Η διεργασία εκβολής ινών χρησιµοποιείται στη βιοµηχανία. πλαστικών για την παραγωγή συνθετικών ινών κατάλληλων για

Transcript

1 ΕΚΒΟΛΗ ΙΝΩΝ 7.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η διεργασία εκβολής ινών χρησιµοποιείται στη βιοµηχανία πλαστικών για την παραγωγή συνθετικών ινών κατάλληλων για ύφανση που έχουν µονοαξονικό προσανατολισµό. Στη διεργασία αυτή, ρευστό πολυµερικό τήγµα ή διάλυµα εκβάλλεται συνεχώς από µήτρα εκβολής, συνήθως µε κυλινδρικό στόµιο, και ακολούθως έρχεται σε επαφή µε µικρούς κυλίνδρους έλασης, όπου ελάσσεται, επιµηκύνεται, και οδεύει προς περιτύλιξη. Τα διάφορα βασικά στάδια του συστήµατος ινοποίησης φαίνονται στο Σχήµα 7.1. Φίλτρο Μήτρα εκβολής Προς περιτύλιξη Προώθηση Τήγµα Εκβολέας Λουτρό στερεοποίησης: Ψύξη Εξάτµιση Πήξη Περαιτέρω επεξεργασία ινών: Εφελκυσµός, τελείωµα Τροφοδοσία Κύλινδροι έλασης Σχήµα 7.1 Σχηµατική παράσταση των διαφόρων σταδίων της διεργασίας εκβολής ινών. Το πολυµερές σε στερεά µορφή εισέρχεται στην τροφοδοσία του εκβολέα, όπου γίνεται τήγµα και προωθείται στην έξοδο µέσα από φίλτρο καθαρισµού προς τη µήτρα εκβολής (spinneret). Ακολούθως ελάσσεται µε κυλίνδρους και οδηγείται προς περιτύλιξη. Μεταξύ της εξόδου από τη µήτρα εκβολής και των κυλίνδρων έλασης γίνεται η µετατροπή του πολυµερικού ρευστού σε ίνα, και καλείται περιοχή έλασης. Η µετατροπή µπορεί να έχει φυσικό ή/και

2 7-2 χηµικό χαρακτήρα. Π.χ. τήγµα νάυλον µπορεί να εκβάλλεται, να ψύχεται, και να ελάσσεται οπότε αποκτά πολύ µικρότερη διάµετρο από ότι η διάµετρος της µήτρας εκβολής. Έτσι αναπτύσσονται µορφολογικά χαρακτηριστικά της ίνας, τα οποία εξαρτώνται από την έκταση και το ρυθµό της έλασης, και τα οποία χαρακτηριστικά αλλάζουν σηµαντικά τις µηχανικές ιδιότητες της ίνας. Ό,τι συµβαίνει στην περιοχή έλασης θεωρείται ότι έχει την µεγαλύτερη επίδραση στον καθορισµό των τελικών ιδιοτήτων των ινών. Αν οι ίνες προκύπτουν από πολυµερικό διάλυµα, είναι απαραίτητη η αποµάκρυνση του διαλύτη προτού παραχθεί µια µηχανικά συµπαγής ινώδης δοµή. Η διεργασία αυτή έχει να κάνει µε µεταφορά µάζας στην περιοχή έλασης και είναι αρκετά πολύπλοκη. Σε ορισµένες περιπτώσεις που δεν παράγεται ίνα από το πολυµερικό διάλυµα απλώς και µόνο µε την αποµάκρυνση του διαλύτη, είναι απαραίτητη η παρουσία ενός επιπλέον σταδίου πήξης, που γίνεται µε την είσοδο του εκβαλλόµενου ρευστού σε λουτρό πήξης. Και αυτή η διεργασία αφορά πολύπλοκη µεταφορά µάζας στην περιοχή έλασης. Επειδή η διεργασία ινοποίησης αφορά την παραγωγή πολύ λεπτών ινών, ένα µεγάλο πρόβληµα αφορά την ευστάθεια της διεργασίας, την παραγωγή δηλ. ινών που δεν «θραύονται» ή «σπάνε» κατά τη διάρκεια της έλασης. Με τον όρο «θραύση» νοείται η παραγωγή ασταθούς ρευστού που εµφανίζεται σαν µια συρροή σταγόνων παρά σαν µια συνεχής ίνα. Εποµένως ένα µεγάλο πρόβληµα της διεργασίας που δεν έχει ακόµα επιλυθεί ικανοποιητικά είναι το πρόβληµα της ευστάθειας, δηλ. της ανάπτυξης κριτηρίων λειτουργίας για την ευσταθή παραγωγή ινών. Όταν το ρευστό που εκβάλλεται προς ινοποίηση είναι πολυµερικό τήγµα, τότε η διεργασία λέγεται ινοποίηση τήγµατος

