σ (t) = (sin t + t cos t) 2 + (cos t t sin t) = t )) 5 = log 1 + r (t) = 2 + e 2t + e 2t = e t + e t

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "σ (t) = (sin t + t cos t) 2 + (cos t t sin t) = t )) 5 = log 1 + r (t) = 2 + e 2t + e 2t = e t + e t"

Αντιγόνη Κοντολέων
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΛΥΣΕΙΣ. Οι ακήεις από το βιβλίο των Mrsden - Tromb.. 3.)e) Είναι t) sin t + t os t, os t t sin t, 3) οπότε t) sin t + t os t) + os t t sin t) + 3 t + 4 και το μήκος είναι ίο με t t) dt t + 4 dt t logt + t + 4)) 5 + log + 5. f) Είναι r t) i + e t j e t k οπότε και το μήκος είναι ίο με r t) dt r t) + e t + e t e t + e t g) Είναι t) i + j + t k οπότε και το μήκος είναι ίο με t t t) dt t e t + e t ) dt e t e t ) e e. t) + + t t + ) t + dt t 3 t+) 3 t t 3 t +) 3 3 t +) ) Είναι α t) sinh t, osh t, ) οπότε α t) sinh t + osh t + e t + e t ). Η υνάρτηη μήκους είναι st) t α τ) dτ t e τ + e τ ) dτ e t e t ). Ομοίως, είναι β t) sin t, os t, ) οπότε Η υνάρτηη μήκους είναι st) t β t). β τ) dτ t dτ t.

2 3. 3.3) Είναι t), t, t ) οπότε και το μήκος είναι ίο με t) dt t) 4 + 4t + t t + t t + ) ) dt t + log t 3 + log. t 4. 7.)) F d π sin t,, os t) os t,, sin t) dt d) F d t, 3t, t 3 ) t, 3, 6t ) dt π dt. t 3 + 9t + t 5 ) dt )) x dy y dx π os t os t sin t sin t)) dt π dt π. ) Παραμετρική αναπαράταη: x) x,, x ) x ). yz dx + xz dy + xy dz x + xx + xx) dx ) Παραμετρική αναπαράταη: rx) x, x, ) x ). F dr x + x x + ) dx x + x 3 ) dx 9. dx ) Αν s : [, b] R n είναι η παραμετρική αναπαράταη της καμπύλης, τότε b b F ds Fst)) s t) dt Fst)) s t) dt b M Fst)) s t) dt b s t) dt Ml. b M s t) dt

3 8. 7.) Αν s : [, b] R n είναι η παραμετρική αναπαράταη της καμπύλης, τότε το εφαπτόμενο διάνυμα είναι το s t) οπότε το μοναδιαίο εφαπτόμενο διάνυμα είναι το Tt) s t) s t). b s t) b T ds s t) s t) dt s t) dt L, δηλαδή το μήκος της καμπύλης. Οι ακήεις από το βιβλίο του Apostol.. Μια παραμετρική αναπαράταη του γραφήματος της f είναι η rx) x, fx)), x [, b]. Τότε r x), f x)) οπότε το μήκος του γραφήματος πάνω από το [, d] είναι ίο με d r x) dx d + f x)) dx. Το εμβαδόν του χωρίου κάτω από το γράφημα και πάνω από το [, d] είναι ίο με Η υπόθεη είναι ότι d για κάθε [, d] [, b]. d fx) dx. d + f x)) dx fx) dx Συνεπάγεται ότι για κάθε x [, b] ιχύει x x + f t)) dt ft) dt. Παραγωγίζοντας, βρίκουμε + f x)) fx) για κάθε x [, b]. Επειδή η f είναι αύξουα, υνεπάγεται f x) για κάθε x [, b], οπότε f x) f x) για κάθε x [, b]. Συνεπάγεται d dx log fx) + f x) ) 3

