ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗ ΝΑΥΤΙΛΙΑ ΚΑΙ ΤΙΣ ΝΑΥΤΙΚΕΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΙΣ. Δρ. ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Η. ΠΑΛΛΗΚΑΡΗΣ Αν.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗ ΝΑΥΤΙΛΙΑ ΚΑΙ ΤΙΣ ΝΑΥΤΙΚΕΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΙΣ. Δρ. ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Η. ΠΑΛΛΗΚΑΡΗΣ Αν."

Transcript

1 ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗ ΝΑΥΤΙΛΙΑ ΚΑΙ ΤΙΣ ΝΑΥΤΙΚΕΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΙΣ Δρ. ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Η. ΠΑΛΛΗΚΑΡΗΣ Αν. καθηγητής ΣΝΔ ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2011

2 Απαγορεύεται η αντιγραφή, αποθήκευση και διανομή του παρόντος, εξ ολοκλήρου ή τμήματος αυτού, για εμπορικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανομή για σκοπό µη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσης, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν μήνυμα Ερωτήματα που αφορούν τη χρήση της εργασίας για κερδοσκοπικό σκοπό πρέπει να απευθύνονται προς τον εκδότη. Copyright A. Palikaris

3 1. Εισαγωγή ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΡΟΒΟΛΩΝ 1.1 Ορισμός χαρτογραφικών προβολών. Για την κατασκευή των διαφόρων χαρτών, στους οποίους απεικονίζεται ολόκληρη ή μέρος της επιφάνειας της γης, απαιτείται ο μετασχηματισμός σε επίπεδο της μαθηματικής επιφάνειας της γης (σφαίρας ή ελλειψοειδούς εκ περιστροφής που χρησιμοποιείται για την προσέγγιση της φυσικής επιφάνειας της γης). Οι μέθοδοι μετασχηματισμού σε επίπεδο της επιφάνειας της σφαίρας ή του ελλειψοειδούς εκ περιστροφής (ΕΕΠ) λέγονται χαρτογραφικές προβολές. Όταν η απεικονιζόμενη στο χάρτη περιοχή είναι μικρή και περιορισμένη, όπως π.χ. στην χαρτογράφηση ενός λιμένα, είναι δυνατό να αγνοηθεί η καμπυλότητα της γης και να θεωρηθεί ότι για την περιορισμένη αυτή περιοχή η επιφάνεια του ελλειψοειδούς αναφοράς και του γεωειδούς (μέση στάθμη της θάλασσας) είναι επίπεδη. Στην περίπτωση αυτή η απεικόνιση των σημείων της επιφάνειας της γης στο χάρτη γίνεται με απλές μεθόδους της επίπεδης γεωμετρίας τοπογραφίας. Σε όλες τις άλλες περιπτώσεις, στις οποίες η απεικονιζόμενη στο χάρτη περιοχή είναι μεγαλύτερη, πρέπει οπωσδήποτε να ληφθεί υπόψη η καμπυλότητα της γης και να χρησιμοποιηθεί η κατάλληλη χαρτογραφική προβολή για το μετασχηματισμό της επιφάνειας της σφαίρας ή του ΕΕΠ. σε επίπεδη επιφάνεια. Ανεξάρτητα αν η επιφάνεια της γης θεωρείται σφαίρα ή ΕΕΠ., η επιφάνεια αυτή είναι αδύνατο να αναπτυχθεί πλήρως σε επίπεδο χωρίς παραμορφώσεις. Η αδυναμία αυτή μπορεί να γίνει άμεσα αντιληπτή, αν ως επιφάνεια της σφαίρας ή του ΕΕΠ θεωρηθεί η επιφάνεια του καλύφους ενός αυγού, ή η επιφάνεια του φλοιού ενός πορτοκαλιού. Οι επιφάνειες αυτές δεν είναι δυνατό να αναπτυχθούν σε επίπεδο χωρίς να κοπεί σε μικρά μη συνεχόμενα κομμάτια. Επειδή οι επιφάνειες της σφαίρας και του ΕΕΠ δεν αναπτύσσονται σε επίπεδο, οι χαρτογραφικές προβολές εμπεριέχουν αναπόφευκτα διάφορες παραμορφώσεις ανάλογα με τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά εκάστης. 1.2 Ιστορική αναδρομή Η χρησιμοποίηση χαρτογραφικών προβολών για την απεικόνιση της επιφάνειας της γης σε επίπεδο, είναι γνωστή από την αρχαιότητα. Ο αρχαίος Έλληνας μαθηματικός και φιλόσοφος Θαλής ο Μιλήσιος (6ος αιώνας π.χ) χρησιμοποίησε γεωμετρική προβολή των σημείων της επιφάνειας της σφαίρας σε εφαπτόμενο σε αυτήν επίπεδο από το κέντρο της σφαίρας [βλ. σχήμα 1.1α]. Η απεικόνιση αυτή αποτελεί την γνωμονική προβολή που χρησιμοποιείται για την υποτύπωση του δρομολογίου του ορθοδρομικού πλου με ευθεία γραμμή. 1-1

4 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" 2 Ο αρχαίος Έλληνας αστρονόμος Ίππαρχος (2ος αιώνας π.χ) χρησιμοποίησε γεωμετρική προβολή των σημείων της επιφάνειας της σφαίρας σε εφαπτόμενο σε αυτήν επίπεδο από το αντιδιαμετρικό σημείο του σημείου επαφής του επιπέδου [Σχ. 1.1β]. Η απεικόνιση αυτή αποτελεί την στερεογραφική προβολή που χρησιμοποιείται σε αρκετά σύγχρονα συστήματα ηλεκτρονικού χάρτη. α. Γνωμονική προβολή: εφαπτόμενο επίπεδο Στη γνωμονική προβολή η οποία επινοήθηκε από τον Θαλή τον Μιλήσιο (6 ος αι. π.χ.) το προβολικό σημείο είναι το κέντρο της σφαίρας από το οποίο τα σημεία της επιφάνειας της σφαίρας προβάλονται στο εφαπτόμενο επίπεδο. K E A B Γ Α Β Δ Γ Δ β. Στερεογραφική προβολή: εφαπτόμενο επίπεδο Στη στερεογραφική προβολή η οποία επινοήθηκε από τον Ίππαρχο (6 ος αι. π.χ.) το προβολικό σημείο είναι το αντιδιαμετρικό σημείο Ε του σημείου επαφής Ε του επιπέδου με τη σφαίρα και τα σημεία της επιφάνειας της σφαίρας προβάλονται από το σημείο Ε στο εφαπτόμενο επίπεδο. K E A Α Β B Γ Δ Γ Δ E Σχήμα 1.1: Παραδείγματα χαρτογραφικών προβολών Ο γραμματέας της βιβλιοθήκης της Αλεξάνδρειας Κλαύδιος Πτολεμαίος (2ος αιώνας μ.χ), στο έργο του «Γεωγραφική Υφήγησις» συνοψίζει το έργο των κυριότερων χαρτογράφων της εποχής του αλλά και προγενέστερων, όπως του Ερατοσθένη, του Απολλώνιου του Ρόδιου, του Μαρίνου του Τύριου κ.α. Στο έργο του Κλαύδιου Πτολεμαίου παρουσιάζονται διάφορες χαρτογραφικές προβολές που χρησιμοποιούνταν την περίοδο εκείνη και παρέχονται αναλυτικές οδηγίες κατασκευής χαρτών σύμφωνα με την κωνική ισαπέχουσα προβολή. Στη γεωγραφική υφήγηση του Κλαύδιου Πτολεμαίου, εκτός των άλλων, παρέχονται και πίνακες με το γεωγραφικό πλάτος και μήκος των κυριότερων πόλεων του 1-2

5 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" 3 τότε γνωστού κόσμου από τις Κανάριες νήσους και τη σημερινή Μεγάλη Βρετανία μέχρι τις νοτιοανατολικές ακτές της Ασίας. Το έργο του Πτολεμαίου παραλήφθηκε από τους Άραβες, οι οποίοι κατά την περίοδο του Μεσαίωνα ανέπτυξαν την χαρτογραφία σε πολύ καλύτερο από τους Ευρωπαίους επίπεδο. Χαρακτηριστικό παράδειγμα: ο παγκόσμιος χάρτης του Αλ Ιντρίσι που κατασκεύασε το 1159 μ.χ. με στοιχεία της Γεωγραφικής Υφήγησης. Στην Ευρώπη το έργο του Πτολεμαίου παρέμεινε άγνωστο μέχρι τον 15 ο αιώνα μ.χ., οπότε μεταφράστηκε στα λατινικά και αξιοποιήθηκε για την επανέκδοση των χαρτών της αρχαιότητας οι οποίοι αποτέλεσαν το κίνητρο για την ανακάλυψη της Αμερικής από τον Κολόμβο και τον περίπλου της γης από τον Μαγγελάνο. Οι χάρτες αυτοί στηρίζονταν στη κωνική χαρτογραφική προβολή που παρουσιάζεται στην γεωγραφική υφήγηση και την οποία ο Πτολεμαίος θεωρούσε καταλληλότερη της κυλινδρικής. Για την κυλινδρική προβολή ο Πτολεμαίος αναφέρει ότι χρησιμοποιείτο από ορισμένους χαρτογράφους της εποχής εκείνης, όπως ο Μαρίνος ο Τύριος. Από τους χάρτες που κατασκευάστηκαν στην Ευρώπη με βάση τα στοιχεία της γεωγραφικής υφήγησης του Πτολεμαίου, ιστορικό σταθμό αποτελεί ο παγκόσμιος χάρτης του Φλαμανδού χαρτογράφου Μερκάτορα που κατασκευάστηκε το 1569 με την χρησιμοποίηση χαρτογραφικής προβολής η οποία βασίζεται στις αρχές της ορθής κυλινδρικής προβολής και έχει τις βασικότατες για τον ναυτιλόμενο ιδιότητες: να απεικονίζει την λοξοδρομική πλεύση σαν ευθεία γραμμή, να απεικονίζει τις μετρούμενες στην επιφάνεια της γης γωνίες, (π.χ. μετρούμενες διοπτεύσεις) χωρίς παραμορφώσεις (με την πραγματική τους τιμή). 1.3 Συναρτήσεις Χαρτογραφικού Μετασχηματισμού (Εξισώσεις χαρτογραφικών προβολών) Όλες οι χαρτογραφικές προβολές απεικονίζουν αμφιμονοσήμαντα τα σημεία της επιφάνειας της σφαίρας ή του ελλειψοειδούς εκ περιστροφής στην επιφάνεια απεικόνισης (επίπεδο του χάρτη) με τη βοήθεια των αντίστοιχων συναρτήσεων του χαρτογραφικού μετασχηματισμού [Σχ. 1.2]. Η απεικόνιση των σημείων της επιφάνειας του ΕΕΠ (ή της σφαίρας) σε επίπεδο πραγματοποιείται με το ευθύ πρόβλημα του χαρτογραφικού μετασχηματισμού, το οποίο αφορά το μετασχηματισμό ( φi, λ i ) (x i,yi ) των γεωγραφικών συντεταγμένων (φ i, λ i ) των σημείων της επιφάνειας του ΕΕΠ στις συντεταγμένες (x i, y i ) της επιφάνειας απεικόνισης με χρήση των συναρτήσεων μετασχηματισμού f 1 και f 2 των (1.1) και (1.2). x = (φ,λ ) (1.1) i f 1 i i y = (φ,λ ) (1.2) i f 2 i i Η αντίστροφη απεικόνιση των σημείων της επιφάνειας απεικόνισης (επιφάνειας του χάρτη) στην επιφάνεια του ΕΕΠ ή της σφαίρας πραγματοποι- 1-3

