1. ELEMENTI LOGIKE I TEORIJE SKUPOVA IZJAVE, VEZNICI, KVANTIFIKATORI

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1. ELEMENTI LOGIKE I TEORIJE SKUPOVA IZJAVE, VEZNICI, KVANTIFIKATORI"

Πολυδεύκης Μακάριος Μανωλάς
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Geodetsi fultet, dr. sc. J. eb-rić Predvj iz Mtemtie. ELEMETI LOGIKE I TEORIJE KUPOV IZJVE, VEZICI, KVTIFIKTORI eolio riječi o mtemtičoj logici. Upotrebljvt ćemo pojmove mtemtiče logie li se ećemo jom smom previše bviti. Poed se mtemtič logi ziv-simboličom. imboliči rču je tehi ojom jso možemo i hoćemo zpisivti defiicije, tvrdje i doze. Osim tog, tj simboliči rču-logi je i sm sebi svrh: bez logičog mišljej em e smo isprvog mtemtičog ego iti bilo ojeg drugog zljučivj. Potrebi pojmovi: izjve, vezici, vtifitori Izjv sud - osovi pojm mtemtiče logie - ije sv smisle rečeic izjv - s zimju smislee rečeice ojim se što izjvljuje ili tvrdi Defiicij. Izjve sudovi su rečeice z oje se može utvrditi iszuje li se jim isti ili lž. Primjeri rečeic: Moje rčulo im 28 M RM-. roj dvest je veći od broj deset. Imm tri rue. U ovoj prostoriji im 200 studet. U ovoj prostoriji im između 80 i 20 studet. Gld sm. Obrzložite zbog čeg ee od vedeih rečeic e smtrmo izjvm. Elemetre izjve Jedostve izjve ojim uvije možemo utvrditi istiitost. Pomoću logičih opercij vezi grdimo složeije izjve. Izjve bilo elemetre ili složee ozčvt ćemo slovim,, C,, itd. Vezici: - egcij - o je izjv istiit, od je izjv lž i obruto - čitj: o ili ije & - ojucij - o su i izjve, od je & ili ov, slože izjv - izjv & će biti istiit o su i istiite izjve - čitj: i

2 Geodetsi fultet, dr. sc. J. eb-rić Predvj iz Mtemtie - disjucij - o su i izjve, od je ov, slože izjv oj će biti istiit o je brem jed od početih izjv istiit - čitj ili - implicij - slože izjv će biti lž smo u slučju d iz istie slijedi lž, tj. o je istiit, lž izjv - čitj implicir ili iz slijedi ili o je, od je ili je dovolj uvjet z ili je už uvjet z - evivlecij - izjv je istiit o su obje izjve ili istiite ili lže - čitj je evivleto ili je už i dovolj uvjet z ili je od i smo od, o je Primjeri složeih izjv! Kvtifitori: e je Px izjv oj se odosi x. - svi x Px čitj: z svi x vrijedi izjv Px ili z svi x je Px - postoji x Px čitj: postoji x z oji vrijedi Px! - postoji jed jedii! x Px čitj: postoji jed jedii x z oji je Px Upotrebljvt ćemo i jihove ombicije: - z svi postoji - postoji z svi KUPOVI Pojm sup se e defiir, već se opisuje. Primjeri supov: up sli izložbi. up studet u predvoici. up prih prirodih brojev. up rješej jeddžbe x 2 5x 6 0. up istostrih trout rvie. Oze:,, C,, itd. supovi, b, c,, itd. elemeti sup 2

3 Geodetsi fultet, dr. sc. J. eb-rić Predvj iz Mtemtie Relcije među supovim iti elemet" - oz: - zpis čitmo je elemet sup - egciju zpisujemo i čitmo ije elemet sup Jedost supov - supovi i su jedi o sdrže iste elemete - jedost supov zpisujemo - simboliči zpis: x x x - o dv sup isu jed zpisujemo Podsup - oz: - sup je podsup sup o je svi elemet sup ujedo i elemet sup - zpis čitmo je podsup od ili je sdrž u - simboliči zpis: x x x - zpis se oristi o se želi istći mogućost jedosti supov i - svojstv relcije, odoso :. 2. & C C 3. & Zdvje podsupov e je ei sup, Px o svojstvo elemet tog sup. vi elemeti iz oji imju svojstvo Px tvore jed podsup sup. Tv podsup ozčvmo s { x Px}, i čitmo: je sup svih x iz oji imju svojstvo Px Z više iformcij vidi []. Prz sup Primjeri! - oz: - sup oji em iti jed elemet - podsup je svog sup Opercije s supovim e je zd sup i e su i jegovi podsupovi. Defiirmo opercije - uij supov: { x x je sdrž ili u ili u }, ili simboliči 3

4 Geodetsi fultet, dr. sc. J. eb-rić Predvj iz Mtemtie { x x x } - presje supov: { x x je sdrž i u i u }, ili simboliči { x x & x } o je prz sup, žemo d su supovi i disjuti. \ - rzli supov: \ { x x je sdrž u i ije u }, ili simboliči \ { x x & x } c - omplemet sup: c {x x ije sdrž u supu }, ili simboliči c {x x } - Krtezijev produt supov Ko prvo defiirmo pojm uređeog pr: e su i b zdi elemeti. ovi elemet,b zovemo uređeim prom. Elemet zivmo prvim člom pr ili prvom oorditom, do elemet b zivmo drugim člom pr ili drugom oorditom. Vrijedi:,b c,d c & b d Krtezijev produt je sup svih uređeih prov, gdje je prvi čl iz sup, drugi iz sup, tj. Primjeri! { x,y : x & y } upovi brojev Reli smo d sup e defiirmo, već opisujemo. Reli smo i što je podsup eog sup. up relih brojev R Elemete sup R prizujemo točm orijetirog prvc. T x T e 3π x2 Podsupovi sup relih brojev: up prirodih brojev - {,2,3,,, } Z Q R 4

5 Geodetsi fultet, dr. sc. J. eb-rić Predvj iz Mtemtie Prirodi se brojevi dobivju rješvjem jeddžbi x b. o je < b rješeje je iz sup. o je b, od rješeje ije iz sup prirodih brojev, tj. x b x b - 0 Promtrmo prošireje sup : up cijelih brojev - Z {, -, --,, -, 0,,, -,, } Q R Cijeli se brojevi dobivju rješvjem jeddžbi x b. o je b je djeljitelj od b rješeje je iz sup Z. o b, od rješeje ije iz sup cijelih brojev, tj. x b x b/ Z Promtrmo prošireje sup Z: up rciolih brojev - Q { m/ m Z, } R up irciolih brojev - I R Ircioli brojevi imju priz u obliu besočog eperiodičog decimlog broj. Vrijedi: Q I R, Q I, I R \ Q. ZKLJUČIVJE Defiicije, siomi, teoremi Defiicij rečeic ojom uvodimo ei ovi pojm, ije i istiit iti lž siom tvrdj izjv oju prihvćmo o istiitu, e dozujemo je Teorem tvrdj izjv oj se dozuje Metode zljučivj Z dozivje ili provjeru eih tvrdji oristit ćemo tri metode zljučivj:. Modus poes prvilo otidj 2. Zljučivje po otrpoziciji 3. Mtemtič iducij Modus poes prvilo otidj e su x i y dvije izjve. imboliči zpis prvil otidj: x & x y y Čitmo: o je x isti istiit izjv i x y isti, od je i y isti Primjer: x: iš pd x y: iš pd ulice su more 5

6 Geodetsi fultet, dr. sc. J. eb-rić Predvj iz Mtemtie y: ulice su more Možemo li iz y zljučiti o x? Zljučivje po otrpoziciji e su x i y dvije izjve. imboliči zpis zljučivj po otrpoziciji: x y y x Čitmo: Tvrdj d iz x slijedi y evivlet je tvrji d iz y slijedi x Primjer! Mtemtič iducij U mtemtici se oristi dedutiv i idutiv metod zljučivj. Dedutiv metod zljučivj od općeg prem pojedičom. Idutiv metod zljučivj od pojedičog prem općem. Pricip idutive metode zljučivj, tj. mtemtiče iducije: e je sup prirodih brojev. Ozčimo s T eu tvrdju o prirodim brojevim. Pitmo se d li je t tvrdj istiit z svi prirodi broj. Postup:. Ispitujemo d li je tvrdj istiit z 2. Pretpostvimo istiitost tvrje z bilo oji, i oristeći se tom pretpostvom ispitujemo d li je ispuje z o je. i 2. ispujeo, zljučujemo d je 3. Tvrdj je istiit z svi prirodi broj imboliči zpis:. T 2. T T o je. i 2. ispujeo, zljučujemo d je 3. T ili T & T T T pomeimo d mtemtiču iduciju oristimo i u slučju provjere vljosti ee tvrdje T z svi prirodi broj,. imboliči je zpis u tom slučju sljedeći:. T 2. T T o je. i 2. ispujeo, zljučujemo d je 3., T ili T & T T, T 6

7 Geodetsi fultet, dr. sc. J. eb-rić Predvj iz Mtemtie 7 Primjer: Mtemtičom iducijom dozti d z & vrijedi: Rješeje: z iducije: b Kor iducije: Pretpostvimo d tvrdj vrjedi z, tj Dožimo d vrijedi z : Dle, jedost je ispuje z &.

Σχετικά έγγραφα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 1 8. NIZOVI

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 1 8. NIZOVI Geodetski fkultet, dr sc J Beb-Brkić Predvj iz Mtemtike 8 NIZOVI Pojm iz Nek je N skup prirodih brojev Prem ekom prvilu svki broj iz N zmijeimo ekim brojem:,,,, R Št smo dobili? Budući d je svkom elemetu