ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 4-1

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 4-1"

Transcript

1 Επίλυση Resolution Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: H Μέθοδος της Επίλυσης στον Προτασιακό Λογισμό στον Κατηγορηματικό Λογισμό ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 4-1

2 Το όνειρο του Leibniz: Υπολογισμός και Λογική μια καθολική μαθηματική γλώσσα μέσω της οποίας να είναι δυνατή η διατύπωση κάθε ανθρώπινης γνώσης και κανόνες που μπορούν να εφαρμοστούν μηχανιστικά για την παραγωγή κάθε λογικής αλήθειας και σχέσης. Calculemus : Ας υπολογίσουμε! To πρόγραμμα του David Hilbert H επινόηση ενός τυπικού συστήματος που θα επιτρέπει την απόδειξη κάθε μαθηματικής αλήθειας μέσω μιας μηχανικής διαδικασίας Alonzo Church και Alan Turing: Υπάρχουν προβλήματα τα οποία κανένας αλγόριθμος δεν μπορεί να επιλύσει. Επομένως δεν μπορεί να υπάρχει κάποιος αλγόριθμος ο οποίος να μπορεί να παραγάγει κάθε μαθηματική αλήθεια. Leibniz, Hilbert, Turing, Church ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 4-2

3 Resolution Επίλυση Συμπέρασμα: Ο Κατηγορηματικός Λογισμός είναι μη αποφασίσιμος. Εντούτοις, υπάρχει αλγοριθμική μέθοδος μέσω της οποίας μπορούμε να δείξουμε ότι μια πρόταση του ΚΛ είναι μη ικανοποιήσιμη, η: Επίλυση Κατάλληλη για χρήση από υπολογιστή (μόνο 1 κανόνας, 0 αξιώματα) Δυνατόν να μην τερματίζει σε κάποια δεδομένα J. Alan Robinson 1965 Αυτοματοποιημένη απόδειξη θεωρημάτων (theorem proving) Λογικός Προγραμματισμός: Robert Kowalski Prolog: Alain Colmerauer 1973 Prolog compiler: David Warren, 1997 Constraint Logic Programming: Jaffar and Lassez, 1987 ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 4-3

4 Βασική Ιδέα Έστω η πρόταση ( ) ( ). Αν η είναι αληθής τότε η ορθότητα της πρότασης βασίζεται στην ορθότητα της Αν η είναι ψευδής τότε η ορθότητα της πρότασης βασίζεται στην ορθότητα της Η μπορεί να είναι είτε αληθής είτε ψευδής, όχι και τα δύο. Επομένως αν και οι δύο προτάσεις ( ), ( ) είναι αληθείς πρέπει να ισχύει η πρόταση ( ) η οποία ονομάζεται επιλύουσα (resolvent) των δύο προτάσεων. Παρόμοια, αν η επιλύουσα πρόταση ( ) είναι ψευδής τότε τουλάχιστον μία από τις προτάσεις ( ) και ( ) είναι ψευδής και επομένως η σύζευξη ( ) ( ) είναι επίσης ψευδής. ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 4-4

5 Βασική Ιδέα (συν.) Αν είναι και οι δύο προτάσεις αληθείς Τότε πρέπει να είναι και η επιλύουσα αληθής Τότε μία από τις δύο προτάσεις είναι ψευδής Αν η επιλύουσα είναι ψευδής ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 4-5

6 Βασική Ιδέα (συν.) Έστω πρόταση ψσε κανονική συζευκτική μορφή. Είναι η ψ έγκυρη; Υποθέτω ότι η πρόταση ψ είναι ικανοποιήσιμη και επιδιώκω να εντοπίσω αντίφαση. Επανειλημμένα ακυρώνω αντίθετους όρους από την πρότασή μου Α Β Β Γ Α Γ και επιδιώκω να φθάσω σε αντίφαση Α Α την οποία ονομάζουμε διάψευση (refutation) της υπόθεσης. Αυτό συνεπάγεται ότι η πρόταση ψ δεν είναι ικανοποιήσιμη επομένως η πρόταση ψ είναι έγκυρη. (Αν δεν διαψεύσουμε την υπόθεση τότε η ψ δεν είναι έγκυρη.) ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 4-6

7 Σύνοψη Ενότητας Θα μελετήσουμε τη μέθοδο της επίλυσης Στον Προτασιακό Λογισμό Στον Κατηγορηματικό Λογισμό Στον Λογικό Προγραμματισμό Ξεκινούμε με την Επίλυση στον Προτασιακό Λογισμό. ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 4-7

8 Προτασιακή Μορφή στον ΠΛ Στοιχείο (literal): Μια ατομική πρόταση ή η άρνηση μιας ατομικής πρότασης. Δύο στοιχεία L και L ονομάζονται συμπληρωματικά. Προτασιακό σύνολο: ένα σύνολο στοιχείων που αντιπροσωπεύουν μια διάζευξη π.χ. το σύνολο {p, q, p} αντιπροσωπεύει τη διάζευξη p q p Προτασιακή Μορφή (clausal form): Ένα σύνολο από προτασιακά σύνολα που αντιπροσωπεύουν μια πρόταση σε ΚΣΜ (Κανονική Συζευκτική Μορφή) π.χ. η προτασιακή μορφή της ΚΣΜ πρότασης (p q q) (p q r q) είναι το {{p, q, q},{p, q, r, q}}. Μια πρόταση του Προτασιακού Λογισμού μπορεί να γραφτεί σε προτασιακή μορφή ως εξής: Υπολόγισε την ΚΣΜ της πρότασης Μετάτρεψε την πρόταση στο σύνολο που την αντιπροσωπεύει. ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 4-8

9 Η Αρχή της Επίλυσης Έστω προτασιακά σύνολα C 1 και C 2 και συμπληρωματικά στοιχεία L 1 και L 2 τέτοια ώστε L 1 C 1 και L 2 C 2. Τότε το προτασιακό σύνολο (C 1 {L 1 }) (C 2 {L 2 }) ονομάζεται επιλύουσα των C 1 και C 2. Παράδειγμα: Το {B,E} είναι επιλύουσα των C 1 = {A, B} και C 2 = { A, E}. Το {B, C, C} είναι επιλύουσα των C 1 = {A, B, C} και C 2 = { A, C}. Το {B} όχι. Τα C 1 = {A} και C 2 = { A} έχουν ως επιλύουσα το κενό σύνολο. Συμβολίζουμε την κενή επιλύουσα με. Θεώρημα: Αν το D είναι επιλύουσα των C 1 και C 2 τότε C 1 C 2 D ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 4-9

10 Διαδικασία Επίλυσης Δεδομένο Εισόδου: Προτασιακή Μορφή S Δεδομένο Εξόδου: Η λογική τιμή που εκφράζει κατά πόσο η S είναι ικανοποιήσιμη Διαδικασία: S 0 = S 1 = S; i = 0; while (S i S i+1 ή i = 0){ (C 1, C 2 ) = ζεύγος προτασιακών συνόλων από S i που δεν έχει επιλεχθεί μέχρι στιγμής; C = {οι επιλύουσες των δύο συνόλων}; if C return μη ικανοποιήσιμο else S i+1 = S i ; S i+2 = S i+1 C; i++ } return ικανοποιήσιμο ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 4-10

11 Παράδειγμα Να χρησιμοποιήσετε τη Διαδικασία Επίλυσης για να αποφασίσετε κατά πόσο η πρόταση p ( p q) ( r) ( p q r) είναι μη ικανοποιήσιμη. Η πρόταση αυτή αντιστοιχεί στην προτασιακή μορφή {{p}, { p, q}, { r}, { p, q, r}} Μπορούμε να αναπαραστήσουμε την εκτέλεση της διαδικασίας και συγκεκριμένα τη διαδικασία εύρεσης διάψευσης μέσω του πιο κάτω δένδρου: p p, q r p, q,r p, q p H πρόταση είναι μη ικανοποιήσιμη. ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 4-11

