ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ [Κεφ. 2.4: Ρυθμός Μεταβολής του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ [Κεφ..4: Ρυθμός Μεταβολής του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Δίνεται συνάρτηση g με τύπο g ( x) = x f(x) και πεδίο ορισμού το. Αν ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης f είναι f (x) = 0,, για κάθε x, και ο ρυθμός μεταβολής της g είναι g (x) = 0 0, x, για κάθε x, να βρείτε: α. τη συνάρτηση f(x). β. την τιμή g ( 50 ). α. Παραγωγίζουμε τη συνάρτηση g και έχουμε: g x x f x x f x ( ) = ( ) ( ) + ( ) Αντικαθιστώντας τα δεδομένα παίρνουμε: 0 0, x = f ( x) + x ( 0, f ( x) = 0 0,x (. β. Ο τύπος της συνάρτησης g λόγω της σχέσης ( γίνεται: g(x) = x f(x) g(x) = 0x 0,x, οπότε για x = 50 έχουμε g ( 50) = , 50 = 000 0, 500 = 750.

2 Άσκηση. Έστω Q(t) t, t 0, η τιμή ενός προϊόντος (σε εκατοντάδες ευρώ), t έτη μετά την κυκλοφορία του προϊόντος στην αγορά. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της τιμής του προϊόντος τη χρονική στιγμή που η τιμή του θα έχει μειωθεί στο μισό της αρχικής του τιμής. Δίνεται ln 0,69. Τη χρονική στιγμή t o που η τιμή του προϊόντος θα έχει μειωθεί στο μισό της αρχικής του τιμής θα ισχύει: Q(t o) Q(0) -to 0 -t o -to - to έτος. Ο ρυθμός μεταβολής της τιμής του προϊόντος χρονική στιγμή t είναι t t Q (t) ( t) ln ln oπότε για τη χρονική στιγμή t o θα είναι Q ln,5ln,095 δηλαδή περίπου 04 ευρώ/έτος.

3 ΘΕΜΑ Γ Άσκηση. = o Στο διπλανό σχήμα είναι A 90. Από το σημείο Α ένας αθλητής ξεκινάει να τρέχει ευθύγραμμα προς το σημείο Γ. Στο σημείο Β που απέχει 8 m από το σημείο Α, είναι τοποθετημένη μία κάμερα, που παρακολουθεί την προσπάθεια του αθλητή. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της γωνίας θ που σχηματίζει η κάμερα καθώς κινείται, όταν η απόσταση κάμερας αθλητή είναι 4 m και ο αθλητής έχει ταχύτητα 8 m/sec. Β Α Γ Διαπιστώνουμε ότι τα μεταβλητά μεγέθη που μας ενδιαφέρουν είναι η γωνία θ που σχηματίζει η κάμερα καθώς κινείται και η απόσταση του αθλητή από το σημείο Α (έστω χ). Β θ Ορίζουμε ως t o τη χρονική στιγμή στην οποία αναζητούμε το ρυθμό μεταβολής της γωνίας θ που σχηματίζει η κάμερα καθώς κινείται και Δ το σημείο στο οποίο βρίσκεται ο αθλητής τη χρονική στιγμή t o. Έτσι γνωρίζουμε: Α Δ Γ (AB) = 8 m, (B ) = 4 m, Α = x(t o), x (t ο) = 8 m/sec και ζητείται να υπολογίσουμε το θ (t o). Η συνάρτηση με την οποία συνδέονται οι μεταβλητές για τηv τυχαία χρονική στιγμή t είναι x(t) εϕθ (t) =. 8 x (t) Παραγωγίζουμε ως προς t τη σχέση και παίρνουμε (t) συν (t) 8 x (t o) και για τη χρονική στιγμή t o η παραπάνω σχέση δίνει (t o). συν (t o) 8 Αντικαθιστώντας τα δεδομένα έχουμε: 8 (t o) (t ) (t o) 9 o rad/sec.

4 Άσκηση. Η ποσότητα (σε gr) ενός ραδιενεργού υλικού, σε ένα εργαστήριο, κατά τη χρονική στιγμή t (σε δευτερόλεπτα) δίνεται από τη συνάρτηση f (t) 00 e 0,t. α. Να βρείτε την αρχική ποσότητα του υλικού. β. Να αποδείξετε ότι η ποσότητα του υλικού συνεχώς μειώνεται. γ. Να βρείτε το ρυθμό με τον οποίο μειώνεται η ποσότητα του υλικού τη χρονική στιγμή t 0 sec. α. Η αρχική ποσότητα του υλικού προκύπτει για t 0sec 0,0 f 000e 00 gr. β. Έχουμε 0tt x e γν.αύξ. 0,t 0,t e e 0,t 0,t 00 e 00 e 0,t 0,t f(t f(t ). Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα, δηλαδή η ποσότητα του υλικού συνεχώς μειώνεται. γ. Βρίσκουμε την παράγωγο της συνάρτησης f (t) (00 e ) 00 e 0,t 0 e 0,t 0,t 0,t gr/sec οπότε για t 0 sec παίρνουμε f (0) 0 e gr/sec. 4

