άλλη σε ισαπέχουσες θέσεις. Η χάραξη γίνεται με χάρακα για ευθεία ή καμπυλόγραμμο για υπερβολές, παραβολές κτλ. 2ος τρόπος Χαράζεις την καμπύλη έτσι, ώστε να περνάει μέσα από όλα τα διαστήματα εμπιστοσύνης (error bars). Αυτός ο τρόπος θεωρείται καλύτερος από τον πρώτο. 3ος τρόπος Δίνεις τα ζεύγη (Χ,Υ) στον Η/Υ. Αυτός βάζει τα σημεία και σχεδιάζει την καλύτερη δυνατή καμπύλη. Επιπλέον, σου δίνει και τη μαθηματική εξίσωση της καλύτερης καμπύλης που αντιστοιχεί στα πειραματικά σημεία. Ερώτημα 2ο: Τι πληροφορίες μπορώ να πάρω από την καλύτερη πειραματική καμπύλη; Απάντηση: Ανάλυση δεδομένων: Βρίσκεις για κάθε τιμή x ν την αντίστοιχη τιμή y ν, και αντίστροφα. Βρίσκεις την τιμή ενός τρίτου μεγέθους (εκτός των x ν, y ν ) που ονομάζουμε κλίση λ και ορίζεται από τη σχέση: (Εισ.9) 25

27 Πώς βρίσκω την κλίση λ από τη γραφική παράσταση; Γραφικές παραστάσεις στο μιλιμετρέ Βίντεο Το βίντεο δείχνει πώς κάνω μια γραφική παράσταση στο μιλιμετρέ και πώς βρίσκω την κλίση της. Βίντεο Εισ.4 Γραφικές παραστάσεις στο μιλιμετρέ. 1η περίπτωση Αν η γραφική παράσταση είναι ευθεία, σχηματίζεις ένα τυχαίο, μεγάλο τρίγωνο με υποτείνουσα πάνω στην ευθεία. Διαιρείς την κατακόρυφη πλευρά του τριγώνου Δy με την οριζόντια πλευρά Δx. Δεν χρησιμοποιείς πειραματικά σημεία για να βρεις την κλίση. 2η περίπτωση Αν η γραφική παράσταση είναι καμπύλη, τότε φέρνεις την εφαπτομένη στο σημείο M 1 που σε ενδιαφέρει, σχηματίζεις πάλι ένα μεγάλο τρίγωνο και υπολογίζεις την κλίση (Εικόνα Εισ.6). π.χ. Εικόνα Εισ.6 Κλίση σε ένα σημείο της καμπύλης. Προσοχή: Η κλίση έχει μονάδες, τις μονάδες των αξόνων. Θεώρημα: Έστω, y=f(x) η εξίσωση μιας καμπύλης και έστω, Μ 1 (x 1,y 1 ) ένα σημείο πάνω στην καμπύλη αυτή. Η κλίση στο σημείο αυτό είναι ίση με την τιμή της πρώτης παραγώγου f ( x) dy dx (Εισ.10) 26

28 Πώς βρίσκω την κλίση λ γνωρίζοντας την εξίσωση της γραφικής παράστασης; Γραφικές παραστάσεις στο Excel Βίντεο Το βίντεο δείχνει πώς κάνω μια γραφική παράσταση στο Excel και πώς βρίσκω την κλίση της. Βίντεο Εισ.5 Γραφικές παραστάσεις στο Excel. Εσύ vs Η/Υ Έχεις δώσει τα ζεύγη (x,y) στον Η/Υ και έχεις πάρει την καλύτερη καμπύλη και την εξίσωση που της αντιστοιχεί. Βρίσκεις την παράγωγο και, στη συνέχεια, την αριθμητική τιμή της παραγώγου για το x που σε ενδιαφέρει. Από το θεώρημα ξέρεις ότι η τιμή της παραγώγου είναι η ζητούμενη κλίση. Κάνεις σύγκριση. Γιατί μεγάλο τρίγωνο; y 1 ±δy 1, y 2 ±δy 2, x 1 ±δx 1, x 2 ±δx 2 Δy=y 2 -y 1, δ(δy)=δy 1 +δy 2 Δx=x 2 -x 1, δ(δx)=δx 2 +δx 1 Συμπέρασμα, μεγάλα Δx, Δy, μικρό δλ! ΕΙΣ.8 Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων 1ος τρόπος Αν έχεις κάνει Ν μετρήσεις και έχεις τοποθετήσει τα σημεία στο Χ,Υ επίπεδο, τότε ένας πολύ σωστός τρόπος για να φέρεις την καλύτερη ευθεία που αντιστοιχεί στα σημεία αυτά είναι να υπολογίσεις την κλίση της ευθείας και το σημείο που τέμνει τον άξονα Υ. Δηλαδή, αν Υ=ΑΧ+Β, αποδεικνύεται ότι το Α και το Β υπολογίζονται ως εξής: B A X Y i i i i X 2 i i i i i N Y 2 X X X i X ) ( i 2 Y X Y (Εισ.11) (Εισ.12) (Εισ.13) Σημείωση: Δε νομίζουμε ότι κάποιος θα κάνει ποτέ αυτές τις πράξεις στο εργαστήριο. Είναι χρήσιμο, όμως, να ξέρεις ότι υπάρχει αυτή η μέθοδος. 2ος τρόπος Δίνεις τα Ν ζεύγη (Χ,Υ) στον Η/Υ ή στο φορητό υπολογιστικό μηχάνημά σου (scientific calculator), και σε απειροστό χρόνο σου δίνουν τα Α και Β! Η ίδια μέθοδος για τα μεγέθη Α και Β υπολογίζει και τις αβεβαιότητες δα και δβ, αλλά δε θα χρειαστούν στο εισαγωγικό εργαστήριο. Τώρα που ξέρεις τα Α και Β, γνωρίζεις την εξίσωση. π.χ. 27

29 y=2,6x+3,2 (Εισ.14) Για να χαράξεις την ευθεία, χρειάζονται δύο σημεία (το είπε και ο Ευκλείδης), όχι βέβαια τα πειραματικά. Δίνεις δύο τιμές στον Χ και από την εξίσωση (Εισ.14) έχεις δύο τιμές του Υ. Με τα δύο σημεία (Χ 1,Υ 1 ) και (Χ 2,Υ 2 ) χαράζεις την καλύτερη ευθεία. Τέλος! Παράδειγμα υπολογισμού των Α και Β Ν Χ Υ Χ 2 ΧΥ 1 1,2 5,0 1,44 6,0 2 2,1 7,2 4,41 15,12 3 3,2 9,2 10,24 29,44 4 4,3 12,6 18,49 54,18 5 5,2 14,5 27,04 75,40 Σx=16,0 Σy=48,5 Σx 2 =61,62 Σxy=180,14 Πίνακας Εισ.2 Παράδειγμα υπολογισμού των Α και Β. Γ=5 61,62-(16,0) 2 =52,1 y=2,39x+2,04 Βιβλιογραφία Johnson, R. (1994). Miller and Freud s Probability and Statistics for Engineers (σ. 25, 109, 143, 202 και 205). New Jersey: Prentice Hall. Taylor, J. R. (1997). Introduction to Error Analysis: The Study of Uncertainties in Physical Measurements. (κεφάλαια 2, 3.3, 3.5, 4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 5.3, 5.4 και 8). University Science Books. Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσικής. τόμ.ι. (2013). [Εργαστηριακός Οδηγός - Πανεπιστημιακές Σημειώσεις] Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Τομέας Φυσικής, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Θετικών Επιστημών, Εκπαιδευτικά Εργαστήρια [online] διαθέσιμο από: < Καραμπαρμπούνης, Α. κ.ά. (2012). Εισαγωγή στην Πειραματική Μεθοδολογία. Στο Εισαγωγικές Διαλέξεις Εργαστηρίου Φυσικής [Φυλλάδιο Εισαγωγικών Διαλέξεων - Πανεπιστημιακές Σημειώσεις], Εθνικό & Καποδιστριακό Παν/μιο Αθηνών, Τμήμα Φυσικής, Εργαστήριο Φυσικής [online] διαθέσιμο από: < Κριτήρια αξιολόγησης 28

30 Κριτήριο αξιολόγησης 1 - Άμεσες Μετρήσεις Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος. Απαντήσεις α/α Ερωτήσεις 1 Το σχετικό σφάλμα εκφράζει την ακρίβεια της μέτρησης. 2 Ο τρόπος γραφής των αποτελεσμάτων των μετρήσεων (σύμφωνα με τη Θεωρία Σφαλμάτων) είναι: x δx. 3 Το απόλυτο σφάλμα δεν έχει μονάδες, είναι καθαρός αριθμός. 4 Το Μέσο Σφάλμα της Μέσης Τιμής (ΜΣΜΤ) δεν έχει μονάδες, είναι καθαρός αριθμός. 5 Η μέτρηση Ι=2,3±0,1 Α είναι σωστή. 6 Στις πολλές μετρήσεις το σφάλμα είναι η μέση τιμή των σφαλμάτων των μετρήσεων. 7 Το σχετικό σφάλμα έχει τις ίδιες μονάδες με το μέγεθος που μετρώ. 8 Μεταξύ δύο μετρήσεων πιο ακριβής είναι αυτή που έχει το μικρότερο απόλυτο σφάλμα. 9 Το σχετικό σφάλμα της μέτρησης (20±2) mm είναι 0,1 mm. 10 Το επί τοις % σχετικό σφάλμα της μέτρησης (20±2) mm είναι 10%. 11 Η μέτρηση της θερμοκρασίας με ένα θερμόμετρο είναι άμεση μέτρηση. 12 Μετράς ένα μέγεθος τρεις (3) φορές και βρίσκεις 2,3 cm την πρώτη φορά, 2,4 cm τη δεύτερη και 2,5 cm την τρίτη. Το αποτέλεσμα της μέτρησης είναι 2,4 cm. 13 Μετράς ένα μέγεθος μία (1) φορά. Το σφάλμα είναι το μέγιστο σφάλμα του οργάνου Μετράς ένα μέγεθος 5 φορές. Το αποτέλεσμα της μέτρησης είναι η μέση τιμή των 5 μετρήσεων. Μετράς ένα μέγεθος πολλές φορές. Το σφάλμα της μέτρησης είναι το Μέσο Σφάλμα της Μέσης Τιμής (ΜΣΜΤ). Πίνακας Εισ.3 Ερωτήσεις Κριτηρίου Αξιολόγησης 1 Εισαγωγής. Απαντήσεις Απαντήσεις α/α Ερωτήσεις Σωστό 1 Το σχετικό σφάλμα εκφράζει την ακρίβεια της μέτρησης. Λάθος. Το σωστό είναι x±δx. 2 Ο τρόπος γραφής των αποτελεσμάτων των μετρήσεων (σύμφωνα με τη Θεωρία Σφαλμάτων) είναι: x δx. Λάθος. Έχει μονάδες, αυτές του 3 Το απόλυτο σφάλμα δεν έχει μονάδες, είναι καθαρός αριθμός. μεγέθους που μετρώ. Λάθος. Έχει μονάδες, αυτές του μεγέθους που μετρώ. 4 Το Μέσο Σφάλμα της Μέσης Τιμής (ΜΣΜΤ) δεν έχει μονάδες, είναι καθαρός αριθμός. Λάθος. Το σωστό είναι: 5 Η μέτρηση Ι=2,3±0,1 Α είναι σωστή. Ι=(2,3±0,1) Α. Λάθος. Είναι το Μέσο Σφάλμα της Μέσης Τιμής. 6 Στις πολλές μετρήσεις το σφάλμα είναι η μέση τιμή των σφαλμάτων των μετρήσεων. Λάθος. Δεν έχει μονάδες. 7 Το σχετικό σφάλμα έχει τις ίδιες μονάδες με το μέγεθος που μετρώ. Λάθος. Είναι αυτή που έχει το μικρότερο σχετικό σφάλμα. 8 Μεταξύ δύο μετρήσεων πιο ακριβής είναι αυτή που έχει το μικρότερο απόλυτο σφάλμα. Λάθος. Το σωστό είναι 0,1. Το σχετικό σφάλμα δεν έχει μονάδες. 9 Το σχετικό σφάλμα της μέτρησης (20±2) mm είναι 0,1 mm. Σωστό 10 Το επί τοις % σχετικό σφάλμα της μέτρησης (20±2) mm είναι 10%. Σωστό 11 Η μέτρηση της θερμοκρασίας με ένα θερμόμετρο είναι άμεση μέτρηση. Σωστό 12 Μετράς ένα μέγεθος τρεις (3) φορές και βρίσκεις 2,3 cm την πρώτη φορά, 2,4 cm τη δεύτερη και 2,5 cm την τρίτη. Το αποτέλεσμα της μέτρησης είναι 29

31 Σωστό Σωστό Σωστό Πίνακας Εισ.4 Απαντήσεις Κριτηρίου Αξιολόγησης 1 Εισαγωγής. 2,4 cm. 13 Μετράς ένα μέγεθος μία (1) φορά. Το σφάλμα είναι το μέγιστο σφάλμα του οργάνου. 14 Μετράς ένα μέγεθος 5 φορές. Το αποτέλεσμα της μέτρησης είναι η μέση τιμή των 5 μετρήσεων. 15 Μετράς ένα μέγεθος πολλές φορές. Το σφάλμα της μέτρησης είναι το Μέσο Σφάλμα της Μέσης Τιμής (ΜΣΜΤ). Κριτήριο αξιολόγησης 2 - Έμμεσες μετρήσεις 1. Γνωρίζοντας ότι: να βρείτε το (a±δa). a=2s/t 2 (S±δS): (100±1) cm (t±δt):(10,5±0,1) s 2. Γνωρίζοντας ότι: Δθ=θ 2 -θ 1 (θ 2 ±δθ 2 ): (100±1) 0 C (θ 1 ±δθ 1 ): (90±1) 0 C να βρείτε το (Δθ±δΔθ). 3. Αν η πειραματική τιμή ενός μεγέθους είναι 51,0 cm και η αληθινή 50,0 cm, βρείτε τη διαφορά επί τοις % ως προς την αληθινή τιμή. Απαντήσεις 1. a=2s/t 2 =2*100 cm/(10,5 s) 2 =1, cm/s 2 Άρα, (a±δa): (1,81±0,05) cm/s Δθ=θ 2 θ 1 =100 0 C-90 0 C=10 0 C δδθ=δθ 1 +δθ 2 =1 0 C+1 0 C=2 0 C Άρα, (Δθ±δΔθ): (10±2) 0 C. 3.. Κριτήριο αξιολόγησης 3 - Γραφικές Παραστάσεις 1. Στην 1 η γραφική παράσταση [Εικόνα Εισ.7(α)]φαίνεται το διάστημα που διανύει ένα σώμα σε σχέση με το χρόνο. a) Να βρεθεί η κλίση της ευθείας. b) Πόσο διάστημα έχει διανύσει το σώμα σε 20 s; c) Πόσο χρόνο χρειάζεται για να διανύσει 130 m; 2) Στη 2 η γραφική παράσταση [Εικόνα Εισ.7(β)]να βρεθεί η κλίση της καμπύλης στη θέση V=1V με τη βοήθεια της εφαπτομένης που έχει χαραχθεί στη θέση αυτή. 30

32 3) Στην 3 η γραφική παράσταση [Εικόνα Εισ.7(γ)]να βρεθεί η κλίση της καμπύλης στη θέση t=10 h με τη βοήθεια της εξίσωσής της. Εικόνα Εισ.7 Γραφικές παραστάσεις - Ερώτηση Κριτηρίου Αξιολόγησης 3 Εισαγωγής. Απαντήσεις 1. a) Παίρνω δύο σημεία πάνω στην ευθεία ΑΒ, όπως φαίνεται στην Εικόνα Εισ.8(α). Φτιάχνω το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και διαιρώ την κατακόρυφη πλευρά ΑΓ προς την οριζόντια ΒΓ. Έχω:. b) Όπως βλέπω στην Εικόνα Εισ.8(β), στα 20 s το σώμα έχει διανύσει 52 m. Εικόνα Εισ.8 Γραφικές παραστάσεις - Απάντηση Κριτηρίου Αξιολόγησης 3 Εισαγωγής. c) Το σώμα για να διανύσει 130 m χρειάζεται 50 s

33 Παίρνω δύο σημεία πάνω στην εφαπτομένη ΑΒ. Φτιάχνω το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και διαιρώ την κατακόρυφη πλευρά ΑΓ προς την οριζόντια ΒΓ. Έχω:. 3. Παραγωγίζω την εξίσωση 26x 2 +13x+4 και έχω 52x+13. Αντικαθιστώ όπου x το 10, και έχω 533. Άρα, η κλίση είναι 533 m/h. 32

34 Άσκηση 1 Μέτρηση του συντελεστή γραμμικής διαστολής του υλικού μιας μεταλλικής ράβδου Σύνοψη Αυτή είναι μια από τις πρώτες ασκήσεις που κάνεις στο εργαστήριο Φυσικής Ι, γι αυτό καλό είναι να μάθεις ότι κάθε άσκηση έχει κάποιο σκοπό. Σκοπός της συγκεκριμένης άσκησης είναι ο έμμεσος υπολογισμός του συντελεστή γραμμικής διαστολής του υλικού μιας ομογενούς μεταλλικής ράβδου. Προαπαιτούμενη γνώση Από κάποιο βιβλίο Φυσικής, δικό σου ή της βιβλιοθήκης, μπορείς να διαβάσεις τα εξής: γραμμική διαστολή θερμική ισορροπία μεταξύ δύο σωμάτων, μεταβολή ωμικής αντίστασης με τη θερμοκρασία, τι είναι ημιαγωγός (λίγα πράγματα), Θεωρία Σφαλμάτων (προτείνουμε το βιβλίο του εργαστηρίου). Τα όργανα που πρόκειται να χρησιμοποιήσεις στο πείραμα είναι: τρεις μεταλλικοί σωλήνες: α) χαλκός β) αλουμίνιο γ) ορείχαλκος, ένα διαστολόμετρο του οποίου το μέγιστο σφάλμα είναι 0,01 mm, (Αυτό προκύπτει ως εξής: όταν το στέλεχος υποχωρήσει κατά 1 mm, τότε η βελόνα κάνει μια περιστροφή που αντιστοιχεί σε 100 υποδιαιρέσεις. Άρα, μια υποδιαίρεση αντιστοιχεί σε 1/100 mm.) συσκευή παραγωγής ατμών Η 2 Ο (ατμογεννήτρια), ψηφιακό πολύμετρο. Με το ψηφιακό πολύμετρο θα μετρήσουμε τις ωμικές αντιστάσεις ενός ημιαγωγού που λέγεται Thermistor. Από την τιμή της αντίστασης θα υπολογίσουμε τη θερμοκρασία του ημιαγωγού, διότι γνωρίζεις ότι η ωμική αντίσταση συνδέεται με τη θερμοκρασία του υλικού με τη σχέση: R θ =R 0 (1 + κ Δθ). Για μεταλλικούς αγωγούς κ 0. Για τους ημιαγωγούς κ 0. Επειδή το Thermistor είναι ημιαγωγός, η ωμική του αντίσταση ελαττώνεται όσο αυξάνει η θερμοκρασία του και αντίστροφα. Αυτό θα σου χρειαστεί, για να καταλάβεις τη συμπεριφορά του ημιαγωγού στις μετρήσεις που θα κάνεις. 1.1 ΘΕΩΡΙΑ Αν έχουμε μια μεταλλική ισοτροπική ράβδο με αρχικό μήκος l 0 και θερμοκρασία θ 1 σε όλο το μήκος της και της προσφέρουμε ποσά θερμότητας με τέτοιο ρυθμό, ώστε η θερμοκρασία της να αυξάνει ομοιόμορφα σε όλο το μήκος της, τότε το αποτέλεσμα της προσφοράς θερμότητας είναι η αύξηση του μήκους της ράβδου (Young, 1994). Γιατί συμβαίνει αυτό; Η επιμήκυνση οφείλεται στην αύξηση της μέσης κινητικής ενέργειας των μορίων, άρα και των μεταξύ τους αποστάσεων. Αν θ 2 είναι η νέα θερμοκρασία και l 0 +Δl το νέο μήκος, τότε πειραματικά βρίσκουμε ότι ισχύει η σχέση: δηλαδή η επιμήκυνση Δl: Δl=αl 0 (θ 2 -θ 1 ) Δl=αl 0 Δθ, (1.1) 33

35 Είναι ανάλογη του αρχικού μήκους l 0 της ράβδου. Είναι ανάλογη της μεταβολής θερμοκρασίας Δθ. Εξαρτάται από το υλικό της ράβδου και την περιοχή των θερμοκρασιών. Το α του τύπου (1.1) ονομάζεται συντελεστής γραμμικής διαστολής του υλικού της ράβδου. Είναι μια ιδιότητα του υλικού και εξαρτάται μόνο από το υλικό και τη θερμοκρασία που αυτό έχει. Φυσική σημασία του συντελεστή α. Τι εκφράζει ο συντελεστής α; a 0 1m 1 1 a 1m 1grad grad grad (1.2) Αν βάλεις l 0 =1 m και Δθ=1 grad, τότε α=δl. Άρα, ο συντελεστής α εκφράζει την επιμήκυνση της μονάδας μήκους του υλικού για μεταβολή θερμοκρασίας 1 grad. Π Α Ρ Α Τ Η Ρ Η Σ Η Μετράμε τη θερμοκρασία σε βαθμούς Κελσίου ( ο C) ή σε βαθμούς Κέλβιν (K). Μετράμε τη διαφορά θερμοκρασίας σε grad, δηλαδή σκέτους βαθμούς, μια και η διαφορά θερμοκρασίας είναι ίδια είτε έχω βαθμούς Κελσίου είτε έχω βαθμούς Κέλβιν. Παράδειγμα: Αν δουλέψω σε Κελσίου, Θ α =20 o C και Θ τ =30 o C, τότε ΔΘ=10 o C, δηλαδή 10 grad. Αν δουλέψω σε Κέλβιν, Θ α =( ) Κ και (Θ τ =273+30) Κ, τότε πάλι ΔΘ=10 Κ, δηλαδή πάλι 10 grad. 1.2 ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ Πειραματική διάταξη Η Εικόνα 1.1 παρουσιάζει την πειραματική διάταξη της άσκησης. Εικόνα 1.1 Πειραματική διάταξη της άσκησης 1. 34

36 Το πείραμα της μέτρησης του συντελεστή θερμικής διαστολής Βίντεο Το βίντεο δείχνει την πειραματική διάταξη και πώς γίνονται οι μετρήσεις που είναι απαραίτητες για τον υπολογισμό του συντελεστή θερμικής διαστολής. Βίντεο 1.1 Πειραματική διάταξη και μετρήσεις της άσκησης Μέτρηση μεγεθών Για να κάνεις τον έμμεσο υπολογισμό του συντελεστή α από τον τύπο (1.2), θα πρέπει να μετρή- σεις τα μεγέθη Δl, l 0, Δθ: a 0 Το l 0 είναι το ίδιο για όλους τους σωλήνες και ισούται με το μήκος της βάσης πάνω στην οποία τους βάζεις, l 0 =350 mm. Το Δl θα μετρηθεί από το διαστολόμετρο. Θυμήσου: Κάθε μία υποδιαίρεση αντιστοιχεί σε επιμήκυνση 1/100 mm. Άρα, αν το όργανο δείξει διαστολή, π.χ. 37 υποδιαιρέσεις, τότε Δl=0,37 mm. Το Δθ=θ 2 -θ 1 είναι μια παράξενη (ίσως) μέτρηση. Για να μετρήσεις τη θερμοκρασία θ 1 της ράβδου, φέρνεις σε καλή επαφή τη ράβδο με έναν ημιαγωγό που λέγεται Thermistor. Αυτό γίνεται, αν βιδώσεις πάνω στη ράβδο ένα καλώδιο στην άκρη του οποίου βρίσκεται το Thermistor. Υποθέτουμε ότι η ράβδος και το Thermistor αποκτούν την ίδια θερμοκρασία. Με το πολύμετρο θα μετρήσεις την αντίσταση του ημιαγωγού R 1. Με ένα πρόγραμμα στον Η/Υ θα βρεις σε ποια θερμοκρασία θ ο 1 C αντιστοιχεί η αντίσταση R 1. Λόγω θερμικής ισορροπίας μεταξύ ράβδου και ημιαγωγού δέχεσαι ότι η θερμοκρασία της ράβδου είναι θ ο 1 C. Στη συνέχεια, θα διαβιβάζεις ατμό Η 2 Ο μέσα στον σωλήνα. Μόλις σταματήσει η διαστολή, θα μετρήσεις το Δl με το διαστολόμετρο και την R 2 με το πολύμετρο. Έχεις τώρα όλα τα στοιχεία για τους υπολογισμούς σου και ξεκινάς το πείραμα Βήματα 1. Βάζεις ένα σωλήνα πάνω στη βάση υποδοχής. Το μήκος του είναι l 0 =350 mm. 2. Στερεώνεις το Thermistor στην υποδοχή που βρίσκεται στο μέσο του σωλήνα. Φροντίζεις ώστε το καλώδιο να είναι παράλληλο με το σωλήνα για καλύτερη επαφή ημιαγωγού και σωλήνα. Το σκεπάζεις με ένα θερμομονωτικό κάλυμμα. 3. Συνδέεις τις άκρες των καλωδίων του Thermistor με το πολύμετρο και μετράς τη R 1 την οποία καταχωρείς στον Πίνακα Μηδενίζεις το διαστολόμετρο, ώστε η βελόνα να δείχνει το μηδέν της κλίμακας. Αυτό γίνεται με περιστροφή του εξωτερικού δακτυλίου του οργάνου. 5. Όταν η γεννήτρια ατμών είναι έτοιμη, την συνδέεις με το σωλήνα. Φροντίζεις να δώσεις μια κλίση στη συσκευή, ώστε τυχόν υγροποιημένοι ατμοί να βγαίνουν από την άλλη άκρη του σωλήνα. 6. Αφήνεις να περάσει ατμός όση ώρα χρειάζεται για να σταματήσει η διαστολή. 7. Από το διαστολόμετρο διαβάζεις την ένδειξη, π.χ. 87 γραμμές, και γράφεις Δl=0,87 mm. Ταυτόχρονα, διαβάζεις την ένδειξη του πολύμετρου, π.χ. R 2 =3,4 kω. Τα καταχωρείς στον Πίνακα Επαναλαμβάνεις τα βήματα 1-7 και για τους άλλους σωλήνες και καταχωρείς τις μετρήσεις στον Πίνακα ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 35

