Κεφάλαιο 1 Έλεγχος της κινηματικής ευστάθειας και υπολογισμός των αντιδράσεων στήριξης

Transcript

1 Κεφάλαιο Έλεγχος της κινηματικής ευστάθειας και υπολογισμός των αντιδράσεων στήριξης Σύνοψη Οι ασκήσεις του κεφαλαίου αυτού αφορούν τον έλεγχο της κινηματικής ευστάθειας, δηλαδή της στερεότητας, γραμμικών φορέων στο επίπεδο και στο χώρο, καθώς επίσης και στις μεθόδους υπολογισμού των αντιδράσεων στήριξής τους. Οι ασκήσεις είναι ταξινομημένες σε πέντε ομάδες (Α, Β, Γ, Δ και Ε). Η ομάδα Α αναφέρεται στον εποπτικό έλεγχο της κινηματικής ευστάθειας, η ομάδα Β στον υπολογιστικό της έλεγχο, η ομάδα Γ στον έλεγχο με τη βοήθεια των μεθόδων της σταδιακής οικοδόμησης (σύνθεσης) και της σταδιακής αποδόμησης του φορέα, η ομάδα Δ στον έλεγχο με τη μέθοδο της εναλλαγής ράβδων, και, τέλος, η ομάδα Ε στον έλεγχο με τη βοήθεια του διαγράμματος πόλων στροφής. Επιπλέον, στην ομάδα Β παρουσιάζεται ο τρόπος υπολογισμού των αντιδράσεων στήριξης επίπεδων και χωρικών φορέων με την αρχή της αποδέσμευσης και τις συνθήκες ισορροπίας, ενώ στην ομάδα Ε παρουσιάζεται ο τρόπος σχεδίασης της δυνατής μετακίνησης μονοκινηματικών φορέων. Οι ασκήσεις αυτές στόχο έχουν (α) να αναπτυξουν το αισθητήριο του σπουδαστή όσον αφορά τη στερεότητα ενός δεδομένου φορέα, (β) να εμβαθύνουν την κατανόηση της συστηματικής εφαρμογής των συνθηκών ισορροπίας στον υπολογισμό αντιδράσεων στήριξης και (γ) να δημιουργήσουν τις βάσεις για την εφαρμογή της κινηματικής μεθόδου και της αρχής των δυνατών έργων. Προαπαιτούμενη γνώση Απαραίτητες είναι οι βασικές γνώσεις Στατικής, όπως αυτή διδάσκεται στο μέθημα της Τεχνικής Μηχανικής. Επίσης, απαραίτητη είναι η προηγούμενη μελέτη και κατανόηση της σχετικής με το παρόν κεφάλαιο θεωρίας, όπως αυτή παρουσιάζεται σε βιβλία Στατικής των Κατασκευών (βλ. π.χ. [] και []). -

2 . Εποπτικός έλεγχος κινηματικής ευστάθειας γραμμικών φορέων στο επίπεδο και στον χώρο (Ομάδα Α).. Επίπεδοι φορείς Για τις ακόλουθες περιπτώσεις να ελεγχθεί εποπτικά, αν οι δεσμικές ράβδοι έχουν τοποθετηθεί με τέτοιο τρόπο, ώστε οι επίπεδοι γραμμικοί φορείς να εδράζονται στερεά (κινηματικά ευσταθώς) στο επίπεδο Χ-Ζ. Επίσης, στις περιπτώσεις στερεάς στήριξης να διαπιστωθεί αν η στήριξη είναι ισοστατική ή υπερστατική. Α Σ Κ Η Σ Η α/α Y φ, w, u Στήριξη με δεσμικές ράβδους Επίπεδος φορέας στο επίπεδο ΧΖ Συνήθης συμβολισμός στήριξης Βαθμοί ελευθερίας του φορέα θεωρούμενου ως απολύτως στερεού u, w, φ Στήριξη χαλαρή ή στερεή; Η στήριξη του φορέα είναι ισοστατική ή υπερστατική; Π α ρ α τ η ρ ή σ ς ιε πρόβολος -, -, - στερεή ισοστατική -, -, - στερεή ισοστατική 3 -, -, - στερεή ισοστατική 4 αμφιέρειστη δοκός -, -, - στερεή ισοστατική 5 -, -, - στερεή ισοστατική 6 -, -, φ χαλαρή () 7 μονοπροέχουσα δοκός -, -, - στερεή ισοστατική -

3 Α φ Επίπεδος φορέας Σ, u Κ Y στο επίπεδο ΧΖ, w Η Σ Η α/α Στήριξη με δεσμικές ράβδους Συνήθης συμβολισμός στήριξης Βαθμοί ελευθερίας του φορέα θεωρούμενου ως απολύτως στερεού u, w, φ Στήριξη χαλαρή ή στερεή; Η στήριξη του φορέα είναι ισοστατική ή υπερστατική; Π α ρ α τ η ρ ή σ ε ι ς 8 αμφιπροέχουσα δοκός -, -, - στερεή ισοστατική 9 -, -, φ χαλαρή () -, -, - στερεή ισοστατική -, -, - στερεή ισοστατική Ω -, -, φ (3) χαλαρή 3 ημιπλαίσιο -, -, - ισοστατική στερεή 4 αμφιέρειστο δίστυλο πλαίσιο -, -, - στερεή ισοστατική -3

4 Α Σ Κ Η Σ Η α/α Y φ, w, u Στήριξη με δεσμικές ράβδους Επίπεδος φορέας στο επίπεδο ΧΖ Συνήθης συμβολισμός στήριξης Βαθμοί ελευθερίας του φορέα θεωρούμενου ως απολύτως στερεού u, w, φ Στήριξη χαλαρή ή στερεή; Η στήριξη του φορέα είναι ισοστατική ή υπερστατική; Π α ρ α τ η ρ ή σ ε ι ς -, -, - 5 ισοστατική αμφιέρειστο κλειστό πλαίσιο στερεή 6 μονόπακτη δοκός -, -, - στερεή μία φορά υπερστατική (4) 7 μονόπακτη δοκός -, -, - στερεή δύο φορές υπερστατική (5) 8 αμφίπακτη δοκός -, -, - στερεή τρεις φορές υπερστατική (6) 9 -, -, - στερεή μία φορά υπερστατική (7) u, -, - χαλαρή (8) -, -, - στερεή μία φορά υπερστατική (9) Ω -, -, φ () χαλαρή -4

5 Α Σ Κ Η Σ Η α/α Y φ, w, u Στήριξη με δεσμικές ράβδους Επίπεδος φορέας στο επίπεδο ΧΖ Συνήθης συμβολισμός στήριξης Βαθμοί ελευθερίας του φορέα θεωρούμενου ως απολύτως στερεού u, w, φ Στήριξη χαλαρή ή στερεή; Η στήριξη του φορέα είναι ισοστατική ή υπερστατική; Π α ρ α τ η ρ ή σ ε ι ς 3 Ω -, -, φ () χαλαρή 4 -, -, - στερεή μία φορά υπερστατική Παρατηρήσεις:. Οι τρεις δρομικές δεσμικές ράβδοι συντρέχουν (προεκτεινόμενες νοητά) σε ένα σημείο (= αριστερό άκρο του φορέα) και, συνεπώς, ο φορέας είναι δυνατόν να εμφανίσει απειροστή στροφή ως προς το σημείο αυτό.. Για την παγίωση ενός σημείου στο επίπεδο αρκούν δύο δρομικές δεσμικές ράβδοι. Η τρίτη ράβδος στο ίδιο σημείο δεν αποκλείει κανέναν επιπλέον βαθμό ελευθερίας και, συνεπώς, ο φορέας είναι δυνατόν να εμφανίσει πεπερασμένη στροφή ως προς το σημείο αυτό. 3. Οι τρεις δρομικές δεσμικές ράβδοι συντρέχουν (προεκτεινόμενες νοητά) στο σημείο Ω και, συνεπώς, ο φορέας είναι δυνατόν να εμφανίσει απειροστή στροφή ως προς το σημείο αυτό. 4. Ο φορέας στηρίζεται ήδη στερεά λόγω των τριών δεσμικών ράβδων στο αριστερό του άκρο (βλ. φορέα Α). Η τέταρτη δεσμική ράβδος στο δεξιό άκρο του καθιστά τη στήριξη κινηματικά μία φορά υπερορισμένη και στατικά μία φορά αόριστη (απλά υπερστατική). 5. Η προσθήκη έναντι του φορέα της προηγούμενης περίπτωσης Α6, μίας ακόμη δρομικής δεσμικής ράβδου στο δεξιό άκρο, καθιστά τη στήριξη του φορέα δύο φορές κινηματικά υπερορισμένη και στατικά δύο φορές αόριστη (διπλά υπερστατική). 6. Η προσθήκη έναντι του φορέα της προηγούμενης περίπτωσης Α7 μίας στροφικής δεσμικής ράβδου στο δεξιό άκρο καθιστά τη στήριξη του φορέα τρεις φορές κινηματικά υπερορισμένη και στατικά τρεις φορές αόριστη (τριπλά υπερστατική). 7. Η προσθήκη έναντι του φορέα της περίπτωσης Α μίας ακόμη οριζόντιας δρομικής δεσμικής ράβδου στο δεξιό άκρο καθιστά τη στήριξη του φορέα κινηματικά μία φορά υπερορισμένη και στατικά μία φορά αόριστη (απλά υπερστατική). 8. Οι τρεις δρομικές δεσμικές ράβδοι είναι παράλληλες μεταξύ τους και, συνεπώς, ο φορέας είναι δυνατόν να εμφανίσει πεπερασμένες οριζόντιες μετατοπίσεις. -5

