ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗ ΝΑΥΤΙΛΙΑ ΚΑΙ ΤΙΣ ΝΑΥΤΙΚΕΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΙΣ. Δρ. ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Η. ΠΑΛΛΗΚΑΡΗΣ Αν.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗ ΝΑΥΤΙΛΙΑ ΚΑΙ ΤΙΣ ΝΑΥΤΙΚΕΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΙΣ. Δρ. ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Η. ΠΑΛΛΗΚΑΡΗΣ Αν."

Transcript

1 ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗ ΝΑΥΤΙΛΙΑ ΚΑΙ ΤΙΣ ΝΑΥΤΙΚΕΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΙΣ Δρ. ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Η. ΠΑΛΛΗΚΑΡΗΣ Αν. καθηγητής ΣΝΔ ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2011

2 Απαγορεύεται η αντιγραφή, αποθήκευση και διανομή του παρόντος, εξ ολοκλήρου ή τμήματος αυτού, για εμπορικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανομή για σκοπό µη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσης, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν μήνυμα Ερωτήματα που αφορούν τη χρήση της εργασίας για κερδοσκοπικό σκοπό πρέπει να απευθύνονται προς τον εκδότη. Copyright A. Palikaris

3 1. Εισαγωγή ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΡΟΒΟΛΩΝ 1.1 Ορισμός χαρτογραφικών προβολών. Για την κατασκευή των διαφόρων χαρτών, στους οποίους απεικονίζεται ολόκληρη ή μέρος της επιφάνειας της γης, απαιτείται ο μετασχηματισμός σε επίπεδο της μαθηματικής επιφάνειας της γης (σφαίρας ή ελλειψοειδούς εκ περιστροφής που χρησιμοποιείται για την προσέγγιση της φυσικής επιφάνειας της γης). Οι μέθοδοι μετασχηματισμού σε επίπεδο της επιφάνειας της σφαίρας ή του ελλειψοειδούς εκ περιστροφής (ΕΕΠ) λέγονται χαρτογραφικές προβολές. Όταν η απεικονιζόμενη στο χάρτη περιοχή είναι μικρή και περιορισμένη, όπως π.χ. στην χαρτογράφηση ενός λιμένα, είναι δυνατό να αγνοηθεί η καμπυλότητα της γης και να θεωρηθεί ότι για την περιορισμένη αυτή περιοχή η επιφάνεια του ελλειψοειδούς αναφοράς και του γεωειδούς (μέση στάθμη της θάλασσας) είναι επίπεδη. Στην περίπτωση αυτή η απεικόνιση των σημείων της επιφάνειας της γης στο χάρτη γίνεται με απλές μεθόδους της επίπεδης γεωμετρίας τοπογραφίας. Σε όλες τις άλλες περιπτώσεις, στις οποίες η απεικονιζόμενη στο χάρτη περιοχή είναι μεγαλύτερη, πρέπει οπωσδήποτε να ληφθεί υπόψη η καμπυλότητα της γης και να χρησιμοποιηθεί η κατάλληλη χαρτογραφική προβολή για το μετασχηματισμό της επιφάνειας της σφαίρας ή του ΕΕΠ. σε επίπεδη επιφάνεια. Ανεξάρτητα αν η επιφάνεια της γης θεωρείται σφαίρα ή ΕΕΠ., η επιφάνεια αυτή είναι αδύνατο να αναπτυχθεί πλήρως σε επίπεδο χωρίς παραμορφώσεις. Η αδυναμία αυτή μπορεί να γίνει άμεσα αντιληπτή, αν ως επιφάνεια της σφαίρας ή του ΕΕΠ θεωρηθεί η επιφάνεια του καλύφους ενός αυγού, ή η επιφάνεια του φλοιού ενός πορτοκαλιού. Οι επιφάνειες αυτές δεν είναι δυνατό να αναπτυχθούν σε επίπεδο χωρίς να κοπεί σε μικρά μη συνεχόμενα κομμάτια. Επειδή οι επιφάνειες της σφαίρας και του ΕΕΠ δεν αναπτύσσονται σε επίπεδο, οι χαρτογραφικές προβολές εμπεριέχουν αναπόφευκτα διάφορες παραμορφώσεις ανάλογα με τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά εκάστης. 1.2 Ιστορική αναδρομή Η χρησιμοποίηση χαρτογραφικών προβολών για την απεικόνιση της επιφάνειας της γης σε επίπεδο, είναι γνωστή από την αρχαιότητα. Ο αρχαίος Έλληνας μαθηματικός και φιλόσοφος Θαλής ο Μιλήσιος (6ος αιώνας π.χ) χρησιμοποίησε γεωμετρική προβολή των σημείων της επιφάνειας της σφαίρας σε εφαπτόμενο σε αυτήν επίπεδο από το κέντρο της σφαίρας [βλ. σχήμα 1.1α]. Η απεικόνιση αυτή αποτελεί την γνωμονική προβολή που χρησιμοποιείται για την υποτύπωση του δρομολογίου του ορθοδρομικού πλου με ευθεία γραμμή. 1-1

4 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" 2 Ο αρχαίος Έλληνας αστρονόμος Ίππαρχος (2ος αιώνας π.χ) χρησιμοποίησε γεωμετρική προβολή των σημείων της επιφάνειας της σφαίρας σε εφαπτόμενο σε αυτήν επίπεδο από το αντιδιαμετρικό σημείο του σημείου επαφής του επιπέδου [Σχ. 1.1β]. Η απεικόνιση αυτή αποτελεί την στερεογραφική προβολή που χρησιμοποιείται σε αρκετά σύγχρονα συστήματα ηλεκτρονικού χάρτη. α. Γνωμονική προβολή: εφαπτόμενο επίπεδο Στη γνωμονική προβολή η οποία επινοήθηκε από τον Θαλή τον Μιλήσιο (6 ος αι. π.χ.) το προβολικό σημείο είναι το κέντρο της σφαίρας από το οποίο τα σημεία της επιφάνειας της σφαίρας προβάλονται στο εφαπτόμενο επίπεδο. K E A B Γ Α Β Δ Γ Δ β. Στερεογραφική προβολή: εφαπτόμενο επίπεδο Στη στερεογραφική προβολή η οποία επινοήθηκε από τον Ίππαρχο (6 ος αι. π.χ.) το προβολικό σημείο είναι το αντιδιαμετρικό σημείο Ε του σημείου επαφής Ε του επιπέδου με τη σφαίρα και τα σημεία της επιφάνειας της σφαίρας προβάλονται από το σημείο Ε στο εφαπτόμενο επίπεδο. K E A Α Β B Γ Δ Γ Δ E Σχήμα 1.1: Παραδείγματα χαρτογραφικών προβολών Ο γραμματέας της βιβλιοθήκης της Αλεξάνδρειας Κλαύδιος Πτολεμαίος (2ος αιώνας μ.χ), στο έργο του «Γεωγραφική Υφήγησις» συνοψίζει το έργο των κυριότερων χαρτογράφων της εποχής του αλλά και προγενέστερων, όπως του Ερατοσθένη, του Απολλώνιου του Ρόδιου, του Μαρίνου του Τύριου κ.α. Στο έργο του Κλαύδιου Πτολεμαίου παρουσιάζονται διάφορες χαρτογραφικές προβολές που χρησιμοποιούνταν την περίοδο εκείνη και παρέχονται αναλυτικές οδηγίες κατασκευής χαρτών σύμφωνα με την κωνική ισαπέχουσα προβολή. Στη γεωγραφική υφήγηση του Κλαύδιου Πτολεμαίου, εκτός των άλλων, παρέχονται και πίνακες με το γεωγραφικό πλάτος και μήκος των κυριότερων πόλεων του 1-2

5 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" 3 τότε γνωστού κόσμου από τις Κανάριες νήσους και τη σημερινή Μεγάλη Βρετανία μέχρι τις νοτιοανατολικές ακτές της Ασίας. Το έργο του Πτολεμαίου παραλήφθηκε από τους Άραβες, οι οποίοι κατά την περίοδο του Μεσαίωνα ανέπτυξαν την χαρτογραφία σε πολύ καλύτερο από τους Ευρωπαίους επίπεδο. Χαρακτηριστικό παράδειγμα: ο παγκόσμιος χάρτης του Αλ Ιντρίσι που κατασκεύασε το 1159 μ.χ. με στοιχεία της Γεωγραφικής Υφήγησης. Στην Ευρώπη το έργο του Πτολεμαίου παρέμεινε άγνωστο μέχρι τον 15 ο αιώνα μ.χ., οπότε μεταφράστηκε στα λατινικά και αξιοποιήθηκε για την επανέκδοση των χαρτών της αρχαιότητας οι οποίοι αποτέλεσαν το κίνητρο για την ανακάλυψη της Αμερικής από τον Κολόμβο και τον περίπλου της γης από τον Μαγγελάνο. Οι χάρτες αυτοί στηρίζονταν στη κωνική χαρτογραφική προβολή που παρουσιάζεται στην γεωγραφική υφήγηση και την οποία ο Πτολεμαίος θεωρούσε καταλληλότερη της κυλινδρικής. Για την κυλινδρική προβολή ο Πτολεμαίος αναφέρει ότι χρησιμοποιείτο από ορισμένους χαρτογράφους της εποχής εκείνης, όπως ο Μαρίνος ο Τύριος. Από τους χάρτες που κατασκευάστηκαν στην Ευρώπη με βάση τα στοιχεία της γεωγραφικής υφήγησης του Πτολεμαίου, ιστορικό σταθμό αποτελεί ο παγκόσμιος χάρτης του Φλαμανδού χαρτογράφου Μερκάτορα που κατασκευάστηκε το 1569 με την χρησιμοποίηση χαρτογραφικής προβολής η οποία βασίζεται στις αρχές της ορθής κυλινδρικής προβολής και έχει τις βασικότατες για τον ναυτιλόμενο ιδιότητες: να απεικονίζει την λοξοδρομική πλεύση σαν ευθεία γραμμή, να απεικονίζει τις μετρούμενες στην επιφάνεια της γης γωνίες, (π.χ. μετρούμενες διοπτεύσεις) χωρίς παραμορφώσεις (με την πραγματική τους τιμή). 1.3 Συναρτήσεις Χαρτογραφικού Μετασχηματισμού (Εξισώσεις χαρτογραφικών προβολών) Όλες οι χαρτογραφικές προβολές απεικονίζουν αμφιμονοσήμαντα τα σημεία της επιφάνειας της σφαίρας ή του ελλειψοειδούς εκ περιστροφής στην επιφάνεια απεικόνισης (επίπεδο του χάρτη) με τη βοήθεια των αντίστοιχων συναρτήσεων του χαρτογραφικού μετασχηματισμού [Σχ. 1.2]. Η απεικόνιση των σημείων της επιφάνειας του ΕΕΠ (ή της σφαίρας) σε επίπεδο πραγματοποιείται με το ευθύ πρόβλημα του χαρτογραφικού μετασχηματισμού, το οποίο αφορά το μετασχηματισμό ( φi, λ i ) (x i,yi ) των γεωγραφικών συντεταγμένων (φ i, λ i ) των σημείων της επιφάνειας του ΕΕΠ στις συντεταγμένες (x i, y i ) της επιφάνειας απεικόνισης με χρήση των συναρτήσεων μετασχηματισμού f 1 και f 2 των (1.1) και (1.2). x = (φ,λ ) (1.1) i f 1 i i y = (φ,λ ) (1.2) i f 2 i i Η αντίστροφη απεικόνιση των σημείων της επιφάνειας απεικόνισης (επιφάνειας του χάρτη) στην επιφάνεια του ΕΕΠ ή της σφαίρας πραγματοποι- 1-3