37 Θα γράψεις τα παρακάτω στο τετράδιο του εργαστηρίου πριν το πείραμα: Τίτλος άσκησης: Όνομα: Ημερομηνία: Σκοπός: Παρατήρηση: Εκτός από το τελικό αποτέλεσμα, θα πρέπει να φαίνονται και οι αντικαταστάσεις με τις μονάδες τους. Υλικό l 0 (mm) R 1 (kω) Δl (mm) R 2 (kω) Χαλκός 350 Ορείχαλκος 350 Αλουμίνιο 350 Πίνακας 1.1 Πειραματικά Δεδομένα. Από τις τιμές R 1 και R 2 υπολογίζεις τις αντίστοιχες τιμές των θερμοκρασιών θ 1 και θ 2 και τις καταχωρείς στον Πίνακα 1.2. Υλικό θ 1 ( ο C) θ 2 ( ο C) Δθ ( ο C) Χαλκός Ορείχαλκος Αλουμίνιο Πίνακας 1.2 Τιμές Θερμοκρασιών. Με τα δεδομένα του Πίνακα 1.2 υπολογίζεις τις πειραματικές τιμές των συντελεστών διαστολής. Μην ξεχνάς να βάζεις μονάδες. Βάλε τις απαντήσεις σου στον Πίνακα 1.3. Υλικό α (10-6 grad -1 ) Χαλκός Ορείχαλκος Αλουμίνιο Πίνακας 1.3 Πειραματικές τιμές συντελεστών διαστολής. 36

38 Έλεγχος αποτελέσματος Στο συγκεκριμένο πείραμα έκανες άμεσες μετρήσεις μία (1) μόνο φορά. Ο έλεγχος του αποτελέσματος προτείνουμε να γίνει με τον υπολογισμό της επί τοις % διαφοράς μεταξύ της πειραματικής τιμής που βρήκες και της τιμής που θα χρησιμοποιήσεις από βιβλιογραφία. Οι ΤΒ φαίνονται στον Πίνακα 1.4. Υλικό α (10-6 grad -1 ) Χαλκός 16,8 Ορείχαλκος 19,0 Αλουμίνιο 23,8 Πίνακας 1.4 Τιμές βιβλιογραφίας (ΤΒ). Υπολογίζεις την επί τοις % διαφορά: Συζητάς τα x 1, x 2, x 3 με τους διδάσκοντες του εργαστηρίου. Ποιες θεωρείς πιθανές πηγές σφαλμάτων στην εργασία που έκανες; Άσκηση μέτρησης του συντελεστή θερμικής διαστολής υλικού Βίντεο Το βίντεο παρουσιάζει όλη την άσκηση για τον υπολογισμό του συντελεστή θερμικής διαστολής υλικού (θεωρία, πείραμα, μετρήσεις, υπολογισμούς). Βίντεο 1.2 Παρουσίαση της άσκησης μέτρησης του συντελεστή θερμικής διαστολής υλικού. Βιβλιογραφία Young, H. D. (1994). Πανεπιστημιακή Φυσική τόμος Ι. (παράγραφος 15.3, σ. 420). Αθήνα: Παπαζήση. Κριτήρια αξιολόγησης Κριτήριο αξιολόγησης 1 1. Να υπολογίσετε το συντελεστή γραμμικής διαστολής α του υλικού μιας ράβδου. Δίνονται: a. Επιμήκυνση Δl=0,83 mm, b. Μήκος l=50,0 cm, 37

39 c. Μεταβολή θερμοκρασίας Δθ=80 0 C. 2. Εάν η ΤΒ του συντελεστή γραμμικής διαστολής είναι 12,3x10-6 grad -1 και εσύ βρήκες 11,5x10-6 grad -1, πόση είναι η επί τοις % διαφορά x ως προς την ΤΒ; 3. Η διαφορά θερμοκρασίας μεταξύ του εργαστηρίου και του περιβάλλοντος είναι 3,2 0 C. Πόση είναι η διαφορά αυτή: a. σε Kelvin; b. σε grad; 4. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος; a. Thermistor είναι ένας αγωγός με αρνητικό συντελεστή ηλεκτρικής αντίστασης. b. Η προσφορά θερμότητας σε ένα στερεό στις περισσότερες των περιπτώσεων ελαττώνει την α- πόσταση των μορίων. c. Εάν διπλασιάσω το μήκος μιας ράβδου, θα διπλασιαστεί και ο συντελεστής γραμμικής διαστολής της. d. Ο συντελεστής γραμμικής διαστολής μιας ράβδου εξαρτάται από το υλικό της. e. Η φυσική σημασία του συντελεστή γραμμικής διαστολής είναι ότι δείχνει την επιμήκυνση της μονάδας μήκους συγκεκριμένου υλικού για Δθ=1 grad. Απαντήσεις Η διαφορά είναι πάντα ίδια. Άρα, a) 3,2 Κ, b) 3,2 grad. 4. a) Λάθος. Είναι ένας ημιαγωγός. b) Λάθος. Στις περισσότερες περιπτώσεις αυξάνει την απόσταση. c) Λάθος. Εξαρτάται μόνο από το υλικό και τη θερμοκρασία. d) Σωστό e) Σωστό. 38

40 Άσκηση 2 Υπολογισμός πυκνότητας ομογενούς στερεού Σύνοψη Σκοπός της συγκεκριμένης άσκησης είναι ο υπολογισμός της πυκνότητας του υλικού ενός ομογενούς σώματος. Είναι μια έμμεση μέτρηση και θα γίνει με τη βοήθεια του τύπου της πυκνότητας. Πιθανά οφέλη: εξάσκηση σε δύο χρήσιμα όργανα, το διαστημόμετρο και το μικρόμετρο, εφαρμογή της Θεωρίας Σφαλμάτων σε άμεσες και έμμεσες μετρήσεις, εξάσκηση στο φορητό υπολογιστικό μηχάνημα (scientific calculator)και τη στρογγυλοποίηση των αριθμών. Προαπαιτούμενη γνώση: καλή γνώση της λειτουργίας του υπολογιστικού μηχανήματος (scientific calculator)που διαθέτεις, μονάδες μέτρησης μεγεθών και μετατροπές, Θεωρία Σφαλμάτων. 2.1 ΘΕΩΡΙΑ Η πυκνότητα ενός ομογενούς σώματος είναι ένα φυσικό, μονόμετρο μέγεθος που υπολογίζεται από τη σχέση: m V (2.1) όπου: m = η μάζα του σώματος (kg), V = ο όγκος (m 3 ). Φυσική σημασία της πυκνότητας Η πυκνότητα δείχνει τη μάζα που έχει μια μονάδα όγκου του σώματος. Στο SI (Système International d Unités/Διεθνές Σύστημα Μονάδων) αν V=1 m 3, τότε ρ=m. Η πυκνότητα δεν εξαρτάται από το σχήμα ή τη μάζα του σώματος. Είναι ιδιότητα του υλικού για μια δεδομένη περιοχή θερμοκρασιών (Young, 1994). Η επιλογή του κατάλληλου οργάνου για κάθε μέτρηση εξαρτάται από πολλούς παράγοντες, όπως τις διαστάσεις του δείγματος, την απαιτούμενη ακρίβεια και πολλούς άλλους παράγοντες που με τον χρόνο και την εμπειρία θα κατανοήσεις καλύτερα. 2.2 ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ Όργανα του πειράματος Παρακάτω παρουσιάζονται τα όργανα που θα χρησιμοποιήσεις στη συγκεκριμένη άσκηση. (Αναλυτικότερα, παρουσίαση και μετρήσεις με τα συγκεκριμένα όργανα, βλ. Παράρτημα Γ του παρόντος βιβλίου.) I. Διαστημόμετρο ή παχύμετρο 39

41 Εικόνα 2.1 Διαστημόμετρο ή παχύμετρο. Περιγραφή Το παχύμετρο του εργαστηρίου έχει μικρότερη υποδιαίρεση (ακρίβεια) 0,05 mm και μπορεί να μετρήσει διάστημα μέχρι 150 mm. Αποτελείται από δύο τμήματα: στο ένα υπάρχει η κύρια κλίμακα, ενώ στο άλλο η κλίμακα του βερνιέρου. Ο βερνιέρος γλιστρώντας μπορεί να μετακινηθεί πάνω στην κύρια κλίμακα. Εάν βιδώσεις την ασφάλεια, μπορείς να εμποδίσεις αυτή τη μετακίνηση. (Η Εικόνα 2.1 δείχνει τα μέρη του.) II. Μικρόμετρο Εικόνα 2.2 Μικρόμετρο. Περιγραφή Το μικρόμετρο του εργαστηρίου έχει μικρότερη υποδιαίρεση (ακρίβεια) 0,01 mm και μπορεί να μετρήσει διάστημα μέχρι 25 mm. Αποτελείται από δύο τμήματα: στο ένα υπάρχει η κύρια κλίμακα, ενώ στο άλλο η κλίμακα του τυμπάνου. Το τύμπανο περιστρεφόμενο μπορεί να μετακινηθεί πάνω στην κύρια κλίμακα. Αν στρέψεις την ασφάλεια, μπορείς να εμποδίσεις αυτή τη μετακίνηση. Για να κάνεις σωστή μέτρηση, θα πρέπει να περιστρέφεις το τύμπανο από την καστάνια. (Η Εικόνα 2.2 δείχνει τα μέρη του.) III. Ηλεκτρονική ζυγαριά 40

42 Εικόνα 2.3 Ηλεκτρονική ζυγαριά. Περιγραφή Η ηλεκτρονική ζυγαριά έχει μικρότερη υποδιαίρεση 0,01 g και μπορεί να μετρήσει μέχρι 2000 g. (Η Εικόνα 2.3 δείχνει τα βασικά μέρη της.) IV. Κυλινδράκια (των οποίων θα υπολογίσεις την πυκνότητα) Εικόνα 2.4 Κυλινδράκι. Περιγραφή Το μήκος του κυλίνδρου μπορεί να είναι 5-15 cm και η διάμετρός του 5-20 mm. Το υλικό από το οποίο είναι φτιαγμένος μπορεί να είναι αλουμίνιο, σίδηρος, χαλκός ή άλλο υλικό. Στην Εικόνα 2.4 φαίνεται ένα χάλκινο κυλινδράκι από αυτά που μπορούν να χρησιμοποιηθούν στην άσκηση Μέτρηση μεγεθών Η μέτρηση της μάζας θα γίνει με ηλεκτρονική ζυγαριά. Θεωρούμε ότι μία (1) μέτρηση είναι αρκετή εδώ. Θα παρατηρήσεις το μέγιστο σφάλμα του οργάνου. Μέτρηση της μάζας του κυλίνδρου Βίντεο Το βίντεο δείχνει πώς μετρώ τη μάζα του κυλίνδρου με την ηλεκτρονική ζυγαριά. Βίντεο 2.1 Μέτρηση μάζας κυλίνδρου. 41

43 Η μέτρηση του ύψους του κυλίνδρου θα γίνει με το διαστημόμετρο μία (1) φορά. Λογικό είναι να ρωτήσεις γιατί μία και όχι τριάντα φορές. Μέτρηση του ύψους του κυλίνδρου Βίντεο Το βίντεο δείχνει πώς μετρώ το ύψος του κυλίνδρου με το διαστημόμετρο. Βίντεο 2.2 Μέτρηση ύψους κυλίνδρου. Ο υπολογισμός της διαμέτρου του κυλίνδρου θα γίνει έπειτα από αρκετές μετρήσεις. Αυτό κρίνεται απαραίτητο διότι ο κύλινδρος δεν έχει παντού την ίδια διάμετρο. Μέτρησης της διαμέτρου του κυλίνδρου Βίντεο Το βίντεο δείχνει πώς μετρώ τη διάμετρο του κυλίνδρου με το μικρόμετρο. Βίντεο 2.3 Μέτρηση διαμέτρου κυλίνδρου. 2.3 ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Θα γράψεις τα παρακάτω στο τετράδιο του εργαστηρίου πριν το πείραμα: Τίτλος άσκησης: Όνομα: Ημερομηνία: Σκοπός: Παρατήρηση Εκτός από το τελικό αποτέλεσμα, θα πρέπει να φαίνονται και οι αντικαταστάσεις με τις μονάδες τους. 1. Παρατηρείς το μέγιστο σφάλμα του διαστημόμετρου. Κάνεις μία (1) μέτρηση του ύψους και γράφεις το αποτέλεσμα με τη μορφή L δl στο Διεθνές Σύστημα Μονάδων (SI): m. 2. Παρατηρείς το μέγιστο σφάλμα του μικρομέτρου. Κάνεις Ν=.. μετρήσεις της διαμέτρου σε διάφορα σημεία του σώματος. 3. Καταχωρείς τις μετρήσεις της διαμέτρου στον Πίνακα 2.1. d 1 (mm) d 2 (mm) d 3 (mm) d 4 (mm) d 5 (mm) d 6 (mm) d 7 (mm) d 8 (mm) d 9 (mm) d 10 (mm) Πίνακας 2.1 Μετρήσεις διαμέτρου. Υπολογισμός μέσης τιμής και σφάλματος. Βίντεο Το βίντεο δείχνει πώς υπολογίζω τη μέση τιμή και το Μέσο Σφάλμα της Μέσης Τιμής (ΜΣΜΤ) με την αριθμομηχανή των Windows 7. Βίντεο 2.4 Υπολογισμός μέσης τιμής και ΜΣΜΤ με την αριθμομηχανή των Windows7. 4. Υπολογίζεις τη μέση τιμή των διαμέτρων 5. Υπολογίζεις επίσης το Μέσο Σφάλμα της Μέσης Τιμής (ΜΣΜΤ) δd= mm. 42

44 6. Γράφεις την απάντηση με τη μορφή. Τι σημαίνει αυτός ο τρόπος γραφής του αποτελέσματος; 7. Υπολογίζεις τον όγκο 2 d V L 4 Επισήμανση: Το να βάζεις σωστές μονάδες είναι μια προστασία για σωστό αποτέλεσμα. (2.2) 8. Ζυγίζεις το σώμα. Παρατηρείς το μέγιστο σφάλμα του οργάνου. Γράφεις το αποτέλεσμα. 9. Υπολογίζεις την πυκνότητα (χωρίς τα σφάλματα). m±δm= kg ρ... π kg 3 m 10. Από κάποιο πίνακα ιδιοτήτων αντιγράφεις την ΤΒ της πυκνότητας του συγκεκριμένου υλικού. ρ... ΤΒ kg 3 m 11. Υπολογίζεις την επί τοις % διαφορά της πειραματικής τιμής ως προς ΤΒ. X T. B T. B 100% Γράψε: Χ=..%. 12. Υπολογίζεις το απόλυτο σφάλμα του όγκου: V 2d L ( ) V d L και γράφεις V±δV. στο SI. 13. Υπολογίζεις το απόλυτο σφάλμα της πυκνότητας: m V ( ) m V και γράφεις την τελική απάντηση kg.. ( ) 3 m... στο SI. 14. Σχολιάζεις την πειραματική διαδικασία και το αποτέλεσμα του πειράματος με τους υπεύθυνους του εργαστηρίου. 43

45 Η άσκηση της μέτρησης της πυκνότητας στερεού Βίντεο Το βίντεο παρουσιάζει όλη την άσκηση για τον υπολογισμό της πυκνότητας στερεού (θεωρία, πείραμα, μετρήσεις, υπολογισμούς). Βίντεο 2.5 Παρουσίαση της άσκησης υπολογισμού της πυκνότητας στερεού. Βιβλιογραφία Young, H. D. (1994). Πανεπιστημιακή Φυσική τόμος Ι. (παράγραφος 14.1, σ. 382). Αθήνα: Παπαζήση. Κριτήρια αξιολόγησης Κριτήριο αξιολόγησης 1 1. Αν η διάμετρος ενός κυλίνδρου είναι (2,0020,001) cm και το ύψος του (20,040,02) cm να βρεθεί: a) ο όγκος του κυλίνδρου V σε cm 3, b) το σχετικό σφάλμα του δv/v. 2. a) Αν η μάζα ενός σώματος είναι 15,02 g και ο όγκος του 2,002 cm 3, πόση είναι η πυκνότητά του σε g/cm 3 ; b) Η πυκνότητα ενός σώματος είναι 0, g/mm 3. Πόση είναι η πυκνότητά του στο SI, δηλαδή σε kg/m 3 ; 3. Εάν η ΤΒ της πυκνότητας είναι 6,8 g/cm 3 και εσύ βρήκες 7,4 g/cm 3, πόση είναι η επί τοις % διαφορά x ως προς την ΤΒ; 4. Με τη βοήθεια της παρακάτω εικόνας γράψε το μήκος του κυλίνδρου με τη μορφή LδL στο SI. 44

46 Εικόνα 2.5 Μήκος κυλίνδρου - Ερώτηση Κριτηρίου Αξιολόγησης 1 άσκησης Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος; a) Η πυκνότητα εξαρτάται από τη μάζα του σώματος. b) Η πυκνότητα εξαρτάται από το υλικό του σώματος. c) Η πυκνότητα δείχνει τη μάζα που έχει μια μονάδα όγκου του σώματος. Απαντήσεις 1. a) b) 2. a) b) 3. 45

47 4. Εικόνα 2.6 Μήκος κυλίνδρου - Απάντηση Κριτηρίου Αξιολόγησης άσκησης a) Λάθος b) Σωστό c) Σωστό. 46

48 Άσκηση 3 Υπολογισμός του μέτρου της ταχύτητας και της επιτάχυνσης Σύνοψη Σκοπός της συγκεκριμένης άσκησης είναι ο υπολογισμός του μέτρου της στιγμιαίας ταχύτητας και της επιτάχυνσης ενός υλικού σημείου (σώματος) που εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση επάνω σε κεκλιμένο επίπεδο. Η ταχύτητα θα υπολογιστεί με δύο τρόπους: α) ως κλίση ευθείας που εφάπτεται της πειραματικής καμπύλης απόστασης χρόνου, β) από άμεση μέτρηση της απόστασης που διανύει το σώμα για συγκεκριμένο (μικρό) χρονικό διάστημα. Η επιτάχυνση θα υπολογιστεί με δύο τρόπους: α) ως κλίση της ευθείας ταχύτητας χρόνου, β) θεωρητικά, από τους αντίστοιχους νόμους της Φυσικής. Τα όργανα που θα χρησιμοποιήσεις στο πείραμα είναι: τράπεζα κίνησης, αμαξίδια, αισθητήρας κίνησης, λογισμικό καταγραφής δεδομένων Data Studio. Πιθανά οφέλη: Να μάθεις να κατασκευάζεις γραφικές παραστάσεις. Να συνειδητοποιήσεις τι πληροφορίες μπορείς να πάρεις και τι συμπεράσματα μπορείς να βγάλεις από τις γραφικές παραστάσεις. Να εκτιμήσεις την επιτάχυνση της βαρύτητας στο σημείο που βρίσκεσαι. Προαπαιτούμενη γνώση: νόμοι της ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης, δυναμική υλικού σημείου, καταγραφή δεδομένων με το Data Studio, κατασκευή γραφικών παραστάσεων. 3.1 ΘΕΩΡΙΑ Ένα σώμα μάζας m κινείται πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο που σχηματίζει γωνία θ με το οριζόντιο επίπεδο (Εικόνα 3.1). Αν αγνοήσουμε τις τριβές (που θεωρούμε αμελητέες στο σημερινό μας πείραμα), τότε οι δυνάμεις που ασκούνται οποιαδήποτε στιγμή πάνω του είναι το βάρος του B mg και η αντίδραση από το επίπεδο προς το σώμα N. Η κίνηση του σώματος γίνεται με επιτάχυνση η οποία δίδεται από τον θεμελιώδη νόμο της Μηχανικής F ma. Αναλύουμε το βάρος σε δύο συνιστώσες: μία κάθετη στο κεκλιμένο επίπεδο: Β y =Βcos(θ) =mgcos(θ) και μία παράλληλη σε αυτό: Β x =Βsin(θ) =mgsin(θ). 47

49 Στη συνέχεια, εφαρμόζοντας το θεμελιώδη νόμο της Μηχανικής για δύο άξονες, έναν παράλληλο και έναν κάθετο στο κεκλιμένο επίπεδο, έχουμε: Β y =N B x =mα α=g sin(θ), όπου (3.1) Η συνιστώσα Β x είναι σταθερή. Άρα, η επιτάχυνση α του σώματος είναι και αυτή σταθερή. Επομένως, το σώμα εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση κατά μήκος του κεκλιμένου επιπέδου. Εικόνα 3.1 Κεκλιμένο επίπεδο. Θυμίζουμε τις γνωστές σχέσεις (Young, 1994) που δίνουν τη στιγμιαία θέση x και τη στιγμιαία ταχύτητα u ενός σώματος στην ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση μια χρονική στιγμή t: u=u o +αt (3.2) x=u o t+ 2 1 αt 2, (3.3) όπου u 0 είναι η αρχική ταχύτητα του κινητού τη χρονική στιγμή t=0. Επομένως, η γραφική παράσταση ταχύτητας χρόνου είναι μια ευθεία γραμμή, ενώ εκείνη της απόστασης χρόνου είναι μια παραβολή. Στιγμιαία ταχύτητα Για ένα υλικό σημείο η στιγμιαία ταχύτητα ορίζεται ως ένα φυσικό διανυσματικό μέγεθος το οποίο: Έχει σημείο εφαρμογής το σημείο αυτό. Είναι εφαπτόμενο της τροχιάς στο ίδιο σημείο. Έχει φορά που συμπίπτει με τη φορά της κίνησης. Έχει μέτρο: Σχόλιο: Ο τύπος (3.4) περιέχει τη μαθηματική έννοια του ορίου με παρονομαστή που πάει να γίνει μηδέν, κάτι που έχει προβληματίσει πολύ κόσμο. (3.4) 48

50 Απορία: Αφού η ταχύτητα είναι στιγμιαία, δηλαδή αναφέρεται στη συγκεκριμένη στιγμή t 1, τι είναι η διάρκεια Δt; Απάντηση: Ο Μαθηματικός λέει ότι το Δt τείνει στο μηδέν. Εμείς αυτό το εννοούμε ως εξής: Το χρονικό διάστημα Δt μπορεί να είναι τόσο μικρό, όσο μας επιτρέπουν τα όργανα παρατήρησης δύο διακριτών διαδοχικών θέσεων του κινητού. Συμπέρασμα Για να ικανοποιήσουμε τον ορισμό του ορίου στον τύπο (3.4), πρέπει να έχουμε ένα γρήγορο καταγραφικό σύστημα διαδοχικών θέσεων του κινητού σε γνωστά χρονικά διαστήματα. Έναν τέτοιο μηχανισμό διαθέτει και το σημερινό μας πείραμα. Ονομάζεται αισθητήρας κίνησης και θα τον περιγράψουμε στη συνέχεια. 3.2 ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ Σύντομη περιγραφή της διάταξης του πειράματος Η διάταξη του πειράματος (Εικόνα 3.2) περιλαμβάνει έναν αλουμινένιο διάδρομο κίνησης τον οποίο έχουμε ανασηκώσει από τη μια του άκρη, σε τυχαίο ύψος, στηρίζοντάς τον πάνω σε κατακόρυφο άξονα ο οποίος με την σειρά του προσδένεται σε μεταλλική ακλόνητη βάση. Με αυτόν τον τρόπο, ο διάδρομος αποτελεί ένα α- κίνητο κεκλιμένο επίπεδο. Το αμαξίδιο μπορεί να κινείται στο διάδρομο με πολύ μικρές απώλειες κινητικής ενέργειας από τριβές, εξαιτίας: α) της μικρής επιφάνειας επαφής των άκαμπτων τροχών του με τον διάδρομο και β) της στήριξης του άξονα των τροχών σε σφαιρίδια με πολύ μικρή τριβή κύλισης (ρουλεμάν). Ο αισθητήρας κίνησης είναι τοποθετημένος στο ανυψωμένο άκρο του διαδρόμου κίνησης. Δουλεύει ως εξής: Στέλνει περιοδικά υπερηχητικούς παλμούς προς το κινητό. Οι παλμοί ανακλώνται στην επιφάνεια του κινητού και επιστρέφουν στον αισθητήρα ο οποίος τους ανιχνεύει. Υπολογίζει, έτσι, το μέτρο της ταχύτητας και τη θέση του κινητού σε συνάρτηση με το χρόνο. Εικόνα 3.2 Πειραματική διάταξη της άσκησης 3. 49

51 Εικόνα 3.3 Οθόνη του Data Studio. Πειραματική διάταξη και μετρήσεις άσκησης 3 Βίντεο Το βίντεο δείχνει τη διάταξη του πειράματος και πώς παίρνονται οι μετρήσεις που χρειάζονται για τον υπολογισμό του μέτρου της ταχύτητας και της επιτάχυνσης. Βίντεο 3.1 Πείραμα της άσκησης Βήματα 1. Για να εμφανιστεί το κατάλληλο πρόγραμμα στην οθόνη του Η/Υ, ανοίγεις από την επιφάνεια εργασίας το φάκελο MAGOS. 2. Επιλέγεις το πρόγραμμα MAGOS που έχει τον ίδιο αριθμό με την άσκηση που θα κάνεις. 3. Τοποθετείς το αμαξίδιο έτσι, ώστε το μέσον του να βρίσκεται σε απόσταση περίπου 20 cm από τον αισθητήρα κίνησης. 4. Αφήνεις το αμαξίδιο ελεύθερο και αμέσως πατάς το κουμπί Start στο Data Studio, οπότε αρχίζει η καταγραφή των δεδομένων απόστασης ταχύτητας. Τη στιγμή που ξεκινά η καταγραφή, το αμαξίδιο έχει μη μηδενική ταχύτητα, οπότε η κίνηση που καταγράφεται είναι ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη με αρχική ταχύτητα. 5. Λίγο πριν το αμαξίδιο φτάσει στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου, πατάς το κουμπί Stop, για να σταματήσει η καταγραφή. Η οθόνη του υπολογιστή σου πρέπει να έχει διαμορφωθεί όπως στην Εικόνα 3.3. Βλέπεις τη γραφική παράσταση ταχύτητας χρόνου (velocity time) και τον πίνακα μετρήσεων απόστασης χρόνου (position time). 3.3 ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Θα γράψεις τα παρακάτω στο τετράδιο του εργαστηρίου πριν το πείραμα: 50

52 Τίτλος άσκησης: Όνομα: Ημερομηνία: Σκοπός: Παρατήρηση: Εκτός από το τελικό αποτέλεσμα, θα πρέπει να φαίνονται και οι αντικαταστάσεις με τις μονάδες τους Πειραματικό μέρος Α : Υπολογισμός του μέτρου της ταχύτητας (με δύο τρόπους) Από τον πίνακα μετρήσεων της οθόνης παίρνεις 9 ζεύγη τιμών ανά Δt=0,1 s (π.χ. 0,1 s, 0,2 s, 0,3 s κ.ο.κ) και τα καταχωρείς στον Πίνακα 3.1. Α/Α t (s) x (m) Πίνακας 3.1 Μετρήσεις απόστασης χρόνου. 1ος τρόπος Για μια τυχαία κουκκίδα (π.χ. την 6 η ), καταγράφεις τις θέσεις και τους χρόνους του κινητού λίγο πριν και λίγο μετά. π.χ. Για την 6 η κουκκίδα: x 5 = m x 7 = m Εκτιμάς το μέτρο της στιγμιαίας ταχύτητας από τη σχέση: t 5 = s t 7 = s x7 x5 u... m/ s 6 t t 7 5 (3.5) 2ος τρόπος 1. Με βάση τα δεδομένα του Πίνακα 3.1, κατασκευάζεις τη γραφική παράσταση διαστήματος χρόνου με το πρόγραμμα Excel του υπολογιστή. 2. Γράφεις στο τετράδιο την εξίσωση της παραβολής που σου δίνει ο υπολογιστής: Εξίσωση παραβολής:. 3. Παραγωγίζεις την εξίσωση και θέτεις στη θέση της μεταβλητής x την τιμή του χρόνου (π.χ. της 6 ης κουκκίδας). Η τιμή αυτή της παραγώγου ισούται με την κλίση της παραβολής στο συγκεκριμένο σημείο και εκφράζει το μέτρο της ταχύτητας τη στιγμή εκείνη. u κ = κλίση = m/s Έχεις τώρα δύο τιμές για το μέτρο της ταχύτητας: μία από την τιμή της παραγώγου u κ και μία από τις τιμές του πίνακα την ίδια χρονική στιγμή u Υπολογίζεις τη διαφορά επί τοις % των στιγμιαίων ταχυτήτων που βρήκες για το ίδιο χρονικό σημείο με τις δύο παραπάνω μεθόδους: X % u u u % (3.6) 51

