I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1. P r e d a v a n j a z a p e t u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2009/2010.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1. P r e d a v a n j a z a p e t u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2009/2010."

Transcript

1 I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A P r e d v j z p e t u s e d m c u s t v e (u demsoj 009/00 god) 7 Redov s prozvoljm človm (Redov s človm prozvoljog z) Hurt qum crbro, qu dscěre vult selbro [Crpe vodu stom to žel učt bez jge] (LATINSKA IZREKA) Ne je dt rel red (7) Ao ovj red m smo očo mogo egtvh člov, od tv red zovemo poztv red, jer odbcvjem th egtvh člov, što o što zmo e utče overgecju red, dobjemo poztv red u užem smslu (tj red čj su sv člov eegtv) Dle, u ovom slučju red (7) možemo prmjet e od rterj z overgecju poztvh redov Slčo, o red (7) m smo očo mogo poztvh člov, od odbcvjem th poztvh člov možejem s ( ), što tođe e utče overgecju red, dobjemo poztv red (u užem smslu), p poovo možemo orstt rterje z overgecju poztvh redov Ao, p, red (7) m besočo mogo poztvh besočo mogo egtvh člov, od e možemo (br eposredo) prmjet rterje z overgecju poztvh redov, te m trebju ov rterj z sptvje overgecje tvh redov Nvest ćemo ee od jh, l prvo ćemo vest jedu orsu formulu To je tzv Abelov sumco formul (prvlo) oj je pogod z zvođeje doz rterj z redove s opštm člom obl b, pozt je pod zvom prvlo prcjlog sumrj, gls: Z sv N z sve prozvolje zove ( ), (b ) u R vrjed: b B + ( ) B, (7) + gdje je B b + b + + b, (,,, ) Ovj rezultt je log formul (prvlu) prcjle tegrcje Abelov dco formul (7) zvod se sljedeć č: Ne su, b (,,, ) e brojev Stvmo: B 0 0, B b, B b + b,, B b + b + + b,, B b + b + + b Td je, z,,,, B ( b + + b - + b ) ( b + + b - ) B B (7) Posmtrjmo sd sumu N osovu (7) vrjed b b ( B B ) Ao u posljedoj sum pšemo umjesto ( dle + umjesto ), dobjemo No, o je B 0 0, mmo b B B B + B 76

2 77 b B B B + B B B + ( ) B, tj dobl smo formulu (7) 7 Osov rterjum overgecje redov s človm prozvoljog z Prmjeom Abelove sumcoe formule dozuje se sljedeć Dededov ) teorem, oj se (o rede teoreme) odos redove (u R) s človm prozvoljog z, čj se opšt čl može predstvt u oblu b ) Teorem 7 Ne je zd red b (74) e su zdovolje sljedeć uslov : ) 0 ( ); ) red + je overget; ) z (B ) prcjlh sum red b je ogrče Td je red (74) overget Prmjeom Abelove sumcoe formule l Dededove teoreme 7 dozuje se d vrjed sljedeć rterj: Teorem 7 (Drchletov rterj) ) Ne je zd red b (u R) e su zdovolje sljedeć uslov: () z ( ) mootoo tež ul; () z (S ) prcjlh sum red b je ogrče Td je red b overget (u R) Prmjeom Drchletovog rterj l Abelove sumcoe formule (7) dobje se Abelov rterj z overgecju redov u R (redov s človm prozvoljog z, u ojh je opšt čl obl b ): Teorem 7 Ne je zd red b e su zdovolje sljedeć uslov: () z ( ) je mooto ogrče ; (b) red b je overget Td je red b overget Prmjer 7 Ko je z sv N, e t ( cos t) s t s t (s t t t t e ( e ) e t, ( mgr jedc), e cos t ), to se lo dože d je ( ) ( ) cos t s t cos + t cosec t, s t s t s + t cosec t, p je ) (Julus Wlhelm) Rchrd Deded (8 96) jemč mtemtčr ) To je eo posebo ogrčeje, jer se sv z (x ) u R može pst u oblu x ) Peter Gustv Lejeue Drchlet ( ) jemč mtemtčr, ( 0 z N)

3 78 t t cos t cos ec, s t cos ec t s cost rterju d redov (s človm promjeljvog z), sv t R, t π ( Z) Sd sljed po Drchletovom 7 Apsolut overgecj redov s t overgrju (u R) z Bez tešoć se dozuje sljedeć stv: Stv 7 Ao red (75) overgr, od overgr red (7), tj red (u R) Doz: Doz sljed z teoreme 7 ejedost p p Ao red (75) overgr, od se že d red (7) psoluto overgr Z red (7) že se d uslovo overgr l d je semoverget o overgr, l pr tom e overgr psoluto (sje ćemo dt prmjer tvog red) Sd se stv 7 može formulst ovo: Stv 7 Ao je red psoluto overget, od je o overget Posmtrjmo sd jedu posebu vrstu redov s osttm človm promjeljvog z Red ( ) + c ( c c + c c ( ) + c + ), gdje su rel brojev c, N, sv stog z (odoso, red s osobom d z sv N vrjed 0, 0), zv se ltertvm redom Stv 7 (Lebzov rterjum) / Altertg seres test /, (705) Ao je c + c, ( N), lm c 0, od ltertv red overgr 4) Osm tog, stv l se m + + m S (-) c, S ( ) c, + (-) c od je S S S l-, (, l N) (Vrjedost sume S ltertvog red lz se u tervlu zmeđu vrjedost dvje susjede prcjle sume, tj S m < S < S m+ l S m+ < S < S m ) Ostt ovog red m sumu r p po psolutoj vrjedost mju od prvog zostvljeog čl, tj + < p p p+ p+ p r ( ) c c, te sg r (-) Doz: Prcjle sume S dtog red pšmo u oblu S (c c ) + (c c 4 ) + + (c c ), odle se vd d je z (S ) N, eopdjuć Iz jedost S c (c c ) (c c ) c sljed d je, z sve N, S < c, tj d je z (S ) N ogrče Prem tome, postoj lm S S 4) Z ltertv red ( ) + c žemo d je red Lebzovog tp o je z (c ) mootoo opdjuć ul z Altertv red može overgrt o je Lebzovog tp

4 79 Iz jedost S + S + c + sljed d je lm S + S Zto je lm S S Ostl zljučc stv 7 sljede z čjece d je ostt overgetog red tođe overget m svojstvo socjtvost, p je r p (c p+ c p+ ) + (c p+ c p+4 ) + c p+ (c p+ c p+ ), odle (z prve jedost) sljed r p > 0 (z druge jedost) r p < c p+ N st č z r p+ ( c p+ + c p+ ) + ( c p+4 + c p+5 ) + c p+ + (c p+ c p+4 ) + + sljed r p+ < 0 r p+ > c p+, tj c p+ < c p+ Osm tog, z r p S S p sljed d je sg r p (-) p QED Prmjer 7 ( ) + Red očto overgr prem Lebzovom rterju, p o red dvergr, to dt red overgr uslovo ( ) Ko red, + α (α > 0), overgr, to red overgr + α l l psoluto Zdt 7 Nđte sumu red ( ) I l II l III l IV l Zdt 7 * Nđte sumu red + + L 4 I l II l III IV l l Zdt 7 * ) Kolo člov red treb sbrt d b se jegov sum zrčul s tčošću + ( ) do 0 6, pr čemu je +, ( " e N )? + b) Požte d red b, gdje je b + (z z ) ), overgr 4 7 Svojstv relh redov (Asocjcj omutcj) Posmtrjmo prozvolje rele redove Korso je zt d l se e svojstv očh sum preose tve redove U tom smslu dozuje se d vrjede sljedeć stvov: Stv 74 Koverget red m svojstvo socjtvost

