ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑ"

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑ ΒΥΡΩΝΑΣ ΝΑΚΟΣ ΑΘΗΝΑ 004

2 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑ ΒΥΡΩΝΑΣ ΝΑΚΟΣ ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Ε.Μ.Π. ΑΘΗΝΑ 004

3 ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Τα τελευταία 35 χρόνια συντελέστηκαν ραγδαίες εξελίξεις στην περιοχή της χαρτογραφίας, µε την ανάπτυξη της ψηφιακής χαρτογραφίας, της χαρτογραφικής επικοινωνίας και της αναλυτικής χαρτογραφίας. Η ανάπτυξη της τελευταίας εκφράζει την προσπάθεια δηµιουργίας µιας συµπαγούς βάσης αναλυτικής χαρτογραφικής θεωρίας, σήµερα δε έχει εξελιχθεί σε µια βασική περιοχή χαρτογραφικής έρευνας και αποτελεί τον πυρήνα των θεωρητικών αρχών που διέπουν την τεχνολογία των Συστηµάτων Γεωγραφικών Πληροφοριών (ΣΓΠ). Η εξέλιξη αυτή θεωρείται αρκετά σηµαντική, γιατί υπήρξε και ίσως ακόµα υπάρχει σήµερα µια τάση αναγνώρισης των επιτευγµάτων της τεχνολογίας και αγνόησης της ουσιαστικής προόδου της αναλυτικής θεωρίας, που όµως είναι απαραίτητη για την εξασφάλιση µακροχρόνιων επιστηµονικών επιτευγµάτων. Η αναλυτική χαρτογραφία έχει τις ρίζες της στην επιστηµονική µελέτη και έρευνα από πολύ παλιά. Ο όρος µαθηµατική χαρτογραφία αναφερόταν κυρίως στη δηµιουργία και µελέτη των χαρτογραφικών προβολών, µια επιστηµονική περιοχή που απασχόλησε τους ερευνητές για πολλούς αιώνες, από την αρχή δηµιουργίας της χαρτογραφίας, έως σήµερα. Από την άλλη µεριά, οι αναλυτικές µέθοδοι στη µελέτη των χωρικών δεδοµένων αποτελούσαν τρόπο προσέγγισης των αντικειµένων έρευνας στη γεωγραφία και στις άλλες γεωεπιστήµες, από πολλές δεκαετίες. Η ιδέα του συνδυασµού µαθηµατικών και αναλυτικών µεθόδων για την επίλυση χαρτογραφικών προβληµάτων ανήκει στον W. R. Tobler, καθηγητή στο πανεπιστήµιο του Michigan τη δεκαετία του 960. Ο Tobler ανάπτυξε τον κλάδο αυτό ερευνητικά και εκπαιδευτικά και για το λόγο αυτό θεωρείται πατέρας της αναλυτικής χαρτογραφίας. Η δουλειά του Tobler συνεχίστηκε και σε ερευνητικό αλλά και σε ακαδηµαϊκό επίπεδο και σήµερα υπάρχει ένα ευρύ φάσµα χαρτογραφικών θεµάτων τα οποία αποτελούν δυναµικά αντικείµενα µελέτης και έρευνας και εντάσσονται στον τοµέα της αναλυτικής χαρτογραφίας. Σύµφωνα µε έναν πρόσφατο ορισµό, η αναλυτική χαρτογραφία περιέχει τις µαθηµατικές έννοιες και µεθόδους που υποστηρίζουν τη χαρτογραφία και εξετάζει τις εφαρµογές τους στην παραγωγή χαρτών και στην επίλυση γεωγραφικών προβληµάτων. Πιο αναλυτικά στα θέµατα µελέτης και έρευνας της αναλυτικής χαρτογραφίας θεωρείται ότι ανήκουν οι επιστηµονικές περιοχές των χαρτογραφικών προβολών, των παρεµβολών, της γενίκευσης, της δηµιουργίας ψηφιακών µοντέλων εδάφους, της αυτόµατης τοποθέτησης ονοµατολογίας στους χάρτες, της επεξεργασίας χωρικών δεδοµένων κλπ. Το πρώτο µέρος της έκδοσης εστιάζεται στη µελέτη των χαρτογραφικών απεικονίσεων από την επιφάνεια ενός ελλειψοειδούς εκ περιστροφής ή µιας σφαίρας στο επίπεδο, καθώς επίσης και των παραµορφώσεων που συνοδεύουν τη διαδικασία αυτή. Στη συνέχεια, περιγράφονται τα προβολικά συστήµατα που αναφέρονται στον Ελληνικό χώρο. Στο παρελθόν το πεδίο αυτό της χαρτογραφίας διδάσκονταν µέσα από το µάθηµα επιλογής της Μαθηµατικής Χαρτογραφίας. Στο δεύτερο µέρος της έκδοσης εξετάζεται η χαρτογραφία από την οπτική των χαρτογραφικών µετασχηµατισµών. Στην αρχή, αναλύονται οι µέθοδοι µε τις οποίες αντλούνται ποσοτικές και ποιοτικές πληροφορίες από τους χάρτες, µια διεργασία που στη χαρτογραφία ονοµάζεται χαρτοµετρία. Αρχικά εξετάζονται οι τρόποι µέτρησης µηκών, εµβαδού και προσδιορισµού όγκων από χάρτες. Στη συνέχεια, προσδιορίζονται τα σφάλµατα που συνοδεύουν τις παραπάνω µετρήσεις και διερευνάται η σχέση µεταξύ των i

4 ΠΡΟΛΟΓΟΣ µετρήσεων και κλίµακας του χάρτη. Τέλος, αναλύονται οι συνιστώσες της διαδικασίας της χωρικής δειγµατοληψίας. Στην επόµενη ενότητα του δεύτερου µέρους, εξετάζονται οι βασικές αρχές της µαθηµατικής διαδικασίας µονοδιάστατης παρεµβολής για την ανάγκη της προσαρµογής καµπύλων γραµµών στη χαρτογραφία. Ακολουθεί µια ολοκληρωµένη παρουσίαση των υφιστάµενων χαρτογραφικών µεθόδων αναλυτικού προσδιορισµού της σκίασης του ανάγλυφου. Περιγράφονται οι κυριότεροι αλγόριθµοι υπολογισµού της σκίασης, όταν είναι διαθέσιµη η καταγραφή του ανάγλυφου µε τη µορφή ενός ψηφιακού µοντέλου υψοµέτρων. Στη συνέχεια, γίνεται αναφορά στα στοιχεία εκείνα της γεωµετρίας που είναι απαραίτητα για την εφαρµογή των χαρτογραφικών µετασχηµατισµών. Στην ενότητα αυτή εξετάζονται γεωµετρικοί µετασχηµατισµοί δίνοντας έµφαση στο µετασχηµατισµό οµοιότητας και τον οµοπαράλληλο µετασχηµατισµό που χρησιµοποιούνται σε πολλές χαρτογραφικές εφαρµογές. Αναλύονται οι βασικότεροι αλγόριθµοι επίλυσης του προβλήµατος της αλληλοτοµίας γραφικών αντικειµένων στο επίπεδο. Τέλος, παρουσιάζονται ειδικές κατηγορίες προβολών που βασίζονται σε γεωµετρικές αρχές και χρησιµοποιούνται σε εφαρµογές απεικόνισης τοπολογικά µετασχηµατισµένου γεωγραφικού χώρου. Στην τελευταία ενότητα του δεύτερου µέρους, περιγράφονται οι βασικότεροι τελεστές και αλγόριθµοι που χρησιµοποιούνται στη χαρτογραφία για τη γενίκευση χαρτογραφικών αντικειµένων. Έµφαση δίνεται στην αντιµετώπιση του προβλήµατος της διόρθωσης του αποτελέσµατος της γενίκευσης που προέρχεται από τις µεταθέσεις που υφίστανται τα χαρτογραφικά αντικείµενα µε σκοπό να αρθούν πιθανές γραφικές συµπτώσεις που προκαλούν οπτική σύγχυση. Η µελέτη των χαρτογραφικών απεικονίσεων όπως παρατίθεται στην έκδοση αυτή κράτησε ως οδηγό και βασικό βοήθηµα τις σηµειώσεις του µαθήµατος της Μαθηµατικής Χαρτογραφίας που συνέθεσε ο Οµότιµος Καθηγητής του ΕΜΠ κ. Γ. Βέης. Επιπλέον, η έκδοση βασίζεται σε µια µακροχρόνια συνεργασία του συγγραφέα µε την Αναπληρώτρια Καθηγήτρια της Σχολής κ. Β. Φιλιππακοπούλου. Ειδικότερα, τα κεφάλαια της χαρτοµετρίας και της µαθηµατικής διαδικασίας της παρεµβολής διαµορφώθηκαν µε δική της συµβολή. Πέρα όµως από αυτό η συνεργασία µαζί της καθόρισε τη συνολική διαµόρφωση της έκδοσης και ως προς το σχεδιασµό του περιεχοµένου της ύλης αλλά και ως προς τον τρόπο απόδοσής του. Το κεφάλαιο της απεικόνισης της σκίασης του ανάγλυφου βασίζεται σε ερευνητική συνεργασία µε τον υποψήφιο διδάκτορα της Σχολής κ. Ν. Τζελέπη. Τέλος, σηµαντική ήταν η συµβολή της διδάκτορος της Σχολής κ. Ε. Μιχαηλίδου στον εντοπισµό των εκφραστικών ατελειών ή παροραµάτων. Στο τέλος κάθε κεφαλαίου παρατίθεται η σχετική µε αυτό βιβλιογραφία, στην οποία µπορεί να ανατρέξει κάθε ενδιαφερόµενος. Λόγω του µεγάλου αριθµού των σχέσεων που παρατίθενται, είναι πιθανό να έχουν παραµείνει ορισµένα παροράµατα, η συνεργασία σας για τον εντοπισµό τους και τη διόρθωσή τους είναι ευπρόσδεκτη. Επίσης ευπρόσδεκτες είναι όσες άλλες παρατηρήσεις αφορούν τη βελτίωση της έκδοσης. Β. Ν. Αθήνα, Μάϊος 004 ii

5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ i iii ΜΕΡΟΣ Α ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΡΟΒΟΛΩΝ 3. Εισαγωγή στις χαρτογραφικές προβολές 3. Χαρτογραφικό σύστηµα αναφοράς 4.3 Παραµορφώσεις 5.4 Στοιχειώσεις γραµµές και επιφάνειες στο ελλειψοειδές εκ περιστροφής 6.5 Στοιχειώδεις γραµµές και επιφάνειες στο επίπεδο απεικόνισης 8.6 Στοιχειώδεις παραµορφώσεις.6. Κλίµακα γραµµικής παραµόρφωσης.6. Κύριες διευθύνσεις κύριες κλίµακες.6.3 Κλίµακα γραµµικής παραµόρφωσης σε τυχαία διεύθυνση.6.4 Παραµορφώσεις γωνιών.6.5 Κλίµακα επιφανειακής παραµόρφωσης Νόµος των παραµορφώσεων θεώρηµα Tissot Έλλειψη παραµόρφωσης είκτρια Tissot 6.7 Παραµορφώσεις πεπερασµένων µεγεθών 7.7. Παραµόρφωση µήκους πεπερασµένης γραµµής 8.7. Παραµόρφωση γωνίας Σχέση µεταξύ αζιµουθίου και γωνίας διεύθυνσης σύγκλιση των µεσηµβρινών Παραµόρφωση εµβαδού χωρίου 0.8 Βιβλιογραφία. ΑΡΧΕΣ ΤΩΝ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΩΝ ΠΡΟΒΟΛΩΝ 3. Εισαγωγή στις αρχές των απεικονίσεων 3. Βασικές αρχές απεικονίσεων-προβολών 3.3 Βιβλιογραφία 6 3. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΩΝ 7 3. Εισαγωγή στα συστήµατα απεικονίσεων 7 3. Ορθές κυλινδρικές απεικονίσεις Ορθή Κυλινδρική Ισαπέχουσα Προβολή Μερκατορική Προβολή Ορθή Κυλινδρική Ισοδύναµη Προβολή Ορθές κωνικές απεικονίσεις Ορθή Κωνική Ισαπέχουσα Προβολή Σύµµορφη Κωνική Προβολή - Lambert Ισοδύναµη Κωνική Προβολή Albers 40 iii

6 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Ισοδύναµη Προβολή Bonne Ισοδύναµη Προβολή Sanson Ισοδύναµη Προβολή Mollweide Ορθές επίπεδες απεικονίσεις Ορθή Επίπεδη Ισαπέχουσα Προβολή Postel Πολική Στερεογραφική Προβολή Πολική Επίπεδη Ισοδύναµη Προβολή Lambert Πολική Γνωµονική Προβολή Πολική Ορθογραφική Προβολή Εγκάρσιες απεικονίσεις Εγκάρσια Τετραγωνική Προβολή Cassini Εγκάρσια Μερκατορική Προβολή Πλάγιες απεικονίσεις Πλάγια Αζιµουθιακή Ισαπέχουσα Προβολή Hatt Βιβλιογραφία ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΩΝ ΠΟΥ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΟΥΝΤΑΙ ΣΤΗΝ ΕΛΛΑ Α Εισαγωγή στα Ελληνικά χαρτογραφικά συστήµατα Σύστηµα Hatt Σύστηµα UTM Σύστηµα ΕΜΠ Ελληνικό Γεωδαιτικό Σύστηµα Αναφοράς - ΕΓΣΑ Βιβλιογραφία 60 ΜΕΡΟΣ Β ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΧΑΡΤΟΜΕΤΡΙΑ Η έννοια της χαρτοµετρίας Εφαρµογές της χαρτοµετρίας στις επιστήµες Η χαρτοµετρία στην πλοήγηση Η χαρτοµετρία στη διοίκηση Η έννοια του µέσου Ο χάρτης ως µέσο Μετρητικοί και µη µετρητικοί χάρτες Η γεωµετρία του µέσου µέτρησης Το σχήµα της γης για τις ανάγκες της χαρτοµετρίας Η γεωµετρία του χάρτη Μέθοδοι µέτρησης χαρτοµετρίας Μέτρηση µηκών Μέτρηση ευθυγράµµου τµήµατος Μέτρηση µε υποδιαιρέσεις ίσου βήµατος Μέτρηση µε υποδιαιρέσεις άνισου βήµατος Μέτρηση αποστάσεων µε ψηφιοποιητή Κλασικές µέθοδοι συνεχούς µέτρησης 75 iv