12 Ορθότητα και Πληρότητα Θεώρημα Ορθότητας: Αν ο όρος ληφθεί από ένα σύνολο όρων κατά τη διαδικασία επίλυσης, τότε το σύνολο αυτό είναι μη ικανοποιήσιμο. Θεώρημα Πληρότητας: Αν ένα σύνολο όρων είναι μη ικανοποιήσιμο τότε ο όρος θα ληφθεί από τη διαδικασία επίλυσης. ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 4-12

13 Παράδειγμα Να εφαρμόσετε τη μέθοδο της Επίλυσης για να αποφασίσετε την εγκυρότητα του συλλογισμού Aν Η 1, Η 2, Η 3 και Η 4 τότε C όπου: Η 1 = Αν σπουδάσει Θετικές Επιστήμες θα έχει καλό μισθό Η 2 = Αν σπουδάσει Τέχνες θα έχει καλή κοινωνική ζωή Η 3 = Αν έχει καλό μισθό ή καλή κοινωνική ζωή τότε θα είναι ικανοποιημένη Η 4 = Δεν είναι ικανοποιημένη C= Δεν έχει σπουδάσει Θετικές Επιστήμες ή Τέχνες. ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 4-13

14 Παράδειγμα Βήμα 1 Βήμα 1: Γράψε τις προτάσεις σε γλώσσα κατηγορηματικού λογισμού. Οι προτάσεις μπορούν να γραφτούν χρησιμοποιώντας τις ατομικές προτάσεις ΘΕ, ΚΜ, Τ, ΚΖ, και Ι ως εξής: Η 1 = ΘΕ ΚΜ Η 2 = Τ ΚΖ Η 3 = (ΚΜ ΚΖ) Ι Η 4 = Ι C= (ΘΕ Τ) Θέλουμε να ελέγξουμε κατά πόσο ο συλλογισμός Η 1 Η 2 Η 3 Η 4 C είναι έγκυρος. Θα δείξουμε ότι η άρνηση του συλλογισμού δεν είναι ικανοποιήσιμη. (Η 1 Η 2 Η 3 Η 4 C) = [ (Η 1 Η 2 Η 3 Η 4 ) C] = (Η 1 Η 2 Η 3 Η 4 ) C = Η 1 Η 2 Η 3 Η 4 C ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 4-14

15 Παράδειγμα Βήμα 2 Βήμα 2: Κατασκευή προτασιακού συνόλου Η πρόταση Η 1 Η 2 Η 3 Η 4 C μεταφράζεται σε ΚΣΜ ως εξής: ( ΘΕ ΚΜ) ( Τ ΚΖ) ( (ΚΜ ΚΖ) Ι) Ι (ΘΕ Τ) = ( ΘΕ ΚΜ) ( Τ ΚΖ) (( ΚΜ ΚΖ) Ι) Ι (ΘΕ Τ) = ( ΘΕ ΚΜ) ( Τ ΚΖ) ( ΚΜ Ι) ( ΚΖ Ι) Ι (ΘΕ Τ) ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 4-15

16 Παράδειγμα Βήμα 3 Βήμα 3: Εφαρμογή της Μεθόδου της Επίλυσης Η διάψευση της πρότασης (της άρνησης του συλλογισμού) μας επιτρέπει να συμπεράνουμε ότι ο αρχικός συλλογισμός είναι έγκυρος. ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 4-16

17 Διαδικασία Επίλυσης στον Κατηγορηματικό Λογισμό Η Διαδικασία Επίλυσης μπορεί να διατυπωθεί και στον Κατηγορηματικό Λογισμό. Απαραίτητη προεπεξεργασία αφορά στη μετατροπή των προτάσεων υπό μελέτη σε προτασιακή μορφή. Για κάθε πρόταση αυτό επιτυγχάνεται ως εξής: Μετατροπή πρότασης σε Κανονική Μορφή Prenex (KMP) - συζευκτική κανονική μορφή με όλους τους ποσοδείκτες στην αρχή της πρότασης Απαλοιφή των υπαρξιακών ποσοδεικτών μέσω της μεθόδου του Skolem Διαγραφή των καθολικών ποσοδεικτών Εξαγωγή των προτασιακών συνόλων ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 4-17

18 Αλγόριθμος Μετατροπή σε KMP Bήμα 1: Απαλοιφή συνεπαγωγών μέσω της ισοδυναμίας ψ ψ Βήμα 2: Αφαίρεση διπλών αρνήσεων και μετακίνηση αρνήσεων στο επίπεδο των ατομικών προτάσεων μέσω των ισοδυναμιών ( ψ) ψ ( ψ) ψ x x x x Βήμα 3: Μετονομασία δεσμευμένων μεταβλητών όπου χρειάζεται έτσι ώστε να μην υπάρχει το ίδιο όνομα μεταβλητής σε διαφορετικούς ποσοδείκτες. Βήμα 4: Μεταφορά όλων των ποσοδεικτών στα αριστερά x φ ψ x (φ ψ) x φ ψ x (φ ψ) x φ ψ x(φ ψ) x φ ψ x (φ ψ) (Σημείωση: το y δεν εμφανίζεται ελεύθερο στην πρόταση ψ.) Βήμα 5: Εισαγωγή συζεύξεων από διαζεύξεις (ψ 1 ψ 2 ) ( ψ 1 ) ( ψ 2 ) (ψ 1 ψ 2 ) (ψ 1 ) (ψ 2 ) ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 4-18

19 Παράδειγμα Μετάτρεψε την πρόταση σε ΚΜΡ x (A(x) B(x)) x Q(x) 1(a) ( x (A(x) B(x)) ) x Q(x) 1(b) ( x ( A(x) B(x)) ) x Q(x) 2(a) x ( ( A(x) B(x))) x Q(x) 2(b) x ( A(x) B(x)) x Q(x) 2(c) x (A(x) B(x)) x Q(x) 3 x (A(x) B(x)) y Q(y) 4(a) x [(A(x) B(x))) y Q(y)] 4(b) x y [(A(x) B(x))) Q(y)] 5 x y [(A(x) Q(y)) ( B(x) Q(y))] ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 4-19

20 Μέθοδος του Skolem Skolemization Thoralf Skolem Στόχος: Απαλοιφή των υπαρξιακών τελεστών Πετυχαίνεται με την εισαγωγή καινούριων σταθερών και συναρτήσεων στην πρόταση υπό μελέτη. Μέθοδος: Για κάθε x που προηγείται όποιων y: αντικατάσταση της μεταβλητής x από μια καινούρια σταθερά, π.χ. Η πρόταση x y A(x,y) μετατρέπεται στην y A(c,y) Για κάθε x που έπεται των ποσοδεικτών y 1 y n : αντικατάσταση της μεταβλητής x από μια καινούρια συνάρτηση f με παραμέτρους τις y 1 y n π.χ. Η πρόταση x y z w [A(x,y,z,w) B(y,w)] μετατρέπεται στην x z[a(x,f 1 (x),z,f 2 (x,z)) B(f 1 (x),f 2 (x,z))] ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 4-20

