Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (http://)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (http://)"

Transcript

1 Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (http://) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (http://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1

2 Δομή της Ύλης του Μαθήματος Εισαγωγη στο Χώρο Κατάστασης Μοντελοποίηση στο Χώρο Κατάστασης Ανάλυση Συστημάτων στο Χώρο Κατάστασης Δομικές Ιδιότητες Συστημάτων Ελεγξιμότητα Παρατηρησιμότητα Ευστάθεια Σχεδίαση Συστημάτων Ελέγχου Ανατροφοδότηση Κατάστασης Παρατηρητές και Ανατροφοδότηση Εξόδου Βέλτιστος Έλεγχος Υλοποίηση Συστημάτων Ελέγχου?? Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 2

3 3. Ελεγξιμότητα Συστημάτων Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 3

4 Η Έννοια της Ελεγξιμότητας Βασικό Ερώτημα: Ένα συγκεκριμένο δυναμικό σύστημα, μπορούμε - ασκόντας κατάλληλα σήματα εισόδου - να το οδηγήσουμε σε οιοδήποτε σημείο του χώρου κατάστασης, ξεκινώντας από οιοδήποτε σημείο του χώρου κατάστασης και εντός πεπερασμένου χρόνου? Το ερώτημα ΔΕΝ ασχολείται ούτε με τη μορφή της τροχιάς απο την αρχή στο τέλος, ούτε με το χρόνο εκτέλεσης της τροχιάς! Αναφέρεται απλά στην ύπαρξη σημάτων οδήγησης απο οιαδήποτε αρχή σε οιοδήποτε προορισμό εντός πεπερασμένου χρόνου! Αυτό το ερώτημα είναι σημαντική προαπαίτηση για τη σχεδίαση συστημάτων ελέγχου... Το ερώτημα ορίζεται γενικά για κάθε δυναμικό σύστημα αλλά εδώ θα αντιμετωπισθεί για ΓΧΑΣ. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 4

5 Ορισμός & Συνθήκη Ελεγξιμότητας Για το ΓΧΑΣ : η κατάσταση xr n είναι ελέγξιμη προς την αρχή των αξόνων (controllable to the origin) αν για κάθε αρχική στιγμή t 0, υπάρχει ένα τελικός χρόνος t f > t 0 και μία κατά τμήματα συνεχής συνάρτηση εισόδου u() ορισμένη επί του [t f, t 0 ], έτσι ώστε για αρχική κατάσταση x(t 0 )=x 0, για την τελική κατάσταση να ισχύει To ΓΧΑΣ είναι ελέγξιμο (controllable) αν κάθε κατάσταση xr n είναι «ελέγξιμη προς την αρχή των αξόνων». Για ένα ΓΧΑΣ πώς μπορεί όμως να πιστοποιηθεί ότι είναι ελέγξιμο? Ας ορίσουμε πρώτα τον πίνακα ελεγξιμότητας (controllability matrix): P = όπου b i i=1,, m είναι οι στήλες του πίνακα Β. Τι διαστάσεις Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ έχει? 5

6 Ορισμός & Συνθήκη Ελεγξιμότητας To ΓΧΑΣ είναι ελέγξιμο αν και μόνο αν rank P rank P A, B n Στη γενική περίπτωση: P R n (n m). Άρα αρκεί n από τις nm στήλες να είναι γραμμικά ανεξάρτητες. Αν έχουμε μόνο μία είσοδο στο σύστημα, τότε ο Β έχει μόνο μία στήλη και m=1 οπότε P R n n (τετράγωνικος), και αρκεί να ελεγχθεί αν ο P είναι μη-ιδιόμορφος. (Πως το ελέγχουμε αυτό?) Σχετικός με πολλά ζητήματα που άπτονται της ελέγξιμότητας είναι ο πίνακας Controllability Grammian για τον οποίο ισχύουν: T nn W. t : τετραγωνικός - συμμετρικός 0, t f W t0, t f T x. W t, 0 : θετικά ημι-ορισμένος 0 t f x Πότε ένας πίνακας ειναι θετικά (ημι-)- ορισμένος? Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 6

7 Ελεγξιμότητα : Παράδειγμα - 1 Επομένως το σύστημα δεν είναι πλήρως ελέγξιμο. Έστω σύστημα που προκύπτει απο διαφορετική θεώριση της κατάστασης: Δηλαδή προκύπτει από το μετασχηματισμό ομοιότητας: P 0 Δηλαδή: z 2 Που δείχνει ότι το δεν εξαρτάται ούτε από την είσοδο ούτε από άλλη ελέγξιμη κατάσταση, οπότε η δεν είναι ελέγξιμη. z 2 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 7

8 Ελεγξιμότητα : Παράδειγμα - 2 Επομένως:...και για την ελεγξιμότητα... μη ελέγξιμο! Όμως η ορίζουσα του υποπίνακα είναι μη μη-μηδενική και η τάξη του P είναι Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ Σταθεροποίηση 8

9 Ελεγξιμότητα : Παράδειγμα - 3 Παρατηρούμε ότι: Ο πίνακας ελεγξιμότητας P είναι ανεξάρτητος των συντελεστών b i του πίνακα εξόδου. Η ορίζουσα του πίνακα ελεγξιμότητας είναι P = -1 άρα το σύστημα είναι ελέγξιμο. Η ορίζουσα του πίνακα ελεγξιμότητας είναι ανεξάρτητη των συντελεστών a i του πίνακα δυναμικής Α. Επομένως: Η δομή του παραπάνω συστήματος συνεπάγεται την ελεγξιμότητα ανεξαρτήτως των συντελεστών a i και b i. (Περαιτέρω συζήτηση θα ακολουθήσει...) Οι ιδιότητες του δυαδικού (θα εξηγηθεί ό όρος) σχετίζονται με την παρατηρησιμότητα. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 9

10 Ελεγξιμότητα : Παράδειγμα - 4 Επιλέγοντας τις παραπάνω στήλες (και μόνο) βρίσκουμε ότι το σύστημα είναι ελέγξιμο Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 10

11 Ελεγξιμότητα : Παράδειγμα - 5 Επιλέγοντας τις παραπάνω στήλες, διαπιστώνεται η ελεγξιμότητα. Αυτή την φορά, υπάρχουν πολλοί συνδυασμοί επιλογών... Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 11

12 Ελεγξιμότητα & Μετασχηματισμοί Συντεταγμένων Το ΓΧΑΣ υπο το μετασχηματισμό ομοιότητας μετατρέπεται (δηλ. εμφανίζεται «υπό άλλη οπτική γωνία») στο Όπου. Υπενθυμίζουμε ότι εξ ορισμού: η κατάσταση xr n είναι ελέγξιμη προς την αρχή των αξόνων (controllable to the origin) αν για κάθε αρχική στιγμή t 0, υπάρχει ένα τελικός χρόνος t f > t 0 και μία κατά τμήματα συνεχής συνάρτηση εισόδου u() ορισμένη επί του [t f, t 0 ], έτσι ώστε για αρχική κατάσταση x(t 0 )=x, για την τελική κατάσταση να ισχύει Παρατηρώντας ότι Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 12

13 Ελεγξιμότητα & Μετασχηματισμοί Αυτό το συμπέρασμα δείχνει ότι: αν η κατάσταση x του αρχικού ΓΧΑΣ 1 είναι «ελέγξιμη προς την αρχή των αξόνων», τότε και η z T x του μετασχηματισμένου ΓΧΑΣ είναι: «ελέγξιμη προς την αρχή των αξόνων», υπό το ίδιο χρονικό διάστημα [t f, t 0 ], και με χρήση του ιδίου σήματος εισόδου u(). Ισχύει και το αντίστροφο. Συντεταγμένων Τα δύο προηγούμενα συμπεράσματα οδηγουν στο ότι : Το μετασχηματισμένο σύστημα είναι ελέγξιμο αν και μονο αν το αρχικό σύστημα είναι ελέγξιμο. Συμπέρασμα: Η ελεγξιμότητα είναι αμετάβλητη ως προς τους μετασχηματισμούς ομοιότητας, Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 13

14 Αν Τότε Ελεγξιμότητα & Μετασχηματισμοί Συντεταγμένων Θεωρίσουμε τον πίνακα ελεγξιμότητας του μετασχηματισμένου συστήματος, και Χρησιμοποιήσουμε την (εύκολα αποδεικνυόμενη) σχέση: Οπότε (δεδομένου ότι ο Τ -1 είναι τετραγωνικός & μηιδιόμορφος) Για την controllability Grammian ισχύει: T 1 όπου T T T T T 1 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 14

15 Ελεγξιμότητα & Μετασχηματισμοί Συντεταγμένων : SISO - Διαγωνοποίηση Για τη Διαγώνια Κανονική Μορφή η εξέταση της ελεγξιμότητας μέσω του πίνακα ελεγξιμότητας προαπαιτεί τη εύρεση όρων του τύπου: Επομένως: Ως γνωστόν ο Vandermonde πίνακας είναι μη-διόμορφος όταν και μόνο όταν οι ιδιοτιμές λ i (του πίνακα Α) είναι διακριτές. Κατά συνέπεια, η (μη) ελεγξιμότητα της Διαγώνιας Κανονικής Μορφής πιστοποιείται με την θεώριση των b i : εφόσον κανένα b i δεν είναι (κάποιο, είναι) μηδενικό το σύστημα (δεν) είναι ελέγξιμο. Άρα... Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 15

16 Ελεγξιμότητα & Μετασχηματισμοί Συντεταγμένων : SISO - Διαγωνοποίηση Αναγκαία και ικανή συνθήκη για την ελεγξιμότητα ενός διαγωνοποιήσιμου ΓΧΑΣ είναι: οι ιδιοτιμές του Α που εμφανίζονται επί της διαγωνίου του A DCF να είναι διακριτές και κανένα στοιχείου του B DCF να μην είναι μηδενικό. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 16