3 7-3 (melt spinning), και δεν υπάρχει ανταλλαγή µάζας µε το περιβάλλον. Όταν το πολυµερικό ρευστό εισέρχεται σε λουτρό πήξης όπου γίνεται ανταλλαγή µάζας, τότε η διεργασία λέγεται υγρή ινοποίηση (wet spinning). Όταν το πολυµερικό ρευστό είναι διάλυµα του οποίου εξατµίζεται ο διαλύτης στον περιβάλλοντα αέρα, τότε η διεργασία λέγεται στεγνή ινοποίηση διαλύµατος (solution dry spinning). Οι διεργασίες της εκβολής ινών γίνονται µε διάφορες ταχύτητες παραγωγής. Έτσι υπάρχουν διεργασίες εκβολής ινών: (α) πολύ χαµηλής ταχύτητας από 30 ως 100 m/min, για την παραγωγή παχέων νηµάτων που περνούν ακολούθως από λουτρό πήξης, (β) χαµηλής ταχύτητας από 100 ως 750 m/min, όπου η τάση έλασης παραµένει σταθερή σε όλο το µήκος της ίνας, η οποία για να βελτιωθούν οι φυσικές ιδιότητές της, υφίσταται περαιτέρω έλαση και ανόπτηση (διεργασία δύο σταδίων, two-step process, TSP: πρώτο στάδιο=ινοποίηση, δεύτερο στάδιο=έλαση), (γ) ενδιάµεσης ταχύτητας από 750 ως 3500 m/min, όπου η τάση έλασης αυξάνεται λόγω αδράνειας και τριβής από τον προσφυσούµενο αέρα (air drag), (δ) υψηλής ταχύτητας πάνω από 3500 µέχρι και 7000 m/min, όπου κυριαρχεί η κρυστάλλωση προερχόµενη από υψηλές τάσεις (stressinduced crystallization), και η οποία προσδίδει στις ίνες διαφορετικές φυσικές και µηχανικές ιδιότητες απ ό,τι οι προηγούµενες περιπτώσεις. Ο Πίνακας 7.1 δίνει τυπικές τιµές για µια σειρά ιδιοτήτων ινών που παράγονται µε εκβολή ενός σταδίου (one-step process, OSP) και δύο σταδίων.