21 Βασική Ιδέα: Ορθότητα Μεθόδου του Skolem Η πρόταση x y A(x,y) προβλέπει την ύπαρξη κάποιου αντικειμένου x που συνδέεται με κάθε αντικείμενο y μέσω της σχέσης Α. Δεν ξέρουμε την ακριβή τιμή του x όμως μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ένα σύμβολο σταθεράς για να το συμβολίσουμε. Έτσι η πρότασή μας μεταφράζεται σε y A(c,y). Η πρόταση y x A(x,y) προβλέπει για κάθε αντικείμενο y την ύπαρξη κάποιου αντικειμένου x για το οποίο ισχύει Α(x,y). H συγκεκριμένη τιμή του x εξαρτάται από το y. Έτσι μπορούμε να υποθέσουμε την ύπαρξη μιας συνάρτησης που για κάθε αντικείμενο y μας δίνει το αντικείμενο x με το οποίο συνδέεται το y. Έτσι η πρότασή μας μεταφράζεται σε y A(f(y),y). Θεώρημα: Έστω πρόταση και ψ η πρόταση μετά από την εφαρμογή της μεθόδου Skolem. Τότε η πρόταση είναι ικανοποιήσιμη αν και μόνο αν η πρόταση ψ είναι ικανοποιήσιμη. ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 4-21

22 Παράδειγμα Να μετατρέψετε την πιο κάτω πρόταση σε προτασιακή μορφή. x y(p(y) Q(x,y)) 1. x y( P(y) Q(x,y)) 2. x( P(f(x)) Q(x,f(x))) 3. P(f(x)) Q(x,f(x))) 4. {{ P(f(x)), Q(x,f(x))}} ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 4-22

23 Ενοποίηση Ενοποίηση είναι μια διαδικασία μέσω της οποίας εξετάζουμε αν τα στοιχεία ενός προτασιακού συνόλου μπορούν να γίνουν συντακτικά ταυτόσημα με τη χρήση μιας αντικατάστασης. Μια αντικατάσταση σ ονομάζεται ενοποιήτρια αντικατάσταση του προτασιακού συνόλου {L 1, L 2,, L n } αν είναι τέτοια ώστε L 1 σ = L 2 σ = = L n σ. To σύνολο καλείται ενοποιήσιμο. Γενικότερη ενοποιήτρια ενός προτασιακού συνόλου S ονομάζεται εκείνη η ενοποιήτρια σ για την οποία ισχύει ότι κάθε άλλη ενοποιήτρια θ του συνόλου μπορεί να γραφτεί ως επέκτασης της σ. Δηλαδή, υπάρχει αντικατάσταση σ τέτοια ώστε θ = σσ. ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 4-23

24 Ενοποίηση Οποιοδήποτε ενοποιήσιμο σύνολο S έχει μια γενικότερη ενοποιήτρια. Κανόνες ενοποίησης όρων: Μια σταθερά c είναι ενοποιήσιμη με τον όρο t αν είτε t=c είτε t=x όπου x οποιαδήποτε μεταβλητή. Δεν είναι ενοποιήσιμη με συναρτήσεις. Μια μεταβλητή είναι ενοποιήσιμη με οποιοδήποτε όρο εκτός από συναρτήσεις που περιέχουν τη μεταβλητή. Μια συνάρτηση είναι ενοποιήσιμη (μόνο) με μια άλλη συνάρτηση εφόσον οι δύο έχουν το ίδιο σύμβολο συνάρτησης και ενοποιήσιμους όρους. ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 4-24

25 Παράδειγμα Το σύνολο {P(x,c), P(b,c)} είναι ενοποιήσιμο με ενοποιήτρια αντικατάσταση την {b/x}. Το σύνολο {P(x,a), P(b,c)} δεν είναι ενοποιήσιμο. Το σύνολο {P(f(x),y), P(a,w)} δεν είναι ενοποιήσιμο. To σύνολο {P(f(x),y), P(f(a),w)} είναι ενοποιήσιμο με ενοποιήτρια αντικατάσταση την {a/x, w/y}. Άλλη δυνατή ενοποιήτρια αντικατάσταση είναι η {a/x, b/y, b/w}. H {a/x, w/y} είναι όμως η γενικότερη ενοποιήτρια {a/x, b/y, b/w} = {a/x, w/y} {b/w}. To σύνολο {P(f(x)), P(x)} δεν είναι ενοποιήσιμο ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 4-25

26 Αλγόριθμος Ενοποίησης Δεδομένο Εισόδου: Δύο όροι L 1 και L 2 Δεδομένο Εξόδου: ενοποιήτρια σ των όρων, αν υπάρχει. 1. Τ 1 = L 1 ; Τ 2 = L 2, σ 0 = {}, i = 0 2. Αν τα Τ 1 = Τ 2 τότε τερμάτισε και επέστρεψε την σ i ως τη γενικότερη ενοποιήτρια 3. Διαφορετικά, εντόπισε το αριστερότερο σημείο στο οποίο διαφέρουν τα Τ 1 και Τ 2. Αν τα δύο σημεία είναι μια μεταβλητή v i και ένας όρος t i ο οποίος δεν περιέχει τη μεταβλητή v i τότε θέσε σ i+1 = σ i {t i /v i }, T 1 = T 1 {t i /v i }, και T 2 = T 2 {t i /v i } 4. Διαφορετικά, τερμάτισε και ανάφερε ότι οι όροι δεν είναι ενοποιήσιμοι. 5. Θέσε i = i + 1 και επέστρεψε στο βήμα 2. ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 4-26

27 Παράδειγμα Να εφαρμόσετε τον Αλγόριθμο Ενοποίησης στο πιο κάτω ζεύγος όρων: L 1 = f(x,g(x)) L 2 = f(h(y), g(h(z)) 1. Τ 1 = f(x,g(x)), Τ 2 = f(h(y), g(h(z)), σ 0 = {}, i=0 2. σ 1 = σ 0 {h(y)/x}, Τ 1 = f(h(y),g(h(y))), Τ 2 = f(h(y), g(h(z)) 3. σ 2 = σ 1 {y/z}, Τ 1 = f(h(y),g(h(y))), Τ 2 = f(h(y), g(h(y)) 4. Επέστρεψε τη σ 2 = {h(y)/x, y/z} ως τη γενικότερη ενοποιήτρια των δύο όρων. ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 4-27

28 Επιλύουσες στον Κατηγορηματικό Λογισμό Στον Προτασιακό Λογισμό: Ονομάζουμε δύο στοιχεία L και L συμπληρωματικά αν L = L ή L= L Έστω προτασιακά σύνολα C 1 και C 2 και συμπληρωματικά στοιχεία L 1 και L 2 τέτοια ώστε L 1 C 1 και L 2 C 2. Τότε το προτασιακό σύνολο (C 1 {L 1 }) (C 2 {L 2 }) ονομάζεται επιλύουσα των C 1 και C 2. Στον Κατηγορηματικό Λογισμό: Ονομάζουμε δύο στοιχεία L και L συμπληρωματικά αν το σύνολο {L, L } είναι ενοποιήσιμο Έστω προτασιακά σύνολα C 1 και C 2 και συμπληρωματικά στοιχεία L 1 και L 2 τέτοια ώστε L 1 C 1 και L 2 C 2 με επιλύουσα σ. Τότε το προτασιακό σύνολο (C 1 σ {L 1 σ}) (C 2 σ {L 2 σ}) ονομάζεται επιλύουσα των C 1 και C 2. ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 4-28

29 Διαδικασία Επίλυσης για ΚΛ Αν το D είναι επιλύουσα των C 1 και C 2 τότε C 1 C 2 D. Η Διαδικασία Επίλυσης του ΚΛ εφαρμόζεται ακριβώς όπως και στον Προτασιακό Λογισμό (Διαφάνεια 4-12) με τη διαφορά ότι η επιλύουσα δύο προτασιακών συνόλων επιλέγεται μέσω της ενοποίησης τους. Θεώρημα Ορθότητας (Robinson): Αν ο όρος ληφθεί από ένα προτασιακό σύνολο κατά τη διαδικασία επίλυσης, τότε το σύνολο αυτό είναι μη ικανοποιήσιμο. Θεώρημα Πληρότητας: Αν ένα προτασιακό σύνολο είναι μη ικανοποιήσιμο τότε ο όρος θα ληφθεί από τη διαδικασία της επίλυσης. ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 4-29

