Θα χρησιμοποιήσουμε κύλινδρο με L=R για απλοποίηση (και Δr=Δz).

Transcript

1 Άσκηση. Θα λύσουμε την εξίσωση: urr + ur + u u r με αρχικές-συνοριακές τιμές τις: ur (,,0 0, ur (,0, 0 και u(,, 00. Επίσης, λόγω συμμετρίας ισχύει ότι ur (0,, 0. Θα χρησιμοποιήσουμε κύλινδρο με LR για απλοποίηση (και ΔrΔ. Ρητό σχήμα u u + u u u u u + u u u + i, i, i+, i+, i, i, i, i, + i, i, + + Δ ri Δr Δ + ui, ui, + + ui, u + i+, + Δr Δ Δr riδr Δr riδr + ui, u + i, + Δ Δ i,..., I,,..., J Η παραπάνω σχέση αξιοποιείται στον κώδικα του παραρτήματος για τους εσωτερικούς κόμβους. Πρέπει να σημειωθεί ότι για r 0 χρησιμοποιείται μια άλλη σχέση η οποία προκύπτει χρησιμοποιώντας μια στήλη φανταστικών κόμβων με δείκτη 0, ως εξής: u u Μέσω του κανόνα D L Hospial έχουμε: lim r 0 r r r Έτσι στον άξονα συμμετρίας ( r 0 ξεκινούμε από την εξίσωση u u u + r την οποία διακριτοποιούμε στους κόμβους (, + u0, u, + u, u, u, + u, + u, u, + Δ Δ u u, u0, Λόγω συμμετρίας έχουμε: 0 0 u u r, Δr Αντικαθιστούμε στην παραπάνω εξίσωση και έχουμε, 0, + + u, u, u, u, + u, + u, u, 4 + Δr Δ u, u, + u +, u +, u +, + Δr Δ Δr Δ Δ

2 Ακολουθεί η ανάλυση ευστάθειας vo Nwma (όπου το r i Δr για να μην υπάρξει σύγχυση με το μιγαδικό i : ikrr Θέτουμε ur (,, Ψ ( RrZ ( ( Ψ( ik iδ r το γράφουμε σαν + Ψ ( + Δr Δr Δr ikr( r Δ r ikrr ikr( r+δ r ikr( r+δr ikr( r Δr ik ik( Δ ik ik( +Δ ikrr ik + ikrr + Ψ +Δ Δ [ ( Ψ( ] ik + Ψ ( + + Δr Δr Δr Ψ ( + Ψ( ik Δr ik Δr ik Δr ik Δr ik Δ r r r r + Δ ik Δ Ψ ( + Θα χρησιμοποιήσουμε τους συμβολισμούς λr, λ Δ, ξ. r Δ Ψ( ikrδr ikrδr λr ikrδr ikrδr ikδ ikδ λr( + + ( + λ( + ξ λr λr( cosβr + ( i siβr + λ( cosβ ξ όπου r kr r β k Δ β Δ και β λ β + ( i + r r λr si siβr λ si ξ βr β λr 4 λrsi + λsi + ( i si βr + ξ βr β ξ 4λrsi 4λsi λrsi + [ β ] Η γραφική παράσταση του ξ μπορεί να γίνει αν σε κάθε τριάδα σημείων (Δx,Δ, r και για όλο το εύρος των γωνιών β r και β αντιστοιχίσουμε μία τιμή του ξ.

3 Πεπλεγμένο σχήμα u u + u u u u u + u u u i, i, i+, i+, i, i, i, i, + i, i, + + Δr ri Δr Δ ui, u + i, u + i+, + Δr Δ Δr riδr Δr riδr + u + i, + + ui, + u i, Δ Δ Στο r 0 η εξίσωση είναι: u, u +, u +, u +, + u, Δr Δ Δr Δ Δ Η ανάλυση ευστάθειας δίνει τα εξής: ikr( r Δ r ikrr ikr( r+δ r ikr( r+δr ikr( r Δr + ik ik Ψ ( +Δ + Δr Δr Δr ik( Δ ik ik( +Δ ikrr ik + ikrr + [ Ψ ( + Ψ( ] Δ ikrδr ikrδr ikrδr ikrδr ikδ ik + + Δ Ψ ( + Ψ( Ψ ( +Δ + + Δr Δr Δr Δ Θα χρησιμοποιήσουμε τους συμβολισμούς Ψ ( + λr, λ Δ, ξ r Δ Ψ(, β r kδ r, β kδ ik rδr ikrδr λr ikrδr ikrδr ikδ ikδ ξ λr( + + ( + λ( + ξ λr ξ λr( cosβr + ( i siβr + λ( cosβ ξ βr λr β ξ λr si + ( i si βr + λ si ξ βr β λr 4 λrsi + λsi + ( i siβr ξ ξ βr β λr + 4 λrsi + λsi ( i siβr

