Υπολογιστικές Μέθοδοι = 0.4 και R
|
|
- Λυδία Ζάχος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Υπολογιστικές Μέθοδοι Άσκηση. (Επιμέλεια: Ιωάννης Λυχναρόπουλος) Θα επιλύσουμε την εξίσωση: urr + ur =u t, t > t 0 και R i /Rout r r Έστω R i = 0.4 και R out = δηλαδή: Ri / R out = 0.4 με αρχική συνθήκη: ur (,0) = 0 και οριακές τιμές τις:, u(0.4, t ) = 0 και u(, t ) = 00 Έστω επίσης ότι διαιρούμε την απόσταση μεταξύ R i και 0.6 Δ r = τότε ri = iδr, i = 0,,..., I I Επίσης από οριακές τιμές θα έχουμε: u 0 = 0 και u = 0 I R out σε I ίσα διαστήματα: Ρητό σχήμα ui ui + ui+ ui+ ui ui ui + = Δr ri Δr ui = ui u + i u + i+ + Δr Δr riδr Δr riδr, i =,..., I Ακολουθεί η ανάλυση ευστάθειας vo Newma (Δεν βλάπτει την γενικότητα να χρησιμοποιήσουμε τη σχέση: r= iδ r αντί της r = 0.4 +Δ i r. Επίσης το iδr το γράφουμε σαν urt (, ) = ( trr ) ( ) =( te ) i jδr για να μην υπάρξει σύγχυση με το μιγαδικό i = ) ikr ik( r Δ r) ikr ik( r+δ r) ik( r+δr) ik( r Δr) ikr e e + e e e e () t + = [ ( t +) () t ] Δr jδr Δr ikδr ikδr ikδr ikδr e + e e e ( t +) ( t) () t + = Δr jδr Δr ( t+) Θα χρησιμοποιήσουμε τους συμβολισμούς λ =, ξ =. Δ r () t ikδr ikδr λ ikδr ikδr λ λ ( e + e ) + ( e e ) = ξ λ( cosβ ) + ( isiβ) = ξ j j όπου β = kδ r β λ β λ λ si + i si β = ξ 4λsi + i si β = ξ j j β λ β ξ = 4λsi + si < 4 si + [ si ] β j λ λ β Το σχήμα συγκλίνει όταν ξ <. i
2 Υπολογιστικές Μέθοδοι Πεπλεγμένο σχήμα u u + u u u u u + = Δr r Δr i i i+ i+ i i i i i+ Δr ri Δr Δr i, j i, j ui u + i u + i+ + u = i Δr Δr riδr Δr riδr u u + + u Η ανάλυση ευστάθειας δίνει τα εξής: urt (, ) = ( trr ) ( ) =( te ) ikrr + t t Δ + Δ u = i Δr ri Δr ik ( r Δ r) ikr ik( r+δ r) ik ( r+δr ) ik ( r Δr) ikr e e + e e e e ( t+δ t) + ( t t) ( t r j r r = +Δ Δ Δ Δ ikδr ikδr ikδr ikδr e + e e e ( t+) ( t) ( t+δ t) + = r j r r Δ Δ Δ ( t+) Θα χρησιμοποιήσουμε τους συμβολισμούς λ =, ξ =. Δ r () t ikδr ikδr λ ikδr ikδr ξ λ ξ λ( e + e ) + ( e e ) = λ( cosβr ) + ( isiβ) = j ξ j ξ όπου β = kδ r και [ )] β λ ξ βr λ ( i ) ( i ) j ξ j ξ β λ + 4 si ( i si ) λ β j ξ = ξ = β λ + 4 λsi ( i siβ) β λ j + 4λsi + siβ j λ si + si β = 4 λsi + si β = β λ 4 si si + λ + β j ξ = < β λ + 4λ si + si β j Η παραπάνω ανισότητα ισχύει πάντα και επομένως το πεπλεγμένο σχήμα είναι ευσταθές ανεξάρτητα από την επιλογή των διαστημάτων στο χώρο και το χρόνο.
3 Υπολογιστικές Μέθοδοι Σχήμα Crak-Nicolso ui ui + ui+ ui+ u i + + Δr ri Δr u u + u u u u u + + = i i i+ i+ i i i Δr ri Δr ui + u + i + u + i+ = Δr 4riΔr Δr Δr 4riΔr = u + ui u + i+ + Δr 4riΔr Δr Δr 4riΔr i Η ανάλυση ευστάθειας δίνει τα εξής: urt (, ) = ( trr ) ( ) =( te ) ikr ik ( r Δ r) ikr ik ( r +Δ r) ik ( r +Δr ) ik ( r Δr) e e + e e e ( t +Δ t) + + Δr jδr Δr ik ( r Δ r ) ikr ik ( r +Δ r) ik ( r +Δr) ik ( r Δr ) ikr e e + e e e e + () t + ( ) () = +Δ Δr r Δr [ t t t ] ikδr ikδr ikδr ikδr e + e e e ( t+δ t) + Δr jδr Δr ikδr ikδr ikδr ikδr e + e e e ( t+) ( t) + () t + = Δr jδr Δr ( t+) Χρησιμοποιούμε τους συμβολισμούς λ =, ξ =. Δ r () t ikδr ikδr λ ikδr ikδr ξ λ ( e + e ) + ( e e ) = j ( ξ + ) λ ( ξ ) λ( cosβ ) + ( i siβ) = j ξ + όπου β = kδ r β λ ( ξ ) β λ ξ λ si + ( isi β) = 4 λsi + ( isi β) = j ξ + j ξ + β λ ( ξ + ) 4 λsi + ( i siβ) = ( ξ ) j ( ) 3
4 Υπολογιστικές Μέθοδοι β λ β λ + ( i ) + j j ξ = ξ = β λ β λ + ( i ) + j j Άρα το ξ είναι της μορφής: ( i β) 4 λ si si β 4 λsi si ( i β) 4 λ si si β 4 λsi si Α+Β i ( Α+Β i )( +Α+Β i ) 4 Α Β 4Β ξ = = = + i +Α iβ ( +Α ) +Β ( +Α ) +Β ( +Α ) +Β με Α>0 Θέλουμε ξ < ( Α Β ) ( ) ( Β) < 4 Α Β + 4 Β < ( +Α ) +Β ( +Α ) +Β ( +Α ) +Β ( ) 8 (4 4 ) 0 Α + Α+Α +Β > ( ) ( ) ( ) Η παραπάνω ανισότητα ισχύει πάντα. Άρα το σχήμα είναι πάντοτε ευσταθές. Τα αποτελέσματα για 6 διαστήματα (7 κόμβοι), με Δr = 0., =0-7 και μέγιστο απόλυτο σφάλμα 0-4 είναι Οι παρακάτω πίνακες δείχνουν τον αριθμό των επαναλήψεων (χρονικά βήματα) μέχρι την επίτευξη της μόνιμης κατάστασης, για διάφορες εκτελέσεις του προγράμματος: Για κόμβους με =0-7 και σφάλμα 0-4 Μέθοδος Χρονικά Βήματα Ρητό Σχήμα 7864 Πεπλεγμένο Σχήμα 7864 Crak Nicolso 7864 Για 0 κόμβους με =0-7 και σφάλμα 0-4 Μέθοδος Χρονικά Βήματα Ρητό Σχήμα 8344 Πεπλεγμένο Σχήμα 889 Crak Nicolso 837 Για 00 κόμβους με =0-7 και σφάλμα 0-4 Μέθοδος Χρονικά Βήματα Ρητό Σχήμα 8388 Πεπλεγμένο Σχήμα Crak Nicolso 78 4