5 80 Prmjetmo d se grupsjem člov eog dvergetog red može dobt overget red N prmjer, red ( ) je dverget, do red ( ) + ( ) + + ( ) +, dobje od dtog red grupsjem člov, m zbr jed ul Z red s poztvm človm, međutm, to ešto je moguće To je posljedc čjece d je od tvog red z prcjlh sum mooto Stv 75 (Drchletov teorem o omuttvost psoluto overgeth redov) Apsoluto overget red m svojstvo omuttvost, tj o je red psoluto overget, o je s : N N prozvolj bjecj, od je Stv 76 (Rem 5) Djev 6) stv) (866/7 ; 868/9) Ao red uslovo overgr, od se z sv dt A R može premještjem člov dtog red dobt red čj zbr 7) zos A, tj postoj jed bjecj s : N N tv d je ( ) A s( ) s 74 Možeje redov Posmtrjmo rele redove (7) b b + b + + b + (76) Formrjmo besočodmezolu mtrcu (77) b b b M b M j M M b b b b j b b b M b M j L L L L b M M b b b j L L L L M čj su elemet prozvod člov redov (7) (76) Od elemet ove mtrce mogu se formrt rz redov D l ovo formr redov mju jede l rzlčte zbrove (o h uopšte mju)? U tom smslu vodmo odgovore dte sljedećm stvovm: Stv 77 (Cuchy) Ao redov (7) (76) psoluto overgrju, od red formr od elemet mtrce (77), uzeth u prozvoljom poretu, tođe psoluto overgr Pr tom je sum dobjeog red jed prozvodu sum redov (7) (76) 5) Berhrd Rem (86 866) jemč mtemtčr 6) Ulsse D (845 98) tljs mtemtčr 7) Ovj stv pozuje d od uslovo overgeth redov pored m zčju ulogu d se ov redov e mogu shvtt smo o obč zbr svojh člov Koverget redov te vrste se mogu pretvort zgodm poretom člov u dvergete redove (U D, 868/9)

6 8 U opštem slučju može se dogodt d z prozvod uslovo overgeth redov (7) (76) e vž zljuč stv 77, tj može se dogodt d red b p p j e overgr l d p jegov sum zvs od poret člov (pr, vdrt u Cuchyjevom smslu uslovo ( ) overgetog red je dverget red) Njčešće se pod prozvodom redov 0 b podrzumjev red 0 0 b 0 + ( b b ) + + ( b 0 + b b ) + (78) s opštm člom c b 0 Dle, b c, c b Z ovvo možeje redov dozuje se d vrjed teorem Abel: " Ne su b dv overget red u R s summ A, odoso B e je c, (c b + ) jhov prozvod Ao red c overgr m sumu C, od je C A B " Ovvo možeje redov občo se zv Košjevm možejem, rzlog što je oo jčešće u upotreb je u vez s jegovom prmjeom stepee redove (tj redove obl ( 0 0 ), x x ( R; 0,,, ), čj je opšt čl fucj obl x (x x 0 ) ; x 0 cost R, x R vrjbl) Stv 78 8) Ao su redov b overget o je br jed od jh psoluto overget, od vž jedost b ( b ) jedost je overget ( 0 0, 0,, 0 p) red desoj str ove Prmjer 7 Ne je ( ) rel mooto z lm 0 Požmo d red s x overgr z sv x mπ, m Z (z x mπ o očgledo overgr) Zst, z sv N ( z sv x R, x mπ, m Z ), vž x cos cos( + ) x s x, x x x s s s p je z (B ) prcjlh sum red b, gdje je b s x, ogrče, p dt red b overgr prem Drchletovom rterju Red π cos + l 8) Ovj stv o Cuchyjevom prozvodu redov pozt je pod zvom Mertesov teorem: Frz Krl Joseph Mertes (840 97) ustrjs mtemtčr (v, pr, [S Mrdešć, Mtemtč lz, I, str 7], Šols jg, Zgreb, 979)

7 8 π overgr prem Abelovom rterjumu Nme, pšmo cos u oblu + π π + π cos ( ) cos π ( ) cos Td dt red dobj obl + ( ) π cos l + π Nz cos + rterjumu je ogrče mooto, red ( ) + overgr prem Lebzovom l 8 Besoč prozvod Ne je ( p ) z relh brojev Forml zrz p p p (8) zove se besoč prozvod s opštm člom p Prozvod P p p p prvh člov tog prozvod je -t prcjl zvod Preczje (logo, o od pojm red), uređe pr ((p ), (P )) oj se sstoj od z (p ) relh brojev z (P ) prozvod P : p zvmo besoč prozvod s ftorm p prcjlm prozvodm P ozčvmo s p Ao postoj oč rzlčt od ule, lmes P : lm P, že se d besoč prozvod (8) overgr ; broj P je vrjedost tog prozvod; pr tom se pše P p Ao postoj m N tv d je p m 0, od se tođe že d prozvod p overgr to prem P p p p m p m Ao lm P e postoj l je jed 0 l, žemo d prozvod (8) dvergr Prmjer 8 Besoč prozvod + P +, lm P Z besoč prozvod dvergr

8 8 Proozvod pšmo u oblu, + odle se dobj P + lm P Dle, ovj prozvod overgr m vrjedost Svojstv besočog prozvod Posmtrjmo prozvode čj su člov rzlčt od ule Ao je p dt m fs prrod broj, od prcjle prozvode besočog prozvod p m+ ozčmo s P' p m+ p m+ p m+ Očto je P m+ P m P', gdje su P prcjl prozvod besočog prozvod p Zto je Dle, vž lm P m+ P lm P' Stv 8 Izostvljje očo mogo člov besočog prozvod e utče jegovu overgecju Stv 8 Potreb uslov d prozvod (8) overgr je d jegov opšt čl p tež jedc d (Zto se ftor besočog prozvod (8) jčešće pšu u oblu + p ) m Doz: Ne je lm P : P Td je lm p P lm P lm P lm P P P Nvedmo bez doz još Cuchyjev rterjum z besoč prozvod Teorem 8 Prozvod (8) overgr o smo o z sv ε > 0 postoj 0 N tv d vž > 0, N p + p + p + < ε Besoč prozvod redov Kovergecj besočh prozvod može se dovest u vezu s overgecjom redov Imjuć u vdu stvove 8 8, ubuduće ćemo posmtrt prozvode čj su člov poztv Teorem 8 Besoč prozvod (8) s poztvm človm overgr o smo o overgr red l p Ao tj red m zbr s, od prozvod (8) m vrjedost e s Doz: Prcjle sume dtog red mju obl s l p, prcjl prozvod obl P p Očto je l P s, odle sljed tvrđeje teoreme (podsjećmo d se besoč prozvod e smtr overgetm o je lm P 0 ) ) QED ) Vrjed p 0 o smo o je br jed od ftor p jed broju 0