6 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" 4 είται με το αντίστροφο πρόβλημα πρόβλημα του χαρτογραφικού μετασχηματισμού, το οποίο αφορά το μετασχηματισμό ( xi,yi ) (φi, λi ) των συντεταγμένων (x i, y i ), των σημείων της επιφάνειας απεικόνισης στις γεωγραφικές συντεταγμένες (φ i, λ i ) των αντίστοιχων σημείων της επιφάνειας του ΕΕΠ, με χρήση των συναρτήσεων του αντίστροφου μετασχηματισμού (1.3) και (1.4). = g ( x i, y ) (1.3) φi 1 i λi = g2 ( x i, yi ) (1.4) όπου: φ, λ: είναι οι γεωγραφικές συντεταγμένες ενός σημείου στο ελλειψοειδές ή τη σφαίρα. x, y: είναι οι συντεταγμένες του ίδιου σημείου σε ένα καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα αναφοράς στο επίπεδο. x=f 1 (φ, λ) y=f 2 (φ, λ) φ=f 1 (x, y) λ=f 2 (x, y) Σχήμα 1.2: Αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση των σημείων της επιφάνειας του ΕΕΠ σε επίπεδο Σε κάθε χαρτογραφική προβολή οι συναρτήσεις του χαρτογραφικού μετασχηματισμού (σχέσεις 1.1 έως 1.4), που λέγονται και εξισώσεις της χαρτογραφικής προβολής, είναι απλούστερες στην περίπτωση απεικόνισης επιφάνειας της σφαίρας από ότι στην περίπτωση απεικόνισης επιφάνειας του ελλειψοειδούς εκ περιστροφής (ΕΕΠ). Για το λόγο αυτό σε αρκετές περιπτώσεις η απεικόνιση των σημείων της επιφάνειας του EEP στο επίπεδο πραγματοποιείται με ένα ενδιάμεσο στάδιο απεικόνισης στην επιφάνεια μιας βοηθητικής σφαίρας. [Σχ. 1.3]. Κατά τον ενδιάμεσο μετασχηματισμό της επιφάνειας του ΕΕΠ σε σφαίρα και ανάλογα με τις απαιτήσεις της εξεταζόμενης εφαρμογής, είναι δυνατό να εξασφαλιστεί η διατήρηση κάποιας βασικής ιδιότητας, όπως: σωστή απεικόνιση των γωνιών και διευθύνσεων (συμμορφία), σωστή απεικόνιση της αναλογίας των εμβαδών (ισοδυναμία), μηδενισμός των γραμμικών παραμορφώσεων σε κάποια διεύθυνση (μεσημβρινού, παραλλήλου, κεντρικού μεσημβρινού) κλπ. Με τον τρόπο αυτό είναι δυνατό να προκύψουν διάφορες ενδιάμεσες σφαίρες με διαφορετικά χαρακτηριστικά εκάστη. Οι κυριότερες μέθοδοι μετασχηματισμού του ΕΕΠ σε σφαίρα είναι: μετασχηματισμός με μηδενικές γωνιακές παραμορφώσεις (σφαίρα συμμορφίας), μετασχηματισμός με μηδενικές επιφανειακές παραμορφώσεις (ισοδύναμη σφαίρα), 1-4

7 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" 5 μετασχηματισμός με μηδενικές γραμμικές παραμορφώσεις στη διεύθυνση των μεσημβρινών (ισαπέχουσα στη διεύθυνση των μεσημβρινών σφαίρα), μετασχηματισμός με μηδενικές γραμμικές παραμορφώσεις στη διεύθυνση των παραλλήλων (ισαπέχουσα στη διεύθυνση των παραλλήλων σφαίρα). Για τη ναυσιπλοΐα σε περιβάλλον ΣΗΝΧ οι σχέσεις 1.1 έως 1.4 του χαρτογραφικού μετασχηματισμού αποτελούν βασικές συνιστώσες του ναυτιλιακού λογισμικού για την υποστήριξη της πλοήγησης σε πραγματικό χρόνο. Το ευθύ πρόβλημα χρησιμοποιείται για την απεικόνιση στον ηλεκτρονικό χάρτη της ακριβούς θέσεως (στίγματος) του πλοίου με βάση τις συντεταγμένες (φ i, λ i ) που προσδιορίζονται συνεχώς από το σύστημα προσδιορισμού θέσεως. Το αντίστροφο πρόβλημα χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό των γεωγραφικών συντεταγμένων οποιουδήποτε σημείου του ΗΝΧ κατά τις διαδικασίες προετοιμασίας, σχεδίασης και εκτέλεσης του πλου στα ΣΗΝΧ, όπως ο προσδιορισμός των γεωγραφικών συντεταγμένων των σημείων που καθορίζονται ως κορυφές πολυγωνικών γραμμών κατά τη σχεδίαση του πλου για την επισήμανση ναυτιλιακών κινδύνων. Σχήμα 1.3: Απεικόνιση ΕΕΠ σε επίπεδο με ενδιάμεση απεικόνιση σε βοηθητική σφαίρα 2. Ταξινόμηση χαρτογραφικών προβολών Οι χαρτογραφικές προβολές μπορούν να ταξινομηθούν σε ορισμένες κατηγορίες ανάλογα με διάφορα κριτήρια όπως: η μέθοδος απεικόνισης (γεωμετρικές, ημιγεωμετρικές, μαθηματικές), η χρησιμοποιούμενη επιφάνεια απεικόνισης (κύλινδρος, κώνος, επίπεδο), η θέση του άξονα της Γης ως προς την επιφάνεια απεικόνισης (ορθές, εγκάρσιες, πλάγιες), ορισμένα βασικά χαρακτηριστικά και ιδιότητες της προβολής, (σύμμορφες, ισοεμβαδικές, ίσης αποστάσεως κ.α), η μορφή των εξισώσεων του χαρτογραφικού μετασχηματισμού. 1-5

8 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" Ταξινόμηση χαρτογραφικών προβολών ανάλογα με τη μέθοδο απεικόνισης Ένας πρακτικός κανόνας ταξινόμησης των χαρτογραφικών προβολών, ο οποίος διευκολύνει την κατανόηση των βασικών χαρακτηριστικών των περισσότερο χρησιμοποιούμενων προβολών στηρίζεται στη δυνατότητα απεικόνισης των σημείων της επιφάνειας της σφαίρας ή του ΕΕΠ στο επίπεδο με γεωμετρικές μεθόδους. Σύμφωνα με την αρχή αυτή οι χαρτογραφικές προβολές διακρίνονται σε: γεωμετρικές χαρτογραφικές προβολές. Στις προβολές αυτές η απεικόνιση των σημείων της επιφάνειας της σφαίρας, η του ΕΕΠ μπορεί να πραγματοποιηθεί, εκτός από τις εξισώσεις του χαρτογραφικού μετασχηματισμού, και με μεθόδους της προβολικής γεωμετρίας. μαθηματικές χαρτογραφικές προβολές στις οποίες η απεικόνιση γίνεται αποκλειστικά με τις εξισώσεις του χαρτογραφικού μετασχηματισμού. ημιγεωμετρικές χαρτογραφικές προβολές στις οποίες η απεικόνιση γίνεται με τις εξισώσεις του χαρτογραφικού μετασχηματισμού αλλά ορισμένα στοιχεία της επιφάνειας της σφαίρας ή του ΕΕΠ. (π.χ. οι γραμμές των μεσημβρινών), μπορούν να απεικονισθούν και με μεθόδους της προβολικής γεωμετρίας. Όπως αναφέρθηκε και στην ενότητα 1.3, σε όλες τις χαρτογραφικές προβολές (γεωμετρικές και μη γεωμετρικές), οι συντεταγμένες (x, y) των απεικονιζόμενων στο επίπεδο σημείων της επιφάνειας της γης υπολογίζονται με τη βοήθεια των εξισώσεων του χαρτογραφικού μετασχηματισμού Γεωμετρικές χαρτογραφικές προβολές Στις γεωμετρικές χαρτογραφικές προβολές η απεικόνιση των σημείων της επιφάνειας της σφαίρας, η του ΕΕΠ μπορεί να πραγματοποιηθεί με μεθόδους της προβολικής γεωμετρίας και οι εξισώσεις του χαρτογραφικού μετασχηματισμού προκύπτουν από την ανάλυση της γεωμετρίας τους σύμφωνα με την οποία η απεικόνιση στηρίζεται: Στην επιλογή μιας επίπεδης ή, αναπτυκτής σε επίπεδο επιφάνειας απεικόνισης, όπως η κυλινδρική και η κωνική επιφάνεια. Η χρησιμοποιούμενη επιφάνεια απεικόνισης (επίπεδο, κύλινδρος ή κώνος) συνήθως εφάπτεται στην επιφάνεια της σφαίρας ή την τέμνει σε ένα κύκλο. Στην γεωμετρική προβολή των σημείων της επιφάνειας της γης (σφαίρας ή ΕΕΠ) στην επιφάνεια απεικόνισης. Αναπτυκτή σε επίπεδο επιφάνεια λέγεται μια επιφάνεια η οποία είναι δυνατό να μετασχηματισθεί σε επίπεδη χωρίς να παραμορφωθεί. Οι αναπτυκτές επιφάνειες προκύπτουν από την κίνηση μιας ευθείας είτε παράλληλα σε μία σταθερή διεύθυνση, όπως οι κυλινδρικές επιφάνειες, είτε διερχόμενες από ένα σταθερό σημείο, όπως οι κωνικές επιφάνειες. Παραδείγματα αναπτυκτών σε επίπεδο επιφανειών είναι οι επιφάνειες του κυλίνδρου και του κώνου οι οποίες είναι δυνατό να μετασχηματισθούν άμεσα σε επίπεδες χωρίς καμία παραμόρφωση αν κοπούν κατά μήκος μιας γενέτειράς τους [Σχ. 1.4]. 1-6

9 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" 7 Παραδείγματα μη αναπτυκτών επιφανειών είναι οι επιφάνειες της σφαίρας και του ελλειψοειδούς εκ περιστροφής (ΕΕΠ.) οι οποίες είναι αδύνατο να μετασχηματισθούν σε επίπεδο χωρίς παραμορφώσεις, όπως είναι αδύνατο να γίνει πλήρως επίπεδη η επιφάνεια του φλοιού ενός πορτοκαλιού, ή του κελύφους ενός αυγού χωρίς αυτή να κοπεί σε μικρά κομμάτια. α. κωνική επιφάνεια και ανάπτυξή της σε επίπεδη β. κυλινδρική επιφάνεια και ανάπτυξη της σε επίπεδη Σχήμα 1.4: Παραδείγματα αναπτυκτών σε επίπεδο επιφανειών. Η γεωμετρική προβολή των σημείων της επιφάνειας της γης (σφαίρας ή ΕΕΠ) στην επιφάνεια απεικόνισης (επίπεδο, κύλινδρος ή κώνος), συνήθως πραγματοποιείται με την επιλογή ενός προβολικού σημείου από το οποίο προβάλλονται τα σημεία της επιφάνειας της γης. Η γεωμετρική αυτή προβολή λέγεται κεντρική προβολή. Παραδείγματα κεντρικής προβολής είναι η γνωμονική προβολή (Σχ. 1.1α και Σχ. 1.6γ) και η στερεογραφική προβολή (Σχ. 1.1β). Με τον τρόπο αυτό στις γεωμετρικές χαρτογραφικές προβολές κάθε ευθεία που συνδέει το προβολικό σημείο με ένα σημείο της σφαίρας (ή του ΕΕΠ.), τέμνει την επίπεδη, κυλινδρική ή κωνική επιφάνεια σε ένα συγκεκριμένο σημείο απεικόνισης. Η γεωμετρική προβολή των σημείων της επιφάνειας της γης (σφαίρας ή ΕΕΠ) μπορεί να γίνει, εκτός από τη κεντρική προβολή και με την ορθή προβολή στην οποία τα σημεία προβάλλονται στην επιφάνεια απεικόνισης κατά μία διεύθυνση κάθετη στην επιφάνεια απεικόνισης. Παράδειγμα ορθής προβολής είναι η ορθογραφική προβολή που παρουσιάζεται στην ενότητα

10 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" Μαθηματικές χαρτογραφικές προβολές Στις μαθηματικές χαρτογραφικές προβολές οι συναρτήσεις f 1 και f 2 των εξισώσεων (1.1) και (1.2) προκύπτουν από τις μαθηματικές συνθήκες που εξασφαλίζουν ότι οι αναπόφευκτες παραμορφώσεις της προβολή δεν θα επηρεάσουν κάποια βασική για τη συγκεκριμένη προβολή ιδιότητα όπως π.χ. διατήρηση των γωνιών (σύμμορφες ή ορθομορφικές προβολές), σωστή απεικόνιση της αναλογίας των εμβαδών (ισοεμβαδικές προβολές), σωστή απεικόνιση των αποστάσεων (προβολές ίσης αποστάσεως), κλπ Ημιγεωμετρικές χαρτογραφικές προβολές Στις ημιγεωμετρικές χαρτογραφικές προβολές οι συναρτήσεις f 1 και f 2 των εξισώσεων (1.1) και (1.2) προκύπτουν από τον συνδυασμό των ανωτέρω μεθόδων όπως: -απεικόνιση των μεσημβρινών με γεωμμετρική μέθοδο π.χ. στην τομή του επιπέδου κάθε μεσημβρινού με την κυλινδρική, κωνική ή επίπεδη επιφάνεια. -απεικόνιση των παραλλήλων πλάτους σε αποστάσεις που καθορίζονται από τις μαθηματικές συνθήκες που εξασφαλίζουν ότι η τελική απεικόνιση στο επίπεδο θα έχει κάποια συγκεκριμένη ιδιότητα π.χ. σωστή απεικόνιση των γωνιών ή των αποστάσεων. 2.2 Ταξινόμηση χαρτογραφικών προβολών ανάλογα με τον τύπο της επιφάνειας απεικόνισης Ο μετασχηματισμός της επιφάνειας της σφαίρας, ή του ΕΕΠ., σε επίπεδο μπορεί να γίνει είτε με ένα ενδιάμεσο στάδιο απεικόνισης σε μία αναπτυκτή σε επίπεδο επιφάνεια (κώνος ή κύλινδρος) είτε με απευθείας απεικόνιση σε επίπεδο (Σχ. 1.5). Ενδιάμεση απεικόνιση σε κωνική επιφάνεια η οποία στη συνέχεια μετασχηματίζεται σε επίπεδη. Απευθείας απεικόνιση σε επίπεδο Ενδιάμεση απεικόνιση σε κυλινδρική επιφάνεια η οποία στη συνέχεια μετασχηματίζεται σε επίπεδη Σχήμα 1.5: Μέθοδοι μετασχηματισμού σφαιρικής επιφάνειας σε επίπεδη Ανάλογα με τη χρησιμοποιούμενη επιφάνεια απεικόνισης, οι χαρτογραφικές προβολές ταξινομούνται στις επόμενες κατηγορίες: Κυλινδρικές προβολές. Στις κυλινδρικές προβολές τα σημεία της επιφάνειας της σφαίρας απεικονίζονται καταρχήν στην επιφάνεια ενός κυλίνδρου η οποία στη συνέχεια αναπτύσσεται σε επίπεδο (Σχ. 1.6α). 1-8