17 Ελεγξιμότητα & Μετασχηματισμοί Συντεταγμένων : Ειδικές Περιπτώσεις Ελέγξιμες Υλοποιήσεις Συνάρτησης Μεταφοράς Έστω ότι τα 2 SISO ΓΧΑΣ είναι n-διάστατες ελέγξιμες υλοποιήσεις της ίδιας ΣΜ. nn Λήμμα: Αν P P A, B, P P A, B τότε x t T x t όπου 1 2 T P P Κανονική Μορφή τύπου-ελεγκτή ή Μεταβλητών Φάσης (Controller or Phase Variable Canonical Form - CCF) Αυτη η μορφή μας απασχόλησε και στο παρελθόν όπου προσέγγισθηκε άμεσα από θεώρηση της Σ.Μ Σε αυτή τη φάση θα κατανοήσουμε τίς ιδιότητες της δομής της που οδηγούν και στην σχετική ονοματολογία. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 17

18 Ελεγξιμότητα & Μετασχηματισμοί Συντεταγμένων : Ειδικές Περιπτώσεις Θεωρούμε την δομή της υλοποίησης CCF: Όπου Αυτή η υλοποίηση, όπως φάνηκε και σε προηγούμενο παράδειγμα, είναι εκ κατασκευής ελέγξιμη. Λήμμα : ο Πίνακας Ελεγξιμότητας της CCF είναι συμμετρικός: Αυτό το αποτέλεσμα θα χρησιμοποιηθεί παρακάτω. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 18

19 Ελεγξιμότητα & Μετασχηματισμοί Συντεταγμένων : Ειδικές Περιπτώσεις Με βάση το πρόσφατο Λήμμα, από μία ελέγξιμη υλοποίηση της ΣΜ με κατάσταση xt και πίνακα ελεγξιμότητας P (προηγ. σελ.) μπορούμε να λάβουμε την CCF μορφή με χρήση του μετασχηματισμού 1 x t T x t T P P CCF CCF CCF CCF Από τα επαναληπτικά μαθήματα Γραμ. Αλγ. υπενθυμίζουμε και εφαρμόζουμε για τον την ικανή συνθήκη διαγωνοποίησης: A CCF nn Ο πίνακας A CCF είναι διαγωνοποιήσιμος μέσω μετασχηματισμού ομοιότητας αν έχει n διακριτές ιδιοτιμές. Αντιστρόφως, αν η CCF (εγγενώς ελέγξιμη) μπορεί να μετατραπεί στην DCF τότε αυτή είναι ελέγξιμη και όπως αποδείχθηκε νωρίτερα (που?) η πρέπει να έχει διακριτές ιδιοτιμές. Προφανώς οι ιδιοτιμές δεν είναι ζήτημα επιλογής αλλά απορέουν από τη ΣΜ (από την οποία ξεκινήσαμε). Επομένως: Η CCF μπορεί να μετατραπεί στην DCF όταν και μόνο όταν η έχει διακριτές ιδιοτιμές. Ο σχετικός μετασχημα- -τισμός είναι ο ανάστροφος Vandermode πίνακας (μη-ιδιόμορφος). A CCF A CCF Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 19

20 Ελεγξιμότητα & Μετασχηματισμοί Συντεταγμένων : Ειδικές Περιπτώσεις Παράδειγμα: 3 2 ΧΠ: Ιδιοτιμές: +2i, -2i, -2 si A s 2s 4s 8 Το σύστημα είναι ελέγξιμο οπότε έχει νόημα ο μετασχηματισμός: Δεδομένου ότι οι ιδιοτιμές των A και A ταυτίζονται CCF οπότε TDCF i 2i Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 20

21 Μη-Ελέγξιμες Εξισώσεις Κατάστασης Αν για ένα ΓΧΑΣ ισχύει : τότε υπάρχει μετασχηματισμός έτσι ώστε το μετασχηματισμένο σύστημα να είναι της μορφής με το ζεύγος να ορίζει ένα q-διάστατο ελέγξιμο σύστημα. Κατάλληλος μετασχηματισμός είναι ο όπου οι στήλες είναι από τον πίνακα ελεγξιμότητας P και οι υπόλοιπες,, επιλέγονται ώστε όλες οι στήλες του Τ να συνιστούν βάση στον R n. Τα ανωτέρω θα χρησιμοποιηθούν και στη ανάλυση των «μηπαρατηρήσιμων εξισώσεων κατάστασης», παρακάτω. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 21

22 Μη-Ελέγξιμες Εξισώσεις Κατάστασης : Παράδειγμα Το ΓΧΑΣ ΔΕΝ είναι πλήρως ελέγξιμο, δηλ. ο πίνακας ελεγξιμότητάς του έχει τάξη 2. Επιλέγοντας τις 2 πρώτες στήλες του (γραμμικά ανεξάρτητες) και παραθέτοντας το «3 ο διάνυσμα της κανονικής βασης», λαμβάνουμε τον πίνακας μετασχηματισμού... Αυτός οδηγεί στο μετασχηματισμένο σύστημα Προφανώς, το σύστημα είναι ελέγξιμο. Αυτό το σύστημα θα μας απασχολήσει και στο κεφ. της παρατηρησιμότητας Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ Σταθεροποίηση 22

23 4. Παρατηρησιμότητα Συστημάτων Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 23

24 Η Έννοια της Παρατηρησιμότητας Έστω το ΓΧΑΣ Γενικά όπου x, y, u n p m p n, m n «Εσωτερική Ποσότητα» του Δυναμικού Συστήματος, οδηγούμενο από το σήμα εισόδου & οδηγεί το σήμα εξόδου Αυτοί οι μαθηματικοί περιορισμοί σχετίζονται με την πρακτική δυσκολία του να μετρήσουμε (και επενεργήσουμε σε) κάθε μεταβλητή κατάστασης Μπορούμε εύκολα να μετρούμε μόνο την είσοδο & έξοδο. Θέλουμε όμως, με βάση αυτές τις μετρήσεις, να μπορούμε να «εκτιμούμε» την κατάσταση, πράγμα που, όπως θα φανεί παρακάτω, είναι απαραίτητο στο έλεγχο. Εκτίμηση της κατάστασης είναι (μαθηματικά) δυνατή αν γνωρίζουμε την είσοδο αλλά και την αρχική κατάσταση. Αυτό σχετίζεται με την ιδιότητα της παρατηρησιμότητας (observability): την δυνατότητα εκτίμησης της αρχικής κατάστασης με βάση τις «ιστορικές» παρατηρήσεις των εισόδων & εξόδων. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 24

25 Ορισμός & Συνθήκη Παρατηρησιμότητας Εστω το n-διάστατο ΓΧΑΣ: Έστω ότι μπορούμε να μετρήσουμε και καταγράψουμε τα ut, yt για ένα πεπερασμένο χρονικό διάστημα t t. Πρόθεσή μας, σύμφωνα με τα προηγούμενα, είναι ή εύρεση του x 0 γιατί αυτό θα μας επιτρέψει να υπολογίσουμε όλη την εξέλιξη της κατάστασης, βάσει της 0, f Εύκολα βλέπουμε ότι Δηλαδή η γνώση της u(t) μας επιτρέπει την εύρεση της «απόκρισης αρχικής κατάστασης», δηλαδή την απόκριση μηδενικής εισόδου. Μπορούμε δηλαδή, χωρίς απώλεια της γενικότητας, να θεωρήσουμε και ως σύστημα το 0 0 u t t t Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 25

26 Ορισμός & Συνθήκη Παρατηρησιμότητας Η κατάσταση x 0 R n είναι μη-παρατηρήσιμη (unobservable) αν η απόκριση μηδενικής εισόδου του συστήματος με αρχική κατάσταση x(t 0 )= x 0 είναι y(t) 0 για όλα τα t t 0. Σημ-1: Το 0 R n είναι προφανώς μία μη-παρατηρήσιμη κατάσταση (x(t 0 )=0 y(t) 0) Σημ-2: Μία μη-μηδενική, μη-παρατηρήσιμη κατάσταση είναι μη-διακριτή από το 0 R n Το ΓΧΑΣ είναι παρατηρήσιμο (observable) αν το x 0 =0 R n είναι η μοναδική μη-παρατηρήσιμη κατάσταση. Ορίζουμε τον πίνακα παρατηρησιμότητας (observability matrix): Ένα ΓΧΑΣ είναι ελέγξιμο αν και μόνο άν rank Q A, C n Στη γενική περίπτωση: Q R (n p) n. Άρα αρκεί n από τις np γραμμές να είναι γραμμικά ανεξάρτητες. C CA 2 Q Q A, C CA n 1 CA Αν έχουμε μόνο μία έξοδο από το σύστημα, τότε ο C έχει μόνο μία στήλη και p=1 οπότε Q R n n (τετράγωνικος), και αρκεί να ελεγχθεί αν ο Q είναι μη-ιδιόμορφος (μημηδενική ορίζουσα). Οι μη-παρατηρήσιμες καταστασεις x 0 του ΓΧΑΣ βρίσκονται στο null space του Q. Δηλαδή ισχύει: Qx 0 0 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 26

27 Ορισμός & Συνθήκη Παρατηρησιμότητας Σχετικός με πολλά ζητήματα που άπτονται της παρατηρησιμότητας είναι ο πίνακας Observability Grammian για τον οποίο ισχύουν: T nn M. t : τετραγωνικός - συμμετρικός 0, t f M t0, t f T. x M t, 0 t 0 f x : θετικά ημι-ορισμένος. rank Q A, C n M t, t 0 t t f 0 f 0 Πως μπορούμε να βρούμε το x(t 0 )= x 0? Ισχύει ότι: x0 όπου: Απόδειξη: Δεδομένου ότι x 0 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 27

