ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ"

Transcript

1 Δημήτρης Χελιώτης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ B τ u(x):=e x {f(b τ ) u(x) = } x

2 ii ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΧΕΛΙΩΤΗΣ Επίκουρος καθηγητής Τμήμα Μαθηματικών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνων Εισαγωγή στον στοχαστικό λογισμό

3 Εισαγωγή στον στοχαστικό λογισμό iii Συγγραφή Δημήτρης Χελιώτης Κριτικός αναγνώστης Μιχάλης Λουλάκης Συντελεστές έκδοσης Γλωσσική Επιμέλεια: Θεόφιλος Τραμπούλης Copyright c ΣΕΑΒ, 215 Το παρόν έργο αδειοδοτείται υπό τους όρους της άδειας Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Μη Εμπορική Χρήση - Οχι Παράγωγα Εργα 3.. Για να δείτε ένα αντίγραφο της άδειας αυτής επισκεφτείτε τον ιστότοπο ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΩΝ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΩΝ Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ηρώων Πολυτεχνείου 9, 1578 Ζωγράφου ISBN:

4 iv

5 Περιεχόμενα Πρόλογος Σύμβολα viii x I Δέσμευση και martingales 1 1 Εισαγωγικά Η σ-αλγεβρα ως πληροφορία Σ-άλγεβρα παραγόμενη από διαμέριση Σ-άλγεβρα παραγόμενη από συναρτήσεις Οι χώροι L p Δεσμευμένη μέση τιμή Ορισμός Σημασία της δεσμευμένης μέσης τιμής Βασικές ιδιότητες Η δεσμευμένη μέση τιμή ως προβολή Martingales Ορισμός και παραδείγματα Βασικές ιδιότητες Παιχνίδια και το διακριτό στοχαστικό ολοκλήρωμα Χρόνοι διακοπής Το θεώρημα επιλεκτικής διακοπής Εφαρμογές στον απλό τυχαίο περίπατο Ανισότητα Doob Ανελίξεις σε συνεχή χρόνο Ανελίξεις Ισοδυναμία ανελίξεων Martingales και χρόνοι διακοπής Ιδιότητες Markov* II Κίνηση Brown 39 5 Κατασκευή της κίνησης Brown και απλές ιδιότητες Ορισμός, ύπαρξη, και μοναδικότητα Απλές ιδιότητες Επισκέψεις στο Συμπεριφορά στο άπειρο* Πολυδιάστατη κίνηση Brown Η κίνηση Brown ως φυσιολογικό αντικείμενο v

6 vi ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 6 Η ισχυρή ιδιότητα Markov και συνέπειες* Η ισχυρή ιδιότητα Markov Η αρχή της ανάκλασης Αλλες εφαρμογές Martingales και κίνηση Brown Martingales σχετικά με την κίνηση Brown Εξοδος από διάστημα και από ημιευθεία Αναλυτικές ιδιότητες Βαθμός συνέχειας* Μη διαφορισιμότητα* Κύμανση και τετραγωνική κύμανση III Το ολοκλήρωμα Itô 67 9 Κατασκευή του ολοκληρώματος Η κίνηση Brown ως ολοκληρωτής. Μια θεμελιώδης δυσκολία Ολοκλήρωση απλών μετρήσιμων ανελίξεων Επέκταση σε μετρήσιμες ανελίξεις Υπολογισμοί κάποιων ολοκληρωμάτων Το ολοκλήρωμα ως ανέλιξη Συνεχής εκδοχή Τοπικότητα του ολοκληρώματος Επεκτάσεις του ολοκληρώματος Περισσότεροι ολοκληρωτέοι Ο ορισμός της επέκτασης Ιδιότητες του επεκτεταμένου ολοκληρώματος Περισσότεροι ολοκληρωτές Ο τύπος του Itô Τύπος Itô. Η απλούστερη μορφή Τύπος Itô. Μια μικρή γενίκευση Τύπος Itô στις πολλές διαστάσεις Τύπος Itô για ανελίξεις Itô Ο τύπος Itô σε γενικά χωρία IV Εφαρμογές Εφαρμογές στην κίνηση Brown Αρμονικές συναρτήσεις και το πρόβλημα εξόδου Εξοδος από δακτύλιο και επαναληπτικότητα Στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις Γενικά Χρήση στη μοντελοποίηση Παραδείγματα Υπαρξη και μοναδικότητα λύσης

7 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ vii 15 Επίλυση ειδικών μορφών ΣΔΕ Συντελεστές γραμμικοί ως προς X Συντελεστής διάχυσης γραμμικός ως προς X Λύση της μορφής f (t, B t ) Χαρτοφυλάκια και arbitrage Αγορές μετοχών Το επιτόκιο της τράπεζας Ανοιχτή πώληση Αυτοχρηματοδοτούμενα χαρτοφυλάκια Arbitrage Παράγωγα προϊόντα και αναπαράγοντα χαρτοφυλάκια Ευρωπαϊκά παράγωγα Ευρωπαϊκά δικαιώματα Σχέση μεταξύ τιμών δικαιωμάτων αγοράς και πώλησης Αλλα είδη δικαιωμάτων Η εξίσωση Black-Scholes Μια απλή αγορά Παραγωγή της εξίσωσης Η εξίσωση θερμότητας Λύση της εξίσωσης Black-Scholes Ειδική περίπτωση. Ευρωπαϊκό δικαίωμα αγοράς Παραρτήματα 131 Αʹ Πιθανότητες 131 Αʹ.1 Γκαουσιανές τυχαίες μεταβλητές Αʹ.2 Σύγκλιση κατά κατανομή Βʹ Ανάλυση 136 Βʹ.1 Χώροι Hilbert Βʹ.2 Το ολοκλήρωμα Riemann-Stieltjes Γʹ Τεχνικά αποτελέσματα Ι 139 Δʹ Τεχνικά αποτελέσματα ΙΙ 149 Υποδείξεις για επιλεγμένες ασκήσεις 153 Βιβλιογραφία 159 Ευρετήριο ελληνικών όρων Ευρετήριο ξενόγλωσσων όρων Μετάφραση ορολογίας 163

8 Πρόλογος Οι στοχαστικές ανελίξεις συνεχούς χρόνου μοντελοποιούν μεγέθη των οποίων η τιμή μεταβάλεται τυχαία ή απρόβλεπτα. Τυπικά παραδείγματα είναι η τιμή μιας μετοχής ή το πλήθος των ατόμων ενός συγκεκριμένου ζωικού είδους σε ένα οικοσύστημα. Πέρα από τις εφαρμογές που έχουν σε διάφορους τομείς όπως η Φυσική, η Βιολογία, και τα Οικονομικά, οι στοχαστικές ανελίξεις έχουν από μόνες τους μαθηματικό ενδιαφέρον. Μπορούν να ειδωθούν ως τυχαίες συναρτήσεις και για τη μελέτη των ιδιοτήτων τους θα θέλαμε να χρησιμοποιήσουμε τα εργαλεία του απειροστικού λογισμού. Ομως οι πιο σημαντικές ανελίξεις σε συνεχή χρόνο, με χαρακτηριστικό εκπρόσωπο την κίνηση Brown, είναι μη διαφορίσιμες συναρτήσεις. Για τον λόγο αυτό αναπτύχθηκε από τη δεκατετία του 194 και έπειτα ο Στοχαστικός Λογισμός, που σκοπό έχει να παρακάμψει αυτό το πρόβλημα. Δημιουργός και πρωτεργάτης του ήταν ο Kiyosi Itô ( ). Αυτές οι σημειώσεις είναι μια εισαγωγή σε αυτόν τον λογισμό. Οι σημειώσεις απευθύνονται σε προπτυχιακούς φοιτητές που έχουν ασχοληθεί με τις στοιχειώδεις πιθανότητες και έχουν κάποια τριβή με τις μετροθεωρητικές πιθανότητες (ή τη θεωρία μέτρου) και την πραγματική ανάλυση. Από τις μετροθεωρητικές πιθανότητες θεωρούνται δεδομένα η σχετική με μετρήσιμες συναρτήσεις ορολογία, οι τρόποι σύγκλισης μετρησίμων συναρτήσεων, τα οριακά θεωρήματα (μονότονης και κυριαρχημένης σύγκλισης), και οι βασικές ιδιότητες της ανεξαρτησίας σ- αλγεβρών και τυχαίων μεταβλητών. Από την πραγματική ανάλυση θεωρούνται δεδομένα τα εντελώς βασικά στοιχεία της θεωρίας των πλήρων μετρικών χώρων. Τα θέματα που μελετούμε είναι τα martingales σε διακριτό χρόνο, η κίνηση Brown, το στοχαστικό ολοκλήρωμα (ολοκλήρωμα Itô), και ο τύπος του Itô. Η έκθεση του υλικού γίνεται σε τέσσερα μέρη. I. Εισάγεται η έννοια της δεσμευμένης μέσης τιμής και έπειτα του martingale. Από την θεωρία των martingales, καλύπτουμε μόνο το θεώρημα επιλεκτικής διακοπής και όχι το θεώρημα σύγκλισης, επειδή χρειαζόμαστε το πρώτο ως υπολογιστικό εργαλείο, ενώ δεν χρειαζόμαστε εφαρμογές του δεύτερου. II. Στο δεύτερο μέρος ασχολούμαστε με την κίνηση Brown. Γίνεται λεπτομερειακά μια κατασκευή της και βλέπουμε βασικές ιδιότητες της, κυρίως αναλυτικές. Για τη συνέχεια των σημειώσεων αρκούν οι Παράγραφοι 5.1, 5.2, 5.5, 8.3. Τα υπόλοιπα αποτελέσματα στόχο έχουν την τριβή με την κίνηση Brown, αλλά και να δείξουν τι πλούσιες και εξωτικές ιδιότητες έχει. III. Αυτό το μέρος είναι το βασικότερο των σημειώσεων. Συνδυάζουμε πράγματα που είδαμε σε προηγούμενα κεφάλαια (κίνηση Brown, martingales, μετροθεωρητικά αποτελέσματα) για να κατασκευάσουμε το ολοκλήρωμα Itô. Βλέπουμε βασικές ιδιότητές του (συνεχής εκδοχή, martingale) και αποδεικνύουμε διάφορες μορφές του τύπου του Itô. IV. Στο τελευταίο μέρος βλέπουμε τρεις εφαρμογές του τύπου του Itô. Στην πρώτη, χρησιμοποιούμε τον τύπο για να εξετάσουμε την κίνηση Brown σε διάφορες διαστάσεις ως προς την επαναληπτικότητα. Στη δεύτερη, λύνουμε με χρήση του τύπου κάποιες στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις. Πολλές από αυτές τις εξισώσεις εμφανίζονται φυσιολογικά σε περιοχές όπως η φυσική και τα χρηματοοικονομικά. Η τρίτη εφαρμογή είναι η απόδειξη της μερικής διαφορικής εξίσωσης Black-Scholes για τιμολόγηση παραγώγων Ευρωπαϊκού τύπου. Αποδείξεις τεχνικών αποτελεσμάτων έχουν συγκεντρωθεί σε δύο παραρτήματα. Στο «Τεχνικά αποτελέσματα Ι» περιέχονται αποδείξεις που είναι ωφέλιμο να διαβάσει κανείς αφού έχει αποκτήσει ευχέρεια με την υπόλοιπη ύλη των σημειώσεων. Στο «Τεχνικά αποτελέσματα ΙΙ» περιέχονται αποδείξεις που είναι πιο τεχνικές από αυτές του προηγούμενου παραρτήματος και δεν είναι απαραίτητο να τις διαβάσει κανείς. Αρκεί να καταλαβαίνει τι λένε οι εκφωνήσεις των θεωρημάτων που τους αντιστοιχούν. Κάποιες παράγραφοι έχουν σημειωθεί με «*». Είναι λίγο περισσότερο απαιτητικές και viii

9 δεν χρησιμοποιούνται στο υπόλοιπο των σημειώσεων. Ο στοχαστικός λογισμός είναι ένα αντικείμενο που δεν το μαθαίνει κανείς μονομιάς αλλά σε διαδοχικά περάσματα αυξανόμενης κάλυψης και γενικότητας. Αυτές οι σημειώσεις στοχεύουν να είναι το πρώτο πέρασμα και να ετοιμάσουν τον αναγνώστη για τη μελέτη πιο περιεκτικών παρουσιάσεων του αντικειμένου [Steele (21), Durrett (1996), Karatzas and Shreve (1991), Revuz and Yor (1999)]. Ετσι, θέματα που μαθαίνει κανείς σε ένα πρώτο μεταπτυχιακό μάθημα σχετικό με martingales, κίνηση Brown, και στοχαστικό λογισμό παραλείπονται. Τέτοια θέματα είναι η ομοιόμορφη ολοκληρωσιμότητα, το θεώρημα σύγκλισης των martingales, ο νόμος -1 του Blumenthal, η αλλαγή χρόνου, το θεώρημα Girsanov, το θεώρημα αναπαράστασης των martingales, οι γεννήτορες διαχύσεων, και η θεωρία ολοκλήρωσης ως προς συνεχή ή ασυνεχή semimartingales [Protter (25)]. Ευχαριστώ τον συνάδελφο Αντώνη Τσολομύτη για τη βοήθεια σε θέματα Latex και τη διαμόρφωση της εμφάνισης του κειμένου, δύο ανώνυμους αξιολογητές που στο πλαίσιο του προγράμματος «Κάλλιπος» έκαναν χρήσιμες παρατηρήσεις σε προηγούμενη έκδοση των σημειώσεων, και τον συνάδελφο Μιχάλη Λουλάκη που μελέτησε προσεκτικά τις σημειώσεις και έκανε πολλές διορθώσεις και προτάσεις για προσθήκες/αλλαγές, οι οποίες συνέβαλαν στη σημαντική βελτίωση των σημειώσεων. ix Δημήτρης Χελιώτης 29 Ιανουαρίου 216