6 9. Η προσθήκη έναντι του φορέα της προηγούμενης περίπτωσης Α μίας οριζόντιας δρομικής δεσμικής ράβδου στο αριστερό άκρο καθιστά τη στήριξη του φορέα στερεή και, μάλιστα, κινηματικά μία φορά υπερορισμένη και στατικά μία φορά αόριστη (απλά υπερστατική).. Ισχύει ό,τι και στην περίπτωση Α. Οι άξονες των τριών δρομικών δεσμικών ράβδων τέμνονται στο σημείο Ω και, συνεπώς, ο φορέας είναι δυνατόν να εμφανίσει απειροστή στροφή ως προς το σημείο αυτό.. Οι περισσότερες από την προηγούμενη περίπτωση Α δρομικές δεσμικές ράβδοι δεν δεσμεύουν κανέναν επιπλέον βαθμό ελευθερίας, αφού όλες τους διέρχονται προεκτεινόμενες νοητά από το ίδιο σημείο Ω. Η στήριξη εξακολουθεί να είναι χαλαρή. Βιντεοπαρουσιάσεις των ασκήσεων Α6, Α και Α στο YouTube: Άσκηση Α6 Άσκηση Α Άσκηση Α -6

7 .. Χωρικοί φορείς..- Στήριξη σωμάτων Για τις ακόλουθες περιπτώσεις (Ασκήσεις Α5 έως Α9) να ελεγχθεί εποπτικά αν οι έξι δεσμικές ράβδοι στήριξης εξασφαλίζουν την κινηματικά ευσταθή (στερεή) στήριξη του απεικονιζόμενου χωρικού φορέα θεωρούμενου ως στερεό σώμα. Αν όχι, να προταθούν αλλαγές θέσης ή είδους (δρομική στροφική) των δεσμικών ράβδων, έτσι ώστε η στήριξη να καταστεί στερεή. Y Άσκηση Α5 Άσκηση Α6 Άσκηση Α7 Άσκηση Α8 Άσκηση Α9-7

8 ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση Α5 Y Η στήριξη είναι χαλαρή: Υπάρχουν δύο συνευθειακές δρομικές δεσμικές ράβδοι (βλ. παράγρ..3(6)) και, επίσης, περισσότερες των τριών δεσμικές ράβδοι που διέρχονται από το ίδιο σημείο (βλ. παράγρ..3()). Δεν δεσμεύεται η στροφή περί τον άξονα Υ. Αλλαγή θέσης συνδέσμου Η στήριξη εξακολουθεί να είναι χαλαρή: Μία στροφική δεσμική ράβδος είναι κάθετη στο επίπεδο που σχηματίζουν δύο παράλληλες μεταξύ τους δρομικές δεσμικές ράβδοι (βλ. παράγρ..3()). Η στροφή περί τον άξονα Υ παραμένει ελεύθερη. Αλλαγή θέσης συνδέσμου Στερεή στήριξη. Βιντεοπαρουσίαση της άσκησης στο YouTube: Σημείωση: Στα παραπάνω και στα ακόλουθα σχήματα, που αφορούν τη στήριξη ενός σώματος στον τρισδιάστατο χώρο, οι δρομικές δεσμικές ράβδοι συμβολίζονται με μικρές αμφιαρθρωτές ράβδους μπλε χρώματος ενώ οι στροφικές δεσμικές ράβδοι με διακεκομμένες μικρές γραμμές κόκκινου χρώματος που καταλήγουν σε μικρό σταυρό. -8

9 Άσκηση Α6 Y Η στήριξη είναι χαλαρή: Περισσότερες από τρεις δρομικές δεσμικές ράβδοι βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο (βλ. παράγρ..3(4)). Δεν δεσμεύεται η στροφή περί τον άξονα Χ. Αλλαγή θέσης συνδέσμου Στερεή στήριξη. Αλλαγή θέσης συνδέσμου Στερεή στήριξη. -9

10 Άσκηση Α7 Y Η στήριξη είναι χαλαρή: Μία στροφική δεσμική ράβδος είναι κάθετη στο επίπεδο που σχηματίζουν δύο παράλληλες μεταξύ τους δρομικές δεσμικές ράβδοι (βλ. παράγρ..3()). Δεν δεσμεύεται η στροφή περί τον άξονα Ζ. Αλλαγή θέσης συνδέσμου Η στήριξη εξακολουθεί να είναι χαλαρή. Η στροφή περί τον άξονα Ζ παραμένει ελεύθερη. Αλλαγή θέσης συνδέσμου Στερεή στήριξη. Αλλαγή θέσης και είδους συνδέσμου Στερεή στήριξη. -

11 Άσκηση Α8 Y Η στήριξη είναι χαλαρή: Περισσότερες από τρεις δρομικές δεσμικές ράβδοι είναι παράλληλες μεταξύ τους (βλ. παράγρ..3(3)). Δεν δεσμεύεται η στροφή περί τον άξονα Ζ. Αλλαγή θέσης συνδέσμου Στερεή στήριξη. Αλλαγή θέσης συνδέσμου Στερεή στήριξη. -

12 Άσκηση Α9 Y Η στήριξη είναι χαλαρή: Υπάρχουν περισσότερες από τρεις στροφικές δεσμικές ράβδοι (βλ. παράγρ..3(7)). Δεν δεσμεύεται η μετατόπιση κάθετα στους άξονες των δύο δρομικών δεσμικών ράβδων. Αλλαγή θέσης συνδέσμου Αλλαγή θέσης και είδους συνδέσμου Y Στερεή στήριξη. -

13 ..- Στήριξη απλών δοκών στον χώρο Για τις ακόλουθες επτά περιπτώσεις (Ασκήσεις Α3 έως Α36) να ελεγχθεί εποπτικά αν οι έξι δεσμικές ράβδοι (που εδώ συμβολίζονται με απλουστευμένο τρόπο) έχουν τοποθετηθεί έτσι ώστε να εξασφαλίζεται η κινηματικά ευσταθής (στερεή) στήριξη του γραμμικού φορέα στον χώρο. Α Σ Κ Η Σ Η α/α Y Χωρικός φορέας με απλουστευμένο συμβολισμό των δεσμικών ράβδων στήριξης Η στήριξη του φορέα είναι Παρατηρήσεις 3 (πρόβολος στον χώρο) Στερεή () 3 4 Στερεή () Χαλαρή: εν δεσμεύεται η στροφή περί τον άξονα Χ (3) 33 4 Στερεή (4) Στερεή (5) Χαλαρή: εν δεσμεύεται η στροφή περί τον άξονα (6) Χαλαρή: εν δεσμεύεται η στροφή περί τον άξονα Y (7) -3