5 Υπολογιστικές Μέθοδοι Το πρόγραμμα σε Fortra για την υλοποίηση των διαφόρων μεθόδων είναι το ακόλουθο: Program rhto_peplegmeo_c implicit oe doubleprecisio,allocatable::r(:),u(:),uold(:),temp(:) iteger::,i,j,k,m,status,tmax,doe,method doubleprecisio::err,max,dr,dz,dt,l doubleprecisio::a,b,c,d,e,f =00 dt=0.00 dr=0.6/() err=0.000 allocate(r(0:),u(0:),uold(0:),temp(0:)) tmax= do i=0, r(i)=0.4+i*dr ed do read*,method!method=3!=rhto, =peplegmeo, 3=crak icolso if (method==) the!=rhto u(0:)=0. m= doe=0 do while (m<=tmax.ad. doe==0) uold=u u(0)=0 u()=00 do i=,- a=dt/dr**-dt/(*r(i)*dr) b=-(.*dt)/dr** c=dt/dr**+dt/(*r(i)*dr) ed do! elexos gia termatismo u(i)= a*uold(i-)+b*uold(i)+c*uold(i+) temp(0:) = abs(u(0:) - uold(0:)) if (maxval(temp)<err) the doe= ed if m=m+ ed do ope(0,file='res_rhto.txt',recl=0000) Write(0,'(<>(f6.,x))') u prit*, 'Rhto' prit*, m-,max elseif (method==) the!=peplegmeo u(0:)=0. m= doe=0 do while (m<=tmax.ad. doe==0) 5
6 Υπολογιστικές Μέθοδοι uold=u u(0)=0 u()=00 do i=,- ed do!sytelestes! elexos gia termatismo a= +.*dt/dr** b=dt/dr** - dt/(.*r(i)*dr) c=dt/dr** + dt/(.*r(i)*dr) u(i)= (b*u(i-)+c*u(i+)+uold(i))/a temp(:) = abs(u(:) - uold(:)) if (maxval(temp)<err) the doe= ed if m=m+ ed do ope(,file='res_pepleg.txt',recl=0000)!do i=,! ta typwoyme aapoda gia a ta deiksei o array visualizer swsta! Write(,'(<>(f6.,x))') u(:)! ed do prit*, 'Peplegmeo' prit*, m-,max elseif (method==3) the!3=crank NICOLSON u(:)=0. m= doe=0 do while (m<=tmax.ad. doe==0) uold=u u(0)=0 u()=00 do i=,-!sytelestes a=./dr** +./dt b=./(.*dr**) -./(4.*r(i)*dr) c=./(.*dr**) +./(4.*r(i)*dr) d= -./dr** +./dt e=-./(.*dr**) - /(4.*r(i)*dr) f=-./(.*dr**) + /(4.*r(i)*dr) u(i)= (-f*u(i-)-e*u(i+)+d*uold(i)+b*uold(i-)+c*uold(i+))/a!u(i,j)=(0.5*uold(i-,j)*(./(dr**)-./(r(i)*.*dr))+0.5*u(i-,j)*(./(dr**)-./(r(i)*.*dr))+uold(i+,j)*(./(dr**)+./(r(i)*.*dr))+uold(i,j+)*(./dz**)+0.5*u (i,j-)*(./dz**)+0.5*uold(i,j-)*(./dz**)+uold(i,j)*(./dt-./dr**-./dz**))/(./dr**+./dz**+./dt) ed do! elexos gia termatismo temp(:) = abs(u(:) - uold(:)) if (maxval(temp)<err) the doe= ed if m=m+ ed do 6
7 Υπολογιστικές Μέθοδοι ope(,file='res_crak.txt',recl=0000)! do i=, Write(,'(<>(f6.,x))') u(:)! ed do prit*, 'Crak-Nicolso' prit*, m-,max ed if ed program 7
8 Υπολογιστικές Μέθοδοι Άσκηση. (Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Ρήτος) Θα λύσουμε την εξίσωση: uxx + uyy = u t > και 0 x W/H, 0 y t t 0 Αρχικές και συνοριακές συνθήκες: u( x,y,t 0 ) = 0, u ( 0,y,t) = u( x, 0,t) = 0, u (,y,t) u( x,,t) Θεωρούμε επίσης ότι t 0 =0, W/H= και =Δy=h Ρητό σχήμα = = 0 u u u u + u u u + u i, j i, j i+, j i, j i, j i, j+ i, j i, j = + + O Δy Δy u = λu + λu + λu + λu + ( 4 λ) u i, j i, j i+, j i, j+ i, j i, j i = 0,,..., I j = 0,,..., J = 0,,..., N [,, ] όπου λ=/h Η παραπάνω σχέση αξιοποιείται στον κώδικα του παραρτήματος για τους εσωτερικούς κόμβους. ak jδy akxi y Ακολουθεί ανάλυση ευστάθειας vo Newma. Θεωρούμε: ui, j e e, όπου a = και αντικαθιστούμε στην εξίσωση πεπερασμένων διαφορών ak ak xi y jδy ak ak xi y jδy e e e e akx( i+ ) ak y jδy ak ak xi y jδy akx( i ) aky jδy e e e e + e e = + ak aky( j ) y aky j y aky( j ) y xi + Δ akxi Δ akxi Δ e e e e + e e Δy akx akx = ( e + e ) + = ak Δy ak Δy ( y y e + e ) Δy Συνδυάζοντας τέλος κατάλληλα τους όρους εντός των παρενθέσεων προκύπτει + kx k y y ξ = = 4λxsi 4λysi Δ 8
9 Υπολογιστικές Μέθοδοι όπου λ x =/Δχ και λ y = /Δy. Επομένως το παραπάνω ρητό σχήμα είναι ευσταθές μόνο όταν + kx k y y ξ = = 4λxsi 4λysi Δ < που οδηγεί στο κριτήριο ευστάθειας λx + λy < Δ t( + ) < Δy Σημειώνεται ότι στη δική μας περίπτωση όπου =Δy=h το κριτήριο ευστάθειας Δ t είναι <. h 4 Πεπλεγμένο σχήμα u u u u + u u u + u i, j i, j i+, j i, j i, j i, j+ i, j i, j = + + O Δy Δy [,, ] Επειδή έχουμε =Δy=h η παραπάνω εξίσωση γράφεται στη μορφή u, = λu, λu, λu, λu, + (+ 4 λ) u i j i j i+ j i j+ i j i, j i = 0,,..., I j = 0,,..., J = 0,,..., N Η ανάλυση ευστάθειας δίνει τα εξής: ak ak xi yjδy ak ak xi yjδy e e e e = akx( i+ ) akyjδy ak ak xi yjδy akx( i ) akyjδy e e e e + e e = + ak aky( j ) y ak yj y aky( j ) y xi + Δ akxi Δ akxi Δ e e e e + e e Δy = ( e akx akx akx akx akyδy akyδy [ λχ ( e + e ) λy( e + e )] = akyδy akyδy + e ) + ( e + e ) Δy ξ = = < kx k yδy + 4λxsi + 4λysi Η παραπάνω ανισότητα ισχύει πάντα αφού ο παρονομαστής είναι πάντα μεγαλύτερος της μονάδας. Επομένως το πεπλεγμένο σχήμα είναι ευσταθές ανεξάρτητα από την επιλογή των διαστημάτων στο χώρο και το χρόνο. 9
