Mαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Mαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός"

Υπάτιος Ουζουνίδης
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΤΗΜΑΤΩΝ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2004 Θέμα 1 ο : Αποδείξτε με τον κανόνα της επίλυσης τα ακόλουθα Α. Η πρόταση (Α (Β C)) & (A B) & (A C) είναι μη επαληθεύσιμη Β. Η Β είναι αποδείξιμη από το Δ={ (Β Α), ((Β&Γ) Α), ((Α&Β) Γ) } Γ. {(Αχ( α(χ) (β(χ)& γ(χ)) )), (Εχ(α(χ)&δ(χ) )} Εχ (δ(χ) & γ(χ)) Θέμα 2 ο : Χρησιμοποιώντας το τις σχεσιακές σταθερές < 2 (μικρότερο), = 2 (ίσο), αριθμός 1 (αριθμός) τις συναρτήσεις + 2 και 2 (άθροισμα και διαφορά αντίστοιχα δύο αριθμών) να διατυπώσετε τις εξής εκφράσεις σε κατηγορηματική λογική Α. Υπάρχει αριθμός μικρότερος του 5 και μεγαλύτερος του 3 Β. Για κάθε αριθμό χ υπάρχει αριθμός y μικρότερος του χ Γ. Για κάθε αριθμό χ υπάρχει αριθμός y μεγαλύτερος του χ Δ. Για όλους τους αριθμούς χ και y το άθροισμά (χ+y) ισούται με το άθροισμα (y+χ) Ε. Για κάθε αριθμό χ υπάρχει αριθμός y τέτοιος ώστε για κάθε z για το οποίο αν η διαφορά (z-5) είναι μικρότερη του y τότε η διαφορά χ-7 είναι μικρότερη του 3. Θέμα 3 ο : Να βρεθεί, αν υπάρχει, ο πιο γενικός ενοποιητής για τα ακόλουθα ζεύγη Α. p(f(a),g(x)), p(y,y) B. p(a,x,h(g(z))), p(z,h(y),h(y)) Γ.q(f(w),a,z), q(w,b,f(z)) Δ. loves(x,f(y)), loves(george, football) Ε. p(f(x),a), p(y,w) Θέμα 4 ο : Να γραφτεί διαδικασία PROLOG που να παραθέτει δύο λίστες σε μια. Π.χ. η σχέση append([1,2,3],[4,5,6],[1,2,3,4,5,6]) θα πρέπει να είναι αληθής. Να δοθεί το υπολογιστικό δέντρο για την append([1,2],[3,4],x).

{(Αχ( α(χ) (β(χ)& γ(χ)) )), (Εχ(α(χ)&δ(χ) )} Εχ (δ(χ) & γ(χ)) Θέμα 2 ο : Χρησιμοποιώντας το τις σχεσιακές σταθερές < 2 (μικρότερο), = 2 (ίσο), αριθμός 1 (αριθμός) τις συναρτήσεις + 2 και 2 (άθροισμα