53 3.3.2 Πειραματικό μέρος Β : Υπολογισμός του μέτρου της επιτάχυνσης 1. Στη γραφική παράσταση ταχύτητας χρόνου, με το αριστερό κουμπί του ποντικιού πατημένο, επιλέγεις (κιτρινίζεις) ένα τμήμα της ευθείας όπου, κατά τη γνώμη σου, η κίνηση είναι ομαλά επιταχυνόμενη (όπως φαίνεται στην Εικόνα 3.3). 2. Πατάς το κουμπί Fit και επιλέγεις το Linear, ώστε το λογισμικό να σχεδιάσει την καλύτερη πειραματική ευθεία για τα σημεία που επέλεξες. 3. Διαβάζεις την ένδειξη slope που εμφανίζεται σε καρτέλα στην δεξιά πλευρά του γραφήματος και η οποία ισούται με την κλίση της ευθείας (χωρίς το σφάλμα). Η κλίση αυτή είναι εξ ορισμού ίση με το μέτρο της επιτάχυνσης του αμαξιδίου. κλίση = α = m/s 2 4. Επιπλέον, υπολογίζεις τη θεωρητική τιμή του μέτρου της επιτάχυνσης ως εξής: Μετράς το ύψος του ανασηκωμένου άκρου του κεκλιμένου επιπέδου h, όπως φαίνεται στην Εικόνα 3.1. h= m 5. Γνωρίζοντας ότι το μήκος του κεκλιμένου επιπέδου είναι L=1,22 m, υπολογίζεις την αναμενόμενη θεωρητική τιμή του μέτρου της επιτάχυνσης: h g m/s 2 L (3.7) 6. Συγκρίνεις την μέση τιμή της επιτάχυνσης που βρήκες πειραματικά με την θεωρητική τιμή [που υπολόγισες από τον τύπο(3.7)], και βγάζεις την εκατοστιαία διαφορά: X a a % Η άσκηση της μέτρησης της ταχύτητας και της επιτάχυνσης Βίντεο Το βίντεο παρουσιάζει όλη την άσκηση για τον υπολογισμό του μέτρου της ταχύτητας και της επιτάχυνσης (θεωρία, πείραμα, μετρήσεις, υπολογισμούς). Βίντεο 3.2 Παρουσίαση της άσκησης 3. Βιβλιογραφία Young, H. D. (1994). Πανεπιστημιακή Φυσική τόμ.ι. (παράγραφοι 3.1, 3.2, 3.3, σ ). Αθήνα: Παπαζήση. Κριτήρια αξιολόγησης Κριτήριο αξιολόγησης 1 1. Με τη βοήθεια της Εικόνας 3.4 να βρεις την επιτάχυνση του αμαξιδίου στο SI. 52

54 Εικόνα 3.4 Επιτάχυνση αμαξιδίου Ερώτηση Κριτηρίου Αξιολόγησης 1 άσκησης Εάν το ύψος του κεκλιμένου επιπέδου που σχηματίζει ο διάδρομος είναι 4,4 cm και το μήκος του 1,22 m, υπολογίστε την επιτάχυνση του αμαξιδίου στο SI. (Δίνεται g=9,81 m/s 2 ). 3. Εάν η εξίσωση της γραφικής παράστασης διαστήματος - χρόνου είναι: 0,13x 2 +0,24x+0,11, βρείτε την αριθμητική τιμή της ταχύτητας που έχει το αμαξίδιο τη χρονική στιγμή 0,4. 4. Με τη βοήθεια των τιμών του πίνακα Time (Χρόνου) Position (Θέσης) στην Εικόνα 3.5, βρείτε στο SI την ταχύτητα που έχει το αμαξίδιο, όταν t=0,5 s. Εικόνα 3.5 Πίνακας τιμώνtime - Position Ερώτηση Κριτηρίου Αξιολόγησης 1 άσκησης Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος; a) Στην ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση η γραφική παράσταση ταχύτητας - χρόνου είναι παραβολή. 53

55 b) Για να αλλάξω την κλίμακα των αξόνων της γραφικής παράστασης, κρατώ πατημένο το αριστερό πλήκτρο του ποντικιού πάνω σε κάποιο αριθμό του άξονα και σέρνω το ποντίκι. c) Μονάδα δύναμης στο SI είναι το 1 Ν (Νιούτον). Απαντήσεις 1. Η επιτάχυνση είναι ίση με την κλίση (slope). Όπως φαίνεται στην Eικόνα 3.6, η κλίση m (slope) στο SI είναι 0,320 (m/s 2 ), επειδή στο SI η ταχύτητα στον κατακόρυφο άξονα είναι σε (m/s) και ο χρόνος στον ο- ριζόντιο άξονα είναι σε (s). Εικόνα 3.6 Επιτάχυνση αμαξιδίου Απάντηση Κριτηρίου Αξιολόγησης 1 άσκησης Σύμφωνα με τον τύπο (3.7), έχω: 3. Η ταχύτητα είναι η παράγωγος του διαστήματος ως προς το χρόνο. Παραγωγίζω την εξίσωση και βρίσκω την τιμή της παραγώγου για χρόνο 0,4: (0,13x 2 +0,24x+0,11) =20,13x+0,24. Για x=0,4, έχω: 20,130,4+0,24=0, Σύμφωνα με τον τύπο (3.5) και τις τιμές του πίνακα στην Εικόνα 3.7, έχω: 54

56 Εικόνα 3.7 Πίνακας τιμώνtime - Position Απάντηση Κριτηρίου Αξιολόγησης 1 άσκησης a) Λάθος b) Σωστό c) Σωστό. 55

57 Άσκηση 4 Θεμελιώδης νόμος της Μηχανικής Σύνοψη Η άσκηση αυτή διαφέρει από όλες τις άλλες. Σκοπός της είναι η πειραματική επαλήθευση του θεμελιώδους νόμου της Μηχανικής. Αυτό θα γίνει με τη γραφική ανάλυση των πειραματικών δεδομένων που θα προκύψουν από την ομαδική εργασία σπουδαστών/στριών. Ένα μέλος της ομάδας θα είναι ο συντονιστής των εργασιών. Τα όργανα που θα χρησιμοποιήσεις στο πείραμα είναι: διάδρομος ελαχίστης τριβής, αμαξίδια, αισθητήρας κίνησης, λογισμικό καταγραφής δεδομένων Data Studio. Πιθανά οφέλη: Να μάθεις να εργάζεσαι ως μέλος μιας ομάδας που έχει ένα συγκεκριμένο σκοπό, χαμηλόφωνα, ευγενικά, με λάθη, αλλά και επιτυχίες. Προαπαιτούμενη γνώση: θεμελιώδης νόμος της Μηχανικής, γραφικές παραστάσεις. 4.1 ΘΕΩΡΙΑ Από το θεμελιώδη νόμο της Μηχανικής (ΘΝΜ) γνωρίζουμε ότι, αν σε ένα υλικό σημείο μάζας m 1 ασκηθεί δύναμη F και το σώμα αποκτήσει επιτάχυνση a πάνω στον ίδιο άξονα με την δύναμη (Εικόνα 4.1), τότε ισχύει: a = 1 m1 F (4.1) Η επιτάχυνση που προκύπτει είναι ομόρροπη με τη δύναμη (m 0) και το μέτρο της είναι ανάλογο του μέτρου της δύναμης (Young, 1994). Εικόνα 4.1 Θεμελιώδης Νόμος της Μηχανικής. Στην άσκηση αυτή εμείς θα υποθέσουμε ότι έχουμε αμφιβολίες για το αν ισχύει αυτή η γραμμική σχέση μεταξύ α και F (τύπος 4.1). Σε ένα σώμα σταθερής μάζας m 1 και για διαφορετικές τιμές της δύναμης F 1 κάθε μέλος της ομάδας θα υπολογίσει το μέτρο της αντίστοιχης επιτάχυνσης (Εικόνα 4.2). 56

58 Εικόνα 4.2 Σχηματική διάταξη του πειράματος. Σημείωση: Θα θεωρήσεις αμελητέες τις συνολικές τριβές και αντιστάσεις, διότι η διάρκεια του πειράματος είναι πολύ μικρή και η επίδρασή τους εκ κατασκευής δεν φαίνεται να επηρεάζει αισθητά τις μετρήσεις. Στη συνέχεια, θα κάνεις τη γραφική παράσταση των τιμών (F, α) που βρήκες. Παρατήρηση: Αν τα σημεία που προκύπτουν δίνουν ευθεία γραμμή, τότε πράγματι ο νόμος ισχύει. Αν τα σημεία δε δίνουν ευθεία γραμμή, επειδή ξέρουμε ότι ο ΘΝΜ ισχύει, κάτι δεν πήγε καλά στη συνολική εργασία της ομάδας. Υπολογισμός του μέτρου της F 1 Για την κίνηση του m 1 : Για την κίνηση του m 2 : F 1 = m 1 α W 2 F 2 = m 2 α Η μάζα και η ροπή αδράνειας της τροχαλίας είναι αμελητέες. Άρα, F 1 =F 2. Προσθέτεις κατά μέλη τις (4.2) και (4.3), οπότε: W 2 = m 1 α + m 2 α, W 2 = α (m 1 +m 2 ) (4.2) (4.3) (4.4) Στο πείραμα θα χρησιμοποιήσεις μάζες m 2 κατά πολύ μικρότερες της m 1, m 2 << m 1, οπότε m 1 + m 2 m 1, αφού το m 2 0, ή άρα, η (4.4) δίνει: Από τις (4.2) και (4.5) έχω: W 2 =α m 1. F 1 = W 2 (4.5) (4.6) 57

59 Διευκρίνιση της σχέσης (4.6): Με την παραπάνω προσέγγιση (m 2 0), δε χρησιμοποιούμε πουθενά το ΘΝΜ για τον υπολογισμό της επιτάχυνσης. Υποθέτουμε ότι F 1 =W 2, δηλαδή ότι το βάρος W 2 προκαλεί την επιτάχυνση στη μάζα m 1, και εμείς καταγράφουμε πειραματικά την επιτάχυνση α της μάζας m ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ Η ομάδα ορίζει ποιος θα είναι ο Υπεύθυνος. Κάθε σπουδαστής/τρια μέλος της ομάδας θα κάνει το δικό του πείραμα σε συνεργασία με τον υπεύθυνο εργαστηρίου (lab instructor), με σκοπό να υπολογίσει ένα ζεύγος τιμών μεταξύ της δύναμης F 1 που ασκείται στο αμαξίδιο και της επιτάχυνσης α που προκύπτει Διάταξη του πειράματος Η πειραματική διάταξη παρουσιάζεται στην Εικόνα 4.3. Εικόνα 4.3 Διάταξη του πειράματος Βήματα 1. Για να εμφανιστεί το κατάλληλο πρόγραμμα στην οθόνη του Η/Υ, ανοίγεις από την επιφάνεια εργασίας το φάκελο MAGOS. 2. Επιλέγεις το πρόγραμμα MAGOS που έχει τον ίδιο αριθμό με την άσκηση που θα κάνεις. 3. Τοποθετείς το αμαξίδιο περίπου 20 cm από τον αισθητήρα κίνησης. 4. Αφήνεις το αμαξίδιο ελεύθερο και αμέσως πατάς το κουμπί Start στο Data Studio, οπότε αρχίζει η καταγραφή των δεδομένων χρόνου ταχύτητας. Τη στιγμή που ξεκινά η καταγραφή, το αμαξίδιο έχει αρχική ταχύτητα, οπότε η κίνηση που καταγράφεται είναι ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη με αρχική ταχύτητα. 5. Λίγο πριν το αμαξίδιο φτάσει στο τέλος του διαδρόμου, πατάς το κουμπί Stop, για να σταματήσει η καταγραφή. Η οθόνη του υπολογιστή σου πρέπει να έχει διαμορφωθεί όπως στην Εικόνα

60 Εικόνα 4.4 Δεδομένα χρόνου ταχύτητας στην οθόνη του υπολογιστή. Πειραματική διάταξη και μετρήσεις άσκησης 4 Βίντεο Το βίντεο δείχνει τη διάταξη του πειράματος και πώς παίρνονται οι μετρήσεις που χρειάζονται για την επαλήθευση του θεμελιώδους νόμου της μηχανικής. Βίντεο 4.1 Πείραμα άσκησης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Θα γράψεις τα παρακάτω στο τετράδιο του εργαστηρίου πριν το πείραμα: Τίτλος άσκησης: Όνομα: Ημερομηνία: Σκοπός: Παρατήρηση: Εκτός από το τελικό αποτέλεσμα, θα πρέπει να φαίνονται και οι αντικαταστάσεις με τις μονάδες τους. 1. Κάθε σπουδαστής της ομάδας διαλέγει μια μάζα m 2 και την καταγράφει στην αναφορά του. m 2 =. kg 59

61 2. Από τη μάζα m 2 υπολογίζεις την F 1 = F 2 = m 2 g στο SI. F 1 = W = N 3. Πάνω στη γραφική παράσταση διαλέγεις μια περιοχή από σημεία τα οποία αποτελούν για σένα ένα ευθύγραμμο τμήμα, του οποίου θα βρεις την κλίση ως προς τον άξονα x. Για να το κάνεις αυτό, μαρκάρεις τα σημεία με το ποντίκι. (Θα κιτρινίσουν.) 4. Στη συνέχεια, πατάς το κουμπί Fit και επιλέγεις το Linear, ώστε το λογισμικό να εξάγει την εξίσωση της ευθείας που προσαρμόζεται καλύτερα στα σημεία αυτά. Διαβάζεις την ένδειξη slope που εμφανίζεται σε καρτέλα στην δεξιά πλευρά του γραφήματος και ισούται με την κλίση της ευθείας. Η κλίση αυτή είναι ίση με το μέτρο της επιτάχυνσης του αμαξιδίου, και γράφεις: α= m/s 2 5. Δίνεις στον Υπεύθυνο της ομάδας σου την απάντησή σου: α 1 = m/s 2 F 1 = N Τι κάνει ο Υπεύθυνος της ομάδας; Ο Υπεύθυνος πρέπει να κατασκευάσει την καλύτερη ευθεία που αντιστοιχεί στα ζεύγη των μετρήσεων που του έδωσαν τα μέλη της ομάδας του. Προκειμένου να το κάνει αυτό: 1. Μαζεύει από κάθε μέλος ξεχωριστά τα ζεύγη των απαντήσεων που προέκυψαν και τα καταχωρεί στον Πίνακα 4.1. α/α (μελών ομάδας) α (m/s 2 ) F (N) Πίνακας 4.1 Αποτελέσματα μελών ομάδας. 2. Σύμφωνα με τις απαντήσεις των μελών της ομάδας του, βαθμονομεί τους άξονες: Στον άξονα Ψ βάζει τις τιμές της επιτάχυνσης α (m/s 2 ). Στον άξονα Χ βάζει τις τιμές της δύναμης F 1 (Ν). 3. Τοποθετεί τα αντίστοιχα πειραματικά σημεία. 4. Σχεδιάζει την καλύτερη καμπύλη για τα σημεία αυτά. 5. Η μεγάλη στιγμή! Αν η πειραματική γραφική παράσταση είναι ευθεία γραμμή, τότε η ομάδα μπορεί να συμπεράνει ότι: η σχέση μεταξύ του μέτρου της επιτάχυνσης και της δύναμης για ένα δεδομένο σώμα είναι γραμμική, δηλαδή ο ΘΝΜ επαληθεύεται μέσα στα όρια των πειραματικών σφαλμάτων. 6. Ανάλογα με τα αποτελέσματα της άσκησης, τα μέλη της ομάδας σχολιάζουν τις αιτίες οι οποίες συνέβαλαν στην επιτυχία ή την αποτυχία του πειράματος. 60

62 Ερώτηση για περίεργους και φιλομαθείς: Τι είναι μάζα σώματος; Απάντηση: Είναι ένα χαρακτηριστικό του σώματος και εκφράζεται ως συντελεστής αναλογίας μεταξύ του μέτρου της δύναμης που ασκείται στο σώμα και του μέτρου της επιτάχυνσης που προκύπτει. Γι αυτό, και ο συντελεστής αυτός μπορεί να μεταβάλλεται. Η μεταβολή αυτή δεν λαμβάνεται υπόψη στην κλασική Φυσική όπου η μάζα θεωρείται σταθερή. Με τη μεταβολή της μάζας σε πολύ υψηλές ταχύτητες ασχολείται η ειδική θεωρία της Σχετικότητας. Άσκηση επαλήθευσης του θεμελιώδους νόμου της Μηχανικής Βίντεο Το βίντεο δείχνει όλη την άσκηση για την επαλήθευση του θεμελιώδους νόμου της Μηχανικής (θεωρία, πείραμα, μετρήσεις). Βίντεο 4.2 Παρουσίαση της άσκησης 4. Βιβλιογραφία Young, H. D. (1994). Πανεπιστημιακή Φυσική τόμ.ι. (παράγραφος 4.3, σ. 89). Αθήνα: Παπαζήση. Κριτήρια αξιολόγησης Κριτήριο αξιολόγησης 1 1. Με τη βοήθεια της Εικόνας 4.5 να βρεις την επιτάχυνση του αμαξιδίου στο SI. Εικόνα 4.5 Δεδομένα χρόνου ταχύτητας Ερώτηση Κριτηρίου Αξιολόγησης 1 άσκησης 4. 61

63 2. Να βρεθεί η επιτάχυνση σε m/s 2 που αποκτά ένα σώμα μάζας 235 g, αν ασκείται πάνω του δύναμη 1,974 N. 3. Εάν η επιτάχυνση του αμαξιδίου είναι 0,5 m/s 2, πόση είναι σε cm/s 2 ; 4. Με τη βοήθεια της Εικόνας 4.6 συμπλήρωσε τις σχέσεις: a) F 1 = α, b) W 2 = m 2 α. Εικόνα 4.6 Σχήμα Ερώτηση Κριτηρίου Αξιολόγησης 1 άσκησης Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος; a) Η επιτάχυνση που αποκτά ένα σώμα είναι ανάλογη της δύναμης που ασκείται σε αυτό. b) Η μονάδα βάρους στο SI είναι το 1 kg. c) Για να ισχύει F 1 = W 2, πρέπει m 2 << m 1. Απαντήσεις 1. Η επιτάχυνση είναι ίση με την κλίση (slope). Όπως φαίνεται στην Εικόνα 4.7, η κλίση m (slope) είναι 0,741 στο SI, εφόσον και η ταχύτητα στον κατακόρυφο άξονα και ο χρόνος στον οριζόντιο άξονα είναι στο SI. 62

64 Εικόνα 4.7 Δεδομένα χρόνου ταχύτητας Απάντηση Κριτηρίου Αξιολόγησης 1 άσκησης Σύμφωνα με τον τύπο (4.1), έχω: Θυμήσου: 1 N = 1 kg*m/s ,5 m/s 2 = 0,5x10 2 cm/s 2 = 50 cm/s Εικόνα 4.8 Σχήμα Απάντηση Κριτηρίου Αξιολόγησης 1 άσκησης 4. 63

65 a) F 1 = m 1 α, b) W 2 F 2 = m 2 α. 5. a) Σωστό, (α=f/m). b) Λάθος. Είναι το 1 Ν (Newton). c) Σωστό. 64

66 Άσκηση 5 Υπολογισμός της σταθεράς ελατηρίου Σύνοψη Σκοπός της συγκεκριμένης άσκησης είναι ο υπολογισμός της σταθεράς ενός ελατηρίου. Αυτό θα γίνει με δύο τρόπους: από την κλίση της (πειραματικής) ευθείας από την επιμήκυνση του ελατηρίου από πρόσθετα βάρη, από τον τύπο της περιόδου μιας γραμμικής αρμονικής ταλάντωσης. Τα όργανα που θα χρησιμοποιήσεις στο πείραμα είναι: ελατήρια, μάζες, χρονόμετρο, λογισμικό καταγραφής δεδομένων Data Studio, Excel. Πιθανά οφέλη: Να εμπεδώσεις το γεγονός ότι η κλίση μιας ευθείας - καμπύλης μπορεί να εκφράζει το μέτρο ενός φυσικού μεγέθους. Να εκτιμήσεις τη διαφορά μεταξύ θεωρητικής και πειραματικής καμπύλης που προκύπτει από τις δικές σου μετρήσεις με τις αντίστοιχες πειραματικές αβεβαιότητες. Προαπαιτούμενη γνώση: γραμμική αρμονική ταλάντωση, ελαστικές παραμορφώσεις, νόμος του Hooke, γραφικές παραστάσεις, Data Studio, Excel. 5.1 ΘΕΩΡΙΑ Νόμος του Hooke για ελατήριο Αν ένα ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος, τότε για να μεταβληθεί το μήκος του κατά x, απαιτείται δύναμη μέτρου F = k x (5.1) Η δύναμη πρέπει να έχει διεύθυνση παράλληλη με τον άξονα του ελατηρίου. Το k λέγεται σταθερά του ελατηρίου και εξαρτάται από τα γεωμετρικά στοιχεία και το υλικό του ελατηρίου (Young, 1994). Μονάδα στο SI: k F x N m (5.2) Φυσική σημασία της σταθεράς k: Δείχνει το μέτρο της δύναμης που απαιτείται για να μεταβληθεί το μήκος του ελατηρίου κατά μία (1) μονάδα μήκους. 65

67 Η γραφική παράσταση του νόμου θεωρητικά είναι ευθεία, επειδή η σχέση F = k x είναι πρώτου βαθμού ως προς x. Εσύ, όμως, θα χαράξεις την καλύτερη πειραματική ευθεία, σύμφωνα με τα σημεία των δικών σου μετρήσεων, στην ελαστική περιοχή (Εικόνα 5.1). Εικόνα 5.1 Σχηματική αναπαράσταση του πειράματος. Από ένα τυχαίο τρίγωνο στην πειραματική ευθεία θα υπολογίσεις την κλίση που ισούται με τη σταθερά του ελατηρίου k: F λ= k x (N/m) (5.3) Απλή αρμονική ταλάντωση Έχεις έναν απλό ταλαντωτή που αποτελείται από ένα ελατήριο μάζας Μ και ένα σώμα μάζας m. Αν η ταλάντωση γίνει πάνω σε άξονα Χ, τότε το άθροισμα των αριθμητικών τιμών των δυνάμεων στον άξονα Χ πρέπει να ακολουθεί τη σχέση: ΣF = - k x (5.4) όπου: k: η σταθερά του ελατηρίου, x: η απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας της ταλάντωσης, ΣF: το αλγεβρικό άθροισμα των αριθμητικών τιμών των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα κατά τη διεύθυνση της κίνησης. Η σταθερά k (Young, 1994) είναι ίση με k= m ω k m άρα, T 2 2 m k (5.5) Η σχέση αυτή ισχύει για ιδανικό ελατήριο αμελητέου βάρους. Αν λάβουμε υπόψη και τη μάζα του ελατηρίου Μ, αποδεικνύεται ότι 66

68 T 2 M m 3 k Από τον τύπο (5.6) θα υπολογίσεις τη σταθερά k του ελατηρίου. (5.6) 5.2 ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ Υπολογισμός της σταθεράς του ελατηρίου με το νόμο του Hooke 1. Στερεώνεις τη μία άκρη του ελατηρίου στο άγκιστρο και συνδέεις την άλλη με τον αισθητήρα δύναμης, όπως φαίνεται στην Εικόνα 5.2. Εικόνα 5.2 Πειραματική διάταξη άσκησης Για να εμφανιστεί το κατάλληλο πρόγραμμα στην οθόνη του Η/Υ, ανοίγεις από την επιφάνεια εργασίας το φάκελο MAGOS. 3. Επιλέγεις το πρόγραμμα MAGOS που έχει τον ίδιο αριθμό με την άσκηση που θα κάνεις. Στην οθόνη του υπολογιστή θα εμφανιστεί η Εικόνα

69 Εικόνα 5.3 Οθόνη δυναμόμετρου. 4. Το ελατήριο βρίσκεται παράλληλα με ένα βαθμολογημένο χάρακα. Σημειώνεις την ένδειξη της κλίμακας που αντιστοιχεί στο φυσικό μήκος του ελατηρίου (δηλαδή στο άκρο του ελατηρίου που βρίσκεται στον αισθητήρα δύναμης, χωρίς να έχεις ασκήσει δύναμη-παραμόρφωση). Η ένδειξη κλίμακας θα καταχωρηθεί στον Πίνακα Με το ελατήριο στο φυσικό του μήκος, κρατάς οριζόντιο τον αισθητήρα δύναμης και πατάς το κουμπί Zero που βρίσκεται πάνω στον αισθητήρα δύναμης. Μηδενίζεις, έτσι, τις προηγούμενες μετρήσεις. 6. Πατάς το κουμπί Start στην οθόνη του υπολογιστή σου. Ταυτόχρονα, ασκείς, παράλληλα προς την κίνηση, δύναμη στον αισθητήρα δύναμης μέχρι το μήκος του ελατηρίου να αυξηθεί κατά 100 mm. 7. Καταγράφεις την ένδειξη της δύναμης που βλέπεις στον μετρητή δύναμης στον Πίνακα Επαναλαμβάνεις τα παραπάνω βήματα για νέα επιμήκυνση 100 mm και συμπληρώνεις τον Πίνακα Πατάς το κουμπί Stop. 10. Συμπληρώνεις τον Πίνακα 5.2. Οι επιμηκύνσεις υπολογίζονται αφαιρώντας κάθε φορά την ένδειξη κλίμακας από την ένδειξη του φυσικού μήκους του ελατηρίου. Στη δεύτερη στήλη μεταφέρεις τις τιμές της δύναμης από τον Πίνακα 5.1. Με τα δεδομένα του Πίνακα 5.2 και τη βοήθεια ενός προγράμματος, π.χ. Excel, κατασκευάζεις τη γραφική παράσταση που αντιστοιχεί στις τιμές του Πίνακα Υπολογίζεις την κλίση της ευθείας. 12. Ζητάς να σου δώσουν την τιμή βιβλιογραφίας (ΤΒ) της k. 13. Υπολογίζεις την εκατοστιαία διαφορά της k ως προς την ΤΒ. Το πείραμα υπολογισμού της σταθεράς ελατήριου με το νόμο του Βίντεο Hook Το βίντεο δείχνει τη διάταξη του πειράματος και πώς παίρνονται οι μετρήσεις που χρειάζονται για τον υπολογισμό της σταθεράς ελατηρίου με το νόμο του Hook. 68