10 Υπολογιστικές Μέθοδοι Σχήμα Crak-Nicolso Εφαρμόζοντας κεντρώες εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών στο χρόνο και το χώρο προκύπτει η εξίσωση πεπερασμένων διαφορών: ui, j ui, j ui+, j ui, j + ui, j ui+, j ui, j+ ui, j = θx + ( θ ) x + ui, j+ ui, j + ui, j ui, j+ ui, j+ ui, j θy + ( θ ) [,, ] y + O Δy Δy Δy i = 0,,..., I j = 0,,..., J = 0,,..., N Στην περίπτωση μας που ισχύει =Δy=h και θ Χ =θ y =/ προκύπτει το σχήμα Crak- Nicolso λu + λu + λu + λu + ( λ) u = λu λu λu λu + ( + λ) u i+, j i, j+ i, j i, j i, j i, j i+, j i, j+ i, j i, j όπου λ=/h. Η ανάλυση ευστάθειας δίνει τα εξής: ak ( ) y y( ) x i+ ak jδ y ak ak j y xi + Δ akx( i ) aky jδy λ e e + λ e e + λ e e + aky( j ) Δy ak ak xi y jδy akxi λ e e + ( λ) e e = ak ( ) aky j y aky( j ) y x i+ Δ akxi + Δ akx( i ) aky j Δ y λ + e e λ + e e λ + e e ak ak xi y( j ) Δy akxi aky jδy λ e e + ( + λ) e e ak ak ( ) x akx yδy akyδy λ e + e + e + e + ξ = = λ < ak ak ( ) x akx yδy akyδy + λ e + e + e + e + λ Η παραπάνω ανισότητα ισχύει πάντα αφού ο αριθμητής είναι πάντα μικρότερος από τον παρονομαστή. Επομένως το σχήμα Crak-Nicolso είναι ευσταθές ανεξάρτητα από την επιλογή των διαστημάτων στο χώρο και το χρόνο. Το πρόγραμμα που χρησιμοποιεί τα αντίστοιχα σχήματα παρουσιάζεται στο παράρτημα. Ο παρακάτω πίνακας περιέχει τα αποτελέσματα για 0 x 0 διαστήματα ( x κόμβοι), h=/0 και =0.00 και μέγιστο απόλυτο σφάλμα
11 Υπολογιστικές Μέθοδοι Οι παρακάτω πίνακες δείχνουν τον αριθμό των χρονικών βημάτων ώστε να επιτευχθεί η μόνιμη λύση όπως αυτή προκύπτει από το απόλυτο σφάλμα: Για x κόμβους με =0.00 και σφάλμα 0-4 Μέθοδος Χρονικά βήματα Ρητό Σχήμα 496 Πεπλεγμένο 589 Crak-Nicolso 543 Για x κόμβους με =0.00 και σφάλμα 0-6 Μέθοδος Χρονικά βήματα Ρητό Σχήμα 79 Πεπλεγμένο 87 Crak-Nicolso 800 Για x κόμβους με =0.000 και σφάλμα 0-4 Μέθοδος Χρονικά βήματα Ρητό Σχήμα 3789 Πεπλεγμένο 4057 Crak-Nicolso 394 Για x κόμβους με =0.000 και σφάλμα 0-6 Μέθοδος Χρονικά βήματα Ρητό Σχήμα 65 Πεπλεγμένο 658 Crak-Nicolso 6354 Παρατηρούμε ότι τα αποτελέσματα ανεξάρτητα από τη μέθοδο έχουν ακριβώς την ίδια ακρίβεια. Αυτό που διαφέρει είναι τα χρονικά βήματα που απαιτούνται και η ευστάθεια κάθε μεθόδου. Συγκεκριμένα το ρητό σχήμα είναι το πιο γρήγορο αλλά ταυτόχρονα και αυτό στο οποίο απαιτείται προσοχή στην επιλογή των διαστημάτων στο χώρο και το χρόνο ώστε να είναι ευσταθές. Το πεπλεγμένο σχήμα και το σχήμα Crak-Nicolso είναι πάντα ευσταθή με το σχήμα Crak- Nicolso να υπερτερεί σε αριθμό βημάτων. Σαν βέλτιστο σχήμα θα μπορούσαμε να θεωρήσουμε το σχήμα Crak-Nicolso.
12 Υπολογιστικές Μέθοδοι program rito_peplegmeo_c implicit oe! Variables doubleprecisio,allocatable::u(:,:),uold(:,:),temp(:,:) doubleprecisio::err,max,dx,dy,dt,h doubleprecisio::a,b,c,d,e iteger::,i,j,k,m,status,tmax,doe,method! Body of rito_peplegmeo_c =0!αριθμός διαστημάτων dt=0.000 dx=./() dy=./()!dx=dy=h h=dx err=0.000 allocate(u(,),uold(,),temp(,)) tmax=00000 read*, method!method=3!=rito, =peplegmeo, 3=crak icolso if (method==) the!=rito u(:,:)=0. m= doe=0 do while (m<=tmax.ad. doe==0) uold=u u(,:)=0 u(:,)=0 u(,:)=0. u(:,)=0. do i=, do j=,!συντελεστές a=dt/(h**) b=a c=a d=a e=-4*a u(i,j)=a*uold(i-,j)+b*uold(i+,j)+c*uold(i,j+)+d*uold(i,j- )+e*uold(i,j)!έλεγχος για τερματισμό temp(:,:)=abs(u(:,:)-uold(:,:))
13 Υπολογιστικές Μέθοδοι if(maxval(temp)<err) the doe= edif m=m+ ope(0,file='res_rhto.txt',recl=0000) do i=, write(0,'((f6.,x))') u(i,:) prit*, 'Rito' prit*, m-,'max' elseif (method==) the!=peplegmeo u(:,:)=0. m= doe=0 do while (m<=tmax.ad. doe==0) uold=u u(,:)=0 u(:,)=0 u(,:)=0. u(:,)=0. do i=, do j=,!συντελεστές a=+4*(dt/(h**)) b=dt/(h**) c=b d=b e=b u(i,j)=(b*u(i-,j)+c*u(i,j-)+d*u(i+,j)+e*u(i,j+)+uold(i,j))/a!έλεγχος για τερματισμό temp(:,:)=abs(u(:,:)-uold(:,:)) if(maxval(temp)<err) the doe= edif m=m+ ope(,file='res_pepleg.txt',recl=0000) do i=, write(,'((f6.,x))') u(i,:) prit*, 'Peplegmeo' prit*, m-,'max' 3
14 Υπολογιστικές Μέθοδοι elseif (method==3) the!3=crak icolso u(:,:)=0. m= doe=0 do while (m<=tmax.ad. doe==0) uold=u u(,:)=0 u(:,)=0 u(,:)=0. u(:,)=0. do i=, do j=,!συντελεστές a=*(+*(dt/(h**))) b=dt/(h**) e=*(-*(dt/(h**))) u(i,j)=(b*(u(i-,j)+u(i+,j)+u(i,j-)+u(i,j+)+uold(i-,j)+uold(i+,j)+uold(i,j-)+uold(i,j+))+e*uold(i,j))/a!έλεγχος για τερματισμό temp(:,:)=abs(u(:,:)-uold(:,:)) if(maxval(temp)<err) the doe= edif m=m+ ope(,file='res_crak.txt',recl=0000) do i=, write(,'((f6.,x))') u(i,:) prit*, 'Crak-Nicolso' prit*, m-,'max' edif ed program rito_peplegmeo_c 4
Υπολογιστικές Μέθοδοι 2006-7
Υπολογιστικές Μέθοδοι 006-7 Άσκηση. (Επιμέλεια: Ιωάννης Λυχναρόπουλος) Θα επιλύσουμε την εξίσωση: urr ur u t, t t 0 και R i /Rout r r Έστω Ri 0.4 και Rout δηλαδή: Ri / Rout 0.4 με αρχική συνθήκη: ur (,0)
Διαβάστε περισσότεραΘα χρησιμοποιήσουμε κύλινδρο με L=R για απλοποίηση (και Δr=Δz).