10 Σύμβολα N το σύνολο των μη αρνητικών ακεραίων {, 1, 2,...} N + το σύνολο των θετικών ακεραίων {1, 2,...} Για n N +, Για ακολουθία συνόλων (A n ) n 1, [n] := {1, 2,..., n}. lim sup A n := n=1 k=n A k, n lim inf A n := n n=1 k=n A k. Για A, B σύνολα, A B: το A είναι υποσύνολο του B (όχι απαραίτητα γνήσιο). Για A, B σύνολα, A\B := {x A : x B}. Για X σύνολο, το δυναμοσύνολο του X. Για X τοπολογικό χώρο, Για x, y R, P(X) := {A : A X}, B(X) : η σ-άλγεβρα των Borel υποσυνόλων του X. x y := min{x, y}, x y := max{x, y}. Για x R, x + x αν x >, = x = αν x, x x αν x <, = ( x) = αν x. Για X, Y τυχαίες μεταβλητές, X = d Y σημαίνει ότι οι X, Y έχουν την ίδια κατανομή. Για (a n ) n 1, (b n ) n 1 ακολουθίες πραγματικών αριθμών, a n b n σημαίνει ότι lim n a n /b n = 1. x

11 Μέρος I Δέσμευση και martingales

12 2

13 1 Εισαγωγικά 1.1 Η σ-αλγεβρα ως πληροφορία Στη θεωρία μέτρου, όταν δουλεύει κανείς σε έναν χώρο X, συνήθως έχει διαλέξει μια αρκετά μεγάλη σ-άλγεβρα στον X έτσι ώστε όλα τα σύνολα που εμφανίζονται να ανήκουν σε αυτήν. Ο ρόλος της είναι να αποτρέψει προβλήματα/παράδοξα. Αντίθετα, στις πιθανότητες η σ-άλγεβρα έχει διαισθητικό νόημα. Χρησιμοποιείται για να κωδικοποιήσει «πληροφορία» και συχνά, όταν δουλεύουμε σε έναν χώρο, θεωρούμε πολλές σ-άλγεβρες. Ενας χώρος πιθανότητας (Ω, F, P) μοντελοποιεί ένα πείραμα. Για κάθε πραγματοποίηση ω Ω του πειράματος, η πληροφορία που θεωρούμε ότι μας δίνει η σ-άλγεβρα F είναι σε ποια στοιχεία της ανήκει το ω και σε ποια όχι. Περισσότερα για αυτή την οπτική θα δούμε στο επόμενο κεφάλαιο. Παράδειγμα 1.1. Για τη ρίψη ενός ζαριού, ο φυσιολογικός δειγματικός χώρος είναι ο Ω := {1, 2, 3, 4, 5, 6} και συνήθως θεωρούμε ως σ-άλγεβρα για το πείραμα την F := P(Ω). Η F δίνει όλη την πληροφορία για το αποτέλεσμα μιας πραγματοποίησης αφού περιέχει τα μονοσύνολα {1},..., {6}. Η πληροφορία που παρέχει η σ-άλγεβρα F 1 := {, Ω, {1, 3, 5}, {2, 4, 6}} είναι μόνο αν η ένδειξη του ζαριού είναι άρτιος ή περιττός. Δεν μπορεί να διακρίνει τα αποτελέσματα 1 και 3. Ετσι περιέχει λιγότερη πληροφορία από την F. 1.2 Σ-άλγεβρα παραγόμενη από διαμέριση Οι σ-άλγεβρες που παράγονται από διαμέριση εμφανίζονται σε πολλά πιθανοτικά μοντέλα και βοηθούν στην κατανόηση εννοιών που ορίζονται γενικά για όλες τις σ-άλγεβρες (π.χ. μετρησιμότητα, δέσμευση κτλ). Υπενθυμίζουμε τον ορισμό της σ-άλγεβρας παραγόμενης από μια οικογένεια συνόλων. Ορισμός 1.2. Εστω X σύνολο και C P(X). Ορίζουμε J := {A P(X) : A C και η A είναι σ-άλγεβρα}, δηλαδή το σύνολο των σ-αλγεβρών στο X που καθεμία τους περιέχει την οικογένεια C. Η σ-άλγεβρα που παράγεται από την C ορίζεται ως η τομή όλων των σ-άλγεβρων που περιέχουν την C και συμβολίζεται με σ(c), δηλαδή σ(c) = A J A. Η σ(c) περιέχει ακριβώς όλα τα B X με την ιδιότητα B A για κάθε σ-άλγεβρα A στο X με A C. Αποδεικνύεται εύκολα ότι η σ(c) είναι πράγματι σ-άλγεβρα που περιέχει την οικογένεια C και από την κατασκευή της είναι η μικρότερη με την ιδιότητα αυτή. Δηλαδή περιέχεται σε οποιανδήποτε σ-άλγεβρα περιέχει την C. Προφανώς, αν η C είναι σ-άλγεβρα, τότε σ(c) = C. Μπορούμε να έχουμε στο μυαλό μας ότι η σ(c) προκύπτει με την εξής αναδρομική διαδικασία. Ξεκινάμε με την C και, αν αυτή δεν είναι σ-άλγεβρα, π.χ., γιατί το συμπλήρωμα ενός στοιχείου της ή κάποια αριθμήσιμη ένωση στοιχείων της δεν είναι στοιχείο της, προσθέτουμε σε αυτή το σύνολο 3

14 4 Εισαγωγικά που ανακαλύψαμε ότι της λείπει. Αυτό πρέπει να το κάνουμε πολλές φορές με τη νέα οικογένεια που προκύπτει μετά την προσθήκη κάθε συνόλου. Κάποια στιγμή φτάνουμε σε μια οικογένεια που είναι σ-άλγεβρα και τότε σταματάμε, βρήκαμε τη σ(c). Παράδειγμα 1.3 (Σ-άλγεβρα παραγόμενη από αριθμήσιμη διαμέριση). Εστω X σύνολο και C := {A i : i I} αριθμήσιμη διαμέριση του X (δηλαδή τα A i είναι μη κενά σύνολα, ξένα ανά δύο, με ένωση το X), με I = {1, 2,..., k} για κάποιο k N\{} ή I = N. Για τη σ-άλγεβρα που παράγει η C, έχουμε την εξής απλή περιγραφή, σ(c) = { i J A i : J I }. (1.1) Δηλαδή ένα σύνολο της σ(c) είναι ένωση κάποιων στοιχείων της διαμέρισης C. Ας ονομάσουμε A το σύνολο στο δεξί μέλος της παραπάνω σχέσης. Τότε έχουμε τα εξής: Η οικογένεια A περιέχει τη C. Πράγματι, οποιοδήποτε σύνολο της C είναι της μορφής A i για κάποιο i I. Η επιλογή J = {i } I στην περιγραφή στοιχείων της A δίνει i J A i = A i A. Οποιαδήποτε σ-άλγεβρα A 1 περιέχει τη C πρέπει να περιέχει την A. Γιατί οποιαδήποτε ένωση i J A i είναι αριθμήσιμη αφού το I είναι αριθμήσιμο. Και εφόσον η A 1 είναι σ-άλγεβρα και περιέχει τα A i με i J, θα περιέχει και την ένωσή τους. Η A είναι σ-άλγεβρα. Πράγματι, η επιλογή J = δίνει i J A i =. Επίσης, αν πάρουμε A της μορφής A = i J A i για κάποιο J I, τότε X\A = i I \J A i που είναι στοιχείο της A. Τέλος, αν έχουμε ακολουθία (B n ) n 1 στοιχείων της A με B n = i Jn A i, όπου J n I για κάθε n 1, τότε για J := n=1 J n έχουμε n=1 B n = i J A i που πάλι είναι στοιχείο της A. Συνδυάζοντας αυτές τις τρεις παρατηρήσεις παίρνουμε την (1.1). Παράδειγμα 1.4 (Μετρήσιμες συναρτήσεις στην {, X}). Εστω A = {, X} η τετριμμένη σ-άλγεβρα στο X. Ισχυρισμος: Μια συνάρτηση f : X R είναι A-μετρήσιμη αν και μόνο αν είναι σταθερή. Πράγματι, αν η f (x) = c για κάθε x X όπου c R σταθερά, τότε για κάθε A R σύνολο Borel έχουμε f 1 X αν c A, (A) = αν c R\A. Επειδή λοιπόν f 1 (A) A για κάθε A B(R), έχουμε ότι η f είναι A-μετρήσιμη. Εστω τώρα f : X R που είναι A-μετρήσιμη. Αν δεν είναι σταθερή, τότε παίρνει δύο διαφορετικές τιμές, έστω a, b με a < b. Υπάρχουν x 1, x 2 X με f (x 1 ) = a, f (x 2 ) = b. Λόγω μετρησιμότητας πρέπει το σύνολο := f 1 ((, a]) να ανήκει στην A. Ομως αφού περιέχει το x 1, και X αφού δεν περιέχει το x 2, επομένως A, άτοπο. Αρα η f πρέπει να είναι σταθερή. Γενίκευση του προηγούμενου παραδείγματος είναι το εξής. Παράδειγμα 1.5 (Μετρήσιμες συναρτήσεις σε σ-άλγεβρα παραγόμενη απο αριθμήσιμη διαμέριση). Τι μορφή έχουν οι πραγματικές συναρτήσεις που είναι μετρήσιμες ως προς τη σ-άλγεβρα σ(c) πιο πάνω; Ισχυρισμος: Μια σ(c)-μετρήσιμη συνάρτηση f : X R πρέπει να είναι σταθερή σε κάθε σύνολο της διαμέρισης. Πράγματι, έστω f μετρήσιμη και i I. Ας υποθέσουμε ότι η f παίρνει δύο διαφορετικές τιμές a < b στο A i. Θα έπρεπε λοιπόν το σύνολο A i { f < b} να ανήκει στη σ(c). Ομως αυτό το σύνολο είναι μη κενό και γνήσιο υποσύνολο του A i. Τέτοιο σύνολο δεν υπάρχει στη σ(c) (δες την περιγραφή της σ(c) στην (1.1)). Επίσης, είναι εύκολο να δείξει κανείς ότι μια συνάρτηση που είναι σταθερή σε κάθε σύνολο της διαμέρισης είναι μετρήσιμη. Αρα, αυτές είναι ακριβώς όλες οι μετρήσιμες συναρτήσεις στον (X, σ(c))

15 1.3 Σ-άλγεβρα παραγόμενη από συναρτήσεις Σ-άλγεβρα παραγόμενη από συναρτήσεις Ορισμός 1.6. Εστω Ω σύνολο. Για μια συνάρτηση f : Ω [, ], ονομάζουμε σ-άλγεβρα παραγόμενη από την f το σύνολο σ( f ) := { f 1 (A) : A B([, ])}. Αυτή είναι η ελάχιστη σ-άλγεβρα A στο Ω η οποία κάνει την f μετρήσιμη στον (Ω, A) [ Ασκηση]. Βέβαια αν στο Ω έχει ήδη οριστεί μία σ-άλγεβρα F ώστε η f να είναι μετρήσιμη στον (Ω, F ), τότε θα έχουμε σ( f ) F. Σε περίπτωση που έχουμε πολλές συναρτήσεις { f i : i I} ορισμένες στο σύνολο Ω και θέλουμε να βρούμε μία σ-άλγεβρα A ώστε να είναι όλες μετρήσιμες στον (Ω, A), τότε πρέπει και αρκεί σ( f i ) A για κάθε i I. Δηλαδή η A να περιέχει την ένωση i I σ( f i ). Από όλες τις A που ικανοποιούν αυτή την ιδιότητα διαλέγουμε τη μικρότερη. Ορισμός 1.7. Εστω Ω σύνολο. Αν { f i : i I} είναι οικογένεια συναρτήσεων στο Ω με τιμές στο [, ], ονομάζουμε σ-άλγεβρα παραγόμενη από τις συναρτήσεις { f i : i I} το σύνολο σ ( { f i : i I} ) := σ ( i I σ( f i ) ). (1.2) Αυτή είναι η ελάχιστη σ-άλγεβρα που κάνει όλες τις { f i : i I} μετρήσιμες. Παράδειγμα 1.8 (Ακολουθία ρίψεων νομίσματος). Παίρνουμε Ω = { 1, 1} N+. Μπορούμε να δούμε αυτό το σύνολο ως το δειγματικό χώρο για μια ακολουθία ρίψεων ενός νομίσματος. Το 1 παριστά το αποτέλεσμα «Κορώνα» και το 1 το αποτέλεσμα «Γράμματα». Για n N +, ορίζουμε τη συνάρτηση X n : Ω R με X n (ω) = ω n, όπου ω = (ω n ) n 1 Ω. Δηλαδή η X n είναι η προβολή στη n-οστή συντεταγμένη. Η X n παίρνει μόνο δύο τιμές. Οπότε η σ(x n ) είναι ακριβώς το σύνολο {, Ω, A n, 1, A n,1 }, με A n, 1 := Xn 1 ( ) { 1} = {ω Ω : ωn = 1} = { 1, 1} n 1 { 1} { 1, 1} N+ \[n], A n,1 := Xn 1 ( ) {1} = {ω Ω : ωn = 1} = { 1, 1} n 1 {1} { 1, 1} N+ \[n], όπου [n] := {1, 2,..., n}. Θα περιγράψουμε τώρα τη σ-άλγεβρα F n := σ ( {X 1, X 2,..., X n } ). Για δεδομένη ακολουθία s = (s 1, s 2,..., s n ) { 1, 1} n, θεωρούμε το σύνολο A s : = { (s 1, s 2,..., s n, x n+1, x n+2,...) : x i { 1, 1} για κάθε i n + 1 } = X1 1 ( {s1 } ) X2 1 ( {s2 } ) Xn 1 ( {sn } ). Δηλαδη το A s περιέχει όλες τις άπειρες ακολουθίες από 1 και 1 που το αρχικό τους τμήμα είναι το s και μετά είναι ελεύθερες να έχουν ό,τι θέλουν. Για μια ακολουθία που ανήκει στο A s, η συμπεριφορά της ως τον χρόνο n είναι γνωστή. Ισχυρισμος: Η F n είναι η σ-άλγεβρα που παράγεται από τη διαμέριση C := {A s : s { 1, 1} n } του Ω. Από τον ορισμό της η F n πρέπει να περιέχει τα Xi 1 ( {si } ) για i = 1, 2,..., n. Αρα, ως σ-άλγεβρα, περιέχει και το A s, που είναι πεπερασμένη τομή των Xi 1 ( {si } ). Επομένως σ(c) F n. Από την άλλη, κάθε X i με 1 i n είναι μετρήσιμη ως προς τη σ(c). Για παράδειγμα, Xi 1 ( ) {1} = s { 1,1} n :s i =1A s είναι πεπερασμένη ένωση στοιχείων της σ(c), άρα στοιχείο της. Από την ελαχιστότητα της F n έπεται ότι F n σ(c) και ο ισχυρισμός αποδείχθηκε.