4 7-4 Πίνακας 7.1. Τυπικές ιδιότητες ινών (δεδοµένα από τον Τ. Kawaguchi, Industrial Aspects of High Speed Spinning in Ziabicki & Kawai, 1985; και από τους D.S. Cordova and D.S. Donnelly Reinforced Plastics, Extended-Chain Polyethylene Fibers, in I.I. Rubin, Ed., Handbook of Plastic Materials and Technology, Wiley, New York, 1990). PET ECPE Aramid OSP TSP Spectra Kevlar Ιδιότητα (Μονάδες) (6000 m/min) (normal) Πυκνότητα (g cm -3 ) Συρρίκνωση µετά από βρασµό (%) ιχροϊσµός (10-3 ) Αντοχή σε εφελκυσµό (ΜΡa) Επιµήκυνση σε θραύση (%) Μέτρο ελαστικότητας (GPa) Έχουν γίνει αρκετές προσπάθειες για τη µαθηµατική µοντελοποίηση και ανάλυση της διεργασίας, οι οποίες ακόµα δεν έχουν αποδώσει πλήρη δυνατότητα πρόβλεψης για όλες τις περιπτώσεις. Για τη µοντελοποίηση, χρειάζεται κατάλληλη ρεολογική καταστατική εξίσωση που να περιγράφει τη συµπεριφορά του πολυµερούς σε όλες τις περιπτώσεις παραµόρφωσης, µαζί µε τις εξισώσεις διατήρησης της µάζας, ορµής, και ενέργειας. Οι Matovich και Pearson [MAT 69] έκαναν τις πρώτες προσπάθειες για την πρόβλεψη των χαρακτηριστικών µεγεθών της ίνας, κάνοντας χρήση της προσεγγιστικής µεθόδου λεπτής ίνας και θεωρώντας το ρευστό ως Νευτωνικό. Η µέθοδος αυτή χρησιµοποιείται σε όλες τις αναλύσεις της διεργασίας και παρατίθεται και εδώ.

5 7-5 Η προς ανάλυση διεργασία φαίνεται στο Σχήµα 7.2, όπου πολυµερικό τήγµα εκβάλλεται µέσα από κυλινδρική µήτρα, όπου µε την επιβολή αξονικής έλασης επέρχεται µονοαξονική επιµήκυνση. Αµέσως µετά την έξοδο από τη µήτρα παρατηρείται συνήθως το φαινόµενο της διόγκωσης του πολυµερικού ρευστού λόγω χαλάρωσης των κάθετων τάσεων. Η περιοχή της διόγκωσης είναι όµως σχετικά µικρή και φθάνει το πολύ σε απόσταση 2-3 διαµέτρων της µήτρας, µε αποτέλεσµα να µην λαµβάνεται υπόψη στις αναλύσεις της διεργασίας. u die r die z=0 r o u o L z=l u L Tension F Σχήµα 7.2 Σχηµατική παράσταση της διεργασίας εκβολής ινών. Το πολυµερικό ρευστό (διάλυµα ή τήγµα) εκβάλλεται µέσα από κυλινδρική µήτρα και ελάσσεται µε κυλίνδρους στο κάτω µέρος. Έτσι υφίσταται µονοαξονική παραµόρφωση λόγω των δυνάµεων έλασης των κυλίνδρων. Για την ψύξη της ίνας γίνεται εξωτερική χρήση αέρα που προσφυσάται εγκάρσια προς το µέσο και κάτω τµήµα της ίνας. Έτσι ελέγχεται το µήκος κάτω από τη µήτρα εκβολής όπου επέρχεται κρυστάλλωση και στερεοποίηση. Οι διαστάσεις της ίνας καθορίζονται