70 Βίντεο 5.1 Πείραμα της άσκησης 5 (νόμος του Hook) Υπολογισμός της σταθεράς του ίδιου ελατηρίου από τον τύπο της περιόδου μιας γραμμικής αρμονικής ταλάντωσης 1. Ζυγίζεις κατάλληλη μάζα και τη βάζεις στο κάτω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου. Καταχωρείς την τιμή της μάζας στο τετράδιό σου. m= kg 2. Θέτεις το σύστημα ελατήριο-μάζα σε ταλάντωση. 3. Με ένα χρονόμετρο υπολογίζεις τον χρόνο t ολ που απαιτείται για Ν=.. ταλαντώσεις, άρα t Τ=, Τ=.. s. 4. Ζυγίζεις τη μάζα Μ του ελατηρίου. Μ= 10-3 kg 5. Από τον τύπο (5.6) T M m 2 3 υπολογίζεις το k Τ. k 6. Υπολογίζεις την επί τοις % διαφορά της k Τ ως προς την ΤΒ. (Η ΤΒ παραμένει η ίδια.) Χ Τ =.% 7. Για το ίδιο ελατήριο έχεις τώρα δύο πειραματικές τιμές της σταθεράς k. Ποια μέθοδος έχει τη μικρότερη εκατοστιαία διαφορά ως προς την ΤΒ; Γράψε στο φύλλο εργασίας τις απόψεις σου. Το πείραμα υπολογισμού της σταθερά ελατήριου με γραμμική αρμονική ταλάντωση Βίντεο Το βίντεο δείχνει τη διάταξη του πειράματος και πώς παίρνονται οι μετρήσεις που χρειάζονται για τον υπολογισμό της σταθεράς ελατηρίου με γραμμική αρμονική ταλάντωση. Βίντεο 5.2 Πείραμα της άσκησης 5 (γραμμική αρμονική ταλάντωση). 5.3 ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Θα γράψεις τα παρακάτω στο τετράδιο του εργαστηρίου πριν το πείραμα: Τίτλος άσκησης: Όνομα: Ημερομηνία: Σκοπός: Υπολογισμός σταθεράς του ελατηρίου με το νόμο του Hooke 69

71 1. Συμπληρώνεις τον Πίνακα 5.1 ο οποίος περιέχει τις ενδείξεις της κλίμακας και τα μέτρα της αντίστοιχης δύναμης. α/α Ένδειξη φυσικού μήκους Ένδειξη κλίμακας ελατηρίου (mm) Δύναμη (Ν) 0 Πίνακας 5.1 Ενδείξεις κλίμακας και μέτρα της αντίστοιχης δύναμης. 2. Συμπληρώνεις τον Πίνακα 5.2 ο οποίος περιέχει τις επιμηκύνσεις του ελατηρίου και τα μέτρα των αντίστοιχων δυνάμεων. X (m) F (N) 0 0 0,1 0,2 0,3 0,4 Πίνακας 5.2 Επιμηκύνσεις ελατηρίου και μέτρα αντίστοιχων δυνάμεων. 3. Γράφεις την τιμή της κλίσης της πειραματικής ευθείας. 4. Γράφεις την ΤΒ για το k. 5. Υπολογίζεις την επί τοις % διαφορά της πειραματικής τιμής του k -που εσύ βρήκες- με την TB. 6. Ποιες είναι, κατά τη γνώμη σου, οι αιτίες αυτής της διαφοράς; Υπολογισμός της σταθεράς του ελατηρίου με τη μέθοδο της γραμμικής αρμονικής ταλάντωσης 70

72 1. Μετράς τη μάζα σώματος, m=.10-3 kg. 2. Θέτεις το σύστημα ελατήριο-μάζα σε ταλάντωση. 3. Με ένα χρονόμετρο υπολογίζεις τον χρόνο t ολ που απαιτείται για Ν=.. ταλαντώσεις. Άρα, t Τ=, Τ=.. s. 4. Υπολογίζεις τη μάζα Μ του ελατηρίου. Μ= 10-3 kg 5. Από τον τύπο (5.6) T M m 2 3 υπολογίζεις το k Τ : k 6. Υπολογίζεις την επί τοις % διαφορά της k Τ ως προς την ΤΒ. (Η ΤΒ παραμένει η ίδια.) Χ Τ =.% 7. Για το ίδιο ελατήριο έχεις τώρα δύο πειραματικές τιμές της σταθεράς k. Ποια μέθοδος έχει τη μικρότερη εκατοστιαία διαφορά ως προς την ΤΒ; Γράψε στο φύλλο εργασίας τις απόψεις σου. Η άσκηση υπολογισμού της σταθερά ελατήριου Βίντεο Το βίντεο δείχνει όλη την άσκηση για τον υπολογισμό της σταθεράς ελατηρίου (θεωρία, πείραμα, μετρήσεις, υπολογισμούς). Βίντεο 5.3 Παρουσίαση της άσκησης 5. Βιβλιογραφία Young, H. D. (1994). Πανεπιστημιακή Φυσική τόμ.ι. (παράγραφοι 6.3, 13.5, σ. 151, 360 ). Αθήνα: Παπαζήση. Κριτήρια αξιολόγησης Κριτήριο αξιολόγησης 1 1. Με τη βοήθεια της εξίσωσης της γραφικής παράστασης στην Εικόνα 5.4, να βρεις τη σταθερά του ελατηρίου στο SI. 71

73 Εικόνα 5.4 Εξίσωση γραφικής παράστασης Ερώτηση Κριτηρίου Αξιολόγησης 1 άσκησης Σε ελατήριο μάζας 63 g κρεμάμε μάζα 95 g και το εκτρέπουμε σε ταλάντωση. Εάν o χρόνος 60 πλήρων αιωρήσεων είναι 66 s, βρείτε: a) την περίοδο ταλάντωσης Τ σε s, b) τη σταθερά k του ελατηρίου σε N/m. 3. Σε ελατήριο σταθεράς 3,2 N/m ασκούμε δύναμη 0,768 N. Πόσα mm θα επιμηκυνθεί; 4. Η ένδειξη της άκρης του ελατηρίου σε φυσικό μήκος είναι 100 mm. Τραβώ το ελατήριο και η άκρη του πηγαίνει στην ένδειξη 440 mm. Πόση είναι η επιμήκυνση σε m; 5. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος; a) Η σταθερά του ελατηρίου δείχνει το μέτρο της δύναμης που απαιτείται για να μεταβληθεί το μήκος του κατά μία (1) μονάδα μήκους. b) Η σταθερά του ελατηρίου εξαρτάται από το υλικό από το οποίο είναι φτιαγμένο το ελατήριο. c) Ελατήριο έχει σταθερά 10 N/m. Κόβω το ελατήριο στη μέση. Το κάθε κομμάτι θα έχει πάλι σταθερά 10 N/m. Απαντήσεις 1. Η σταθερά του ελατηρίου είναι ίση με την κλίση της ευθείας. Άρα, 4,36 N/m. 72

74 Εικόνα 5.5 Εξίσωση γραφικής παράστασης Απάντηση Κριτηρίου Αξιολόγησης 1 άσκησης a) T=t/n=66 s/60=1,1 s. b) Δl = l τ -l α = 440 mm 100 mm = 340 mm = 0,34 m. 5. a) Σωστό b) Σωστό c) Λάθος. Η σταθερά του ελατηρίου εξαρτάται από το μήκος (γεωμετρικά στοιχεία). 73

75 Άσκηση 6 Ώθηση δύναμης Μεταβολή ορμής Σύνοψη Σκοπός της συγκεκριμένης άσκησης είναι η κατανόηση του φυσικού διανυσματικού μεγέθους ώθηση δύναμης και η σχέση του με: τη μεταβολή της ορμής υλικού σημείου στο οποίο ασκείται η ώθηση αυτή, την εξάρτηση της μέγιστης ασκούμενης δύναμης σε σχέση με το χρονικό διάστημα στο οποίο ασκείται και τις ελαστικές ιδιότητες της επιφάνειας κρούσης. Τα όργανα που θα χρησιμοποιήσεις στο πείραμα είναι: διάδρομος κίνησης μήκους 1,2 m, αμαξίδιο χαμηλής τριβής, αισθητήρας κίνησης, αισθητήρας δύναμης, λογισμικό καταγραφής δεδομένων Data Studio. Προαπαιτούμενη γνώση: ορμή, δύναμη, ώθηση δύναμης. 6.1 ΘΕΩΡΙΑ Ορμή υλικού σημείου ονομάζουμε το διανυσματικό μέγεθος που έχει μέτρο το γινόμενο της μάζας του σώματος επί την ταχύτητά του (Εικόνα 6.1). Η ορμή είναι πάντα ομόρροπη με την ταχύτητα του σώματος (διότι m. m p mv v m :μάζα αμαξιδίου v :ταχύτητα αμαξιδίου p :ορμή αμαξιδίου Εικόνα 6.1 Τύπος ορμής υλικού σημείου. Όταν σε ένα υλικό σημείο με αρχική ορμή του θα μεταβληθεί σε τελ p. Η μεταβολή της ορμής αρχ p ασκηθεί δύναμη F για χρονικό διάστημα Δt, η ορμή τελ αρχ Δp p p θα είναι: Δp F Δt (6.1) Το διανυσματικό μέγεθος F Δt έχει διαστάσεις ορμής και ονομάζεται ώθηση Ω της δύναμης F κατά τη διάρκεια του χρόνου Δt. Ω F Δt (6.2) 74

76 Δύναμη Δύναμη Από τις (6.1) και (6.2) έχουμε ότι η ώθηση της δύναμης που ασκείται σε ένα σώμα κατά τη διάρκεια του χρόνου Δt είναι ίση με τη μεταβολή της ορμής (Young,1994). Ω Δp (6.3) Ω=F. Δt F μεγ. F Δt Χρόνος t 1 t 2 Χρόνος Εικόνα 6.2 Γραφικές παραστάσεις μέτρου δύναμης - χρόνου. Αν παραστήσουμε γραφικά τη δύναμη σε συνάρτηση του χρόνου, το μέτρο της ώθησης κατά τη διάρκεια του χρόνου Δt θα είναι ίσο με το γραμμοσκιασμένο εμβαδόν που φαίνεται στην αριστερή γραφική παράσταση της Εικόνας 6.2 για σταθερή δύναμη. Συνήθως στην πράξη, όπως συμβαίνει κατά την σύγκρουση ενός σώματος με ένα εμπόδιο, η δύναμη που ασκείται στο σώμα δεν είναι σταθερή. Στο πείραμά σου, όπου ένα αμαξίδιο θα συγκρουστεί με ένα ελατήριο, θα συναντήσεις αυτή την περίπτωση. Η γραφική παράσταση της δύναμης σε συνάρτηση του χρόνου θα μοιάζει με εκείνη που στην Εικόνα 6.2 βρίσκεται δεξιά. Δύναμη θα ασκείται στο αμαξίδιο αλλά και στο ελατήριο (δράση-αντίδραση) όσο διαρκεί η σύγκρουση, δηλαδή από τη χρονική στιγμή t 1 μέχρι τη χρονική στιγμή t 2. Το μέτρο της ώθησης της δύναμης για το χρονικό διάστημα Δt= t 2 -t 1 θα είναι ίσο με το γραμμοσκιασμένο εμβαδόν κάτω από την καμπύλη. Σημαντική παρατήρηση: Για την ίδια μεταβολή ορμής, επομένως ίδια ώθηση δύναμης, η μέγιστη δύναμη που δέχεται ένα σώμα εξαρτάται από τη διάρκεια της κρούσης. Αν θέλεις, λοιπόν, να ελαττώσεις τη δύναμη που ασκείται κατά τη διάρκεια μιας κρούσης, πρέπει να παρατείνεις το χρόνο της. Αυτός είναι ο λόγος που, κατά τη σύγκρουση δύο αυτοκινήτων, ο αερόσακος μπορεί να σώσει ζωές. Επίσης, καλύτερα να πέσεις από μεγάλο ύψος σε ένα στρώμα παρά σε τσιμεντένιο δάπεδο. Παρατείνεις έτσι το χρόνο κρούσης και δέχεσαι μικρότερες δυνάμεις (Εικόνα 6.3). 75

77 F (N) Ώθηση Δύναμης T (s) Εικόνα 6.3 Ώθηση δύναμης. Αν τα διανύσματα των ορμών είναι συγγραμμικά πάνω σε άξονα με καθορισμένη θετική φορά, η διανυσματική σχέση γίνεται αλγεβρική. π.χ. Η μεταβολή της ορμής κατά την κρούση είναι: τελ αρχ Δp p p (6.4). Όσα διανύσματα έχουν τη φορά του θετικού ημιάξονα έχουν θετικό πρόσημο, ενώ, όσα έχουν αντίθετη φορά, αρνητικό (Εικόνα 6.4). Δp = -m u τελ - m u αρχ = -(m u τελ + m u αρχ ) Εικόνα 6.4 Κεκλιμένο επίπεδο. 6.2 ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ Πειραματική διάταξη Η διάταξη του πειράματος παρουσιάζεται σχηματικά στην Εικόνα

78 Αισθητήρας δύναμης Αμαξίδιο Αισθητήρας κίνησης Εικόνα 6.5 Σχηματική αναπαράσταση πειραματικής διάταξης. Έχεις έναν επικλινή διάδρομο κίνησης. Στη μία άκρη του διαδρόμου υπάρχει ένας αισθητήρας κίνησης ο ο- ποίος θα καταγράψει την ταχύτητα του αμαξιδίου, και στην άλλη άκρη ένας αισθητήρας δύναμης ο οποίος θα καταγράψει την δύναμη που θα δέχεται κατά τη διάρκεια της κρούσης το ελατήριο που θα προσαρμοστεί ε- πάνω του. Θα κάνεις δύο πειράματα, ένα με σκληρό ελατήριο και ένα με μαλακό. Ο λόγος είναι η εξαγωγή συμπερασμάτων από τον υπολογισμό της μέγιστης δύναμης που ασκείται κάθε φορά. Το μέτρο της μέγιστης δύναμης το διαβάζεις στην οθόνη του υπολογιστή (Εικόνα 6.7). Σε κάθε προσπάθειά σου το αμαξίδιο πρέπει να ξεκινά από το ίδιο σημείο του διαδρόμου κίνησης, ώστε τη στιγμή της σύγκρουσης με το ελατήριο να έχει πάντα την ίδια ταχύτητα. Με άλλα λόγια, η αρχική ορμή να είναι πάντα η ίδια Πειραματικό μέρος Α : Μαλακό ελατήριο 1. Για να εμφανιστεί το κατάλληλο πρόγραμμα στην οθόνη του Η/Υ, ανοίγεις από την επιφάνεια εργασίας το φάκελο MAGOS. 2. Επιλέγεις το πρόγραμμα MAGOS που έχει τον ίδιο αριθμό με την άσκηση που θα κάνεις. 3. Προσαρμόζεις το μαλακό ελατήριο πάνω στον αισθητήρα δύναμης. 4. Πατάς το κουμπί Ζero που υπάρχει πάνω στον αισθητήρα, για να σβήσει τυχόν προηγούμενες αποθηκευμένες μετρήσεις. 5. Ζυγίζεις το αμαξίδιο και το τοποθετείς σε απόσταση 20 cm από τον αισθητήρα κίνησης. 6. Όταν είσαι έτοιμος, αφήνεις το αμαξίδιο να κυλήσει ελεύθερο και αμέσως πατάς το κουμπί Start (αριστερό κλικ στο ποντίκι). 7. Όταν ολοκληρωθεί η σύγκρουση και το αμαξίδιο χάσει την επαφή του με το ελατήριο, πατάς Stop (αριστερό κλικ στο ποντίκι). 8. Στην οθόνη του υπολογιστή σου θα έχεις μια εικόνα παρόμοια με αυτήν της Εικόνας

79 Εικόνα 6.6 Γραφική παράσταση ταχύτητας στην οθόνη του υπολογιστή. Το αμαξίδιο (όπως φαίνεται και από τη γραφική παράσταση της ταχύτητας), καθώς κατεβαίνει το κεκλιμένο επίπεδο, εκτελεί ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση. Κατά τη διάρκεια της επαφής του με το ελατήριο ε- πιβραδύνεται μέχρι που η ταχύτητά του μηδενίζεται, ενώ, στη συνέχεια, επιταχύνεται και πάλι μέχρι να χάσει την επαφή του με το ελατήριο. Έπειτα, εκτελεί ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση. Θετικές τιμές της ταχύτητας σημαίνουν ότι το αμαξίδιο απομακρύνεται από τον αισθητήρα κίνησης, ενώ αρνητικές ότι τον πλησιάζει. 9. Επειδή μας ενδιαφέρει το χρονικό διάστημα λίγο πριν, κατά τη διάρκεια και λίγο μετά τη σύγκρουση, μεγεθύνεις το αντίστοιχο κομμάτι της γραφικής παράστασης. Πώς; Δες! Πατάς το κουμπί Zoom Select (Εικόνα 6.6). Έπειτα, κρατώντας πατημένο το αριστερό κουμπί του ποντικιού, επιλέγεις την περιοχή της γραφικής παράστασης της ταχύτητας -κιτρινίζουν τα σημεία της γραφικής παράστασης- που μας ενδιαφέρει (βλ. πλαίσιο Εικόνας 6.6). Αφήνοντας το κουμπί του ποντικιού, θα έχεις την μεγέθυνση της περιοχής που επέλεξες, δηλαδή κάτι παρόμοιο με την Εικόνα Παρατήρησε στο σχήμα της Εικόνας 6.7 τη γραφική παράσταση της δύναμης ως συνάρτηση του χρόνου. Πριν το αμαξίδιο έρθει σε επαφή με το ελατήριο, η δύναμη είναι μηδέν. Μόλις ξεκινήσει η σύγκρουση, το μέτρο της δύναμης αρχίζει να αυξάνεται, για να πάρει τη μέγιστη τιμή του, όταν το ελατήριο έχει τη μέγιστη συσπείρωση. Μετά η δύναμη ελαττώνεται, για να μηδενιστεί, όταν το αμαξίδιο χάσει την ε- παφή του με το ελατήριο. 78

80 Εικόνα 6.7 Μεγέθυνση γραφικής παράστασης στην οθόνη του υπολογιστή. 11. Από την παραπάνω γραφική παράσταση υπολογίζεις το μέτρο της ταχύτητας του αμαξιδίου πριν και μετά τη σύγκρουση. Υπόδειξη για να βρεις τις ταχύτητες: αρχ Για να βρεις, για παράδειγμα, την v, κάνεις αριστερό κλικ στην γραφική παράσταση της ταχύτητας (Εικόνα 6.7), ώστε να την επιλέξεις ως γραφική παράσταση εργασίας. Μετά, κάνεις αριστερό κλικ με το ποντίκι στο εικονίδιο Smart Tool και θα εμφανιστεί στην ο- θόνη σου ένα τετραγωνάκι. Κάνοντας αριστερό κλικ με το ποντίκι πάνω σε αυτό το τετραγωνάκι, μπορείς να το πιάσεις και να το μετακινήσεις όπου επιθυμείς πάνω στην καμπύλη της γραφικής σου παράστασης. Επειδή θέλουμε την ταχύτητα του αμαξιδίου αμέσως πριν την σύγκρουσή του με το ελατήριο, μετακινείς το τετράγωνο στο τελευταίο σημείο της γραφικής παράστασης της ταχύτητας του α- μαξιδίου πριν από τη σύγκρουσή του. αρχ Για το σημείο αυτό θα εμφανιστούν στην οθόνη σου ο χρόνος και η ταχύτητα v του αμαξιδίου, δηλ. οι συντεταγμένες του σημείου. Υπόδειξη για να βρεις το εμβαδόν: Για να βρεις το εμβαδόν κάτω από την καμπύλη, κάνεις αριστερό κλικ στη γραφική παράσταση της δύναμης (Εικόνα 6.7), ώστε να την επιλέξεις ως γραφική παράσταση εργασίας. Πατάς το βελάκι δίπλα στο κουμπί Σ (στατιστική) και επιλέγεις Area. Έπειτα, κάνεις αριστερό κλικ στο ποντίκι και, κρατώντας πατημένο το κουμπί, επιλέγεις την περιοχή της καμπύλης της δύναμης κάτω από την οποία θέλεις να υπολογίσεις το εμβαδόν. Η τιμή του εμβαδού εμφανίζεται στην οθόνη σου κάτω από την ένδειξη Area σε ένα πινακάκι μέσα στη γραφική σου παράσταση Πειραματικό μέρος Β : Σκληρό ελατήριο Επαναλαμβάνεις τα βήματα 1-11 του πειράματος που έκανες προηγουμένως για το μαλακό ελατήριο, προσαρμόζοντας, όμως, πάνω στον αισθητήρα της δύναμης το σκληρό ελατήριο. 79

81 Διάταξη και μετρήσεις πειράματος ώθησης δύναμης μεταβολή Βίντεο ορμής Το βίντεο δείχνει τη διάταξη του πειράματος και πώς παίρνονται οι μετρήσεις που χρειάζονται για τον υπολογισμό της ώθησης δύναμης και της μεταβολής της ορμής. Βίντεο 6.1 Διάταξη και μετρήσεις πειράματος άσκησης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Θα γράψεις τα παρακάτω στο τετράδιο του εργαστηρίου πριν το πείραμα: Τίτλος άσκησης: Όνομα: Ημερομηνία: Σκοπός: Παρατήρηση: Εκτός από το τελικό αποτέλεσμα, θα πρέπει να φαίνονται και οι αντικαταστάσεις με τις μονάδες τους. 1. Από τη γραφική παράσταση της δύναμης ως συνάρτηση του χρόνου βρίσκεις τη μέγιστη τιμή της δύναμης που ασκήθηκε στο ελατήριο κατά τη διάρκεια της κρούσης, και την καταγράφεις στον Πίνακα 6.1. Μάζα αμαξιδίου=... (kg) V αρχ =... m/s V τελ =... m/s P αρχ =... kg m/s P τελ =... kg m/s Μέτρο μεταβολής της ορμής a Δp = p p =... kg m/s Ώθηση δύναμης (από εμβαδόν)=... Ν s Μέγιστη τιμή δύναμης=... Ν Διάρκεια κρούσης=... s Πίνακας 6.1 Αποτελέσματα μετρήσεων πειράματος μαλακού ελατηρίου. 2. Κάνε μια εκτύπωση της γραφικής παράστασης του Data Studio για την αναφορά σου. 3. Για να ξεκινήσεις το πείραμα με το σκληρό ελατήριο, σβήνεις τα δεδομένα του 1 ου πειράματος στο Data Studio πατώντας Experiment και επιλέγοντας Delete Last Data Run. 4. Συμπληρώνεις τον Πίνακα 6.2. Μάζα αμαξιδίου=.. (kg) 80

82 V αρχ =... m/s V τελ =... m/s P αρχ =... kg m/s P τελ =... kg m/s Μέτρο μεταβολής της ορμής a Δp = p p =... kg m/s Ώθηση δύναμης (από εμβαδόν)=... Ν s Μέγιστη τιμή δύναμης=... Ν Διάρκεια κρούσης=... s Πίνακας 6.2 Αποτελέσματα μετρήσεων πειράματος σκληρού ελατηρίου. 5. Με βάση τις τιμές της μέγιστης δύναμης που ασκεί το ελατήριο στο σώμα, γράφεις τα συμπεράσματά σου. Η άσκηση ώθησης δύναμης μεταβολή ορμής Βίντεο Το βίντεο δείχνει όλη την άσκηση για τον υπολογισμό της ώθησης δύναμης και της μεταβολής της ορμής(θεωρία, πείραμα, μετρήσεις, υπολογισμούς). Βίντεο 6.2 Πείραμα της άσκησης 6. Βιβλιογραφία Young, H. D. (1994). Πανεπιστημιακή Φυσική τόμ.ι. (παράγραφος 8.5 και παράδειγμα 8.12, σ. 210). Αθήνα: Παπαζήση. Κριτήρια αξιολόγησης Κριτήριο αξιολόγησης 1 1) Με τη βοήθεια της Εικόνας 6.8 να βρεις: a) την ταχύτητα πριν τη σύγκρουση στο SI, b) την ώθηση της δύναμης στο SI, c) τη μέγιστη τιμή της δύναμης στο SI, d) τη διάρκεια κρούσης στο SI. 81

83 Εικόνα 6.8 Ερώτηση Κριτηρίου Αξιολόγησης 1 άσκησης 6. 2) Εάν η ταχύτητα του αμαξιδίου είναι 0,5 m/s και η μάζα του 254 g, πόση είναι η ορμή του στο SI; 3) Εάν η τελική ορμή του αμαξιδίου είναι 16,4 kg cm/s και η αρχική 0,123 kg m/s, πόση είναι η μεταβολή της ορμής; 4) Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος; a) Η ορμή και η ώθηση είναι διανυσματικά μεγέθη. b) 1 kg m/s είναι ίσο με 1 N s. c) Η διάρκεια κρούσης στο σκληρό ελατήριο είναι μεγαλύτερη από αυτήν στο μαλακό. Απαντήσεις 1. Σύμφωνα με την Εικόνα 6.9: a) Η ταχύτητα πριν τη σύγκρουση είναι 1, m/s. b) Η ώθηση της δύναμης είναι 0,9397 N s. c) Η μέγιστη τιμή της δύναμης είναι 16,0976 Ν. d) Η διάρκεια κρούσης είναι 0,1048 s. 82

84 Εικόνα 6.9 Απάντηση Κριτηρίου Αξιολόγησης 1 άσκησης Σύμφωνα με τον τύπο της ορμής, έχω: p=m v=254 g 0,5 m/s=254x10-3 kg 0,5 m/s=0,127 kg m/s. 3. Σύμφωνα με τον τύπο (6.4), έχω: Δp=p τελ - p αρχ = 16,4 kg cm/s - 0,123 kg m/s = 16,4 kg 10-2 m/s 0,123 kg m/s =0,41 kg m/s. 4. a) Σωστό b) Σωστό (Θυμήσου 1 N=1 kg m/s 2.) c) Λάθος. 83