16 6 Εισαγωγικά 1.4 Οι χώροι L p Για X τυχαία μεταβλητή στον χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και p [1, ), ορίζουμε X p = {E( X p )} 1/p και L p (Ω, F, P) := {X τυχαία μεταβλητή στο Ω : X p < }. Οταν είναι σαφές ποιος είναι ο χώρος Ω και ποια η σ-άλγεβρα F, γράφουμε L p (P) αντί L p (Ω, F, P). Αποδεικνύεται ότι η συνάρτηση X X p ικανοποιεί τις ιδιότητες λx p = λ X p, X + Y p X p + Y p, για X, Y L p (P) και λ R. Επεται ότι το σύνολο L p (P) είναι διανυσματικός χώρος. Η συνάρτηση p θα ήταν νόρμα αν επιπλέον ικανοποιούσε την X p = X. Ομως δεν την ικανοποιεί γιατί ενδέχεται μια τυχαία μεταβλητή X να μην είναι η μηδενική, αλλά να ισούται με με πιθανότητα 1, δηλαδή P(X = ) = 1, και επομένως να έχει X p =. Η λύση σε αυτό το πρόβλημα είναι να ορίσουμε στον L p (P) μια σχέση ισοδυναμίας: X Y αν P(X = Y) = 1, δηλαδη δύο τυχαίες μεταβλητές τις ταυτίζουμε αν είναι ίσες με πιθανότητα 1. Συμβολίζουμε το σύνολο των κλάσεων ισοδυναμίας με L p (Ω, F, P) ή L p (P). Σχεδόν όποια συνάρτηση έχουμε ορίσει σε τυχαίες μεταβλητές μπορούμε να ορίσουμε και για τα στοιχεία της L p (P). Πώς; Μέσω ενός αντιπροσώπου. Ας το δούμε για τη συνάρτηση p. Εστω H L p (P) μία κλάση και X ένα στοιχείο της κλάσης (λέμε αυτό το στοιχείο εκδοχή της H). Ορίζουμε H p = X p. Ο ορισμός δεν εξαρτάται από την επιλογή του αντιπροσώπου X γιατί αν Y είναι άλλος αντιπρόσωπος, τότε E( X p ) = E( Y p ) (αφού οι X, Y είναι σχεδον παντού ίσες), οπότε X p = Y p. Από την άλλη, για μια H L p ([, 1], B([, 1]), λ) δεν έχει νόημα να μιλάμε για την τιμή H(1) γιατί αν πάρουμε δύο αντιπροσώπους f, g από την κλάση H, δεν ισχύει απαραίτητα f (1) = g(1). Για μετροθεωρητικά θέματα, θεωρούμε δύο τυχαίες μεταβλητές που είναι ίσες με πιθανότητα 1 ταυτόσημα αντικείμενα. Με τον ίδιο τρόπο, βλέπουμε τον χώρο L p (P) ως χώρο τυχαίων μεταβλητών και όχι ως χώρο κλάσεων ισοδυναμίας. Τώρα η συνάρτηση p ορισμένη στον L p (P) είναι νόρμα γιατί για μία X L p (P) η X p = συνεπάγεται P(X = ) = 1, άρα η κλάση της X είναι η κλάση της μηδενικής συνάρτησης. Αυτή η κλάση είναι το του διανυσματικού χώρου L p (P). Πρόταση 1.9. (Ανισότητα Hölder) Εστω X, Y τυχαίες μεταβλητές, p (1, ), και q (1, ) τέτοιο ώστε p 1 + q 1 = 1. Τότε E XY X p Y q. Ειδική περίπτωση της ανισότητας Hölder (p = q = 2) είναι η ανισότητα Cauchy-Schwarz: E XY {E(X 2 )} 1/2 {E(Y 2 )} 1/2. Πρόταση 1.1. Για κάθε τυχαία μεταβλητή X και 1 r < s, ισχύει X r X s. Απόδειξη. Είναι συνέπεια της ανισότητας Hölder, όπου τη θέση της X έχει η X r, την θέση της Y έχει η σταθερή συνάρτηση 1, p = s/r, και q = s/(s r). Δηλαδή, E X r = E( X r 1) E( X s ) r/s (E(1 q )) 1/q = E( X s ) r/s και το συμπέρασμα έπεται.

17 1.4 Οι χώροι L p 7 Κατά συνέπεια L s (P) L r (P). Ο τελευταίος εγκλεισμός όμως έπεται και πιο εύκολα από την παρατήρηση ότι X r X s + 1 (το 1 καλύπτει την περίπτωση που X(ω) < 1). Η νόρμα p ορίζει μία μετρική d p στον χώρο L p (P). Ισχύει το εξής σημαντικό αποτέλεσμα [Κουμουλλής Γ. και Νεγρεπόντης Σ (1991), Θεώρημα 11.17]. Θεώρημα Ο μετρικός χώρος (L p (P), d p ) είναι πλήρης. Οταν είναι σαφές ποιο είναι το μέτρο P, τότε γράφουμε L p αντί L p (P). 1.1 Εστω f όπως στον Ορισμό 1.6. Να δειχθεί ότι (α) Η f είναι σ( f )-μετρήσιμη. Ασκήσεις (β) Αν η f είναι F -μετρήσιμη, όπου F είναι σ-άλγεβρα στο Ω, τότε σ( f ) F. Αρα η σ( f ) είναι η ελάχιστη σ-άλγεβρα στο Ω που κάνει την f μετρήσιμη. 1.2 Εστω f, g : Ω R συναρτήσεις στο σύνολο Ω. Να δειχθεί ότι σ( f ) σ( f, g). 1.3 Εστω F το σύνολο των συναρτήσεων f : R R που είναι άρτιες. Να προσδιοριστεί η σ-άλγεβρα στο R που παράγει η οικογένεια F (Ορισμός 1.7).

18 2 Δεσμευμένη μέση τιμή 2.1 Ορισμός Παντού σε αυτό το κεφάλαιο, αν δεν αναφέρεται κάτι διαφορετικό, δουλεύουμε σε ένα χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και η G F είναι μια σ-άλγεβρα. Ορισμός 2.1. Για X : Ω R τυχαία μεταβλητή στον (Ω, F, P) με E X <, δεσμευμένη μέση τιμή της X ως προς τη σ-άλγεβρα G ονομάζουμε οποιανδήποτε τυχαία μεταβλητή Y : Ω R έχει τις εξής ιδιότητες: (i) Η Y είναι G-μετρήσιμη. (ii) Ισχύει για κάθε A G. X d P = A A Y d P (2.1) Η απαίτηση (ii) εμπεριέχει και την απαίτηση η Y να είναι τέτοια ώστε το ολοκλήρωμα στο δεξί μέλος της (2.1) να ορίζεται. Γενικά, αν μια τυχαία μεταβλητή είναι μετρήσιμη ως προς μια μικρή σ-άλγεβρα, τότε συμπεραίνουμε ότι είναι απλό αντικείμενο. Για παράδειγμα, αν είναι μετρήσιμη ως προς μια σ-άλγεβρα που παράγεται από διαμέριση με n στοιχεία, τότε μπορεί να παίρνει το πολύ n διαφορετικές τιμές (Παράδειγμα 1.5). Ο ορισμός λοιπόν μας λέει ότι αν θέλουμε να υπολογίζουμε ολοκληρώματα της X σε σύνολα της υποάλγεβρας G, δεν είναι ανάγκη να χρησιμοποιούμε τη X, η οποία μπορεί να είναι αρκετά περίπλοκη συνάρτηση. Υπάρχει η Y που είναι απλούστερο αντικείμενο από τη X και μπορεί να κάνει την ίδια δουλειά. Για την πρακτική σημασία της δεσμευμένης μέσης τιμής θα αναφερθούμε στην επόμενη παράγραφο. Ξεκινάμε με το θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας και κάποια παραδείγματα. Πρόταση 2.2. ( Υπαρξη και μοναδικότητα) (i) Μία δεσμευμένη μέση τιμή Y της X ως προς την G υπάρχει. (ii) Για οποιαδήποτε δεσμευμένη τιμή Y της X ως προς την G ισχύει E Y E X <. (iii) Αν Y, Y είναι δύο δεσμευμένες μέσες τιμές της X ως προς την G, τότε P(Y = Y ) = 1. Απόδειξη. (i) Ας υποθέσουμε πρώτα ότι X. Η συνάρτηση ν : G R με ν(a) = X d P για κάθε A G είναι ένα μέτρο και επιπλέον P(A) = ν(a) = ( Ασκηση). Το Θεώρημα Radon- Nikodym [Κουμουλλής Γ. και Νεγρεπόντης Σ (1991), Θεώρημα 1.15] δίνει ότι υπάρχει Y, Y L 1 (Ω, G, P) ώστε ν(a) = A Y d P. 8 A

19 2.1 Ορισμός 9 Τώρα για τη γενική περίπτωση, θέτουμε X 1 := X +, X 2 := X. Από την προηγούμενη παράγραφο έχουμε ότι υπάρχουν Y 1, Y 2 που να αντιστοιχούν στις X 1, X 2 και έχουν E Y 1, E Y 2 <. Εύκολα βλέπουμε ότι η Y := Y 1 Y 2 είναι μια δεσμευμένη τιμή για τη X. (ii) Εστω A 1 := {Y > }, A 2 := Ω\A 1 = {Y }, που είναι και τα δύο στοιχεία της G αφού η Y είναι G-μετρήσιμη. Τότε E Y = Y d P Y d P = X d P X d P X d P + X d P = E X. A 1 A 2 A 1 A 2 A 1 A 2 Η δεύτερη ισότητα προκύπτει με εφαρμογή του (ii) του Ορισμού 2.1 για τα σύνολα A 1, A 2. (iii) Εστω ότι P(Y Y > ) >. Τότε το σύνολο A := [Y Y > ] είναι στοιχείο της G (αφού η Y Y είναι G-μετρήσιμη) και (Y Y ) d P = X d P X d P =. A A A Δηλαδή η μη αρνητική συνάρτηση (Y Y )1 A έχει μηδενικό ολοκλήρωμα. Πρέπει P((Y Y )1 A > ) =. Ομως P((Y Y )1 A > ) = P(A) > από υπόθεση. Ατοπο. Αρα P(Y Y > ) =. Λόγω συμμετρίας, P(Y Y > ) =, και το συμπέρασμα έπεται. Συμβολίζουμε οποιαδήποτε δεσμευμένη μέση τιμή της X ως προς τη G με E(X G). Το (iii) της προηγούμενης πρότασης επιτρέπει να θεωρούμε ότι η E(X G) είναι ουσιαστικά μοναδική. Παράδειγμα 2.3. (1) Στην περίπτωση που G = {, Ω} ισχύει E(X G) = E X, δηλαδή είναι σταθερά. Αυτό γιατί οι μόνες G-μετρήσιμες συναρτήσεις είναι οι σταθερές και αν υποθέσουμε ότι E(X G) = c και εφαρμοσουμε την (2.1) για A = Ω G, παίρνουμε E X = Ω c d P = c. Παράδειγμα 2.4. Στην περίπτωση που G = F ισχύει E(X G) = X. Αυτό γιατί η X είναι G μετρήσιμη και προφανώς ικανοποιεί το (ii) του Ορισμού 2.1. Παράδειγμα 2.5. Θα δούμε τώρα την περίπτωση που η G παράγεται από μια αριθμήσιμη διαμέριση, έστω C = {A i : i I} F, του δειγματικού χώρου Ω (Παράδειγμα 1.3). Δηλαδή G = σ(c). Βέβαια, επειδή πρέπει G F, θα έχουμε ότι A i F για κάθε i I. Σχήμα 2.1: Συνάρτηση (διακεκομμένες γραμμές) και η δεσμευμένη μέση τιμή της (ευθύγραμμα τμήματα) ως προς μία σ-άλγεβρα. Η σ-άλγεβρα παράγεται από τη διαμέριση {[4, 6.5), [6.5, 1), [1, 17), [17, 22]} του πεδίου ορισμού [4, 22]. Η δεσμευμένη μέση τιμή, έστω Y, είναι σ(c)-μετρήσιμη. Αρα με βάση το Παράδειγμα 1.5, είναι σταθερή σε κάθε σύνολο της διαμέρισης. Δηλαδή υπάρχουν σταθερές {c i : i I} ώστε Y(ω) = c i για