6 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" 4 είται με το αντίστροφο πρόβλημα πρόβλημα του χαρτογραφικού μετασχηματισμού, το οποίο αφορά το μετασχηματισμό ( xi,yi ) (φi, λi ) των συντεταγμένων (x i, y i ), των σημείων της επιφάνειας απεικόνισης στις γεωγραφικές συντεταγμένες (φ i, λ i ) των αντίστοιχων σημείων της επιφάνειας του ΕΕΠ, με χρήση των συναρτήσεων του αντίστροφου μετασχηματισμού (1.3) και (1.4). = g ( x i, y ) (1.3) φi 1 i λi = g2 ( x i, yi ) (1.4) όπου: φ, λ: είναι οι γεωγραφικές συντεταγμένες ενός σημείου στο ελλειψοειδές ή τη σφαίρα. x, y: είναι οι συντεταγμένες του ίδιου σημείου σε ένα καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα αναφοράς στο επίπεδο. x=f 1 (φ, λ) y=f 2 (φ, λ) φ=f 1 (x, y) λ=f 2 (x, y) Σχήμα 1.2: Αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση των σημείων της επιφάνειας του ΕΕΠ σε επίπεδο Σε κάθε χαρτογραφική προβολή οι συναρτήσεις του χαρτογραφικού μετασχηματισμού (σχέσεις 1.1 έως 1.4), που λέγονται και εξισώσεις της χαρτογραφικής προβολής, είναι απλούστερες στην περίπτωση απεικόνισης επιφάνειας της σφαίρας από ότι στην περίπτωση απεικόνισης επιφάνειας του ελλειψοειδούς εκ περιστροφής (ΕΕΠ). Για το λόγο αυτό σε αρκετές περιπτώσεις η απεικόνιση των σημείων της επιφάνειας του EEP στο επίπεδο πραγματοποιείται με ένα ενδιάμεσο στάδιο απεικόνισης στην επιφάνεια μιας βοηθητικής σφαίρας. [Σχ. 1.3]. Κατά τον ενδιάμεσο μετασχηματισμό της επιφάνειας του ΕΕΠ σε σφαίρα και ανάλογα με τις απαιτήσεις της εξεταζόμενης εφαρμογής, είναι δυνατό να εξασφαλιστεί η διατήρηση κάποιας βασικής ιδιότητας, όπως: σωστή απεικόνιση των γωνιών και διευθύνσεων (συμμορφία), σωστή απεικόνιση της αναλογίας των εμβαδών (ισοδυναμία), μηδενισμός των γραμμικών παραμορφώσεων σε κάποια διεύθυνση (μεσημβρινού, παραλλήλου, κεντρικού μεσημβρινού) κλπ. Με τον τρόπο αυτό είναι δυνατό να προκύψουν διάφορες ενδιάμεσες σφαίρες με διαφορετικά χαρακτηριστικά εκάστη. Οι κυριότερες μέθοδοι μετασχηματισμού του ΕΕΠ σε σφαίρα είναι: μετασχηματισμός με μηδενικές γωνιακές παραμορφώσεις (σφαίρα συμμορφίας), μετασχηματισμός με μηδενικές επιφανειακές παραμορφώσεις (ισοδύναμη σφαίρα), 1-4

7 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" 5 μετασχηματισμός με μηδενικές γραμμικές παραμορφώσεις στη διεύθυνση των μεσημβρινών (ισαπέχουσα στη διεύθυνση των μεσημβρινών σφαίρα), μετασχηματισμός με μηδενικές γραμμικές παραμορφώσεις στη διεύθυνση των παραλλήλων (ισαπέχουσα στη διεύθυνση των παραλλήλων σφαίρα). Για τη ναυσιπλοΐα σε περιβάλλον ΣΗΝΧ οι σχέσεις 1.1 έως 1.4 του χαρτογραφικού μετασχηματισμού αποτελούν βασικές συνιστώσες του ναυτιλιακού λογισμικού για την υποστήριξη της πλοήγησης σε πραγματικό χρόνο. Το ευθύ πρόβλημα χρησιμοποιείται για την απεικόνιση στον ηλεκτρονικό χάρτη της ακριβούς θέσεως (στίγματος) του πλοίου με βάση τις συντεταγμένες (φ i, λ i ) που προσδιορίζονται συνεχώς από το σύστημα προσδιορισμού θέσεως. Το αντίστροφο πρόβλημα χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό των γεωγραφικών συντεταγμένων οποιουδήποτε σημείου του ΗΝΧ κατά τις διαδικασίες προετοιμασίας, σχεδίασης και εκτέλεσης του πλου στα ΣΗΝΧ, όπως ο προσδιορισμός των γεωγραφικών συντεταγμένων των σημείων που καθορίζονται ως κορυφές πολυγωνικών γραμμών κατά τη σχεδίαση του πλου για την επισήμανση ναυτιλιακών κινδύνων. Σχήμα 1.3: Απεικόνιση ΕΕΠ σε επίπεδο με ενδιάμεση απεικόνιση σε βοηθητική σφαίρα 2. Ταξινόμηση χαρτογραφικών προβολών Οι χαρτογραφικές προβολές μπορούν να ταξινομηθούν σε ορισμένες κατηγορίες ανάλογα με διάφορα κριτήρια όπως: η μέθοδος απεικόνισης (γεωμετρικές, ημιγεωμετρικές, μαθηματικές), η χρησιμοποιούμενη επιφάνεια απεικόνισης (κύλινδρος, κώνος, επίπεδο), η θέση του άξονα της Γης ως προς την επιφάνεια απεικόνισης (ορθές, εγκάρσιες, πλάγιες), ορισμένα βασικά χαρακτηριστικά και ιδιότητες της προβολής, (σύμμορφες, ισοεμβαδικές, ίσης αποστάσεως κ.α), η μορφή των εξισώσεων του χαρτογραφικού μετασχηματισμού. 1-5

8 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" Ταξινόμηση χαρτογραφικών προβολών ανάλογα με τη μέθοδο απεικόνισης Ένας πρακτικός κανόνας ταξινόμησης των χαρτογραφικών προβολών, ο οποίος διευκολύνει την κατανόηση των βασικών χαρακτηριστικών των περισσότερο χρησιμοποιούμενων προβολών στηρίζεται στη δυνατότητα απεικόνισης των σημείων της επιφάνειας της σφαίρας ή του ΕΕΠ στο επίπεδο με γεωμετρικές μεθόδους. Σύμφωνα με την αρχή αυτή οι χαρτογραφικές προβολές διακρίνονται σε: γεωμετρικές χαρτογραφικές προβολές. Στις προβολές αυτές η απεικόνιση των σημείων της επιφάνειας της σφαίρας, η του ΕΕΠ μπορεί να πραγματοποιηθεί, εκτός από τις εξισώσεις του χαρτογραφικού μετασχηματισμού, και με μεθόδους της προβολικής γεωμετρίας. μαθηματικές χαρτογραφικές προβολές στις οποίες η απεικόνιση γίνεται αποκλειστικά με τις εξισώσεις του χαρτογραφικού μετασχηματισμού. ημιγεωμετρικές χαρτογραφικές προβολές στις οποίες η απεικόνιση γίνεται με τις εξισώσεις του χαρτογραφικού μετασχηματισμού αλλά ορισμένα στοιχεία της επιφάνειας της σφαίρας ή του ΕΕΠ. (π.χ. οι γραμμές των μεσημβρινών), μπορούν να απεικονισθούν και με μεθόδους της προβολικής γεωμετρίας. Όπως αναφέρθηκε και στην ενότητα 1.3, σε όλες τις χαρτογραφικές προβολές (γεωμετρικές και μη γεωμετρικές), οι συντεταγμένες (x, y) των απεικονιζόμενων στο επίπεδο σημείων της επιφάνειας της γης υπολογίζονται με τη βοήθεια των εξισώσεων του χαρτογραφικού μετασχηματισμού Γεωμετρικές χαρτογραφικές προβολές Στις γεωμετρικές χαρτογραφικές προβολές η απεικόνιση των σημείων της επιφάνειας της σφαίρας, η του ΕΕΠ μπορεί να πραγματοποιηθεί με μεθόδους της προβολικής γεωμετρίας και οι εξισώσεις του χαρτογραφικού μετασχηματισμού προκύπτουν από την ανάλυση της γεωμετρίας τους σύμφωνα με την οποία η απεικόνιση στηρίζεται: Στην επιλογή μιας επίπεδης ή, αναπτυκτής σε επίπεδο επιφάνειας απεικόνισης, όπως η κυλινδρική και η κωνική επιφάνεια. Η χρησιμοποιούμενη επιφάνεια απεικόνισης (επίπεδο, κύλινδρος ή κώνος) συνήθως εφάπτεται στην επιφάνεια της σφαίρας ή την τέμνει σε ένα κύκλο. Στην γεωμετρική προβολή των σημείων της επιφάνειας της γης (σφαίρας ή ΕΕΠ) στην επιφάνεια απεικόνισης. Αναπτυκτή σε επίπεδο επιφάνεια λέγεται μια επιφάνεια η οποία είναι δυνατό να μετασχηματισθεί σε επίπεδη χωρίς να παραμορφωθεί. Οι αναπτυκτές επιφάνειες προκύπτουν από την κίνηση μιας ευθείας είτε παράλληλα σε μία σταθερή διεύθυνση, όπως οι κυλινδρικές επιφάνειες, είτε διερχόμενες από ένα σταθερό σημείο, όπως οι κωνικές επιφάνειες. Παραδείγματα αναπτυκτών σε επίπεδο επιφανειών είναι οι επιφάνειες του κυλίνδρου και του κώνου οι οποίες είναι δυνατό να μετασχηματισθούν άμεσα σε επίπεδες χωρίς καμία παραμόρφωση αν κοπούν κατά μήκος μιας γενέτειράς τους [Σχ. 1.4]. 1-6

9 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" 7 Παραδείγματα μη αναπτυκτών επιφανειών είναι οι επιφάνειες της σφαίρας και του ελλειψοειδούς εκ περιστροφής (ΕΕΠ.) οι οποίες είναι αδύνατο να μετασχηματισθούν σε επίπεδο χωρίς παραμορφώσεις, όπως είναι αδύνατο να γίνει πλήρως επίπεδη η επιφάνεια του φλοιού ενός πορτοκαλιού, ή του κελύφους ενός αυγού χωρίς αυτή να κοπεί σε μικρά κομμάτια. α. κωνική επιφάνεια και ανάπτυξή της σε επίπεδη β. κυλινδρική επιφάνεια και ανάπτυξη της σε επίπεδη Σχήμα 1.4: Παραδείγματα αναπτυκτών σε επίπεδο επιφανειών. Η γεωμετρική προβολή των σημείων της επιφάνειας της γης (σφαίρας ή ΕΕΠ) στην επιφάνεια απεικόνισης (επίπεδο, κύλινδρος ή κώνος), συνήθως πραγματοποιείται με την επιλογή ενός προβολικού σημείου από το οποίο προβάλλονται τα σημεία της επιφάνειας της γης. Η γεωμετρική αυτή προβολή λέγεται κεντρική προβολή. Παραδείγματα κεντρικής προβολής είναι η γνωμονική προβολή (Σχ. 1.1α και Σχ. 1.6γ) και η στερεογραφική προβολή (Σχ. 1.1β). Με τον τρόπο αυτό στις γεωμετρικές χαρτογραφικές προβολές κάθε ευθεία που συνδέει το προβολικό σημείο με ένα σημείο της σφαίρας (ή του ΕΕΠ.), τέμνει την επίπεδη, κυλινδρική ή κωνική επιφάνεια σε ένα συγκεκριμένο σημείο απεικόνισης. Η γεωμετρική προβολή των σημείων της επιφάνειας της γης (σφαίρας ή ΕΕΠ) μπορεί να γίνει, εκτός από τη κεντρική προβολή και με την ορθή προβολή στην οποία τα σημεία προβάλλονται στην επιφάνεια απεικόνισης κατά μία διεύθυνση κάθετη στην επιφάνεια απεικόνισης. Παράδειγμα ορθής προβολής είναι η ορθογραφική προβολή που παρουσιάζεται στην ενότητα