14 Παρατηρήσεις:. Οι τρεις μη συνευθειακές δρομικές και οι τρεις μη συνευθειακές στροφικές δεσμικές ράβδοι στο αριστερό άκρο της δοκού δεσμεύουν τους τρεις μεταφορικούς και τους τρεις στροφικούς βαθμούς ελευθερίας αντίστοιχα, τους οποίους διαθέτει η δοκός ως απολύτως στερεό σώμα στο χώρο. Η στήριξη αυτή αντιστοιχεί στην πλήρη πάκτωση του αριστερού άκρου της δοκού, η οποία έτσι καθίσταται πρόβολος στον χώρο.. Οι τρεις δρομικές δεσμικές ράβδοι, και 3 δεσμεύουν τους τρεις μεταφορικούς βαθμούς ελευθερίας της δοκού, δηλαδή τις παράλληλες μεταθέσεις κατά Χ, Υ και Ζ. Η στροφική δεσμική ράβδος 4 δεσμεύει τη στροφή περί τον άξονα Χ. Η δρομική δεσμική ράβδος 5 δεσμεύει (δεδομένης της παγίωσης του αριστερού άκρου) τη στροφή της δοκού περί τον άξονα Υ. Τέλος, η δρομική δεσμική ράβδος 6 δεσμεύει τη στροφή της δοκού περί τον άξονα Ζ, δεδομένης της παγίωσης του αριστερού άκρου. 3. Εμπίπτει στις περισσότερες των περιπτώσεων της παραγράφου.3 (βλ. π.χ..3() και.3(6)). Η δεσμική ράβδος 6 είναι περιττή, αφού η δεσμική ράβδος δεσμεύει τη μετατόπιση κατά Χ ενώ δεν δεσμεύεται η στροφή περί τον άξονα Χ. 4. Ισχύει ό,τι και για την άσκηση Α3. Το γεγονός ότι ο φορέας δεν είναι μία απλή ευθύγραμμη δοκός δεν μεταβάλλει τη στερεότητα της στήριξής του. 5. Οι τρεις δρομικές δεσμικές ράβδοι, και 3 δεσμεύουν τις παράλληλες μεταθέσεις κατά Χ, Υ και Ζ. Με δεδομένη την παγίωση του αριστερού άκρου, η δρομική δεσμική ράβδος 4 δεσμεύει τη στροφή του φορέα περί τον άξονα Υ, η δρομική δεσμική ράβδος 5 δεσμεύει τη στροφή του φορέα περί τον άξονα Χ και η δρομική δεσμική ράβδος 6 δεσμεύει τη στροφή του φορέα περί τον άξονα Ζ. 6. Η στροφική δεσμική ράβδος 6 είναι κάθετη στο επίπεδο που σχηματίζεται από τις δύο παράλληλες δρομικές δεσμικές ράβδους 4 και 5 (βλ. παράγρ..3()). Η στροφή περί τον άξονα Ζ παραμένει αδέσμευτη. 7. Τέσσερεις ή περισσότερες δρομικές δεσμικές ράβδοι βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο (βλ. παράγρ..3(4)). Η στροφή περί τον άξονα Υ παραμένει αδέσμευτη. -4

15 ..-3 Στήριξη πλαισίων στον χώρο Για τις ακόλουθες τρεις περιπτώσεις πλαισίων (Ασκήσεις Α37, Α38, Α39), που είναι παράλληλα τοποθετημένα προς το επίπεδο Χ-Ζ και εδράζονται στο στερεό υπόβαθρο μέσω των απεικονιζόμενων εφεδράνων, ζητούνται: () Να αντικατασταθούν τα εφέδρανα με τις αντίστοιχες δεσμικές ράβδους. () Να ελεγχθεί η κινηματική τους ευστάθεια στον χώρο. (3) Να ευρεθεί αν η στήριξή τους είναι χαλαρή ή στερεή εντός του επιπέδου Χ-Ζ και, στη δεύτερη περίπτωση, αν είναι ισοστατική ή υπερστατική. P P P Y Άσκηση 37 Y P P P Y Άσκηση 38 Y P P P Y Άσκηση 39 Y -5

16 ΛΥΣΕΙΣ Απλοποιημένη συμβολική απεικόνιση στηρίξεων στον χώρο Απλοποιημένη συμβολική απεικόνιση στηρίξεων στο επίπεδο Χ - Ζ P P P P P Y 37 Y Στερεή ισοστατική στήριξη (έξι άγνωστες αντιδράσεις στηρίξεων) Στερεή ισοστατική στήριξη (τρεις άγνωστες αντιδράσεις στηρίξεων) P P P P P Y 38 Y Στερεή, μια φορά υπερστατική στήριξη (επτά άγνωστες αντιδράσεις στηρίξεων) Στερεή ισοστατική στήριξη (τρεις άγνωστες αντιδράσεις στηρίξεων) P P P P P Y 39 Y Στερεή, δυο φορές υπερστατική στήριξη (οκτώ άγνωστες αντιδράσεις στηρίξεων) Στερεή, μια φορά υπερστατική στήριξη (τέσσερεις άγνωστες αντιδράσεις στηρίξεων) -6

17 Να ελεγχθεί εποπτικά η κινηματική ευστάθεια των ακόλουθων δύο χωροπλαισίων: Y Άσκηση 4 Y Άσκηση 4 ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση Α4 Θεωρώντας το δεδομένο χωροπλαίσιο ως απολύτως στερεό φορέα διαπιστώνουμε: ότι η στερεή στήριξη απαγορεύει τις μετατοπίσεις του κατά Χ, Υ και Ζ, ότι, επιπλέον, η απλή (κατά Χ) κύλιση απαγορεύει τη στροφή του ως προς τους άξονες Υ και Ζ, και ότι, επιπλέον, η διπλή (κατά Χ και Υ) κύλιση 3 απαγορεύει τη στροφή του ως προς τον άξονα Χ. Συνεπώς, το δεδομένο χωροπλαίσιο εδράζεται στερεά. Άσκηση Α4 Θεωρώντας το δεδομένο χωροπλαίσιο ως απολύτως στερεό φορέα διαπιστώνουμε: ότι η απλή (κατά Υ) κύλιση απαγορεύει τις μετατοπίσεις του κατά Χ και Ζ, ότι, επιπλέον, η απλή (κατά Χ) κύλιση απαγορεύει τη μετατόπισή του κατά Υ και τη στροφή του ως προς τον άξονα Υ, και ότι, επιπλέον, η απλή (κατά Υ) κύλιση 3 απαγορεύει τη στροφή του ως προς τον άξονα Χ καθώς και σε συνδυασμό με την κύλιση τη στροφή του ως προς τον κατακόρυφο άξονα Ζ. Συνεπώς, το δεδομένο χωροπλαίσιο εδράζεται στερεά. -7

18 . Υπολογιστικός έλεγχος κινηματικής ευστάθειας και υπολογισμός των αντιδράσεων στήριξης γραμμικών φορέων στο επίπεδο και στο χώρο με την αρχή της αποδέσμευσης και τις συνθήκες ισορροπίας (Ομάδα Β).. Επίπεδοι φορείς Να υπολογιστούν οι αντιδράσεις στήριξης των παρακάτω ισοστατικά εδραζόμενων επίπεδων γραμμικών φορέων, με τη βοήθεια της αρχής της αποδέσμευσης του Lagrange και των συνθηκών ισορροπίας. Η στερεότητα της στήριξης των δεδομένων φορέων να επιβεβαιωθεί με υπολογισμό της ορίζουσας det του μητρώου Α των συντελεστών των αγνώστων αντιδράσεων στις συνθήκες ισορροπίας. B q=kn/m B P =kn.5 P =kn B3 q=kn/m B4 P =3kN P =kn q=kn/m M =3kNm L q=kn/m B5 3. B m =knm/m L P=kN. B

19 ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση Β ιάγραμμα ελευθέρου σώματος q=kn/m fl kn/m 3. q=kn/m 3. M ή απλούστερα kn/m 3. fl (/) 3m kn/m=5kn M.. 3. Εξισώσεις ισορροπίας: F F kn m 3m 3 5kN 3 3 M kn m 3m 3m M 5 M M 5kNm Σημ.: Το αρνητικό πρόσημο της ροπής πάκτωσης Μ, η οποία εισήχθη στους υπολογισμούς ως δεξιόστροφη, σημαίνει ότι η πραγματική της φορά είναι αριστερόστροφη. Μητρωική διατύπωση των εξισώσεων ισορροπίας: 3 M 5 5 Έλεγχος : det φορέας στερεός -9

20 Άσκηση Β P =kn P =kn fl M ιάγραμμα ελευθέρου σώματος P =kn P =kn Εξισώσεις ισορροπίας: F P P kn F P P kn 3 M 3m P M 3 M M 3kNm Σημ.: Το αρνητικό πρόσημο της ροπής πάκτωσης Μ, η οποία εισήχθη στους υπολογισμούς ως δεξιόστροφη, σημαίνει ότι η πραγματική της φορά είναι αριστερόστροφη. Μητρωική διατύπωση των εξισώσεων ισορροπίας: 3 M 3 P P P Έλεγχος : det φορέας στερεός Άσκηση Β3 q=kn/m fl ιάγραμμα ελευθέρου σώματος q=kn/m Εξισώσεις ισορροπίας: F M 3m.5m kn m 3 M 3m.5m kn m Έλεγχος : 3 3 F kN 7.5kN.5 3m m.5 m.5m kn m