28 Παρατηρησιμότητα : Παράδειγμα οπότε......και... Τό σύστημα ΔΕΝ είναι παρατηρήσιμο γιατί Κάνοντας το μετασχηματισμό ομοιότητας: Παίρνουμε το σύστημα : Q 0, rank Q 1, nullity Q 1 Παρατηρούμε ότι η έξοδος y(t) είναι. ανεξάρτητη από την z 1 (t), εξαρτάται. μόνο από την z 2 (t) η όποία είναι και. αυτή ανεξάρτητη από την z 1 (t) Η απόκριση μηδενικής εισόδου είναι που δείχνει ότι δεν μπορεί να ευρεθεί η z 1 (0). Από την Qx 0 0παρατηρούμε ότι η είναι μη παρατηρήσιμη κατάσταση. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 28

29 Παρατηρησιμότητα : Παράδειγμα - 2 Επομένως rank Q = 2, nullity Q = 1 Κάθε μη-μηδενική λύση της Qx 0 0 θα είναι μη-μηδενική, μηπαρατηρήσιμη κατάσταση. Μία τέτοια λύση που μπορεί να ληφθεί από την., με. τον άνω τριγωνικό πίνακα, είναι x T. Τα βαθμωτά πολλαπλάσια της, είναι μη-μηδενικές & μη-παρατηρήσιμες καταστάσεις. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ Παρατηρητές 29

30 Παρατηρησιμότητα : Παράδειγμα - 3 Αυτό το ΓΧΑΣ είναι μία. υλοποίηση της ΣΜ Επομένως Παρατηρήσεις: Ο πίνακας Q είναι ανεξάρτητος από τον αριθμητή της ΣΜ Είναι Q 1, επομένως η υλοποίηση είναι πάντα παρατηρήσιμη ανεξάρτητα από τον παρονομάστή. Αύτό, όπως θα αποδειχθεί, ισχύει για κάθε n. Ο πίνακας παρατηρησιμότητας Q της εν λόγω υλοποίησης είναι ίδιος με τον πίνακα ελεγξιμότητας P της παρακάτω υλοποίησης (την έχουμε εξετάσει στο παρελθόν) της ΣΜ. Πως σχετίζονται αυτά τα δύο (2) συστήματα? Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 30

31 Παρατηρησιμότητα : Παράδειγμα rank Q 5 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 31

32 Παρατηρησιμότητα : Παράδειγμα - 5 rank Q 5 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 32

33 Δυαδικότητα (Duality) : Ελεγξιμότητα & Παρατηρησιμότητα dual ΣΜ: ΣΜ- SISO: T H s Gs 1 1 H s C si A B D H s G s G s B si A C D T T T T Ελεγξιμότητα: Παρατηρησιμότητα: P A, B T T P A, C Q A, C T T Q A, B Κάθε ένα απο τα συστήματα είναι: Ελέγξιμο, αν και μόνο αν το δυαδικό του είναι Παρατηρήσιμο: Παρατηρήσιμο, αν και μόνο αν το δυαδικό του είναι Ελέγξιμο:, T T, T P A B Q A B, T T, T Q A C P A C Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 33

34 Παρατηρησιμότητα & Μετασχηματισμοί Συντεταγμένων Το ΓΧΑΣ υπο το μετασχηματισμό ομοιότητας μετατρέπεται (δηλ. εμφανίζεται «υπό άλλη οπτική γωνία») στο... όπου. Προφανώς Αν η x 0 είναι μη παρατηρήσιμη κατάσταση τότε t t 0 και από την προηγούμενη σχέση προκύπτει ότι η z 0 είναι μη παρατηρήσιμη. Ισχύει και το αντίστροφο. Τα δύο προηγούμενα συμπεράσματα οδηγουν στο : Το μετασχηματισμένο σύστημα είναι παρατηρήσιμο αν και μονο αν το αρχικό σύστημα είναι παρατηρήσιμο. Συμπέρασμα: Η παρατηρησιμότητα είναι αμετάβλητη ως προς τους μετασχηματισμούς ομοιότητας. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 34

35 Παρατηρησιμότητα & Μετασχηματισμοί Συντεταγμένων Δεδομένου ότι Τότε, και (εύκολα αποδεικνυόμενη) Οπότε (δεδομένου ότι ο Τ είναι τετραγωνικός & μηιδιόμορφος) Για την Observability Grammian ισχύει: Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 35

36 Παρατηρησιμότητα & Μετ/σμοί Συντεταγμένων: Ειδικές Περιπτώσεις Παρατηρήσιμες Υλοποιήσεις Συνάρτησης Μεταφοράς Έστω ότι τα 2 SISO ΓΧΑΣ είναι n-διάστατες παρατηρήσιμες υλοποιήσεις της ίδιας ΣΜ. nn Λήμμα: Αν Q τότε 1 Q1 A1, C1, Q2 Q2 A2, C2 x t T x t όπου 1 2 T Q Q Κανονική Μορφή τύπου-παρατηρητή (Observer Canonical Form - OCF) Ξεκινάμε από τη θεώρηση της Σ.Μ που μας απασχόλησε για την μελέτη του CCF αλλά και πρόσφατα (σε παράδειγμα). Ας θεωρήσουμε τη δομή OCF : θα κατανοήσουμε τίς ιδιότητες της που οδηγούν και στην σχετική ονοματολογία... Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 36

37 Παρατηρησιμότητα & Μετ/σμοί Συντεταγμένων: Ειδικές Περιπτώσεις Η OCF είναι το ΓΧΑΣ Επομένως η OCF είναι δυαδική της CCF και, επειδή είναι SISO, θα έχουν τις ίδιες συναρτήσεις μεταφοράς (σύμφωνα με τα περί δυαδικότητας...). Επειδή όμως η CCF είναι υλοποίηση της H(s), το ίδιο θα ισχύει και για την OCF. Παρομοίως, η εξ ορισμού ελεγξιμότητα της CCF εξασφαλίζει (σύμφωνα με τα περί δυαδικότητας...) την παρατηρησιμότητα της OCF: T Δυαδικότητα QOCF P CCF QOCF PCCF Συμμετρικότητα του P CCF T PCCF PCCF Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 37

38 Επομένως Παρατηρησιμότητα & Μετ/σμοί Συντεταγμένων: Ειδικές Περιπτώσεις Με βάση το πρόσφατο Λήμμα, από μία ελέγξιμη υλοποίηση της ΣΜ με κατάσταση x(t) και πίνακα παρατηρησιμότητας Q μπορούμε να λάβουμε την OCF μορφή με χρήση του μετασχηματισμού x t T x t T Q Q Q Q OCF OCF OCF OCF OCF Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 38

39 Παρατηρησιμότητα & Μετ/σμοί Συντεταγμένων: Ειδικές Περιπτώσεις Παράδειγμα: ΧΠ: 3 2 Ιδιοτιμές: +2i, -2i, -2 si A s 2s 4s 8 1 T Q Q Q Q 1 1 OCF OCF OCF Το σύστημα είναι παρατηρήσιμο οπότε έχει νόημα ο μετασχηματισμός: Δεδομένου ότι βρήκαμε σε παρελθόν παράδειγμα ότι Είναι φανερό ότι η OCF μορφή είναι δυαδική της CCF. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 39

40 Q DCF Παρατηρησιμότητα & Μετασχηματισμοί Συντεταγμένων : SISO - Διαγωνοποίηση 0 0 k 1 k k 0 0 k k k DCF DCF 1 2 n nn Για τη DCF η 2 εξέταση της k παρατηρησιμότητας n μέσω του σχετικού πίνακα προαπαιτεί τη εύρεση όρων του τύπου: Επομένως: C A c c c c c c n T n c1 c2 cn c1 c1 1 c1 1 c n n n n n c1 0 0 n c c c c c c c c2 0 n n n n n c1 1 c22 cnn cn cnn cn n n cn 1 n n 1 n n cn Ως γνωστόν ο Vandermonde πίνακας είναι μη-διόμορφος εφόσον οι ιδιοτιμές λ i (του πίνακα Α) είναι διακριτές. Κατά συνέπεια, η (μη) παρατηρησιμότητα της Διαγώνιας Κανονικής Μορφής πιστοποιείται με την θεώριση των c i : εφόσον κανένα c i δεν είναι (κάποιο, είναι) μηδενικό το σύστημα (δεν) είναι ελέγξιμο. Άρα: Αναγκαία και ικανή συνθήκη για την παρατηρησιμότητα ενός διαγωνοποιήσιμου ΓΧΑΣ είναι: οι ιδιοτιμές του Α που εμφανίζονται επί της διαγωνίου του A DCF να είναι διακριτές και T T να μήν υπάρχει μηδενικό στοιχείο του C DCF Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 40

41 Μη-Παρατηρήσιμες Εξισώσεις Κατάστασης T Αν για ένα ΓΧΑΣ ισχύει : rank C T A T C T A n C T q n τότε υπάρχει μετασχηματισμός έτσι ώστε το μετασχηματισμένο σύστημα να είναι της μορφής T με το ζεύγος να ορίζει ένα q-διάστατο ελέγξιμο σύστημα. Απόδειξη: Από τη δυαδικότητα, T T, T T T Q A C P A C και, Με χρήση προηγούμενων αποτελεσμάτων, διαγωνοποιούμε το δυαδικό rank P A C q n όπου ελέγξιμο ( q-διάστατο). Παίρνουμε τις ανάστροφες σχέσεις:. και κάνουμε τις αντιστοιχίσεις: Η δυαδικότητα μας οδηγεί στο ότι,από το οποίο καταλήγουμε στο ζητούμενο αποτέλεσμα. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 41

