I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1. P r e d a v a n j a z a p e t u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2009/2010.
|
|
- Βασίλης Σαμαράς
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A P r e d v j z p e t u s e d m c u s t v e (u demsoj 009/00 god) 7 Redov s prozvoljm človm (Redov s človm prozvoljog z) Hurt qum crbro, qu dscěre vult selbro [Crpe vodu stom to žel učt bez jge] (LATINSKA IZREKA) Ne je dt rel red (7) Ao ovj red m smo očo mogo egtvh člov, od tv red zovemo poztv red, jer odbcvjem th egtvh člov, što o što zmo e utče overgecju red, dobjemo poztv red u užem smslu (tj red čj su sv člov eegtv) Dle, u ovom slučju red (7) možemo prmjet e od rterj z overgecju poztvh redov Slčo, o red (7) m smo očo mogo poztvh člov, od odbcvjem th poztvh člov možejem s ( ), što tođe e utče overgecju red, dobjemo poztv red (u užem smslu), p poovo možemo orstt rterje z overgecju poztvh redov Ao, p, red (7) m besočo mogo poztvh besočo mogo egtvh člov, od e možemo (br eposredo) prmjet rterje z overgecju poztvh redov, te m trebju ov rterj z sptvje overgecje tvh redov Nvest ćemo ee od jh, l prvo ćemo vest jedu orsu formulu To je tzv Abelov sumco formul (prvlo) oj je pogod z zvođeje doz rterj z redove s opštm člom obl b, pozt je pod zvom prvlo prcjlog sumrj, gls: Z sv N z sve prozvolje zove ( ), (b ) u R vrjed: b B + ( ) B, (7) + gdje je B b + b + + b, (,,, ) Ovj rezultt je log formul (prvlu) prcjle tegrcje Abelov dco formul (7) zvod se sljedeć č: Ne su, b (,,, ) e brojev Stvmo: B 0 0, B b, B b + b,, B b + b + + b,, B b + b + + b Td je, z,,,, B ( b + + b - + b ) ( b + + b - ) B B (7) Posmtrjmo sd sumu N osovu (7) vrjed b b ( B B ) Ao u posljedoj sum pšemo umjesto ( dle + umjesto ), dobjemo No, o je B 0 0, mmo b B B B + B 76
2 77 b B B B + B B B + ( ) B, tj dobl smo formulu (7) 7 Osov rterjum overgecje redov s človm prozvoljog z Prmjeom Abelove sumcoe formule dozuje se sljedeć Dededov ) teorem, oj se (o rede teoreme) odos redove (u R) s človm prozvoljog z, čj se opšt čl može predstvt u oblu b ) Teorem 7 Ne je zd red b (74) e su zdovolje sljedeć uslov : ) 0 ( ); ) red + je overget; ) z (B ) prcjlh sum red b je ogrče Td je red (74) overget Prmjeom Abelove sumcoe formule l Dededove teoreme 7 dozuje se d vrjed sljedeć rterj: Teorem 7 (Drchletov rterj) ) Ne je zd red b (u R) e su zdovolje sljedeć uslov: () z ( ) mootoo tež ul; () z (S ) prcjlh sum red b je ogrče Td je red b overget (u R) Prmjeom Drchletovog rterj l Abelove sumcoe formule (7) dobje se Abelov rterj z overgecju redov u R (redov s človm prozvoljog z, u ojh je opšt čl obl b ): Teorem 7 Ne je zd red b e su zdovolje sljedeć uslov: () z ( ) je mooto ogrče ; (b) red b je overget Td je red b overget Prmjer 7 Ko je z sv N, e t ( cos t) s t s t (s t t t t e ( e ) e t, ( mgr jedc), e cos t ), to se lo dože d je ( ) ( ) cos t s t cos + t cosec t, s t s t s + t cosec t, p je ) (Julus Wlhelm) Rchrd Deded (8 96) jemč mtemtčr ) To je eo posebo ogrčeje, jer se sv z (x ) u R može pst u oblu x ) Peter Gustv Lejeue Drchlet ( ) jemč mtemtčr, ( 0 z N)
3 78 t t cos t cos ec, s t cos ec t s cost rterju d redov (s človm promjeljvog z), sv t R, t π ( Z) Sd sljed po Drchletovom 7 Apsolut overgecj redov s t overgrju (u R) z Bez tešoć se dozuje sljedeć stv: Stv 7 Ao red (75) overgr, od overgr red (7), tj red (u R) Doz: Doz sljed z teoreme 7 ejedost p p Ao red (75) overgr, od se že d red (7) psoluto overgr Z red (7) že se d uslovo overgr l d je semoverget o overgr, l pr tom e overgr psoluto (sje ćemo dt prmjer tvog red) Sd se stv 7 može formulst ovo: Stv 7 Ao je red psoluto overget, od je o overget Posmtrjmo sd jedu posebu vrstu redov s osttm človm promjeljvog z Red ( ) + c ( c c + c c ( ) + c + ), gdje su rel brojev c, N, sv stog z (odoso, red s osobom d z sv N vrjed 0, 0), zv se ltertvm redom Stv 7 (Lebzov rterjum) / Altertg seres test /, (705) Ao je c + c, ( N), lm c 0, od ltertv red overgr 4) Osm tog, stv l se m + + m S (-) c, S ( ) c, + (-) c od je S S S l-, (, l N) (Vrjedost sume S ltertvog red lz se u tervlu zmeđu vrjedost dvje susjede prcjle sume, tj S m < S < S m+ l S m+ < S < S m ) Ostt ovog red m sumu r p po psolutoj vrjedost mju od prvog zostvljeog čl, tj + < p p p+ p+ p r ( ) c c, te sg r (-) Doz: Prcjle sume S dtog red pšmo u oblu S (c c ) + (c c 4 ) + + (c c ), odle se vd d je z (S ) N, eopdjuć Iz jedost S c (c c ) (c c ) c sljed d je, z sve N, S < c, tj d je z (S ) N ogrče Prem tome, postoj lm S S 4) Z ltertv red ( ) + c žemo d je red Lebzovog tp o je z (c ) mootoo opdjuć ul z Altertv red može overgrt o je Lebzovog tp
4 79 Iz jedost S + S + c + sljed d je lm S + S Zto je lm S S Ostl zljučc stv 7 sljede z čjece d je ostt overgetog red tođe overget m svojstvo socjtvost, p je r p (c p+ c p+ ) + (c p+ c p+4 ) + c p+ (c p+ c p+ ), odle (z prve jedost) sljed r p > 0 (z druge jedost) r p < c p+ N st č z r p+ ( c p+ + c p+ ) + ( c p+4 + c p+5 ) + c p+ + (c p+ c p+4 ) + + sljed r p+ < 0 r p+ > c p+, tj c p+ < c p+ Osm tog, z r p S S p sljed d je sg r p (-) p QED Prmjer 7 ( ) + Red očto overgr prem Lebzovom rterju, p o red dvergr, to dt red overgr uslovo ( ) Ko red, + α (α > 0), overgr, to red overgr + α l l psoluto Zdt 7 Nđte sumu red ( ) I l II l III l IV l Zdt 7 * Nđte sumu red + + L 4 I l II l III IV l l Zdt 7 * ) Kolo člov red treb sbrt d b se jegov sum zrčul s tčošću + ( ) do 0 6, pr čemu je +, ( " e N )? + b) Požte d red b, gdje je b + (z z ) ), overgr 4 7 Svojstv relh redov (Asocjcj omutcj) Posmtrjmo prozvolje rele redove Korso je zt d l se e svojstv očh sum preose tve redove U tom smslu dozuje se d vrjede sljedeć stvov: Stv 74 Koverget red m svojstvo socjtvost
5 80 Prmjetmo d se grupsjem člov eog dvergetog red može dobt overget red N prmjer, red ( ) je dverget, do red ( ) + ( ) + + ( ) +, dobje od dtog red grupsjem člov, m zbr jed ul Z red s poztvm človm, međutm, to ešto je moguće To je posljedc čjece d je od tvog red z prcjlh sum mooto Stv 75 (Drchletov teorem o omuttvost psoluto overgeth redov) Apsoluto overget red m svojstvo omuttvost, tj o je red psoluto overget, o je s : N N prozvolj bjecj, od je Stv 76 (Rem 5) Djev 6) stv) (866/7 ; 868/9) Ao red uslovo overgr, od se z sv dt A R može premještjem člov dtog red dobt red čj zbr 7) zos A, tj postoj jed bjecj s : N N tv d je ( ) A s( ) s 74 Možeje redov Posmtrjmo rele redove (7) b b + b + + b + (76) Formrjmo besočodmezolu mtrcu (77) b b b M b M j M M b b b b j b b b M b M j L L L L b M M b b b j L L L L M čj su elemet prozvod člov redov (7) (76) Od elemet ove mtrce mogu se formrt rz redov D l ovo formr redov mju jede l rzlčte zbrove (o h uopšte mju)? U tom smslu vodmo odgovore dte sljedećm stvovm: Stv 77 (Cuchy) Ao redov (7) (76) psoluto overgrju, od red formr od elemet mtrce (77), uzeth u prozvoljom poretu, tođe psoluto overgr Pr tom je sum dobjeog red jed prozvodu sum redov (7) (76) 5) Berhrd Rem (86 866) jemč mtemtčr 6) Ulsse D (845 98) tljs mtemtčr 7) Ovj stv pozuje d od uslovo overgeth redov pored m zčju ulogu d se ov redov e mogu shvtt smo o obč zbr svojh člov Koverget redov te vrste se mogu pretvort zgodm poretom člov u dvergete redove (U D, 868/9)
6 8 U opštem slučju može se dogodt d z prozvod uslovo overgeth redov (7) (76) e vž zljuč stv 77, tj može se dogodt d red b p p j e overgr l d p jegov sum zvs od poret člov (pr, vdrt u Cuchyjevom smslu uslovo ( ) overgetog red je dverget red) Njčešće se pod prozvodom redov 0 b podrzumjev red 0 0 b 0 + ( b b ) + + ( b 0 + b b ) + (78) s opštm člom c b 0 Dle, b c, c b Z ovvo možeje redov dozuje se d vrjed teorem Abel: " Ne su b dv overget red u R s summ A, odoso B e je c, (c b + ) jhov prozvod Ao red c overgr m sumu C, od je C A B " Ovvo možeje redov občo se zv Košjevm možejem, rzlog što je oo jčešće u upotreb je u vez s jegovom prmjeom stepee redove (tj redove obl ( 0 0 ), x x ( R; 0,,, ), čj je opšt čl fucj obl x (x x 0 ) ; x 0 cost R, x R vrjbl) Stv 78 8) Ao su redov b overget o je br jed od jh psoluto overget, od vž jedost b ( b ) jedost je overget ( 0 0, 0,, 0 p) red desoj str ove Prmjer 7 Ne je ( ) rel mooto z lm 0 Požmo d red s x overgr z sv x mπ, m Z (z x mπ o očgledo overgr) Zst, z sv N ( z sv x R, x mπ, m Z ), vž x cos cos( + ) x s x, x x x s s s p je z (B ) prcjlh sum red b, gdje je b s x, ogrče, p dt red b overgr prem Drchletovom rterju Red π cos + l 8) Ovj stv o Cuchyjevom prozvodu redov pozt je pod zvom Mertesov teorem: Frz Krl Joseph Mertes (840 97) ustrjs mtemtčr (v, pr, [S Mrdešć, Mtemtč lz, I, str 7], Šols jg, Zgreb, 979)
7 8 π overgr prem Abelovom rterjumu Nme, pšmo cos u oblu + π π + π cos ( ) cos π ( ) cos Td dt red dobj obl + ( ) π cos l + π Nz cos + rterjumu je ogrče mooto, red ( ) + overgr prem Lebzovom l 8 Besoč prozvod Ne je ( p ) z relh brojev Forml zrz p p p (8) zove se besoč prozvod s opštm člom p Prozvod P p p p prvh člov tog prozvod je -t prcjl zvod Preczje (logo, o od pojm red), uređe pr ((p ), (P )) oj se sstoj od z (p ) relh brojev z (P ) prozvod P : p zvmo besoč prozvod s ftorm p prcjlm prozvodm P ozčvmo s p Ao postoj oč rzlčt od ule, lmes P : lm P, že se d besoč prozvod (8) overgr ; broj P je vrjedost tog prozvod; pr tom se pše P p Ao postoj m N tv d je p m 0, od se tođe že d prozvod p overgr to prem P p p p m p m Ao lm P e postoj l je jed 0 l, žemo d prozvod (8) dvergr Prmjer 8 Besoč prozvod + P +, lm P Z besoč prozvod dvergr