10 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" Μαθηματικές χαρτογραφικές προβολές Στις μαθηματικές χαρτογραφικές προβολές οι συναρτήσεις f 1 και f 2 των εξισώσεων (1.1) και (1.2) προκύπτουν από τις μαθηματικές συνθήκες που εξασφαλίζουν ότι οι αναπόφευκτες παραμορφώσεις της προβολή δεν θα επηρεάσουν κάποια βασική για τη συγκεκριμένη προβολή ιδιότητα όπως π.χ. διατήρηση των γωνιών (σύμμορφες ή ορθομορφικές προβολές), σωστή απεικόνιση της αναλογίας των εμβαδών (ισοεμβαδικές προβολές), σωστή απεικόνιση των αποστάσεων (προβολές ίσης αποστάσεως), κλπ Ημιγεωμετρικές χαρτογραφικές προβολές Στις ημιγεωμετρικές χαρτογραφικές προβολές οι συναρτήσεις f 1 και f 2 των εξισώσεων (1.1) και (1.2) προκύπτουν από τον συνδυασμό των ανωτέρω μεθόδων όπως: -απεικόνιση των μεσημβρινών με γεωμμετρική μέθοδο π.χ. στην τομή του επιπέδου κάθε μεσημβρινού με την κυλινδρική, κωνική ή επίπεδη επιφάνεια. -απεικόνιση των παραλλήλων πλάτους σε αποστάσεις που καθορίζονται από τις μαθηματικές συνθήκες που εξασφαλίζουν ότι η τελική απεικόνιση στο επίπεδο θα έχει κάποια συγκεκριμένη ιδιότητα π.χ. σωστή απεικόνιση των γωνιών ή των αποστάσεων. 2.2 Ταξινόμηση χαρτογραφικών προβολών ανάλογα με τον τύπο της επιφάνειας απεικόνισης Ο μετασχηματισμός της επιφάνειας της σφαίρας, ή του ΕΕΠ., σε επίπεδο μπορεί να γίνει είτε με ένα ενδιάμεσο στάδιο απεικόνισης σε μία αναπτυκτή σε επίπεδο επιφάνεια (κώνος ή κύλινδρος) είτε με απευθείας απεικόνιση σε επίπεδο (Σχ. 1.5). Ενδιάμεση απεικόνιση σε κωνική επιφάνεια η οποία στη συνέχεια μετασχηματίζεται σε επίπεδη. Απευθείας απεικόνιση σε επίπεδο Ενδιάμεση απεικόνιση σε κυλινδρική επιφάνεια η οποία στη συνέχεια μετασχηματίζεται σε επίπεδη Σχήμα 1.5: Μέθοδοι μετασχηματισμού σφαιρικής επιφάνειας σε επίπεδη Ανάλογα με τη χρησιμοποιούμενη επιφάνεια απεικόνισης, οι χαρτογραφικές προβολές ταξινομούνται στις επόμενες κατηγορίες: Κυλινδρικές προβολές. Στις κυλινδρικές προβολές τα σημεία της επιφάνειας της σφαίρας απεικονίζονται καταρχήν στην επιφάνεια ενός κυλίνδρου η οποία στη συνέχεια αναπτύσσεται σε επίπεδο (Σχ. 1.6α). 1-8

11 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" 9 Κωνικές προβολές. Στις κωνικές προβολές τα σημεία της επιφάνειας της σφαίρας απεικονίζονται καταρχήν στην επιφάνεια ενός κώνου η οποία στη συνέχεια αναπτύσσεται σε επίπεδο (Σχ. 1.6β). Επίπεδες ή αζιμουθιακές προβολές. Στις επίπεδες προβολές τα σημεία της επιφάνειας της σφαίρας απεικονίζονται απ ευθείας σε ένα επίπεδο, το οποίο συνήθως εφάπτεται στην επιφάνεια της σφαίρας, χωρίς την ενδιάμεση απεικόνιση σε κάποια άλλη αναπτυκτή σε επίπεδο επιφάνεια (Σχ. 1.6γ). α. Κυλινδρική προβολή β. Κωνική προβολή γ. Επίπεδη ή αζιμουθιακή προβολή (στο παράδειγμα αυτό πλάγια γνωμονική προβολή) Σχήμα 1.6: Κυλινδρικές, κωνικές και αζιμουθιακές χαρτογραφικές προβολές 1-9

12 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" Ταξινόμηση χαρτογραφικών προβολών ανάλογα με τον προσανατολισμό της επιφάνειας απεικόνισης. Ανάλογα με τη θέση του άξονα της Γης ως προς τη χρησιμοποιούμενη επιφάνεια απεικόνισης, οι χαρτογραφικές προβολές διακρίνονται σε: ορθές προβολές. Στις ορθές προβολές (Σχ. 1.7α) ο άξονας της γης ταυτίζεται με τον άξονα συμμετρίας του κυλίνδρου, τον άξονα συμμετρίας του κώνου, ή με την ακτίνα που διέρχεται από το σημείο επαφής του επιπέδου. εγκάρσιες προβολές. Στις εγκάρσιες προβολές (Σχ. 1.7β) ο άξονας συμμετρίας του κυλίνδρου, ο άξονας συμμετρίας του κώνου και η ακτίνα που διέρχεται από το σημείο επαφής του επιπέδου, έχουν στραφεί κατά 90º και βρίσκονται επί του επιπέδου του ισημερινού (σχηματίζουν γωνία 90º με τον άξονα της γης). πλάγιες προβολές. Στις πλάγιες προβολές (Σχ. 1.7γ) ο άξονας συμμετρίας του κυλίνδρου, ο άξονας συμμετρίας του κώνου και η ακτίνα που διέρχεται από το σημείο επαφής του επιπέδου, βρίσκονται σε θέση διαφορετική από τη θέση που έχουν στην ορθή ή στην εγκάρσια προβολή. Α1. Ορθές Κυλινδρικές (λέγονται και ισημερινές) Α2. Ορθές Κωνικές (λέγονται και πολικές) Α3. Ορθές Αζιμουθιακές (λέγονται και πολικές) Β1. Εγκάρσιες Κυλινδρικές (λέγονται και ισημερινές) Β2. Εγκάρσιες Κωνικές (χρησιμοποιούνται σπάνια) Β3. Εγκάρσιες Αζιμουθιακές (λέγονται και ισημερινές) Γ1. Πλάγιες Κυλινδρικές (χρησιμοποιούνται σπάνια) Σχήμα 1.7: Γ2. Πλάγιες Κωνικές (χρησιμοποιούνται σπάνια) Γ3. Πλάγιες Αζιμουθιακές Ταξινόμηση χαρτογραφικών προβολών ανάλογα με τον προσανατολισμό της επιφάνειας απεικόνισης [διασκευή από: Carlos Furuti] 1-10

13 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" Ταξινόμηση χαρτογραφικών προβολών ανάλογα με τις ιδιότητές τους. Μία άλλη χρήσιμη μέθοδος ταξινομήσεως των χαρτογραφικών προβολών στηρίζεται σε ορισμένες βασικές ιδιότητες τους όπως π.χ.: Σωστή απεικόνιση των μετρούμενων στην επιφάνεια της γης γωνιών (π.χ. των διοπτεύσεων της ναυτιλίας που λαμβάνονται από καταφανή σημεία της ξηράς και μεταφέρονται στο ναυτικό χάρτη). Σωστή απεικόνιση της αναλογίας των εμβαδών των απεικονιζομένων σχημάτων (περιοχών). Απεικόνιση της ορθοδρομίας (των τόξων μεγίστου κύκλου της σφαίρας) με ευθεία γραμμή. Απεικόνιση της λοξοδρομίας (πλεύσης με σταθερή πορεία) με ευθεία γραμμή. Σύμφωνα με το παραπάνω κριτήριο ταξινόμησης (βασικές ιδιότητες χαρτογραφικών προβολών) οι χαρτογραφικές προβολές, διακρίνονται σε διάφορες κατηγορίες όπως: σύμμορφες ή ορθομορφικές προβολές: Οι προβολές αυτές έχουν την ιδιότητα της σωστής απεικόνισης των γωνιών και επομένως της διατηρήσεως της ομοιότητας των σχημάτων. Ισοδύναμες ή ισοεμβαδικές προβολές: Οι προβολές αυτές έχουν την ιδιότητα της σωστής απεικόνισης της αναλογίας των εμβαδών των απεικονιζομένων επιφανειών. Η ταξινόμηση των χαρτογραφικών προβολών ανάλογα με τις προαναφερθείσες ιδιότητες τους (σύμμορφία, ισοδυναμία κλπ.), είναι χρήσιμη γιατί, όπως αναφέρεται αναλυτικότερα στο κεφάλαιο 2, δεν υπάρχει χαρτογραφική προβολή, η οποία να έχει ταυτόχρονα όλες τις παραπάνω επιθυμητές ιδιότητες. Ανάλογα με την χρήση για την οποία προορίζεται ό χάρτης επιλέγεται χαρτογραφική προβολή που περιορίζει ή μηδενίζει τις κατά περίπτωση ανεπιθύμητες παραμορφώσεις. Ως χαρακτηριστικό παράδειγμα επιλογής χαρτογραφικής προβολής ανάλογα με τις ιδιότητές της αναφέρεται η χρήση της ορθής μερκατορικής προβολής στην παραδοσιακή ναυτιλία [βλ ]. 2.5 Ταξινόμηση χαρτογραφικών προβολών ανάλογα με τις ιδιότητές τους. Ορισμένες φορές η ανάλυση των σχέσεων του χαρτογραφικού μετασχηματισμού για τον προσδιορισμό ή τη σύγκριση των βασικών χαρακτηριστικών των χαρτογραφικών απεικονίσεων, υποστηρίζεται αποτελεσματικότερα με τη χρήση της παραμετρικής ταξινόμησης των χαρτογραφικών απεικονίσεων (Tobler 1962). Στη μέθοδο της παραμετρικής ταξινόμησης των χαρτογραφικών απεικονίσεων χρησιμοποιείται η επόμενη γενικότερη μορφή των (1.1) και (1.2), στις οποίες οι παράμετροι u και v αντιπροσωπεύουν τις συντεταγμένες των σημείων στην επιφάνεια απεικόνισης. 1-11

14 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" 12 u=f 1 (φ, λ) (1.5) v=f 2 (φ, λ) (1.6) Με τη μορφή των (1.5) και (1.6) διακρίνονται καταρχήν οι κάτωθι τέσσερις ομάδες χαρτογραφικών απεικονίσεων: Ομάδα Α: u=f 1 (φ, λ) v=f 2 (φ, λ) Ομάδα B: u=f 1 ( λ) v=f 2 (φ, λ) Ομάδα C: u=f 1 (φ, λ) v=f 2 (φ) Ομάδα D: u=f 1 (λ) v=f 2 (φ) Αν οι παράμετροι u και v θεωρηθούν ότι αντιπροσωπεύουν είτε καρτεσιανές συντεταγμένες (x, y), είτε πολικές συντεταγμένες (r, θ), προκύπτουν δύο μορφές για κάθε μία από τις ανωτέρω τέσσερις ομάδες. Με τον τρόπο αυτό δημιουργούνται οκτώ ομάδες χαρτογραφικών απεικονίσεων, στις οποίες αντιστοιχούν διάφορες μορφές πλέγματος μεσημβρινών και παραλλήλων, όπως φαίνεται αναλυτικά στον πίνακα 1.1. καρτεσιανές συντεταγμένες Πίνακας 1.1 Παραμετρική ταξινόμηση χαρτογραφικών απεικονίσεων (Tobler 1961) πολικές συντεταγμένες ενδεικτική μορφή πλέγματος μεσημβρινών και παραλλήλων Ομάδα Α x=f 1 (φ, λ) y=f 2 (φ, λ) θ=f 1 (φ, λ) r=f 2 (φ, λ) Ομάδα B x=f 1 ( λ) y=f 2 (φ, λ) θ=f 1 ( λ) r=f 2 (φ, λ) Ομάδα C x=f1(φ, λ) y=f 2 (φ) θ=f 1 (φ, λ) r=f 2 (φ) Ομάδα D x=f 1 (λ) y=f 2 (φ) θ=f 1 (λ) r=f 2 (φ) Στις χαρτογραφικές απεικονίσεις της ομάδας Α του πίνακα 1.1 η μορφή των γραμμών των μεσημβρινών και παραλλήλων μπορεί να είναι τυχαίες καμπύλες. 1-12