85 Άσκηση 7 Υπολογισμός της ειδικής θερμότητας υλικού Σύνοψη Σκοπός της συγκεκριμένης άσκησης είναι ο πειραματικός υπολογισμός της ειδικής θερμότητας ενός ομογενούς υλικού. Μετά τη σύγκριση της πειραματικής τιμής με την τιμή βιβλιογραφίας (ΤΒ), ίσως προκύψουν αφορμές για πολλές παρατηρήσεις ως προς τη διαδικασία του πειράματος. Τα όργανα που θα χρησιμοποιήσεις είναι: θερμιδόμετρο, θερμόμετρα, λαβίδες, αυτό που ο Προμηθέας έκλεψε από τον Ήφαιστο, ένα μεταλλικό μπαλάκι για το υλικό του οποίου θα υπολογίσεις την ειδική θερμότητα. Πιθανά οφέλη: Να πάρεις μια πρώτη ιδέα για τις δυσκολίες της μέτρησης της θερμοκρασίας ενός σώματος με βάση τη θερμική ισορροπία. Να δεις την επίδραση της διάδοσης των σφαλμάτων στο τελικό αποτέλεσμα. Προαπαιτούμενη γνώση: ορισμός θερμότητας, θερμοκρασίας, θερμοδυναμικά αξιώματα, Θερμιδομετρία. 7.1 ΘΕΩΡΙΑ Θερμοκρασία Θερμότητα I. Μακροσκοπικός ορισμός του μεγέθους θερμοκρασία Είναι ένα φυσικό, μονόμετρο μέγεθος που εκφράζει το γεγονός ότι ένα σώμα Α είναι πιο ζεστό ή πιο κρύο από ένα άλλο σώμα Β (Young, 1994). II. Μικροσκοπικός ορισμός του μεγέθους θερμοκρασία Η μέση κινητική ενέργεια των δομικών λίθων ενός σώματος είναι συνάρτηση της θερμοκρασίας του σώματος (για ακίνητο σύστημα και ακίνητο παρατηρητή). π.χ. Για ιδανικό αέριο είναι συνάρτηση πρώτου βαθμού ως προς τη θερμοκρασία:. III. Θερμότητα Είναι μια μορφή ενέργειας. Λέμε ότι η θερμότητα ρέει από θερμότερο σώμα Α προς ένα σώμα Β χαμηλότερης θερμοκρασίας. Έτσι, το σώμα Α ψύχεται, ενώ το Β θερμαίνεται (εκτός εάν συμβαίνει αλλαγή φάσης) Θερμιδομετρία Νόμος της Θερμιδομετρίας Όταν ένα σώμα σταθερής μάζας m έχει θερμοκρασία θ 1 και απορροφήσει ποσό θερμότητας Q, η θερμοκρασία του αυξάνει σε θ 2 και ισχύει: 84

86 Q = m C (θ 2 - θ 1 ) (αν δεν συμβαίνει αλλαγή φάσης). Ο ίδιος τύπος ισχύει, όταν το σώμα αποβάλλει θερμότητα. Γενικά, Q = m C ΔΘ (7.1) Q Ο συντελεστής C = ονομάζεται ειδική θερμότητα του υλικού του σώματος. Εξαρτάται, φυσικά, από m το ίδιο το υλικό, από τον τρόπο της μεταβολής, δηλαδή αν γίνεται υπό σταθερή πίεση ή όγκο, και, τέλος, ε- ξαρτάται από την περιοχή των θερμοκρασιών του πειράματος. Φυσική σημασία: δείχνει τη θερμότητα που πρέπει να λάβει η μονάδα μάζας του υλικού, προκειμένου να μεταβληθεί η θερμοκρασία του κατά 1 grad. Στο πείραμα που θα κάνεις, ο συντελεστής C θεωρείται σταθερός για τις περιοχές του πειράματος. Επιπλέον, σταθερή θεωρείται και η πίεση. Q 1 joule Μονάδες στο SI: C = = m 1kg1 grad Θερμίδα Μια συνηθισμένη μονάδα θερμότητας -η οποία δεν ανήκει στο SI- είναι η θερμίδα, με τη βοήθεια της οποίας εκφράζονται οι ειδικές θερμότητες σωμάτων σε πολλούς πίνακες. Ορισμός θερμίδας (1 cal) Μια θερμίδα (1 cal) είναι η θερμότητα που απαιτείται για να μεταβληθεί η θερμοκρασία ενός γραμμαρίου (1 g) νερού από 14,5 ο C σε 15,5 ο C, δηλαδή κατά 1 ο C. Αποδεικνύεται ότι 1 cal = 4,19 joules. Για πίεση 1 atm και θερμοκρασίες δωματίου, οι ειδικές θερμότητες μερικών υλικών φαίνονται στον Πίνακα 7.1. Υλικά C p (cal/g grad) Νερό 1 Μόλυβδος 0,0305 Αλουμίνιο 0,2150 Χαλκός 0,0923 Σίδηρος 0,1100 Πίνακας 7.1. Ειδικές θερμότητες υλικών Θερμοχωρητικότητα σώματος Ορισμός θερμοχωρητικότητας σώματος Για ένα σώμα ορισμένης μάζας, το πηλίκο της θερμότητας ΔQ που ανταλλάσσει με το περιβάλλον προς την αντίστοιχη μεταβολή της θερμοκρασίας ΔΤ ορίζει τη θερμοχωρητικότητα του σώματος. Q K Joules ή grad cal grad (7.2) 85

87 Αν ΔΤ = 1 grad, τότε ΔQ = Κ, δηλαδή η θερμοχωρητικότητα σώματος εκφράζει το ποσό της θερμότητας που απαιτείται για τη μεταβολή της θερμοκρασίας του κατά 1 grad. Το Κ είναι χαρακτηριστικό μέγεθος του σώματος για ορισμένες περιοχές θερμοκρασιών Θερμιδόμετρο Είναι ένα μικρό δοχείο, γυάλινο ή πλαστικό, με επίχριση ανακλαστικής ουσίας, για να περιορίσουμε κατά το δυνατόν τις θερμικές απώλειες. Το θερμιδόμετρο δεν είναι ένα ομογενές σώμα, γι αυτό δεν ισχύει ο τύπος Κ = m C. Έχει, όμως, θερμοχωρητικότητα Κ. Για να υπολογίσεις το Κ, δεν είναι απαραίτητο να γνωρίζεις τα m και C των υλικών του θερμιδόμετρου. Επομένως, τα ποσά που ανταλλάσσει θα δίνονται από τον τύπο: Q = K Δθ όπου Κ = θερμοχωρητικότητα του δοχείου. Ο υπολογισμός του Κ, για το συγκεκριμένο θερμιδόμετρο, θα γίνει πειραματικά. (7.3) Μέθοδος των Μιγμάτων Είναι μια εφαρμογή της Αρχής Διατήρησης της Ενέργειας. Σε ένα θερμικά μονωμένο σύστημα σωμάτων το συνολικό ποσό θερμότητας που προσφέρεται από μερικά σώματα του συστήματος είναι ίσο με το άθροισμα των θερμοτήτων που απορροφούν τα υπόλοιπα σώματα του συστήματος. 7.2 ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ Πειραματικό μέρος Α : Υπολογισμός της θερμοχωρητικότητας Κ του θερμιδόμετρου 1. Ζυγίζεις ποσότητα νερού μάζας: m 1 = g. 2. Την βάζεις μέσα στο θερμιδόμετρο, αναδεύεις και περιμένεις να επέλθει θερμική ισορροπία μεταξύ νερού m 1 και θερμιδόμετρου. 3. Μετράς την κοινή θερμοκρασία: θ 1 =... ο C. 4. Ζυγίζεις ποσότητα νερού μάζας: m 2 = g και τη θερμαίνεις περίπου 20 ο C πάνω από τη θερμοκρασία που έχει. 5. Μετράς τη θερμοκρασία: θ 2 = ο C. Για να μετρήσεις τη θ 2, καταφεύγεις σε ένα τέχνασμα: Βάζεις το δοχείο με την m 2 πάνω στο θερμαντήρα (γκαζάκι). Μόλις η θερμοκρασία φτάσει περίπου 20 ο C πάνω από αυτή που είχε η m 2, βγάζεις το δοχείο από το γκαζάκι. Με το θερμόμετρο βλέπεις σε ποια θερμοκρασία σταθεροποιείται η θ 2, και την καταχωρείς. 6. Βάζεις το νερό m 2 μέσα στο δοχείο και περιμένεις να πραγματοποιηθεί θερμική ισορροπία μεταξύ νερού m 2, νερού m 1 και θερμιδόμετρου. 7. Μετράς την κοινή θερμοκρασία: 86

88 θ Κ = ο C. 8. Μέθοδος των Μιγμάτων Το νερό μάζας m 2 έδωσε στο σύστημα θερμότητα: Q 2 = m 2 C νερ (θ 2 -θ κ ). Το νερό μάζας m 1 έλαβε θερμότητα: Q 1 = m 1 C νερ (θ κ -θ 1 ). Το θερμιδόμετρο έλαβε θερμότητα: Q 3 = Κ (θ κ -θ 1 ). (7.4). (7.5). (7.6). Αρχή Διατήρησης της Ενέργειας χωρίς απώλειες προς το περιβάλλον, ακτινοβολία κτλ: Q 3 +Q 1 =Q 2 Κ (θ κ -θ 1 ) + m 1 C νερ (θ κ -θ 1 ) = m 2 C νερ (θ 2 -θ κ ) m C K= 2 ( 2 k ) m1c ( k 1) Βάζεις τις μετρήσεις στον τύπο (7.7) και υπολογίζεις το Κ. k 1 (7.7) Κ = Joules grad ή cal grad Αυτήν την τιμή του Κ θα χρησιμοποιήσεις στα επόμενα βήματα. Θα υποθέσεις ότι C νερ = 1 cal g grad ή C νερ = 4186 joules kg grad Το πείραμα υπολογισμού της θερμοχωρητικότητας Βίντεο Το βίντεο δείχνει τη διάταξη του πειράματος και πώς παίρνονται οι μετρήσεις που χρειάζονται για τον υπολογισμό της θερμοχωρητικότητας του θερμιδόμετρου. Βίντεο 7.1 Πείραμα A (θερμοχωρητικότητα) της άσκησης Πειραματικό μέρος Β : Υπολογισμός της ειδικής θερμότητας του υλικού 1. Ζυγίζεις μια νέα ποσότητα νερού. m 1 = g 2. Την βάζεις μέσα στο στεγνό θερμιδόμετρο. 3. Όταν επέλθει θερμική ισορροπία μεταξύ m 1 και δοχείου, μετράς την κοινή θερμοκρασία. θ 1 = ο C 4. Ζυγίζεις το σώμα του οποίου θα υπολογίσεις την ειδική θερμότητα. m = g 5. Βάζεις το συγκεκριμένο σώμα μέσα σε ένα μπρίκι και προσθέτεις νερό μέχρι να σκεπαστεί. Προσφέρεις θερμότητα μέχρι το νερό να φτάσει σε βρασμό. 6. Μετράς τη θερμοκρασία. θ = ο C 87

89 Υποθέτεις ότι, λόγω θερμικής ισορροπίας, και το σώμα (σφαίρα) έχει την ίδια θερμοκρασία θ. Σημείωση: Δεν είναι απαραίτητο η θερμοκρασία βρασμού να είναι 100 ο C. Εξαρτάται από την εξωτερική πίεση που υπάρχει εκείνη τη στιγμή. 7. Με μια λαβίδα βάζεις προσεκτικά το σώμα μέσα στο θερμιδόμετρο, πάνω στο προστατευτικό διχτάκι. 8. Όταν επέλθει θερμική ισορροπία μεταξύ σώματος νερού m 1 και θερμιδόμετρου, μετράς την κοινή θερμοκρασία. θ κ = ο C 9. Μέθοδος των Μιγμάτων Το σώμα μάζας m έδωσε θερμότητα: Q = m C (θ-θ Κ ). Η μάζα m 1 έλαβε θερμότητα: Q 1 = m 1 C νερ (θ Κ -θ 1 ). Το θερμιδόμετρο έλαβε θερμότητα: Q 2 = K (θ K -θ 1 ). Αρχή Διατήρησης Ενέργειας: (7.8) (7.9) (7.10) Q = Q 1 + Q 2 m C (θ-θ Κ ) = m 1 C νερ (θ Κ -θ 1 ) +Κ (θ Κ -θ 1 ) K 1 m1c K C = m K (7.11) Υπολογίζεις το C = cal g grad ή joules. kg grad 10. Υπολογίζεις την επί τοις % διαφορά ως προς την ΤΒ. X = C C C 100% 11. Καταγράφεις όλα τα δεδομένα στο φύλλο εργασίας. Το πείραμα υπολογισμού της ειδικής θερμότητας υλικού Βίντεο Το βίντεο δείχνει τη διάταξη του πειράματος και πώς παίρνονται οι μετρήσεις που χρειάζονται για τον υπολογισμό της ειδικής θερμότητας σώματος. Βίντεο 7.2 Πείραμα B (ειδική θερμότητα) της άσκησης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Θα γράψεις τα παρακάτω στο τετράδιο του εργαστηρίου πριν το πείραμα: Τίτλος άσκησης: Όνομα: 88

90 Ημερομηνία: Σκοπός: Παρατήρηση: Εκτός από το τελικό αποτέλεσμα, θα πρέπει να φαίνονται και οι αντικαταστάσεις με τις μονάδες τους Πειραματικό μέρος Α : Υπολογισμός της θερμοχωρητικότητας Κ του θερμιδόμετρου 1. Ζυγίζεις ποσότητα νερού m 1 =... g. 2. Μετράς την κοινή θερμοκρασία θ 1 = ο C. 3. Ζυγίζεις ποσότητα νερού m 2 = g και μετράς τη θερμοκρασία της θ 2 = ο C. 4. Αφού βάλεις την m 2 στο θερμιδόμετρο, μετράς την κοινή θερμοκρασία θ Κ = ο C. 5. Με βάση τις μετρήσεις που έχεις κάνει, υπολογίζεις τη θερμοχωρητικότητα Κ από τον τύπο (7.7): K = m C 2 ( 2 k ) m1c ( k 1) k 1 Κ = Joules grad ή cal grad Πειραματικό μέρος Β : Υπολογισμός της ειδικής θερμότητας του υλικού 1. Ζυγίζεις μια νέα ποσότητα νερού m 1 =... g. 2. Μετράς τη θερμοκρασία νερού θερμιδόμετρου θ 1 = ο C. 3. Ζυγίζεις το σώμα m = g. 4. Μετράς προσεκτικά τη θερμοκρασία βρασμού θ = ο C. 5. Αφού βάλεις το σώμα στο θερμιδόμετρο, μετράς την κοινή θερμοκρασία θ Κ = ο C. K 1 m1c K 6. Από τον τύπο (7.11) C = m K, υπολογίζεις το: C πειρ = cal g grad ή joules kg grad. 7. Ζητάς να σου δώσουν την ΤΒ για το υλικό που χρησιμοποίησες. 8. Υπολογίζεις την επί τοις % διαφορά ως προς την ΤΒ. 89

91 9. Σχόλια. X = C. C C. 100 Η άσκηση του πειραματικού υπολογισμού της ειδικής θερμότητας υλικού Βίντεο Το βίντεο δείχνει όλη την άσκηση για τον πειραματικό υπολογισμό της ειδικής θερμότητας υλικού (θεωρία, πείραμα, μετρήσεις, υπολογισμούς). Βίντεο 7.3 Παρουσίαση της άσκησης 7. Βιβλιογραφία Young, H. D. (1994). Πανεπιστημιακή Φυσική τόμ.ι. (παράγραφοι 15.1, 15.2, 15.5, 15.6, σ , 424, 428). Αθήνα: Παπαζήση. Κριτήρια αξιολόγησης Κριτήριο αξιολόγησης 1 1. Για να αυξηθεί η θερμοκρασία ενός σώματος κατά 10 0 C, πρέπει να πάρει θερμότητα 136 cal. Ποια είναι η θερμοχωρητικότητα του σώματος σε cal/ 0 C; 2. Θερμιδόμετρο περιέχει 50 g νερό θερμοκρασίας 20 0 C. Προσθέτουμε σε αυτό στερεό σώμα μάζας 133 g και θερμοκρασίας 95 0 C. Μετά την αποκατάσταση της θερμικής ισορροπίας η τελική θερμοκρασία του συστήματος είναι 27 0 C. Να βρεθεί η ειδική θερμότητα του στερεού σώματος σε cal/g 0 C. Δίνεται η ειδική θερμότητα του νερού 1 cal/g* 0 C και η θερμοχωρητικότητα του θερμιδόμετρου 11 cal/ 0 C. 3. Θερμιδόμετρο περιέχει 50 g νερό θερμοκρασίας 20 0 C. Προσθέτουμε 133 g νερό θερμοκρασίας 95 0 C. Μετά την αποκατάσταση της θερμικής ισορροπίας η τελική θερμοκρασία του συστήματος είναι 70 0 C. Να βρεθεί η θερμοχωρητικότητα του θερμιδόμετρου σε cal/ 0 C. Η ειδική θερμότητα του νερού, τόσο του κρύου όσο και του ζεστού, είναι 1 cal/g* 0 C. 4. Πόση ενέργεια σε cal πρέπει να δώσω σε 113 g νερού, για να αυξηθεί η θερμοκρασία του κατά 10 0 C; Δίνεται η ειδική θερμότητα του νερού 1 cal/g* 0 C. 5. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος; a) H θερμοχωρητικότητα σώματος εκφράζει το ποσό θερμότητας που πρέπει να πάρει η μονάδα μάζας του σώματος για να αυξηθεί η θερμοκρασία του 1 βαθμό. b) Η θερμοχωρητικότητα εξαρτάται από τη μάζα του σώματος και την ειδική θερμότητα του σώματος. c) Ειδική θερμότητα σώματος είναι το ποσό θερμότητας που πρέπει να πάρει η μονάδα μάζας του σώματος για να αυξηθεί η θερμοκρασία του κατά 1 βαθμό. Απαντήσεις 1. Σύμφωνα με τον τύπο (7.2), έχω:. 2. Σύμφωνα με τον τύπο (7.11), έχω: 90

92 3. Σύμφωνα με τον τύπο (7.7), έχω:. 4. Σύμφωνα με τον τύπο (7.1), έχω: 5. a) Λάθος b) Σωστό c) Σωστό.. 91

93 Άσκηση 8 Ελαστικές και μη ελαστικές κρούσεις Αρχή διατήρησης της ορμής Σύνοψη Σκοπός της συγκεκριμένης άσκησης είναι η πειραματική επαλήθευση της Αρχής διατήρησης της ορμήςσε ελαστική και μη ελαστική κρούση. Επιπλέον, θα υπολογίσεις το ποσοστό της αρχικής ενέργειας που μετατρέπεται σε θερμότητα κατά τις παραπάνω κρούσεις. Τα όργανα που θα χρησιμοποιήσεις είναι: διάδρομος κίνησης 1,2 m, 2 αμαξίδια αμελητέας τριβής, 2 βαράκια 0,25 kg, 2 αισθητήρες κίνησης και Η/Υ. Πιθανά οφέλη: Η εξοικείωση στη χρήση των Η/Υ για την οργάνωση και τη διεξαγωγή ενός πειράματος. Προαπαιτούμενη γνώση: Αρχή διατήρησης της ορμής σε μονωμένο σύστημα σωμάτων, είδη κρούσεων, κινητική ενέργεια στη μεταφορική κίνηση. 8.1 ΘΕΩΡΙΑ Γνωρίζουμε ότι η ορμή ενός υλικού σημείου (σώματος) είναι ένα διανυσματικό μέγεθος, ομόρροπο της ταχύτητας (Εικόνα 8.1). m p mv v m :μάζα αμαξιδίου v :ταχύτητα αμαξιδίου p :ορμή αμαξιδίου Εικόνα 8.1 Ορμή υλικού σημείου. Ορμή συστήματος σωμάτων Ορμή συστήματος σωμάτων ορίζουμε το διανυσματικό άθροισμα των ορμών των σωμάτων (Young, 1994). Όταν σε ένα σύστημα σωμάτων η συνισταμένη των εξωτερικών δυνάμεων είναι μηδέν (ή αμελητέα), τότε η ολική ορμή του συστήματος δεν μεταβάλλεται. Λέμε ότι η ολική ορμή του συστήματος διατηρείται. Έστω, λοιπόν, ότι το σύστημά μας αποτελείται από δύο αμαξίδια πάνω σε μια οριζόντια, λεία επιφάνεια. Αυτά, όπως φαίνεται στην Εικόνα 8.2, κινούνται το ένα προς το άλλο. Οι μόνες δυνάμεις που ασκούνται στο κάθε αμαξίδιο από σώματα που δεν ανήκουν στο σύστημα είναι η δύναμη της βαρύτητας από τη γη και η αντίδραση από την οριζόντια επιφάνεια, δυνάμεις οι οποίες αλληλοεξουδετερώνονται. Θεωρείς ότι η τριβή ανάμεσα στα αμαξίδια και την οριζόντια επιφάνεια, καθώς και η αντίσταση του αέρα είναι αμελητέες σε σχέση με τις άλλες δυνάμεις του πειράματος. Σε αυτό, λοιπόν, το σύστημα των σωμάτων η συνολική ορμή των αμαξιδίων δεν μεταβάλλεται πριν, κατά και μετά τη σύγκρουσή τους. 92

94 Πριν τη σύγκρουση m 1 αρχ αρχ v v m Θετική κατεύθυνση του άξονα Εικόνα 8.2 Σχηματική αναπαράσταση πειραματικής διάταξης πριν τη σύγκρουση. Η συνολική ορμή των αμαξιδίων πριν τη σύγκρουση είναι: p αρχ p αρχ p αρχ p m v m v 1 2 αρχ αρχ αρχ Το μέτρο, λοιπόν, της ορμής ως προς το θετικό ημιάξονα πριν τη σύγκρουση είναι: p m v - m v αρχ αρχ αρχ (8.1) (8.2) Η ορμή κάθε αμαξιδίου είναι διανυσματικό μέγεθος, οπότε η κατεύθυνσή της παίζει σημαντικό ρόλο στον υπολογισμό του μέτρου της συνολικής ορμής του συστήματος. Όταν το διάνυσμα της ταχύτητας, άρα και της ορμής, κάποιου αμαξιδίου δείχνει προς την κατεύθυνση του άξονα την οποία διαλέγουμε ως θετική, στον υπολογισμό του μέτρου της συνολικής ορμής η ορμή εμφανίζεται με θετικό πρόσημο. Όταν το διάνυσμα της ταχύτητας δείχνει προς την αντίθετη κατεύθυνση, δηλαδή την αρνητική, η ορμή είναι αρνητική και αφαιρείται. Η κινητική ενέργεια των αμαξιδίων πριν τη σύγκρουση είναι: 1 1 Κ m (v ) + m (v 2 2 αρχ αρχ 2 αρχ Μετά τη σύγκρουση (βλ. Εικόνα 8.3) η ορμή του συστήματος είναι: p τελ p τελ p τελ p m v m v 1 2 τελ τελ τελ ) 2 (8.3) (8.4) Μετά τη σύγκρουση m 1 τελ v m τελ 2 v 1 2 Θετική κατεύθυνση του άξονα Εικόνα 8.3 Σχηματική αναπαράσταση πειραματικής διάταξη μετά τη σύγκρουση. Το μέτρο της τελικής ορμής είναι: 93

95 p m v + m v τελ τελ τελ Η κινητική ενέργεια των αμαξιδίων μετά τη σύγκρουση είναι: 1 1 Κ m (v ) + m (v 2 2 τελ τελ 2 τελ ) 2 (8.5) (8.6) Είδη κρούσεων 1. Αν η ολική κινητική ενέργεια των σωμάτων μετά τη σύγκρουση είναι ίδια με αυτήν πριν τη σύγκρουση (διατήρηση της κινητικής ενέργειας), έχουμε μια ελαστική κρούση. 2. Αν μετά την κρούση η κινητική ενέργεια των σωμάτων είναι μικρότερη από πριν, μιλάμε για μη ελαστική κρούση. Μέρος της κινητικής ενέργειας που χάνεται μετατρέπεται σε θερμότητα ή σε ενέργεια παραμόρφωσης των αντικειμένων που συγκρούστηκαν. 3. Ειδική περίπτωση μη ελαστικής κρούσης, κατά την οποία τα συγκρουόμενα σώματα γίνονται ένα συσσωμάτωμα, είναι η πλαστική κρούση. 8.2 ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ Πειραματική διάταξη Η διάταξη του πειράματος παρουσιάζεται σχηματικά στην Εικόνα 8.4. Αισθητήρας κίνησης 1 Αισθητήρας κίνησης 2 Αμαξίδιο 1 Αμαξίδιο 2 Εικόνα 8.4 Σχηματική αναπαράσταση πειραματικής διάταξης. Το αριστερό αμαξίδιο θα το ονομάζουμε αμαξίδιο 1 και το δεξιό αμαξίδιο Πειραματικό μέρος Α : Πλαστικές κρούσεις 1. Για να εμφανιστεί το κατάλληλο πρόγραμμα στην οθόνη του Η/Υ, ανοίγεις από την επιφάνεια εργασίας το φάκελο MAGOS. 2. Επιλέγεις το πρόγραμμα MAGOS που έχει τον ίδιο αριθμό με την άσκηση που θα κάνεις. 3. Τοποθετείς τα δύο αμαξίδια πάνω στο διάδρομο κίνησης. Σε κάθε άκρη του διαδρόμου υπάρχει και από ένας αισθητήρας κίνησης ο οποίος μπορεί να καταγράφει τη θέση και την ταχύτητα κάθε αμαξιδίου. Για να είναι αξιόπιστες οι μετρήσεις των αισθητήρων, τα αμαξίδια πρέπει να βρίσκονται σε απόσταση μεγαλύτερη των 15 cm από αυτούς. 4. Το αμαξίδιο 2 (αμαξίδιο-στόχος) θα έχει τη μεγαλύτερη μάζα. (Αυτό δεν είναι υποχρεωτικό.) Βάζεις πάνω του ένα βαράκι 0,25 kg και, στη συνέχεια, το τοποθετείς στο μέσο περίπου του διαδρόμου κίνησης. 94