21 Σημ.: Το αρνητικό πρόσημο της αντίδρασης Α Ζ, η οποία εισήχθη στους υπολογισμούς με φορά αντίθετη του άξονα Ζ, δηλαδή προς τα επάνω, σημαίνει ότι η πραγματική της φορά είναι κατά την έννοια του Ζ, δηλαδή προς τα κάτω. Μητρωική διατύπωση των εξισώσεων ισορροπίας: Έλεγχος : det φορέας στερεός Άσκηση Β4 P =3kN P =kn. fl ιάγραμμα ελευθέρου σώματος 3kN kn Εξισώσεις ισορροπίας: M 5m 4 m 3kN 3m kn 3 M4 5m 3m 3kN m kn Έλεγχος : F 5 5 F kN 4kN Μητρωική διατύπωση των εξισώσεων ισορροπίας: Έλεγχος : det φορέας στερεός -

22 Άσκηση Β5 ιάγραμμα ελευθέρου σώματος kn/m 3kNm kn/m 3kNm 3. fl θ 3 cosθ=.5547 sinθ= kNm fl 3kNm P 3 P 3 P..5 fl L Συνισταμένη φορτίου: P Συνιστώσες : P kn m L kn m 3.66m F P P 3kN M 4m m kn.5m 3kN 3kNm 3 3 Έλεγχος M 3 F P P sinθ 3kN 68 4m 4m m kn 3m.5m 3kN 3kNm 3m P 3 P cosθ kn 7kN kN 3kN Η μητρωική διατύπωση των εξισώσεων ισορροπίας και ο έλεγχος της ορίζουσας detα επαφίεται στον αναγνώστη ως μικρή άσκηση. -

23 Άσκηση Β6 ιάγραμμα ελευθέρου σώματος kn/m 3. fl P = 3m kn/m=3kn Εξισώσεις ισορροπίας: M3 3m 4m 3kN 3 M 4m 3 3m 3 Έλεγχος : F P F P 3kN kN 4kN Σημ.: Εφόσον μας ενδιαφέρουν μόνο οι αντιδράσεις στήριξης, το σημείο εφαρμογής της συνισταμένης Ρ Ζ μπορεί να είναι οποιοδήποτε σημείο της δοκού -. Μητρωική διατύπωση των εξισώσεων ισορροπίας: 3 3 P Έλεγχος : det φορέας στερεός -3

24 Άσκηση Β7 m L=kNm/m 3 ιάγραμμα ελευθέρου σώματος 4 P=kN. 6. fl M -. kn. M Ροπή λόγω μεταφοράς φορτίουρ : Συνισταμένη φορτίου ροπών : Εξισώσεις ισορροπίας: F M 4m 4m kn 5 3 M 4m 5 Έλεγχος : F 4 5 M M M m M m P m kn L 4m knm m 4m M 6 M Μητρωική διατύπωση των εξισώσεων ισορροπίας: 96 knm 4kNm 5 4kN 4 4kN Έλεγχος : det φορέας στερεός -4

25 .. Χωρικοί φορείς Να υπολογιστούν οι αντιδράσεις στήριξης των παρακάτω ισοστατικά εδραζόμενων χωρικών γραμμικών φορέων, με τη βοήθεια της αρχής της αποδέσμευσης του Lagrange και των συνθηκών ισορροπίας. Y 3. P =5kN Β8 P =5kN Κάτοψη Y 3.. P 4. -5

26 4. 3 Y 4. z x y y z x P =4kN x y z Β9 6 P=4kN 3 Κάτοψη 4. Y 4. x y y x 4 P =4kN 6 5 x y

27 ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση Β8 Y. P =5kN. 4. fl P =5kN 3 Y Y Εξισώσεις ισορροπίας: M 4m 3 F F Y 4 M m Y 5 M 4m m Y Y 3 Y Y 3 5kN 4 5kN 6 F kN 3 Y -7

28 Άσκηση Β Y P =4kN 8. fl P =4kN 4.. Y4 4 Y 8.. Εξισώσεις ισορροπίας: M 8m 8m 3 3 F F Y 3 4 M 8m m Y 4 5 M 8m 4m m Y Y4 5kN Y P Y F kN 3 4 P Y kN -8

29 .3 Έλεγχος της κινηματικής ευστάθειας και διαπίστωση του βαθμού υπερστατικότητας σύνθετων γραμμικών φορέων με τις μεθόδους της σταδιακής οικoδόμησης και της σταδιακής αποδόμησης (Ομάδα Γ).3. Επίπεδοι φορείς Να προσδιοριστεί ο βαθμός στερεότητας (χαλαρότητας, υπερστατικότητας) των ακόλουθων επίπεδων γραμμικών φορέων Γ έως Γ6, με τις μεθόδους της σταδιακής οικοδόμησης ή/και της σταδιακής αποδόμησης. Γ Γ Γ3 Γ4 Γ5 Γ6-9

30 Γ7 Γ8 Γ9 Γ Γ Γ Γ3-3

31 Γ4 Γ5 Γ6 Ο δεδομένος φορέας αποτελεί απλοποιημένο προσομοίωμα ενός δομικού υποσυστήματος της απεικονιζόμενης γέφυρας: -3

32 Γ7 Γ8 Γ9 Ο δεδομένος φορέας αποτελεί απλοποιημένο προσομοίωμα ενός τμήματος της απεικονιζόμενης γέφυρας: -3

33 Γ Γ Γ Γ3-33

34 Γ4 Ο δεδομένος φορέας αποτελεί απλοποιημένο προσομοίωμα για την απεικονιζόμενη γέφυρα: ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΑ Α: (δικτύωμα) (με αρθρώσεις σε όλους τους κόμβους) ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΑ Β: Γ5 (με συνεχές άνω και κάτω πέλμα) Οι δεδομένοι φορείς αποτελούν εναλλακτικά απλοποιημένα προσομοιώματα για την απεικονιζόμενη γέφυρα: -34

35 Γ6 Ο δεδομένος φορέας αποτελεί απλοποιημένο επίπεδο προσομοίωμα της απεικονιζόμενης γέφυρας: -35

36 ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση Γ Ο δεδομένος φορέας προκύπτει με προσάρτηση της στερεής ισοστατικής αμφιέρειστης δοκού 3''-4 στον στερεό ισοστατικό φορέα --3' (βλ. Σχ..-(Α)) και, επομένως, είναι στερεός και ισοστατικός (Ν=). ισοστατικός (βλ. Σχ..-()) 3'' 4 3' ισοστατικός (βλ. Σχ..-(Α)) 3 4 N= (ισοστατικός) Άσκηση Γ Ο δεδομένος φορέας προκύπτει με προσάρτηση του χαλαρού σχηματισμού 3'' (τρεις αρθρώσεις σε μία ευθεία) στον δύο φορές υπερστατικό φορέα --3' (πρόβολος με επιπλέον σταθερή στήριξη στο σημείο ), και, επομένως, χαρακτηρίζεται συνολικά ως χαλαρός, αφού ως δομικός φορέας είναι άχρηστος. 3'' 3' χαλαρός (Ν= ) υπερστατικός (Ν=) στερεό τμήμα χαλαρό τμήμα -36

37 Άσκηση Γ3 Ο δεδομένος φορέας προκύπτει με διαδοχική προσάρτηση στη στερεή ισοστατική αμφιέρειστη δοκό ''-3-4-5' των τεσσάρων αμφιέρειστων ισοστατικών τμημάτων -'' (Βήμα Α), 5''-6-7' (Βήμα Β), 7''-8-9' (Βήμα Γ) και 9''- (Βήμα Δ). Κατά συνέπεια, ο δεδομένος φορέας είναι στερεός και ισοστατικός (Ν=). ισοστατικός 9'' ισοστατικός 7'' 8 9' ισοστατικός ' ισοστατικός 6 5'' 7' '' 3 4 5' Βήμα Α: ισοστατικός ισοστατικός 7'' 8 ισοστατικός 9'' 9' ισοστατικός 5'' 6 7' 3 4 5' Βήμα B: ισοστατικός ισοστατικός 7'' 8 ισοστατικός 9'' 9' ' Βήμα Γ: ισοστατικός ισοστατικός 9'' ' Βήμα : ισοστατικός N= (ισοστατικός)

