Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://courseware.mech.ntua.gr/ml23147/)

Transcript

1 Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://courseware.mech.ntua.gr/ml23147/) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (h>p://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1

2 Δομή της Ύλης του Μαθήματος Εισαγωγη στο Χώρο Κατάστασης Μοντελοποίηση στο Χώρο Κατάστασης Ανάλυση Συστημάτων στο Χώρο Κατάστασης Δομικές Ιδιότητες Συστημάτων Ελεγξιμότητα Παρατηρησιμότητα Ευστάθεια Σχεδίαση Συστημάτων Ελέγχου Ποιοτικά Κριτήρια Σχεδίασης Ανατροφοδότηση Κατάστασης Εισαγωγή στον Βέλτιστο Έλεγχο Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση σε χώρουν πεπερασμένων και απείρων διαστάσεων. Εισαγωγή στο Λογισμό των Μεταβολών Βέλτιστος Έλεγχος μέσω Λογισμού των Μεταβολών Αναγκαίες Συνθήκες Βελτίστου Ελέγχου Προβληματα τύπου «Γραμμικού Ρυθμιστή» Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 2

3 Βέλτιστος Έλεγχος Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 3

4 Το Πρόβλημα Παρακολούθησης Τροχιάς Από το πρόβληµα του Γραµµικού Τετραγωνικού Ρυθµιστή (Linear Quadratic Regulator LQR) οδηγούµαστε το πρόβληµα Παρακολούθησης Τροχιάς (rajectory racking) θεωρόντας τη περίπτωση : () () () () () Γραμμικού (αλλα Χρονικά Μεταβαλόμενου) Συστήματος x! t = A t x t + B t u t Με κριτήριο απόδωσης + όπου H = H, Q = Q, R = Και x(t0), t0, tf : καθορισμένα. R, H 0, Q 0, R > 0 Μιά φυσική εξήγηση είναι ότι θέλουμε μέσα σε χρόνο tf - t0 να οδηγήσουμε το σύστημα αρκετά κοντά στο r(t), χωρίς σημαντική σπατάλη προσπάθειας ελέγχου Σχηματίζουμε την Χαμιλτονιανή Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 110

5 Το Πρόβλημα Παρακολούθησης Τροχιάς Βρήκαμε την Χαμιλτονιανή Οι αναγκαίες συνθήκες βελτιστοποίησης είναι: Εξισώσεις κατάστασης Εξ. «Συγκατάστασης» (Co- state Eq.) Εξισώσεις Ελέγχου Οριακές Εξισώσεις x(t 0 )=x 0, wo Point Boundary Value Problem (PBVP) : Μητρωϊκή ΔΕ όπου: Μη-οµογενης η x(t) εχει οριακή συνθήκη στο t 0 ενώ Η p(t) εχει οριακή συνθήκη στο t f

6 Το Πρόβλημα Παρακολούθησης Τροχιάς Λύση μέσω Πίνακα Μεταβατικής Κατάστασης Αν ( ) = ϕ t f,t ( ) ϕ 12 ( t f,t) ( ) ϕ 22 ( t f,t) ϕ 11 t f,t ϕ 21 t f,t t f 0 ϕ ( t f,t) dτ = Q( τ ) r( τ ) t f 1 f 2 ( t) ( t) +! K ( t)! s( t) 112

7 Το Πρόβλημα Παρακολούθησης Τροχιάς F( t) v( t) Πως υπολογίζουμε τα Κ(t), s(t)?!p ( t) = Q( t) x ( t) + A ( t) p ( t) + Q( t) r( t)!p ( t) =!K ( t) x ( t) + K ( t)!x ( t) +!s ( t) Μητρωϊκή Ricca) Δ.Ε. - Κ(t) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ Μητρωϊκή Ricca) Δ.Ε. - s(t) 113

8 Το Πρόβλημα Παρακολούθησης Τροχιάς: Επανάληψη Παρακολούθησης Τροχιάς (rajectory racking) : Διάταξη που περιγράφεται από ένα ΓΧΑΣ: Δείκτης Λειτουργικής Απόδωσης: x! (t ) = Ax (t ) + Bu (t ) J H = H, Q = Q, R = R, H 0, Q 0, R > 0 Λειτουργικές προδιαγραφές που απαιτούν x(t0), t0, tf : καθορισμένα. Λύση: Riccati: Εύρεση Βέλτιστης Συνάρτησης Εισόδου: F (t ) v(t ) Εύρεση ΔΕ & Βέλτιστης Συνάρτησης Κατάστασης: x! ( t ) = A ( t ) x ( t ) + B ( t ) u ( t ) = A ( t ) x ( t ) + B ( t ) F ( t ) x ( t ) + v ( t ) = A (τ ) d τ = A + B F ( t ) x ( t ) + B ( t ) v ( t ) = A ( t ) B ( t ) R 1 B ( t ) K ( t ) x ( t ) + B ( t ) v ( t ) Φ ( t, τ )! e t τ t x ( t ) = Φ ( t, τ ) x ( t 0 ) + Φ ( t, τ ) B (τ ) u (τ ) dτ t0 A ( t ) 114