30 Παράδειγμα 1. Όλοι οι σκύλοι γαβγίζουν τα βράδια 2. Όποιος έχει γάτα δεν έχει ποντίκια. 3. Άνθρωποι που έχουν ελαφρύ ύπνο δεν ανέχονται τα ζώα που γαβγίζουν τις νύκτες. 4. Ο Γιάννης έχει γάτα ή σκύλο. 5. Συμπέρασμα: Αν ο Γιάννης ελαφρύ ύπνο τότε δεν έχει ποντίκια. Ισχύει το συμπέρασμα; ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 4-30

31 Παράδειγμα Βήμα 1 Βήμα 1: Γράψε τις προτάσεις σε γλώσσα κατηγορηματικού λογισμού. 1. Όλοι οι σκύλοι γαβγίζουν τα βράδια x (ΣΚ(x) ΓΤΒ(x)) 2. Όποιος έχει γάτα δεν έχει ποντίκια. x y (ΕΧΕΙ (x,y) ΓΑ(y) z (ΕΧΕΙ(x,z) ΠΟ (z))) 3. Άνθρωποι που έχουν ελαφρύ ύπνο δεν ανέχονται τα ζώα που γαβγίζουν τις νύκτες. x (ΕΥ(x) y (ΕΧΕΙ(x,y) ΓΤΒ(y))) 4. Ο Γιάννης έχει γάτα ή σκύλο. x (ΕΧΕΙ (Γιάννης,x) (ΓΑ(x) ΣΚ(x))) 5. Συμπέρασμα: Αν ο Γιάννης ελαφρύ ύπνο τότε δεν έχει ποντίκια. ΕΥ(Γιάννης) z (ΕΧΕΙ(Γιάννης,z) ΠΟ(z)) ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 4-31

32 Παράδειγμα Βήμα 2 Μετατροπή σε Κανονική Μορφή Prenex: 1. x (ΣΚ(x) ΓΤΒ(x)) = x ( ΣΚ(x) ΓΤΒ(x) ) 2. x y (ΕΧΕΙ (x,y) ΓΑ(y) z (ΕΧΕΙ(x,z) ΠΟ (z))) = x y (ΕΧΕΙ (x,y) ΓΑ (y) z (ΕΧΕΙ(x,z) ΠΟ (z))) = x y z ( (ΕΧΕΙ (x,y) ΓΑ(y)) (ΕΧΕΙ(x,z) ΠΟ (z))) = x y z ( ΕΧΕΙ(x,y) ΓΑ(y) ΕΧΕΙ(x,z) ΠΟ(z)) 3. x (ΕΥ(x) y (ΕΧΕΙ (x,y) ΓΤΒ(y))) = x (ΕΥ(x) y (ΕΧΕΙ(x,y) ΓΤΒ(y))) = x y (ΕΥ(x) ΕΧΕΙ(x,y) ΓΤΒ(y)) = x y ( ΕΥ (x) ΕΧΕΙ(x,y) ΓΤΒ(y)) ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 4-32

33 Παράδειγμα Βήμα 2 4. x (ΕΧΕΙ (Γιάννης,x) (ΓΑ(x) ΣΚ(x))) 5. [ΕΥ(Γιάννης) z (ΕΧΕΙ(Γιάννης,z) ΠΟ(z))] = [ ΕΥ (Γιάννης) z(εχει(γιάννης, z) ΠΟ(z))] = ΕΥ(Γιάννης) z (ΕΧΕΙ(Γιάννης, z) ΠΟ(z))) = z (ΕΥ(Γιάννης) ΕΧΕΙ (Γιάννης,z) ΠΟ(z) ) ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 4-33

34 Παράδειγμα Βήμα 3 Εφάρμοσε τη μέθοδο του Skolem στις κανονικές μορφές Prenex και κατασκεύασε την προτασιακή μορφή των προτάσεων: 1. ΣΚ(x) ΓΤΒ(x) 2. ΕΧΕΙ(x,y) ΓΑ(y) ΕΧΕΙ(x,z) ΠΟ(z) 3. ΕΥ (x) ΕΧΕΙ(x,y) ΓΤΒ(y) 4. ΕΧΕΙ (Γιάννης,a) (ΓΑ(a) ΣΚ(a)) 5. ΕΥ(Γιάννης) ΕΧΕΙ (Γιάννης,b) ΠΟ(b) {{ ΣΚ(x), ΓΤΒ(x)}, { ΕΧΕΙ(x,y), ΓΑ(y), ΕΧΕΙ(x,z), ΠΟ(z)}, { ΕΥ (x), ΕΧΕΙ(x,y), ΓΤΒ(y)}, {ΕΧΕΙ (Γιάννης,α)},{(ΓΑ(α), ΣΚ(α)}, {ΕΥ(Γιάννης)}, {ΕΧΕΙ (Γιάννης,b)}, {ΠΟ(b)}} ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 4-34

35 Παράδειγμα Βήμα 4 Εφάρμοσε τη μέθοδο της επίλυσης μέσω ενοποίησης. ΓΑ(a), ΣΚ(a) ΕΧΕΙ(x,y), ΓΑ(y), ΕΧΕΙ(x,z), ΠΟ(z) ΕΧΕΙ (Γ,b) ΕΥ(x), ΕΧΕΙ(x,y), ΓΤΒ(y) ΣΚ(x), ΓΤΒ(x) ΠΟ(b) ΕΧΕΙ (Γ,a) ΕΥ(Γ) ΓΑ(a), ΓΤΒ(a) ΕΧΕΙ(x,y), ΓΑ(y), ΕΧΕΙ(x,b) ΕΧΕΙ(Γ,y), ΓA(y) ΕΧΕΙ(Γ,a), ΓTB(a) ΓTB(a) ΕΥ(x), ΕΧΕΙ(x,a) ΕΥ(Γ) ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 4-35

Προτασιακός Λογισμός (HR Κεφάλαιο 1)

Προτασιακός Λογισμός (HR Κεφάλαιο 1) Προτασιακός Λογισμός (HR Κεφάλαιο 1) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνταξη Λογικός Συμπερασμός Σημασιολογία Ορθότητα και Πληρότητα Κανονικές Μορφές Προτάσεις Horn ΕΠΛ 412 Λογική

Διαβάστε περισσότερα

Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5)

Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5) Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Εισαγωγή στον Κατηγορηματικό Λογισμό Σύνταξη Κανόνες Συμπερασμού Σημασιολογία ΕΠΛ 412 Λογική στην

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 412: Λογική στην Πληροφορική Ενδιάμεση Εξέταση Ημερομηνία : Πέμπτη, 30 Οκτωβρίου 2014 Διάρκεια : 10:30 12.00 Διδάσκουσα : Άννα Φιλίππου ΠΡΟΤΥΠΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Οδηγίες:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 412: Λογική στην Πληροφορική Δείγμα Ενδιάμεσης Εξέτασης Λύσεις Άσκηση 1 [30 μονάδες] Να αποδείξετε τα πιο κάτω λογικά επακόλουθα χρησιμοποιώντας τα συστήματα

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 3

Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 3 Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 3 Άσκηση 1 Να υπολογίσετε την προτασιακή μορφή των πιο κάτω προτάσεων. (α) xyz [(P(x,y) Q(y,z)) Q(x,y)] x P(x,f(x)) Βήμα 1: Μετατροπή σε Κανονική Μορφή Prenex: xyz [(P(x,y) Q(y,z))

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ : Λογική στην Πληροφορική Δείγμα Ενδιάμεσης Εξέτασης Σκελετοί Λύσεων Άσκηση [0 μονάδες] α Να αναφέρετε τρεις μεθόδους μέσω των οποίων μπορούμε να αποφασίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Προτασιακός Λογισμός (HR Κεφάλαιο 1)

Προτασιακός Λογισμός (HR Κεφάλαιο 1) Προτασιακός Λογισμός (HR Κεφάλαιο 1) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνταξη Λογικός Συμπερασμός Σημασιολογία Ορθότητα και Πληρότητα Κανονικές Μορφές Προτάσεις Horn ΕΠΛ 412 Λογική

Διαβάστε περισσότερα

4. Ο,τιδήποτε δεν ορίζεται με βάση τα (1) (3) δεν είναι προτασιακός τύπος.

4. Ο,τιδήποτε δεν ορίζεται με βάση τα (1) (3) δεν είναι προτασιακός τύπος. Κεφάλαιο 10 Μαθηματική Λογική 10.1 Προτασιακή Λογική Η γλώσσα της μαθηματικής λογικής στηρίζεται βασικά στις εργασίες του Boole και του Frege. Ο Προτασιακός Λογισμός περιλαμβάνει στο αλφάβητό του, εκτός

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 412: Λογική στην Πληροφορική Ενδιάμεση Εξέταση Σκελετοί Λύσεων Ημερομηνία : Σάββατο, 27 Οκτωβρίου 2012 Διάρκεια : 11:00 13:00 Διδάσκουσα : Άννα Φιλίππου Άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις Άσκηση 1 Να διατυπώσετε τον πιο κάτω συλλογισμό στον Προτασιακό Λογισμό και να τον αποδείξετε χρησιμοποιώντας τη Μέθοδο της Επίλυσης. Δηλαδή, να δείξετε ότι αν ισχύουν οι πέντε

Διαβάστε περισσότερα

Επανάληψη. ΗΥ-180 Spring 2019

Επανάληψη. ΗΥ-180 Spring 2019 Επανάληψη Έχουμε δει μέχρι τώρα 3 μεθόδους αποδείξεων του Προτασιακού Λογισμού: Μέσω πίνακα αληθείας για τις υποθέσεις και το συμπέρασμα, όπου ελέγχουμε αν υπάρχουν ερμηνείες που ικανοποιούν τις υποθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Δημήτρης Πλεξουσάκης

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Δημήτρης Πλεξουσάκης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης 2ο μέρος σημειώσεων: Συστήματα Αποδείξεων για τον ΠΛ, Μορφολογική Παραγωγή, Κατασκευή Μοντέλων Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη. 8η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος.

Τεχνητή Νοημοσύνη. 8η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος. Τεχνητή Νοημοσύνη 8η διάλεξη (2016-17) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται στο βιβλίο Artificial Intelligence A Modern Approach των S. Russel

Διαβάστε περισσότερα

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

HY118-Διακριτά Μαθηματικά HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 20/02/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 20-Feb-18

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 1

Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 1 Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 1 Άσκηση 1 Έστω οι προτάσεις / προϋπόθεσεις: Π1. Σε όσους αρέσει η τέχνη αρέσουν και τα λουλούδια. Π2. Σε όσους αρέσει το τρέξιμο αρέσει και η μουσική. Π3. Σε όσους δεν αρέσει η

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 412: Λογική στην Πληροφορική Ενδιάμεση Εξέταση Ημερομηνία : Δευτέρα 2 Νοεμβρίου 2015 Διάρκεια : 10:30 12:00 Διδάσκουσα : Άννα Φιλίππου Ονοματεπώνυμο: Αριθμός

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα 1 Πρωτοβάθμια Λογική Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 60

Περιεχόμενα 1 Πρωτοβάθμια Λογική Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 60 Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση της Ορθότητας Προγραμμάτων (HR Κεφάλαιο 4)

Ανάλυση της Ορθότητας Προγραμμάτων (HR Κεφάλαιο 4) Ανάλυση της Ορθότητας Προγραμμάτων (HR Κεφάλαιο 4) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής θέματα: Η διαδικαστική γλώσσα προγραμματισμού WHILE Τριάδες Hoare Μερική και Ολική Ορθότητα Προγραμμάτων Κανόνες

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις Άσκηση 1 O πιο κάτω συλλογισμός (αποτελεί μικρή παραλλαγή συλλογισμού που) αποδίδεται στον Samuel Clarke και προέρχεται από την εργασία του Demonstration of the Being and Attributes

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 3

Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 3 Άσκηση 1 Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 3 Να εφαρμόσετε τον αλγόριθμο ενοποίησης (Διαφάνεια 4-23) για κάθε ένα από τα πιο κάτω ζεύγη όρων. Να δείξετε όλα τα ενδιάμεσα στάδια της εκτέλεσης του αλγόριθμου και καταλήγοντας

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Στοιχεία προτασιακής λογικής Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ. Ενότητα 9: Προτασιακή λογική. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ. Ενότητα 9: Προτασιακή λογική. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 9: Προτασιακή λογική Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου

Διαβάστε περισσότερα

Ανδρέας Παπαζώης. Τμ. Διοίκησης Επιχειρήσεων

Ανδρέας Παπαζώης. Τμ. Διοίκησης Επιχειρήσεων Ανδρέας Παπαζώης Τμ. Διοίκησης Επιχειρήσεων Περιεχόμενα Εργ. Μαθήματος Εισαγωγή στην προτασιακή μορφή της γνώσης Μετατροπή γνώσης σε προτασιακή μορφή Κανόνες μετατροπής Παραδείγματα μετατροπής σε προτασιακή

Διαβάστε περισσότερα

Λογική. Προτασιακή Λογική. Λογική Πρώτης Τάξης

Λογική. Προτασιακή Λογική. Λογική Πρώτης Τάξης Λογική Προτασιακή Λογική Λογική Πρώτης Τάξης Λογική (Logic) Αναλογίες διαδικασίας επίλυσης προβλημάτων υπολογισμού και προβλημάτων νοημοσύνης: Πρόβλημα υπολογισμού 1. Επινόηση του αλγορίθμου 2. Επιλογή

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Λογικής I. Εαρινό Εξάμηνο Καθηγητής: Λ. Κυρούσης

Σημειώσεις Λογικής I. Εαρινό Εξάμηνο Καθηγητής: Λ. Κυρούσης Σημειώσεις Λογικής I Εαρινό Εξάμηνο 2011-2012 Καθηγητής: Λ. Κυρούσης 2 Τελευταία ενημέρωση 28/3/2012, στις 01:37. Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 5 2 Προτασιακή Λογική 7 2.1 Αναδρομικοί Ορισμοί - Επαγωγικές Αποδείξεις...................