8 8 Proozvod pšmo u oblu, + odle se dobj P + lm P Dle, ovj prozvod overgr m vrjedost Svojstv besočog prozvod Posmtrjmo prozvode čj su člov rzlčt od ule Ao je p dt m fs prrod broj, od prcjle prozvode besočog prozvod p m+ ozčmo s P' p m+ p m+ p m+ Očto je P m+ P m P', gdje su P prcjl prozvod besočog prozvod p Zto je Dle, vž lm P m+ P lm P' Stv 8 Izostvljje očo mogo člov besočog prozvod e utče jegovu overgecju Stv 8 Potreb uslov d prozvod (8) overgr je d jegov opšt čl p tež jedc d (Zto se ftor besočog prozvod (8) jčešće pšu u oblu + p ) m Doz: Ne je lm P : P Td je lm p P lm P lm P lm P P P Nvedmo bez doz još Cuchyjev rterjum z besoč prozvod Teorem 8 Prozvod (8) overgr o smo o z sv ε > 0 postoj 0 N tv d vž > 0, N p + p + p + < ε Besoč prozvod redov Kovergecj besočh prozvod može se dovest u vezu s overgecjom redov Imjuć u vdu stvove 8 8, ubuduće ćemo posmtrt prozvode čj su člov poztv Teorem 8 Besoč prozvod (8) s poztvm človm overgr o smo o overgr red l p Ao tj red m zbr s, od prozvod (8) m vrjedost e s Doz: Prcjle sume dtog red mju obl s l p, prcjl prozvod obl P p Očto je l P s, odle sljed tvrđeje teoreme (podsjećmo d se besoč prozvod e smtr overgetm o je lm P 0 ) ) QED ) Vrjed p 0 o smo o je br jed od ftor p jed broju 0
9 Često se člov prozvod p pšu u oblu p +, >, sm prozvod o p ( + ) (8) Stv 8 Ne su rel brojev, počev od eog, sv stog z (tj 0 N : ( ( 0 ) 0) ( ( 0 ) 0) ) ) Td prozvod (8) overgr o smo o red overgr Doz: Bez ogrčej opštost može se pretpostvt d je > 0, N Prem teorem 8, prozvod ( + ) overgr o smo o overgr red l( + ) Iz teoreme 6 sljed d red l( + ) overgr o smo o red overgr, jer je l( + ) lm QED Prmjer 8 Prozvod + α, α > 0, overgr z α > dvergr z α Nme, dt prozvod overgr o smo o overgr red, odle osovu prmjer 8 sljed zljuč α U opštem slučju (d su brojev promjeljvog z), tvrđeje stv 8 e vž ) Međutm, o zjedo s redom overgr red, od se lo vd d overgr prozvod (8) Z prozvod (8) že se d psoluto overgr o overgr prozvod ( + ) Stv 84 Ao prozvod (8) psoluto overgr, od o overgr Doz: Sljed z Cuchyjevog rterjum z besoče prozvode ejedost ( + + ) ( + + ) ( + + ) ( + + ) ( + + ) ( + + ) QED 84 9 Rješe zdc o zovm besočm redovm + Zdt 9 Isptjte overgecju z ( ) zdog opštm člom + Rješeje: Što je već to su broj zv rzlom sve već, p se tu jvlj tzv eodređe obl Djeljejem broj zv s jvećm stepeom od, tj s, dobjemo +, ) Npr besoč prozvod ( ) + x psoluto overgr z sv x >, uslovo overgr z ( ) < x, dvergr z 0 < x (md u tom slučju overgr red ) x
10 85 odle se vd d je broj + sve blž, zv broju, o rste + Nslućujemo d je lm Dožmo tu pretpostvu U tom smslu, e je ε > 0 prozvolj rel broj Odredmo prrod broj 0 tv d je < ε z sv > 0 Ko je < ε < ε < ε > > + ( ) ε ε Z trže broj 0 ( 0 (ε)) možemo uzet blo oj prrod broj već od 4 + Njmj ε 4 tv broj je uprvo + +, gdje x ozčv jveć cjel broj oj je već od x ε Npr z ε 0, 0 (0,) zv te ε - oole broj lze se smo prv dv čl dtog z, do su sv ostl uutr te ε - oole (v tbelr prz dtog z u Tblc 9 jegov grf slc 9) + / 0, 6 5/ 0, 45 4/ 0, 5/ 0, 8 /9 0,05 4 7/47 0,6 4/4 0,08 5 /7 0,5 / 0,08 6 7/07 0,46 4/ 0,05 Tblc 9 Sl 9 Zdt 9 Isptjte overgecju red l (s ) Rješeje: Ko je s >, ( N), to vrjed l (s ) < l π ( ) Otud je π > > O *, ( ) π π l (s ) l ( ) πl l 44 β ( ) 44 π π l α( ) ( jer je lm lm R \ {} 0 β ( ) π l α ( ) ), p dt red dvergr (buduć d red l dvergr)
11 86 l Zdt 9 + cos Isptjte overgecju red : ) ; b) (0 + ( ) ) 4+ cos ; c) Rješeje: ) Ko je lm <, red, ( 9 (0 + ( ) ) ), je overget (prem Cuchyjevom rterjumu) l l + cos 4 b) Ko je lm lm <, to, prem (poopšteom / u jjčoj form) 4 + cos 5 5 Cuchyjevom orjeom rterjumu, dt red overgr + c) Prmjetmo d je lm ' lm + z dt red, do red +, očto, overgr (o zbr dv overget geometrjs red) Npome: Ovj prmjer red pozuje d o red overgr, e sljed, općeto, d je + lm q < Zdt 94 Dožte eposredo overgecju sljedećeg red ć mu sumu: π cos ) + + ; b) + ; 4 c) x y ( ) Rješeje: ) Ko opšt čl red m obl :, ( N), z mootoo tež ul, to prem Lebzovom rterju dt red overgr Nđmo S Immo S C + l + ε ( c + l + ε ) l + ε ε, gdje je ε ( γ ) Eulerov ostt, ε 0 z Buduć d je (zbog ustovljee overgecje dtog red) lm S lm S, gdje je (S ) z prcjlh sum dtog red, očo dobjemo + + l 4 b) Ko je π π,, N, cos s,, redov, overgrju, to osovu svojstv opercj s overgetm redovm (tj, o redov b overgrju u eom vetorsom prostoru V, od vrjed ( λ + μb ) λ + μb, gdje su λ, μ prozvolj rel brojev), mmo 0 (, b V ),
12 87 π cos + c) N osovu ctrog prvl u b), mmo y x y + y+ xy+ xy + x y + x y + ( xy) + y ( xy) ( + y) ( xy), xy jer geometrjs red q, z q xy <, overgr 0 q Zdt 95 Odredte ( )!! 0 Rješeje: Ao jed od redov b overgr, drug overgr psoluto, od vrjed c b, ( c b + b + + b) Ov formul vrjed u slučju d sv tr red, b, c overgrju Ko red overgr, to prem vedeom Cuchyjevom prvlu (možej redov)! mmo: ( ) c + c, ( )! ( )! ( ) ( ) gdje je c b + ( ),, b ( )!( )! ( )! ( )! Ko je p je 0 ( ) ( ) 0, ( ), ( ) N to je c+ ( ) 0, ( N ),!( )!!!( )! ( )!! Zdt 96 Ne je 0 ( N) Td su redov evoverget (Cuchyjev odezco rterjum) Dozt! Doz: Ko je , to zbog mootoost z (S ), S, prem teorem o mootom ogrčem zovm, z overgecje red sljed overgecj red Osm tog, z ejedost + ( ) , zljučujemo d overgecj red povlč overgecju red Tme je doz ovog ( orsog / vrlo prtčog) svojstv zvrše Zdt 97 Zmjeom z (x ) odgovrjućm redom, sptt overgecju z (x ) dtog formulom x :
