Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (http://)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (http://)"

Transcript

1 Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (http://) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (http://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1

2 Δομή της Ύλης του Μαθήματος Εισαγωγη στο Χώρο Κατάστασης Μοντελοποίηση στο Χώρο Κατάστασης Ανάλυση Συστημάτων στο Χώρο Κατάστασης Δομικές Ιδιότητες Συστημάτων Ελεγξιμότητα Παρατηρησιμότητα Ευστάθεια Σχεδίαση Συστημάτων Ελέγχου Ανατροφοδότηση Κατάστασης Παρατηρητές και Ανατροφοδότηση Εξόδου Βέλτιστος Έλεγχος Υλοποίηση Συστημάτων Ελέγχου?? Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 2

3 8. Βέλτιστος Έλεγχος Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 3

4 Εισαγωγή στο Βέλτιστο Έλεγχο Παρουσίαση της δομής ενός γενικευμένου προβλήματος βελτίστου ελέγχου Εξειδίκευση στο πρόβλημα τετραγωνικού ρυθμιστή για ΓΧΑΣ Εισαγωγή στο Λογισμό των μεταβολών Η στατική βελτιστοποίηση ως πρόβλημα βελτιστοποπίηση πεπερασμένης διάστασης Λογισμός των μεταβολών Το πρόβλημα ελάχιστης ενέργειας. Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 4

5 Το Πρόβλημα του Βελτίστου Ελέγχου Θεωρούμε τη ΔΕ που περιγράφει την εγκατάσταση Εισάγουμε την έννοια του Δείκτη Απόδωσης (perormance index) ή Συνάρτησης Κόστους (cost unction) ή Αντικειμενικής Συνάρτησης (objective unction) η οποία πρέπει να ελαχιστοποιηθεί: Η «Συνάρτηση Απώλειας» (Loss Function) αντιπροσωπεύει κάποια ποινή που εισάγεται ένεκα κατάστασης, εισόδου ή και συνδυασμένα στατικα ή χρονικά εξαρτώμενα. Μπορεί να υπάρχουν και περιορισμοί (constraints) που συνδεόυν τη κατάσταση, την είσοδο ή και συνδυασμένα. Μπορεί να είναι : Ανισοτικοί Dxt, ut, t 0 t t0, t Ισοτικοί C xt ut t t t t 0,, 0, Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 5

6 Το Πρόβλημα του Βελτίστου Ελέγχου Κατά συνέπεια, το πρόβλημα βελτιστοποιήσεως έγγυται στην ανεύρεση εκείνης της συνάρτηση εισόδου u(t) t[t 0,t ] η οποία : Ελαχιστοποιεί (min) την αντικειμενική συνάρτηση Υποκείμενη (subject to s.t.) : τόσο στους περιορισμούς τόσο κατάστασης-εισόδου (ισοτικοί/ανισοτικοί) όσο και στους ισοτικούς περιορισμούς που εισάγει η ΔΕ της δυναμικής του συστήματος min J u Αυτό εφράζεται μαθηματικά ως Η προκύπτουσα ελαχιστοποιούσα συνάρτηση συμβολίζεται ως u (t) t[t 0,t ] Προφανώς αυτή η βέλτιστη συνάρτηση εισόδου όταν εισαχθεί στη ΔΕ της δυναμικής του συστήματος όδηγεί στη βέλτιστη πορεία του συστήματος x (t) t[t 0,t ], x (t 0 )=x 0. u s. t. x x, u, t x t x D x t, u t, t 0 C x t, u t, t 0 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 6 0 0

7 Το Πρόβλημα του Βελτίστου Ελέγχου Το προηγούμενο γενικευμένο πρόβλημα μπορεί να αναχθεί σε απλούστερες μορφές όπου π.χ. το σύστημα είναι γραμμικό ή οι ισοτικοί /ανισοτικοί περιορισμοί είναι απλά φράγματα της κατάστασης ή της εισόδου κλπ. Σε αυτό το μάθημα θα δοθεί έμφαση σε μία από τις απλούστερες δυνατές μορφές, όπου: Το σύστημα είναι ΓΧΑΣ Δεν υπάρχουν ισοτικοί / ανισοτικοί περιορισμοί εισόδων-καταστάσεων, και Η αντικειμενική συνάρτηση είναι τετραγωνική Ό όρος τεραγωνική πηγάζει από το ότι τόσο η Loss Function όσο και το τελικό κόστος είναι τετραγωνικοί όροι Παρατηρούμε ότι: Η Loss Function επιβαρύνει «μεγάλες καταστάσεις» και μεγάλη «κατανάλωση ενέργειας» Το τελικό κόστος επιβαρύνει την απόκλιση από τη μηδενική κατάσταση Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 7

8 Εισαγωγή στο Λογισμό των Μεταβολών Ή επίλυση των διατυπωθέντων προβλημάτων βελτίστου ελέγχου απαιτεί τη χρήση εννοιών πέρα της κλασσικής θεωρίας (στατικής) βελτιστοποίησης. Έννοιες από τη περιοχή του Λογισμού των Μεταβολών (Calculus o Variations) θα εισαχθούν. Προφανώς, δεδομένου ότι η εδώ παρουσίαση θα είναι εισαγωγική ( light ) θα την δούμε απλοποιημένα θεωρώντας τα εξης: Όλες οι συναρτήσεις που ορίζονται εδώ έχουν συνεχείς μερικές παραγώγους, σε όλο το πεδίο ορισμού τους, ως πρός όλες τις μεταβλητές τους (εκτός αν ξεκάθαρα ορίζεται το αντίθετο), και Το πρόβλημα βελτιστοποίσης ορίζεται εδώ στην συνολική (global) μορφή του και δεν υπάρχουν ανισοτικοί περιορισμοί που το περιορίζουν. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 8

9 Εισαγωγή στο Λογισμό των Μεταβολών : Βελτιστοποίηση σε Πεπερασμένες Διαστάσεις d Θεωρούμε τη συνάρτηση : την οποία θέλουμε να d ελαχιστοποιήσουμε για όλα τα z, δηλαδή ψάχνουμε : Το ελάχιστο της συνάρτησης : min d z, και z Το(-α) σημείο(-α) του πεδίου ορισμού που επιτυγχάνεται η ελαχιστοποίηση z arg min d z z Αναζητούμε τις αναγκαίες συνθήκες ώστε το z* ελαχιστοπoιεί την (z). Προφανώς: d, 0 z z Δηλαδή η κατευθυνόμενη πάραγωγος (directional derivative) της (z) στο z*, ώς προς την κατεύθυνση του, είναι μηδενική που σημαίνει ότι Επειδή αυτό ισχύει για κάθε, τότε z 0 z z z lim 0 0 z z 0 z 0 z z z z lim 0 0 Όλα τα σημεία που ικανοποιούν αυτή τη σχέση λέγοντα «κρίσιμα σημεία». Αν το z* ελαχιστοπoιεί την (z) τότε είναι κρίσιμο σημείο της. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 9

10 Εισαγωγή στο Λογισμό των Μεταβολών : Βελτιστοποίηση σε Πεπερασμένες Διαστάσεις Ένα κρίσιμο σημείο μίας συνάρτησης ΔΕΝ την ελαχιστοποιεί όμως αναγκαστικά π.χ.: 2 2. z z1 z2 2 z z1 z2 z 0 0 : το μοναδικό κρίσιμο σημείο ΔΕΝ ελαχιστοποιεί τη συνάρτηση ΑΛΛΑ την μεγιστοποιεί z z z z z1 z2 z 0 0 : το μοναδικό κρίσιμο σημείο ΔΕΝ ελαχιστοποιεί τη συνάρτηση ΑΛΛΑ είναι «σημείο σάγματος». Η εξαγωγή συμπερασμάτων για το είδος του κρίσιμου σημείου απαιτεί την θεώριση της 2 ης παραγώγου (Hessian). d Εναλλακτικά: H συνάρτηση : είναι : d κυρτή (convex) άν z z z z, 0 Έστω z* κρίσιμο σημείο της αυστηρά κυρτής (z) δηλαδή z 0. d d Επομένως z z z 0 0 z z 0 αυστηρά κυρτή (strictly convex) άν είναι κυρτή και ισχύει z z z Συμπέρασμα: Ένα κρίσιμο σημείο z* μιάς αυστηρά κυρτής συνάρτησης (z) την ελαχιστοποιεί, δηλαδή z z. arg min d z d Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 10