4 ξ β β λ + + ( i r r 4 λrsi λsi siβr βr β λr 4λrsi 4λsi si βr βr β λr 4λrsi 4λsi si βr ξ < βr β λr + 4λrsi + 4λsi + si βr Η παραπάνω ανισότητα ισχύει αφού αριθμητής και παρανομαστής είναι μεγαλύτεροι της μονάδας και η ρίζα ενός αριθμού είναι μικρότερη από τον ίδιο τον αριθμό όταν υπερβαίνουμε τη μονάδα. Επομένως το πεπλεγμένο σχήμα είναι ευσταθές ανεξάρτητα από την επιλογή των διαστημάτων στο χώρο και το χρόνο. Σχήμα Crak-Nicolso ui, ui, + ui+, ui+, ui, ui, ui, + u i, Δr ri Δr Δ u u + u u u u u + u u i, i, i+, i+, i, i, i, i, + Δr ri Δr Δ u + i, i, + + ui, ui, + Δr Δ Δr ri 4Δr ui+, + ui, u + i, + Δr ri 4Δr Δ Δ ui, + u + i, u + i+, + Δr Δ Δr ri4δr Δr ri4 Δr + ui, u + i, + Δ Δ Στο r 0 η εξίσωση προκύπτει με τον ίδιο τρόπο με την αντίστοιχη στο ρητό και στο πεπλεγμένο:

5 u,,,, o u + u u u, + u, Δr Δ u u + u u u + u u u + + Δr Δ o,,,,,, +,, u, u, u, u, + u +, + u, Δ + + Δr Δ u u u u + u Δr Δ ,,,,, + u, Η ανάλυση ευστάθειας δίνει τα εξής: ikrr ur (,, Ψ ( RrZ ( ( Ψ( ik ikr( r Δ r ikrr ikr( r+δ r ikr( r+δr ikr( r Δr + ik Ψ ( +Δ + Δr Δr Δr ik( Δ ik ik( +Δ ikr( r Δ r ikrr ikr( r+δr + ik rr + + ( + Ψ Δ Δr ikr( r+δr ikr( r Δr ik( Δ ik ik( +Δ ikrr ik ik + ikrr + + Ψ + r Δr Δ ik ik [ ( Ψ( ] ikrδr ikrδr ikrδr ikrδr ikδ ikδ + + Ψ ( +Δ Δr Δr Δr Δ ikrδr ikrδr ikrδr ikrδr ikδ ikδ + + Ψ ( + Ψ( + Ψ ( + + Δr Δr Δr Δ ikr r ikr r λr ikr r ikr r ik ik ξ λr( + + ( + λ( + λ ( ξ r λr( cosβr + ( i siβr + λ( cosβ ξ + Δ Δ Δ Δ Δ Δ ( ξ +

6 βr λr β λr si + ( i si βr + λ si ( ξ ξ + ( ξ β r β λr 4 λr si + λ si + ( i si βr ξ + βr β λr ( ξ + 4 λr si + λ si + ( i si βr ( ξ βr β λr + 4 λrsi + λsi si βr ξ βr β λr 4 λrsi + λsi + si βr β β λ ξ β β λ λ λ Άρα το ξ είναι της μορφής: ( i ( i ( i β r r 4 λrsi + λsi + si ( i β r r + 4 rsi + si si r r Α+Β i ( Α+Β i ( +Α+Β i 4 Α Β 4Β i +Α iβ ( +Α +Β ( +Α +Β ( +Α +Β ξ + με Α,Β>0. Θέλουμε να ισχύει: ξ < ( 4 Α Β ( 4Β (( +Α +Β (( +Α +Β ( ( ( + < 4 Α Β + 4 Β < ( +Α +Β 8 Α (4 + 4 Α+Α +Β > 0