15 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" 13 Στην ομάδα Β οι μεσημβρινοί είναι ευθείες (παράλληλες, ή συγκλίνουσες σε ένα σημείο, ανάλογα με το σύστημα συντεταγμένων που χρησιμοποιείται). Στην ομάδα C, η μορφή των μεσημβρινών μπορεί να είναι τυχαίες καμπύλες και οι παράλληλοι πλάτους είναι ευθείες παράλληλες, ή ομόκεντροι κύκλοι (ανάλογα με το σύστημα συντεταγμένων που χρησιμοποιείται). Στην ομάδα D ανήκουν χαρτογραφικές απεικονίσεις με τις πιο συνηθισμένες μορφές μεσημβρινών και παραλλήλων. 3. Γενικά χαρακτηριστικά κυλινδρικών προβολών Ανάλογα με τη θέση του άξονα της Γης ως προς τη χρησιμοποιούμενη κυλινδρική επιφάνεια (Σχ. 1.8), οι κυλινδρικές προβολές διακρίνονται σε: ορθές κυλινδρικές προβολές. εγκάρσιες κυλινδρικές προβολές. πλάγιες κυλινδρικές προβολές. Οι περισσότερο διαδεδομένες κυλινδρικές προβολές είναι: - Η Ορθή Μερκατορική Προβολή, στην οποία στηρίζεται η κατασκευή των ναυτικών χαρτών. - Η Εγκάρσια Μερκατορική προβολή, στην οποία στηρίζεται η κατασκευή των στρατιωτικών χαρτών καθώς και ορισμένων ειδικών ναυτικών χαρτών. 3.1 Ορθές κυλινδρικές προβολές Στις ορθές κυλινδρικές προβολές ο άξονας της γης ταυτίζεται με τον άξονα συμμετρίας του κυλίνδρου (Σχ. 1.7α και Σχ. 1.8α). Μία ορθή κυλινδρική προβολή στην οποία ο κύλινδρος εφάπτεται στον ισημερινό, λέγεται ισημερινή κυλινδρική προβολή. Ο κύλινδρος μπορεί να εφάπτεται στον ισημερινό (Σχ 1.9α) ή να τέμνει τη γήινη σφαίρα σε δύο παραλλήλους πλάτους (Σχ 1.9β) που λέγονται βασικοί παράλληλοι (standard parallers). Οι χάρτες ορθών κυλινδρικών προβολών, όπως οι χάρτες των σχημάτων 1.8, 1.9 και 1.10, έχουν τα κάτωθι χαρακτηριστικά: οι παράλληλοι πλάτους απεικονίζονται σαν ευθείες παράλληλες προς τον ισημερινό. οι μεσημβρινοί απεικονίζονται σαν ευθείες κάθετες προς τους παραλλήλους πλάτους και τον ισημερινό οι αποστάσεις των διαδοχικών μεσημβρινών είναι ίσες. οι αποστάσεις των διαδοχικών παραλλήλων συνήθως δεν είναι ίσες, αλλά καθορίζονται κατά περίπτωση από τις εξισώσεις απεικόνισης της προβολής, προκειμένου να εξασφαλισθούν βασικές επιθυμητές ιδιότητες όπως π.χ.: ισαπέχουσες (Σχ 1.10), σύμμορφες (Σχ 1.11), ισοεμβαδικές (Σχ 1.13). Χαρακτηριστικά παραδείγματα κυλινδρικών προβολών αναφέρονται στις επόμενες ενότητες. 1-13

16 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" 14 α. Ορθή κυλινδρική προβολή: ο άξονας της γης ταυτίζεται με τον άξονα συμμετρίας του κυλίνδρου β. εγκάρσια κυλινδρική προβολή: ο άξονας της γης σχηματίζει γωνία 90º με τον άξονα της γης γ. πλάγια κυλινδρική προβολή: ο άξονας της γης βρίσκεται σε θέση διαφορετική από τη θέση που έχει στην ορθή ή στην εγκάρσια προβολή Σχήμα 1.8: Γεωμετρία ορθής, εγκάρσιας και πλάγιας κυλινδρικής προβολής 1-14

17 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" 15 βασικός παράλληλος ισημερινός ισημερινός βασικός παράλληλος α. Ισημερινή κυλινδρική προβολή (ένας βασικός παράλληλος στον ισημερινό) β. Κυλινδρική προβολή με δύο βασικούς παραλλήλους Σχήμα 1.9: Ορθή Κυλινδρική Προβολή με ένα και δύο βασικούς παραλλήλους Ορθή κυλινδρική ισαπέχουσα προβολή (Τετραγωνική Ορθογώνια Προβολή) Η ορθή κυλινδρική ισαπέχουσα προβολή ή Τετραγωνική Ορθογώνια Προβολή επινοήθηκε το 3 ο αιώνα μ.χ. από τον Ερατοσθένη. Στην προβολή αυτή τα σημεία της επιφάνειας της γης απεικονίζονται σε μια επίπεδη πινακίδα 1 με ένα ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα αξόνων στο οποίο ο οριζόντιος άξονας X αντιστοιχεί στο γεωγραφικό μήκος (λ) και ο κατακόρυφος άξονας Υ αντιστοιχεί στο γεωγραφικό πλάτος (φ). Στην ορθή κυλινδρική ισαπέχουσα προβολή (Σχ. 1.10): - οι μεσημβρινοί απεικονίζονται ως ευθείες παράλληλες και ισαπέχουσες με μήκος ίσο με την απόσταση βορείου νοτίου πόλου. - οι παράλληλοι πλάτους απεικονίζονται επίσης ως παράλληλες και ισαπέχουσες ευθείες που είναι κάθετες στους μεσημβρινούς. Οι συναρτήσεις απεικόνισης της απλής κυλινδρικής προβολής δίνονται από τις σχέσεις (1.7α) και (1.7β). x=rλ (1.7α) y=rφ (1.7β) Ορθή κυλινδρική σύμμορφη προβολή Η ορθή κυλινδρική σύμμορφη προβολή μερκατορική προβολή χρησιμοποιήθηκε τον 16 ο αιώνα μ.χ. από το Φλαμανδό χαρτογράφο Μερκάτορα για την κατασκευή του πρώτου παγκόσμιου ναυτικού χάρτη με βάση τα στοιχεία της Γεωγραφικής Υφήγησης του Κλαύδιου Πτολεμαίου και τις αναφερόμενες στο 1 Η πινακίδα αυτή σύμφωνα με την αναλυτική περιγραφή του Κλαύδιου Πτολεμαίου στο έργο του «Γεωγραφική Υφήγησις» (3 ος αιώνας μ.χ.), προκύπτει από την ανάπτυξη σε επίπεδο ενός κυλίνδρου ο οποίος εφάπτεται στην γήινη σφαίρα στον ισημερινό και έχει ύψος ίσο με την πραγματική απόσταση βορείου νοτίου πόλου. 1-15

18 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" 16 έργο αυτό αρχές της κυλινδρικής προβολής την οποία ο Μερκάτορας βελτίωσε ώστε να παρέχεται η δυνατότητα σωστής αναπαράστασης των γωνιών (πλεύσεων και διοπτεύσεων) και αναπαράστασης του λοξοδρομικού πλου με ευθεία γραμμή. Σχήμα 1.10: Χάρτης ορθής κυλινδρικής ισαπέχουσας προβολής Η ορθή κυλινδρική σύμμορφη προβολή είμαι γνωστή ως «μερκατορική προβολή». Στην προβολή αυτή οι μεσημβρινοί απεικονίζονται με παράλληλες και ισαπέχουσες ευθείες, οι δε παράλληλοι πλάτους απεικονίζονται επίσης με παράλληλες ευθείες που είναι κάθετες στους μεσημβρινούς, αλλά με αυξανόμενη μεταξύ τους απόσταση (Σχ. 1.11), προκειμένου να επιτευχθεί η διατήρηση της ομοιότητας των απεικονιζόμενων σχημάτων και η ακριβής αναπαράσταση των γωνιών. Οι συναρτήσεις απεικόνισης της ορθής μερκατορικής προβολής δίνονται από τις σχέσεις (1.8α) και (1.8β). x=rλ (1.8α) y=rsecφ (1.8β) Η ορθή μερκατορική προβολή έχει τις επόμενες δύο βασικές για τη ναυσιπλοΐα ιδιότητες: 1 η ιδιότητα: απεικονίζει τις γωνίες χωρίς παραμορφώσεις, π.χ., τις μετρούμενες με τον επαναλήπτη της γυροπυξίδας διοπτεύσεις, 2η ιδιότητα: απεικονίζει τους μεσημβρινούς ως παράλληλες και ισαπέχουσες ευθείες. Οι παραπάνω ιδιότητες της ορθής μερκατορικής προβολής παρέχουν τα επόμενα βασικά για τη ναυσιπλοΐα πλεονεκτήματα: 1-16

19 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" 17 Άμεση χάραξη στο ναυτικό χάρτη των γραμμών θέσεως που αντιστοιχούν στις μετρήσεις διοπτεύσεων με τον επαναλήπτη της γυροπυξίδας για τον προσδιορισμό του στίγματος του πλοίου. Άμεση σχεδίαση του πλου σταθερής πορείας από ένα σημείο αναχώρησης Α προς ένα σημείο προορισμού Β (λοξοδρομικός πλους) με τη χάραξη στο μερκατορικό χάρτη του ευθυγράμμου τμήματος που ορίζεται από τα σημεία αυτά (Σχ. 1.12). Άμεσος προσδιορισμός της πορείας ζλ του λοξοδρομικού πλου με τη μέτρηση στο χάρτη της γωνίας που σχηματίζει το ευθύγραμμο τμήμα που ορίζεται από τα σημεία αναχώρησης και προορισμού, με οποιαδήποτε από τις παράλληλες ευθείες, οι οποίες αναπαριστούν τους μεσημβρινούς (Σχ. 1.12). Λόγω των παραπάνω σημαντικών για τη ναυσιπλοΐα ιδιοτήτων της ορθής μερκατορικής προβολής, χαρτογραφική αυτή προβολή έχει καθιερωθεί για χρήση στη ναυσιπλοΐα, παρά τις τεράστιες επιφανειακές παραμορφώσεις που παρουσιάζει. Σχήμα 1.11 : Χάρτης ορθής κυλινδρικής σύμμορφης προβολής (Μερκατορική Προβολή) 1-17

20 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" 18 Σχήμα 1.12: Σχεδίαση λοξοδρομικού πλου στο ναυτικό μερκατορικό χάρτη Ορθή κυλινδρική ισοδύναμη (ισοεμβαδική) προβολή Η ορθή κυλινδρική ισοδύναμη προβολή επινοήθηκε από τον μαθηματικό J. Lambert το έτος Όπως και στις άλλες ορθές προβολές, στην ορθή ισοδύναμη προβολή (Σχ. 1.13), οι μεσημβρινοί απεικονίζονται με ευθείες γραμμές παράλληλες και ισαπέχουσες. Οι παράλληλοι πλάτους απεικονίζονται επίσης με ευθείες γραμμές κάθετες στη διεύθυνση των μεσημβρινών, αλλά σε αποστάσεις που ελαττώνονται όσο αυξάνει το γεωγραφικό πλάτος. Όπως και στις άλλες ορθές κυλινδρικές προβολές δημιουργούνται πολύ μεγάλες παραμορφώσεις, όσο αυξάνει το γεωγραφικό πλάτος. Οι δύο πόλοι απεικονίζονται με ευθείες γραμμές. Οι συναρτήσεις απεικόνισης της ορθής κυλινδρικής προβολής δίνονται από τις σχέσεις (1.9α) και (1.9β). x=rλ (1.9α) y=rsinφ (1.9β) 1-18