11 Εισαγωγή στο Λογισμό των Μεταβολών : Βελτιστοποίηση σε Πεπερασμένες Διαστάσεις & Ισοτικοί Περιορισμοί Αν στο πρόβλημα της βελτιστοποίησης μιάς συνάρτησης (z) συμπεριληφθούν και n ισοτικοί περιορισμοί της μορφής g i (z)=0 i=1,,n τότε το μαθηματικό πρόβλημα βελτιστοποίησης γίνεται: min z Προφανως n < d γιατί αλλοιώς το πρόβλημα υπερπεριο- -ρίζεται και ο δυνατός χώρος (easible space) εκφυλίζε- -ται σε ένα ή και κανένα σημείο. Εισάγουμε διάνυσμα πολλαπλασιαστών Lagrange 1 2 n διαστάσεως n, ίδιας με του G(z), του διανύσματος ισοτικών περιορισμών. Σχηματίζουμε τη συνάρτηση Παρατηρούμε ότι αν arg min z d Έστω z z* : G(z) = G(z*) τότε λ R n ισχύει: Αν το z* ελαχιστοποιεί την z, τότε ελαχιστοποιεί και την z για αυτά τα z που ανήκουν στο σύνολο των σημείων z όπου ισχύει G(z) = G(z*). Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 11 z s t g g g 1 z z 2. G z 0 n z z z G z z g z g z z z z z z z 1 1 z G z z G z z z z z G z G z 0 z z n n

12 Εισαγωγή στο Λογισμό των Μεταβολών : Βελτιστοποίηση σε Πεπερασμένες Διαστάσεις & Ισοτικοί Περιορισμοί 0 d Αν το z* ελαχιστοποιεί την z τότε z.. Το αντίστροφο ισχύει n μόνο αν η z είναι κυρτή, κάτι που εξαρτάται από το. Επίσης, για να ισχύει η εξίσωση ισοτικών περιορισμών, πρέπει. Αυτές οι d+n εξισώσεις οδηγούν στην λύση z,. Για να εξασφαλιστεί η ελαχιστοποίση η z πρέπει να είναι κυρτή για Πως ελέγχεται όμως αυτό? Το βασικό εργαλείο είναι η χρήση παραγώγων 2 ης τάξης (Hessian). Όμως... Αν ο ισοτικός περιορισμός είναι γραμμικός : τότε G Αν λοιπόν η (z) είναι «αυστηρά κυρτή» τότε : 0 G z Η ανισότητα ισχύει σαν ισότητα μόνο όταν =0 : αυστηρά κυρτή Gz C z e 0 z z z z z C z z z C z e z C z e z z C z C z C z Ισότητα μόνο όταν =0 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 12 n

13 Εισαγωγή στο Λογισμό των Μεταβολών : Βελτιστοποίηση σε Πεπερασμένες Διαστάσεις Τετραγωνικός Προγραμματισμός Έστω το πρόβλημα ελαχιστοποίησης: Είναι η (z) αυστηρά κυρτή? 1 min z z Qz z 2 s. t G z C z e 0 Q Q 0 dd nd C, n d, rank C n Άρα η z z Qz C z e είναι αυστηρά κυρτή. Επομένως, σύμφωνα με 2 d τα προηγούμενα, αναζητούμε τη λύση z, των z 0 Gz 0 δηλαδή z z Q C 0 Qz C 0 και C z e. Η 1 η 1 εξίσωση δίνει: z Q C. Έχει νόημα γιατί Q > 0, άρα μη-ιδιόμορφος. Βάζοντάς την στη 2 η 1 εξίσωση: CQ C e. Επειδή (i) Q > 0 Q -1 > 0 και (ii) C: ull rank, rank(c) = n C Q -1 C > 0, άρα η λύση λ * έχει νόημα. Επομένως z Q C CQ C e 1 (z) : Αυστηρά Κυρτή n Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 13

14 Εισαγωγή στο Λογισμό των Μεταβολών : Βελτιστοποίηση σε Άπειρες Διαστάσεις Μέχρι τώρα εξετάσαμε το πρόβλημα της βελτιστοποίησης για. 1 Επεκτείνουμε τώρα τη βελτιστοποίηση για z C t, 0 t, δηλαδή το χώρο των συναρτήσεων που ορίζονται στο [t 0, t ] και έχουν συνεχή παράγωγο. Ομιλώντας μαθηματικά «πολύ χαλαρά» : η βελτιστοποίηση σε χώρο πεπερασμένων διαστάσεων (δηλ. ) αφορά το καθορισμό των d παραγόντων που συνιστούν το διάνυσμα z * η βελτιστοποίηση σε χώρο «απείρων» διαστάσεων αφορά το καθορισμό της συνάρτησης z * (t) σε όλα τα («άπειρα» δηλαδή) σημεία του [t 0, t ] που συνιστούν το πεδίο ορισμού της. Το «νέο» πρόβλημα βελτιστοποίησης εισάγει την έννοια του συναρτησιακού F(z): Ας παρατηρηθεί, ότι : min,, 1 0, t0 z C t t αποτέλεσμα αυτής της βελτιστοποίησης είναι μία 1 συνάρτηση z C t, z t0 z t 0 t Οι οριακές συνθήκες μπορούν, να είναι ακόμη πιο γενικές, δηλ. της μορφής z t0, z t Στη βελτιστοποίηση πεπερασμένων διαστάσεων η πάραγωγος έπαιξε σημαντικό ρόλο. Στη βελτιστοποίηση «απείρων» διαστάσεων... Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 14 t F z t z t z t dt z t 0 είναι καθορισμένο s.. t μία από τις z t είναι καθορισμένο, είναι καθορισμένα

15 Εισαγωγή στο Λογισμό των Μεταβολών : Βελτιστοποίηση σε Άπειρες Διαστάσεις Θεωρούμε την μεταβολή Gateuax (Gateuax variation) του συναρτησιακού F(z) στο z(t) ως προς την «κατεύθυνση» (t)c 1 [t 0,t ] : 0 Αν η προς ολοκλήρωση συνάρτηση t, z, z έχει συνεχείς μερικές d d παραγώγους ως προς zz, σε όλο το πεδίο ορισμού της τότε: Τ Τ Τ F z; lim F z F z = = Τ Παράδειγμα: Άν τότε οπότε t 1 2 F z t z z dt 2 t0 1 t, z, z t z z 2 t, z, z t t, z, z z 2 z z Ισοτικοί Περιορισμοί Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 15

16 Εισαγωγή στο Λογισμό των Μεταβολών : Βελτιστοποίηση σε Άπειρες Διαστάσεις Αν λάβουμε υπόψη ότι d d d d dt z z dt z z dt z dt z τότε η γίνεται t d d F z; t, z t, z t t, z t, z t t, z t, z t dt z dt z dt z t t 0 d d t, z t, z t dt t, z t, z t t, z t, z tt dt dt z z dt z t 0 0 Τ t t Τ Τ t t d t, z t, z t t t, z t, z t t, z t, z tt dt z z dt z t t 0 0 Τ Τ t Τ Τ d F z; t, z t, z t t t, z t, z t t t, z t, z t t, z t, z t t dt z z z dt z t t Τ Τ Τ Τ Τ Τ Τ Τ Τ Τ Τ Τ Τ 1 2 Παράδειγμα: Στο F z t z z dt βρήκαμε 2,,,, t t z z 0 οπότε ; F z z t t z t0 t0 t z t t dt t 0 0 Τ t z z t t z z z Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 16

17 Εισαγωγή στο Λογισμό των Μεταβολών : Βελτιστοποίηση σε Άπειρες Διαστάσεις Υπενθυμίζουμε το πρόβλημα βελτιστοποίησης και θεωρούμε την λύση του z * (t). 1 ότε F z F z C t, 0 t όπου η s t z t (t) να είναι τέτοια ώστε η z * (t)+ (t) να είναι z t0 z t αποδεκτή (admissible) δηλ. να ικανοποιεί την κατάλληλη από συνθήκες: z(t 0 ): καθορισμένο οπότε (t 0 )=0 R d z(t ): καθορισμένο οπότε (t )=0 R d z(t 0 ) και z(t ): καθορισμένα οπότε (t 0 ) = (t )=0 R d 0 min,, 1 0, t0 z C t t Παρομοίως, F z F z όπου (t) είναι αποδεκτή. Επομένως Fz ; Fz ; Fz ; 0 Κατά συνέπεια, αναγκαία συνθήκη για να ελαχιστοποιεί η z * (t) C 1 [t 0,t ] την F(z) σε σχέση με ολες τις z(t) C 1 [t 0,t ] που ικανοποιούν τις παραπάνω οριακ. συνθήκες είναι δf(z * ;)=0, για όλα τα αποδεκτά (t). Αυτό σημαίνει: Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 17 t F z t z t z t dt z t 0 είναι καθορισμένο.. μία από τις είναι καθορισμένο, είναι καθορισμένα