Άσκηση. Θα λύσουμε την εξίσωση: urr + ur + u u r με αρχικές-συνοριακές τιμές τις: ur (,,0 0, ur (,0, 0 και u(,, 00. Επίσης, λόγω συμμετρίας ισχύει ότι ur (0,, 0. Θα χρησιμοποιήσουμε κύλινδρο με LR για
Διαβάστε περισσότεραΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, , 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #4 ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΠΑΡΑΔΟΣΗΣ: ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ.
ΑΣΚΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 009-00, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ # ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΠΑΡΑΔΟΣΗΣ: 5..00 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ. Βαλουγεώργης Επιμέλεια απαντήσεων: Ιωάννης Λυχναρόπουλος Να επιλυθεί η εξίσωση
Διαβάστε περισσότερα(συνθήκη συμμετρίας) (4) Το παραπάνω πρόβλημα μπορεί να περιγράψει τη μεταβατική πλήρως ανεπτυγμένη ροή σε κυλινδρικό αγωγό.
ΑΣΚΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 00-0, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #4: ΠΑΡΑΒΟΛΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ (αρχικών και οριακών τιμών) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΠΑΡΑΔΟΣΗΣ:..00 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Ιωάννης Λυχναρόπουλος Ζητείται να επιλυθεί η εξίσωση t
Διαβάστε περισσότεραπεπερασμένη ή Η αναλυτική λύση της διαφορικής εξίσωσης δίνεται με τη βοήθεια του Mathematica: DSolve u'' r 1 u' r 1, u 1 0, u' 0 0,u r,r
Άσκηση : πρόκειται για ΣΔΕ δύο οριακών τιμών με εφαρμογή του αλγόριθμου Thomas για επίλυση τριγωνικού συστήματος Έχουμε να επιλύσουμε την εξίσωση: du du u dr r dr με οριακές συνθήκες u () 0 και u(0) πεπερασμένη
Διαβάστε περισσότεραΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, , 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #5: ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΠΑΡΑΔΟΣΗΣ: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Ιωάννης Λυχναρόπουλος
ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, -, Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #: ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΠΑΡΑΔΟΣΗΣ: 3.0. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Ιωάννης Λυχναρόπουλος Άσκηση Έστω ένα κύμα που κινείται εντός αγωγού με ταχύτητα c 0 m/s. Η κατανομή
Διαβάστε περισσότεραΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, , 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #3: ΠΑΡΑΒΟΛΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΠΑΡΑΔΟΣΗΣ: ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ.
ΑΣΚΗΣΗ 1 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 9-1, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #3: ΠΑΡΑΒΟΛΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΠΑΡΑΔΟΣΗΣ: 15.1.9 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ. Βαλουγεώργης Επιμέλεια απαντήσεων: Ιωάννης Λυχναρόπουλος Δίδεται η διαφορική
Διαβάστε περισσότεραy 1 και με οριακές συνθήκες w
ΑΣΚΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 008-009, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #3: ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΠΑΡΑΔΟΣΗΣ:..008 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ. Βαλουγεώργης Επιμέλεια απαντήσεων: Ιωάννης Λυχναρόπουλος Η εξίσωση Laplace σε
Διαβάστε περισσότεραΧΡΟΝΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ. Για την επίλυση χρονομεταβαλλόμενων προβλημάτων η διακριτοποίηση στο χώρο γίνεται με πεπερασμένα στοιχεία και είναι της μορφής:
ΧΡΟΝΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ Για την επίλυση χρονομεταβαλλόμενων προβλημάτων η διακριτοποίηση στο χώρο γίνεται με πεπερασμένα στοιχεία και είναι της μορφής: (,)(,)()() h 1 u x t u x t u t x (1) e Η διαφορά με τα
Διαβάστε περισσότεραΕπιμέλεια απαντήσεων: Ιωάννης Λυχναρόπουλος
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 17 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 005-006, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ Επιμέλεια απαντήσεων: Ιωάννης Λυχναρόπουλος Ομάδα Α: Άσκηση Έχουμε να επιλύσουμε
Διαβάστε περισσότεραΚεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών
Κεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών 7. Εισαγωγή (ορισμός προβλήματος, αριθμητική ολοκλήρωση ΣΔΕ, αντικατάσταση ΣΔΕ τάξης n με n εξισώσεις ης τάξης) 7. Μέθοδος Euler 7.3
Διαβάστε περισσότεραw 1, z = 2 και r = 1
ΑΣΚΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 008-009, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #4: ΠΑΡΑΒΟΛΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΠΑΡΑΔΟΣΗΣ: 0..009 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ. Βαλουγεώργης Δίδεται η διαφορική εξίσωση Επιμέλεια απαντήσεων: Ιωάννης Λυχναρόπουλος
Διαβάστε περισσότεραΚεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών
Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών. Εισαγωγή (ορισμός προβλήματος, αριθμητική ολοκλήρωση ΣΔΕ, αντικατάσταση ΣΔΕ τάξης n με n εξισώσεις ης τάξης). Μέθοδος Euler 3. Μέθοδοι
Διαβάστε περισσότεραΕπιλύστε αριθμητικά με τη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών το παρακάτω πρόβλημα δύο οριακών τιμών: ( )
ΑΣΚΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, -, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΡΓΑΣΙΑΣ #: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Ιωάννης Λυχναρόπουλος Επιλύστε αριθμητικά με τη μέθοδο
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων
Κεφάλαιο 6 Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών παραβολικών διαφορικών εξισώσεων 6.1 Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων όγκων είναι µία ευρέως διαδεδοµένη υπολογιστική µέθοδος επίλυσης
Διαβάστε περισσότεραΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, , 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #3: ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΠΑΡΑΔΟΣΗΣ: ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ.
ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 011-01, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #3: ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΠΑΡΑΔΟΣΗΣ: 5-1-011 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ. Βαλουγεώργης Επιλέξτε μία εκ των Ασκήσεων 1 και : ΑΣΚΗΣΗ 1 Να λυθεί το πρόβλημα οριακών
Διαβάστε περισσότεραΕπιμέλεια απαντήσεων: Ιωάννης Λυχναρόπουλος
ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 9-, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΕΡΙΚΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΠΑΡΑΔΟΣΗΣ:..9 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ. Βαλουγεώργης Επιμέλεια
Διαβάστε περισσότεραΕπιμέλεια απαντήσεων: Ιωάννης Λυχναρόπουλος. Η μόνιμη θερμοκρασιακή κατανομή σε δύο διαστάσεις περιγράφεται από την εξίσωση: και
ΑΣΚΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 9-, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #3: ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΑ και ΠΑΡΑΒΟΛΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΠΑΡΑΔΟΣΗΣ: 5..9 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ. Βαλουγεώργης Επιμέλεια απαντήσεων: Ιωάννης Λυχναρόπουλος Η μόνιμη
Διαβάστε περισσότεραf στον κόμβο i ενός πλέγματος ( i = 1, 2,,N
ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 008-009, Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΠΑΡΑΔΟΣΗΣ:..008 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ. Βαλουγεώργης Επιμέλεια απαντήσεων: Ιωάννης Λυχναρόπουλος
Διαβάστε περισσότεραΕπιµέλεια: Γιάννης Λυχναρόπουλος Οµάδα Α: Άσκηση 2 Έχουµε να επιλύσουµε την εξίσωση: 2
Οµάδα Α: Άσκηση Έχουµε να επιλύσουµε την εξίσωση: du du u = dr + r dr = (Α) du µε οριακές συνθήκες u () = 0 και u(0) πεπερασµένη ή = 0 (συνθήκη dr r = 0 συµµετρίας). Η αναλυτική λύση της διαφορική ς εξίσωσης
Διαβάστε περισσότερα5. Ανάλυση διακριτής μορφής ΔΜΠ με ΠΔ
5. Ανάλυση διακριτής μορφής ΔΜΠ με ΠΔ Η διακριτή μορφή διαφορικών μερικών παραγώγων (ΔΜΠ) επιτυγχάνεται με την εφαρμογή πεπερασμένων διαφορών (ΠΔ) ή άλλων μεθόδων διακριτοποίησης όπως πεπερασμένοι όγκοι
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 7. Επίλυση υπερβολικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές
Κεφάλαιο 7 Επίλυση υπερβολικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές 7. Εξισώσεις κύματος ης ης τάξης Οι κλασσικές αντιπροσωπευτικές εξισώσεις της κατηγορίας των υπερβολικών εξισώσεων είναι οι
Διαβάστε περισσότεραΚεφ. 6Α: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις - προβλήματα δύο οριακών τιμών
Κεφ. 6Α: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις - προβλήματα δύο οριακών τιμών 1. Εισαγωγή. Προβλήματα δύο οριακών τιμών 3. Η μέθοδος των πεπερασμένων διαφορών 4. Οριακές συνθήκες με παραγώγους 5. Παραδείγματα
Διαβάστε περισσότεραΕπίλυση παραβολικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές
Επίλυση παραβολικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ Δημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο
Διαβάστε περισσότεραΗ πλήρως ανεπτυγµένη ροή λόγω διαφοράς πίεσης σε κυλινδρικό αγωγό περιγράφεται από την συνήθη διαφορική εξίσωση
Άσκηση ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ 08-09 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ Ι ΑΣΚΩΝ:. Βαλουγεώργης ΕΡΓΑΣΙΑ: ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ (Σ Ε & Μ Ε Ηµεροµηνία παράδοσης: 8//09 Η πλήρως ανεπτυγµένη ροή λόγω διαφοράς πίεσης σε κυλινδρικό
Διαβάστε περισσότεραΆσκηση 1 Έχουµε να επιλύσουµε την εξίσωση κύµατος 1 ης τάξης (υπερβολική εξίσωση) (1)
Άσκηση Έχουµε να επιλύσουµε την εξίσωση κύµατος ης τάξης (υπερβολική εξίσωση) u t + cu = 0 () Θα χρησιµοποιήσουµε τις ακόλουθες µεθόδους: α) Μέθοδος FTBS (Πρόδροµη στο χρόνο, ανάδροµη στο χώρο) Το σχήµα
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική ολοκλήρωση συνήθων διαφορικών εξισώσεων και συστημάτων
Αριθμητική ολοκλήρωση συνήθων διαφορικών εξισώσεων και συστημάτων Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο
Διαβάστε περισσότεραz είναι οι τρεις ανεξάρτητες
Κεφάλαιο 5 Επίλυση παραβολικών διαφορικών εξισώσεων µε πεπερασµένες διαφορές 5. Εξίσωση θερµότητας ή διάχυσης Η πλέον αντιπροσωπευτική εξίσωση µεταξύ των παραβολικών εξισώσεων είναι η εξίσωση θερµότητας
Διαβάστε περισσότεραΣυνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών
Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών
Διαβάστε περισσότεραKΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΥΝΗΘΩΝ. Το τυπικό πρόβληµα αρχικών τιµών που θα µας απασχολήσει, είναι το ακόλουθο:
KΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΥΝΗΘΩΝ ΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Έστω [ α, b], f :[ α, b], y. Το τυπικό πρόβληµα αρχικών τιµών που θα µας απασχολήσει, είναι το ακόλουθο: Ζητείται µια συνάρτηση y :[
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1. Αριθµητική ολοκλήρωση συνήθων διαφορικών εξισώσεων και συστηµάτων
Κεφάλαιο Αριθµητική ολοκλήρωση συνήθων διαφορικών εξισώσεων και συστηµάτων. Εισαγωγή Η µοντελοποίηση πολλών φυσικών φαινοµένων και συστηµάτων και κυρίως αυτών που εξελίσσονται στο χρόνο επιτυγχάνεται µε
Διαβάστε περισσότεραΚεφ. 7: Επίλυση ελλειπτικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές
Κεφ 7: Επίλυση ελλειπτικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές 71 Εισαγωγή πρότυπες εξισώσεις 7 Εξισώσεις πεπερασμένων διαφορών πέντε και εννέα σημείων 73 Οριακές συνθήκες μικτού τύπου και ακανόνιστα
Διαβάστε περισσότερα2. Η μέθοδος του Euler
2. Η μέθοδος του Euler Ασκήσεις 2.5 Έστω a = t 0 < t 1 < < t N = b ένας διαμερισμός του [a, b]. Υποθέστε ότι ο διαμερισμός είναι ημιομοιόμορφος, ότι υπάρχει δηλαδή θετική σταθερά µ, ανεξάρτητη του N, τέτοια
Διαβάστε περισσότεραΠαράδειγμα #9 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΕΣ ΣΔΕ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Ν. Βασιλειάδης
Παράδειγμα #9 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΕΣ ΣΔΕ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Ν. Βασιλειάδης Άσκηση Να επιλυθεί η εξίσωση ροής διαμέσου ενός κυλινδρικού αγωγού λόγω διαφοράς πίεσης: d u du u = + = dr r dr du με
Διαβάστε περισσότερα4. Παραγώγιση πεπερασμένων διαφορών Σειρά Taylor Πολυωνυμική παρεμβολή
. Παραγώγιση Η διαδικασία της υπολογιστικής επίλυσης συνήθων και μερικών διαφορικών εξισώσεων προϋποθέτει την προσέγγιση της εξαρτημένης μεταβλητής και των παραγώγων της στους κόμβους του πλέγματος. Ειδικά,
Διαβάστε περισσότεραΠαράδειγμα #10 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΕΣ ΜΔΕ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Ν. Βασιλειάδης
Άσκηση 1 Παράδειγμα #10 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΕΣ ΜΔΕ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Ν. Βασιλειάδης Να επιλυθεί η ροή ρευστού διαμέσου τετραγωνικού αγωγού η οποία εκφράζεται μέσω της διαφορικής εξίσωσης Poisson
Διαβάστε περισσότεραMEM 253. Αριθμητική Λύση ΜΔΕ * * *
MEM 253 Αριθμητική Λύση ΜΔΕ * * * 1 Ένα πρόβλημα-μοντέλο Ροή θερμότητας σε ένα ομογενές μέσο. Ζητούμε μια συνάρτηση x [0, 1] και t 0 τέτοια ώστε u(x, t) ορισμένη για u t u(0, t) u(x, 0) = u xx, 0 < x
Διαβάστε περισσότεραΠρόλογος Εισαγωγή στη δεύτερη έκδοση Εισαγωγή... 11
Περιεχόμενα Πρόλογος... 9 Εισαγωγή στη δεύτερη έκδοση... 0 Εισαγωγή... Ε. Εισαγωγή στην έννοια της Αριθμητικής Ανάλυσης... Ε. Ταξινόμηση των θεμάτων που απασχολούν την αριθμητική ανάλυση.. Ε.3 Μορφές σφαλμάτων...