9 Često se člov prozvod p pšu u oblu p +, >, sm prozvod o p ( + ) (8) Stv 8 Ne su rel brojev, počev od eog, sv stog z (tj 0 N : ( ( 0 ) 0) ( ( 0 ) 0) ) ) Td prozvod (8) overgr o smo o red overgr Doz: Bez ogrčej opštost može se pretpostvt d je > 0, N Prem teorem 8, prozvod ( + ) overgr o smo o overgr red l( + ) Iz teoreme 6 sljed d red l( + ) overgr o smo o red overgr, jer je l( + ) lm QED Prmjer 8 Prozvod + α, α > 0, overgr z α > dvergr z α Nme, dt prozvod overgr o smo o overgr red, odle osovu prmjer 8 sljed zljuč α U opštem slučju (d su brojev promjeljvog z), tvrđeje stv 8 e vž ) Međutm, o zjedo s redom overgr red, od se lo vd d overgr prozvod (8) Z prozvod (8) že se d psoluto overgr o overgr prozvod ( + ) Stv 84 Ao prozvod (8) psoluto overgr, od o overgr Doz: Sljed z Cuchyjevog rterjum z besoče prozvode ejedost ( + + ) ( + + ) ( + + ) ( + + ) ( + + ) ( + + ) QED 84 9 Rješe zdc o zovm besočm redovm + Zdt 9 Isptjte overgecju z ( ) zdog opštm člom + Rješeje: Što je već to su broj zv rzlom sve već, p se tu jvlj tzv eodređe obl Djeljejem broj zv s jvećm stepeom od, tj s, dobjemo +, ) Npr besoč prozvod ( ) + x psoluto overgr z sv x >, uslovo overgr z ( ) < x, dvergr z 0 < x (md u tom slučju overgr red ) x

10 85 odle se vd d je broj + sve blž, zv broju, o rste + Nslućujemo d je lm Dožmo tu pretpostvu U tom smslu, e je ε > 0 prozvolj rel broj Odredmo prrod broj 0 tv d je < ε z sv > 0 Ko je < ε < ε < ε > > + ( ) ε ε Z trže broj 0 ( 0 (ε)) možemo uzet blo oj prrod broj već od 4 + Njmj ε 4 tv broj je uprvo + +, gdje x ozčv jveć cjel broj oj je već od x ε Npr z ε 0, 0 (0,) zv te ε - oole broj lze se smo prv dv čl dtog z, do su sv ostl uutr te ε - oole (v tbelr prz dtog z u Tblc 9 jegov grf slc 9) + / 0, 6 5/ 0, 45 4/ 0, 5/ 0, 8 /9 0,05 4 7/47 0,6 4/4 0,08 5 /7 0,5 / 0,08 6 7/07 0,46 4/ 0,05 Tblc 9 Sl 9 Zdt 9 Isptjte overgecju red l (s ) Rješeje: Ko je s >, ( N), to vrjed l (s ) < l π ( ) Otud je π > > O *, ( ) π π l (s ) l ( ) πl l 44 β ( ) 44 π π l α( ) ( jer je lm lm R \ {} 0 β ( ) π l α ( ) ), p dt red dvergr (buduć d red l dvergr)

11 86 l Zdt 9 + cos Isptjte overgecju red : ) ; b) (0 + ( ) ) 4+ cos ; c) Rješeje: ) Ko je lm <, red, ( 9 (0 + ( ) ) ), je overget (prem Cuchyjevom rterjumu) l l + cos 4 b) Ko je lm lm <, to, prem (poopšteom / u jjčoj form) 4 + cos 5 5 Cuchyjevom orjeom rterjumu, dt red overgr + c) Prmjetmo d je lm ' lm + z dt red, do red +, očto, overgr (o zbr dv overget geometrjs red) Npome: Ovj prmjer red pozuje d o red overgr, e sljed, općeto, d je + lm q < Zdt 94 Dožte eposredo overgecju sljedećeg red ć mu sumu: π cos ) + + ; b) + ; 4 c) x y ( ) Rješeje: ) Ko opšt čl red m obl :, ( N), z mootoo tež ul, to prem Lebzovom rterju dt red overgr Nđmo S Immo S C + l + ε ( c + l + ε ) l + ε ε, gdje je ε ( γ ) Eulerov ostt, ε 0 z Buduć d je (zbog ustovljee overgecje dtog red) lm S lm S, gdje je (S ) z prcjlh sum dtog red, očo dobjemo + + l 4 b) Ko je π π,, N, cos s,, redov, overgrju, to osovu svojstv opercj s overgetm redovm (tj, o redov b overgrju u eom vetorsom prostoru V, od vrjed ( λ + μb ) λ + μb, gdje su λ, μ prozvolj rel brojev), mmo 0 (, b V ),

12 87 π cos + c) N osovu ctrog prvl u b), mmo y x y + y+ xy+ xy + x y + x y + ( xy) + y ( xy) ( + y) ( xy), xy jer geometrjs red q, z q xy <, overgr 0 q Zdt 95 Odredte ( )!! 0 Rješeje: Ao jed od redov b overgr, drug overgr psoluto, od vrjed c b, ( c b + b + + b) Ov formul vrjed u slučju d sv tr red, b, c overgrju Ko red overgr, to prem vedeom Cuchyjevom prvlu (možej redov)! mmo: ( ) c + c, ( )! ( )! ( ) ( ) gdje je c b + ( ),, b ( )!( )! ( )! ( )! Ko je p je 0 ( ) ( ) 0, ( ), ( ) N to je c+ ( ) 0, ( N ),!( )!!!( )! ( )!! Zdt 96 Ne je 0 ( N) Td su redov evoverget (Cuchyjev odezco rterjum) Dozt! Doz: Ko je , to zbog mootoost z (S ), S, prem teorem o mootom ogrčem zovm, z overgecje red sljed overgecj red Osm tog, z ejedost + ( ) , zljučujemo d overgecj red povlč overgecju red Tme je doz ovog ( orsog / vrlo prtčog) svojstv zvrše Zdt 97 Zmjeom z (x ) odgovrjućm redom, sptt overgecju z (x ) dtog formulom x :

13 Rješeje: Ko je ( ), + + to x x x x 88 to mmo No, dobje red overgr jer je red (hperhrmojs) + + +, ( ) ( ) lm x ( + + ), ( ), overgr, p overgr zd z (x ) 0 Redov omplesh brojev Z sv omples broj z C, z x + y (x, y R) vrjed z x + y Otud eposredo sljed d je s z z 0 r (0) dt jedč ružce S (z 0, r) rdjus r (>0) s cetrom u tč z 0 : x 0 + y 0 (x 0, y 0 R ) Nme, o je z x + y, z 0 x 0 + y 0, od je z z 0 (x x 0 ) + (y y 0 ), p je (0) evvleto s (x x 0 ) + (y y 0 ) r, što je jedč ružce S (z 0, r) Prem tome, sup S (z 0, r) je zd formulom S (z 0, r) : { z C : z z 0 r } Alogo je s K (z 0, r) : { z C : z z 0 < r } (0) defr otvore rug rdjus r s sredštem u tč z 0, do je s K (z 0, r) : { z C : z z 0 r } (0) defr ztvore rug rdjus r s sredštem u tč z 0 Dle, K (z 0, r) K (z 0, r) S (z 0, r) Defcj 0 Z sup A C žemo d je ogrče (omeđe) o je o sdrž u eom rugu u C, tj o postoje z 0 C r R + tv d je A K (z 0, r) Defcj 0 Z sup Ω C žemo d je otvore, o oo sve tče z Ω može d se opše otvore rug oj je sdrž u Ω, do z sup F C žemo d je ztvore, o je jegov omplemet F c : C \ F otvore sup Lo se vd d fmlj U svh otvoreh podsupov od C m ov svojstv: (T ) Ø, C U (T ) Uj od blo olo člov z U je čl z U (T ) Presje očo člov z U je čl z U

14 89 Npomemo d se uređe pr (X, U ) prozvoljog sup X fmlje U podsupov od X z oje vrjed (T ), (T ) (T ) (d umjesto sup C mmo prozvolj sup X ) zove topološ prostor Pr tome se fmlj U zove topološ strutur l topologj prostor (X, U ), je člov otvore supov topološog prostor (X, U ) Ao je z test jso o ojoj se topologj U rd, od se često umjesto o topološom prostoru (X, U ) rće govor o prostoru X Otud sljed d je C topološ prostor, tj C je prostor omplesh brojev Npomemo d d žemo d je C prostor od smtrmo d je u C uvede pojm otvoreog sup prem defcj 0 Alogo vž z prostor R relh brojev (s tm što, umjesto otvoreog rug u C, mmo otvore tervl u R) Defcj 0 Ool tče z 0 C u prostoru C je sv sup U C s svojstvom d postoj r R + tv d je K (z 0, r) U (v sl 0) Prmjetmo d je U otvore sup o je U ool sve svoje tče Z z omplesh brojev overgecj lmes se defrju logo o z z relh brojev Defcj 04 Z sv z (z ) omplesh brojev žemo d je overget u C o postoj omples broj z 0 ( C) tv d z sv rel broj ε > 0 postoj prrod broj 0 tv d ( N) > 0 z z 0 < ε (04) Td broj z 0 zvmo grč vrjedost l lmes (l grc) z (z ) pšemo lm (z ) z 0 (l lm z z 0 l, rće, lm z z 0 ) Tođe td još žemo d z (z ) overgr z 0 l d tež z 0 d pšemo z z 0 ( ) Z z u C oj je overget u C žemo d je dverget l d dvergr Sl 0 Sl 0 Iz (04) vdmo d su sv člov z (z ), osm možd e od prvh 0 člov, sdrž u rugu K(z 0, ε) (v sl 0) Kovergecj u prostoru C može se svest overgecju u prostoru R, tj overgecju zov relh brojev Nme, e je z x + y, z 0 x 0 + y 0, (x, y, x 0, y 0 R) Td vrjed teorem:

15 90 Teorem 0 Nz (z ) omplesh brojev overgr omplesom broju z 0 o z (x ), (x Re z ), overgr x 0 ( Re z 0 ) z (y ), (y Im z ), overgr y 0 ( Im z 0 ) Doz: Ko je x x 0 Re z Re z 0 Re (z z 0 ) z z 0, y y 0 Im z Im z 0 Im (z z 0 ) z z 0, to lm z z 0 povlč lm x x 0 lm y y 0 S druge stre, o je lm x x 0 lm y y 0, od z sv ε > 0 postoj 0 N tv d vž ( N) > 0 ε ε x x0 < y y0 < Odvde sljed d z sv > 0 vrjed ε ε z z 0 (x x 0 ) + (y y 0 ) x x 0 + y y 0 < + ε, to zč d je lm z z 0 QED Prmjetmo d se pojmov overgetog z u C jegovog lmes, uvede defcjom 04, mogu evvleto uvest pomoću ool tč u C (logo o z zove u R) Broj red z : ( + b ) (05) čj su člov z : + b (, b R, ( N)) omples brojev zvmo broj red s omplesm človm (l omples broj red l red omplesh brojev) Prcjl sum S des ( -t prcjl sum) ovog red dt je s S : z + b, ( N) (06) Pojmov grče vrjedost overgecje red omplesh brojev dt su rje vedem defcjm th pojmov u opštm ormrm prostorm (jer se C može shvtt o ormr prostor u odosu ormu dtu s z z (Re z) + (Im z) Otud vdmo d vrjed: Grč vrjedost lm S : S postoj o postoj lm : lm A : A postoj lm b : lm B : B U tom slučju je S A + B, tj red (05) overgr m sumu S : A + B o overgrju redov, b redom A, B U tom slučju se pše ( + b ) + b (08) pr tome red zovemo rel do red (05), red b zovemo mgr do red (05) Dle, pr sptvju overgecje redov omplesh brojev mogu se prmjet rterj z overgecju redov relh brojev (preczje, rele mgre djelove redov

16 omplesh brojev) No, z redove omplesh brojev vže logo Cuchyjevog rterj overgecje z red relh brojev, Bolzo Weerstrssove teoreme z zove supove, dr (pr, vž d sv ogrče z (z ) omplesh brojev m overget podz; d sv Cuchyjev z (z ) u C je overget (u C)) Često je od teres posmtrt redove omplesh brojev obl, ( α + β ; α, β R) (09) Z red (09) žemo d overgr o overgr sv od redov, (00) 0 U tom slučju je sum S red (09) dt s S A + B, gdje je A sum prvog, B sum drugog red u (00) Lo se vd d red (09) overgr m sumu S o z sv ε > 0 postoj prrod broj 0 tv d z sve, m N vrjed: m 0 m 0 S ε Ne je sd z 0 C e su c, ( N) omples brojev Z z C rzmotrmo red c( z z0) (0) Red obl (0) zove se Luretov ) (Lorov) red Područje overgecje tvog red proučvmo u ovru poglvlj Stepe redov Iče se Luretov redov detljo proučvju u ovru oblst Komples lz Dozuje se d sv Luretov red obl (0) defr tzv ltču fucju otvoreom ružom prsteu K (z 0 ; R, R ) : {z C : R < z z 0 < R } Z red z u C žemo d psoluto overgr (u C) o red z overgr (u R) Z tve redove vrjed sljedeć teorem (o dovoljom uslovu z overgecju red (05)): Teorem 0 Ao overgr red z, od overgr red (05) Doz: Iz z + b sljed z ( + b ) b z z sv N Otud, prem poredbeom rterju poztvh redov relh brojev, zljučujemo d z overgecje red z sljed overgecj svog od redov, b, tj sv od redov, b, je psoluto overget, p, dle, overget Zto overgr red ( + b ) : z Q E D Prmjer 0 Isptjmo overgecju red + 4 / + Rješeje: Rzmotrmo red Ko je lm red / overgr, to zljučujemo d red overgr (u R) Zto, prem teorem 0, 4 + overgr polz red omplesh brojev (u C) ) Perre Alphose Luret (8 854) frcus mtemtčr 9

17 9 Zdt 0 Ao je lm z, dožte d je lm z Prmjerom požte d obruto je tčo Uput: Ao je z : e, od je lm z lm +, lm z e + postoj (jer lm e e postoj) Zdt 0 Nđte sljedeću grču vrjedost (z omplesh brojev): lm + + Rezultt Zdt 0 Isptjte overgecju red + Uput: Ko je z, ( N), o red + red (omplesh brojev) dvergr ( ) Zdt 04 Isptjte overgecju red, ( α > 0) ( + ) α θ dvergr, to zd e Zdt 05 Dožte d red e overgr psoluto o overgr občo z l sv θ R( θ π, Z ), gdje je mgr jedc Uput: Prmjett d je e θ z sv prrod broj ( ), tj d je z θ s prcjlh sum red e θ ogrče, te d z l mootoo tež ul Alogo o u supu R uvode se pojm prozvod redov omplesh brojev, te pojmov besočog prozvod omplesh brojev jegove overgecje (u supu C) ( ) Zdt 05* )Isptjte z sv t R (obču) overgecju redov, t s t b)isptjte z sv t R uslovu psolutu overgecju besočog prozvod ( ) + t cos t + s t, gdje je mgr jedc red ( ) * ) Zdt zdv z domću zdću (DZ) (prcjl /l tegrl) psme spt z Ižejerse mtemte (IM) Eletrotehčom fultetu Uverztet u Srjevu

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1 I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 7 Hurt qum rro qu dsěre vult se lro [Crpe vodu stom to žel učt ez jge] LATINSKA IZREKA) P r e d v j u V I s e d m 7 Redov s prozvoljm človm Redov s človm prozvoljog

Διαβάστε περισσότερα

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1 54 I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A Repetitio est mter studiorum. [Povljje je mj učej / zj.] (LATINSKA IZREKA) P r e d v j u V s e d m i c i.. Pojm i osov svojstv griče vrijedosti iz Pojmovi iz

Διαβάστε περισσότερα

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1 I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A P r e d v j z č e t v r t u s e d m i c u s t v e (u demsoj 009/00. godii) G L A V A N I Z O V I I R E D O V I.. Općeito o izovim Izdržti, to je temelj vrlie.