20 1 Δεσμευμένη μέση τιμή κάθε ω A i και i I. Θα βρούμε αυτές τις σταθερές. Εφαρμόζουμε την (2.1) για A = A i σ(c) και παίρνουμε A i X d P = c i P(A i ). (2.2) Αν P(A i ), έχουμε αμέσως c i = E(X; A i )/ P(A i ), ενώ αν P(A i ) =, οποιαδήποτε σταθερά ικανοποιεί την (2.2) αφού και το αριστερό μέλος ισούται με (ολοκλήρωμα σε σύνολο μέτρου ). Αρα E(X;A i ) P(A E(X G)(ω) = i ) αν ω A i και P(A i ) >, (2.3) αν ω A i και P(A i ) = και έτσι η E(X G) καθορίστηκε πλήρως σε όλο το Ω (το δεύτερο σκέλος του ορισμού είναι ασήμαντο αφού αφορά το σύνολο i:p(ai )=A i, το οποίο έχει μέτρο ως αριθμήσιμη ένωση συνόλων με μέτρο μηδέν). Στις στοιχειώδεις πιθανότητες το πηλίκο στην (2.3) συμβολίζεται με E(X A i ) και λέγεται δεσμευμένη μέση τιμή της X δεδομένου ότι συνέβη το A i. Είναι επίσης η μέση τιμή της X ως προς την κανονικοποίηση του περιορισμού της P στο A i ( Ασκηση 2.1). Είναι η «μέση τιμή της X στο σύνολο A i» με την ίδια έννοια που η μέση τιμή μιας συνεχούς συνάρτησης f : R R σε ένα διάστημα [a, b] είναι ο αριθμός 1 b f (t) dt. b a a Στο Σχήμα 2.1 έχουμε (με διακεκομμένες γραμμές) το γράφημα μιας συνάρτησης X με πεδίο ορισμού το Ω := [4, 22]. Ο χώρος πιθανότητας είναι ο ([4, 22], B([4, 22]), λ/18), όπου λ είναι το μέτρο Lebesgue στο [4, 22]. Οι οριζόντιες γραμμές είναι το γράφημα της δεσμευμένης μέσης τιμής της X ως προς τη σ-άλγεβρα που παράγεται από τη διαμέριση {[4, 6.5), [6.5, 1), [1, 17), [17, 22]}. Ο προσδιορισμός της δεσμευμένης μέσης τιμής έγινε ως εξής. Εστω µ = λ/18. Η δεσμευμένη μέση τιμή στο πρώτο διάστημα [4, 6.5) = [a, b) ισούται με b X(t)dµ(t) b X(t) dt a a = µ([a, b)) b a. Αυτή είναι η «μέση τιμή της X στο [a, b)». υπόλοιπα διαστήματα. Ομοια υπολογίζεται η δεσμευμένη μέση τιμή και στα 2.2 Σημασία της δεσμευμένης μέσης τιμής Σε αυτή την παράγραφο θέλουμε να στηρίξουμε τη δήλωση ότι «Η δεσμευμένη μέση τιμή E(X G) δίνει την καλύτερη εκτίμηση για τη X δεδομένης της πληροφορίας που δίνει η σ-άλγεβρα G.» Οι έννοιες «εκτίμηση» και «πληροφορία» είναι ασαφείς και ελάχιστα θα τις διασαφηνίσουμε παρακάτω. Η πιο πάνω φράση απλώς προσφέρει έναν τρόπο να σκεφτόμαστε για τη δεσμευμένη μέση τιμή. Δεν πρόκειται να την χρησιμοποιήσουμε στην ανάπτυξη της θεωρίας. Υπενθυμίζουμε ότι, για μια σ-άλγεβρα G F, ως πληροφορία που κρατάει η G θεωρούμε την εξής γνώση. Οταν γίνεται το πείραμα το οποίο μοντελοποιεί ο χώρος πιθανότητας (Ω, F, P) και προκύψει ένα αποτέλεσμα ω Ω (το οποίο εμείς δεν ξέρουμε), η πληροφορία της G είναι το σε ποια στοιχεία της ανήκει και σε ποια δεν ανήκει το ω. Δηλαδή η πληροφορία ενδεχομένως να μην μας πει ποιο ακριβώς είναι το ω, αλλά θα το περιορίσει. Εμείς βεβαίως ξέρουμε τα πάντα για την τριάδα (Ω, F, P) και τη συνάρτηση X και μπορούμε να κάνουμε υπολογισμούς πιθανοτήτων και μέσων τιμών. Θα δούμε τώρα αυτό το σκεπτικό εφαρμοσμένο σε προηγούμενα παραδείγματα για τα οποία έχουμε υπολογίσει τη δεσμευμένη μέση τιμή.

21 2.3 Βασικές ιδιότητες 11 Στο Παράδειγμα 2.3 η σ-άλγεβρα {, Ω} δεν μας δίνει καμία πληροφορία. Το ότι ω Ω το ξέρουμε. Ετσι, αφού γίνει το πείραμα, η καλύτερη εκτίμηση που κάνουμε για την τιμή X(ω) που έχει πάρει η X είναι η E X. Στο Παράδειγμα 2.5. Οταν η G παράγεται από μια αριθμήσιμη διαμέριση {A i : i I}, για ένα δεδομένο ω Ω, η πληροφορία της G μας λέει σε ποιο στοιχείο A i της διαμέρισης ανήκει το ω και δεν μπορεί να πει κάτι πιο κατατοπιστικό γιατί το A i δεν περιέχει γνησίως μικρότερο και μη κενό υποσύνολο που να είναι στοιχείο της διαμέρισης. Ξέροντας λοιπόν ότι ω A i και συνδυάζοντάς το με το σκεπτικό του προηγουμένου παραδείγματος, είναι εντελώς φυσιολογικό να πάρουμε ως καλύτερη εκτίμησή μας για το X(ω) τη μέση τιμή της X ως προς την κανονικοποίηση του περιορισμού του P στο A i (το μέτρο στον υπόλοιπο χώρο δεν μας ενδιαφέρει). Δηλαδή τον αριθμό στην (2.3). Στο Παράδειγμα 2.4. Αφού η X είναι G-μετρήσιμη, όλα τα σύνολα {X = r}, όπου r R, ανήκουν στην G, και για δεδομένο ω Ω, ξέρουμε σε ποια αυτό ανήκει και σε ποια όχι. Αρα ξέρουμε ποιο είναι το X(ω) ακριβώς. Γι αυτό και E(X G) = X. Αυτή η διαίσθηση όμως δεν λειτουργεί πάντα, όπως δείχνει το επόμενο παράδειγμα. Παράδειγμα 2.6. Στον χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) με Ω := (, 1), F := B((, 1)), P := λ 1 το μέτρο Lebesgue στο (, 1), θεωρούμε τη σ-άλγεβρα G := {A (, 1) : A αριθμήσιμο ή (, 1) \ A αριθμήσιμο} που είναι υποσύνολο της F (γιατί;). Θεωρούμε και την τυχαία μεταβλητή X με X(ω) = ω για κάθε ω Ω [είναι αυτή που λέμε τυχαία μεταβλητή ομοιόμορφη στο (, 1)]. Γίνεται λοιπόν το πείραμα και προκύπτει ένα ω. Η G περιέχει όλα τα μονοσύνολα του Ω και άρα η πληροφορία που κρατάει πρέπει να μας δώσει ποιο είναι το ω ακριβώς και άρα και την ακριβή τιμή του X(ω). Από την άλλη, επειδή κάθε σύνολο της G έχει P μέτρο ή 1, έχουμε ότι η X είναι ανεξάρτητη από την G και επομένως, από την Πρόταση 2.7(iii) πιο κάτω, E(X G)(ω) = E X = 1 x dλ 1(x) = 1/2 για κάθε ω Ω. 2.3 Βασικές ιδιότητες Θα δούμε σε αυτή την παράγραφο κάποιες χρήσιμες ιδιότητες της δεσμευμένης μέσης τιμής. Οι ισχυρισμοί, ισότητες/ανισότητες, πιο κάτω ισχύουν με πιθανότητα 1. Παραλείπουμε αυτή τη διασαφήνιση για απλότητα στη διατύπωση. Πρόταση 2.7. Εστω X L 1 (Ω, F, P) και G F σ-άλγεβρα. Ισχύουν τα εξής. (i) E(E(X G)) = E X. (ii) Αν η X είναι G-μετρήσιμη, τότε E(X G) = X. (iii) Αν η X είναι ανεξάρτητη από την G, τότε E(X G) = E X. Απόδειξη. (i) Προκύπτει θέτοντας A = Ω στην (2.1). (ii) Η X ικανοποιεί τις δύο απαιτήσεις του ορισμού της δεσμευμένης μέσης τιμής. (iii) Η σταθερή συνάρτηση E X είναι προφανώς G-μετρήσιμη και για A G έχουμε X d P = E(1 A X) = E(1 A ) E X = P(A) E X = E X d P. A A Πρόταση 2.8. Εστω X, Y L 1 (Ω, F, P), a, b R. Ισχύουν τα εξής. (i) E(aX + by G) = a E(X G) + b E(Y G).

22 12 Δεσμευμένη μέση τιμή (ii) Αν X, τότε E(X G). (iii) Αν X Y, τότε E(X G) E(Y G). Απόδειξη. (i) Η a E(X G) + b E(Y G) είναι G-μετρήσιμη, και για A G έχουμε {a E(X G) + b E(Y G)} d P = a E(X G) d P +b E(Y G) d P A A A = a X d P +b Y d P = (ax + by) d P. A Στη δεύτερη ισότητα χρησιμοποιήσαμε την ιδιότητα ορισμού των E(X G), E(Y G) και το ότι A G. Αρα η a E(X G) + b E(Y G) είναι μια δεσμευμένη μέση τιμή της ax + by ως προς την G. (ii) Επεται από την απόδειξη της Πρότασης 2.2(i) ότι υπάρχει μια δεσμευμένη μέση τιμή που είναι μη αρνητική. Ομως η δεσμευμένη μέση τιμή είναι μοναδική (Πρόταση 2.2(iii)) και το συμπέρασμα έπεται. (iii) Θέτουμε W := Y X, εφαρμόζουμε το προηγούμενο μέρος της πρότασης, και μετά χρησιμοποιούμε τη γραμμικότητα της δεσμευμένης μέσης τιμής (πρώτο μέρος της πρότασης). Πρόταση 2.9. Εστω X L 1 (Ω, F, P) και G 1 G 2 F σ-άλγεβρες. Τότε (i) E(E(X G 1 ) G 2 )) = E(X G 1 ). (ii) E(E(X G 2 ) G 1 )) = E(X G 1 ). Απόδειξη. (i) Η τυχαία μεταβλητή E(X G 1 ) είναι G 2 -μετρήσιμη αφού είναι G 1 -μετρήσιμη και G 1 G 2. Το συμπέρασμα έπεται από την Πρόταση 2.7(ii). (ii) Η E(X G 1 ) είναι G 1 -μετρήσιμη, και για A G 1 έχουμε E(X G 1 ) d P = X d P = A A A A A E(X G 2 ) d P. Στην τελευταία ισότητα χρησιμοποιούμε τον ορισμο της E(X G 2 ) και το ότι το A είναι στοιχείο της G 2 επίσης. Το συμπέρασμα έπεται. Πρόταση 2.1 (Τα γνωστά βγαίνουν έξω). Εστω X L 1 (Ω, F, P) και Y : Ω R συνάρτηση G- μετρήσιμη ώστε E XY <. Τότε E(XY G) = Y E(X G). (2.4) Απόδειξη. Το δεξί μέλος της ισότητας είναι μια G-μετρήσιμη συνάρτηση, άρα μένει να δείξουμε ότι ικανοποιεί τη δεύτερη συνθήκη του Ορισμού 2.1. Θα πάμε με τη συνήθη τακτική. 1. Αν η Y = 1 B με B G, τότε για κάθε A G έχουμε Y E(X G) d P = E(X G) d P = και το συμπέρασμα έπεται. A A B A B X d P = A 1 B X d P = A XY d P, 2. Η προηγούμενη ειδική περίπτωση και η γραμμικότητα της δεσμευμένης μέσης τιμής δίνουν την (2.4) όταν η Y είναι απλή και G-μετρήσιμη. 3. Αν οι X, Y, τότε παίρνουμε αύξουσα ακολουθία (Y n ) n 1 μη αρνητικών απλών και G-μετρήσιμων συναρτήσεων που συγκλίνει σημειακά στην Y. Με βάση τα προηγούμενα, για A G έχουμε Y n E(X G) d P = XY n d P. A A

23 2.3 Βασικές ιδιότητες 13 Εφαρμόζουμε το θεώρημα μονότονης σύγκλισης στην τελευταία, και παίρνουμε Y E(X G) d P = XY d P. Ετσι πάλι ισχύει η (2.4). A 4. Για τη γενική περίπτωση. Εφαρμόζουμε την (2.4) για τα ζευγάρια {X, Y }, {X, Y + }, {X +, Y }, {X +, Y + } για τα οποία ξέρουμε ότι ισχύει, και κάνουμε τις απαραίτητες πράξεις με τις ισότητες που θα προκύψουν. Χρησιμοποιούμε βέβαια το γεγονός ότι E(X Y ) + E(X Y + ) + E(X + Y ) + E(X + Y + ) = E XY <. Συμβολισμός: Αν Z, W είναι τυχαίες μεταβλητές, τότε για τη δεσμευμένη μέση τιμή E(Z σ(w)) χρησιμοποιούμε τον συμβολισμό E(Z W). Η πιο κάτω πρόταση είναι χρήσιμη σε υπολογισμούς. Για απλοποίηση στη διατύπωση, υποθέτουμε ότι οι τυχαίες μεταβλητές X, Y που εμφανίζονται παίρνουν τιμές στο R. Ανάλογο αποτέλεσμα ισχύει και αν παίρνουν τιμές σε αυθαίρετο μετρήσιμο χώρο η καθεμία. Πρόταση Εστω X, Y ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές με τιμές στο R και h : R 2 R Borel μετρήσιμη ώστε E h(x, Y) <. Θέτουμε φ(x) := E(h(x, Y)) για κάθε x R. Τότε E(h(X, Y) X) = φ(x). Δηλαδή, για να υπολογίσουμε την τιμή της δεσμευμένης μέσης τιμής της h(x, Y) σε ένα ω Ω, παγώνουμε τη X στην τιμή x = X(ω) και υπολογίζουμε τη μέση τιμή της ποσότητας h(x, Y), στην οποία η τυχαιότητα οφείλεται μόνο στο Y. Απόδειξη. Η φ είναι Borel μετρήσιμη, οπότε η φ(x) είναι σ(x) μετρήσιμη. Επειτα θα ελέγξουμε την ισχύ της δεύτερης συνθήκης του Ορισμού 2.1. Εστω A σ(x). Υπάρχει B B(R) έτσι ώστε A = X 1 (B). Εστω µ, ν οι κατανομές των X, Y αντίστοιχα. Η τ.μ. (X, Y) έχει κατανομή ρ := µ ν (μέτρο γινόμενο) επειδή οι X, Y είναι ανεξάρτητες. Χρησιμοποιώντας τον τύπο αλλαγής μεταβλητής, υπολογίζουμε h(x, Y) d P = h(x, Y)1 B (X) d P = h(x, y)1 B (x) dρ(x, y) A = h(x, y)1 B (x) dν(y)dµ(x) = h(x, y) dν(y)dµ(x) = B φ(x)dµ(x) = A B φ(x)1 B (X) d P = A φ(x) d P, και η απόδειξη ολοκληρώθηκε. Παράδειγμα Εστω X, Y ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές, με καθεμία να έχει την ομοιόμορφη κατανομή στο (, 1). Η μέση τιμή E(X Y ) υπολογίζεται ως εξής. E(X Y ) = E(E(X Y Y)) = E(φ(Y)) με φ(y) = E(X y ). Για y (, 1) έχουμε E(X y ) = 1 xy dx = 1/(y + 1). Αρα η ζητούμενη μέση τιμή ισούται με E(1/(Y + 1)) = 1 (1 + y) 1 dy = log 2.

24 14 Δεσμευμένη μέση τιμή Πρόταση 2.13 (Ανισότητα Jensen). Εστω X L 1 (Ω, F, P) και f κυρτή συνάρτηση σε ένα διάστημα I R με P(X I) = 1 και E f (X) <. Τότε f (E(X G)) E( f (X) G). Η ανισότητα Jensen έχει την εξής χρήσιμη συνέπεια. Πόρισμα Για p 1 και X L p (Ω, F, P) ισχύει E(X G) p X p. Την περίπτωση p = 1 την έχουμε ήδη δει στην Πρόταση 2.2(ii). Απόδειξη. Το ότι η X είναι στοιχείο του L p δίνει ότι είναι στοιχείο και του L 1. Ετσι, εφαρμόζοντας την ανισότητα Jensen για την κυρτή συνάρτηση f (x) = x p, έχουμε ότι E(X G) p E( X p G) με πιθανότητα 1. Παίρνουμε μέση τιμή στα δύο μέλη, και με χρήση της Πρότασης 2.7(i) παίρνουμε E { E(X G) p} E( X p ), που είναι το ζητούμενο. Για τη δεσμευμένη μέση τιμή υπάρχουν οριακά θεωρήματα αντίστοιχα αυτών της μέσης τιμής. Τα καταγράφουμε χωρίς απόδειξη. Για όλες τις τυχαίες μεταβλητές που εμφανίζονται σε αυτά υποθέτουμε ότι είναι στοιχεία του L 1 (Ω, F, P). Θεώρημα 2.15 (Λήμμα Fatou). Αν οι X n είναι μη αρνητικές, τότε E( lim X n G) lim E(X n G). n n Θεώρημα 2.16 (Θεώρημα μονότονης σύγκλισης). Αν X n X n+1 για κάθε n 1, τότε E( lim n X n G) = lim n E(X n G). Θεώρημα 2.17 (Θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης). Αν οι {X n : n 1} συγκλίνουν με πιθανότητα 1 σε μια τυχαία μεταβλητή X και υπάρχει Y L 1 (P) με X n Y για κάθε n 1, τότε X L 1 (P) και E( lim n X n G) = lim n E(X n G). 2.4 Η δεσμευμένη μέση τιμή ως προβολή Το σύνολο H := L 2 (Ω, F, P) εφοδιασμένο με το εσωτερικό γινόμενο (X, Y) E(XY) = XY d P είναι χώρος Hilbert (δες Παράρτημα Βʹ). Ο H := L 2 (Ω, G, P) είναι υπόχωρος του H και μάλιστα κλειστός. Εχουμε ορίσει τη δεσμευμένη μέση τιμή ως προς την G για τα στοιχεία του L 1 (Ω, F, P) H. Ομως για τα στοιχεία του H η δεσμευμένη μέση τιμή έχει την εξής γεωμετρική ερμηνεία. Πρόταση Η απεικόνιση T : H H με T(X) = E(X G) είναι η ορθογώνια προβολή στον υπόχωρο H. Απόδειξη. Κατ αρχάς, η T παίρνει πράγματι τιμές στον H γιατί από το Πόρισμα 2.14 (για p = 2), αν X H, τότε E(X G) H. Κάθε X H γράφεται ως X = E(X G) + {X E(X G)} με E(X G) H. Μένει να δείξουμε ότι X E(X G) H, δηλαδή E(Y{X E(X G)}) = για κάθε Y H. Αυτό αφήνεται ως άσκηση ( Ασκηση 2.9).

25 2.4 Η δεσμευμένη μέση τιμή ως προβολή 15 X L 2 (Ω, G, P) E(X G) Σχήμα 2.2: Η δεσμευμένη μέση τιμή ως προβολή. Ο περιβάλλων χώρος είναι ο L 2 (Ω, F, P), και ο υπόχωρος L 2 (Ω, G, P) παριστάνεται από ένα επίπεδο. Ασκήσεις Στις ασκήσεις πιο κάτω υποθέτουμε ότι δουλεύουμε σε έναν χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και ότι η G είναι σ-άλγεβρα υποσύνολο της F. 2.1 Εστω (Ω, F, µ) χώρος μέτρου και A F με µ(a ) >. (α) Να δειχθεί ότι η συνάρτηση ν : F [, ] με ν(a) = µ(a A ) είναι μέτρο στον (Ω, F ). Αυτό το μέτρο ονομάζεται περιορισμός του µ στο A. Κανονικοποιώντας το (δηλαδή διαιρώντας το με τη συνολική του μάζα), παίρνουμε το μέτρο πιθανότητας ˆν(A) = ν(a) ν(ω) = µ(a A ). µ(a ) (β) Να δειχθεί ότι για κάθε X : Ω [, ] μετρήσιμη με X dµ < ή με X ισχύει ότι X dˆν = 1 X dµ. µ(a ) A 2.2 Εστω (X, Y) διδιάστατη τυχαία μεταβλητή με πυκνότητα f : R 2 [, ) και h : R R Borel μετρήσιμη ώστε E h(x) <. Η Y έχει πυκνότητα f Y (y) := f (x, y) dx για κάθε y R. Για x, y R θέτουμε f (x,y) f f X Y (x y) := Y (y) αν f Y (y), αν f Y (y) =. Τέλος θέτουμε φ(y) := h(x) f X Y (x y) dx για κάθε y R. Να δειχθεί ότι E(h(X) Y) = φ(y). 2.3 Εστω X L 1 (Ω, F, P) με X(ω) > για κάθε ω Ω. Να δειχθεί ότι: (α) E(X G) > με πιθανότητα 1. (β) E ( X E(X G)) = Εστω X L 1 (Ω, F, P) με X(ω) για κάθε ω Ω. Ισχύει απαραίτητα E(X G) με πιθανότητα 1; 2.5 Εστω X : Ω R τυχαία μεταβλητή με Ε(X 2 ) < και F 1 F 2 F σ-άλγεβρες. Να δειχθεί ότι Ποια είναι η γεωμετρική ερμηνεία της ανισότητας; Ε(Ε(X F 1 ) 2 ) Ε(Ε(X F 2 ) 2 ).

26 16 Δεσμευμένη μέση τιμή 2.6 Εστω X L 2 (Ω, F, P). Να δειχθεί ότι E(X E(X G)) E(X 2 ). 2.7 Αν οι X, Y L 2 (Ω, F, P) ικανοποιούν E(Y G) = X και E(Y 2 ) = E(X 2 ), τότε X = Y με πιθανότητα Αν οι X, Y L 2 (Ω, F, P) ικανοποιούν E(Y 2 G) = X 2 και E(Y G) = X, τότε X = Y με πιθανότητα Για X L 2 (Ω, F, P) και Y L 2 (Ω, G, P), να δειχθεί ότι (α) δηλαδή X E(X G) Y. (β) E(YX) = E(Y E(X G)), E((X E(X G)) 2 ) E((X Y) 2 ), και η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν Y = E(X G), δηλαδή ισούνται με πιθανοτητα 1. Με άλλα λόγια, η E(X G) είναι το (ουσιαστικά μοναδικό) εγγύτερο στο X σημείο του υποχώρου L 2 (Ω, G, P). 2.1 Για X, Y L 2 (Ω, F, P) να δειχθεί ότι E(E(X G) Y) = E(X E(Y G)) Για X L 2 (Ω, F, P) ονομάζουμε την τυχαία μεταβλητή Var(X G) := E{(X E(X G)) 2 G} δεσμευμένη διασπορά της X ως προς τη σ-άλγεβρα G. Να δειχθεί ότι: (α) Var(X G) = E(X 2 G) {E(X G)} 2. (β) Var(X) = E(Var(X G)) + Var(E(X G)). Στην τελευταία ισότητα η Var στην πρώτη και στην τρίτη ποσότητα είναι η συνηθισμένη διασπορά τυχαίας μεταβλητής Εστω X 1, X 2,..., X n ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές με μέση τιμή και διασπορά 1. Θέτουμε F := {, Ω}, F k := σ(x 1, X 2,..., X n ) για 1 k n. Εστω και τυχαίες μεταβλητές a 1, a 2,..., a n ώστε η a k να είναι F k 1 -μετρήσιμη και φραγμένη για 1 k n. Να δειχθεί ότι n 2 E a k X k n = E(a 2 k ). k= Εστω X, Y ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές ώστε E X, E Y < και E(X) =. Να δειχθεί ότι E X + Y E Y (Αλλαγή μέτρου και δεσμευμένη μέση τιμή) Εστω P μέτρο στον (Ω, F ) και f : Ω [, ] τυχαία μεταβλητή με E P ( f ) = 1. Να δειχθεί ότι: (α) Η συνάρτηση Q : F [, ] με Q(A) := A f d P = f 1 A d P είναι μέτρο πιθανότητας. [Γράφουμε d Q = f d P.] (β) Για κάθε X τυχαία μεταβλητή ισχύει k=1 E Q (X) = E P (X f ). Και για X : Ω [, ] τυχαία μεταβλητή, E Q ( X ) < E P ( X f ) <. (γ) Για G F σ-άλγεβρα και X L 1 (Ω, F, Q), E Q (X G) = E P(X f G) E P ( f G).

27 3 Martingales 3.1 Ορισμός και παραδείγματα Εστω χώρος πιθανότητας (Ω, F, P). Διήθηση σε αυτό τον χώρο λέμε μια αύξουσα ακολουθία (F n ) n σ-αλγεβρών, η καθεμία από τις οποίες είναι υποσύνολο της F. Δηλαδή, έχουμε F n F n+1 F για κάθε n. Μια ακολουθία τυχαίων μεταβλητών (X n ) n στον Ω λέγεται προσαρμοσμένη στη διήθηση (F n ) n αν για κάθε n η X n είναι F n -μετρήσιμη. Συμβαση: Σε αυτό το κεφάλαιο, οι δείκτες των διαφόρων οικογενειών που εμφανίζονται είναι φυσικοί αριθμοί. Ετσι, όταν γράφουμε n 1, n, εννοούμε n N + και n N αντίστοιχα. Ορισμός 3.1. Αν η ακολουθία τυχαίων μεταβλητών X = (X n ) n ικανοποιεί τις ιδιότητες (i) Η (X n ) n είναι προσαρμοσμένη στην (F n ) n, (ii) E X n < για κάθε n, (iii) E(X n+1 F n ) = X n για κάθε n, τότε λέγεται martingale ως προς τη διήθηση (F n ) n και το μέτρο P. Αν αντί της (iii) ισχύει η E(X n+1 F n ) X n, τότε η ακολουθία λέγεται submartingale, ενώ αν ισχύει η E(X n+1 F n ) X n, τότε η ακολουθία λέγεται supermartingale (ως προς τα (F n ) n και P). Οταν είναι σαφές ποια είναι τα (F n ) n και P, δεν τα αναφέρουμε όταν χαρακτηρίζουμε μια ακολουθία ως martingale, submartingale, ή supermartingale ως προς αυτά. Αν η (X n ) n είναι submartingale, τότε η ( X n ) n είναι supermartingale. Και η (X n ) n είναι martingale αν και μόνο αν είναι ταυτόχρονα submartingale και supermartingale. Επίσης, παίρνοντας μέσες τιμές στα μέλη της (iii) έχουμε ότι η ακολουθία (E(X n )) n είναι σταθερή, αύξουσα, ή φθίνουσα όταν αντίστοιχα η X είναι martingale, submartingale, supermartingale. Φανταζόμαστε έναν παίχτη που συμμετέχει σε ένα παιχνίδι που γίνεται σε βήματα και X n δηλώνει την περιουσία του μετά το βήμα n. Η E(X n+1 F n ) δίνει την καλύτερη εκτίμηση που έχουμε για την περιουσία του μετά από ένα βήμα με δεδομένη όλη την πληροφορία κατά τον χρόνο n. Επομένως, όταν η X είναι submartingale (supermartingale), το παιχνίδι είναι υπέρ (αντίστοιχα, κατά) του παίχτη, ενώ όταν η X είναι martingale, το παιχνίδι είναι δίκαιο. Ο απλός τυχαίος περίπατος στο Z. Εστω (X i ) i 1 ακολουθία ανεξάρτητων ισόνομων τυχαίων μεταβλητών με P(X 1 = 1) = P(X 1 = 1) = 1/2. Θέτουμε S :=, S n := X X n για κάθε n 1. Η ανέλιξη S = (S n ) n λέγεται απλός τυχαίος περίπατος στο Z. Θα δούμε αμέσως δύο martingales που προκύπτουν από τον απλό τυχαίο περίπατο τα οποία μάλιστα βοηθούν στη μελέτη του. Η διήθηση που θα θεωρούμε είναι η εξής: Για κάθε n N θέτουμε M n := S 2 n n. F := {, Ω}, F n := σ(x 1, X 2,..., X n ) για n 1. 17

28 18 Martingales S n n Σχήμα 3.1: Το γράφημα μιας πραγματοποίησης των πρώτων 9 βημάτων του απλού τυχαίου περιπάτου στο Z. Παράδειγμα 3.2. Οι ανελίξεις (α) (S n ) n (β) (M n ) n είναι martingales ως προς την (F n ) n. Πράγματι, από τον ορισμό της (F n ) n προκύπτει ότι οι S, M είναι προσαρμοσμένες. Η (ii) του ορισμού του martingale ικανοποιείται αφού S n n, M n n 2 + n στον Ω για κάθε n N. Σχετικά με την ιδιότητα (iii) του ορισμού, για την ανέλιξη του (α) υπολογίζουμε E(S n+1 F n ) = E(S n + X n+1 F n ) = S n + E(X n+1 F n ) = S n + E(X n+1 ) = S n. Στη δεύτερη ισότητα, χρησιμοποιήσαμε τη γραμμικότητα της δεσμευμένης τιμής και το γεγονός ότι η S n είναι F n μετρήσιμη. Στην τρίτη ισότητα, το ότι η X n+1 είναι ανεξάρτητη από την F n και την Πρόταση 2.7(iii). Για την ανέλιξη του (β), επειδή S n+1 = S n + X n+1, έχουμε S 2 n+1 S 2 n = 2X n+1 S n + X 2 n+1 = 2X n+1s n + 1 και άρα M n+1 M n = 2X n+1 S n. Παίρνοντας μέση τιμή ως προς τη σ-άλγεβρα F n έχουμε E(M n+1 F n ) M n = E(2X n+1 S n F n ) = 2S n E(X n+1 ) =. Στη δεύτερη ισότητα χρησιμοποιήσαμε την Πρόταση 2.1 και την Πρόταση 2.7(iii). Ας φανταστούμε έναν παίκτη Α που εμφανίζεται σε ένα καζίνο και παίζει το εξής παιχνίδι. Κάθε χρονική στιγμή 1, 2, 3,... ρίχνεται ένα τίμιο νόμισμα. Αν έρθει «Κεφαλή», ο Α κερδίζει μία μονάδα, ενώ αν έρθει «Γράμματα», ο Α χάνει μία μονάδα. Το συνολικό κέρδος του παίκτη ακριβώς μετά το παιχνίδι n είναι S n. Η μέση του τιμή διατηρείται σταθερή, ίση με, αφού η (S n ) n είναι martingale. Παράδειγμα 3.3. Εστω (Z i ) i 1 ακολουθία ανεξάρτητων ισόνομων τυχαίων μεταβλητών με E Z 1 < και E(Z 1 ) = 1. Θέτουμε F := {, Ω}, F n := σ(z 1, Z 2,..., Z n ) για κάθε n 1, και R := 1, R n := Z 1 Z 2 Z n για n 1. Η (R n ) n είναι martingale ως προς την (F n ) n. Πάλι το (i) του ορισμού είναι προφανές. Για το (ii), χρησιμοποιούμε την ανεξαρτησία και υπολογίζουμε E Z 1 Z 2 Z n = E Z 1 E Z 2 E Z n = (E Z 1 ) n <.

