Πρώτη Ενότητα Αριθµητική Επίλυση Μη-Γραµµικών Εξισώσεων. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 1

Transcript

1 Πρώτη Ενότητα Αριθµητική Επίλυση Μη-Γραµµικών Εξισώσεων ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 1

2 Αριθµητική Επίλυση Μη-Γραµµικών Εξισώσεων α Το πρόβληµα: εδοµένης της µη-γραµµικής συνάρτησης F(), να βρεθεί η τιµή ώστε F( ) ή F( )y (yγνωστό). ( ) + β n y > e ( y α) / β F() cosh( + 1 e ) + log si() y α F() 1.(e Μια γνωστή ειδική περίπτωση: n + α n1 + α n +... n n1 n 1) + ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ + α

3 Αριθµητική Επίλυση Μη-Γραµµικών Εξισώσεων F()? Εντοπισµός διαστήµατος (α,β) που περιέχει τη λύση Προσέγγιση µιας λύσης µε δεδοµένη ακρίβεια α β ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 3

4 Αριθµητική Επίλυση Μη-Γραµµικών Εξισώσεων Αναζήτηση µιας οποιασδήποτε λύσης F()? Αναζήτηση µιας λύσης σε δεδοµένο (α,β) Αναζήτηση όλων των λύσεων α β ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 4

5 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ: Εξίσωση van der Waals α P + V ( V b) RT α, b : σταθερές του αερίου P : πίεση του αερίου (Ν/m ) V : ειδικός όγκος του αερίου (m 3 /kg) Τ : θερµοκρασία του αερίου (K) R : η σταθερά του αερίου (J/kg/K) Είναι ΓΡΑΜΜΙΚΗ ή ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΗ;;;;; ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 5

6 ... εξαρτάται : ΌτανεπιλύεταιωςπροςτοΤ: 1 α T P + R V ΌτανεπιλύεταιωςπροςτοP: P RT V b ( V b) α V ΌτανεπιλύεταιωςπροςτοV: ( P T ) V f, δεν γράφεται ως!!!!! ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 6

7 Μέθοδοι Εντοπισµού του διαστήµατος το οποίο περιέχει µια ρίζα της εξίσωσης: Η Μέθοδος των Ισων ιαστηµάτων ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 7

8 Το ΘεώρηµατηςΜέσηςΤιµής: F() Αν F συνεχής συνάρτηση στο [α,β] και z ένας πραγµατικός αριθµός που F(α) z F(β), υπάρχει ένα τουλάχιστον Є [α,β] για το οποίο zf() z F( α ) zf() F( β ) α β ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 8

9 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ: (democode.\test1.for) F() ( Ρίζες: 1.1 και 3. ) Τρέξτε µε α και β, 1 διαστήµατα και αναζητείστε την πρώτη λύση ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 9 F()

10 program testmethod implicit double precision (a-h,o-z) fun()**-4.3*+3.5 write(*,*)' Enter Number of Equal Spacings' read(*,*)nspac write(*,*)' Enter Lower and Upper -values ' read(*,*)low,up do i1,nspac+1 locallow+dfloat(i-1)/dfloat(nspac)*(up-low) write(*,'((,f1.6))')local,fun(local) enddo end ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 1

11 ΠΡΟΣΟΧΗ: (democode.\test.for) F() ( Ρίζες: 1.1 και 1.15 ) Τρέξτε µε α και β, 1 διαστήµατα και αναζητείστε την πρώτη λύση... F() ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 11?

12 Σχεδιάστε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης!!! Υπενθύµιση gnuplot: p **-.5*+1.65 set grid rep set r[:] ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 1

13 set r[:] 1.4 **-.5* ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 13

14 set r[1.:1.].16 **-.5* ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 14

15 Άλλες Μέθοδοι Εντοπισµού του διαστήµατος το οποίο περιέχει µια ρίζα της εξίσωσης: Λ.χ. λύστε µια απλοποιηµένη εκδοχή της ίδιας εξίσωσης Αντί της Αρχίστε µε την α P + V ( V b) RT PV RT... και εκτιµείστε προσεγγιστικά που «πέφτουν» οι ρίζες... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 15