11 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" 9 Κωνικές προβολές. Στις κωνικές προβολές τα σημεία της επιφάνειας της σφαίρας απεικονίζονται καταρχήν στην επιφάνεια ενός κώνου η οποία στη συνέχεια αναπτύσσεται σε επίπεδο (Σχ. 1.6β). Επίπεδες ή αζιμουθιακές προβολές. Στις επίπεδες προβολές τα σημεία της επιφάνειας της σφαίρας απεικονίζονται απ ευθείας σε ένα επίπεδο, το οποίο συνήθως εφάπτεται στην επιφάνεια της σφαίρας, χωρίς την ενδιάμεση απεικόνιση σε κάποια άλλη αναπτυκτή σε επίπεδο επιφάνεια (Σχ. 1.6γ). α. Κυλινδρική προβολή β. Κωνική προβολή γ. Επίπεδη ή αζιμουθιακή προβολή (στο παράδειγμα αυτό πλάγια γνωμονική προβολή) Σχήμα 1.6: Κυλινδρικές, κωνικές και αζιμουθιακές χαρτογραφικές προβολές 1-9

12 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" Ταξινόμηση χαρτογραφικών προβολών ανάλογα με τον προσανατολισμό της επιφάνειας απεικόνισης. Ανάλογα με τη θέση του άξονα της Γης ως προς τη χρησιμοποιούμενη επιφάνεια απεικόνισης, οι χαρτογραφικές προβολές διακρίνονται σε: ορθές προβολές. Στις ορθές προβολές (Σχ. 1.7α) ο άξονας της γης ταυτίζεται με τον άξονα συμμετρίας του κυλίνδρου, τον άξονα συμμετρίας του κώνου, ή με την ακτίνα που διέρχεται από το σημείο επαφής του επιπέδου. εγκάρσιες προβολές. Στις εγκάρσιες προβολές (Σχ. 1.7β) ο άξονας συμμετρίας του κυλίνδρου, ο άξονας συμμετρίας του κώνου και η ακτίνα που διέρχεται από το σημείο επαφής του επιπέδου, έχουν στραφεί κατά 90º και βρίσκονται επί του επιπέδου του ισημερινού (σχηματίζουν γωνία 90º με τον άξονα της γης). πλάγιες προβολές. Στις πλάγιες προβολές (Σχ. 1.7γ) ο άξονας συμμετρίας του κυλίνδρου, ο άξονας συμμετρίας του κώνου και η ακτίνα που διέρχεται από το σημείο επαφής του επιπέδου, βρίσκονται σε θέση διαφορετική από τη θέση που έχουν στην ορθή ή στην εγκάρσια προβολή. Α1. Ορθές Κυλινδρικές (λέγονται και ισημερινές) Α2. Ορθές Κωνικές (λέγονται και πολικές) Α3. Ορθές Αζιμουθιακές (λέγονται και πολικές) Β1. Εγκάρσιες Κυλινδρικές (λέγονται και ισημερινές) Β2. Εγκάρσιες Κωνικές (χρησιμοποιούνται σπάνια) Β3. Εγκάρσιες Αζιμουθιακές (λέγονται και ισημερινές) Γ1. Πλάγιες Κυλινδρικές (χρησιμοποιούνται σπάνια) Σχήμα 1.7: Γ2. Πλάγιες Κωνικές (χρησιμοποιούνται σπάνια) Γ3. Πλάγιες Αζιμουθιακές Ταξινόμηση χαρτογραφικών προβολών ανάλογα με τον προσανατολισμό της επιφάνειας απεικόνισης [διασκευή από: Carlos Furuti] 1-10

13 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" Ταξινόμηση χαρτογραφικών προβολών ανάλογα με τις ιδιότητές τους. Μία άλλη χρήσιμη μέθοδος ταξινομήσεως των χαρτογραφικών προβολών στηρίζεται σε ορισμένες βασικές ιδιότητες τους όπως π.χ.: Σωστή απεικόνιση των μετρούμενων στην επιφάνεια της γης γωνιών (π.χ. των διοπτεύσεων της ναυτιλίας που λαμβάνονται από καταφανή σημεία της ξηράς και μεταφέρονται στο ναυτικό χάρτη). Σωστή απεικόνιση της αναλογίας των εμβαδών των απεικονιζομένων σχημάτων (περιοχών). Απεικόνιση της ορθοδρομίας (των τόξων μεγίστου κύκλου της σφαίρας) με ευθεία γραμμή. Απεικόνιση της λοξοδρομίας (πλεύσης με σταθερή πορεία) με ευθεία γραμμή. Σύμφωνα με το παραπάνω κριτήριο ταξινόμησης (βασικές ιδιότητες χαρτογραφικών προβολών) οι χαρτογραφικές προβολές, διακρίνονται σε διάφορες κατηγορίες όπως: σύμμορφες ή ορθομορφικές προβολές: Οι προβολές αυτές έχουν την ιδιότητα της σωστής απεικόνισης των γωνιών και επομένως της διατηρήσεως της ομοιότητας των σχημάτων. Ισοδύναμες ή ισοεμβαδικές προβολές: Οι προβολές αυτές έχουν την ιδιότητα της σωστής απεικόνισης της αναλογίας των εμβαδών των απεικονιζομένων επιφανειών. Η ταξινόμηση των χαρτογραφικών προβολών ανάλογα με τις προαναφερθείσες ιδιότητες τους (σύμμορφία, ισοδυναμία κλπ.), είναι χρήσιμη γιατί, όπως αναφέρεται αναλυτικότερα στο κεφάλαιο 2, δεν υπάρχει χαρτογραφική προβολή, η οποία να έχει ταυτόχρονα όλες τις παραπάνω επιθυμητές ιδιότητες. Ανάλογα με την χρήση για την οποία προορίζεται ό χάρτης επιλέγεται χαρτογραφική προβολή που περιορίζει ή μηδενίζει τις κατά περίπτωση ανεπιθύμητες παραμορφώσεις. Ως χαρακτηριστικό παράδειγμα επιλογής χαρτογραφικής προβολής ανάλογα με τις ιδιότητές της αναφέρεται η χρήση της ορθής μερκατορικής προβολής στην παραδοσιακή ναυτιλία [βλ ]. 2.5 Ταξινόμηση χαρτογραφικών προβολών ανάλογα με τις ιδιότητές τους. Ορισμένες φορές η ανάλυση των σχέσεων του χαρτογραφικού μετασχηματισμού για τον προσδιορισμό ή τη σύγκριση των βασικών χαρακτηριστικών των χαρτογραφικών απεικονίσεων, υποστηρίζεται αποτελεσματικότερα με τη χρήση της παραμετρικής ταξινόμησης των χαρτογραφικών απεικονίσεων (Tobler 1962). Στη μέθοδο της παραμετρικής ταξινόμησης των χαρτογραφικών απεικονίσεων χρησιμοποιείται η επόμενη γενικότερη μορφή των (1.1) και (1.2), στις οποίες οι παράμετροι u και v αντιπροσωπεύουν τις συντεταγμένες των σημείων στην επιφάνεια απεικόνισης. 1-11

14 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" 12 u=f 1 (φ, λ) (1.5) v=f 2 (φ, λ) (1.6) Με τη μορφή των (1.5) και (1.6) διακρίνονται καταρχήν οι κάτωθι τέσσερις ομάδες χαρτογραφικών απεικονίσεων: Ομάδα Α: u=f 1 (φ, λ) v=f 2 (φ, λ) Ομάδα B: u=f 1 ( λ) v=f 2 (φ, λ) Ομάδα C: u=f 1 (φ, λ) v=f 2 (φ) Ομάδα D: u=f 1 (λ) v=f 2 (φ) Αν οι παράμετροι u και v θεωρηθούν ότι αντιπροσωπεύουν είτε καρτεσιανές συντεταγμένες (x, y), είτε πολικές συντεταγμένες (r, θ), προκύπτουν δύο μορφές για κάθε μία από τις ανωτέρω τέσσερις ομάδες. Με τον τρόπο αυτό δημιουργούνται οκτώ ομάδες χαρτογραφικών απεικονίσεων, στις οποίες αντιστοιχούν διάφορες μορφές πλέγματος μεσημβρινών και παραλλήλων, όπως φαίνεται αναλυτικά στον πίνακα 1.1. καρτεσιανές συντεταγμένες Πίνακας 1.1 Παραμετρική ταξινόμηση χαρτογραφικών απεικονίσεων (Tobler 1961) πολικές συντεταγμένες ενδεικτική μορφή πλέγματος μεσημβρινών και παραλλήλων Ομάδα Α x=f 1 (φ, λ) y=f 2 (φ, λ) θ=f 1 (φ, λ) r=f 2 (φ, λ) Ομάδα B x=f 1 ( λ) y=f 2 (φ, λ) θ=f 1 ( λ) r=f 2 (φ, λ) Ομάδα C x=f1(φ, λ) y=f 2 (φ) θ=f 1 (φ, λ) r=f 2 (φ) Ομάδα D x=f 1 (λ) y=f 2 (φ) θ=f 1 (λ) r=f 2 (φ) Στις χαρτογραφικές απεικονίσεις της ομάδας Α του πίνακα 1.1 η μορφή των γραμμών των μεσημβρινών και παραλλήλων μπορεί να είναι τυχαίες καμπύλες. 1-12

15 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" 13 Στην ομάδα Β οι μεσημβρινοί είναι ευθείες (παράλληλες, ή συγκλίνουσες σε ένα σημείο, ανάλογα με το σύστημα συντεταγμένων που χρησιμοποιείται). Στην ομάδα C, η μορφή των μεσημβρινών μπορεί να είναι τυχαίες καμπύλες και οι παράλληλοι πλάτους είναι ευθείες παράλληλες, ή ομόκεντροι κύκλοι (ανάλογα με το σύστημα συντεταγμένων που χρησιμοποιείται). Στην ομάδα D ανήκουν χαρτογραφικές απεικονίσεις με τις πιο συνηθισμένες μορφές μεσημβρινών και παραλλήλων. 3. Γενικά χαρακτηριστικά κυλινδρικών προβολών Ανάλογα με τη θέση του άξονα της Γης ως προς τη χρησιμοποιούμενη κυλινδρική επιφάνεια (Σχ. 1.8), οι κυλινδρικές προβολές διακρίνονται σε: ορθές κυλινδρικές προβολές. εγκάρσιες κυλινδρικές προβολές. πλάγιες κυλινδρικές προβολές. Οι περισσότερο διαδεδομένες κυλινδρικές προβολές είναι: - Η Ορθή Μερκατορική Προβολή, στην οποία στηρίζεται η κατασκευή των ναυτικών χαρτών. - Η Εγκάρσια Μερκατορική προβολή, στην οποία στηρίζεται η κατασκευή των στρατιωτικών χαρτών καθώς και ορισμένων ειδικών ναυτικών χαρτών. 3.1 Ορθές κυλινδρικές προβολές Στις ορθές κυλινδρικές προβολές ο άξονας της γης ταυτίζεται με τον άξονα συμμετρίας του κυλίνδρου (Σχ. 1.7α και Σχ. 1.8α). Μία ορθή κυλινδρική προβολή στην οποία ο κύλινδρος εφάπτεται στον ισημερινό, λέγεται ισημερινή κυλινδρική προβολή. Ο κύλινδρος μπορεί να εφάπτεται στον ισημερινό (Σχ 1.9α) ή να τέμνει τη γήινη σφαίρα σε δύο παραλλήλους πλάτους (Σχ 1.9β) που λέγονται βασικοί παράλληλοι (standard parallers). Οι χάρτες ορθών κυλινδρικών προβολών, όπως οι χάρτες των σχημάτων 1.8, 1.9 και 1.10, έχουν τα κάτωθι χαρακτηριστικά: οι παράλληλοι πλάτους απεικονίζονται σαν ευθείες παράλληλες προς τον ισημερινό. οι μεσημβρινοί απεικονίζονται σαν ευθείες κάθετες προς τους παραλλήλους πλάτους και τον ισημερινό οι αποστάσεις των διαδοχικών μεσημβρινών είναι ίσες. οι αποστάσεις των διαδοχικών παραλλήλων συνήθως δεν είναι ίσες, αλλά καθορίζονται κατά περίπτωση από τις εξισώσεις απεικόνισης της προβολής, προκειμένου να εξασφαλισθούν βασικές επιθυμητές ιδιότητες όπως π.χ.: ισαπέχουσες (Σχ 1.10), σύμμορφες (Σχ 1.11), ισοεμβαδικές (Σχ 1.13). Χαρακτηριστικά παραδείγματα κυλινδρικών προβολών αναφέρονται στις επόμενες ενότητες. 1-13