2 ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΤΗΜΑΤΩΝ Μαθηματική Λογική και Λογικός Διδάσκων: Γ.Βούρος ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2005 Επιλέγετε μεταξύ 2 ου, 4 ου και 5 ου θέματος. Θέμα 1 ο. Αποδείξτε με τον κανόνα της επίλυσης: Α. Οτι η ακόλουθη πρόταση είναι αληθής (Β Α) ((Β&Γ) Α) ((Α&Β) Γ) Β Γ. Αν Δ= { Χ. Υ. (α(χ) σ(υ) γ(χ,υ)), {κάθε άλογο είναι γρηγορότερο από κάθε σκύλο} Υ. (λ(υ) Ζ. (λγ(ζ) γ(υ,ζ))), {υπάρχει λαγωνικό που είναι γρηγορότερο από κάθε λαγό} Υ. (λ(υ) σ(υ)), Χ. Υ. Ζ. (γ(χ,υ) γ(υ,ζ) γ(χ,ζ))} Και φ = Χ. Υ. (α(χ) λγ(υ) γ(χ,υ)) ότι Δ =φ {κάθε λαγωνικό είναι σκύλος} {μεταβατική ιδιότητα του γρηγορότερος} {κάθε άλογο είναι γρηγορότερο από κάθε λαγό} Θέμα 2 ο. Να βρεθεί, αν υπάρχει, ο πιο γενικός ενοποιητής για τα ακόλουθα ζεύγη. Υπολογίστε αναλυτικά τον πιο γενικό ενοποιητή για το 1 ο ζεύγος. Α. p(f(a),g(x)), p(y,g(y)) B. p(a,x,h(g(z))), p(z,h(y),h(y)) Γ.q(f(x),a,z), q(w,x,f(x)) Δ. loves(x,f(y)), loves(george, g(football)) Ε. p(f(x),a), p(y,w) Θέμα 3 ο. Α. Διατυπώστε σε σχεσιακή λογική τις ακόλουθες προτάσεις. Αν η Μαρία αγαπάει το Γιώργο,τότε η Μαρία αγαπάει το Τάσο. Αν είναι Δευτέρα, τότε η Μαρία αγαπάει το Γιώργο ή τον Τάσο. Χρησιμοποιώντας τον κανόνα της επίλυσης για τη σχεσιακή λογική, απαντήστε στην ερώτηση: «Αν είναι Δευτέρα, τότε ποιον αγαπάει η Μαρία;» Β. Δεδομένων των ακόλουθων προτάσεων π(α) τ(α) π(β) τ(β) π(α) π(β) Να αποδειχθεί με τη μέθοδο του Herbrand η ακόλουθη πρόταση τ(α) τ(β) Να βρεθεί ένα μοντέλο Herbrand για το σύνολο των προτάσεων. Θέμα 4 ο Υλοποιήστε τη διαδικασία της reverse/2 (αντιστροφή λίστας) με δύο τρόπους. Θέμα 5 ο Έστω ότι ισχύουν τα παρακάτω γεγονότα και κανόνες. /*1*/ a(1). /*4*/ b(1). /*7*/ c(12). /*2*/ a(2). /*5*/ b(2). /*8*/ t(z):- a(r), b(s), Z is R+S. /*3*/ a(3). /*6*/ c(11). /*9*/ s(x,y):- t(x), c(y). Σχεδιάστε το δένδρο υπολογισμού της ερώτησης:?- s(x, Y).

(λγ(ζ) γ(υ,ζ))), {υπάρχει λαγωνικό που είναι γρηγορότερο από κάθε λαγό} Υ.

3 ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΤΗΜΑΤΩΝ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2004 Θέμα 1 ο : Αποδείξτε με τον κανόνα της επίλυσης τo ακόλουθo Α. {m(mark), p(mark), Ax(p(X) r(x)), g(c), AX {r(x) (f(x,c) or h(x,c))}, AX EY f(x,y), AXAY (r(x) & g(y) & tm(x,y) ~ f(x,y) ), tm(mark,c)} = h(mark,c) B. Δίνονται οι παρακάτω προτάσεις στην καθομιλουμένη 1. Ο Πέτρος είναι κλέφτης 2. Στη Μαρία αρέσει το φαγητό 3. Στη Μαρία αρέσει το κρασί 4. Στον Πέτρο αρέσουν τα χρήματα 5. Στον Πέτρο αρέσει ο χ αν στον χ αρέσει το κρασί 6. Ο χ μπορεί να κλέψει το ψ αν ο χ είναι κλέφτης και στην χ αρέσει το ψ. Αφού μετατρέψετε τις παραπάνω προτάσεις σε κατηγορηματική λογική, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της επίλυσης να απαντηθούν τα ακόλουθα ερωτήματα - Τι μπορεί να κλέψει ο Πέτρος - Μπορεί να κλέψει ο Πέτρος τη Μαρία Θέμα 2 ο : Χρησιμοποιώντας το τις σχεσιακές σταθερές dragon(x), human(x), happy(x), lives(x), animal(x), nice(x), visits(x,y), meets(x,y) να διατυπώσετε τις εξής εκφράσεις σε κατηγορηματική λογική Α. Κάθε δράκος που ζει στον ζωολογικό κήπο δεν είναι ευτυχισμένος Β. Κάθε ζώο που συναντάει ευγενικούς ανθρώπους είναι ευτυχισμένο Γ. Οι άνθρωποι που επισκέπτονται το ζωολογικό κήπο είναι ευγενικοί Δ. Τα ζώα που ζουν στο ζωολογικό κήπο συναντούν τους ανθρώπους που επισκέπτονται το ζωολογικό κήπο Θέμα 3 ο : Να βρεθεί, αν υπάρχει, ο πιο γενικός ενοποιητής για τα ακόλουθα ζεύγη. Για το τελευταίο ζεύγος δείξτε τη λειτουργία του αλγόριθμου με λεπτομέρεια. Α. q(a), q(b) B. q(a,x), q(a,a) Γ. q(a,x,f(x)), q(a,y,y) Δ. q(x,y,z), q(u,h(v,v),u) Ε. p(f(x),a), p(y,w) Θέμα 4 ο : Να γραφτεί διαδικασία PROLOG που να παραθέτει δύο λίστες σε μια δίχως επανάληψη στοιχείων. Π.χ. η σχέση append([1,2,3],[3,4,5,6],[1,2,3,4,5,6]) θα πρέπει να είναι αληθής.