7 Το πρόγραμμα που χρησιμοποιεί τα αντίστοιχα σχήματα παρουσιάζεται στο παράρτημα. Ο παρακάτω πίνακας περιέχει τα αποτελέσματα για 0 x 0 διαστήματα (x κόμβοι, με L, Δr Δ /0, 0.00 και μέγιστο απόλυτο σφάλμα ,3 7,5 8,07 9,09 0,67 3,0 6,55,6 3,97 5, ,89 4,3 5,3 7,9 0,08 4,6 30, ,7 00 9,07 9,54 0,98 3,5 7,9 3,67 40,05 50,03 63,9 80,6 00,38,9 4,58 7,47 3,79 37,79 45,79 56,3 68,96 84,0 00 3,5 4,08 5,8 8,83 33,3 39,5 47,67 58,07 70,69 85,08 00,38,9 4,58 7,47 3,79 37,79 45,79 56,3 68,96 84,0 00 9,07 9,54 0,98 3,5 7,9 3,67 40,05 50,03 63,9 80,6 00 3,89 4,3 5,3 7,9 0,08 4,6 30, ,7 00 7,3 7,5 8,07 9,09 0,67 3,0 6,55,6 3,97 5, Οι παρακάτω πίνακες δείχνουν τον αριθμό των χρονικών βημάτων ώστε να επιτευχθεί η μόνιμη λύση όπως αυτή προκύπτει από το απόλυτο σφάλμα: Για x κόμβους με 0-3 και σφάλμα 0-4 Μέθοδος Χρονικά βήματα Ρητό Σχήμα 600 Πεπλεγμένο Σχήμα 74 Crak Nicolso 655 Για x κόμβους με 0-3 και σφάλμα 0-6 Μέθοδος Χρονικά βήματα Ρητό Σχήμα 894 Πεπλεγμένο Σχήμα 070 Crak Nicolso 979 Για x κόμβους με 0-4 και σφάλμα 0-4 Μέθοδος Χρονικά βήματα Ρητό Σχήμα 453 Πεπλεγμένο Σχήμα 4843 Crak Nicolso 468 Για x κόμβους με 0-4 και σφάλμα 0-6 Μέθοδος Χρονικά βήματα Ρητό Σχήμα 7468 Πεπλεγμένο Σχήμα 807 Crak Nicolso 7745

8 Άσκηση. Για την πρώτη εξίσωση έχουμε: Ευστάθεια: u(, Ψ ( Y( Ψ( ik ik ik ( +Δ ik ik ( Δ + [ Ψ ( + Ψ( Δ ] Ψ( Δx ikδ ikδ [ Ψ ( + Ψ( ] + Ψ( Δx ikδ ikδ ikδ ikδ ξ λ( ξ λξ( ξ + + β kδ β ξ λξ(cos β 0 ξ 4λξ si 0 β ξ + 8λξsi 0 Επομένως οι ρίζες είναι πραγματικές και ξξ. Συνεπάγεται ότι ξ και έτσι ξ όταν μία ρίζα είναι μικρότερη της μονάδας κατά απόλυτο τιμή, η άλλη θα είναι μεγαλύτερη της μονάδας. Απομένει μόνο η περίπτωση ξ ± η οποία όμως προκύπτει από το τριώνυμο για λ 0, πράγμα άτοπο. Επομένως η εξίσωση αυτή είναι ασταθής σε κάθε περίπτωση. Συνοχή: u u u u u u O( ± 5 i i ±Δ + ± + + Δ 3 4 i,! 3! 4! i, i, i, u Δx u Δx u Δx u Δx u i± i x i,! x 3! x 4! x 5! x i, i, i, i, u u ±Δ x + ± + ± + O Δx + 3 i i 4 i+ i i O( 3 i, 6 Δx x i, i, 6 ( u u 5 Δx u Δx u 6 ui ui + Δ + + O( Δ 3 ui+ ui + ui O( Δx 4 i, 3! x! x 4! x i, Δ i, i, 4 u u u u u u + u u Δx u Δ O( Δx 4 x i, ui ui ui+ ui + u i Δx u u 4 4 u uxx O(, Δx 4 3 Δx x 6 i, i, Η συνάρτηση μας έχει συνοχή αφού καθώς Δx 0 και 0 οι όροι του σφάλματος μηδενίζονται (με την υπόθεση ότι οι παράγωγοι της u είναι φραγμένες και προκύπτει η αρχική εξίσωση. Το γεγονός αυτό όμως δεν έχει καμία πρακτική αξία για εμάς αφού η εξίσωση είναι ασταθής και δεν δίνει αξιόπιστα αποτελέσματα.