16 Ειδικά για πολυωνυµικές συναρτήσεις: F() α n n1 n n + αn 1 + αn α όλες οι ρίζες (πραγµατικές και µιγαδικές) βρίσκονται στην περιοχή ενός κυκλικού δακτυλίου µε εξωτερική και εσωτερική ακτίνα: R o 1+ ma ( a, a,..., a ) n1 n a n R i a n [ a + ma( a, a,..., a )] n n n1 1 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 16

17 Παράδειγµα: F() ( Ρίζες: 1.,., -1 ) ( α 3 1, α -., α 1 -.8, α.4 ) R R o i 1+ 1 (.,.8,.4 ) [ 1 + ma( 1,.,.8,.4 )]. 941 ma ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 17

18 Γνωστές Μέθοδοι για την Αριθµητική Επίλυση Μη Γραµµικών ή Υπερβατικών Εξισώσεων Μέθοδος ιαδοχικών ιχοτοµήσεων Μέθοδος των ιαδοχικών Αντικαταστάσεων Μέθοδος Newton-Raphson Αλλες ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 18

19 Κριτήρια Επιλογής της «Κατάλληλης» Μεθόδου Προϋποθέσεις σύγκλισης Ρυθµός σύγκλισης προς τη λύση, δηλ. υπολογιστικό κόστος Εξάρτηση από δεδοµένα αρχικοποίησης Αυτο-εκκινούµενη ή όχι ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 19

20 Μέθοδος ιαδοχικών ιχοτοµήσεων Bisection Method or Interval Halving Method ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ

21 Μέθοδος ιαδοχικών ιχοτοµήσεων 1 f () 5 m α + β α α β β ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 1

22 Κριτήρια Σύγκλισης: * Μέγιστος Αριθµός ιχοτοµήσεων * Αν F(), όταν F() <ε 1 * Ότανηαπόλυτηήσχετικήαπόκλισηδύο διαδοχικών λύσεων είναι µικρότερη από ένα όριο ε ε απολυτο (n) (n1) < ε ε σχετικο (n) (n) (n1) < ε ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ

23 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 3 Πόσοδιαφέρουναυτάτακριτήρια;;;; ε < α β ( ) n ε α β ( ) n n n ε α β

24 Λογισµικό σε Fortran 77 Κώδικας master.for (CALL BISECT) Υπορουτίνα BISECT στο αρχείο bisect.for function FF( ) στο αρχείο testfun.for Η εντολή «include» ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 4

25 Το υποπρόγραµµα bisect.for που σας δίνουµε: SUBROUTINE BISECT (a,b,nma,r,errfun,errsol) IMPLICIT REAL*8 (a-h, o-z) aκάτω όριο πρώτης διχοτόµησης bπάνω όριο πρώτης διχοτόµησης nmaµέγιστος αριθµός διχοτοµήσεων rλύση errfunαποδεκτό απόλυτο σφάλµα F()- errsol αποδεκτό απόλυτο σφάλµαλύσης new - old..\bisection\bisect.for ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 5

26 Η συνάρτηση testfun.for που δηµιουργείτε: c c function FF() IMPLICIT REAL*8 (a-h, o-z) ff*-5.d RETURN END..\bisection\testfun.for ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 6

27 Ο master.for κώδικας που πρέπει να γράψετε: c c c c PROGRAM MYMASTER IMPLICIT REAL*8 (a-h, o-z) write(*,*)' Enter the two edges of the search interval ' read(*,*)min,ma write(*,*)' Enter Ma. number of Iterations ' read(*,*)nma write(*,*)' Enter Allowed Error for the Function' read(*,*)errfun write(*,*)' Enter Allowed Absolute Error for the Solution' read(*,*)errsol call BISECT (min,ma,nma,r,errfun,errsol) write(*,*)' Solution ',r end include 'bisect.for' ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 7

28 Παράδειγµα 1: tan 1 Αναζήτηση λύσης στο [,1] ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 8

29 Παράδειγµα : L r θ h V Lr π ( ) 1/ arcsin 1 L m r.4m h L V 7lt 3.7m ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 9