7 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 5.6 Μέθοδοι µέτρησης εµβαδού επιφανειών Μετρήσεις εµβαδού απλών γεωµετρικών σχηµάτων Υπολογισµός εµβαδού µε συντεταγµένες Μέτρηση επιφανειών συγκρίνοντας µε σταθερά σχήµατα Μέθοδος τετραγωνικού καννάβου Μέθοδοι τετραγωνικού καννάβου µε κουκίδες Άµεση µέθοδος µέτρησης εµβαδού µε κουκίδες Έµµεση µέθοδος µέτρησης εµβαδού µε κουκίδες Μέθοδος των λωρίδων Μέτρηση επιφανειών µε εµβαδόµετρο Μέτρηση όγκων Σχέση µεταξύ µετρήσεων και κλίµακας Σχέση µεταξύ κλίµακας και αναπτύγµατος ακανόνιστων γραµµών Η ε-κυκλική περιοχή και αναπτύγµατα γραµµών Αναπτύγµατα ακανόνιστων γραµµών και Κλασµατική Γεωµετρία Στατιστικά δείγµατα και χαρτοµετρία Οι ιδιότητες των στατιστικών δειγµάτων Ένα πείραµα δειγµατοληψίας µετρήσεων Το µέγεθος ενός στατιστικού δείγµατος Νόµος µετάδοσης των σφαλµάτων Βιβλιογραφία ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ Εισαγωγή Συναρτήσεις µιας µεταβλητής ιαγράµµατα και συνέχεια Παράγωγοι και οµαλότητα Πολυωνυµικές συναρτήσεις Προσαρµογή καµπύλων µε πολυώνυµα Πολυωνυµική παρεµβολή Υπολογισµός πολυωνυµικών τελεστών παρεµβολής Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Παράδειγµα εφαρµογής µεθόδου ελαχίστων τετραγώνων Εξοµάλυνση ή προσδιορισµός επιφάνειας τάσης Βιβλιογραφία ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΣΚΙΑΣ ΑΝΑΓΛΥΦΟΥ Εισαγωγή Βασικές αρχές απόδοσης της σκιάς του ανάγλυφου Αλγόριθµοι αναλυτικού προσδιορισµού της σκιάς του ανάγλυφου 7.3. Αλγόριθµος ιδανικής αντανάκλασης µε τµηµατική γραµµική προσέγγιση του Peucker 7.3. Αλγόριθµος ιδανικής αντανάκλασης µε προσαρµογή της φωτεινής 4 πηγής του Brassel Μαθηµατικό µοντέλο σκιάς 5 v

8 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Αλγόριθµος κατοπτρικής αντανάκλασης Αλγόριθµος κεκλιµένων καµπυλών του Tanaka Αλγόριθµος µη ιδανικής αντανάκλασης µε µεταβαλλόµενη λαµπρότητα του Wiechel Αλγόριθµος µη ιδανικής αντανάκλασης µε µεταβαλλόµενη 8 λαµπρότητα του Marsik 7.4 ιερεύνηση και σύγκριση αλγορίθµων Η σκιά του ανάγλυφου σε χαρακτηριστικές χαρτογραφικές εφαρµογές 7.6 Συµπεράσµατα Βιβλιογραφία 4 8. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ 7 8. Βασικοί γεωµετρικοί µετασχηµατισµοί Μετασχηµατισµός µετάθεσης Μετασχηµατισµός στροφής Μετασχηµατισµός κλίµακας Μετασχηµατισµός οµοιότητας Οµοπαράλληλος µετασχηµατισµός Οδηγίες εφαρµογής γεωµετρικών µετασχηµατισµών 3 8. Τοµή ευθυγράµµων τµηµάτων Χωρικές ιδιότητες διακριτών σηµείων Βαρύκεντρο Τυπική απόσταση Ανίχνευση σηµείων εντός/εκτός ενός κυρτού ή µη-κυρτού πολυγώνου ιάγραµµα Voronoi Τοπολογικές απεικονίσεις Αζιµουθιακή Ισόχρονη Απεικόνιση Εστιακές απεικονίσεις Πολυ-εστιακές απεικονίσεις Βιβλιογραφία ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ Εισαγωγή Βασικά στοιχεία της γενίκευσης Το πρόβληµα αλλαγής της κλίµακας Ορισµοί της γενίκευσης Κίνητρα για γενίκευση Οι διαφορετικές όψεις της γενίκευσης Γενίκευση µοντέλου δεδοµένων Χαρτογραφική γενίκευση Γεωµετρικοί τελεστές γενίκευσης Απλοποίηση Εξοµάλυνση Συγχώνευση σηµειακών συµβόλων Συγχώνευση γραµµικών συµβόλων 54 vi

9 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Συγχώνευση επιφανειακών συµβόλων Μετάπτωση Εκλέπτυνση Μεγέθυνση Ενίσχυση Μετάθεση Βασικοί αλγόριθµοι γενίκευσης Επιλογή/απαλοιφή γραφικών αντικειµένων Απλοποίηση γραµµών Αλγόριθµοι ανεξαρτήτων σηµείων Αλγόριθµοι τοπικής επεξεργασίας Αλγόριθµοι τοπικής επεξεργασίας µε δεσµεύσεις Αλγόριθµοι τοπικής επεξεργασίας χωρίς δεσµεύσεις Καθολικοί αλγόριθµοι Το πρόβληµα της επικάλυψης των γραφικών αντικειµένων κατά τη γενίκευση Βιβλιογραφία 67 vii

10 ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ

11 ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ

12 ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΡΟΒΟΛΩΝ. Εισαγωγή στις χαρτογραφικές προβολές Το αντικείµενο της µελέτης των χαρτογραφικών προβολών ονοµάζεται παραδοσιακά µαθηµατική χαρτογραφία και ασχολείται µε τη µελέτη της απεικόνισης της επιφάνειας της γης πάνω σε ένα επίπεδο, το επίπεδο του χάρτη. Η µελέτη αυτή, της απεικόνισης της γήινης επιφάνειας, έχει θεωρητικό αλλά και πρακτικό χαρακτήρα. Θεωρητικό χαρακτήρα, γιατί ερευνώνται και τεκµηριώνονται όλοι οι δυνατοί τρόποι της απεικόνισης, δηλαδή οι προβολές και οι ιδιότητες που τις χαρακτηρίζουν. Πρακτικό χαρακτήρα γιατί, µε τη βοήθεια του περιεχοµένου των χαρτογραφικών προβολών κατασκευάζεται το µαθηµατικό υπόβαθρο του χάρτη, που είναι απαραίτητο για τη σύνθεση οποιουδήποτε χάρτη. Η έκφραση, όµως, επιφάνεια της γης από µόνη της δεν έχει καµιά µαθηµατική σηµασία. Οι επιστήµονες από πολύ παλιά ασχολήθηκαν µε το να προσεγγίσουν τη µορφή και το µέγεθός της, αξιοποιώντας τις γνώσεις που αναπτύχθηκαν κυρίως από τη γεωµετρία. Η προσέγγιση αυτή πολλές φορές σχηµατοποιήθηκε µε βάση µια φιλοσοφική θεώρηση όσο αφορά τη µορφή και το µέγεθος της γης. Αφήνοντας την ανάπτυξη της διαχρονικής εξέλιξης των µαθηµατικών µοντέλων που χρησιµοποίησε ο άνθρωπος για να προσεγγίσει την επιφάνεια της γης στην ενότητα της ιστορίας της χαρτογραφίας, ας δούµε πως το ζήτηµα αυτό αντιµετωπίζεται σήµερα. ΕΠΙΠΕ Ο ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗΣ p P G P ΦΥΣΙΚΗ ΓΗΙΝΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΓΕΩΕΙ ΟΥΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΕΛΛΕΙΨΟΕΙ ΟΥΣ P E Σχήµα. Φυσική γήινη επιφάνεια, γεωειδές και επιφάνεια αναφοράς (ελλειψοειδές εκ περιστροφής ή σφαίρα) Στις γεωεπιστήµες η µορφή της γήινης επιφάνειας προσοµοιώνεται από µια επιφάνεια, που ονοµάζεται γεωειδές. Το γεωειδές (σχήµα.) µε έναν απλό τρόπο 3

13 ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ µπορεί να οριστεί ως η επιφάνεια που διαµορφώνεται από τη µέση στάθµη της θάλασσας και την προέκτασή της στο χώρο που καταλαµβάνουν οι ήπειροι. Μια εικόνα του γεωειδούς µπορεί να έχει κάποιος, αν θεωρήσει ότι «κόβει» όλα τα βουνά των ηπείρων που εξέχουν από τη γήινη επιφάνεια και τα «ρίξει» στις θάλασσες µε τρόπο ώστε να σχηµατιστεί µια σχετικά οµαλή µορφή. Το γεωειδές στην πραγµατικότητα είναι µια πολύπλοκη επιφάνεια και δεν είναι δυνατό να προσδιοριστεί µε ένα απλό µαθηµατικό (γεωµετρικό) µοντέλο. Ο προσδιορισµός του γεωειδούς αποτελεί ένα από τα βασικότερα αντικείµενα για την επιστήµη της γεωδαισίας. Αντί για το γεωειδές, µπορεί να θεωρήσουµε ότι η µορφή της επιφάνειας της γης είναι µια οµαλότερη επιφάνεια, µια µαθηµατική επιφάνεια που το προσεγγίζει όσο το δυνατόν καλύτερα. Μια κατάλληλη επιφάνεια για το σκοπό αυτό είναι η επιφάνεια ενός ελλειψοειδούς εκ περιστροφής. Για να φανταστούµε, µε ένα σχηµατοποιηµένο τρόπο, τη µορφή που έχει η επιφάνεια του ελλειψοειδούς εκ περιστροφής (σχήµα.), µπορούµε να θεωρήσουµε µια σφαίρα από ένα ελαστικό µέσο (π.χ. µία µπάλα) την οποίαν πιέζουµε κατά τη διεύθυνση ενός άξονα (τον άξονα περιστροφής της γης). Οι τοµές της επιφάνειας του ελλειψοειδούς εκ περιστροφής µε επίπεδα που περιέχουν τον άξονα περιστροφής της γης (κατακόρυφα επίπεδα) είναι ελλείψεις, ενώ οι τοµές µε επίπεδα κάθετα στον άξονα περιστροφής της είναι κύκλοι. Η µελέτη της γεωµετρίας του ελλειψοειδούς εκ περιστροφής είναι αρκετά πολύπλοκη γιατί πρόκειται για επιφάνεια µε µεταβαλλόµενη διπλή καµπυλότητα και αντιµετωπίζεται από τον τοµέα των µαθηµατικών της διαφορικής γεωµετρίας και της θεωρίας επιφανειών. Στις περιπτώσεις εκείνες, για τις οποίες ένας χάρτης δεν προϋποθέτει υψηλά επίπεδα ακριβειών, είναι δυνατόν η επιφάνεια του ελλειψοειδούς εκ περιστροφής να αντικατασταθεί από την επιφάνεια µιας σφαίρας. Η µελέτη της γεωµετρίας της επιφάνειας µιας σφαίρας είναι λιγότερο πολύπλοκη, γιατί πρόκειται για επιφάνεια µε σταθερή καµπυλότητα.. Χαρτογραφικό σύστηµα αναφοράς Σχήµα. Σύστηµα γεωγραφικών και επιφανειακών συντεταγµένων Το σύστηµα αναφοράς που χρησιµοποιείται στη χαρτογραφία είναι το σύστηµα των γεωγραφικών συντεταγµένων (σχήµα.), που αναφέρεται σε κάποιο από τα ελλειψοειδή που χρησιµοποιούνται στην πράξη ή σε µία σφαίρα. Πάνω σε αυτό το σύστηµα αναφοράς οι µεσηµβρινοί κάθε σηµείου είναι επίπεδα που περιλαµβάνουν την κάθετο στο σηµείο προς την επιφάνεια αναφοράς και τον άξονα περιστροφής, ενώ οι παράλληλοι είναι επίπεδα που περιλαµβάνουν το σηµείο και είναι κάθετα στον άξονα περιστροφής. Για το ελλειψοειδές εκ περιστροφής οι µεσηµβρινοί είναι ελλείψεις ίσες µεταξύ τους ενώ για τη σφαίρα κύκλοι. Οι παράλληλοι και στο ελλειψοειδές και στη 4