Δίνονται οι παρακάτω προτάσεις στην καθομιλουμένη 1. Ο Πέτρος είναι κλέφτης 2. Στη Μαρία αρέσει το φαγητό 3. Στη Μαρία αρέσει το κρασί 4. Στον Πέτρο αρέσουν τα χρήματα 5.

4 ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2005 Γ.Βούρος Θέμα 1 ο Αποδείξτε με την αρχή της απόφασης ότι η ακόλουθη πρόταση είναι ταυτολογία Υπόδειξη: άρνηση, μετατροπή σε προτασιακή μορφή και απόδειξη της κενής πρότασης. (~r => ((~q r) => (p & ~q & ~r))) (~p & ~q & ~r) Θέμα 2 ο Δείξτε ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις είναι ταυτολογίες, ικανοποιήσιμες ή μη-ικανοποιησιμές. (a) (p => (q => r)) <=> ((p & q) => r) (b) (p & (q => r)) <=> ((~p q) => (p & r)) (c) (p & ~q & ~r) <=> ((p & ~r) => (q r)) Θέμα 3 ο Αποδείξτε με τον κανόνα της επίλυσης τα ακόλουθα (α) Η Β είναι αποδείξιμη από το Δ={ (Β Α), ((Β&Γ) Α), ((Α&Β) Γ) } (β) {( x( a(x) (b(x)& c(x)) )), ( x(a(x)&d(x) )} x (d(x) & c(x)) Θέμα 4 ο Σχηματίστε τον ποιο γενικό ενοποιητή, αν αυτός υπάρχει, για τα παρακάτω ζεύγη. Δειξτε την εφαρμογή του αλγορίθμου για το 1 ο ζεύγος a. s(t(x), u(x), z) και s(y, z, u(x)) b. q(f(y), y) και q(x, f(x)) c. p(t(x, y), r(z, z)) και p(t(t(w, z), v), w) d. f(h(r, s, t), h(w, x, y), t, w) και f(h(g(u, v), s, w), h(x, y, w), t, t) Θέμα 5 ο Δηλώστε σε PROLOG ένα οικογενειακό δέντρο και τα κατηγορήματα grandfather/2, grandmother/2, ancestor/2 (πρόγονος). Για τη διαδικασία ancestor δείξτε το σχηματισμό ενός υπολογιστικού δέντρου.

(~r => ((~q r) => (p & ~q & ~r))) (~p & ~q & ~r) Θέμα 2 ο Δείξτε ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις είναι ταυτολογίες, ικανοποιήσιμες ή μη-ικανοποιησιμές.

5 ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ IANOYAPΙΟΥ 2006 Απαντάτε σε όλα τα θέματα Διάρκεια εξέτασης 150 Γ.Βούρος Θέμα 1 ο (20%) Σας δίνονται οι ακόλουθες προτάσεις p(w) q(w) True p(x) r(x) q(y) s(y) r(z) s(z) Χρησιμοποιείστε τη μέθοδο του Herbrand για να δείξετε αν η s(a) είναι λογική συνέπεια των παραπάνω υποθέσεων. Θέμα 2 ο (20%) Μετατρέψατε σε προτασιακή μορφή τις ακόλουθες προτάσεις: a. ( y dog(y) owns(x,y)) animallover(x) b. animallover(x) ( y animal(y) kills(x,y) ) Θέμα 3 ο (20%) Αποδείξτε με τον κανόνα της επίλυσης τα ακόλουθα (α) Η Β είναι αποδείξιμη από το Δ={ (Β Α), ((Β&Γ) Α), ((Α&Β) Γ) } (β) {( x( a(x) (b(x)& c(x)) )), ( x(a(x)&d(x) )} x (d(x) & c(x)) Θέμα 4 ο (20%) Έστω ότι έχουμε στη βάση δεδομένων της Prolog τα ακόλουθα γεγονότα: /*1*/ a(1). /*2*/ a(2). /*3*/ a(3). /*4*/ a(4). /*5*/ c(1,100). /*6*/ c(2,200). /*7*/ c(3,250). /*8*/ c(3,300). /*9*/ c(3,350). /*10*/ c(5,500). /*11*/ t(x,y):- a(x),calc(x,y). /*12*/ calc(n,m):- c(n,p), M is P+10. (α) (β) Σχεδιάστε το δένδρο υπολογισμού της ερώτησης:?- t(α,β). Τι απαντήσεις θα παίρναμε και πως θα άλλαζε το δένδρο υπολογισμού αν αντικαταστήσουμε την 12 η γραμμή με την ακόλουθη?