38 Άσκηση Γ4 Ο ελεύθερος (αποσπασμένος από τις στηρίξεις του) φορέας είναι ένας εσωτερικά ισοστατικός δίσκος, αφού συντίθεται από τον αρχικό τριγωνικό ραβδοδίσκο --3'-4' με μονοπροέχουσα τη ράβδο --3', στον οποίο προσαρτάται το τριαρθρωτό τμήμα 3''-5-6-4'' με μονοπροέχουσα τη ράβδο 3''-5-6. Ο ελεύθερος αυτός φορέας εδράζεται ισοστατικά στα σημεία και 6 και, επομένως, ο δεδομένος φορέας είναι στερεός και ισοστατικός (Ν=). αρχικός δίσκος 3' 3'' 4' 4'' 5 6 τριαρθρωτό τμήμα ισοστατικός δίσκος ισοστατική έδραση N= (ισοστατικός) 4 Άσκηση Γ5 Ο ελεύθερος (αποσπασμένος από τις στηρίξεις του) φορέας είναι ένας εσωτερικά ισοστατικός δίσκος, αφού συντίθεται από έναν στερεό αρχικό δίσκο στον οποίο προσαρτώνται διαδοχικά δύο τριαρθρωτά τμήματα. Ο ελεύθερος αυτός φορέας εδράζεται ισοστατικά και, επομένως, ο δεδομένος φορέας είναι στερεός και ισοστατικός (Ν=). αρχικός δίσκος N= (ισοστατικός) τριαρθρωτό τμήμα fl ισοστατική έδραση fl τριαρθρωτό τμήμα ισοστατικός δίσκος -38

39 Άσκηση Γ6 Ο δεδομένος φορέας προκύπτει με διαδοχική προσάρτηση σε έναν στερεό δίσκο (αμφιέρειστη ισοστατική δοκό) έξι τριαρθρωτών τμημάτων και δύο αμφιέρειστων δοκών, όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα. Κατά συνέπεια, ο δεδομένος φορέας είναι στερεός και ισοστατικός (Ν=). τριαρθρωτό τμήμα αρχικός ισοστατικός δίσκος (Ν =) τριαρθρωτό τμήμα (Ν =) Προσάρτηση δυο τριαρθρωτών τμημάτων τριαρθρωτό τμήμα ιατηρείται η ισοστατικότητα τριαρθρωτό τμήμα (Ν =) 3 τριαρθρωτό τμήμα Προσάρτηση δυο τριαρθρωτών τμημάτων (Ν =) 4 ιατηρείται η ισοστατικότητα τριαρθρωτό τμήμα ισοστατικό τμήμα Προσάρτηση δυο τριαρθρωτών τμημάτων (Ν =) 5 ιατηρείται η ισοστατικότητα ισοστατικό τμήμα Προσάρτηση δυο ισοστατικών τμημάτων N= (ισοστατικός) ιατηρείται η ισοστατικότητα Βιντεοπαρουσίαση της άσκησης αυτής στο YouTube:

40 Άσκηση Γ7 Ο δεδομένος φορέας προκύπτει με διαδοχική προσάρτηση σε έναν στερεό δίσκο (κατακόρυφος πρόβολος) τριών τριαρθρωτών τμημάτων, όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα. Κατά συνέπεια, ο δεδομένος φορέας είναι στερεός και ισοστατικός (Ν=). αρχικός ισοστατικός φορέας (Ν =) (βλ. Σχ..-()) ª (Ν =) Προσάρτηση τριαρθρωτού τμήματος δεξιά ιατηρείται η ισοστατικότητα (Ν =) 3 ª Προσάρτηση τριαρθρωτού τμήματος αριστερά ιατηρείται η ισοστατικότητα ª Προσάρτηση τριαρθρωτού τμήματος επάνω ιατηρείται η ισοστατικότητα N= (ισοστατικός) -4

41 Άσκηση Γ8 Ο δεδομένος φορέας συντίθεται από έναν εσωτερικά μία φορά υπερστατικό και, άρα, στερεό δίσκο που στηρίζεται στο στερεό υπόβαθρο μέσω τριών ράβδων. Οι άξονες των τριών αυτών ράβδων τέμνονται στο ίδιο σημείο και, συνεπώς, η στήριξη είναι χαλαρή. Επομένως, ο δεδομένος φορέας χαρακτηρίζεται συνολικά ως χαλαρός, αφού ως δομικός φορέας είναι άχρηστος. Αρχικός εσωτερικός στερεός δίσκος (εσωτερικά μια φορά υπερστατικός, διότι έχει μια άρθρωση λιγότερη έναντι των εσωτερικά ισοστατικών τριαρθρωτών σχηματισμών) Ω δίσκος ª Συνεπώς ο φορέας είναι συνολικά χαλαρός. Στήριξη με τρεις ράβδους με άξονες που τέμνονται στο ίδιο σημείο Χαλαρή στήριξη (Ν= ) (σύγκρ. Άσκηση Α) Άσκηση Γ9 ª δίσκος Στερεή στήριξη (Ν=) Ο φορέας αυτός προέκυψε από τον φορέα της προηγούμενης Άσκησης Γ8 αλλάζοντας την κλίση μίας από τις τρεις ράβδους στήριξης, έτσι ώστε οι άξονες τους να μην τέμνονται στο ίδιο σημείο. Με τον τρόπο αυτόν η στήριξη του φορέα καθίσταται στερεή. Επομένως, ο δεδομένος φορέας είναι στερεός και εσωτερικά μία φορά υπερστατικός (Ν=). -4

42 Άσκηση Γ Ο δεδομένος φορέας συντίθεται από έναν αρχικό ισοστατικό και άρα στερεό φορέα -'-3 (βλ. Σχ..-(Β)), στον οποίο προσαρτάται ένα «γενικευμένο» τριαρθρωτό τμήμα αποτελούμενο από τη «γενικευμένη» ράβδο ''-7, που συνιστά έναν εσωτερικά ισοστατικό δίσκο με αμφιπροέχουσα και τεθλασμένη τη δοκό , και την κανονική ράβδο 7-3. Επομένως, ο δεδομένος φορέας είναι στερεός και ισοστατικός (Ν=). ' 3 αρχικός φορέας -'-3 ισοστατικός (Ν =) (βλ. Σχ..-(Β)) ισοστατικός δίσκος '' Τριαρθρωτό τμήμα ''-4-5 του φορέα που αποτελεί εσωτερικά ισοστατικό δίσκο (Ν =) με προεκτάσεις 4-6 και 5-7 της ράβδου 4-5. δ Ο τριαρθρωτός αυτός δίσκος μπορεί να νοηθεί ως "γενικευμένη" ράβδος ''-7 που μαζί με τη ράβδο 7-3 προσαρτάται στον αρχικό φορέα -'-3. 7 '' fl 3 Ν= (ισοστατικός) δίσκος Α ("γενικευμένη" ράβδος) '' ª 7 ' Άσκηση Γ Ο φορέας αποτελείται (α) από έναν ορθογωνικό σχηματισμό αμφιαρθρωτά συνδεδεμένων δοκών, ο οποίος εδράζεται μεν ισοστατικά, αλλά είναι εσωτερικά μία φορά χαλαρός (βλ. Σχ..-) και (β) από το αμφιαρθρωτό στοιχείο -. Λόγω του ότι το προστεθέν στοιχείο - συνδέει δύο σημεία του φορέα, των οποίων η απόσταση δεν μεταβάλλεται κατά τη δυνατή μετακίνηση του χαλαρού αρχικού σχηματισμού, ο δεδομένος φορέας είναι χαλαρός (Ν= ). -4

43 αρχικός φορέας χαλαρός (Ν = ) (βλ. Σχ..-) Ν= (χαλαρός) Βιντεοπαρουσίαση της άσκησης αυτής στο YouTube: Άσκηση Γ Τα τμήματα 3'---5 και 3''-4-8 αποτελούν ισοστατικούς δίσκους (δίσκος Α και Β): δίσκος Α δίσκος B 8 3'' 3' Οι δίσκοι Α και Β συνδέονται μέσω μιας αξονικής άρθρωσης στο σημείο 3 και εδράζονται σταθερά στα σημεία και 4: δίσκος Α δίσκος B (Ν =) Ο παραπάνω σχηματισμός είναι στερεός και ισοστατικός (βλ. Σχ..-(Β)). Σ αυτόν προστίθεται το ισοστατικό τμήμα : -43

44 7 (Ν =) 8 (βλ. Σχ..-(Β)) 7 Ν= 8 Συνεπώς, ο σύνθετος φορέας είναι στερεός και ισοστατικός (Ν=). Άσκηση Γ3 Ο δεδομένος φορέας συντίθεται από δυο επάλληλα τριαρθρωτά τμήματα. Αρχικός φορέας: Τριαρθρωτό πλαίσιο με προεκτάσεις (προβόλους) fl Ν =: Στον παραπάνω αρχικό φορέα προσαρτάται ένα τριαρθρωτό πλαίσιο fl Ν =: fl Ν= Συνεπώς ο δεδομένος φορέας είναι στερεός και ισοστατικός (Ν=). -44