14 ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ σφαίρα είναι κύκλοι των οποίων η ακτίνα µειώνεται όσο πλησιάζουµε στους πόλους. Ο παράλληλος που διέρχεται από το κέντρο της γης ονοµάζεται ισηµερινός. Κάθε σηµείο του οποίου θέλουµε να προσδιορίσουµε τη θέση προβάλλεται από τη φυσική γήινη επιφάνεια πάνω στην επιφάνεια του ελλειψοειδούς ή της σφαίρας κατά τη διεύθυνση της καθέτου στην επιφάνεια αυτή. Το µήκος της καθέτου, δηλαδή η απόσταση του σηµείου από το ελλειψοειδές ή τη σφαίρα, ονοµάζεται γεωµετρικό υψόµετρο ή απλά υψόµετρο (h). Η θέση της προβολής του σηµείου πάνω στην επιφάνεια του ελλειψοειδούς ή της σφαίρας προσδιορίζεται µε τη βοήθεια δύο γωνιών. Η γωνία που σχηµατίζει η κάθετος από το σηµείο στην επιφάνεια του ελλειψοειδούς ή της σφαίρας µε το επίπεδο του ισηµερινού ονοµάζεται γεωγραφικό πλάτος (φ). Η δίεδρη γωνία που σχηµατίζεται από το επίπεδο του µεσηµβρινού που διέρχεται από το σηµείο και από έναν αυθαίρετα επιλεγµένο µεσηµβρινό ονοµάζεται γεωγραφικό µήκος (λ). Ο αυθαίρετα επιλεγµένος µεσηµβρινός συνήθως είναι ο µεσηµβρινός που διέρχεται από το Greenwich. Οι γεωγραφικές συντεταγµένες µετρώνται σε µοίρες. Το γεωγραφικό πλάτος κυµαίνεται από 0 ως 90 στο βόρειο ηµισφαίριο και από 0 ως -90 στο νότιο ηµισφαίριο της γης ενώ το γεωγραφικό µήκος κυµαίνεται από 0 ως 360. Το σύστηµα των γεωγραφικών συντεταγµένων είναι ουσιαστικά ένα σύστηµα επιφανειακών συντεταγµένων για την επιφάνεια αναφοράς (ελλειψοειδές ή σφαίρα). Το δίκτυο των συντεταγµένων αυτών (σχήµα.) πάνω στο ελλειψοειδές ή τη σφαίρα είναι ένα δίκτυο µεσηµβρινών και παραλλήλων. Οι µεσηµβρινοί είναι γραµµές µε σταθερό γεωγραφικό µήκος (λ=c) και οι παράλληλοι γραµµές µε σταθερό γεωγραφικό πλάτος (φ=c). Η θέση ενός σηµείου πάνω στην επιφάνεια αναφοράς (ελλειψοειδές ή σφαίρα) ή ακόµα και ενός σηµείου που βρίσκεται µεν πάνω στη φυσική γήινη επιφάνεια αλλά έχει προβληθεί πάνω στην επιφάνεια αναφοράς, µπορεί να προσδιοριστεί µε τη βοήθεια του δικτύου των µεσηµβρινών και παραλλήλων, δηλαδή µε γραµµικά µεγέθη και όχι γωνιακά. Το αντίστοιχο του γεωγραφικού µήκους θα µετρηθεί ως απόσταση πάνω στον ισηµερινό και το αντίστοιχο του γεωγραφικού πλάτους ως απόσταση πάνω στο µεσηµβρινό που διέρχεται από το σηµείο. Όλες αυτές οι αποστάσεις µετρώνται πάνω στην επιφάνεια αναφοράς (ελλειψοειδές ή σφαίρα)..3 Παραµορφώσεις Επειδή η επιφάνεια του ελλειψοειδούς ή της σφαίρας δεν είναι αναπτυκτή επιφάνεια, η απεικόνιση πάντα συνοδεύεται από παραµορφώσεις. Πράγµατι, αν προσπαθήσουµε να φέρουµε σε επαφή µια ελαστική σφαίρα (µπάλα) µε ένα επίπεδο, δεν θα κατορθώσουµε να εφάπτονται όλα τα σηµεία της σφαίρας στο επίπεδο παρά µόνον αν την τεντώσουµε ή σχίσουµε, δηλαδή αν την παραµορφώσουµε. Η µελέτη των παραµορφώσεων γίνεται µε τη βοήθεια του τοµέα των µαθηµατικών της θεωρίας επιφανειών. Η επιφάνεια της γης στη µαθηµατική χαρτογραφία προσοµοιώνεται από την επιφάνεια ενός ελλειψοειδούς εκ περιστροφής που την προσεγγίζει όσο το δυνατόν καλύτερα. Η γεωµετρία του ελλειψοειδούς εκ περιστροφής είναι αρκετά πολύπλοκη και κατά συνέπεια το ίδιο πολύπλοκη γίνεται και η µελέτη των παραµορφώσεων στην επιφάνεια αυτή. Αν προσοµοιώσουµε κατά τη µελέτη των παραµορφώσεων την επιφάνεια της γης µε την επιφάνεια µιας σφαίρας, τότε 5

15 ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ µπορούµε να έχουµε µια συστηµατική εικόνα των παραµορφώσεων αξιοποιώντας απλές γεωµετρικές αρχές. Η βασική µελέτη αναφέρεται στις παραµορφώσεις στοιχειωδών µεγεθών αλλά στη χαρτογραφία µας ενδιαφέρουν κυρίως οι παραµορφώσεις που αναφέρονται σε πεπερασµένα µεγέθη. Οι παραµορφώσεις των πεπερασµένων µεγεθών µας χρειάζονται για τη µελέτη της απεικόνισης µεγεθών που βρίσκονται (έχουν µετρηθεί) στην επιφάνεια ενός ελλειψοειδούς εκ περιστροφής ή στην απλούστερη µορφή µιας σφαίρας στο επίπεδο του χάρτη. Μεταφέροντας τα µεγέθη στο επίπεδο της προβολής (απεικόνισης) µπορούµε να κάνουµε τους απαραίτητους υπολογισµούς εύκολα και απλά, χρησιµοποιώντας ως εργαλείο την Ευκλείδια και την επίπεδη αναλυτική γεωµετρία. Επίσης, αν αντιστρέψουµε το συλλογισµό, µπορούµε από αποτελέσµατα που έχουν προκύψει µε υπολογισµούς στο επίπεδο της προβολής (απεικόνισης) να αναχθούµε στα πραγµατικά µεγέθη επάνω στο ελλειψοειδές εκ περιστροφής ή στη σφαίρα. Οι απαραίτητες αναγωγές για τη µετάβαση µεγεθών από τη φυσική επιφάνεια της γης στην επιφάνεια του ελλειψοειδούς εκ περιστροφής ή της σφαίρας και αντίστροφα, είναι αντικείµενο της γεωδαισίας..4 Στοιχειώδεις γραµµές και επιφάνειες στο ελλειψοειδές εκ περιστροφής Θεωρούµε ένα σηµείο P πάνω στην επιφάνεια ενός ελλειψοειδούς εκ περιστροφής (σχήµα.3), που η θέση του ορίζεται από τις γεωγραφικές του συντεταγµένες (φ,λ). Κοντά στο σηµείο P θεωρούµε και ένα δεύτερο σηµείο P' µε γεωγραφικές συντεταγµένες (φ+dφ, λ+dλ). Ας θεωρήσουµε επίσης, ότι η απόσταση µεταξύ των δύο αυτών σηµείων πάνω στην επιφάνεια αναφοράς είναι ds και ότι το αζιµούθιο της στοιχειώδους γραµµής PP' είναι Α. Από τη γεωδαισία γνωρίζουµε ότι το αζιµούθιο µιας στοιχειώδους γραµµής στην επιφάνεια ενός ελλειψοειδούς είναι η γωνία που σχηµατίζεται από το µεσηµβρινό που διέρχεται Σχήµα.3 Στοιχειώδης γραµµή στο ελλειψοειδές εκ περιστροφής από το σηµείο και τη γραµµή και µετράται πάντα από το µεσηµβρινό και δεξιόστροφα. Θα προσπαθήσουµε, χρησιµοποιώντας απλές γεωµετρικές αρχές, να εκφράσουµε τις σχέσεις που προσδιορίζουν το µέγεθος της στοιχειώδους αυτής γραµµής, δηλαδή, την απόσταση ds καθώς και το αζιµούθιό της Α. Πρώτα, φέρνουµε τους µεσηµβρινούς και τους παράλληλους που διέρχονται από τα δύο αυτά σηµεία P και P'. Γνωρίζουµε επίσης, ότι η ακτίνα καµπυλότητας ενός µεσηµβρινού είναι: ρ και η ακτίνα καµπυλότητας ενός παράλληλου είναι: r, όπου: r=νcosφ, µε Ν: την ακτίνα της κυρίας καθέτου τοµής σε ένα σηµείο και φ: το γεωγραφικό του πλάτος. Η ακτίνα καµπυλότητας του µεσηµβρινού (ρ) και η ακτίνα της κυρίας καθέτου (N) είναι γνωστό από τη γεωµετρία του ελλειψοειδούς ότι δίνονται από τις σχέσεις: 6

16 ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ρ = a ( e ) και 3 ( e sin φ) N = a. e sin φ Όπου: a ο µεγάλος ηµιάξονας του ελλειψοειδούς και e η πρώτη εκκεντρότητα του ελλειψοειδούς που εξαρτάται από την επιπλάτυνση του ελλειψοειδούς (f) µε τη σχέση: e = f f. Η ακτίνα του παράλληλου (r) ενός ελλειψοειδούς µεταβάλλεται ανάλογα µε το γεωγραφικό πλάτος του σηµείου (φ), δηλαδή στον ισηµερινό (φ=0 ) είναι ίση µε το µεγάλο ηµιάξονα του ελλειψοειδούς και όσο αυξάνει το γεωγραφικό πλάτος µειώνεται και στους πόλους τείνει στο µηδέν. Οι στοιχειώδεις συνιστώσες της γραµµής κατά µήκος των µεσηµβρινών (dm) και των παράλληλων (dp) µεταξύ των δύο σηµείων P και P' (σχήµα.3) εκφράζονται από τις σχέσεις: dm = ρ dφ και dp = r dλ dp = N cos φ dλ. Eποµένως, από το ορθογώνιο τρίγωνο που σχηµατίζεται (σχήµα.3) το µέγεθος της στοιχειώδους γραµµής PP', δηλαδή, η απόσταση ds θα δίνεται από τη σχέση: ds = dm + dp, ή ds = ή ds = ρ dφ ρ dφ + r dλ + Ν cos φ dλ., Από το ίδιο τρίγωνο προκύπτει και η σχέση που εκφράζει το αζιµούθιο Α της στοιχειώδους γραµµής PP', δηλαδή: dp dp dm tana = A = arc sin = arc cos, dm ds ds r dλ r dλ ρ dφ ή Α = arc tan = arc sin = arc cos. ρdφ ds ds Τέλος, µεταξύ των µεσηµβρινών και των παραλλήλων που διέρχονται από τα σηµεία P και P' σχηµατίζεται ένα στοιχειώδες χωρίο, το εµβαδόν (dψ) του οποίου θα εκφράζεται από τη σχέση: 7

17 ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ dψ = dm dp dψ = ρ r dφ dλ. Στις περιπτώσεις εκείνες που οι απαιτήσεις σε ακρίβειες είναι περιορισµένες, τότε οι σχέσεις απλουστεύονται αν θεωρήσουµε ως επιφάνεια αναφοράς την επιφάνεια της σφαίρας (ακτίνας R). Εύκολα προκύπτει ότι τα αντίστοιχα µεγέθη της στοιχειώδους γραµµής στην επιφάνεια της σφαίρας εκφράζονται από τις σχέσεις: dm = R dφ και dp = R cosφ dλ. Οπότε θα έχουµε για το µέγεθος της στοιχειώδους γραµµής (ds) και το αζιµούθιό (A) της: ds = R dφ + cos φ dλ cos φ dλ Α = arc tan. dφ, Επιπλέον για το εµβαδόν του στοιχειώδους χωρίου (dψ): dψ = R cosφ dφ dλ. Στη συνέχεια, θα δούµε πώς απεικονίζεται η στοιχειώδης αυτή γραµµή και επιφάνεια στο επίπεδο απεικόνισης, δηλαδή στο χάρτη..5 Στοιχειώδεις γραµµές και επιφάνειες στο επίπεδο απεικόνισης Ο νόµος της απεικόνισης της IIy επιφάνειας του ελλειψοειδούς ή της dx p σφαίρας στο επίπεδο, στη γενική του µορφή θα εκφράζεται από τις σχέσεις: x = x(φ,λ), y = y(φ,λ). εικόνα µεσηµβρινού ds p -a m γ a p ds a p dy ds m Σχήµα.4 Στοιχειώδης γραµµή στο επίπεδο της απεικόνισης εικόνα παράλληλου IIx Έτσι λοιπόν, κάθε σηµείο πάνω στην επιφάνεια του ελλειψοειδούς που η θέση του ορίζεται από τις γεωγραφικές συντεταγµένες (φ,λ) θα απεικονίζεται στο επίπεδο του χάρτη σε θέση που θα ορίζεται από τις ορθογώνιες συντεταγµένες (x,y) µε τον τρόπο που θα καθορίζει ο νόµος της απεικόνισης. Οι στοιχειώδεις συνιστώσες 8

18 ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ κατά τη διεύθυνση του άξονα x (dx) και του άξονα y (dy) στο επίπεδο της απεικόνισης στην πραγµατικότητα αποτελούν τα διαφορικά των συναρτήσεων: x(φ,λ) και y(φ,λ) που προσδιορίζουν το νόµο της απεικόνισης. Οι στοιχειώδεις αυτές συνιστώσες χρειάζεται να εκφραστούν για να διευκολύνουν τον προσδιορισµό των σχέσεων που θα συνοδεύουν την απεικόνιση µιας στοιχειώδους γραµµής από την επιφάνεια του ελλειψοειδούς ή της σφαίρας στο επίπεδο. Εποµένως ισχύει ότι: x x dx = dφ + φ λ dλ, y y dy = dφ + dλ. φ λ Σύµφωνα λοιπόν, µε τον νόµο της απεικόνισης το σηµείο P που θεωρήσαµε πάνω στην επιφάνεια του ελλειψοειδούς θα απεικονιστεί στο επίπεδο στο σηµείο p και αντίστοιχα το P' στο p' (σχήµα.4). Η στοιχειώδης γραµµή PP' θα απεικονιστεί στο επίπεδο στη γραµµή pp'. Στη συνέχεια, θα εκφράσουµε το µέγεθος της στοιχειώδους γραµµής pp' στο επίπεδο (ds), δηλαδή, την απόσταση µεταξύ των p και p' καθώς και τη γωνία διεύθυνσης α της γραµµής pp'. Η γωνία διεύθυνσης µιας γραµµής στο επίπεδο είναι η γωνία που σχηµατίζεται από τον παράλληλο προς τον άξονα y και τη γραµµή και µετράται πάντα δεξιόστροφα µε αφετηρία την παράλληλο προς τον άξονα y. Ακολουθώντας την ίδια πορεία µε τα προηγούµενα το µέγεθος της στοιχειώδους γραµµής στο επίπεδο (ds) θα δίνεται από την σχέση: ds = dx + dy. Αν χρησιµοποιηθεί ως βάση η απλή αυτή σχέση και αντικατασταθούν οι στοιχειώδεις συνιστώσες κατά τους άξονες x και y που προηγουµένως προσδιορίστηκαν και εκτελεστούν ορισµένες πράξεις θα προκύψει για το στοιχειώδες µέγεθος της γραµµής pp' στο επίπεδο η παρακάτω έκφραση: ds = όπου: E dφ + F dφ dλ + G dλ, x E = φ x x y y F = +, φ λ φ λ x G = λ y + φ y + λ., 9

19 ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ Οι παραστάσεις E, G και F ονοµάζονται θεµελιώδη µεγέθη πρώτης τάξεως και εξαρτώνται από το νόµο της εκάστοτε προβολής (απεικόνισης) και τη θέση στην οποία βρίσκεται η στοιχειώδης γραµµή. Αν κινηθούµε κατά µήκος ενός µεσηµβρινού, δηλαδή το λ=c και εποµένως: dλ=0, τότε η στοιχειώδης µετακίνηση κατά µεσηµβρινό (ds m ) θα είναι: ds m = E dφ. Αντίστοιχα, αν κινηθούµε κατά µήκος ενός παραλλήλου, δηλαδή το φ=c και εποµένως: dφ=0, τότε η στοιχειώδης µετακίνηση κατά παράλληλο (ds p ) θα είναι: ds p = G dλ. Με ανάλογο τρόπο µπορούν να υπολογιστούν και οι γωνίες διεύθυνσης στο επίπεδο της απεικόνισης των µεσηµβρινών και των παραλλήλων καθώς επίσης και της στοιχειώδους γραµµής pp'. Η γωνία διεύθυνσης (α) της εικόνας µιας στοιχειώδους γραµµής είναι: dx dx dy α = arc tan = arc sin = arc cos. dy ds ds Αν η γραµµή αυτή είναι µεσηµβρινός, τότε η γωνία διεύθυνσης της εικόνας του µεσηµβρινού (α m ) θα είναι (µε: λ=c, δηλαδή: dλ=0): α m x y x y = arc tan : = arc sin = arc cos. φ φ E φ E φ Αν η γραµµή είναι παράλληλος, τότε η γωνία διεύθυνσης της εικόνας του παράλληλου (α p ) θα είναι (µε: φ=c, δηλαδή: dφ=0): α p x y x y = arc tan : = arc sin = arc cos. λ λ G λ G λ Η αντίθετη γωνία της διεύθυνσης του µεσηµβρινού (γ=-α m ), δηλαδή αυτή που µετράται από τον µεσηµβρινό προς τον άξονα y, έχει µεγάλη χρησιµότητα στη χαρτογραφία και ονοµάζεται σύγκλιση των µεσηµβρινών. Η σύγκλιση των µεσηµβρινών είναι απαραίτητη για τον προσδιορισµό της αναγωγής των γωνιών σε αναλυτικά προβλήµατα. Η γωνία αυτή υπολογίζεται από τη σχέση: x φ γ = arc tan. y φ 0

20 ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ Για την εικόνα ενός στοιχειώδους χωρίου (dψ) στο επίπεδο της απεικόνισης λαµβάνοντας υπόψη τις πλευρές του που αποτελούν στοιχειώδεις µετακινήσεις κατά µεσηµβρινό (ds m ) και παράλληλο (ds p ), έχουµε: dψ = ds m ds p sin( α p - αm). Αναλύοντας όµως, το ηµίτονο της διαφοράς δύο γωνιών σε διαφορά γινοµένων των ηµιτόνων και συνηµιτόνων των γωνιών και αντικαθιστώντας τις σχέσεις που προσδιορίστηκαν πιο πάνω για τις διευθύνσεις των εικόνων του µεσηµβρινού και του παράλληλου, προκύπτει: J sin ( α p - αm ) =. EG Η παράσταση J ονοµάζεται ιακωβιανή και δίνεται από τη σχέση: J x y y x =. λ φ λ φ Αντικαθιστώντας λοιπόν τις γνωστές ποσότητες στη σχέση της εικόνας ενός χωρίου στο επίπεδο προκύπτει η παρακάτω: dψ = J dφ dλ..6 Στοιχειώδεις παραµορφώσεις.6. Κλίµακα γραµµικής παραµόρφωσης Η παραµόρφωση του µήκους στοιχειώδους γραµµής µελετάται µε τη βοήθεια της κλίµακας γραµµικής παραµόρφωσης (m) ή απλώς κλίµακας. Η κλίµακα γραµµικής παραµόρφωσης ορίζεται από τη σχέση: s ds m = lim S 0 =. S ds όπου: ds είναι το µήκος µιας στοιχειώδους γραµµής στην επιφάνεια του ελλειψοειδούς (σχήµα.3) και ds το µήκος της εικόνας της στο επίπεδο (σχήµα.4). Η κλίµακα γραµµικής παραµόρφωσης αναφέρεται αποκλειστικά και µόνο στην απεικόνιση και δεν έχει καµία σχέση µε τη σµίκρυνση την κλίµακα δηλαδή µε την οποία σχεδιάζονται οι χάρτες. Η κλίµακα γραµµικής παραµόρφωσης είναι αδιάστατο µέγεθος και όταν έχει ως τιµή τη µονάδα, τότε το µήκος της στοιχειώδους γραµµής απεικονίζεται στο επίπεδο χωρίς παραµόρφωση. Όπως θα αποδειχθεί παρακάτω η κλίµακα γραµµικής

21 ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ παραµόρφωσης εν γένει µεταβάλλεται από σηµείο σε σηµείο και σε κάθε σηµείο έχει διαφορετική τιµή σε κάθε διεύθυνση..6. Κύριες διευθύνσεις- κύριες κλίµακες Αν θεωρήσουµε µια ορθή γωνία επάνω στην επιφάνεια του ελλειψοειδούς εκ περιστροφής και περιστρέψουµε τη γωνία αυτή γύρω από την κορυφή της, τότε εξετάζοντας την εικόνα της γωνίας στο επίπεδο της απεικόνισης θα δούµε ότι υπάρχει ένας συγκεκριµένος προσανατολισµός των πλευρών της που και η εικόνα της είναι ορθή γωνία. Οι κάθετες διευθύνσεις που διατηρούν κάθετες και τις εικόνες τους στο επίπεδο της απεικόνισης ονοµάζονται κύριες διευθύνσεις. Η κλίµακα γραµµικής παραµόρφωσης σε κάποια θέση, όπως αναφέρθηκε και στα προηγούµενα, έχει διαφορετική τιµή σε κάθε διεύθυνση. Οι κλίµακες γραµµικής παραµόρφωσης στις κύριες διευθύνσεις ονοµάζονται κύριες κλίµακες και συµβολίζονται µε m και m. Οι τιµές των κυρίων κλιµάκων σε κάθε σηµείο αποδεικνύεται ότι είναι η µέγιστη (m =max) και ελάχιστη (m =min) τιµή της κλίµακας παραµόρφωσης στη θέση αυτή. Στις ορθές απεικονίσεις οι κύριες διευθύνσεις είναι πάντα κατά µεσηµβρινό και παράλληλο..6.3 Κλίµακα γραµµικής παραµόρφωσης σε τυχαία διεύθυνση Γνωρίζοντας τις τιµές των κυρίων κλιµάκων σε ένα σηµείο µιας απεικόνισης µπορούµε να υπολογίσουµε την κλίµακα γραµµικής παραµόρφωσης σε τυχαία διεύθυνση Ω (m Ω ). Η διεύθυνση Ω µετράται αριστερόστροφα στο ελλειψοειδές από την κύρια διεύθυνση της µέγιστης κλίµακας (m ). Η κλίµακα γραµµικής παραµόρφωσης σε τυχαία διεύθυνση υπολογίζεται από τη σχέση: m Ω = m cos Ω + m sin Ω. Η σχέση αυτή αποδεικνύεται εύκολα αναλύοντας µια στοιχειώδη µετακίνηση στις συνιστώσες της ως προς τις κύριες διευθύνσεις και εφαρµόζοντας τον Σχήµα.5 Τυχαία διεύθυνση ορισµό της κλίµακας γραµµικής παραµόρφωσης για στο ελλειψοειδές το ορθογώνιο τρίγωνο που σχηµατίζεται (σχήµα.5). Αν οι κλίµακες γραµµικής παραµόρφωσης είναι ίσες στις δύο κύριες διευθύνσεις (m =m ), τότε από τη σχέση αυτή αποδεικνύεται ότι η κλίµακα γραµµικής παραµόρφωσης έχει την ίδια τιµή σε οποιαδήποτε διεύθυνση (m Ω = m =m )..6.4 Παραµορφώσεις γωνιών Αν Ω είναι η γωνία που σχηµατίζεται από µία οποιαδήποτε διεύθυνση µε την κύρια διεύθυνση της µέγιστης κλίµακας γραµµικής παραµόρφωσης (m ) και ω η εικόνα της στο επίπεδο (σχήµα.6) τότε, από τα ορθογώνια τρίγωνα που σχηµατίζονται αναλύοντας µια

22 ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ στοιχειώδη µετακίνηση στην τυχαία αυτή διεύθυνση πάνω στην επιφάνεια του ελλειψοειδούς και στο επίπεδο απεικόνισης, οι γωνίες Ω και ω συνδέονται µε τη σχέση: m tan ω = tan Ω. m Αξιοποιώντας τη σχέση αυτή, τις ιδιότητες των αναλογιών και ταυτότητες τριγωνοµετρικών συναρτήσεων, προκύπτει η παρακάτω σχέση: m m sin = m + m sin ( Ω - ω) ( Ω + ω). Σχήµα.6 Τυχαία διεύθυνση στο επίπεδο απεικόνισης Ορίζοντας λοιπόν ως γωνιακή παραµόρφωση σε διεύθυνση (ε), τη διαφορά: ε = Ω - ω, τότε αυτή θα υπολογίζεται από τη σχέση: m m sin ε = sin + m + m ( Ω ω). Αξιοποιώντας την τελευταία σχέση παρατηρούµε ότι η µέγιστη γωνιακή παραµόρφωση σε διεύθυνση (Ε) θα είναι: sin E m m =. m + m Η τιµή αυτή της µέγιστης γωνιακής παραµόρφωσης παρουσιάζεται στη διεύθυνση: π Ε Ω = +, 4 στην επιφάνεια του ελλειψοειδούς εκ περιστροφής και: π Ε ω =, 4 στο επίπεδο της απεικόνισης. Μια γωνία εποµένως, µπορεί να παραµορφωθεί µέχρι την τιµή Ε. Όταν οι κύριες κλίµακες µιας απεικόνισης είναι ίσες, δηλαδή m = m, τότε η απεικόνιση αυτή δεν θα έχει καµία παραµόρφωση στις γωνίες επειδή: 3

23 ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ε = 0. Οι απεικονίσεις που δεν έχουν παραµόρφωση στις γωνίες διατηρούν τη µορφή στοιχειωδών σχηµάτων από την επιφάνεια του ελλειψοειδούς στο επίπεδο αναλλοίωτη, οι απεικονίσεις αυτές ονοµάζονται σύµµορφες..6.5 Κλίµακα επιφανειακής παραµόρφωσης Η παραµόρφωση του εµβαδού στοιχειώδους επιφάνειας µελετάται µε τη βοήθεια της κλίµακας επιφανειακής παραµόρφωσης (Μ) ή απλώς επιφανειακής κλίµακας. Η κλίµακα επιφανειακής παραµόρφωσης ορίζεται από τη σχέση: ψ dψ Μ = lim Ψ 0 =. Ψ dψ Όπου: dψ είναι το εµβαδόν ενός στοιχειώδους χωρίου στην επιφάνεια του ελλειψοειδούς και dψ το εµβαδόν της εικόνας του στο επίπεδο (σχήµα.7). Εύκολα αποδεικνύεται ότι η κλίµακα επιφανειακής παραµόρφωσης συνδέεται µε τις κύριες κλίµακες µιας απεικόνισης µε τη σχέση: Μ = m m. Σε απεικονίσεις που η κλίµακα επιφανειακής παραµόρφωσης είναι ίση µε τη µονάδα (Μ=) δεν παρουσιάζεται παραµόρφωση στα εµβαδά, δηλαδή διατηρείται το εµβαδόν στοιχειωδών επιφανειών από την επιφάνεια του ελλειψοειδούς στο επίπεδο αναλλοίωτο. Οι απεικονίσεις αυτές ονοµάζονται ισοδύναµες. Σχήµα.7 Στοιχειώδης επιφάνεια στο ελλειψοειδές και το επίπεδο απεικόνισης.6.6 Νόµος των παραµορφώσεων - θεώρηµα Tissot Στην ενότητα αυτή θα µελετήσουµε τον τρόπο µε τον οποίο µεταβάλλεται η κλίµακα γραµµικής παραµόρφωσης για οποιαδήποτε απεικόνιση της επιφάνειας του ελλειψοειδούς εκ περιστροφής στο επίπεδο. Σε κάποιο σηµείο η κλίµακα θα είναι: 4