9 Για τη δεύτερη εξίσωση έχουμε: Ευστάθεια: ik ( +Δ ( Δ Ψ ( ( + ( Ψ ( +Δ +Ψ( [ Ψ ( + Ψ( Δ ] Δx ik ik ik ikδ ikδ [ Ψ ( + Ψ( ] Ψ ( ( + ( Ψ ( +Δ +Ψ( Δx ξ λ λ ξ λ ξ λ λ ξ + + ξ + + ξ ikδ ikδ λ ( λ ( + λ ξ ( λ λξ( + ξ ξ( cosβ 0 + λ + λ ( λ ikδ ikδ ikδ ikδ ( ( ( ( ( λ ( λ 4λ β ξ si ξ ( ξ b+ b 4ac Επομένως: ξ ( b b 4ac Αποδεικνύεται ότι ξ < και ξ < Συνοχή: ( ( u u u u u u u O( ± 6 i i ±Δ + ± + ± + Δ i,! 3! 4! 5! i, i, i, i, u Δx u Δx u Δx u Δx u i± i x i,! x 3! x 4! x 5! x i, i, i, i, 6 ( u u ±Δ x + ± + ± + O Δx u u u 7 ui ui + Δ O( Δ 3 5 i, 3! 5! i, i, u Δx u u Δx u Δ Δx x x u ui+ ui ui ui O(, Δx 4 4!! 4! 4! i, i, i, i, u u u u O( Δ 3 5 3! 5! + i i i, i, i, u u u + u u u u Δx u O Δx i+ i i i 4 4 Δx Δx x Δx x i, i, i, i, 6 4 (, u u u u u + u u uxx + Δx + + i i i+ i i i u u u u Δx u O(, Δx 3! 5! Δx Δx x i, i, i, i, i,

10 Επίσης ισχύει ότι: 4 4 u u u u u u u u u 4 4 x x x x x x x x x + + ui ui ui+ ui ui + ui u uxx + + Δx Δx u u u u O(, Δx Δx 3! Δx 5! i, i, i, i, Από την παραπάνω σχέση βλέπουμε ότι όταν τα Δ, Δ x τείνουν στο 0 ομοιόμορφα, τότε το σχήμα δεν έχει συνοχή. Λύνει δηλαδή μια υπερβολική εξίσωση της μορφής: u + u u Δx xx Άσκηση 3. Βλέπε την Παράγραφο 5. των Σημειώσεων Άσκηση 4. Γνωρίζουμε ότι πρόκειται για τη μέθοδο ADI. Περιμένουμε, λοιπόν, να είναι ευσταθής άνευ όρων. Χρησιμοποιούμε τα σύμβολα λx, λ Δ, β kxδ x, x Δ Ψ ( Ψ ( + Ψ ( + β kδ, ξ και ξ και ξ ξξ. Ψ( Ψ ( Δ Ψ( ikxx u Ψ ( X( x Y( Ψ( ik ikxx ( Ψ ( Ψ ( / ik ( ( ( ( x x+δx ikxx ikx x Δx ik +Δ ik ik Δ ik + ikxx + Ψ ( Δ +Ψ( Δx ik Δ

11 ( Ψ ( Δ Ψ ( ikxδx ikxδx λ Ψ ( ( + + λ Ψ( ( + x ikxδx ikxδx ( ξ λ ξ ( + + λ ( + x ( ξ λ ξ (cos β + λ (cos β x ( ξ λ ξ (cos β + λ (cos β x β β ( ξ λξ x si si + λ β λ si ξ < β + λ x si Αναλόγως,για τη δεύτερη εξίσωση θα ισχύει: ik x x ik ( Ψ ( + Ψ ( Δ / ik x ( x+δx ikxx ikx ( x Δx ik + Ψ ( Δ + Δx +Ψ ( + ik x x ik ( +Δ ik ik ( Δ + Δ ( Ψ ( + Δ Ψ ( Δ ik Δ ik Δ ik Δ ik Δ ikxδx ikxδx λ Ψ ( ( + + λ Ψ ( + ( + x ( ξ λ ( + + λ ξ ( + ikxδx ikxδx x ( ξ λ (cos β + λ ξ (cos β x ( ξ λ (cos β + λ ξ (cos β x β β ( ξ λx si + λξ si β λ x si ξ < β + λ si Με συνδυασμό των παραπάνω σχέσεων θα έχουμε συνολικά: ik Δ ik Δ ik Δ ik Δ