6 7-6 από τα µεγέθη του λόγου έλασης (draw ratio), και της µείωσης ακτίνας (radius reduction). Ο λόγος έλασης (D R = u L / u 0 ) ορίζεται ως ο λόγος της ταχύτητας στον κύλινδρο έλασης προς τη µέση ταχύτητα εκβολής στη µήτρα, και έχει τυπικές τιµές µεταξύ 10 και 100. Η µείωση ακτίνας (R = r 0 / r L ) ορίζεται ως ο λόγος ακτίνας της κυλινδρικής µήτρας εκβολής προς την ακτίνα της ίνας στον κύλινδρο έλασης, και έχει τυπικές τιµές µεταξύ 20 και 200. Οι ίνες ακολούθως υπόκεινται σε περαιτέρω διεργασίες εφελκυσµού και τελειώµατος περνώντας από άλλο σύνολο µικρότερων ρολών. Τελικά, περιτυλίγονται σε µποµπίνες και πωλούνται στο εµπόριο. Καθώς η ίνα ελάσσεται, υφίσταται µη-οµοιόµορφη µονοαξονική παραµόρφωση. Ο τύπος αυτός της παραµόρφωσης είναι το κατ εξοχήν χαρακτηριστικό της διεργασίας εκβολής ινών, η οποία αυξάνει την αντοχή της ίνας στην κατεύθυνση έλασης και επιτρέπει τον ακριβή έλεγχο των µηχανικών και λοιπών ιδιοτήτων του τελικού προϊόντος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ Ισοθερµοκρασιακή Νευτωνική Εκβολή Ινών Η ανάλυση της διεργασίας εκβολής ινών ακολουθεί την κλασική εργασία των Matovich και Pearson [MAT 69], όπου η ίνα θεωρείται σαν λεπτό νήµα υπό µονοαξονικό εφελκυσµό. Για ρευστά πολυµερικά τήγµατα µεγάλου ιξώδους, οι ιξώδεις δυνάµεις υπερισχύουν των δυνάµεων αδράνειας, βαρύτητας και επιφανειακής τάσης, που θεωρούνται αµελητέες. Η παραδοχή της αξονοσυµµετρικότητας της ίνας επιτρέπει την τοποθέτηση του προβλήµατος σε κυλινδρικό σύστηµα συντεταγµένων, που ορίζεται από την ακτινική κατεύθυνση r και την αξονική κατεύθυνση έλασης z, ενώ n είναι το κάθετο διάνυσµα στην επιφάνεια της ίνας (βλ. Σχήµα 7.3).

7 7-7 r z r(z) n u σ n σ rr σ rz σ Σχήµα 7.3 Σύστηµα συντεταγµένων και ορισµός µεταβλητών για την ανάλυση της εκβολής ινών. Ορισµός καµπυλότητας της ελεύθερης επιφάνειας της ίνας µε z την κατεύθυνση της έλασης, r την ακτινική κατεύθυνση, και n την τοπικά κάθετη κατεύθυνση. Για ασυµπίεστα υλικά, η εξίσωση διατήρησης της µάζας απαιτεί 2 ρ π r u = ρq = σταθερά (7.1) όπου ρ είναι η πυκνότητα, Q η ογκοµετρική παροχή, u η συνιστώσα της ταχύτητας στην κατεύθυνση έλασης, και r η τοπική ακτίνα της ίνας, και η οποία είναι συνάρτηση του µήκους z. Η εξίσωση διατήρησης της ορµής (ισορροπία δυνάµεων) δίνει u ρu z 1 ( rσ rz ) σ = + r r z (7.2) όπου σ και σ rz είναι οι ολικές τάσεις στην κατεύθυνση έλασης και στην διατµητική κατεύθυνση αντίστοιχα. Περαιτέρω σχέσεις µπορούν να βρεθούν από τις σχέσεις καµπυλότητας της ελεύθερης επιφάνειας (βλ. Σχήµα 7.3), όπου ισχύει ότι δεν υπάρχει ροή κάθετη στην ελεύθερη επιφάνεια, δηλ.,