παραπάνω υποθέσεων. Θέμα 2 ο (20%) Μετατρέψατε σε προτασιακή μορφή τις ακόλουθες προτάσεις: a. ( y dog(y) owns(x,y)) animallover(x) b.

6 /*12*/ calc(n,m):- c(n,p), M is P+10,!. Θέμα 5 ο (20%) Δίνονται τα παρακάτω γεγονότα της Prolog: f( [1, 2, 3, Q], P ):- Q is P+2. f( [1, W, 5], W ). f( [J, 2 G], G ). Στις παρακάτω ερωτήσεις αντικαταστήστε το σύμβολο?? με έναν αριθμό ή άτομο ή κατηγόρημα ή λίστα (αλλά όχι με μεταβλητή) της Prolog έτσι ώστε η ερωτήσεις να αληθεύουν. Τι απαντήσεις δίνει η Prolog? 1?- f([1, 2, Y, C],??), C=10. 2?- f(x,??), X==[1,8,5]. 3?- f(x,??), X=[3,2,3,4]. 4?- f([1??],_). 5?- f([1,2,3,4??],??). 7?- f([3,2 X],[1]),??==X. 8?- f([1,[],5],??).

? με έναν αριθμό ή άτομο ή κατηγόρημα ή λίστα (αλλά όχι με μεταβλητή) της Prolog έτσι ώστε η ερωτήσεις να αληθεύουν.

7 ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Απαντάτε σε τουλάχιστον 4από τα θέματα εφόσον τα ποσοστά τους αθροίζουν τουλάχιστον σε 100% Διάρκεια εξέτασης 160 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2006 Γ.Βούρος Θέμα 1 ο (25%) Α (10%). Στις παρακάτω περιπτώσεις ο κανόνας της επίλυσης μπορεί να έχει εφαρμοστεί με λάθος τρόπο. Εντοπίστε τις περιπτώσεις αυτές και εφαρμόστε σωστά τον κανόνα. (a) (b) 1. {p, ~q, r} Premise 2. {p, q, s} Premise 3. {p, r, s} 1,2 (c) 1. {~p, q} Premise 2. {q, r} Premise 3. {r, ~p} 1,2 (d) 1. {~p, q, s} Premise 2. {p, ~q, r, ~t} Premise 3. {r, s, ~t} 1,2 1. {q, ~q} Premise 2. {q, ~q} 1,1 Β.(15%) Χρησιμοποιώντας τον κανόνα της επίλυσης, αποδείξτε την πρόταση q => t από τις υποθέσεις: (q => (p & r)) (~s => ~p) ((p & s) => t) Θέμα 2 ο (30%) Έστω η γλώσσα με μεταβλητές x, y, και z, r είναι μια σχεσιακη σταθερά βαθμού 2, και a είναι σταθερά οντότητας. Χρησιμοποιείστε τον κανόνα της επίλυσης για να δείξετε ότι το συμπέρασμα είναι λογική συνεπαγωγή των υποθέσεων. Δείξτε με λεπτομέρεια όλα τα βήματα. Υποθέσεις: ~r(x,y) => ~r(x,z) r(x,y) => r(y,x) ~r(a,a) Συμπέρασμα: ~r(x,x) Θέμα 3 ο (20%) Δώστε τον πιό γενικό ενοποιητή για τα ζεύγη (α) (β). Για το (β) παρουσιάστε τα βήματα του αλγόριθμου Οι μεταβλητές στα παρακάτω είναι οι x,y,z. (α) e(k,f(y)), e(y,f(z)) (β) a(x,f(x,g(2))), a(5,y) Θέμα 4 ο (25%) (α) Δημιουργείστε μία διαδικασία που να τυπώνει ένα-ένα τα στοιχεία μίας λίστας στην οθόνη. (β) Να ορίσετε μία διαδικασία η οποία να μοιράζει τα στοιχεία μίας λίστας σε δύο άλλες. Τα στοιχεία μοιράζονται στις δύο λίστες εναλλάξ. Παράδειγμα:

{p, q, s} Premise 3. {p, r, s} 1,2 (c) 1. {~p, q} Premise 2. {q, r} Premise 3. {r, ~p} 1,2 (d) 1. {~p, q, s} Premise 2. {p, ~q, r, ~t} Premise 3. {r, s, ~t} 1,2 1. {q, ~q} Premise 2. {q, ~q} 1,1 Β.

8 ?- split( [a,b,c,d,e,f], L1, L2 ). L1 = [a,c,e] L2 = [b,d,f]

Σχετικά έγγραφα

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών