Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://)"

Transcript

1 Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (h>p://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1

2 Δομή της Ύλης του Μαθήματος Εισαγωγη στο Χώρο Κατάστασης Μοντελοποίηση στο Χώρο Κατάστασης Ανάλυση Συστημάτων στο Χώρο Κατάστασης Δομικές Ιδιότητες Συστημάτων Ελεγξιμότητα Παρατηρησιμότητα Ευστάθεια Σχεδίαση Συστημάτων Ελέγχου Ανατροφοδότηση Κατάστασης Παρατηρητές και Ανατροφοδότηση Εξόδου Βέλτιστος Έλεγχος Υλοποίηση Συστημάτων Ελέγχου?? Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 2

3 6. Ανατροφοδότηση Κατάστασης Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 3

4 Ανατροφοδότηση Κατάστασης Σχεδίαση νόµων ανάδρασης / ανατροφοδότησης κατάστασης µε σκοπό την κατάλληλη τοποθέτηση των πόλων του συστήµατος για την επίτευξη επιθυµητής απόκρισης κλειστού βρόχου αναφορικά µε τα χαρακτηριστικά απόκρισης µεταβατικής κατάστασης, και µόνιµης κατάστασης. Ζητούµενο: εύρεση «κερδών» ανάδρασης της κατάστασης στην είσοδο Αναγκαία & ικανή συνθήκη αυθαίρετης τοποθέτησης πόλων: ελεγξιµότητα Τι γίνεται όταν το σύστηµα δεν είναι πλήρως ελέγξιµο - Σταθεροποίηση Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 4

5 Ο Νόμος Ανάδρασης Έστω το ΓΧΑΣ, δηλ.η προς έλεγχο εγκατάσταση (plant): Θεωρούµε νόµο ελέγχου της µορφής: Σκοπός είναι η εύρεση των «κερδών» ανάδρασης Κ της κατάστασης στην είσοδο για την κατάλληλη τοποθέτηση των πόλων του συστήµατος µε σκοπό την επίτευξη επιθυµητής απόκρισης κλειστού βρόχου Γενικά: Για µία είσοδο (m = 1): r=0è Ρυθμιστής (Regulator) : σύγκλιση Kostas J. Kyriakopoulos στο ΣΙ ( 0 ) - Σ.Α.Ε. ΙΙ 5

6 Καθορισμός της Δυναμικής Απόκρισης Επιδιώξεις για το σύστηµα κλειστού βρόχου: Ασυµπτωτική Ευστάθεια Συγκεκριµένα Χαρακτηριστικά Μεταβατικής Απόκρισης σε είσοδο βαθµίδας: Χρόνος ανύψωσης (rise time) Χρόνος κορυφής (peak time) Εκατοστιαία υπερακόντιση (percent overshoot) Χρόνος Αποκατάστασης (settling time) Πως η θέση των ιδιοτιµών επηρεάζει τα παραπάνω χαρακτηριστικά? Ασυµπτωτική Ευστάθεια : ο πίνακας Α-Β Κ να έχει το πραγµατικό τµήµα όλων των ιδιοτιµών του αυστηρά αρνητικό Χαρακτηριστικά Μεταβατικής Απόκρισης: η σχέση των ιδιοτιµών µε αυτά τα χαρακτηριστικά είναι σαφής µόνο για συστήµατα 1 ης και 2 ης τάξης. Για συστήµατα µεγαλύτερης τάξης βασιζόµαστε σε προσεγγίσεις «κυριαρχούντων υποσυστηµάτων» (domaining subsystem). Πως κάνουµε δηλαδή την επιλογή των ιδιοτιµών («πόλων»)? Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 6

7 Επιλογή Ιδιοτιμών για ΓΧΑΣ 1 ης τάξης Σε σύστηµα 1 ης τάξης, ή µία και µοναδική ιδιοτιµή καθορίζει την απόκριση δεδοµένου ότι η χρονική σταθερά τ δείχνει τον χρόνο αποκατάστασης-95% (3τ) Το παραπάνω σχήµα δίχνει την τυπική απόκριση συστήµατος 1 ης τάξης σε είσοδο συνάρτησης βαθµίδας. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 7

8 Επιλογή Ιδιοτιμών για ΓΧΑΣ 2 ης τάξης Εάν στο παράδειγµα (που έχουµε δει και στην εισαγωγή) θεωρήσουµε ως είσοδο της µορφής δηλαδή ανηγµένη δύναµη ως προς k, που αντιστοιχεί σε «εντολή µετακίνησης» τότε Απόσβεση Φυσική Συχνότητα Ιδιοτιμές Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 8

9 Επιλογή Ιδιοτιμών για ΓΧΑΣ 2 ης τάξης: Υπο-απόσβεση 0 < ξ < 1 : Υποαπόσβεση Απόκριση σε είσοδο µοναδιαίας βαθµίδας Χαρακτηριστικά Απόδωσης: Χρόνος Ανύψωσης: 10% è 90% Χρόνος Μέγιστης Υπερακόντισης: Μέγιστη Υπερακόντιση: Χρόνος Αποκατάστασης: χρόνος µετά από τον οποίο το σύστηµα παραµένει σε µία ζώνη 2% γύρω από την µόνιµη τιµή Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 9

10 Επιλογή Ιδιοτιμών για ΓΧΑΣ 2 ης τάξης: Υποαπόσβεση Παράδειγμα (Ανοικτός Βρόχος) Στο πρoηγούµενο σύστηµα για m = 1 kg, c = 1 N s/m, k = 10 N/m Χρόνος Ανύψωσης: = 0.30 s Χρόνος Μέγιστης Υπερακόντισης: Μέγιστη Υπερακόντιση: =1.01 s = 60.5% Χρόνος Αποκατάστασης: = 8 s Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 10

11 Επιλογή Ιδιοτιμών για ΓΧΑΣ 2 ης τάξης: Υποαπόσβεση Παράδειγμα (Κλειστός Βρόχος) Η απόκριση ανοικτού βρόχου που µόλις είδαµε, είναι χαρακτηριστική των συστηµάτων µε µικρή απόσβεση και όπως φάνηκε από το σχήµα, δεν είναι ικανοποιητική. Αντίθετα, θα επιθυµούσαµε µεγίστη υπερακόντιση ~4% και χρόνο αποκατάστασης ~2 s (σε σύγκριση µε τις τωρινές τιµές ~60% και ~7.3 s, αντίστοιχα). Προς τούτο, υιοθετούµε έλεγχο ανάδρασης µεταβλητών κατάστασης (ουσιαστικά, σε αυτή τη περίπτωση, PD) : Αν αυτός είσαχθεί στο σύστηµα (ανοικτού βρόχου): Λαµβάνουµε το σύστηµα κλειστού βρόχου: Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 11

12 Επιλογή Ιδιοτιμών για ΓΧΑΣ 2 ης τάξης: Υποαπόσβεση Παράδειγμα (Κλειστός Βρόχος) Από την υπερακόντιση υπολογίζουµε τον επιθυµητό λόγο απόσβεσης : ( PO 100) ln ( PO ) ln PO = = = π ξ π 2 PO= 4 1 ξ 100 e ξ Και από τον χρόνο αποκατάστασης υπολογίζουµε την επιθυµητή φυσική t S = συχνότητα : t! ω! = 2.79 rad / sec S n ξ ω ξ t n S Η επιθυµητή φυσική συχνότητα απόσβεσης είναι : Υπενθυµίζουµε ότι στο σύστηµα ανοικτού βρόχου είχαµε: Ενώ τώρα, στο σύστηµα κλειστού βρόχου έχουµε: = ( s) H = Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 12

13 Επιλογή Ιδιοτιμών για ΓΧΑΣ 2 ης τάξης: Υποαπόσβεση Παράδειγμα (Κλειστός Βρόχος) ( s) H = Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 13

14 Επιλογή Ιδιοτιμών για ΓΧΑΣ : Ανισοτικοί Περιορισμοί Η µεταβατική απόκριση καθορίζεται συνήθως µε τη µορφή ανισοτήτων και όχι ισοτήτων. Για συστήµατα : 1 ης τάξης: καθορίζεται ένα άνω φράγµα του χρόνου που χρειάζεται για προσέγγιση κατά ένα ποσοστό (π.χ. 95%) της µόνιµης κατάστασης. 2 ης τάξης: καθορίζονται φράγµατα σε κάποια (ή όλα) από τις προδιαγραφές: χρόνο ανύψωσης, χρόνο µεγίστης υπερακόντισης, µεγίστη υπερακόντιση, και χρόνο αποκατάστασης. Αυτά οδηγούν σε αποδεκτές περιοχές του λόγου απόσβεσης και της φυσικής συχνότητας. Αυτές αντιστοιχίζονται σε αποδεκτές περιοχές των ιδιοτιµών του συστήµατος κλειστού βρόχου. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 14

15 Επιλογή Ιδιοτιμών για ΓΧΑΣ : Ανισοτικοί Περιορισμοί - Παράδειγμα Για το παράδειγµα που έχουµε ήδη αναλύσει,αναζητούµε τις ιδιοτιµές που ικανοποιούν τις προδιαγραφές : ( PO 100) ln ( PO ) ln PO = = = = π ts! 2 ξ ωn 2 ξ ωn 2 ξ ω ξ π 2 PO= 4 1 ξ 1 1 O O O 100 e 4 ξ θ cos ( ξ) cos ( 0.716) θ n Υπενθυµίζουµε ότι Αναζητούµε ιδιοτιµές µε πραγµατικό µέρος, αριστερότερα του -2. t P π π = 0.5 ωd = 6.28 rad / sec ω 0.5 d Υπενθυµίζουµε ότι Αναζητούµε ιδιοτιµές µε φανταστικό µέρος, εκτός του διαστήµατος (-6.28, +6.28). Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 15

16 Επιλογή Ιδιοτιμών για ΓΧΑΣ : Ανισοτικοί Περιορισμοί - Παράδειγμα ωd 6.28 rad Παρατηρούµε ότι η δοµή των συνθηκών 1 1 & 3 είναι τέτοια όπου η 2 ικανοποιείται πάντα. Συνήθως τίθενται και άλλες συνθήκες που περιορίζουν: προς το θετικότερο το πραγµατικό µέρος των ιδιοτιµών για να περιορισθεί το εύρος ζώνης συστήµατος. Τη φυσική συχνότητα των ιδιοτιµών για να µην οδηγείται (συχνά) η είσοδος του συστήµατος σε κορεσµό. κλπ. O θ ξ ω 2 n O Εποµένως οι επιθυµητές περιοχές των ιδιοτιµών αντιστοιχούν συνήθως σε 2 συµµετρικές ως προς τον φανταστικό άξονα «ευσταθείς νησίδες». του Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 16