8 7-8 u n = u n + u n = 0 (7.3) όπου r r z z dr dz n z = (7.4) 2 1/ 2 dr 1 + dz 1 n r = (7.5) 2 1/ 2 dr 1 + dz ούτε κάθετες ή διατµητικές δυνάµεις στην ελεύθερη επιφάνεια, δηλ., ( σ n) = σ n + σ n = 0 (7.6) r rz r z ( σ n) = σ n + σ n = 0 (7.7) z rr r Από την Εξ. (7.6) προκύπτει ότι r σ rz σ = nz rz z n dr = σ (7.8) dz Το αποτέλεσµα αυτό φαίνεται παράξενο κατ αρχήν, γιατί δηλώνει ότι υπάρχει διατµητική τάση στην ελεύθερη επιφάνεια, σε αντίθεση µε ό,τι έγινε παραδεκτό παραπάνω. Με αναφορά στο Σχήµα 7.3 όµως, φαίνεται ότι η τάση σ rr δεν είναι κάθετη στην ελεύθερη επιφάνεια, και σ rz δεν είναι η διατµητική τάση της ελεύθερης επιφάνειας, αλλά απλώς η διατµητική τάση του κυλινδρικού συστήµατος συντεταγµένων, για το οποίο αν dr/dz ήταν µηδέν, τότε και σ rz θα ήταν µηδέν. Στο σηµείο αυτό ολοκληρώνουµε κάθε όρο της εξίσωσης ορµής Εξ. (7.2) για κάθε διατοµή της ίνας, ήτοι r u 1 u 2 ρ u rdr = ρu r (7.9) z 2 z 0 r 0 1 r r ( rσ rz ) rdr = rσ rz = r σ r dr dz (7.10)

9 7-9 r r σ d dr 1 rdr = rdr r = z dz σ σ dz σ z r 2 (7.11) Αντικατάσταση στην εξίσωση ορµής Εξ. (7.2) δίνει dr u dz u σ ρ = 2 σ + (7.12) z r z Στο σηµείο αυτό είναι απαραίτητη η εισαγωγή ρεολογικής καταστατικής εξίσωσης για τη συσχετίσει των τάσεων µε τις ταχύτητες και τις παραγώγους τους. Θεωρώντας Νευτωνικό ρευστό σ = p I + τ = pi + µγ (7.13) όπου p είναι η ισοτροπική πίεση, I είναι ο µοναδιαίος τανυστής και τ είναι ο τανυστής των πρόσθετων τάσεων. Από την παραπάνω γενική σχέση παίρνουµε du σ = p + 2µ (7.14) dz Μπορεί εύκολα να αποδειχθεί ότι για το Νευτωνικό ρευστό, η ισοτροπική πίεση p είναι η µέση τιµή των πρόσθετων τάσεων, δηλ. 1 p = ( σ + σ rr + σ θθ ) (7.15) 3 Από τις τρεις κάθετες τάσεις σ = 0, επειδή δεν υπάρχει σ rr = θθ γωνιακή (αζιµουθιακή) ροή και επειδή από τις Εξ. (7.6) και (7.7) έχουµε στην ελεύθερη επιφάνεια 2 dr σ rr = σ 0 (7.16) dz Τελικά έχουµε στην Εξ. (7.14) du σ = 3µ (7.17) dz

10 7-10 Γενικός συνδυασµός της εξίσωσης διατήρησης της ορµής (7.12) µε την εξίσωση διατήρησης της µάζας (7.1) δίνει τη διαφορική εξίσωση που διέπει τη διεργασία εκβολής ινών du 2 6µ d du = u 1 dz ρ dz u dz (7.18) Η επίλυση της διαφορικής εξίσωσης (7.18) έχει τη µορφή 1 C1z ρ u = C1 C2e (7.19) 3µ Αν θεωρηθεί αµελητέος ο όρος αδράνειας [το αριστερό µέλος της Εξ. (7.18)], η επίλυση της διαφορικής εξίσωσης γίνεται πιο απλή και είναι της µορφής C4z u C3e = (7.20) όπου οι σταθερές C 1, C 2, C 3, C 4 βρίσκονται από τις οριακές συνθήκες του προβλήµατος. Η Εξ. (7.19) δείχνει ότι το Νευτωνικό ρευστό µπορεί να ινοποιηθεί για ορισµένο µόνο µήκος, και ότι το µήκος αυτό αυξάνεται όσο ο λόγος ρ/µ µειώνεται. Στην περίπτωση της Εξ. (7.20) για την εύρεση των τιµών των σταθερών C 3, C 4 πρέπει να θέσουµε κατάλληλες οριακές συνθήκες. Κάνοντας χρήση του Σχήµατος 7.2, και επειδή η παρούσα ανάλυση δεν λαµβάνει υπόψη την περιοχή της διόγκωσης, ορίζουµε αυθαίρετα την αρχή του πεδίου ανάλυσης z = 0 στο σηµείο όπου παρατηρείται η µέγιστη διόγκωση. Στις περισσότερες περιπτώσεις η απόσταση από την έξοδο της µήτρας µέχρι το σηµείο της µέγιστης διόγκωσης είναι µικρή σε σχέση µε το µήκος της ίνας, όπου εφαρµόζεται η δύναµη έλασης F και όπου επιτυγχάνεται η τελική ακτίνα της ίνας r L σε απόσταση z=l. Εποµένως, ισχύουν οι εξής οριακές συνθήκες:

11 7-11 r = ro L στο z = 0, στο z =, { u = ul (7.21) u = uo ro Οι Εξισώσεις γίνονται αδιάστατες µε χρήση των ακόλουθων αδιάστατων µεταβλητών r z u τ r* =, z* =, u* =, τ * = (7.22) r L u η u / r o o o όπου r o = r die είναι η ακτίνα της µήτρας εκβολής, u o = u die είναι η µέση ταχύτητα του ρευστού µέσα στη µήτρα εκβολής, και η o είναι το ιξώδες µηδενικού ρυθµού διάτµησης του ρευστού. Οι προκύπτουσες αδιάστατες εξισώσεις επίλυσης είναι [κάνοντας χρήση των αδιάστατων µεταβλητών της Eξ. (7.22) χωρίς τη χρήση αστερίσκων για ευκολία] u r z exp ln D (7.23) L = R 1 z exp ln D (7.24) 2 L = R Με τις δύο εξισώσεις (7.23) και (7.24) είναι δυνατό να υπολογιστούν διάφορα µεγέθη της διεργασίας ινοποίησης, θεωρώντας το ρευστό Νευτωνικό. o o Παράδειγµα 7.1 Για την παραγωγή ινών πολυαµιδίου (νάυλον) µε ιξώδες µ = 500 Pa s, γίνεται εκβολή ινών στον αέρα κάτω από ισοθερµοκρασιακές συνθήκες. Οι προδιαγραφές είναι για λόγο έλασης D R = 100 και µήκος ίνας L = 300 cm. Η ταχύτητα στο σηµείο έλασης είναι u L =1000 m/min, ενώ η αντίστοιχη ακτίνα r L = cm. (α) Να υπολογιστεί ο µέγιστος ρυθµός παραµόρφωσης του τήγµατος. (β) Να υπολογιστεί η µέγιστη τάση έλασης στο τήγµα. (γ) Πόση δύναµη απαιτείται για την έλαση του τήγµατος; (δ) Να υπολογιστεί η σχετική σπουδαιότητα των δυνάµεων αδράνειας.

12 7-12 Επίλυση: (α) Από την Εξ. (7.23) έχουµε du dz u = u z= L 0 z ln D exp L u0 = exp D L και για τα δεδοµένα του προβλήµατος du dz z= L R = 25.6 s R ln D 1 R (β) Η µέγιστη τάση έλασης είναι du σ = 3 µ = z= L dz z= L MPa (γ) Η δύναµη έλασης είναι 2 F = πrl σ = z= L dynes (δ) Η σχετική σπουδαιότητα των δυνάµεων αδράνειας βρίσκεται από τον υπολογισµό του αδιάστατου αριθµού Reynolds, Re Re ρull = µ ln D = Επειδή Re > 1, φαίνεται ότι οι δυνάµεις αδράνειας παίζουν σηµαντικό ρόλο. Όµως, η τιµή αυτή είναι η µέγιστη και συµβαίνει στο z=l. Στο µέσο της γραµµής ινοποίησης, όπου z=l/2, βρίσκουµε ότι η τιµή του Re είναι 10 φορές µικρότερη, ή λιγότερη από τη µονάδα. Εποµένως, οι δυνάµεις αδράνειας είναι σηµαντικές µόνο προς το τέλος της γραµµής ινοποίησης. R Παράδειγµα 7.2 Οι Acierno et al. [ACI 71] έχουν παρουσιάσει πειραµατικά δεδοµένα για τη διάµετρο και την τάση έλασης ινών πολυαιθυλενίου εκβαλλόµενου στους C υπό ισοθερµοκρασιακές συνθήκες. Το Σχήµα 7.4 δείχνει τα δεδοµένα αυτά (σύµβολα). Το

