ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗ ΝΑΥΤΙΛΙΑ ΚΑΙ ΤΙΣ ΝΑΥΤΙΚΕΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΙΣ. Δρ. ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Η. ΠΑΛΛΗΚΑΡΗΣ Αν.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗ ΝΑΥΤΙΛΙΑ ΚΑΙ ΤΙΣ ΝΑΥΤΙΚΕΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΙΣ. Δρ. ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Η. ΠΑΛΛΗΚΑΡΗΣ Αν."

Transcript

1 ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗ ΝΑΥΤΙΛΙΑ ΚΑΙ ΤΙΣ ΝΑΥΤΙΚΕΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΙΣ Δρ. ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Η. ΠΑΛΛΗΚΑΡΗΣ Αν. καθηγητής ΣΝΔ ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2011

2 Απαγορεύεται η αντιγραφή, αποθήκευση και διανομή του παρόντος, εξ ολοκλήρου ή τμήματος αυτού, για εμπορικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανομή για σκοπό µη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσης, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν μήνυμα Ερωτήματα που αφορούν τη χρήση της εργασίας για κερδοσκοπικό σκοπό πρέπει να απευθύνονται προς τον εκδότη. Copyright A. Palikaris

3 1. Εισαγωγή ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΡΟΒΟΛΩΝ 1.1 Ορισμός χαρτογραφικών προβολών. Για την κατασκευή των διαφόρων χαρτών, στους οποίους απεικονίζεται ολόκληρη ή μέρος της επιφάνειας της γης, απαιτείται ο μετασχηματισμός σε επίπεδο της μαθηματικής επιφάνειας της γης (σφαίρας ή ελλειψοειδούς εκ περιστροφής που χρησιμοποιείται για την προσέγγιση της φυσικής επιφάνειας της γης). Οι μέθοδοι μετασχηματισμού σε επίπεδο της επιφάνειας της σφαίρας ή του ελλειψοειδούς εκ περιστροφής (ΕΕΠ) λέγονται χαρτογραφικές προβολές. Όταν η απεικονιζόμενη στο χάρτη περιοχή είναι μικρή και περιορισμένη, όπως π.χ. στην χαρτογράφηση ενός λιμένα, είναι δυνατό να αγνοηθεί η καμπυλότητα της γης και να θεωρηθεί ότι για την περιορισμένη αυτή περιοχή η επιφάνεια του ελλειψοειδούς αναφοράς και του γεωειδούς (μέση στάθμη της θάλασσας) είναι επίπεδη. Στην περίπτωση αυτή η απεικόνιση των σημείων της επιφάνειας της γης στο χάρτη γίνεται με απλές μεθόδους της επίπεδης γεωμετρίας τοπογραφίας. Σε όλες τις άλλες περιπτώσεις, στις οποίες η απεικονιζόμενη στο χάρτη περιοχή είναι μεγαλύτερη, πρέπει οπωσδήποτε να ληφθεί υπόψη η καμπυλότητα της γης και να χρησιμοποιηθεί η κατάλληλη χαρτογραφική προβολή για το μετασχηματισμό της επιφάνειας της σφαίρας ή του ΕΕΠ. σε επίπεδη επιφάνεια. Ανεξάρτητα αν η επιφάνεια της γης θεωρείται σφαίρα ή ΕΕΠ., η επιφάνεια αυτή είναι αδύνατο να αναπτυχθεί πλήρως σε επίπεδο χωρίς παραμορφώσεις. Η αδυναμία αυτή μπορεί να γίνει άμεσα αντιληπτή, αν ως επιφάνεια της σφαίρας ή του ΕΕΠ θεωρηθεί η επιφάνεια του καλύφους ενός αυγού, ή η επιφάνεια του φλοιού ενός πορτοκαλιού. Οι επιφάνειες αυτές δεν είναι δυνατό να αναπτυχθούν σε επίπεδο χωρίς να κοπεί σε μικρά μη συνεχόμενα κομμάτια. Επειδή οι επιφάνειες της σφαίρας και του ΕΕΠ δεν αναπτύσσονται σε επίπεδο, οι χαρτογραφικές προβολές εμπεριέχουν αναπόφευκτα διάφορες παραμορφώσεις ανάλογα με τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά εκάστης. 1.2 Ιστορική αναδρομή Η χρησιμοποίηση χαρτογραφικών προβολών για την απεικόνιση της επιφάνειας της γης σε επίπεδο, είναι γνωστή από την αρχαιότητα. Ο αρχαίος Έλληνας μαθηματικός και φιλόσοφος Θαλής ο Μιλήσιος (6ος αιώνας π.χ) χρησιμοποίησε γεωμετρική προβολή των σημείων της επιφάνειας της σφαίρας σε εφαπτόμενο σε αυτήν επίπεδο από το κέντρο της σφαίρας [βλ. σχήμα 1.1α]. Η απεικόνιση αυτή αποτελεί την γνωμονική προβολή που χρησιμοποιείται για την υποτύπωση του δρομολογίου του ορθοδρομικού πλου με ευθεία γραμμή. 1-1

4 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" 2 Ο αρχαίος Έλληνας αστρονόμος Ίππαρχος (2ος αιώνας π.χ) χρησιμοποίησε γεωμετρική προβολή των σημείων της επιφάνειας της σφαίρας σε εφαπτόμενο σε αυτήν επίπεδο από το αντιδιαμετρικό σημείο του σημείου επαφής του επιπέδου [Σχ. 1.1β]. Η απεικόνιση αυτή αποτελεί την στερεογραφική προβολή που χρησιμοποιείται σε αρκετά σύγχρονα συστήματα ηλεκτρονικού χάρτη. α. Γνωμονική προβολή: εφαπτόμενο επίπεδο Στη γνωμονική προβολή η οποία επινοήθηκε από τον Θαλή τον Μιλήσιο (6 ος αι. π.χ.) το προβολικό σημείο είναι το κέντρο της σφαίρας από το οποίο τα σημεία της επιφάνειας της σφαίρας προβάλονται στο εφαπτόμενο επίπεδο. K E A B Γ Α Β Δ Γ Δ β. Στερεογραφική προβολή: εφαπτόμενο επίπεδο Στη στερεογραφική προβολή η οποία επινοήθηκε από τον Ίππαρχο (6 ος αι. π.χ.) το προβολικό σημείο είναι το αντιδιαμετρικό σημείο Ε του σημείου επαφής Ε του επιπέδου με τη σφαίρα και τα σημεία της επιφάνειας της σφαίρας προβάλονται από το σημείο Ε στο εφαπτόμενο επίπεδο. K E A Α Β B Γ Δ Γ Δ E Σχήμα 1.1: Παραδείγματα χαρτογραφικών προβολών Ο γραμματέας της βιβλιοθήκης της Αλεξάνδρειας Κλαύδιος Πτολεμαίος (2ος αιώνας μ.χ), στο έργο του «Γεωγραφική Υφήγησις» συνοψίζει το έργο των κυριότερων χαρτογράφων της εποχής του αλλά και προγενέστερων, όπως του Ερατοσθένη, του Απολλώνιου του Ρόδιου, του Μαρίνου του Τύριου κ.α. Στο έργο του Κλαύδιου Πτολεμαίου παρουσιάζονται διάφορες χαρτογραφικές προβολές που χρησιμοποιούνταν την περίοδο εκείνη και παρέχονται αναλυτικές οδηγίες κατασκευής χαρτών σύμφωνα με την κωνική ισαπέχουσα προβολή. Στη γεωγραφική υφήγηση του Κλαύδιου Πτολεμαίου, εκτός των άλλων, παρέχονται και πίνακες με το γεωγραφικό πλάτος και μήκος των κυριότερων πόλεων του 1-2

5 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" 3 τότε γνωστού κόσμου από τις Κανάριες νήσους και τη σημερινή Μεγάλη Βρετανία μέχρι τις νοτιοανατολικές ακτές της Ασίας. Το έργο του Πτολεμαίου παραλήφθηκε από τους Άραβες, οι οποίοι κατά την περίοδο του Μεσαίωνα ανέπτυξαν την χαρτογραφία σε πολύ καλύτερο από τους Ευρωπαίους επίπεδο. Χαρακτηριστικό παράδειγμα: ο παγκόσμιος χάρτης του Αλ Ιντρίσι που κατασκεύασε το 1159 μ.χ. με στοιχεία της Γεωγραφικής Υφήγησης. Στην Ευρώπη το έργο του Πτολεμαίου παρέμεινε άγνωστο μέχρι τον 15 ο αιώνα μ.χ., οπότε μεταφράστηκε στα λατινικά και αξιοποιήθηκε για την επανέκδοση των χαρτών της αρχαιότητας οι οποίοι αποτέλεσαν το κίνητρο για την ανακάλυψη της Αμερικής από τον Κολόμβο και τον περίπλου της γης από τον Μαγγελάνο. Οι χάρτες αυτοί στηρίζονταν στη κωνική χαρτογραφική προβολή που παρουσιάζεται στην γεωγραφική υφήγηση και την οποία ο Πτολεμαίος θεωρούσε καταλληλότερη της κυλινδρικής. Για την κυλινδρική προβολή ο Πτολεμαίος αναφέρει ότι χρησιμοποιείτο από ορισμένους χαρτογράφους της εποχής εκείνης, όπως ο Μαρίνος ο Τύριος. Από τους χάρτες που κατασκευάστηκαν στην Ευρώπη με βάση τα στοιχεία της γεωγραφικής υφήγησης του Πτολεμαίου, ιστορικό σταθμό αποτελεί ο παγκόσμιος χάρτης του Φλαμανδού χαρτογράφου Μερκάτορα που κατασκευάστηκε το 1569 με την χρησιμοποίηση χαρτογραφικής προβολής η οποία βασίζεται στις αρχές της ορθής κυλινδρικής προβολής και έχει τις βασικότατες για τον ναυτιλόμενο ιδιότητες: να απεικονίζει την λοξοδρομική πλεύση σαν ευθεία γραμμή, να απεικονίζει τις μετρούμενες στην επιφάνεια της γης γωνίες, (π.χ. μετρούμενες διοπτεύσεις) χωρίς παραμορφώσεις (με την πραγματική τους τιμή). 1.3 Συναρτήσεις Χαρτογραφικού Μετασχηματισμού (Εξισώσεις χαρτογραφικών προβολών) Όλες οι χαρτογραφικές προβολές απεικονίζουν αμφιμονοσήμαντα τα σημεία της επιφάνειας της σφαίρας ή του ελλειψοειδούς εκ περιστροφής στην επιφάνεια απεικόνισης (επίπεδο του χάρτη) με τη βοήθεια των αντίστοιχων συναρτήσεων του χαρτογραφικού μετασχηματισμού [Σχ. 1.2]. Η απεικόνιση των σημείων της επιφάνειας του ΕΕΠ (ή της σφαίρας) σε επίπεδο πραγματοποιείται με το ευθύ πρόβλημα του χαρτογραφικού μετασχηματισμού, το οποίο αφορά το μετασχηματισμό ( φi, λ i ) (x i,yi ) των γεωγραφικών συντεταγμένων (φ i, λ i ) των σημείων της επιφάνειας του ΕΕΠ στις συντεταγμένες (x i, y i ) της επιφάνειας απεικόνισης με χρήση των συναρτήσεων μετασχηματισμού f 1 και f 2 των (1.1) και (1.2). x = (φ,λ ) (1.1) i f 1 i i y = (φ,λ ) (1.2) i f 2 i i Η αντίστροφη απεικόνιση των σημείων της επιφάνειας απεικόνισης (επιφάνειας του χάρτη) στην επιφάνεια του ΕΕΠ ή της σφαίρας πραγματοποι- 1-3

6 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" 4 είται με το αντίστροφο πρόβλημα πρόβλημα του χαρτογραφικού μετασχηματισμού, το οποίο αφορά το μετασχηματισμό ( xi,yi ) (φi, λi ) των συντεταγμένων (x i, y i ), των σημείων της επιφάνειας απεικόνισης στις γεωγραφικές συντεταγμένες (φ i, λ i ) των αντίστοιχων σημείων της επιφάνειας του ΕΕΠ, με χρήση των συναρτήσεων του αντίστροφου μετασχηματισμού (1.3) και (1.4). = g ( x i, y ) (1.3) φi 1 i λi = g2 ( x i, yi ) (1.4) όπου: φ, λ: είναι οι γεωγραφικές συντεταγμένες ενός σημείου στο ελλειψοειδές ή τη σφαίρα. x, y: είναι οι συντεταγμένες του ίδιου σημείου σε ένα καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα αναφοράς στο επίπεδο. x=f 1 (φ, λ) y=f 2 (φ, λ) φ=f 1 (x, y) λ=f 2 (x, y) Σχήμα 1.2: Αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση των σημείων της επιφάνειας του ΕΕΠ σε επίπεδο Σε κάθε χαρτογραφική προβολή οι συναρτήσεις του χαρτογραφικού μετασχηματισμού (σχέσεις 1.1 έως 1.4), που λέγονται και εξισώσεις της χαρτογραφικής προβολής, είναι απλούστερες στην περίπτωση απεικόνισης επιφάνειας της σφαίρας από ότι στην περίπτωση απεικόνισης επιφάνειας του ελλειψοειδούς εκ περιστροφής (ΕΕΠ). Για το λόγο αυτό σε αρκετές περιπτώσεις η απεικόνιση των σημείων της επιφάνειας του EEP στο επίπεδο πραγματοποιείται με ένα ενδιάμεσο στάδιο απεικόνισης στην επιφάνεια μιας βοηθητικής σφαίρας. [Σχ. 1.3]. Κατά τον ενδιάμεσο μετασχηματισμό της επιφάνειας του ΕΕΠ σε σφαίρα και ανάλογα με τις απαιτήσεις της εξεταζόμενης εφαρμογής, είναι δυνατό να εξασφαλιστεί η διατήρηση κάποιας βασικής ιδιότητας, όπως: σωστή απεικόνιση των γωνιών και διευθύνσεων (συμμορφία), σωστή απεικόνιση της αναλογίας των εμβαδών (ισοδυναμία), μηδενισμός των γραμμικών παραμορφώσεων σε κάποια διεύθυνση (μεσημβρινού, παραλλήλου, κεντρικού μεσημβρινού) κλπ. Με τον τρόπο αυτό είναι δυνατό να προκύψουν διάφορες ενδιάμεσες σφαίρες με διαφορετικά χαρακτηριστικά εκάστη. Οι κυριότερες μέθοδοι μετασχηματισμού του ΕΕΠ σε σφαίρα είναι: μετασχηματισμός με μηδενικές γωνιακές παραμορφώσεις (σφαίρα συμμορφίας), μετασχηματισμός με μηδενικές επιφανειακές παραμορφώσεις (ισοδύναμη σφαίρα), 1-4