21 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" 19 Σχήμα 1.13 : Χάρτης ορθής κυλινδρικής ισοδύναμης (ισοεμβαδικής) προβολής Σύγκριση χαρακτηριστικών ορθών κυλινδρικών προβολών. Αν εξετάσουμε τις συναρτήσεις απεικόνισης των προαναφερθέντων τριών κυλινδρικών προβολών (απλή κυλινδρική, μερκατορική και ισοδύναμη), παρατηρούμε ότι οι συναρτήσεις αυτές (σχέσεις 1.1, 1.2 και 1.3), καθορίζουν τα βασικά χαρακτηριστικά των αντίστοιχων κυλινδρικών προβολών, όπως: 1. Και στις τρεις προβολές (απλή κυλινδρική, μερκατορική και ισοδύναμη), οι μεσημβρινοί που έχουν την ίδια μεταξύ τους διαφορά γεωγραφικού μήκους (π.χ. 20º Αν, 30º Αν, 40º Αν, κλπ), απεικονίζονται με ευθείες παράλληλες και ισαπέχουσες [Σχήματα 1.10, 1.11 και 1.13]. Η βασική αυτή ιδιότητα όλων των ορθών κυλινδρικών προβολών προκύπτει άμεσα από τη σχέση x=rλ [τύποι (1.7α), (1.8α) και (1.9α)], από την οποία προκύπτει η ισοδύναμη σχέση (1.10) που δίνει τη μορφή και τις αποστάσεις των μεσημβρινών και σε όλες τις ορθές κυλινδρικές προβολές. x (1.10) λ = R 2. Και στις τρεις προβολές (ισαπέχουσα, σύμμορφη και ισοδύναμη), οι παράλληλοι πλάτους που έχουν την ίδια μεταξύ τους διαφορά γεωγραφικού πλάτους (π.χ. 30º Βορ, 50º Βορ, 70º Βορ, κλπ), απεικονίζονται με ευθείες παράλληλες και κάθετες προς τη διεύθυνση των ευθειών που απεικονίζουν τους μεσημβρινούς [σχήματα 1.8, 1.9 και 1.10], αλλά σε διαφορετικές απόστάσεις [εξισώσεις 1.7β, 1.8β και 1.9β] 3. Στην κυλινδρική ισαπέχουσα προβολή, οι παράλληλοι πλάτους που έχουν την ίδια μεταξύ τους διαφορά γεωγραφικού πλάτους (π.χ. 30º Βορ, 50º Βορ, 70º Βορ, κλπ), απεικονίζονται με ευθείες παράλληλες και ισαπέχουσες (εξίσωση 1.7β και Σχ. 1.10). 4. Στην κυλινδρική σύμμορφη (μερκατορική) προβολή, οι παράλληλοι πλάτους που έχουν την ίδια μεταξύ τους διαφορά γεωγραφικού πλάτους (π.χ. 30º Βορ, 50º Βορ, 70º Βορ, κλπ), απεικονίζονται με ευθείες παράλληλες αλλά μη ισαπέχουσες, με αποστάσεις που αυξάνουν προς τα υψηλότερα γεωγραφικά πλάτη, ανάλογα με την τέμνουσα του γεωγραφικού πλάτους (εξίσωση 1.8β και Σχ. 1.11). 1-19

22 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" Στην κυλινδρική σύμμορφη (μερκατορική) προβολή δεν είναι δυνατή η απεικόνιση πολικών περιοχών (από την εξίσωση 1.8β για τιμές του γεωγραφικού πλάτους που πλησιάζουν τις 90º προκύπτουν αποστάσεις των παραλλήλων από τον ισημερινό που προσεγγίζουν το άπειρο). 3.2 Εγκάρσιες κυλινδρικές προβολές Στις εγκάρσιες κυλινδρικές προβολές ο κύλινδρος έχει στραφεί κατά 90º ως προς τη θέση που έχει στην ορθή κυλινδρική προβολή. Στην εγκάρσια αυτή θέση ο άξονάς του κυλίνδρου βρίσκεται επάνω στο επίπεδο του ισημερινού και επιφάνειά του συνήθως εφάπτεται σε ένα μεσημβρινό (Σχ. 1.14α), ή τέμνει τη σφαίρα σε δύο μικρούς κύκλους. Στις εγκάρσιες κυλινδρικές προβολές μπορεί να απεικονισθεί χωρίς αξιοσημείωτες παραμορφώσεις μία περιοχή περιορισμένου εύρους μήκους εκατέρωθεν του κεντρικού μεσημβρινού και απεριόριστου εύρος πλάτους. Όσο απομακρυνόμαστε από τον κεντρικό μεσημβρινό αυξάνουν οι παραμορφώσεις και είναι εμφανής η καμπυλότητα των μεσημβρινών. (α) Σχήμα 1.14: Εγκάρσια κυλινδρική προβολή (β) 1-20

23 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" 21 Όταν ο κύλινδρος των εγκάρσιων κυλινδρικών προβολών αναπτυχθεί σε επίπεδο οι πραγματικοί μεσημβρινοί και παράλληλοι πλάτους (Σχ. 1.14) απεικονίζονται ως εξής: Ο κεντρικός μεσημβρινός και ο ισημερινός απεικονίζονται ως ευθείες κάθετες μεταξύ τους. Οι μεσημβρινοί (εκτός του κεντρικού μεσημβρινού) απεικονίζονται ως καμπύλες με τα κοίλα στραμμένα προς τον κεντρικό μεσημβρινό. Οι παράλληλοι πλάτους (εκτός του ισημερινού) είναι καμπύλες με τα κοίλα στραμμένα προς τους πόλους. Τα παραπάνω χαρακτηριστικά φαίνονται καλύτερα στους χάρτες των εγκάρσιες κυλινδρικών προβολών των σχημάτων 1.15, 1.16 και Στις εγκάρσιες κυλινδρικές προβολές των σχημάτων αυτών, ο κύλινδρος εφάπτεται στον μεσημβρινό των 90º Δυτ. (κεντρικός μεσημβρινός). Σχήμα 1.15: Εγκάρσια Μερκατορική Προβολή Από τις διάφορες εγκάρσιες κυλινδρικές προβολές, ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η Εγκάρσια Μερκατορική Προβολή, στην οποία στηρίζεται η κατασκευή των στρατιωτικών χαρτών καθώς και ορισμένων ειδικών ναυτικών χαρτών για χρήση σε ειδικές ναυτικές επιχειρήσεις, όπως οι χάρτες μάχης (combat charts) για τις αμφίβιες επιχειρήσεις, οι χάρτες ναρκοπολέμου κλπ. Η εγκάρσια μερκατορική προβολή καθώς και το βασιζόμενο σε αυτή Παγκόσμιο Σύστημα Αναφοράς Θέσεως UTM (Universal Transverse Mercator Grid) το οποίο χρησιμοποιείται κατ εξοχή στις διακλαδικές στρατιωτικές επιχειρήσεις, εξετάζονται αναλυτικότερα στο κεφάλαιο

24 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" 22 Σχήμα 1.16: Εγκάρσια κυλινδρική προβολή ισαπέχουσα Σχήμα 1.17: Εγκάρσια κυλινδρική ισοεμβαδική προβολή 1-22

25 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" Πλάγιες κυλινδρικές προβολές Στις πλάγιες κυλινδρικές προβολές ο κύλινδος βρίσκεται σε θέση διαφορετική από τη θέση του στην ορθή και στην εγκάρσια προβολή και επομένως ο άξονας του κυλίνδρου δεν ταυτίζεται με τον άξονα της γης, ούτε βρίσκεται επάνω στο επίπεδο του ισημερινού (Σχ. 1.7γ1 και Σχ. 1.18). Σχήμα 1.18: Πλάγια κυλινδρική προβολή Στην πλάγια αυτή θέση ο άξονας του κυλίνδρου έχει μία γωνία κλίσεως α με το επίπεδο του ισημερινού (0 < α < 90º) και η επιφάνειά του εφάπτεται σε ένα μέγιστο κύκλο ο οποίος αποτελεί τον εικονικό ισημερινό της προβολής (Σχ. 1.19). Τα επίπεδα τα οποία διέρχονται από τον άξονα του κυλίνδρου τέμνουν την επιφάνεια της σφαίρας σε μέγιστους κύκλους οι οποίοι αποτελούν τους εικονικούς μεσημβρινούς. Οι μικροί κύκλοι της σφαίρας τα επίπεδα των οποίων είναι παράλληλα προς το επίπεδο του εικονικού ισημερινού, αποτελούν τους εικονικούς παραλλήλους πλάτους της προβολής. Σχήμα 1.19: Σύστημα εικονικών μεσημβρινών και παραλλήλων πλάγιας κυλινδρικής προβολής 1-23

26 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" 24 Στο σχήμα 1.19 απεικονίζονται τόσο το σύστημα των γεωγραφικών μεσημβρινών και παραλλήλων πλάτους (με διακεκομένες γραμμές) όσο και το σύστημα των εικονικών μεσημβρινών και παραλλήλων πλάτους (με συνεχείς γραμμές). Στις πλάγιες κυλινδρικές προβολές η απεικόνιση της επιφάνειας της σφαίρας στην επιφάνεια του κυλίνδρου γίνεται με το ανωτέρω σύστημα των εικονικών μεσημβρινών και παραλλήλων πλάτους, ενώ στις ορθές κυλινδρικές προβολές η απεικόνιση γίνεται με το σύστημα των γεωγραφικών (πραγματικών) μεσημβρινών και παραλλήλων πλάτους. Όταν ο κύλινδρος των πλάγιων κυλινδρικών προβολών αναπτυχθεί σε επίπεδο οι πραγματικοί μεσημβρινοί και παράλληλοι πλάτους απεικονίζονται ως καμπύλες (Σχ. 1.18). Στα σχήματα 1.20, 1.21 και 1.22 φαίνονται ορισμένα παραδείγματα χαρτών πλάγιων κυλινδρικών προβολών όπως η πλάγια ισαπέχουσα κυλινδρική προβολή, πλάγια ισοεμβαδική κυλινδρική προβολή και πλάγια μερκατορική προβολή. Σχήμα 1.20: Παγκόσμιος χάρτης πλάγιας ισαπέχουσας κυλινδρικής προβολής Σχήμα 1.21: Παγκόσμιος χάρτης πλάγιας ισοεμβαδικής κυλινδρικής προβολής 1-24

27 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" 25 Σχήμα 1.22: Παγκόσμιος χάρτης πλάγιας μερκατορικής προβολής 4. Γενικά χαρακτηριστικά κωνικών προβολών Στις κωνικές προβολές ο κώνος συνήθως βρίσκεται στην ορθή θέση, με τον άξονα συμμετρίας του να ταυτίζεται με τον άξονα της γης (Σχ. 1.6β και Σχ. 1.23). Στις ορθές κωνικές προβολές η κωνική επιφάνεια μπορεί να εφάπτεται στη σφαίρα σε ένα παράλληλο πλάτους (Σχ και Σχ. 1.24α) που λέγεται βασικός παράλληλος ή να τέμνει τη σφαίρα σε δύο παράλληλους πλάτους (Σχ. 1.23) που λέγονται επίσης βασικοί παράλληλοι. Όταν η κωνική επιφάνεια αναπτυχθεί σε επίπεδο (Σχ και Σχ. 1.6β) δεν δημιουργείται καμία γραμμική παραμόρφωση κατά μήκος του βασικού παραλλήλου, ή των βασικών παραλλήλων. Σχήμα 1.23: Ορθή κωνική προβολή 1-25

28 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" 26 Τα βασικά χαρακτηριστικά των ορθών κωνικών προβολών είναι: οι μεσημβρινοί απεικονίζονται με ευθείες γραμμές που συγκλίνουν σε ένα σημείο, που δεν είναι ο πόλος οι παράλληλοι απεικονίζονται με τόξα ομόκεντρων κύκλων που έχουν τα κέντρα τους στο σημείο που συγκλίνουν οι μεσημβρινοί ο πόλος απεικονίζεται με τόξο κύκλου ομόκεντρου με τα τόξα των παραλλήλων. Στις εγκάρσιες και στις πλάγιες κωνικές προβολές ο κώνος μπορεί να εφάπτεται στην σφαίρα σε ένα μικρό κύκλο, ή να την τέμνει σε δύο μικρούς κύκλους που λέγονται βασικές γραμμές. Οι εγκάρσιες και οι πλάγιες κωνικές προβολές χρησιμοποιούνται πολύ σπάνια. βασικοί παράλληλοι βασικός παράλληλος ισημερινός ισημερινός α. Κωνική προβολή με ένα βασικό παράλληλο β. Κωνική προβολή με δύο βασικούς παραλλήλους Σχήμα 1.24: Κωνική Προβολή με ένα και δύο βασικούς παραλλήλους 4.1 Κωνική ισαπέχουσα προβολή (προβολή του Κλαύδιου Πτολεμαίου) Η κωνική ισαπέχουσα προβολή, χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά από τον Αλεξανδρινό γεωγράφο Κλαύδιο Πτολεμαίο κατά τον 2ο μ.χ. αιώνα, χρησιμοποιεί ένα κώνο που εφάπτεται στη σφαίρα σε ένα παράλληλο πλάτους (Σχ. 1.24α και Σχ. 1.6β). Στο σχήμα 1.6β φαίνεται ένας χάρτης απλής κωνικής προβολής του βορείου ημισφαιρίου με βασικό παράλληλο σε πλάτος 45. Η προβολή αυτή δεν είναι γεωμετρική και μόνο οι μεσημβρινοί μπορούν να θεωρηθούν ότι προκύπτουν με γεωμετρική προβολή στην επιφάνεια του κώνου ενώ οι παράλληλοι είναι τόξα ομόκεντρων κύκλων που έχουν ακτίνα: Τ = Τ0 R( φ φ 0 ) (1.11) Όπου: R: ακτίνα της σφαίρας φ: γεωγραφικό πλάτος φ ο : γεωγραφικό πλάτος του βασικού παραλλήλου 1-26