30 V Lr π ( ) 1/ + arcsin + 1 h / L ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 3

31 Ασκηση: Αν [α,β ], [α 1,β 1 ], [α,β ],... τα διαδοχικά διαστήµατα αναζήτησης λύσης στη µέθοδο της διχοτόµησης, δείξτε ότι: a n b n + a b a b + n 1 n1 n1 n a n b n1 a n-1 b n-1 a n-1 b n-1 a n b n a n b n κ λ µ κ λ µ κλ + κµ κλ + κµ λµ + κµ κµ + λµ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 31

32 Σύγκλιση της Μεθόδου ιχοτόµησης Επειδή το σφάλµαπερίπουµειώνεται στο µισόσεκάθεεπανάληψη(λόγω διχοτόµησης), άρα η σύγκλιση του αλγορίθµου είναι (σχεδόν) ΓΡΑΜΜΙΚΗ Καλό ή κακό?????? ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 3

33 Μέθοδος Εσφαλµένης Θέσης ή Μέθοδος Γραµµικής Παρεµβολής Method of False Position or Regula Falsi Method ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 33

34 f () ρίζα r a + 1 b a 1 (a+b)/ b a F( ) F(a) 1 1 b a F(b) F(a) 1 a F(a) (b a) F(b) F(a) ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 34

35 Σύγκλιση της Regula Falsi απαιτεί «περισσότερες» πράξεις συγκλίνει ταχύτερα από αυτήν της διχοτόµησης όταν η συνάρτηση είναι σχεδόν γραµµική στην περιοχή της ρίζας µπορεί να γίνει πολύ πιο αργή Τροποποιείστε την bisect.for δηµιουργώντας την rfalsi.for: κάντε οικονοµία στις κλήσεις της testfun ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 35

36 Ανοικτές Επαναληπτικές Μέθοδοι Προσέγγισης Ριζών + εν χρειάζονται [α,β] γιαναξεκινήσουν + Πιο γρήγορες από ότι οι διαδοχικές διχοτοµήσεις + Μπορούν να βρουν πολλαπλές λύσεις - εν έχουν εξασφαλισµένη σύγκλιση ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 36

37 y (α) y φ () y ρίζα y (β) y φ () ρίζα y Αναδροµικός Τύπος: (n) Φ ( (n 1) (n ) (n 3) (n 4) (n k) ),,,,..., συνήθως k1 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 37

38 Σύγκλιση της Μεθόδου: (n) Φ ( (n 1) ) r λύση n r < n1 r (n) r Φ( (n1) ) Φ( r ) dφ d ( r ). (n1) r y φ( m-1 ) αν κοντά στη λύση φ( r ) Φ' ( ) < 1 r r m-1 ΑΝΑΓΚΑΙΑ, ΟΧΙ ΙΚΑΝΗ, εξαρτάται από το σηµείο εκκίνησης ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 38

39 Μέθοδος ιαδοχικών Αντικαταστάσεων ή Μέθοδος Σταθερού Σηµείου Method of Successive Substitutions or Fied Point Iteration Method Ανοικτή µέθοδος ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 39

40 Μέθοδος ιαδοχικών Αντικαταστάσεων ( 1) given () g( (1) ) (3) g( () ) ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 4

41 Ορισµός: Ένα σηµείο * του πεδίου ορισµού µιας συνάρτησης g() λέγεται σταθερό σηµείο της αν ισχύει g( * ) * Πρόταση: Κάθε συνεχής συνάρτηση g:[a,b] [a,b] έχει στο διάστηµα [a,b] (τουλάχιστον) ένα σταθερό σηµείο y b a y yg() a b ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 41

42 Η συνθήκη της πρότασης είναι ικανή, αλλά όχι και αναγκαία 1.1 ** λ.χ. Η συνεχής συνάρτηση g:[-1:1] [,], g(): Σταθερά Σηµεία τα και ½ χωρίς να ισχύει η συνθήκη! ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 4

43 Κριτήρια Σύγκλισης (1): ( n ) ( g( n1 ) ) g( ) τελική λύση [ ] ( (n1) g' ) ( n ) ( ) ( n1) ( n1) g g( ) g() ( n1) g ( ) g( ) (n1) g'( ) (n 1) (n-1) ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 43