18 Εισαγωγή στο Λογισμό των Μεταβολών : Βελτιστοποίηση σε Άπειρες Διαστάσεις Τ Τ t Τ d Τ F z ; t, z t, z t t t0, z t0, z t0 t0 t, z t, z t t, z t, z t t dt 0 z z z dt z που ισχύει για κάθε αποδεκτή (σύμφωνα με τα προηγούμενα) (t). Αυτό οδηγεί στις αναγκαίες συνθήκες βελτιστοποίησης της F(z): Εξισώσεις Euler-Lagrange: Οριακές συνθήκες (transversality conditions): Οι οριακές συνθήκες μπορεί να είναι Καθορισμένα z t z t : 0, zt zt t t z t0 z t0 t0 t0 z t 0, 0 z t zt zt0, t0 Ελεύθερο zt Ελεύθερο : 0, zt z z t 0 Παράδειγμα: Στο 1 2 F z t z z dt βρήκαμε t 2 t0 ; Από τις Ε-L: z t z t t z 6 t0t z t0 t0 Αν π.χ Καθορισμένο Ελεύθερο : 0 Καθορισμένο 0, Ελεύθερο : z t0 z t0 t0 t0 0, z 0 t Καθορισμένο Ελεύθερο : z t z t t t 0, z 0 z t0, 0, 0 t t z z t 0 z t t 2 z t 2 3 t 2 2 z t t t z t 6 t 0 d 0 z dt z zz 0 z z 0 t zz, t zz, t Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 18 F z z t t z t t t z t t dt 0

19 Εισαγωγή στο Λογισμό των Μεταβολών : Βελτιστοποίηση σε Άπειρες Διαστάσεις Το συναρτησιακό F(z) είναι : 1 1 κυρτό (convex) άν F z F z F z; z C t0, t καί αποδεκτή C t0, t αυστηρά κυρτό (strictly convex) άν είναι κυρτό και ισχύει 0 t 1 2 F z t z z dt 2 Παράδειγμα (συνεχιζόμενο): t 0 F z F z F z; t 0 t t, t Άρα F(z) : κυρτή 1 1 z C t0, t καί αποδεκτή C t0, t 0 Επειδή F z F z F z t t t t F(z): αυστηρά κυρτή ; 0, z t t t 2 t z t 3 2 Άρα η λύση ελαχιστοποιεί την F(z). Δηλαδή 6 0 t z t t 2 t z t arg min t z z dt 3 t z C t0, t 2 t0 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 19

20 Αν στο πρόβλημα της βελτιστοποίησης ενός min F z 1 zc t0 συναρτησιακού F(z) συμπεριληφθούν και n, t t, z t, z tdt t0 st. Οριακές συνθήκες σε t 0 ή t ισοτικοί περιορισμοί της μορφής g,,. i t z t z t g1 t, z t, z t. i1,, n τότε το μαθηματικό πρόβλημα g2 t, z t, z t βελτιστοποίησης γίνεται: G t z z gn t, z t, z t 1 Εισάγουμε διάνυσμα πολλαπλασιαστών Lagrange n διαστάσεως n, ίδιας με του G(z), του διανύσματος ισοτικών περιορισμών. Σχηματίζουμε την επαυξημένη συνάρτηση ολοκλήρωσης (augmented integrand unction) t, z, z t, z, z G t, z, z t, z, z g t, z, z g t, z, z Παρατηρούμε ότι αν τότε Εισαγωγή στο Λογισμό των Μεταβολών : Βελτιστοποίηση σε Άπειρες Διαστάσεις & Ισοτικοί Περιορισμοί t t t t C t t, F z F z z z 1 1 arg min,, zc t0, t ορ.συνθ. t t 0 t,, 0 z t F z t z t z t dt 1 n n Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 20

21 Αν z τέτοιο ώστε : τότε Εισαγωγή στο Λογισμό των Μεταβολών : Βελτιστοποίηση σε Άπειρες Διαστάσεις & Ισοτικοί Περιορισμοί 0 G t, z t, z t G t, z t, z t t t, t = = 1 Αν το z* ελαχιστοποιεί την F z, τότε ελαχιστοποιεί και την F z για αυτά τα z C t, 0 t που ικανοποιούν τις οριακές συνθήκες και ανήκουν στο σύνολο των σημείων z όπου ισχύει G t, z t, z t G t, z t, z t t t. 0, t Από προηγουμένως γνωρίζουμε ότι αναγκαία συνθήκη για να ελαχιστοποιεί η z * (t) C 1 [t 0,t ] την σε σχέση με ολες τις z(t) C 1 [t 0,t ] που ικανοποιούν τις οριακές συνθήκες είναι Fz ; 0, για όλα τα αποδεκτά (t). Το αντίστροφο (αν δηλ. τότε το z* ελαχιστοποιεί την ) ισχύει μόνο άν είναι η κυρτή, κάτι που εξαρτάται από το λ(t). Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 21

22 Εισαγωγή στο Λογισμό των Μεταβολών : Βελτιστοποίηση σε Άπειρες Διαστάσεις Από τα προηγούμενα, καταλήγουμε στις αναγκαίες συνθήκες βελτιστοποίησης της : d Εξισώσεις Euler-Lagrange: 0 t t0, t z dt z Οριακές συνθήκες (transversality conditions): Εξίσωση ισοτικών περιορισμών: G t, z t, z t 0 t t, t Η λύση (z*(t), λ * (t)) αυτών καταδεικνύει άν η είναι αυστηρά κυρτή. Άν ισχύει αυτό τότε η λύση z * (t) ελαχιστοποιεί την F(z) σε σχέση με ολες τις z(t) C 1 [t 0,t ] που ικανοποιούν τόσο τις οριακές συνθήκες όσο και τον ισοτικό περιορισμό. Πως ελέγχεται όμως η αυστηρή κυρτότητα της? Το βασικό εργαλείο είναι η χρήση παραγώγων 2 ης τάξης (Hessian). Όμως... zz 0 z z 0 zz, t zz, t 0 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 22

23 Εισαγωγή στο Λογισμό των Μεταβολών : Βελτιστοποίηση σε Άπειρες Διαστάσεις & Ισοτικοί Περιορισμοί Αν οι ισοτικοί περιορισμοί είναι γραμμικοί:,, 0 G t, z, z G t, z, z G t z t z t C t z t e t D t z t C t D t z z Για να θεωρήσουμε την μεταβολή Gateuax του συναρτησιακού F(z) z G t z z t z,, G t z z t,, C t t D t Dt t G Τ Τ Προηγουμένως D tdt C t t Dt C C D D Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 23

24 Εισαγωγή στο Λογισμό των Μεταβολών : Βελτιστοποίηση σε Άπειρες Διαστάσεις & Ισοτικοί Περιορισμοί Αναλύοντας την «κυρτότητα» της : Dt Ισότητα μόνο όταν (t)=0 t[t 0,t ] Για την περίπτωση γραμμικών ισοτικών περιορισμών η (αυστηρή) κυρτότητα της F(z) συνεπάγεται την (αυστηρή) κυρτότητα της κάθε διάνυσμα πολλαπλασιαστή Lagrange λ(t). Μέχρι στιγμής... Πεπερασμένες Μη- Περιορισμένο Διαστάσεις Ισοτικοί Περιορισμοί Dt ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ Dt Μη- Περιορισμένο Άπειρες Διαστάσεις Dt για Ισοτικοί Περιορισμοί Προηγουμ. Διαφάνεια 24