13 Rješeje: Ko je ( ), + + to x x x x 88 to mmo No, dobje red overgr jer je red (hperhrmojs) + + +, ( ) ( ) lm x ( + + ), ( ), overgr, p overgr zd z (x ) 0 Redov omplesh brojev Z sv omples broj z C, z x + y (x, y R) vrjed z x + y Otud eposredo sljed d je s z z 0 r (0) dt jedč ružce S (z 0, r) rdjus r (>0) s cetrom u tč z 0 : x 0 + y 0 (x 0, y 0 R ) Nme, o je z x + y, z 0 x 0 + y 0, od je z z 0 (x x 0 ) + (y y 0 ), p je (0) evvleto s (x x 0 ) + (y y 0 ) r, što je jedč ružce S (z 0, r) Prem tome, sup S (z 0, r) je zd formulom S (z 0, r) : { z C : z z 0 r } Alogo je s K (z 0, r) : { z C : z z 0 < r } (0) defr otvore rug rdjus r s sredštem u tč z 0, do je s K (z 0, r) : { z C : z z 0 r } (0) defr ztvore rug rdjus r s sredštem u tč z 0 Dle, K (z 0, r) K (z 0, r) S (z 0, r) Defcj 0 Z sup A C žemo d je ogrče (omeđe) o je o sdrž u eom rugu u C, tj o postoje z 0 C r R + tv d je A K (z 0, r) Defcj 0 Z sup Ω C žemo d je otvore, o oo sve tče z Ω može d se opše otvore rug oj je sdrž u Ω, do z sup F C žemo d je ztvore, o je jegov omplemet F c : C \ F otvore sup Lo se vd d fmlj U svh otvoreh podsupov od C m ov svojstv: (T ) Ø, C U (T ) Uj od blo olo člov z U je čl z U (T ) Presje očo člov z U je čl z U
14 89 Npomemo d se uređe pr (X, U ) prozvoljog sup X fmlje U podsupov od X z oje vrjed (T ), (T ) (T ) (d umjesto sup C mmo prozvolj sup X ) zove topološ prostor Pr tome se fmlj U zove topološ strutur l topologj prostor (X, U ), je člov otvore supov topološog prostor (X, U ) Ao je z test jso o ojoj se topologj U rd, od se često umjesto o topološom prostoru (X, U ) rće govor o prostoru X Otud sljed d je C topološ prostor, tj C je prostor omplesh brojev Npomemo d d žemo d je C prostor od smtrmo d je u C uvede pojm otvoreog sup prem defcj 0 Alogo vž z prostor R relh brojev (s tm što, umjesto otvoreog rug u C, mmo otvore tervl u R) Defcj 0 Ool tče z 0 C u prostoru C je sv sup U C s svojstvom d postoj r R + tv d je K (z 0, r) U (v sl 0) Prmjetmo d je U otvore sup o je U ool sve svoje tče Z z omplesh brojev overgecj lmes se defrju logo o z z relh brojev Defcj 04 Z sv z (z ) omplesh brojev žemo d je overget u C o postoj omples broj z 0 ( C) tv d z sv rel broj ε > 0 postoj prrod broj 0 tv d ( N) > 0 z z 0 < ε (04) Td broj z 0 zvmo grč vrjedost l lmes (l grc) z (z ) pšemo lm (z ) z 0 (l lm z z 0 l, rće, lm z z 0 ) Tođe td još žemo d z (z ) overgr z 0 l d tež z 0 d pšemo z z 0 ( ) Z z u C oj je overget u C žemo d je dverget l d dvergr Sl 0 Sl 0 Iz (04) vdmo d su sv člov z (z ), osm možd e od prvh 0 člov, sdrž u rugu K(z 0, ε) (v sl 0) Kovergecj u prostoru C može se svest overgecju u prostoru R, tj overgecju zov relh brojev Nme, e je z x + y, z 0 x 0 + y 0, (x, y, x 0, y 0 R) Td vrjed teorem:
15 90 Teorem 0 Nz (z ) omplesh brojev overgr omplesom broju z 0 o z (x ), (x Re z ), overgr x 0 ( Re z 0 ) z (y ), (y Im z ), overgr y 0 ( Im z 0 ) Doz: Ko je x x 0 Re z Re z 0 Re (z z 0 ) z z 0, y y 0 Im z Im z 0 Im (z z 0 ) z z 0, to lm z z 0 povlč lm x x 0 lm y y 0 S druge stre, o je lm x x 0 lm y y 0, od z sv ε > 0 postoj 0 N tv d vž ( N) > 0 ε ε x x0 < y y0 < Odvde sljed d z sv > 0 vrjed ε ε z z 0 (x x 0 ) + (y y 0 ) x x 0 + y y 0 < + ε, to zč d je lm z z 0 QED Prmjetmo d se pojmov overgetog z u C jegovog lmes, uvede defcjom 04, mogu evvleto uvest pomoću ool tč u C (logo o z zove u R) Broj red z : ( + b ) (05) čj su člov z : + b (, b R, ( N)) omples brojev zvmo broj red s omplesm človm (l omples broj red l red omplesh brojev) Prcjl sum S des ( -t prcjl sum) ovog red dt je s S : z + b, ( N) (06) Pojmov grče vrjedost overgecje red omplesh brojev dt su rje vedem defcjm th pojmov u opštm ormrm prostorm (jer se C može shvtt o ormr prostor u odosu ormu dtu s z z (Re z) + (Im z) Otud vdmo d vrjed: Grč vrjedost lm S : S postoj o postoj lm : lm A : A postoj lm b : lm B : B U tom slučju je S A + B, tj red (05) overgr m sumu S : A + B o overgrju redov, b redom A, B U tom slučju se pše ( + b ) + b (08) pr tome red zovemo rel do red (05), red b zovemo mgr do red (05) Dle, pr sptvju overgecje redov omplesh brojev mogu se prmjet rterj z overgecju redov relh brojev (preczje, rele mgre djelove redov
16 omplesh brojev) No, z redove omplesh brojev vže logo Cuchyjevog rterj overgecje z red relh brojev, Bolzo Weerstrssove teoreme z zove supove, dr (pr, vž d sv ogrče z (z ) omplesh brojev m overget podz; d sv Cuchyjev z (z ) u C je overget (u C)) Često je od teres posmtrt redove omplesh brojev obl, ( α + β ; α, β R) (09) Z red (09) žemo d overgr o overgr sv od redov, (00) 0 U tom slučju je sum S red (09) dt s S A + B, gdje je A sum prvog, B sum drugog red u (00) Lo se vd d red (09) overgr m sumu S o z sv ε > 0 postoj prrod broj 0 tv d z sve, m N vrjed: m 0 m 0 S ε Ne je sd z 0 C e su c, ( N) omples brojev Z z C rzmotrmo red c( z z0) (0) Red obl (0) zove se Luretov ) (Lorov) red Područje overgecje tvog red proučvmo u ovru poglvlj Stepe redov Iče se Luretov redov detljo proučvju u ovru oblst Komples lz Dozuje se