7 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" 5 μετασχηματισμός με μηδενικές γραμμικές παραμορφώσεις στη διεύθυνση των μεσημβρινών (ισαπέχουσα στη διεύθυνση των μεσημβρινών σφαίρα), μετασχηματισμός με μηδενικές γραμμικές παραμορφώσεις στη διεύθυνση των παραλλήλων (ισαπέχουσα στη διεύθυνση των παραλλήλων σφαίρα). Για τη ναυσιπλοΐα σε περιβάλλον ΣΗΝΧ οι σχέσεις 1.1 έως 1.4 του χαρτογραφικού μετασχηματισμού αποτελούν βασικές συνιστώσες του ναυτιλιακού λογισμικού για την υποστήριξη της πλοήγησης σε πραγματικό χρόνο. Το ευθύ πρόβλημα χρησιμοποιείται για την απεικόνιση στον ηλεκτρονικό χάρτη της ακριβούς θέσεως (στίγματος) του πλοίου με βάση τις συντεταγμένες (φ i, λ i ) που προσδιορίζονται συνεχώς από το σύστημα προσδιορισμού θέσεως. Το αντίστροφο πρόβλημα χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό των γεωγραφικών συντεταγμένων οποιουδήποτε σημείου του ΗΝΧ κατά τις διαδικασίες προετοιμασίας, σχεδίασης και εκτέλεσης του πλου στα ΣΗΝΧ, όπως ο προσδιορισμός των γεωγραφικών συντεταγμένων των σημείων που καθορίζονται ως κορυφές πολυγωνικών γραμμών κατά τη σχεδίαση του πλου για την επισήμανση ναυτιλιακών κινδύνων. Σχήμα 1.3: Απεικόνιση ΕΕΠ σε επίπεδο με ενδιάμεση απεικόνιση σε βοηθητική σφαίρα 2. Ταξινόμηση χαρτογραφικών προβολών Οι χαρτογραφικές προβολές μπορούν να ταξινομηθούν σε ορισμένες κατηγορίες ανάλογα με διάφορα κριτήρια όπως: η μέθοδος απεικόνισης (γεωμετρικές, ημιγεωμετρικές, μαθηματικές), η χρησιμοποιούμενη επιφάνεια απεικόνισης (κύλινδρος, κώνος, επίπεδο), η θέση του άξονα της Γης ως προς την επιφάνεια απεικόνισης (ορθές, εγκάρσιες, πλάγιες), ορισμένα βασικά χαρακτηριστικά και ιδιότητες της προβολής, (σύμμορφες, ισοεμβαδικές, ίσης αποστάσεως κ.α), η μορφή των εξισώσεων του χαρτογραφικού μετασχηματισμού. 1-5

8 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" Ταξινόμηση χαρτογραφικών προβολών ανάλογα με τη μέθοδο απεικόνισης Ένας πρακτικός κανόνας ταξινόμησης των χαρτογραφικών προβολών, ο οποίος διευκολύνει την κατανόηση των βασικών χαρακτηριστικών των περισσότερο χρησιμοποιούμενων προβολών στηρίζεται στη δυνατότητα απεικόνισης των σημείων της επιφάνειας της σφαίρας ή του ΕΕΠ στο επίπεδο με γεωμετρικές μεθόδους. Σύμφωνα με την αρχή αυτή οι χαρτογραφικές προβολές διακρίνονται σε: γεωμετρικές χαρτογραφικές προβολές. Στις προβολές αυτές η απεικόνιση των σημείων της επιφάνειας της σφαίρας, η του ΕΕΠ μπορεί να πραγματοποιηθεί, εκτός από τις εξισώσεις του χαρτογραφικού μετασχηματισμού, και με μεθόδους της προβολικής γεωμετρίας. μαθηματικές χαρτογραφικές προβολές στις οποίες η απεικόνιση γίνεται αποκλειστικά με τις εξισώσεις του χαρτογραφικού μετασχηματισμού. ημιγεωμετρικές χαρτογραφικές προβολές στις οποίες η απεικόνιση γίνεται με τις εξισώσεις του χαρτογραφικού μετασχηματισμού αλλά ορισμένα στοιχεία της επιφάνειας της σφαίρας ή του ΕΕΠ. (π.χ. οι γραμμές των μεσημβρινών), μπορούν να απεικονισθούν και με μεθόδους της προβολικής γεωμετρίας. Όπως αναφέρθηκε και στην ενότητα 1.3, σε όλες τις χαρτογραφικές προβολές (γεωμετρικές και μη γεωμετρικές), οι συντεταγμένες (x, y) των απεικονιζόμενων στο επίπεδο σημείων της επιφάνειας της γης υπολογίζονται με τη βοήθεια των εξισώσεων του χαρτογραφικού μετασχηματισμού Γεωμετρικές χαρτογραφικές προβολές Στις γεωμετρικές χαρτογραφικές προβολές η απεικόνιση των σημείων της επιφάνειας της σφαίρας, η του ΕΕΠ μπορεί να πραγματοποιηθεί με μεθόδους της προβολικής γεωμετρίας και οι εξισώσεις του χαρτογραφικού μετασχηματισμού προκύπτουν από την ανάλυση της γεωμετρίας τους σύμφωνα με την οποία η απεικόνιση στηρίζεται: Στην επιλογή μιας επίπεδης ή, αναπτυκτής σε επίπεδο επιφάνειας απεικόνισης, όπως η κυλινδρική και η κωνική επιφάνεια. Η χρησιμοποιούμενη επιφάνεια απεικόνισης (επίπεδο, κύλινδρος ή κώνος) συνήθως εφάπτεται στην επιφάνεια της σφαίρας ή την τέμνει σε ένα κύκλο. Στην γεωμετρική προβολή των σημείων της επιφάνειας της γης (σφαίρας ή ΕΕΠ) στην επιφάνεια απεικόνισης. Αναπτυκτή σε επίπεδο επιφάνεια λέγεται μια επιφάνεια η οποία είναι δυνατό να μετασχηματισθεί σε επίπεδη χωρίς να παραμορφωθεί. Οι αναπτυκτές επιφάνειες προκύπτουν από την κίνηση μιας ευθείας είτε παράλληλα σε μία σταθερή διεύθυνση, όπως οι κυλινδρικές επιφάνειες, είτε διερχόμενες από ένα σταθερό σημείο, όπως οι κωνικές επιφάνειες. Παραδείγματα αναπτυκτών σε επίπεδο επιφανειών είναι οι επιφάνειες του κυλίνδρου και του κώνου οι οποίες είναι δυνατό να μετασχηματισθούν άμεσα σε επίπεδες χωρίς καμία παραμόρφωση αν κοπούν κατά μήκος μιας γενέτειράς τους [Σχ. 1.4]. 1-6

9 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" 7 Παραδείγματα μη αναπτυκτών επιφανειών είναι οι επιφάνειες της σφαίρας και του ελλειψοειδούς εκ περιστροφής (ΕΕΠ.) οι οποίες είναι αδύνατο να μετασχηματισθούν σε επίπεδο χωρίς παραμορφώσεις, όπως είναι αδύνατο να γίνει πλήρως επίπεδη η επιφάνεια του φλοιού ενός πορτοκαλιού, ή του κελύφους ενός αυγού χωρίς αυτή να κοπεί σε μικρά κομμάτια. α. κωνική επιφάνεια και ανάπτυξή της σε επίπεδη β. κυλινδρική επιφάνεια και ανάπτυξη της σε επίπεδη Σχήμα 1.4: Παραδείγματα αναπτυκτών σε επίπεδο επιφανειών. Η γεωμετρική προβολή των σημείων της επιφάνειας της γης (σφαίρας ή ΕΕΠ) στην επιφάνεια απεικόνισης (επίπεδο, κύλινδρος ή κώνος), συνήθως πραγματοποιείται με την επιλογή ενός προβολικού σημείου από το οποίο προβάλλονται τα σημεία της επιφάνειας της γης. Η γεωμετρική αυτή προβολή λέγεται κεντρική προβολή. Παραδείγματα κεντρικής προβολής είναι η γνωμονική προβολή (Σχ. 1.1α και Σχ. 1.6γ) και η στερεογραφική προβολή (Σχ. 1.1β). Με τον τρόπο αυτό στις γεωμετρικές χαρτογραφικές προβολές κάθε ευθεία που συνδέει το προβολικό σημείο με ένα σημείο της σφαίρας (ή του ΕΕΠ.), τέμνει την επίπεδη, κυλινδρική ή κωνική επιφάνεια σε ένα συγκεκριμένο σημείο απεικόνισης. Η γεωμετρική προβολή των σημείων της επιφάνειας της γης (σφαίρας ή ΕΕΠ) μπορεί να γίνει, εκτός από τη κεντρική προβολή και με την ορθή προβολή στην οποία τα σημεία προβάλλονται στην επιφάνεια απεικόνισης κατά μία διεύθυνση κάθετη στην επιφάνεια απεικόνισης. Παράδειγμα ορθής προβολής είναι η ορθογραφική προβολή που παρουσιάζεται στην ενότητα

10 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" Μαθηματικές χαρτογραφικές προβολές Στις μαθηματικές χαρτογραφικές προβολές οι συναρτήσεις f 1 και f 2 των εξισώσεων (1.1) και (1.2) προκύπτουν από τις μαθηματικές συνθήκες που εξασφαλίζουν ότι οι αναπόφευκτες παραμορφώσεις της προβολή δεν θα επηρεάσουν κάποια βασική για τη συγκεκριμένη προβολή ιδιότητα όπως π.χ. διατήρηση των γωνιών (σύμμορφες ή ορθομορφικές προβολές), σωστή απεικόνιση της αναλογίας των εμβαδών (ισοεμβαδικές προβολές), σωστή απεικόνιση των αποστάσεων (προβολές ίσης αποστάσεως), κλπ Ημιγεωμετρικές χαρτογραφικές προβολές Στις ημιγεωμετρικές χαρτογραφικές προβολές οι συναρτήσεις f 1 και f 2 των εξισώσεων (1.1) και (1.2) προκύπτουν από τον συνδυασμό των ανωτέρω μεθόδων όπως: -απεικόνιση των μεσημβρινών με γεωμμετρική μέθοδο π.χ. στην τομή του επιπέδου κάθε μεσημβρινού με την κυλινδρική, κωνική ή επίπεδη επιφάνεια. -απεικόνιση των παραλλήλων πλάτους σε αποστάσεις που καθορίζονται από τις μαθηματικές συνθήκες που εξασφαλίζουν ότι η τελική απεικόνιση στο επίπεδο θα έχει κάποια συγκεκριμένη ιδιότητα π.χ. σωστή απεικόνιση των γωνιών ή των αποστάσεων. 2.2 Ταξινόμηση χαρτογραφικών προβολών ανάλογα με τον τύπο της επιφάνειας απεικόνισης Ο μετασχηματισμός της επιφάνειας της σφαίρας, ή του ΕΕΠ., σε επίπεδο μπορεί να γίνει είτε με ένα ενδιάμεσο στάδιο απεικόνισης σε μία αναπτυκτή σε επίπεδο επιφάνεια (κώνος ή κύλινδρος) είτε με απευθείας απεικόνιση σε επίπεδο (Σχ. 1.5). Ενδιάμεση απεικόνιση σε κωνική επιφάνεια η οποία στη συνέχεια μετασχηματίζεται σε επίπεδη. Απευθείας απεικόνιση σε επίπεδο Ενδιάμεση απεικόνιση σε κυλινδρική επιφάνεια η οποία στη συνέχεια μετασχηματίζεται σε επίπεδη Σχήμα 1.5: Μέθοδοι μετασχηματισμού σφαιρικής επιφάνειας σε επίπεδη Ανάλογα με τη χρησιμοποιούμενη επιφάνεια απεικόνισης, οι χαρτογραφικές προβολές ταξινομούνται στις επόμενες κατηγορίες: Κυλινδρικές προβολές. Στις κυλινδρικές προβολές τα σημεία της επιφάνειας της σφαίρας απεικονίζονται καταρχήν στην επιφάνεια ενός κυλίνδρου η οποία στη συνέχεια αναπτύσσεται σε επίπεδο (Σχ. 1.6α). 1-8