24 ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ds m =. ds Αν υψώσουµε τη σχέση αυτή στο τετράγωνο και αντικαταστήσουµε σε αυτήν το µήκος µιας στοιχειώδους γραµµής στην επιφάνεια του ελλειψοειδούς και το µήκος της απεικόνισής της στο επίπεδο, τότε προκύπτει η σχέση: m Edφ + F dφ dλ + G dλ =. ρ dφ + r dλ ιαιρώντας τη σχέση αυτή µε ρ²dφ² και επειδή ισχύει: r dλ tan A =, ρ dφ προκύπτει για το τετράγωνο της κλίµακας γραµµικής παραµόρφωσης η σχέση: E F G + tana + tan A ρ ρ r r =. + tan A m Εξετάζοντας τη σχέση αυτή παρατηρούµε ότι η κλίµακα γραµµικής παραµόρφωσης (m) είναι συνάρτηση της θέσης, δηλαδή ισχύει: m=f(φ,λ), και της διεύθυνσης, άρα: m=f(a). Επειδή λοιπόν, η τιµή της κλίµακας γραµµικής παραµόρφωσης σε κάποια θέση µεταβάλλεται στις διευθύνσεις γύρω από αυτή τη θέση, θα υπάρχουν δύο διευθύνσεις που οι τιµές της θα είναι αντίστοιχα η µέγιστη και η ελάχιστη. Ας προσπαθήσουµε να βρούµε εκείνα τα αζιµούθια A για τα οποία η συνάρτηση m² παίρνει τη µέγιστη και ελάχιστη τιµή. Ξεκινάµε µηδενίζοντας την παράγωγο της m² ως προς το αζιµούθιο A: dm da G Ε r ρ = tan A - tana - = 0. F ρ r Βλέπουµε ότι η παράγωγος είναι ένα τριώνυµο ως προς την εφαπτοµένη του αζιµουθίου. Οι ρίζες του τριωνύµου εξετάζοντας τους συντελεστές του έχουν την ιδιότητα: tana tana = -, τα αζιµούθια που µηδενίζουν το τριώνυµο βρίσκονται σε κάθετες µεταξύ τους διευθύνσεις, δηλαδή: 5

25 ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ Α = Α + π. Εποµένως, προκύπτει το συµπέρασµα ότι: οι διευθύνσεις στην επιφάνεια του ελλειψοειδούς εκ περιστροφής (ή της σφαίρας) στις οποίες η κλίµακα γραµµικής παραµόρφωσης έχει τη µέγιστη και ελάχιστη τιµή είναι κάθετες µεταξύ τους. Οι διευθύνσεις αυτές ονοµάζονται κύριες διευθύνσεις. Ακολουθώντας ανάλογη πορεία και εξετάζοντας τις απεικονίσεις των κυρίων διευθύνσεων στο επίπεδο, οδηγούµαστε στο συµπέρασµα ότι και: στο επίπεδο της απεικόνισης οι κύριες διευθύνσεις απεικονίζονται σε κάθετες µεταξύ τους διευθύνσεις. Τα συµπεράσµατα αυτά διατυπώνονται στο θεώρηµα του Tissot: Σε κάθε σηµείο της επιφάνειας του ελλειψοειδούς εκ περιστροφής (ή της σφαίρας) υπάρχει ένα τουλάχιστον ζεύγος καθέτων διευθύνσεων οι οποίες και στην απεικόνισή τους παραµένουν κάθετες. Τέλος, µε απλή αντικατάσταση η κλίµακα επιφανειακής παραµόρφωσης προκύπτει ότι είναι: J M =. ρ r b m r=.00 P ε p Ω Ο ω m m Σχήµα.8 είκτρια Tissot a.6.7 Έλλειψη παραµόρφωσης. είκτρια Tissot Αν θεωρήσουµε πάνω στην επιφάνεια του ελλειψοειδούς ένα στοιχειώδη κύκλο µε ακτίνα ds, η εξίσωση του κύκλου θα είναι: dm + dp = ds. Αντικαθιστώντας στη σχέση αυτή τα µεγέθη των στοιχειωδών γραµµών κατά µεσηµβρινό και παράλληλο, θα έχουµε: ρ dφ + r dλ = ds. Ο κύκλος αυτός θα απεικονίζεται στο επίπεδο ως µια κλειστή γραµµή, την οποία 6

26 ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ θα προσπαθήσουµε να προσδιορίσουµε. Τα διαφορικά dx και dy του νόµου της απεικόνισης εκφράζουν τις στοιχειώδεις µετακινήσεις στο επίπεδο της απεικόνισης κατά τις διευθύνσεις των αξόνων x και y. Αν θεωρήσουµε ότι αποτελούν ένα σύστηµα δύο εξισώσεων µε αγνώστους ως προς τα dφ και dλ, θα έχουµε: dφ = x y dy dx λ λ J και dλ = y x dx dy φ φ, J δεδοµένου ότι η ορίζουσα των συντελεστών των αγνώστων είναι η ιακωβιανή (J). Αντικαθιστώντας τα dφ και dλ στην εξίσωση του κύκλου και εκτελώντας ορισµένες πράξεις, θα έχουµε στο επίπεδο της απεικόνισης ως εικόνα του κύκλου την γραµµή µε την εξίσωση: y ρ φ r + r y λ dx x y x y ρ dx dy = J φ + φ λ λ x + ρ φ + r 7 x λ ds. dy Η σχέση αυτή µπορεί να γραφτεί απλούστερα µε την παρακάτω µορφή: a ² dx² + b² dy² - c dx dy = k². Είναι όµως γνωστό, ότι η τελευταία σχέση αποτελεί την εξίσωση µιας έλλειψης, της οποίας ο µεγάλος ηµιάξονας εµφανίζει στροφή ως προς τον άξονα x. Εποµένως προκύπτει το συµπέρασµα ότι: κάθε στοιχειώδης κύκλος στην επιφάνεια του ελλειψοειδούς εκ περιστροφής (ή της σφαίρας) απεικονίζεται στο επίπεδο ως έλλειψη ανεξάρτητα του συγκεκριµένου νόµου της απεικόνισης. Αν ο στοιχειώδης κύκλος γίνει µοναδιαίος (ds=) ή έλλειψη θα µας δίνει µια άµεση εποπτεία των παραµορφώσεων της απεικόνισης (σχήµα.8). Η έλλειψη που αντιστοιχεί σε κύκλο µοναδιαίας ακτίνας είναι γνωστή ως δείκτρια Tissot. Οι ηµιάξονες της έλλειψης είναι προσανατολισµένοι στις διευθύνσεις των κυρίων κλιµάκων µε το µεγάλο ηµιάξονα να είναι ίσος µε τη µέγιστη γραµµική κλίµακα (m ) και το µικρό ηµιάξονα αντίστοιχα να είναι ίσος µε την ελάχιστη γραµµική κλίµακα (m )..7 Παραµορφώσεις πεπερασµένων µεγεθών Όλα όσα µελετήθηκαν για τις παραµορφώσεις, αναφέρονται στην απεικόνιση στοιχειωδών µεγεθών από το ελλειψοειδές στο επίπεδο. Στις εφαρµογές όµως, χρειάζεται πάντα να υπολογίζουµε τις παραµορφώσεις για πεπερασµένα µεγέθη. Η µελέτη µιας

27 ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ολοκληρωµένης αντιµετώπισης των παραµορφώσεων πεπερασµένων µεγεθών ξεφεύγει από το πλαίσιο αυτών των σηµειώσεων. Γι αυτό το λόγο στη συνέχεια του κεφαλαίου θα διατυπωθούν µόνο ορισµένες βασικές αρχές της µελέτης των παραµορφώσεων πεπερασµένων µεγεθών..7. Παραµόρφωση µήκους πεπερασµένης γραµµής Ας θεωρήσουµε µια γραµµή Γ µήκους S πάνω στην επιφάνεια του ελλειψοειδούς, τότε η εικόνα της στο επίπεδο της απεικόνισης θα είναι η γ µε µήκος s (σχήµα.9). Αξιοποιώντας τη γνωστή σχέση της κλίµακας γραµµικής παραµόρφωσης θα έχουµε: ds = m ds. Μπορούµε λοιπόν να θεωρήσουµε ότι η γραµµή αποτελείται από το άθροισµα ενός µεγάλου αριθµού στοιχειωδών γραµµών. Εποµένως, το µήκος της γραµµής θα προσδιορίζεται από το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα: s = m ds. S Γνωρίζουµε όµως, ότι η κλίµακα γραµµικής παραµόρφωσης (m) είναι συνάρτηση της θέσης και της διεύθυνσης. Το µήκος της πεπερασµένης γραµµής θα δίνεται από τη σχέση: s = m ds S S S. (Γ) (γ) ds ds Σχήµα.9 Πεπερασµένη γραµµή στο ελλειψοειδές και στο επίπεδο απεικόνισης Επειδή όµως, η παράσταση που βρίσκεται µέσα στις αγκύλες αποτελεί τη µέση κλίµακα γραµµικής παραµόρφωσης κατά µήκος της γραµµής: m = m ds. S S το µήκος της γραµµής στο επίπεδο της απεικόνισης θα δίνεται από τη σχέση: 8

28 ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ s = m S. Στην πράξη η µέση κλίµακα γραµµικής παραµόρφωσης προσδιορίζεται προσεγγιστικά, χωρίζοντας τη γραµµή σε τµήµατα και υπολογίζοντας τη µέση τιµή της κλίµακας γραµµικής παραµόρφωσης για κάθε τµήµα..7. Παραµόρφωση γωνίας Οι γωνιακές παραµορφώσεις αναφέρονται στις γωνίες που σχηµατίζονται από τις εφαπτόµενες των αντίστοιχων γραµµών στην επιφάνεια του ελλειψοειδούς και των εικόνων τους στο επίπεδο της απεικόνισης. Επειδή είναι χρήσιµο στη µελέτη των γωνιακών παραµορφώσεων να αξιοποιηθούν οι απλές σχέσεις της Ευκλείδιας γεωµετρίας στο επίπεδο και δεδοµένου ότι οι εικόνες γραµµών της επιφάνειας του ελλειψοειδούς στο επίπεδο είναι εν γένει καµπύλες γραµµές, θα πρέπει να λάβουµε υπόψη στους υπολογισµούς τις γωνίες που σχηµατίζονται µεταξύ χορδής και εφαπτοµένης στα άκρα των γραµµών. Αυτό σηµαίνει ότι κάθε γωνία θα πρέπει να διορθώνεται και για τη γωνιακή διαφορά τόξου-χορδής (δ). Έτσι, η γωνία β που είναι η εικόνα της γωνίας Β (σχήµατα.0 και.), όπως ορίζεται από τα Σχήµα.0 Η γωνία στο ελλειψοειδές σηµεία: b, a και c στο επίπεδο της απεικόνισης ως εικόνες των σηµείων: B, A και C πάνω στην επιφάνεια του ελλειψοειδούς, θα είναι: β = Β + ε δ + δ, όπου: ε = β Β. Η διόρθωση ε µπορεί να υπολογιστεί από τη διαφορά των διορθώσεων που αντιστοιχούν στις γωνίες διεύθυνσης (Ω Β και Ω C ) των δύο πλευρών της γωνίας στην επιφάνεια του ελλειψοειδούς, δηλαδή: Σχήµα. Η γωνία στο επίπεδο ε = ε Β ε C..7.3 Σχέση µεταξύ αζιµουθίου και γωνία διεύθυνσης σύγκλιση των µεσηµβρινών Η µέτρηση των διευθύνσεων στην επιφάνεια του ελλειψοειδούς γίνεται µε τη βοήθεια των αζιµουθίων Α, ενώ στο επίπεδο µε τις γωνίες διεύθυνσης α. Ως αζιµούθιο µιας γραµµής (µε άκρα τα σηµεία P και Q) στην επιφάνεια του ελλειψοειδούς σε κάποιο σηµείο P, ονοµάζεται η γωνία που σχηµατίζει η εφαπτοµένη της γραµµής στο σηµείο αυτό µε το µεσηµβρινό που διέρχεται από το σηµείο P. Το αζιµούθιο µετριέται δεξιόστροφα από τη βορεινή φορά του µεσηµβρινού µέχρι τη γραµµή. Ως γωνία διεύθυνσης µιας γραµµής στο επίπεδο σε κάποιο σηµείο p, ονοµάζεται η γωνία που σχηµατίζεται από την εφαπτοµένη της γραµµής στο σηµείο αυτό µε τη θετική φορά του 9

29 ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ άξονα y. Η γωνία διεύθυνσης µετριέται δεξιόστροφα από τον άξονα των y προς την εφαπτοµένη της γραµµής. Παρατηρώντας τα σχήµατα. και.3 η γωνία Α αποτελεί την εικόνα της γωνίας του αζιµουθίου Α στο επίπεδο, εποµένως για τη γωνία Α ισχύει: A = A + ε, όπου: ε είναι η γωνιακή παραµόρφωση του αζιµουθίου Α. Η γωνία Α όµως, όπως φαίνεται στο σχήµα.3, σχηµατίζεται από εφαπτόµενες των εικόνων του µεσηµβρινού και της γραµµής µε άκρα τα σηµεία p και q στο επίπεδο, θα δίνεται από τη σχέση: Σχήµα. Γωνία αζιµουθίου Σχήµα.3 Γωνία διεύθυνσης Α = α + γ δ, όπου: γ είναι η γωνία που σχηµατίζεται από τη θετική φορά του άξονα y και της εφαπτοµένης της εικόνας του µεσηµβρινού που διέρχεται από το σηµείο p στο επίπεδο και: δ είναι η διαφορά τόξου-χορδής της γραµµής µε άκρα τα σηµεία p και q. Η γωνία γ, που ονοµάζεται σύγκλιση µεσηµβρινού και έχει οριστεί στην ενότητα.5. Συνδυάζοντας τις δύο παραπάνω σχέσεις η γωνία διεύθυνσης συνδέεται µε τη γωνία του αζιµουθίου ως εξής: α = Α γ + ε + δ. Με δεδοµένο ότι ένας χάρτης απεικονίζει -στις περισσότερες περιπτώσεις- µια περιοχή έκτασης µερικών µοιρών, οι γωνίες ε και δ είναι µικρές όµως η γωνία γ µπορεί να είναι, ανάλογα µε την προβολή, µεγαλύτερη από µία µοίρα..7.4 Παραµόρφωση εµβαδού χωρίου Ας θεωρήσουµε ένα χωρίο εµβαδού Ψ πάνω στην επιφάνεια του ελλειψοειδούς, τότε η εικόνα του χωρίου στο επίπεδο της απεικόνισης θα έχει εµβαδόν ψ (σχήµατα.4 και.5). Αξιοποιώντας τη γνωστή σχέση της κλίµακας επιφανειακής παραµόρφωσης θα έχουµε: 0

30 ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ dψ = Μ dψ. Μπορούµε λοιπόν να θεωρήσουµε ότι το χωρίο αποτελείται από το άθροισµα ενός µεγάλου αριθµού στοιχειωδών χωρίων. Εποµένως, το εµβαδόν του θα προσδιορίζεται από το επιφανειακό ολοκλήρωµα: ψ = Μ dψ. Ψ Γνωρίζουµε όµως, ότι η κλίµακα επιφανειακής παραµόρφωσης (Μ) είναι συνάρτηση της θέσης και της διεύθυνσης. Το εµβαδόν του χωρίου θα δίνεται από τη σχέση: ψ = Ψ Ψ Μ dψ Ψ. Επειδή όµως, η παράσταση που βρίσκεται µέσα στις αγκύλες αποτελεί τη µέση κλίµακα επιφανειακής παραµόρφωσης κατά την έκταση του χωρίου θα έχουµε: Μ = Μ dψ. Ψ Ψ και το εµβαδόν του χωρίου στο επίπεδο της απεικόνισης θα δίνεται από τη σχέση: ψ = Μ Ψ. Σχήµα.4 Χωρίο στο ελλειψοειδές Σχήµα.5 Χωρίο στο επίπεδο Στην πράξη η µέση κλίµακα επιφανειακής παραµόρφωσης προσδιορίζεται προσεγγιστικά, χωρίζοντας το χωρίο σε στοιχειώδεις επιφάνειες και υπολογίζοντας τη µέση τιµή της κλίµακας επιφανειακής παραµόρφωσης για κάθε στοιχειώδη επιφάνεια.

31 ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ.8 Βιβλιογραφία Βέης, Γ. Μαθηµατική Χαρτογραφία. Εργαστήριο Τοπογραφίας, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Αθήνα, 977, σελ. 69. Cuenin, R. Cartographie Generale. Tome. Editions Eyrolles, Paris, 97, p. 34. Maling, D. H. Coordinate systems and map projections. G. Philip & Son Ltd., London, 973, p. 55. Νάκος, Β. και Β. Φιλιππακοπούλου. Γενική Χαρτογραφία. Τµήµα Αγρονόµων Τοπογράφων Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Αθήνα, 993, σελ. 0. Richardus, P. and R. K. Adler. Map projections. North-Holland Pub. Co., Amsterdam, 97, p. 74. Thomas, P. D. Conformal projections in geodesy and cartography. U.S. Deptartment of Commerce, Coast & Geodetic Survey. Special Publication No 5. Washington, 95, p. 4.

32 ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ. ΑΡΧΕΣ ΤΩΝ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΩΝ-ΠΡΟΒΟΛΩΝ. Εισαγωγή στις αρχές των απεικονίσεων Οι απεικονίσεις στη χαρτογραφία αναφέρονται στην προβολή ή απεικόνιση της επιφάνειας αναφοράς, δηλαδή του ελλειψοειδούς εκ περιστροφής (ή της σφαίρας) στο επίπεδο, δηλαδή στο επίπεδο του χάρτη. Η απεικόνιση αυτή πάντα συνοδεύεται από παραµορφώσεις. Έτσι λοιπόν, µπορούµε να επινοήσουµε τρόπους απεικόνισης που να διατηρούν ορισµένες γεωµετρικές ιδιότητες των χωρικών οντοτήτων αναλλοίωτες (για παράδειγµα: τα εµβαδά ή τις γωνίες ή τα µήκη σε ορισµένες όµως διευθύνσεις), αλλά είναι αδύνατο να παραµένουν όλα τα γεωµετρικά στοιχεία αναλλοίωτα.. Βασικές αρχές απεικονίσεων-προβολών Η απεικόνιση αντί να γίνει απ' ευθείας στην επιφάνεια ενός επιπέδου, µπορεί να γίνει πρώτα πάνω σε µια αναπτυκτή επιφάνεια και στη συνέχεια αυτή να αναπτυχθεί στο επίπεδο. Τέτοιες κατάλληλες αναπτυκτές επιφάνειες είναι η παράπλευρη επιφάνεια ενός κυλίνδρου ή ενός κώνου (σχήµα.). Οι απεικονίσεις λοιπόν, ανάλογα µε την αναπτυκτή επιφάνεια που χρησιµοποιούµαι, ονοµάζονται κυλινδρικές, κωνικές και επίπεδες ή αζιµουθιακές. ΚΥΛΙΝ ΡΙΚΕΣ ΚΩΝΙΚΕΣ ΕΠΙΠΕ ΕΣ Σχήµα. Κυλινδρικές, κωνικές και επίπεδες απεικονίσεις Ανάλογα µε τον προσανατολισµό του κυλίνδρου, του κώνου ή του επιπέδου σε σχέση µε την επιφάνεια αναφοράς (έλλειψοειδές εκ περιστροφής ή σφαίρα) οι απεικονίσεις διακρίνονται σε: ορθές, εγκάρσιες και πλάγιες (σχήµα.). Ορθές ονοµάζονται οι απεικονίσεις που ο άξονας συµµετρίας της αναπτυκτής επιφάνειας ταυτίζεται µε τον άξονα περιστροφής της γης. Εγκάρσιες ονοµάζονται οι απεικονίσεις που ο άξονας συµµετρίας της αναπτυκτής επιφάνειας είναι κάθετος µε τον άξονα 3

33 ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ περιστροφής της γης. Πλάγιες, τέλος, ονοµάζονται οι απεικονίσεις που ο άξονας συµµετρίας της αναπτυκτής επιφάνειας σχηµατίζει τυχαία γωνία µε τον άξονα περιστροφής της γης. Οι απεικονίσεις µπορούν να πραγµατοποιηθούν µε καθαρά γεωµετρικούς τρόπους. Αρκεί να προβάλλουµε τα σηµεία του ελλειψοειδούς ή της σφαίρας σε ένα επίπεδο ή σε µια αναπτυκτή επιφάνεια. Γι αυτό το λόγο άλλωστε πολλές φορές χρησιµοποιούµε και τον όρο προβολή. Η προβολή αυτή µπορεί να είναι κεντρική ή παράλληλη. Στις περισσότερες περιπτώσεις µια κεντρική προβολή απεικονίζει µονοσήµαντα µόνο ένα µέρος του ελλειψοειδούς ή της σφαίρας, για παράδειγµα µόνο το ένα ηµισφαίριο. Η απεικόνιση όµως µπορεί να πραγµατοποιηθεί και µε καθαρά αναλυτικό τρόπο, χωρίς να προέρχεται από γεωµετρική προβολή, ή και να προκύψει από συνδυασµό αναλυτικής και γεωµετρικής µεθόδου. Στο ελλειψοειδές ή τη σφαίρα συνήθως χρησιµοποιούµε ως σύστηµα αναφοράς το σύστηµα των γεωγραφικών συντεταγµένων (φ,λ), ενώ στο επίπεδο ένα σύστηµα ορθογωνίων (x,y) ή πολικών συντεταγµένων (ρ,θ). Κάθε απεικόνιση ορίζεται µε τη βοήθεια δύο συναρτήσεων f,g οι οποίες και καθορίζουν τις παραµορφώσεις των γεωµετρικών µεγεθών από το ελλειψοειδές ή τη σφαίρα στο επίπεδο. Εποµένως, ο νόµος κάθε απεικόνισης ή προβολής εκφράζεται από τις σχέσεις: x = f(φ,λ) και y = g(φ,λ). ΟΡΘΕΣ ΕΓΚΑΡΣΙΕΣ ΠΛΑΓΙΕΣ Σχήµα. Ορθές, εγκάρσιες και πλάγιες απεικονίσεις Στο σχήµα.3 απεικονίζονται οι εικόνες των µεσηµβρινών και παραλλήλων, που αποτελούν χαρακτηριστικές περιπτώσεις συναρτήσεων f και g ως προς ένα ορθογώνιο σύστηµα συντεταγµένων (x,y) για το χάρτη. Στην πρώτη περίπτωση (σχήµα.3α) έχουµε τη γενική µορφή µιας προβολής. ηλαδή, οι σχέσεις που ορίζουν την απεικόνιση είναι: x=f(φ,λ) και y=g(φ,λ) και οι εικόνες των µεσηµβρινών και παραλλήλων είναι εν γένει καµπύλες γραµµές. Στη δεύτερη περίπτωση (σχήµα.3β) παρουσιάζονται οι εικόνες των µεσηµβρινών και παραλλήλων όταν ισχύει: x=f(λ) και y=g(φ,λ). ηλαδή, όταν η συντεταγµένη: x είναι συνάρτηση µόνον του γεωγραφικού µήκους, τότε οι εικόνες των 4

ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑ

ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑ ΒΥΡΩΝΑΣ ΝΑΚΟΣ ΑΘΗΝΑ 6 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Περιεχόμενα ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ i vii ΜΕΡΟΣ Α ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΝΑΥΤΙΚΗ ΚΑΙ ΘΑΛΑΣΣΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΜΑΘΗΜΑ: ΘΑΛΑΣΣΙΟΣ ΕΝΤΟΠΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΠΛΟΗΓΗΣΗ

ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΝΑΥΤΙΚΗ ΚΑΙ ΘΑΛΑΣΣΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΜΑΘΗΜΑ: ΘΑΛΑΣΣΙΟΣ ΕΝΤΟΠΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΠΛΟΗΓΗΣΗ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΝΑΥΤΙΚΗ ΚΑΙ ΘΑΛΑΣΣΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΜΑΘΗΜΑ: ΘΑΛΑΣΣΙΟΣ ΕΝΤΟΠΙΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Αρχές των απεικονίσεων - προβολών Αναπτυκτές επιφάνειες και ο προσανατολισμός τους

Κεφάλαιο Αρχές των απεικονίσεων - προβολών Αναπτυκτές επιφάνειες και ο προσανατολισμός τους Κεφάλαιο 2 Σύνοψη Οι απεικονίσεις στη χαρτογραφία αναφέρονται στην προβολή ή απεικόνιση της επιφάνειας αναφοράς, δηλαδή, του ελλειψοειδούς εκ περιστροφής (ή της σφαίρας) στο επίπεδο στο επίπεδο του χάρτη.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Βασικές έννοιες χαρτογραφικών προβολών Το σχήμα της Γης

Κεφάλαιο Βασικές έννοιες χαρτογραφικών προβολών Το σχήμα της Γης Κεφάλαιο 1 Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό εισάγονται οι βασικές έννοιες που διέπουν τις χαρτογραφικές προβολές. Αρχικά ορίζονται οι επιφάνειες που προσομοιώνουν την επιφάνεια της Γης για τις ανάγκες της Χαρτογραφίας.

Διαβάστε περισσότερα

ΒΥΡΩΝΑΣ ΝΑΚΟΣ Καθηγητής Ε.Μ.Π. Αναλυτική Χαρτογραφία

ΒΥΡΩΝΑΣ ΝΑΚΟΣ Καθηγητής Ε.Μ.Π. Αναλυτική Χαρτογραφία ΒΥΡΩΝΑΣ ΝΑΚΟΣ Καθηγητής Ε.Μ.Π. Αναλυτική Χαρτογραφία Αναλυτική Χαρτογραφία Συγγραφή Βύρωνας Νάκος Κριτικός αναγνώστης Λύσανδρος Τσούλος Συντελεστές έκδοσης Γλωσσική Επιμέλεια: Βύρωνας Νάκος Γραφιστική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1: ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ : Ι. ΖΑΧΑΡΙΑΣ ΑΓΡΙΝΙΟ, 2015 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑ. Στοιχεία χαρτογραφίας Σύστηµα γεωγραφικών συντεταγµένων

ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑ. Στοιχεία χαρτογραφίας Σύστηµα γεωγραφικών συντεταγµένων ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑ Στοιχεία χαρτογραφίας Σύστηµα γεωγραφικών συντεταγµένων ρ. Ε. Λυκούδη Αθήνα 2005 Χώρος Η ανάπτυξη της ικανότητας της αντίληψης του χώρου, ως προς τις διαστάσεις του και το περιεχόµενό του είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ

ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ Ενότητα 10: Προβολικά Συστήματα (Μέρος 2 ο ) Νικολακόπουλος Κωνσταντίνος, Επίκουρος Καθηγητής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑΣ ΟΡΟΙ-ΕΝΝΟΙΕΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 / Η ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑ ΣΗΜΕΡΑ Αναλογική χαρτογραφία Λειτουργίες του χάρτη Ψηφιακή χαρτογραφία

ΣΤΟΙΧΕΙΑΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑΣ ΟΡΟΙ-ΕΝΝΟΙΕΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 / Η ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑ ΣΗΜΕΡΑ Αναλογική χαρτογραφία Λειτουργίες του χάρτη Ψηφιακή χαρτογραφία ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 / Η ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑ ΣΗΜΕΡΑ Αναλογική χαρτογραφία Λειτουργίες του χάρτη Ψηφιακή χαρτογραφία ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 / Η ΦΥΣΗ ΤΗΣ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑΣ Αποτελεσµατικότητα χαρτών Ταξινόµηση χαρτών Χάρτης, βασικά χαρακτηριστικά,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. 5 Συστήματα συντεταγμένων

Κεφάλαιο 5. 5 Συστήματα συντεταγμένων Κεφάλαιο 5 5 Συστήματα συντεταγμένων Στις Γεωεπιστήμες η μορφή της γήινης επιφάνειας προσομοιώνεται από μια επιφάνεια, που ονομάζεται γεωειδές. Το γεωειδές είναι μια ισοδυναμική επιφάνεια του βαρυτικού

Διαβάστε περισσότερα

Τηλεπισκόπηση - Φωτοερμηνεία

Τηλεπισκόπηση - Φωτοερμηνεία ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ Τηλεπισκόπηση - Φωτοερμηνεία Ενότητα 9: Συστήματα Συντεταγμένων. Κωνσταντίνος Περάκης Ιωάννης Φαρασλής Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ-2 (ο χάρτης)

ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ-2 (ο χάρτης) ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ-2 (ο χάρτης) Ο χάρτης ως υπόβαθρο των ΓΣΠ Tα ΓΣΠ βασίζονται στη διαχείριση πληροφοριών που έχουν άμεση σχέση με το γεωγραφικό χώρο, περιέχουν δηλαδή δεδομένα με γεωγραφική