45 Άσκηση Γ4 Ο δεδομένος φορέας αποτελεί τριαρθρωτό πλαίσιο που σχηματίζεται από δυο εσωτερικά ισοστατικούς δίσκους Α και Β. Επομένως, είναι στερεός και ισοστατικός (Ν=). ίσκος Α ισοστατικός (Ν Α=) ίσκος Β ισοστατικός (Ν Β=) Ν= Άσκηση Γ5 Ο δεδομένος φορέας αποτελείται από ένα κεντρικό τριαρθρωτό πλαίσιο, που συνίσταται από τους δυο επιμέρους εσωτερικά ισοστατικούς δίσκους Α και Β, σε κάθε πλευρά του οποίου προσαρτάται ένα τριαρθρωτό τμήμα αποτελούμενο από μία αμφιαρθρωτή δοκό (Γ, Γ') και έναν εσωτερικά ισοστατικό δίσκο (Δ, Δ'). ίσκος Α ίσκος B ισοστατικός (Ν Α=) ισοστατικός (Ν B=) fl κεντρικό τριαρθρωτό πλαίσιο ισοστατικό (Ν =) ίσκος ισοστατικός (Ν =) ίσκος Γ ισοστατικός (Ν =) Γ ίσκος Γ' ισοστατικός (Ν =) Γ' ίσκος ' ισοστατικός (Ν =) ' Ν= Συνεπώς, ο δεδομένος σύνθετος φορέας είναι στερεός και ισοστατικός (Ν=). -45

46 Άσκηση Γ6 Ο δεδομένος φορέας αποτελεί απλοποιημένο προσομοιώμα ενός δομικού υποσυστήματος μιας γέφυρας (Βλ. εκφώνηση, σελ. Γ-4). Ο φορέας οικοδομείται σταδιακά ως εξής: Αρχικός φορέας είναι μια αμφιέρειστη ισοστατική δοκός (Ν =). Γ E Στον αρχικό αυτόν φορέα προσαρτώνται διαδοχικά τα τριαρθρωτά τμήματα Α, Β, Γ, Δ και Ε. Έτσι, ο προκύπτων φορέας εξακολουθεί να είναι στερεός και ισοστατικός (Ν =): Α Β H Θ Ι Κ Σ αυτόν προστίθενται τώρα διαδοχικά, προκειμένου να οικοδομηθεί ο δεδομένος φορέας, η ράβδος Ζ, η ράβδος Η, η ράβδος Θ, η ράβδος Ι και η ράβδος Κ, δηλαδή συνολικά πέντε πρόσθετοι σύνδεσμοι. Αυτό συνεπάγεται ότι ο δεδομένος ισοστατικά εδραζόμενος φορέας είναι πέντε φορές εσωτερικά υπερστατικός (Ν=5). -46

47 Άσκηση Γ7 Στο αρχικό ισοστατικό τριαρθρωτό πλαίσιο (Ν =) προσαρτώνται οι δίσκοι Α και Α' (Βήμα Α) που αντιστοιχούν σε έναν πρόσθετο σύνδεσμο ο καθένας (είναι μια φορά υπερστατικοί), οπότε ο έτσι διευρυμένος φορέας είναι δύο φορές υπερστατικός (Ν =). Οι προσαρτήσεις των ισοστατικών δίσκων Β και Β' (αμφιέρειστες δοκοί) κατά το Βήμα Β δεν αυξάνουν περαιτέρω την υπερστατικότητα. Συνεπώς, ο δεδομένος φορέας είναι στερεός και δύο φορές υπερστατικός (Ν=). ισοστατικό ισοστατικό προσάρτημα Β (Ν Β =) προσάρτημα Β' (Ν Β' =) δίσκος Α (Ν Α =) δίσκος Α' (Ν Α' =) αρχικό τριαρθρωτό πλαίσιο (Ν =) Βήμα Α: (Ν =) Βήμα Β: Ν= -47

48 Άσκηση Γ8 Ο δεδομένος φορέας οικοδομείται σταδιακά ως εξής: Αρχικός ισοστατικός φορέας (πρόβολος) (Ν =). τριαρθρωτό τμήμα Β τριαρθρωτό τμήμα Α Βήμα Α Στον αρχικό φορέα προσαρτώνται διαδοχικά τα τριαρθρωτά τμήματα Α και Β τα οποία είναι ισοστατικά. fl Διατηρείται η ισοστατικότητα (Ν =). Βήμα Α ισοστατική αμφιέρειστη δοκός Γ Βήμα Β Στον παραπάνω φορέα προσαρτάται η αμφιέρειστη (ισοστατική) δοκός Γ. fl Διατηρείται η ισοστατικότητα (Ν 3 =). Βήμα Β Συνεπώς, ο δεδομένος φορέας είναι στερεός και ισοστατικός (Ν=). -48

49 Άσκηση Γ9 Ο δεδομένος φορέας αποτελεί απλοποιημένο προσομοίωμα ενός τμήματος μιας γέφυρας (Βλ. εκφώνηση, σελ. Γ-5). Ο φορέας οικοδομείται σταδιακά ως εξής: 3 4 Ο αρχικός φορέας είναι τρεις φορές υπερστατικός (Ν =3). Βήμα Α Βήμα Α Η προσθήκη του τμήματος αυξάνει την υπερστατικότητα κατά μονάδες (Ν =5). Σημ.: Θα την αύξανε κατά 3, αν αντί της άρθρωσης ο κόμβος 5 ήταν μονολιθικός. Βήμα B Βήμα Β Η προσάρτηση του τριαρθρωτού τμήματος 4-5-6, με προέκταση της δοκού 4-6 έως το σημείο 8, δεν προσθέτει νέες δεσμεύσεις, άρα, διατηρείται η υπερστατικότητα (Ν 3 =5). Βήμα Γ Βήμα Γ Τέλος, οι δυο ράβδοι 5-7 και 5-8 αντιστοιχούν σε δυο πρόσθετους εσωτερικούς συνδέσμους που αυξάνουν την υπερστατικότητα κατά μονάδες. Επομένως, ο δεδομένος φορέας είναι επτά φορές υπερστατικός (Ν=7). -49

50 Άσκηση Γ Ο δεδομένος φορέας οικοδομείται σταδιακά ως εξής: αρχικός φορέας (πρόβολος) (Ν =) fl τριαρθρωτό τμήμα Βήμα Α Βήμα Γ ράβδος ράβδος Βήμα Β (Ν =) 3 fl (Ν =) Βήμα ράβδος (Ν =) 4 Ν=3-5

51 Άσκηση Γ Ο δεδομένος φορέας οικοδομείται σταδιακά ως εξής: Αρχικός φορέας: Ισοστατικός πρόβολος Ν = Βήμα Α ράβδος ράβδος Βήμα Α Προσθήκη δύο εσωτερικών ράβδων Ν = Βήμα Β Βήμα Β Προσθήκη δύο δεσμικών ράβδων στήριξης Ν=4 Άσκηση Γ Ο δεδομένος φορέας οικοδομείται σταδιακά ως εξής: Αρχικός φορέας: ( ανεξάρτητα τμήματα) Ισοστατικοί πρόβολοι Ν = ράβδος ράβδος ράβδος Προσθήκη τριών εσωτερικών ράβδων Ν=3-5

52 Άσκηση Γ3 Ο δεδομένος φορέας οικοδομείται σταδιακά ως εξής: ' Αρχικός φορέας: Αμφιέρειστη ισοστατική δοκός Ν = Προσάρτηση των αμφιέρειστων ισοστατικών τμημάτων Α και Α': Ο φορέας παραμένει ισοστατικός Ν = B B' Προσάρτηση των αμφιέρειστων ισοστατικών τμημάτων Β και Β': Ο φορέας παραμένει ισοστατικός Ν 3 = Γ ' Γ' Προσάρτηση των αμφιέρειστων ισοστατικών τμημάτων Γ και Γ': Ο φορέας παραμένει ισοστατικός Ν 4 = εισαγωγή άρθρωσης Τέλος, προκειμένου να πετύχουμε ταύτιση με τον αρχικό φορέα συνδέουμε τα δύο άκρα και ' αρθρωτά. Αυτό σημαίνει ότι προσθέτουμε δύο εσωτερικούς συνδέσμους: έναν για τη μεταφορά των αξονικών δυνάμεων και έναν για τη μεταφορά των τεμνουσών δυνάμεων. Άρα: Ν= -5