96 5. Τοποθετείς το αμαξίδιο 1 σε απόσταση 15 cm περίπου από τον αριστερό αισθητήρα κίνησης. Στο συγκεκριμένο πείραμα τα δύο αμαξίδια πρέπει, μετά την σύγκρουσή τους, να κολλήσουν και να συνεχίσουν να κινούνται ως ένα σώμα. Γι αυτό, λοιπόν, φρόντισε να τοποθετηθούν έτσι, ώστε η επιφάνεια επαφής τους κατά τη σύγκρουση να έχει το υλικό συγκόλλησης (κριτς-κρατς). 6. Όταν είσαι έτοιμος, πατάς το κουμπί Start (αριστερό κλικ στο ποντίκι) και αμέσως μετά σπρώχνεις το αμαξίδιο 1 προς την κατεύθυνση του αμαξιδίου Αφού τα αμαξίδια συγκρουστούν και, έπειτα, κινηθούν λίγο, πατάς Stop. 8. Στην οθόνη του υπολογιστή θα καταγραφεί η γραφική παράσταση της ταχύτητας των αμαξιδίων ως συνάρτηση του χρόνου. Η Εικόνα 8.5 παρουσιάζει πώς θα είναι περίπου αυτή η γραφική παράσταση. Αμαξίδιο 1 Κοινή ταχύτητα και για τα δύο αμαξίδια Αρχή κρούσης Εικόνα 8.5 Γραφική παράσταση ταχύτητας στην οθόνη του υπολογιστή. Περιγραφή γραφικής παράστασης Το Data Studio ορίζει ως θετική την ταχύτητα ενός αμαξιδίου που απομακρύνεται από τον αισθητήρα και ως αρνητική, όταν το αμαξίδιο πλησιάζει σε αυτόν. Το αμαξίδιο 1 αρχικά είναι ακίνητο (κόκκινη γραμμή στην οθόνη). Λόγω της ώθησης που δέχεται από το χέρι σου, η ταχύτητά του αυξάνεται απότομα. Μόλις σταματήσει η ώθηση του χεριού, το αμαξίδιο συνεχίζει με -περίπου- σταθερή ταχύτητα. Κατά τη σύγκρουσή του με το αμαξίδιο 2 η ταχύτητά του μειώνεται. Το αμαξίδιο 2 είναι ακίνητο (πράσινη γραμμή στην οθόνη) μέχρι τη στιγμή της σύγκρουσής του με το αμαξίδιο 1. Κατά τη σύγκρουση η ταχύτητά του αυξάνεται κατά απόλυτη τιμή. Στη γραφική παράσταση φαίνεται να παίρνει αρνητικές τιμές, εφόσον το αμαξίδιο 2 πλησιάζει προς τον αισθητήρα 2. Μετά τη σύγκρουση τα δύο αμαξίδια κολλάνε και κινούνται με την ίδια ταχύτητα. Στην Εικόνα 8.5 οι ταχύτητες και για τα δύο αμαξίδια μετά την σύγκρουση είναι ίδιες κατά απόλυτη τιμή, αλλά διαφέρουν στο πρόσημο, αφού το συσσωμάτωμα των δύο αμαξιδίων απομακρύνεται από τον αριστερό αισθητήρα 1 και πλησιάζει προς το δεξιό αισθητήρα Από αυτήν τη γραφική παράσταση υπολογίζεις την ταχύτητα συσσωματώματος των δύο αμαξιδίων Παρατήρηση (για την Εικόνα 8.5): κοιν. v v μετά τη σύγκρουση. αρχ 1 του αμαξιδίου 1 και την ταχύτητα του 95

97 Η κοινή ταχύτητα μετά την κρούση, αρχικά, παραμένει σταθερή. Μετά, όμως, παρουσιάζει μια κλίση που εκφράζει την επιβράδυνση που αρχίζει να εμφανίζεται λόγω των αντιστάσεων (τριβές κυρίως), και οι οποίες, πλέον, επηρεάζουν αισθητά την κίνηση του συσσωματώματος. Υπόδειξη για να βρεις τις ταχύτητες: Για να βρεις, για παράδειγμα, την, κάνεις αριστερό κλικ με το ποντίκι στο εικονίδιο Smart Tool (βλ. Εικόνα 8.5). Στην οθόνη σου θα εμφανιστεί ένα τετραγωνάκι. Το τετράγωνο αυτό, κάνοντας αριστερό κλικ με το ποντίκι πάνω του, μπορείς να το πιάσεις και να το μετακινήσεις όπου επιθυμείς πάνω στην καμπύλη της γραφικής σου παράστασης. Επειδή θέλουμε την ταχύτητα του αμαξιδίου αμέσως πριν τη σύγκρουσή του, μετακινείς το τετράγωνο στο τελευταίο σημείο της γραφικής παράστασης της ταχύτητας του αμαξιδίου 1 (κόκκινη γραμμή) πριν τη σύγκρουσή του. Στην οθόνη σου θα εμφανιστούν ο χρόνος και η ταχύτητα του αμαξιδίου για το συγκεκριμένο σημείο, δηλ. οι συντεταγμένες του σημείου. Τα ίδια ισχύουν και για την κοινή ταχύτητα μετά την κρούση, με τη διαφορά ότι στην περίπτωση αυτή επιλέγεις το πρώτο σημείο αμέσως μετά το τέλος της κρούσης. Το πείραμα της πλαστικής κρούσης Βίντεο Το βίντεο δείχνει τη διάταξη του πειράματος και πώς παίρνονται οι μετρήσεις που χρειάζονται για την επαλήθευση της Αρχής διατήρησης της ορμής. Βίντεο 8.1 Πείραμα της άσκησης Πειραματικό μέρος B : Ελαστικές κρούσεις Μετά την ελαστική κρούση τα δύο αμαξίδια θα πρέπει να απομακρυνθούν μεταξύ τους. Γι αυτό, φρόντισε να τοποθετηθούν με τέτοιο τρόπο, ώστε η επιφάνεια επαφής τους κατά τη σύγκρουση να έχει τους μαγνήτες. Όταν, λοιπόν, πλησιάσεις το ένα στο άλλο, αυτά θα απωθούνται. 1. Στο πείραμα της ελαστικής κρούσης το αμαξίδιο 2 (αμαξίδιο-στόχος) έχει μεγαλύτερη μάζα. Γι αυτό, τοποθετείς πάνω του βάρος 0,25 kg. Χρησιμοποιείς το άλλο αμαξίδιο χωρίς επιπλέον βάρος. 2. Ζυγίζεις τα 2 αμαξίδια και τα τοποθετείς στο διάδρομο κίνησης. 3. Σπρώχνεις το αμαξίδιο 1 προς την κατεύθυνση του αμαξιδίου 2 και με τη βοήθεια του Data Studio καταγράφεις τις ταχύτητες των αμαξιδίων ως συνάρτηση του χρόνου. Βρίσκεις τις ταχύτητες των αμαξιδίων πριν και μετά την κρούση από τη γραφική παράσταση στην οθόνη του υπολογιστή. Προαιρετικά Μια ενδιαφέρουσα περίπτωση είναι αυτή όπου m 1 =m 2, οπότε τα κινητά ανταλλάσουν ταχύτητες. Δε χρειάζεται να γράψεις στην αναφορά σου τα αποτελέσματα αυτών των πειραμάτων. Για να ξεκινήσεις τα πειράματα ελαστικών κρούσεων, καθαρίζεις το Data Studio από τα δεδομένα του πρώτου πειράματος πατώντας Experiment και επιλέγοντας Delete Last Data Run. Η άσκηση της πειραματικής επαλήθευσης της Αρχής διατήρησης της ορμής Βίντεο Το βίντεο δείχνει όλη την άσκηση για την πειραματική επαλήθευση της Αρχής διατήρησης της ορμής (θεωρία, πείραμα, μετρήσεις, υπολογισμούς). Βίντεο 8.2 Παρουσίαση της άσκησης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Θα γράψεις τα παρακάτω στο τετράδιο του εργαστηρίου πριν το πείραμα: Τίτλος άσκησης: 96

98 Όνομα: Ημερομηνία: Σκοπός: Παρατήρηση: Εκτός από το τελικό αποτέλεσμα, θα πρέπει να φαίνονται και οι αντικαταστάσεις με τις μονάδες τους Πειραματικό μέρος Α : Πλαστικές κρούσεις 1. Οι μάζες των αμαξιδίων είναι: m 1 = 10-3 kg, m 2 = 10-3 kg. 2. Τα μέτρα των ταχυτήτων είναι:, 3. Το μέτρο της αρχικής ορμής είναι: αρχ αρχ p =m 1 V 1 4. To μέτρο της τελικής ορμής του συστήματος είναι: τελ p = (m 1 +m 2 ) V κοιν αρχ p = kg m/s. τελ p = kg m/s. 5. Παρατηρώ ότι η Αρχή διατήρησης της ορμής 6. Η αρχική κινητική ενέργεια του συστήματος είναι: 1 αρχ ( ) 2 Κ ( ) m V αρχ Κ Joule. 7. Η τελική κινητική ενέργεια του συστήματος είναι: 1 ( )( ) τελ ( ) 2 τελ Κ m m V Κ Joule. 8. Από την Αρχή Διατήρησης της Ενέργειας έχω: Κ αρχ = Κ τελ + Q. To ποσό της αρχικής ενέργειας που άλλαξε μορφή είναι: Q = Κ αρχ - Κ τελ Q = Joule. 9. Το ποσοστό της αρχικής ενέργειας που άλλαξε μορφή είναι: Πειραματικό μέρος B : Ελαστικές κρούσεις 97

99 1. Οι μάζες των αμαξιδίων είναι: m 1 = 10-3 kg, m 2 = 10-3 kg. 2. Τα μέτρα των ταχυτήτων είναι: 3. Το μέτρο της αρχικής ορμής είναι: V 1 τελ = m/s, V 2 τελ = m/s. αρχ αρχ p =m 1 V 1 4. To μέτρο της τελικής ορμής του συστήματος είναι: τελ p =-m 1 V τελ τελ 1 +m 2 V 2 αρχ p = kg m/s. τελ p = kg m/s. 5. Παρατηρώ ότι η Αρχή διατήρησης της ορμής του συστήματος 6. Η αρχική κινητική ενέργεια του συστήματος είναι: 1 αρχ ( ) 2 Κ ( ) m V αρχ Κ Joule. 7. Η τελική κινητική ενέργεια του συστήματος είναι: τελ ( ) 2 ( ) 2 τελ Κ m ( V ) m ( V ) Κ Joule. 8. Από την Αρχή Διατήρησης της Ενέργειας, θα πρέπει Κ αρχ = Κ τελ, αν η κρούση είναι ελαστική. Είναι; 9. Αν Κ αρχ Κ τελ, υπολογίζω το ποσό της αρχικής ενέργειας που άλλαξε μορφή: Κ αρχ = Κ τελ + Q Q = Κ αρχ - Κ τελ Q= Joule. 10. Υπολογίζω το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας που, τελικά, έγινε θερμότητα: 11. Συμπεράσματα. Βιβλιογραφία Young, H. D. (1994). Πανεπιστημιακή Φυσική τόμ.ι. (παράγραφοι , σ ). Αθήνα: Παπαζήση. Κριτήρια αξιολόγησης 98

100 Κριτήριο αξιολόγησης 1 1. Με τη βοήθεια της Εικόνας 8.6 να βρεις την ταχύτητα του κινούμενου αμαξιδίου πριν την κρούση. Εικόνα 8.6 Γραφική παράσταση Ερώτηση Κριτηρίου Αξιολόγησης 1 άσκησης Με γνωστά: τις μάζες των αμαξιδίων m 1 =245 g και m 2 =735 g, τις ταχύτητές τους πριν την κρούση V 1 αρχ =0,43 m/s και V 2 αρχ =0, τις ταχύτητές τους μετά την κρούση V 1 τελ =10,75 cm/s και V 2 τελ =10,75 cm/s, να βρεθούν: a) η ορμή πριν την κρούση στο SI, b) η ορμή μετά την κρούση στο SI, c) η κινητική ενέργεια μετά την κρούση στο SI. 3. Εάν η αρχική κινητική ενέργεια είναι 0,023 Joule και η τελική 0,014 Joule, να βρεθεί: a) το ποσό της αρχικής ενέργειας που άλλαξε μορφή, b) το ποσοστό της αρχικής ενέργειας που άλλαξε μορφή. 4. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος; a) Στην ελαστική κρούση, αν m 1 =m 2, τα κινητά ανταλλάσουν ταχύτητες. b) Στην πλαστική κρούση η ορμή διατηρείται. c) Στην πλαστική κρούση η κινητική ενέργεια διατηρείται. Απαντήσεις 1. Σύμφωνα με την Εικόνα 8.7, η ταχύτητα του κινούμενου αμαξιδίου πριν την κρούση είναι 0,609 m/s. 99

101 Εικόνα 8.7 Γραφική παράσταση Απάντηση Κριτηρίου Αξιολόγησης 1 άσκησης a). b). c). 3. a). b). 4. d) Σωστό e) Σωστό f) Λάθος. Η μηχανική ενέργεια διατηρείται. 100

102 Άσκηση 9 Μελέτη στροφικής κίνησης στερεού σώματος Σύνοψη Σκοπός της συγκεκριμένης άσκησης είναι: ο πειραματικός υπολογισμός της ροπής αδράνειας ενός στερεού και η σύγκριση της πειραματικής τιμής με τη θεωρητική, η αναζήτηση των αιτιών που προκάλεσαν αποκλίσεις μεταξύ των δύο τιμών (πειραματικής και θεωρητικής) σε περίπτωση που αυτό συμβεί -πράγμα πολύ πιθανόν, η μελέτη της μετατροπής της βαρυτικής δυναμικής ενέργειας σε στροφική και μεταφορική κινητική ενέργεια. Στο πείραμα θα χρησιμοποιήσεις Η/Υ και μια συσκευή με πολλά εξαρτήματα η οποία παρουσιάζεται αναλυτικά στην πειραματική διάταξη στης άσκησης (βλ. κεφ ). Προαπαιτούμενη γνώση: γωνιακή ταχύτητα, γωνιακή επιτάχυνση, σχέση μέτρου γωνιακής ταχύτητας και μέτρου γωνιακής επιτάχυνσης, ροπή δύναμης ως προς άξονα, ροπή αδράνειας στερεού σώματος ως προς ακλόνητο άξονα, θεμελιώδης νόμος της στροφικής κίνησης, κινητική ενέργεια σώματος λόγω περιστροφικής και μεταφορικής κίνησης, βαρυτική δυναμική ενέργεια (Ε = m g h). 9.1 ΘΕΩΡΙΑ Γνωρίζουμε ότι: 1. Η σχέση του μέτρου γωνιακής ταχύτητας και του μέτρου της γωνιακής επιτάχυνσης (Young, 1994) είναι (Εικόνα 9.1): ω = ω 0 + α γων t ω(rad/s) ω 0 0 t (s) Εικόνα 9.1 Γραφική παράσταση μέτρου γωνιακής ταχύτητας - χρόνου. 2. Η σχέση μεταξύ μέτρου γραμμικής και γωνιακής επιτάχυνσης είναι: α γρ = γων R 101

103 Απόδειξη: v = ωr dv dt dω R dt α γρ = α γων R Η ροπή αδράνειας του στερεού (Young, 1994) που θα τοποθετήσουμε στη συσκευή του πειράματος (Εικόνα 9.2) θα υπολογιστεί από το θεμελιώδη νόμο της στροφικής κίνησης: Στ = Ι π α 1 (9.1) όπου: Στ: το αλγεβρικό άθροισμα των αριθμητικών τιμών των διανυσμάτων των ροπών που ασκούνται στο σύστημα, Ι π : η πειραματική τιμή της ροπής αδράνειας του σώματος-συστήματος, α 1 : η αριθμητική τιμή της γωνιακής επιτάχυνσης του στρεφόμενου σώματος-συστήματος, όταν ενεργούν όλες οι ροπές. Εικόνα 9.2 Σχηματική αναπαράσταση του πειράματος. Αναλυτικά, ως προς τον άξονα περιστροφής στο σύστημα ασκούνται δύο ροπές: 1. Η ροπή τ 1 της δύναμης F 1 που ασκεί το νήμα στην περιφέρεια του άξονα (Εικόνα 9.3) και έχει μέτρο: τ 1 = F 1 r (9.2) 102

104 τ 1 r F 1 νήμα r: η ακτίνα του άξονα περιστροφής r=4, m r : η ακτίνα της κλωστής (αν χρειαστεί) F 2 mg Εικόνα 9.3 Εγκάρσια τομή σχηματικής αναπαράστασης του πειράματος. Για νήμα αμελητέου βάρους και σταθερού μήκους: F 1 =F 2. Επιπλέον, θα υποθέσουμε, αρχικά, ότι: F 2 =mg, οπότε, αν ζυγίσεις τη μάζα m του σώματος που πέφτει, θα βρεις το μέτρο της ροπής: τ 1 =F 1 r τ 1 =m * g * r Παρατήρηση για ώριμους: Κανονικά mg-f 2 =mα γρ, όπου α γρ : το μέτρο της γραμμικής επιτάχυνσης με την οποία πέφτει το σώμα, και α γρ =α γων (r+r ). (9.3) 2. Η ροπή τ 2 που ασκείται στο σύστημα και προέρχεται από τις διάφορες τριβές και αντιστάσεις. Το μέτρο αυτής της ροπής υπολογίζεται χάρις σε μια έξυπνη κίνηση του κατασκευαστή της άσκησης. Καθώς η μάζα πέφτει, το νήμα ξετυλίγεται γύρω από τον άξονα και το σύστημα επιταχύνεται υπό την επίδραση όλων των ροπών. Η γωνιακή επιτάχυνση α 1 καταγράφεται από τον Η/Υ. (Μπορείς, αντί της α 1, να ζητήσεις να καταγράψεις τη γωνιακή ταχύτητα ω.) Κάποια στιγμή το νήμα ξετυλίγεται πλήρως και φεύγει από τον άξονα. Το σύστημα εξακολουθεί να περιστρέφεται, αλλά τώρα κάνει επιβραδυνόμενη στροφική κίνηση υπό την επίδραση των ροπών των τριβών. Ο Η/Υ καταγράφει τη γωνιακή επιβράδυνση α 2 (ή κάποιο άλλο συναφές μέγεθος, π.χ. τη γωνιακή ταχύτητα ω). Επομένως, τ 2 =Ια 2 Εφαρμόζουμε το θεμελιώδη νόμο της στροφικής κίνησης: (9.4) Στ=Ι α 1 τ 1 -τ 2 =Ι π α 1 τ 1 -Ι π α 2 =Ι π α 1 τ 1 =Ι π (α 1 +α 2 ) 103

105 όπου Ι π : η πειραματική τιμή της ροπής αδράνειας του στρεφόμενου συστήματος. (9.5) 9.2 ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ Πειραματική διάταξη Στο πείραμα χρησιμοποιείς μια συσκευή με πολλά εξαρτήματα τα οποία παρουσιάζονται αναλυτικά στην Εικόνα 9.4. Γενικότερα, στο πείραμα θα χρησιμοποιήσεις: Εικόνα 9.4 Εξαρτήματα της συσκευής του πειράματος. μία ξύλινη, μπλε βάση υποστήριξης του άξονα περιστροφής και αποθήκευσης των εξαρτημάτων (a), δύο ειδικές βίδες στήριξης του άξονα (b), τον άξονα (c), δύο μικρά κυλινδράκια στήριξης (d), μία σημαία διακοπής δέσμης (e), 6 σώματα διαφόρων σχημάτων προς μελέτη (f, h, ị, j), δίσκους υποστήριξης περιστρεφόμενων σωμάτων (g), 5 μικρές μάζες σε σχήμα ροδέλας, σώμα που πέφτει (k), κουβαρίστρα, κλωστή (l), το τέρας (Η/Υ), τη συσκευή που καταγράφει τις μετρήσεις και τις μεταφέρει στον Η/Υ. Το όνομά της είναι Science Workshop. Σε συνεργασία με τους διδάσκοντες του εργαστηρίου ετοιμάζεις και τοποθετείς το σώμα, τις κλωστές και τα υπόλοιπα αντικείμενα του πειράματος. 104

106 9.2.2 Βήματα 1. Για να εμφανιστεί το κατάλληλο πρόγραμμα στην οθόνη του Η/Υ, ανοίγεις από την επιφάνεια εργασίας το φάκελο MAGOS. 2. Επιλέγεις το πρόγραμμα MAGOS που έχει τον ίδιο αριθμό με την άσκηση που θα κάνεις. 3. Αποφασίζεις τίνος σώματος θα υπολογίσεις πειραματικά τη ροπή αδράνειας (π.χ. κύλινδρος, σφαίρα, κόλουρος κώνος κτλ). 4. Τοποθετείς (με βοήθεια) το σώμα στη συσκευή. Προσοχή στη σημαία! Πρέπει να είναι σε τέτοια θέση, ώστε κατά την περιστροφή του σώματος να διακόπτει την ακτίνα της φωτοδιόδου. 5. Τοποθετείς το νήμα στην εγκοπή του δισκίου και το τυλίγεις (σφιχτά) γύρω από τον άξονα περιστροφής. 6. Τώρα είσαι έτοιμος να αρχίσεις το πείραμα! 7. Αφήνεις το σώμα m να πέσει και πατάς το κουμπί Start στην οθόνη του υπολογιστή σου. 8. Λίγο μετά την επαφή του σώματος με το έδαφος, πατάς Stop. 9. Στην οθόνη του υπολογιστή σου πρέπει να έχει διαμορφωθεί μια γραφική παράσταση, όπως αυτή στην Εικόνα 9.5. Εικόνα 9.5 Γραφική παράσταση στην οθόνη του υπολογιστή. Επειδή οι άξονες είναι χρόνος μέτρο γωνιακής ταχύτητας, η κλίση της ευθείας θα δίνει το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης. Το πείραμα υπολογισμού της ροπής αδράνειας σώματος Βίντεο Το βίντεο δείχνει τη διάταξη του πειράματος και πώς παίρνονται οι μετρήσεις που χρειάζονται για τον υπολογισμό της ροπής αδράνειας. Βίντεο 9.1 Πείραμα της άσκησης

107 9.3 ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Θα γράψεις τα παρακάτω στο τετράδιο του εργαστηρίου πριν το πείραμα: Τίτλος άσκησης: Όνομα: Ημερομηνία: Σκοπός: Παρατήρηση: Εκτός από το τελικό αποτέλεσμα, θα πρέπει να φαίνονται και οι αντικαταστάσεις με τις μονάδες τους. 1. Γράφεις τίνος σώματος θα υπολογίσεις πειραματικά τη ροπή αδράνειας (π.χ. κύλινδρος, σφαίρα, κόλουρος κώνος κτλ). Σώμα: 2. Ζυγίζεις το σώμα που πέφτει (g=9,81 m/s 2 ). M= kg 3. Εκτυπώνεις την Εικόνα 9.5 και υπολογίζεις τις γωνιακές επιταχύνσεις α 1 και α 2 από την κλίση των δύο ευθειών. 4. Γράφεις τις απαντήσεις σου στον Πίνακα Γράφεις στον ίδιο πίνακα τις τιμές α 1 και α 2 από τον υπολογιστή. Από τη γραφική παράσταση με χάρακα α 1 = rad/s 2 α 2 =. rad/s 2 Από τον Η/Υ α 1 =.. rad/s 2 α 2 = rad/s 2 Πίνακας 9.1 Τιμές μέτρων γωνιακής επιτάχυνσης. Σημείωση: Αυτό το κάνεις για να συγκρίνεις την επιτάχυνση που βρίσκεις από πράξεις με το χέρι, με αυτήν που βρίσκεις με τον Η/Υ. 6. Από τον τύπο (9.5), βρίσκεις την πειραματική ροπή αδράνειας. Ι π = kg m 2 Η ακτίνα r του άξονα περιστροφής είναι: r = 4 * 10-3 m. 7. Από το Παράρτημα A της άσκησης βρίσκεις την ΤΒ. Ι ΤΒ = kg m 2 8. Υπολογίζεις την επί τοις % διαφορά ως προς την ΤΒ. 106

108 9. Αν το Χ δεν είναι ίσο με μηδέν (!), τότε αρχίζεις τις ώριμες σκέψεις. Γιατί Χ 0; Στο Παράρτημα B της άσκησης θα βρεις πολλές πληροφορίες που ίσως βοηθήσουν. Ώριμες σκέψεις: 1. Τίνος σώματος είναι η ροπή αδράνειας που βρήκες; 2. Είναι μόνο του σώματος που τοποθέτησες ή και όλων των άλλων σωμάτων που γυρίζουν μαζί (π.χ. του άξονα, της σημαίας κτλ); 3. Πήγαινε στο Παράρτημα B της άσκησης και κάνε τις απαραίτητες αφαιρέσεις. 4. Βρίσκεις, έτσι, τη νέα διορθωμένη πειραματική τιμή Ι π. 5. Βρίσκεις τη νέα εκατοστιαία διαφορά. Ι π =. kg m 2 I' 2 100% 2...% ' 6. Αν και η άσκηση τελειώνει εδώ, ίσως έχεις ακόμα απορίες: π.χ. Το πάχος της κλωστής επηρεάζει τη ροπή τ 1 =m * g * r; Απάντηση: Το πάχος της κλωστής έχει επίδραση, μόνο αν είναι συγκρίσιμο με τη διάμετρο της ράβδου. Στην Εικόνα 9.3 υποθέτουμε ότι το πάχος δεν είναι αμελητέο. 7. Με τη διάταξη που διαθέτεις, μπορείς -αν θέλεις- να αποδείξεις πειραματικά τη διατήρηση της ενέργειας. Μετράς την αρχική απόσταση της μάζας που πέφτει από το έδαφος και, όταν αυτή φτάσει στο έδαφος, μετράς τη γωνιακή και γραμμική ταχύτητα. Η άσκηση του πειραματικού υπολογισμού της ροπής αδράνειας σώματος Βίντεο Το βίντεο δείχνει όλη την άσκηση για τον πειραματικό υπολογισμό της ροπής αδράνειας σώματος (θεωρία, πείραμα, μετρήσεις, υπολογισμούς). Βίντεο 9.2 Παρουσίαση της άσκησης 9. Βιβλιογραφία Young, H. D. (1994). Πανεπιστημιακή Φυσική τόμ.ι. (παράγραφοι , , σ , ). Αθήνα: Παπαζήση. 107

109 Παράρτημα Α Τιμές βιβλιογραφίας ροπής αδράνειας (για τα σώματα που θα μελετήσουμε) Σώμα Ι ΤΒ (kg m 2 ) (με τα πλαϊνά δισκία) Ι ΤΒ (kg m 2 ) (χωρίς τα πλαϊνά δισκία) Μεγάλο κυλινδρικό κέλυφος 1, , Μεσαίο κυλινδρικό κέλυφος 8, , Μικρό κυλινδρικό κέλυφος 4, , Συμπαγής κύλινδρος 4, , Συμπαγής κόλουρος κώνος 1, , Συμπαγής σφαίρα 5, , Πίνακας 9.2 Τιμές βιβλιογραφίας ροπής αδράνειας. Παράρτημα Β Ροπές αδράνειας βοηθητικών εξαρτημάτων Αντικείμενο Ι (kg m 2 ) Δύο πλαστικοί δίσκοι στήριξης για το μεγάλο κυλινδρικό κέλυφος Δύο πλαστικοί δίσκοι στήριξης για το μεσαίο κυλινδρικό κέλυφος Δύο πλαστικοί δίσκοι στήριξης για το μικρό κυλινδρικό κέλυφος 1, , , Δισκία στήριξης του σώματος με τον άξονα 3, Σημαία 8, Πίνακας 9.3 Ροπές αδράνειας βοηθητικών εξαρτημάτων. 108

110 Κριτήρια αξιολόγησης Κριτήριο αξιολόγησης 1 1. Με τη βοήθεια της Εικόνας 9.6 να βρεις: a) τη γωνιακή επιτάχυνση, b) τη γωνιακή επιβράδυνση. Εικόνα 9.6 Γραφική παράσταση Ερώτηση Κριτηρίου Αξιολόγησης 1 άσκησης Να βρεθεί η ροπή αδράνειας στο SI, αν η συνολική ροπή είναι 0,0002 Nm και η γωνιακή επιτάχυνση 32 rad/s Να βρεθεί η ροπή σε Nm, αν η δύναμη είναι 2,3 Ν και η απόσταση από τον άξονα περιστροφής 4 mm. 4. Να βρεθεί η ροπή αδράνειας σώματος που έχει τοποθετηθεί στη διάταξη του πειράματος, αν η μάζα που κρεμώ είναι 30,5 g, η ακτίνα του άξονα περιστροφής 4 mm, η γωνιακή επιτάχυνση 12,6 rad/s 2 και η γωνιακή επιβράδυνση -1,2 rad/s 2. Δίνεται g=9,81 m/s Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος; a) Η κλίση της γραφικής παράστασης της γωνιακής ταχύτητας σε σχέση με το χρόνο μού δίνει τη γωνιακή επιτάχυνση. b) Η γραμμική επιτάχυνση είναι ανάλογη της γωνιακής επιτάχυνσης. c) Το kgm είναι μονάδα μέτρησης της ροπής αδράνειας στο SI. Απαντήσεις 1. Σύμφωνα με τη γραφική παράσταση στην Εικόνα 9.7: 109

111 Εικόνα 9.7 Γραφική παράσταση Απάντηση Κριτηρίου Αξιολόγησης 1 άσκησης a) Η γωνιακή επιτάχυνση είναι ίση με την κλίση (slope) του ανοδικού μέρους της γραφικής παράστασης. Όπως φαίνεται στην Εικόνα 9.7, η κλίση m (slope) είναι 14,5 rad/s 2, αφού η γωνιακή ταχύτητα στον κατακόρυφο άξονα είναι σε rad/s και ο χρόνος στον οριζόντιο άξονα σε s. b) Η γωνιακή επιβράδυνση είναι ίση με την κλίση (slope) του καθοδικού μέρους της γραφικής παράστασης. Όπως φαίνεται στην Εικόνα 9.7, η κλίση m (slope) είναι -1,90 rad/s 2, αφού η γωνιακή ταχύτητα στον κατακόρυφο άξονα είναι σε rad/s και ο χρόνος στον οριζόντιο άξονα σε s a) Σωστό b) Σωστό c) Λάθος. Είναι το kg * m

112 Άσκηση 10 Παίζω Μαθαίνω Αποφασίζω Σύνοψη Σκοπός της συγκεκριμένης άσκησης είναι ο έλεγχος ύπαρξης συντηρητικών και μη συντηρητικών δυνάμεων σε μια δεδομένη διαδρομή σώματος. Το θεωρητικό μέρος έχει να κάνει με τη διατήρηση της ενέργειας σε μια διάταξη που εσύ θα κατασκευάσεις. Το πειραματικό μέρος θυμίζει παιδικά παιχνίδια με τρενάκια, τροχιές και ανακυκλώσεις. Τα όργανα που θα χρησιμοποιήσεις είναι: μεταβλητή τροχιά, αμαξίδια, φωτοπύλες και Η/Υ. Πιθανά οφέλη: Η χαρά που προσφέρει το παιχνίδι, όταν μάλιστα συνοδεύεται από συμμετοχή σε κατασκευές και λήψη αποφάσεων. Προαπαιτούμενη γνώση: βαρυτική δυναμική ενέργεια, κινητική ενέργεια, θεμελιώδης νόμος της Μηχανικής, νόμοι κυκλικής κίνησης ΘΕΩΡΙΑ 1. Όταν ένα σώμα μάζας m κάνει μόνο μεταφορική κίνηση με ταχύτητα μέτρου V, έχει μεταφορική κινητική ενέργεια: 1 2 K mv 2 (10.1) 2. Σώμα μάζας m μέσα στο βαρυτικό πεδίο της γης και σε απόσταση h από ένα επίπεδο αναφοράς (Εικόνα 10.1), έχει βαρυτική ενέργεια: U = m g h (10.2) 3. Ως μηχανική ενέργεια του σώματος ορίζεται το άθροισμα: Ε = Κ + U (10.3) 4. Αν σε ένα σώμα ασκούνται μόνο συντηρητικές δυνάμεις, τότε η μηχανική ενέργειά του παραμένει σταθερή (Young, 1994), δηλαδή ισχύει η σχέση (10.3), οπότε: 1 m g h 1 = m g h 2 + m VΓ2 V Γ = g( h 1 h ) (10.4) Ο τύπος (10.4) δίνει το μέτρο της ταχύτητας στο σημείο Γ (βλ. Εικόνα 10.1), αν θεωρήσεις αμελητέες τις τριβές.

113 A υ Γ Γ h 1 W F κ h 2 U=0 Εικόνα 10.1 Σχηματική διάταξη του πειράματος. 5. Αν λάβεις υπόψη σου τις συνολικές αντιστάσεις και τριβές, τότε από την Αρχή Διατήρησης της Ενέργειας έχεις: 1 1 m g h 1 = m g h 2 + m VΓ 2 + W αντ W αντ = m g h 1 - m g h 2 - m VΓ (10.5) Από τον τύπο (10.5) θα υπολογίσεις το συνολικό έργο των αντιστάσεων και τριβών W αντ. 6. Παρουσιάζει ενδιαφέρον να υπολογίσεις το ποσοστό της αρχικής ενέργειας που δαπανήθηκε από τις τριβές και αντιστάσεις: W X αντ 100% mgh1 (10.6) 10.2 ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ 1. Ελέγχεις τη διαδρομή και κάνεις μια δοκιμαστική ανακύκλωση με το αμαξίδιο. 2. Για να εμφανιστεί το κατάλληλο πρόγραμμα στην οθόνη του Η/Υ, ανοίγεις από την επιφάνεια εργασίας το φάκελο MAGOS. 3. Επιλέγεις το πρόγραμμα MAGOS που έχει τον ίδιο αριθμό με την άσκηση που θα κάνεις. 4. Στη συνέχεια, πραγματοποιείς το πείραμα αφήνοντας το αμαξίδιο από το σημείο Α. 5. Μετράς τα ύψη h 1 και h 2 και διαβάζεις από τον υπολογιστή το μέτρο της ταχύτητας στο σημείο Γ. Το πείραμα της άσκησης 10 (Παίζω μαθαίνω - αποφασίζω) Βίντεο Το βίντεο δείχνει τη διάταξη του πειράματος και πώς παίρνονται οι μετρήσεις που χρειάζονται για τον υπολογισμό του έργου των αντιστάσεων. 112

114 Βίντεο 10.1 Πείραμα της άσκησης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Θα γράψεις τα παρακάτω στο τετράδιο του εργαστηρίου πριν το πείραμα: Τίτλος άσκησης: Όνομα: Ημερομηνία: Σκοπός: Παρατήρηση: Εκτός από το τελικό αποτέλεσμα, θα πρέπει να φαίνονται και οι αντικαταστάσεις με τις μονάδες τους. 1. Μετράς τα ύψη: h 1 = m και h 2 = m. 2. Ζυγίζεις το αμαξίδιο: m = kg. 3. Από τον τύπο (10.4) υπολογίζεις το μέτρο της θεωρητικής ταχύτητας στο σημείο Γ: και το γράφεις στον Πίνακα V Γ = g( h 1 h ) V Γ = m/s Πραγματοποιείς το πείραμα, αφού προηγουμένως τοποθετήσεις στο σημείο Γ μια φωτοπύλη. 5. Όταν το αμαξίδιο περάσει από το σημείο Γ, διαβάζεις στον Η/Υ το μέτρο της πειραματικής ταχύτητας V Γ και το γράφεις στον Πίνακα V Γ = m/s V Γ (m/s) V Γ (m/s) Πίνακας 10.1 Μέτρα ταχυτήτων. 6. Γράφεις τα συμπεράσματα στα οποία κατέληξες μετά τη σύγκριση των τιμών των ταχυτήτων του Πίνακα Υπολογίζεις το συνολικό έργο τριβών και αντιστάσεων: W αντ = m g h 1 (m g h m VΓ 2) W αντ = Joule 8. Υπολογίζεις το ποσοστό της αρχικής ενέργειας που δαπανήθηκε από τις τριβές και αντιστάσεις Χ = W mgh 1 100% Χ = % 113

115 9. Με βάση την τιμή του Χ, απάντησε αν στο αμαξίδιο ασκούνται μη συντηρητικές δυνάμεις, και εξήγησε γιατί. Η άσκηση 10 (Παίζω μαθαίνω αποφασίζω) Βίντεο Το βίντεο δείχνει όλη την άσκηση για τον υπολογισμό των ενεργειών στις περιπτώσεις συντηρητικών και μη συντηρητικών δυνάμεων. Βίντεο 10.2 Παρουσίαση της άσκησης 10. Βιβλιογραφία Young, H. D. (1994). Πανεπιστημιακή Φυσική τόμ.ι. (παράγραφοι , σ ). Αθήνα: Παπαζήση. Κριτήρια αξιολόγησης Κριτήριο αξιολόγησης 1 1. Με τη βοήθεια της Εικόνας 10.2 να βρεις την ταχύτητα που έχει το αμαξίδιο στη θέση h 2. Στη συνέχεια, υπολόγισε την εκατοστιαία διαφορά ως προς τη θεωρητική τιμή η οποία είναι 1,235 m/s. Εικόνα 10.2 Ταχύτητα αμαξιδίου Ερώτηση Κριτηρίου Αξιολόγησης 1 άσκησης a) Αν στη θέση h 1 =77 cm η ταχύτητα του αμαξιδίου είναι μηδέν, να υπολογιστεί η ταχύτητα στο SI στη θέση h 2 =57 cm. Δίνεται g=10 m/s 2. b) Ποιο είναι το έργο των αντιστάσεων και τριβών σε Joule, αν η ταχύτητα που υπολόγισες στο πείραμά σου είναι 1,9 m/s και η μάζα του αμαξιδίου 100 g; c) Ποιο είναι το ποσοστό της αρχικής ενέργειας που δαπανήθηκε από τις τριβές και αντιστάσεις, αν το έργο των τριβών και αντιστάσεων που υπολόγισες προηγουμένως είναι 0,1 Joule; 3. Να βρεθεί σε Joule η κινητική ενέργεια που έχει ένα σώμα, όταν η μάζα του είναι 117 g και η ταχύτητά του 80 cm/s. 4. Να βρεθεί σε Joule η βαρυτική ενέργεια που έχει ένα σώμα μάζας 117 g, όταν η απόστασή του από το επίπεδο αναφοράς είναι 62 cm. Δίνεται g=10 m/s

116 5. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος; a) 1 Joule = 1 N*m. b) Η μηχανική ενέργεια Ε είναι: E = K + U. c) Αν σε ένα σώμα ασκούνται μόνο συντηρητικές δυνάμεις, τότε η κινητική ενέργειά του παραμένει σταθερή. Απαντήσεις 1. Σύμφωνα με την Εικόνα 10.3, Εικόνα 10.3 Ταχύτητα αμαξιδίου Απάντηση Κριτηρίου Αξιολόγησης άσκησης 10. η ταχύτητα που έχει το αμαξίδιο στη θέση h 2 είναι 1,415 m/s. 2. a). b). c) a) Σωστό b) Σωστό c) Λάθος. Η μηχανική ενέργεια παραμένει σταθερή. 115

117 Άσκηση 11 Υπολογισμός συντελεστών κινητικής και στατικής τριβής Σύνοψη Σκοπός της συγκεκριμένης άσκησης είναι: Να υπολογιστεί ο συντελεστής κινητικής τριβής μ κ. Να υπολογιστεί ο συντελεστής στατικής τριβής μ σ. Να μελετηθεί η εξάρτηση του μ κ από την κάθετη αντίδραση του επιπέδου και από το είδος των επιφανειών. Να γίνει σχολιασμός των αποτελεσμάτων χωρίς στατιστική ανάλυση, λόγω περιορισμένου αριθμού μετρήσεων. Τα όργανα που θα χρησιμοποιήσεις στο πείραμα είναι: τράπεζα, αμαξίδια-κουτιά, βάρη, αισθητήρας δύναμης, αισθητήρας κίνησης, λογισμικό καταγραφής δεδομένων Data Studio. Προαπαιτούμενη γνώση: νόμοι της τριβής, Στατική και Δυναμική υλικού σημείου, καταγραφή δεδομένων με το Data Studio ΘΕΩΡΙΑ Η τριβή είναι μια δύναμη που ασκείται από ένα σώμα σε ένα άλλο με το οποίο είναι σε επαφή και υπάρχει σχετική κίνηση μεταξύ τους (Young, 1994). Όταν το σώμα κινείται ως προς το άλλο, η δύναμη αυτή ονομάζεται κινητική τριβή. Όταν το σώμα έχει τάση να κινηθεί ως προς το άλλο, η δύναμη αυτή ονομάζεται στατική τριβή. Παράδειγμα: 1. Αν εκτοξεύσουμε ένα μικρό σώμα πάνω σε ένα τραπέζι, μετά από λίγο αυτό θα ηρεμήσει. Για την επιβράδυνση και την τελική ακινητοποίηση του σώματος υπεύθυνη είναι η δύναμη της κινητικής τριβής μεταξύ σώματος και επιπέδου, μεταξύ σώματος και αέρα και λοιπών αντιδράσεων. 2. Αν προσπαθήσουμε να σπρώξουμε ένα κιβώτιο στο δάπεδο, θα δούμε ότι, αρχικά, το κιβώτιο δεν κινείται καθόλου, παρά την δύναμη που του ασκείται. Υπεύθυνη για την ακινησία αυτή είναι η δύναμη της στατικής τριβής. Αν επιμείνουμε, μετά από μια κρίσιμη δύναμη το κιβώτιο θα κινηθεί. Τότε θα διαπιστώσουμε ότι μπορούμε να το διατηρήσουμε σε κίνηση με μικρότερη δύναμη από αυτήν που χρειάστηκε για να ξεκινήσει. Αυτό συμβαίνει, επειδή η κινητική τριβή είναι συνήθως μικρότερη από τη μέγιστη στατική τριβή. Η τριβή σε άλλες περιπτώσεις είναι χρήσιμη, ενώ σε άλλες ανεπιθύμητη. Για παράδειγμα, χωρίς τριβή δεν θα μπορούσαμε να περπατήσουμε ή να κρατήσουμε ένα μολύβι στο χέρι μας. Από την άλλη, το 20% περίπου της ισχύος μιας μηχανής αυτοκινήτου καταναλώνεται για την υπερνίκηση δυνάμεων τριβής. Όλα τα κινούμενα μηχανικά μέρη φθείρονται ή τελικά ακινητοποιούνται λόγω τριβών. Οι μηχανικοί καταβάλλουν μεγάλη προσπάθεια για την ελαχιστοποίηση των δυνάμεων αυτών. Η τριβή είναι αποτέλεσμα των ηλεκτρικών δυνάμεων που αναπτύσσονται ανάμεσα στα άτομα των δύο επιφανειών και στα μόρια του όποιου υλικού υπάρχει ανάμεσά τους. 116

118 Α Εικόνα 11.1 Περιπτώσεις τριβής. 1η περίπτωση (Εικόνα 11.1α) Στο σώμα ασκούνται μόνο δύο δυνάμεις: το βάρος του και η δύναμη επαφής από το επίπεδο. Το σώμα δεν κινείται ούτε έχει τάση να κινηθεί. Επομένως, η συνισταμένη των δυνάμεων είναι μηδέν. 2η περίπτωση (Εικόνα 11.1β) Ασκούμε στο σώμα μια δύναμη τέτοια, ώστε το σώμα να παραμένει ακίνητο. Στο σώμα ασκούνται τρεις δυνάμεις: το βάρος, η και η αντίδραση του επιπέδου. Αναλύουμε τη δύναμη σε δύο συνιστώσες, την κάθετη αντίδραση του επιπέδου και τη στατική τριβή. Το σώμα ισορροπεί, άρα, εκείνη τη στιγμή το μέτρο της θα είναι ίσο με το μέτρο της στατικής τριβής T στ. Αυξάνουμε την και το σώμα εξακολουθεί να είναι ακίνητο. Επομένως, αυξάνει και η στατική τριβή η οποία κάθε στιγμή έχει μέτρο ίσο με αυτό της. Εικόνα 11.2 Διάγραμμα στατικής τριβής. 3η περίπτωση (Εικόνα 11.1γ) Κάποια στιγμή το σώμα αρχίζει να κινείται. Λίγο πριν αρχίσει η κίνηση, η στατική τριβή παίρνει τη μέγιστη τιμή της και, αμέσως μόλις αρχίσει η κίνηση, η τιμή της μειώνεται και παραμένει σταθερή κατά τη διάρκεια της κίνησης (Εικόνα 11.2). Αν η ταχύτητα u παραμένει σταθερή, τότε η δύναμη που ασκούμε στο σώμα είναι ίση με το μέτρο της κινητικής τριβής. Νόμος Τριβής Το μέτρο της Τ κ είναι ανάλογο της κάθετης συνιστώσας F κ, της συνολικής αντίδρασης που ασκεί το επίπεδο στο σώμα. Τ κ =μ κ F κ (11.1) 117

119 Από τι εξαρτώνται οι συντελεστές τριβής; Από τη φύση των επιφανειών επαφής, δηλαδή από το υλικό κάθε επιφάνειας. Από την υφή των επιφανειών επαφής, δηλαδή από το πόσο λείες είναι, και από άλλα μικροσωματίδια που έχουν κολλήσει επάνω τους. Δύο τελείως επίπεδες, λείες, υάλινες επιφάνειες σε επαφή έχουν αρκετά μεγαλύτερο μ σ από δύο αντίστοιχες μη λείες επιφάνειες. (Όσο και αν αυτό φαίνεται παράξενο!) Είναι ανεξάρτητοι του εμβαδού της επιφάνειας επαφής. Αυτό συμβαίνει για μικρές σχετικά αντιδράσεις. Σε μεγάλες αλλάζει η υφή των επιφανειών επαφής, λόγω συμπίεσης και ελαστικής παραμόρφωσης. Μειώνονται οι αποστάσεις των απέναντι ατόμων μεταξύ τους, ώστε, τελικά, να αυξάνονται οι δυνάμεις επαφής και, κατά συνέπεια, οι συντελεστές τριβής. Το μέτρο της μέγιστης στατικής τριβής δίνεται από τον τύπο: Τ σmax =μ σ F κ όπου ο μ σ αναφέρεται συνήθως στη μέγιστη στατική τριβή. Παρατήρηση: Επειδή η μέγιστη στατική τριβή είναι μεγαλύτερη από την κινητική, γι αυτό μ σ >μ κ. (11.2) 4η περίπτωση (Εικόνα 11.1δ) Μετά την έναρξη της κίνησης, αν F=Τ κ, το σώμα κάνει ευθύγραμμη ομαλή κίνηση. Αν F>T κ, το σώμα κάνει επιταχυνόμενη κίνηση. Όλα τα παραπάνω ισχύουν μέσα σε ορισμένα όρια ταχυτήτων, όπου η φυσική κατάσταση των επιφανειών δεν διαταράσσεται αισθητά και η αντίσταση του αέρα μπορεί να θεωρηθεί αμελητέα. Γενικά, η τριβή συνδέεται με την ταχύτητα με πολύπλοκους τύπους που είναι εκτός της δικής μας εργασίας ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ Α : Υπολογισμός του συντελεστή κινητικής τριβής Στο μέρος αυτό θα μελετήσεις την κινητική τριβή που ασκείται σε ένα σώμα, όταν οι επιφάνειες επαφής είναι διαφορετικές, και θα υπολογίσεις το συντελεστή κινητικής τριβής. (Οι επιφάνειες θα μπορούσε να είναι και ίδιες.) Διάταξη του πειράματος Η πειραματική διάταξη της άσκησης φαίνεται στην Εικόνα Εικόνα 11.3 Πειραματική διάταξη άσκησης Βήματα 118

120 1. Για να εμφανιστεί το κατάλληλο πρόγραμμα στην οθόνη του Η/Υ, ανοίγεις από την επιφάνεια εργασίας το φάκελο MAGOS. 2. Επιλέγεις το πρόγραμμα MAGOS που έχει τον ίδιο αριθμό με την άσκηση που θα κάνεις. 3. Ως κινητά χρησιμοποιείς κουτιά με επιφάνεια επαφής από φελλό ή τσόχα. Σε κάθε κουτί μπορείς να προσθέσεις μάζες, ώστε να αυξήσεις την αντίδραση. Η επιφάνεια κίνησης είναι μια αλουμινένια τράπεζα. 4. Τα μέτρα των δυνάμεων που ασκείς στο κινητό κάθε στιγμή και τα μέτρα των ταχυτήτων καταγράφονται με τη βοήθεια των αντίστοιχων αισθητήρων. Εικόνα 11.4 Μέτρα δυνάμεων και ταχυτήτων στην οθόνη του Data Studio. 5. Παίρνεις ένα κουτί (Κ) με επιφάνεια επαφής από φελλό ή τσόχα -ανάλογα με την ομάδα στην οποία ανήκεις- και το ζυγίζεις. Καταχωρείς το αποτέλεσμα στον Πίνακα Για βάρη Β 1 και Β 2 προτείνουμε να βάλεις: m Β1 =100 g=0,1 kg και m B2 =0,1 kg. (Αυτά τα βάρη δεν θα αλλοιώσουν αισθητά τις επιφάνειες.) 6. Συνδέεις το κουτί (Κ) με τον αισθητήρα δύναμης. Πατάς το κουμπί Zero, για να μηδενίσεις προηγούμενες μετρήσεις. 7. Στο Data Studio πατάς το κουμπί Start, για να αρχίσει η καταγραφή των δεδομένων δύναμης χρόνου. 8. Προσπαθείς, ώστε το μέτρο της δύναμης να είναι τόσο, όσο χρειάζεται για να κάνει το κινητό ομαλή κίνηση. Αυτό μπορείς να το ελέγξεις κοιτάζοντας το διάγραμμα ταχύτητας χρόνου (βλ. Εικόνα 11.4). 9. Για το χρονικό διάστημα που η ταχύτητα παραμένει σταθερή, πηγαίνεις στο διάγραμμα δύναμης χρόνου και επιλέγεις τα σημεία που αντιστοιχούν στο ίδιο χρονικό διάστημα (τα κιτρινίζεις). 10. Πατάς το εικονίδιο Σ, οπότε εμφανίζεται η μέση τιμή των μετρήσεων της δύναμης που επέλεξες. Αυτό είναι το μέτρο της κινητικής τριβής. Το καταχωρείς στον Πίνακα Από το μενού επιλέγεις Experiment και πατάς το Delete all Data Runs. Τώρα μπορείς να συνεχίσεις το πείραμα. Πάνω στο ίδιο κουτί τοποθετείς το βάρος Β 1 μάζας m B1 και επαναλαμβάνεις τα ίδια βή- 119

121 ματα. Στη συνέχεια, πάνω στο κουτί με το βάρος Β 1 βάζεις ένα επιπλέον βάρος Β 2 και επαναλαμβάνεις τα ίδια βήματα. Τώρα έχεις τρεις τιμές κινητικής τριβής για τα ίδια υλικά και τρεις τιμές της αντίστοιχης κάθετης αντίδρασης F κ. Με βάση το σκοπό της άσκησης, μπορείς να υπολογίσεις τους συντελεστές κινητικής τριβής και τη μέση τιμή τους. 12. Υπολογίζεις τη διαφορά επί τοις % της ΤΒ μ κ από τη μέση τιμή. 13. Σχολιάζεις τα αποτελέσματα των υπολογισμών σου με τους διδάσκοντες του εργαστηρίου. Το πείραμα της μέτρησης της κινητικής τριβής Βίντεο Το βίντεο δείχνει τη διάταξη του πειράματος και πώς παίρνονται οι μετρήσεις που χρειάζονται για τον υπολογισμό του συντελεστή της κινητικής τριβής. Βίντεο 11.1 Πείραμα κινητικής τριβής άσκησης ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ Β : Υπολογισμός του συντελεστή στατικής τριβής Διάταξη του πειράματος Υλοποιείς την ίδια πειραματική διάταξη που χρησιμοποίησες για τον υπολογισμό του μ κ Βήματα 1. Πατάς το κουμπί Start. 2. Ασκείς μια προοδευτικά αυξανόμενη δύναμη F και παρατηρείς την τιμή της λίγο πριν το σώμα Κ αρχίσει να κινείται. Αυτή η τιμή της δύναμης είναι ίση με το μέτρο της στατικής τριβής. Μπορείς να διαβάσεις εύκολα την τιμή αυτή με το Smart Tool το οποίο μετακινείς στο σημείο της μέγιστης στατικής τριβής. 3. Καταχωρείς την τιμή στον Πίνακα Μετράς τη μάζα του αμαξιδίου -οπότε ξέρεις και την F κ - και υπολογίζεις τον μ σ. 5. Καταχωρείς το αποτέλεσμα στον Πίνακα Επαναλαμβάνεις το ίδιο πείραμα άλλες δύο φορές, την πρώτη φορά με πρόσθετο βάρος Β 1 (m 1 =0,1 kg) και τις ίδιες επιφάνειες, τη δεύτερη φορά με ένα επιπλέον βάρος Β 2 (m 2 =0,1 kg). 7. Έχεις τώρα τρεις συντελεστές στατικής τριβής για τις ίδιες επιφάνειες, αλλά για διαφορετικές κάθετες αντιδράσεις του επιπέδου. Τις καταχωρείς επίσης στον Πίνακα Υπολόγισε τη μέση τιμή αυτών των μετρήσεων και καταχώρησέ την στον ίδιο πίνακα. 9. Γράψε τα σχόλια και τις παρατηρήσεις σου στο φύλλο εργασίας. Το πείραμα της μέτρησης του συντελεστή στατικής τριβής Βίντεο Το βίντεο δείχνει τη διάταξη του πειράματος και πώς παίρνονται οι μετρήσεις που χρειάζονται για τον υπολογισμό του συντελεστή της στατικής τριβής. Βίντεο 11.2 Πείραμα στατικής τριβής άσκησης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Θα γράψεις τα παρακάτω στο τετράδιο του εργαστηρίου πριν το πείραμα: Τίτλος άσκησης: Όνομα: 120

122 Ημερομηνία: Σκοπός: 1. Συμπληρώνεις τον Πίνακα m K (kg) M Β1 (kg) M Β2 (kg) Πίνακας Μάζες σωμάτων. 2. Συμπληρώνεις τον Πίνακα Σώμα Κ Κ+Β 1 Κ+Β 1 +Β 2 Συνολική μάζα: Μ συν (kg) Πίνακας 11.2 Μέτρα κινητικών τριβών. Συνολική κάθετη δύναμη: F κ =Μ συν g (N) Κινητική τριβή Τ κ (Ν) 3. Υπολογίζεις τη μέση τιμή του συντελεστή κινητικής τριβής. Υλικό μ σ μ κ Τσόχα - Αλουμίνιο 0,28 0,23 Φελλός - Αλουμίνιο 0,52 0,40 Πίνακας 11.3 Τιμές βιβλιογραφίας. 4. Υπολογίζεις την επί τοις % διαφορά της ΤΒ μ κ από τη μέση τιμή. 5. Συμπληρώνεις τον Πίνακα Σώμα Κ Κ+Β1 Κ+Β1+Β2 Συνολική μάζα: Μ συν (kg) Πίνακας 11.4 Μέτρα στατικών τριβών. Συνολική κάθετη δύναμη: F κ =Μ συν g (N) Στατική τριβή Τ σ (Ν) 6. Υπολογίζεις τη μέση τιμή του συντελεστή στατικής τριβής. =. 7. Υπολογίζεις την επί τοις % διαφορά της ΤΒ μ σ από τη μέση τιμή. 121

123 8. Σχολιάζεις τα αποτελέσματά σου με τους διδάσκοντες του εργαστηρίου. Η άσκηση της μέτρησης του συντελεστή τριβής Βίντεο Το βίντεο παρουσιάζει όλη την άσκηση για τον υπολογισμό του συντελεστή στατικής και κινητικής τριβής (θεωρία, πείραμα, μετρήσεις, υπολογισμούς). Βίντεο 11.3 Παρουσίαση της άσκησης 11. Βιβλιογραφία Young, H. D. (1994). Πανεπιστημιακή Φυσική τόμ.ι. (παράγραφος 5.3, σ και παραδείγματα , σ ). Αθήνα: Παπαζήση. Κριτήρια αξιολόγησης Κριτήριο αξιολόγησης 1 1. Με τη βοήθεια της Εικόνας 11.5 να βρεις: a) τη δύναμη της κινητικής τριβής, b) τη δύναμη της στατικής τριβής. 122

124 Εικόνα 11.5 Οθόνη Data Studio Ερώτηση Κριτηρίου Αξιολόγησης 1 άσκησης 11. 2) Αν η μάζα του σώματος είναι 0,54 kg, να βρεθεί η κάθετη δύναμη σε Ν (Δίνεται g=9,81 m/s 2 ). 3) Να βρεθεί ο συντελεστής κινητικής τριβής, αν η δύναμη της κινητικής τριβής είναι 1,408 N και το βάρος του σώματος 3,2 N. 4) Ποια είναι η μικρότερη δύναμη σε Ν που πρέπει να εφαρμόσω σε ένα σώμα για να αρχίσει να κινείται, αν η μέγιστη στατική τριβή είναι 5,1 N και η κινητική 4,4 N; 5) Να βρεθεί η δύναμη της στατικής τριβής σε Ν, αν ο συντελεστής στατικής τριβής είναι 0,54 και το βάρος του σώματος 3,2 N. 6) Εάν η ΤΒ του συντελεστή τριβής είναι 0,53 και εσύ τον βρήκες 0,58, πόση είναι η εκατοστιαία διαφορά τους ως προς την ΤΒ; 7) Ποιες από τις παρακάτω φράσεις είναι σωστές και ποιες είναι λάθος; a) Ο συντελεστής τριβής εξαρτάται από την υφή των επιφανειών επαφής. b) Ο συντελεστής τριβής εξαρτάται από το εμβαδόν της επιφάνειας επαφής. c) Η τιμή του συντελεστή κινητικής τριβής είναι μικρότερη από τη μέγιστη τιμή του συντελεστή στατικής τριβής. Απαντήσεις 1. a) Σύμφωνα με το πείραμα, η κινητική τριβή είναι ίση με τη μέση τιμή της δύναμης που εφαρμόζεται στο σώμα, όταν αυτό κινείται με σταθερή ταχύτητα. Στην Εικόνα 11.6 βλέπω ότι η μέση τιμή (mean) είναι 1,10. Άρα, η κινητική τριβή είναι 1,10 Ν. b) Σύμφωνα με το πείραμα, η στατική τριβή είναι η μέγιστη τιμή της δύναμης μου εφαρμόζεται στο σώμα, λίγο πριν αυτό ξεκινήσει. Στην Εικόνα 11.6 βλέπω ότι είναι 1,20 Ν. 123

125 Εικόνα 11.6 Οθόνη Data Studio Απάντηση Κριτηρίου Αξιολόγησης 1 άσκησης Σύμφωνα με το πείραμα, η κάθετη δύναμη F κ είναι ίση με το βάρος Β του σώματος. Άρα, F κ =Β=mg=0,54 kg9,81 m/s 2 =5,2974 N. 3. Ξέρω ότι Τ κ =μ κ F κ. Άρα, 4. Για να αρχίσει να κινείται το σώμα, πρέπει να εφαρμόσω δύναμη τουλάχιστον ίση με τη τιμή της μέγιστης στατικής τριβής. Άρα, 5,1 Ν. 5. Ξέρω ότι Τ σ =μ σ F κ =0,543,2 Ν=1,728 Ν. 6. Ξέρω ότι 7. a) Σωστό b) Λάθος c) Σωστό. 124

126 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Μέσο σφάλμα μεγέθους (που υπολογίζεται από σύνθετη συνάρτηση) Όταν το πρωτοείδα, κι εγώ δεν το συμπάθησα. Είναι, όμως, λάθος μας, καθώς πρόκειται για κάτι πολύ απλό και σίγουρο ως μέθοδος υπολογισμού μιας αβεβαιότητας. Το μόνο που χρειάζεται, είναι να ξέρεις να βρίσκεις μια Μερική Παράγωγο, που είναι, νομίζω, μια εύκολη δουλειά. Θεώρημα: Αν το μέτρο ενός μεγέθους q υπολογίζεται με βάση τη συνάρτηση q=f(x,y,,z), όπου τα μεγέθη x,y,,z έ- χουν μετρηθεί και τα Απόλυτα σφάλματά τους είναι δx,δy,,δz αντίστοιχα, τότε το Μέσο (απόλυτο) Σφάλμα δq δίνεται από τη σχέση: q q x x 2 q... z z 2 (ΠαρΑ.1) όπου q x είναι η μερική παράγωγος της q ως προς x κ.ο.κ. Για να ισχύει η (ΠαρΑ.1), πρέπει οι μετρήσεις των x,y,,z να περιέχουν τυχαία σφάλματα, δηλαδή τα συστηματικά να είναι αμελητέα ως προς τα δx,δy,,δz. Αυτή η υπόθεση είναι, βέβαια, δύσκολο να ελεγχθεί αν ισχύει (Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσικής, 2013). Επιπλέον, το ίδιο θεώρημα λέει ότι το Μέσο Σφάλμα ικανοποιεί την q q x... x q z z (ΠαρΑ.2) Παράδειγμα 1 Αν q=x+y και x δx, y δy, τότε: q q =1, =1. Άρα, από την (ΠαρΑ.1) x y q x 1 y q x y (ΠαρΑ.3) Σε αυτή την περίπτωση εμείς έχουμε ορίσει το Μέγιστο Σφάλμα: δq max =δx+δy (ΠαρΑ.4) Εύκολα βλέπεις ότι: δq max δq (Πυθαγόρας). Ερώτηση: Ποιο από τα δύο είναι καλύτερο; Απάντηση: Εξαρτάται! 125

127 Ξέρεις ότι το δq καθορίζει το εύρος της περιοχής που έχει πιθανότητα 68% να βρεθεί η επόμενη μέτρηση. Από σένα εξαρτάται αν θέλεις οι μετρήσεις με πιθανότητα 68% να είναι μέσα σε μεγάλη περιοχή την οποία καθορίζει το (δq max ) ή μέσα σε μικρότερη περιοχή την οποία καθορίζει το δq δq max. Συμπέρασμα: Το Μέσο Σφάλμα δq, που είναι μικρότερο από το Μέγιστο Σφάλμα, σου δίνει μια μικρότερη περιοχή αβεβαιότητας. Αυτό μπορεί να είναι καλύτερο ή όχι, ανάλογα με τη σιγουριά που θέλεις να έχεις. Παρατήρηση: Συνήθως, στα πρώτα εργαστήρια όλοι χρησιμοποιούμε το Μέγιστο Σφάλμα, επειδή οι μερικές παράγωγοι δεν είναι ακόμα γνωστές. Με λίγο περισσότερη εμπιστοσύνη στις γνώσεις μας και στις μερικές παραγώγους, θα μπορούσαμε να χρησιμοποιούμε το Μέσο Σφάλμα και να είμαστε, έτσι, σε ένα υψηλό επίπεδο. Παράδειγμα L Από τον τύπο του εκκρεμούς g, όπου LδL=(8001) 10-3 m, έχουμε TδΤ=(1,790,10) s. 2 T g Μέγιστο σφάλμα: g L T 2 δg max =1,11 m/s 2. L T Μέσο σφάλμα: g g L L 2 g T T 2 2 g 4 όπου 2 L T και g =4π 2 L (Τ -2 2 g 8 L ), 3 T T T και δl= m, δτ=0,10 s T L 6 T δg= L T 2 2 δg=1,10 m/s 2. Άρα, δg max δg. Βιβλιογραφία Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσικής. Τόμος Ι. (2013). [Εργαστηριακός Οδηγός - Πανεπιστημιακές Σημειώσεις] Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Τομέας Φυσικής, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Θετικών Επιστημών, Εκπαιδευτικά Εργαστήρια [online] διαθέσιμο από: < 126

128 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β Ακρίβεια Επαναληψιμότητα μετρήσεων 1. Θα λέμε ότι Ν μετρήσεις ενός μεγέθους παρουσιάζουν μεγάλη ακρίβεια (accuracy), αν η μέση τιμή των μετρήσεων είναι κοντά στην αληθινή τιμή του μεγέθους. Θα πρέπει τα τυχαία σφάλματα να είναι μικρά, και τα συστηματικά να είναι αμελητέα. 2. Θα λέμε ότι οι Ν μετρήσεις ενός μεγέθους παρουσιάζουν μεγάλη επαναληψιμότητα (precision), αν όλες είναι κοντά στη μέση τιμή τους, με άλλα λόγια διαφέρουν λίγο η μία από την άλλη (άσχετα ως προς την αληθινή τιμή). Μπορεί να έχουν μικρά, τυχαία σφάλματα. Υπάρχουν, όμως, σοβαρά συστηματικά σφάλματα (Καραμπαρμπούνης κ.ά., 2012). Παρατήρηση: Έβαλα το παράρτημα αυτό, για να κάνω μια νύξη. Στην πραγματικότητα είναι δύσκολο να ερμηνεύεις σωστά τα πειραματικά δεδομένα. Μπορεί προς στιγμήν να μοιάζουν σωστά. π.χ.: Ν=1000 μετρήσεις που όλες είναι περίπου ίδιες μεταξύ τους. Αναρωτιέσαι: Μήπως βρήκα, δηλαδή, πόσο είναι το μέγεθος που ερευνώ; Αυτές οι περίπου ίδιες μεταξύ τους μετρήσεις παρουσιάζουν μεγάλη επαναληψιμότητα. Ναι! Μπορεί, όμως, να είναι πολύ μακριά από την πραγματική τιμή του μεγέθους, δηλαδή να παρουσιάζουν μικρή ακρίβεια. Κάποια Συστηματικά Σφάλματα σε εξαπάτησαν. (Προς στιγμήν, ελπίζω!) Παράδειγμα: Στο ευγενές άθλημα της τοξοβολίας ρίχνεις 4 βέλη το ένα δίπλα στο άλλο, στον εξωτερικό κύκλο όμως! Οι μετρήσεις σου παρουσιάζουν μεγάλη επαναληψιμότητα (precision) και μικρή ακρίβεια (accuracy), ως προς το κέντρο του κύκλου. Παραδείγματα στόχων: Εικόνα ΠαρΒ.1 Στόχοι τοξοβολίας. Στόχος Α: Μικρή ακρίβεια και επαναληψιμότητα. 127

129 Στόχος Β: Μικρή ακρίβεια και υψηλή επαναληψιμότητα. Στόχος Γ: Καλή ακρίβεια, μικρή επαναληψιμότητα. Στόχος Δ: Μεγάλη ακρίβεια, μεγάλη επαναληψιμότητα. Οι Μετρήσεις του στόχου Β θα μπορούσαν να σε εξαπατήσουν και να νομίζεις ότι πέτυχες το ζητούμενο! Βιβλιογραφία Καραμπαρμπούνης, Α. κ.ά. (2012). Εισαγωγή στην Πειραματική Μεθοδολογία. Στο Εισαγωγικές Διαλέξεις Εργαστηρίου Φυσικής [Φυλλάδιο Εισαγωγικών Διαλέξεων - Πανεπιστημιακές Σημειώσεις], Εθνικό & Καποδιστριακό Παν/μιο Αθηνών, Τμήμα Φυσικής, Εργαστήριο Φυσικής [online] διαθέσιμο από: < 128

130 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ Όργανα άσκησης 2 ΠαρΓ.1 Παχύμετρο ή διαστημόμετρο ΠαρΓ.1.1 Περιγραφή Το παχύμετρο του εργαστηρίου έχει μικρότερη υποδιαίρεση (ακρίβεια) 0,05 mm και μπορεί να μετρήσει διάστημα μέχρι 150 mm. Αποτελείται από δύο τμήματα: στο ένα υπάρχει η κύρια κλίμακα, ενώ στο άλλο η κλίμακα του βερνιέρου. Ο βερνιέρος γλιστρώντας μπορεί να μετακινηθεί πάνω στην κύρια κλίμακα. Αν βιδώσεις την ασφάλεια, μπορείς να εμποδίσεις αυτή τη μετακίνηση. Στην Εικόνα ΠαρΓ.1 φαίνονται τα διάφορα μέρη του. Εικόνα ΠαρΓ.1 Μέρη παχύμετρου. ΠαρΓ.1.2 Μετρήσεις Με το παχύμετρο μπορείς να μετρήσεις μήκος, εσωτερική διάμετρο σπειρώματος, εσωτερική διάμετρο σωλήνα και βάθος. ΠαρΓ Μέτρηση μήκους Τοποθετείς το αντικείμενο μεταξύ των σιαγώνων για μήκος (Εικόνα ΠαρΓ.2). Βιδώνεις την ασφάλεια, για να μην έχεις μετακίνηση των σιαγώνων. Διαβάζεις τη μέτρηση στην κύρια κλίμακα με τη βοήθεια του βερνιέρου. Εικόνα ΠαρΓ.2 Μέτρηση μήκους με παχύμετρο. 129

131 ΠαρΓ Μέτρηση εσωτερικής διαμέτρου σπειρώματος Τοποθετείς το σπείρωμα μεταξύ των σιαγώνων για σπείρωμα (Εικόνα ΠαρΓ.3). Βιδώνεις την ασφάλεια, για να μην έχεις μετακίνηση των σιαγώνων. Διαβάζεις τη μέτρηση στην κύρια κλίμακα με τη βοήθεια του βερνιέρου. Εικόνα ΠαρΓ.3 Μέτρηση σπειρώματος με παχύμετρο. ΠαρΓ Μέτρηση εσωτερικής διαμέτρου σωλήνα Τοποθετείς τις σιαγώνες για εσωτερική διάμετρο στο εσωτερικό του σωλήνα (Εικόνα ΠαρΓ.4). Βιδώνεις την ασφάλεια, για να μην έχεις μετακίνηση των σιαγώνων. Διαβάζεις τη μέτρηση στην κύρια κλίμακα με τη βοήθεια του βερνιέρου. Εικόνα ΠαρΓ.4 Μέτρηση εσωτερικής διαμέτρου με παχύμετρο. ΠαρΓ Μέτρηση βάθους τρύπας Τοποθετείς το στέλεχος του παχύμετρου έτσι, ώστε η άκρη του να ακουμπά στον πάτο της τρύπας και το άκρο του παχύμετρου να ακουμπά στην κορυφή της τρύπας (Εικόνα ΠαρΓ.5). Βιδώνεις την ασφάλεια, για να μην έχεις μετακίνηση των σιαγώνων. Διαβάζεις τη μέτρηση στην κύρια κλίμακα με τη βοήθεια του βερνιέρου. 130

132 Εικόνα ΠαρΓ.5 Μέτρηση βάθους με παχύμετρο. ΠαρΓ.1.3 Πώς μετρώ με το παχύμετρο Κάθε υποδιαίρεση της κύριας κλίμακας είναι 1 mm, ενώ κάθε υποδιαίρεση του βερνιέρου είναι 0,05 mm. 1. Το μηδέν του βερνιέρου μού δείχνει πάνω στην κύρια κλίμακα το ακέραιο κομμάτι της μέτρησης σε mm. 2. Η υποδιαίρεση του βερνιέρου που βρίσκεται στην ίδια ευθεία με κάποια υποδιαίρεση της κύριας κλίμακας, μού δίνει το δεκαδικό κομμάτι της μέτρησης. (Πολλαπλασιάζω τις υποδιαιρέσεις του βερνιέρου με 0,05 mm, που είναι η κάθε υποδιαίρεση.) 3. Προσθέτω τα δύο κομμάτια, ακέραιο και δεκαδικό. Παράδειγμα: Στην Εικόνα ΠαρΓ.6 το μηδέν του βερνιέρου δείχνει 69 mm (και κάτι ακόμα). Η 3 η υποδιαίρεση του βερνιέρου βρίσκεται στην ίδια ευθεία με υποδιαίρεση της κύριας κλίμακας. Άρα, το δεκαδικό κομμάτι είναι 3x0,05 mm=0,15 mm. Προσθέτοντας, έχω 69,15 mm. Εικόνα ΠαρΓ.6 Παράδειγμα μέτρησης με παχύμετρο. ΠαρΓ.1.4 Γραφή αποτελέσματος Όπως ξέρουμε, όταν μετράω ένα μέγεθος μία φορά, γράφω το αποτέλεσμα με σφάλμα ως εξής: η μία μέτρηση ± η μικρότερη υποδιαίρεση του οργάνου. Στο παραπάνω παράδειγμα η μέτρηση είναι 69,15 mm. Η μικρότερη υποδιαίρεση του παχύμετρου είναι 0,05 mm. Άρα, θα γράψω το αποτέλεσμα ως εξής: (69,15±0,05) mm (Young, 1994). Παχύμετρο ή διαστημόμετρο Βίντεο 131

133 Το βίντεο περιγράφει το διαστημόμετρο και πώς κάνω μετρήσεις με αυτό. Βίντεο ΠαρΓ.1 Διαστημόμετρο. ΠαρΓ.2 Μικρόμετρο ΠαρΓ.2.1 Περιγραφή Το μικρόμετρο του εργαστηρίου έχει μικρότερη υποδιαίρεση (ακρίβεια) 0,01 mm και μπορεί να μετρήσει διάστημα μέχρι 25 mm. Αποτελείται από δύο τμήματα: στο ένα υπάρχει η κύρια κλίμακα, ενώ στο άλλο η κλίμακα του τυμπάνου. Το τύμπανο περιστρεφόμενο μπορεί να μετακινηθεί πάνω στην κύρια κλίμακα. Αν στρέψεις την ασφάλεια, μπορείς να εμποδίσεις αυτή τη μετακίνηση. Για να κάνεις σωστή μέτρηση, θα πρέπει να περιστρέφεις το τύμπανο από την καστάνια. Στην εικόνα ΠαρΓ.7 φαίνονται τα διάφορα μέρη του. Εικόνα ΠαρΓ.7 Μέρη μικρόμετρου. ΠαρΓ.2.2 Πώς μετρώ με το μικρόμετρο Κάθε υποδιαίρεση της κύριας κλίμακας είναι 0,5 mm, ενώ κάθε υποδιαίρεση του τυμπάνου είναι 0,01 mm. 1. Ελέγχω την ύπαρξη μετάθεσης του μηδενός, δηλαδή αν συμπίπτουν οι πρώτες γραμμές της κύριας κλίμακας και η πρώτη γραμμή του τυμπάνου. (Χωρίς να υπάρχει αντικείμενο στις σιαγόνες.) Αν αυτές οι γραμμές δεν συμπίπτουν, το όργανο θα παρουσιάζει ένα συστηματικό σφάλμα που λέγεται Μετάθεση του μηδενός. Η επιδιόρθωση αυτού του σφάλματος αποτελεί ευθύνη των τεχνικών του εργαστηρίου. 2. Τοποθετώ το αντικείμενο μεταξύ των σιαγώνων και κλίνω τις σιαγόνες περιστρέφοντας την καστάνια. Όταν οι σιαγώνες ακουμπήσουν στο αντικείμενο, θα ακουστεί χαρακτηριστικός ήχος. Τότε παίρνω τη μέτρηση. 3. Διαβάζω την ένδειξη που φαίνεται στην κύρια κλίμακα.( Μπορεί να είναι ολόκληρα ή μισά χιλιοστά, π.χ. 12 mm ή 12,5 mm.) 4. Διαβάζω την ένδειξη στο τύμπανο, την οποία μου δείχνει η οριζόντια γραμμή της κύριας κλίμακας. (Είναι εκατοστά του mm.) 5. Προσθέτω τις δύο ενδείξεις. Παράδειγμα: Στην Εικόνα ΠαρΓ.8 η ένδειξη στη κύρια κλίμακα είναι 10, άρα, 10 mm. Η ένδειξη στο τύμπανο είναι 46, άρα, 0,46 mm. Προσθέτοντας, έχω 10,46 mm. 132

134 ΕικόναΠαρΓ.8 Παράδειγμα μέτρησης με μικρόμετρο. ΠαρΓ.2.3 Γραφή αποτελέσματος Όπως ξέρουμε, όταν μετράω ένα μέγεθος μία φορά, γράφω το αποτέλεσμα με σφάλμα ως εξής: η μία μέτρηση ± η μικρότερη υποδιαίρεση του οργάνου. Στο παραπάνω παράδειγμα η μέτρηση είναι 10,46 mm. Η μικρότερη υποδιαίρεση του μικρομέτρου είναι 0,01 mm. Άρα, θα γράψω το αποτέλεσμα ως εξής: (10,46±0,01) mm. Μικρόμετρο Το βίντεο περιγράφει το μικρόμετρο και πώς κάνω μετρήσεις με αυτό. Βίντεο ΠαρΓ.2 Μικρόμετρο. Βίντεο ΠαρΓ.3 Ζυγαριά ΠαρΓ.3.1 Περιγραφή Έχει μικρότερη υποδιαίρεση 0,01 g και μπορεί να μετρήσει μέχρι 2000 g. Στην Εικόνα ΠαρΓ.9 φαίνονται τα βασικά μέρη της. 133

135 ΕικόναΠαρΓ.9 Μέρη της ζυγαριάς. ΠαρΓ.3.2 Πώς ζυγίζω 1. Ελέγχω αν η φυσαλίδα της αεροστάθμης είναι μέσα στον κύκλο, που σημαίνει ότι η ζυγαριά είναι οριζόντια. Διαφορετικά, τη ρυθμίζω βιδώνοντας ή ξεβιδώνοντας τα ποδαράκια της 2. Ανοίγω τη ζυγαριά πατώντας το διακόπτη ON-OFF. 3. Μηδενίζω τη ζυγαριά, πατώντας το κουμπί TARE. 4. Τοποθετώ το αντικείμενο στην πλάκα της ζυγαριάς. 5. Διαβάζω την τιμή και τη μονάδα μέτρησης στην οθόνη. Ζυγαριά Το βίντεο περιγράφει τη ζυγαριά και πώς κάνω μετρήσεις με αυτήν. Βίντεο ΠαρΓ.3 Ζυγαριά. Βίντεο Βιβλιογραφία Young, H. D. (1994). Πανεπιστημιακή Φυσική τόμ.ι. (παράγραφος 1.5, σ ). Αθήνα: Παπαζήση. 134

136 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Δ Σύντομη παρουσίαση του DATA STUDIO ΠαρΔ.1 Data Studio ΠαρΔ.1.1 Περιγραφή Το Data Studio είναι ένα πρόγραμμα που χρησιμοποιείται για τη λήψη, παρουσίαση και επεξεργασία πειραματικών μετρήσεων. Είναι χρήσιμο για εκπαιδευτικούς σκοπούς στην εκτέλεση πειραμάτων Φυσικής, Χημείας και Βιολογίας (DataStudio Starter Manual, No ). Συγκεκριμένα για το Εργαστήριο Φυσικής, το πρόγραμμα χρησιμοποιεί: 1. το σύνδεσμο Pasport:USBLink (βλ. Εικόνα ΠαρΔ.1), 2. δύο κατηγορίες αισθητήρων για καταγραφή δεδομένων: a. αισθητήρες κίνησης (βλ. Εικόνα ΠαρΔ.2) και b. αισθητήρες δύναμης (βλ. Εικόνα ΠαρΔ.3). 1. Ο σύνδεσμος Pasport:USBLink χρησιμοποιείται για τη σύνδεση του υπολογιστή με κάποιον αισθητήρα και αποτελεί την οδό μεταφοράς των δεδομένων από τον αισθητήρα προς τον υπολογιστή. Εικόνα ΠαρΔ.1 Σύνδεσμος Pasport:USBLink. 2. Αισθητήρες a) Ο αισθητήρας κίνησης χρησιμοποιείται για την καταγραφή μετρήσεων της θέσης ενός κινητού, ως συνάρτηση του χρόνου. Με τη βοήθεια του Data Studio, οι παραπάνω μετρήσεις μπορούν να μετατραπούν σε δεδομένα ταχύτητας ή επιτάχυνσης του κινητού σε συνάρτηση με το χρόνο. Εικόνα ΠαρΔ.2 Αισθητήρας κίνησης. 135

137 b) Ο αισθητήρας δύναμης χρησιμοποιείται για την καταγραφή μετρήσεων της δύναμης που ασκείται σε ένα σώμα σε συνάρτηση με το χρόνο. Εικόνα ΠαρΔ.3 Αισθητήρας δύναμης. Σε κάθε πείραμα του Εργαστηρίου Φυσικής στο οποίο θα χρησιμοποιείται το Data Studio, οι κατάλληλοι αισθητήρες θα έχουν εκ των προτέρων συνδεθεί και ρυθμιστεί. Στην επιφάνεια εργασίας του υπολογιστή υπάρχει ένας φάκελος με το όνομα MAGOS, όπου υπάρχουν αριθμημένες οι ασκήσεις του εργαστηρίου. Επιλέγοντας κάθε φορά τον αριθμό της άσκησης, ανοίγει στην επιφάνεια εργασίας το Data Studio ρυθμισμένο έτσι, ώστε να παρουσιάζει τις μετρήσεις του πειράματος σε μορφή κατάλληλη προς επεξεργασία. Η εικόνα του Data Studio, όταν ανοίγει, έχει την παρακάτω μορφή (Εικόνα ΠαρΔ.4). Εικόνα ΠαρΔ.4 Γενική εικόνα Data Studio. Αριστερά, υπάρχει μια στήλη πληροφοριών χωρισμένη σε δύο παράθυρα (βλ. Εικόνα ΠαρΔ.5): Στο πάνω παράθυρο φαίνονται οι αισθητήρες που είναι συνδεδεμένοι στον υπολογιστή, στην περίπτωσή μας ένας αισθητήρας δύναμης και ένας αισθητήρας κίνησης. Επίσης, αναφέρονται τα δεδομένα που μπορεί να μας δώσει κάθε αισθητήρας. Από τον αισθητήρα κίνησης, για παράδειγμα, μπορούμε να πάρουμε τη θέση (position) του κινητού, την ταχύτητα (velocity) και την επιτάχυνσή του (acceleration). Στο κάτω παράθυρο φαίνονται οι τρόποι με τους οποίους μπορούν να παρουσιαστούν τα αποτελέσματα. Στο εργαστήριο Φυσικής θα χρησιμοποιούνται τρεις τρόποι παρουσίασης αποτελεσμάτων: α) γραφική παράσταση, β) μετρητής και γ) πίνακας. Η Εικόνα ΠαρΔ.4 δείχνει, για παράδειγμα, ότι η γραφική παράσταση έχει επιλεγεί για την παρουσίαση της ταχύτητας του 136