16 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" 14 α. Ορθή κυλινδρική προβολή: ο άξονας της γης ταυτίζεται με τον άξονα συμμετρίας του κυλίνδρου β. εγκάρσια κυλινδρική προβολή: ο άξονας της γης σχηματίζει γωνία 90º με τον άξονα της γης γ. πλάγια κυλινδρική προβολή: ο άξονας της γης βρίσκεται σε θέση διαφορετική από τη θέση που έχει στην ορθή ή στην εγκάρσια προβολή Σχήμα 1.8: Γεωμετρία ορθής, εγκάρσιας και πλάγιας κυλινδρικής προβολής 1-14

17 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" 15 βασικός παράλληλος ισημερινός ισημερινός βασικός παράλληλος α. Ισημερινή κυλινδρική προβολή (ένας βασικός παράλληλος στον ισημερινό) β. Κυλινδρική προβολή με δύο βασικούς παραλλήλους Σχήμα 1.9: Ορθή Κυλινδρική Προβολή με ένα και δύο βασικούς παραλλήλους Ορθή κυλινδρική ισαπέχουσα προβολή (Τετραγωνική Ορθογώνια Προβολή) Η ορθή κυλινδρική ισαπέχουσα προβολή ή Τετραγωνική Ορθογώνια Προβολή επινοήθηκε το 3 ο αιώνα μ.χ. από τον Ερατοσθένη. Στην προβολή αυτή τα σημεία της επιφάνειας της γης απεικονίζονται σε μια επίπεδη πινακίδα 1 με ένα ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα αξόνων στο οποίο ο οριζόντιος άξονας X αντιστοιχεί στο γεωγραφικό μήκος (λ) και ο κατακόρυφος άξονας Υ αντιστοιχεί στο γεωγραφικό πλάτος (φ). Στην ορθή κυλινδρική ισαπέχουσα προβολή (Σχ. 1.10): - οι μεσημβρινοί απεικονίζονται ως ευθείες παράλληλες και ισαπέχουσες με μήκος ίσο με την απόσταση βορείου νοτίου πόλου. - οι παράλληλοι πλάτους απεικονίζονται επίσης ως παράλληλες και ισαπέχουσες ευθείες που είναι κάθετες στους μεσημβρινούς. Οι συναρτήσεις απεικόνισης της απλής κυλινδρικής προβολής δίνονται από τις σχέσεις (1.7α) και (1.7β). x=rλ (1.7α) y=rφ (1.7β) Ορθή κυλινδρική σύμμορφη προβολή Η ορθή κυλινδρική σύμμορφη προβολή μερκατορική προβολή χρησιμοποιήθηκε τον 16 ο αιώνα μ.χ. από το Φλαμανδό χαρτογράφο Μερκάτορα για την κατασκευή του πρώτου παγκόσμιου ναυτικού χάρτη με βάση τα στοιχεία της Γεωγραφικής Υφήγησης του Κλαύδιου Πτολεμαίου και τις αναφερόμενες στο 1 Η πινακίδα αυτή σύμφωνα με την αναλυτική περιγραφή του Κλαύδιου Πτολεμαίου στο έργο του «Γεωγραφική Υφήγησις» (3 ος αιώνας μ.χ.), προκύπτει από την ανάπτυξη σε επίπεδο ενός κυλίνδρου ο οποίος εφάπτεται στην γήινη σφαίρα στον ισημερινό και έχει ύψος ίσο με την πραγματική απόσταση βορείου νοτίου πόλου. 1-15

18 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" 16 έργο αυτό αρχές της κυλινδρικής προβολής την οποία ο Μερκάτορας βελτίωσε ώστε να παρέχεται η δυνατότητα σωστής αναπαράστασης των γωνιών (πλεύσεων και διοπτεύσεων) και αναπαράστασης του λοξοδρομικού πλου με ευθεία γραμμή. Σχήμα 1.10: Χάρτης ορθής κυλινδρικής ισαπέχουσας προβολής Η ορθή κυλινδρική σύμμορφη προβολή είμαι γνωστή ως «μερκατορική προβολή». Στην προβολή αυτή οι μεσημβρινοί απεικονίζονται με παράλληλες και ισαπέχουσες ευθείες, οι δε παράλληλοι πλάτους απεικονίζονται επίσης με παράλληλες ευθείες που είναι κάθετες στους μεσημβρινούς, αλλά με αυξανόμενη μεταξύ τους απόσταση (Σχ. 1.11), προκειμένου να επιτευχθεί η διατήρηση της ομοιότητας των απεικονιζόμενων σχημάτων και η ακριβής αναπαράσταση των γωνιών. Οι συναρτήσεις απεικόνισης της ορθής μερκατορικής προβολής δίνονται από τις σχέσεις (1.8α) και (1.8β). x=rλ (1.8α) y=rsecφ (1.8β) Η ορθή μερκατορική προβολή έχει τις επόμενες δύο βασικές για τη ναυσιπλοΐα ιδιότητες: 1 η ιδιότητα: απεικονίζει τις γωνίες χωρίς παραμορφώσεις, π.χ., τις μετρούμενες με τον επαναλήπτη της γυροπυξίδας διοπτεύσεις, 2η ιδιότητα: απεικονίζει τους μεσημβρινούς ως παράλληλες και ισαπέχουσες ευθείες. Οι παραπάνω ιδιότητες της ορθής μερκατορικής προβολής παρέχουν τα επόμενα βασικά για τη ναυσιπλοΐα πλεονεκτήματα: 1-16

19 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" 17 Άμεση χάραξη στο ναυτικό χάρτη των γραμμών θέσεως που αντιστοιχούν στις μετρήσεις διοπτεύσεων με τον επαναλήπτη της γυροπυξίδας για τον προσδιορισμό του στίγματος του πλοίου. Άμεση σχεδίαση του πλου σταθερής πορείας από ένα σημείο αναχώρησης Α προς ένα σημείο προορισμού Β (λοξοδρομικός πλους) με τη χάραξη στο μερκατορικό χάρτη του ευθυγράμμου τμήματος που ορίζεται από τα σημεία αυτά (Σχ. 1.12). Άμεσος προσδιορισμός της πορείας ζλ του λοξοδρομικού πλου με τη μέτρηση στο χάρτη της γωνίας που σχηματίζει το ευθύγραμμο τμήμα που ορίζεται από τα σημεία αναχώρησης και προορισμού, με οποιαδήποτε από τις παράλληλες ευθείες, οι οποίες αναπαριστούν τους μεσημβρινούς (Σχ. 1.12). Λόγω των παραπάνω σημαντικών για τη ναυσιπλοΐα ιδιοτήτων της ορθής μερκατορικής προβολής, χαρτογραφική αυτή προβολή έχει καθιερωθεί για χρήση στη ναυσιπλοΐα, παρά τις τεράστιες επιφανειακές παραμορφώσεις που παρουσιάζει. Σχήμα 1.11 : Χάρτης ορθής κυλινδρικής σύμμορφης προβολής (Μερκατορική Προβολή) 1-17

20 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" 18 Σχήμα 1.12: Σχεδίαση λοξοδρομικού πλου στο ναυτικό μερκατορικό χάρτη Ορθή κυλινδρική ισοδύναμη (ισοεμβαδική) προβολή Η ορθή κυλινδρική ισοδύναμη προβολή επινοήθηκε από τον μαθηματικό J. Lambert το έτος Όπως και στις άλλες ορθές προβολές, στην ορθή ισοδύναμη προβολή (Σχ. 1.13), οι μεσημβρινοί απεικονίζονται με ευθείες γραμμές παράλληλες και ισαπέχουσες. Οι παράλληλοι πλάτους απεικονίζονται επίσης με ευθείες γραμμές κάθετες στη διεύθυνση των μεσημβρινών, αλλά σε αποστάσεις που ελαττώνονται όσο αυξάνει το γεωγραφικό πλάτος. Όπως και στις άλλες ορθές κυλινδρικές προβολές δημιουργούνται πολύ μεγάλες παραμορφώσεις, όσο αυξάνει το γεωγραφικό πλάτος. Οι δύο πόλοι απεικονίζονται με ευθείες γραμμές. Οι συναρτήσεις απεικόνισης της ορθής κυλινδρικής προβολής δίνονται από τις σχέσεις (1.9α) και (1.9β). x=rλ (1.9α) y=rsinφ (1.9β) 1-18

21 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" 19 Σχήμα 1.13 : Χάρτης ορθής κυλινδρικής ισοδύναμης (ισοεμβαδικής) προβολής Σύγκριση χαρακτηριστικών ορθών κυλινδρικών προβολών. Αν εξετάσουμε τις συναρτήσεις απεικόνισης των προαναφερθέντων τριών κυλινδρικών προβολών (απλή κυλινδρική, μερκατορική και ισοδύναμη), παρατηρούμε ότι οι συναρτήσεις αυτές (σχέσεις 1.1, 1.2 και 1.3), καθορίζουν τα βασικά χαρακτηριστικά των αντίστοιχων κυλινδρικών προβολών, όπως: 1. Και στις τρεις προβολές (απλή κυλινδρική, μερκατορική και ισοδύναμη), οι μεσημβρινοί που έχουν την ίδια μεταξύ τους διαφορά γεωγραφικού μήκους (π.χ. 20º Αν, 30º Αν, 40º Αν, κλπ), απεικονίζονται με ευθείες παράλληλες και ισαπέχουσες [Σχήματα 1.10, 1.11 και 1.13]. Η βασική αυτή ιδιότητα όλων των ορθών κυλινδρικών προβολών προκύπτει άμεσα από τη σχέση x=rλ [τύποι (1.7α), (1.8α) και (1.9α)], από την οποία προκύπτει η ισοδύναμη σχέση (1.10) που δίνει τη μορφή και τις αποστάσεις των μεσημβρινών και σε όλες τις ορθές κυλινδρικές προβολές. x (1.10) λ = R 2. Και στις τρεις προβολές (ισαπέχουσα, σύμμορφη και ισοδύναμη), οι παράλληλοι πλάτους που έχουν την ίδια μεταξύ τους διαφορά γεωγραφικού πλάτους (π.χ. 30º Βορ, 50º Βορ, 70º Βορ, κλπ), απεικονίζονται με ευθείες παράλληλες και κάθετες προς τη διεύθυνση των ευθειών που απεικονίζουν τους μεσημβρινούς [σχήματα 1.8, 1.9 και 1.10], αλλά σε διαφορετικές απόστάσεις [εξισώσεις 1.7β, 1.8β και 1.9β] 3. Στην κυλινδρική ισαπέχουσα προβολή, οι παράλληλοι πλάτους που έχουν την ίδια μεταξύ τους διαφορά γεωγραφικού πλάτους (π.χ. 30º Βορ, 50º Βορ, 70º Βορ, κλπ), απεικονίζονται με ευθείες παράλληλες και ισαπέχουσες (εξίσωση 1.7β και Σχ. 1.10). 4. Στην κυλινδρική σύμμορφη (μερκατορική) προβολή, οι παράλληλοι πλάτους που έχουν την ίδια μεταξύ τους διαφορά γεωγραφικού πλάτους (π.χ. 30º Βορ, 50º Βορ, 70º Βορ, κλπ), απεικονίζονται με ευθείες παράλληλες αλλά μη ισαπέχουσες, με αποστάσεις που αυξάνουν προς τα υψηλότερα γεωγραφικά πλάτη, ανάλογα με την τέμνουσα του γεωγραφικού πλάτους (εξίσωση 1.8β και Σχ. 1.11). 1-19

22 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" Στην κυλινδρική σύμμορφη (μερκατορική) προβολή δεν είναι δυνατή η απεικόνιση πολικών περιοχών (από την εξίσωση 1.8β για τιμές του γεωγραφικού πλάτους που πλησιάζουν τις 90º προκύπτουν αποστάσεις των παραλλήλων από τον ισημερινό που προσεγγίζουν το άπειρο). 3.2 Εγκάρσιες κυλινδρικές προβολές Στις εγκάρσιες κυλινδρικές προβολές ο κύλινδρος έχει στραφεί κατά 90º ως προς τη θέση που έχει στην ορθή κυλινδρική προβολή. Στην εγκάρσια αυτή θέση ο άξονάς του κυλίνδρου βρίσκεται επάνω στο επίπεδο του ισημερινού και επιφάνειά του συνήθως εφάπτεται σε ένα μεσημβρινό (Σχ. 1.14α), ή τέμνει τη σφαίρα σε δύο μικρούς κύκλους. Στις εγκάρσιες κυλινδρικές προβολές μπορεί να απεικονισθεί χωρίς αξιοσημείωτες παραμορφώσεις μία περιοχή περιορισμένου εύρους μήκους εκατέρωθεν του κεντρικού μεσημβρινού και απεριόριστου εύρος πλάτους. Όσο απομακρυνόμαστε από τον κεντρικό μεσημβρινό αυξάνουν οι παραμορφώσεις και είναι εμφανής η καμπυλότητα των μεσημβρινών. (α) Σχήμα 1.14: Εγκάρσια κυλινδρική προβολή (β) 1-20

23 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" 21 Όταν ο κύλινδρος των εγκάρσιων κυλινδρικών προβολών αναπτυχθεί σε επίπεδο οι πραγματικοί μεσημβρινοί και παράλληλοι πλάτους (Σχ. 1.14) απεικονίζονται ως εξής: Ο κεντρικός μεσημβρινός και ο ισημερινός απεικονίζονται ως ευθείες κάθετες μεταξύ τους. Οι μεσημβρινοί (εκτός του κεντρικού μεσημβρινού) απεικονίζονται ως καμπύλες με τα κοίλα στραμμένα προς τον κεντρικό μεσημβρινό. Οι παράλληλοι πλάτους (εκτός του ισημερινού) είναι καμπύλες με τα κοίλα στραμμένα προς τους πόλους. Τα παραπάνω χαρακτηριστικά φαίνονται καλύτερα στους χάρτες των εγκάρσιες κυλινδρικών προβολών των σχημάτων 1.15, 1.16 και Στις εγκάρσιες κυλινδρικές προβολές των σχημάτων αυτών, ο κύλινδρος εφάπτεται στον μεσημβρινό των 90º Δυτ. (κεντρικός μεσημβρινός). Σχήμα 1.15: Εγκάρσια Μερκατορική Προβολή Από τις διάφορες εγκάρσιες κυλινδρικές προβολές, ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η Εγκάρσια Μερκατορική Προβολή, στην οποία στηρίζεται η κατασκευή των στρατιωτικών χαρτών καθώς και ορισμένων ειδικών ναυτικών χαρτών για χρήση σε ειδικές ναυτικές επιχειρήσεις, όπως οι χάρτες μάχης (combat charts) για τις αμφίβιες επιχειρήσεις, οι χάρτες ναρκοπολέμου κλπ. Η εγκάρσια μερκατορική προβολή καθώς και το βασιζόμενο σε αυτή Παγκόσμιο Σύστημα Αναφοράς Θέσεως UTM (Universal Transverse Mercator Grid) το οποίο χρησιμοποιείται κατ εξοχή στις διακλαδικές στρατιωτικές επιχειρήσεις, εξετάζονται αναλυτικότερα στο κεφάλαιο

24 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" 22 Σχήμα 1.16: Εγκάρσια κυλινδρική προβολή ισαπέχουσα Σχήμα 1.17: Εγκάρσια κυλινδρική ισοεμβαδική προβολή 1-22

25 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" Πλάγιες κυλινδρικές προβολές Στις πλάγιες κυλινδρικές προβολές ο κύλινδος βρίσκεται σε θέση διαφορετική από τη θέση του στην ορθή και στην εγκάρσια προβολή και επομένως ο άξονας του κυλίνδρου δεν ταυτίζεται με τον άξονα της γης, ούτε βρίσκεται επάνω στο επίπεδο του ισημερινού (Σχ. 1.7γ1 και Σχ. 1.18). Σχήμα 1.18: Πλάγια κυλινδρική προβολή Στην πλάγια αυτή θέση ο άξονας του κυλίνδρου έχει μία γωνία κλίσεως α με το επίπεδο του ισημερινού (0 < α < 90º) και η επιφάνειά του εφάπτεται σε ένα μέγιστο κύκλο ο οποίος αποτελεί τον εικονικό ισημερινό της προβολής (Σχ. 1.19). Τα επίπεδα τα οποία διέρχονται από τον άξονα του κυλίνδρου τέμνουν την επιφάνεια της σφαίρας σε μέγιστους κύκλους οι οποίοι αποτελούν τους εικονικούς μεσημβρινούς. Οι μικροί κύκλοι της σφαίρας τα επίπεδα των οποίων είναι παράλληλα προς το επίπεδο του εικονικού ισημερινού, αποτελούν τους εικονικούς παραλλήλους πλάτους της προβολής. Σχήμα 1.19: Σύστημα εικονικών μεσημβρινών και παραλλήλων πλάγιας κυλινδρικής προβολής 1-23

26 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" 24 Στο σχήμα 1.19 απεικονίζονται τόσο το σύστημα των γεωγραφικών μεσημβρινών και παραλλήλων πλάτους (με διακεκομένες γραμμές) όσο και το σύστημα των εικονικών μεσημβρινών και παραλλήλων πλάτους (με συνεχείς γραμμές). Στις πλάγιες κυλινδρικές προβολές η απεικόνιση της επιφάνειας της σφαίρας στην επιφάνεια του κυλίνδρου γίνεται με το ανωτέρω σύστημα των εικονικών μεσημβρινών και παραλλήλων πλάτους, ενώ στις ορθές κυλινδρικές προβολές η απεικόνιση γίνεται με το σύστημα των γεωγραφικών (πραγματικών) μεσημβρινών και παραλλήλων πλάτους. Όταν ο κύλινδρος των πλάγιων κυλινδρικών προβολών αναπτυχθεί σε επίπεδο οι πραγματικοί μεσημβρινοί και παράλληλοι πλάτους απεικονίζονται ως καμπύλες (Σχ. 1.18). Στα σχήματα 1.20, 1.21 και 1.22 φαίνονται ορισμένα παραδείγματα χαρτών πλάγιων κυλινδρικών προβολών όπως η πλάγια ισαπέχουσα κυλινδρική προβολή, πλάγια ισοεμβαδική κυλινδρική προβολή και πλάγια μερκατορική προβολή. Σχήμα 1.20: Παγκόσμιος χάρτης πλάγιας ισαπέχουσας κυλινδρικής προβολής Σχήμα 1.21: Παγκόσμιος χάρτης πλάγιας ισοεμβαδικής κυλινδρικής προβολής 1-24

27 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" 25 Σχήμα 1.22: Παγκόσμιος χάρτης πλάγιας μερκατορικής προβολής 4. Γενικά χαρακτηριστικά κωνικών προβολών Στις κωνικές προβολές ο κώνος συνήθως βρίσκεται στην ορθή θέση, με τον άξονα συμμετρίας του να ταυτίζεται με τον άξονα της γης (Σχ. 1.6β και Σχ. 1.23). Στις ορθές κωνικές προβολές η κωνική επιφάνεια μπορεί να εφάπτεται στη σφαίρα σε ένα παράλληλο πλάτους (Σχ και Σχ. 1.24α) που λέγεται βασικός παράλληλος ή να τέμνει τη σφαίρα σε δύο παράλληλους πλάτους (Σχ. 1.23) που λέγονται επίσης βασικοί παράλληλοι. Όταν η κωνική επιφάνεια αναπτυχθεί σε επίπεδο (Σχ και Σχ. 1.6β) δεν δημιουργείται καμία γραμμική παραμόρφωση κατά μήκος του βασικού παραλλήλου, ή των βασικών παραλλήλων. Σχήμα 1.23: Ορθή κωνική προβολή 1-25

28 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" 26 Τα βασικά χαρακτηριστικά των ορθών κωνικών προβολών είναι: οι μεσημβρινοί απεικονίζονται με ευθείες γραμμές που συγκλίνουν σε ένα σημείο, που δεν είναι ο πόλος οι παράλληλοι απεικονίζονται με τόξα ομόκεντρων κύκλων που έχουν τα κέντρα τους στο σημείο που συγκλίνουν οι μεσημβρινοί ο πόλος απεικονίζεται με τόξο κύκλου ομόκεντρου με τα τόξα των παραλλήλων. Στις εγκάρσιες και στις πλάγιες κωνικές προβολές ο κώνος μπορεί να εφάπτεται στην σφαίρα σε ένα μικρό κύκλο, ή να την τέμνει σε δύο μικρούς κύκλους που λέγονται βασικές γραμμές. Οι εγκάρσιες και οι πλάγιες κωνικές προβολές χρησιμοποιούνται πολύ σπάνια. βασικοί παράλληλοι βασικός παράλληλος ισημερινός ισημερινός α. Κωνική προβολή με ένα βασικό παράλληλο β. Κωνική προβολή με δύο βασικούς παραλλήλους Σχήμα 1.24: Κωνική Προβολή με ένα και δύο βασικούς παραλλήλους 4.1 Κωνική ισαπέχουσα προβολή (προβολή του Κλαύδιου Πτολεμαίου) Η κωνική ισαπέχουσα προβολή, χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά από τον Αλεξανδρινό γεωγράφο Κλαύδιο Πτολεμαίο κατά τον 2ο μ.χ. αιώνα, χρησιμοποιεί ένα κώνο που εφάπτεται στη σφαίρα σε ένα παράλληλο πλάτους (Σχ. 1.24α και Σχ. 1.6β). Στο σχήμα 1.6β φαίνεται ένας χάρτης απλής κωνικής προβολής του βορείου ημισφαιρίου με βασικό παράλληλο σε πλάτος 45. Η προβολή αυτή δεν είναι γεωμετρική και μόνο οι μεσημβρινοί μπορούν να θεωρηθούν ότι προκύπτουν με γεωμετρική προβολή στην επιφάνεια του κώνου ενώ οι παράλληλοι είναι τόξα ομόκεντρων κύκλων που έχουν ακτίνα: Τ = Τ0 R( φ φ 0 ) (1.11) Όπου: R: ακτίνα της σφαίρας φ: γεωγραφικό πλάτος φ ο : γεωγραφικό πλάτος του βασικού παραλλήλου 1-26

29 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" 27 Τ ο : η ακτίνα του κύκλου που απεικονίζει τον βασικό παράλληλο φ ο (Σχ. 1.25) που υπολογίζεται από την (1.12). Τ ο = Rcotφ ο (1.12) Η γωνία θ που σχηματίζεται μεταξύ των ακραίων μεσημβρινών στο χάρτη που αντιστοιχεί σε Δλ (Σχ. 1.23) υπολογίζεται από την (1.13). θ=δλsinφ ο (1.13) Στην κωνική ισαπέχουσα προβολή δεν υπάρχει γραμμική παραμόρφωση κατά μήκος του βασικού παραλλήλου και οποιουδήποτε μεσημβρινού και επομένως η κλίμακα στις γραμμές αυτές είναι σταθερή. Η κωνική ισαπέχουσα προβολή επειδή δεν παρουσιάζει μεγάλες παραμορφώσεις σε περιοχές που βρίσκονται κοντά στον βασικό παράλληλο, είναι πολύ χρήσιμη για τη χαρτογράφηση περιοχών που καλύπτουν μικρό εύρος πλάτους και μεγάλο εύρος μήκους. (α) Σχήμα 1.25: Γεωμετρία κωνικής προβολής 4.2 Σύμμορφη κωνική προβολή (προβολή του Lambert) Η προβολή αυτή αναπτύχθηκε το 1772 από τον Jojann Heinrich Lambert είναι μία σύμμορφη κωνική προβολή στην οποία ο κώνος τέμνει τη γήϊνη σφαίρα σε δύο βασικούς παραλλήλους. Στη προβολή του Lambert οι μεσημβρινοί απεικονίζονται σαν συγκλίνουσες ευθείες και οι παράλληλοι σαν τόξα ομόκεντρων κύκλων. 4.3 Πολυκωνική προβολή Η πολυκωνική προβολή χρησιμοποιεί περισσότερους από έναν κώνους (Σχ. 1.26α) κάθε ένας από τους οποίους εφάπτεται στη γήϊνη σφαίρα σε ένα παράλληλο πλάτους κατά μήκος του οποίου δε δημιουργούνται παραμορφώσεις. (β) 1-27

30 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" 28 Σχήμα 1.25: Κωνική Ισαπέχουσα Προβολή (β) (α) Σχήμα 1.26: Πολυκωνική Προβολή 1-28

31 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" 29 Οι σχηματιζόμενες μεταξύ των διαδοχικών βασικών παραλλήλων (Σχ. 1.27α) ζώνες QΑ, ΑΒ κλπ. όταν οι κώνοι αναπτυχθούν σε επίπεδο εκατέρωθεν ενός κεντρικού μεσημβρινού (Σχ. 1.27β), εφάπτονται μεν μεταξύ τους στα σημεία Α, Β κλπ. του κεντρικού μεσημβρινού αλλά κατά μήκος των άλλων μεσημβρινών δημιουργούν κενά που αυξάνουν όσο αυξάνει η απόσταση από τον κεντρικό μεσημβρινό. Τα κενά αυτά εξαλείφονται με τη δημιουργία μίας τεχνητής, κατά τη διεύθυνση των μεσημβρινών, παραμορφώσεως (επιμηκύνσεως) (Σχ. 1.27γ). (α) (β) (γ) Σχήμα 1.27: Γεωμετρία πολυκωνικής προβολής Σε ένα χάρτη πολυκωνικής προβολής (Σχ.1.26β) οι μεν παράλληλοι πλάτους απεικονίζονται σαν τόξα μη ομόκεντρων κύκλων με τα κέντρα τους στον κεντρικό μεσημβρινό και ακτίνες που δίνονται από τη σχέση (1.12), οι δε μεσημβρινοί απεικονίζονται σαν καμπύλες που στρέφουν τα κοίλα στον κεντρικό μεσημβρινό και συγκλίνουν στο κέντρο του κύκλου που παριστά τον πόλο. Η πολυκωνική προβολή είναι κατάλληλη για χαρτογράφηση περιοχών που καλύπτουν μεγάλο εύρος πλάτους και μικρό εύρος μήκους αλλά χρησιμοποιείται με ικανοποιητική ακρίβεια και για χαρτογράφηση περιοχών που καλύπτουν και σημαντικό εύρος μήκους. 5. Γενικά χαρακτηριστικά επίπεδων προβολών Στις επίπεδες ή αζιμουθιακές προβολές τα σημεία της επιφάνειας της σφαίρας απεικονίζονται απ ευθείας σε ένα εφαπτόμενο στη σφαίρα επίπεδο, χωρίς ενδιάμεση απεικόνιση σε άλλη αναπτυκτή σε επίπεδο επιφάνεια κυλινδρική, ή κωνική) Ανάλογα με τη θέση του σημείου από το οποίο γίνεται η προβολή των σημείων της σφαίρας στο επίπεδο (Σχ. 1.28,) οι επίπεδες ή αζιμουθιακές προβολές διακρίνονται στις επόμενες βασικές κατηγορίες: 1-29

32 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" 30 Γνωμονική προβολή. Στην προβολή αυτή (Σχ. 1.1α και Σχ. 1.6γ), τα σημεία της επιφάνειας της σφαίρας προβάλλονται στο εφαπτόμενο στη σφαίρα επίπεδο από το κέντρο της σφαίρας (κεντρική προβολή). Στερεογραφική προβολή. Στην προβολή αυτή (Σχ. 1.1β και Σχ. 1.29), τα σημεία της επιφάνειας της σφαίρας προβάλλονται στο εφαπτόμενο στη σφαίρα επίπεδο από το αντιδιαμετρικό του σημείου επαφής του επιπέδου (κεντρική προβολή). Ορθογραφική προβολή. Στην προβολή αυτή (Σχ. 1.30), τα σημεία της επιφάνειας της σφαίρας προβάλλονται στο επίπεδο σε διεύθυνση κάθετη προς το επίπεδο (ορθή προβολή). Σχήμα 1.28: Γνωμονική, Στερεογραφική και Ορθογραφική Προβολή Ανάλογα με τη θέση του σημείου της σφαίρας στ οποίο εφάπτεται το επίπεδο, ή ισοδύναμα, ανάλογα με τη θέση του άξονα της γης ως προς το επίπεδο προβολής, οι αζιμουθιακές προβολές διακρίνονται σε: Πολικές αζιμουθιακές προβολές. Στις πολικές αζιμουθιακές προβολές (Σχ. 1.1γ), το επίπεδο εφάπτεται σε έναν πόλο (είναι κάθετο στον άξονα της γης). Στην περίπτωση αυτή οι παράλληλοι απεικονίζονται ως ομόκεντροι κύκλοι με κέντρο τον πόλο και οι μεσημβρινοί ως ευθείες συγκλίνουσες στον πόλο. Στο σχήμα 1.31 φαίνεται ένα παράδειγμα πολικής γνωμονικής προβολής. Ισημερινές αζιμουθιακές προβολές. Στις ισημερινές αζιμουθιακές προβολές το επίπεδο εφάπτεται σε ένα σημείο του ισημερινού (είναι παράλληλο στον άξονα της γης). Στην περίπτωση αυτή απεικονίζονται ως κάθετες ευθείες ο ισημερινός και ο μεσημβρινός που διέρχεται από το σημείο επαφής του επιπέδου με τη σφαίρα. Παραδείγματα ισημερινών αζιμουθια- 1-30

33 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" 31 κών προβολών φαίνονται στο σχήμα 1.29 (ισημερινή στερεογραφική προβολή), στο σχήμα 1.30 (ισημερινή ορθογραφική προβολή) και στο σχήμα 1.32 (ισημερινή γνωμονική προβολή). Πλάγιες αζιμουθιακές προβολές. Στις πλάγιες αζιμουθιακές προβολές το επίπεδο εφάπτεται σε σημείο διαφορετικό από τους πόλους ή τον ισημερινό. Στην περίπτωση αυτή οι ευθείες που διέρχονται από το σημείο επαφής παριστούν μέγιστους κύκλους, ενώ ομόκεντροι κύκλοι με κέντρο το σημείο επαφής απεικονίζουν σημεία που έχουν την ίδια απόσταση από αυτό. Στο σχήμα 1.6γ φαίνεται ένα παράδειγμα πλάγιας γνωμονικής προβολής. Σχήμα 1.29: Στερεογραφική Ισημερινή Προβολή Σχήμα 1.30: Ορθογραφική Ισημερινή Προβολή 1-31

34 Α. Παλληκάρη: "Χαρτογραφικές Προβολές", ΣΝΔ 2011" 32 Σχήμα 1.31: Χάρτης Πολικής Γνωμονικής Προβολής Σχήμα 1.32: Χάρτης Ισημερινής Γνωμονικής Προβολής 1-32

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1: ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ : Ι. ΖΑΧΑΡΙΑΣ ΑΓΡΙΝΙΟ, 2015 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 2008 ( ΠΡΟΚΗΡΥΞΗ 4Π /2008) ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Κλάδος-Ειδικότητα: ΠΕ 18.23 ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ (ΠΛΟΙΑΡΧΟΙ) ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Γνωστικό αντικείμενο:

Διαβάστε περισσότερα

ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑ. Στοιχεία χαρτογραφίας Σύστηµα γεωγραφικών συντεταγµένων

ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑ. Στοιχεία χαρτογραφίας Σύστηµα γεωγραφικών συντεταγµένων ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑ Στοιχεία χαρτογραφίας Σύστηµα γεωγραφικών συντεταγµένων ρ. Ε. Λυκούδη Αθήνα 2005 Χώρος Η ανάπτυξη της ικανότητας της αντίληψης του χώρου, ως προς τις διαστάσεις του και το περιεχόµενό του είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 Ο ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ Δρ. ΜΑΡΙΑ ΦΕΡΕΝΤΙΝΟΥ 2008-2009

ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 Ο ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ Δρ. ΜΑΡΙΑ ΦΕΡΕΝΤΙΝΟΥ 2008-2009 ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 Ο ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ Δρ. ΜΑΡΙΑ ΦΕΡΕΝΤΙΝΟΥ 2008-2009 Τοπογραφικοί Χάρτες Περίγραμμα - Ορισμοί - Χαρακτηριστικά Στοιχεία - Ισοϋψείς Καμπύλες - Κατασκευή τοπογραφικής τομής

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 1 0. Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 1 0. Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 1 0 Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής Γεωδαισία Μοιράζω τη γη (Γη + δαίομαι) Ακριβής Έννοια: Διαίρεση, διανομή /μέτρηση της Γής. Αντικείμενο της γεωδαισίας: Ο προσδιορισμός της μορφής, του

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Εισαγωγή

ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Εισαγωγή ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Εισαγωγή Η προβολή τρισδιάστατου αντικειμένου πάνω σε δισδιάστατη επιφάνεια αποτέλεσε μια από τις βασικές αναζητήσεις μεθόδων απεικόνισης και απασχόλησε από πολύ παλιά τους ανθρώπους. Με την

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΟΛΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΡΙΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ

ΠΡΟΒΟΛΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΡΙΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΠΡΟΒΟΛΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΡΙΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ Σημειώσεις στα πλαίσια του μαθήματος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑ του μεταπτυχιακού κύκλου σπουδών «Γεωγραφία & Περιβάλλον» Καθ. Βαϊόπουλος Δημήτριος Δρ.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π.

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 04) Ε.Μ.Π. (παρατηρήσεις για τη βελτίωση των σημειώσεων ευπρόσδεκτες) Παράσταση σημείου. Σχήμα Σχήμα

Διαβάστε περισσότερα

Βελτιωμένες Μέθοδοι Επίλυσης Θεμελιωδών Προβλημάτων Ναυσιπλοΐας

Βελτιωμένες Μέθοδοι Επίλυσης Θεμελιωδών Προβλημάτων Ναυσιπλοΐας Βελτιωμένες Μέθοδοι Επίλυσης Θεμελιωδών Προβλημάτων Ναυσιπλοΐας Αθανάσιος Ηλ. Παλληκάρης Ανάτυπο από την έκδοση: Nausivios Chora, A Journal in Naval Science and Technology ISSN: 1791-4469, Hellenic Naval

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ 4η παρουσίαση

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ 4η παρουσίαση ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ 4η παρουσίαση Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ 4ο εξάμηνο http://eclass.survey.teiath.gr Παρουσιάσεις, Ασκήσεις, Σημειώσεις ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1. Ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

Επειδή ο μεσημβρινός τέμνει ξανά τον παράλληλο σε αντιδιαμετρικό του σημείο θα θεωρούμε μεσημβρινό το ημικύκλιο και όχι ολόκληρο τον κύκλο.

Επειδή ο μεσημβρινός τέμνει ξανά τον παράλληλο σε αντιδιαμετρικό του σημείο θα θεωρούμε μεσημβρινό το ημικύκλιο και όχι ολόκληρο τον κύκλο. ΝΑΥΣΙΠΛΟΪΑ Η ιστιοπλοΐα ανοιχτής θαλάσσης δεν διαφέρει στα βασικά από την ιστιοπλοΐα τριγώνου η οποία γίνεται με μικρά σκάφη καi σε προκαθορισμένο στίβο. Όταν όμως αφήνουμε την ακτή και ανοιγόμαστε στο

Διαβάστε περισσότερα

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1 ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΑΝΑΓΛΥΦΟ Το προοπτικό ανάγλυφο, όπως το επίπεδο προοπτικό, η στερεοσκοπική εικόνα κ.λπ. είναι τρόποι παρουσίασης και απεικόνισης των αρχιτεκτονικών συνθέσεων. Το προοπτικό ανάγλυφο είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Η πρώτη οθόνη μετά την εκτέλεση του προγράμματος διαφέρει κάπως από τα προηγούμενα λογισμικά, αν και έχει αρκετά κοινά στοιχεία. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ. Γενικές αρχές και έννοιες

ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ. Γενικές αρχές και έννοιες ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ Γενικές αρχές και έννοιες Στο σύστημα προβολής κατά Monge δεν μας δίνεται η δυνατότητα ν αντιληφθούμε άμεσα τα αντικείμενα του χώρου, παρά μόνο αφού συνδυάσουμε τις δύο προβολές του αντικειμένου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΛΙΝ ΡΟΣ 1. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΥΛΙΝ ΡΟΥ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΕΠΙΠΕ ΕΣ ΤΟΜΕΣ - ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ- ΣΚΙΕΣ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΚΥΛΙΝ ΡΟΣ 1. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΥΛΙΝ ΡΟΥ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΕΠΙΠΕ ΕΣ ΤΟΜΕΣ - ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ- ΣΚΙΕΣ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΚΥΛΙΝ ΡΟΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΕΠΙΠΕ ΕΣ ΤΟΜΕΣ - ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ- ΣΚΙΕΣ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Σχήµα 1 1. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΥΛΙΝ ΡΟΥ Η κυλινδρική επιφάνεια ή κύλινδρος, προκύπτει από τις διαδοχικές θέσεις µιας ευθείας α, (γενέτειρα) η

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΚΩΝΙΚΕ ΤΟΜΕ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ 1. Να σημειώσετε το σωστό () ή το λάθος () στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1. Η εξίσωση + = α (α > 0) παριστάνει κύκλο.. Η εξίσωση + + κ + λ = 0 µε κ, λ 0 παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΣΧΗΜΑ ΤΗΣ ΓΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ

ΤΟ ΣΧΗΜΑ ΤΗΣ ΓΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ ΤΟ ΣΧΗΜΑ ΤΗΣ ΓΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ Το Σχήµα και το Μέγεθος της Γης Η υσική επιάνεια της γης χαρακτηρίζεται από ένα ακανόνιστο σχήµα µε µεγάλες εδαικές εξάρσεις (Σχήµα 1). Οι κορυές των ορέων τάνουν µέχρι

Διαβάστε περισσότερα

ΝΑΥΣΙΠΛΟΪΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ

ΝΑΥΣΙΠΛΟΪΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΝΑΥΣΙΠΛΟΪΑ 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ α. Τι είναι έξαρμα του πόλου υπέρ τον ορίζοντα και γιατί ενδιαφέρει τον ναυτιλλόμενο. β. Να ορίσετε τα είδη των αστέρων (αειφανείς, αφανείς και Αμφιφανείς)και να γράψετε τις συνθήκες

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

9/3/2014. Εισαγωγή ορισμοί. Χαρτογραφία. Αυτό οφείλεται πρώτα στη σημαντική συνεισφορά στις διαδικασίες της κατασκευής χαρτών πολλών επιστημών

9/3/2014. Εισαγωγή ορισμοί. Χαρτογραφία. Αυτό οφείλεται πρώτα στη σημαντική συνεισφορά στις διαδικασίες της κατασκευής χαρτών πολλών επιστημών Εισαγωγή ορισμοί Χαρτογραφία Αυτό οφείλεται πρώτα στη σημαντική συνεισφορά στις διαδικασίες της κατασκευής χαρτών πολλών επιστημών Διάλεξη 4 ΧΑΡΤΕΣ -DATUMs καθώς επίσης και στην χρησιμοποίηση αυτών από

Διαβάστε περισσότερα

Πρόχειρες Σημειώσεις

Πρόχειρες Σημειώσεις Πρόχειρες Σημειώσεις ΛΕΠΤΟΤΟΙΧΑ ΔΟΧΕΙΑ ΠΙΕΣΗΣ Τα λεπτότοιχα δοχεία πίεσης μπορεί να είναι κυλινδρικά, σφαιρικά ή κωνικά και υπόκεινται σε εσωτερική ή εξωτερική πίεση από αέριο ή υγρό. Θα ασχοληθούμε μόνο

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Απόστολος Ντάνης. Σχολικός Σύμβουλος Φυσικής Αγωγής

Δρ. Απόστολος Ντάνης. Σχολικός Σύμβουλος Φυσικής Αγωγής Δρ. Απόστολος Ντάνης Σχολικός Σύμβουλος Φυσικής Αγωγής *Βασικές μορφές προσανατολισμού *Προσανατολισμός με τα ορατά σημεία προορισμού στη φύση *Προσανατολισμός με τον ήλιο *Προσανατολισμός από τη σελήνη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΔΙΚΤΥΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΔΙΚΤΥΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΔΙΚΤΥΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο ΠΑΛΙΟ http://eclass.survey.teiath.gr NEO

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνικά Προβολικά Συστήματα και Μετασχηματισμοί σε χάρτες και διαγράμματα που αξιοποιούνται στην Πολεοδομία και Χωροταξία.

Ελληνικά Προβολικά Συστήματα και Μετασχηματισμοί σε χάρτες και διαγράμματα που αξιοποιούνται στην Πολεοδομία και Χωροταξία. ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας και Ανάπτυξης Ελληνικά Προβολικά Συστήματα και Μετασχηματισμοί σε χάρτες και διαγράμματα που αξιοποιούνται στην Πολεοδομία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του

Διαβάστε περισσότερα

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του Κωνικές τομές Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του ΚΥΚΛΟΣ το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κώνου ΠΑΡΑΒΟΛΗ το επίπεδο είναι παράλληλο σε μια γενέτειρα

Διαβάστε περισσότερα

Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 2013-2014 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ

Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 2013-2014 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 1-14 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ 1. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y = e ημ + ln. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y = τοξημ( ) d y y = ημ θ. Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΕΡΕΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΤΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΤΟΥ ΡΗΓΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΤΩΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΞΟΝΩΝ

ΣΤΕΡΕΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΤΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΤΟΥ ΡΗΓΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΤΩΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΞΟΝΩΝ ΣΤΕΡΕΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΤΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΤΟΥ ΡΗΓΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΤΩΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΞΟΝΩΝ Σκοπός Σκοπός της άσκησης αυτής είναι η στερεογραφική απεικόνιση του επιπέδου του ρήγματος, καθώς και του βοηθητικού επιπέδου

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΛΟΓΙΚΗΣ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΗΣΗΣ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΛΟΓΙΚΗΣ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΗΣΗΣ Τμήμα Διαχείρισης Περιβάλλοντος και Φυσικών Πόρων Εργαστήριο Οικολογίας & Διαχείρισης της Βιοποικιλότητας ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΛΟΓΙΚΗΣ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΗΣΗΣ Διδάσκων: Καθηγητής Παναγιώτης Δ. Δημόπουλος Επιμέλεια

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Κεφάλαιο. Για να δημιουργήσουμε τρισδιάστατα αντικείμενα, που μπορούν να παρασταθούν στην οθόνη του υπολογιστή ως ένα σύνολο από γραμμές, επίπεδες πολυγωνικές επιφάνειες ή ακόμη και από ένα συνδυασμό από

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΕΡΕΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ

ΣΤΕΡΕΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ ΣΤΕΡΕΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ Η προοπτική εικόνα, είναι, όπως είναι γνωστό, η προβολή ενός χωρικού αντικειμένου, σε ένα επίπεδο, με κέντρο προβολής, το μάτι του παρατηρητή. Η εικόνα αυτή, θεωρούμε ότι αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς.

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς. Μ2 Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς. 1 Σκοπός Η εργαστηριακή αυτή άσκηση αποσκοπεί στη μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας σε ένα τόπο. Αυτή η μέτρηση επιτυγχάνεται

Διαβάστε περισσότερα

4.5.6 ΡΗΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΑ ΤΜΗΜΑΤΑ 4.5.6.1 Η ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΜΕ ΒΑΡΟΣ 4.5.6.2 ΤΟ ΚΥΚΛΙΚΟ ΤΜΗΜΑ

4.5.6 ΡΗΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΑ ΤΜΗΜΑΤΑ 4.5.6.1 Η ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΜΕ ΒΑΡΟΣ 4.5.6.2 ΤΟ ΚΥΚΛΙΚΟ ΤΜΗΜΑ 4.5.6 ΡΗΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΑ ΤΜΗΜΑΤΑ Ευθείες γραµµές και παραβολικά τµήµατα µπορούν να µοντελοποιηθούν µε τη χρήση κυβικών πολυωνυµικών τµηµάτων. Τα κυκλικά ελλειπτικά ή υπερβολικά τµήµατα όµως προσεγγίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Ο χώρος. 1.Μονοδιάστατη κίνηση

Ο χώρος. 1.Μονοδιάστατη κίνηση Ο χώρος Τα χελιδόνια έρχονται και ξανάρχονται. Κάθε χρόνο βρίσκουν μια γωνιά για να χτίσουν τη φωλιά, που θα γίνει το επίκεντρο του χώρου τους. Ο χώρος είναι ένας οργανικός χώρος, όπως εκείνος που αφορά

Διαβάστε περισσότερα

με τόξο ακτίνας R 43 1.2.14 Σύνδεση ευθείας τ με δύο τόξα ακτίνας R και R 1

με τόξο ακτίνας R 43 1.2.14 Σύνδεση ευθείας τ με δύο τόξα ακτίνας R και R 1 Πρόλογος 19 1 1.1 ΒΑΣΙΚΟΙ ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΑ ΣΧΕΔΙΟΥ 21 1.1.1 Χαρτί σχεδίου 21 1.1.2 Κανονισμοί στο σχέδιο 21 1.1.3 Τοποθέτηση του χαρτιού 23 1.1.4 Αναδίπλωση 23 1.1.5 Υπόμνημα 24 1.1.6 Κλίμακα 25 1.1.7

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας Κεφάλαιο 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας. Στο Κεφάλαιο αυτό περιέχονται: 5.1 Γωνία διεύθυνσης. 5. Πρώτο θεμελιώδες πρόβλημα. 5.3 εύτερο θεμελιώδες

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: α) ω = 3 π β) ω = π 3 γ) ω = π. Να βρείτε τη γωνία ω που σχηµατίζει µε τον άξονα x x µια ευθεία ε, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 1. ( x 1) ( x) 5( x ). x ( x ) 6 x. x ( x) x 5( x 1) x 1 (1 x) x ( x) x x. 1 x 5. x 6 1 1 ( ) 1 1 6. x 1 x 7. 1 x

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΗλιακήΓεωµετρία. Γιάννης Κατσίγιαννης

ΗλιακήΓεωµετρία. Γιάννης Κατσίγιαννης ΗλιακήΓεωµετρία Γιάννης Κατσίγιαννης ΗηλιακήενέργειαστηΓη Φασµατικήκατανοµήτηςηλιακής ακτινοβολίας ΗκίνησητηςΓηςγύρωαπότονήλιο ΗκίνησητηςΓηςγύρωαπότονήλιοµπορεί να αναλυθεί σε δύο κύριες συνιστώσες: Περιφορά

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=..

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=.. Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = 1 : ψ =..=.. = o Για χ = -1 : ψ =..=.. = o Για χ = 0 : ψ =..=.. = o Για χ = 2 :

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Α Τάξη Γυμνασίου Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 01. Κεφ. 1 ο : Οι φυσικοί αριθμοί 1. Πρόσθεση, αφαίρεση και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ----- Ταχ. /νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ. Εισαγωγή. Πρώτος κατέδειξε τις αρχές της γραμμικής προοπτικής ο Brounelesci, γλύπτης και αρχιτέκτονας,

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ. Εισαγωγή. Πρώτος κατέδειξε τις αρχές της γραμμικής προοπτικής ο Brounelesci, γλύπτης και αρχιτέκτονας, ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Εισαγωγή Αυτό που στην εφαρμοσμένη γεωμετρία ονομάζουμε συχνά γραμμική προοπτική είναι ένα σύστημα αναπαράστασης του τρισδιάστατου χώρου σε επιφάνεια δύο διαστάσεων. Η μέθοδος αυτή απεικόνισης

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόµενα. Περιεχόµενα... 7. Ευρετήριο Γραφηµάτων... 11. Ευρετήριο Εικόνων... 18. Κεφάλαιο 1

Περιεχόµενα. Περιεχόµενα... 7. Ευρετήριο Γραφηµάτων... 11. Ευρετήριο Εικόνων... 18. Κεφάλαιο 1 Περιεχόµενα Περιεχόµενα... 7 Ευρετήριο Γραφηµάτων... 11 Ευρετήριο Εικόνων... 18 Κεφάλαιο 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ... 19 Θεωρία... 19 1.1 Έννοιες και ορισµοί... 20 1.2 Μονάδες µέτρησης γωνιών και µηκών...

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛ Λ Ε Ι Ψ Η - ΚΥΚΛΟΣ

ΕΛ Λ Ε Ι Ψ Η - ΚΥΚΛΟΣ ΣΥΝΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ -.Μ.Κ. 10.98 1 ΕΛ Λ Ε Ι Ψ Η - ΚΥΚΛΣ Ε1 Μ 2γ Ε2 2β 1. ΡΙΣΜΙ ΡΙΣΜΙ - ΚΤΣΚΕΥΕΣ Η έλλειψη είναι επίπεδη καµπύλη 2 ου βαθµού, είναι δε ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων, των οποίων το άθροισµα

Διαβάστε περισσότερα

Ανάκλαση Είδωλα σε κοίλα και κυρτά σφαιρικά κάτοπτρα. Αντώνης Πουλιάσης Φυσικός M.Sc. 12 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ

Ανάκλαση Είδωλα σε κοίλα και κυρτά σφαιρικά κάτοπτρα. Αντώνης Πουλιάσης Φυσικός M.Sc. 12 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Ανάκλαση Είδωλα σε κοίλα και κυρτά σφαιρικά κάτοπτρα Αντώνης Πουλιάσης Φυσικός M.Sc. 12 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Πουλιάσης Αντώνης Φυσικός M.Sc. 2 Ανάκλαση Είδωλα σε κοίλα και κυρτά σφαιρικά κάτοπτρα Γεωμετρική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές

Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές Συντομεύσεις Ακρωνύμια... 2 Σύνοψη... 3 Προαπαιτούμενη γνώση... 3 7.1. Κατασκευή ευθύγραμμων τμημάτων... 3 7.2. Κατασκευή γωνιών... 8 7.3. Κατασκευή πολυγώνων... 11 7.4.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΤΥΠΩΣΕΙΣ - ΧΑΡΑΞΕΙΣ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΙ ΕΜΒΑΔΩΝ ΚΑΙ ΟΓΚΩΝ

ΑΠΟΤΥΠΩΣΕΙΣ - ΧΑΡΑΞΕΙΣ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΙ ΕΜΒΑΔΩΝ ΚΑΙ ΟΓΚΩΝ ΑΠΟΤΥΠΩΣΕΙΣ - ΧΑΡΑΞΕΙΣ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΙ ΕΜΒΑΔΩΝ ΚΑΙ ΟΓΚΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Αποτυπώσεις - Χαράξεις Παρουσιάσεις, Ασκήσεις,

Διαβάστε περισσότερα

1.1. ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων?