d sv Luretov red obl (0) defr tzv ltču fucju otvoreom ružom prsteu K (z 0 ; R, R ) : {z C : R < z z 0 < R } Z red z u C žemo d psoluto overgr (u C) o red z overgr (u R) Z tve redove vrjed sljedeć teorem (o dovoljom uslovu z overgecju red (05)): Teorem 0 Ao overgr red z, od overgr red (05) Doz: Iz z + b sljed z ( + b ) b z z sv N Otud, prem poredbeom rterju poztvh redov relh brojev, zljučujemo d z overgecje red z sljed overgecj svog od redov, b, tj sv od redov, b, je psoluto overget, p, dle, overget Zto overgr red ( + b ) : z Q E D Prmjer 0 Isptjmo overgecju red + 4 / + Rješeje: Rzmotrmo red Ko je lm red / overgr, to zljučujemo d red overgr (u R) Zto, prem teorem 0, 4 + overgr polz red omplesh brojev (u C) ) Perre Alphose Luret (8 854) frcus mtemtčr 9
17 9 Zdt 0 Ao je lm z, dožte d je lm z Prmjerom požte d obruto je tčo Uput: Ao je z : e, od je lm z lm +, lm z e + postoj (jer lm e e postoj) Zdt 0 Nđte sljedeću grču vrjedost (z omplesh brojev): lm + + Rezultt Zdt 0 Isptjte overgecju red + Uput: Ko je z, ( N), o red + red (omplesh brojev) dvergr ( ) Zdt 04 Isptjte overgecju red, ( α > 0) ( + ) α θ dvergr, to zd e Zdt 05 Dožte d red e overgr psoluto o overgr občo z l sv θ R( θ π, Z ), gdje je mgr jedc Uput: Prmjett d je e θ z sv prrod broj ( ), tj d je z θ s prcjlh sum red e θ ogrče, te d z l mootoo tež ul Alogo o u supu R uvode se pojm prozvod redov omplesh brojev, te pojmov besočog prozvod omplesh brojev jegove overgecje (u supu C) ( ) Zdt 05* )Isptjte z sv t R (obču) overgecju redov, t s t b)isptjte z sv t R uslovu psolutu overgecju besočog prozvod ( ) + t cos t + s t, gdje je mgr jedc red ( ) * ) Zdt zdv z domću zdću (DZ) (prcjl /l tegrl) psme spt z Ižejerse mtemte (IM) Eletrotehčom fultetu Uverztet u Srjevu
I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1
I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 7 Hurt qum rro qu dsěre vult se lro [Crpe vodu stom to žel učt ez jge] LATINSKA IZREKA) P r e d v j u V I s e d m 7 Redov s prozvoljm človm Redov s človm prozvoljog
Διαβάστε περισσότεραI N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1
54 I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A Repetitio est mter studiorum. [Povljje je mj učej / zj.] (LATINSKA IZREKA) P r e d v j u V s e d m i c i.. Pojm i osov svojstv griče vrijedosti iz Pojmovi iz
Διαβάστε περισσότεραI N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1
I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A P r e d v j z č e t v r t u s e d m i c u s t v e (u demsoj 009/00. godii) G L A V A N I Z O V I I R E D O V I.. Općeito o izovim Izdržti, to je temelj vrlie.
Διαβάστε περισσότεραMate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza
Mte Vijug: Rijesei zdci iz mtemtike z sredju skolu. ARITMETICKI I GEOMETRIJKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. Aritmeticki iz Opci oblik ritmetickog iz: + - d Gdje je: prvi cl ritmetickog iz ti cl ritmetickog
Διαβάστε περισσότεραAritmetički i geometrijski niz
Zadac sa prethodh prjemh spta z matematke a Beogradskom uverztetu Artmetčk geometrjsk z. Artmetčk z. 00. FF Zbr prvh dvadeset člaova artmetčkog za čj je prv čla, a razlka A) 0 B) C) D) 880 E) 878. 000.
Διαβάστε περισσότεραα =. n n n Vježba 001 Koliko stranica ima pravilni mnogokut ako jedan njegov unutarnji kut iznosi 144? Rezultat: n = 10.
Zdtk (Mrij, gimzij) Koliko stric im prvili mogokut ko jed jegov uutrji kut izosi 8? Rješeje Formul z veličiu jedog uutrjeg kut prvilog mogokut je: ( ) 8 α = ( ) 8 8 = / 8 = ( ) 8 8 = 8 6 8 8 = 6 7 = 6
Διαβάστε περισσότεραI N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 2
I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A Glv IX : INTEGRAL PO FIGURI U R OJNI TROJNI I IŠESTRUKI INTEGRALI KRIOLINIJSKI I PORŠINSKI INTEGRALI 90 Osov pojmov o tegrlm relh ukcj vše relh promjeljvh U Ižejerskoj
Διαβάστε περισσότεραDodatak B. Furijeovi redovi. Posmatrajmo na intervalu [ l, neku funkciju f (x)
Dodtk B Furijeovi redovi Posmtrjmo itervu [, eku fukciju f () i ek je o tom itervu eprekid u deovim (im koč roj prekid prve vrste - prekidi u kojim fukcij im koč skok s eve desu griču vredost (vidi S.
Διαβάστε περισσότερα2.6 Nepravi integrali
66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,
Διαβάστε περισσότεραMetoda najmanjih kvadrata
Metoda ajmajh kvadrata Moday, May 30, 011 Metoda ajmajh kvadrata (MNK) MNK smo već uvel u proučavaju leare korelacje; gdje smo tražl da suma kvadrata odstupaja ekspermetalh točaka od pravca koj h a ajbolj
Διαβάστε περισσότεραMETODE OPTIMIZACIJE NELINEARNO PROGRAMIRANJE
MEODE OPIMIZACIJE NELINEARNO PROGRAMIRANJE Dr Dšć Dr Mloš Stć Grđevsk kultet Uverztet u Beogrdu 4. UVOD FORMULACIJA PROBLEMA Zdtk optmzcje je prolžeje promeljvh pr kojm clj krterjumsk ukcj uzm ekstremu
Διαβάστε περισσότεραČETVOROUGAO. β 1. β B. Četvorougao je konveksan ako duž koja spaja bilo koje dve tačke unutrašnje oblasti ostaje unutar četvorougla.