5 Άσκηση. Ο όγκος και η επιφάνεια ενός σφαιρικού μπαλονιού ως συνάρτηση της ακτίνας του R είναι 4 V R και 4 R αντίστοιχα. Αν ο όγκος του μπαλονιού αυξάνεται με ρυθμό dv 80 cm = sec τότε: α. Να βρείτε τον ρυθμό αύξησης της ακτίνας dr και της επιφάνειας de του μπαλονιού κατά τη χρονική στιγμή που η ακτίνα του είναι R cm. β. Να βρείτε την ακτίνα R και το ρυθμό μεταβολής της dr επιφάνεια του μπαλονιού αυξάνεται με ρυθμό de 0 cm /sec., κατά τη χρονική στιγμή που η 4 α. Δίνεται V R ή ως συνάρτηση του t 4 V(t) R (t). Βρίσκουμε την παράγωγο (με τον κανόνα της αλυσίδας) dv dv dr dr dv 4 dr dr Δηλαδή R (t) 4R (t) (, συνεπώς για τη χρονική στιγμή t παίρνουμε dv(t dr(t 4R (t. Αντικαθιστώντας τα δεδομένα έχουμε: dr(t ) 80 4 dr(t 5 cm/sec. Για την επιφάνεια έχουμε (t) 4 R (t). 4 R ή ως συνάρτηση του t Βρίσκουμε την παράγωγο (με τον κανόνα της αλυσίδας) de de dr dr 5

6 de dr dr 4R(t) 8R(t) (), συνεπώς για τη χρονική στιγμή t παίρνουμε de(t dr(t 8R(t. Αντικαθιστώντας τα δεδομένα έχουμε: de(t 85 de(t 80 cm /sec. β. Από τη σχέση ( έχουμε dv dr 4R (t), συνεπώς για τη χρονική στιγμή t παίρνουμε dv(t ) dr(t ) 4R (t ) dr(t ) 804R (t ) dr(t ) 0 R (t ) (). Από τη σχέση () έχουμε de 8R(t) dr, συνεπώς για τη χρονική στιγμή t παίρνουμε de(t ) dr(t ) 8R(t ) dr(t ) 0 8 R(t ) dr(t ) 5 R(t ) (4). Διαιρώντας τις σχέσεις () και (4) κατά μέλη παίρνουμε R(t ) 8 cm και με αυτό ως δεδομένο η σχέση (4) δίνει dr(t ) 5 cm/sec. 6 6

7 ΘΕΜΑ Δ Άσκηση. H θερμοκρασία (σε βαθμούς κελσίου) ενός συστήματος στις δύο πρώτες ώρες μιας πειραματικής μέτρησης δίνεται από τη συνάρτηση: 4 Ν(t) t t t, ( t σε ώρες) α. Να βρείτε τη θερμοκρασία του συστήματος στο τέλος της πρώτης ώρας του πειράματος. β. Να αποδείξετε ότι ο ρυθμός μεταβολής της θερμοκρασίας μηδενίστηκε ανάμεσα στην πρώτη και την δεύτερη ώρα. α. Η θερμοκρασία του συστήματος στο τέλος της πρώτης ώρας του πειράματος είναι: 4 ( 0 o C. β. Βρίσκουμε την παράγωγο της συνάρτησης Ν (t) 4t 4t. Η συνάρτηση Ν είναι συνεχής στο, και ισχύει ( () 48 0, άρα από θεώρημα Bolzano η εξίσωση N (t) = 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο,, δηλαδή ο ρυθμός μεταβολής της θερμοκρασίας μηδενίστηκε ανάμεσα στην πρώτη και την δεύτερη ώρα. 7

8 Άσκηση. Το διάστημα, σε μέτρα, που διανύει ένα κινητό σε χρόνο t, σε sec, δίνεται από τη συνάρτηση S(t) t t 4t, 0t 5. α. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της ταχύτητας του κινητού τη χρονική στιγμή t. β. Να βρείτε την επιτάχυνση του κινητού τη χρονική στιγμή t 4 sec. γ. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο χρονικές στιγμές που η ταχύτητα παίρνει στη μία την ελάχιστη τιμή της και στην άλλη τη μέγιστη τιμή της. α. Η ταχύτητα του κινητού δίνεται από την παράγωγο της συνάρτησης S, άρα U t S (t) (t t 4t) t 4t 4 και ο ρυθμός μεταβολής της τη χρονική στιγμή t είναι. U (t) (t 4t 4) 6t 4 β. Η επιτάχυνση του κινητού τη χρονική στιγμή t εκφράζεται από το ρυθμό μεταβολής της ταχύτητας, άρα α(t) U (t) 6t 4. Για τη χρονική στιγμή t 4sec έχουμε α(4) m/sec. γ. Η συνάρτηση της ταχύτητας είναι συνεχής ως πολυωνυμική στο κλειστό διάστημα 0,5 άρα σύμφωνα με το θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής θα υπάρχουν δύο χρονικές στιγμές στο διάστημα αυτό που η ταχύτητα παίρνει στη μία την ελάχιστη τιμή της και στην άλλη τη μέγιστη τιμή της. 8