29 3.1 Ορισμός και παραδείγματα 19 Για το (iii), έχουμε E(R n+1 F n ) = E(R n Z n+1 F n ) = R n E(Z n+1 F n ) = R n E(Z n+1 ) = R n. Στη δεύτερη ισότητα χρησιμοποιήσαμε την Πρόταση 2.1. Παράδειγμα 3.4 (Martingale του Doob). Εστω χώρος πιθανότητας (Ω, F, P), μια διήθηση (F n ) n σε αυτόν, και X L 1 (P). Ορίζουμε X n := E(X F n ) για κάθε n. Τότε η X = (X n ) n είναι martingale ως προς τη διήθηση (F n ) n. Οτι η X είναι προσαρμοσμένη προκύπτει από τον ορισμό της δεσμευμένης μέσης τιμής. Επειτα E X n = E( E(X F n ) ) E X < από το (ii) της Πρότασης 2.2. Τέλος, για n, E(X n+1 F n ) = E(E(X F n+1 ) F n ) = E(X F n ) = X n. Στη δεύτερη ισότητα, χρησιμοποιήσαμε ότι F n F n+1 και την Πρόταση 2.9(ii). Στο επόμενο παράδειγμα, για την απόδειξη ότι μια ακολουθία είναι martingale θα χρειαστεί να κάνουμε έναν πραγματικό υπολογισμό μιας δεσμευμένης μέσης τιμής (ενώ στα προηγούμενα παραδείγματα πάντα μια απλή ιδιότητα μας γλύτωνε από τον κόπο). Παράδειγμα 3.5 (Η κάλπη του Polya). Μια κάλπη περιέχει α άσπρες και µ μαύρες μπάλες. Επιλέγουμε στην τύχη μία από τις μπάλες που περιέχει η κάλπη, την επιστρέφουμε στην κάλπη, και προσθέτουμε ακόμα l του ίδιου χρώματος με αυτήν. Επαναλαμβάνουμε αυτή τη διαδικασία επ άπειρον. Εστω A n και B n ο αριθμός των άσπρων και μαύρων μπαλών αντίστοιχα μετά τη n-οστή επανάληψη του πειράματος και X n := A n /(A n + B n ) το ποσοστό των άσπρων μπαλών στην κάλπη εκείνη τη στιγμή. Θέτουμε F n := σ({a i, B i : i = 1, 2,..., n}). Ισχυρισμος: Η (X n ) n 1 είναι martingale ως προς την (F n ) n 1. Οι ιδιότητες (i), (ii) του ορισμού του martingale ικανοποιούνται. Σχετικά με την (iii), για τον υπολογισμό της δεσμευμένης μέσης τιμής, θα χρησιμοποιήσουμε το Παράδειγμα 2.5. Η F n παράγεται από διαμέριση κάθε μέλος της οποίας είναι της μορφής C( j 1, k 1, j 2, k 2,..., j n, k n ) := {A r = j r, B r = k r για κάθε r = 1, 2,..., n} όπου j r, k r θετικοί ακέραιοι. Αυτό συγκεκριμενοποιεί τα αποτελέσματα των n πρώτων πειραμάτων και για να έχει θετική πιθανότητα πρέπει οι j r, k r να ικανοποιούν κάποιες προφανείς σχέσεις. Εστω λοιπόν C ένα σύνολο αυτής της μορφής με θετική πιθανότητα, και για ευκολία γράφουμε j, k αντί j n, k n. Για ω C υπολογίζουμε E(X n+1 F n )(ω) = E(X n+1; C) P(C) (3.1) = j + l P({A n+1 = j + l} C) j P({A n+1 = j} C) + j + k + l P(C) j + k + l P(C) (3.2) = j + l j + k + l P(A j n+1 = j + l C) + j + k + l P(A n+1 = j C) (3.3) = j + l j j + k + l j + k + j k j + k + l j + k = j j + k = X n, (3.4) και ο ισχυρισμός αποδείχθηκε. Δώσαμε μια σχολαστική απόδειξη του ισχυρισμού. Ο τρόπος που την ανακαλύπτουμε, και συνήθως την γράφουμε, είναι ως εξής. Στην E(X n+1 F n ) μας δίνεται όλη η ιστορία της διαδικασίας ως τη n-οστή επανάληψη του πειράματος. Είναι στη διάθεσή μας λοιπόν οι αριθμοί j := A n, k := B n. Οι ενδεχόμενες

Εισαγωγικά. 1.1 Η σ-αλγεβρα ως πληροφορία

Εισαγωγικά. 1.1 Η σ-αλγεβρα ως πληροφορία 1 Εισαγωγικά 1.1 Η σ-αλγεβρα ως πληροφορία Στη θεωρία μέτρου, όταν δουλεύει κανείς σε έναν χώρο X, συνήθως έχει διαλέξει μια αρκετά μεγάλη σ-άλγεβρα στον X έτσι ώστε όλα τα σύνολα που εμφανίζονται να ανήκουν

Διαβάστε περισσότερα

Παντού σε αυτό το κεφάλαιο, αν δεν αναφέρεται κάτι διαφορετικό, δουλεύουμε σε ένα χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και η G F είναι μια σ-άλγεβρα.

Παντού σε αυτό το κεφάλαιο, αν δεν αναφέρεται κάτι διαφορετικό, δουλεύουμε σε ένα χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και η G F είναι μια σ-άλγεβρα. 2 Δεσμευμένη μέση τιμή 2.1 Ορισμός Παντού σε αυτό το κεφάλαιο, αν δεν αναφέρεται κάτι διαφορετικό, δουλεύουμε σε ένα χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και η G F είναι μια σ-άλγεβρα. Ορισμός 2.1. Για X : Ω R τυχαία

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Μετρήσιμες συναρτήσεις

5.1 Μετρήσιμες συναρτήσεις 5 Μετρήσιμες συναρτήσεις 5.1 Μετρήσιμες συναρτήσεις Ορισμός 5.1. Εστω (Ω, F ), (E, E) μετρήσιμοι χώροι. Μια συνάρτηση f : Ω E λέγεται F /Eμετρήσιμη αν f 1 (A) F για κάθε A E. (5.1) Συμβολίζουμε το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές στην κίνηση Brown

Εφαρμογές στην κίνηση Brown 13 Εφαρμογές στην κίνηση Brown Σε αυτό το κεφάλαιο θέλουμε να κάνουμε για την πολυδιάστατη κίνηση Brown κάτι ανάλογο με αυτό που κάναμε στην Παράγραφο 7.2 για τη μονοδιάστατη κίνηση Brown. Δηλαδή να μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Martingales. 3.1 Ορισμός και παραδείγματα

Martingales. 3.1 Ορισμός και παραδείγματα 3 Martingales 3.1 Ορισμός και παραδείγματα Εστω χώρος πιθανότητας (Ω, F, P). Διήθηση σε αυτό τον χώρο λέμε μια αύξουσα ακολουθία (F n ) n 0 σ-αλγεβρών, η καθεμία από τις οποίες είναι υποσύνολο της F. Δηλαδή,

Διαβάστε περισσότερα

Ανελίξεις σε συνεχή χρόνο

Ανελίξεις σε συνεχή χρόνο 4 Ανελίξεις σε συνεχή χρόνο Σε αυτό το κεφάλαιο είναι συγκεντρωμένοι ορισμοί και αποτελέσματα από τη θεωρία των στοχαστικών ανελιξεων συνεχούς χρόνου. Με εξαίρεση την Παράγραφο 4.1, η οποία είναι εντελώς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Δημήτρης Χελιώτης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ B τ u(x):=e x {f(b τ ) u(x) = } x ii ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΧΕΛΙΩΤΗΣ Επίκουρος καθηγητής Τμήμα Μαθηματικών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνων Εισαγωγή στον

Διαβάστε περισσότερα

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές 10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,

Διαβάστε περισσότερα

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές 10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικές ιδιότητες

Αναλυτικές ιδιότητες 8 Αναλυτικές ιδιότητες 8. Βαθμός συνέχειας* Ξέρουμε ότι η κίνηση Brown είναι συνεχής και θα δείξουμε αργότερα ότι είναι πουθενά διαφορίσιμη. Πόσο ομαλή είναι λοιπόν; Μια ασθενέστερη μορφή ομαλότητας είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές 10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,

Διαβάστε περισσότερα

Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή.

Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Mαθηματικό σύστημα Ένα μαθηματικό σύστημα αποτελείται από αξιώματα, ορισμούς, μη καθορισμένες έννοιες και θεωρήματα. Η Ευκλείδειος γεωμετρία αποτελεί ένα

Διαβάστε περισσότερα

Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών

Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών 1 Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζουμε ένα από τα σημαντικότερα αποτελέσματα της Θεωρίας Πιθανοτήτων, τον ισχυρό νόμο των μεγάλων αριθμών. Η διατύπωση που θα αποδείξουμε

Διαβάστε περισσότερα

Κατασκευή της κίνησης Brown και απλές ιδιότητες

Κατασκευή της κίνησης Brown και απλές ιδιότητες 5 Κατασκευή της κίνησης Brown και απλές ιδιότητες 51 Ορισμός, ύπαρξη, και μοναδικότητα Ορισμός 51 Μια στοχαστική ανέλιξη { : t } ορισμένη σε έναν χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και με τιμές στο R λέγεται (μονοδιάστατη)

Διαβάστε περισσότερα

Ο τύπος του Itô. f (s) ds (12.1) f (g(s)) dg(s). (12.2) t f (B s ) db s + 1 2

Ο τύπος του Itô. f (s) ds (12.1) f (g(s)) dg(s). (12.2) t f (B s ) db s + 1 2 12 Ο τύπος του Itô Για συνάρτηση f : R R με συνεχή παράγωγο, έχουμε d f (s) = f (s) ds που σε ολοκληρωτική μορφή σημαίνει f (b) f (a) = b a f (s) ds (12.1) για κάθε a < b. Αν επιπλέον και η g : R R έχει

Διαβάστε περισσότερα

Η εξίσωση Black-Scholes

Η εξίσωση Black-Scholes 8 Η εξίσωση Black-Scholes 8. Μια απλή αγορά Θεωρούμε ότι έχουμε μια αγορά που έχει μόνο δύο προϊόντα. Το ένα είναι η δυνατότητα κατάθεσης σε μια τράπεζα (ισοδύναμα, αγορά ομολόγων της τράπεζας) και το

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις

Στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις 14 Στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις 14.1 Γενικά Στοχαστική διαφορική εξίσωση λέμε μια εξίσωση της μορφής dx = µ(, X ) d + σ(, X ) db, X = x, (14.1) με µ, σ : [, ) R R μετρήσιμες συναρτήσεις, x R, και B

Διαβάστε περισσότερα

Δημήτρης Χελιώτης ΕΝΑ ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

Δημήτρης Χελιώτης ΕΝΑ ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δημήτρης Χελιώτης ΕΝΑ ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ii ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΧΕΛΙΩΤΗΣ Επίκουρος καθηγητής Τμήμα Μαθηματικών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνων Ενα δεύτερο μάθημα στις πιθανότητες Ενα δεύτερο

Διαβάστε περισσότερα

Ας υποθέσουμε ότι ο παίκτης Ι διαλέγει πρώτος την τυχαιοποιημένη στρατηγική (x 1, x 2 ), x 1, x2 0,

Ας υποθέσουμε ότι ο παίκτης Ι διαλέγει πρώτος την τυχαιοποιημένη στρατηγική (x 1, x 2 ), x 1, x2 0, Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Στατιστικής Εισαγωγή στην Επιχειρησιακή Ερευνα Εαρινό Εξάμηνο 2015 Μ. Ζαζάνης Πρόβλημα 1. Να διατυπώσετε το παρακάτω παίγνιο μηδενικού αθροίσματος ως πρόβλημα γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

{ i f i == 0 and p > 0

{ i f i == 0 and p > 0 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Φθινοπωρινό εξάμηνο 014-015 Λύσεις 1ης Σειράς Ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Μεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης

Μεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης 7 Μεγάλες αποκλίσεις* 7. Η έννοια της μεγάλης απόκλισης Εστω (X ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές ώστε P(X = = P(X = = /2 και S = k= X k το άθροισμα των πρώτων από αυτές. Ο νόμος των μεγάλων

Διαβάστε περισσότερα

Ευρωπαϊκά παράγωγα Ευρωπαϊκά δικαιώματα

Ευρωπαϊκά παράγωγα Ευρωπαϊκά δικαιώματα 17 Ευρωπαϊκά παράγωγα 17.1 Ευρωπαϊκά δικαιώματα Ορισμός 17.1. 1) Ευρωπαϊκό δικαίωμα αγοράς σε μία μετοχή είναι ένα συμβόλαιο που δίνει στον κάτοχό του το δικαίωμα να αγοράσει μία μετοχή από τον εκδότη

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Bias (απόκλιση) και variance (διακύμανση) Ελεύθεροι Παράμετροι Ελεύθεροι Παράμετροι Διαίρεση dataset Μέθοδος holdout Cross Validation Bootstrap Bias (απόκλιση) και variance

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις

Αναγνώριση Προτύπων. Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις Αναγνώριση Προτύπων Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις 1 Λόγος Πιθανοφάνειας Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να ταξινομήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

«ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ»

«ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» HY 118α «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ» ΣΚΗΣΕΙΣ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ εώργιος Φρ. εωργακόπουλος ΜΕΡΟΣ (1) ασικά στοιχεία της θεωρίας συνόλων. Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ». Φ. εωργακόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος ιαφορικές Εξισώσεις Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Ατελείς ιδιοτιμές Εκθετικά πινάκων Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 9 Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η εκθετική κατανομή. Η πυκνότητα πιθανότητας της εκθετικής κατανομής δίδεται από την σχέση (1.1) f(x) = 0 αν x < 0.