9 Το Πρόβλημα Παρακολούθησης Τροχιάς: Παράδειγμα - 1 Σύστημα: Κριτήριο απόδωσης: Οριακές Συνθήκες: x(t 0 )=0, t 0 =0, t f =15 : καθορισμένα, x(t f ): ελεύθερο «Φυσική» Σημασία: να οδηγηθεί η κατάσταση κοντά στο 0 χωρίς σημαντικο κόστος ενέργειας Λύση: Εφαρμόζουμε τις σχετικές σχέσεις γιά... Riccati: (15) (15) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 115

10 Το Πρόβλημα Παρακολούθησης Τροχιάς: Παράδειγμα - 1!x ( t) = A( t) x ( t) + B( t) u ( t) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 116

11 Το Πρόβλημα Παρακολούθησης Τροχιάς: Παράδειγμα - 2 Σύστημα: Κριτήριο απόδοσης: Οριακές Συνθήκες: x(t 0 )=[-4 0], t 0 =0, t f =15 : καθορισμένα, x(t f ): ελεύθερο «Φυσική» Σημασία: να οδηγηθεί η κατάσταση κοντά στη συνάρτηση- ράμπα 0.2 t χωρίς σημαντικο κόστος ενέργειας Λύση: Εφαρμόζουμε τις σχετικές σχέσεις γιά... Riccati: Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 117

12 Το Πρόβλημα Παρακολούθησης Τροχιάς: Παράδειγμα - 2!x ( t) = A( t) x ( t) + B( t) u ( t) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 118

13 APPENDIX: Τετραγωνικές Μορφές Για το διάνυσµα x ℜn η ευκλίδεια νόρµα είναι x = x x Αν S µη ιδιόµορφος πίνακας τότε η ευκλείδια νόρµα του διανύσµατος Sx P (µετασχηµατισµός του x) ορίζεται ώς η P-νόρµα του διανύσµατος x.! 2 Sx = ( Sx ) Sx = x S S x = x Px " x Γενικά, η (µονόµετρη) µορφή xqx, Q ℜn n λέγεται τετραγωνική και ενδιαφερόµαστε να αναλύσουµε τη συµπεριφορά της ώς προς το πρόσηµό της. Ορίζουµε τους πίνακες Qs! Q + Q 2 =Qs : συµµετρικος Q = Qs + Qa Qa! Q Q 2 = Qa : αντι συµµετρικος µονοµετρο Παρατηρείστε ότι:! x Qa x = x Qa x = x Qa x = x Qa x x Qa x = 0 x 2 ( ( ( ) ( ) 2 P ) ) Οπότε Κατά συνέπεια: όταν θεωρούµε το πρόσηµο της τετραγωνικής µορφής xqx αν ο Q δεν είναι συµµετρικός θεωρούµε τον συµµετρικό παράγοντά του Qs. Εποµένως στην ανάλυση της τετραγωνικής µορφής ο Q θεωρείται πάντα ως συµµετρικός. x Qx = x (Qs + Qa ) x = x Qs x Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 119

14 APPENDIX: Τετραγωνικές Μορφές Λέµε ότι ο συµµετρικός πίνακας Q είναι: Θετικά ορισµένος (Q > 0) αν x Qx > 0, x 0. Θετικά ηµι-ορισµένος (Q 0) αν x Qx 0, x 0. Αρνητικά ηµι-ορισµένος (Q 0) αν x Qx 0, x 0. Αρνητικά ορισµένος (Q < 0) αν x Qx < 0, x 0. Αόριστος αν x Qx > 0 για κάποια x και x Qx < 0 για άλλα x. Μπορούµε να ελέγξουµε τα παραπάνω ανεξάρτητα από τα x, µέσω των εξής τρόπων: ES-1: ορίζουµε τις ιδιοτιµές λ i i=1 n του πίνακα Q. Αν λ i > 0 γιά όλες τι ιδιοτιµές τότε Q > 0. Αν λ i 0 γιά όλες τι ιδιοτιµές τότε Q 0. Αν λ i 0 γιά όλες τι ιδιοτιµές τότε Q 0. Αν λ i < 0 γιά όλες τι ιδιοτιµές τότε Q < 0. ES-2: Ορίζουµε τις leading minors m i, i = 1 n και principal minors M ij, i,j=1 n Πίσω... Q > 0 αν m i > 0 i=1 n Q 0 αν m i 0 i=1 n και M ij 0 i,j=1 n Q 0 αν - Q 0 Q < 0 αν m i < 0 m i > 0 i :περιττο i :αρτιο m i = q 11! q 1i " # " q i1! q ii M ij = j-στήλη q 11! q 1n " # " i-γραµµή q n1! q nn Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 120

15 Έστω (διανύσματα) x, y R n 1 και (πίνακας) Q=Q R n n Αν f(x) (βαθμωτή) συνάρτηση, για την παράγωγό της x f (x) R n 1 ισχύει: Αν APPENDIX: Παράγωγοι Τετραγωνικών Μορφών f ( x) = y x f x = x y x ( ) = y R n 1 Αν Αν f ( x) = x y f x = ( x x y) = y R n 1 f ( x) = x Qx f x = ( x x Qx) = = ( x x )Qx + ( x Q) ( x x ) = 2Qx R n 1 Πίσω... Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 121