11 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" 9 Κωνικές προβολές. Στις κωνικές προβολές τα σημεία της επιφάνειας της σφαίρας απεικονίζονται καταρχήν στην επιφάνεια ενός κώνου η οποία στη συνέχεια αναπτύσσεται σε επίπεδο (Σχ. 1.6β). Επίπεδες ή αζιμουθιακές προβολές. Στις επίπεδες προβολές τα σημεία της επιφάνειας της σφαίρας απεικονίζονται απ ευθείας σε ένα επίπεδο, το οποίο συνήθως εφάπτεται στην επιφάνεια της σφαίρας, χωρίς την ενδιάμεση απεικόνιση σε κάποια άλλη αναπτυκτή σε επίπεδο επιφάνεια (Σχ. 1.6γ). α. Κυλινδρική προβολή β. Κωνική προβολή γ. Επίπεδη ή αζιμουθιακή προβολή (στο παράδειγμα αυτό πλάγια γνωμονική προβολή) Σχήμα 1.6: Κυλινδρικές, κωνικές και αζιμουθιακές χαρτογραφικές προβολές 1-9

12 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" Ταξινόμηση χαρτογραφικών προβολών ανάλογα με τον προσανατολισμό της επιφάνειας απεικόνισης. Ανάλογα με τη θέση του άξονα της Γης ως προς τη χρησιμοποιούμενη επιφάνεια απεικόνισης, οι χαρτογραφικές προβολές διακρίνονται σε: ορθές προβολές. Στις ορθές προβολές (Σχ. 1.7α) ο άξονας της γης ταυτίζεται με τον άξονα συμμετρίας του κυλίνδρου, τον άξονα συμμετρίας του κώνου, ή με την ακτίνα που διέρχεται από το σημείο επαφής του επιπέδου. εγκάρσιες προβολές. Στις εγκάρσιες προβολές (Σχ. 1.7β) ο άξονας συμμετρίας του κυλίνδρου, ο άξονας συμμετρίας του κώνου και η ακτίνα που διέρχεται από το σημείο επαφής του επιπέδου, έχουν στραφεί κατά 90º και βρίσκονται επί του επιπέδου του ισημερινού (σχηματίζουν γωνία 90º με τον άξονα της γης). πλάγιες προβολές. Στις πλάγιες προβολές (Σχ. 1.7γ) ο άξονας συμμετρίας του κυλίνδρου, ο άξονας συμμετρίας του κώνου και η ακτίνα που διέρχεται από το σημείο επαφής του επιπέδου, βρίσκονται σε θέση διαφορετική από τη θέση που έχουν στην ορθή ή στην εγκάρσια προβολή. Α1. Ορθές Κυλινδρικές (λέγονται και ισημερινές) Α2. Ορθές Κωνικές (λέγονται και πολικές) Α3. Ορθές Αζιμουθιακές (λέγονται και πολικές) Β1. Εγκάρσιες Κυλινδρικές (λέγονται και ισημερινές) Β2. Εγκάρσιες Κωνικές (χρησιμοποιούνται σπάνια) Β3. Εγκάρσιες Αζιμουθιακές (λέγονται και ισημερινές) Γ1. Πλάγιες Κυλινδρικές (χρησιμοποιούνται σπάνια) Σχήμα 1.7: Γ2. Πλάγιες Κωνικές (χρησιμοποιούνται σπάνια) Γ3. Πλάγιες Αζιμουθιακές Ταξινόμηση χαρτογραφικών προβολών ανάλογα με τον προσανατολισμό της επιφάνειας απεικόνισης [διασκευή από: Carlos Furuti] 1-10

13 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" Ταξινόμηση χαρτογραφικών προβολών ανάλογα με τις ιδιότητές τους. Μία άλλη χρήσιμη μέθοδος ταξινομήσεως των χαρτογραφικών προβολών στηρίζεται σε ορισμένες βασικές ιδιότητες τους όπως π.χ.: Σωστή απεικόνιση των μετρούμενων στην επιφάνεια της γης γωνιών (π.χ. των διοπτεύσεων της ναυτιλίας που λαμβάνονται από καταφανή σημεία της ξηράς και μεταφέρονται στο ναυτικό χάρτη). Σωστή απεικόνιση της αναλογίας των εμβαδών των απεικονιζομένων σχημάτων (περιοχών). Απεικόνιση της ορθοδρομίας (των τόξων μεγίστου κύκλου της σφαίρας) με ευθεία γραμμή. Απεικόνιση της λοξοδρομίας (πλεύσης με σταθερή πορεία) με ευθεία γραμμή. Σύμφωνα με το παραπάνω κριτήριο ταξινόμησης (βασικές ιδιότητες χαρτογραφικών προβολών) οι χαρτογραφικές προβολές, διακρίνονται σε διάφορες κατηγορίες όπως: σύμμορφες ή ορθομορφικές προβολές: Οι προβολές αυτές έχουν την ιδιότητα της σωστής απεικόνισης των γωνιών και επομένως της διατηρήσεως της ομοιότητας των σχημάτων. Ισοδύναμες ή ισοεμβαδικές προβολές: Οι προβολές αυτές έχουν την ιδιότητα της σωστής απεικόνισης της αναλογίας των εμβαδών των απεικονιζομένων επιφανειών. Η ταξινόμηση των χαρτογραφικών προβολών ανάλογα με τις προαναφερθείσες ιδιότητες τους (σύμμορφία, ισοδυναμία κλπ.), είναι χρήσιμη γιατί, όπως αναφέρεται αναλυτικότερα στο κεφάλαιο 2, δεν υπάρχει χαρτογραφική προβολή, η οποία να έχει ταυτόχρονα όλες τις παραπάνω επιθυμητές ιδιότητες. Ανάλογα με την χρήση για την οποία προορίζεται ό χάρτης επιλέγεται χαρτογραφική προβολή που περιορίζει ή μηδενίζει τις κατά περίπτωση ανεπιθύμητες παραμορφώσεις. Ως χαρακτηριστικό παράδειγμα επιλογής χαρτογραφικής προβολής ανάλογα με τις ιδιότητές της αναφέρεται η χρήση της ορθής μερκατορικής προβολής στην παραδοσιακή ναυτιλία [βλ ]. 2.5 Ταξινόμηση χαρτογραφικών προβολών ανάλογα με τις ιδιότητές τους. Ορισμένες φορές η ανάλυση των σχέσεων του χαρτογραφικού μετασχηματισμού για τον προσδιορισμό ή τη σύγκριση των βασικών χαρακτηριστικών των χαρτογραφικών απεικονίσεων, υποστηρίζεται αποτελεσματικότερα με τη χρήση της παραμετρικής ταξινόμησης των χαρτογραφικών απεικονίσεων (Tobler 1962). Στη μέθοδο της παραμετρικής ταξινόμησης των χαρτογραφικών απεικονίσεων χρησιμοποιείται η επόμενη γενικότερη μορφή των (1.1) και (1.2), στις οποίες οι παράμετροι u και v αντιπροσωπεύουν τις συντεταγμένες των σημείων στην επιφάνεια απεικόνισης. 1-11

14 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" 12 u=f 1 (φ, λ) (1.5) v=f 2 (φ, λ) (1.6) Με τη μορφή των (1.5) και (1.6) διακρίνονται καταρχήν οι κάτωθι τέσσερις ομάδες χαρτογραφικών απεικονίσεων: Ομάδα Α: u=f 1 (φ, λ) v=f 2 (φ, λ) Ομάδα B: u=f 1 ( λ) v=f 2 (φ, λ) Ομάδα C: u=f 1 (φ, λ) v=f 2 (φ) Ομάδα D: u=f 1 (λ) v=f 2 (φ) Αν οι παράμετροι u και v θεωρηθούν ότι αντιπροσωπεύουν είτε καρτεσιανές συντεταγμένες (x, y), είτε πολικές συντεταγμένες (r, θ), προκύπτουν δύο μορφές για κάθε μία από τις ανωτέρω τέσσερις ομάδες. Με τον τρόπο αυτό δημιουργούνται οκτώ ομάδες χαρτογραφικών απεικονίσεων, στις οποίες αντιστοιχούν διάφορες μορφές πλέγματος μεσημβρινών και παραλλήλων, όπως φαίνεται αναλυτικά στον πίνακα 1.1. καρτεσιανές συντεταγμένες Πίνακας 1.1 Παραμετρική ταξινόμηση χαρτογραφικών απεικονίσεων (Tobler 1961) πολικές συντεταγμένες ενδεικτική μορφή πλέγματος μεσημβρινών και παραλλήλων Ομάδα Α x=f 1 (φ, λ) y=f 2 (φ, λ) θ=f 1 (φ, λ) r=f 2 (φ, λ) Ομάδα B x=f 1 ( λ) y=f 2 (φ, λ) θ=f 1 ( λ) r=f 2 (φ, λ) Ομάδα C x=f1(φ, λ) y=f 2 (φ) θ=f 1 (φ, λ) r=f 2 (φ) Ομάδα D x=f 1 (λ) y=f 2 (φ) θ=f 1 (λ) r=f 2 (φ) Στις χαρτογραφικές απεικονίσεις της ομάδας Α του πίνακα 1.1 η μορφή των γραμμών των μεσημβρινών και παραλλήλων μπορεί να είναι τυχαίες καμπύλες. 1-12

15 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" 13 Στην ομάδα Β οι μεσημβρινοί είναι ευθείες (παράλληλες, ή συγκλίνουσες σε ένα σημείο, ανάλογα με το σύστημα συντεταγμένων που χρησιμοποιείται). Στην ομάδα C, η μορφή των μεσημβρινών μπορεί να είναι τυχαίες καμπύλες και οι παράλληλοι πλάτους είναι ευθείες παράλληλες, ή ομόκεντροι κύκλοι (ανάλογα με το σύστημα συντεταγμένων που χρησιμοποιείται). Στην ομάδα D ανήκουν χαρτογραφικές απεικονίσεις με τις πιο συνηθισμένες μορφές μεσημβρινών και παραλλήλων. 3. Γενικά χαρακτηριστικά κυλινδρικών προβολών Ανάλογα με τη θέση του άξονα της Γης ως προς τη χρησιμοποιούμενη κυλινδρική επιφάνεια (Σχ. 1.8), οι κυλινδρικές προβολές διακρίνονται σε: ορθές κυλινδρικές προβολές. εγκάρσιες κυλινδρικές προβολές. πλάγιες κυλινδρικές προβολές. Οι περισσότερο διαδεδομένες κυλινδρικές προβολές είναι: - Η Ορθή Μερκατορική Προβολή, στην οποία στηρίζεται η κατασκευή των ναυτικών χαρτών. - Η Εγκάρσια Μερκατορική προβολή, στην οποία στηρίζεται η κατασκευή των στρατιωτικών χαρτών καθώς και ορισμένων ειδικών ναυτικών χαρτών. 3.1 Ορθές κυλινδρικές προβολές Στις ορθές κυλινδρικές προβολές ο άξονας της γης ταυτίζεται με τον άξονα συμμετρίας του κυλίνδρου (Σχ. 1.7α και Σχ. 1.8α). Μία ορθή κυλινδρική προβολή στην οποία ο κύλινδρος εφάπτεται στον ισημερινό, λέγεται ισημερινή κυλινδρική προβολή. Ο κύλινδρος μπορεί να εφάπτεται στον ισημερινό (Σχ 1.9α) ή να τέμνει τη γήινη σφαίρα σε δύο παραλλήλους πλάτους (Σχ 1.9β) που λέγονται βασικοί παράλληλοι (standard parallers). Οι χάρτες ορθών κυλινδρικών προβολών, όπως οι χάρτες των σχημάτων 1.8, 1.9 και 1.10, έχουν τα κάτωθι χαρακτηριστικά: οι παράλληλοι πλάτους απεικονίζονται σαν ευθείες παράλληλες προς τον ισημερινό. οι μεσημβρινοί απεικονίζονται σαν ευθείες κάθετες προς τους παραλλήλους πλάτους και τον ισημερινό οι αποστάσεις των διαδοχικών μεσημβρινών είναι ίσες. οι αποστάσεις των διαδοχικών παραλλήλων συνήθως δεν είναι ίσες, αλλά καθορίζονται κατά περίπτωση από τις εξισώσεις απεικόνισης της προβολής, προκειμένου να εξασφαλισθούν βασικές επιθυμητές ιδιότητες όπως π.χ.: ισαπέχουσες (Σχ 1.10), σύμμορφες (Σχ 1.11), ισοεμβαδικές (Σχ 1.13). Χαρακτηριστικά παραδείγματα κυλινδρικών προβολών αναφέρονται στις επόμενες ενότητες. 1-13

16 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" 14 α. Ορθή κυλινδρική προβολή: ο άξονας της γης ταυτίζεται με τον άξονα συμμετρίας του κυλίνδρου β. εγκάρσια κυλινδρική προβολή: ο άξονας της γης σχηματίζει γωνία 90º με τον άξονα της γης γ. πλάγια κυλινδρική προβολή: ο άξονας της γης βρίσκεται σε θέση διαφορετική από τη θέση που έχει στην ορθή ή στην εγκάρσια προβολή Σχήμα 1.8: Γεωμετρία ορθής, εγκάρσιας και πλάγιας κυλινδρικής προβολής 1-14

17 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" 15 βασικός παράλληλος ισημερινός ισημερινός βασικός παράλληλος α. Ισημερινή κυλινδρική προβολή (ένας βασικός παράλληλος στον ισημερινό) β. Κυλινδρική προβολή με δύο βασικούς παραλλήλους Σχήμα 1.9: Ορθή Κυλινδρική Προβολή με ένα και δύο βασικούς παραλλήλους Ορθή κυλινδρική ισαπέχουσα προβολή (Τετραγωνική Ορθογώνια Προβολή) Η ορθή κυλινδρική ισαπέχουσα προβολή ή Τετραγωνική Ορθογώνια Προβολή επινοήθηκε το 3 ο αιώνα μ.χ. από τον Ερατοσθένη. Στην προβολή αυτή τα σημεία της επιφάνειας της γης απεικονίζονται σε μια επίπεδη πινακίδα 1 με ένα ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα αξόνων στο οποίο ο οριζόντιος άξονας X αντιστοιχεί στο γεωγραφικό μήκος (λ) και ο κατακόρυφος άξονας Υ αντιστοιχεί στο γεωγραφικό πλάτος (φ). Στην ορθή κυλινδρική ισαπέχουσα προβολή (Σχ. 1.10): - οι μεσημβρινοί απεικονίζονται ως ευθείες παράλληλες και ισαπέχουσες με μήκος ίσο με την απόσταση βορείου νοτίου πόλου. - οι παράλληλοι πλάτους απεικονίζονται επίσης ως παράλληλες και ισαπέχουσες ευθείες που είναι κάθετες στους μεσημβρινούς. Οι συναρτήσεις απεικόνισης της απλής κυλινδρικής προβολής δίνονται από τις σχέσεις (1.7α) και (1.7β). x=rλ (1.7α) y=rφ (1.7β) Ορθή κυλινδρική σύμμορφη προβολή Η ορθή κυλινδρική σύμμορφη προβολή μερκατορική προβολή χρησιμοποιήθηκε τον 16 ο αιώνα μ.χ. από το Φλαμανδό χαρτογράφο Μερκάτορα για την κατασκευή του πρώτου παγκόσμιου ναυτικού χάρτη με βάση τα στοιχεία της Γεωγραφικής Υφήγησης του Κλαύδιου Πτολεμαίου και τις αναφερόμενες στο 1 Η πινακίδα αυτή σύμφωνα με την αναλυτική περιγραφή του Κλαύδιου Πτολεμαίου στο έργο του «Γεωγραφική Υφήγησις» (3 ος αιώνας μ.χ.), προκύπτει από την ανάπτυξη σε επίπεδο ενός κυλίνδρου ο οποίος εφάπτεται στην γήινη σφαίρα στον ισημερινό και έχει ύψος ίσο με την πραγματική απόσταση βορείου νοτίου πόλου. 1-15

18 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" 16 έργο αυτό αρχές της κυλινδρικής προβολής την οποία ο Μερκάτορας βελτίωσε ώστε να παρέχεται η δυνατότητα σωστής αναπαράστασης των γωνιών (πλεύσεων και διοπτεύσεων) και αναπαράστασης του λοξοδρομικού πλου με ευθεία γραμμή. Σχήμα 1.10: Χάρτης ορθής κυλινδρικής ισαπέχουσας προβολής Η ορθή κυλινδρική σύμμορφη προβολή είμαι γνωστή ως «μερκατορική προβολή». Στην προβολή αυτή οι μεσημβρινοί απεικονίζονται με παράλληλες και ισαπέχουσες ευθείες, οι δε παράλληλοι πλάτους απεικονίζονται επίσης με παράλληλες ευθείες που είναι κάθετες στους μεσημβρινούς, αλλά με αυξανόμενη μεταξύ τους απόσταση (Σχ. 1.11), προκειμένου να επιτευχθεί η διατήρηση της ομοιότητας των απεικονιζόμενων σχημάτων και η ακριβής αναπαράσταση των γωνιών. Οι συναρτήσεις απεικόνισης της ορθής μερκατορικής προβολής δίνονται από τις σχέσεις (1.8α) και (1.8β). x=rλ (1.8α) y=rsecφ (1.8β) Η ορθή μερκατορική προβολή έχει τις επόμενες δύο βασικές για τη ναυσιπλοΐα ιδιότητες: 1 η ιδιότητα: απεικονίζει τις γωνίες χωρίς παραμορφώσεις, π.χ., τις μετρούμενες με τον επαναλήπτη της γυροπυξίδας διοπτεύσεις, 2η ιδιότητα: απεικονίζει τους μεσημβρινούς ως παράλληλες και ισαπέχουσες ευθείες. Οι παραπάνω ιδιότητες της ορθής μερκατορικής προβολής παρέχουν τα επόμενα βασικά για τη ναυσιπλοΐα πλεονεκτήματα: 1-16

19 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" 17 Άμεση χάραξη στο ναυτικό χάρτη των γραμμών θέσεως που αντιστοιχούν στις μετρήσεις διοπτεύσεων με τον επαναλήπτη της γυροπυξίδας για τον προσδιορισμό του στίγματος του πλοίου. Άμεση σχεδίαση του πλου σταθερής πορείας από ένα σημείο αναχώρησης Α προς ένα σημείο προορισμού Β (λοξοδρομικός πλους) με τη χάραξη στο μερκατορικό χάρτη του ευθυγράμμου τμήματος που ορίζεται από τα σημεία αυτά (Σχ. 1.12). Άμεσος προσδιορισμός της πορείας ζλ του λοξοδρομικού πλου με τη μέτρηση στο χάρτη της γωνίας που σχηματίζει το ευθύγραμμο τμήμα που ορίζεται από τα σημεία αναχώρησης και προορισμού, με οποιαδήποτε από τις παράλληλες ευθείες, οι οποίες αναπαριστούν τους μεσημβρινούς (Σχ. 1.12). Λόγω των παραπάνω σημαντικών για τη ναυσιπλοΐα ιδιοτήτων της ορθής μερκατορικής προβολής, χαρτογραφική αυτή προβολή έχει καθιερωθεί για χρήση στη ναυσιπλοΐα, παρά τις τεράστιες επιφανειακές παραμορφώσεις που παρουσιάζει. Σχήμα 1.11 : Χάρτης ορθής κυλινδρικής σύμμορφης προβολής (Μερκατορική Προβολή) 1-17

20 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" 18 Σχήμα 1.12: Σχεδίαση λοξοδρομικού πλου στο ναυτικό μερκατορικό χάρτη Ορθή κυλινδρική ισοδύναμη (ισοεμβαδική) προβολή Η ορθή κυλινδρική ισοδύναμη προβολή επινοήθηκε από τον μαθηματικό J. Lambert το έτος Όπως και στις άλλες ορθές προβολές, στην ορθή ισοδύναμη προβολή (Σχ. 1.13), οι μεσημβρινοί απεικονίζονται με ευθείες γραμμές παράλληλες και ισαπέχουσες. Οι παράλληλοι πλάτους απεικονίζονται επίσης με ευθείες γραμμές κάθετες στη διεύθυνση των μεσημβρινών, αλλά σε αποστάσεις που ελαττώνονται όσο αυξάνει το γεωγραφικό πλάτος. Όπως και στις άλλες ορθές κυλινδρικές προβολές δημιουργούνται πολύ μεγάλες παραμορφώσεις, όσο αυξάνει το γεωγραφικό πλάτος. Οι δύο πόλοι απεικονίζονται με ευθείες γραμμές. Οι συναρτήσεις απεικόνισης της ορθής κυλινδρικής προβολής δίνονται από τις σχέσεις (1.9α) και (1.9β). x=rλ (1.9α) y=rsinφ (1.9β) 1-18

21 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" 19 Σχήμα 1.13 : Χάρτης ορθής κυλινδρικής ισοδύναμης (ισοεμβαδικής) προβολής Σύγκριση χαρακτηριστικών ορθών κυλινδρικών προβολών. Αν εξετάσουμε τις συναρτήσεις απεικόνισης των προαναφερθέντων τριών κυλινδρικών προβολών (απλή κυλινδρική, μερκατορική και ισοδύναμη), παρατηρούμε ότι οι συναρτήσεις αυτές (σχέσεις 1.1, 1.2 και 1.3), καθορίζουν τα βασικά χαρακτηριστικά των αντίστοιχων κυλινδρικών προβολών, όπως: 1. Και στις τρεις προβολές (απλή κυλινδρική, μερκατορική και ισοδύναμη), οι μεσημβρινοί που έχουν την ίδια μεταξύ τους διαφορά γεωγραφικού μήκους (π.χ. 20º Αν, 30º Αν, 40º Αν, κλπ), απεικονίζονται με ευθείες παράλληλες και ισαπέχουσες [Σχήματα 1.10, 1.11 και 1.13]. Η βασική αυτή ιδιότητα όλων των ορθών κυλινδρικών προβολών προκύπτει άμεσα από τη σχέση x=rλ [τύποι (1.7α), (1.8α) και (1.9α)], από την οποία προκύπτει η ισοδύναμη σχέση (1.10) που δίνει τη μορφή και τις αποστάσεις των μεσημβρινών και σε όλες τις ορθές κυλινδρικές προβολές. x (1.10) λ = R 2. Και στις τρεις προβολές (ισαπέχουσα, σύμμορφη και ισοδύναμη), οι παράλληλοι πλάτους που έχουν την ίδια μεταξύ τους διαφορά γεωγραφικού πλάτους (π.χ. 30º Βορ, 50º Βορ, 70º Βορ, κλπ), απεικονίζονται με ευθείες παράλληλες και κάθετες προς τη διεύθυνση των ευθειών που απεικονίζουν τους μεσημβρινούς [σχήματα 1.8, 1.9 και 1.10], αλλά σε διαφορετικές απόστάσεις [εξισώσεις 1.7β, 1.8β και 1.9β] 3. Στην κυλινδρική ισαπέχουσα προβολή, οι παράλληλοι πλάτους που έχουν την ίδια μεταξύ τους διαφορά γεωγραφικού πλάτους (π.χ. 30º Βορ, 50º Βορ, 70º Βορ, κλπ), απεικονίζονται με ευθείες παράλληλες και ισαπέχουσες (εξίσωση 1.7β και Σχ. 1.10). 4. Στην κυλινδρική σύμμορφη (μερκατορική) προβολή, οι παράλληλοι πλάτους που έχουν την ίδια μεταξύ τους διαφορά γεωγραφικού πλάτους (π.χ. 30º Βορ, 50º Βορ, 70º Βορ, κλπ), απεικονίζονται με ευθείες παράλληλες αλλά μη ισαπέχουσες, με αποστάσεις που αυξάνουν προς τα υψηλότερα γεωγραφικά πλάτη, ανάλογα με την τέμνουσα του γεωγραφικού πλάτους (εξίσωση 1.8β και Σχ. 1.11). 1-19

22 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" Στην κυλινδρική σύμμορφη (μερκατορική) προβολή δεν είναι δυνατή η απεικόνιση πολικών περιοχών (από την εξίσωση 1.8β για τιμές του γεωγραφικού πλάτους που πλησιάζουν τις 90º προκύπτουν αποστάσεις των παραλλήλων από τον ισημερινό που προσεγγίζουν το άπειρο). 3.2 Εγκάρσιες κυλινδρικές προβολές Στις εγκάρσιες κυλινδρικές προβολές ο κύλινδρος έχει στραφεί κατά 90º ως προς τη θέση που έχει στην ορθή κυλινδρική προβολή. Στην εγκάρσια αυτή θέση ο άξονάς του κυλίνδρου βρίσκεται επάνω στο επίπεδο του ισημερινού και επιφάνειά του συνήθως εφάπτεται σε ένα μεσημβρινό (Σχ. 1.14α), ή τέμνει τη σφαίρα σε δύο μικρούς κύκλους. Στις εγκάρσιες κυλινδρικές προβολές μπορεί να απεικονισθεί χωρίς αξιοσημείωτες παραμορφώσεις μία περιοχή περιορισμένου εύρους μήκους εκατέρωθεν του κεντρικού μεσημβρινού και απεριόριστου εύρος πλάτους. Όσο απομακρυνόμαστε από τον κεντρικό μεσημβρινό αυξάνουν οι παραμορφώσεις και είναι εμφανής η καμπυλότητα των μεσημβρινών. (α) Σχήμα 1.14: Εγκάρσια κυλινδρική προβολή (β) 1-20

23 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" 21 Όταν ο κύλινδρος των εγκάρσιων κυλινδρικών προβολών αναπτυχθεί σε επίπεδο οι πραγματικοί μεσημβρινοί και παράλληλοι πλάτους (Σχ. 1.14) απεικονίζονται ως εξής: Ο κεντρικός μεσημβρινός και ο ισημερινός απεικονίζονται ως ευθείες κάθετες μεταξύ τους. Οι μεσημβρινοί (εκτός του κεντρικού μεσημβρινού) απεικονίζονται ως καμπύλες με τα κοίλα στραμμένα προς τον κεντρικό μεσημβρινό. Οι παράλληλοι πλάτους (εκτός του ισημερινού) είναι καμπύλες με τα κοίλα στραμμένα προς τους πόλους. Τα παραπάνω χαρακτηριστικά φαίνονται καλύτερα στους χάρτες των εγκάρσιες κυλινδρικών προβολών των σχημάτων 1.15, 1.16 και Στις εγκάρσιες κυλινδρικές προβολές των σχημάτων αυτών, ο κύλινδρος εφάπτεται στον μεσημβρινό των 90º Δυτ. (κεντρικός μεσημβρινός). Σχήμα 1.15: Εγκάρσια Μερκατορική Προβολή Από τις διάφορες εγκάρσιες κυλινδρικές προβολές, ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η Εγκάρσια Μερκατορική Προβολή, στην οποία στηρίζεται η κατασκευή των στρατιωτικών χαρτών καθώς και ορισμένων ειδικών ναυτικών χαρτών για χρήση σε ειδικές ναυτικές επιχειρήσεις, όπως οι χάρτες μάχης (combat charts) για τις αμφίβιες επιχειρήσεις, οι χάρτες ναρκοπολέμου κλπ. Η εγκάρσια μερκατορική προβολή καθώς και το βασιζόμενο σε αυτή Παγκόσμιο Σύστημα Αναφοράς Θέσεως UTM (Universal Transverse Mercator Grid) το οποίο χρησιμοποιείται κατ εξοχή στις διακλαδικές στρατιωτικές επιχειρήσεις, εξετάζονται αναλυτικότερα στο κεφάλαιο

24 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" 22 Σχήμα 1.16: Εγκάρσια κυλινδρική προβολή ισαπέχουσα Σχήμα 1.17: Εγκάρσια κυλινδρική ισοεμβαδική προβολή 1-22

25 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" Πλάγιες κυλινδρικές προβολές Στις πλάγιες κυλινδρικές προβολές ο κύλινδος βρίσκεται σε θέση διαφορετική από τη θέση του στην ορθή και στην εγκάρσια προβολή και επομένως ο άξονας του κυλίνδρου δεν ταυτίζεται με τον άξονα της γης, ούτε βρίσκεται επάνω στο επίπεδο του ισημερινού (Σχ. 1.7γ1 και Σχ. 1.18). Σχήμα 1.18: Πλάγια κυλινδρική προβολή Στην πλάγια αυτή θέση ο άξονας του κυλίνδρου έχει μία γωνία κλίσεως α με το επίπεδο του ισημερινού (0 < α < 90º) και η επιφάνειά του εφάπτεται σε ένα μέγιστο κύκλο ο οποίος αποτελεί τον εικονικό ισημερινό της προβολής (Σχ. 1.19). Τα επίπεδα τα οποία διέρχονται από τον άξονα του κυλίνδρου τέμνουν την επιφάνεια της σφαίρας σε μέγιστους κύκλους οι οποίοι αποτελούν τους εικονικούς μεσημβρινούς. Οι μικροί κύκλοι της σφαίρας τα επίπεδα των οποίων είναι παράλληλα προς το επίπεδο του εικονικού ισημερινού, αποτελούν τους εικονικούς παραλλήλους πλάτους της προβολής. Σχήμα 1.19: Σύστημα εικονικών μεσημβρινών και παραλλήλων πλάγιας κυλινδρικής προβολής 1-23

26 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" 24 Στο σχήμα 1.19 απεικονίζονται τόσο το σύστημα των γεωγραφικών μεσημβρινών και παραλλήλων πλάτους (με διακεκομένες γραμμές) όσο και το σύστημα των εικονικών μεσημβρινών και παραλλήλων πλάτους (με συνεχείς γραμμές). Στις πλάγιες κυλινδρικές προβολές η απεικόνιση της επιφάνειας της σφαίρας στην επιφάνεια του κυλίνδρου γίνεται με το ανωτέρω σύστημα των εικονικών μεσημβρινών και παραλλήλων πλάτους, ενώ στις ορθές κυλινδρικές προβολές η απεικόνιση γίνεται με το σύστημα των γεωγραφικών (πραγματικών) μεσημβρινών και παραλλήλων πλάτους. Όταν ο κύλινδρος των πλάγιων κυλινδρικών προβολών αναπτυχθεί σε επίπεδο οι πραγματικοί μεσημβρινοί και παράλληλοι πλάτους απεικονίζονται ως καμπύλες (Σχ. 1.18). Στα σχήματα 1.20, 1.21 και 1.22 φαίνονται ορισμένα παραδείγματα χαρτών πλάγιων κυλινδρικών προβολών όπως η πλάγια ισαπέχουσα κυλινδρική προβολή, πλάγια ισοεμβαδική κυλινδρική προβολή και πλάγια μερκατορική προβολή. Σχήμα 1.20: Παγκόσμιος χάρτης πλάγιας ισαπέχουσας κυλινδρικής προβολής Σχήμα 1.21: Παγκόσμιος χάρτης πλάγιας ισοεμβαδικής κυλινδρικής προβολής 1-24

27 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" 25 Σχήμα 1.22: Παγκόσμιος χάρτης πλάγιας μερκατορικής προβολής 4. Γενικά χαρακτηριστικά κωνικών προβολών Στις κωνικές προβολές ο κώνος συνήθως βρίσκεται στην ορθή θέση, με τον άξονα συμμετρίας του να ταυτίζεται με τον άξονα της γης (Σχ. 1.6β και Σχ. 1.23). Στις ορθές κωνικές προβολές η κωνική επιφάνεια μπορεί να εφάπτεται στη σφαίρα σε ένα παράλληλο πλάτους (Σχ και Σχ. 1.24α) που λέγεται βασικός παράλληλος ή να τέμνει τη σφαίρα σε δύο παράλληλους πλάτους (Σχ. 1.23) που λέγονται επίσης βασικοί παράλληλοι. Όταν η κωνική επιφάνεια αναπτυχθεί σε επίπεδο (Σχ και Σχ. 1.6β) δεν δημιουργείται καμία γραμμική παραμόρφωση κατά μήκος του βασικού παραλλήλου, ή των βασικών παραλλήλων. Σχήμα 1.23: Ορθή κωνική προβολή 1-25

28 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" 26 Τα βασικά χαρακτηριστικά των ορθών κωνικών προβολών είναι: οι μεσημβρινοί απεικονίζονται με ευθείες γραμμές που συγκλίνουν σε ένα σημείο, που δεν είναι ο πόλος οι παράλληλοι απεικονίζονται με τόξα ομόκεντρων κύκλων που έχουν τα κέντρα τους στο σημείο που συγκλίνουν οι μεσημβρινοί ο πόλος απεικονίζεται με τόξο κύκλου ομόκεντρου με τα τόξα των παραλλήλων. Στις εγκάρσιες και στις πλάγιες κωνικές προβολές ο κώνος μπορεί να εφάπτεται στην σφαίρα σε ένα μικρό κύκλο, ή να την τέμνει σε δύο μικρούς κύκλους που λέγονται βασικές γραμμές. Οι εγκάρσιες και οι πλάγιες κωνικές προβολές χρησιμοποιούνται πολύ σπάνια. βασικοί παράλληλοι βασικός παράλληλος ισημερινός ισημερινός α. Κωνική προβολή με ένα βασικό παράλληλο β. Κωνική προβολή με δύο βασικούς παραλλήλους Σχήμα 1.24: Κωνική Προβολή με ένα και δύο βασικούς παραλλήλους 4.1 Κωνική ισαπέχουσα προβολή (προβολή του Κλαύδιου Πτολεμαίου) Η κωνική ισαπέχουσα προβολή, χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά από τον Αλεξανδρινό γεωγράφο Κλαύδιο Πτολεμαίο κατά τον 2ο μ.χ. αιώνα, χρησιμοποιεί ένα κώνο που εφάπτεται στη σφαίρα σε ένα παράλληλο πλάτους (Σχ. 1.24α και Σχ. 1.6β). Στο σχήμα 1.6β φαίνεται ένας χάρτης απλής κωνικής προβολής του βορείου ημισφαιρίου με βασικό παράλληλο σε πλάτος 45. Η προβολή αυτή δεν είναι γεωμετρική και μόνο οι μεσημβρινοί μπορούν να θεωρηθούν ότι προκύπτουν με γεωμετρική προβολή στην επιφάνεια του κώνου ενώ οι παράλληλοι είναι τόξα ομόκεντρων κύκλων που έχουν ακτίνα: Τ = Τ0 R( φ φ 0 ) (1.11) Όπου: R: ακτίνα της σφαίρας φ: γεωγραφικό πλάτος φ ο : γεωγραφικό πλάτος του βασικού παραλλήλου 1-26

29 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" 27 Τ ο : η ακτίνα του κύκλου που απεικονίζει τον βασικό παράλληλο φ ο (Σχ. 1.25) που υπολογίζεται από την (1.12). Τ ο = Rcotφ ο (1.12) Η γωνία θ που σχηματίζεται μεταξύ των ακραίων μεσημβρινών στο χάρτη που αντιστοιχεί σε Δλ (Σχ. 1.23) υπολογίζεται από την (1.13). θ=δλsinφ ο (1.13) Στην κωνική ισαπέχουσα προβολή δεν υπάρχει γραμμική παραμόρφωση κατά μήκος του βασικού παραλλήλου και οποιουδήποτε μεσημβρινού και επομένως η κλίμακα στις γραμμές αυτές είναι σταθερή. Η κωνική ισαπέχουσα προβολή επειδή δεν παρουσιάζει μεγάλες παραμορφώσεις σε περιοχές που βρίσκονται κοντά στον βασικό παράλληλο, είναι πολύ χρήσιμη για τη χαρτογράφηση περιοχών που καλύπτουν μικρό εύρος πλάτους και μεγάλο εύρος μήκους. (α) Σχήμα 1.25: Γεωμετρία κωνικής προβολής 4.2 Σύμμορφη κωνική προβολή (προβολή του Lambert) Η προβολή αυτή αναπτύχθηκε το 1772 από τον Jojann Heinrich Lambert είναι μία σύμμορφη κωνική προβολή στην οποία ο κώνος τέμνει τη γήϊνη σφαίρα σε δύο βασικούς παραλλήλους. Στη προβολή του Lambert οι μεσημβρινοί απεικονίζονται σαν συγκλίνουσες ευθείες και οι παράλληλοι σαν τόξα ομόκεντρων κύκλων. 4.3 Πολυκωνική προβολή Η πολυκωνική προβολή χρησιμοποιεί περισσότερους από έναν κώνους (Σχ. 1.26α) κάθε ένας από τους οποίους εφάπτεται στη γήϊνη σφαίρα σε ένα παράλληλο πλάτους κατά μήκος του οποίου δε δημιουργούνται παραμορφώσεις. (β) 1-27

30 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" 28 Σχήμα 1.25: Κωνική Ισαπέχουσα Προβολή (β) (α) Σχήμα 1.26: Πολυκωνική Προβολή 1-28

31 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" 29 Οι σχηματιζόμενες μεταξύ των διαδοχικών βασικών παραλλήλων (Σχ. 1.27α) ζώνες QΑ, ΑΒ κλπ. όταν οι κώνοι αναπτυχθούν σε επίπεδο εκατέρωθεν ενός κεντρικού μεσημβρινού (Σχ. 1.27β), εφάπτονται μεν μεταξύ τους στα σημεία Α, Β κλπ. του κεντρικού μεσημβρινού αλλά κατά μήκος των άλλων μεσημβρινών δημιουργούν κενά που αυξάνουν όσο αυξάνει η απόσταση από τον κεντρικό μεσημβρινό. Τα κενά αυτά εξαλείφονται με τη δημιουργία μίας τεχνητής, κατά τη διεύθυνση των μεσημβρινών, παραμορφώσεως (επιμηκύνσεως) (Σχ. 1.27γ). (α) (β) (γ) Σχήμα 1.27: Γεωμετρία πολυκωνικής προβολής Σε ένα χάρτη πολυκωνικής προβολής (Σχ.1.26β) οι μεν παράλληλοι πλάτους απεικονίζονται σαν τόξα μη ομόκεντρων κύκλων με τα κέντρα τους στον κεντρικό μεσημβρινό και ακτίνες που δίνονται από τη σχέση (1.12), οι δε μεσημβρινοί απεικονίζονται σαν καμπύλες που στρέφουν τα κοίλα στον κεντρικό μεσημβρινό και συγκλίνουν στο κέντρο του κύκλου που παριστά τον πόλο. Η πολυκωνική προβολή είναι κατάλληλη για χαρτογράφηση περιοχών που καλύπτουν μεγάλο εύρος πλάτους και μικρό εύρος μήκους αλλά χρησιμοποιείται με ικανοποιητική ακρίβεια και για χαρτογράφηση περιοχών που καλύπτουν και σημαντικό εύρος μήκους. 5. Γενικά χαρακτηριστικά επίπεδων προβολών Στις επίπεδες ή αζιμουθιακές προβολές τα σημεία της επιφάνειας της σφαίρας απεικονίζονται απ ευθείας σε ένα εφαπτόμενο στη σφαίρα επίπεδο, χωρίς ενδιάμεση απεικόνιση σε άλλη αναπτυκτή σε επίπεδο επιφάνεια κυλινδρική, ή κωνική) Ανάλογα με τη θέση του σημείου από το οποίο γίνεται η προβολή των σημείων της σφαίρας στο επίπεδο (Σχ. 1.28,) οι επίπεδες ή αζιμουθιακές προβολές διακρίνονται στις επόμενες βασικές κατηγορίες: 1-29

32 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" 30 Γνωμονική προβολή. Στην προβολή αυτή (Σχ. 1.1α και Σχ. 1.6γ), τα σημεία της επιφάνειας της σφαίρας προβάλλονται στο εφαπτόμενο στη σφαίρα επίπεδο από το κέντρο της σφαίρας (κεντρική προβολή). Στερεογραφική προβολή. Στην προβολή αυτή (Σχ. 1.1β και Σχ. 1.29), τα σημεία της επιφάνειας της σφαίρας προβάλλονται στο εφαπτόμενο στη σφαίρα επίπεδο από το αντιδιαμετρικό του σημείου επαφής του επιπέδου (κεντρική προβολή). Ορθογραφική προβολή. Στην προβολή αυτή (Σχ. 1.30), τα σημεία της επιφάνειας της σφαίρας προβάλλονται στο επίπεδο σε διεύθυνση κάθετη προς το επίπεδο (ορθή προβολή). Σχήμα 1.28: Γνωμονική, Στερεογραφική και Ορθογραφική Προβολή Ανάλογα με τη θέση του σημείου της σφαίρας στ οποίο εφάπτεται το επίπεδο, ή ισοδύναμα, ανάλογα με τη θέση του άξονα της γης ως προς το επίπεδο προβολής, οι αζιμουθιακές προβολές διακρίνονται σε: Πολικές αζιμουθιακές προβολές. Στις πολικές αζιμουθιακές προβολές (Σχ. 1.1γ), το επίπεδο εφάπτεται σε έναν πόλο (είναι κάθετο στον άξονα της γης). Στην περίπτωση αυτή οι παράλληλοι απεικονίζονται ως ομόκεντροι κύκλοι με κέντρο τον πόλο και οι μεσημβρινοί ως ευθείες συγκλίνουσες στον πόλο. Στο σχήμα 1.31 φαίνεται ένα παράδειγμα πολικής γνωμονικής προβολής. Ισημερινές αζιμουθιακές προβολές. Στις ισημερινές αζιμουθιακές προβολές το επίπεδο εφάπτεται σε ένα σημείο του ισημερινού (είναι παράλληλο στον άξονα της γης). Στην περίπτωση αυτή απεικονίζονται ως κάθετες ευθείες ο ισημερινός και ο μεσημβρινός που διέρχεται από το σημείο επαφής του επιπέδου με τη σφαίρα. Παραδείγματα ισημερινών αζιμουθια- 1-30