12 β β λsi λxsi ξ < β β + λxsi + λsi Σημείωση: Ο αριθμητής του πρώτου κλάσματος είναι μικρότερος από τον παρανομαστή του δευτέρου και αριθμητής του δεύτερου είναι μικρότερος από τον παρανομαστή του πρώτου. Άρα το σχήμα είναι πάντοτε ευσταθές. Άσκηση 5. Θα διακριτοποιήσουμε την παρακάτω εξίσωση με τις μεθόδους των πεπερασμένων διαφορών και των πεπερασμένων όγκων. d dt hp + T T dx dx A ( f 0 Πεπερασμένες Διαφορές: dt dt hp k k + T T Δx dx i+ dx i A ( f i 0 Ti+ Ti Ti T i hp k k * ** + ( Tf Ti 0 Δx i+ i δx δx A ki+ / Ti+ Ti ki / Ti Ti hp + * ** ( T f T i 0 Δx δx Δx δx A hp k k k k hp T T T Tf A Δx δx Δx δx Δx δx Δx δx A ΔxhP ki+ / ki / ki+ / ki / ΔxhP + + T * ** i T * i+ + T ** i + Tf A δx δx δx δx A i+ / i / i+ / i / + + * ** i * i+ + ** i +

13 Πεπερασμένοι Όγκοι: ( ( f w d dt hp k dx+ T T dx0 dx dx A Στο δεύτερο ολοκλήρωμα θεωρώ T T w dt dt hp k k + T T Δx dx dx A w P ( f P 0 Θεωρώ γραμμική κατανομή της θερμοκρασίας κατά μήκος των αποστάσεων WP και PE. TE TP TP TW hp hp k kw + TfΔx TPΔx 0 δx δx A A at at + a T + b όπου a P P E E W W k E, δ x a k w w W, f δ xw A hp ΔxhP b T Δ x, ap ae + aw + A Όπως παρατηρούμε οι εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών και όγκων είναι ** * δx δx w δx δx. απολύτως όμοιες εάν ( και ( Άσκηση 6. Όπως στην άσκηση 5, με τη διαφορά ότι εδώ έχουμε πρόβλημα δύο διαστάσεων μη μόνιμο με και συνοριακές και αρχικές συνθήκες. T T T k + k ρcp x x

14 Πεπερασμένες Διαφορές (ρητό σχήμα: T T T T T T k k + k k ρi, Cpi, Δx x i+, x i, Δ i, + i, + i, i, i, i, / i, i, i, i, + ki+ /, Ti+, Ti, ki /, Ti, Ti, ki, + / Ti, + T k T T T T + * ** * ** ρi, Cpi, Δx δx Δx δx Δ δ Δ δ ρ C k k k k ρ C i + x δx x δx δ δ Δ Δ Δ Δ Δ ki+ /, ki /, ki, + / ki, / + T * i+, + T ** i, + T * i, + + T ** i, Δ xδx Δ xδx Δ δ Δ δ i, pi, + i+ /, i /, i, + / i, / i, p, Ti, T * ** * ** i, Η αρχική συνθήκη και οι οριακές συνθήκες τύπου Dirichl αντιμετωπίζονται με τον ίδιο τρόπο και στις δύο μεθόδους. T x Απομένει η μικτή οριακή συνθήκη k h( T T T k h T ( T B a B x B Πεπερασμένοι Όγκοι: a :, όπου το γράμμα B συμβολίζει τους κόμβους πάνω στο όριο. +Δ +Δ + T T T k dxdd + k ddxd ρc p ddxd x x s w ws s w +Δ + T T T T + k k dd + k k dxd ρc p( TP T P dxd x s x w w s s w

15 T T T T k k dd + k k dxd x x +Δ + s w w s +Δ + T T T T k k Δ d+ k k Δxd x x w s T T Δ d + k T T k T T Δxd +Δ + TE TP P W N P P S k kw s δx δx w δ δs s w ( ( ( ρc T T dxd ρc T T ΔxΔ ρc T T Δ V p P P p P P p P P T T T T T T T T k k Δ + k k Δ x Δ ρ C T T + ( E P P W N P P S w s av pav P P δx δxw δ δs ΔV + + ap TP a E T E + a W T W + a N T N + a S T S + + a a a a a T P E W N S P και οι παραπάνω συντελεστές θα ισούνται με: a a E S k k Δ w Δ Δ δ x, aw δ xw k Δ, a N k ΔΔ x δ x, s Δx, a δ x P ρavcavδv, a + P a P s Οι εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών και όγκων είναι ακριβώς οι ίδιες με την προϋπόθεση ότι έχουμε ίδιες διακριτοποιήσεις. Τέλος, για την μικτή οριακή συνθήκη των Σημειώσεων. T k h( T a x T βλέπε την Παράγραφο 6.3