4 για κάθε x [, b]. Συνεπάγεται ότι υπάρχει ταθερά ώτε και επομένως για κάθε x [, b]. Συνεπάγεται log fx) + f x) ) x + fx) + f x) e x+ fx) sinhx + ) για κάθε x [, b]. Η ταθερά προδιορίζεται από την ιότητα με x ) f) sinh + ).. Η έχει παραμετρική αναπαράταη την rx) x, x ) x ). x xy)dx + y xy)dy 3. Η έχει παραμετρική αναπαράταη την x xx ) + x 4 xx )x ) dx x x 3 + x 5 4x 4 )dx 369. rt) os t, sin t) t π). x + y) dx x y) dy x + y π π os t + sin t) sin t) os t sin t) os t) dt dt π. 4. Η είναι άθροιμα , όπου είναι το ευθύγραμμο τμήμα από το, ) μέχρι το, ), είναι το ευθύγραμμο τμήμα από το, ) μέχρι το, ), 3 είναι το ευθύγραμμο τμήμα από το, ) μέχρι το, ) και 4 είναι το ευθύγραμμο τμήμα από το, ) μέχρι το, ). Επομένως, dx + dy x + y dx + dy x + y + dx + dy x + y + dx + dy 3 x + y + dx + dy 4 x + y, 4

5 οπότε πρέπει να υπολογίουμε καθένα από τα τέερα επικαμπύλια ολοκληρώματα. Η παραμετρική αναπαράταη της είναι η r t) t, t) t [, ]). dx + dy x + y + dt. Η παραμετρική αναπαράταη της είναι η r t) t, t) t [, ]). dx + dy x + y dt. Η παραμετρική αναπαράταη της 3 είναι η r 3 t) t, t) t [, ]). dx + dy x + y dt. 3 Η παραμετρική αναπαράταη της 4 είναι η r 4 t) t, t ) t [, ]). dx + dy x + y + dt. 5. ) Αν θέουμε 4 dx + dy x + y + +. x x, y y, z z, τότε οι δυο χέεις που περιγράφουν την γράφονται ιοδύναμα x + y, x ) + y ) + z ). Δηλαδή το ημείο x, y, z ) κινείται πάνω το επίπεδο με εξίωη x +y και η απόταή του από το,, ) είναι ταθερή. Επομένως το ίδιο ημείο περιγράφει έναν κύκλο πάνω το ίδιο επίπεδο με κέντρο το,, ) που κι αυτό είναι πάνω το ίδιο επίπεδο) και ακτίνα. Τώρα, και x, y, z) x, y, z ) +,, ) x, y, z ),, ). η καμπύλη την οποία περιγράφει το ημείο x, y, z) είναι μια απλή μεταφορά του προηγούμενου κύκλου κατά το διάνυμα,, ). Κατά την περιτροφή του το x, y, z ) περνάει από το ανώτατο ημείο,, ) 5

6 του κύκλου και μετά πέφτει το ημείο,, ) πάνω το xy-επίπεδο. μια παραμετρική αναπαράταη του είναι η x t), y t), z t)) os t,, ) + sin t,, ) sin t, sin t, os t) t [, π] και επομένως μια παραμετρική αναπαράταη της είναι η xt), yt), zt)) sin t +, sin t +, os t) t [, π]. y dx + z dy + x dz π sin t + ) os t + os t os t) +sin t + ) sin t) ) dt π π. sin t os t + os t sin t) dt b) Είναι αφές ότι το ημείο x, y, ) διαγράφει πάνω το xy-επίπεδο τον κύκλο με κέντρο,, ) και ακτίνα με την θετική φορά περιτροφής. η παραμετρική αναπαράταη της είναι xt), yt), zt)) os t, sin t, os t sin t), t [, π]. y dx + z dy + x dz π sin t sin t) + os t sin t os t + os t sin t sin t + os t os t) ) dt π. 6. Το ευθύγραμμο τμήμα έχει παραμετρική αναπαράταη το έργο είναι ίο με fx, y, z) dr rt) t, t, 4t) t [, ]. 7. Η περιγράφεται ιοδύναμα από τις χέεις t + t + t4t t)4) dt 3 6. x ) + y 4, z x y. 6

7 μια παραμετρική αναπαράταη της είναι rt) os t +, sin t, ) os t, t [, π]. το έργο είναι ίο με f dr π 4 sin t ) sin t + os t) ) os t + 4 os t + sin t ) ) dt os t π3 4. 7

Σχετικά έγγραφα

σ (9) = i + j + 3 k, σ (9) = 1 6 k.

σ (9) = i + j + 3 k, σ (9) = 1 6 k. Ασκήσεις από το Διανυσματικός Λογισμός των Marsden - romba και από το alculus του Apostol. 1. Βρείτε τα διανύσματα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης και την εξίσωση της εφαπτομένης για κάθε μία από τις