29 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" 27 Τ ο : η ακτίνα του κύκλου που απεικονίζει τον βασικό παράλληλο φ ο (Σχ. 1.25) που υπολογίζεται από την (1.12). Τ ο = Rcotφ ο (1.12) Η γωνία θ που σχηματίζεται μεταξύ των ακραίων μεσημβρινών στο χάρτη που αντιστοιχεί σε Δλ (Σχ. 1.23) υπολογίζεται από την (1.13). θ=δλsinφ ο (1.13) Στην κωνική ισαπέχουσα προβολή δεν υπάρχει γραμμική παραμόρφωση κατά μήκος του βασικού παραλλήλου και οποιουδήποτε μεσημβρινού και επομένως η κλίμακα στις γραμμές αυτές είναι σταθερή. Η κωνική ισαπέχουσα προβολή επειδή δεν παρουσιάζει μεγάλες παραμορφώσεις σε περιοχές που βρίσκονται κοντά στον βασικό παράλληλο, είναι πολύ χρήσιμη για τη χαρτογράφηση περιοχών που καλύπτουν μικρό εύρος πλάτους και μεγάλο εύρος μήκους. (α) Σχήμα 1.25: Γεωμετρία κωνικής προβολής 4.2 Σύμμορφη κωνική προβολή (προβολή του Lambert) Η προβολή αυτή αναπτύχθηκε το 1772 από τον Jojann Heinrich Lambert είναι μία σύμμορφη κωνική προβολή στην οποία ο κώνος τέμνει τη γήϊνη σφαίρα σε δύο βασικούς παραλλήλους. Στη προβολή του Lambert οι μεσημβρινοί απεικονίζονται σαν συγκλίνουσες ευθείες και οι παράλληλοι σαν τόξα ομόκεντρων κύκλων. 4.3 Πολυκωνική προβολή Η πολυκωνική προβολή χρησιμοποιεί περισσότερους από έναν κώνους (Σχ. 1.26α) κάθε ένας από τους οποίους εφάπτεται στη γήϊνη σφαίρα σε ένα παράλληλο πλάτους κατά μήκος του οποίου δε δημιουργούνται παραμορφώσεις. (β) 1-27

30 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" 28 Σχήμα 1.25: Κωνική Ισαπέχουσα Προβολή (β) (α) Σχήμα 1.26: Πολυκωνική Προβολή 1-28

31 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" 29 Οι σχηματιζόμενες μεταξύ των διαδοχικών βασικών παραλλήλων (Σχ. 1.27α) ζώνες QΑ, ΑΒ κλπ. όταν οι κώνοι αναπτυχθούν σε επίπεδο εκατέρωθεν ενός κεντρικού μεσημβρινού (Σχ. 1.27β), εφάπτονται μεν μεταξύ τους στα σημεία Α, Β κλπ. του κεντρικού μεσημβρινού αλλά κατά μήκος των άλλων μεσημβρινών δημιουργούν κενά που αυξάνουν όσο αυξάνει η απόσταση από τον κεντρικό μεσημβρινό. Τα κενά αυτά εξαλείφονται με τη δημιουργία μίας τεχνητής, κατά τη διεύθυνση των μεσημβρινών, παραμορφώσεως (επιμηκύνσεως) (Σχ. 1.27γ). (α) (β) (γ) Σχήμα 1.27: Γεωμετρία πολυκωνικής προβολής Σε ένα χάρτη πολυκωνικής προβολής (Σχ.1.26β) οι μεν παράλληλοι πλάτους απεικονίζονται σαν τόξα μη ομόκεντρων κύκλων με τα κέντρα τους στον κεντρικό μεσημβρινό και ακτίνες που δίνονται από τη σχέση (1.12), οι δε μεσημβρινοί απεικονίζονται σαν καμπύλες που στρέφουν τα κοίλα στον κεντρικό μεσημβρινό και συγκλίνουν στο κέντρο του κύκλου που παριστά τον πόλο. Η πολυκωνική προβολή είναι κατάλληλη για χαρτογράφηση περιοχών που καλύπτουν μεγάλο εύρος πλάτους και μικρό εύρος μήκους αλλά χρησιμοποιείται με ικανοποιητική ακρίβεια και για χαρτογράφηση περιοχών που καλύπτουν και σημαντικό εύρος μήκους. 5. Γενικά χαρακτηριστικά επίπεδων προβολών Στις επίπεδες ή αζιμουθιακές προβολές τα σημεία της επιφάνειας της σφαίρας απεικονίζονται απ ευθείας σε ένα εφαπτόμενο στη σφαίρα επίπεδο, χωρίς ενδιάμεση απεικόνιση σε άλλη αναπτυκτή σε επίπεδο επιφάνεια κυλινδρική, ή κωνική) Ανάλογα με τη θέση του σημείου από το οποίο γίνεται η προβολή των σημείων της σφαίρας στο επίπεδο (Σχ. 1.28,) οι επίπεδες ή αζιμουθιακές προβολές διακρίνονται στις επόμενες βασικές κατηγορίες: 1-29

32 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" 30 Γνωμονική προβολή. Στην προβολή αυτή (Σχ. 1.1α και Σχ. 1.6γ), τα σημεία της επιφάνειας της σφαίρας προβάλλονται στο εφαπτόμενο στη σφαίρα επίπεδο από το κέντρο της σφαίρας (κεντρική προβολή). Στερεογραφική προβολή. Στην προβολή αυτή (Σχ. 1.1β και Σχ. 1.29), τα σημεία της επιφάνειας της σφαίρας προβάλλονται στο εφαπτόμενο στη σφαίρα επίπεδο από το αντιδιαμετρικό του σημείου επαφής του επιπέδου (κεντρική προβολή). Ορθογραφική προβολή. Στην προβολή αυτή (Σχ. 1.30), τα σημεία της επιφάνειας της σφαίρας προβάλλονται στο επίπεδο σε διεύθυνση κάθετη προς το επίπεδο (ορθή προβολή). Σχήμα 1.28: Γνωμονική, Στερεογραφική και Ορθογραφική Προβολή Ανάλογα με τη θέση του σημείου της σφαίρας στ οποίο εφάπτεται το επίπεδο, ή ισοδύναμα, ανάλογα με τη θέση του άξονα της γης ως προς το επίπεδο προβολής, οι αζιμουθιακές προβολές διακρίνονται σε: Πολικές αζιμουθιακές προβολές. Στις πολικές αζιμουθιακές προβολές (Σχ. 1.1γ), το επίπεδο εφάπτεται σε έναν πόλο (είναι κάθετο στον άξονα της γης). Στην περίπτωση αυτή οι παράλληλοι απεικονίζονται ως ομόκεντροι κύκλοι με κέντρο τον πόλο και οι μεσημβρινοί ως ευθείες συγκλίνουσες στον πόλο. Στο σχήμα 1.31 φαίνεται ένα παράδειγμα πολικής γνωμονικής προβολής. Ισημερινές αζιμουθιακές προβολές. Στις ισημερινές αζιμουθιακές προβολές το επίπεδο εφάπτεται σε ένα σημείο του ισημερινού (είναι παράλληλο στον άξονα της γης). Στην περίπτωση αυτή απεικονίζονται ως κάθετες ευθείες ο ισημερινός και ο μεσημβρινός που διέρχεται από το σημείο επαφής του επιπέδου με τη σφαίρα. Παραδείγματα ισημερινών αζιμουθια- 1-30

33 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" 31 κών προβολών φαίνονται στο σχήμα 1.29 (ισημερινή στερεογραφική προβολή), στο σχήμα 1.30 (ισημερινή ορθογραφική προβολή) και στο σχήμα 1.32 (ισημερινή γνωμονική προβολή). Πλάγιες αζιμουθιακές προβολές. Στις πλάγιες αζιμουθιακές προβολές το επίπεδο εφάπτεται σε σημείο διαφορετικό από τους πόλους ή τον ισημερινό. Στην περίπτωση αυτή οι ευθείες που διέρχονται από το σημείο επαφής παριστούν μέγιστους κύκλους, ενώ ομόκεντροι κύκλοι με κέντρο το σημείο επαφής απεικονίζουν σημεία που έχουν την ίδια απόσταση από αυτό. Στο σχήμα 1.6γ φαίνεται ένα παράδειγμα πλάγιας γνωμονικής προβολής. Σχήμα 1.29: Στερεογραφική Ισημερινή Προβολή Σχήμα 1.30: Ορθογραφική Ισημερινή Προβολή 1-31

34 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" 32 Σχήμα 1.31: Χάρτης Πολικής Γνωμονικής Προβολής Σχήμα 1.32: Χάρτης Ισημερινής Γνωμονικής Προβολής 1-32

ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 Ο ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ Δρ. ΜΑΡΙΑ ΦΕΡΕΝΤΙΝΟΥ 2008-2009

ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 Ο ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ Δρ. ΜΑΡΙΑ ΦΕΡΕΝΤΙΝΟΥ 2008-2009 ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 Ο ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ Δρ. ΜΑΡΙΑ ΦΕΡΕΝΤΙΝΟΥ 2008-2009 Τοπογραφικοί Χάρτες Περίγραμμα - Ορισμοί - Χαρακτηριστικά Στοιχεία - Ισοϋψείς Καμπύλες - Κατασκευή τοπογραφικής τομής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Η πρώτη οθόνη μετά την εκτέλεση του προγράμματος διαφέρει κάπως από τα προηγούμενα λογισμικά, αν και έχει αρκετά κοινά στοιχεία. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

9/3/2014. Εισαγωγή ορισμοί. Χαρτογραφία. Αυτό οφείλεται πρώτα στη σημαντική συνεισφορά στις διαδικασίες της κατασκευής χαρτών πολλών επιστημών

9/3/2014. Εισαγωγή ορισμοί. Χαρτογραφία. Αυτό οφείλεται πρώτα στη σημαντική συνεισφορά στις διαδικασίες της κατασκευής χαρτών πολλών επιστημών Εισαγωγή ορισμοί Χαρτογραφία Αυτό οφείλεται πρώτα στη σημαντική συνεισφορά στις διαδικασίες της κατασκευής χαρτών πολλών επιστημών Διάλεξη 4 ΧΑΡΤΕΣ -DATUMs καθώς επίσης και στην χρησιμοποίηση αυτών από

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

Πρόχειρες Σημειώσεις

Πρόχειρες Σημειώσεις Πρόχειρες Σημειώσεις ΛΕΠΤΟΤΟΙΧΑ ΔΟΧΕΙΑ ΠΙΕΣΗΣ Τα λεπτότοιχα δοχεία πίεσης μπορεί να είναι κυλινδρικά, σφαιρικά ή κωνικά και υπόκεινται σε εσωτερική ή εξωτερική πίεση από αέριο ή υγρό. Θα ασχοληθούμε μόνο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας Κεφάλαιο 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας. Στο Κεφάλαιο αυτό περιέχονται: 5.1 Γωνία διεύθυνσης. 5. Πρώτο θεμελιώδες πρόβλημα. 5.3 εύτερο θεμελιώδες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ. Ιστορικά

ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ. Ιστορικά ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ Ιστορικά Στις αρχές του 16 ου αιώνα ήταν ήδη γνωστές οι αρχές της γραμμικής προοπτικής, περίπου όπως την ξέρουμε σήμερα. Την περίοδο αυτή καλλιτέχνες, γλύπτες και αρχιτέκτονες άρχισαν να πειραματίζονται

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόµενα. Περιεχόµενα... 7. Ευρετήριο Γραφηµάτων... 11. Ευρετήριο Εικόνων... 18. Κεφάλαιο 1

Περιεχόµενα. Περιεχόµενα... 7. Ευρετήριο Γραφηµάτων... 11. Ευρετήριο Εικόνων... 18. Κεφάλαιο 1 Περιεχόµενα Περιεχόµενα... 7 Ευρετήριο Γραφηµάτων... 11 Ευρετήριο Εικόνων... 18 Κεφάλαιο 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ... 19 Θεωρία... 19 1.1 Έννοιες και ορισµοί... 20 1.2 Μονάδες µέτρησης γωνιών και µηκών...