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Λογικός προγραμματισμός Υπολογισμός με λογική

Κεφάλαιο 2 Λογικός προγραμματισμός Υπολογισμός με λογική Κεφάλαιο 2 Λογικός προγραμματισμός Υπολογισμός με λογική Σύνοψη Το κεφάλαιο αυτό χωρίζεται σε δύο ενότητες. Στην πρώτη ενότητα επιχειρείται μια ιστορική αναδρομή στη λογική και τον λογικό προγραμματισμό,

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2:Στοιχεία Μαθηματικής Λογικής Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) { G,k η G είναι μια ασυμφραστική γραμματική η οποία παράγει κάποια λέξη 1 n όπου n k } (β) { Μ,k η Μ είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης 3ο μέρος σημειώσεων: Μέθοδος της Επίλυσης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται στην άδεια

Διαβάστε περισσότερα

Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 6: Προτασιακός Λογισμός: Μέθοδος Επίλυσης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 6: Προτασιακός Λογισμός: Μέθοδος Επίλυσης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 6: Προτασιακός Λογισμός: Μέθοδος Επίλυσης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται στην άδεια χρήσης Creative Commons και

Διαβάστε περισσότερα

HY Λογική Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Εαρινό Εξάμηνο. Φροντιστήριο 6

HY Λογική Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Εαρινό Εξάμηνο. Φροντιστήριο 6 HY-180 - Λογική Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Εαρινό Εξάμηνο 2015-2016 Φροντιστήριο 6 Α) ΘΕΩΡΙΑ Μέθοδος Επίλυσης (Resolution) Στη μέθοδο της επίλυσης αποδεικνύουμε την ικανοποιησιμότητα ενός συνόλου προτάσεων,

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις μελέτης της 8 ης διάλεξης

Ασκήσεις μελέτης της 8 ης διάλεξης Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Πληροφορικής Μάθημα: Τεχνητή Νοημοσύνη, 2017 18 Διδάσκων: Ι. Ανδρουτσόπουλος Ασκήσεις μελέτης της 8 ης διάλεξης 8.1. (i) Έστω ότι α και β είναι δύο τύποι της προτασιακής

Διαβάστε περισσότερα

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

HY118-Διακριτά Μαθηματικά HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 15/02/2018 Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε Αντώνης διαφάνειες Α. Αργυρός του Kees van e-mail: argyros@csd.uoc.gr Deemter, από το University of Aberdeen 15-Feb-18

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 412: Λογική στην Πληροφορική Ενδιάμεση Εξέταση Ημερομηνία : Τετάρτη 24 Οκτωβρίου, 2018 Διάρκεια : 12:00 13:30 Διδάσκουσα : Άννα Φιλίππου Ονοματεπώνυμο: ΠΡΟΧΕΙΡΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΕΙ Δυτικής Μακεδονίας ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ 2015-2016 Τεχνητή Νοημοσύνη Λογικοί Πράκτορες Διδάσκων: Τσίπουρας Μάρκος Εκπαιδευτικό Υλικό: Τσίπουρας Μάρκος http://ai.uom.gr/aima/ 2 Πράκτορες βασισμένοι

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Επανάληψης Λύσεις

Ασκήσεις Επανάληψης Λύσεις Άσκηση 1 Ασκήσεις Επανάληψης Λύσεις (α) Το επακόλουθο (A (B C)) ((A C) (A B)) είναι ψευδές. Αυτό φαίνεται στην ανάθεση τιμών [Α] = Τ, [Β] = F, [C] = T. (β) Ακολουθεί η απόδειξη του επακόλουθου. 1. x(p(x)

Διαβάστε περισσότερα

Λογικός Προγραμματισμός

Λογικός Προγραμματισμός Λογικός Προγραμματισμός Αναπαράσταση γνώσης: Λογικό Σύστημα. Μηχανισμός επεξεργασίας γνώσης: εξαγωγή συμπεράσματος. Υπολογισμός: Απόδειξη θεωρήματος (το συμπέρασμα ενδιαφέροντος) από αξιώματα (γνώση).

Διαβάστε περισσότερα

Μορφολογική Παραγωγή. 3 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Τετάρτη 08/03/2018 Ζωγραφιστού Δήμητρα

Μορφολογική Παραγωγή. 3 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Τετάρτη 08/03/2018 Ζωγραφιστού Δήμητρα Μορφολογική Παραγωγή 3 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Τετάρτη 08/03/2018 Ζωγραφιστού Δήμητρα Συστήματα Αποδείξεων στον ΠΛ(1/2) Συχνά μας ενδιαφέρει να μπορούμε να διαπιστώσουμε αν μία εξαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο 7 Λύσεις Ασκήσεων

Φροντιστήριο 7 Λύσεις Ασκήσεων Φροντιστήριο 7 Λύσεις Ασκήσεων Άσκηση 1 (α) Αριθμούμε τις γραμμές του προγράμματος. 1. French(Jean) 2. French(Jacques) 3. British(Peter) 4. likewine(x, Y ) French(X), wine(y ) 5. likewine(x, Bordeaux)

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

4.3 Ορθότητα και Πληρότητα

4.3 Ορθότητα και Πληρότητα 4.3 Ορθότητα και Πληρότητα Συστήματα αποδείξεων όπως η μορφολογική παραγωγή και η κατασκευή μοντέλων χρησιμοποιούνται για να δείξουμε την εγκυρότητα εξαγωγών συμπερασμάτων. Ένα σύστημα αποδείξεων μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Επανάληψης Λύσεις

Ασκήσεις Επανάληψης Λύσεις Άσκηση 1 Ασκήσεις Επανάληψης Λύσεις (α) Το επακόλουθο (A (B C)) ((A C) (A B)) είναι ψευδές. Αυτό φαίνεται στην ανάθεση τιμών [Α] = Τ, [Β] = F, [C] = T. (β) Ακολουθεί η απόδειξη του επακόλουθου. 1. x(p(x)

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών

Διαβάστε περισσότερα

Μορφολογική Παραγωγή. 3 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Τετάρτη 28/02/2019 Ζωγραφιστού Δήμητρα

Μορφολογική Παραγωγή. 3 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Τετάρτη 28/02/2019 Ζωγραφιστού Δήμητρα Μορφολογική Παραγωγή 3 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Τετάρτη 28/02/2019 Ζωγραφιστού Δήμητρα Συστήματα Αποδείξεων στον ΠΛ(1/2) Συχνά μας ενδιαφέρει να μπορούμε να διαπιστώσουμε αν μία εξαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Εξετάστε αν οι παρακάτω εξαγωγές συμπερασμάτων στον προτασιακό λογισμό είναι έγκυρες.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Εξετάστε αν οι παρακάτω εξαγωγές συμπερασμάτων στον προτασιακό λογισμό είναι έγκυρες. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Εξετάστε αν οι παρακάτω εξαγωγές συμπερασμάτων στον προτασιακό λογισμό είναι έγκυρες. α) A B/A Α Β ΑΛΒ Α α α α α α ψ ψ α ψ α ψ ψ ψ ψ ψ ψ Όπως βλέπουμε, αν η πρόταση A B είναι αληθής, τότε σε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Φροντιστήριο 4: Μορφολογική Παραγωγή. Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Φροντιστήριο 4: Μορφολογική Παραγωγή. Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Φροντιστήριο 4: Μορφολογική Παραγωγή Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται στην άδεια χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΙΓΝΙΑ Παιχνίδια Γενική Θεώρηση μεγιστοποιήσει την πιθανότητά

ΠΑΙΓΝΙΑ Παιχνίδια Γενική Θεώρηση μεγιστοποιήσει την πιθανότητά ΠΑΙΓΝΙΑ Παιχνίδια Γενική Θεώρηση: Έστω ότι έχουμε τους παίκτες Χ και Υ. Ο κάθε παίκτης, σε κάθε κίνηση που κάνει, προσπαθεί να μεγιστοποιήσει την πιθανότητά του να κερδίσει. Ο Χ σε κάθε κίνηση που κάνει

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) ({ G η G είναι μια ασυμφραστική γραμματική που δεν παράγει καμιά λέξη με μήκος μικρότερο του 2 } (β) { Μ,w

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΛΟΓΙΚΗΣ ΧΛΤΖΙΝ ΠΥΛΟΣ ΒΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ύο προτάσεις που έχουν την ίδια σηµασία λέγονται ταυτόσηµες. 2. Μια αποφαντική πρόταση χαρακτηρίζεται αληθής όταν περιγράφει µια πραγµατική κατάσταση του κόσµου µας.

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Νόµοι ισοδυναµίας. Κατηγορηµατικός Λογισµός. ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο Παρασκευή, 24/02/2017

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Νόµοι ισοδυναµίας. Κατηγορηµατικός Λογισµός. ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο Παρασκευή, 24/02/2017 HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 24/02/2017 Κατηγορηµατικός Λογισµός Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University

Διαβάστε περισσότερα

Μορφολογική Παραγωγή. 3 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Τετάρτη 15/03/2017 Ζωγραφιστού Δήμητρα

Μορφολογική Παραγωγή. 3 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Τετάρτη 15/03/2017 Ζωγραφιστού Δήμητρα Μορφολογική Παραγωγή 3 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Τετάρτη 15/03/2017 Ζωγραφιστού Δήμητρα Συστήματα Αποδείξεων στον ΠΛ(1/2) Συχνά μας ενδιαφέρει να μπορούμε να διαπιστώσουμε αν μία εξαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

HY 180 Λογική Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 5

HY 180 Λογική Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 5 HY 180 Λογική Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 5 Α) ΘΕΩΡΙΑ Η Μορφολογική Παραγωγή ανήκει στα συστήματα παραγωγής, δηλαδή σε αυτά που παράγουν το συμπέρασμα με χρήση συντακτικών κανόνων λογισμού. Η

Διαβάστε περισσότερα

Προτασιακή Λογική. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ ΤΕΙ Ηπείρου Γκόγκος Χρήστος

Προτασιακή Λογική. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ ΤΕΙ Ηπείρου Γκόγκος Χρήστος Προτασιακή Λογική (Propositional Logic) Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ ΤΕΙ Ηπείρου Γκόγκος Χρήστος - 2015 Λογική Λογική είναι οι κανόνες που διέπουν τη σκέψη. Η λογική αφορά τη μελέτη των διαδικασιών

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις Άσκηση 1 Σκοπεύετε να διοργανώσετε ένα πάρτι για τους συμφοιτητές σας κάτω από τους πιο κάτω περιορισμούς. Π1. Η Μαίρη δεν μπορεί να έρθει. Π2. Ο Ηλίας και η Αντιγόνη είτε θα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Αναγωγές

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Αναγωγές Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Αναγωγές Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Ανεπίλυτα Προβλήματα από τη Θεωρία Γλωσσών (5.1) To Πρόβλημα της Περάτωσης Το Πρόβλημα της Κενότητα

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 02/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/2/2017

Διαβάστε περισσότερα

Λογικοί πράκτορες. Πράκτορες βασισµένοι στη γνώση

Λογικοί πράκτορες. Πράκτορες βασισµένοι στη γνώση Λογικοί πράκτορες Πράκτορες βασισµένοι στη γνώση Βάση γνώσης (knowledge base: Σύνολο προτάσεων (sentences Γλώσσα αναπαράστασης της γνώσης Γνωστικό υπόβαθρο: «Αµετάβλητο» µέρος της ΒΓ Βασικές εργασίες:

Διαβάστε περισσότερα

Συνέπεια, Εγκυρότητα, Συνεπαγωγή, Ισοδυναμία, Κανονικές μορφές, Αλγόριθμοι μετατροπής σε CNF-DNF

Συνέπεια, Εγκυρότητα, Συνεπαγωγή, Ισοδυναμία, Κανονικές μορφές, Αλγόριθμοι μετατροπής σε CNF-DNF Συνέπεια, Εγκυρότητα, Συνεπαγωγή, Ισοδυναμία, Κανονικές μορφές, Αλγόριθμοι μετατροπής σε CNF-DNF 1 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Πέμπτη 15/02/2018 Κρεατσούλας Κωνσταντίνος Ασυνεπές σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική)

ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική) ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική) Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 2 η Εργασία: Γενική Εικόνα Ικανοποιητική βαθμολογική εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση της Ορθότητας Προγραμμάτων

Ανάλυση της Ορθότητας Προγραμμάτων Ανάλυση της Ορθότητας Προγραμμάτων Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής θέματα: Η διαδικαστική γλώσσα προγραμματισμού WHILE Τριάδες Hoare Μερική και Ολική Ορθότητα Προγραμμάτων ΚανόνεςΑπόδειξηςΜερικήςΟρθότητας

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικές μορφές - Ορισμοί

Κανονικές μορφές - Ορισμοί HY-180 Περιεχόμενα Κανονικές μορφές (Normal Forms) Αλγόριθμος μετατροπής σε CNF-DNF Άρνηση (Negation) Βασικές Ισοδυναμίες με άρνηση Νόμος De Morgan Πίνακες Αληθείας Κανονικές μορφές - Ορισμοί Ορισμός:

Διαβάστε περισσότερα

, για κάθε n N. και P είναι αριθμήσιμα.

, για κάθε n N. και P είναι αριθμήσιμα. ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΔΙΑΚΡΙΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Διδάσκοντες: Δ.Φωτάκης Θ. Σούλιου η Γραπτή Εργασία Ημ/νια παράδοσης 5/4/8 Θέμα (Διαδικασίες Απαρίθμησης.

Διαβάστε περισσότερα

Κατ οίκον Εργασία 2 Λύσεις

Κατ οίκον Εργασία 2 Λύσεις Κατ οίκον Εργασία 2 Λύσεις Άσκηση 1 Ακολουθεί η διατύπωση των προτάσεων στον προτασιακό λογισμό. (α) Κάθε ενεργός χρήστης είναι είτε διαχειριστής είτε κανονικός χρήστης του συστήματος. x [Ενεργός (x) Διαχειριστής(x)

Διαβάστε περισσότερα

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας

Διαβάστε περισσότερα

Ανδρέας Παπαζώης. Τμ. Διοίκησης Επιχειρήσεων

Ανδρέας Παπαζώης. Τμ. Διοίκησης Επιχειρήσεων Ανδρέας Παπαζώης Τμ. Διοίκησης Επιχειρήσεων Περιεχόμενα Εργ. Μαθήματος Ενοποίηση όρων μίας πρότασης μέσω αντικατάστασης Η έννοια της επιλύουσας προτάσεων Διαδικασία απόδειξης και εξαγωγής συμπερασμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 2

Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 2 Άσκηση 1 Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 2 Ακολουθεί η διατύπωση των προτάσεων στον Κατηγορηματικό Λογισμό. (α) Δεν υπάρχουν δύο διαφορετικές πτήσεις με τον ίδιο αριθμό. x 1, d 1, a 1, s 1, t 1, x 2, d 2, a 2,

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση της Ορθότητας Προγραμμάτων

Ανάλυση της Ορθότητας Προγραμμάτων Ανάλυση της Ορθότητας Προγραμμάτων Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής θέματα: Η διαδικαστική γλώσσα προγραμματισμού WHILE Τριάδες Hoare Μερική και Ολική Ορθότητα Προγραμμάτων Κανόνες Απόδειξης Μερικής

Διαβάστε περισσότερα

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

HY118-Διακριτά Μαθηματικά HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 27/02/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 27-Feb-18

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή

Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή raniah@hua.gr 1 Λογική Αποσαφήνιση και τυποποίηση της διαδικασίας της ανθρώπινης σκέψης Η μαθηματική

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Resolution. Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: H Μέθοδος της Επίλυσης στον Λογικό Προγραμματισμό

Επίλυση Resolution. Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: H Μέθοδος της Επίλυσης στον Λογικό Προγραμματισμό Επίλυση Resolution Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: H Μέθοδος της Επίλυσης στον Λογικό Προγραμματισμό ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 5-1 Λογικός Προγραμματισμός Εξαγωγή συμπερασμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Φυλλάδιο 1: Προτασιακή Λογική ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 2006 1. Ικανοποιησιμότητα Αποφασίστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι ταυτολογίες, ικανοποιήσιμες ή μη-ικανοποιήσιμες

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα άμεσης απόδειξης. HY118-Διακριτά Μαθηματικά. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της μορφής εάν-τότε

Παράδειγμα άμεσης απόδειξης. HY118-Διακριτά Μαθηματικά. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της μορφής εάν-τότε HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 27/02/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 27-Feb-18

Διαβάστε περισσότερα

Υποδ: Χρησιμοποιήστε τον ορισμό της λογικής συνεπαγωγής (λογικής κάλυψης).

Υποδ: Χρησιμοποιήστε τον ορισμό της λογικής συνεπαγωγής (λογικής κάλυψης). Κανόνας Ανάλυσης 1 Μυθικός Αθάνατος 3 Μυθικός Θηλαστικό ------------------------------ 7 Αθάνατος Θηλαστικό 4 Αθάνατος έχεικέρας -------------------------------- 8 Θηλαστικό έχεικέρας 5 Θηλαστικό έχεικέρας

Διαβάστε περισσότερα

Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 5: Προτασιακός Λογισμός: Κατασκευή Μοντέλων Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 5: Προτασιακός Λογισμός: Κατασκευή Μοντέλων Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 5: Προτασιακός Λογισμός: Κατασκευή Μοντέλων Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης 1. Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται στην άδεια χρήσης Creative Commons

Διαβάστε περισσότερα

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

HY118-Διακριτά Μαθηματικά HY118-Διακριτά Μαθηματικά Παρασκευή, 16/02/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 17-Feb-18

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις ανακεφαλαίωσης στο μάθημα Τεχνητή Νοημοσύνη

Ασκήσεις ανακεφαλαίωσης στο μάθημα Τεχνητή Νοημοσύνη Ασκήσεις ανακεφαλαίωσης στο μάθημα Τεχνητή Νοημοσύνη Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ (ΤΕΙ Ηπείρου) Τυφλή αναζήτηση Δίνεται το ακόλουθο κατευθυνόμενο γράφημα 1. Ο κόμβος αφετηρία είναι ο Α και ο κόμβος

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Υπολογιστική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Υπολογιστική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Ενότητα 2: Λογική: Εισαγωγή, Προτασιακή Λογική. Νίκος Βασιλειάδης, Αναπλ. Καθηγητής Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Συνέπεια, Εγκυρότητα, Συνεπαγωγή, Ισοδυναμία, Κανονικές μορφές, Αλγόριθμοι μετατροπής σε CNF-DNF

Συνέπεια, Εγκυρότητα, Συνεπαγωγή, Ισοδυναμία, Κανονικές μορφές, Αλγόριθμοι μετατροπής σε CNF-DNF Συνέπεια, Εγκυρότητα, Συνεπαγωγή, Ισοδυναμία, Κανονικές μορφές, Αλγόριθμοι μετατροπής σε CNF-DNF 1 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Πέμπτη 15/02/2018 Κρεατσούλας Κωνσταντίνος Ασυνεπές σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική)

ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική) ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική) Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 2 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αρκετά καλή βαθμολογική εικόνα (

Διαβάστε περισσότερα

Αποφασισιµότητα. HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Βασικές µέθοδοι απόδειξης. 07 -Αποδείξεις. ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο 2017

Αποφασισιµότητα. HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Βασικές µέθοδοι απόδειξης. 07 -Αποδείξεις. ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο 2017 HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 02/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/2/2017

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 3

Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 3 Άσκηση 1 Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 3 Να εφαρμόσετε τον αλγόριθμο ενοποίησης (Διαφάνεια 4 23) για κάθε ένα από τα πιο κάτω ζεύγη όρων. Να δείξετε όλα τα ενδιάμεσα στάδια της εκτέλεσης του αλγόριθμου και καταλήγοντας

Διαβάστε περισσότερα

! όπου το σύµβολο έχει την έννοια της παραγωγής, δηλαδή το αριστερό µέρος ισχύει ενώ το δεξιό µέρος συµπεραίνεται και προστίθεται στη βάση γνώσης.

! όπου το σύµβολο έχει την έννοια της παραγωγής, δηλαδή το αριστερό µέρος ισχύει ενώ το δεξιό µέρος συµπεραίνεται και προστίθεται στη βάση γνώσης. Αποδείξεις (1/2)! Χρησιµοποιούµε τις συνεπαγωγές της βάσης γνώσης για να βγάλουµε νέα συµπεράσµατα. Για παράδειγµα:! Από τις προτάσεις:! Ακαι Α Β! µπορούµε να βγάλουµε το συµπέρασµα (τεχνική modus ponens

Διαβάστε περισσότερα

Λογική Πρώτης Τάξης. Γιώργος Κορφιάτης. Νοέµβριος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Λογική Πρώτης Τάξης. Γιώργος Κορφιάτης. Νοέµβριος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Λογική Πρώτης Τάξης Γιώργος Κορφιάτης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Νοέµβριος 2008 Σύνταξη Ορισµός (Σύνταξη της λογικής πρώτης τάξης) Λεξιλόγιο Σ = (Φ, Π, r) Συναρτήσεις f Φ Σχέσεις R Π r( ) η πληθικότητα

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής Μαθηματικές Προτάσεις Στοιχεία Προτασιακής Λογικής Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Διαβάστε περισσότερα

p p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q

p p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q Σημειώσεις του Μαθήματος Μ2422 Λογική Κώστας Σκανδάλης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2010 Εισαγωγή Η Λογική ασχολείται με τους νόμους ορθού συλλογισμού και μελετά τους κανόνες βάσει των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Λογική. Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση. Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η. Σακελλαρίου

Κεφάλαιο 9. Λογική. Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση. Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η. Σακελλαρίου Κεφάλαιο 9 Λογική Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η. Σακελλαρίου Λογική Aποσαφήνιση και την τυποποίηση της διαδικασίας της ανθρώπινης σκέψης. Η µαθηµατική

Διαβάστε περισσότερα

Πληρότητα της μεθόδου επίλυσης

Πληρότητα της μεθόδου επίλυσης Πληρότητα της μεθόδου επίλυσης Λήμμα: Αν κάθε μέλος ενός συνόλου όρων περιέχει ένα αρνητικό γράμμα, τότε το σύνολο είναι ικανοποιήσιμο. Άρα για να είναι μη-ικανοποιήσιμο, θα πρέπει να περιέχει τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηματική Λογική

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 24/02/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 2/24/2017

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Διπλωματική Εργασία Αλγόριθμοι Εύρεσης Φυσικών Αποδείξεων Βουδούρης Αλέξανδρος Ανδρέας Α.Μ. 4417 voudouris@ceid.upatras.gr Eπιβλέπων Καθηγητής Σταύρος

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ180: Λογική Διδάσκων: Δημήτρης Πλεξουσάκης. Φροντιστήριο 8 Επίλυση για Horn Clauses Λογικός Προγραμματισμός Τετάρτη 9 Μαΐου 2012

ΗΥ180: Λογική Διδάσκων: Δημήτρης Πλεξουσάκης. Φροντιστήριο 8 Επίλυση για Horn Clauses Λογικός Προγραμματισμός Τετάρτη 9 Μαΐου 2012 ΗΥ180: Λογική Διδάσκων: Δημήτρης Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 8 Επίλυση για Horn Clauses Λογικός Προγραμματισμός Τετάρτη 9 Μαΐου 2012 Πληρότητα της μεθόδου επίλυσης Λήμμα: Αν κάθε μέλος ενός συνόλου όρων περιέχει

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) { Μ η Μ είναι μια ΤΜ η οποία διαγιγνώσκει το πρόβλημα ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑ ΤΜ (διαφάνεια 9 25)} (α) Γνωρίζουμε ότι το

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) { D το D είναι ένα DFA το οποίο αποδέχεται όλες τις λέξεις στο Σ * } (α) Για να διαγνώσουμε το πρόβλημα μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα