Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές"

Transcript

1 ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές Κων/νος Κυριακόπουλος Καθηγητής ΑΕΡΟΔΙΑΣΤΗΜΙΚΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟΣ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΣ

2 Δομή της Ύλης του Μαθήματος ΘΕΩΡΙΑ Ειδικά Κεφάλαια Σχεδίασης Συστημάτων Ελέγχου Παρακολούθηση Εισόδου Βαθμίδας (με Ανατροφοδότηση Κατάστασης) Παρατηρητές και Ανατροφοδότηση Εξόδου Συστήματα Ενσωματωμένου Ελέγχου (Embedded Control Systems) Εισαγωγή: Αναγκαιότητα Ψηφιακών Συστημάτων Ελέγχου Μετατροπές μεταξύ Αναλογικών και Ψηφιακών Σημάτων Μετασχηματισμός Ζ Συστήματα Διακριτού Χρόνου Ψηφιακός Έλεγχος με Σχεδίαση στο Συνεχές Πεδίο Ευστάθεια Ελεγξιμότητα Παρατηρησιμότητα Ψηφιακός Έλεγχος με Σχεδίαση στο Διακριτό Πεδίο: Ανάδραση Κατάστασης Ανάδρασης Εξόδου Παρατηρητές Εκτίμηση Κατάστασης - το Φίλτρο Kalman Εισαγωγή στην Αναγνώριση Συστημάτων Εφαρμογές Αρχιτεκτονική & Προγραμματισμός του Arduino TM. Η γλώσσα C ως εργαλείο προγραμματισμού ενσωματωμένων συστημάτων Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 2

3 Παρακολούθηση Εισόδου Βαθμίδας Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 3

4 Έστω το SISO ΓΧΑΣ Για προδιαγραφές PO = 6 % t s = 3 sec Λαµβάνουµε Τοποθέτηση Πόλων Κλειστού Βρόχου με Ανάδραση Μεταβλητών Κατάστασης - Τύπος του Ackermann: Παράδειγμα A= B 0 = C = ( PO 100) ln ( PO ) [ ] ln PO = = = = π ts! 3 ωn 2rad/sec ξ ω = = ξʹ π 2 PO= 6 1 ξ ʹ 100 e 6 ξ n Απόκριση για είσοδο βαθμιδας: u(t)=u s (t) λ1,2 = 1.33± j1.49 Ιδιοτιµές Αν και ευσταθείς, µόνο µε ελαφρά απόσβεση : κυριαρχούσες ιδιοτιµές Η τελευταία ιδιοτιµή επιλέγεται 10 φορές πιο γρήγορη, δηλ. 3 2 Επιθυµητό ΧΠ: α ( ) ( )( )( ) λ 3 = s = s j1.49 s j1.49 s = s + 16s s = 3 2 = s + s + s+ α α α Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ

5 Ο πίνακας ελεγξιµότητας είναι Επίσης, από το ΧΠ έχουµε: Και από τον τύπο του Ackermann: 1 K = [ 0 0 1] P α ( A) = [ ] Ο έλεγχος u= K x+ r δίνει την απόκριση του διπλανού σχήµατος στην οποία ικανοποιούνται οι συνθήκες δυναµικής απόκρισης. 1/18 ΟΜΩΣ: Τοποθέτηση Πόλων Κλειστού Βρόχου με Ανάδραση Μεταβλητών Κατάστασης - Τύπος του Ackermann: Παράδειγμα Πως επιτυγχάνεται η επιθυµητή µόνιµη κατάσταση? Θα δούµε αµέσως τώρα... Αν δεν είναι άµεσα διαθέσιµη η κατάσταση? Τι γίνεται σε MIMO συστήµατα? P= P = α ( A) = A + 16A A I = Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 5

6 Παρακολούθηση Εισόδου Βαθμίδας Μέχρι στιγµής δόθηκε έµφαση στη µεταβατική απόκριση. Τώρα θα ασχοληθούµε µε τη µονιµη κατάσταση µε έµφαση στη παρακολούθηση εισόδου βαθµίδας µέσω δύο (2) προσεγγίσεων: Ενσωµάτωση της εισόδου αναφοράς στο νόµο ελέγχου µε ανατροφοδότηση κατάστασης. Σερβοµηχανισµοί: Ενσωµάτωση ολοκληρωτικού παράγοντα του σφάλµατος στο νόµο ελέγχου µε ανατροφοδότηση κατάστασης. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 6

7 Παρακολούθηση Εισόδου Βαθμίδας: Κέρδος Εισόδου Αναφοράς ( ) ( ) ( ) Αν στο ΓΧΑΣ xt! = Axt + But χρησιµοποιήσουµε όχι το συνήθη νόµο ελέγχου u( t) = K x( t) + r( t) αλλά u( t) = K x t τότε το σύστηµα κλειστού βρόχου είναι ( ) + G r( t) Με είσοδο αναφοράς η σαφής προδιαγραφή είναι Προφανώς ( ), ( ) p yt rt G Όλη η ανάλυση που θα ακολουθήσει προϋποθέτει ότι m p, δηλαδή αριθµό εισόδων µεγαλύτερο ή ίσο αυτό των εξόδων, και Κ τέτοιο ώστε το σύστηµα κλειστού βρόχου είναι ασυµπτωτικά ευσταθές. Ο πίνακας µεταφοράς κλειστού βρόχου είναι H s = C s I A+ B K B G! Επειδή!! m p Για να είναι πρέπει =??? CL! p ( ) ( ) 1 p p Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 7

8 Παρακολούθηση Εισόδου Βαθμίδας: Κέρδος Εισόδου Αναφοράς Για να είναι πρέπει = Ι p p Ποιός πίνακας G R m p ικανοποιεί αυτή τη συνθήκη? 1 p p 1 m = p : τότε προφανώς C ( A B K) B! G= C ( A B K) B Αν C ( A B K) 1 B µη αντιστρέψιµος τότε λέµε ότι το σύστηµα κλειστού βρόχου έχει ένα µηδενιστή µετάδοσης (transmission zero) στο s = 0. Για να το καταλάβουµε, ας θεωρήσουµε ένα SISO µε τη ΣΜ: C ( s I A+ B K) 1 B. Αυτό θα έχει ένα µηδενιστή στο s = 0. ( ) 1 p m m > p : τότε C A B K B! δηλ. Έχει περισσότερες στήλες από γραµµές. Αν εποµένως rank C ( A B K ) 1 B = p τότε ο G υπολογίζεται από τον ψευδοαντίστροφο Moore-Penrose 1 T 1 1 G= C ( A B K) B C ( A B K) B C ( A B K) B Για να είναι yss = Kdc R πρέπει = Κ dc Πώς αλλάζει η παραπάνω ανάλυση? T 1 1 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 8

9 Παρακολούθηση Εισόδου Βαθμίδας: Κέρδος Εισόδου Αναφοράς - Παράδειγμα Σε προηγούµενη φάση, προχωρήσαµε σε τοποθέτηση πόλων µέσω ανάδρασης µεταβλητών κατάστασης για ένα ΓΧΑΣ µε ΣΜ ανοικτού βρόχου και το κέρδος DC ανοικτού βρόχου Kdc ( ) = H 0 = 118 καταλήξαµε στο κερδος και προέκυψε η ΣΜ κλειστού βρόχου που η απόκριση της οποίας, φαίνεται στο διάγραµµα της επόµενης σελίδας, στα αριστερά Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 9

10 Παρακολούθηση Εισόδου Βαθμίδας: Κέρδος Εισόδου Αναφοράς - Παράδειγμα Με την µεθοδολογία Παρακολούθησης Εισόδου Βαθµίδας µέσω Κέρδους Εισόδου Αναφοράς, επειδή m = p = 1 ( ) G= C A B K B K dc = = που οδηγεί στην απόκριση που εµφανίζεται στο δεξιό σχήµα 1/18 u= K x+ r u= K x+ G r Σερβο- Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ μηχανισμοί 10

11 Σχεδιασμός «Σερβομηχανισμού» Είδαµε ότι ο υπολογισµός του κέρδους G προϋποθέτει τον υπολογισµό του παράγοντα, ο οποίος στηρίζεται αποκλειστικά στις παραµέτρους του µοντέλου του συστήµατος. Μια τέτοια προσέγγιση δεν είναι «εύρωστη» (robust) γιατι στην πράξη συµβαίνουν τα παρακάτω: Αβεβαιότητα ακριβούς γνώσης των παραµέτρων (A, B, C) του συστήµατος Προσεγγιστική παράσταση του συστήµατος (µη θεώρηση όρων άγνωστης ή πολύπλοκης δυναµικής) Μεταβολή των παραµέτρων του συστήµατος. Πως µπορούµε να εξασφαλίσουµε καλή απόδωση υπό αυτές τις συνθήκες? Εδώ προτείνεται ο συνδυασµός της µεθοδολογίας χρήσης ενός ολοκληρωτή του σφάλµατος, και των προηγουµένων µεθοδολογιών ανάδρασης µεταβλητών κατάστασης. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 11

12 Σχεδιασμός «Σερβομηχανισμού» Προτείνεται ο συνδυασµός της µεθοδολογίας χρήσης ενός ολοκληρωτή του σφάλµατος, και των προηγουµένων µεθοδολογιών ανάδρασης µεταβλητών κατάστασης. Η προτεινόµενη µεθοδολογία είναι εύρωστη αναφορικά µε τις αβεβαιότητες των παραµέτρων ανοικτού βρόχου µε την έννοια ότι: Διασφαλίζεται η παρακολούθηση της εισόδου βαθµίδας, Εφόσον η ευστάθεια κλειστού βρόχου είναι δεδοµένη. Εδώ, θεωρούµε την περίπτωση SISO και στηριζόµαστε στις παρακάτω προϋποθέσεις: 1) Το ζεύγος (Α,Β) είναι ελέγξιµο Δηλαδή: το s=0 δεν 2) To 0 δεν ειναι πόλος του συστήµατος ανοικτού βρόχου είναι ούτε πόλος ούτε 3) To 0 δεν ειναι µηδενιστής του συστήµατος ανοικτού βρόχου μηδενιστής του συστήματος ανοικτού βρόχου Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 12

13 Σχεδιασμός «Σερβομηχανισμού» Αν r(t) είναι η είσοδος αναφοράς, ο προτεινόµενος νόµος ελέγχου είναι Eίναι φανερό ότι το ξ(t) είναι τo ολοκλήρωµα του σφάλµατος e(t) r(t) - y(t). Επειδή ξ(0 - ) = 0 παίρνοντας το µετασχηµατισµό Laplace βλέπουµε ότι δηλαδή εισάγεται ένας πόλος ανοικτού βρόχου στο s = 0 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 13

14 Σχεδιασμός «Σερβομηχανισμού» Από τις υποθέσεις: To 0 δεν ειναι πόλος του συστήµατος ανοικτού βρόχου, και To 0 δεν ειναι µηδενιστής του συστήµατος ανοικτού βρόχου, άρα ΔΕΝ υπάρχει απαλοιφή µε τον πόλο «ενεκα εισαγωγής του ξ». Εποµένως η εισαγωγή του ολοκληρωτικού συστήµατος οδηγεί σε σύστηµα «τύπου-1» (ελεύθερος ολοκληρωτής). Κατά συνέπεια, ως γνωστόν, για το σφάλµα µόνιµης κατάστασης e ss = lim e( t) = lim s E( s) = 0 t s 0 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 14

15 Σχεδιασμός «Σερβομηχανισμού» Ο νόµος ελέγχου είναι και το συνολικό δοµικό διάγραµµα είναι Plant A,B!x t Οι εξίσώσεις του αντίστοιχου συστήµατος κλειστού βρόχου είναι ( ) = A x( t) + B u( t) ( ) y( t) = r( t) C x( t)! ξ = r t Και εποµένως η απόκριση του συστήµατος εξαρτάται από τις n+1 ιδιοτιµές αυτού του συστήµατος. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 15

16 Σχεδιασμός «Σερβομηχανισμού» Εποµένως πρέπει να µπορούµε να τοποθετούµε κατά βούληση, µέσω του πίνακα κερδών, τις ιδιοτιµές του πίνακα κλειστού βρόχου Αυτό προϋποθέτει την ελεγξιµότητα του ζεύγους Από την 2 η προϋπόθεση, δηλ. To 0 δεν ειναι πόλος του συστήµατος ανοικτού βρόχου, ο Α δεν έχει µηδενική ιδιοτιµή δεν είναι ιδιόµορφος A 0 Από την 3 η προϋπόθεση, δηλ. Η(0) 0 SISO Υπενθυµίση από Γραµ. Άλγεβρα: Εποµένως ο δεν είναι ιδιόµορφος. Από την 1 η Ελέγξιµο προϋπόθεση, δηλ. (Α,Β) ελέγξιµο Μπορούµε να τοποθετήσουµε κατά βούληση, µέσω του πίνακα κερδών, τις (n +1) ιδιοτιµές του πίνακα κλειστού βρόχου. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 16

17 Σχεδιασμός «Σερβομηχανισμού» Θεωρούµε ότι ο πίνακας κερδών υπολογίσθηκε ωστε να εξασφαλίζεται η ασυµπτωτική ευστάθεια του συστήµατος κλειστού βρόχου. Θέλουµε να δείξουµε ότι αν Εποµένως : Πρέπει να βρούµε την σχέση των στο ΣΙ του συστήµατος κλειστού βρόχου, και Μετά να αποδέιξουµε ότι Εξ. Καταστ. Κλειστου Βρόχ., Μονιµη Καταστ. Από τη γραµµική άλγεβρα Αυτό έχει νόηµα γιατί, όπως αποδείξαµε προηγουµένως, A 0, οπότε Εποµένως Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 17

18 Σχεδιασμός «Σερβομηχανισμού» : Στο παρελθόν είδαµε το SISO ΓΧΑΣ Είναι στην «κανονική µορφή ελεγκτή», εποµένως το ζεύγος (Α, Β) είναι ελέγξιµο και έτσι ικανοποιείται η 1 η προϋπόθεση. Βρήκαµε ότι η ΣΜ ανοικτού βρόχου είναι και εποµένως δεν υπάρχει ούτε πόλος, ούτε µηδενιστής στο s = 0, ικανοποιόντας τις προϋποθέσεις 2 η και 3 η. Σύµφωνα µε την προηγηθείσα ανάλυση Παράδειγμα A= B 0 = C = [ ] Αυτό είναι ΓΧΑΣ 4 ης τάξης. Επιλέγουµε ιδιοτιµές σύµφωνα µε το κριτήριο ΙΤΑΕ επιλέγοντας ω n = 2 rad/s : = που έχει ιδιοτιµές : Με τον τύπου του Ackermann βρίσκουµε Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 18

19 Σχεδιασμός «Σερβομηχανισμού» : Παράδειγμα Δεδοµένου ότι ο νόµος ελέγχου είναι: Και το σύστηµα κλειστού βρόχου: Σε επόμενη φάση θα δούμε πως αντιμετωπίζεται η μη- άμεση διαθεσιμότητα κατάστασης Αποµένει να αξιολογήσουµε την «ευρωστία» του σύστήµατος, θεωρόντας µία απόκλιση από την δυναµική του συστήµατος Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 19

20 Σχεδιασμός «Σερβομηχανισμού» : Παράδειγμα ΓΧΑΣ µε Διαταραχή λ 1,2,3 = 1, ±j4 ΓΧΑΣ κανονικό A = Από ανάλυση προ- προηγούμενης διαφάνειας Το σύστηµα, παρόλη τη «διαταραχή», παραµένει ασυµπτωτικά ευσταθές. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 20

21 Σχεδιασμός «Σερβομηχανισμού» : Παράδειγμα Από τις αποκρίσεις των συστηµάτων, κανονικού και «διαταραγµένου», βλέπουµε την επίδραση της διαταραχής στην µεταβατική απόκριση. Είναι φανερό όµως ότι επειδή το «διαταραγµένο» σύστηµα έχει διατηρήσει την ευστάθειά του, ένεκα του ολοκληρωτικού όρου, επιτυγχάνει µηδενικό τελικό σφάλµα. R=1 u = K x + k I ξ Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 21

22 7. Παρατηρητές και Ανάδραση Εξόδου Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 22

23 Εκτίμηση Κατάστασης Η χρήση ανάδρασης / ανατροφοδότησης κατάστασης στο ΓΧΑΣ προαπαιτεί την ακριβή γνώση της κατάστασής του. Αυτό δεν είναι πάντοτε άµεσα δυνατό και, όπως αποδεικνύεται για πλήρως παρατηρήσιµα ΓΧΑΣ, οδηγούµαστε στη σχεδίαση «Παρατηρητών» (Observers) δηλαδή συστηµάτων που επιτελούν την «εκτίµηση» (estimation) της κατάστασης του ΓΧΑΣ στηριζόµενα στη - σε πραγµατικό χρόνο - γνώση των εισόδου και εξόδου του παραπάνω συστήµατος. Εκτίμηση Κατάστασης Ακολούθως, εισάγεται η έννοια της «Ανιχνευσιµότητας» (Detectability) για εκείνες τις περιπτώσεις όπου το σύστηµα δέν είναι πλήρως παρατηρήσιµο. Η εκτίµηση ˆx( t) της κατάστασης (στη θέση της πραγµατικής της τιµής xt (.) µπορεί να χρησιµοποιηθεί στο σχήµα ελέγχου ανάδρασης µεταβλητών κατάστασης. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 23

24 Ο Παρατηρητής Έστω το προς έλεγχο ΓΧΑΣ : Θεωρούµε παρατηρητή της µορφής: Εκτίμηση Κατάστασης Σκοπός είναι η εύρεση των «πίνακα κερδών παρατηρησης» L που δίνει το βάρος µε το οποίο λαµβάνεται υπόψη ο όρος (η «απόκλιση» της εξόδου που θα προέκυπτε από την εκτίµηση από τη τρέχουσα πραγµατική έξοδο) σε ένα ΓΧΑΣ, που κατά τ αλλα προσοµοιώνει τη δυναµική της εγκατάστασης. Αν ορίσουµε το σφάλµα εκτίµησης µπορούµε να πάρουµε τη δυναµική σφάλµατος : Προφανώς Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 24

25 Ο Παρατηρητής Αν τότε οπότε η δοµή της δυναµικής σφάλµατος. xt = A LC xt συνεπάγεται (γιατί?) xt! = 0 xt ˆ = xt t 0!"( ) ( ) "( ) ( ) ( ) ( ) Όµως ΔΕΝ είναι δυνατόν πάντοτε να ξέρουµε την αρχική κατάσταση, δηλ. ( ) ( ) ( ) Όµως, µε κατάλληλη επιλογή του L, το xt!" = A LC xt " µπορεί να γίνει ευσταθές και το xt! να τείνει στο 0. ( ) Η δοµή του παρατηρητή και όλου του συστήµατος φαίνονται αναλυτικότερα,από πριν, στο διπλανό σχήµα. Επίσης, καταλήξαµε στη παραπάνω Δ.Ε. σφάλµατος, κάνοντας την ΥΠΟΘΕΣΗ ότι οι πίνακες Α, Β, C του παρατηρητή (δηλ. το µοντέλο που «τρέχει» σε λογισµικό) ταυτίζονται µε αυτούς του πραγµατικού συστήµατος. Παρατηρητής Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 25

26 Τοποθέτηση Πόλων Παρατηρητή Επειδή σ(α-l C) = σ((α-l C) Τ ) και (Α-L C) Τ =Α Τ -C T LT, άν θεωρήσουµε τις αντιστοιχίες : Α Α Τ Β C Τ K L Τ βλέπουµε ότι η τοποθέτηση ιδιοτιµών του Α-L C µέσω του L είναι αντίστοιχη µε τη τοποθέτηση ιδιοτιµών του Α-Β Κ µέσω του Κ.Υπάρχει δηλ. διαδικότητα (duality) µεταξύ των προβληµάτων. Θεώρηµα: Αν Α R n n, C R p n τότε για κάθε σύνολο n µιγαδικών αριθµών {µ 1, µ 2,, µ n }, στο οποίο οι µη αµιγώς πραγµατικοί εµφανιζονται ως συζυγή ζεύγη, υπάρχει ένας πίνακας L R n p έτσι ώστε σ(α-l C) = {µ 1, µ 2,, µ n } αν και µόνο αν το ζεύγος (Α,C) είναι παρατηρήσιµο. Το παραπάνω θεώρηµα θέτει την παρατηρησιµότητα ως αναγκαία και ικανή συνθήκη για την αυθαίρετη (εφόσον οι µη αµιγώς πραγµατικές εµφανιζονται ως συζυγή ζεύγη) τοποθέτηση όλων των ιδιοτιµών ενός παρατηρητή, µέσω κατάλληλου πίνακα κερδών ανατροφοδότησης. Πως ευρίσκεται αυτό το L? Τύπος Ackermann: Για συστήµατα µίας εξόδου, δηλ. Α R n n, C R 1 n, τότε 1 όπου L= α ( A) Q ( A C) [! ], T T T T T T n ( ) 1 T Q= C C A C A R n n! ο πίνακας παρατηρησιµότητας που επειδή εµφανίζεται σε µορφή αντιστρόφου είναι εµφανής η ανάγκη γιά παρατηρησιµότητα : οι συντελεστές του δίνονται από το επιθυµητό ΧΠ του Α-L C δηλ. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 26

27 Τοποθέτηση Πόλων Παρατηρητή: Παράδειγμα - 1 Έστω το ΓΧΑΣ Πόλοι Ανοικτού Βρόχου Πόλοι Παρατηρητή ΧΠ Παρατηρητή 1 ( ) ( ) [ ] L= α A Q A, C 0 0! 0 1 T Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 27

28 Τοποθέτηση Πόλων Παρατηρητή: Παράδειγμα - 1 xt ˆ! Axt ˆ But L yt yt ˆ Axt ˆ But L yt Cxt ˆ A LC xt ˆ But Lyt ( ) = ( ) + ( ) + ( ) ( ) = ( ) + ( ) + ( ) ( ) = ( ) ( ) + ( ) + ( ) Παρατηρητής Αν θεωρήσουµε τις τροχιές που προκύπτουν από το ΓΧΑΣ για [ ] x 0 = T από τον παρατηρητή (όπως εµφανίζεται παραπάνω) και για x ˆ = T [ ] Είναι φανερή η ασυµπτωτική σύγκλιση της εκτίµησης του παρατηρητή προς τη πραγµατική τροχιά του ΓΧΑΣ (που µάλιστα δεν είναι συγκλίνουσα). Στη συνέχεια θα δούµε και την περίπτωση κλειστού βρόχου. 0 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 28

29 Τοποθέτηση Πόλων Παρατηρητή: Παράδειγμα - 2 Στο παρελθόν θεωρήσαµε το ΓΧΑΣ Επιλέξαµε πόλους κλειστού βρόχου Επιλέγουµε πόλους παρατηρητή κατά πολύ ταχύτερους (~10 φορές) για να συγκλίνει γρήγορα η εκτίµηση, δηλ. 1 = α ( ) (, ) [ 0 0! 0 1] T L = [ ] L A Q A C T Τα µεγάλα κέρδη παρατηρητή οφείλονται στους επιλεγέντες πολύ γρήγορους πόλους παρατηρητη. Αυτό δυνητικά οδηγεί σε «ευαίσθητο» σύστηµα... Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ Σερβομηχανισμοί 29

30 Ανιχνευσιμότητα Σε οιοδήποτε παρατηρήσιµο σύστηµα είναι δυνατή η ανάπτυξη παρατηρητή ο οποίος έχει πόλους τοποθετηµένους κατά τις απαιτουµενες προδιαγραφές και κατα συνέπεια οδηγεί στη παρατήρηση της κατάστασης του συστήµατος. Είναι δυνατή όµως η παρατήρηση ενός µη πλήρως παρατηρήσιµου συστήµατος? Απάντηση: Ναι υπό τη προυπόθεση ότι το σύστηµα είναι ανιχνεύσιµο (detectable) Παράδειγµα: Το SISO ΓΧΑΣ Όπως φαίνεται παρακάτω είναι µη πλήρως παρατηρήσιµο. Όµως το υποσύστηµα (Α 11, C 1 ) είναι ένα πλήρως παρατηρήσιµο σύστηµα. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 30

31 Ανιχνευσιμότητα ( ) = ( ) ( ) xt!" A LC xt " Αν επιλέξουµε τότε Από την block κάτω τριγωνική µορφή (block lower triangular) του πίνακα παρατηρητή είναι φανερό ότι µε το κέρδος l 1 µπορούµε να τοποθετήσουµε κατά βούληση τον 1 ο (δηλ τον παρατηρήσιµο) πόλο. Oι 2 ος & 3 ος πόλοι είναι οι -1, -2, που είναι ευσταθείς, και κατά συνέπεια το ίδιο είναι και η δυναµική των αντιστοίχων σφαλµάτων, που εποµένως τείνουν στο «0». Τα κέρδη l 2, l 3 δεν µπορούν να έχουν επίδραση στη δυναµική αυτών των σφαλµάτων, γιατί «εισάγουν» το που ούτως ή άλλως τείνει στο «0».!x 1 Ορισµός: Το ΓΧΑΣ y= C x ή αλλοιώς το «ζεύγος» (Α,C), είναι Ανιχνεύσιµο (Detectable) αν υπαρχει πίνακας κερδών παρατηρητή L για τον οποίο όλες οι ιδιοτιµές του πίνακα Α-L C έχουν αυστηρά αρνητικό πραγµατικό τµήµα. Παρατηρησιµότητα Ανιχνευσιµότητα (Detectability) Ανιχνευσιµότητα Παρατηρησιµότητα x! = A x+ B u Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 31

32 Ανιχνευσιμότητα x! = A x+ B u Έστω το ΓΧΑΣ όπου το (Α,C) δεν είναι πλήρως παρατηρήσιµο. y= C x Ως γνωστόν, υπάρχει µετασχηµατισµός που οδηγεί στους πίνακες του µετασχηµατισµένου συστήµατος όπου το (Α 11, C 1 ) είναι πλήρως παρατηρήσιµο. Γι αυτό το σύστηµα, θεωρούµε τον κατάλληλα «κατατµηµένο» πίνακα κερ- -δών οπότε ο πίνακας παρατη- -ρητή του µετασχηµατισµένου συστήµατος : Αυτός ο πίνακας έχει ιδιοτιµές που αποτελούνται: Από αυτές του όπου, επειδή το (Α 11, C 1 ) είναι πλήρως παρατηρήσιµο, µπορούν να τοποθετηθούν (π.χ. µε τον τύπο του Ackermann) κατά βούληση, και Από αυτές του (που δεν µπορούν να µετακινηθούν). Εποµένως η δυνατότητα παρατήρησης του ΓΧΑΣ προϋποθέτει ότι το έχει ασυµπτωτικά ευσταθείς πόλους. Παρατηρούµε δε ότι το L 2 δεν παίζε κανένα ρόλο στη παρατήρηση του συστήµατος. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 32

33 Ανιχνευσιμότητα : Παράδειγμα Για το ΓΧΑΣ Εξετάσαµε την παρατηρησιµότητά του, και βρήκαµε ότι o πίνακας παρατηρησιµότητας έχει τάξη 2, εποµένως το σύστηµα δεν είναι πλήρως παρατηρήσιµο rank Είδαµε το τρόπο µετασχηµατισµού του σε µορφή που «ξεχωρίζουν» τα. παρατηρήσιµα και µη παρατηρήσιµα τµήµατα. Επιλέξαµε τις 2 πρώτες. στήλες (γραµµικά ανεξάρτητες) του πίνακα ελεγξιµότητας και προσθέτοντας. το «3 ο διάνυσµα της κανονικής βασης», πήραµε τον πίνακα µετασχηµατισµού. Αυτός οδηγεί στο µετασχηµατισµό = 2 Επειδή Α 22 = -3, προφανώς το σύστηµα είναι σταθεροποιήσιµο. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 33

34 Ανιχνευσιμότητα : Παράδειγμα Για το (Α 11, C 1 ) επιλέγουµε ιδιοτιµές - 2 ± j 2 και µέσω του τύπου του Ackermann υπολογίζεται ο σχετικός πίνακας κερδών L 1 = [ 1 3] T και µπορεί να πιστοποιηθεί ότι ο πινακας έχει τις επιθυµητές ιδιοτιµές. Επιλέγουµε λοιπόν L ˆ = [ 1 3 0] T και µπορεί να πιστοποιηθεί ότι ο έχει ιδιοτιµές - 2 ± j 2, -3. ( ) ( ˆ ˆ ˆ) Επειδή θέλουµε οι διοτιµές των A L C, A L C να ταυτίζονται, βάσει των ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 L= T L 1 A= T A T ( ) 1 C = C T A L C = T A L C T Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 34

35 Αντιστάθμιση Βασισμένη σε Παρατηρητές Η Ιδιότητα του Διαχωρισμού Για τη σταθεροποίση µέσω ανάδρασης / ανατροφοδότησης κατάστασης του ΓΧΑΣ γνωρίζουµε ότι: η ελεγξιµότητα του ζευγους (Α, Β) είναι αναγκαία και ικανή συνθήκη για να είναι δυνατή η τοποθέτηση πόλων κλειστου βρόχου µέσω του νόµου ελέγχου η παρατηρησιµότητα του ζευγους (Α, C) είναι αναγκαία και ικανή συνθήκη για να είναι δυνατή η εκτίµηση κατάστασης του ΓΧΑΣ µέσω του παρατηρητή Αν γίνει διασύνδεση των παραπάνω συστηµάτων προκύπτει το συνολικό σύστηµα του σχήµατος: Controller Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 35

36 Αντιστάθμιση Βασισμένη σε Παρατηρητές Η Ιδιότητα του Διαχωρισμού Η διασύνδεση µεταξύ παρατηρήτή και ελεγκτή οδηγεί στη δοµή Το σχήµα της προηγούµενης σελίδας εξειδικεύεται στο δοµικό διάγραµµα ( ) = ( ) ˆ( ) + ( ) xt! Axt BK xt Brt Παρατηρούµε ότι δηλαδή x x = T x x όπου I I 0 I ( ) ( ) x t!x t 1 T = = T και εποµένως = x( t) ( ) ˆx ( t) x t = I 0 I I ( ) ( ) x t ˆx t T [!] [ ˆ] Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 36 T

37 Αντιστάθμιση Βασισμένη σε Παρατηρητές Η Ιδιότητα του Διαχωρισμού H block τριγωνική µορφή του συνολικού πίνακα δείχνει ότι οι 2n ιδιοτιµές είναι Λόγω του ότι οι µετασχηµατισµοί συντεταγµένων ΔΕΝ επηρεάζουν τις ιδιοτιµές, προφανώς Αυτή είναι η Ιδιότητα Διαχωρισµού (Separation Property) που καθορίζει ότι: οι 2n πόλοι του συστήµατος x xˆ T διαχωρίζονται: [ ] σε αυτούς που αντιστοιχούν στο σύστηµα ελέγχου και καθορίζονται απο κατάλληλη επιλογή του K στον πίνακα Α-ΒΚ, και σε αυτούς που αντιστοιχούν στο σύστηµα παρατήρησης και καθορίζονται απο κατάλληλη επιλογή του L στον πίνακα Α-LC. Οι πόλοι του Α-LC πρέπει να είναι σαφώς ταχύτεροι (~10 φορές) από τους κυριαρχούντες του Α-ΒΚ. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 37

38 Αντιστάθμιση Βασισμένη σε Παρατηρητές Ιδιότητα Διαχωρισμού: Παράδειγμα - 1 Έστω το ΓΧΑΣ (ήδη εξετασθέν) Πόλοι Ανοικτού Βρόχου «Οριακά Ευσταθές» Σύστημα Το σύστηµα ανοικτού βρόχου ΔΕΝ είναι ΒΙΒΟ ευσταθές. Για το σύστηµα «συντονίζεται» και οδηγεί σε µη-φραγµένη απόκριση (να δειχθεί). Επιλέγουµε ασυµπτωτικά ευσταθείς πόλους κλειστού βρόχου. ΧΠ: Από τον τύπο του Ackermann προκύπτει: Κ Ο πίνακας κλειστού βρόχου είναι: Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 38

39 Αντιστάθμιση Βασισμένη σε Παρατηρητές Ιδιότητα Διαχωρισμού: Παράδειγμα - 1 Έπιλέξαµε: Πόλοι Παρατηρητή ΧΠ Παρατηρητή 1 ( ) ( ) [ ] L= α A Q A, C 0 0! 0 1 T Αν θέλουµε απλή σταθεροποίηση τότε επιλέγουµε r(t) = 0 στον νόµο ελέγχου ˆ οπότε ( ) = ( ) + ( ) ut Kxt rt Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 39

40 Αντιστάθμιση Βασισμένη σε Παρατηρητές Ιδιότητα Διαχωρισμού: Παράδειγμα - 1 xt ˆ! Axt ˆ But L yt yt ˆ Axt ˆ But L yt Cxt ˆ A LC xt ˆ But Lyt ( ) = ( ) + ( ) + ( ) ( ) = ( ) + ( ) + ( ) ( ) = ( ) ( ) + ( ) + ( ) Παρατηρητής Αν θεωρήσουµε τις τροχιές που προκύπτουν από το ΓΧΑΣ για [ ] x 0 = T από τον παρατηρητή (όπως εµφανίζεται παραπάνω) και για x ˆ = T [ ] Είναι φανερή η ασυµπτωτική σύγκλιση της εκτίµησης του παρατηρητή προς τη πραγµατική τροχιά του ΓΧΑΣ (που µάλιστα δεν είναι συγκλίνουσα). 0 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 40

41 Αντιστάθμιση Βασισμένη σε Παρατηρητές Ιδιότητα Διαχωρισμού: Παράδειγμα - 1 Ως γνωστόν xt ˆ = A LC xt ˆ + But + Lyt. Από προηγουµένως Οπότε! ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ˆ( ) + ( ) xt ˆ! A LC BK xt Lyt ( ) = Cxt ( ) yt xt ˆ! A LC BK xt LCxt ( ) = ( ) ˆ( ) + ( ) ( ) = Kxt ˆ( ) ut x! = A x BK xˆ ( ) = ( ) + ( ) xt! Axt But Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 41

42 Αντιστάθμιση Βασισμένη σε Παρατηρητές Ιδιότητα Διαχωρισμού: Παράδειγμα - 1 Στο διπλανό σχήµα, φαίνονται τα αποτελέσµατα προσοµοιώσεων για Φαίνονται η σύγκλιση της κατάστασης στο «0», και η σύγκλιση της εκτίµησης προς την πραγµατική κατάσταση Ποιά από τις 2 συγκλίσεις είναι ταχύτερη και γιατί? ( ) Αν το xˆ 0 επιλεγεί διαφορετικά απ ότι παραπάνω, θα αλλάξει κάποια από τις 2 καµπύλες και ποιά? Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 42

43 Παρακολούθηση Εισόδου Βαθμίδας: Αντιστάθμιση μέσω Παρατηρητή Μέχρι στιγµής δόθηκε έµφαση ση µεταβατική απόκριση. Τώρα θα ασχοληθούµε µε τη παρακολούθηση εισόδου βαθµίδας µέσω δύο (2) προσεγγίσεων: Ενσωµάτωση της εισόδου αναφοράς στο νόµο ελέγχου µε ανατροφοδότηση κατάστασης. Σερβοµηχανισµοί: Ενσωµάτωση ολοκληρωτικού παράγοντα του σφάλµατος στο νόµο ελέγχου µε ανατροφοδότηση κατάστασης. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 43

44 Αν στο ΓΧΑΣ xt! = Axt + But χρησιµοποιήσουµε νόµο ελέγχου. τότε ut Kxt ˆ Grt έχουµε xt! = Axt BK xt ˆ + BGrt οπότε επειδή ˆx x x γίνεται Ως γνωστόν Παρακολούθηση Εισόδου Βαθμίδας: Αντιστάθμιση μέσω Παρατηρητή Κέρδος Εισόδου Αναφοράς ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =! xt! ( ) = ( A BK ) xt ( ) + BK xt "( ) + BGrt ( ) xt!"( ) = ( A LC ) xt "( ) Ο πίνακας µεταφοράς κλειστού βρόχου είναι: CL = +! δηλαδή ίδιος µε τη περίπτωση (που καλύψαµε στο παρελθόν) όπου η κατάσταση ήταν διαθέσιµη. Άρα ισχύει η προηγούµενου ανάλυση (δηλ. αυτή που έγινε για τη περίπτωση χωρίς παρατηρητή). Γιατί ο πίνακας µεταφοράς κλειστού βρόχου είναι ίδιος? ( ) ( ) 1 p p H s C s I A B K B G Οι ΣΜ καθορίζουν τη σχεση εισόδου-εξόδου για ΜΗΔΕΝΙΚΕΣ αρχικές συνθήκες... Εδώ:. Αυτό όµως θα σήµαινε xt!( ) = 0 t 0. Άρα οι περιπτωσεις: (α) µε παρατηρητή και (β) χωρίς παρατηρητή, θα ήταν ίδιες... ( ) ( ) ( ) ( ) [ 0] ( ) "( ) ( ) ( ) xt! A BK BK xt BG = + r t xt 0 ( A LC ) xt 0!" " y t = C x t x t Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 44 T ( )

45 Παρακολούθηση Εισόδου Βαθμίδας: Αντιστάθμιση μέσω Παρατηρητή Σχεδιασμός «Σερβομηχανισμού» Η µεθοδολογία του Σερβοµηχανισµού προτάθηκε προγουµένως ως εύρωστη αναφορικά µε τις αβεβαιότητες των παραµέτρων ανοικτού βρόχου, µε την έννοια ότι: Διασφαλίζεται η παρακολούθηση της εισόδου βαθµίδας, Εφόσον η ευστάθεια κλειστού βρόχου είναι δεδοµένη. Σκοπεύουµε να επιτύχουµε: Ασυµπτωτική ευστάθεια του συστήµατος κλειστού βρόχου, και Ασυµπτωτική παρακολούθηση εισόδου αναφοράς τύπου συνάρτησης βαθµίδας. Θεωρούµε την περίπτωση SISO και στηριζόµαστε στις παρακάτω προϋποθέσεις: Το s=0 δεν είναι ούτε 1) Το ζεύγος (Α,Β) είναι ελέγξιµο και παρατηρήσιµο πόλος ούτε μηδενιστής 2) To 0 δεν ειναι πόλος του συστήµατος ανοικτού βρόχου του συστήματος ανοικτού βρόχου 3) To 0 δεν ειναι µηδενιστής του συστήµατος ανοικτού βρόχου Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 45

46 Παρακολούθηση Εισόδου Βαθμίδας: Αντιστάθμιση μέσω Παρατηρητή Σχεδιασμός «Σερβομηχανισμού» Αν r(t) είναι η είσοδος αναφοράς, ο προτεινόµενος νόµος ελέγχου είναι όπου είναι φανερό ότι το ξ(t) είναι το ολοκλήρωµα του σφάλµατος και το συνολικό δοµικό διάγραµµα είναι Αν λάβουµε υπόψη µας και τις βασικές εξισώσεις : [ K k ] ˆ I x( t) ξ ( t) xt! ( ) = Axt ( ) + But ( ) y( t) = C x( t) xt ˆ ( ) = xt ( ) xt "( ) Καταλήγουµε στο σύστηµα κλειστού βρόχου: Εποµένως, η απόκριση του συστήµατος εξαρτάται από τις 2n+1 ιδιοτιµές αυτού του συστήµατος. = Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 46 T

47 Ο πίνακας δυναµικής είναι block άνω τριγωνικός. Προφανώς, ένεκα παρατηρησιµότητας, n πόλοι τοποθετούνται µέσω του L στο block: (A-L C) Μπορούµε, όπως είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο, να κάνουµε ασυµπτωτικά ευσταθείς, µέσω του πίνακα κερδών [Κ k Ι ], τις (n +1) ιδιοτιµές του πίνακα κλειστού βρόχου : Θέλουµε να δείξουµε ότι αν Εποµένως : Πρέπει να βρούµε την σχέση των στο ΣΙ του συστήµατος κλειστού βρόχου, και Μετά να αποδέιξουµε ότι Παρακολούθηση Εισόδου Βαθμίδας: Αντιστάθμιση μέσω Παρατηρητή Σχεδιασμός «Σερβομηχανισμού» Βασει της ανάλυσης του προηγούμενου κεφαλαίου ( ) 0= A L C x! x! = 0 Ο (Α-LC) είναι ασυμπτωτικά ευσταθής μη ιδιόμορφος SS SS Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 47

48 Παρακολούθηση Εισόδου Βαθμίδας: Αντιστάθμιση μέσω Παρατηρητή Σχεδιασμός «Σερβομηχανισμού» : Παράδειγμα Σε ΓΧΑΣ που εξετάσαµε προηγουµένως, βρήκαµε το πίνακα κερδών του σερβοµηχανισµού. Επίσης, σε προηγούµενο παράδειγµα βρήκαµε τα κέρδη παρατηρητή Εποµένως L = Σύστηµα xt! ( ) = Axt ( ) + But ( ) Έξοδος A= B= 0 yt C = [ ( ) = Cxt ( ) ] Νόµος Ελέγχου [ ] T Παρατηρητής Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 48

49 Παρακολούθηση Εισόδου Βαθμίδας: Αντιστάθμιση μέσω Παρατηρητή Σχεδιασμός «Σερβομηχανισμού» : Παράδειγμα Για r(t)=1 t 0, λαµβάνουµε την απόκριση εξόδου και µεταβλητών κατάστασης. Ποιά από τις 2 συγκλίσεις είναι ταχύτερη και γιατί? ( ) Αν το xˆ 0 επιλεγεί διαφορετικά απ ότι παραπάνω τι θα αλλάξει? Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 49

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://) Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (h>p://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή της Ύλης του Μαθήματος Εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://) Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (h>p://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή της Ύλης του Μαθήματος Εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (http://)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (http://) Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (http://) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (http://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή της Ύλης του Μαθήματος Εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://) Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (h>p://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή της Ύλης του Μαθήματος Εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος «Ελάχιστης Ενέργειας»

Έλεγχος «Ελάχιστης Ενέργειας» Έλεγχος «Ελάχιστης Ενέργειας» Σε πολλές εφαρµογές, τόσο της αεροδιαστηµικής όσο και άλλων µορφών της τεχνολογίας µεταφορών κλπ, η βελτιστοποίηση επικεντρώνεται στο ζήτηµα της ενέργειας κατά την επίτευξη

Διαβάστε περισσότερα

Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής: Ευρεση Νόμου Ελέγχου

Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής: Ευρεση Νόμου Ελέγχου Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής: Ευρεση Νόμου Ελέγχου Για την ανεύρεση της µορφής των λύσεων στρεφόµαστε προς τις αναγκαίες συνθήκες, αρχικά στις Εξισώσεις Euler-Lagrange: Τ Τ Τ! f d! f = 0 t t0, t

Διαβάστε περισσότερα

2. Ανάλυση Γραμμικών Χρονικά Αμετάβλητων Συστημάτων (ΓΧΑΣ) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1

2. Ανάλυση Γραμμικών Χρονικά Αμετάβλητων Συστημάτων (ΓΧΑΣ) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 2. Ανάλυση Γραμμικών Χρονικά Αμετάβλητων Συστημάτων (ΓΧΑΣ) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Επίλυση Εξισώσεων Κατάστασης Δεδοµένου του ΓΧΑΣ nn nm pn pm όπου A R B R C R D R Τίθεται το ζήτηµα της επίλυσης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΙ Τμήμα Μαθηματικών - Τομέας Υπολογιστών & Αριθμητικής Ανάλυσης Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 2016

ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΙ Τμήμα Μαθηματικών - Τομέας Υπολογιστών & Αριθμητικής Ανάλυσης Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 2016 ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΙ Τμήμα Μαθηματικών - Τομέας Υπολογιστών & Αριθμητικής Ανάλυσης Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 016 Θέμα 1. α) (Μον.1.5) Αποδείξτε ότι αν το σύστημα στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://) Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (h>p://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή της Ύλης του Μαθήματος Εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (hhp://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή της Ύλης του Μαθήματος Εισαγωγή στο Χώρο

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση: Ένα σύστηµα µε είσοδο u(t), έξοδο y(t) και διάνυσµα κατάστασης x(t) = (x 1 (t) x 2 (t)) T περιγράφεται από το ακόλουθο διάγραµµα:

Άσκηση: Ένα σύστηµα µε είσοδο u(t), έξοδο y(t) και διάνυσµα κατάστασης x(t) = (x 1 (t) x 2 (t)) T περιγράφεται από το ακόλουθο διάγραµµα: 1 Άσκηση: Ένα σύστηµα µε είσοδο u(t), έξοδο y(t) και διάνυσµα κατάστασης x(t) = (x 1 (t) x 2 (t)) T περιγράφεται από το ακόλουθο διάγραµµα: Όπου Κ R α) Να βρεθεί η περιγραφή στο χώρο κατάστασης και η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακός Έλεγχος. 6 η διάλεξη Σχεδίαση στο χώρο κατάστασης. Ψηφιακός Έλεγχος 1

Ψηφιακός Έλεγχος. 6 η διάλεξη Σχεδίαση στο χώρο κατάστασης. Ψηφιακός Έλεγχος 1 Ψηφιακός Έλεγχος 6 η διάλεξη Σχεδίαση στο χώρο κατάστασης Ψηφιακός Έλεγχος Μέθοδος μετατόπισης ιδιοτιμών Έστω γραμμικό χρονικά αμετάβλητο σύστημα διακριτού χρόνου: ( + ) = + x k Ax k Bu k Εφαρμόζουμε γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Έλεγχος στο Πεδίο της Συχνότητας. Τόπος Ριζών Διάγραµµα Bode Διάγραµµα Nyquist Ψηφιακός PID

Κεφάλαιο 6. Έλεγχος στο Πεδίο της Συχνότητας. Τόπος Ριζών Διάγραµµα Bode Διάγραµµα Nyquist Ψηφιακός PID Κεφάλαιο 6 Έλεγχος στο Πεδίο της Συχνότητας u Έλεγχος στο Πεδίο της Συχνότητας Τόπος Ριζών Διάγραµµα Bode Διάγραµµα Nyquist Ψηφιακός PID Τόπος Ριζών Για τον τόπο των ριζών δεν χρειάζεται καµία ιδιαίτερη

Διαβάστε περισσότερα

Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια

Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια 6 Nicol Tptouli Ευστάθεια και θέση πόλων Σ.Α.Ε ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Παράδειγμα 1 Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με _ + Σχήμα 1 στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Α) Γράψτε το σύστημα ευθέως κλάδου σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο 6 Nicola Tapaouli Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 5: Ενότητες 5.-5. Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Ευστάθεια Ελεγξιµότητα - Παρατηρησιµότητα

Κεφάλαιο 5 Ευστάθεια Ελεγξιµότητα - Παρατηρησιµότητα Κεφάλαιο 5 Ευστάθεια Ελεγξιµότητα - Παρατηρησιµότητα u u u u Ευστάθεια Ευστάθεια κατά Lyapunov Ασυµπτωτική Ευστάθεια Κριτήρια Ευστάθειας Ελεγξιµότητα Παρατηρησιµότητα Επίδραση της Δειγµατοληψίας στην Ελεγξιµότητα

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://) Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (h>p://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή της Ύλης του Μαθήματος Εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (http://)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (http://) Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (http://) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (http://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή της Ύλης του Μαθήματος Εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (http://)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (http://) Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (http://) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (http://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή της Ύλης του Μαθήματος Εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΡΟΜΠΟΤΙΚΟΥ ΒΡΑΧΙΟΝΑ ΜΕ ΕΞΑΣΦΑΛΙΣΗ ΠΡΟΚΑΘΟΡΙΣΜΕΝΗΣ ΕΠΙΔΟΣΗΣ ΣΤΟ ΣΦΑΛΜΑ ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΗΣΗΣ ΤΡΟΧΙΑΣ ΣΤΙΣ ΑΡΘΡΩΣΕΙΣ.

ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΡΟΜΠΟΤΙΚΟΥ ΒΡΑΧΙΟΝΑ ΜΕ ΕΞΑΣΦΑΛΙΣΗ ΠΡΟΚΑΘΟΡΙΣΜΕΝΗΣ ΕΠΙΔΟΣΗΣ ΣΤΟ ΣΦΑΛΜΑ ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΗΣΗΣ ΤΡΟΧΙΑΣ ΣΤΙΣ ΑΡΘΡΩΣΕΙΣ. ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΡΟΜΠΟΤΙΚΟΥ ΒΡΑΧΙΟΝΑ ΜΕ ΕΞΑΣΦΑΛΙΣΗ ΠΡΟΚΑΘΟΡΙΣΜΕΝΗΣ ΕΠΙΔΟΣΗΣ ΣΤΟ ΣΦΑΛΜΑ ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΗΣΗΣ ΤΡΟΧΙΑΣ ΣΤΙΣ ΑΡΘΡΩΣΕΙΣ. Όλγα Ζωίδη, Ζωή Δουλγέρη Εργαστήριο Αυτοματοποίησης και Ρομποτικής Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Ευστάθεια Ελεγξιµότητα - Παρατηρησιµότητα

Κεφάλαιο 5 Ευστάθεια Ελεγξιµότητα - Παρατηρησιµότητα Κεφάλαιο 5 Ευστάθεια Ελεγξιµότητα - Παρατηρησιµότητα u Συστήµατα από Δειγµατοληπτικά Δεδοµένα (Επανάληψη Ασκήσεις) u Στο πεδίο Συχνότητας (Συναρτήσεις Μεταφορά) u Στο πεδίο Χρόνου (Εξισώσεις Κατάστασης)

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://courseware.mech.ntua.gr/ml23147/)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://courseware.mech.ntua.gr/ml23147/) Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://courseware.mech.ntua.gr/ml23147/) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (h>p://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Περιγραφή και Ανάλυση Συστημάτων Ελέγχου στο Χώρο Κατάστασης Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

Η Βασική Δομή Συστημάτων Ελέγχου Κίνησης

Η Βασική Δομή Συστημάτων Ελέγχου Κίνησης Η Βασική Δομή Συστημάτων Ελέγχου Κίνησης Σύστημα ονομάζουμε ένα σύνολο στοιχείων κατάλληλα συνδεδεμένων μεταξύ τους για να επιτελέσουν κάποιο έργο Είσοδο ονομάζουμε τη διέγερση, εντολή ή αιτία η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Ψηφιακά Σ.Α.Ε: Περιγραφή στο Χώρο Κατάστασης Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Κίνησης

Έλεγχος Κίνησης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα 1501 - Έλεγχος Κίνησης Ενότητα: Συστήματα Ελέγχου Κίνησης Μιχαήλ Παπουτσιδάκης Τμήμα Αυτοματισμού Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχ/κών και Μηχ/κών Υπολογιστών, Ε.Μ.Π., Ακαδημαϊκό Έτος , 8ο Εξάμηνο. Ρομποτική II. Ευφυή και Επιδέξια Ρομποτικά Συστήματα

Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχ/κών και Μηχ/κών Υπολογιστών, Ε.Μ.Π., Ακαδημαϊκό Έτος , 8ο Εξάμηνο. Ρομποτική II. Ευφυή και Επιδέξια Ρομποτικά Συστήματα Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχ/κών και Μηχ/κών Υπολογιστών, Ε.Μ.Π., Ακαδημαϊκό Έτος 009-0, 8ο Εξάμηνο Ρομποτική II Ευφυή και Επιδέξια Ρομποτικά Συστήματα Κων/νος Τζαφέστας Τομέας Σημάτων, Ελέγχου & Ρομποτικής

Διαβάστε περισσότερα

Τυπική µορφή συστήµατος 2 ας τάξης

Τυπική µορφή συστήµατος 2 ας τάξης Τυπική µορφή συστήµατος 2 ας τάξης Έστω το γενικό σύστηµα 2 ας τάξεως µε σταθερό αριθµητή (1) Είθισται αυτό να γράφεται σε συγκεκριµένη µορφή, την εξής: θέτουµε ±, επιλέγοντας το πρόσηµο ούτως ώστε το

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Ανάλυση και Προσοµοίωση Δυναµικών Συστηµάτων

Εισαγωγή στην Ανάλυση και Προσοµοίωση Δυναµικών Συστηµάτων Εισαγωγή στην Ανάλυση και Προσοµοίωση Δυναµικών Συστηµάτων Control Systems Laboratory Περιγραφή Δυναµικών Συστηµάτων Εξίσωση µεταβολής όγκου Η µεταβολή όγκου ισούται µε τη παροχή υγρού Q που σχετίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Ακαδηµαϊκό Έτος , Εαρινό Εξάµηνο ιδάσκων Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης

Ακαδηµαϊκό Έτος , Εαρινό Εξάµηνο ιδάσκων Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ, ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΚΕΣ 1: ΑΥΤΟΜΑΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Ακαδηµαϊκό Έτος 5 6, Εαρινό Εξάµηνο Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Το τρέχον έγγραφο αποτελεί υπόδειγµα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

(είσοδος) (έξοδος) καθώς το τείνει στο.

(είσοδος) (έξοδος) καθώς το τείνει στο. Υπενθυμίζουμε ότι αν ένα σύστημα είναι ευσταθές, τότε η απόκριση είναι άθροισμα μίας μεταβατικής και μίας μόνιμης. Δηλαδή, αν το σύστημα είναι ευσταθές όπου και Είθισται, σε ένα σύστημα αυτομάτου ελέγχου

Διαβάστε περισσότερα

Ισοδυναµία τοπολογιών βρόχων.

Ισοδυναµία τοπολογιών βρόχων. Ισοδυναµία τοπολογιών βρόχων. Κατά κανόνα, συµφέρει να ανάγουµε τις «πολύπλοκες» τοπολογίες βρόχων σε έναν απλό κλειστό βρόχο, µε µία συνάρτηση µεταφοράς στον κατ ευθείαν κλάδο και µία συνάρτηση µεταφοράς

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 206 Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης εξισώσεων διαφορών. Oι εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI. Μετασχηµατισµοί Legendre. της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα). Εάν

Μηχανική ΙI. Μετασχηµατισµοί Legendre. της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα). Εάν Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 7/5/2000 Μηχανική ΙI Μετασχηµατισµοί Legendre Έστω µια πραγµατική συνάρτηση. Ορίζουµε την παράγωγο συνάρτηση της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα).

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 3. Έλεγχος ανατροφοδότησης κατάστασης dc κινητήρα. Έλεγχος ανατροφοδότησης κατάστασης

Άσκηση 3. Έλεγχος ανατροφοδότησης κατάστασης dc κινητήρα. Έλεγχος ανατροφοδότησης κατάστασης Άσκηση 3 Έλεγχος ανατροφοδότησης κατάστασης dc κινητήρα Έλεγχος ανατροφοδότησης κατάστασης Ένα γραμμικό χρονικά αμετάβλητο (LTI) σύστημα όπως γνωρίζουμε, μπορεί να περιγραφεί στο πεδίο του χρόνου μέσω

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Ρομποτικός Έλεγχος

Μάθημα: Ρομποτικός Έλεγχος Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ» Ε.Μ.Π., Ακαδημαϊκό Έτος 011-1 Μάθημα: Ρομποτικός Έλεγχος Αυτόματος Έλεγχος Ρομπότ (Μη-Γραμμικός Ρομποτικός Έλεγχος Κων/νος Τζαφέστας

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Χώρος Κατάστασης. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Χώρος Κατάστασης. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Χώρος Κατάστασης Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Από τις Καταστατικές Εξισώσεις στη Συνάρτηση Μεταφοράς bx x y bx I X b I Y Καταστατικές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΘΕΜΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ α) Η f ( ) έχει πραγµατικό µέρος φανταστικό µέρος u( x, y) x y = και v( x, y) = ( x + y xy), όπου = x+

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβληµάτων Αρχικών / Συνοριακών Τιµών Μεταδόσεως Θερµότητας

Επίλυση Προβληµάτων Αρχικών / Συνοριακών Τιµών Μεταδόσεως Θερµότητας Επίλυση Προβληµάτων Αρχικών / Συνοριακών Τιµών Μεταδόσεως Θερµότητας Τα προβλήµατα µεταδόσεως θερµότητας (ή θερµικής αγωγιµότητας heat conduction), µε την υπόθεση ισχύος του νόµου Fourier, διέπονται από

Διαβάστε περισσότερα

x(t) 2 = e 2 t = e 2t, t > 0

x(t) 2 = e 2 t = e 2t, t > 0 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-215: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 216-17 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λυµένες Ασκήσεις σε Σήµατα και Συστήµατα Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου εαρινού εξαμήνου (Ιούνιος 2015)

Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου εαρινού εξαμήνου (Ιούνιος 2015) Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου εαρινού εξαμήνου 204 5 (Ιούνιος 205) ΘΕΜΑ Ο (4,0 μονάδες) Στο παρακάτω σχήμα δίνεται το δομικό (λειτουργικό) διάγραμμα ενός συστήματος. α. Να προσδιοριστούν οι τιμές

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 0: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ # Μετασχηματισμός Laplace και ΓΧΑ Συστήματα Συνάρτηση μεταφοράς αιτιατών και ευσταθών συστημάτων Συστήματα που περιγράφονται από ΔΕ Διαγράμματα Μπλοκ Μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ. Άσκηση. γραμμάτων του επιθέτου σας (π.χ. για το επίθετο Κοσματόπουλος, οι αριθμοί α ι θα είναι a

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ. Άσκηση. γραμμάτων του επιθέτου σας (π.χ. για το επίθετο Κοσματόπουλος, οι αριθμοί α ι θα είναι a Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Άσκηση Θεωρείστε το σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς: Y ( s) a s 4 3 a3s a U ( s) s a όπου οι αριθμοί α ι αντιστοιχούν στους αντίστοιχους αριθμούς των 4 πρώτων γραμμάτων του

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισµός των χαρακτηριστικών (ιδιο-)συχνοτήτων και κανονικών τρόπων ταλάντωσης µε χρήση συµµετριών

Προσδιορισµός των χαρακτηριστικών (ιδιο-)συχνοτήτων και κανονικών τρόπων ταλάντωσης µε χρήση συµµετριών Μηχανική ΙΙ Τµήµα Ιωάννου-Αποστολάτου 6 Μαϊου 2001 Προσδιορισµός των χαρακτηριστικών (ιδιο-)συχνοτήτων και κανονικών τρόπων ταλάντωσης µε χρήση συµµετριών Θεωρούµε ότι 6 ίσες µάζες συνδέονται µε ταυτόσηµα

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville

Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 16/5/2000 Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville Στη Χαµιλτονιανή θεώρηση η κατάσταση του συστήµατος προσδιορίζεται κάθε στιγµή από ένα και µόνο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου με χρήση Αλγεβρικών Τεχνικών

Σχεδίαση Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου με χρήση Αλγεβρικών Τεχνικών ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Σχεδίαση Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου με χρήση Αλγεβρικών Τεχνικών (Συνοπτικές σημειώσεις με παραδείγματα) ( Επίκουρος Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12, ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τ.Τ Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα #5: Σχεδιασμός ελεγκτών με τη μέθοδο του Τόπου Ριζών 2 Δ. Δημογιαννόπουλος, dimogian@teipir.gr Επ. Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50

Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50 Αριθµητική Γραµµική Αλγεβρα Κεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ΕΚΠΑ 2 Απριλίου 205 Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και205

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Σχεδίαση Συστηµάτων Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές - Συνεχής Σχεδίαση

Κεφάλαιο 4 Σχεδίαση Συστηµάτων Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές - Συνεχής Σχεδίαση Κεφάλαιο 4 Σχεδίαση Συστηµάτων Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές - Συνεχής Σχεδίαση Επανάληψη στα Συστήµατα από Δειγµατοληπτικά Δεδοµένα στα Πεδία Συχνότητας και Χρόνου Ψηφιακός Έλεγχος µε Συνεχή Σχεδιασµό Χαρακτηριστικά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 8// Γ ΕΡΓΑΣΙΑ Μαθηµατικά για την Πληροφορική Ι (ΘΕ ΠΛΗ Η ύλη της εργασίας είναι παράγραφοι 6 και 6 από τη Γραµµική Άλγεβρα και Ενότητες,,, από τον Λογισµό

Διαβάστε περισσότερα

9. ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΛΛΗΛΕΠΙ ΡΑΣΗΣ ΜΕ ΤΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ. Εξετάζουµε διάφορα µοντέλα ελέγχου αλληλεπίδρασης του βραχίονα µε το περιβάλλον.

9. ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΛΛΗΛΕΠΙ ΡΑΣΗΣ ΜΕ ΤΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ. Εξετάζουµε διάφορα µοντέλα ελέγχου αλληλεπίδρασης του βραχίονα µε το περιβάλλον. 9. ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΛΛΗΛΕΠΙ ΡΑΣΗΣ ΜΕ ΤΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ 9.0 Εισαγωγικά Εξετάζουµε διάφορα µοντέλα ελέγχου αλληλεπίδρασης του βραχίονα µε το περιβάλλον. 9.1 Έλεγχος «Συµµόρφωσης» ή «Υποχωρητικότητας» (Comliance Control)

Διαβάστε περισσότερα

Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων

Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων Θεωρείστε ένα απειροστό απλό χωρίο στο χώρο τόσο µικρό ώστε να µπορεί να θεωρηθεί ότι βρίσκεται σε ένα επίπεδο Έστω ότι το χωρίο αυτό περικλείει εµβαδόν µέτρου Το έργο που

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ (ΘΕ ΠΛΗ ) ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ TEΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 7 Ιουνίου 8 Θέµα ο ( µονάδες) α) ( µονάδες) yz yz του διανυσµατικού

Διαβάστε περισσότερα

Οι ιδιότητες και οι µέθοδοι επίλυσης διαφορικών εξισώσεων παρουσιάζονται σε µία σειρά εγχειριδίων µαθηµατικών

Οι ιδιότητες και οι µέθοδοι επίλυσης διαφορικών εξισώσεων παρουσιάζονται σε µία σειρά εγχειριδίων µαθηµατικών Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Μαθηµατικό Παράρτηµα 1 Διαφορικές Εξισώσεις Στο µαθηµατικό αυτό παράρτηµα ορίζουµε και αναλύουµε την επίλυση απλών συστηµάτων γραµµικών διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 20. Παρατηρητής Κατάστασης Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ

ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ Για ένα φυσικό σύστηµα που περιγράφεται από τις συντεταγµένες όπου συνεχής συµµετρία είναι ένας συνεχής µετασχηµατισµός των συντεταγµένων που αφήνει αναλλοίωτη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακός Έλεγχος. 10 η διάλεξη Ασκήσεις. Ψηφιακός Έλεγχος 1

Ψηφιακός Έλεγχος. 10 η διάλεξη Ασκήσεις. Ψηφιακός Έλεγχος 1 Ψηφιακός Έλεγχος 10 η διάλεξη Ασκήσεις Ψηφιακός Έλεγχος 1 Άσκηση1 Ασκήσεις Επιθυμούμε να ελέγξουμε την γωνία ανύψωσης μιας κεραίας για να παρακολουθείται η θέση ενός δορυφόρου. Το σύστημα της κεραίας και

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιανουαρίου Φεβρουαρίου 2015

Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιανουαρίου Φεβρουαρίου 2015 Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιανουαρίου Φεβρουαρίου 20 ΘΕΜΑ Ο (4,0 μονάδες). Να προσδιοριστεί η συνάρτηση μεταφοράς / του συστήματος που περιγράφεται από το δομικό (λειτουργικό) διάγραμμα. (2,0

Διαβάστε περισσότερα

Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου

Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου Μάθηµα 5 Εξισώσεις εσωτερικής κατάστασης Ελεγξιµότητα και Παρατηρησιµότητα Καλλιγερόπουλος 5 Εξισώσεις εσωτερικής κατάστασης Η εξωτερική συµπεριφορά ενός συστήµατος ορίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιουνίου v 3 (t) - i 2 (t)

Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιουνίου v 3 (t) - i 2 (t) Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιουνίου 2015 ΘΕΜΑ 1 Ο (6,0 μονάδες) Δίνεται το κύκλωμα του σχήματος, όπου v 1 (t) είναι η είσοδος και v 3 (t) η έξοδος. Να θεωρήσετε μηδενικές αρχικές συνθήκες. v 1

Διαβάστε περισσότερα

Όταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να:

Όταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να: 6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Όταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να: ορίσουµε το Μετασχηµατισµό Laplace (ML) και το Μονόπλευρο Μετασχηµατισµό Laplace (MML) και να περιγράψουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Αυτόματος Έλεγχος. Ενότητα 11 η : Σχεδίαση ελεγκτών στο πεδίο του χώρου μεταβλητών κατάστασης. Παναγιώτης Σεφερλής

Αυτόματος Έλεγχος. Ενότητα 11 η : Σχεδίαση ελεγκτών στο πεδίο του χώρου μεταβλητών κατάστασης. Παναγιώτης Σεφερλής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα η : Σχεδίαση ελεγκτών στο πεδίο του χώρου μεταβλητών κατάστασης Παναγιώτης Σεφερλής Εργαστήριο Δυναμικής Μηχανών Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 00- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ. (5 µον.) ίνεται ο πίνακας 0 0 A. 0 (α) (α) Να βρεθούν όλες οι ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα Α. (β) Είναι δυνατή η διαγωνιοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Η τροχιά του δυναµικού συστήµατος µε αρχική συνθήκη X γράφεται

Η τροχιά του δυναµικού συστήµατος µε αρχική συνθήκη X γράφεται Απόδειξη Θεωρήµατος Poincare-Bendixson Το δυναµικό σύστηµα είναι στο επίπεδο, προσδιορίζεται από το διάνυσµατικό πεδίο ταχυτήτων v(x), και οι τροχιές ικανοποιούν την δυνα- µική: ẋ = v(x). Η τροχιά του

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Ευστάθεια συστημάτων

Ευστάθεια συστημάτων 1. Ευστάθεια συστημάτων Ευστάθεια συστημάτων Κατά την ανάλυση και σχεδίαση ενός συστήματος αυτομάτου ελέγχου, η ευστάθεια αποτελεί έναν πολύ σημαντικό παράγοντα και, γενικά, είναι επιθυμητό να έχουμε ευσταθή

Διαβάστε περισσότερα

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες.

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Στην περίπτωση της ταλάντωσης µε κρίσιµη απόσβεση οι δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις εκφυλίζονται (καταλήγουν να ταυτίζονται) Στην περιοχή ασθενούς απόσβεσης ( ) δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις είναι

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Χρονική Απόκριση και Απόκριση Συχνότητας

Εισαγωγή στην Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Χρονική Απόκριση και Απόκριση Συχνότητας ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Εισαγωγή στην Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Χρονική Απόκριση και Απόκριση Συχνότητας 6 Ncola Tapaoul Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [5]: Κεφάλαιο 4 Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://courseware.mech.ntua.gr/ml23147/)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://courseware.mech.ntua.gr/ml23147/) Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://courseware.mech.ntua.gr/ml23147/) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (h>p://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή

Διαβάστε περισσότερα

Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω σύστηµα µε είσοδο βηµατική συνάρτηση δηλαδή () =(). (3)

Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω σύστηµα µε είσοδο βηµατική συνάρτηση δηλαδή () =(). (3) Παράδειγµα 1: Έστω ένα σύστηµα που περιγράφεται από τη διαφορική εξίσωση () +2 () 29 () +42()=() (1) µε µηδενικές αρχικές συνθήκες. (δηλαδή ()(0) = () (0)=()(0)=0) (2) Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω

Διαβάστε περισσότερα

= x. = x1. math60.nb

= x. = x1. math60.nb MH ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΑΥΤΟΝΟΜΑ ΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Χώρος Φάσεων : Επίπεδο (, Φασικές Τροχιές : Επίπεδες µονοπαραµετρικές καµπύλες (t (t χωρίς εγκάρσιες τοµές. Οι φασικές τροχιές µπορούν να υπολογιστούν από

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση Σ.Α.Ε: Σχεδίαση µε το Γεωµετρικό Τόπο Ριζών

Σχεδίαση Σ.Α.Ε: Σχεδίαση µε το Γεωµετρικό Τόπο Ριζών ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Σχεδίαση Σ.Α.Ε: Σχεδίαση µε το Γεωµετρικό Τόπο Ριζών ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος []: Εφαρµογές, Κεφάλαιο 9: Ενότητες 9.-9.4

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΚΥΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Καθηγητής: Δ. ΔΗΜΟΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ Εργαστηριακοί Συνεργάτες: Σ. ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΟΥ, Α. ΟΙΚΟΝΟΜΙΔΗΣ,

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας)

Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας) Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Παν/µίου Κρήτης Εξεταστική περίοδος εαρινού εξαµήνου Πέµπτη, 2 Ιούνη 28 Γραµµική Αλγεβρα II ιδάσκων: Α. Τόγκας Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας) Θέµα

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρικη Θεωρια Ελεγχου

Γεωµετρικη Θεωρια Ελεγχου Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Σχολη Θετικων Επιστηµων Τµηµα Μαθηµατικων Χειµερινό Εξάµηνο 2016-2017 Γεωµετρικη Θεωρια Ελεγχου εύτερη Εργασία 1. Βρείτε δύο διαφορετικά παραδείγµατα συστηµάτων στο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ)

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) ΜΙΧΑΛΗΣ ΤΖΟΥΜΑΣ ΕΣΠΟΤΑΤΟΥ 3 ΑΓΡΙΝΙΟ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η έννοια της συνάρτησης είναι στενά συνυφασµένη µε τον πίνακα τιµών και τη γραφική παράσταση.

Διαβάστε περισσότερα

Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου

Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου Μάθηµα 4 Αναλυτική σύνθεση συστηµάτων αυτοµάτου ελέγχου Με συνθήκη µόνιµου σφάλµατος Με συνθήκη επιθυµητών πόλων Με επιθυµητό πρότυπο Καλλιγερόπουλος 4 1 Αναλυτική Σύνθεση συστηµάτων

Διαβάστε περισσότερα

2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Γενικά τι είναι σύστηµα - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων.

2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Γενικά τι είναι σύστηµα - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων. 2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Γενικά τι είναι - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων. Κατηγορίες των συστηµάτων ανάλογα µε τον αριθµό και το είδος των επιτρεποµένων εισόδων και εξόδων. Ιδιότητες των

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε Κεφάλαιο Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε. Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών είναι από τις παλαιότερες και πλέον συνηθισµένες και διαδεδοµένες υπολογιστικές τεχνικές

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Θεωρία Δικτύων

Μάθημα: Θεωρία Δικτύων Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχ/κών και Μηχ/κών Υπολογιστών, Ε.Μ.Π., Ακαδημαϊκό Έτος 7-8, 5ο Εξάμηνο Μάθημα: Θεωρία Δικτύων Ανάλυση Ευσταθείας Κων/νος Τζαφέστας Τομέας Σημάτων, Ελέγχου & Ρομποτικής Σχολή Ηλεκτρ.

Διαβάστε περισσότερα