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza Mte Vijug: Rijesei zdci iz mtemtike z sredju skolu. ARITMETICKI I GEOMETRIJKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. Aritmeticki iz Opci oblik ritmetickog iz: + - d Gdje je: prvi cl ritmetickog iz ti cl ritmetickog

Διαβάστε περισσότερα

Aritmetički i geometrijski niz

Aritmetički i geometrijski niz Zadac sa prethodh prjemh spta z matematke a Beogradskom uverztetu Artmetčk geometrjsk z. Artmetčk z. 00. FF Zbr prvh dvadeset člaova artmetčkog za čj je prv čla, a razlka A) 0 B) C) D) 880 E) 878. 000.

Διαβάστε περισσότερα

α =. n n n Vježba 001 Koliko stranica ima pravilni mnogokut ako jedan njegov unutarnji kut iznosi 144? Rezultat: n = 10.

α =. n n n Vježba 001 Koliko stranica ima pravilni mnogokut ako jedan njegov unutarnji kut iznosi 144? Rezultat: n = 10. Zdtk (Mrij, gimzij) Koliko stric im prvili mogokut ko jed jegov uutrji kut izosi 8? Rješeje Formul z veličiu jedog uutrjeg kut prvilog mogokut je: ( ) 8 α = ( ) 8 8 = / 8 = ( ) 8 8 = 8 6 8 8 = 6 7 = 6

Διαβάστε περισσότερα

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 2

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 2 I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A Glv IX : INTEGRAL PO FIGURI U R OJNI TROJNI I IŠESTRUKI INTEGRALI KRIOLINIJSKI I PORŠINSKI INTEGRALI 90 Osov pojmov o tegrlm relh ukcj vše relh promjeljvh U Ižejerskoj

Διαβάστε περισσότερα

Dodatak B. Furijeovi redovi. Posmatrajmo na intervalu [ l, neku funkciju f (x)

Dodatak B. Furijeovi redovi. Posmatrajmo na intervalu [ l, neku funkciju f (x) Dodtk B Furijeovi redovi Posmtrjmo itervu [, eku fukciju f () i ek je o tom itervu eprekid u deovim (im koč roj prekid prve vrste - prekidi u kojim fukcij im koč skok s eve desu griču vredost (vidi S.

Διαβάστε περισσότερα

2.6 Nepravi integrali

2.6 Nepravi integrali 66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,

Διαβάστε περισσότερα

Metoda najmanjih kvadrata

Metoda najmanjih kvadrata Metoda ajmajh kvadrata Moday, May 30, 011 Metoda ajmajh kvadrata (MNK) MNK smo već uvel u proučavaju leare korelacje; gdje smo tražl da suma kvadrata odstupaja ekspermetalh točaka od pravca koj h a ajbolj

Διαβάστε περισσότερα

METODE OPTIMIZACIJE NELINEARNO PROGRAMIRANJE

METODE OPTIMIZACIJE NELINEARNO PROGRAMIRANJE MEODE OPIMIZACIJE NELINEARNO PROGRAMIRANJE Dr Dšć Dr Mloš Stć Grđevsk kultet Uverztet u Beogrdu 4. UVOD FORMULACIJA PROBLEMA Zdtk optmzcje je prolžeje promeljvh pr kojm clj krterjumsk ukcj uzm ekstremu

Διαβάστε περισσότερα

ČETVOROUGAO. β 1. β B. Četvorougao je konveksan ako duž koja spaja bilo koje dve tačke unutrašnje oblasti ostaje unutar četvorougla.

ČETVOROUGAO. β 1. β B. Četvorougao je konveksan ako duž koja spaja bilo koje dve tačke unutrašnje oblasti ostaje unutar četvorougla. Mnogougo oji im četii stnice nziv se četvoougo. ČETVOROUGAO D δ δ γ C A α β B β Z svi četvoougo vži im je zi unutšnji i spoljšnji uglov isti i iznosi 0 0 α β γ δ 0 0 α β γ δ 0 0 Njpe žemo četvoouglovi

Διαβάστε περισσότερα

FURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II

FURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II FURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II deo Primer. Fukciju f ( = rzviti u Furijeov red segmetu [,] ztim izrčuti sumu red. ( Rešeje: Kko je f ( = = = f ( zkjučujemo d je fukcij pr. Koristimo formue: = f ( = + ( cos

Διαβάστε περισσότερα

4. Trigonometrija pravokutnog trokuta

4. Trigonometrija pravokutnog trokuta 4. Trigonometrij prvokutnog trokut po školskoj ziri od Dkić-Elezović 4. Trigonometrij prvokutnog trokut Formule koje koristimo u rješvnju zdtk: sin os tg tg ktet nsuprot kut hipotenuz ktet uz kut hipotenuz

Διαβάστε περισσότερα

Beskonačni redovi 1.1 BROJEVNI REDOVI. Beskonačni brojevni red (numerički red, red sa konstantnim članovima) predstavlja sumu u :

Beskonačni redovi 1.1 BROJEVNI REDOVI. Beskonačni brojevni red (numerički red, red sa konstantnim članovima) predstavlja sumu u : Besoči redovi. BROJEVNI REDOVI Besoči brojevi red umeriči red, red s osttim človim predstvlj sumu u : svih člov eog besočog brojevog iz { } Zbirove u u u u. s u, s u u, K, s u. zivmo prcijli zbirovi. Kžemo

Διαβάστε περισσότερα

ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА

ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА empertur sežeg beton menj se tokom remen i zisi od ećeg broj utijnih prmetr: Početne temperture mešine (n izsku iz mešie), emperture sredine, opote hidrtije ement, Rzmene topote

Διαβάστε περισσότερα

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 2

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 2 I N Ž E N J E R S K A M A E M A I K A P r e d v j G L A V A 8 OURIEROVI REDOVI, OURIEROVI INEGRALI I OURIEROVA RANSORMACIJA 8.. U v o d m cresc eudo. [Gs rse šrejem.] Lsk posovc ourerov red je jed od jvžjh

Διαβάστε περισσότερα

0 = x 0 < x 1 <... < x n = 1, x k = k n, x = 1 0 n. f(x k ) x =

0 = x 0 < x 1 <... < x n = 1, x k = k n, x = 1 0 n. f(x k ) x = Chpter Odredjen ntegrl Problem Nek je zdn funkcje f : [,b] R, f(x). Kko odredt površnu omedjenu grfom funkcje f(x) x-os? Površn prvokutnk: S = b Površn trokut: S = 1 v Kko defnrt površnu lk čje su strnce

Διαβάστε περισσότερα

Vježba 1. Analiza i sinteza sistema regulacije brzine vrtnje istosmjernog motora

Vježba 1. Analiza i sinteza sistema regulacije brzine vrtnje istosmjernog motora ortorjske vježe z predet ootk uprvljje prozvod sste Vjež Vjež Alz stez sste regulcje rze vrtje stosjerog otor Clj vježe: Stez regultor rze vrtje stosjerog otor pooću etod tehčkog setrčog optu Alzrt dčko

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 1 8. NIZOVI

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 1 8. NIZOVI Geodetski fkultet, dr sc J Beb-Brkić Predvj iz Mtemtike 8 NIZOVI Pojm iz Nek je N skup prirodih brojev Prem ekom prvilu svki broj iz N zmijeimo ekim brojem:,,,, R Št smo dobili? Budući d je svkom elemetu

Διαβάστε περισσότερα

ο ο 3 α. 3"* > ω > d καΐ 'Ενορία όλις ή Χώρί ^ 3 < KN < ^ < 13 > ο_ Μ ^~~ > > > > > Ο to X Η > ο_ ο Ο,2 Σχέδι Γλεγμα Ο Σ Ο Ζ < o w *< Χ χ Χ Χ < < < Ο

ο ο 3 α. 3* > ω > d καΐ 'Ενορία όλις ή Χώρί ^ 3 < KN < ^ < 13 > ο_ Μ ^~~ > > > > > Ο to X Η > ο_ ο Ο,2 Σχέδι Γλεγμα Ο Σ Ο Ζ < o w *< Χ χ Χ Χ < < < Ο 18 ρ * -sf. NO 1 D... 1: - ( ΰ ΐ - ι- *- 2 - UN _ ί=. r t ' \0 y «. _,2. "* co Ι». =; F S " 5 D 0 g H ', ( co* 5. «ΰ ' δ". o θ * * "ΰ 2 Ι o * "- 1 W co o -o1= to»g ι. *ΰ * Ε fc ΰ Ι.. L j to. Ι Q_ " 'T

Διαβάστε περισσότερα

10.1. Bit Error Rate Test

10.1. Bit Error Rate Test .. Bt Error Rat Tst.. Bt Error Rat Tst Zadata. Izračuat otrba broj rth formacoh bta u BER tstu za,, ogršo dttovaa bta a rjmu, tao da s u sstmu sa brzoom sgalzacj od Mbs mož tvrdt da j vrovatoća grš rosa

Διαβάστε περισσότερα

Veliine u mehanici. Rad, snaga i energija. Dinamika. Meunarodni sustav mjere (SI) 1. Skalari. 2. Vektori - poetak. 12. dio. 1. Skalari. 2.

Veliine u mehanici. Rad, snaga i energija. Dinamika. Meunarodni sustav mjere (SI) 1. Skalari. 2. Vektori - poetak. 12. dio. 1. Skalari. 2. Vele u ehc Rd, g eegj D. do. Sl. Veo 3. Tezo II. ed 4. Tezo IV. ed. Sl: 3 0 pod je jedc (ezo ulog ed). Veo: 3 3 pod je jedc (ezo pog ed) 3. Tezo dugog ed 3 9 pod je jedc 4. Tezoeog ed 3 4 8 pod je jedc

Διαβάστε περισσότερα

Rijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5

Rijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5 Rijeseni neki zdci iz poglvlj 4.5 Prije rijesvnj zdtk prisjetimo se itnih stvri koje ce ns prtiti tijekom njihovog promtrnj. Definicij: (Trigonometrij prvokutnog trokut) ktet nsuprot kut ϕ sin ϕ hipotenuz

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i

4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine

Διαβάστε περισσότερα

= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi

= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi Zdtk 0 (Anstzij, gimnzij) Provjeri je li funkcij f log( 5) + + injekcij Rješenje 0 Kžemo d funkcij f im svojstvo injektivnosti ili d je on injekcij ko vrijedi f ( ) f ( ) Dkle, funkcij je injekcij ko rzličitim

Διαβάστε περισσότερα

skupa prirodnih brojeva u skup realnih brojeva, nazivamo realnim nizom.

skupa prirodnih brojeva u skup realnih brojeva, nazivamo realnim nizom. Nizovi. Osovi pojmovi kod izov.. Defiicij i osovi pojmovi Defiicij... Svko preslikvje f : N R, skup prirodih brojev u skup relih brojev, zivmo re izom. Broj koji se ovim preslikvjem dodeljuje prirodom

Διαβάστε περισσότερα

Općenito, iznos normalne deformacije u smjeru normale n dan je izrazom:

Općenito, iznos normalne deformacije u smjeru normale n dan je izrazom: Otporost mterijl. Zdtk ZDTK: U točki čeliče kostrukije postvlje su tri osjetil z mjereje deformij prem slii. ri opterećeju kostrukije izmjeree su reltive ormle (dužiske deformije: b ( - b 3 - -6 - ( b

Διαβάστε περισσότερα

Matematički osnovi Z transformacije

Matematički osnovi Z transformacije Mtemtiči osnovi Z trnsformcije Uvod u Z-trnsformciju: Z-trnsformcij i njen invern trnsformcij se u mtemtici rmtrju i rlog što ovve trnsformcije imju neposrednu primenu u eletrotehnici i to prvenstveno

Διαβάστε περισσότερα

RAČUNANJE SA PRIBLIŽNIM VREDNOSTIMA BROJEVA

RAČUNANJE SA PRIBLIŽNIM VREDNOSTIMA BROJEVA RAČUNANJE SA PRIBLIŽNIM VREDNOSTIMA BROJEVA PRIBLIŽNI BROJ I GREŠKA tača vredost ekog broja X prblža vredost ekog broja X apsoluta greška Δ = X X graca apsolute greške (gorja graca) relatva greška X X

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc

Διαβάστε περισσότερα

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1 I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A Oaj koj cje praksu bez teorjskh osova slča je moreplovcu koj ulaz u brod bez krme busole e zajuć kuda se plov. ( LEONARDO DA VINCI ) P r e d a v a j a z a d r

Διαβάστε περισσότερα

1. KOMBINATORIKA. n = V k. V 4 2 (sa ponavljanjem):

1. KOMBINATORIKA. n = V k. V 4 2 (sa ponavljanjem): Verovtoć sttst zbr zdt.. Vrjje. KOMINTORIK Immo su S{,,..., }, N, Vrjj -te lse bez ovljj u suu S je sv ureñe -tor,,..., meñusobo rzlčth elemet su S. roj vrjj bez ovljj od elemet -te lse odreñujemo o formul:

Διαβάστε περισσότερα

GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo

GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zdci II deo U sledećim zdcim ćemo korisii poznu grničnu vrednos: li i mnje vrijcije n i 0 n ( Zdci: ) Odredii sledeće grnične vrednosi: Rešenj: 4 ; 0 g ; 0 cos v) ; g) ; 4 ;

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Specijalna vrsta nepravih integrala jesu oni koji sadrze potencije ili geometrijski red u podintegralnoj funkciji.

Specijalna vrsta nepravih integrala jesu oni koji sadrze potencije ili geometrijski red u podintegralnoj funkciji. Mt Vijug: Rijsni zdci iz vis mtmti 9. NEPRAVI INTEGRALI 9. Opcnito o nprvim intgrlim Intgrl oli f d s nziv nprviln o: ) jdn ili oj grnic intgrcij nisu oncn vc soncn:, ) pod intgrln funcij f j prinut u

Διαβάστε περισσότερα

F (t) F (t) F (t) OGLEDNI PRIMJER SVEUČILIŠTE J.J.STROSSMAYERA U OSIJEKU ZADATAK

F (t) F (t) F (t) OGLEDNI PRIMJER SVEUČILIŠTE J.J.STROSSMAYERA U OSIJEKU ZADATAK OGLEDNI PRIMJER ZADAAK Odredte dnamčke karakterstke odzv armranobetonskog okvra C-C prkazanog na slc s prpadajućom tlorsnom površnom, na zadanu uzbudu tjekom prve tr sekunde, ako je konstrukcja prje djelovanja

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 16.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 16.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnčk fakultet unverzteta u Beogradu 6.maj 8. Odsek za Softversko nžnjerstvo Performanse računarskh sstema Drug kolokvjum Predmetn nastavnk: dr Jelca Protć (35) a) () Posmatra se segment od N uzastonh

Διαβάστε περισσότερα

x n = z z C, signal na izlazu mreže će biti jednak: ( ) = k ( ) H z y n b x n k a y n k k k k k k M k 1+ a z z + a z 1 p z z p 1+ +

x n = z z C, signal na izlazu mreže će biti jednak: ( ) = k ( ) H z y n b x n k a y n k k k k k k M k 1+ a z z + a z 1 p z z p 1+ + FUKCIJ PREOS DISKREE MREŽE ko ul dskrete mreže čj je muls odv jedk h dovedemo komleksu eksoecjlu sekvecu C sgl lu mreže će bt jedk: k k h h k k h k h k k k k. č kko dskret mrež mjej sgl defs je fukcjom

Διαβάστε περισσότερα

transformacija j y i x x promatramo dva koordinatna sustava S i S sa zajedničkim ishodištem z z Homogene funkcije Ortogonalne transformacije

transformacija j y i x x promatramo dva koordinatna sustava S i S sa zajedničkim ishodištem z z Homogene funkcije Ortogonalne transformacije promatramo dva oordnatna sustava S S sa zaednčm shodštem z z y y x x blo o vetor možemo raspsat u baz, A = A x + Ay + Az = ( A ) + ( A ) + ( A ) (1) sto vred za ednčne vetore sustava S = ( ) + ( ) + (

Διαβάστε περισσότερα

Rešenja A/2 kolokvijuma iz predmeta MERNI SISTEMI U TELEKOMUNIKACIJAMA 10. januar 2006.

Rešenja A/2 kolokvijuma iz predmeta MERNI SISTEMI U TELEKOMUNIKACIJAMA 10. januar 2006. šnj A/ kolokvijum iz prdmt MENI SISEMI U ELEKOMUNIKACIJAMA. jnur. Zdtk. D i prikznim urđjm mogl mriti mplitud čtvrtog hrmonik u mmorijki lok tr d ud upin ditrovn zin unkcij ( t) y co π Izlz iz urđj j td

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Analitička geometrija i linearna algebra. Kartezijev trodimenzionalni pravokutni koordinatni sustav čine 3 međusobno okomite osi: Ox os apscisa,

Analitička geometrija i linearna algebra. Kartezijev trodimenzionalni pravokutni koordinatni sustav čine 3 međusobno okomite osi: Ox os apscisa, Alitičk geoetrij i lier lger Vektori KOORDINATNI SUSTAV Krteijev prvokuti koorditi sustv Krteijev trodieioli prvokuti koorditi sustv čie eđusoo okoite osi: O os pscis O os ordit O os plikt točk O ishodište

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

1. ELEMENTI LOGIKE I TEORIJE SKUPOVA IZJAVE, VEZNICI, KVANTIFIKATORI

1. ELEMENTI LOGIKE I TEORIJE SKUPOVA IZJAVE, VEZNICI, KVANTIFIKATORI Geodetsi fultet, dr. sc. J. eb-rić Predvj iz Mtemtie. ELEMETI LOGIKE I TEORIJE KUPOV IZJVE, VEZICI, KVTIFIKTORI eolio riječi o mtemtičoj logici. Upotrebljvt ćemo pojmove mtemtiče logie li se ećemo jom

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

IZVOD FUNKCIJE Predpostvimo d je unkcij deinisn u nekom intervlu, i d je tčk iz intervl, iksirn. Uočimo neku proizvoljnu tčku iz tog intervl,. Ov tčk može d se pomer levo desno, p ćemo je zvti promenljiv

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

VALJAK. Valjak je geometrijsko telo ograničeno sa dva kruga u paralelnim ravnima i delom cilindrične površi čije su

VALJAK. Valjak je geometrijsko telo ograničeno sa dva kruga u paralelnim ravnima i delom cilindrične površi čije su ALJAK ljk je geometijsko telo ogničeno s dv kug u plelnim vnim i delom ilindične povši čije su izvodnie nomlne n vn ti kugov. Os vljk je pv koj polzi koz ente z. Nvno ko i do sd oznke su: - je povšin vljk

Διαβάστε περισσότερα

Το άτομο του Υδρογόνου

Το άτομο του Υδρογόνου Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

TEHNIČKI FAKULTET SVEUČILIŠTA U RIJECI Zavod za elektroenergetiku. Prijelazne pojave. Osnove elektrotehnike II: Prijelazne pojave

TEHNIČKI FAKULTET SVEUČILIŠTA U RIJECI Zavod za elektroenergetiku. Prijelazne pojave. Osnove elektrotehnike II: Prijelazne pojave THNIČKI FAKUTT SVUČIIŠTA U IJI Zavod za elekroenergek Sdj: Preddplomsk srčn sdj elekroehnke Kolegj: Osnove elekroehnke II Noselj kolegja: v. pred. mr.sc. Branka Dobraš, dpl. ng. el. Prjelazne pojave Osnove

Διαβάστε περισσότερα

I N Ţ E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1

I N Ţ E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1 I N Ţ E N J E R S K A M A T E M A T I K A Quod ert demostrdum. [ Što je treblo dokzti. Skrćeo: Q.e.d.] LATINSKI PREVOD EUKLIDOVIH RIJEČI. P r e d v j z š e s t u s e d m i u s t v e u kdemskoj 8/9. odii

Διαβάστε περισσότερα

Vektori u ravnini. - Nije bitan redoslijed AB ili BA

Vektori u ravnini. - Nije bitan redoslijed AB ili BA Vektor u rnn. Osnon pomo o ektorm Skup sh tok prc p zmeu ukluuu nh sme ne dužnu Ne tn redosled l e poetn tok e zršn tok odsek n prcu p Defnc: Usmeren odsek od toke ko poetne toke do toke ko zršne toke

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Skripta za usmeni ispit iz IM1

Skripta za usmeni ispit iz IM1 Skript z usmei ispit iz IM T Pojmovi (logičkog) iskz i predikt Defiicij: Sud ili iskz je deklrtiv izjv koj u pogledu istiitosti zdovoljv dv pricip: sud je ili istiit ili eistiit (pricip iskljucej treceg)

Διαβάστε περισσότερα

NEJEDNAKOSTI I PRIMENE

NEJEDNAKOSTI I PRIMENE NEJEDNAKOSTI I PRIMENE dr Jele Mojlović Prirodo-mtemtički fkultet Niš SADRŽAJ Nejedkosti izmed u brojih sredi Prime ejedkosti izmed u brojih sredi 6 Geometrijske ejedkosti Nejedkosti z elemete trougl Stereometrijske

Διαβάστε περισσότερα

Numerička integracija

Numerička integracija umerčk tegrcj Zdtk umerčke tegrcje umerčk tegrcj je postupk zrčuvj prlže vredost određeog tegrl: < d. z vredost podtegrle ukcje dt uređeom telom čemu pretpostvljmo d je: pr... Bzr se ko umerčko derecrje

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx. Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),

Διαβάστε περισσότερα

SLIČNOST TROUGLOVA. kažemo da su slične ( sa koeficijentom sličnosti k ) ako postoji transformacija sličnosti koja figuru F prevodi u figuru F

SLIČNOST TROUGLOVA. kažemo da su slične ( sa koeficijentom sličnosti k ) ako postoji transformacija sličnosti koja figuru F prevodi u figuru F SLIČNOST TROUGLOV Z dve figure F i F kžemo d su slične ( s koefiijentom sličnosti k ) ko postoji trnsformij sličnosti koj figuru F prevodi u figuru F. Činjeniu d su dve figure slične obeležvmo s F F. Sličnost

Διαβάστε περισσότερα

A MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1

A MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1 A MATEMATIKA (.5.., treći kolokvij). Zdn je z 3 + os. () Izrčunjte ngib plohe u pozitivnom smjeru -osi. (b) Izrčunjte ngib pod ) u točki T(, ). () Izrčunjte z u T(, ). (5 bodov). Zdn je z 3 ln. () Izrčunjte

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Neodreeni integrali. Glava Teorijski uvod

Neodreeni integrali. Glava Teorijski uvod Glv Neodreeni integrli. Teorijski uvod Nek je funkcij f :, b R. Definicij: ϕ- primitivn funkcij funkcije f ϕ f, b Teorem: ϕ- primitivn funkcij funkcije f ϕ+c- primitivn funkcij funkcije f Definicij: f

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

PRIJENOS i DISTRIBUCIJA ELEKTRIČNE ENERGIJE

PRIJENOS i DISTRIBUCIJA ELEKTRIČNE ENERGIJE TEHIČKI FAKULTET SVEUČILIŠTA U RIJEI Sveučlš dplomsk studj elektrotehke PRIJEOS DISTRIBUIJA ELEKTRIČE EERGIJE. KOSTRUKIJSKI RAD - MEHAIČKI PRORAČU ADZEMIH VODOVA Izrčujte zrdte motže tblce provjes prezj

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

AKSIOMATIKA TEORIJE VEROVATNOĆE

AKSIOMATIKA TEORIJE VEROVATNOĆE AKSIOMATIKA TEORIJE VEROVATNOĆE E Aksomatka teorje verovatoće Polaz se od osovh stavova, tzv. aksoma, a osovu kojh se sve ostale osobe mogu dokazat. Za posmatra prostor el. shoda aksomatzacja daje odgovore

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor I. VEKTORI d. sc. Min Rodić Lipnović 009./010. 1 Pojm vekto A B dužin A B usmjeen (oijentin) dužin (n se koj je točk početn, koj kjnj) A B vekto - kls ( skup ) usmjeenih dužin C D E F AB je epeentnt vekto

Διαβάστε περισσότερα

Računanje sa približnim brojevima

Računanje sa približnim brojevima čuje s prblžm brojevm. IZVOI GEŠK Hemjsko-žejersk prorču u opštem slučju obuhvt dve e: Formulsje eophodh jedč mtemtčkog model ešvje mtemtčkog model Nek je lj prorču određvje eke velče, koj je ukj prmetr

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

KUPA I ZARUBLJENA KUPA

KUPA I ZARUBLJENA KUPA KUPA I ZAUBLJENA KUPA KUPA Povšin bze B Povšin omotč M P BM to jet P B to jet S O o kupe Oni peek Obim onog peek O op Povšin onog peek P op Pimen pitgoine teoeme vnotn jednkotn kup je on kod koje je, p

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

PIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA. - omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi), naravno trostrana piramida u omotaču

PIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA. - omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi), naravno trostrana piramida u omotaču PIRAMIDA I ZARULJENA PIRAMIDA Slično ko i kod pizme i ovde ćemo njpe ojniti oznke... - oeležvmo dužinu onovne ivice - oeležvmo dužinu viine pimide - oeležvmo dužinu viine očne tne ( potem) - oeležvmo dužinu

Διαβάστε περισσότερα

HONDA. Έτος κατασκευής

HONDA. Έτος κατασκευής Accord + Coupe IV 2.0 16V (CB3) F20A2-A3 81 110 01/90-09/93 0800-0175 11,00 2.0 16V (CB3) F20A6 66 90 01/90-09/93 0800-0175 11,00 2.0i 16V (CB3-CC9) F20A8 98 133 01/90-09/93 0802-9205M 237,40 2.0i 16V

Διαβάστε περισσότερα

Moguća i virtuelna pomjeranja

Moguća i virtuelna pomjeranja Dnamka sstema sa vezama Moguća vrtuelna pomjeranja f k ( r 1,..., r N, t) = 0 (k = 1, 2,..., K ) df k dt = r + t = 0 d r = r dt moguća pomjeranja zadovoljavaju uvjet: df k = d r + dt = 0. t δ r = δx +

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

3525$&8158&1(',=$/,&(6$1$92-1,095(7(120

3525$&8158&1(',=$/,&(6$1$92-1,095(7(120 Srednja masinska skola OSOVE KOSTRUISAJA List1/8 355$&8158&1(',=$/,&(6$1$9-1,095(7(10 3ROD]QLSRGDFL maksimalno opterecenje Fa := 36000 visina dizanja h := 440 mm Rucna sila Fr := 350 1DYRMQRYUHWHQR optereceno

Διαβάστε περισσότερα

Reverzibilni procesi

Reverzibilni procesi Reverzbln proces Reverzbln proces: proces pr koja sste nkada nje vše od beskonačno ale vrednost udaljen od ravnoteže, beskonačno ala proena spoljašnjh uslova ože vratt sste u blo koju tačku, proena ože

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA Trignmetrij je prvitn predstvlj lst mtemtike kje se vil izrčunvnjem nepzntih element trugl pmću pzntih. Sm njen nziv ptiče d dve grčke reči TRIGONOS- št znči trug

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Glava 5 Z-TRANSFORMACIJA I NJENE PRIMJENE U ANALIZI DISKRETNIH LTI ISTEMA

Glava 5 Z-TRANSFORMACIJA I NJENE PRIMJENE U ANALIZI DISKRETNIH LTI ISTEMA Glava 5 Z-TRANSFORMACIJA I NJENE PRIMJENE U ANALIZI DISKRETNIH LTI ISTEMA Trasformacoe tehke su moća alat a aalu sgala LTI sstema. U ovoj glav ćemo uvest -trasformacju, opsat jee osobe mogućost prmjee

Διαβάστε περισσότερα

Linearna korelacija. Vrijedi: (1) 1 r 1

Linearna korelacija. Vrijedi: (1) 1 r 1 Leara korelacja Korelacja je mjera leare zavsost dvju serja podataka 1,,..., 1,,...,. Drugm rječma, ako su točke 1, 1,,,..., gruprae oko regresjskog pravca, oda govormo da su podatc korelra learo korelra.

Διαβάστε περισσότερα

Radio détection des rayons cosmiques d ultra-haute énergie : mise en oeuvre et analyse des données d un réseau de stations autonomes.

Radio détection des rayons cosmiques d ultra-haute énergie : mise en oeuvre et analyse des données d un réseau de stations autonomes. Radio détection des rayons cosmiques d ultra-haute énergie : mise en oeuvre et analyse des données d un réseau de stations autonomes. Diego Torres Machado To cite this version: Diego Torres Machado. Radio

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Složeni cevovodi

MEHANIKA FLUIDA. Složeni cevovodi MEHANIKA FLUIDA Složeni cevovoi.zaata. Iz va velia otvorena rezervoara sa istim nivoima H=0 m ističe voa roz cevi I i II istih prečnia i užina: =00mm, l=5m i magisalni cevovo užine L=00m, prečnia D=50mm.

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih nizova

Granične vrednosti realnih nizova Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz velike otvore

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz velike otvore MEANIKA FLUIDA Isticnje krz velike tvre 1.zdtk. Krz veliki ptvr u bčn zidu rezervr blik rvnkrkg trugl snve i keficijent prtk µ, ističe vd. Odrediti prtk krz tvr k su pznte veličine 1 i (v.sl.). Eleentrni

Διαβάστε περισσότερα