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια της ζήτησης για την έννοια του χάρτη Βασικά συστατικά των χαρτών (συνέχεια)

Συνέχεια της ζήτησης για την έννοια του χάρτη Βασικά συστατικά των χαρτών (συνέχεια) Τµήµα Αρχιτεκτόνων Μηχανικών ΜΕ801 Χαρτογραφία 1 Μάθηµα επιλογής χειµερινού εξαµήνου Πάτρα, 2016 Συνέχεια της ζήτησης για την έννοια του χάρτη Βασικά συστατικά των χαρτών (συνέχεια) Βασίλης Παππάς, Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΝΑΥΤΙΚΗ ΚΑΙ ΘΑΛΑΣΣΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΜΑΘΗΜΑ: ΘΑΛΑΣΣΙΟΣ ΕΝΤΟΠΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΠΛΟΗΓΗΣΗ

ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΝΑΥΤΙΚΗ ΚΑΙ ΘΑΛΑΣΣΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΜΑΘΗΜΑ: ΘΑΛΑΣΣΙΟΣ ΕΝΤΟΠΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΠΛΟΗΓΗΣΗ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΝΑΥΤΙΚΗ ΚΑΙ ΘΑΛΑΣΣΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΜΑΘΗΜΑ: ΘΑΛΑΣΣΙΟΣ ΕΝΤΟΠΙΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα Πανεπιστηµιο Ιωαννινων σχολη θετικων επιστηµων τµηµα µαθηµατικων τοµεας αλγεβρας και γεωµετριας αναλυτικη γεωµετρια διδασκων : χρηστος κ. τατακης υποδειξεις λυσεων των θεµατων της 7.06.016 ΘΕΜΑ 1. µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΣΧΗΜΑ ΚΑΙ ΤΟ ΜΕΓΕΘΟΣ ΤΗΣ ΓΗΣ

ΤΟ ΣΧΗΜΑ ΚΑΙ ΤΟ ΜΕΓΕΘΟΣ ΤΗΣ ΓΗΣ ΤΟ ΣΧΗΜΑ ΚΑΙ ΤΟ ΜΕΓΕΘΟΣ ΤΗΣ ΓΗΣ Χαρτογραφία Ι 1 Το σχήμα και το μέγεθος της Γης [Ι] Σφαιρική Γη Πυθαγόρεια & Αριστοτέλεια αντίληψη παρατηρήσεις φυσικών φαινομένων Ομαλότητα γεωμετρικού σχήματος (Διάμετρος

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΚΑΙ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΗΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ

ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΚΑΙ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΗΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΚΑΙ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΗΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΜΑΘΗΜΑ 6 Ο ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑ: Είναι η επιστήμη που ασχολείται με την απεικόνιση μιας γεωγραφικής ενότητας σε ένα χαρτί

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ

ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ Ενότητα 9: Προβολικά Συστήματα (Μέρος 1 ο ) Νικολακόπουλος Κωνσταντίνος, Επίκουρος Καθηγητής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Γεωλογίας

Διαβάστε περισσότερα

10. ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

10. ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 77 10. ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ολοκληρώνοντας την συνοπτική παρουσίαση των εννοιών και μεθόδων της Γεωδαιτικής Αστρονομίας θα κάνουμε μια σύντομη αναφορά στην αξιοποίηση των μεγεθών που προσδιορίστηκαν,

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Γεωμετρικές Διορθώσεις

Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Γεωμετρικές Διορθώσεις Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας Πολεοδομίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Γεωμετρικές Διορθώσεις Ιωάννης Φαρασλής Τηλ : 24210-74466, Πεδίον

Διαβάστε περισσότερα

Τηλεπισκόπηση - Φωτοερμηνεία

Τηλεπισκόπηση - Φωτοερμηνεία ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ Τηλεπισκόπηση - Φωτοερμηνεία Ενότητα 8: Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Γεωμετρικές Διορθώσεις. Κωνσταντίνος Περάκης Ιωάννης Φαρασλής Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας και Περιφερειακής

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑΣ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 / Η ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑ ΣΗΜΕΡΑ 1. Σε τί διαφέρουν η ψηφιακή χαρτογραφία και η αναλογική χαρτογραφία; 2. Ποιές λειτουργίες επιτελεί ο χάρτης; 3. Ποιά προϊόντα παρέχει η ψηφιακή χαρτογραφία και ποιές

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 1 0. Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 1 0. Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 1 0 Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής Γεωδαισία Μοιράζω τη γη (Γη + δαίομαι) Ακριβής Έννοια: Διαίρεση, διανομή /μέτρηση της Γής. Αντικείμενο της γεωδαισίας: Ο προσδιορισμός της μορφής, του

Διαβάστε περισσότερα

ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ

ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΝΑΥΤΙΛΙΑ Καθηγητής Δρ. Α. Παλληκάρης ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ Νοέμβριος 2016 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗΣ ΤΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΤΗΣ ΓΗΣ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΟ (ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΧΑΡΤΩΝ)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΩΝΤΑΣ ΤΟΝ ΠΛΑΝΗΤΗ ΓΗ

ΜΕΤΡΩΝΤΑΣ ΤΟΝ ΠΛΑΝΗΤΗ ΓΗ του Υποπυραγού Αλέξανδρου Μαλούνη* Μέρος 2 ο - Χαρτογραφικοί μετασχηματισμοί Εισαγωγή Είδαμε λοιπόν ως τώρα, ότι η γη θα μπορούσε να χαρακτηρισθεί και σφαιρική και αυτό μπορεί να γίνει εμφανές όταν την

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. 6 Χαρτογραφικές προβολές-προβολικά συστήματα συντεταγμένων

Κεφάλαιο 6. 6 Χαρτογραφικές προβολές-προβολικά συστήματα συντεταγμένων Κεφάλαιο 6 6 Χαρτογραφικές προβολές-προβολικά συστήματα συντεταγμένων Για να παράξουμε ένα χάρτη πρέπει να χρησιμοποιήσουμε μία χαρτογραφική προβολή. Ως χαρτογραφική προβολή ονομάζουμε οποιοδήποτε μετασχηματισμό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Χαρτογραφικές απεικονίσεις - προβολές Ορθές κυλινδρικές απεικονίσεις Ορθή κυλινδρική ισαπέχουσα προβολή

Κεφάλαιο Χαρτογραφικές απεικονίσεις - προβολές Ορθές κυλινδρικές απεικονίσεις Ορθή κυλινδρική ισαπέχουσα προβολή Κεφάλαιο 3 Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό, γίνεται παρουσίαση των σημαντικότερων απεικονίσεων - προβολών που χρησιμοποιούνται για την απεικόνιση της επιφάνειας ενός ελλειψοειδούς εκ περιστροφής (ή μιας σφαίρας)

Διαβάστε περισσότερα

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14.1 Υπολογισµός εµβαδών µε την µέθοδο των παράλληλων διατοµών Θεωρούµε µια ϕραγµένη επίπεδη επιφάνεια A µε οµαλό σύνορο, δηλαδή που περιγράφεται από µια συνεχή συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ

ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ Χαρτογραφία Ι 1 ΤΡΟΠΟΙ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΗΣΗΣ: ΥΔΡΟΓΕΙΟΣ Πλεονεκτήματα: Διατήρηση σχετικών αποστάσεων, γωνιών, εμβαδών, αζιμουθίων, μέγιστων κύκλων, λοξοδρομιών Μειονεκτήματα: Είναι δαπανηρές

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗ ΝΑΥΤΙΛΙΑ ΚΑΙ ΤΙΣ ΝΑΥΤΙΚΕΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΙΣ. Δρ. ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Η. ΠΑΛΛΗΚΑΡΗΣ Αν.

ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗ ΝΑΥΤΙΛΙΑ ΚΑΙ ΤΙΣ ΝΑΥΤΙΚΕΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΙΣ. Δρ. ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Η. ΠΑΛΛΗΚΑΡΗΣ Αν. ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗ ΝΑΥΤΙΛΙΑ ΚΑΙ ΤΙΣ ΝΑΥΤΙΚΕΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΙΣ Δρ. ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Η. ΠΑΛΛΗΚΑΡΗΣ Αν. καθηγητής ΣΝΔ ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2011 Απαγορεύεται η αντιγραφή, αποθήκευση και διανομή

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Πολυτεχνική Σχολή ΘΕΜΑΤΙΚΗ : ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΕΙΚΟΝΑΣ

Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Πολυτεχνική Σχολή ΘΕΜΑΤΙΚΗ : ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΕΙΚΟΝΑΣ Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας Πολεοδομίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης ΘΕΜΑΤΙΚΗ : ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΕΙΚΟΝΑΣ Ιωάννης Φαρασλής Τηλ : 24210-74466, Πεδίον Άρεως, Βόλος

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία και εµβαδόν πρίσµατος και κυλίνδρου. ρ. Σ.Πατσιοµίτου

Στοιχεία και εµβαδόν πρίσµατος και κυλίνδρου. ρ. Σ.Πατσιοµίτου Στοιχεία και εµβαδόν πρίσµατος και κυλίνδρου ρ. Σ.Πατσιοµίτου Το ορθό πρίσµα και τα στοιχεία του Στη Στερεοµετρία τα παρακάτω στερεά σώµατα ονοµάζονται ορθά πρίσµατα. Οι δύο παράλληλες έδρες του λέγονταιβάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Τοπολογικές απεικονίσεις Αζιμουθιακή ισόχρονη απεικόνιση

Κεφάλαιο Τοπολογικές απεικονίσεις Αζιμουθιακή ισόχρονη απεικόνιση Κεφάλαιο 9 Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό, περιγράφονται αναλυτικές χαρτογραφικές μέθοδοι μετασχηματισμού του χώρου, μετατρέποντας τη γεωμετρία του χάρτη με τρόπο που να απεικονίζεται το ίδιο το χωρικό φαινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑ. μεθόδους οι οποίες και ονομάζονται χαρτογραφικές προβολές. Η Χαρτογραφία σχετίζεται στενά με την επιστήμη της

ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑ. μεθόδους οι οποίες και ονομάζονται χαρτογραφικές προβολές. Η Χαρτογραφία σχετίζεται στενά με την επιστήμη της ΕΛΕΝΗ ΣΥΡΡΑΚΟΥ ΓΤΠ61 2012 ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑ Χαρτογραφία ονομάζεται η επιστήμη που περιλαμβάνει ένα σύνολο προσδιορισμένων μελετών, τεχνικών ακόμη και καλλιτεχνικών εργασιών που αφορούν απεικονίσεις, υπό κλίμακα,

Διαβάστε περισσότερα

Αν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Ο(0,0) τότε έχει εξίσωση της μορφής : x y και αντίστροφα. Ειδικότερα Ο κύκλος με κέντρο Ο(0,0)

Αν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Ο(0,0) τότε έχει εξίσωση της μορφής : x y και αντίστροφα. Ειδικότερα Ο κύκλος με κέντρο Ο(0,0) . Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν γνωρίζουμε το κέντρο του, και την ακτίνα του ρ. Αν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Ο, τότε έχει εξίσωση της μορφής : και αντίστροφα. Ειδικότερα

Διαβάστε περισσότερα

GenCartoPro: Μια νεά εργαλειοθη κη παραγωγη ς χαρτογραφικω ν προβολω ν για την υποστη ριξη της χαρτογραφικη ς εκπαι δευσης

GenCartoPro: Μια νεά εργαλειοθη κη παραγωγη ς χαρτογραφικω ν προβολω ν για την υποστη ριξη της χαρτογραφικη ς εκπαι δευσης GenCartoPro: Μια νεά εργαλειοθη κη παραγωγη ς χαρτογραφικω ν προβολω ν για την υποστη ριξη της χαρτογραφικη ς εκπαι δευσης Βασι λειος ΚΡΑΣΑΝΑΚΗΣ, Βασι λειος ΜΗΤΡΟΠΟΥΛΟΣ, Βυ ρωνας ΝΑΚΟΣ Σχολη Αγρονο µων

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις με αριθμούς ονομάζεται αριθμητική παράσταση. Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό σας. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Να συμπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Α. Υπολογισμός της θέσης του κέντρου μάζας συστημάτων που αποτελούνται από απλά διακριτά μέρη. Τα απλά διακριτά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Εκφράζω προς όλους τις θερμές ευχαριστίες μου για την συνεργασία και την βοήθειά τους στην προετοιμασία του τεύχους αυτού.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Εκφράζω προς όλους τις θερμές ευχαριστίες μου για την συνεργασία και την βοήθειά τους στην προετοιμασία του τεύχους αυτού. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το τεύχος αυτό περιέχει τα βασικά στοιχεία της Γεωδαιτικής Αστρονομίας (Geodetic Astronomy) που είναι αναγκαία στους φοιτητές της Σχολής Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών του Ε.Μ.Πολυτεχνείου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ 4η παρουσίαση

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ 4η παρουσίαση ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ 4η παρουσίαση Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ 4ο εξάμηνο http://eclass.survey.teiath.gr Παρουσιάσεις, Ασκήσεις, Σημειώσεις ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1. Ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΤΣΙΚΗ ΧΑΡΣΟΓΡΑΦΙΑ

ΑΝΑΛΤΣΙΚΗ ΧΑΡΣΟΓΡΑΦΙΑ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΣΟΒΙΟ ΠΟΛΤΣΕΧΝΕΙΟ ΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ & ΣΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΟΜΕΑ ΣΟΠΟΓΡΑΦΙΑ ΑΝΑΛΤΣΙΚΗ ΧΑΡΣΟΓΡΑΦΙΑ ΒΤΡΩΝΑ ΝΑΚΟ ΑΘΗΝΑ 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Περιεχόμενα ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ i vii ΜΕΡΟΣ Α ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

α) Κύκλος από δύο δοσµένα σηµεία Α, Β. Το ένα από τα δύο σηµεία ορίζεται ως κέντρο αν το επιλέξουµε πρώτο. β) Κύκλος από δοσµένο σηµείο και δοσµένο ευ

α) Κύκλος από δύο δοσµένα σηµεία Α, Β. Το ένα από τα δύο σηµεία ορίζεται ως κέντρο αν το επιλέξουµε πρώτο. β) Κύκλος από δοσµένο σηµείο και δοσµένο ευ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ SKETCHPAD ΜΕΡΟΣ Α Μιλώντας για ένα λογισµικό δυναµικής γεωµετρίας καλό θα ήταν να διακρίνουµε αρχικά 3 οµάδες εργαλείων µε τα οποία µπορούµε να εργαστούµε µέσα στο συγκεκριµένο περιβάλλον.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 Ο ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ Δρ. ΜΑΡΙΑ ΦΕΡΕΝΤΙΝΟΥ 2008-2009

ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 Ο ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ Δρ. ΜΑΡΙΑ ΦΕΡΕΝΤΙΝΟΥ 2008-2009 ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 Ο ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ Δρ. ΜΑΡΙΑ ΦΕΡΕΝΤΙΝΟΥ 2008-2009 Τοπογραφικοί Χάρτες Περίγραμμα - Ορισμοί - Χαρακτηριστικά Στοιχεία - Ισοϋψείς Καμπύλες - Κατασκευή τοπογραφικής τομής

Διαβάστε περισσότερα

Ονοµάζουµε παραβολή µε εστία σηµείο Ε και διευθετούσα ευθεία (δ) το γεωµετρικό τόπο των σηµείων του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από το Ε και τη (δ)

Ονοµάζουµε παραβολή µε εστία σηµείο Ε και διευθετούσα ευθεία (δ) το γεωµετρικό τόπο των σηµείων του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από το Ε και τη (δ) 3. Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε παραβολή µε εστία σηµείο Ε και διευθετούσα ευθεία (δ) το γεωµετρικό τόπο των σηµείων του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από το Ε και τη (δ). Εξίσωση παραβολής p, όπου

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση του όγκου και του εμβαδού ορθών πρισμάτων Κανονική Πυραμίδα 1 Βάσης) (Απόστημα) 2 1 ό Βάσης) (Ύψος) 3

Μέτρηση του όγκου και του εμβαδού ορθών πρισμάτων Κανονική Πυραμίδα 1 Βάσης) (Απόστημα) 2 1 ό Βάσης) (Ύψος) 3 Βασικά σύνολα αριθμών -Σύνολο φυσικών: Ν = {0,., } ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ -Σύνολο ακεραίων: Ζ= { -.-.0.,, } Συμβολίζουμε με ν=κ και τους άρτιους και τους περιττούς αντίστοιχα. * -Σύνολο ρητών: Q =, Z &

Διαβάστε περισσότερα

Η μέθοδος του κινουμένου τριάκμου

Η μέθοδος του κινουμένου τριάκμου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Ειδίκευση Θεωρητικών Μαθηματικών Σ Σταματάκη Η μέθοδος του κινουμένου τριάκμου Σημειώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Web page: Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Γ Γυμνασίου Γεωμετρία-Τριγωνομετρία

Web page:    Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Γ Γυμνασίου Γεωμετρία-Τριγωνομετρία Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Άλγεβρα Κανόνας των πρόσημων: (+) (+) = + ( ) ( ) = + (+) ( ) = ( ) (+) = Συνοπτική

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 4 o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 0. Σ 9. Λ. Λ. Σ 40. Σ. Σ. Σ 4. Λ 4. Λ. Σ 4. Σ 5. Σ 4. Σ 4. Λ 6. Σ 5. Λ 44.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία Μαθηματικά Β Γυμνασίου Επανάληψη στη Θεωρία Α.1.1: Η έννοια της μεταβλητής - Αλγεβρικές παραστάσεις Α.1.2: Εξισώσεις α βαθμού Α.1.4: Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων Α.1.5: Ανισώσεις α βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π.

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 04) Ε.Μ.Π. (παρατηρήσεις για τη βελτίωση των σημειώσεων ευπρόσδεκτες) Παράσταση σημείου. Σχήμα Σχήμα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Παρεμβολή Συναρτήσεις μιας μεταβλητής

Κεφάλαιο Παρεμβολή Συναρτήσεις μιας μεταβλητής Κεφάλαιο 6 Σύνοψη Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι η παρουσίαση της διαδικασίας της παρεμβολής για τις ανάγκες αναπαράστασης καμπύλων γραμμών. Με δεδομένο ότι, η συνηθέστερη τεχνική αντιμετώπισης του προβλήματος

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανό Σύστηµα y. y A. x A

Καρτεσιανό Σύστηµα y. y A. x A Στη γενική περίπτωση µπορούµε να ορίσουµε άπειρα συστήµατα συντεταγ- µένων τα οποία να µας επιτρέπουν να προσδιορίσουµε τη θέση ενός σηµείου. Στη Φυσική χρησιµοποιούνται αρκετά. Τα βασικά από αυτά θα εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες Εργασία Παράδοση 0/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες 1. Υπολογίστε τα παρακάτω όρια: Α. Β. Γ. όπου x> 0, y > 0 Δ. όπου Κάνετε απευθείας τις πράξεις χωρίς να χρησιμοποιήσετε παραγώγους. Επιβεβαιώστε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 1.1 Εισαγωγή... 1 1.2 Λύση ΔΕ, αντίστροφο πρόβλημα αυτής... 3 Ασκήσεις... 10 1.3 ΔΕ πρώτης τάξης χωριζομένων μεταβλητών... 12 Ασκήσεις... 15 1.4 Ομογενείς

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Αρχή και Πέρας Φορέας Διεύθυνση (Συγγραμμικά διανύσματα) Μέτρο Κατεύθυνση (Ομόρροπα Αντίρροπα διανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

πάχος 0 πλάτος 2a μήκος

πάχος 0 πλάτος 2a μήκος B1) Δεδομένου του τύπου E = 2kλ/ρ που έχει αποδειχθεί στο μάθημα και περιγράφει το ηλεκτρικό πεδίο Ε μιας άπειρης γραμμής φορτίου με γραμμική πυκνότητα φορτίου λ σε σημείο Α που βρίσκεται σε απόσταση ρ

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνες παραγώγισης ( )

Κανόνες παραγώγισης ( ) 66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών

Διαβάστε περισσότερα

Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των ακόλουθων συναρτήσεων σε χαρτί µιλιµετρέ αφού πρώτα φτιάξετε τους πίνακες των τιµών τους.

Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των ακόλουθων συναρτήσεων σε χαρτί µιλιµετρέ αφού πρώτα φτιάξετε τους πίνακες των τιµών τους. Άσκηση. Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των ακόλουθων συναρτήσεων σε χαρτί µιλιµετρέ αφού πρώτα φτιάξετε τους πίνακες των τιµών τους. α) y, β) y, γ) y, δ) y, ε) y ( ) Να προσδιοριστούν γραφικά και µε

Διαβάστε περισσότερα

Παραµόρφωση σε Σηµείο Σώµατος. Μεταβολή του σχήµατος του στοιχείου (διατµητική παραµόρφωση)

Παραµόρφωση σε Σηµείο Σώµατος. Μεταβολή του σχήµατος του στοιχείου (διατµητική παραµόρφωση) Παραµόρφωση σε Σηµείο Σώµατος Η ολική παραµόρφωση στερεού σώµατος στη γειτονιά ενός σηµείου, Ο, δηλαδή η συνολική παραµόρφωση ενός µικρού τµήµατος (στοιχείου) του σώµατος γύρω από το σηµείο µπορεί να αναλυθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΑΠΟΡΡΟΗΣ ΤΩΝ ΟΜΒΡΙΩΝ ΣΕ ΚΡΙΣΙΜΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΤΩΝ ΟΔΙΚΩΝ ΧΑΡΑΞΕΩΝ

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΑΠΟΡΡΟΗΣ ΤΩΝ ΟΜΒΡΙΩΝ ΣΕ ΚΡΙΣΙΜΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΤΩΝ ΟΔΙΚΩΝ ΧΑΡΑΞΕΩΝ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΑΠΟΡΡΟΗΣ ΤΩΝ ΟΜΒΡΙΩΝ ΣΕ ΚΡΙΣΙΜΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΤΩΝ ΟΔΙΚΩΝ ΧΑΡΑΞΕΩΝ Ν. Ε. Ηλιού Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήματος Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστημίου Θεσσαλίας Γ. Δ.

Διαβάστε περισσότερα

Π Ρ Ο Σ Ε Γ Γ Ι Σ Η Μ Ι Α Σ Ι Α Φ Ο Ρ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Σ

Π Ρ Ο Σ Ε Γ Γ Ι Σ Η Μ Ι Α Σ Ι Α Φ Ο Ρ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Σ Π Ρ Ο Σ Ε Γ Γ Ι Σ Η Μ Ι Α Σ Ι Α Φ Ο Ρ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Σ Εκτός της Ευκλείδειας γεωµετρίας υπάρχουν και άλλες γεωµετρίες µη Ευκλείδιες.Οι γεω- µετρίες αυτές διαφοροποιούνται σε ένα ή περισσότερα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ Επιμέλεια: Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Σχολικό Έτος: 016-017 Μαθηματικός Περιηγητής:

Διαβάστε περισσότερα

Π. ΣΑΒΒΑΪΔΗΣ, ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝΩ Α.Π.Θ

Π. ΣΑΒΒΑΪΔΗΣ, ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝΩ Α.Π.Θ Π. ΣΑΒΒΑΪΔΗΣ, ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝΩ Α.Π.Θ Ο χάρτης ως υπόβαθρο των ΓΣΠ Tα ΓΣΠ βασίζονται στη διαχείριση πληροφοριών που έχουν άμεση σχέση με το γεωγραφικό χώρο, περιέχουν δηλαδή δεδομένα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Β ΦΑΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ÅÐÉËÏÃÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Β ΦΑΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ÅÐÉËÏÃÇ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Σάββατο 8 Απριλίου 2017 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες Α1. Θεωρία. Σχολικό βιβλίο σελίδα 83 Α2. α) Σωστό β) Λάθος γ) Σωστό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Τυπολόγιο Σφαιρικής Τριγωνομετρίας

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Τυπολόγιο Σφαιρικής Τριγωνομετρίας 81 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Τυπολόγιο Σφαιρικής Τριγωνομετρίας Εισαγωγή Σε πολλά προβλήματα της Χαρτογραφίας, της Ανώτερης Γεωδαισίας, της Γεωδαιτικής Αστρονομίας και της Δορυφορικής Γεωδαισίας εμφανίζονται γεωμετρικά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Τυπολόγιο Σφαιρικής Τριγωνομετρίας

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Τυπολόγιο Σφαιρικής Τριγωνομετρίας 81 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Τυπολόγιο Σφαιρικής Τριγωνομετρίας Εισαγωγή Σε πολλά προβλήματα της Χαρτογραφίας, της Ανώτερης Γεωδαισίας, της Γεωδαιτικής Αστρονομίας και της Δορυφορικής Γεωδαισίας εμφανίζονται γεωμετρικά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΟΙ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΠΟΣΤΑΣΕΩΝ - ΠΡΟΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΟΙ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΠΟΣΤΑΣΕΩΝ - ΠΡΟΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΟΙ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΠΟΣΤΑΣΕΩΝ - ΠΡΟΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου είναι η ανασκόπηση βασικών μαθηματικών εργαλείων που αφορούν τη μελέτη διανυσματικών συναρτήσεων [π.χ. E(, t) ]. Τα εργαλεία αυτά είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 5

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 5 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος 2013-14, Α. Λαχανάς 1/ 53 ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 5 Α. Λαχανάς ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, Τµήµα Φυσικής Τοµέας Πυρηνικής Φυσικής & Στοιχειωδών Σωµατιδίων Ακαδηµαικό έτος

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Εισαγωγή Η μελέτη της έλλειψης, της παραβολής και της υπερβολής από τους Αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς φαίνεται ότι είχε αφετηρία τη σχέση αυτών των καμπύλων με ορισμένα προβλήματα γεωμετρικών

Διαβάστε περισσότερα

Μοντελοποίηση δικτύου μέσω εξισώσεων παρατήρησης

Μοντελοποίηση δικτύου μέσω εξισώσεων παρατήρησης Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 017-018 Μοντελοποίηση δικτύου μέσω εξισώσεων παρατήρησης Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή,

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ.

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. Ν. Ε. Ηλιού Επίκουρος Καθηγητής Τµήµατος Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστηµίου Θεσσαλίας Γ.. Καλιαµπέτσος Επιστηµονικός

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Έλλειψης

Μεθοδολογία Έλλειψης Μεθοδολογία Έλλειψης Έλλειψη ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων, των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία Ε και Ε είναι σταθερό και μεγαλύτερο από την απόσταση (ΕΕ ). Στη Φύση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΤΥΠΩΣΕΙΣ - ΧΑΡΑΞΕΙΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΟΥ DATUM

ΑΠΟΤΥΠΩΣΕΙΣ - ΧΑΡΑΞΕΙΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΟΥ DATUM ΑΠΟΤΥΠΩΣΕΙΣ - ΧΑΡΑΞΕΙΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΟΥ DATUM Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Αποτυπώσεις - Χαράξεις

Διαβάστε περισσότερα

14 η εβδομάδα (26/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 28, 29 και 30. Έγινε επανάληψη στη Θεωρία Καμπυλών και στη Θεωρία Επιφανειών.

14 η εβδομάδα (26/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 28, 29 και 30. Έγινε επανάληψη στη Θεωρία Καμπυλών και στη Θεωρία Επιφανειών. 14 η εβδομάδα (26/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 28, 29 και 30. Έγινε επανάληψη στη Θεωρία Καμπυλών και στη Θεωρία Επιφανειών. 13 η εβδομάδα (16/01/2017 & 19/01/2017) Ασυμπτωτική διεύθυνση και ασυμπτωτικό

Διαβάστε περισσότερα