44 Κριτήρια Σύγκλισης (): σ σ ( n ) ( n ) ( n ) ( n 1) ( (n 1) ) σ g' σ ( n ) ( n1) σ < 1 Αναγκαία, όχι ικανή συνθήκη ( ) 1 g ' < ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 44

45 Παράδειγµα 1: tan 1 (n) tan (n1) 1 (n) (n1) + a tan 1 g() g() + 1 a tan tan 1 (n1) g'() / cos g' ( ) ( 1) 1 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 45

46 tan 1 στο [-1,1] 8 *tan() ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 46

47 tan 1 στο [,1] 1.5 *tan() ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 47

48 (n) tan (n1) 1 g'() / cos /cos()/cos() ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 48

49 (n) tan (n1) *tan() ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 49

50 (n1) ( 1 n) g' ( ) + a tan ( 1) 1 1 (1+((+1)**/4))**(-1) ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 5

51 .8 (n) (n1) + 1 a tan atan((+1)/) ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 51

52 Παράδειγµα : A (n) 1 A A / (n1) (n) + g () g'() A A g() 1 A + A g' ( ) + 1 A g'( A) 1 A Στη λύση: A 1 g' A ( A ) + ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 5

53 .8 n) 1 A + ( Για (Α1/).5*(.5/+) g()~περίπου οριζόντια Τετραγωνική Σύγκλιση!!!! ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 53

54 .7 στο [.7,.7].5*(.5/+) ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 54

55 Παράδειγµα 3: L.7 *.4 π ( ) 1/ arcsin 1 r θ h g () ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 55

56 g() sin π.7 *.4 ( ) 1/ 1 g'() ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 56 1

57 Παράδειγµα 3: 5 3 φ cosα 5 α cosφ Για α1 ο cos( α φ) φ g( φ) (β) arccos φ g( φ) cosα + arccos cosa cos( α φ) ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ sin a sin cosa (α) φ

58 Όρια φ[1,] (β) τρόπος ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 58

59 Μέθοδος Newton-Raphson ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 59

60 Μέθοδος Newton-Raphson f ( ) ( 1) h Πότε;;; + Πρέπει: Πραγµατική λύση f ( ( 1) + h) Αρχική λύση f ( () 1 ) () 1 + h f h 1! h! ( ) ( () 1 ) ( () 1 + f + f ) +... h ( ( 1) ) () 1 f Πότε;;; f ( ) ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 6

61 Μέθοδος Newton-Raphson () (1) f f ( ( )) 1 () 1 ( ) (n) (n1) f f ( ) (n1) ( ( n 1) ) Προετοιµασία στο χαρτί... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 61

62 Μέθοδος Newton-Raphson (µεπροσεγγιστική παράγωγο)μέθοδος της Τέµνουσας ( n ) ( n1) f ( n1) ( n) ( ( n1) ) ( n) f ( ) f ( ( n1 ) ) Αυτο-εκκίνηση ;;;;; f() ( n1) ( n) f ( ) f ( ) (n1) f '( ) (n1) (n) (n-1) (n-) ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 6

63 Μέθοδος Newton-Raphson (n) (n1) f f ( (n1) ) ( ( n1) ) ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 63

64 Μέθοδος Newton-Raphson Σύγκλιση (n+ 1) (n) f f ( (n) ) ( ( n ) ) σ (n+ 1) ( n+ 1) ( n+ 1) σ (n) + f f ( n ) ( n ) ( (n) ) σ ( (n) σ ) [ +... ] 3 ( n 1 ) ( n ) ( n ) ( n ) ( n ) σ + f ( ) σ f ( ) + σ / f ( ) σ / 3!f ( ) σ + / f ( n ) ( ) σ f ( ) + ( n ) σ f ( ) / ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 64

65 Μέθοδος Newton-Raphson Σύγκλιση Με απλοποιήσεις: 1 ( n 1 ) ( n ) σ + ( σ ) f f ' ' ( ' ( ) ) Οταν κοντά στη ρίζα: f ( ) f ( ) f ( ) < 1. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 65

66 Παράδειγµα : L.7 *.4 π ( ) 1/ arcsin 1 r θ h ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 66

67 V Lr π ( ) 1/ + arcsin + 1 h / L ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 67

68 SUBROUTINE NEWTONR (start,nma,new,errfun,errsol) IMPLICIT REAL*8 (a-h, o-z) oldstart foldff(old) fderoldffder(old) C DO niter1,nma newold-fold/fderold fnewff(new) fdernewffder(new) c-- Is XR a root? IF (dabs(fnew).lt. errfun) THEN errfundabs(fnew) return ELSE c-- stopping criterion eadabs(new-old)! absolute error IF (ea.le. errsol) return ENDIF c-- update oldnew foldfnew fderoldfdernew ENDDO stop RETURN END 'Non-converged!!!! ' ύο FUNCTIONS ΕΛΕΓΧΟΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 68

69 ΆλλεςΣυναφείςΑνοικτέςΜέθοδοι: 1. Μέθοδος της Τέµνουσας. Μέθοδος Muller ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 69

70 Μέθοδος Newton-Raphson (µεπροσεγγιστική παράγωγο)μέθοδος της Τέµνουσας ( n ) ( n1) f ( n1) ( n) ( ( n1) ) ( n) f ( ) f ( ( n1 ) ) Αυτο-εκκίνηση ;;;;; f() ( n1) ( n) f ( ) f ( ) (n1) f '( ) (n1) (n) (n-1) (n-) ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 7

71 .. Μέθοδος Muller y p () ρίζα p () α + α1 + α 3 h h 1 f () 1 (, 1, ) 3 Αυτο-εκκίνηση ;;;;; Βήµατα: 1. Υπολογισµός των συντελεστών α i. Λύση της δευτεροβάθµιας 3. Επιλογή ως 3 τηςπλησιέστερηςστο ρίζας του ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 71

72 .. Μέθοδος Muller y p () ρίζα p () α + α1 + α 3 h h 1 f () 1 α h f( 1) f( ) α h α 1 h α f( ) f( 1) (h 1+ h ) f( ) + h hh (h + h ) , 1 f( ), 3 α 1 ± α α 1 4α α ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 7

73 Εύρεση Ριζών Πολυωνύµων: Μέθοδος Newton ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 73

74 Βασικά Θεωρήµατα: Ένα πολυώνυµο k βαθµού έχει ακριβώς k ρίζες (πραγµατικές ή µιγαδικές), όπου µια ρίζα πολλαπλότητας ρ προσµετράται ρ φορές. Από k+1 σηµεία περνά ακριβώς µόνο ένα πολυώνυµο k βαθµού. Κανόνας του προσήµου του Descartes: Οι θετικές πραγµατικέςρίζεςενόςπολυωνύµου p k () είναι τόσες όσες και οι µεταβολές στο πρόσηµο των (πραγµατικών) συντελεστών του, α i, i k, k-1,, ή λιγότερες κατά έναν άρτιο αριθµό. Το ίδιο ισχύει για τις αρνητικές ρίζες, όταν λαµβάνονται υπόψη τα πρόσηµα του p k ( ). p () α k + α k1 + α k +... k k k1 k ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 74 + α

75 Μέθοδος Horner για υπολογισµό τιµής πολυωνύµου p k k1 k k () αk + αk 1 + αk +... k(k+1)/ πολλαπλασιασµοί και k προσθέσεις + α p k () ( α + ( α + + ( α + α ))) α + 1 k1 k k πολλαπλασιασµοί και k προσθέσεις Ελάχιστο ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 75

76 p Μέθοδος Newton για Πολυώνυµα (1) k k1 k k () αk + αk 1 + αk +... Παραγοντοποίηση του p n () κατά Horner. Βασικές σχέσεις: p k () () + rk pk (t) (t) ( t) gk 1 pk '(t) gk 1 + α r k k1 k g k1() bk 1 + bk b b a k1 k b i a i+ 1 + t bi+ 1 r k, i k-, k-3,.,. a + t b ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 76

77 p Μέθοδος Newton για Πολυώνυµα () k k1 k k () αk + αk 1 + αk +... p k () () + rk pk (t) (t) ( t) gk 1 pk '(t) gk 1 + α r k (n+ 1) (n) f f ( (n) ) ( ( n ) ) (n+ 1) (n) p p k k ( (n) ) ( ( n ) ) ' ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 77