42 Εστω το ΓΧΑΣ Το δυαδικό του ευρέθη μη πλήρως ελέγξιμο, γιατί ο πίνακας ελεγξιμότητας του δυαδικού έχει τάξη 2. Επιλέξαμε τις 2 πρώτες στήλες (γραμμικά ανεξάρτητες) του πίνακα ελεγξιμότητας και προσθέτοντας το «3 ο διάνυσμα της κανονικής βασης», πήραμε τον πίνακα μετασχηματισμού... Αυτός οδηγεί στο μετασχηματισμό Που δίνει Μη-Παρατηρήσιμες Εξισώσεις Κατάστασης : Παράδειγμα Αυτό υποδεικνύει ότι το σύστημα έχει μία μη-παρατηρήσιμη κατάσταση επειδή το ζεύγος είναι παρατηρήσιμο. -3 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ Παρατηρητές 42

43 5. Ευστάθεια Συστημάτων Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 43

44 Εισαγωγή στην Ευστάθεια Η Ευστάθεια (Stability) θα προσεγγισθεί από 2 «κατευθύνσεις» : Εσωτερικα (Internal Stability): Αναλύεται η συμπεροφορά της «απόκρισης μηδενικής εισόδου» Εξωτερικά (External /input-output Stability): Εξετάζεται αν η «απόκριση μηδενικής αρχικής κατάστασης» είναι φραγμένη στη περίπτωση που το σύστημα διεγείρεται από φραγμένο σήμα εισόδου (Bounded Input Bounded Output Stability - BIBO). Οι 2 παραπάνω προσεγγίσεις θα συσχετισθούν. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 44

45 Εσωτερική Ευστάθεια Είναι ενδιαφέρον να εξετάσουμε την εσωτερική ευστάθεια θεωρόντας μιά πιο γενική κατηγορία από τα ΓΧΑΣ, δηλαδή ένα n-διάστατο, μη-γραμμικό, χρονικά αμετάβλητο σύστημα n Ένα σημείο x είναι σημείο ισορροπίας (equilibrium point) του συστήματος αν ισχύει f x Παράδειγμα: θεώρούμε το εκκρεμές που διέπεται από Δ.Ε. της μορφής και το οποίο μετασχηματίζεται σε x2 x2 0 f x x Αυτό σημαίνει ότι τα Σημεία Ισορροπίας (ΣΙ) : (μαθηματικά) είναι άπειρα, τον αριθμό, έχουν όλα μηδενική γωνιακή ταχύτητα, και 0 k sin x1 sin x1 0 0 ευρίσκονται στο κατώτερο και ανώτερο σημεία της τροχιάς. Από φυσικής απόψεως, υπάρχουν 2 ΣΙ: ένα στο κατώτερο και ένα στο ανώτερο σημείο της τροχιάς. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 45

46 Εσωτερική Ευστάθεια Η ύπαρξη πολλών (για ένα μηγραμμικό σύστημα), απομονωμένων ή μη, ΣΙ μας οδηγεί στην θεώρηση της ευστάθειας γύρω από κάθε ΣΙ. Επομένως, αναφερόμαστε στην ευστάθεια γύρω από συγκεκριμένο ΣΙ και όχι σε αυτή ενός συστήματος Στο διπλανό σχήμα, αν θεωρήσουμε ως κατάσταση μόνο την θέση (και όχι και την ταχύτητα) και την ύπαρξη τριβών, τότε οι περιπτώσεις: a. Πρόκειται περί ασταθούς (unstable) ΣΙ. Η παραμικρή διαταραχή θα το οδηγήσει μακράν του ΣΙ. b. Πρόκειται περί ευσταθούς (stable) ΣΙ. Η όποια φραγμένη διαταραχή το οδηγεί σε θέση φραγμένη, σε σχέση με το ΣΙ. c. Πρόκειται περί ασυμπτωτικά ευσταθούς (asymptotically stable) ΣΙ. Η όποια φραγμένη διαταραχή το οδηγεί εν τέλει στο ΣΙ. (αν δεν υπάρχει τριβή?) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 46

47 Τύποι Ευστάθειας Με κατάλληλη μεταφορά αξόνων, μπορούμε γενικά να θέσουμεοιοδήποτε ΣΙ στην αρχή των αξόνων και να αναφερόμαστε σε ΣΙ x 0. Το Σημείο Ισορροπίας x 0 του συστήματος xt f xt x0 x είναι: 0 Ευσταθές (Stable) αν 0 x xt t 0 Ασταθές (Unstable) αν δεν είναι ευσταθές. Ασυμπτωτικά Ευσταθές (Asymptotically Stable) αν 0, T T, x0. x t t 0 x t t T δηλαδή αν είναι ευσταθές και lim xt 0 0 Συνολικά Ασυμπτωτικά Ευσταθές (Globally Asymptotically Stable) αν., M 0 T T, M x0 M xt t T δηλαδη είναι ευσταθές και lim xt 0 t γιά κάθε αρχική κατάσταση. t Εκθετικά Ευσταθές (Exponentially Stable) αν,, 0 x0 x t e x0 t 0 Συνολικά Εκθετικά Ευσταθές (Globally Exponentially Stable) αν t., 0 xt e x0 t 0 γιά κάθε αρχική τιμή x. 0 t Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 47

48 Τύποι Ευστάθειας Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 48

49 Τύποι Ευστάθειας : ΓΧΑΣ Για το ΓΧΑΣ το προφανές ΣΙ είναι Αυτό το Σημείο Ισορροπίας είναι: Ευσταθές αν 0 x t x0 x 0 x0, t 0 Ασταθές αν δεν είναι ευσταθές. (Συνολικά) Ασυμπτωτικά Ευσταθές αν 0 T T 0 x t x0 x 0 x0, t T t (Συνολικά) Εκθετικά Ευσταθές αν, 0 x t e x x 0 x, t 0 Παρατηρούμε ότι At Προφανώς x0 ei x t e At (δηλ. η i-th στήλη τού πίνακα e ). Γι αυτή i την i-th στήλη, από τούς ορισμούς : της ευστάθειας, συνάγεται το «φραγμένον» της, και της ασυμπτωτικής ευστάθειας, συναγεται ότι τείνει στο μηδενικό διάνυσμα. Επομένως αν το ΣΙ : είναι Ευσταθές: τότε κάθε στοιχείο της i-th στήλης είναι φραγμένο, και Ασυμπτωτικά Ευσταθές: τότε κάθε στοιχείο της i-th στήλης τείνει ασυμπτωτικά στο μηδεν. At Τα ανωτέρω ισχύουν i και επομένως για κάθε στοιχείο του e. Εύκολα αποδεικνύεται ότι ισχύει και το αντίστροφο At 0 0 x t A x t x t x x t e x Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 49

50 Ανάλυση της Ευστάθειας ΓΧΑΣ Ως γνωστόν ΑR n Τ R n 1, Τ 0 J T AT όπου ο J είναι blockδιαγώνιος με κάθε block να είναι της μορφής : Κάθε τέτοιο block σχετίζεται με μία ιδιοτιμή λ. A t J t. A T J T e T e T 1 1 Jt J block-διαγώνιος e block-διαγώνιος με blocks μορφής: Ενα Jordan block που σχετίζεται με μία ιδιοτιμή λ είναι βαθμωτό (μονοδιάστατο) όταν και μόνο όταν οι σχετικές γεωμετρικές και αλγεβρικές πολλαπλότητες της ιδιοτιμές είναι ίσες. Σε αυτή τη περίπτωση: Jk t t Jk, e e Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 50

51 Ευστάθεια ΓΧΑΣ Το Σ.Ι. του είναι: Ευσταθές: αν και μόνο αν όλες οι ιδιοτιμές του Α έχουν μη θετικό πραγματικό τμήμα και γιά κάθε φανταστική ιδιοτιμή η γεωμετρική και αλγεβρική πολλαπλότητα είναι ίσες. (Συνολικά) Ασυμπτωτικά Ευσταθές : αν και μόνο αν όλες οι ιδιοτιμές του Α έχουν αυστηρά αρνητικό πραγματικό τμήμα. Στο διπλανό σχήμα, οι ιδιοτιμές : «1» : έχουν αυστηρά αρνητικό πραγματικό τμήμα και αντιστοιχούν σε ασυμπτωτικά ευσταθές σύστημα «2» : είναι μη επαναλαμβανόμενες, επόμένως η γεωμετρική και αλγεβρική πολλαπλότητα τους είναι ίσες (=1) και αντιστοιχούν σε ευσταθές σύστημα «3» : έχουν θετικό πραγματικό τμήμα και αντιστοιχούν σε ασταθές σύστημα Στις περιπτώσεις που θέλουμε να αντιδιαστείλουμε την Ασυμπτωτική Ευστάθεια από την Ευστάθεια αναφερόμαστε στη δεύτερη ως «οριακή ευστάθεια» (marginal stability). Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 51

52 Ενεργειακή Προσέγγιση στην Ευστάθεια Βασική Ιδέα: σύνδεση των εννοιών ευστάθειας με την ενέργεια... Έστω σύστημα του οποίου η συνολική ενέργεια ορίζεται ως συνάρτηση της κατάστασής του Αν Τότε Αν Τότε Το ΣΙ αντιστοιχεί σε (τοπικό) ελάχιστο της συνάρτησης ενέργειας, και Η ενέργεια δεν αυξάνει κατά την εξέλιξη οιασδήποτε πορείας που αρχίζει στην γειτονιά του ΣΙ Η πορεία παραμένει κοντά στο ΣΙ, δηλ. έχουμε ευσταθές ΣΙ. Το σύστημα απορροφά ενέργεια κατά την εξέλιξη οιασδήποτε πορείας που αρχίζει στην γειτονιά του ΣΙ, και επομένως η ενέργεια συγκλίνει σε τοπικό ελάχιστο έχουμε ασυμπτωτικά ευσταθές ΣΙ. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 52

53 Ενεργειακή Προσέγγιση στην Ευστάθεια : Παράδειγμα Στο παρελθόν είδαμε τη ΔΕ που περιγράφει το φυσικο φαινόμενο Προφανώς η θεώριση : f (t) = 0 οδηγεί την αρχική ΔΕ στην μορφή Συνολική Ενέργεια Δυναμική Ενέργεια - Ελατήριο Κινητική Ενέργεια - Μάζα, 0 0 0,, T T T T T E x x x x E x x x x x x Η εξέλιξη της ενέργειας κατά την τροχιά του συστήματος είναι Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 53

54 Ενεργειακή Προσέγγιση στην Ευστάθεια : Παράδειγμα Αν c 0 de dt 0 E const. που σημαίνει ότι έχουμε συνεχή εναλλαγή μεταξύ κινητικής & δυναμικής ενέργειας. Επομένως Υπενθυμίζουμε ότι για το ΓΧΑΣ το προφανές ΣΙ. είναι Ευσταθές αν 0 xt x0 x 0 x0, t 0 Παράμετροι: m = 1 kg, k = 10 N/m, c = 0 x 0 = [1 2] T λ 1,2 = ± j 3.16 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 54

55 Ενεργειακή Προσέγγιση στην Ευστάθεια : Παράδειγμα 2 Αν c 0 τότε, επειδή de dt cx2 t, x2 t 0 x. Επίσης (από την 2 η 1 t x2 t 0 x1 t y0 const. εξ. Καταστ.) Αυτό συνεπάγεται ότι η σχετική τροχιά αντιστοιχεί στο ΣΙ: xt x Αν το x t δεν είναι μηδενικό καθόλη τη διάρκεια μίας τροχιάς, τότε Αν καθόλη τη διάρκεια μίας τροχιάς, τότε (από την 1 η εξ. καταστ.) k x1 t k y0 0 y T 2 Η σύγκλιση της Ενέργειας στο μηδέν συνεπάγεται Επίσης, ισχύει de dt 0 E 0 t 2 min km, max km, T 0 E x t, x t E x 0, x 0 t T που αποδεικνύει ότι το ΣΙ ασυμπτωτικά ευσταθές x x t 0 0 T είναι c=1 N s/m λ 1,2 = ± j 3.12 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 55

56 Ενεργειακή Προσέγγιση στην Ευστάθεια : Παράδειγμα 2 Αν c 0 τότε, επειδή de dt cx2 t, Αν x καθόλη τη διάρκεια μίας τροχιάς, τότε (από την 1 η εξ. καταστ.) 2 t 0 x. Επίσης (από την 2 η 1 t x2 t 0 x1 t y0 const. εξ. Καταστ.) Αυτό συνεπάγεται ότι η σχετική τροχιά αντιστοιχεί στο ΣΙ: xt x 0 0 T Αν το x δεν είναι μηδενικό καθόλη τη διάρκεια μίας τροχιάς, τότε 2 t de dt 0 Μπορεί να αποδειχθεί ότι οιαδήποτε αρχική συνθήκη πριν της μηδενικής οδηγεί σε αποκλίνουσα τροχιά. c= - 1 N s/m λ 1,2 = ± j 3.12 k x t k y 0 y Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 56

57 Ανάλυση Ευστάθειας κατά Lyapunov Βασική Ιδέα: Θεώριση, όπως και προηγουμένως, της εξέλιξης μιας συνάρτησης - που μοιάζει με ενέργεια του συστήματος - επι της τροχιάς του συστήματος. Για το σύστημα θεωρούμε μία συνάρτηση n V. : που είναι θετικά ορισμένη σε μία τουλάχιστον γειτονιά του 0 ΣΙ, δηλ. 0 V x 0 x 0, V x 0 x 0 x x και VC δηλ. παντού στο πεδίο ορισμού της είναι συνεχώς παραγωγίσιμη x1 x V V V V V V V V,,, n n x x x x x xn x x xn 2 x V x x x V x x x x x x x x x x x x x f x n n Ευθεία Μέθοδος Lyapunov: είναι μία (μόνο) ικανή συνθήκη. Το ΣΙ είναι: Ευσταθές, αν η Vx είναι Lyapunov, δηλ. η Vx είναι αρνητικά ημιορισμένη σε μία τουλάχιστον γειτονιά του ΣΙ, δηλ. 0V x 0 x x Ασυμπτωτικά Ευσταθής, αν η Vx είναι αρνητικά ορισμένη σε μία τουλάχιστον γειτονιά του ΣΙ, δηλ. 0V x 0 x x Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 57

58 Ανάλυση Ευστάθειας κατά Lyapunov : ΓΧΑΣ Στη περίπτωση ΓΧΑΣ αν υιοθετηθεί ως υποψήφια n T Lyapunov η τετραγωνική μορφή V x x P x pij xi x j, τότε η γενική i, j1 μορφή της χρονικής παραγώγου της γίνεται : V x Παράρτημα V x x f x 2x T P Ax x T PAx x T PAx x T A T Px x T PAx x T A T P P A x Επομένως,σύμφωνα με τα προηγούμενα, για να είναι αυτή η τετραγωνική T μορφή αρνητικά ορισμένη θα πρέπει A P PA : αρνητικά ορισμένος. nn T Θεώρημα: Q : Q Q 0η Μητρωική Εξίσωση Lyapunov T (Lyapunov Matrix Equation -LΜΕ) A P P A Q έχει μία μοναδική T λύση PP. 0, αν και μόνο αν Rei 0 i A nn Ο πίνακας P είναι συμμετρικός επομένως θα εμπεριέχει n = = n(n+1)/2 άγνωστους παράγοντες. nn Αυτοί, επειδή ο πίνακας Q είναι συμμετρικός, θα ευρεθούν από τις n = n(n+1)/2 ανεξάρτητες εξισώσεις που υπάρχουν στην LME. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 58

59 Ανάλυση Ευστάθειας ΓΧΑΣ κατά Lyapunov : Παράδειγμα Αν τότε, έχουμε δηλαδή 2 (2+1) / 2 = = 3 αγνώστους. Αν Q = Ι, η LME είναι : T A P P A Q Έχουμε δηλαδή 2 (2+1) / 2 = 3 αγνώστους, τους p 11, p 12, p 22 που ευρίσκονται από την «αναδόμιση» της LME ως: Καταλήγουμε έτσι στον Το κριτήριο Sylvester δίνει ότι P > 0 γιατί Επομένως ο Α είναι ασυμπτωτικά ευσταθής, πράγμα που πιστοποιείται από τό ότι το έχει Χ.Ε.: και ιδιοτιμές Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 59

60 Εκθετική Ευστάθεια ΓΧΑΣ Παρόλο που στη γενική (μη-γραμμική) περίπτωση η εκθετική και η ασυμπτωτική ευστάθεια ΔΕΝ είναι ισοδύναμες, στη περίπτωση των ΓΧΑΣ είναι. Αυτό είναι αναμενόμενο γιατί αν ο πίνακας Α έχει ιδιοτιμές με αρνητικό πραγματικό μέρος, αυτό αντιστοιχεί σε εκθετική σύγκλιση στο 0. T T T Αν V x x P x τότε V x x A P P A x και αν στην LME T A. P P A Q επιλέξουμε Q = I τότε με χρήση της ανισότητας Rayliegh-Ritz T 1 T 1 1 max P max P max P Η ΔΕ V x x x x P x V x w t V x t V x t 0 t 0 έχει τη μοναδική λύση Μη-θετικός όρος Και κατά συνέπεια Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 60

61 Εκθετική Ευστάθεια ΓΧΑΣ Εφαρμόζοντας και πάλι την ανισότητα Rayliegh-Ritz Επειδή P 0 P 0 min T και x x x x 2 Διαιρώντας την ανίσωση κατά μέλη με P παίρνουμε min 0 Η Εκθετική Ευστάθεία απαιτεί Μέχρι στιγμής έχουμε προσεγγίσει την «εσωτερική ευστάθεια»: Αναλύθηκε η συμπεριφορά της «απόκρισης μηδενικής εισόδου» Τώρα θα προσεγγίσουμε την «εξωτερική ευστάθεια» : Εξετάζεται αν η «απόκριση μηδενικής αρχικής κατάστασης» είναι φραγμένη αν το σύστημα διεγείρεται από φραγμένο σήμα εισόδου. t, 0 x t e x x 0 x, t Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 61

62 Ευστάθεια τύπου: «Φραγμένης Εισόδου Φραγμένης Εξόδου» Ευστάθεια Φραγμένη Εισόδου Φραγμένης Εξόδου (Bounded Input Bounded Output BIBO Stability): είδος εξωτερικής ευστάθειας Εξετάζεται αν η «απόκριση μηδενικής αρχικής κατάστασης» είναι φραγμένη αν το σύστημα διεγείρεται από φραγμένο σήμα εισόδου. Ορισμός: Το ΓΧΑΣ είναι ΒΙΒΟ ευσταθές αν υπάρχει πεπερασμένη σταθερά η τέτοια ώστε για κάθε είσοδο u(t) η έξοδος ικανοποιεί την Max/sup Θεώρημα: Το ΓΧΑΣ είναι ΒΙΒΟ ευσταθές αν και μόνο αν ο πίνακας κρουστικής απόκρισης At H t C e B D t. ικανοποιεί την ανίσωση Νόρμες Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 62

63 Παράδειγμα: Ευστάθεια Ασυμπτωτική και ΒΙΒΟ Εστω το ΓΧΑΣ : που έχει ΧΠ: Το ΓΧΑΣ δεν είναι ασυμπτωτικά ευσταθές Αυτό μπορεί να φανεί και από τον πίνακα μεταβατικής απόκρισης: Και για την ΣΜ : Η απαλοιφή των πόλων οφείλεται στο ότι το σύστημα είναι... ΒΙΒΟ Ευσταθές Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 63

64 Παράδειγμα: Ευστάθεια Ασυμπτωτική και ΒΙΒΟ T B P A, B rank P 1 A rank Q 2 Q A, C C Μη (πλήρως) Ελέγξιμο Παρατηρήσιμο Επειδή έγινε απαλοιφή του ασταθούς πόλου, ενώ το σύστημα είναι εσωτερικά ασταθές εμφανίζεται να είναι BIBO-ευσταθές... At x zi zi 0 Αν τότε T y t C x t C e x e t Επίσης αν u(t)=1 τότε Yzs s H s yzs t 1 e s s s 1 Το οποίο είναι φανερό ότι αποκλείνει, επειδή το σύστημα είναι εσωτερικά ασταθές... Προσοχή λοιπόν στην απαλοιφή πόλων... t Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 64

65 Σχέση Ασυμπτωτικής και ΒΙΒΟ Ευστάθειας Θεώρημα: Για το ΓΧΑΣ : 1. Ασυμπτωτική ευστάθεια πάντοτε συνεπάγεται ΒΙΒΟ-ευστάθεια. 2. Εάν το σύστημα είναι «ελάχιστης παράστασης» (minimal) τότε η ΒΙΒΟευστάθεια συνεπάγεται ασυμπτωτική ευστάθεια. Η έννοια του minimality σχετίζεται με την απαλοιφή πόλων-μηδενιστών, κάτι που προκαλεί πρόβλημα ιδιαίτέρως όταν είναι ασταθείς... Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 65

66 Παράρτημα: Θετικά Ορισμένοι Πίνακες T Η τετραγωνική μορφή V x x P x pij xi x j είναι θετικά ορισμένη n i, j1 (positive definite) για κάθε x αν και μόνο αν ο πίνακας P είναι ένας θετικά ορισμένος συμμετρικός πίνακας (συμβολίζεται P > 0). O n n T P, P P (συμμετρικός) είναι θετικά ορισμένος αν και μόνο αν έχει ιδιοτιμές πραγματικές και θετικές, δηλ. A, ή Κριτήριο Sylvester: ισχύει για τις υποορίζουσες n i i Παρατηρούμε ότι αν τότε Ανισότητα Rayliegh- Ritza Ένας πίνακας Q είναι αρνητικά ορισμένος αν και μόνο αν ο πίνακας Q είναι θετικά ορισμένος Από τη δομή (τον ορισμό) της Vx συνάγεται ότι: V 2 x T P x T Αν P P τότε δεδομένου ότι η τετραγωνική μορφή είναι βαθμωτή, ισχύει: T Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ T T T T T 66 x A P x x A P x x P A x

67 Παράρτημα: Maximum vs Supremum Ένα διανυσματικό «σήμα» (δηλ. συνάρτηση στο χρόνο) u(t) είναι φραγμένο άν υπάρχει πεπερασμένη, θετική σταθερά ν τέτοια ώστε u t t Αν υπάρχει ένα τέτοιο ανω φράγμα, το ελάχιστο άνω φράγμα (supremum) αναπαρίσταται ως Προφανώς, αν δεν υπάρχει ένα τέτοιο φράγμα, τότε Πρέπει να επισημανθεί η σαφής διάκριση μεταξύ supremum και maximum της u(t) : Στο πεδίο ορισμού της 0, κάποια στιγμή πρέπει να πάρει ως τιμή το maximum αν υπάρχει, ενώ το supremumείναι απλά ένα όριο... 0 Παράδειγμα: Η συνάρτηση είμαι γνήσίως αύξουσα σε όλο το πεδίο ορισμού της 0, και δεν έχει maximum. Όμως: Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ ΒΙΒΟ 67

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://) Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (h>p://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή της Ύλης του Μαθήματος Εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://courseware.mech.ntua.gr/ml23147/)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://courseware.mech.ntua.gr/ml23147/) Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://courseware.mech.ntua.gr/ml23147/) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (h>p://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (hhp://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή της Ύλης του Μαθήματος Εισαγωγή στο Χώρο

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://) Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (h>p://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή της Ύλης του Μαθήματος Εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

2. Ανάλυση Γραμμικών Χρονικά Αμετάβλητων Συστημάτων (ΓΧΑΣ) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1

2. Ανάλυση Γραμμικών Χρονικά Αμετάβλητων Συστημάτων (ΓΧΑΣ) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 2. Ανάλυση Γραμμικών Χρονικά Αμετάβλητων Συστημάτων (ΓΧΑΣ) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Επίλυση Εξισώσεων Κατάστασης Δεδοµένου του ΓΧΑΣ nn nm pn pm όπου A R B R C R D R Τίθεται το ζήτηµα της επίλυσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Ψηφιακά Σ.Α.Ε: Περιγραφή στο Χώρο Κατάστασης Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Περιγραφή και Ανάλυση Συστημάτων Ελέγχου στο Χώρο Κατάστασης Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://) Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (h>p://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή της Ύλης του Μαθήματος Εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΙ Τμήμα Μαθηματικών - Τομέας Υπολογιστών & Αριθμητικής Ανάλυσης Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 2016

ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΙ Τμήμα Μαθηματικών - Τομέας Υπολογιστών & Αριθμητικής Ανάλυσης Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 2016 ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΙ Τμήμα Μαθηματικών - Τομέας Υπολογιστών & Αριθμητικής Ανάλυσης Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 016 Θέμα 1. α) (Μον.1.5) Αποδείξτε ότι αν το σύστημα στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Θεωρία Δικτύων

Μάθημα: Θεωρία Δικτύων Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχ/κών και Μηχ/κών Υπολογιστών, Ε.Μ.Π., Ακαδημαϊκό Έτος 7-8, 5ο Εξάμηνο Μάθημα: Θεωρία Δικτύων Ανάλυση Ευσταθείας Κων/νος Τζαφέστας Τομέας Σημάτων, Ελέγχου & Ρομποτικής Σχολή Ηλεκτρ.

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο 6 Nicola Tapaouli Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 5: Ενότητες 5.-5. Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (http://)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (http://) Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (http://) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (http://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή της Ύλης του Μαθήματος Εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Ευστάθεια Ελεγξιµότητα - Παρατηρησιµότητα

Κεφάλαιο 5 Ευστάθεια Ελεγξιµότητα - Παρατηρησιµότητα Κεφάλαιο 5 Ευστάθεια Ελεγξιµότητα - Παρατηρησιµότητα u Συστήµατα από Δειγµατοληπτικά Δεδοµένα (Επανάληψη Ασκήσεις) u Στο πεδίο Συχνότητας (Συναρτήσεις Μεταφορά) u Στο πεδίο Χρόνου (Εξισώσεις Κατάστασης)

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (http://)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (http://) Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (http://) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (http://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή της Ύλης του Μαθήματος Εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Ευστάθεια Ελεγξιµότητα - Παρατηρησιµότητα

Κεφάλαιο 5 Ευστάθεια Ελεγξιµότητα - Παρατηρησιµότητα Κεφάλαιο 5 Ευστάθεια Ελεγξιµότητα - Παρατηρησιµότητα u u u u Ευστάθεια Ευστάθεια κατά Lyapunov Ασυµπτωτική Ευστάθεια Κριτήρια Ευστάθειας Ελεγξιµότητα Παρατηρησιµότητα Επίδραση της Δειγµατοληψίας στην Ελεγξιµότητα

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Παράδειγμα 1 Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με _ + Σχήμα 1 στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Α) Γράψτε το σύστημα ευθέως κλάδου σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση: Ένα σύστηµα µε είσοδο u(t), έξοδο y(t) και διάνυσµα κατάστασης x(t) = (x 1 (t) x 2 (t)) T περιγράφεται από το ακόλουθο διάγραµµα:

Άσκηση: Ένα σύστηµα µε είσοδο u(t), έξοδο y(t) και διάνυσµα κατάστασης x(t) = (x 1 (t) x 2 (t)) T περιγράφεται από το ακόλουθο διάγραµµα: 1 Άσκηση: Ένα σύστηµα µε είσοδο u(t), έξοδο y(t) και διάνυσµα κατάστασης x(t) = (x 1 (t) x 2 (t)) T περιγράφεται από το ακόλουθο διάγραµµα: Όπου Κ R α) Να βρεθεί η περιγραφή στο χώρο κατάστασης και η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II Ενότητα #8: Χώρος Κατάστασης: Μεταβλητές, Εξισώσεις, Κανονικές Μορφές Δημήτριος Δημογιαννόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ. Άσκηση. γραμμάτων του επιθέτου σας (π.χ. για το επίθετο Κοσματόπουλος, οι αριθμοί α ι θα είναι a

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ. Άσκηση. γραμμάτων του επιθέτου σας (π.χ. για το επίθετο Κοσματόπουλος, οι αριθμοί α ι θα είναι a Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Άσκηση Θεωρείστε το σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς: Y ( s) a s 4 3 a3s a U ( s) s a όπου οι αριθμοί α ι αντιστοιχούν στους αντίστοιχους αριθμούς των 4 πρώτων γραμμάτων του

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην

Διαβάστε περισσότερα

x (t) u (t) = x 0 u 0 e 2t,

x (t) u (t) = x 0 u 0 e 2t, Κεφάλαιο 7 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ Η ευαισθησία της λύσης μιας ΔΕ σε μεταβολές της αρχικής τιμής είναι έ- να θεμελιώδες ζήτημα στη θεωρία αλλά και στις εφαρμογές των διαφορικών εξισώσεων. Παράδειγμα 7.0.3.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Χώρος Κατάστασης. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Χώρος Κατάστασης. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Χώρος Κατάστασης Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Από τις Καταστατικές Εξισώσεις στη Συνάρτηση Μεταφοράς bx x y bx I X b I Y Καταστατικές

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών : Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών : Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών : Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (hip://users.tua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ Βασικές Έννοιες Πινάκων

Διαβάστε περισσότερα

Ζητείται να εξεταστεί η ευστάθειά του κατά BIBO. Η κρουστική απόκριση του συστήματος είναι L : =

Ζητείται να εξεταστεί η ευστάθειά του κατά BIBO. Η κρουστική απόκριση του συστήματος είναι L : = . Δίνεται το ΓΧΑ σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς ++2 Ζητείται να εξεταστεί η ευστάθειά του κατά BIBO. Λύση : Α) +3 +2 ++2 2 + + 2+2 Η κρουστική απόκριση του συστήματος είναι L : 2 + 2 H είναι φραγμένη καθώς.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 8 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 8 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό

Διαβάστε περισσότερα

,..., xn) Οι συναρτήσεις που ορίζουν αυτό το σύστημα υποτίθενται παραγωγίσιμες με συνεχείς παραγώγους:

,..., xn) Οι συναρτήσεις που ορίζουν αυτό το σύστημα υποτίθενται παραγωγίσιμες με συνεχείς παραγώγους: ΜΑΘΗΜΑ 6 ο : ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ (ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ LYAPUNOV) O Aleksadr Lyapuv (857-98) έθεσε τις βάσεις της μαθηματικής θεωρίας της ευστάθειας που φέρει το όνομά του εμπνευσμένος από μια απλή

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦ.6:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ

ΚΕΦ.6:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΕΦ:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Τετραγωνικές μορφές: Συναρτήσεις με τύπο Q ν α ι j j, j [ ] ν α α ν αν α νν ν Τ Χ ΑΧ Για παράδειγμα εάν v Q α + α + α + α α + α + α + α δηλ a a a a α + α + α

Διαβάστε περισσότερα

(1) L{a 1 x 1 + a 2 x 2 } = a 1 L{x 1 } + a 2 L{x 2 } (2) x(t) = δ(t t ) x(t ) dt x[i] = δ[i i ] x[i ] (3) h[i, i ] x[i ] (4)

(1) L{a 1 x 1 + a 2 x 2 } = a 1 L{x 1 } + a 2 L{x 2 } (2) x(t) = δ(t t ) x(t ) dt x[i] = δ[i i ] x[i ] (3) h[i, i ] x[i ] (4) Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΗΥ240: Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων Γραμμικά χρονικά μεταβαλλόμενα συστήματα Συνάρτηση συστήματος Ένα σύστημα L απεικονίζει κάθε σήμα εισόδου x σε ένα σήμα εξόδου y, δηλ., συνεχής

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα Β: Ευστάθεια Συστήματος (Α Μέρος) Όνομα Καθηγητή: Ραγκούση Μαρία Τμήμα: Ηλεκτρονικών Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια

Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια 6 Nicol Tptouli Ευστάθεια και θέση πόλων Σ.Α.Ε ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Η Βασική Δομή Συστημάτων Ελέγχου Κίνησης

Η Βασική Δομή Συστημάτων Ελέγχου Κίνησης Η Βασική Δομή Συστημάτων Ελέγχου Κίνησης Σύστημα ονομάζουμε ένα σύνολο στοιχείων κατάλληλα συνδεδεμένων μεταξύ τους για να επιτελέσουν κάποιο έργο Είσοδο ονομάζουμε τη διέγερση, εντολή ή αιτία η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω σύστηµα µε είσοδο βηµατική συνάρτηση δηλαδή () =(). (3)

Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω σύστηµα µε είσοδο βηµατική συνάρτηση δηλαδή () =(). (3) Παράδειγµα 1: Έστω ένα σύστηµα που περιγράφεται από τη διαφορική εξίσωση () +2 () 29 () +42()=() (1) µε µηδενικές αρχικές συνθήκες. (δηλαδή ()(0) = () (0)=()(0)=0) (2) Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Λογισμό των Μεταβολών : Βελτιστοποίηση σε Πεπερασμένες Διαστάσεις & Ισοτικοί Περιορισμοί

Εισαγωγή στο Λογισμό των Μεταβολών : Βελτιστοποίηση σε Πεπερασμένες Διαστάσεις & Ισοτικοί Περιορισμοί Βελτιστοποίηση σε Πεπερασμένες Διαστάσεις & Ισοτικοί Περιορισμοί Τι θα γίνει όμως αν μας ζητηθεί να ελαχιστοποιήσουμε ως προς το R την f ( ) = Q + S Q = Q = S = με ταυτόχρονη ικανοποίηση της g( ) = c b

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Κίνησης

Έλεγχος Κίνησης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα 1501 - Έλεγχος Κίνησης Ενότητα: Συστήματα Ελέγχου Κίνησης Μιχαήλ Παπουτσιδάκης Τμήμα Αυτοματισμού Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου με χρήση Αλγεβρικών Τεχνικών

Σχεδίαση Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου με χρήση Αλγεβρικών Τεχνικών ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Σχεδίαση Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου με χρήση Αλγεβρικών Τεχνικών (Συνοπτικές σημειώσεις με παραδείγματα) ( Επίκουρος Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Δυναµική των Ροµποτικών Βραχιόνων. Κ. Κυριακόπουλος

Δυναµική των Ροµποτικών Βραχιόνων. Κ. Κυριακόπουλος Δυναµική των Ροµποτικών Βραχιόνων Κ. Κυριακόπουλος Ροµποτική Αρχιτεκτονική: η Δυναµική Περιβάλλον u Ροµποτική Δυναµική q,!q Ροµποτική Κινηµατική Θέση, Προσανατολισµός και αλληλεπίδραση Η δυναµική ασχολείται

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://courseware.mech.ntua.gr/ml23147/)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://courseware.mech.ntua.gr/ml23147/) Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://courseware.mech.ntua.gr/ml23147/) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (h>p://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 9 Ιουνίου (διάρκεια ώρες και λ) Διαβάστε προσεκτικά και απαντήστε

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικά Συστήματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικό Σύστημα a11x1 + a12x2 + + a1 nxn = b1 a x + a x + +

Διαβάστε περισσότερα

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β.

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Η έννοια της ακολουθίας Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Δηλαδή: f : A B Η ακολουθία είναι συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμοί (Σημείο ισορροπίας - Ευστάθεια κατά Lyapunov)

Ορισμοί (Σημείο ισορροπίας - Ευστάθεια κατά Lyapunov) Ορισμοί (ημείο ισορροπίας - Ευστάθεια κατά Lyapuo) Έστω ότι στη γενική περίπτωση το σύστημα περιγράφεται στο χώρο κατάστασης με το μαθηματικό πρότυπο: = f(, t), (t 0 ) = 0 () όπου είναι ένα διάστατο διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔ ΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Μεθοδολογία Κλεομένης Γ. Τσιγάνης Λέκτορας ΑΠΘ Πρόχειρες

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις διαλέξεων: Βελτιστοποίηση πολυδιάστατων συνεχών συναρτήσεων 1 / 20

Σημειώσεις διαλέξεων: Βελτιστοποίηση πολυδιάστατων συνεχών συναρτήσεων 1 / 20 Σημειώσεις διαλέξεων: Βελτιστοποίηση πολυδιάστατων συνεχών συναρτήσεων Ισαάκ Η Λαγαρής 1 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιον Ιωαννίνων 1 Με υλικό από το υπό προετοιμασία βιβλίο των: Βόγκλη,

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Ο Μετασχηματισμός Ζ. Ανάλυση συστημάτων με το μετασχηματισμό Ζ

Ο Μετασχηματισμός Ζ. Ανάλυση συστημάτων με το μετασχηματισμό Ζ Ο Μετασχηματισμός Ζ Ανάλυση συστημάτων με το μετασχηματισμό Ζ Ο μετασχηματισμός Z (Ζ-Τransform: ZT) χρήσιμο μαθηματικό εργαλείο για την ανάλυση των διακριτών σημάτων και συστημάτων αποτελεί ό,τι ο μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12, ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Συστήματα Επιμέλεια: Πέτρος Π. Γρουμπός, Καθηγητής Γεώργιος Α. Βασκαντήρας, Υπ. Διδάκτορας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Τεχνολογίας Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Μετασχηματισμός Fourier Στο κεφάλαιο αυτό θα εισάγουμε και θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα 1. με επαυξημένο 0 1 1/ 2. πίνακα. και κλιμακωτή μορφή αυτού

Θέμα 1. με επαυξημένο 0 1 1/ 2. πίνακα. και κλιμακωτή μορφή αυτού ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ Ιουλίου 0 Θέμα α) (Μον.6) Να βρεθεί η τιμή του πραγματικού

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

Δίνεται το σύστημα μιας εισόδου και μιας εξόδου, το οποίο περιγράφεται από τις κάτωθι εξισώσεις:,, πίνακας,

Δίνεται το σύστημα μιας εισόδου και μιας εξόδου, το οποίο περιγράφεται από τις κάτωθι εξισώσεις:,, πίνακας, Παράδειγμα 3.2(Επίλυση συστήματος Jordan) Δίνεται το σύστημα μιας εισόδου και μιας εξόδου, το οποίο περιγράφεται από τις κάτωθι εξισώσεις: Όπου,, πίνακας, Να λυθεί το σύστημα με είσοδο τη συνάρτηση Επίλυση

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές έννοιες. Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Προβλήματα εύρεσης μεγίστου. Συμβολισμοί

Εισαγωγικές έννοιες. Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Προβλήματα εύρεσης μεγίστου. Συμβολισμοί Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Εισαγωγικές έννοιες Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc164.materials.uoi.gr/dpapageo Το πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Ευστάθεια Συστημάτων Ελέγχου Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

3. Γραμμικά Συστήματα

3. Γραμμικά Συστήματα 3. Γραμμικά Συστήματα Ασκήσεις 3. Αποδείξτε ότι το γινόμενο δύο άνω τριγωνικών πινάκων είναι άνω τριγωνικός πίνακας. Επίσης, στην περίπτωση που ένας άνω τριγωνικός πίνακας U 2 R n;n είναι αντιστρέψιμος,

Διαβάστε περισσότερα

(είσοδος) (έξοδος) καθώς το τείνει στο.

(είσοδος) (έξοδος) καθώς το τείνει στο. Υπενθυμίζουμε ότι αν ένα σύστημα είναι ευσταθές, τότε η απόκριση είναι άθροισμα μίας μεταβατικής και μίας μόνιμης. Δηλαδή, αν το σύστημα είναι ευσταθές όπου και Είθισται, σε ένα σύστημα αυτομάτου ελέγχου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 2: Επίλυση συστημάτων εξισώσεων. 2.1 Επίλυση εξισώσεων

Κεφ. 2: Επίλυση συστημάτων εξισώσεων. 2.1 Επίλυση εξισώσεων Κεφ. : Επίλυση συστημάτων εξισώσεων. Επίλυση εξισώσεων. Επίλυση συστημάτων με απευθείας μεθόδους.. Μέθοδοι Gauss, Gauss-Jorda.. Παραγοντοποίηση LU (ειδικές περιπτώσεις: Cholesky, Thomas).. Νόρμες πινάκων,

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές

Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές Ενότητα 2: Ανασκόπηση Στοιχείων Γραμμικής Άλγεβρας Καθηγητής Κώστας Μπερμπερίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Σκοποί ενότητας Παρουσίαση/υπενθύμιση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

Ευστάθεια συστημάτων

Ευστάθεια συστημάτων 1. Ευστάθεια συστημάτων Ευστάθεια συστημάτων Κατά την ανάλυση και σχεδίαση ενός συστήματος αυτομάτου ελέγχου, η ευστάθεια αποτελεί έναν πολύ σημαντικό παράγοντα και, γενικά, είναι επιθυμητό να έχουμε ευσταθή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 8 Νοεμβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Ιανουαρίου 0 Οι ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R ΟΕΦΕ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέμα Α Α Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ν ν και ισχύει f ν f, νν-{,} είναι παραγωγίσιμη στο R

Διαβάστε περισσότερα

D = / Επιλέξτε, π.χ, το ακόλουθο απλό παράδειγμα: =[IA 1 ].

D = / Επιλέξτε, π.χ, το ακόλουθο απλό παράδειγμα: =[IA 1 ]. 4. Φυλλάδιο Ασκήσεων IV σύντομες λύσεις, ενδεικτικές απαντήσεις πολλαπλής επιλογής 4.. Άσκηση. Χρησιμοποιήστε τη διαδικασία Gauss-Jordan γιά να βρείτε τους αντιστρόφους των παρακάτω πινάκων, αν υπάρχουν.

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ( 8 µον.) Η άσκηση αυτή αναφέρεται σε διαιρετότητα και ρίζες πολυωνύµων. a. Να λυθεί η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 5: Το γραμμικό τετραγωνικό πρόβλημα ρύθμισης (LQ Regulators) Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 20. Παρατηρητής Κατάστασης Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΡΟΜΠΟΤΙΚΟΥ ΒΡΑΧΙΟΝΑ ΜΕ ΕΞΑΣΦΑΛΙΣΗ ΠΡΟΚΑΘΟΡΙΣΜΕΝΗΣ ΕΠΙΔΟΣΗΣ ΣΤΟ ΣΦΑΛΜΑ ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΗΣΗΣ ΤΡΟΧΙΑΣ ΣΤΙΣ ΑΡΘΡΩΣΕΙΣ.

ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΡΟΜΠΟΤΙΚΟΥ ΒΡΑΧΙΟΝΑ ΜΕ ΕΞΑΣΦΑΛΙΣΗ ΠΡΟΚΑΘΟΡΙΣΜΕΝΗΣ ΕΠΙΔΟΣΗΣ ΣΤΟ ΣΦΑΛΜΑ ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΗΣΗΣ ΤΡΟΧΙΑΣ ΣΤΙΣ ΑΡΘΡΩΣΕΙΣ. ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΡΟΜΠΟΤΙΚΟΥ ΒΡΑΧΙΟΝΑ ΜΕ ΕΞΑΣΦΑΛΙΣΗ ΠΡΟΚΑΘΟΡΙΣΜΕΝΗΣ ΕΠΙΔΟΣΗΣ ΣΤΟ ΣΦΑΛΜΑ ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΗΣΗΣ ΤΡΟΧΙΑΣ ΣΤΙΣ ΑΡΘΡΩΣΕΙΣ. Όλγα Ζωίδη, Ζωή Δουλγέρη Εργαστήριο Αυτοματοποίησης και Ρομποτικής Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace ορίζεται από το μιγαδικό ολοκλήρωμα : + +

Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace ορίζεται από το μιγαδικό ολοκλήρωμα : + + Μετασχηματισμός aplace ορίζεται ως εξής : t X() [x( t)] xte () dt = = Ο αντίστροφος μετασχηματισμός aplace ορίζεται από το μιγαδικό ολοκλήρωμα : t x(t) = [ X()] = X() e dt π j c C είναι μία καμπύλη που

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX Θεμελιώδης αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού που κάνει χρήση της θεωρίας της Γραμμικής Άλγεβρας Προτάθηκε από το Dantzig (1947) και πλέον

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ [Κεφ..6: Μη Πεπερασμένο Όριο στο R - Κεφ..7: Όρια Συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου εαρινού εξαμήνου (Ιούνιος 2015)

Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου εαρινού εξαμήνου (Ιούνιος 2015) Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου εαρινού εξαμήνου 204 5 (Ιούνιος 205) ΘΕΜΑ Ο (4,0 μονάδες) Στο παρακάτω σχήμα δίνεται το δομικό (λειτουργικό) διάγραμμα ενός συστήματος. α. Να προσδιοριστούν οι τιμές

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 4 Ιουνίου 009 Θέμα (0 μονάδες) α) (7 μον) Για τις διάφορες τιμές του k R, να λυθεί το σύστημα y+ kz =

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΑ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗ. ΈΈστω ένα φυσικό σύστημα που περιγράφεται σε γενικευμένες συντεταγμένες από την Λαγκρανζιανή συνάρτηση

ΣΗΜΕΙΑ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗ. ΈΈστω ένα φυσικό σύστημα που περιγράφεται σε γενικευμένες συντεταγμένες από την Λαγκρανζιανή συνάρτηση ΣΗΜΕΙΑ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΈΈστω ένα φυσικό σύστημα που περιγράφεται σε γενικευμένες συντεταγμένες από την Λαγκρανζιανή συνάρτηση. Ο πίνακας Μ μπορεί να ληφθεί χωρίς καμμία έλλειψη γενικότητας ως

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Χρονική Απόκριση Συστημάτων 2 ης Τάξης

Δυναμική Μηχανών I. Χρονική Απόκριση Συστημάτων 2 ης Τάξης Δυναμική Μηχανών I 5 5 Χρονική Απόκριση Συστημάτων 2 ης Τάξης 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος 6/6/06 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 0 Δίνεται ο πίνακας A =. Nα υπολογίσετε την βαθμίδα του και να βρείτε τη διάσταση και από μία βάση α) του μηδενοχώρου

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50

Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50 Αριθµητική Γραµµική Αλγεβρα Κεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ΕΚΠΑ 2 Απριλίου 205 Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και205

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Εξετάσεων Ιουνίου 2003 στο μάθημα Σήματα και Συστήματα και Λύσεις

Θέματα Εξετάσεων Ιουνίου 2003 στο μάθημα Σήματα και Συστήματα και Λύσεις Θέματα Εξετάσεν Ιουνίου 00 στο μάθημα Σήματα και Συστήματα και Λύσεις ΘΕΜΑ. μονάδες Έστ το αιτιατό σύστημα d y t y t x t d t όπου x t η είσοδος και y t η έξοδος του συστήματος. α Να υπολογιστεί η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE 6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE Σκοπός του κεφαλαίου είναι να ορίσει τον αμφίπλευρο μετασχηματισμό aplace ή απλώς μετασχηματισμό aplace (Μ) και το μονόπλευρο μετασχηματισμό aplace (ΜΜ), να περιγράψει

Διαβάστε περισσότερα

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ HY3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ Π. ΤΣΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Τα σφάλματα

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://) Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (h>p://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή της Ύλης του Μαθήματος Εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Νίκος Ζανταρίδης (Φροντιστήριο Πυραμίδα) ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ένα γενικό θέμα Ανάλυσης Χρήσιμες Προτάσεις Ασκήσεις για λύση Μικρό βοήθημα για τον υποψήφιο μαθητή της Γ Λυκείου λίγο πριν τις εξετάσεις Απρίλιος

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές Δυναμική Μηχανών I Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις 5 3 Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 206 Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης εξισώσεων διαφορών. Oι εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων

Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων 11 1 i) ii) 1 1 1 0 1 1 0 0 0 x = 0 x +x 4 +x 5 = x = 1 Λύνοντας ως προς x και στη συνέχεια ως προς x 4, ϐρίσκουµε ότι η γενική λύση του συστήµατος είναι η 5άδα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΩΝ ΓΝΩΣΕΩΝ: ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΩΝ ΓΝΩΣΕΩΝ: ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΩΝ ΓΝΩΣΕΩΝ: ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ Ως γνωστό δείγμα είναι ένα σύνολο παρατηρήσεων από ένα πληθυσμό. Αν ο πληθυσμός αυτός θεωρηθεί μονοδιάστατος τότε μπορεί να εκφρασθεί με τη συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενότητα : ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ζ (ΖTransform)

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενότητα : ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ζ (ΖTransform) ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ζ (ΖTransform) Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transfer function) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ

Διαβάστε περισσότερα