Διαβάστε περισσότερα4. Παραγώγιση πεπερασμένων διαφορών Σειρά Taylor Πολυωνυμική παρεμβολή
4. Παραγώγιση Η διαδικασία της υπολογιστικής επίλυσης συνήθων και μερικών διαφορικών εξισώσεων προϋποθέτει την προσέγγιση της εξαρτημένης μεταβλητής και των παραγώγων της στους κόμβους του πλέγματος. Ειδικά,
Διαβάστε περισσότεραx από το κεντρικό σημείο i: Ξεκινάμε από το ανάπτυγμα Taylor στην x κατεύθυνση για απόσταση i j. Υπολογίζουμε το άθροισμα:
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 0 05, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ και ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ Ημερομηνία ανάρτησης εργασίας στην ιστοσελίδα του μαθήματος: 0 Ημερομηνία παράδοσης εργασίας: 9 0 Επιμέλεια απαντήσεων:
Διαβάστε περισσότεραΓεώργιος Ακρίβης. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
Γεώργιος Ακρίβης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Γ. Α. (akrivis@cse.uoi.gr) Προβλήματα δοκιμής στην ΑΑ 19 Απριλίου 018 1 / 7 Προβλήματα δοκιμής Πρόκειται για απλές συνήθεις
Διαβάστε περισσότεραΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, , 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #3: ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΠΑΡΑΔΟΣΗΣ: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Ιωάννης Λυχναρόπουλος
ΑΣΚΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 00-0, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #3: ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΠΑΡΑΔΟΣΗΣ: 5--00 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Ιωάννης Λυχναρόπουλος Θεωρούμε τετραγωνική πλάκα πλευράς L που φορτίζεται με ομοιόμορφο
Διαβάστε περισσότεραy(t) S x(t) S dy dx E, E E T1 T2 T1 T2 1 T 1 T 2 2 T 2 1 T 2 2 3 T 3 1 T 3 2... V o R R R T V CC P F A P g h V ext V sin 2 S f S t V 1 V 2 V out sin 2 f S t x 1 F k q K x q K k F d F x d V
Διαβάστε περισσότεραΠαράδειγμα #2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟΔΙΑΣΤΟΛΗΣ ΚΑΙ ΡΙΖΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ. Βαρούτης
Παράδειγμα # ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟΔΙΑΣΤΟΛΗΣ ΚΑΙ ΡΙΖΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ. Βαρούτης. Πως ορίζεται και τι σημαίνει ο όρος lop στους επιστημονικούς υπολογισμούς. Ο όρος lop (loatig poit operatio) συναντάται
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville
Κεφάλαιο : Προβλήµατα τύπου Stur-Liouvie. Ορισµός προβλήµατος Stur-Liouvie Πολλές τεχνικές επίλυσης µερικών διαφορικών εξισώσεων βασίζονται στην αναγωγή της µερικής διαφορικής εξίσωσης σε συνήθεις διαφορικές
Διαβάστε περισσότεραΠεπερασμένες Διαφορές.
Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x
Διαβάστε περισσότερα6. Αριθμητική επίλυση συνήθων διαφορικών
6. Αριθμητική επίλυση συνήθων διαφορικών Η συμπεριφορά πολλών φυσικών συστημάτων περιγράφεται από συνήθεις διαφορικές εξισώσεις ή από συστήματα συνήθων διαφορικών εξισώσεων. Παραδείγματα τέτοιων συστημάτων
Διαβάστε περισσότεραΕπιλύστε αριθμητικά το με τη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών το παρακάτω πρόβλημα δύο οριακών τιμών:
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 1-13, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #4: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Ημερομηνίες παράδοσης: Ασκήσεις 1 και : -1-1, Ασκήσεις 3 και 4: 8-1-13 Επιμέλεια απαντήσεων: Ιωάννης Λυχναρόπουλος ΑΣΚΗΣΗ
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 8: Ανάλυση ευστάθειας & Συναγωγή και διάχυση
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Διάλεξη 8: Ανάλυση ευστάθειας & Συναγωγή και διάχυση Χειμερινό εξάμηνο 2008 Προηγούμενη παρουσίαση... Ολοκληρώσαμε
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιουνίου v 3 (t) - i 2 (t)
Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιουνίου 2015 ΘΕΜΑ 1 Ο (6,0 μονάδες) Δίνεται το κύκλωμα του σχήματος, όπου v 1 (t) είναι η είσοδος και v 3 (t) η έξοδος. Να θεωρήσετε μηδενικές αρχικές συνθήκες. v 1
Διαβάστε περισσότεραΠαράδειγμα #5 EΠΙΛΥΣΗ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΜΕΘΟΔΟ NEWTON ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Ν. Βασιλειάδης. ( k ) ( k)
Παράδειγμα # EΠΙΛΥΣΗ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΜΕΘΟΔΟ NEWTON ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Ν. Βασιλειάδης Άσκηση Να επιλυθεί το παρακάτω μη γραμμικό σύστημα με την μέθοδο Newton: ( ) ( ) f, = + = 0 f, = + 8=
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 7: Εξίσωση μη-μόνιμης διάχυσης (συνέχεια)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Διάλεξη 7: Εξίσωση μη-μόνιμης διάχυσης (συνέχεια) Χειμερινό εξάμηνο 2008 Προηγούμενη παρουσίαση... Είδαμε
Διαβάστε περισσότεραΕπίλυση ελλειπτικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές
Επίλυση ελλειπτικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ Δημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο
Διαβάστε περισσότεραΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ» 2 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2018: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ - ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Αα. (α) Αα. (γ) Α3α. (α) Α4α. (γ) Αβ. (γ) Αβ. (δ) Α3β. (β) Α4β. (β) Α0. α.λ β.λ γ.σ δ.λ ε.σ ΘΕΜΑ B
Διαβάστε περισσότερα= λ. u t = u xx UT = U T T T = U U. Οσον αφορά τη χρονική εξίσωση έχουμε. T + λt =0 T (t) =e λt. ενώ για τη χωρική
Prìlhm Το φυσικό πρόβλημα είναι: τοίχος σε επαφή με λουτρό θερμοκρασίας T = αριστερά και μονωμένος δεξιά, με αρχική θερμοκρασία T =.Θέτουμεu(x, t) = U(x)T (t), οπότεu t = UT και u xx = U T, και προχωράμε
Διαβάστε περισσότερα15 εκεµβρίου εκεµβρίου / 64
15 εκεµβρίου 016 15 εκεµβρίου 016 1 / 64 Αριθµητική Ολοκλήρωση Κλειστοί τύποι αριθµητικής ολοκλήρωσης Εστω I(f) = b µε f(x) C[a, b], τότε I(f) = F(b) F(a), όπου F(x) είναι το αόριστο ολοκλήρωµα της f(x).