25 Έλεγχος «Ελάχιστης Ενέργειας» Σε πολλές εφαρμογές, τόσο της αεροδιαστημικής όσο και άλλων μορφών της τεχνολογίας μεταφορών κλπ, η βελτιστοποίηση επικεντρώνεται στο ζήτημα της ενέργειας κατά την επίτευξη δράσεων ενός συστήματος. Έτσι, θεωρούμε : διάταξη που περιγράφεται από ένα ΓΧΑΣ: λειτουργικές προδιαγραφές που απαιτούν δεδομένες αρχική & τελική κατάσταση: δείκτη λειτουργικής απόδωσης που αφορά ενέργεια: x t Ax t Bu t x t x x t x 0 0 t 2 1 J u t dt 2 t0 Η απόφασή μας σχετίζεται με το σύνθετο διάνυσμα : z t x t u t Με βάση αυτό, η ΔΕ του συστήματος γίνεται ισοτικός περιορισμός: Για να εφαρμοσθεί η προηγηθείσα ανάλυση, πρέπει να θεωρήσουμε την «απο- -δεκτή διεύθυνση» t t t κατ αντιστοιχία προς το z t x t u t Επειδή 0 0 0, , z t x u t z t t x u t t z t x u t, z t t x u t t συνάγεται ότι: t0 t t0 t 0,, : ελεύθερα Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 25

26 Έλεγχος «Ελάχιστης Ενέργειας» Εισάγοντας τον πολλαπλασιαστή Lagrange t 1 t n t ο επαυξημένος ΔΛΑ είναι Για να εξετάσουμε την κυρτότητά του, θεωρούμε την A t u B t Οπότε η μεταβολή Gateaux Θα χρησιμοποιηθούν παρακάτω Jz:κυρτή Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 26

27 Έλεγχος «Ελάχιστης Ενέργειας» Από προηγουμένως Η ισότητα δεν ισχύει για κάθε απόδεκτό (t) αλλά μόνο γιά. Άρα η J z ΔΕΝ είναι αυστηρά κυρτή.. t0 t 0 z. t, z t t ικανοποιούν την = 0 = Έστω z t, t t 0 τέτοια ώστε A tt 0 t e t0 t 0 t t0, t Άρα αν η z*(t) ίκανοποιεί Jz; 0 την γιά όλες τις αποδεκτές κατευθύνσεις (t), και τον ισοτικό περιορισμό τότε η z * (t) = [ x * (t) u * (t) ] ελαχιστοποιεί την J(z) επι όλου του συνόλου των z(t) που ικανοποιούν τις x t x x t x και x t Ax t Bu t 0 0 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 27 = 0

28 Έλεγχος «Ελάχιστης Ενέργειας» Άρα αν η z * (t) = [ x * (t) u * (t) ] ίκανοποιεί Jz; 0 την γιά όλες τις αποδεκτές κατευθύνσεις (t), και τον ισοτικό περιορισμό τότε η u * t (t) είναι η λύση ελάχιστης ενέργειας, δηλ ελαχιστοποιεί την 1 2. J u u t dt και η x * (t) είναι η αντίστοιχη πορεία του συστήματος. 2 t 0 Για την ανεύρεση της μορφής των λύσεων στρεφόμαστε προς τις αναγκαίες συνθήκες, αρχικά στις Εξισώσεις Euler-Lagrange: d Τ Τ 0 t t0, t z dt z zz Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 28

29 Έλεγχος «Ελάχιστης Ενέργειας» Στη συνέχεια, θεωρούμε από τις αναγκαίες συνθήκες, την (Δ.Ε.) εξίσωση ισοτικών περιορισμών : x t Ax t Bu t που έχει λύση: Αν ληφθεί υπόψη η μορφή της βέλτιστης εισόδου: Αν «θυμηθούμε» την Controlability Grammian η οποία, επειδή το σύστημα είναι πλήρως ελέγξιμο, είναι αντιστρέψιμη γιά t > t 0 τότε Αυτό μαζι με την Παρατηρούμε ότι = Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 29

30 Έλεγχος «Ελάχιστης Ενέργειας» Τέλος, θεωρούμε από τις αναγκαίες συνθήκες, τις οριακές συνθήκες: 0 z z zz, t zz, t Επειδή είναι το 0 καθορισμένο, και το z t ελεύθερο: Που οδηγεί στις z t 0 z zz, t 0 Αυτές ισχύουν πάντοτε γιατί η ΔΕΝ εξαρτάται από το u Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 30

31 Έλεγχος «Ελάχιστης Ενέργειας»: Παράδειγμα Αναζητώντας την λύση ελάχιστης ενέργειας, αρχικά θεωρούμε τον πίνακα μεταβατικής απόκρίσης: Η Controllability Grammian είναι Ο έλεγχος ελάχιστης ενέργειας είναι Δηλαδή = At A t t0 x t e x e Bu d 0 t t 0 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 31

32 Έλεγχος «Ελάχιστης Ενέργειας»: Παράδειγμα Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 32

33 Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής Σε πολλές εφαρμογές επιθυμούμε η βελτιστοποίηση να περιλαμβάνει εκτός από την ενέργεια και μία μορφή «επιβάρυνσης» μεγάλων καταστάσεων. Επίσης, η τελική κατάσταση δεν απαιτείται να είναι δεδομένη, απλά επιβαρύνεται το «μέγεθός» της. Έτσι οδηγούμαστε στο γνωστό πρόβλημα του Γραμμικού Τετραγωνικού Ρυθμιστή (Linear Quadratic Regulator LQR) : Λειτουργικές προδιαγραφές που απαιτούν δεδομένη αρχική κατάσταση: Η ανάλυση ξεκινάει με τη θεώριση μιάς νέας συνάρτησης, της Χαμιλτονιανής (Hamiltonian Function) : Διάταξη που περιγράφεται από ένα ΓΧΑΣ: x t Ax t Bu t Δείκτης λειτουργικής απόδωσης: t 1 1 J u x t S xt x t Q xt u t R u t dt 2 2 xt x t0 Q Q 0, R R 0, S S 0,,,, h t x u t x u t A x B u 0 0 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 33

34 Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής Κατα συνέπεια η επαυξημένη συνάρτηση ολοκλήρωσης είναι Για τον LQR είναι Αν ορίσουμε το σύνθετο διάνυσμα απόφασης z t x t u t, για την εύρεση της μεταβολής Gateuax του συναρτησιακού Jz; στο z(t) ως προς την «κατεύθυνση» (t) C 1 [t 0, t ] χρειαζόμαστε τα Τ Τ Τ Τ Τ Τ Τ Τ Τ Θα χρησιμοποιηθούν & παρακάτω = Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 34

35 Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής + - = Επομένως: Η J z είναι κυρτή, και Ισότητα ισχύει όταν και μόνο όταν t[t 0, t ] Από τον ορισμό του προβλήματος... Προφανώς δεν μπορούμε να βγάλουμε παρόμοιο συμπέρασμα για το t οπότε ισότητα ισχύει για οιαδήποτε «κατεύθυνση» t t 0 που ικανοποιεί τις t Q t 0 t t, t, t S t 0. 0 Επομένως δεν έχει αποδειχθεί (ακόμη) η αυστηρή κυρτότητα της J z. Q Q 0, R R 0, S S 0 0 t 0 t t, t Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 35

36 Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής Έστω z t x t u t, t t 0. Προφανώς z t0 x0 u t 0, z t0 t0 x0 u t0 t 0. Οπότε t 0 0 z. t, z t t ικανοποιούν την = 0 = A tt 0 t e t0 t 0 t t0, t Άρα αν η z*(t) ίκανοποιεί Jz; 0 την γιά όλες τις αποδεκτές κατευθύνσεις (t), και τον ισοτικό περιορισμό τότε η z * (t) = [ x * (t) u * (t) ] ελαχιστοποιεί την J(z) επι όλου του συνόλου των z(t) που ικανοποιούν τις x t x και x t Ax t Bu t δηλαδή η u * (t) είναι η λύση του LQR, δηλ ελαχιστοποιεί την 0 0 = 0 η x * (t) είναι η αντίστοιχη πορεία του συστήματος. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 36

37 Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής Για την ανεύρεση της μορφής των λύσεων στρεφόμαστε προς τις αναγκαίες συνθήκες, αρχικά στις Εξισώσεις Euler-Lagrange: d 0 t t0, t z dt z zz Τ Από την προηγούμενη σελίδα, η z*(t) πρέπει να ίκανοποιεί την γιά όλες τις αποδεκτές κατευθύνσεις (t) Τ R > 0 J z; 0 = 0 = Δεδομένου ότι t 0 0 x : ελεύθερο x + ξ : ελεύθερο ξ : ελεύθερο Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 37