53 Άσκηση Γ4 Ο δεδομένος φορέας αποτελεί απλοποιημένο προσομοίωμα μιας γέφυρας (Βλ. εκφώνηση, σελ. Γ-7), το οποίο συντίθεται από επιμέρους τριγωνικούς ραβδοδίσκους. Για τον λόγο αυτόν το προσομοίωμα είναι, ως ελεύθερος φορέας, εσωτερικά ισοστατικό:... εσωτερικά στερεός και ισοστατικός δίσκος Επειδή και η έδραση του παραπάνω δίσκου είναι ισοστατική, πρόκειται συνολικά για έναν στερεά εδραζόμενο ισοστατικό φορέα: Ν=. -53

54 Άσκηση Γ5 Οι δυο δεδομένοι φορείς αποτελούν εναλλακτικά απλοποιημένα προσομοιώματα μιας γέφυρας (Βλ. εκφώνηση, σελ. Γ-7). ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΑ Α: (δικτύωμα με αρθρώσεις σε όλους τους κόμβους) Βάσει του ίδιου συλλογισμού, όπως και στην Άσκηση Γ4, ο δεδομένος φορέας είναι στερεός και ισοστατικός: Ν=. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΑ Β: (με συνεχές κάτω και άνω πέλμα) Αρχικός φορέας: εσωτερικά ισοστατικός και ισοστατικά εδραζόμενος: Ν = Ø ΒΗΜΑ Α: Προσθήκη άνω πέλματος Ν = ΒΗΜΑ Β: ιαδοχική προσθήκη 7 κατακορύφων και 8 διαγωνίων αμφιαρθρωτών στοιχείων Ø Ν 3 = Ν =6 Συνεπώς, ο δεδομένος φορέας είναι δεκαέξι φορές εσωτερικά υπερστατικός, αλλά ισοστατικά εδραζόμενος (Ν=6). -54

55 Άσκηση Γ6 Ο δεδομένος φορέας αποτελεί ένα απλοποιημένο επίπεδο προσομοίωμα μιας γέφυρας (Βλ. εκφώνηση, σελ. Γ-8) και οικοδομείται σταδιακά ως εξής: N =3 N =4 N 3 =N+ N + =8 N = N = N =N =6 4 Συνεπώς, ο δεδομένος φορέας είναι εικοσιέξι φορές υπερστατικός (Ν=6). -55

56 .3. Χωρικοί φορείς Να προσδιοριστεί ο βαθμός στερεότητας (χαλαρότητας, υπερστατικότητας) των ακόλουθων χωρικών γραμμικών φορέων Γ7 έως Γ34, με τις μεθόδους της σταδιακής οικοδόμησης ή/και της σταδιακής αποδόμησης. Γ7 Γ8 Γ9 Γ3-56

57 Γ3 Γ3 Ο δεδομένος φορέας αποτελεί προσομοίωμα της απεικονιζόμενης κατασκευής: -57

58 Κρεμαστή γέφυρα σε φάση κατασκευής (προβολοδόμηση) Γ33 Απλοποιημένο προσομοίωμα: Γ34 Κρεμαστή πεζογέφυρα Απλοποιημένο χωρικό προσομοίωμα: -58

59 ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση Γ7 Ο δεδομένος φορέας οικοδομείται σταδιακά ως εξής: Αρχικός φορέας: Ραβδοτρίποδο fl στερεός και ισοστατικός fl Ν = Προσθήκη ενός ακόμη ραβδοτριπόδου fl Διατηρείται η στερεότητα και η ισοστατικότητα fl Ν= Άσκηση Γ8 Ο δεδομένος φορέας οικοδομείται σταδιακά ως εξής: Αρχικός φορέας: Πρόβολος στο χώρο με προεκτάσεις fl Ν = Προσθήκη 4 ράβδων (αμφιαρθρωτών με σφαιρικές αρθρώσεις), που μεταφέρουν αξονικές δυνάμεις. Συνεπώς: fl Ν=4-59

60 Άσκηση Γ9 Ο δεδομένος φορέας οικοδομείται σταδιακά ως εξής: 7 8' Αρχικός φορέας: Πρόβολος στον χώρο με προεκτάσεις/διακλαδώσεις fl Ν= Η πάκτωση κάθε ελεύθερου άκρου, 3 και 4 γίνεται με 6 δεσμικές ράβδους. Το ίδιο ισχύει και για τη μονολιθική (στερεά) σύνδεση του άκρου 8' στον κόμβο 8. Συνεπώς: fl Ν=(3+). 6=4 Άσκηση Γ3 Ο δεδομένος φορέας οικοδομείται σταδιακά ως εξής: Y 7 8' 8 Αρχικός φορέας: Πρόβολος στο χώρο με προεκτάσεις/διακλαδώσεις fl Ν = 5 (αναπτυσσόμενες αντιδράσεις σε περίπτωση γενικής φόρτισης) Η μονολιθική σύνδεση του άκρου 8' στον κόμβο 8 απαιτεί 6 εσωτερικές δεσμικές ράβδους. Η κατά Χ παγίωση του κόμβου απαιτεί δεσμική ράβδο. Η κατά Χ και Υ παγίωση του κόμβου 4 απαιτεί δεσμικές ράβδους και η σφαιρική στήριξη του κόμβου 3 απαιτεί 3 δεσμικές ράβδους. Έτσι, προκειμένου να επιτευχθεί ταύτιση με τον δεδομένο φορέα απαιτείται η προσθήκη στον αρχικό φορέα: Ν = = δεσμικών ράβδων. Συνεπώς: fl Ν= -6

61 Άσκηση Γ3 Ο δεδομένος φορέας οικοδομείται σταδιακά ως εξής: 7 8 8' Αρχικός φορέας: Πρόβολος στον χώρο με προεκτάσεις/διακλαδώσεις fl Ν = Για να επιτευχθεί ταύτιση με τον δεδομένο φορέα, προστίθενται: 6 δεσμικές ράβδοι στον κόμβο 4 3 δεσμικές ράβδοι στον κόμβο 3 δεσμικές ράβδοι στον κόμβο 3 6 δεσμικές ράβδοι στον κόμβο 8'-8 fl Ν = = 8 Η προσάρτηση ενός ισοστατικού ραβδοτετραέδρου δεν αυξάνει τον βαθμό υπερστατικότητας. Η ταύτιση με τον δεδομένο φορέα απαιτεί, όμως, την προσθήκη μίας ακόμη ράβδου. Συνεπώς: fl Ν = 8 + = 9-6

62 Άσκηση Γ ' 3' 4' 3 4 4'' Αρχικός φορέας: Πρόβολος στο χώρο με προεκτάσεις fl Ν = Η σύνδεση καθενός των έξι κόμβων, 3, 4, 5, 6, 7 με το έδαφος και καθενός των τεσσάρων ζευγών κόμβων '-, 3'-3, 4''-4, 4''-4 μεταξύ τους, απαιτεί 6 δεσμικές ράβδους. Συνεπώς: fl Ν =. 6 = 6 Άσκηση Γ33 Χωρίς τις 6 ράβδους ο φορέας αποτελεί έναν πρόβολο στον χώρο fl Ν = Η προσθήκη των 6 ράβδων δημιουργεί εξαπλή υπερστατικότητα: fl Ν=6 Άσκηση Γ34 8 ράβδοι 8 ράβδοι N = = 8-6

63 .4 Έλεγχος κινηματικής ευστάθειας σύνθετων γραμμικών φορέων με τη μέθοδο της εναλλαγής ράβδων (Ομάδα Δ) Να ελεγχθεί με τη μέθοδο της εναλλαγής δεσμικών ράβδων αν οι ακόλουθοι φορείς Δ - Δ9 είναι στερεοί (κινηματικά ευσταθείς) ή χαλαροί (κινηματικά ασταθείς, κινηματικοί). 45 o Ερώτηση: Μεταβάλλεται η στερεότητα/χαλαρότητα του φορέα, o αν η κλίση της δοκού - γίνει 9 ; 45 o Ερώτηση: Μεταβάλλεται η στερεότητα/χαλαρότητα του φορέα, o αν η κλίση της δοκού - γίνει 9 ;

64 ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση Δ εδομένος φορέας 45 o Υποκατάστατος φορέας με μοναδιαία φόρτιση: Υπολογισμός της Q 4,B B= Q 4,B= 5 M,δεξιά 5 Διαχωριστική τομή: Q 4,B= 5 F Q 4,B 5 Επομένως, ο δεδομένος φορέας είναι στερεός. Αν η κλίση της δοκού - γίνει 9 ο, ο φορέας εξακολουθεί να είναι στερεός: εδομένος φορέας Υποκατάστατος φορέας με μοναδιαία φόρτιση Q 4,B= B= 5 Πράγματι, ακολουθώντας τα ίδια βήματα, όπως προηγουμένως, προκύπτει ότι Q 4,B=. Ως μικρή άσκηση ο αναγνώστης ας προσπαθήσει να επιβεβαιώσει τα παραπάνω αποτελέσματα με τη βοήθεια της μεθόδου σταδιακής οικοδόμησης/αποδόμησης. -64

65 Άσκηση Δ εδομένος φορέας Υποκατάστατος φορέας με μοναδιαία φόρτιση 5 o 45 B= N 4,B= Υπολογισμός της Ν 4,B M M,δεξιά B B Διαχωριστική τομή: N 4,B= F N 5 5 4,B 5 Επομένως, ο δεδομένος φορέας είναι στερεός. Αν η κλίση της δοκού - γίνει 9 ο, ο φορέας παύει να είναι στερεός και γίνεται χαλαρός, διότι η τιμή της Ν 4,Β= προκύπτει μηδενική: εδομένος φορέας Υποκατάστατος φορέας με μοναδιαία φόρτιση B= N = 4,B= Υπολογισμός της Ν M F,κάτω 4,B x 5 5 Διαχωριστική τομή: N 4,B= = 5 F N 4,B χαλαρός -65

66 Άσκηση Δ3 εδομένος φορέας Υποκατάστατος φορέας με μοναδιαία φόρτιση. B= Υπολογισμός της Ν 5-3,B (Σημ.: Ν 5-6 =Ν 6-5, Ν 6-3 =Ν 3-6, Ν 5-3 =Ν 3-5, Ν -3 =Ν 3-. Γιατί;) Διαχωριστική τομή: Διαχωριστική τομή: N 5-6 N 6-3 N 5-3,B= N -3 B= N 6-3= 3 N 5-3,B= M F F 3 Ο δεδομένος N N F N5-3,B B φορέας είναι στερεός. Άσκηση Δ4 εδομένος φορέας Υποκατάστατος φορέας με μοναδιαία φόρτιση Υπολογισμός της Ν 5-3,B (Σημ.: Ν 5-6 =Ν 6-5, Ν 6-3 =Ν 3-6, Ν 5-3 =Ν 3-5, Ν -3 =Ν 3-. Γιατί;) Διαχωριστική τομή: N 5-6 N 6-3 N = 3 5-3,B= M F F = 3 B= N N Διαχωριστική τομή: N 5-3,B= N -3 N = 6-3 B= = 3 F N5-3,B Ο δεδομένος φορέας είναι χαλαρός. Ως μικρή άσκηση ο αναγνώστης ας προσπαθήσει να επιβεβαιώσει τα παραπάνω αποτελέσματα με τη βοήθεια της μεθόδου σταδιακής οικοδόμησης/αποδόμησης. -66

67 .5 Έλεγχος της κινηματικής ευστάθειας σύνθετων επίπεδων φορέων με τη βοήθεια του διαγράμματος των πόλων στροφής και σχεδίαση της κατάστασης δυνατής μετακίνησης μονοκινηματικών φορέων (Ομάδα Ε) Να ελεγχθεί με τη βοήθεια του διαγράμματος των πόλων στροφής αν οι ακόλουθοι φορείς Ε- Ε είναι στερεοί (κινηματικά ευσταθείς) ή χαλαροί (κινηματικά ασταθείς, κινηματικοί). Για όσους από αυτούς είναι μονοκινηματικοί, να σχεδιαστεί η κατάσταση δυνατής μετακίνησής τους. Ε Ε Ε3 Ε4 Ε5 Ε6 (α) (β) Ε7-67

68 (α) (β) Ε8 (α) (β) Ε9 Ε Ε Ε Ε3-68

69 ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση Ε I () () Αντίφαση στον πόλο () fl Ο φορέας είναι στερεός. (Βλ. Άσκηση Α3) Άσκηση Ε () I Αντίφαση στον πόλο () fl Ο φορέας είναι στερεός. () (Βλ. Άσκηση Α8) Άσκηση Ε3 () I Διάγραμμα πόλων χωρίς αντίφαση fl Ο φορέας είναι χαλαρός (απειροστή χαλαρότητα). () (Βλ. Άσκηση Α6) Άσκηση Ε4 I () Διάγραμμα πόλων χωρίς αντίφαση fl Ο φορέας είναι χαλαρός (απειροστή χαλαρότητα). (Βλ. Άσκηση Α) () () () Άσκηση Ε5 () I (,) II () Διάγραμμα πόλων χωρίς αντίφαση fl Ο φορέας είναι χαλαρός (απειροστή χαλαρότητα). -69

70 Άσκηση Ε6 (α) () I II () (,) Διάγραμμα πόλων χωρίς αντίφαση fl Ο φορέας είναι χαλαρός (απειροστή χαλαρότητα). (3,4) (3,4) (3,4) (β) (3) (,3) (,3) () III () I IV II (,4) (,4) (4) (,) (,) (,) Σειρά προσδιορισμού πόλων: Άμεσα προσδιορίσιμοι πόλοι: Πόλος (), (,3), (,4), (,3), (,4), () ad 7. :,3,3,,4,4,, ad 8. :, , ad 9. :,4 4,4 4 ad.:,3,4 3,4,4,3 3,4 3,4 Διάγραμμα πόλων χωρίς αντίφαση fl Ο φορέας είναι χαλαρός β (απειροστή χαλαρότητα). Άσκηση Ε7 () I (,) () () () II () Πόλος 3... Διάγραμμα πόλων χωρίς αντίφαση fl Ο φορέας είναι χαλαρός (πεπερασμένη χαλαρότητα). -7

71 Άσκηση Ε8 (α) (,) I () () II Αντίφαση σε όλους τους πόλους fl Ο φορέας είναι στερεός. () () (,) (β) () (,) () Πόλος I II.. 3. () Διάγραμμα πόλων χωρίς αντίφαση fl Ο φορέας είναι χαλαρός (πεπερασμένη χαλαρότητα). Άσκηση Ε9 (α) I (,) II Πόλος. 3. () () (,). Διάγραμμα πόλων χωρίς αντίφαση fl Ο φορέας είναι χαλαρός (απειροστή χαλαρότητα). (β) (,) I () II () Αντίφαση σε όλους τους πόλους fl Ο φορέας είναι στερεός. () (,) () -7

72 Άσκηση Ε I () () (,) () () II (,) Αντίφαση σε όλους τους πόλους fl Ο φορέας είναι στερεός. Άσκηση Ε () (,3) Άμεσα προσδιορίσιμοι πόλοι: (), (,), (,3), (3) Σειρά προσδιορισμού πόλων: (,) (,3) II I () (,3) (,3) III (3) Πόλος ad 5. :, 3,3 Βιντεοπαρουσίαση της άσκησης αυτής στο YouTube: () () ad 6. : 3,3,,3,3 Διάγραμμα πόλων χωρίς αντίφαση fl Ο φορέας είναι χαλαρός (απειροστή χαλαρότητα). Άσκηση Ε () (,3) Άμεσα προσδιορίσιμοι πόλοι: (), (,), (,3), (3) Σειρά προσδιορισμού πόλων: () II I () (,) (,3) (,3) III (3) () (,3) Πόλος 3 ad 5. : ad 6. : , 3,3 3,3,3,,3 Διάγραμμα πόλων χωρίς αντίφαση fl Ο φορέας είναι χαλαρός (απειροστή χαλαρότητα). -7

73 Άσκηση Ε3 () () (,) II (,3) III (3) B C D I E () () () Άμεσα προσδιορίσιμοι πόλοι: (), (,), (,3), (3), επί ευθείας κάθετης στην κύλιση C Αλλά, λόγω (,3) (3) (), ο () βρίσκεται και επί της ευθείας Β-Ε. fl Αντίφαση fl Δίσκος ΙΙ αμετακίνητος fl Δίσκοι Ι και ΙΙΙ αμετακίνητοι fl Ο φορέας είναι στερεός. (Σύγκρ. Σειρά Δ, Σχ..-) Βιβλιογραφία κεφαλαίου [] Αβραμίδης, Ι.Ε. και Μορφίδης, Κ.Ε. (8). Στατική των Κατασκευών, Τόμος Ια: Ισοστατικοί φορείς - Σύνοψη Θεωρίας και Ασκήσεις. Θεσσαλονίκη: Σοφία. [] Αβραμίδης, Ι.Ε. (4). Στατική των Κατασκευών, Τόμος Ι: Θεμελιώδεις αρχές και ισοστατικοί φορείς. Θεσσαλονίκη: Αυτοέκδοση. Προτεινόμενα συγγράμματα για περαιτέρω μελέτη: βλ. Βιβλιογραφία στις αρχικές σελίδες του βιβλίου. -73