Διαβάστε περισσότεραΕπιμέλεια απαντήσεων: Ιωάννης Λυχναρόπουλος
ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 008-009, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΡΧΙΚΩΝ ΤΙΜΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΠΑΡΑΔΟΣΗΣ: 3.0.008 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ. Βαλουγεώργης Άσκηση Επιμέλεια απαντήσεων:
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 4)
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 4) Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Αριθμητικές Μέθοδοι (E 4) Σεπτέμβριος 2015
Διαβάστε περισσότεραΕφαρµόζοντας τη µέθοδο αριθµητικής ολοκλήρωσης Euler και Runge-Kutta 2 ης, συστηµατική σύγκριση των πέντε µεθόδων. Η επιλογή των σταθερών
ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ, 6-7, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΠΑΡΑ ΟΣΗΣ:..6 Επιµέλεια απαντήσεων: Ι. Λυχναρόπουλος. Έστω το πρόβληµα αρχικών τιµών: ( dx( d x
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε
Κεφάλαιο Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε. Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών είναι από τις παλαιότερες και πλέον συνηθισµένες και διαδεδοµένες υπολογιστικές τεχνικές
Διαβάστε περισσότεραsup(a + B) = sup A + sup B inf(a + B) = inf A + inf B.
Ασκήσεις, Φυλλάδιο. Βρειτε το συνολο Φ A ολων των ανω ϕραγματων του A, και το συνολο φ A ολων των κατω ϕραγματων του A, οταν: a) A = m :, m N}, b) A = + m 2. Βρειτε το if και sup οποτε υπαρχουν) των συνολων
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ Συνδυασμένη χρήση μοντέλων προσομοίωσης βελτιστοποίησης. Η μέθοδος του μητρώου μοναδιαίας απόκρισης Νικόλαος
Διαβάστε περισσότεραΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, , 3 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ #1: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟ ΙΑΣΤΟΛΗΣ ΚΑΙ ΡΙΖΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ.
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, 005-06, 3 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ #: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟ ΙΑΣΤΟΛΗΣ ΚΑΙ ΡΙΖΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ. Βαρούτης. Πως ορίζεται και τι σηµαίνει ο όρος lop στους επιστηµονικούς υπολογισµούς.
Διαβάστε περισσότεραQ 12. c 3 Q 23. h 12 + h 23 + h 31 = 0 (6)
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας Υδατικών Πόρων Μάθηµα: Τυπικά Υδραυλικά Έργα Μέρος 2: ίκτυα διανοµής Άσκηση E0: Μαθηµατική διατύπωση µοντέλου επίλυσης απλού δικτύου διανοµής
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα 6. Προγραμματισμός με Εφαρμογές στην Επιστήμη του Μηχανικού. Σιέττος Κωνσταντίνος
Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Προγραμματισμός με Εφαρμογές στην Επιστήμη του Μηχανικού Ενότητα 6 Σιέττος Κωνσταντίνος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΒέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων
Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 12: Αρχή ελαχίστου του Pontryagin Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα Αδειοδότησης Το
Διαβάστε περισσότεραΗ διατήρηση μάζας σε ένα σύστημα τριών αντιδραστήρων περιγράφεται από το παρακάτω σύστημα συνήθων διαφορικών εξισώσεων:
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 0-0, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΡΓΑΣΙΑΣ #: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣ - ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΡΧΙΚΩΝ ΤΙΜΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Ιωάννης Λυχναρόπουλος ΑΣΚΗΣΗ Η διατήρηση μάζας σε ένα σύστημα τριών
Διαβάστε περισσότεραΤεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην
Διαβάστε περισσότεραΟ αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace ορίζεται από το μιγαδικό ολοκλήρωμα : + +
Μετασχηματισμός aplace ορίζεται ως εξής : t X() [x( t)] xte () dt = = Ο αντίστροφος μετασχηματισμός aplace ορίζεται από το μιγαδικό ολοκλήρωμα : t x(t) = [ X()] = X() e dt π j c C είναι μία καμπύλη που
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 04: Παραδείγματα Ανάλυσης
Διάλεξη 04: Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας/Ανάλυση Αναδρομικών Αλγόριθμων Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: - Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας : Μέθοδοι, παραδείγματα
Διαβάστε περισσότεραΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ» 2 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2018: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 08: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ - ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Αα. (α) Αα. (γ) Α3α. (α) Α4α. (γ) Αβ. (γ) Αβ. (δ)
Διαβάστε περισσότεραΠαράδειγµα #11 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΡΧΙΚΩΝ ΤΙΜΩΝ Σ Ε ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Ν. Βασιλειάδης
Παράδειγµα # ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΡΧΙΚΩΝ ΤΙΜΩΝ Σ Ε ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Ν. Βασιλειάδης Άσκηση ίδεται η διαφορική εξίσωση: dy dx y 0 = 0 x = y + e, Να επιλυθεί το πρόβληµα αρχικών τιµών µε τις µεθόδους Euler και Runge-Kutta
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 14 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, , 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #1: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΡΧΙΚΩΝ ΤΙΜΩΝ
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 14 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 009-010, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #1: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΡΧΙΚΩΝ ΤΙΜΩΝ Επιμέλεια απαντήσεων: Ιωάννης Λυχναρόπουλος ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω το πρόβλημα
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 04: Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας/Ανάλυση Αναδρομικών Αλγόριθμων
Διάλεξη 04: Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας/Ανάλυση Αναδρομικών Αλγόριθμων Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: - Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας : Μέθοδοι, παραδείγματα
Διαβάστε περισσότερατην κεντρώα έκφραση πεπερασμένων διαφορών 2 ης τάξης και για τη παράγωγο f την ανάδρομη έκφραση πεπερασμένων διαφορών 2 ης τάξης xxx
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 0-0, Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ και ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ Ημερομηνία παράδοσης --0 Επιμέλεια απαντήσεων: Ιωάννης Λυχναρόπουλος ΑΣΚΗΣΗ Με βάση τη σειρά Taylor βρείτε για τη παράγωγο
Διαβάστε περισσότεραΜάθημα Επιλογής 8 ου εξαμήνου
EΘNIKO ΜEΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΧΗΜΙΚΩΝΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΙΙ: Ανάλυσης, Σχεδιασμού & Ανάπτυξης Διεργασιών & Συστημάτων Δίαλεξη 1: Βασικές Έννοιες Μάθημα Επιλογής 8 ου εξαμήνου Διδάσκων: Α. Κοκόσης Συνεργάτες:
Διαβάστε περισσότεραΕΠΛ231 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 4. Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας Ανάλυση Αναδρομικών Αλγόριθμων
ΕΠΛ31 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 4. Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας Ανάλυση Αναδρομικών Αλγόριθμων Διάλεξη 04: Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας/Ανάλυση Αναδρομικών Αλγόριθμων Στην ενότητα
Διαβάστε περισσότερα~ 1 ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ
~ ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 04 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Δείτε στις «Σημειώσεις Μιγαδικού Λογισμού» β) Η συνάρτηση f ( ) γράφεται f x y + x + y x y + x + y xy ( ) ( ) ( ) ( ) Το πραγματικό και
Διαβάστε περισσότερα7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ z
7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ο μετασχηματισμός είναι ο αντίστοιχος Laplace για σήματα διακριτού χρόνου και αποτελεί γενίκευση του μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου. Σκοπός του Κεφαλαίου είναι να ορίσει
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις ασκήσεων 6. Οι συντελεστές του αναπτύγματος υπολογίζονται ως εξής: = y( ( 1) = 2 L. L n. = 0 Αναζητούμε αρμονική λύση για y(x) λόγω ΣΣ
Λύσεις ασκήσεων 6. y + y, y() y( ) Αναζητούμε αρμονική λύση για y(x) λόγω ΣΣ λ k > y(x) As(kx) + Bsi(kx) y() A y() Bsi(k) B k,,,.. y (x) Bsi ( x ),,,.. ιδιοσυναρτήσεις Αν λ τετριμένη λύση. Οι ιδιοσυναρτήσεις
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Παραγώγιση Εισαγωγή Ορισμός 7. Αν y f x είναι μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης. 25 Μαΐου 2010 ΕΚΠΑ
Αριθµητική Ανάλυση Κεφάλαιο 9. Αριθµητική Ολοκλήρωση ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 5 Μαΐου 010 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι)
Διαβάστε περισσότεραΣήματα και Συστήματα
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 12: Ιδιότητες του Μετασχηματισμού aplace Ο αντίστροφος Μετασχηματισμός aplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού aplace 1. Ιδιότητες
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26 ΙΟΥΛΙΟΥ 2008 ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ :
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου
Διάλεξη 6: ΠαραδείγματαΑνάλυσης Πολυπλοκότητας/Ανάλυση Αναδρομικών Αλγόριθμων Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: -Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας : Μέθοδοι, παραδείγματα -Γραμμική
Διαβάστε περισσότεραΕπίλυση 1 ης Εργασίας. Παραδόθηκαν: 11/12 15%
Επίλυση 1 ης Εργασίας Παραδόθηκαν: 11/12 15% ΘΕΜΑ 1 ΑΠΑΝΤΗΣΗ Α) Συνθήκη συντήρησης της αρχικής ροής Το φορτίο που μεταφέρεται από τον r είναι 3 (r->1=1) + (r->3=0) + (r- >4=2) Το φορτίο που φθάνει στον
Διαβάστε περισσότεραΚεφ. 6: Επίλυση ελλειπτικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές προβλήματα οριακών τιμών
Κεφ 6: Επίλυση ελλειπτικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές προβλήματα οριακών τιμών 61 Εισαγωγή στη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών 6 Προβλήματα δύο οριακών τιμών ΣΔΕ 63 Εξισώσεις πεπερασμένων
Διαβάστε περισσότερα6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE
6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE Σκοπός του κεφαλαίου είναι να ορίσει τον αμφίπλευρο μετασχηματισμό aplace ή απλώς μετασχηματισμό aplace (Μ) και το μονόπλευρο μετασχηματισμό aplace (ΜΜ), να περιγράψει
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Εισαγωγική Ανάλυση και Γραμμικοποίηση. Μη-Γραμμικών Δυναμικών Εξισώσεων
Δυναμική Μηχανών I Εισαγωγική Ανάλυση και Γραμμικοποίηση 4 5 Μη-Γραμμικών Δυναμικών Εξισώσεων 25 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε
Διαβάστε περισσότεραΗ μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων για την εξίσωση της θερμότητας
Κεφάλαιο 6 Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων για την εξίσωση της θερμότητας Σε αυτό το κεφάλαιο θεωρούμε την εξίσωση της θερμότητας στη μια διάσταση ως προς τον χώρο και θα κατασκευάσουμε μεθόδους πεπερασμένων
Διαβάστε περισσότεραΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση
ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 02, 09 Φεβρουαρίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Μη γραμμικές εξισώσεις 2. Η μέθοδος της διχοτόμησης 1 Μη γραμμικές
Διαβάστε περισσότεραΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Κωνσταντίνος Ξ. Τσιόκας. Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ.
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ & ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΥ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΥΨΗΛΗΣ ΤΑΞΗΣ ODE ΜΕ ΥΨΗΛΗΣ ΤΑΞΗΣ
Διαβάστε περισσότεραg= x + y 1}. Να βρεθεί γραφικά και αναλυτικά η MR Π(Q) = R(Q) C(Q). Στο παραπλεύρως σχήμα
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 0 Μέρος Α. (.6 μονάδες) α). Οι μεταβλητές {,,} συνδέονται με τις εξισώσεις κανόνας αλυσωτής παραγώγισης. { = e +, = ln}. Να επαληθευτεί ο β). Οι μεταβλητές {, y} συνδέονται με μια εξίσωση. Για
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου
Διάλεξη 04: ΠαραδείγματαΑνάλυσης Πολυπλοκότητας/Ανάλυση Αναδρομικών Αλγόριθμων Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: -Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας : Μέθοδοι, παραδείγματα -Γραμμική
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4: Στοιχεία της εκδοχής hp της ΜΠΣ στις 2- διαστάσεις
Κεφάλαιο 4: Στοιχεία της εκδοχής hp της ΜΠΣ στις - διαστάσεις Στις -διαστάσεις, η περιγραφή της εκδοχής hp της ΜΠΣ είναι αρκετά πολύπλοκη. Στο παρόν κεφάλαιο θα δούμε κάποια στοιχεία της, ξεκινώντας με
Διαβάστε περισσότεραΠαρουσίαση 3ης Άσκησης
Παρουσίαση 3ης Άσκησης Παράλληλος προγραμματισμός για αρχιτεκτονικές κατανεμημένης μνήμης με MPI Συστήματα Παράλληλης Επεξεργασίας 9ο Εξάμηνο, ΣΗΜΜΥ Εργ. Υπολογιστικών Συστημάτων Σχολή ΗΜΜΥ, Ε.Μ.Π. Νοέμβριος
Διαβάστε περισσότεραΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΜΑΘΗΜΑ 1 ο 1 Εισαγωγή Έντυπα εγχειρίδια ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, ΑΚΡΙΒΗΣ Γ.Δ., ΔΟΥΓΑΛΗΣ Β.Α. Αριθμητική ανάλυση με εφαρμογές σε matlab & mathematica,
Διαβάστε περισσότεραΟ μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:
Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: α. την έννοια του μιγαδικού αριθμού και β. πότε δύο μιγαδικοί αριθμοί είναι ίσοι. Να μπορεί να βρίσκει: α. το άθροισμα,
Διαβάστε περισσότεραΣχεδίαση Ηλεκτρονικών Κυκλωμάτων RF
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Σχεδίαση Ηλεκτρονικών Κυκλωμάτων F Ενότητα: Φίλτρα και Επαναληπτικές Ασκήσεις Στυλιανός Μυτιληναίος Τμήμα Ηλεκτρονικής, Σχολή
Διαβάστε περισσότεραΓραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση
Διαβάστε περισσότερα