1.1. ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων? ΣΧΕΔΙΑΣΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ - Εξεταστέα ύλη Β εξαμήνου 2011 1.1. ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων? Τρεις μέθοδοι προβολών

Διαβάστε περισσότερα

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/ Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή Δύο ποσά λέγονται αντιστρόφως ανάλογα, όταν η τιμή του ενός πολλαπλασιαστεί επί έναν αριθµό, τότε η τιµή του

Διαβάστε περισσότερα

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Αλγ ε β ρ α. Γενικής Παιδειασ

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Αλγ ε β ρ α. Γενικής Παιδειασ ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ Αλγ ε β ρ α Β Λυ κ ε ί ο υ Γενικής Παιδειασ Α Τό μ ο ς 3η Εκ δ ο σ η Πρόλογος Το βιβλίο αυτό έχει σκοπό και στόχο αφενός μεν να βοηθήσει τους μαθητές της Β Λυκείου να κατανοήσουν καλύτερα την

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικό Γνωστικό Περιεχόμενο/Εξεταστέα Ύλη (Syllabus)

Αναλυτικό Γνωστικό Περιεχόμενο/Εξεταστέα Ύλη (Syllabus) Αναλυτικό Γνωστικό Περιεχόμενο/ Ενότητα 1 η : Θεωρία Χαρτογραφίας Το ακόλουθο αναλυτικό γνωστικό περιεχόμενο αποτελεί την πρώτη ενότητα της εξεταστέας ύλης για την πιστοποίηση GISPro και παρέχει το υπόβαθρο

Διαβάστε περισσότερα

2. τα ρωμαϊκά, που το λούκι έχει μετασχηματιστεί σε επίπεδο και έχει ενσωματωθεί στο καπάκι

2. τα ρωμαϊκά, που το λούκι έχει μετασχηματιστεί σε επίπεδο και έχει ενσωματωθεί στο καπάκι Οι αριθμοί αντιμετωπίζονται με τον ίδιο τρόπο, αλλά είναι σημαντικό να μελετήσουμε τον τρόπο που σημειώνονται οι αριθμοί που αποδίδουν στα σχέδια τις διαστάσεις του αντικειμένου. Οι γραμμές διαστάσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ : ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΕ 2 Σ.Φ ΙΣΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ. ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 περιόδους. 28/9/2008 12:48 Όνομα: Λεκάκης Κωνσταντίνος καθ.

ΘΕΜΑ : ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΕ 2 Σ.Φ ΙΣΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ. ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 περιόδους. 28/9/2008 12:48 Όνομα: Λεκάκης Κωνσταντίνος καθ. ΘΕΜΑ : ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΕ 2 Σ.Φ ΙΣΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 περιόδους 28/9/2008 12:48 καθ. Τεχνολογίας 28/9/2008 12:57 Προοπτικό σχέδιο με 2 Σημεία Φυγής Σημείο φυγής 1 Σημείο φυγής 2 Γωνία κτιρίου

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Γενική Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Διδακτέα-εξεταστέα

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... 9 ΣΥΝΤΟΜΟΓΡΑΦΙΕΣ... 17

Περιεχόμενα ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... 9 ΣΥΝΤΟΜΟΓΡΑΦΙΕΣ... 17 Περιεχόμενα ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... 9 ΣΥΝΤΟΜΟΓΡΑΦΙΕΣ... 17 1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ... 19 1.1 Γενικά... 19 1.2 Το αντικείμενο της Τοπογραφίας... 19 1.3 Οι τοπογραφικές εργασίες... 20 1.4 Τοπογραφική

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων Νίκος Γ. Τόμπρος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Ενότητα : ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ (ΛΟΓΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑ) Σκοποί: Η ανάπτυξη ενδιαφέροντος για το θέμα, η εξοικείωση με τη χρήση τεχνολογίας, η παρότρυνση για αναζήτηση πληροφοριών (εδώ σε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ 1 η ΟΜΑΔΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κεφάλαιο 2 ο Συστήματα αστρονομικών συντεταγμένων και χρόνος ΑΣΚΗΣΗ 1 η (α) Να εξηγηθεί γιατί το αζιμούθιο της ανατολής και της δύσεως του Ηλίου σε ένα τόπο,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων ΘΕ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων 1. Σκοπός Πρόκειται για θεωρητική άσκηση που σκοπό έχει την περιληπτική αναφορά σε θεµατολογίες που αφορούν την

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ.

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. Ν. Ε. Ηλιού Επίκουρος Καθηγητής Τµήµατος Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστηµίου Θεσσαλίας Γ.. Καλιαµπέτσος Επιστηµονικός

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Θέματα: - Έννοιες χώρου και καρτεσιανές συντεταγμένες - ισδιάστατη γεωμετρία - Γωνίες - Στερεομετρία - Συμμετρία/ μετασχηματισμοί

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Θέματα: - Έννοιες χώρου και καρτεσιανές συντεταγμένες - ισδιάστατη γεωμετρία - Γωνίες - Στερεομετρία - Συμμετρία/ μετασχηματισμοί ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θέματα: - Έννοιες χώρου και καρτεσιανές συντεταγμένες - ισδιάστατη γεωμετρία - Γωνίες - Στερεομετρία - Συμμετρία/ μετασχηματισμοί 1 Έννοιες χώρου και καρτεσιανές συντεταγμένες 1. Ο χάρτης δείχνει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ. Ιστορικά

ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ. Ιστορικά ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ Ιστορικά Στις αρχές του 16 ου αιώνα ήταν ήδη γνωστές οι αρχές της γραμμικής προοπτικής, περίπου όπως την ξέρουμε σήμερα. Την περίοδο αυτή καλλιτέχνες, γλύπτες και αρχιτέκτονες άρχισαν να πειραματίζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση του νέου βιβλίου «Γεωλογία Γεωγραφία» για την Α Γυμνασίου Γκαραγκούνη Αναστασία

Παρουσίαση του νέου βιβλίου «Γεωλογία Γεωγραφία» για την Α Γυμνασίου Γκαραγκούνη Αναστασία Παρουσίαση του νέου βιβλίου «Γεωλογία Γεωγραφία» για την Α Γυμνασίου Γκαραγκούνη Αναστασία Ομάδα εργασίας: Δημητρίου Δώρα, Μυρωνάκη Άννα, Γκαραγκούνη Αναστασία Δομή της Παρουσίασης Ενδεικτικός Προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1.

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. Στο επίπεδο 0, στις πρώτες τάξεις του δηµοτικού σχολείου, όπου στόχος είναι η οµαδοποίηση των γεωµετρικών σχηµάτων σε οµάδες µε κοινά χαρακτηριστικά στη µορφή τους, είδαµε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΛΗΛΟΤΟΜΙΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ

ΑΛΛΗΛΟΤΟΜΙΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΑΛΛΗΛΟΤΟΜΙΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ - ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ 1. ΟΡΙΣΜΟΙ ύο επιφάνειες βαθµών µ και ν αντιστοίχως, τέµνονται κατά καµπύλη βαθµού (µ. ν). Η αλληλοτοµία, εποµένως, δύο επιφανειών 2 ου βαθµού,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλο Εργασίας. Θέμα : Περπατώντας στο Πήλιο Θέλετε να οργανώσετε έναν ορειβατικό περίπατο από την Αγριά στην Δράκεια Πηλίου.

Φύλλο Εργασίας. Θέμα : Περπατώντας στο Πήλιο Θέλετε να οργανώσετε έναν ορειβατικό περίπατο από την Αγριά στην Δράκεια Πηλίου. Ενότητα Χάρτες Φύλλο Εργασίας Μελέτη χαρτών Τάξη Α Γυμνασίου Ονοματεπώνυμο.Τμήμα..Ημερομηνία. Σκοποί του φύλλου εργασίας Η εξοικείωση 1. Με την χρήση των χαρτών 2. Με την χρήση της πυξίδας 3. Με την εργασία

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση Η15. Μέτρηση της έντασης του μαγνητικού πεδίου της γής. Γήινο μαγνητικό πεδίο (Γεωμαγνητικό πεδίο)

Άσκηση Η15. Μέτρηση της έντασης του μαγνητικού πεδίου της γής. Γήινο μαγνητικό πεδίο (Γεωμαγνητικό πεδίο) Άσκηση Η15 Μέτρηση της έντασης του μαγνητικού πεδίου της γής Γήινο μαγνητικό πεδίο (Γεωμαγνητικό πεδίο) Το γήινο μαγνητικό πεδίο αποτελείται, ως προς την προέλευσή του, από δύο συνιστώσες, το μόνιμο μαγνητικό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΟΙ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΠΟΣΤΑΣΕΩΝ - ΠΡΟΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΟΙ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΠΟΣΤΑΣΕΩΝ - ΠΡΟΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΟΙ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΠΟΣΤΑΣΕΩΝ - ΠΡΟΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΗ ΣΑΝ ΠΛΑΝΗΤΗΣ. Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Σχήµα και µέγεθος της Γης - Κινήσεις της Γης Βαρύτητα - Μαγνητισµός

Η ΓΗ ΣΑΝ ΠΛΑΝΗΤΗΣ. Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Σχήµα και µέγεθος της Γης - Κινήσεις της Γης Βαρύτητα - Μαγνητισµός Η ΓΗ ΣΑΝ ΠΛΑΝΗΤΗΣ Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Σχήµα και µέγεθος της Γης - Κινήσεις της Γης Βαρύτητα - Μαγνητισµός ρ. Ε. Λυκούδη Αθήνα 2005 Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Η Φυσική Γεωγραφία εξετάζει: τον γήινο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΩΚΕΑΝΟΓΡΑΦΙΑΣ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΩΚΕΑΝΟΓΡΑΦΙΑΣ ΧΑΡΟΚΟΠΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Τ Μ Η Μ Α Γ Ε Ω Γ Ρ Α Φ Ι Α Σ ΕΛ. ΒΕΝΙΖΕΛΟΥ, 70 17671 ΚΑΛΛΙΘΕΑ-ΤΗΛ: 210-9549151 FAX: 210-9514759 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΩΚΕΑΝΟΓΡΑΦΙΑΣ Δ ΕΞΑΜΗΝΟ ΒΥΘΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ Από Καψιμάλη Βασίλη Κύριο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

ύο λόγια από τους συγγραφείς.

ύο λόγια από τους συγγραφείς. ύο λόγια από τους συγγραφείς. Το βιβλίο αυτό γράφτηκε από τους συγγραφείς με σκοπό να συμβάλουν στην εκπαιδευτική διαδικασία του μαθήματος της Τοπογραφίας Ι. Το βιβλίο είναι γραμμένο με τον απλούστερο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΤΥΠΩΣΕΙΣ - ΧΑΡΑΞΕΙΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΟΥ DATUM

ΑΠΟΤΥΠΩΣΕΙΣ - ΧΑΡΑΞΕΙΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΟΥ DATUM ΑΠΟΤΥΠΩΣΕΙΣ - ΧΑΡΑΞΕΙΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΟΥ DATUM Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Αποτυπώσεις - Χαράξεις

Διαβάστε περισσότερα

Generated by Foxit PDF Creator Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. ΑΣΚΗΣΗ 10 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΣΤΙΑΚΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΦΑΚΟΥ

Generated by Foxit PDF Creator Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. ΑΣΚΗΣΗ 10 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΣΤΙΑΚΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΦΑΚΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 0 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΣΤΙΑΚΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΦΑΚΟΥ . Γεωμετρική οπτική ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΒΑΣΙΚΕΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ Η Γεωμετρική οπτική είναι ένας τρόπος μελέτης των κυμάτων και χρησιμοποιείται για την εξέταση μερικών

Διαβάστε περισσότερα