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτήριο ΤΟ ΠΑΓΚΡΗΤΙΟΝ - ΓΥΜΝΑΣΙΟ. Αρχαϊκή Εποχή και στο Ισλάμ. Ανάτυπο από τον τόμο «ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ, ΣΤ, 2011-2012»

Εκπαιδευτήριο ΤΟ ΠΑΓΚΡΗΤΙΟΝ - ΓΥΜΝΑΣΙΟ. Αρχαϊκή Εποχή και στο Ισλάμ. Ανάτυπο από τον τόμο «ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ, ΣΤ, 2011-2012» Ανάτυπο από τον τόμο «ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ, ΣΤ, 2011-2012» Εκπαιδευτήριο ΤΟ ΠΑΓΚΡΗΤΙΟΝ - ΓΥΜΝΑΣΙΟ Χαρτογραφία στην Αρχαϊκή Εποχή και στο Ισλάμ Ανάτυπο από τον τόμο «ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ, ΣΤ, 2011-2012» Τάξη

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΗ ΣΑΝ ΠΛΑΝΗΤΗΣ. Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Σχήµα και µέγεθος της Γης - Κινήσεις της Γης Βαρύτητα - Μαγνητισµός

Η ΓΗ ΣΑΝ ΠΛΑΝΗΤΗΣ. Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Σχήµα και µέγεθος της Γης - Κινήσεις της Γης Βαρύτητα - Μαγνητισµός Η ΓΗ ΣΑΝ ΠΛΑΝΗΤΗΣ Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Σχήµα και µέγεθος της Γης - Κινήσεις της Γης Βαρύτητα - Μαγνητισµός ρ. Ε. Λυκούδη Αθήνα 2005 Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Η Φυσική Γεωγραφία εξετάζει: τον γήινο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ----- Ταχ. /νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων Νίκος Γ. Τόμπρος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Ενότητα : ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ (ΛΟΓΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑ) Σκοποί: Η ανάπτυξη ενδιαφέροντος για το θέμα, η εξοικείωση με τη χρήση τεχνολογίας, η παρότρυνση για αναζήτηση πληροφοριών (εδώ σε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Generated by Foxit PDF Creator Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. ΑΣΚΗΣΗ 10 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΣΤΙΑΚΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΦΑΚΟΥ

Generated by Foxit PDF Creator Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. ΑΣΚΗΣΗ 10 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΣΤΙΑΚΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΦΑΚΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 0 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΣΤΙΑΚΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΦΑΚΟΥ . Γεωμετρική οπτική ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΒΑΣΙΚΕΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ Η Γεωμετρική οπτική είναι ένας τρόπος μελέτης των κυμάτων και χρησιμοποιείται για την εξέταση μερικών

Διαβάστε περισσότερα

«Εισαγωγή στον Τριγωνομετρικό Κύκλο» Διδάσκοντας Μαθηματικά με Τ.Π.Ε.

«Εισαγωγή στον Τριγωνομετρικό Κύκλο» Διδάσκοντας Μαθηματικά με Τ.Π.Ε. «Εισαγωγή στον Τριγωνομετρικό Κύκλο» Διδάσκοντας Μαθηματικά με Τ.Π.Ε. Μπολοτάκης Γιώργος Μαθηματικός, Επιμορφωτής Β επιπέδου, Διευθυντής Γυμνασίου Αγ. Αθανασίου Δράμας, Τραπεζούντος 7, Άγιος Αθανάσιος,

Διαβάστε περισσότερα

ΗλιακήΓεωµετρία. Γιάννης Κατσίγιαννης

ΗλιακήΓεωµετρία. Γιάννης Κατσίγιαννης ΗλιακήΓεωµετρία Γιάννης Κατσίγιαννης ΗηλιακήενέργειαστηΓη Φασµατικήκατανοµήτηςηλιακής ακτινοβολίας ΗκίνησητηςΓηςγύρωαπότονήλιο ΗκίνησητηςΓηςγύρωαπότονήλιοµπορεί να αναλυθεί σε δύο κύριες συνιστώσες: Περιφορά

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ.

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. Ν. Ε. Ηλιού Επίκουρος Καθηγητής Τµήµατος Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστηµίου Θεσσαλίας Γ.. Καλιαµπέτσος Επιστηµονικός

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ

ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ Υποθέστε ότι έχουμε μερικά ακίνητα φορτισμένα σώματα (σχ.). Τα σώματα αυτά δημιουργούν γύρω τους ηλεκτρικό πεδίο. Αν σε κάποιο σημείο Α του ηλεκτρικού πεδίου τοποθετήσουμε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 4 Ιουνίου 010 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 4 ώρες (40 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ Ευρωπαικό τυπολόγιο Μη προγραμματιζόμενος υπολογιστής, χωρίς γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

ΝΑΥΤΙΛΙΑ. Όταν για µεγάλα χρονικά διαστήµατα, δεν έχουµε οπτική επαφή µε την στεριά

ΝΑΥΤΙΛΙΑ. Όταν για µεγάλα χρονικά διαστήµατα, δεν έχουµε οπτική επαφή µε την στεριά ΝΑΥΤΙΛΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ναυτιλία ονοµάζεται το σύνολο των µεθόδων, διαδικασιών και ενεργειών που εφαρµόζονται έτσι ώστε, ένα σκάφος, να ταξιδέψει από ένα µέρος της γης σ ένα άλλο, αφ ενός µε ασφάλεια αφ ετέρου

Διαβάστε περισσότερα

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010.

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010. Β Τάξη Ηµερήσιου Γενικού Λυκείου Μ α θ ή µ α τ α Γ ε ν ι κ ή ς Π α ι δ ε ί α ς Άλγεβρα Γενικής Παιδείας I. ιδακτέα ύλη A) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Α Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ.

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης:

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: παρόμοιο με του Cabri με αρκετές όμως διαφορές στην αρχιτεκτονική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς:

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΝΟΜΟΥ ΦΘΙΩΤΙΔΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι αν α,β τότε α //β α λβ, λ. είναι δύο διανύσματα, με β 0, Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΛΗΛΟΤΟΜΙΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ

ΑΛΛΗΛΟΤΟΜΙΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΑΛΛΗΛΟΤΟΜΙΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ - ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ 1. ΟΡΙΣΜΟΙ ύο επιφάνειες βαθµών µ και ν αντιστοίχως, τέµνονται κατά καµπύλη βαθµού (µ. ν). Η αλληλοτοµία, εποµένως, δύο επιφανειών 2 ου βαθµού,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΙΡΕΤΗΣ. Το ΤΕ είναι συνήθως κυλινδρικό, μπορεί όμως να είναι και κωνικό ή πρισματικό.

ΔΙΑΙΡΕΤΗΣ. Το ΤΕ είναι συνήθως κυλινδρικό, μπορεί όμως να είναι και κωνικό ή πρισματικό. ΔΙΑΙΡΕΤΗΣ ΓΕΝΙΚΑ O διαιρέτης είναι μηχανουργική συσκευή, με την οποία μπορούμε να εκτελέσουμε στην επιφάνεια τεμαχίου (TE) κατεργασίες υπό ίσες ακριβώς γωνίες ή σε ίσες αποστάσεις. Το ΤΕ είναι συνήθως

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΡΟΠΕΣ

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΡΟΠΕΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΡΟΠΕΣ Σ ένα στερεό ασκούνται ομοεπίπεδες δυνάμεις. Όταν το στερεό ισορροπεί, δηλαδή ισχύει ότι F 0 και δεν περιστρέφεται τότε το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών είναι μηδέν Στ=0,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΡΥΚΤΩΝ ΠΟΡΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΡΥΚΤΩΝ ΠΟΡΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΡΥΚΤΩΝ ΠΟΡΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «Σύγχρονες γεωδαιτικές μέθοδοι για τον υπολογισμό επιτόπου όγκου εκσκαφών και την δημιουργία τρισδιάστατου μοντέλου εδάφους» ΠΡΟΚΟΠΑΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ. Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής.

ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ. Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής. ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής. Ο πύραυλος καίει τα καύσιμα που αρχικά βρίσκονται μέσα του και εκτοξεύει τα καυσαέρια προς τα πίσω. Τα καυσαέρια δέχονται

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά

Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά 1 Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ3 www.p-theodoropoulos.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην εργασία αυτή εξετάζεται εντός του πλαισίου της Διδακτικής των

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση

Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση Αριστοτέλης Μακρίδης Μαθηµατικός, Επιµορφωτής των Τ.Π.Ε Αποσπασµένος στην ενδοσχολική

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

6. Εγγεγραμμένα Σχήματα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr

6. Εγγεγραμμένα Σχήματα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 6. Εγγεγραμμένα Σχήματα Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 1 Επίκεντρη γωνία Μια γωνία λέγεται επίκεντρη γωνία ενός κύκλου αν η κορυφή της είναι το κέντρο του κύκλου. Το τόξο ΑΓΒ που

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( ) ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ Για να κάνουμε Γεωμετρία χρειαζόμαστε εργαλεία κατασκευής, εργαλεία μετρήσεων και εργαλεία μετασχηματισμών.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση Περιεχόµενα Κεφαλαίου 10 Γωνιακές Ποσότητες Διανυσµατικός Χαρακτήρας των Γωνιακών Ποσοτήτων Σταθερή γωνιακή Επιτάχυνση Ροπή Δυναµική της Περιστροφικής Κίνησης, Ροπή και

Διαβάστε περισσότερα

Να το πάρει το ποτάµι;

Να το πάρει το ποτάµι; Να το πάρει το ποτάµι; Είναι η σκιά ενός σώµατος που το φωτίζει ο Ήλιος. Όπως η σκιά του γνώµονα ενός ηλιακού ρολογιού που µε το αργό πέρασµά της πάνω απ τα σηµάδια των ωρών και µε το ύφος µιας άλλης εποχής

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1.Δίνεται η συνάρτηση f()= 4 1 α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; β) Αν χ=, ποια είναι η τιμή της f; γ) Αν f()=1, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ ΣΧΣΗ ΘΩΡΗΜΤΩΝ ΘΛΗ ΚΙ ΠΥΘΟΡ ισαγωγή ηµήτρης Ι Μπουνάκης dimitrmp@schgr Οι δυο µεγάλοι Έλληνες προσωκρατικοί φιλόσοφοι, Θαλής (περίπου 630-543 πχ) και Πυθαγόρας (580-500 πχ) άφησαν, εκτός των άλλων, στην

Διαβάστε περισσότερα

7.2. ΤΟΡΝΟΙ. Σχήμα 111

7.2. ΤΟΡΝΟΙ. Σχήμα 111 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Ι 109 7.2. ΤΟΡΝΟΙ Ο τόρνος είναι ιστορικά η αρχαιότερη ίσως εργαλειομηχανή που χρησιμοποίησε ο άνθρωπος, προερχόμενη κατά πάσα πιθανότητα από τον τροχό του αγγειοπλάστη. Στο σχήμα

Διαβάστε περισσότερα

Τ.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Πολιτικών Δομικών Έγων ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Άρτεμις Καραμπούκαλου Α.Μ. : 35260 Επιβλέπων καθηγητής :

Τ.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Πολιτικών Δομικών Έγων ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Άρτεμις Καραμπούκαλου Α.Μ. : 35260 Επιβλέπων καθηγητής : Τ.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Πολιτικών Δομικών Έγων ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Η ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ AUTOCAD ΣΤΙΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ Άρτεμις Καραμπούκαλου Α.Μ. : 35260 Επιβλέπων καθηγητής : Γεώργιος

Διαβάστε περισσότερα

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012.