33 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" 31 κών προβολών φαίνονται στο σχήμα 1.29 (ισημερινή στερεογραφική προβολή), στο σχήμα 1.30 (ισημερινή ορθογραφική προβολή) και στο σχήμα 1.32 (ισημερινή γνωμονική προβολή). Πλάγιες αζιμουθιακές προβολές. Στις πλάγιες αζιμουθιακές προβολές το επίπεδο εφάπτεται σε σημείο διαφορετικό από τους πόλους ή τον ισημερινό. Στην περίπτωση αυτή οι ευθείες που διέρχονται από το σημείο επαφής παριστούν μέγιστους κύκλους, ενώ ομόκεντροι κύκλοι με κέντρο το σημείο επαφής απεικονίζουν σημεία που έχουν την ίδια απόσταση από αυτό. Στο σχήμα 1.6γ φαίνεται ένα παράδειγμα πλάγιας γνωμονικής προβολής. Σχήμα 1.29: Στερεογραφική Ισημερινή Προβολή Σχήμα 1.30: Ορθογραφική Ισημερινή Προβολή 1-31

34 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" 32 Σχήμα 1.31: Χάρτης Πολικής Γνωμονικής Προβολής Σχήμα 1.32: Χάρτης Ισημερινής Γνωμονικής Προβολής 1-32

ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ

ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΝΑΥΤΙΛΙΑ Καθηγητής Δρ. Α. Παλληκάρης ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ Νοέμβριος 2016 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗΣ ΤΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΤΗΣ ΓΗΣ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΟ (ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΧΑΡΤΩΝ)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1: ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ : Ι. ΖΑΧΑΡΙΑΣ ΑΓΡΙΝΙΟ, 2015 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ

ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ Ενότητα 10: Προβολικά Συστήματα (Μέρος 2 ο ) Νικολακόπουλος Κωνσταντίνος, Επίκουρος Καθηγητής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Αρχές των απεικονίσεων - προβολών Αναπτυκτές επιφάνειες και ο προσανατολισμός τους

Κεφάλαιο Αρχές των απεικονίσεων - προβολών Αναπτυκτές επιφάνειες και ο προσανατολισμός τους Κεφάλαιο 2 Σύνοψη Οι απεικονίσεις στη χαρτογραφία αναφέρονται στην προβολή ή απεικόνιση της επιφάνειας αναφοράς, δηλαδή, του ελλειψοειδούς εκ περιστροφής (ή της σφαίρας) στο επίπεδο στο επίπεδο του χάρτη.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΣΧΗΜΑ ΚΑΙ ΤΟ ΜΕΓΕΘΟΣ ΤΗΣ ΓΗΣ

ΤΟ ΣΧΗΜΑ ΚΑΙ ΤΟ ΜΕΓΕΘΟΣ ΤΗΣ ΓΗΣ ΤΟ ΣΧΗΜΑ ΚΑΙ ΤΟ ΜΕΓΕΘΟΣ ΤΗΣ ΓΗΣ Χαρτογραφία Ι 1 Το σχήμα και το μέγεθος της Γης [Ι] Σφαιρική Γη Πυθαγόρεια & Αριστοτέλεια αντίληψη παρατηρήσεις φυσικών φαινομένων Ομαλότητα γεωμετρικού σχήματος (Διάμετρος

Διαβάστε περισσότερα

ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ

ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ Χαρτογραφία Ι 1 ΤΡΟΠΟΙ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΗΣΗΣ: ΥΔΡΟΓΕΙΟΣ Πλεονεκτήματα: Διατήρηση σχετικών αποστάσεων, γωνιών, εμβαδών, αζιμουθίων, μέγιστων κύκλων, λοξοδρομιών Μειονεκτήματα: Είναι δαπανηρές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 2008 ( ΠΡΟΚΗΡΥΞΗ 4Π /2008) ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Κλάδος-Ειδικότητα: ΠΕ 18.23 ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ (ΠΛΟΙΑΡΧΟΙ) ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Γνωστικό αντικείμενο:

Διαβάστε περισσότερα

ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑ. Στοιχεία χαρτογραφίας Σύστηµα γεωγραφικών συντεταγµένων

ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑ. Στοιχεία χαρτογραφίας Σύστηµα γεωγραφικών συντεταγµένων ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑ Στοιχεία χαρτογραφίας Σύστηµα γεωγραφικών συντεταγµένων ρ. Ε. Λυκούδη Αθήνα 2005 Χώρος Η ανάπτυξη της ικανότητας της αντίληψης του χώρου, ως προς τις διαστάσεις του και το περιεχόµενό του είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ-2 (ο χάρτης)

ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ-2 (ο χάρτης) ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ-2 (ο χάρτης) Ο χάρτης ως υπόβαθρο των ΓΣΠ Tα ΓΣΠ βασίζονται στη διαχείριση πληροφοριών που έχουν άμεση σχέση με το γεωγραφικό χώρο, περιέχουν δηλαδή δεδομένα με γεωγραφική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. 6 Χαρτογραφικές προβολές-προβολικά συστήματα συντεταγμένων

Κεφάλαιο 6. 6 Χαρτογραφικές προβολές-προβολικά συστήματα συντεταγμένων Κεφάλαιο 6 6 Χαρτογραφικές προβολές-προβολικά συστήματα συντεταγμένων Για να παράξουμε ένα χάρτη πρέπει να χρησιμοποιήσουμε μία χαρτογραφική προβολή. Ως χαρτογραφική προβολή ονομάζουμε οποιοδήποτε μετασχηματισμό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 Ο ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ Δρ. ΜΑΡΙΑ ΦΕΡΕΝΤΙΝΟΥ 2008-2009

ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 Ο ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ Δρ. ΜΑΡΙΑ ΦΕΡΕΝΤΙΝΟΥ 2008-2009 ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 Ο ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ Δρ. ΜΑΡΙΑ ΦΕΡΕΝΤΙΝΟΥ 2008-2009 Τοπογραφικοί Χάρτες Περίγραμμα - Ορισμοί - Χαρακτηριστικά Στοιχεία - Ισοϋψείς Καμπύλες - Κατασκευή τοπογραφικής τομής

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Συντεταγμένων

Συστήματα Συντεταγμένων Σφαιρικό Σύστημα Συντεταγμένων DD = Degrees + ( Minutes / 60 ) + ( Seconds / 3600 ) Greenwich meridian =0 Z N Meridian of longitude Parallel of latitude P X W O Equator =0 R E - Geographic longitude -

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια της ζήτησης για την έννοια του χάρτη Βασικά συστατικά των χαρτών (συνέχεια)

Συνέχεια της ζήτησης για την έννοια του χάρτη Βασικά συστατικά των χαρτών (συνέχεια) Τµήµα Αρχιτεκτόνων Μηχανικών ΜΕ801 Χαρτογραφία 1 Μάθηµα επιλογής χειµερινού εξαµήνου Πάτρα, 2016 Συνέχεια της ζήτησης για την έννοια του χάρτη Βασικά συστατικά των χαρτών (συνέχεια) Βασίλης Παππάς, Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Τηλεπισκόπηση - Φωτοερμηνεία

Τηλεπισκόπηση - Φωτοερμηνεία ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ Τηλεπισκόπηση - Φωτοερμηνεία Ενότητα 8: Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Γεωμετρικές Διορθώσεις. Κωνσταντίνος Περάκης Ιωάννης Φαρασλής Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας και Περιφερειακής

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑΣ ΟΡΟΙ-ΕΝΝΟΙΕΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 / Η ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑ ΣΗΜΕΡΑ Αναλογική χαρτογραφία Λειτουργίες του χάρτη Ψηφιακή χαρτογραφία

ΣΤΟΙΧΕΙΑΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑΣ ΟΡΟΙ-ΕΝΝΟΙΕΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 / Η ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑ ΣΗΜΕΡΑ Αναλογική χαρτογραφία Λειτουργίες του χάρτη Ψηφιακή χαρτογραφία ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 / Η ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑ ΣΗΜΕΡΑ Αναλογική χαρτογραφία Λειτουργίες του χάρτη Ψηφιακή χαρτογραφία ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 / Η ΦΥΣΗ ΤΗΣ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑΣ Αποτελεσµατικότητα χαρτών Ταξινόµηση χαρτών Χάρτης, βασικά χαρακτηριστικά,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΝΑΥΤΙΚΗ ΚΑΙ ΘΑΛΑΣΣΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΜΑΘΗΜΑ: ΘΑΛΑΣΣΙΟΣ ΕΝΤΟΠΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΠΛΟΗΓΗΣΗ

ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΝΑΥΤΙΚΗ ΚΑΙ ΘΑΛΑΣΣΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΜΑΘΗΜΑ: ΘΑΛΑΣΣΙΟΣ ΕΝΤΟΠΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΠΛΟΗΓΗΣΗ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΝΑΥΤΙΚΗ ΚΑΙ ΘΑΛΑΣΣΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΜΑΘΗΜΑ: ΘΑΛΑΣΣΙΟΣ ΕΝΤΟΠΙΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. 5 Συστήματα συντεταγμένων

Κεφάλαιο 5. 5 Συστήματα συντεταγμένων Κεφάλαιο 5 5 Συστήματα συντεταγμένων Στις Γεωεπιστήμες η μορφή της γήινης επιφάνειας προσομοιώνεται από μια επιφάνεια, που ονομάζεται γεωειδές. Το γεωειδές είναι μια ισοδυναμική επιφάνεια του βαρυτικού

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΚΑΙ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΗΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ

ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΚΑΙ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΗΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΚΑΙ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΗΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΜΑΘΗΜΑ 6 Ο ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑ: Είναι η επιστήμη που ασχολείται με την απεικόνιση μιας γεωγραφικής ενότητας σε ένα χαρτί

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 1 0. Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 1 0. Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 1 0 Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής Γεωδαισία Μοιράζω τη γη (Γη + δαίομαι) Ακριβής Έννοια: Διαίρεση, διανομή /μέτρηση της Γής. Αντικείμενο της γεωδαισίας: Ο προσδιορισμός της μορφής, του

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ B ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 2005 ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Κλάδος-Ειδικότητα: ΠΕ 1861 ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ (ΠΛΟΙΑΡΧΟΙ) ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Χαρτογραφικές απεικονίσεις - προβολές Ορθές κυλινδρικές απεικονίσεις Ορθή κυλινδρική ισαπέχουσα προβολή

Κεφάλαιο Χαρτογραφικές απεικονίσεις - προβολές Ορθές κυλινδρικές απεικονίσεις Ορθή κυλινδρική ισαπέχουσα προβολή Κεφάλαιο 3 Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό, γίνεται παρουσίαση των σημαντικότερων απεικονίσεων - προβολών που χρησιμοποιούνται για την απεικόνιση της επιφάνειας ενός ελλειψοειδούς εκ περιστροφής (ή μιας σφαίρας)

Διαβάστε περισσότερα

Βελτιωμένες Μέθοδοι Επίλυσης Θεμελιωδών Προβλημάτων Ναυσιπλοΐας

Βελτιωμένες Μέθοδοι Επίλυσης Θεμελιωδών Προβλημάτων Ναυσιπλοΐας Βελτιωμένες Μέθοδοι Επίλυσης Θεμελιωδών Προβλημάτων Ναυσιπλοΐας Αθανάσιος Ηλ. Παλληκάρης Ανάτυπο από την έκδοση: Nausivios Chora, A Journal in Naval Science and Technology ISSN: 1791-4469, Hellenic Naval

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΟΛΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΡΙΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ

ΠΡΟΒΟΛΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΡΙΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΠΡΟΒΟΛΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΡΙΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ Σημειώσεις στα πλαίσια του μαθήματος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑ του μεταπτυχιακού κύκλου σπουδών «Γεωγραφία & Περιβάλλον» Καθ. Βαϊόπουλος Δημήτριος Δρ.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Εισαγωγή

ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Εισαγωγή ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Εισαγωγή Η προβολή τρισδιάστατου αντικειμένου πάνω σε δισδιάστατη επιφάνεια αποτέλεσε μια από τις βασικές αναζητήσεις μεθόδων απεικόνισης και απασχόλησε από πολύ παλιά τους ανθρώπους. Με την

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π.

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 04) Ε.Μ.Π. (παρατηρήσεις για τη βελτίωση των σημειώσεων ευπρόσδεκτες) Παράσταση σημείου. Σχήμα Σχήμα

Διαβάστε περισσότερα

Επειδή ο μεσημβρινός τέμνει ξανά τον παράλληλο σε αντιδιαμετρικό του σημείο θα θεωρούμε μεσημβρινό το ημικύκλιο και όχι ολόκληρο τον κύκλο.

Επειδή ο μεσημβρινός τέμνει ξανά τον παράλληλο σε αντιδιαμετρικό του σημείο θα θεωρούμε μεσημβρινό το ημικύκλιο και όχι ολόκληρο τον κύκλο. ΝΑΥΣΙΠΛΟΪΑ Η ιστιοπλοΐα ανοιχτής θαλάσσης δεν διαφέρει στα βασικά από την ιστιοπλοΐα τριγώνου η οποία γίνεται με μικρά σκάφη καi σε προκαθορισμένο στίβο. Όταν όμως αφήνουμε την ακτή και ανοιγόμαστε στο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ 4η παρουσίαση

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ 4η παρουσίαση ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ 4η παρουσίαση Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ 4ο εξάμηνο http://eclass.survey.teiath.gr Παρουσιάσεις, Ασκήσεις, Σημειώσεις ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1. Ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

Στην στερεογραφική προβολή δεν μπορούν να μετρηθούν αποστάσεις αλλά μόνο γωνιώδεις σχέσεις.

Στην στερεογραφική προβολή δεν μπορούν να μετρηθούν αποστάσεις αλλά μόνο γωνιώδεις σχέσεις. ΔΙΚΤΥΑ SCHMIDT Στερεογραφική προβολή Η στερεογραφική προβολή είναι μια μέθοδος που προσφέρει το πλεονέκτημα της ταχύτατης λύσης προβλημάτων που λύνονται πολύπλοκα με άλλες μεθόδους. Με την στερεογραφική

Διαβάστε περισσότερα

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Εισαγωγή Η μελέτη της έλλειψης, της παραβολής και της υπερβολής από τους Αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς φαίνεται ότι είχε αφετηρία τη σχέση αυτών των καμπύλων με ορισμένα προβλήματα γεωμετρικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Βασικές έννοιες χαρτογραφικών προβολών Το σχήμα της Γης

Κεφάλαιο Βασικές έννοιες χαρτογραφικών προβολών Το σχήμα της Γης Κεφάλαιο 1 Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό εισάγονται οι βασικές έννοιες που διέπουν τις χαρτογραφικές προβολές. Αρχικά ορίζονται οι επιφάνειες που προσομοιώνουν την επιφάνεια της Γης για τις ανάγκες της Χαρτογραφίας.

Διαβάστε περισσότερα

1o ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΩΚΕΑΝΩΝ» Χάρτες: Προσδιορισμός θέσης

1o ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΩΚΕΑΝΩΝ» Χάρτες: Προσδιορισμός θέσης 1o ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΩΚΕΑΝΩΝ» Χάρτες: Προσδιορισμός θέσης Απαραίτητο όλων των ωκεανογραφικών ερευνών και μελετών Προσδιορισμός θέσης & πλοήγηση σκάφους Σε αυτό το εργαστήριο.. Τι περιλαμβάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΑΠΟΡΡΟΗΣ ΤΩΝ ΟΜΒΡΙΩΝ ΣΕ ΚΡΙΣΙΜΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΤΩΝ ΟΔΙΚΩΝ ΧΑΡΑΞΕΩΝ

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΑΠΟΡΡΟΗΣ ΤΩΝ ΟΜΒΡΙΩΝ ΣΕ ΚΡΙΣΙΜΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΤΩΝ ΟΔΙΚΩΝ ΧΑΡΑΞΕΩΝ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΑΠΟΡΡΟΗΣ ΤΩΝ ΟΜΒΡΙΩΝ ΣΕ ΚΡΙΣΙΜΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΤΩΝ ΟΔΙΚΩΝ ΧΑΡΑΞΕΩΝ Ν. Ε. Ηλιού Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήματος Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστημίου Θεσσαλίας Γ. Δ.

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Παραβολής

Μεθοδολογία Παραβολής Μεθοδολογία Παραβολής Παραβολή είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από μια σταθερή ευθεία, την επονομαζόμενη διευθετούσα (δ), και από ένα σταθερό σημείο Ε που λέγεται εστία της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑΣ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 / Η ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑ ΣΗΜΕΡΑ 1. Σε τί διαφέρουν η ψηφιακή χαρτογραφία και η αναλογική χαρτογραφία; 2. Ποιές λειτουργίες επιτελεί ο χάρτης; 3. Ποιά προϊόντα παρέχει η ψηφιακή χαρτογραφία και ποιές

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Η πρώτη οθόνη μετά την εκτέλεση του προγράμματος διαφέρει κάπως από τα προηγούμενα λογισμικά, αν και έχει αρκετά κοινά στοιχεία. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ. Γενικές αρχές και έννοιες

ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ. Γενικές αρχές και έννοιες ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ Γενικές αρχές και έννοιες Στο σύστημα προβολής κατά Monge δεν μας δίνεται η δυνατότητα ν αντιληφθούμε άμεσα τα αντικείμενα του χώρου, παρά μόνο αφού συνδυάσουμε τις δύο προβολές του αντικειμένου

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή. Γεωμετρικός Πυρήνας Παραμετρική Σχεδίαση

Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή. Γεωμετρικός Πυρήνας Παραμετρική Σχεδίαση Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή Γεωμετρικός Πυρήνας Παραμετρική Σχεδίαση Παραμετρική σχεδίαση Παραμετρικό αντικείμενο (2D σχήμα/3d στερεό) ονομάζουμε το αντικείμενο του οποίου η (γεωμετρική)

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Έλλειψης

Μεθοδολογία Έλλειψης Μεθοδολογία Έλλειψης Έλλειψη ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων, των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία Ε και Ε είναι σταθερό και μεγαλύτερο από την απόσταση (ΕΕ ). Στη Φύση

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία και εµβαδόν πρίσµατος και κυλίνδρου. ρ. Σ.Πατσιοµίτου

Στοιχεία και εµβαδόν πρίσµατος και κυλίνδρου. ρ. Σ.Πατσιοµίτου Στοιχεία και εµβαδόν πρίσµατος και κυλίνδρου ρ. Σ.Πατσιοµίτου Το ορθό πρίσµα και τα στοιχεία του Στη Στερεοµετρία τα παρακάτω στερεά σώµατα ονοµάζονται ορθά πρίσµατα. Οι δύο παράλληλες έδρες του λέγονταιβάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Άλλοι χάρτες λαμβάνουν υπόψη και το υψόμετρο του αντικειμένου σε σχέση με ένα επίπεδο αναφοράς

Άλλοι χάρτες λαμβάνουν υπόψη και το υψόμετρο του αντικειμένου σε σχέση με ένα επίπεδο αναφοράς ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ Ένας χάρτης είναι ένας τρόπος αναπαράστασης της πραγματικής θέσης ενός αντικειμένου ή αντικειμένων σε μια τεχνητά δημιουργουμένη επιφάνεια δύο διαστάσεων Πολλοί χάρτες (π.χ. χάρτες

Διαβάστε περισσότερα

Χαριτωμένη Καβουρτζικλή (ΑΕΜ: 2738)

Χαριτωμένη Καβουρτζικλή (ΑΕΜ: 2738) ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ Το μαθηματικό λογισμικό GeoGebra ως αρωγός για τη λύση προβλημάτων γεωμετρικών κατασκευών Χαριτωμένη Καβουρτζικλή (ΑΕΜ: 2738) Επιβλέπων Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΚΕΝΤΡΟΥ ΑΝΤΩΣΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΚΕΝΤΡΟΥ ΛΟΓΩ ΕΓΚΑΡΣΙΑΣ ΚΛΙΣΗΣ

Κεφάλαιο 4 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΚΕΝΤΡΟΥ ΑΝΤΩΣΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΚΕΝΤΡΟΥ ΛΟΓΩ ΕΓΚΑΡΣΙΑΣ ΚΛΙΣΗΣ Κεφάλαιο 4 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΚΕΝΤΡΟΥ ΑΝΤΩΣΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΚΕΝΤΡΟΥ ΛΟΓΩ ΕΓΚΑΡΣΙΑΣ ΚΛΙΣΗΣ Σύνοψη Αυτό το κεφάλαιο έχει επίσης επαναληπτικό χαρακτήρα. Σε πρώτο στάδιο διερευνάται η μορφή της καμπύλης την οποία γράφει το

Διαβάστε περισσότερα

Καθορισμός του μηχανισμού γένεσης

Καθορισμός του μηχανισμού γένεσης Καθορισμός του μηχανισμού γένεσης Σκοπός Σκοπός της άσκησης αυτής είναι ο καθορισμός του μηχανισμού γένεσης ενός σεισμού με βάση τις πρώτες αποκλίσεις των επιμήκων κυμάτων όπως αυτές καταγράφονται στους

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑ

ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑ ΒΥΡΩΝΑΣ ΝΑΚΟΣ ΑΘΗΝΑ 6 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Περιεχόμενα ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ i vii ΜΕΡΟΣ Α ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1 ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΑΝΑΓΛΥΦΟ Το προοπτικό ανάγλυφο, όπως το επίπεδο προοπτικό, η στερεοσκοπική εικόνα κ.λπ. είναι τρόποι παρουσίασης και απεικόνισης των αρχιτεκτονικών συνθέσεων. Το προοπτικό ανάγλυφο είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ ΜΕΣΩ ΑΝΑΚΛΑΣΕΩΝ ΣΕ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ.

ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ ΜΕΣΩ ΑΝΑΚΛΑΣΕΩΝ ΣΕ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ. ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ ΜΕΣΩ ΑΝΑΚΛΑΣΕΩΝ ΣΕ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ. Πρόκειται για εικόνες τις οποίες μπορούμε να παρατηρήσουμε χρησιμοποιώντας κατάλληλες ανακλαστικές επιφάνειες, οι οποίες συνήθως είναι κωνικές ή κυλινδρικές

Διαβάστε περισσότερα

5 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

5 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ SECTIN 1 5 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 5.1 Σε δύο ιαστάσεις Συστήµατα συντεταγµένων Για να καθοριστεί η θέση, το σχήµα και η κίνηση των σωµάτων στο χώρο (που θεωρείται Ευκλείδειος, δηλαδή µε θετική απόσταση µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου.

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Τυπολόγιο Μαθηματικών Πρόλογος Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Π ε ρ ι ε χ ό μ ε ν α Λυκείου Άλγεβρα 001 018 Γεωμετρία 019

Διαβάστε περισσότερα

ΒΥΡΩΝΑΣ ΝΑΚΟΣ Καθηγητής Ε.Μ.Π. Αναλυτική Χαρτογραφία

ΒΥΡΩΝΑΣ ΝΑΚΟΣ Καθηγητής Ε.Μ.Π. Αναλυτική Χαρτογραφία ΒΥΡΩΝΑΣ ΝΑΚΟΣ Καθηγητής Ε.Μ.Π. Αναλυτική Χαρτογραφία Αναλυτική Χαρτογραφία Συγγραφή Βύρωνας Νάκος Κριτικός αναγνώστης Λύσανδρος Τσούλος Συντελεστές έκδοσης Γλωσσική Επιμέλεια: Βύρωνας Νάκος Γραφιστική

Διαβάστε περισσότερα

Σχολή Ναυτικών Δοκίμων

Σχολή Ναυτικών Δοκίμων Σχολή Ναυτικών Δοκίμων ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΝΑΥΤΙΛΙΑ και ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Καθηγητής Α. Παλληκάρης Θεματική Ενότητα: Βασικές αρχές γεωδαισίας. Σχήμα και μέγεθος της Γης, Γεωδαιτικά Συστήματα Αναφοράς (Datums), Συστήματα

Διαβάστε περισσότερα

14 η εβδομάδα (26/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 28, 29 και 30. Έγινε επανάληψη στη Θεωρία Καμπυλών και στη Θεωρία Επιφανειών.

14 η εβδομάδα (26/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 28, 29 και 30. Έγινε επανάληψη στη Θεωρία Καμπυλών και στη Θεωρία Επιφανειών. 14 η εβδομάδα (26/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 28, 29 και 30. Έγινε επανάληψη στη Θεωρία Καμπυλών και στη Θεωρία Επιφανειών. 13 η εβδομάδα (16/01/2017 & 19/01/2017) Ασυμπτωτική διεύθυνση και ασυμπτωτικό

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ 1 ΛΕΞΙΚΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΟΡΩΝ Α Ακτίνιο Ακτίνα κύκλου Ακτίνα σφαίρας Άκρα ευθύγραµµου τµήµατος Αµβλεία γωνία Αµβλυγώνιο Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα Αντιδιαµετρικό σηµείο Αντικείµενες ηµιευθείες Άξονας συµµετρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΝΑΥΣΙΠΛΟΪΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ

ΝΑΥΣΙΠΛΟΪΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΝΑΥΣΙΠΛΟΪΑ 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ α. Τι είναι έξαρμα του πόλου υπέρ τον ορίζοντα και γιατί ενδιαφέρει τον ναυτιλλόμενο. β. Να ορίσετε τα είδη των αστέρων (αειφανείς, αφανείς και Αμφιφανείς)και να γράψετε τις συνθήκες

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

Βελτιωµένες Μέθοδοι Επίλυσης Θεµελιωδών Προβληµάτων Ναυσιπλοΐας

Βελτιωµένες Μέθοδοι Επίλυσης Θεµελιωδών Προβληµάτων Ναυσιπλοΐας PaperID: NCH-00-A3, Nausivios Chora 00, Copyright 006-00: Hellenic Naval Academy Βελτιωµένες Μέθοδοι Επίλυσης Θεµελιωδών Προβληµάτων Ναυσιπλοΐας Αθανάσιος Ηλ. Παλληκάρης Σχολή Ναυτικών οκίµων. Εργαστήριο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Π. ΣΑΒΒΑΪΔΗΣ, ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝΩ Α.Π.Θ

Π. ΣΑΒΒΑΪΔΗΣ, ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝΩ Α.Π.Θ Π. ΣΑΒΒΑΪΔΗΣ, ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝΩ Α.Π.Θ Ο χάρτης ως υπόβαθρο των ΓΣΠ Tα ΓΣΠ βασίζονται στη διαχείριση πληροφοριών που έχουν άμεση σχέση με το γεωγραφικό χώρο, περιέχουν δηλαδή δεδομένα

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΚΩΝΙΚΕ ΤΟΜΕ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ 1. Να σημειώσετε το σωστό () ή το λάθος () στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1. Η εξίσωση + = α (α > 0) παριστάνει κύκλο.. Η εξίσωση + + κ + λ = 0 µε κ, λ 0 παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Α. Υπολογισμός της θέσης του κέντρου μάζας συστημάτων που αποτελούνται από απλά διακριτά μέρη. Τα απλά διακριτά

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑ ΙΙΙ. Διδακτικές σημειώσεις. Δρ. Συμεών Κατσουγιαννόπουλος Διπλ. ΑΤΜ, MSc Γεωπληροφορική ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑ ΙΙΙ. Διδακτικές σημειώσεις. Δρ. Συμεών Κατσουγιαννόπουλος Διπλ. ΑΤΜ, MSc Γεωπληροφορική ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑ ΙΙΙ Διδακτικές σημειώσεις Δρ. Συμεών Κατσουγιαννόπουλος Διπλ. ΑΤΜ MSc Γεωπληροφορική

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ: 1. ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ: 1. ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2 ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ: 1. ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Απόστολος Ντάνης. Σχολικός Σύμβουλος Φυσικής Αγωγής

Δρ. Απόστολος Ντάνης. Σχολικός Σύμβουλος Φυσικής Αγωγής Δρ. Απόστολος Ντάνης Σχολικός Σύμβουλος Φυσικής Αγωγής *Βασικές μορφές προσανατολισμού *Προσανατολισμός με τα ορατά σημεία προορισμού στη φύση *Προσανατολισμός με τον ήλιο *Προσανατολισμός από τη σελήνη

Διαβάστε περισσότερα

9/3/2014. Εισαγωγή ορισμοί. Χαρτογραφία. Αυτό οφείλεται πρώτα στη σημαντική συνεισφορά στις διαδικασίες της κατασκευής χαρτών πολλών επιστημών

9/3/2014. Εισαγωγή ορισμοί. Χαρτογραφία. Αυτό οφείλεται πρώτα στη σημαντική συνεισφορά στις διαδικασίες της κατασκευής χαρτών πολλών επιστημών Εισαγωγή ορισμοί Χαρτογραφία Αυτό οφείλεται πρώτα στη σημαντική συνεισφορά στις διαδικασίες της κατασκευής χαρτών πολλών επιστημών Διάλεξη 4 ΧΑΡΤΕΣ -DATUMs καθώς επίσης και στην χρησιμοποίηση αυτών από

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΣΧΗΜΑ ΤΗΣ ΓΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ

ΤΟ ΣΧΗΜΑ ΤΗΣ ΓΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ ΤΟ ΣΧΗΜΑ ΤΗΣ ΓΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ Το Σχήµα και το Μέγεθος της Γης Η υσική επιάνεια της γης χαρακτηρίζεται από ένα ακανόνιστο σχήµα µε µεγάλες εδαικές εξάρσεις (Σχήµα 1). Οι κορυές των ορέων τάνουν µέχρι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο

Διαβάστε περισσότερα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα Πανεπιστηµιο Ιωαννινων σχολη θετικων επιστηµων τµηµα µαθηµατικων τοµεας αλγεβρας και γεωµετριας αναλυτικη γεωµετρια διδασκων : χρηστος κ. τατακης υποδειξεις λυσεων των θεµατων της 7.06.016 ΘΕΜΑ 1. µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΕΙΔΗ ΓΡΑΜΜΩΝ, ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ, ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ, ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΕΙΔΗ ΓΡΑΜΜΩΝ, ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ, ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ, ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΕΙΔΗ ΓΡΑΜΜΩΝ, ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ, ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ, ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Εκτίμηση και μέτρηση Μ3.6 Εκτιμούν, μετρούν, ταξινομούν και κατασκευάζουν γωνίες (με ή χωρίς τη χρήση της

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 3 1.1 Γενικά.......................... 3 1.2 Ορισµοί......................... 4 1.3 Στοιχειώδεις Πράξεις Μεταξύ ιανυσµάτων....... 8 1.3.1 Γινόµενο Αριθµού επί ιάνυσµα.........

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΛΙΝ ΡΟΣ 1. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΥΛΙΝ ΡΟΥ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΕΠΙΠΕ ΕΣ ΤΟΜΕΣ - ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ- ΣΚΙΕΣ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΚΥΛΙΝ ΡΟΣ 1. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΥΛΙΝ ΡΟΥ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΕΠΙΠΕ ΕΣ ΤΟΜΕΣ - ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ- ΣΚΙΕΣ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΚΥΛΙΝ ΡΟΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΕΠΙΠΕ ΕΣ ΤΟΜΕΣ - ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ- ΣΚΙΕΣ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Σχήµα 1 1. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΥΛΙΝ ΡΟΥ Η κυλινδρική επιφάνεια ή κύλινδρος, προκύπτει από τις διαδοχικές θέσεις µιας ευθείας α, (γενέτειρα) η

Διαβάστε περισσότερα

Πρόχειρες Σημειώσεις

Πρόχειρες Σημειώσεις Πρόχειρες Σημειώσεις ΛΕΠΤΟΤΟΙΧΑ ΔΟΧΕΙΑ ΠΙΕΣΗΣ Τα λεπτότοιχα δοχεία πίεσης μπορεί να είναι κυλινδρικά, σφαιρικά ή κωνικά και υπόκεινται σε εσωτερική ή εξωτερική πίεση από αέριο ή υγρό. Θα ασχοληθούμε μόνο

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανισµοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασµό Μηχανών Ακαδηµαϊκό έτος: Ε.Μ.Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 3.

Μηχανισµοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασµό Μηχανών Ακαδηµαϊκό έτος: Ε.Μ.Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 3. ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ - 3.1 - Cpright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 2012. Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. All rights reserved. Απαγορεύεται

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Υπερβολής

Μεθοδολογία Υπερβολής Μεθοδολογία Υπερβολής Υπερβολή ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων, των οποίων η απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία Ε και Ε είναι σταθερή και μικρότερη από την απόσταση

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνικά Προβολικά Συστήματα και Μετασχηματισμοί σε χάρτες και διαγράμματα που αξιοποιούνται στην Πολεοδομία και Χωροταξία.

Ελληνικά Προβολικά Συστήματα και Μετασχηματισμοί σε χάρτες και διαγράμματα που αξιοποιούνται στην Πολεοδομία και Χωροταξία. ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας και Ανάπτυξης Ελληνικά Προβολικά Συστήματα και Μετασχηματισμοί σε χάρτες και διαγράμματα που αξιοποιούνται στην Πολεοδομία

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Η συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Η συνάρτηση y = αχ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η συνάρτηση y = αχ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y = α + β + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΥΨΕΙΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ- ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΙΣΟΥΨΕΙΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ- ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 16_10_2012 ΙΣΟΥΨΕΙΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ- ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 2.1 Απεικόνιση του ανάγλυφου Μια εδαφική περιοχή αποτελείται από εξέχουσες και εισέχουσες εδαφικές μορφές. Τα εξέχοντα εδαφικά τμήματα βρίσκονται μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Tοπογραφικά Σύμβολα. Περιγραφή Χάρτη. Συνήθως στους χάρτες υπάρχει υπόμνημα με τα σύμβολα που χρησιμοποιούνται. Τα πιο συνηθισμένα είναι τα εξής:

Tοπογραφικά Σύμβολα. Περιγραφή Χάρτη. Συνήθως στους χάρτες υπάρχει υπόμνημα με τα σύμβολα που χρησιμοποιούνται. Τα πιο συνηθισμένα είναι τα εξής: Tοπογραφικά Σύμβολα Συνήθως στους χάρτες υπάρχει υπόμνημα με τα σύμβολα που χρησιμοποιούνται. Τα πιο συνηθισμένα είναι τα εξής: Κεντρική Αρτηρία Ρέμα Δευτερεύουσα Αρτηρία Πηγάδι Χωματόδρομος Πηγή Μονοπάτι

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ Επιμέλεια: Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Σχολικό Έτος: 016-017 Μαθηματικός Περιηγητής:

Διαβάστε περισσότερα

Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 2013-2014 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ

Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 2013-2014 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 1-14 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ 1. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y = e ημ + ln. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y = τοξημ( ) d y y = ημ θ. Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

τ και τ' οι ημιπερίμετροι των βάσεων, Β και β τα εμβαδά των βάσεων, υ το ύψος και υ' το παράπλευρο ύψος της πυραμίδας.

τ και τ' οι ημιπερίμετροι των βάσεων, Β και β τα εμβαδά των βάσεων, υ το ύψος και υ' το παράπλευρο ύψος της πυραμίδας. ΣΤΕΡΕΑ ΜΑΘΗΜΑ 12 ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ 1. Αν τυχαία πυραμίδα τμηθεί με επίπεδο παράλληλο στη βάση της, έχουμε: KA/KA' = KB/KB' = ΚΓ/ΚΓ' = ΚΗ/Κ'Η' = λ και ΑΒΓ Α'Β'Γ' με λόγο ομοιότητας λ. 2. Μέτρηση κανονικής πυραμίδας:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΛΟΓΙΚΗΣ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΗΣΗΣ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΛΟΓΙΚΗΣ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΗΣΗΣ Τμήμα Διαχείρισης Περιβάλλοντος και Φυσικών Πόρων Εργαστήριο Οικολογίας & Διαχείρισης της Βιοποικιλότητας ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΛΟΓΙΚΗΣ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΗΣΗΣ Διδάσκων: Καθηγητής Παναγιώτης Δ. Δημόπουλος Επιμέλεια

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Κεφάλαιο Β.05.3: Μέγιστα και Ελάχιστα Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Ενότητα Β.05.3: Μέγιστα

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς.

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς. Μ2 Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς. 1 Σκοπός Η εργαστηριακή αυτή άσκηση αποσκοπεί στη μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας σε ένα τόπο. Αυτή η μέτρηση επιτυγχάνεται

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή. Γεωμετρικός Πυρήνας Προβολικοί Μετασχηματισμοί

Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή. Γεωμετρικός Πυρήνας Προβολικοί Μετασχηματισμοί Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή Γεωμετρικός Πυρήνας Προβολικοί Μετασχηματισμοί Προβολικοί Μετασχηματισμοί Γενικός Ορισμός Μετασχηματισμός των σημείων ενός σημειακού χώρου διάστασης n σε σημεία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΕΡΕΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΤΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΤΟΥ ΡΗΓΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΤΩΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΞΟΝΩΝ

ΣΤΕΡΕΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΤΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΤΟΥ ΡΗΓΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΤΩΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΞΟΝΩΝ ΣΤΕΡΕΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΤΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΤΟΥ ΡΗΓΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΤΩΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΞΟΝΩΝ Σκοπός Σκοπός της άσκησης αυτής είναι η στερεογραφική απεικόνιση του επιπέδου του ρήγματος, καθώς και του βοηθητικού επιπέδου

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΔΙΚΤΥΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΔΙΚΤΥΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΔΙΚΤΥΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο ΠΑΛΙΟ http://eclass.survey.teiath.gr NEO

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ

ΤΕΙ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΤΕΙ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών ΤΕ και Μηχανικών Τοπογραφίας & Γεωπληροφορικής ΤΕ κατεύθυνση Μηχανικών Τοπογραφίας και Γεωπληροφορικής ΤΕ Τοπογραφικά και

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας Κεφάλαιο 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας. Στο Κεφάλαιο αυτό περιέχονται: 5.1 Γωνία διεύθυνσης. 5. Πρώτο θεμελιώδες πρόβλημα. 5.3 εύτερο θεμελιώδες

Διαβάστε περισσότερα

4.5.6 ΡΗΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΑ ΤΜΗΜΑΤΑ 4.5.6.1 Η ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΜΕ ΒΑΡΟΣ 4.5.6.2 ΤΟ ΚΥΚΛΙΚΟ ΤΜΗΜΑ

4.5.6 ΡΗΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΑ ΤΜΗΜΑΤΑ 4.5.6.1 Η ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΜΕ ΒΑΡΟΣ 4.5.6.2 ΤΟ ΚΥΚΛΙΚΟ ΤΜΗΜΑ 4.5.6 ΡΗΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΑ ΤΜΗΜΑΤΑ Ευθείες γραµµές και παραβολικά τµήµατα µπορούν να µοντελοποιηθούν µε τη χρήση κυβικών πολυωνυµικών τµηµάτων. Τα κυκλικά ελλειπτικά ή υπερβολικά τµήµατα όµως προσεγγίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Κεφάλαιο. Για να δημιουργήσουμε τρισδιάστατα αντικείμενα, που μπορούν να παρασταθούν στην οθόνη του υπολογιστή ως ένα σύνολο από γραμμές, επίπεδες πολυγωνικές επιφάνειες ή ακόμη και από ένα συνδυασμό από

Διαβάστε περισσότερα