Κεφάλαιο Η εκθετική κατανομή. Η πυκνότητα πιθανότητας της εκθετικής κατανομής δίδεται από την σχέση (1.1) f(x) = 0 αν x < 0. Κεφάλαιο Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Η εκθετική κατανομή Η πυκνότητα πιθανότητας της εκθετικής κατανομής δίδεται από την σχέση f(x) = λe λx αν x, αν x

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Ανεξαρτησία. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. 17 Μαρτίου 2013, Βόλος

Γραμμική Ανεξαρτησία. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. 17 Μαρτίου 2013, Βόλος Γραμμικές Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις Ανώτερης Τάξης Γραμμικές Σ Ε 2ης τάξης Σ Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία Μανόλης Βάβαλης

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Μη Παραμετρικός Υπολογισμός πυκνότητας με εκτίμηση Ιστόγραμμα Παράθυρα Parzen Εξομαλυμένη Kernel Ασκήσεις 1 Μη Παραμετρικός Υπολογισμός πυκνότητας με εκτίμηση Κατά τη

Διαβάστε περισσότερα

Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg)

Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Β Δ Β Δ Γ Γ Κύκλος του Euler (Euler cycle) είναι κύκλος σε γράφημα Γ που περιέχει κάθε κορυφή του γραφήματος, και κάθε ακμή αυτού ακριβώς μία φορά. Για γράφημα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΤΑΞΗ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ): ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Εκτίμηση Πυκνότητας με k NN k NN vs Bayes classifier k NN vs Bayes classifier Ο κανόνας ταξινόμησης του πλησιέστερου γείτονα (k NN) lazy αλγόριθμοι O k NN ως χαλαρός

Διαβάστε περισσότερα

Η ανισότητα α β α±β α + β με α, β C και η χρήση της στην εύρεση ακροτάτων.

Η ανισότητα α β α±β α + β με α, β C και η χρήση της στην εύρεση ακροτάτων. A A N A B P Y T A Άρθρο στους Μιγαδικούς Αριθμούς 9 5 0 Η ανισότητα α β α±β α + β με α, β C και η χρήση της στην εύρεση ακροτάτων. Δρ. Νίκος Σωτηρόπουλος, Μαθηματικός Εισαγωγή Το άρθρο αυτό γράφεται με

Διαβάστε περισσότερα

ιάσταση του Krull Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, / 27

ιάσταση του Krull Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, / 27 ιάσταση του Krull Χ. Χαραλάμπους Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη Ιανουάριος, 2017 Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, 2017 1 / 27 Ορισμοί Εστω R (αντιμεταθετικός) δακτύλιος. Ορισμός Η διάσταση του Krull

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Την ευθύνη του εκπαιδευτικού υλικού έχει ο επιστημονικός συνεργάτης των Πανεπιστημιακών Φροντιστηρίων «ΚOΛΛΙΝΤΖΑ», οικονομολόγος συγγραφέας θεμάτων ΑΣΕΠ, Παναγιώτης Βεργούρος.

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις και ιδιότητές τους

Σχέσεις και ιδιότητές τους Σχέσεις και ιδιότητές τους Διμελής (binary) σχέση Σ από σύνολο Χ σε σύνολο Υ είναι ένα υποσύνολο του καρτεσιανού γινομένου Χ Υ. Αν (χ,ψ) Σ, λέμε ότι το χ σχετίζεται με το ψ και σημειώνουμε χσψ. Στην περίπτωση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα

ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα Τα βιβλία διακριτών μαθηματικών του Γ.Β. Η/Υ με επεξεργαστή Pentium και χωρητικότητα

Διαβάστε περισσότερα

Το κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein Πηγή:

Το κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein Πηγή: Ας πούμε και κάτι για τις δύσκολες μέρες που έρχονται Το κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein 1879-1955 Πηγή: http://www.cognosco.gr/gnwmika/ 1 ΚΥΚΛΙΚΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου

21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ A Ε B Ζ Η Γ K Θ Δ Ι Ορισμός Ένα (μη κατευθυνόμενο) γράφημα (non directed graph) Γ, είναι μία δυάδα από σύνολα Ε και V και συμβολίζεται με Γ=(Ε,V). Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Πίνακες και απαλοιφή Gauss

Κεφάλαιο 1. Πίνακες και απαλοιφή Gauss Κεφάλαιο 1 Πίνακες και απαλοιφή Gauss Γύρω απ το γινομένου πινάκων Κάτι σαν τυπολόγιο Αν AB = C, τότε: 1 (C) i j = (i-γραμμή A) ( j-στήλη B) Το συμβολίζει εσωτερικό γινόμενο 2 (i-γραμμή C) = k(a) ik (k-γραμμή

Διαβάστε περισσότερα

( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «απεικονίσεις»

( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «απεικονίσεις» ( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «πεικονίσεις» 1. ΣΧΕΣΕΙΣ: το σκεπτικό κι ο ορισμός. Τ σύνολ νπριστούν ιδιότητες μεμονωμένων στοιχείων: δεδομένου συνόλου S, κι ενός στοιχείου σ, είνι δυντόν είτε σ S είτε

Διαβάστε περισσότερα

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ.

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ. HY 280 «ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ» θεμελικές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Γεώργιος Φρ. Γεωργκόπουλος μέρος Α Εισγωγή, κι η σική θεωρί των πεπερσμένων

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη. του Frostman 4.1. Τέλος, η ϑεωρία του μέτρου Hausdorff αναπτύσσεται περαιτέρω στην τελευταία παράγραφο. Εισαγωγή 2

Περίληψη. του Frostman 4.1. Τέλος, η ϑεωρία του μέτρου Hausdorff αναπτύσσεται περαιτέρω στην τελευταία παράγραφο. Εισαγωγή 2 Το Μέτρο και η Διάσταση Hausdorff Γεωργακόπουλος Νίκος Τερεζάκης Αλέξης Περίληψη Αναπτύσσουμε τη ϑεωρία του μέτρου και της διάστασης Hausdorff με εφαρμογές στον υπολογισμό διαστάσεων συνόλων fractal (Θεώρημα

Διαβάστε περισσότερα

17 Μαρτίου 2013, Βόλος

17 Μαρτίου 2013, Βόλος Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις 1ης Τάξης Σ Ε 1ης τάξης, Πεδία κατευθύνσεων, Υπαρξη και μοναδικότητα, ιαχωρίσιμες εξισώσεις, Ολοκληρωτικοί παράγοντες, Αντικαταστάσεις, Αυτόνομες εξισώσεις Μανόλης Βάβαλης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΤΡΙΩΡΗ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ. Ονοματεπώνυμο Τμήμα

ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΤΡΙΩΡΗ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ. Ονοματεπώνυμο Τμήμα Σελίδα 1 ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΤΡΙΩΡΗ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ Ονοματεπώνυμο Τμήμα ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στην κόλλα σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Ερευνα Ι

Επιχειρησιακή Ερευνα Ι Επιχειρησιακή Ερευνα Ι Μ. Ζαζάνης Κεφάλαιο 1 Τετραγωνικές μορφές στον R n και το ϑεώρημα του Taylor Ορισμός 1. Εστω a 11 a 1n A =.. a n1 a nn συμμετρικός πίνακας n n με στοιχεία στους πραγματικούς αριθμούς.

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες ΙΙ 1 o Μέρος. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών

Πιθανότητες ΙΙ 1 o Μέρος. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Πιθανότητες ΙΙ o Μέρος Μιχάλης Ζαζάνης Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών 4 Απριλίου 7 Κεφάλαιο Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Η εκθετική κατανομή Η πυκνότητα πιθανότητας της εκθετικής κατανομής

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Λύκειο Μαραθοκάμπου Σάμου. Άλγεβρα Β λυκείου. 13 Οκτώβρη 2016

Γενικό Λύκειο Μαραθοκάμπου Σάμου. Άλγεβρα Β λυκείου. 13 Οκτώβρη 2016 Γενικό Λύκειο Μαραθοκάμπου Σάμου Άλγεβρα Β λυκείου Εργασία2 η : «Συναρτήσεις» 13 Οκτώβρη 2016 Ερωτήσεις Θεωρίας 1.Πότελέμεότιμιασυνάρτησηfείναιγνησίωςάυξουσασεέναδιάστημα του πεδίου ορισμού της; 2.Πότελέμεότιμιασυνάρτησηfείναιγνησίωςφθίνουσασεέναδιάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Δευτέρα 8 Μαΐου 0 Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Τετάρτη 23 Μαΐου 2012 Εκφωήσεις και Λύσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του αποκτά πρόσβαση στο περιβάλλον του ιατρού που παρέχει η εφαρμογή.

ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του αποκτά πρόσβαση στο περιβάλλον του ιατρού που παρέχει η εφαρμογή. ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ Ο ιατρός αφού διαπιστώσει εάν το πρόσωπο που προσέρχεται για εξέταση είναι το ίδιο με αυτό που εικονίζεται στο βιβλιάριο υγείας και ελέγξει ότι είναι ασφαλιστικά ενήμερο (όπως ακριβώς γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του έχει πρόσβαση στο περιβάλλον του φαρμακείου που παρέχει η εφαρμογή.

ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του έχει πρόσβαση στο περιβάλλον του φαρμακείου που παρέχει η εφαρμογή. ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ Ο ασθενής έχοντας μαζί του το βιβλιάριο υγείας του και την τυπωμένη συνταγή από τον ιατρό, η οποία αναγράφει τον μοναδικό κωδικό της, πάει στο φαρμακείο. Το φαρμακείο αφού ταυτοποιήσει το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Η ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗ ΑΠΟΦΑΣΗ. Άσκηση με θέμα τη μεγιστοποίηση της χρησιμότητας του καταναλωτή

ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Η ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗ ΑΠΟΦΑΣΗ. Άσκηση με θέμα τη μεγιστοποίηση της χρησιμότητας του καταναλωτή ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 07 08 ΛΕΥΚΑΔΑ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Η ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Μιγαδική Ανάλυση. (Πρώτη Ολοκληρωμένη Γραφή)

Εισαγωγή στη Μιγαδική Ανάλυση. (Πρώτη Ολοκληρωμένη Γραφή) Εισαωή στη Μιαδική Ανάλυση Σημειώσεις (Πρώτη Ολοκληρωμένη Γραφή) Ε. Στεφανόπουλος Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αιαίου Καρλόβασι Καλοκαίρι 26 Πρόλοος Οι σημειώσεις αυτές είναι αποτέλεσμα επεξερασίας

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Aποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία

ΘΕΜΑ: Aποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία ΘΕΜΑ: ποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία Σύνταξη: Μπαντούλας Κων/νος, Οικονομολόγος, Ms Χρηματοοικονομικών 1 Η πρώτη θεωρία σχετικά με τον αυτόματο

Διαβάστε περισσότερα

Το Θεώρημα Μοναδικότητας των Stone και von Neumann

Το Θεώρημα Μοναδικότητας των Stone και von Neumann Κ Ε Το Θεώρημα Μοναδικότητας των Stone και von Neumann Διπλωματική Εργασία Ειδίκευσης στα Θεωρητικά Μαθηματικά Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Μαθηματικών Αθήνα 2011 Αφιερώνεται στην οικογένεια μου ii Περίληψη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΝΟΜΑ: ΟΜΑΔΑ Α Για τις προτάσεις Α1 μέχρι και Α6 να

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. Σημερινό μάθημα

Συναρτήσεις. Σημερινό μάθημα Συναρτήσεις Σημερινό μάθημα C++ Συναρτήσεις Δήλωση συνάρτησης Σύνταξη συνάρτησης Πρότυπο συνάρτησης & συνάρτηση Αλληλο καλούμενες συναρτήσεις συναρτήσεις μαθηματικών Παράμετροι συναρτήσεων Τοπικές μεταβλητές

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών

Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων Μιχάλης Ζαζάνης Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Κεφάλαιο Αλυσίδες Markov σε Συνεχή Χρόνο. Αλυσίδες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. H λογική ασχολείται με δύο έννοιες, την αλήθεια και την απόδειξη. Oι έννοιες αυτές έχουν γίνει

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. H λογική ασχολείται με δύο έννοιες, την αλήθεια και την απόδειξη. Oι έννοιες αυτές έχουν γίνει ΕΙΣΑΓΩΓΗ ------------------------------------------------------------------------------------- H λογική ασχολείται με δύο έννοιες, την αλήθεια και την απόδειξη. Oι έννοιες αυτές έχουν γίνει αντικείμενο

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα. Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α. Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της

Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα. Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α. Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της καθεμιάς και δίπλα σε κάθε αριθμό την ένδειξη Σωστό, αν

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση

Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση Καθηγητὴς Ν.Γ. Τζανάκης Εφαρμογὲς τῶν συνεχῶν κλασμάτων 1 1. Η τιμὴ τοῦ π μὲ σωστὰ τὰ 50 πρῶτα δεκαδικὰ ψηφία μετὰ τὴν ὑποδιαστολή, εἶναι 3.14159265358979323846264338327950288419716939937511.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Διακριτές Πιθανότηες. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών

Εισαγωγή στις Διακριτές Πιθανότηες. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εισαγωγή στις Διακριτές Πιθανότηες Μιχάλης Ζαζάνης Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών 27 Δεκεμβρίου 2010 2 Κεφάλαιο 1 Συνδιαστική Ανάλυση και Μαθηματικές Τεχνικές Η απαρίθμηση των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

Ταξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια.

Ταξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ταξινόμηη των μοντέλων διαποράς ατμοφαιρικών ρύπων βαιμένη ε μαθηματικά κριτήρια. Μοντέλο Ελεριανά μοντέλα (Elerian) Λαγκρατζιανά μοντέλα (Lagrangian) Επιπρόθετος διαχωριμός Μοντέλα

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Η κατάρα της διαστατικότητας Μείωση διαστάσεων εξαγωγή χαρακτηριστικών επιλογή χαρακτηριστικών Αναπαράσταση έναντι Κατηγοριοποίησης Ανάλυση Κυρίων Συνιστωσών PCA Γραμμική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΕΠ 2000 ΑΣΕΠ 2000 Εμπορική Τράπεζα 1983 Υπουργείο Κοιν. Υπηρ. 1983

ΑΣΕΠ 2000 ΑΣΕΠ 2000 Εμπορική Τράπεζα 1983 Υπουργείο Κοιν. Υπηρ. 1983 20 Φεβρουαρίου 2010 ΑΣΕΠ 2000 1. Η δεξαμενή βενζίνης ενός πρατηρίου υγρών καυσίμων είναι γεμάτη κατά τα 8/9. Κατά τη διάρκεια μιας εβδομάδας το πρατήριο διέθεσε τα 3/4 της βενζίνης αυτής και έμειναν 4000

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Πληροφορικής

Μαθηματικά Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Αθηνών Μαθηματικά Πληροφορικής Ηλίας Κουτσουπιάς Αθήνα, Οκτώβριος 2009 Περιεχόμενα Περιεχόμενα 1 Σύνολα... 5 ΆλλαΣύμβολα... 6 1 Υποθέσεις και Θεωρήματα 9 1.1 Παρατήρηση-Υπόθεση-Απόδειξη...

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ

ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο επιτελείο

Διαβάστε περισσότερα

CSE.UOI : Μεταπτυχιακό Μάθημα

CSE.UOI : Μεταπτυχιακό Μάθημα Θέματα Αλγορίθμων Αλγόριθμοι και Εφαρμογές στον Πραγματικό Κόσμο CSE.UOI : Μεταπτυχιακό Μάθημα 10η Ενότητα: Χρονικά Εξελισσόμενες ικτυακές Ροές Σπύρος Κοντογιάννης kntg@cse.ui.gr Τμήμα Μηχανικών Η/Υ &

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο επιτελείο

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση

Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση ΠΜΣ/ΕΤΥ: Μεταπτυχιακό Μάθημα 8η Ενότητα: Γραμμικός Προγραμματισμός ως Υπορουτίνα για Επίλυση Προβλημάτων Χρήστος Ζαρολιάγκης (zaro@ceid.upatras.gr) Σπύρος Κοντογιάννης (kontog@cs.uoi.gr)

Διαβάστε περισσότερα

Pointers. Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2

Pointers. Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2 Pointers 1 Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2 1 Μνήμη μεταβλητών Κάθε μεταβλητή έχει διεύθυνση Δεν χρειάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών

Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων Μιχάλης Ζαζάνης Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Κεφάλαιο Αλυσίδες Markov σε Συνεχή Χρόνο Αλυσίδες Markov

Διαβάστε περισσότερα

14 Φεβρουαρίου 2014, Βόλος

14 Φεβρουαρίου 2014, Βόλος ιαφορικές Εξισώσεις Εισαγωγή Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 14 Φεβρουαρίου 2014, Βόλος ιαδικαστικά Θέματα Ο τελικός βαθμός προτείνω να υπολογισθεί

Διαβάστε περισσότερα

Το υπόδειγμα IS-LM: Εισαγωγικά

Το υπόδειγμα IS-LM: Εισαγωγικά 1/35 Το υπόδειγμα IS-LM: Εισαγωγικά Νίκος Γιαννακόπουλος Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2014-2015 Εαρινό Εξάμηνο Τι γνωρίζουμε; 2/35 Αγορά αγαθών και

Διαβάστε περισσότερα

Διανυσματικές Συναρτήσεις

Διανυσματικές Συναρτήσεις Κεφάλαιο 5 Διανυσματικές Συναρτήσεις 51 Διανυσματατικές συναρτήσεις Μια συνάρτηση με τιμές στοr n, n>1 λέγεται διανυσματική συνάρτηση Τις διανυσματικές συναρτήσεις ϑα τις συμβολίζουμε με παχειά γράμματα,

Διαβάστε περισσότερα

Παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ, α 0. Η παραβολή ψ = αχ 2. Γενικά : Κάθε συνάρτηση της μορφής ψ=αχ 2 + βχ +γ, α 0 λέγεται τετραγωνική συνάρτηση.

Παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ, α 0. Η παραβολή ψ = αχ 2. Γενικά : Κάθε συνάρτηση της μορφής ψ=αχ 2 + βχ +γ, α 0 λέγεται τετραγωνική συνάρτηση. Η παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ Σελίδα 1 από 10 Παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ, α0 Γενικά : Κάθε συνάρτηση της μορφής ψ=αχ 2 + βχ +γ, α0 λέγεται τετραγωνική συνάρτηση. Η παραβολή ψ = αχ 2 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδες 5 1.2.α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συµπληρωµένο.

Μονάδες 5 1.2.α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συµπληρωµένο. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ): ΧΗΜΕΙΑ - ΒΙΟΧΗΜΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ

Διαβάστε περισσότερα

Τρίτη, 05 Ιουνίου 2001 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

Τρίτη, 05 Ιουνίου 2001 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Τρίτη, 05 Ιουνίου 2001 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΘΕΜΑ 1 Α. Να µεταφέρετε στο τετράδιό σας και να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα αλήθειας δύο προτάσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Αθήνα, 12 Απριλίου 2016.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Αθήνα, 12 Απριλίου 2016. Αλγεβρική Γεωμετρία ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος Κεφάλαιο 1. Αλγεβρικές ποικιλότητες 1 1. Αλγεβρικά Σύνολα 1 2. Το Θεώρημα Ριζών του Hilbert 7 3. Συγγενείς Αλγεβρικές Ποικιλότητες 14 4. Πολλαπλότητα και Πολλαπλότητα

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Εικόνα. Σημερινό μάθημα!

Ψηφιακή Εικόνα. Σημερινό μάθημα! Ψηφιακή Εικόνα Σημερινό μάθημα! Ψηφιακή Εικόνα Αναλογική εικόνα Ψηφιοποίηση (digitalization) Δειγματοληψία Κβαντισμός Δυαδικές δ έ (Binary) εικόνες Ψηφιακή εικόνα & οθόνη Η/Υ 1 Ψηφιακή Εικόνα Μια ακίνητη

Διαβάστε περισσότερα

Συντάκτης: Παναγιώτης Βεργούρος, Οικονομολόγος Συγγραφέας βιβλίων, Μικρο μακροοικονομίας διαγωνισμών ΑΣΕΠ

Συντάκτης: Παναγιώτης Βεργούρος, Οικονομολόγος Συγγραφέας βιβλίων, Μικρο μακροοικονομίας διαγωνισμών ΑΣΕΠ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υ- πουργείου Οικονομικών και στοχεύοντας στην όσο το δυνατό πληρέστερη

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις & Κλάσεις

Συναρτήσεις & Κλάσεις Συναρτήσεις & Κλάσεις Overloading class member συναρτήσεις/1 #include typedef unsigned short int USHORT; enum BOOL { FALSE, TRUE}; class Rectangle { public: Rectangle(USHORT width, USHORT

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ FRACTALS

Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ FRACTALS Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ FRACTALS ΕΛΕΝΗ ΤΑΝΤΟΥΛΟΥ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΑΝΤΩΝΗΣ ΤΣΟΛΟΜΥΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΑΜΟΣ 2009 Στην μητέρα μου που μπορεί και με ανέχεται ακόμα,

Διαβάστε περισσότερα

Η έκδοση αυτή είναι υπό προετοιμασία. Γιάννης Α. Αντωνιάδης, Αριστείδης Κοντογεώργης

Η έκδοση αυτή είναι υπό προετοιμασία. Γιάννης Α. Αντωνιάδης, Αριστείδης Κοντογεώργης Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές Η έκδοση αυτή είναι υπό προετοιμασία Γιάννης Α. Αντωνιάδης, Αριστείδης Κοντογεώργης 9 Φεβρουαρίου 2015 2 Περιεχόμενα I ΑΡΙΘΜΟΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 7 1 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΠΡΩΤΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Πρώτη Γραπτή Εργασία. Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Πρώτη Γραπτή Εργασία. Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2012-13 Πρώτη Γραπτή Εργασία Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά

Διαβάστε περισσότερα

Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν

Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν 1 1. Αποδοχή κληρονομίας Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν μπορεί να ασκηθεί από τους δανειστές του κληρονόμου, τον εκτελεστή της διαθήκης, τον κηδεμόνα ή εκκαθαριστή

Διαβάστε περισσότερα

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις Μελέτη Συναρτήσεων: άρτιες, περιττές συναρτήσεις - μονοτονία - ακρότατα Κωνσταντίνος Α. Ράπτης Άρτιες και περιττές συναρτήσεις Ὁι ψυχολόγοι κάνουν λόγο για δύο επίπεδα συλλογιστικής και μνήμης: το αρχαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

(3 ο ) Εξαντλητική αναζήτηση I: μεταθέσεις & υποσύνολα (4 o ) Εξαντλητική αναζήτηση II: συνδυασμοί, διατάξεις & διαμερίσεις

(3 ο ) Εξαντλητική αναζήτηση I: μεταθέσεις & υποσύνολα (4 o ) Εξαντλητική αναζήτηση II: συνδυασμοί, διατάξεις & διαμερίσεις (3 ο ) Εξαντλητική αναζήτηση I: μεταθέσεις & υποσύνολα (4 o ) Εξαντλητική αναζήτηση II: συνδυασμοί, διατάξεις & διαμερίσεις Είναι πράγματι τα «προβλήματα» τόσο δύσκολα; Είδαμε (σύντομα) στα προηγούμενα

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 3 ο Κεφάλαιο Ηλεκτρικό Πεδίο. Ηλεκτρικό πεδίο. Παρασύρης Κώστας Φυσικός Ηράκλειο Κρήτης

Φυσική Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 3 ο Κεφάλαιο Ηλεκτρικό Πεδίο. Ηλεκτρικό πεδίο. Παρασύρης Κώστας Φυσικός Ηράκλειο Κρήτης Φσική Θετικής & Τεχνολογικής Κτεύθνσης Β Λκείο 3 ο Κεφάλιο Ηλεκτρικό Πεδίο 3 Ηλεκτρικό πεδίο Πρσύρης Κώστς Φσικός Ηράκλειο Κρήτης Φσική Θετικής & Τεχνολογικής Κτεύθνσης Β Λκείο 3 ο Κεφάλιο Ηλεκτρικό Πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Διαφορές εσωτερικού εξωτερικού δανεισμού. Η διαχρονική κατανομή του βάρους από το δημόσιο δανεισμό.

ΘΕΜΑ: Διαφορές εσωτερικού εξωτερικού δανεισμού. Η διαχρονική κατανομή του βάρους από το δημόσιο δανεισμό. 1 ΘΕΜΑ: Διαφορές εσωτερικού εξωτερικού δανεισμού. Η διαχρονική κατανομή του βάρους από το δημόσιο δανεισμό. Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate, εισηγητής Φροντιστηρίων

Διαβάστε περισσότερα

Η κατανομή του Euler επί των αυτοαντίστροφων στοιχείων της

Η κατανομή του Euler επί των αυτοαντίστροφων στοιχείων της Ε Κ Π Α Τ Μ Η κατανομή του Euler επί των αυτοαντίστροφων στοιχείων της υπεροκταεδρικής ομάδας Μ Ε Μουστάκας Βασίλης - Διονύσης : Χ Α. Α Αθήνα Ιούνιος 07 Στον πρώτο μου δάσκαλο, μαθηματικό Γιάννη Καρρά.

Διαβάστε περισσότερα

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις Μελέτη Συναρτήσεων: άρτιες, περιττές συναρτήσεις - μονοτονία - ακρότατα Κώστας Ράπτης Άρτιες και περιττές συναρτήσεις Ὁι ψυχολόγοι κάνουν λόγο για δύο επίπεδα συλλογιστικής και μνήμης: το αρχαϊκό και το

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων 1

Αναγνώριση Προτύπων 1 Αναγνώριση Προτύπων 1 Σημερινό Μάθημα Βασικό σύστημα αναγνώρισης προτύπων Προβλήματα Πρόβλεψης Χαρακτηριστικά και Πρότυπα Ταξινομητές Classifiers Προσεγγίσεις Αναγνώρισης Προτύπων Κύκλος σχεδίασης Συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Κληρονομικότητα. Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading

Κληρονομικότητα. Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading Κληρονομικότητα Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading 2 1 Κλάση Βάση/Παράγωγη Τα διάφορα αντικείμενα μπορούν να έχουν μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Βελτίωση Εικόνας. Σήμερα!

Βελτίωση Εικόνας. Σήμερα! Βελτίωση Εικόνας Σήμερα! Υποβάθμιση εικόνας Τεχνικές Βελτίωσης Restoration (Αποκατάσταση) Τροποποίηση ιστογράμματος Ολίσθηση ιστογράμματος Διάταση (stretching) Ισοστάθμιση του ιστογράμματος (histogram

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηματισμοί Laplace. Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Η/Υ Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

Μετασχηματισμοί Laplace. Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Η/Υ Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ιαφορικές Εξισώσεις Μετασχηματισμοί Laplace Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Η/Υ Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Βόλος, 11 Μαΐου 2015 Περιεχόμενα Μετασχηματισμοί Laplace Ορισμός μετασχηματισμού

Διαβάστε περισσότερα

τεσσάρων βάσεων δεδομένων που θα αντιστοιχούν στους συνδρομητές

τεσσάρων βάσεων δεδομένων που θα αντιστοιχούν στους συνδρομητές Σ Υ Π Τ Μ Α 8 Ιουνίου 2010 Άσκηση 1 Μια εταιρία τηλεφωνίας προσπαθεί να βρει πού θα τοποθετήσει τις συνιστώσες τηλεφωνικού καταλόγου που θα εξυπηρετούν τους συνδρομητές της. Η εταιρία εξυπηρετεί κατά βάση

Διαβάστε περισσότερα

Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης

Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης Η εργασιακή διαδικασία και τα στοιχεία της. Η κοινωνική επικύρωση των ιδιωτικών

Διαβάστε περισσότερα