17 Επιλογή Ιδιοτιμών για ΓΧΑΣ Υψηλής Τάξεως Οταν είναι δυνατόν, τα συστήµατα υψηλής τάξεως προσεγγίζονται από κυριαρχούντα συστήµατα 1 ης ή 2 ης τάξης. Στα κυριαρχούντα υποσυστήµατα οι ιδιοτιµές καθορίζονται όπως προηγουµένως. Οι υπόλοιπες ιδιοτιµές µπορεί να είναι και 10 φορές πιο αριστερά απο τις κυριαρχούσες (αρκεί να µην διεγείρουν πιθανούς θορύβους) Μία (1) κυριαρχούσα ιδιοτιµή : Ο πίνακας δείχνει τις θέσεις των υπολοίπων ιδιοτιµών για µία κυριαρχούσα ιδιοτιµή, ανάλογα µε τη τάξη του συστήµατος. Το σχήµα δείχνει τις αντίστοιχες αποκρίσεις σε είσοδο µοναδιαίας βαθµίδας Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 17

18 Επιλογή Ιδιοτιμών για ΓΧΑΣ Υψηλής Τάξεως Δύο (2) κυριαρχούσες ιδιοτιµές : Ο πίνακας δείχνει τις θέσεις των υπολοίπων ιδιοτιµών για 2 κυριαρχούσες ιδιοτιµές, ανάλογα µε τη τάξη του συστήµατος. Το σχήµα δείχνει τις αντίστοιχες αποκρίσεις σε είσοδο µοναδιαίας βαθµίδας Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 18

19 Επιλογή Δυναμικής Απόκρισης / ΧΠ / Ιδιοτιμών με τη Μεθοδολογία ΙΤΑΕ Το κριτήριο ITAE (Integral of Time multiplying the Absolute value of Error) οδηγεί σε διαµόρφωση της δυναµικής απόκρισης µε κριτήριο την ελαχιστοποίηση της αντικειµενικής συνάρτησης Στην περίπτωση που επιλεγούν Σ.Μ της µορφής τότε τα ΧΠ που προκύπτουν από το ΙΤΑΕ δίδονται στον παρακάτω πίνακα (ανάλογα µε τη τάξη του συστήµατος) και οι αντίστοιχες αποκρίσεις (για µοναδία βαθµίδα) φαίνονται διπλα Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 19

20 Τοποθέτηση Πόλων Κλειστού Βρόχου με Ανάδραση Μεταβλητών Κατάστασης Θεώρηµα: Αν A! n n, B! n m τότε για κάθε σύνολο n µιγαδικών αριθµών {µ 1, µ 2,, µ n }, στο οποίο οι µη αµιγώς πραγµατικές εµφανιζονται ως συζυγή ζεύγη, υπάρχει ένας πίνακας K! m n έτσι ώστε σ(α-β Κ) = {µ 1, µ 2,, µ n } αν και µόνο αν το ζεύγος (Α,Β) είναι ελέγξιµο. Ουσιαστικά το παραπάνω θεώρηµα θέτει την ελεγξιµότητα ως αναγκαία και ικανή συνθήκη για την αυθαίρετη (εφόσον οι µη αµιγώς πραγµατικές εµφανιζονται ως συζυγή ζεύγη) τοποθέτηση όλων των ιδιοτιµών ενός συστήµατος, µέσω κατάλληλου πίνακα κερδών ανατροφοδότησης. Πως ευρίσκεται αυτό το Κ? Τύπος Ackermann : Για συστήµατα µίας εισόδου, δηλ. A! n n, B! n 1, τότε όπου! n n ο πίνακας ελεγξιµότητας που επειδή εµφανίζεται σε µορφή αντιστρόφου είναι εµφανής η ανάγκη για ελεγξιµότητα : οι συντελεστές του δίνονται από το επιθυµητό χαρακτηριστικό πολυώνυµο δηλ. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 20

21 Τύπος του Ackermann: Παράδειγμα Έστω το SISO ΓΧΑΣ A= B 0 = C = Για προδιαγραφές PO = 6 % t s = 3 sec Λαµβάνουµε ( PO 100) ln ( PO ) [ ] ln PO = = = = π ts! 3 ωn 2rad/sec ξ ω = = ξ π 2 PO= 6 1 ξ 100 e 6 ξ n Ιδιοτιµές Αν και ευσταθείς, µόνο µε ελαφρά απόσβεση λ1,2 = 1.33± j1.49 : κυριαρχούσες ιδιοτιµές Η τελευταία ιδιοτιµή επιλέγεται 10 φορές πιο γρήγορη, δηλ. 3 2 Επιθυµητό ΧΠ: α ( ) ( )( )( ) λ 3 = s = s j1.49 s j1.49 s = s + 16s s = 3 2 = s + s + s+ α α α Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ

22 Τύπος του Ackermann: Παράδειγμα Ο πίνακας ελεγξιµότητας είναι Επίσης, από το ΧΠ έχουµε: Και από τον τύπο του Ackermann: 1 K = [ 0 0 1] P α ( A) = [ ] Ο έλεγχος u= K x+ r δίνει την απόκριση του διπλανού σχήµατος στην οποία ικανοποιούνται οι συνθήκες δυναµικής απόκρισης. ΟΜΩΣ: Πως επιτυγχάνεται η επιθυµητή µόνιµη κατάσταση? Θα δούµε παρακάτω... Αν δεν είναι άµεσα διαθέσιµη η κατάσταση? Τι γίνεται σε MIMO συστήµατα? P= P = α ( A) = A + 16A A I = Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 22

23 Δυνατότητα Σταθεροποίησης Σε οιοδήποτε ελέγξιµο σύστηµα είναι δυνατή η κατά τις προδιαγραφές τοποθέτηση των πόλων και κατα συνέπεια η σταθεροποίησή (stabilization) του. Είναι δυνατή όµως η σταθεροποίηση ενός µη πλήρως ελέγξιµου συστήµατος? Απάντηση: Ναι υπό τη προυπόθεση ότι το σύστηµα είναι σταθεροποιήσιµο (stabilizable) Παράδειγµα: Το SISO ΓΧΑΣ Όπως φαίνεται παρακάτω είναι µη πλήρως ελέγξιµο. Γιατί? Όµως το υποσύστηµα (Α 11, Β 1 ) είναι ένα πλήρως ελέγξιµο σύστηµα. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 23

24 Δυνατότητα Σταθεροποίησης Αν επιλέξουµε τότε Από την block άνω τριγωνική µορφή (block upper triangular) του πίνακα κλειστού βρόχου είναι φανερό ότι µε τα κέρδη µπορούν να τοποθετήσουµε κατά βούλιση τους 2 (ελέγξιµους) πόλους ενώ ο 3 ος είναι το -2, που είναι ευσταθής. ( ) ( ) ( ) Ορισµός: Το ΓΧΑΣ xt! = Axt + But, ή αλλοιώς το «ζεύγος» (Α,Β), είναι σταθεροποιήσιµο (stabilizable) αν υπαρχει πίνακας κερδών ανάδρασης κατάστασης Κ για τον οποίο όλες οι ιδιοτιµές του πίνακα Α-Β Κ έχουν αυστηρά αρνητικό πραγµατικό τµήµα. Ελεγξιµότητα è Δυνατότητα Σταθεροποίησης (Stabilizability) Δυνατότητα Σταθεροποίησης è Ελεγξιµότητα Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 24

25 Δυνατότητα Σταθεροποίησης ( ) ( ) ( ) Έστω το ΓΧΑΣ xt! = Axt + But που δεν είναι πλήρως ελέγξιµο. Ως γνωστόν, υπάρχει µετασχηµατισµός που δίδει τους πίνακες του µετασχηµατισµένου συστήµατος όπου το (Α 11, Β 1 ) είναι πλήρως ελέγξιµο. Γι αυτό το σύστηµα, θεωρούµε τον κατάλληλα «κατατµηµένο» πίνακα κερδών οπότε ο πίνακας κλειστού βρόχου του µετασχηµατισµένου συστήµατος είναι Αυτός ο πίνακας έχει ιδιοτιµές: Αυτές του όπου, επειδή το (Α 11, Β 1 ) είναι πλήρως ελέγξιµο, µπορούν να τοποθετηθούν (π.χ. Με τον τύπο του Ackermann) κατά βούληση, και Αυτές του (που δεν µπορούνα να µετακινηθούν). Εποµένως η δυνατότητα σταθεροποίησης του ΓΧΑΣ προϋποθέτει ότι το έχει ασυµπτωτικά ευσταθείς πόλους. Παρατηρούµε δε ότι το δεν παίζε κανένα ρόλο στη σταθεροποίηση του συστήµατος. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 25

26 Δυνατότητα Σταθεροποίησης : Παράδειγμα Για το ΓΧΑΣ στο παρελθόν Εξετάσαµε την ελεγξιµότητά του, και Είδαµε το τρόπο µετασχηµατισµού του σε µορφή που «ξεχωρίζουν» τα ελέγξιµα και µη ελέγξιµα τµήµατα Επειδή Α 22 = -3, προφανώς το σύστηµα είναι σταθεροποιήσιµο. Για το (Α 11, Β 1 ) επιλέγουµε ιδιοτιµές - 2 ± j 2 και µέσω του τύπου του Ackermann υπολογίζεται ο σχετικός πίνακας κερδών και µπορεί να πιστοποιηθεί ότι ο πινακας έχει τις επιθυµητές ιδιοτιµές. Επιλέγουµε λοιπόν και µπορεί να πιστοποιηθεί ότι ο έχει ιδιοτιµές - 2 ± j 2, -3. Επειδή θέλουµε οι διοτιµές των A B K, A ˆ B ˆ K ˆ να ταυτίζονται, βάσει των ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Kˆ = K T 1 A= T A T ( ) 1 1 B= T B A B K = T A B K T ( ) ( ) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 26

27 Παρακολούθηση Εισόδου Βαθμίδας Μέχρι στιγµής δόθηκε έµφαση ση µεταβατική απόκριση. Τώρα θα ασχοληθούµε µε τη παρακολούθηση εισόδου βαθµίδας µέσω δύο (2) προσεγγίσεων: Ενσωµάτωση της εισόδου αναφοράς στο νόµο ελέγχου µε ανατροφοδότηση κατάστασης. Σερβοµηχανισµοί: Ενσωµάτωση ολοκληρωτικού παράγοντα του σφάλµατος στο νόµο ελέγχου µε ανατροφοδότηση κατάστασης. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 27

28 Παρακολούθηση Εισόδου Βαθμίδας: Κέρδος Εισόδου Αναφοράς ( ) ( ) ( ) Αν στο ΓΧΑΣ xt! = Axt + But χρησιµοποιήσουµε νόµο ελέγχου τότε το σύστηµα κλειστού βρόχου είναι Με είσοδο αναφοράς η σαφής προδιαγραφή είναι ( ) ( ) p m p Προφανώς yt, rt! G! Όλη η ανάλυση που θα ακολουθήσει προϋποθέτει ότι m p, δηλαδή αριθµό εισόδων µεγαλύτερο ή ίσο αυτό των εξόδων, και Κ τέτοιο ώστε το σύστηµα κλειστού βρόχου είναι ασυµπτωτικά ευσταθές. Ο πίνακας µεταφοράς κλειστού βρόχου είναι H s = C s I A+ B K B G! Επειδή Για να είναι πρέπει =??? CL ( ) ( ) 1 p p Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 28

29 Παρακολούθηση Εισόδου Βαθμίδας: Κέρδος Εισόδου Αναφοράς Για να είναι πρέπει = Ι p p Ποιός πίνακας G! m p ικανοποιεί αυτή τη συνθήκη? 1 p p 1 m = p : τότε προφανώς C ( A B K) B! G= C ( A B K) B Αν C ( A B K) 1 B µη αντιστρέψιµος τότε λέµε ότι το σύστηµα κλειστού βρόχου έχει ένα µηδενιστή µετάδοσης (transmission zero) στο s = 0. Για να το καταλάβουµε, ας θεωρήσουµε ένα SISO µε τη ΣΜ: C ( s I A+ B K) 1 B. Αυτό θα έχει ένα µηδενιστή στο s = 0. ( ) 1 p m m > p : τότε C A B K B! δηλ. Έχει περισσότερες στήλες από γραµµές. Αν εποµένως rank C ( A B K ) 1 B = p τότε ο G υπολογίζεται από τον ψευδοαντίστροφο Moore-Penrose 1 T 1 1 G= C ( A B K) B C ( A B K) B C ( A B K) B Για να είναι yss = Kdc R πρέπει = Κ dc Πώς αλλάζει η παραπάνω ανάλυση? T 1 1 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 29

30 Παρακολούθηση Εισόδου Βαθμίδας: Κέρδος Εισόδου Αναφοράς - Παράδειγμα Σε προηγούµενη φάση, προχωρήσαµε σε τοποθέτηση πόλων µέσω ανάδρασης µεταβλητών κατάστασης για ένα ΓΧΑΣ µε ΣΜ ανοικτού βρόχου και το κέρδος DC ανοικτού βρόχου Καταλήξαµε στο κερδος και προέκυψε η απόκριση στα αριστερά και η ΣΜ κλειστού βρόχου Επειδή m = p = 1 è ( ) G= C A B K B K dc = = που οδηγεί στην απόκριση που εµφανίζεται στο δεξιό σχήµα Kdc ( ) = H 0 = 118 1/18 u= K x+ r u= K x+ G r Σερβο- Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ μηχανισμοί 30

31 Σχεδιασμός «Σερβομηχανισμού» Είδαµε ότι ο υπολογισµός του κέρδους G προϋποθέτει τον υπολογισµό του παράγοντα, ο οποίος στηρίζεται αποκλειστικά στις παραµέτρους του µοντέλου του συστήµατος. Μια τέτοια προσέγγιση δεν είναι «εύρωστη» (robust) γιατι στην πράξη συµβαίνουν τα παρακάτω: Αβεβαιότητα ακριβούς γνώσης των παραµέτρων του συστήµατος Προσεγγιστική παράσταση του συστήµατος (µη θεώρηση όρων άγνωστης ή πολύπλοκης δυναµικής) Μεταβολή των παραµέτρων του συστήµατος. Πως µπορούµε να εξασφαλίσουµε καλή απόδωση υπό αυτές τις συνθήκες? Εδώ προτείνεται ο συνδυασµός της µεθοδολογίας χρήσης ενός ολοκληρωτή του σφάλµατος, και των προηγουµένων µεθοδολογιών ανάδρασης µεταβλητών κατάστασης. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 31

32 Σχεδιασμός «Σερβομηχανισμού» Προτείνεται ο συνδυασµός της µεθοδολογίας χρήσης ενός ολοκληρωτή του σφάλµατος, και των προηγουµένων µεθοδολογιών ανάδρασης µεταβλητών κατάστασης. Η προτεινόµενη µεθοδολογία είναι εύρωστη αναφορικά µε τις αβεβαιότητες των παραµέτρων ανοικτού βρόχου µε την έννοια ότι: Διασφαλίζεται η παρακολούθηση της εισόδου βαθµίδας, Εφόσον η ευστάθεια κλειστού βρόχου είναι δεδοµένη. Εδώ, θεωρούµε την περίπτωση SISO και στηριζόµαστε στις παρακάτω προϋποθέσεις: 1) Το ζεύγος (Α,Β) είναι ελέγξιµο Δηλαδή: το s=0 δεν 2) 0 σ(α) είναι ούτε πόλος ούτε 3) Η(0) 0, όπου Η(s) η ΣΜ του συστήµατος ανοικτού βρόχου μηδενιστής του συστήματος ανοικτού βρόχου Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 32

33 Σχεδιασμός «Σερβομηχανισμού» Αν r(t) είναι η είσοδος αναφοράς, ο προτεινόµενος νόµος ελέγχου είναι όπου είναι φανερό ότι το ξ(t) είναι το ολοκλήρωµα του σφάλµατος. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 33

34 Σχεδιασμός «Σερβομηχανισμού» Ο νόµος ελέγχου είναι και το συνολικό δοµικό διάγραµµα είναι Plant A,B Οι εξίσώσεις του αντίστοιχου συστήµατος κλειστού βρόχου είναι ( ) = A x( t) + B u( t) ( ) y( t) = r( t) C x( t)!x t! ξ = r t Και εποµένως η απόκριση του συστήµατος εξαρτάται από τις n+1 ιδιοτιµές αυτού του συστήµατος. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 34

35 Σχεδιασμός «Σερβομηχανισμού» Εποµένως πρέπει να µπορούµε να τοποθετούµε κατά βούληση, µέσω του πίνακα κερδών, τις ιδιοτιµές του πίνακα κλειστού βρόχου Αυτό προϋποθέτει την ελεγξιµότητα του ζεύγους Από την 2 η προϋπόθεση, δηλ. 0 σ(α), ο Α δεν έχει µηδενική ιδιοτιµή è δεν είναι ιδιόµορφος è A 0 Από την 3 η προϋπόθεση, δηλ. Η(0) 0 è SISO Υπενθυµίση από Γραµ. Άλγεβρα: Εποµένως ο δεν είναι ιδιόµορφος. Από την 1 η Ελέγξιμο προϋπόθεση, δηλ. (Α,Β) ελέγξιµο Μπορούµε να τοποθετήσουµε κατά βούληση, µέσω του πίνακα κερδών, τις (n+1) ιδιοτιµές του πίνακα κλειστού βρόχου. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 35

36 Σχεδιασμός «Σερβομηχανισμού» Θεωρούµε ότι ο πίνακας κερδών υπολογίσθηκε ωστε να εξασφαλίζεται η ασυµπτωτική ευστάθεια του συστήµατος κλειστού βρόχου. Θέλουµε να δείξουµε ότι αν è Εποµένως : Πρέπει να βρούµε την σχέση των στο ΣΙ του συστήµατος κλειστού βρόχου, και Μετά να αποδέιξουµε ότι Από τη γραµµική άλγεβρα Αυτό έχει νόηµα γιατί, όπως αποδείξαµε προηγουµένως, A 0, οπότε Εποµένως Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 36

37 Σχεδιασμός «Σερβομηχανισμού» : Στο παρελθόν είδαµε το SISO ΓΧΑΣ Είναι στην «κανονική µορφή ελεγκτή», εποµένως το ζεύγος (Α, Β) είναι ελέγξιµο και έτσι ικανοποιείται η 1 η προϋπόθεση. Βρήκαµε ότι η ΣΜ ανοικτού βρόχου είναι και εποµένως δεν υπάρχει ούτε πόλος, ούτε µηδενιστής στο s = 0, ικανοποιόντας τις προϋποθέσεις 2 η και 3 η. Σύµφωνα µε την προηγηθείσα ανάλυση Παράδειγμα A= B 0 = C = [ ] Αυτό είναι ΓΧΑΣ 4 ης τάξης. Επιλέγουµε ιδιοτιµές σύµφωνα µε το κριτήριο ΙΤΑΕ επιλέγοντας ω n = 2 rad/s : = που έχει ιδιοτιµές : Με τον τύπου του Ackermann βρίσκουµε Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 37

38 Σχεδιασμός «Σερβομηχανισμού» : Παράδειγμα Δεδοµένου ότι ο νόµος ελέγχου είναι: Και το σύστηµα κλειστού βρόχου: Σε επόμενη φάση θα δούμε πως αντιμετωπίζεται η μη- άμεση διαθεσιμότητα κατάστασης Αποµένει να αξιολογήσουµε την «ευρωστία» του σύστήµατος, θεωρόντας µία απόκλιση από την δυναµική του συστήµατος Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 38

39 Σχεδιασμός «Σερβομηχανισμού» : Παράδειγμα ΓΧΑΣ µε Διαταραχή λ 1,2,3 = 1, ±j4 ΓΧΑΣ κανονικό A = Από ανάλυση προ- προηγούμενης διαφάνειας Το σύστηµα, παρόλη τη «διαταραχή», παραµένει ασυµπτωτικά ευσταθές. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 39

40 Σχεδιασμός «Σερβομηχανισμού» : Παράδειγμα Από τις αποκρίσεις των συστηµάτων, κανονικού και «διαταραγµένου», βλέπουµε την επίδραση της διαταραχής στην µεταβατική απόκριση. Είναι φανερό όµως ότι επειδή το «διαταραγµένο» σύστηµα έχει διατηρήσει την ευστάθειά του, ένεκα του ολοκληρωτικού όρου, επιτυγχάνει µηδενικό τελικό σφάλµα. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 40

41 7. Παρατηρητές και Ανάδραση Εξόδου Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 41

42 Εκτίμηση Κατάστασης Η χρήση ανάδρασης / ανατροφοδότησης κατάστασης στο ΓΧΑΣ προαπαιτεί την ακριβή γνώση της κατάστασής του. Αυτό δεν είναι πάντοτε άµεσα δυνατό και, όπως αποδεικνύεται για πλήρως παρατηρήσιµα ΓΧΑΣ, οδηγούµαστε στη σχεδίαση «Παρατηρητών» (Observers) δηλαδή συστηµάτων που στηριζόµενα στη - σε πραγµατικό χρόνο - γνώση των εισόδου και εξόδου του παραπάνω συστήµατος επιτελούν την «εκτίµηση» (estimation) της κατάστασης του ΓΧΑΣ. Εκτίμηση Κατάστασης Ακολούθως, εισάγεται η έννοια της «Ανιχνευσιµότητας» (Detectability) για εκείνες τις περιπτώσεις όπου το σύστηµα δέν είναι πλήρως παρατηρήσιµο. Η εκτίµηση ˆx( t) της κατάστασης (στη θέση της πραγµατικής της τιµής xt ( ) µπορεί να χρησιµοποιηθεί στο σχήµα ελέγχου ανάδρασης µεταβλητών κατάστασης. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 42

43 Ο Παρατηρητής Έστω το προς έλεγχο ΓΧΑΣ : Θεωρούµε παρατηρητή της µορφής: Εκτίμηση Κατάστασης Σκοπός είναι η εύρεση των «πίνακα κερδών παρατηρησης» L που δίνει το βάρος µε το οποίο λαµβάνεται υπόψη ο όρος (η «απόκλιση» της εξόδου που θα προέκυπτε από την εκτίµηση από τη τρέχουσα πραγµατική έξοδο) σε ένα ΓΧΑΣ, που κατά τ αλλα προσοµοιώνει τη δυναµική της εγκατάστασης. Αν ορίσουµε το σφάλµα εκτίµησης µπορούµε να πάρουµε τη δυναµική σφάλµατος : Προφανώς Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 43

44 Ο Παρατηρητής Αν τότε οπότε η δοµή της δυναµικής σφάλµατος!"( ) ( ) "( ) ( ) ( ) ( ) xt = A LC xt συνεπάγεται (γιατί?) xt! = 0 xt ˆ = xt t 0 Όµως ΔΕΝ είναι δυνατόν πάντοτε να ξέρουµε την αρχική κατάσταση, δηλ. ( ) ( ) ( ) Όµως, µε κατάλληλη επιλογή του L, το xt!" = A LC xt " µπορεί να γίνει ευσταθές και το xt! να τείνει στο 0. ( ) Η δοµή του παρατηρητή και όλου του συστήµατος φαίνονται αναλυτικότερα,από πριν, στο διπλανό σχήµα. Επίσης, καταλήξαµε στη παραπάνω Δ.Ε. σφάλµατος, κάνοντας την ΥΠΟΘΕΣΗ ότι οι πίνακες Α, Β, C του παρατηρητή (δηλ. το µοντέλο που «τρέχει» σε λογισµικό) ταυτίζονται µε αυτούς του πραγµατικού συστήµατος. Παρατηρητής Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 44

45 Τοποθέτηση Πόλων Παρατηρητή Επειδή σ(α-l C) = σ((α-l C) Τ ) και (Α-L C) Τ =Α Τ -C T LT, άν θεωρήσουµε τις αντιστοιχίες : Α Α Τ Β C Τ K L Τ βλέπουµε ότι η τοποθέτηση ιδιοτιµών του Α-L C µέσω του L είναι αντίστοιχη µε τη τοποθέτηση ιδιοτιµών του Α-Β Κ µέσω του Κ.Υπάρχει δηλ. διαδικότητα (duality) µεταξύ των προβληµάτων. Θεώρηµα: Αν A! n n, C! p n τότε για κάθε σύνολο n µιγαδικών αριθµών {µ 1, µ 2,, µ n }, στο οποίο οι µη αµιγώς πραγµατικοί εµφανιζονται ως συζυγή ζεύγη, υπάρχει ένας πίνακας L! n p έτσι ώστε σ(α-l C) = {µ 1, µ 2,, µ n } αν και µόνο αν το ζεύγος (Α,C) είναι παρατηρήσιµο. Το παραπάνω θεώρηµα θέτει την παρατηρησιµότητα ως αναγκαία και ικανή συνθήκη για την αυθαίρετη (εφόσον οι µη αµιγώς πραγµατικές εµφανιζονται ως συζυγή ζεύγη) τοποθέτηση όλων των ιδιοτιµών ενός παρατηρητή, µέσω κατάλληλου πίνακα κερδών ανατροφοδότησης. Πως ευρίσκεται αυτό το L? Τύπος Ackermann: Για συστήµατα µίας εξόδου, δηλ. A! n n, C! 1 n, τότε 1 όπου L= α ( A) Q ( A C) [! ], T T T T T T n ( ) 1 T Q= C C A C A!! n n ο πίνακας παρατηρησιµότητας που επειδή εµφανίζεται σε µορφή αντιστρόφου είναι εµφανής η ανάγκη γιά παρατηρησιµότητα : οι συντελεστές του δίνονται από το επιθυµητό ΧΠ του Α-L C δηλ. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 45

46 Τοποθέτηση Πόλων Παρατηρητή: Παράδειγμα - 1 Έστω το ΓΧΑΣ Πόλοι Ανοικτού Βρόχου Πόλοι Παρατηρητή ΧΠ Παρατηρητή 1 ( ) ( ) [ ] L= α A Q A, C 0 0! 0 1 T è Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 46

47 Τοποθέτηση Πόλων Παρατηρητή: Παράδειγμα - 1 xt ˆ! Axt ˆ But L yt yt ˆ Axt ˆ But L yt Cxt ˆ A LC xt ˆ But Lyt ( ) = ( ) + ( ) + ( ) ( ) = ( ) + ( ) + ( ) ( ) = ( ) ( ) + ( ) + ( ) Παρατηρητής Αν θεωρήσουµε τις τροχιές που προκύπτουν από το ΓΧΑΣ για [ ] x 0 = T από τον παρατηρητή (όπως εµφανίζεται παραπάνω) και για x ˆ = T [ ] Είναι φανερή η ασυµπτωτική σύγκλιση της εκτίµησης του παρατηρητή προς τη πραγµατική τροχιά του ΓΧΑΣ (που µάλιστα δεν είναι συγκλίνουσα). Στη συνέχεια θα δούµε και την περίπτωση κλειστού βρόχου. 0 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 47

48 Τοποθέτηση Πόλων Παρατηρητή: Παράδειγμα - 2 Στο παρελθόν θεωρήσαµε το ΓΧΑΣ Επιλέξαµε πόλους κλειστού βρόχου Επιλέγουµε πόλους παρατηρητή κατά πολύ ταχύτερους (~10 φορές) για να συγκλίνει γρήγορα η εκτίµηση, δηλ. 1 = α ( ) (, ) [ 0 0! 0 1] T L = [ ] L A Q A C T Τα µεγάλα κέρδη παρατηρητή οφείλονται στους επιλεγέντες πολύ γρήγορους πόλους παρατηρητη. Αυτό δυνητικά οδηγεί σε «ευαίσθητο» σύστηµα... Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ Σερβομηχανισμοί 48

49 Ανιχνευσιμότητα Σε οιοδήποτε παρατηρήσιµο σύστηµα είναι δυνατή η ανάπτυξη παρατηρητή µε πόλους κατά τις προδιαγραφές τοποθετηµένους και κατα συνέπεια η παρατήρησή του. Είναι δυνατή όµως η παρατήρηση ενός µη πλήρως παρατηρήσιµου συστήµατος? Απάντηση: Ναι υπό τη προυπόθεση ότι το σύστηµα είναι ανιχνεύσιµο (detectable) Παράδειγµα: Το SISO ΓΧΑΣ Όπως φαίνεται παρακάτω είναι µη πλήρως. παρατηρήσιµο. Όµως το υποσύστηµα (Α 11, C 1 ) είναι ένα πλήρως παρατηρήσιµο σύστηµα. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 49

50 Ανιχνευσιμότητα Αν επιλέξουµε τότε Από την block κάτω τριγωνική µορφή (block lower triangular) του πίνακα παρατηρητή είναι φανερό ότι µε το κέρδος l 1 µπορούµε να τοποθετήσουµε κατά βούληση τον 1 ο πόλο ενώ οι 2 ος & 3 ος είναι οι -1, -2, που είναι ευσταθείς, και κατά συνέπεια το ίδιο και η δυναµική σφάλµατος. Τα κέρδη l 2, l 3 δεν µπορούν να έχουν καµµία επίδραση στη δυναµική σφάλµατος. Ορισµός: Το ΓΧΑΣ y= C x ή αλλοιώς το «ζεύγος» (Α,C), είναι Ανιχνεύσιµο (Detectable) αν υπαρχει πίνακας κερδών παρατηρητή L για τον οποίο όλες οι ιδιοτιµές του πίνακα Α-L C έχουν αυστηρά αρνητικό πραγµατικό τµήµα. Παρατηρησιµότητα è Ανιχνευσιµότητα (Detectability) x! = A x+ B u Ανιχνευσιµότητα è Παρατηρησιµότητα Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 50

51 Ανιχνευσιμότητα x! = A x+ B u Έστω το ΓΧΑΣ όπου το (Α,C) δεν είναι πλήρως παρατηρήσιµο. y= C x Ως γνωστόν, υπάρχει µετασχηµατισµός που δίδει τους πίνακες του µετασχηµατισµένου συστήµατος όπου το (Α 11, C 1 ) είναι πλήρως παρατηρήσιµο. Γι αυτό το σύστηµα, θεωρούµε τον κατάλληλα «κατατµηµένο» πίνακα κερ- -δών οπότε ο πίνακας παρατη- -ρητή του µετασχηµατισµένου συστήµατος : Αυτός ο πίνακας έχει ιδιοτιµές: Αυτές του όπου, επειδή το (Α 11, C 1 ) είναι πλήρως παρατηρήσιµο, µπορούν να τοποθετηθούν (π.χ. µε τον τύπο του Ackermann) κατά βούληση, και Αυτές του (που δεν µπορούνα να µετακινηθούν). Εποµένως η δυνατότητα παρατήρησης του ΓΧΑΣ προϋποθέτει ότι το έχει ασυµπτωτικά ευσταθείς πόλους. Παρατηρούµε δε ότι το L 2 δεν παίζε κανένα ρόλο στη παρατήρηση του συστήµατος. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 51

52 Ανιχνευσιμότητα : Παράδειγμα Για το ΓΧΑΣ Εξετάσαµε την παρατηρησιµότητά του, και Είδαµε το τρόπο µετασχηµατισµού του σε µορφή που «ξεχωρίζουν» τα παρατηρήσιµα και µη παρατηρήσιµα τµήµατα Επειδή Α 22 = -3, προφανώς το σύστηµα είναι σταθεροποιήσιµο. Για το (Α 11, C 1 ) επιλέγουµε ιδιοτιµές - 2 ± j 2 και µέσω του τύπου του Ackermann υπολογίζεται ο σχετικός πίνακας κερδών L 1 = [ 1 3] T και µπορεί να πιστοποιηθεί ότι ο πινακας έχει τις επιθυµητές ιδιοτιµές. Επιλέγουµε λοιπόν L ˆ = [ 1 3 0] T και µπορεί να πιστοποιηθεί ότι ο έχει ιδιοτιµές - 2 ± j 2, -3. Επειδή θέλουµε οι διοτιµές των A L C, Aˆ Lˆ Cˆ να ταυτίζονται, βάσει των ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 L= T L 1 A= T A T ( ) 1 C = C T A L C = T A L C T ( ) ( ) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 52

53 Αντιστάθμιση Βασισμένη σε Παρατηρητές Η Ιδιότητα του Διαχωρισμού Για τη σταθεροποίση µέσω ανάδρασης / ανατροφοδότησης κατάστασης του ΓΧΑΣ γνωρίζουµε ότι: η ελεγξιµότητα του ζευγους (Α, Β) είναι αναγκαία και ικανή συνθήκη για να είναι δυνατή η τοποθέτηση πόλων κλειστου βρόχου µέσω του νόµου ελέγχου η παρατηρησιµότητα του ζευγους (Α, C) είναι αναγκαία και ικανή συνθήκη για να είναι δυνατή η εκτίµηση κατάστασης του ΓΧΑΣ µέσω του παρατηρητή Αν γίνει διασύνδεση των παραπάνω συστηµάτων προκύπτει το συνολικό σύστηµα του σχήµατος: Controller Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 53

54 Αντιστάθμιση Βασισμένη σε Παρατηρητές Η Ιδιότητα του Διαχωρισμού Η διασύνδεση µεταξύ παρατηρήτή και ελεγκτή οδηγεί στη δοµή Το σχήµα της προηγούµενης σελίδας εξειδικεύεται στο δοµικό διάγραµµα ( ) = ( ) ˆ( ) + ( ) xt! Axt BK xt Brt T T Παρατηρούµε ότι δηλαδή x x! = T x xˆ όπου I I 0 I 1 T = = T και εποµένως [ ] [ ] Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 54

55 Αντιστάθμιση Βασισμένη σε Παρατηρητές Η Ιδιότητα του Διαχωρισμού H block τριγωνική µορφή του συνολικού πίνακα δείχνει ότι οι 2n ιδιοτιµές είναι Λόγω του ότι οι µετασχηµατισµοί συντεταγµένων ΔΕΝ επηρεάζουν τις ιδιοτιµές, προφανώς Αυτή είναι η Ιδιότητα Διαχωρισµού (Separation Property) που καθορίζει ότι: οι 2n πόλοι του συστήµατος x xˆ T διαχωρίζονται: [ ] σε αυτές που αντιστοιχούν στο σύστηµα ελέγχου και καθορίζονται απο κατάλληλη επιλογή του K στον πίνακα Α-ΒΚ, και σε αυτές που αντιστοιχούν στο σύστηµα παρατήρησης και καθορίζονται απο κατάλληλη επιλογή του L στον πίνακα Α-LC. Οι πόλοι του Α-LC πρέπει να είναι (~10 φορές) ταχύτεροι από τους κυριαρχούντες του Α-ΒΚ. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 55

56 Αντιστάθμιση Βασισμένη σε Παρατηρητές Ιδιότητα Διαχωρισμού: Παράδειγμα - 1 Έστω το ΓΧΑΣ (ήδη εξετασθέν) Πόλοι Ανοικτού Βρόχου «Οριακά Ευσταθές» Σύστημα Το σύστηµα ανοικτού βρόχου ΔΕΝ είναι ΒΙΒΟ ευσταθές. Για το σύστηµα «συντονίζεται» και οδηγεί σε µη-φραγµένη απόκριση (να δειχθεί). Επιλέγουµε ασυµπτωτικά ευσταθείς πόλους κλειστού βρόχου. è ΧΠ: Από τον τύπο του Ackermann προκύπτει: Κ Ο πίνακας κλειστού βρόχου είναι: Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 56

57 Αντιστάθμιση Βασισμένη σε Παρατηρητές Ιδιότητα Διαχωρισμού: Παράδειγμα - 1 Έπιλέξαµε: Πόλοι Παρατηρητή ΧΠ Παρατηρητή 1 ( ) ( ) [ ] L= α A Q A, C 0 0! 0 1 T Αν θέλουµε απλή σταθεροποίηση τότε επιλέγουµε r(t) = 0 στον νόµο ελέγχου ˆ οπότε ( ) = ( ) + ( ) ut Kxt rt Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 57

58 Αντιστάθμιση Βασισμένη σε Παρατηρητές Ιδιότητα Διαχωρισμού: Παράδειγμα - 1 xt ˆ! Axt ˆ But L yt yt ˆ Axt ˆ But L yt Cxt ˆ A LC xt ˆ But Lyt ( ) = ( ) + ( ) + ( ) ( ) = ( ) + ( ) + ( ) ( ) = ( ) ( ) + ( ) + ( ) Παρατηρητής Αν θεωρήσουµε τις τροχιές που προκύπτουν από το ΓΧΑΣ για [ ] x 0 = T από τον παρατηρητή (όπως εµφανίζεται παραπάνω) και για x ˆ = T [ ] Είναι φανερή η ασυµπτωτική σύγκλιση της εκτίµησης του παρατηρητή προς τη πραγµατική τροχιά του ΓΧΑΣ (που µάλιστα δεν είναι συγκλίνουσα). 0 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 58

59 Ως γνωστόν xt ˆ = A LC xt ˆ + But + Lyt. Από προηγουµένως Οπότε Αντιστάθμιση Βασισμένη σε Παρατηρητές Ιδιότητα Διαχωρισμού: Παράδειγμα - 1! ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ˆ( ) + ( ) xt ˆ! A LC BK xt Lyt ( ) = Cxt ( ) yt xt ˆ! A LC BK xt LCxt ( ) = ( ) ˆ( ) + ( ) ( ) = Kxt ˆ( ) ut x! = A x BK xˆ ( ) = ( ) + ( ) xt! Axt But Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 59

60 Αντιστάθμιση Βασισμένη σε Παρατηρητές Ιδιότητα Διαχωρισμού: Παράδειγμα - 1 Στο διπλανό σχήµα, φαίνονται τα αποτελέσµατα προσοµοιώσεων για Φαίνονται η σύγκλιση της κατάστασης στο «0», και η σύγκλιση της εκτίµησης προς την πραγµατική κατάσταση Ποιά από τις 2 συγκλίσεις είναι ταχύτερη και γιατί? ( ) Αν το xˆ 0 επιλεγεί διαφορετικά απ ότι παραπάνω, θα αλλάξει κάποια από τις 2 καµπύλες και ποιά? Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 60

61 Παρακολούθηση Εισόδου Βαθμίδας: Αντιστάθμιση μέσω Παρατηρητή Μέχρι στιγµής δόθηκε έµφαση στη µεταβατική απόκριση. Τώρα θα ασχοληθούµε µε τη παρακολούθηση εισόδου βαθµίδας µέσω δύο (2) προσεγγίσεων: Ενσωµάτωση της εισόδου αναφοράς στο νόµο ελέγχου µε ανατροφοδότηση κατάστασης. Σερβοµηχανισµοί: Ενσωµάτωση ολοκληρωτικού παράγοντα του σφάλµατος στο νόµο ελέγχου µε ανατροφοδότηση κατάστασης. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 61

62 Αν στο ΓΧΑΣ xt! = Axt + But χρησιµοποιήσουµε νόµο ελέγχου ut Kxt ˆ Grt τότε επειδή ˆx x x γίνεται Ως γνωστόν Παρακολούθηση Εισόδου Βαθμίδας: Αντιστάθμιση μέσω Παρατηρητή Κέρδος Εισόδου Αναφοράς ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) + ( ) xt! ( ) = Axt ( ) BK xt ˆ( ) + BGrt ( ) που =! xt! ( ) = ( A BK ) xt ( ) + BK xt "( ) + BGrt ( ) xt!"( ) = ( A LC ) xt "( ) Ο πίνακας µεταφοράς κλειστού βρόχου είναι: CL δηλαδή ίδιος µε τη περίπτωση διαθέσιµης κατάστασης. Άρα ισχύει η ανάλυση του προηγούµενου κεφαλαίου Γιατί ο πίνακας µεταφοράς κλειστού βρόχου είναι ίδιος? ( ) ( ) 1 p p = +! H s C s I A B K B G Οι ΣΜ καθορίζουν τη σχεση εισόδου-εξόδου για ΜΗΔΕΝΙΚΕΣ αρχικές συνθήκες... Εδώ: Αυτό όµως θα σήµαινε xt!( ) = 0 t 0. Άρα οι περιπτωσεις: (α) µε παρατηρητή και (β) χωρίς παρατηρητή, θα ήταν ίδιες... ( ) ( ) ( ) ( ) [ 0] ( ) "( ) ( ) ( ) xt! A BK BK xt BG = + r t xt 0 ( A LC ) xt 0!" " y t = C x t x t Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 62 T ( )

63 Παρακολούθηση Εισόδου Βαθμίδας: Αντιστάθμιση μέσω Παρατηρητή Σχεδιασμός «Σερβομηχανισμού» Η µεθοδολογία του Σερβοµηχανισµού προτάθηκε προγουµένως ως εύρωστη αναφορικά µε τις αβεβαιότητες των παραµέτρων ανοικτού βρόχου, µε την έννοια ότι: Διασφαλίζεται η παρακολούθηση της εισόδου βαθµίδας, Εφόσον η ευστάθεια κλειστού βρόχου είναι δεδοµένη. Σκοπεύουµε να επιτύχουµε: Ασυµπτωτική ευστάθεια του συστήµατος κλειστού βρόχου, και Ασυµπτωτική παρακολούθηση εισόδου αναφοράς τύπου συνάρτησης βαθµίδας. Θεωρούµε την περίπτωση SISO και στηριζόµαστε στις παρακάτω προϋποθέσεις: Το s=0 δεν είναι ούτε 1) Το ζεύγος (Α,Β) είναι ελέγξιµο και παρατηρήσιµο πόλος ούτε μηδενιστής 2) 0 σ(α) του συστήματος ανοικτού βρόχου 3) Η(0) 0, όπου Η(s) η ΣΜ του συστήµατος ανοικτού βρόχου Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 63

64 Αν r(t) είναι η είσοδος αναφοράς, ο προτεινόµενος νόµος ελέγχου είναι όπου είναι φανερό ότι το ξ(t) είναι το ολοκλήρωµα του σφάλµατος και το συνολικό δοµικό διάγραµµα είναι Αν λάβουµε υπόψη µας και τις βασικές εξισώσεις : [ K k ] ˆ I x( t) ξ ( t) xt! ( ) = Axt ( ) + But ( ) y( t) = C x( t) xt ˆ ( ) = xt ( ) xt "( ) Καταλήγουµε στο σύστηµα κλειστού βρόχου: Εποµένως, η απόκριση του συστήµατος εξαρτάται από τις 2n+1 ιδιοτιµές αυτού του συστήµατος. Παρακολούθηση Εισόδου Βαθμίδας: Αντιστάθμιση μέσω Παρατηρητή Σχεδιασμός «Σερβομηχανισμού» = Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 64 T

65 Ο πίνακας δυναµικής είναι block άνω τριγωνικός. Προφανώς, ένεκα παρατηρησιµότητας, n πόλοι τοποθετούνται µέσω του L στο block: (A-L C) Μπορούµε, όπως είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο, να κάνουµε ασυµπτωτικά ευσταθείς, µέσω του πίνακα κερδών [Κ k Ι ], τις (n+1) ιδιοτιµές του πίνακα κλειστού βρόχου : Θέλουµε να δείξουµε ότι αν è Εποµένως : Πρέπει να βρούµε την σχέση των στο ΣΙ του συστήµατος κλειστού βρόχου, και Μετά να αποδέιξουµε ότι Παρακολούθηση Εισόδου Βαθμίδας: Αντιστάθμιση μέσω Παρατηρητή Σχεδιασμός «Σερβομηχανισμού» Βασει της ανάλυσης του προηγούμενου κεφαλαίου è ( ) 0= A L C x! x! = 0 Ο (Α-LC) είναι ασυμπτωτικά ευσταθής è μη ιδιόμορφος SS SS Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 65

66 Παρακολούθηση Εισόδου Βαθμίδας: Αντιστάθμιση μέσω Παρατηρητή Σχεδιασμός «Σερβομηχανισμού» : Παράδειγμα Σε ΓΧΑΣ που εξετάσαµε προηγουµένως, βρήκαµε τον πίνακα κερδών του σερβοµηχανισµού. Επίσης, σε προηγούµενο παράδειγµα βρήκαµε τα κέρδη παρατηρητή Εποµένως L = Σύστηµα xt! ( ) = Axt ( ) + But ( ) Έξοδος A= B= 0 yt C = [ ( ) = Cxt ( ) ] Νόµος Ελέγχου [ ] T Παρατηρητής Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 66

67 Παρακολούθηση Εισόδου Βαθμίδας: Αντιστάθμιση μέσω Παρατηρητή Σχεδιασμός «Σερβομηχανισμού» : Παράδειγμα Για r(t)=1 t 0, λαµβάνουµε την απόκριση εξόδου και µεταβλητών κατάστασης. Ποιά από τις 2 συγκλίσεις είναι ταχύτερη και γιατί? ( ) Αν το xˆ 0 επιλεγεί διαφορετικά απ ότι παραπάνω τι θα αλλάξει? Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 67

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://) Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (h>p://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή της Ύλης του Μαθήματος Εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές

Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές Κων/νος Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ @ kkyria@central.ntua.gr! http://users.ntua.gr/kkyria ΑΕΡΟΔΙΑΣΤΗΜΙΚΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟΣ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΣ Δομή

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://) Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (h>p://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή της Ύλης του Μαθήματος Εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (http://)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (http://) Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (http://) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (http://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή της Ύλης του Μαθήματος Εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής: Ευρεση Νόμου Ελέγχου

Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής: Ευρεση Νόμου Ελέγχου Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής: Ευρεση Νόμου Ελέγχου Για την ανεύρεση της µορφής των λύσεων στρεφόµαστε προς τις αναγκαίες συνθήκες, αρχικά στις Εξισώσεις Euler-Lagrange: Τ Τ Τ! f d! f = 0 t t0, t

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος «Ελάχιστης Ενέργειας»

Έλεγχος «Ελάχιστης Ενέργειας» Έλεγχος «Ελάχιστης Ενέργειας» Σε πολλές εφαρµογές, τόσο της αεροδιαστηµικής όσο και άλλων µορφών της τεχνολογίας µεταφορών κλπ, η βελτιστοποίηση επικεντρώνεται στο ζήτηµα της ενέργειας κατά την επίτευξη

Διαβάστε περισσότερα

2. Ανάλυση Γραμμικών Χρονικά Αμετάβλητων Συστημάτων (ΓΧΑΣ) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1

2. Ανάλυση Γραμμικών Χρονικά Αμετάβλητων Συστημάτων (ΓΧΑΣ) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 2. Ανάλυση Γραμμικών Χρονικά Αμετάβλητων Συστημάτων (ΓΧΑΣ) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Επίλυση Εξισώσεων Κατάστασης Δεδοµένου του ΓΧΑΣ nn nm pn pm όπου A R B R C R D R Τίθεται το ζήτηµα της επίλυσης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Έλεγχος στο Πεδίο της Συχνότητας. Τόπος Ριζών Διάγραµµα Bode Διάγραµµα Nyquist Ψηφιακός PID

Κεφάλαιο 6. Έλεγχος στο Πεδίο της Συχνότητας. Τόπος Ριζών Διάγραµµα Bode Διάγραµµα Nyquist Ψηφιακός PID Κεφάλαιο 6 Έλεγχος στο Πεδίο της Συχνότητας u Έλεγχος στο Πεδίο της Συχνότητας Τόπος Ριζών Διάγραµµα Bode Διάγραµµα Nyquist Ψηφιακός PID Τόπος Ριζών Για τον τόπο των ριζών δεν χρειάζεται καµία ιδιαίτερη

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση: Ένα σύστηµα µε είσοδο u(t), έξοδο y(t) και διάνυσµα κατάστασης x(t) = (x 1 (t) x 2 (t)) T περιγράφεται από το ακόλουθο διάγραµµα:

Άσκηση: Ένα σύστηµα µε είσοδο u(t), έξοδο y(t) και διάνυσµα κατάστασης x(t) = (x 1 (t) x 2 (t)) T περιγράφεται από το ακόλουθο διάγραµµα: 1 Άσκηση: Ένα σύστηµα µε είσοδο u(t), έξοδο y(t) και διάνυσµα κατάστασης x(t) = (x 1 (t) x 2 (t)) T περιγράφεται από το ακόλουθο διάγραµµα: Όπου Κ R α) Να βρεθεί η περιγραφή στο χώρο κατάστασης και η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://) Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (h>p://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή της Ύλης του Μαθήματος Εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (hhp://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή της Ύλης του Μαθήματος Εισαγωγή στο Χώρο

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακός Έλεγχος. 6 η διάλεξη Σχεδίαση στο χώρο κατάστασης. Ψηφιακός Έλεγχος 1

Ψηφιακός Έλεγχος. 6 η διάλεξη Σχεδίαση στο χώρο κατάστασης. Ψηφιακός Έλεγχος 1 Ψηφιακός Έλεγχος 6 η διάλεξη Σχεδίαση στο χώρο κατάστασης Ψηφιακός Έλεγχος Μέθοδος μετατόπισης ιδιοτιμών Έστω γραμμικό χρονικά αμετάβλητο σύστημα διακριτού χρόνου: ( + ) = + x k Ax k Bu k Εφαρμόζουμε γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΙ Τμήμα Μαθηματικών - Τομέας Υπολογιστών & Αριθμητικής Ανάλυσης Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 2016

ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΙ Τμήμα Μαθηματικών - Τομέας Υπολογιστών & Αριθμητικής Ανάλυσης Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 2016 ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΙ Τμήμα Μαθηματικών - Τομέας Υπολογιστών & Αριθμητικής Ανάλυσης Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 016 Θέμα 1. α) (Μον.1.5) Αποδείξτε ότι αν το σύστημα στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια

Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια 6 Nicol Tptouli Ευστάθεια και θέση πόλων Σ.Α.Ε ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Ευστάθεια Ελεγξιµότητα - Παρατηρησιµότητα

Κεφάλαιο 5 Ευστάθεια Ελεγξιµότητα - Παρατηρησιµότητα Κεφάλαιο 5 Ευστάθεια Ελεγξιµότητα - Παρατηρησιµότητα u u u u Ευστάθεια Ευστάθεια κατά Lyapunov Ασυµπτωτική Ευστάθεια Κριτήρια Ευστάθειας Ελεγξιµότητα Παρατηρησιµότητα Επίδραση της Δειγµατοληψίας στην Ελεγξιµότητα

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Ευστάθεια Ελεγξιµότητα - Παρατηρησιµότητα

Κεφάλαιο 5 Ευστάθεια Ελεγξιµότητα - Παρατηρησιµότητα Κεφάλαιο 5 Ευστάθεια Ελεγξιµότητα - Παρατηρησιµότητα u Συστήµατα από Δειγµατοληπτικά Δεδοµένα (Επανάληψη Ασκήσεις) u Στο πεδίο Συχνότητας (Συναρτήσεις Μεταφορά) u Στο πεδίο Χρόνου (Εξισώσεις Κατάστασης)

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (http://)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (http://) Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (http://) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (http://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή της Ύλης του Μαθήματος Εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου

Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα 5 η : ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Επ. Καθηγητής Γαύρος Κωνσταντίνος ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://) Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (h>p://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή της Ύλης του Μαθήματος Εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Γεωµετρικός Τόπος Ριζών

Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Γεωµετρικός Τόπος Ριζών ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Γεωµετρικός Τόπος Ριζών 6 Nicolas Tsapatsoulis ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος []: Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Παράδειγμα 1 Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με _ + Σχήμα 1 στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Α) Γράψτε το σύστημα ευθέως κλάδου σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Κίνησης

Έλεγχος Κίνησης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα 1501 - Έλεγχος Κίνησης Ενότητα: Συστήματα Ελέγχου Κίνησης Μιχαήλ Παπουτσιδάκης Τμήμα Αυτοματισμού Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τ.Τ Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα #5: Σχεδιασμός ελεγκτών με τη μέθοδο του Τόπου Ριζών 2 Δ. Δημογιαννόπουλος, dimogian@teipir.gr Επ. Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙ ΤΩΝ ΠΟΛΩΝ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΞΟΔΟΥ Y(s) ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΓΝΩΡΙΣΜΑΤΑ ΤΗΣ ΧΡΟΝΙΚΗΣ ΑΠΟΚΡΙΣΗΣ ΣΕ ΕΙΣΟΔΟ ΜΟΝΑΔΙΑΙΑΣ ΒΑΘΜΙΔΑΣ

ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙ ΤΩΝ ΠΟΛΩΝ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΞΟΔΟΥ Y(s) ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΓΝΩΡΙΣΜΑΤΑ ΤΗΣ ΧΡΟΝΙΚΗΣ ΑΠΟΚΡΙΣΗΣ ΣΕ ΕΙΣΟΔΟ ΜΟΝΑΔΙΑΙΑΣ ΒΑΘΜΙΔΑΣ ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙ ΤΩΝ ΠΟΛΩΝ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΞΟΔΟΥ Y(s) 1 Πόλος στην αρχή των αξόνων: 2 Πόλος στον αρνητικό πραγματικό ημιάξονα: 3 Πόλος στον θετικό πραγματικό ημιάξονα: 4 Συζυγείς πόλοι πάνω

Διαβάστε περισσότερα

Ο Βρόχος Ρύθµισης µε Ανατροφοδότηση

Ο Βρόχος Ρύθµισης µε Ανατροφοδότηση Ο Βρόχος Ρύθµισης µε Ανατροφοδότηση Ο Βρόχος Ανατροφοδότησης Στοιχεία ιεργασίας και Όργανα Μέτρησης ιατάξεις ιαγραµµάτων Βαθµίδας Μέτρα Απόδοσης Ρύθµισης Επιλογή Μεταβλητών Ρύθµισης 1 Ο βρόχος ανατροφοδότησης!

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Χρονική Απόκριση και Απόκριση Συχνότητας

Εισαγωγή στην Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Χρονική Απόκριση και Απόκριση Συχνότητας ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Εισαγωγή στην Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Χρονική Απόκριση και Απόκριση Συχνότητας 6 Ncola Tapaoul Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [5]: Κεφάλαιο 4 Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Η Βασική Δομή Συστημάτων Ελέγχου Κίνησης

Η Βασική Δομή Συστημάτων Ελέγχου Κίνησης Η Βασική Δομή Συστημάτων Ελέγχου Κίνησης Σύστημα ονομάζουμε ένα σύνολο στοιχείων κατάλληλα συνδεδεμένων μεταξύ τους για να επιτελέσουν κάποιο έργο Είσοδο ονομάζουμε τη διέγερση, εντολή ή αιτία η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (http://)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (http://) Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (http://) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (http://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή της Ύλης του Μαθήματος Εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Περιγραφή και Ανάλυση Συστημάτων Ελέγχου στο Χώρο Κατάστασης Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο 6 Nicola Tapaouli Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 5: Ενότητες 5.-5. Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://courseware.mech.ntua.gr/ml23147/)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://courseware.mech.ntua.gr/ml23147/) Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://courseware.mech.ntua.gr/ml23147/) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (h>p://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΡΟΜΠΟΤΙΚΟΥ ΒΡΑΧΙΟΝΑ ΜΕ ΕΞΑΣΦΑΛΙΣΗ ΠΡΟΚΑΘΟΡΙΣΜΕΝΗΣ ΕΠΙΔΟΣΗΣ ΣΤΟ ΣΦΑΛΜΑ ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΗΣΗΣ ΤΡΟΧΙΑΣ ΣΤΙΣ ΑΡΘΡΩΣΕΙΣ.

ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΡΟΜΠΟΤΙΚΟΥ ΒΡΑΧΙΟΝΑ ΜΕ ΕΞΑΣΦΑΛΙΣΗ ΠΡΟΚΑΘΟΡΙΣΜΕΝΗΣ ΕΠΙΔΟΣΗΣ ΣΤΟ ΣΦΑΛΜΑ ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΗΣΗΣ ΤΡΟΧΙΑΣ ΣΤΙΣ ΑΡΘΡΩΣΕΙΣ. ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΡΟΜΠΟΤΙΚΟΥ ΒΡΑΧΙΟΝΑ ΜΕ ΕΞΑΣΦΑΛΙΣΗ ΠΡΟΚΑΘΟΡΙΣΜΕΝΗΣ ΕΠΙΔΟΣΗΣ ΣΤΟ ΣΦΑΛΜΑ ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΗΣΗΣ ΤΡΟΧΙΑΣ ΣΤΙΣ ΑΡΘΡΩΣΕΙΣ. Όλγα Ζωίδη, Ζωή Δουλγέρη Εργαστήριο Αυτοματοποίησης και Ρομποτικής Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

(είσοδος) (έξοδος) καθώς το τείνει στο.

(είσοδος) (έξοδος) καθώς το τείνει στο. Υπενθυμίζουμε ότι αν ένα σύστημα είναι ευσταθές, τότε η απόκριση είναι άθροισμα μίας μεταβατικής και μίας μόνιμης. Δηλαδή, αν το σύστημα είναι ευσταθές όπου και Είθισται, σε ένα σύστημα αυτομάτου ελέγχου

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://courseware.mech.ntua.gr/ml23147/)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://courseware.mech.ntua.gr/ml23147/) Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://courseware.mech.ntua.gr/ml23147/) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (h>p://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακός Έλεγχος. 10 η διάλεξη Ασκήσεις. Ψηφιακός Έλεγχος 1

Ψηφιακός Έλεγχος. 10 η διάλεξη Ασκήσεις. Ψηφιακός Έλεγχος 1 Ψηφιακός Έλεγχος 10 η διάλεξη Ασκήσεις Ψηφιακός Έλεγχος 1 Άσκηση1 Ασκήσεις Επιθυμούμε να ελέγξουμε την γωνία ανύψωσης μιας κεραίας για να παρακολουθείται η θέση ενός δορυφόρου. Το σύστημα της κεραίας και

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Ανάλυση και Προσοµοίωση Δυναµικών Συστηµάτων

Εισαγωγή στην Ανάλυση και Προσοµοίωση Δυναµικών Συστηµάτων Εισαγωγή στην Ανάλυση και Προσοµοίωση Δυναµικών Συστηµάτων Control Systems Laboratory Περιγραφή Δυναµικών Συστηµάτων Εξίσωση µεταβολής όγκου Η µεταβολή όγκου ισούται µε τη παροχή υγρού Q που σχετίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Τυπική µορφή συστήµατος 2 ας τάξης

Τυπική µορφή συστήµατος 2 ας τάξης Τυπική µορφή συστήµατος 2 ας τάξης Έστω το γενικό σύστηµα 2 ας τάξεως µε σταθερό αριθµητή (1) Είθισται αυτό να γράφεται σε συγκεκριµένη µορφή, την εξής: θέτουµε ±, επιλέγοντας το πρόσηµο ούτως ώστε το

Διαβάστε περισσότερα

Αυτόματος Έλεγχος. Ενότητα 11 η : Σχεδίαση ελεγκτών στο πεδίο του χώρου μεταβλητών κατάστασης. Παναγιώτης Σεφερλής

Αυτόματος Έλεγχος. Ενότητα 11 η : Σχεδίαση ελεγκτών στο πεδίο του χώρου μεταβλητών κατάστασης. Παναγιώτης Σεφερλής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα η : Σχεδίαση ελεγκτών στο πεδίο του χώρου μεταβλητών κατάστασης Παναγιώτης Σεφερλής Εργαστήριο Δυναμικής Μηχανών Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI. Μετασχηµατισµοί Legendre. της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα). Εάν

Μηχανική ΙI. Μετασχηµατισµοί Legendre. της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα). Εάν Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 7/5/2000 Μηχανική ΙI Μετασχηµατισµοί Legendre Έστω µια πραγµατική συνάρτηση. Ορίζουµε την παράγωγο συνάρτηση της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα).

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου

Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου Μάθηµα 4 Αναλυτική σύνθεση συστηµάτων αυτοµάτου ελέγχου Με συνθήκη µόνιµου σφάλµατος Με συνθήκη επιθυµητών πόλων Με επιθυµητό πρότυπο Καλλιγερόπουλος 4 1 Αναλυτική Σύνθεση συστηµάτων

Διαβάστε περισσότερα

x(t) 2 = e 2 t = e 2t, t > 0

x(t) 2 = e 2 t = e 2t, t > 0 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-215: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 216-17 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λυµένες Ασκήσεις σε Σήµατα και Συστήµατα Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

Ισοδυναµία τοπολογιών βρόχων.

Ισοδυναµία τοπολογιών βρόχων. Ισοδυναµία τοπολογιών βρόχων. Κατά κανόνα, συµφέρει να ανάγουµε τις «πολύπλοκες» τοπολογίες βρόχων σε έναν απλό κλειστό βρόχο, µε µία συνάρτηση µεταφοράς στον κατ ευθείαν κλάδο και µία συνάρτηση µεταφοράς

Διαβάστε περισσότερα

Αυτόματος Έλεγχος. Ενότητα 9 η : Σχεδίαση ελεγκτών με το γεωμετρικό τόπο ριζών. Παναγιώτης Σεφερλής

Αυτόματος Έλεγχος. Ενότητα 9 η : Σχεδίαση ελεγκτών με το γεωμετρικό τόπο ριζών. Παναγιώτης Σεφερλής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 9 η : Σχεδίαση ελεγκτών με το γεωμετρικό τόπο ριζών Παναγιώτης Σεφερλής Εργαστήριο Δυναμικής Μηχανών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου με χρήση Αλγεβρικών Τεχνικών

Σχεδίαση Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου με χρήση Αλγεβρικών Τεχνικών ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Σχεδίαση Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου με χρήση Αλγεβρικών Τεχνικών (Συνοπτικές σημειώσεις με παραδείγματα) ( Επίκουρος Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχ/κών και Μηχ/κών Υπολογιστών, Ε.Μ.Π., Ακαδημαϊκό Έτος , 8ο Εξάμηνο. Ρομποτική II. Ευφυή και Επιδέξια Ρομποτικά Συστήματα

Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχ/κών και Μηχ/κών Υπολογιστών, Ε.Μ.Π., Ακαδημαϊκό Έτος , 8ο Εξάμηνο. Ρομποτική II. Ευφυή και Επιδέξια Ρομποτικά Συστήματα Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχ/κών και Μηχ/κών Υπολογιστών, Ε.Μ.Π., Ακαδημαϊκό Έτος 009-0, 8ο Εξάμηνο Ρομποτική II Ευφυή και Επιδέξια Ρομποτικά Συστήματα Κων/νος Τζαφέστας Τομέας Σημάτων, Ελέγχου & Ρομποτικής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 8// Γ ΕΡΓΑΣΙΑ Μαθηµατικά για την Πληροφορική Ι (ΘΕ ΠΛΗ Η ύλη της εργασίας είναι παράγραφοι 6 και 6 από τη Γραµµική Άλγεβρα και Ενότητες,,, από τον Λογισµό

Διαβάστε περισσότερα

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x.