Mnogougo oji im četii stnice nziv se četvoougo. ČETVOROUGAO D δ δ γ C A α β B β Z svi četvoougo vži im je zi unutšnji i spoljšnji uglov isti i iznosi 0 0 α β γ δ 0 0 α β γ δ 0 0 Njpe žemo četvoouglovi
Διαβάστε περισσότεραFURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II
FURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II deo Primer. Fukciju f ( = rzviti u Furijeov red segmetu [,] ztim izrčuti sumu red. ( Rešeje: Kko je f ( = = = f ( zkjučujemo d je fukcij pr. Koristimo formue: = f ( = + ( cos
Διαβάστε περισσότερα4. Trigonometrija pravokutnog trokuta
4. Trigonometrij prvokutnog trokut po školskoj ziri od Dkić-Elezović 4. Trigonometrij prvokutnog trokut Formule koje koristimo u rješvnju zdtk: sin os tg tg ktet nsuprot kut hipotenuz ktet uz kut hipotenuz
Διαβάστε περισσότεραBeskonačni redovi 1.1 BROJEVNI REDOVI. Beskonačni brojevni red (numerički red, red sa konstantnim članovima) predstavlja sumu u :
Besoči redovi. BROJEVNI REDOVI Besoči brojevi red umeriči red, red s osttim človim predstvlj sumu u : svih člov eog besočog brojevog iz { } Zbirove u u u u. s u, s u u, K, s u. zivmo prcijli zbirovi. Kžemo
Διαβάστε περισσότεραТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА
ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА empertur sežeg beton menj se tokom remen i zisi od ećeg broj utijnih prmetr: Početne temperture mešine (n izsku iz mešie), emperture sredine, opote hidrtije ement, Rzmene topote
Διαβάστε περισσότεραI N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 2
I N Ž E N J E R S K A M A E M A I K A P r e d v j G L A V A 8 OURIEROVI REDOVI, OURIEROVI INEGRALI I OURIEROVA RANSORMACIJA 8.. U v o d m cresc eudo. [Gs rse šrejem.] Lsk posovc ourerov red je jed od jvžjh
Διαβάστε περισσότερα0 = x 0 < x 1 <... < x n = 1, x k = k n, x = 1 0 n. f(x k ) x =
Chpter Odredjen ntegrl Problem Nek je zdn funkcje f : [,b] R, f(x). Kko odredt površnu omedjenu grfom funkcje f(x) x-os? Površn prvokutnk: S = b Površn trokut: S = 1 v Kko defnrt površnu lk čje su strnce
Διαβάστε περισσότεραVježba 1. Analiza i sinteza sistema regulacije brzine vrtnje istosmjernog motora
ortorjske vježe z predet ootk uprvljje prozvod sste Vjež Vjež Alz stez sste regulcje rze vrtje stosjerog otor Clj vježe: Stez regultor rze vrtje stosjerog otor pooću etod tehčkog setrčog optu Alzrt dčko
Διαβάστε περισσότεραGeodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 1 8. NIZOVI
Geodetski fkultet, dr sc J Beb-Brkić Predvj iz Mtemtike 8 NIZOVI Pojm iz Nek je N skup prirodih brojev Prem ekom prvilu svki broj iz N zmijeimo ekim brojem:,,,, R Št smo dobili? Budući d je svkom elemetu
Διαβάστε περισσότεραο ο 3 α. 3"* > ω > d καΐ 'Ενορία όλις ή Χώρί ^ 3 < KN < ^ < 13 > ο_ Μ ^~~ > > > > > Ο to X Η > ο_ ο Ο,2 Σχέδι Γλεγμα Ο Σ Ο Ζ < o w *< Χ χ Χ Χ < < < Ο
18 ρ * -sf. NO 1 D... 1: - ( ΰ ΐ - ι- *- 2 - UN _ ί=. r t ' \0 y «. _,2. "* co Ι». =; F S " 5 D 0 g H ', ( co* 5. «ΰ ' δ". o θ * * "ΰ 2 Ι o * "- 1 W co o -o1= to»g ι. *ΰ * Ε fc ΰ Ι.. L j to. Ι Q_ " 'T
Διαβάστε περισσότερα10.1. Bit Error Rate Test
.. Bt Error Rat Tst.. Bt Error Rat Tst Zadata. Izračuat otrba broj rth formacoh bta u BER tstu za,, ogršo dttovaa bta a rjmu, tao da s u sstmu sa brzoom sgalzacj od Mbs mož tvrdt da j vrovatoća grš rosa
Διαβάστε περισσότεραVeliine u mehanici. Rad, snaga i energija. Dinamika. Meunarodni sustav mjere (SI) 1. Skalari. 2. Vektori - poetak. 12. dio. 1. Skalari. 2.
Vele u ehc Rd, g eegj D. do. Sl. Veo 3. Tezo II. ed 4. Tezo IV. ed. Sl: 3 0 pod je jedc (ezo ulog ed). Veo: 3 3 pod je jedc (ezo pog ed) 3. Tezo dugog ed 3 9 pod je jedc 4. Tezoeog ed 3 4 8 pod je jedc
Διαβάστε περισσότεραRijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5
Rijeseni neki zdci iz poglvlj 4.5 Prije rijesvnj zdtk prisjetimo se itnih stvri koje ce ns prtiti tijekom njihovog promtrnj. Definicij: (Trigonometrij prvokutnog trokut) ktet nsuprot kut ϕ sin ϕ hipotenuz
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότερα4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i
Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine
Διαβάστε περισσότερα= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi
Zdtk 0 (Anstzij, gimnzij) Provjeri je li funkcij f log( 5) + + injekcij Rješenje 0 Kžemo d funkcij f im svojstvo injektivnosti ili d je on injekcij ko vrijedi f ( ) f ( ) Dkle, funkcij je injekcij ko rzličitim
Διαβάστε περισσότεραskupa prirodnih brojeva u skup realnih brojeva, nazivamo realnim nizom.
Nizovi. Osovi pojmovi kod izov.. Defiicij i osovi pojmovi Defiicij... Svko preslikvje f : N R, skup prirodih brojev u skup relih brojev, zivmo re izom. Broj koji se ovim preslikvjem dodeljuje prirodom
Διαβάστε περισσότεραOpćenito, iznos normalne deformacije u smjeru normale n dan je izrazom:
Otporost mterijl. Zdtk ZDTK: U točki čeliče kostrukije postvlje su tri osjetil z mjereje deformij prem slii. ri opterećeju kostrukije izmjeree su reltive ormle (dužiske deformije: b ( - b 3 - -6 - ( b
Διαβάστε περισσότεραMatematički osnovi Z transformacije
Mtemtiči osnovi Z trnsformcije Uvod u Z-trnsformciju: Z-trnsformcij i njen invern trnsformcij se u mtemtici rmtrju i rlog što ovve trnsformcije imju neposrednu primenu u eletrotehnici i to prvenstveno
Διαβάστε περισσότεραRAČUNANJE SA PRIBLIŽNIM VREDNOSTIMA BROJEVA
RAČUNANJE SA PRIBLIŽNIM VREDNOSTIMA BROJEVA PRIBLIŽNI BROJ I GREŠKA tača vredost ekog broja X prblža vredost ekog broja X apsoluta greška Δ = X X graca apsolute greške (gorja graca) relatva greška X X
Διαβάστε περισσότεραMate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc
Διαβάστε περισσότεραI N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1
I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A Oaj koj cje praksu bez teorjskh osova slča je moreplovcu koj ulaz u brod bez krme busole e zajuć kuda se plov. ( LEONARDO DA VINCI ) P r e d a v a j a z a d r
Διαβάστε περισσότερα1. KOMBINATORIKA. n = V k. V 4 2 (sa ponavljanjem):
Verovtoć sttst zbr zdt.. Vrjje. KOMINTORIK Immo su S{,,..., }, N, Vrjj -te lse bez ovljj u suu S je sv ureñe -tor,,..., meñusobo rzlčth elemet su S. roj vrjj bez ovljj od elemet -te lse odreñujemo o formul:
Διαβάστε περισσότεραGRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo
GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zdci II deo U sledećim zdcim ćemo korisii poznu grničnu vrednos: li i mnje vrijcije n i 0 n ( Zdci: ) Odredii sledeće grnične vrednosi: Rešenj: 4 ; 0 g ; 0 cos v) ; g) ; 4 ;
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραSpecijalna vrsta nepravih integrala jesu oni koji sadrze potencije ili geometrijski red u podintegralnoj funkciji.