38 Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής x t Ax t Bu t wo Point Boundary Value Problem (PBVP) : Η x(t) εχει οριακή συνθήκη στο t 0 ενώ η λ(t) εχει οριακή συνθήκη στο t Πως να λύσουμε την ΔΕ? Με δεδομένο το x 0, αν επιλέξουμε λ 0 : όταν ολοκληρώσουμε προς τα εμπρός την ΔΕ, σε χρόνο t τα x, λ θα ικανοποιούν? Αν επιλέξουμε x και επομένως : όταν ολοκληρώσουμε προς τα πίσω την ΔΕ, σε χρόνο t 0 θα ισχύει x(t 0 ) = x 0? Ο περιορισμός μας υποδεικνύει την πιθανή αναζήτηση λύσεων της μορφής λ(t) = P(t) x(t) όπου P(t ) = S. Μητρωική Εξίσωση Riccati : Επιλύεται «προς τα πίσω», από t προς t 0. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 38

39 Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής Επίλυση Riccati Ρ(t) λ(t) = P(t) x(t) Άρα x t Ax t Bu t = = = 1 2 J x t Pt xt Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 39

40 Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής: Επίλυση της Riccati H μητρωική ΔΕ Riccati εισάγει δυσκολία στην ολοκλήρωσή της λόγω του μη-γραμ. Όρου Θεώρημα: Αν οι πίνακες Χ(t), Λ(t) R n n είναι η λύση της γραμμικής ΔΕ Πίνακας Hamilton τότε ο πίνακας είναι η επίλυση της μητρωική ΔΕ Riccati Κάθε χρονική στιγμή t, o υπολογισμός της συνάρτησης εισόδου προαπαιτεί τον υπολογισμό του πίνακα κέρδους (κάθε χρονική στιγμή t). Αυτός με την σειρά του προαπαιτεί μεν τον υπολογισμό των Χ(t) & Λ(t) οι οποίοι, όπως είδαμε, υπολογίζονται σε κλειστή μορφή μέσω της αλλά ο υπολογισμός του απαιτεί τη αντιστροφή του Χ(t), κάθε στιγμή t... Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 40

41 Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής: Επίλυση της Riccati Παράδειγμα-1 Έχουμε το ΓΧΑΣ και Θέλουμε να βρούμε την είσοδο ελέγχου που ελαχιστοποιεί τον ΔΛΑ Πρόφανώς, πρόκειται για πρόβλημα LQR με Για τον πίνακα Hamilton Αυτό οδηγεί στην Απ όπου λαμβάνουμε Η ίδια λύση θα ληφθεί αν θεωρήσουμε και επιλύσουμε την Riccati Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 41

42 Επομένως Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής: Επίλυση της Riccati - Παράδειγμα-1 x u u K x x P x K P Και το σύστημα προσομμοιώνεται γιά σ = 0,1,10. Η απόκριση φαίνεται στο σχήμα Θα επανέλθουμε σε αυτό το παράδειγμα... Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 42

43 Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής: Επίλυση της Riccati Επειδή για τον ισχύει,τότε για τον Hamilton ισχύει Επομένως οι Η και Η Τ έχουν τις ίδιες ιδιοτιμές. Η αναστροφή δεν επηρεάζει τις ιδιοτιμές. Οι Η και Η έχουν τις ίδιες ιδιοτιμές Αν ΗR (2n) (2n), λ σ(η) λ σ(η) Αν λc, λ σ(η) -λ σ(η) Αν ΗR (2n) (2n), λ σ(η) λ,-λ,-λ σ(η) Αν δεν υπάρχουν ιδιοτιμές του Η που είναι αμιγώς φανταστικές τότε οι 2n ιδιοτιμές του μπορούν να «χωρισθούν» σε n ιδιοτιμές που έχουν αυστήρά αρνητικό πραγματικό μέρος, και n ιδιοτιμές που έχουν αυστήρά θετικό πραγματικό μέρος Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 43

44 Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής: Επίλυση της Riccati Έτσι, με κατάλληλο μετασχηματισμό ομοιότητας Τ λαμβάνουμε την κανονική μορφή Jordan Αντιστοιχεί σε ιδιοτιμές με αρνητικό πραγματικό μέρος Αντιστοιχεί σε ιδιοτιμές με θετικό πραγματικό μέρος Αν ο Τ γραφεί στα 4 block n n που τον συνιστούν τότε μέσω του μετασχηματισμού στην μητρωική ΔΕ λαμβάνουμε και στην οριακή συνηθήκη Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 44

45 Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής: Επίλυση της Riccati Παράδειγμα-2 Συνεχίζουμε στο προηγούμενο παράδειγμα. Θεωρόντας το μετασχηματισμό ομοιότητας... λαμβάνουμε την κανονική μορφή Jordan = Που είναι ακριβώς ότι βρήκαμε και προηγουμένως και θα χρησιμοποιηθεί και παρακάτω. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 45

46 LQR Μόνιμης Κατάστασης Αν στο ΔΛΑ του LQR Θέσουμε τότε Δεδομένου ότι t 1 1 J u x t S xt x t Q xt u t R u t dt 2 2 xt0 x0 t0 Q Q 0, R R 0, S S 0 t0 0, S 0, t 0 t 0 t Μπορεί να δειχθεί ότι αυτή η λύση ικανοποιεί την αλγεβρική εξίσωση Ricatti: που προκύπτει από τη μητρωική ΔΕ Riccati στη μόνιμη κατάσταση. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 46

47 LQR Μόνιμης Κατάστασης Από το P προκύπτει το αντίστοιχο κέρδος και η εξίσωση βελτίστου ελέγχου, τα οποία είναι χρονικά αμετάβλητης φύσης. Το σύστημα κλειστού βρόχου είναι Κατά συνέπεια, το συνολικό δομικό διάγραμμα είναι : Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 47

48 LQR Μόνιμης Κατάστασης Καταλήγουμε με ένα βασικό θεώρημα. Πριν το παρουσιάσουμε χρειάζεται να ορίσουμε και ξεκαθαρίσουμε κάποιες έννοιες: Σύστημα xt Ax t Bu t xt x 0 0 ΔΛΑ: Το Q μπορεί να αναλυθεί ως Q = C C όπου ο C R q n, όπου ο C είναι ull-row rank. Q Q 0, R R 0 q rank Q n Θεώρημα: Αν το σύστημα και ο ΔΛΑ είναι τέτοια όπου το ζεύγος (Α,Β) είναι ελέγξιμο και το ζεύγος (Α,C) είναι παρατηρήσιμο, τότε η αλγεβρική Riccati έχει μοναδική θετικά ορισμένη λύση P και το σύστημα κλειστού βρόχου είναι ασυμπτωτικά ευσταθές. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 48

49 LQR Μόνιμης Κατάστασης : Παράδειγμα Συνεχίζουμε με το προηγουμένως χρησιμοποιηθέν ΓΧΑΣ αλλά τώρα ορίζοντας ΔΛΑ : Από προηγουμένως έχουμε βρει: Προφανώς 2 tt t t e e P t P 1 t t 1 Α=0, Β=1(Α,Β) : ελέγξιμο C Q 1(Α,C) : παρατηρήσιμο Αλγεβρική Riccati: Επιλέγεται η θετική («ορισμένη») λύση Καταλήγουμε στο ασυμπτωτικά ευσταθές σλυστημα κλειστού βρόχου: u t x t Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 49

50 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 50

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://courseware.mech.ntua.gr/ml23147/)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://courseware.mech.ntua.gr/ml23147/) Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://courseware.mech.ntua.gr/ml23147/) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (h>p://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Λογισμό των Μεταβολών : Βελτιστοποίηση σε Πεπερασμένες Διαστάσεις & Ισοτικοί Περιορισμοί

Εισαγωγή στο Λογισμό των Μεταβολών : Βελτιστοποίηση σε Πεπερασμένες Διαστάσεις & Ισοτικοί Περιορισμοί Βελτιστοποίηση σε Πεπερασμένες Διαστάσεις & Ισοτικοί Περιορισμοί Τι θα γίνει όμως αν μας ζητηθεί να ελαχιστοποιήσουμε ως προς το R την f ( ) = Q + S Q = Q = S = με ταυτόχρονη ικανοποίηση της g( ) = c b

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Λογισμό των Μεταβολών : Βελτιστοποίηση σε Πεπερασμένες Διαστάσεις

Εισαγωγή στο Λογισμό των Μεταβολών : Βελτιστοποίηση σε Πεπερασμένες Διαστάσεις Εισαγωγή στο Λογισμό των Μεταβολών : Βελτιστοποίηση σε Πεπερασμένες Διαστάσεις Όπως είδαµε στα προηγούµενα παραδείγµατα, η εξαγωγή συµπεράσµατος για το είδος του κρίσιµου σηµείου έγινε µέσω της 2 ης παραγώγου

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://) Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (h>p://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή της Ύλης του Μαθήματος Εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (hhp://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή της Ύλης του Μαθήματος Εισαγωγή στο Χώρο

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://) Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (h>p://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή της Ύλης του Μαθήματος Εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

2. Ανάλυση Γραμμικών Χρονικά Αμετάβλητων Συστημάτων (ΓΧΑΣ) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1

2. Ανάλυση Γραμμικών Χρονικά Αμετάβλητων Συστημάτων (ΓΧΑΣ) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 2. Ανάλυση Γραμμικών Χρονικά Αμετάβλητων Συστημάτων (ΓΧΑΣ) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Επίλυση Εξισώσεων Κατάστασης Δεδοµένου του ΓΧΑΣ nn nm pn pm όπου A R B R C R D R Τίθεται το ζήτηµα της επίλυσης

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (http://)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (http://) Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (http://) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (http://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή της Ύλης του Μαθήματος Εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Ψηφιακά Σ.Α.Ε: Περιγραφή στο Χώρο Κατάστασης Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΙ Τμήμα Μαθηματικών - Τομέας Υπολογιστών & Αριθμητικής Ανάλυσης Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 2016

ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΙ Τμήμα Μαθηματικών - Τομέας Υπολογιστών & Αριθμητικής Ανάλυσης Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 2016 ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΙ Τμήμα Μαθηματικών - Τομέας Υπολογιστών & Αριθμητικής Ανάλυσης Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 016 Θέμα 1. α) (Μον.1.5) Αποδείξτε ότι αν το σύστημα στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις διαλέξεων: Βελτιστοποίηση πολυδιάστατων συνεχών συναρτήσεων 1 / 20

Σημειώσεις διαλέξεων: Βελτιστοποίηση πολυδιάστατων συνεχών συναρτήσεων 1 / 20 Σημειώσεις διαλέξεων: Βελτιστοποίηση πολυδιάστατων συνεχών συναρτήσεων Ισαάκ Η Λαγαρής 1 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιον Ιωαννίνων 1 Με υλικό από το υπό προετοιμασία βιβλίο των: Βόγκλη,

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ. Άσκηση. γραμμάτων του επιθέτου σας (π.χ. για το επίθετο Κοσματόπουλος, οι αριθμοί α ι θα είναι a

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ. Άσκηση. γραμμάτων του επιθέτου σας (π.χ. για το επίθετο Κοσματόπουλος, οι αριθμοί α ι θα είναι a Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Άσκηση Θεωρείστε το σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς: Y ( s) a s 4 3 a3s a U ( s) s a όπου οι αριθμοί α ι αντιστοιχούν στους αντίστοιχους αριθμούς των 4 πρώτων γραμμάτων του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (http://)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (http://) Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (http://) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (http://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή της Ύλης του Μαθήματος Εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Περιγραφή και Ανάλυση Συστημάτων Ελέγχου στο Χώρο Κατάστασης Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 5: Το γραμμικό τετραγωνικό πρόβλημα ρύθμισης (LQ Regulators) Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Ευστάθεια Ελεγξιµότητα - Παρατηρησιµότητα

Κεφάλαιο 5 Ευστάθεια Ελεγξιµότητα - Παρατηρησιµότητα Κεφάλαιο 5 Ευστάθεια Ελεγξιµότητα - Παρατηρησιµότητα u u u u Ευστάθεια Ευστάθεια κατά Lyapunov Ασυµπτωτική Ευστάθεια Κριτήρια Ευστάθειας Ελεγξιµότητα Παρατηρησιµότητα Επίδραση της Δειγµατοληψίας στην Ελεγξιµότητα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές έννοιες. Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Προβλήματα εύρεσης μεγίστου. Συμβολισμοί

Εισαγωγικές έννοιες. Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Προβλήματα εύρεσης μεγίστου. Συμβολισμοί Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Εισαγωγικές έννοιες Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc164.materials.uoi.gr/dpapageo Το πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX Θεμελιώδης αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού που κάνει χρήση της θεωρίας της Γραμμικής Άλγεβρας Προτάθηκε από το Dantzig (1947) και πλέον

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

(1) L{a 1 x 1 + a 2 x 2 } = a 1 L{x 1 } + a 2 L{x 2 } (2) x(t) = δ(t t ) x(t ) dt x[i] = δ[i i ] x[i ] (3) h[i, i ] x[i ] (4)

(1) L{a 1 x 1 + a 2 x 2 } = a 1 L{x 1 } + a 2 L{x 2 } (2) x(t) = δ(t t ) x(t ) dt x[i] = δ[i i ] x[i ] (3) h[i, i ] x[i ] (4) Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΗΥ240: Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων Γραμμικά χρονικά μεταβαλλόμενα συστήματα Συνάρτηση συστήματος Ένα σύστημα L απεικονίζει κάθε σήμα εισόδου x σε ένα σήμα εξόδου y, δηλ., συνεχής

Διαβάστε περισσότερα

Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου

Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Προϋποθέσεις Εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Διδάσκων:

Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Διδάσκων: Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Διδάσκων: Φάμπιο Αντωνίου Στοιχεία Επικοινωνίας: email: fantoniou@cc.uoi.gr Τηλ:651005954 Προσωπική Ιστοσελίδα: fantoniou.wordpress.com Γραφείο: Κτίριο

Διαβάστε περισσότερα

1. Τετραγωνικές μορφές. x y 0. 0x y 0 1α 1β 2α 2β 3. 0x + y 0

1. Τετραγωνικές μορφές. x y 0. 0x y 0 1α 1β 2α 2β 3. 0x + y 0 Β4. ΕΣΣΙΑΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ 1.Τετραγωνικές μορφές.χαρακτηρισμός συμμετρικών πινάκων 3.Δεύτερες μερικές παράγωγοι-εσσιανός πίνακας 4.Συνθήκες για ακρότατα 5.Κυρτές/κοίλες συναρτήσεις 6.Ολικά ακρότατα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Ευστάθεια Ελεγξιµότητα - Παρατηρησιµότητα

Κεφάλαιο 5 Ευστάθεια Ελεγξιµότητα - Παρατηρησιµότητα Κεφάλαιο 5 Ευστάθεια Ελεγξιµότητα - Παρατηρησιµότητα u Συστήµατα από Δειγµατοληπτικά Δεδοµένα (Επανάληψη Ασκήσεις) u Στο πεδίο Συχνότητας (Συναρτήσεις Μεταφορά) u Στο πεδίο Χρόνου (Εξισώσεις Κατάστασης)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔ ΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Μεθοδολογία Κλεομένης Γ. Τσιγάνης Λέκτορας ΑΠΘ Πρόχειρες

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Μετασχηματισμός Fourier Στο κεφάλαιο αυτό θα εισάγουμε και θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Παράδειγμα 1 Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με _ + Σχήμα 1 στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Α) Γράψτε το σύστημα ευθέως κλάδου σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Κεφάλαιο 3 3.1 Γενικά Τις τελευταίες δεκαετίες ένας μεγάλος αριθμός μεθόδων βελτιστοποίησης έχει αναπτυχθεί με βάση τη θεωρία του μαθηματικού λογισμού. Οι διάφοροι μαθηματικοί

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο 6 Nicola Tapaouli Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 5: Ενότητες 5.-5. Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση: Ένα σύστηµα µε είσοδο u(t), έξοδο y(t) και διάνυσµα κατάστασης x(t) = (x 1 (t) x 2 (t)) T περιγράφεται από το ακόλουθο διάγραµµα:

Άσκηση: Ένα σύστηµα µε είσοδο u(t), έξοδο y(t) και διάνυσµα κατάστασης x(t) = (x 1 (t) x 2 (t)) T περιγράφεται από το ακόλουθο διάγραµµα: 1 Άσκηση: Ένα σύστηµα µε είσοδο u(t), έξοδο y(t) και διάνυσµα κατάστασης x(t) = (x 1 (t) x 2 (t)) T περιγράφεται από το ακόλουθο διάγραµµα: Όπου Κ R α) Να βρεθεί η περιγραφή στο χώρο κατάστασης και η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://) Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (h>p://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή της Ύλης του Μαθήματος Εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα 1. με επαυξημένο 0 1 1/ 2. πίνακα. και κλιμακωτή μορφή αυτού

Θέμα 1. με επαυξημένο 0 1 1/ 2. πίνακα. και κλιμακωτή μορφή αυτού ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ Ιουλίου 0 Θέμα α) (Μον.6) Να βρεθεί η τιμή του πραγματικού

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρία Δυαδικότητας Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Βασικά Θεωρήματα 2. Παραδείγματα 3. Οικονομική Ερμηνεία

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://courseware.mech.ntua.gr/ml23147/)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://courseware.mech.ntua.gr/ml23147/) Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://courseware.mech.ntua.gr/ml23147/) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (h>p://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΑΣ 3-1 Προσομοιωση και Βελτιστοποιηση Συστηματος (Haimes, 1977) ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΦΥΣΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ

ΠΙΝΑΚΑΣ 3-1 Προσομοιωση και Βελτιστοποιηση Συστηματος (Haimes, 1977) ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΦΥΣΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 3 ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 3.1 Εισαγωγη ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Τα συστηματα εφαρμοζονται σε αναπτυξιακα προγραμματα, σε μελετες σχεδιασμου εργων, σε προγραμματα διατηρησης ή προστασιας περιβαλλοντος και υδατικων πορων και

Διαβάστε περισσότερα

,..., xn) Οι συναρτήσεις που ορίζουν αυτό το σύστημα υποτίθενται παραγωγίσιμες με συνεχείς παραγώγους:

,..., xn) Οι συναρτήσεις που ορίζουν αυτό το σύστημα υποτίθενται παραγωγίσιμες με συνεχείς παραγώγους: ΜΑΘΗΜΑ 6 ο : ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ (ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ LYAPUNOV) O Aleksadr Lyapuv (857-98) έθεσε τις βάσεις της μαθηματικής θεωρίας της ευστάθειας που φέρει το όνομά του εμπνευσμένος από μια απλή

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Κίνησης

Έλεγχος Κίνησης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα 1501 - Έλεγχος Κίνησης Ενότητα: Συστήματα Ελέγχου Κίνησης Μιχαήλ Παπουτσιδάκης Τμήμα Αυτοματισμού Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Τα περισσότερα προβλήματα βελτιστοποίησης είναι με περιορισμούς, αλλά οι μέθοδοι επίλυσης χωρίς περιορισμούς έχουν γενικό ενδιαφέρον.

Τα περισσότερα προβλήματα βελτιστοποίησης είναι με περιορισμούς, αλλά οι μέθοδοι επίλυσης χωρίς περιορισμούς έχουν γενικό ενδιαφέρον. ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΧΩΡΙΣ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ Τα περισσότερα προβλήματα βελτιστοποίησης είναι με περιορισμούς, αλλά οι μέθοδοι επίλυσης χωρίς περιορισμούς έχουν γενικό ενδιαφέρον. Μέθοδοι που απαιτούν

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου με χρήση Αλγεβρικών Τεχνικών

Σχεδίαση Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου με χρήση Αλγεβρικών Τεχνικών ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Σχεδίαση Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου με χρήση Αλγεβρικών Τεχνικών (Συνοπτικές σημειώσεις με παραδείγματα) ( Επίκουρος Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 22Νοεμβρίου 2015 ΑΥΞΟΥΣΕΣ ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Αν μια συνάρτηση f ορίζεται σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Μοντελοποίηση προβληµάτων

Μοντελοποίηση προβληµάτων Σχεδιασµός Αλγορίθµων Ακέραιος προγραµµατισµός Αποδοτικοί Αλγόριθµοι Μη Αποδοτικοί Αλγόριθµοι Σχεδιασµός Αλγορίθµων Ακέραιος προγραµµατισµός Αποδοτικοί Αλγόριθµοι Μη Αποδοτικοί Αλγόριθµοι Θεωρία γράφων

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Κατηγορία η Εύρεση μονοτονίας Τρόπος αντιμετώπισης:. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II Ενότητα #8: Χώρος Κατάστασης: Μεταβλητές, Εξισώσεις, Κανονικές Μορφές Δημήτριος Δημογιαννόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα Α: Γραμμικά Συστήματα Όνομα Καθηγητή: Ραγκούση Μαρία Τμήμα: Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε. Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Νίκος Ζανταρίδης (Φροντιστήριο Πυραμίδα) ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ένα γενικό θέμα Ανάλυσης Χρήσιμες Προτάσεις Ασκήσεις για λύση Μικρό βοήθημα για τον υποψήφιο μαθητή της Γ Λυκείου λίγο πριν τις εξετάσεις Απρίλιος

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμοί (Σημείο ισορροπίας - Ευστάθεια κατά Lyapunov)

Ορισμοί (Σημείο ισορροπίας - Ευστάθεια κατά Lyapunov) Ορισμοί (ημείο ισορροπίας - Ευστάθεια κατά Lyapuo) Έστω ότι στη γενική περίπτωση το σύστημα περιγράφεται στο χώρο κατάστασης με το μαθηματικό πρότυπο: = f(, t), (t 0 ) = 0 () όπου είναι ένα διάστατο διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

B5. ΠΛΑΙΣΙΩΜΕΝΟΣ ΕΣΣΙΑΝΟΣ

B5. ΠΛΑΙΣΙΩΜΕΝΟΣ ΕΣΣΙΑΝΟΣ B5. ΠΛΑΙΣΙΩΜΕΝΟΣ ΕΣΣΙΑΝΟΣ 1.Περιορισμένη τετραγωνική μορφή. Χαρακτηρισμός πλαισιωμένων συμμετρικών πινάκων 3.Συνθήκες για περιορισμένα τοπικά ακρότατα 4.Περισσότερες μεταβλητές και περιορισμοί 5.Περιορισμένα

Διαβάστε περισσότερα

που προκύπτουν στις δύο περιπτώσεις: (α) και (β) αντίστοιχα;

που προκύπτουν στις δύο περιπτώσεις: (α) και (β) αντίστοιχα; ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 9 Μέρος Α. (3.6 μονάδες) (α). Να γίνει το γράφημα της συνάρτησης f() = ln(+ ), και να βρεθεί γραφικά το σημείο ισοελαστικότητας. (β). Δίνεται η συνάρτηση f() = ln. Να διαπιστωθεί ότι είναι κυρτή

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην

Διαβάστε περισσότερα

Η Βασική Δομή Συστημάτων Ελέγχου Κίνησης

Η Βασική Δομή Συστημάτων Ελέγχου Κίνησης Η Βασική Δομή Συστημάτων Ελέγχου Κίνησης Σύστημα ονομάζουμε ένα σύνολο στοιχείων κατάλληλα συνδεδεμένων μεταξύ τους για να επιτελέσουν κάποιο έργο Είσοδο ονομάζουμε τη διέγερση, εντολή ή αιτία η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex 3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας)

Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας) Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Παν/µίου Κρήτης Εξεταστική περίοδος εαρινού εξαµήνου Πέµπτη, 2 Ιούνη 28 Γραµµική Αλγεβρα II ιδάσκων: Α. Τόγκας Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας) Θέµα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Χώρος Κατάστασης. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Χώρος Κατάστασης. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Χώρος Κατάστασης Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Από τις Καταστατικές Εξισώσεις στη Συνάρτηση Μεταφοράς bx x y bx I X b I Y Καταστατικές

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Φυσική Σημασία του Μετασχηματισμού Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier

Διαβάστε περισσότερα

Ακαδηµαϊκό Έτος , Εαρινό Εξάµηνο ιδάσκων Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης

Ακαδηµαϊκό Έτος , Εαρινό Εξάµηνο ιδάσκων Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ, ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΚΕΣ 1: ΑΥΤΟΜΑΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Ακαδηµαϊκό Έτος 5 6, Εαρινό Εξάµηνο Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Το τρέχον έγγραφο αποτελεί υπόδειγµα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΙΟΙΚΗΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ιδάσκων:

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 7: Γεωμετρία Γραμμικού Προβλήματος Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 48 49 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΟΡΙΣΜΟΣ: Κάθε συνάρτηση : A B με Α R n και Β R ονομάζεται πραγματική συνάρτηση n μεταβλητών ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: Ι Αν Α R n και Β R n τότε έχουμε διανυσματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικά Συστήματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικό Σύστημα a11x1 + a12x2 + + a1 nxn = b1 a x + a x + +

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 11 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 2016 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οικονομικές Συναρτήσεις με μεταβλητούς ρυθμούς

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 15-10-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Παράδειγμα. Ως εφαρμογή της Αρχιμήδειας Ιδιότητας θα μελετήσουμε το σύνολο { 1 } A = n N = {1, 1 n 2, 1 } 3,.... Κατ αρχάς το σύνολο A έχει προφανώς

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 20. Παρατηρητής Κατάστασης Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΣΤ Β2.λύσεις ΟΜΑΔΑ Ι

ΤΕΣΤ Β2.λύσεις ΟΜΑΔΑ Ι Η εξίσωση ΤΕΣΤ Β.λύσεις ΟΜΑΔΑ Ι αβ+ α = ορίζει πλεγμένα το ως συνάρτηση των {α,β}. Να βρεθούν η παράγωγος και η ελαστικότητα του ως προς β, στις τιμές: {α=,β =, = }. Λύση. Ο τύπος πλεγμένης παραγώγισης

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Μ. Τρίτη 3 Απριλίου 3 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Σχολικό βιβλίο,

Διαβάστε περισσότερα

max c 1 x 1 + c 2 x c n x n υπό a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m

max c 1 x 1 + c 2 x c n x n υπό a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m Υπολογιστικές Μέθοδοι στη Θεωρία Αποφάσεων Ενότητα 10 Εισαγωγή στον Ακέραιο Προγραμματισμό Αντώνης Οικονόμου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Προπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών 29 Φεβρουαρίου 2016 Προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ: ΜΟΝΟΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1. Αλγεβρικές συναρτήσεις... 3 1.1 Η έννοια της συνάρτησης... 3 1.2 Ασαφείς και σαφείς συναρτήσεις... 3 1.3 Γραφικές απεικονίσεις των

Διαβάστε περισσότερα

max f( x,..., x ) st. : g ( x,..., x ) 0 g ( x,..., x ) 0

max f( x,..., x ) st. : g ( x,..., x ) 0 g ( x,..., x ) 0 Μαθηματικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης - Εστιάζουμε στο ακόλουθο πρόβλημα μεγιστοποίησης μιας αντικειμενικής συνάρτησης f υπό ένα σύνολο ανισοτικών περιορισμών: max f( x,..., x ) { x,..., x } st. : g ( x,...,

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI. Μετασχηµατισµοί Legendre. της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα). Εάν

Μηχανική ΙI. Μετασχηµατισµοί Legendre. της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα). Εάν Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 7/5/2000 Μηχανική ΙI Μετασχηµατισµοί Legendre Έστω µια πραγµατική συνάρτηση. Ορίζουµε την παράγωγο συνάρτηση της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα).

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ) Εικονικές Παράμετροι Μέχρι στιγμής είδαμε την εφαρμογή της μεθόδου Simplex σε προβλήματα όπου το δεξιό μέλος ήταν θετικό. Δηλαδή όλοι οι περιορισμοί ήταν της μορφής: όπου Η παραδοχή ότι b 0 μας δίδει τη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1 Βελτιστοποίηση Στην προσπάθεια αντιμετώπισης και επίλυσης των προβλημάτων που προκύπτουν στην πράξη, αναπτύσσουμε μαθηματικά μοντέλα,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΜΕΡΟΣ ΙΙ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ 36 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Πολλές από τις αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ TEXΝΟΛΟΓ. 5... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

(f,g) f(x,y,v, w) = xy v= 0 x (v,y) = = = = = 3. g(x,y,v,w) = x+ 2y w= 0. (x,y) g g 1 2. Λύση 2. Με πλεγμένη παραγώγιση ως προς v, με σταθερό w :

(f,g) f(x,y,v, w) = xy v= 0 x (v,y) = = = = = 3. g(x,y,v,w) = x+ 2y w= 0. (x,y) g g 1 2. Λύση 2. Με πλεγμένη παραγώγιση ως προς v, με σταθερό w : ΤΕΣΤ Β.λύσεις ΟΜΑΔΑ Ι Οι εξισώσεις: {=, + = w} ορίζουν πλεγμένα τα {,} ως συναρτήσεις των {,w}. Να βρεθεί η μερική παράγωγος του ως προς. Λύση. Με τους τύπους πλεγμένης παραγώγισης: (,g) (,,, w) = = (,)

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων (για την προσαρμογή (ή λείανση) δεδομένων/μετρήσεων)

Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων (για την προσαρμογή (ή λείανση) δεδομένων/μετρήσεων) Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων (για την προσαρμογή (ή λείανση) δεδομένων/μετρήσεων) Στην πράξη, για πολύ σημαντικές εφαρμογές, γίνονται μετρήσεις τιμών μιας ποσότητας σε μια κλινική, για μια σφυγμομέτρηση,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω, α,β, α β και ν α + + i = βi () β + αi α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι πραγµατικός αριθµός. β) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Έλεγχος στο Πεδίο της Συχνότητας. Τόπος Ριζών Διάγραµµα Bode Διάγραµµα Nyquist Ψηφιακός PID

Κεφάλαιο 6. Έλεγχος στο Πεδίο της Συχνότητας. Τόπος Ριζών Διάγραµµα Bode Διάγραµµα Nyquist Ψηφιακός PID Κεφάλαιο 6 Έλεγχος στο Πεδίο της Συχνότητας u Έλεγχος στο Πεδίο της Συχνότητας Τόπος Ριζών Διάγραµµα Bode Διάγραµµα Nyquist Ψηφιακός PID Τόπος Ριζών Για τον τόπο των ριζών δεν χρειάζεται καµία ιδιαίτερη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΚΥΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Καθηγητής: Δ. ΔΗΜΟΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ Εργαστηριακοί Συνεργάτες: Σ. ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΟΥ, Α. ΟΙΚΟΝΟΜΙΔΗΣ,

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος 6/6/06 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 0 Δίνεται ο πίνακας A =. Nα υπολογίσετε την βαθμίδα του και να βρείτε τη διάσταση και από μία βάση α) του μηδενοχώρου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1.

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: Οι Εξισώσεις Διαφορών (ε.δ.) είναι εξισώσεις που περιέχουν διακριτές αλλαγές και διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων Εμφανίζονται σε μαθηματικά μοντέλα, όπου η μεταβλητή παίρνει

Διαβάστε περισσότερα

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R ΟΕΦΕ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέμα Α Α Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ν ν και ισχύει f ν f, νν-{,} είναι παραγωγίσιμη στο R

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου Ασκήσεις

Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου Ασκήσεις Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου Νικόλαος Καραμπετάκης Τμήμα Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, Οκτώβριος 3 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Cretive

Διαβάστε περισσότερα

2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ . ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. Εισαγωγή Οι κλασσικές μέθοδοι αριστοποίησης βασίζονται κατά κύριο λόγο στο διαφορικό λογισμό. Ο Μαθηματικός Προγραμματισμός ο οποίος περιλαμβάνει τον Γραμμικό Προγραμματισμό

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ) ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 28 MAΪΟΥ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 28 MAΪΟΥ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ 8 MAΪΟΥ 0 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (8/05/0, :40) Οι απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου εαρινού εξαμήνου (Ιούνιος 2015)

Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου εαρινού εξαμήνου (Ιούνιος 2015) Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου εαρινού εξαμήνου 204 5 (Ιούνιος 205) ΘΕΜΑ Ο (4,0 μονάδες) Στο παρακάτω σχήμα δίνεται το δομικό (λειτουργικό) διάγραμμα ενός συστήματος. α. Να προσδιοριστούν οι τιμές

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 5 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ

Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 5 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 5 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΣΥΣΤΗΜΑ 2Χ2 ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ Έστω το σύστημα εξισώσεων 2Χ2 (2 εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 5- Σημειώσεις

Διάλεξη 5- Σημειώσεις Διάλεξη 5- Σημειώσεις 1 Κοίλες (concave) και κυρτές (convex) συναρτήσεις Σημείωση: Μόνο για συναρτήσεις που είναι συνεχείς σε ένα (κυρτό) διάστημα R και παραγωγίσιμες τουλάχιστον δύο φορές στο εσωτερικό

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Έστω το σύνολο V το σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών εφοδιασμένο με την ακόλουθη πράξη της πρόσθεσης: y y με, y V και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,

Διαβάστε περισσότερα