16 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ: Πρόγραμμα πεπερασμένων διαφορών για παραβολικές εξισώσεις (ρητό, πεπλεγμένο και Crak Nicolso Program rho_pplgmo_c implici o doublprcisio,allocaabl::r(:,u(:,:,uold(:,:,mp(:,: igr::,i,,k,m,saus,max,do,mhod doublprcisio::rr,max,dr,d,d,l doublprcisio::a,b,c,d, 0!αριθμός διαστημάτων d0.00 dr./( L. dl/( rr0.000 alloca(r(+,u(+,+,uold(+,+,mp(+,+ if (saus/0 Sop 'No ough mmor' max00000 do i,+ r(i(i-*dr d do rad*,mhod!mhod3!rho, pplgmo, 3crak icolso if (mhod h!rho u(:,:0. m do0 do whil (m<max.ad. do0 uoldu u(+,:00 u(:,0 u(:,+0 do i, do, if (i h!slss ad/d** b- 4.*d/dr** -.*d/d** c4.*d/dr** da u(i, a*uold(i,-+b*uold(i,+c*uold(i+,+d*uold(i,+ ls!slss ad/dr** - d/(.*r(i*dr bd/d** c-.*d/dr** -.*d/d** dd/dr** + d/(.*r(i*dr b u(i, a*uold(i-,+b*uold(i,- +c*uold(i,+d*uold(i+,+*uold(i,+ d if d do d do

17 ! lxos gia rmaismo mp(:,: abs(u(:,: - uold(:,: if (maxval(mp<rr h do d if mm+ d do op(0,fil'rs_rho.x',recl0000 do i,+ Wri(0,'((f6.,x' u(i,: d do pri*, 'Rho' pri*, m-,max lsif (mhod h!pplgmo u(:,:0. m do0 do whil (m<max.ad. do0 uoldu u(+,:00 u(:,0 u(:,+0 do i, do, if (i h!slss bd/d** a+ 4.*d/dr** +.*d/d** c4.*d/dr** db u(i, (b*u(i,-+c*u(i+,+d*u(i,++uold(i,/a ls!slss a +.*d/dr** +.*d/d** bd/dr** - d/(.*r(i*dr cd/d** dd/dr** + d/(.*r(i*dr c u(i, (b*u(i-,+c*u(i,-+d*u(i+,+*u(i,++uold(i,/a d if d do d do! lxos gia rmaismo mp(:,: abs(u(:,: - uold(:,: if (maxval(mp<rr h do d if mm+ d do

18 op(,fil'rs_pplg.x',recl0000 do i,+! a pwom aapoda gia a a diksi o arra visualir swsa! Wri(,'((f6.,x' u(i,: d do pri*, 'Pplgmo' pri*, m-,max lsif (mhod3 h!3crank NICOLSON u(:,:0. m do0 do whil (m<max.ad. do0 uoldu u(+,:00 u(:,0 u(:,+0 do i, do, if (i h a*(uold(,-uold(,/dr** b0.5*(uold(,--*uold(,+uold(,+/d** c*(u(,-u(,/dr** d0.5*(u(,--*u(,+u(,+/d** u(,d*(a+b+c+d+u(, ls!slss a + d/dr** + d/d** bd/(.*dr** - d/(4.*r(i*dr cd/(.*dr** + d/(4.*r(i*dr dd/(.*d** - d/dr** - d/d** u(i, (b*u(i-,+c*u(i+,+d*u(i,-+d*u(i,++*uold(i,+b*uold(i-,+c*uold(i+,+d*uold(i,-+d*uold(i,+/a d if d do d do! lxos gia rmaismo mp(:,: abs(u(:,: - uold(:,: if (maxval(mp<rr h do d if mm+ d do op(,fil'rs_crak.x',recl0000 do i,+ Wri(,'((f6.,x' u(i,: d do pri*, 'Crak-Nicolso' pri*, m-,max d if d program