Mt Vijug: Rijsni zdci iz vis mtmti 9. NEPRAVI INTEGRALI 9. Opcnito o nprvim intgrlim Intgrl oli f d s nziv nprviln o: ) jdn ili oj grnic intgrcij nisu oncn vc soncn:, ) pod intgrln funcij f j prinut u
Διαβάστε περισσότεραF (t) F (t) F (t) OGLEDNI PRIMJER SVEUČILIŠTE J.J.STROSSMAYERA U OSIJEKU ZADATAK
OGLEDNI PRIMJER ZADAAK Odredte dnamčke karakterstke odzv armranobetonskog okvra C-C prkazanog na slc s prpadajućom tlorsnom površnom, na zadanu uzbudu tjekom prve tr sekunde, ako je konstrukcja prje djelovanja
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραElektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 16.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo
Elektrotehnčk fakultet unverzteta u Beogradu 6.maj 8. Odsek za Softversko nžnjerstvo Performanse računarskh sstema Drug kolokvjum Predmetn nastavnk: dr Jelca Protć (35) a) () Posmatra se segment od N uzastonh
Διαβάστε περισσότεραx n = z z C, signal na izlazu mreže će biti jednak: ( ) = k ( ) H z y n b x n k a y n k k k k k k M k 1+ a z z + a z 1 p z z p 1+ +
FUKCIJ PREOS DISKREE MREŽE ko ul dskrete mreže čj je muls odv jedk h dovedemo komleksu eksoecjlu sekvecu C sgl lu mreže će bt jedk: k k h h k k h k h k k k k. č kko dskret mrež mjej sgl defs je fukcjom
Διαβάστε περισσότεραtransformacija j y i x x promatramo dva koordinatna sustava S i S sa zajedničkim ishodištem z z Homogene funkcije Ortogonalne transformacije
promatramo dva oordnatna sustava S S sa zaednčm shodštem z z y y x x blo o vetor možemo raspsat u baz, A = A x + Ay + Az = ( A ) + ( A ) + ( A ) (1) sto vred za ednčne vetore sustava S = ( ) + ( ) + (
Διαβάστε περισσότεραRešenja A/2 kolokvijuma iz predmeta MERNI SISTEMI U TELEKOMUNIKACIJAMA 10. januar 2006.
šnj A/ kolokvijum iz prdmt MENI SISEMI U ELEKOMUNIKACIJAMA. jnur. Zdtk. D i prikznim urđjm mogl mriti mplitud čtvrtog hrmonik u mmorijki lok tr d ud upin ditrovn zin unkcij ( t) y co π Izlz iz urđj j td
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija i linearna algebra. Kartezijev trodimenzionalni pravokutni koordinatni sustav čine 3 međusobno okomite osi: Ox os apscisa,
Alitičk geoetrij i lier lger Vektori KOORDINATNI SUSTAV Krteijev prvokuti koorditi sustv Krteijev trodieioli prvokuti koorditi sustv čie eđusoo okoite osi: O os pscis O os ordit O os plikt točk O ishodište
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότερα1. ELEMENTI LOGIKE I TEORIJE SKUPOVA IZJAVE, VEZNICI, KVANTIFIKATORI
Geodetsi fultet, dr. sc. J. eb-rić Predvj iz Mtemtie. ELEMETI LOGIKE I TEORIJE KUPOV IZJVE, VEZICI, KVTIFIKTORI eolio riječi o mtemtičoj logici. Upotrebljvt ćemo pojmove mtemtiče logie li se ećemo jom
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραIZVOD FUNKCIJE Predpostvimo d je unkcij deinisn u nekom intervlu, i d je tčk iz intervl, iksirn. Uočimo neku proizvoljnu tčku iz tog intervl,. Ov tčk može d se pomer levo desno, p ćemo je zvti promenljiv
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραVALJAK. Valjak je geometrijsko telo ograničeno sa dva kruga u paralelnim ravnima i delom cilindrične površi čije su
ALJAK ljk je geometijsko telo ogničeno s dv kug u plelnim vnim i delom ilindične povši čije su izvodnie nomlne n vn ti kugov. Os vljk je pv koj polzi koz ente z. Nvno ko i do sd oznke su: - je povšin vljk
Διαβάστε περισσότεραΤο άτομο του Υδρογόνου
Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραTEHNIČKI FAKULTET SVEUČILIŠTA U RIJECI Zavod za elektroenergetiku. Prijelazne pojave. Osnove elektrotehnike II: Prijelazne pojave
THNIČKI FAKUTT SVUČIIŠTA U IJI Zavod za elekroenergek Sdj: Preddplomsk srčn sdj elekroehnke Kolegj: Osnove elekroehnke II Noselj kolegja: v. pred. mr.sc. Branka Dobraš, dpl. ng. el. Prjelazne pojave Osnove
Διαβάστε περισσότεραI N Ţ E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1
I N Ţ E N J E R S K A M A T E M A T I K A Quod ert demostrdum. [ Što je treblo dokzti. Skrćeo: Q.e.d.] LATINSKI PREVOD EUKLIDOVIH RIJEČI. P r e d v j z š e s t u s e d m i u s t v e u kdemskoj 8/9. odii
Διαβάστε περισσότεραVektori u ravnini. - Nije bitan redoslijed AB ili BA
Vektor u rnn. Osnon pomo o ektorm Skup sh tok prc p zmeu ukluuu nh sme ne dužnu Ne tn redosled l e poetn tok e zršn tok odsek n prcu p Defnc: Usmeren odsek od toke ko poetne toke do toke ko zršne toke
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραSkripta za usmeni ispit iz IM1
Skript z usmei ispit iz IM T Pojmovi (logičkog) iskz i predikt Defiicij: Sud ili iskz je deklrtiv izjv koj u pogledu istiitosti zdovoljv dv pricip: sud je ili istiit ili eistiit (pricip iskljucej treceg)
Διαβάστε περισσότεραNEJEDNAKOSTI I PRIMENE
NEJEDNAKOSTI I PRIMENE dr Jele Mojlović Prirodo-mtemtički fkultet Niš SADRŽAJ Nejedkosti izmed u brojih sredi Prime ejedkosti izmed u brojih sredi 6 Geometrijske ejedkosti Nejedkosti z elemete trougl Stereometrijske
Διαβάστε περισσότεραNumerička integracija
umerčk tegrcj Zdtk umerčke tegrcje umerčk tegrcj je postupk zrčuvj prlže vredost određeog tegrl: < d. z vredost podtegrle ukcje dt uređeom telom čemu pretpostvljmo d je: pr... Bzr se ko umerčko derecrje
Διαβάστε περισσότεραPrvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum
27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.
Διαβάστε περισσότεραOdred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.
Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),
Διαβάστε περισσότεραSLIČNOST TROUGLOVA. kažemo da su slične ( sa koeficijentom sličnosti k ) ako postoji transformacija sličnosti koja figuru F prevodi u figuru F
SLIČNOST TROUGLOV Z dve figure F i F kžemo d su slične ( s koefiijentom sličnosti k ) ko postoji trnsformij sličnosti koj figuru F prevodi u figuru F. Činjeniu d su dve figure slične obeležvmo s F F. Sličnost
Διαβάστε περισσότεραA MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1
A MATEMATIKA (.5.., treći kolokvij). Zdn je z 3 + os. () Izrčunjte ngib plohe u pozitivnom smjeru -osi. (b) Izrčunjte ngib pod ) u točki T(, ). () Izrčunjte z u T(, ). (5 bodov). Zdn je z 3 ln. () Izrčunjte
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραNeodreeni integrali. Glava Teorijski uvod
Glv Neodreeni integrli. Teorijski uvod Nek je funkcij f :, b R. Definicij: ϕ- primitivn funkcij funkcije f ϕ f, b Teorem: ϕ- primitivn funkcij funkcije f ϕ+c- primitivn funkcij funkcije f Definicij: f
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραPRIJENOS i DISTRIBUCIJA ELEKTRIČNE ENERGIJE
TEHIČKI FAKULTET SVEUČILIŠTA U RIJEI Sveučlš dplomsk studj elektrotehke PRIJEOS DISTRIBUIJA ELEKTRIČE EERGIJE. KOSTRUKIJSKI RAD - MEHAIČKI PRORAČU ADZEMIH VODOVA Izrčujte zrdte motže tblce provjes prezj
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραAKSIOMATIKA TEORIJE VEROVATNOĆE
AKSIOMATIKA TEORIJE VEROVATNOĆE E Aksomatka teorje verovatoće Polaz se od osovh stavova, tzv. aksoma, a osovu kojh se sve ostale osobe mogu dokazat. Za posmatra prostor el. shoda aksomatzacja daje odgovore
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραdužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor
I. VEKTORI d. sc. Min Rodić Lipnović 009./010. 1 Pojm vekto A B dužin A B usmjeen (oijentin) dužin (n se koj je točk početn, koj kjnj) A B vekto - kls ( skup ) usmjeenih dužin C D E F AB je epeentnt vekto
Διαβάστε περισσότεραRačunanje sa približnim brojevima
čuje s prblžm brojevm. IZVOI GEŠK Hemjsko-žejersk prorču u opštem slučju obuhvt dve e: Formulsje eophodh jedč mtemtčkog model ešvje mtemtčkog model Nek je lj prorču određvje eke velče, koj je ukj prmetr
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραPOTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραKUPA I ZARUBLJENA KUPA
KUPA I ZAUBLJENA KUPA KUPA Povšin bze B Povšin omotč M P BM to jet P B to jet S O o kupe Oni peek Obim onog peek O op Povšin onog peek P op Pimen pitgoine teoeme vnotn jednkotn kup je on kod koje je, p
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραPIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA. - omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi), naravno trostrana piramida u omotaču
PIRAMIDA I ZARULJENA PIRAMIDA Slično ko i kod pizme i ovde ćemo njpe ojniti oznke... - oeležvmo dužinu onovne ivice - oeležvmo dužinu viine pimide - oeležvmo dužinu viine očne tne ( potem) - oeležvmo dužinu
Διαβάστε περισσότεραHONDA. Έτος κατασκευής
Accord + Coupe IV 2.0 16V (CB3) F20A2-A3 81 110 01/90-09/93 0800-0175 11,00 2.0 16V (CB3) F20A6 66 90 01/90-09/93 0800-0175 11,00 2.0i 16V (CB3-CC9) F20A8 98 133 01/90-09/93 0802-9205M 237,40 2.0i 16V
Διαβάστε περισσότεραMoguća i virtuelna pomjeranja
Dnamka sstema sa vezama Moguća vrtuelna pomjeranja f k ( r 1,..., r N, t) = 0 (k = 1, 2,..., K ) df k dt = r + t = 0 d r = r dt moguća pomjeranja zadovoljavaju uvjet: df k = d r + dt = 0. t δ r = δx +
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότερα3525$&8158&1(',=$/,&(6$1$92-1,095(7(120
Srednja masinska skola OSOVE KOSTRUISAJA List1/8 355$&8158&1(',=$/,&(6$1$9-1,095(7(10 3ROD]QLSRGDFL maksimalno opterecenje Fa := 36000 visina dizanja h := 440 mm Rucna sila Fr := 350 1DYRMQRYUHWHQR optereceno
Διαβάστε περισσότεραReverzibilni procesi
Reverzbln proces Reverzbln proces: proces pr koja sste nkada nje vše od beskonačno ale vrednost udaljen od ravnoteže, beskonačno ala proena spoljašnjh uslova ože vratt sste u blo koju tačku, proena ože
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA Trignmetrij je prvitn predstvlj lst mtemtike kje se vil izrčunvnjem nepzntih element trugl pmću pzntih. Sm njen nziv ptiče d dve grčke reči TRIGONOS- št znči trug
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραGlava 5 Z-TRANSFORMACIJA I NJENE PRIMJENE U ANALIZI DISKRETNIH LTI ISTEMA
Glava 5 Z-TRANSFORMACIJA I NJENE PRIMJENE U ANALIZI DISKRETNIH LTI ISTEMA Trasformacoe tehke su moća alat a aalu sgala LTI sstema. U ovoj glav ćemo uvest -trasformacju, opsat jee osobe mogućost prmjee
Διαβάστε περισσότεραLinearna korelacija. Vrijedi: (1) 1 r 1
Leara korelacja Korelacja je mjera leare zavsost dvju serja podataka 1,,..., 1,,...,. Drugm rječma, ako su točke 1, 1,,,..., gruprae oko regresjskog pravca, oda govormo da su podatc korelra learo korelra.
Διαβάστε περισσότεραRadio détection des rayons cosmiques d ultra-haute énergie : mise en oeuvre et analyse des données d un réseau de stations autonomes.
Radio détection des rayons cosmiques d ultra-haute énergie : mise en oeuvre et analyse des données d un réseau de stations autonomes. Diego Torres Machado To cite this version: Diego Torres Machado. Radio
Διαβάστε περισσότεραMEHANIKA FLUIDA. Složeni cevovodi
MEHANIKA FLUIDA Složeni cevovoi.zaata. Iz va velia otvorena rezervoara sa istim nivoima H=0 m ističe voa roz cevi I i II istih prečnia i užina: =00mm, l=5m i magisalni cevovo užine L=00m, prečnia D=50mm.
Διαβάστε περισσότεραZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA
**** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.
Διαβάστε περισσότεραGranične vrednosti realnih nizova
Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραMEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz velike otvore
MEANIKA FLUIDA Isticnje krz velike tvre 1.zdtk. Krz veliki ptvr u bčn zidu rezervr blik rvnkrkg trugl snve i keficijent prtk µ, ističe vd. Odrediti prtk krz tvr k su pznte veličine 1 i (v.sl.). Eleentrni
Διαβάστε περισσότερα