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x. 3 Ορια συναρτήσεων 3. Εισαγωγικές έννοιες. Ας ϑεωρήσουµε την συνάρτηση f () = όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 0: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () = /. ϕυσικό να αναζητήσουµε την

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville

Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 16/5/2000 Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville Στη Χαµιλτονιανή θεώρηση η κατάσταση του συστήµατος προσδιορίζεται κάθε στιγµή από ένα και µόνο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΒΑΣΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΚΑΙ ΤΥΠΟΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Δρ Γιώργος

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12, ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση

Διαβάστε περισσότερα

Ευστάθεια συστημάτων

Ευστάθεια συστημάτων 1. Ευστάθεια συστημάτων Ευστάθεια συστημάτων Κατά την ανάλυση και σχεδίαση ενός συστήματος αυτομάτου ελέγχου, η ευστάθεια αποτελεί έναν πολύ σημαντικό παράγοντα και, γενικά, είναι επιθυμητό να έχουμε ευσταθή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 00- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ. (5 µον.) ίνεται ο πίνακας 0 0 A. 0 (α) (α) Να βρεθούν όλες οι ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα Α. (β) Είναι δυνατή η διαγωνιοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση Σ.Α.Ε: Σχεδίαση µε το Γεωµετρικό Τόπο Ριζών

Σχεδίαση Σ.Α.Ε: Σχεδίαση µε το Γεωµετρικό Τόπο Ριζών ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Σχεδίαση Σ.Α.Ε: Σχεδίαση µε το Γεωµετρικό Τόπο Ριζών ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος []: Εφαρµογές, Κεφάλαιο 9: Ενότητες 9.-9.4

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Σχεδίαση Συστηµάτων Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές - Συνεχής Σχεδίαση

Κεφάλαιο 4 Σχεδίαση Συστηµάτων Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές - Συνεχής Σχεδίαση Κεφάλαιο 4 Σχεδίαση Συστηµάτων Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές - Συνεχής Σχεδίαση Επανάληψη στα Συστήµατα από Δειγµατοληπτικά Δεδοµένα στα Πεδία Συχνότητας και Χρόνου Ψηφιακός Έλεγχος µε Συνεχή Σχεδιασµό Χαρακτηριστικά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ (ΘΕ ΠΛΗ ) ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ TEΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 7 Ιουνίου 8 Θέµα ο ( µονάδες) α) ( µονάδες) yz yz του διανυσµατικού

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΑΠΟΚΡΙΣΕΩΝ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΑΠΟΚΡΙΣΕΩΝ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΣΧΟΛΗ. Ν. ΟΚΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΩΡΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΙΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ Σ.Α.Ε. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΑΠΟΚΡΙΣΕΩΝ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Συµπλήρωµα στα παραδείγµατα που υπάρχουν στο Εγχειρίδιο του Μαθήµατος ρ. Α. Μαγουλάς

Διαβάστε περισσότερα

Υποθέστε ότι ο ρυθμός ροής από ένα ακροφύσιο είναι γραμμική συνάρτηση της διαφοράς στάθμης στα δύο άκρα του ακροφυσίου.

Υποθέστε ότι ο ρυθμός ροής από ένα ακροφύσιο είναι γραμμική συνάρτηση της διαφοράς στάθμης στα δύο άκρα του ακροφυσίου. ΕΡΩΤΗΜΑ Δίνεται το σύστημα δεξαμενών του διπλανού σχήματος, όπου: q,q : h,h : Α : R : οι παροχές υγρού στις δύο δεξαμενές, τα ύψη του υγρού στις δύο δεξαμενές, η διατομή των δεξαμενών και η αντίσταση ροής

Διαβάστε περισσότερα

Όταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να:

Όταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να: 6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Όταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να: ορίσουµε το Μετασχηµατισµό Laplace (ML) και το Μονόπλευρο Μετασχηµατισµό Laplace (MML) και να περιγράψουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αρµονική Απόκριση & ιαγράµµατα Bode

Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αρµονική Απόκριση & ιαγράµµατα Bode ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Συστηµάτν Αυτοµάτου Ελέγχου: Αρµονική Απόκριση & ιαγράµµατα Bode 6 Ncolas Tsaatsouls Εισαγγή ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρείστε το σύστηµα του ανεστραµµένου εκκρεµούς-οχήµατος του Σχ. 1 το οποίο περιγράφεται από το δυναµικό µοντέλο

Θεωρείστε το σύστηµα του ανεστραµµένου εκκρεµούς-οχήµατος του Σχ. 1 το οποίο περιγράφεται από το δυναµικό µοντέλο ΨΣΕ 3 η Εργαστηριακή Άσκηση Γραµµικοποιήση µε ανατροφοδότηση εξόδου και έλεγχος Κινούµενου Ανεστραµµένου Εκκρεµούς Θεωρείστε το σύστηµα του ανεστραµµένου εκκρεµούς-οχήµατος του Σχ. το οποίο περιγράφεται

Διαβάστε περισσότερα

Ακαδηµαϊκό Έτος , Εαρινό Εξάµηνο ιδάσκων Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης

Ακαδηµαϊκό Έτος , Εαρινό Εξάµηνο ιδάσκων Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ, ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΚΕΣ : ΑΥΤΟΜΑΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Ακαδηµαϊκό Έτος 5 6, Εαρινό Εξάµηνο Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Το τρέχον έγγραφο αποτελεί υπόδειγµα

Διαβάστε περισσότερα

Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων

Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων Θεωρείστε ένα απειροστό απλό χωρίο στο χώρο τόσο µικρό ώστε να µπορεί να θεωρηθεί ότι βρίσκεται σε ένα επίπεδο Έστω ότι το χωρίο αυτό περικλείει εµβαδόν µέτρου Το έργο που

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβληµάτων Αρχικών / Συνοριακών Τιµών Μεταδόσεως Θερµότητας

Επίλυση Προβληµάτων Αρχικών / Συνοριακών Τιµών Μεταδόσεως Θερµότητας Επίλυση Προβληµάτων Αρχικών / Συνοριακών Τιµών Μεταδόσεως Θερµότητας Τα προβλήµατα µεταδόσεως θερµότητας (ή θερµικής αγωγιµότητας heat conduction), µε την υπόθεση ισχύος του νόµου Fourier, διέπονται από

Διαβάστε περισσότερα

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες.

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Στην περίπτωση της ταλάντωσης µε κρίσιµη απόσβεση οι δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις εκφυλίζονται (καταλήγουν να ταυτίζονται) Στην περιοχή ασθενούς απόσβεσης ( ) δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 206 Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης εξισώσεων διαφορών. Oι εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Ψηφιακά Σ.Α.Ε: Περιγραφή στο Χώρο Κατάστασης Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 0: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ # Μετασχηματισμός Laplace και ΓΧΑ Συστήματα Συνάρτηση μεταφοράς αιτιατών και ευσταθών συστημάτων Συστήματα που περιγράφονται από ΔΕ Διαγράμματα Μπλοκ Μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας)

Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας) Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Παν/µίου Κρήτης Εξεταστική περίοδος εαρινού εξαµήνου Πέµπτη, 2 Ιούνη 28 Γραµµική Αλγεβρα II ιδάσκων: Α. Τόγκας Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας) Θέµα

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Ευστάθεια Συστημάτων Ελέγχου Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Ακαδηµαϊκό Έτος , Εαρινό Εξάµηνο ιδάσκων Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης

Ακαδηµαϊκό Έτος , Εαρινό Εξάµηνο ιδάσκων Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ, ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΚΕΣ 1: ΑΥΤΟΜΑΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Ακαδηµαϊκό Έτος 5 6, Εαρινό Εξάµηνο Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Το τρέχον έγγραφο αποτελεί υπόδειγµα

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ)

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) ΜΙΧΑΛΗΣ ΤΖΟΥΜΑΣ ΕΣΠΟΤΑΤΟΥ 3 ΑΓΡΙΝΙΟ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η έννοια της συνάρτησης είναι στενά συνυφασµένη µε τον πίνακα τιµών και τη γραφική παράσταση.

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 11. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 11. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 11 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Περιεχόμενα Γραμμικοποίηση Ευστάθεια Απόκριση Συστημάτων 1 Β.Ε. που περιγράφονται από ΣΔΕ 1 ης τάξης 2 Πρόβλημα/Ερώτημα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΚΥΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Καθηγητής: Δ. ΔΗΜΟΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ Εργαστηριακοί Συνεργάτες: Σ. ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΟΥ, Α. ΟΙΚΟΝΟΜΙΔΗΣ,

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιανουαρίου Φεβρουαρίου 2015

Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιανουαρίου Φεβρουαρίου 2015 Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιανουαρίου Φεβρουαρίου 20 ΘΕΜΑ Ο (4,0 μονάδες). Να προσδιοριστεί η συνάρτηση μεταφοράς / του συστήματος που περιγράφεται από το δομικό (λειτουργικό) διάγραμμα. (2,0

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 3. Έλεγχος ανατροφοδότησης κατάστασης dc κινητήρα. Έλεγχος ανατροφοδότησης κατάστασης

Άσκηση 3. Έλεγχος ανατροφοδότησης κατάστασης dc κινητήρα. Έλεγχος ανατροφοδότησης κατάστασης Άσκηση 3 Έλεγχος ανατροφοδότησης κατάστασης dc κινητήρα Έλεγχος ανατροφοδότησης κατάστασης Ένα γραμμικό χρονικά αμετάβλητο (LTI) σύστημα όπως γνωρίζουμε, μπορεί να περιγραφεί στο πεδίο του χρόνου μέσω

Διαβάστε περισσότερα

Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω σύστηµα µε είσοδο βηµατική συνάρτηση δηλαδή () =(). (3)

Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω σύστηµα µε είσοδο βηµατική συνάρτηση δηλαδή () =(). (3) Παράδειγµα 1: Έστω ένα σύστηµα που περιγράφεται από τη διαφορική εξίσωση () +2 () 29 () +42()=() (1) µε µηδενικές αρχικές συνθήκες. (δηλαδή ()(0) = () (0)=()(0)=0) (2) Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville

Κεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville Κεφάλαιο : Προβλήµατα τύπου Stur-Liouvie. Ορισµός προβλήµατος Stur-Liouvie Πολλές τεχνικές επίλυσης µερικών διαφορικών εξισώσεων βασίζονται στην αναγωγή της µερικής διαφορικής εξίσωσης σε συνήθεις διαφορικές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 93

ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 93 ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 93 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 5.. Εισαγωγή Η παρουσία εξωτερικών διεγέρσεων σε ένα σύστηµα πολλών Β.Ε. δηµιουργεί σ'

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Ρομποτικός Έλεγχος

Μάθημα: Ρομποτικός Έλεγχος Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ» Ε.Μ.Π., Ακαδημαϊκό Έτος 011-1 Μάθημα: Ρομποτικός Έλεγχος Αυτόματος Έλεγχος Ρομπότ (Μη-Γραμμικός Ρομποτικός Έλεγχος Κων/νος Τζαφέστας

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50

Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50 Αριθµητική Γραµµική Αλγεβρα Κεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ΕΚΠΑ 2 Απριλίου 205 Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και205

Διαβάστε περισσότερα