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ B ----- Να διατηρηθεί μέχρι... Βαθμός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΠΕΡΙΦ. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΜΕ ΕΔΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

Κατεύθυνση:«Τεχνικής Γεωλογία και Περιβαλλοντική Υδρογεωλογία»

Κατεύθυνση:«Τεχνικής Γεωλογία και Περιβαλλοντική Υδρογεωλογία» ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ» Κατεύθυνση:«Τεχνικής Γεωλογία και Περιβαλλοντική Υδρογεωλογία» Βασικά εργαλεία Τεχνικής Γεωλογίας και Υδρογεωλογίας Επικ. Καθηγ. Μαρίνος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα Κεφάλαιο 7. 7.1 ομές εδομένων για Γραφικά Υπολογιστών. Οι δομές δεδομένων αποτελούν αντικείμενο της επιστήμης υπολογιστών. Κατά συνέπεια πρέπει να γνωρίζουμε πώς οργανώνονται τα γεωμετρικά δεδομένα, προκειμένου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 4: Συναρτήσεις ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 4: Συναρτήσεις Συγγραφή: Ομάδα Υποστήριξης

Διαβάστε περισσότερα

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ENOTHTA. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο. Πώς προσδιορίζουμε τη θέση των αντικειμένων; A O M B ' y P Ì(,y) Ð Για τον προσδιορισμό της θέσης πάνω σε μία ευθεία πρέπει να έχουμε ένα σημείο της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014-2015 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014-2015 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04-05 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ Θεωρούμε τους μιγαδικούς C για τους οποίους ισχύει: - = + Im() και τη συνάρτηση f : w f ( w), όπου w C, w - και f (w) = w ) Να

Διαβάστε περισσότερα

9. Τοπογραφική σχεδίαση

9. Τοπογραφική σχεδίαση 9. Τοπογραφική σχεδίαση 9.1 Εισαγωγή Το κεφάλαιο αυτό εξετάζει τις παραμέτρους, μεθόδους και τεχνικές της τοπογραφικής σχεδίασης. Η προσέγγιση του κεφαλαίου γίνεται τόσο για την περίπτωση της συμβατικής

Διαβάστε περισσότερα

Η μεταβλητή "χρόνος" στη δημογραφική ανάλυση - το διάγραμμα του Lexis

Η μεταβλητή χρόνος στη δημογραφική ανάλυση - το διάγραμμα του Lexis Η μεταβλητή "χρόνος" στη δημογραφική ανάλυση - το διάγραμμα του Lexis Η αναφορά στο χρόνο Αναφερόμενοι στο χρόνο, θα πρέπει κατ αρχάς να τονίσουμε ότι αυτός μπορεί να είναι είτε το ημερολογιακό έτος, είτε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Ορισμός κανονικού πολυγώνου) Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτικές ενότητες Στόχος

Διδακτικές ενότητες Στόχος Η διδασκαλία του τριγωνομετρικού κύκλου με τον παραδοσιακό τρόπο στον πίνακα, είναι μία διαδικασία όχι εύκολα κατανοητή για τους μαθητές, με αποτέλεσμα τη μηχανική παπαγαλίστικη χρήση των τύπων της τριγωνομετρίας.

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ 6.. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Για τον υπολογισµό των τάσεων και των παραµορφώσεων ενός σώµατος, που δέχεται φορτία, δηλ. ενός φορέα, είναι βασικό δεδοµένο ή ζητούµενο

Διαβάστε περισσότερα

Αρσάκεια Τοσίτσεια Σχολεία 1. (J. Steiner 1796 1863)

Αρσάκεια Τοσίτσεια Σχολεία 1. (J. Steiner 1796 1863) Αρσάκεια Τοσίτσεια Σχολεία 1 B ΤΟΣΙΤΣΕΙΟ ΑΡΣΑΚΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΚΑΛΗΣ Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κωνικές Τοµές «οι υπολογισµοί υποκαθιστούν την σκέψη, ενώ η γεωµετρία την διεγείρει». (J. Steiner 1796 1863)

Διαβάστε περισσότερα

Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος

Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος παίρνει καθορισμένη τιμή. Ηλεκτρικό πεδίο Ηλεκτρικό πεδίο ονομάζεται ο χώρος, που σε κάθε σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ,

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ, ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο - ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΜΑ Ο Άσκηση (_8975) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ ΑΒ=9 και ΑΓ=5. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΣΗ ΠΛΑΝΗΤΩΝ - ΛΟΞΩΣΗ

ΚΙΝΗΣΗ ΠΛΑΝΗΤΩΝ - ΛΟΞΩΣΗ ΚΙΝΗΣΗ ΠΛΑΝΗΤΩΝ - ΛΟΞΩΣΗ Η κίνηση των πλανητών είναι το αποτέλεσμα της σύνθεσης 2 κινήσεων: μίας περιστροφής γύρω από τον Ήλιο, η περίοδος της οποίας μας δίνει το έτος κάθε πλανήτη, και πραγματοποιείται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΓΡΑΦΙΑ ΜΕ ΤΟ GOOGLE EARTH: Η ΕΥΡΩΠΗ

ΓΕΩΓΡΑΦΙΑ ΜΕ ΤΟ GOOGLE EARTH: Η ΕΥΡΩΠΗ 1 ΓΕΩΓΡΑΦΙΑ ΜΕ ΤΟ GOOGLE EARTH: Η ΕΥΡΩΠΗ ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΜΑΘΗΤΗ Κώστας Κύρος ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 1 1. Ανοίξτε το λογισμικό Google Earth και προσπαθήστε να εντοπίσετε τη θέση της Ευρώπης στη Γη. Κατόπιν για να

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 2009 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 4 ώρες (240 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ Ευρωπαικό τυπολόγιο Μη προγραμματιζόμενος υπολογιστής, χωρίς γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 28 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κυριακή, 13 Απριλίου, 2014 Ώρα: 10:00-13:00 Παρακαλώ διαβάστε πρώτα τα πιο κάτω, πριν απαντήσετε οποιαδήποτε ερώτηση. Γενικές οδηγίες: 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ. Δίνεται η συνάρτηση f (). Να βρείτε για ποιες τιμές του δεν ορίζεται η συνάρτηση f. Να βρείτε τον αριθμό f ( ). Να δείξετε ότι f () I. Δίνεται η εξίσωση με η οποία έχει ρίζες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Ι. Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΘΕΜΑ Α Ι. Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Ι. Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1.

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 4 Η Ευκλείδεια Γεωμετρία στην εκπαίδευση και στην κοινωνία. Κώστας Μαλλιάκας, Καθηγητής Δ.Ε., 1 ο ΓΕΛ Ρόδου, kmath@otenet.gr

Διαβάστε περισσότερα

1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ

1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΗΣ ΘΕΤΙΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΗΣ ΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΕΙΟΥ Θέμα ο. ύλινδρος περιστρέφεται γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του με γωνιακή ταχύτητα ω. Αν ο συγκεκριμένος κύλινδρος περιστρεφόταν

Διαβάστε περισσότερα

Διαδραστικό λογισμικό για τη γεωμετρία του χώρου και τα μαθηματικά

Διαδραστικό λογισμικό για τη γεωμετρία του χώρου και τα μαθηματικά Διαδραστικό λογισμικό για τη γεωμετρία του χώρου και τα μαθηματικά Εξερευνήστε την 3 η διάσταση! Έκδοση 2.1 CABRI 3D V2 Πρωτοποριακά Μαθηματικά Εργαλεία ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΧΡΗΣΤΗ 1 2 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 1 -

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός: Έλλειψη είναι ένα σύνολο σημείων τέτοιων ώστε το άθροισμα των αποστάσεων κάθε σημείου από τις δύο εστίες να είναι σταθερό.

Ορισμός: Έλλειψη είναι ένα σύνολο σημείων τέτοιων ώστε το άθροισμα των αποστάσεων κάθε σημείου από τις δύο εστίες να είναι σταθερό. Η κατασκευή με τις δύο πινέζες και το νήμα Στη δραστηριότητα αυτή θα εξερευνήσετε ίσως την πλέον κοινή μέθοδο κατασκευής μιας έλλειψης. Προκειμένου να θέσετε το πλαίσιο για την κατασκευή αυτή, πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

Περιοχή εργασίας. Τμ. Γραφιστικής (Γραφιστική με Η/Υ - In Design) 2

Περιοχή εργασίας. Τμ. Γραφιστικής (Γραφιστική με Η/Υ - In Design) 2 Περιοχή εργασίας A. Παράθυρο εγγράφου B. Συγκέντρωση πινάκων συμπτυγμένων σε εικονίδια Γ. Γραμμή τίτλου πίνακα Δ. Γραμμή μενού E. Γραμμή επιλογών Στ. Παλέτα εργαλείων Ζ. Κουμπί σύμπτυξης σε εικονίδια Η.

Διαβάστε περισσότερα

Καµπύλες Bézier και Geogebra

Καµπύλες Bézier και Geogebra Καµπύλες Bézier και Geogebra Κόλλιας Σταύρος Ένα από τα προβλήµατα στη σχεδίαση δυσδιάστατων εικόνων στα προγράµµατα γραφικών των υπολογιστών είναι η δηµιουργία οµαλών καµπυλών. Η λύση στο πρόβληµα αυτό

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ (GIS GEOGRAPHIC INFORMATION SYSTEMS)

ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ (GIS GEOGRAPHIC INFORMATION SYSTEMS) ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ (GIS GEOGRAPHIC INFORMATION SYSTEMS) του Γιάννη Ν. Κωστάρα Ο όρος Γεωγραφικά Συστήµατα Πληροφοριών αναφέρεται σε κάθε σύστηµα Η/Υ που έχει τη δυνατότητα να χειρίζεται γεωγραφικά

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ. + 1) με Ν=0,1,2,3..., όπου d το μήκος της χορδής. 4 χορδή με στερεωμένο το ένα άκρο ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ. ,στο κενό (αέρα) co

ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ. + 1) με Ν=0,1,2,3..., όπου d το μήκος της χορδής. 4 χορδή με στερεωμένο το ένα άκρο ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ. ,στο κενό (αέρα) co ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ Κύματα που t x t x σχηματίζουν το y1 = A. hm2 p ( - ), y2 = A. hm2 p ( + ) T l T l στάσιμο Εξίσωση στάσιμου c κύματος y = 2 A. sun 2 p. hm2p t l T Πλάτος ταλάντωσης c A = 2A sun 2p l Κοιλίες,

Διαβάστε περισσότερα

0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2

0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2 Βασικός Πίνακας Μοίρες (Degrees) Ακτίνια (Radians) ΓΩΝΙΕΣ 0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2 Έστω ότι θέλω να μετατρέψω μοίρες σε ακτίνια : Έχω μία γωνία σε φ μοίρες. Για να την κάνω σε ακτίνια, πολλαπλασιάζω

Διαβάστε περισσότερα

1 ο ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑ ΤΑΞΗ Β

1 ο ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑ ΤΑΞΗ Β 1 ο ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑ ΤΑΞΗ Β ΑΠΟ ΤΟΝ ΠΤΟΛΕΜΑΙΟ ΣΤΟ GPS ΣΧ. ΕΤΟΣ 2012-13 Στα εισαγωγικό μάθημα για τους χάρτες, η καθηγήτρια ζήτησε ν απαντήσουμε στην ερώτηση: «Προγραμματίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ )

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) 5 1 1 1η σειρά ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) ΘΕΜΑ 1 Α. Ας υποθέσουμε ότι x 1,x,...,x κ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής X, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

6. Σχηµατισµοί και όργανα γραµµής

6. Σχηµατισµοί και όργανα γραµµής 6. Σχηµατισµοί και όργανα γραµµής 6.1 Εισαγωγή Απαραίτητη προϋπόθεση για την οικονοµική εκµετάλλευση ενός σιδηροδροµικού δικτύου αποτελεί η δυνατότητα ένωσης, τοµής, διχασµού και σύνδεσης των γραµµών σε

Διαβάστε περισσότερα

2.2. Συμβολή και στάσιμα κύματα. Ομάδα Γ.

2.2. Συμβολή και στάσιμα κύματα. Ομάδα Γ. 2.2. Συμβολή και στάσιμα κύματα. Ομάδα Γ. 2.2.21. σε γραμμικό ελαστικό μέσο. Δύο σύγχρονες πηγές Ο 1 και Ο 2 παράγουν αρμονικά κύματα που διαδίδονται με ταχύτητα υ=2m/s κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού

Διαβάστε περισσότερα