13 7-13 ιξώδες µηδενικού ρυθµού διάτµησης του τήγµατος είναι η 0 = µ = 9000 Pa s, και το τήγµα θεωρείται πρακτικά Νευτωνικό για ρυθµούς διάτµησης µέχρι και 1 s -1. Να εκτιµηθεί κατά πόσο είναι σωστή η εφαρµογή του Νευτωνικού µοντέλου στα πειραµατικά δεδοµένα. Σχήµα 7.4 Πειραµατικά δεδοµένα (σύµβολα) των Acierno et al. [ACI 71] για την ισοθερµοκρασιακή εκβολή ινών πολυαιθυλενίου σε σύγκριση µε τις προβλέψεις της ακτίνας και ταχύτητας της ίνας µε το Νευτωνικό µοντέλο (διακεκοµµένες γραµµές). Επίλυση: Από το Σχήµα 7.4 φαίνεται καθαρά ότι υπάρχει διόγκωση του πολυµερικού τήγµατος της τάξης του 50%. Τόση διόγκωση αποδεικνύει ισχυρή ελαστικότητα του πολυµερικού τήγµατος, τουλάχιστον για τη ροή διάτµησης µέσα στη µήτρα εκβολής. Από τις µετρήσεις της ακτίνας και την παροχή Q, βρίσκεται η ταχύτητα, και µε γραφική ή αριθµητική παραγώγιση το du/dz. Η Εξ. (7.17) δίνει ακολούθως την τιµή της τάσης έλασης σ κατά µήκος της ίνας. Για να αποφύγουµε τα προβλήµατα της διόγκωσης, παίρνουµε σαν u 0 την ελάχιστη ταχύτητα στη µέγιστη διόγκωση και θέτουµε αυτή τη θέση σαν z=0. Το Σχήµα 7.4 δείχνει τα αποτελέσµατα από τέτοιους υπολογισµούς (διακεκοµµένη γραµµή).

14 7-14 Η θεωρητική καµπύλη της ταχύτητας προέρχεται από την Εξ. (7.23) µε την εκλογή τέτοιου u 0 και D R ώστε η καµπύλη να περνά από το αρχικό και τελικό πειραµατικό σηµείο. Προφανώς η πειραµατική καµπύλη έχει µικρότερη καµπυλότητα απ ό,τι προβλέπει το Νευτωνικό µοντέλο. Οι προβλέψεις για την τάση έλασης είναι τελείως ασύµφωνες µε τα πειραµατικά δεδοµένα. Η τάση πειραµατικά αυξάνεται σε τιµές πολύ υψηλότερες απ ό,τι προβλέπει το Νευτωνικό µοντέλο, το οποίο είναι προφανώς ανεπαρκές για την µοντελοποίηση του πολυµερικού τήγµατος στη διεργασία αυτή Ισοθερµοκρασιακή Εκβολή Ινών µε το Μοντέλο Εκθετικού Νόµου Το γενικευµένο Νευτωνικό ρευστό µε το µοντέλο εκθετικού νόµου για το ιξώδες δίνει τις ολικές τάσεις σ σύµφωνα µε τη σχέση σ = p I + τ = pi + η( γ ) γ (7.25) όπου η είναι το φαινοµενικό ιξώδες, που είναι συνάρτηση του µεγέθους γ του τανυστή των ρυθµών παραµόρφωσης γ, και δίνεται από τη σχέση η( γ ( n 1) / 2 n 1 1 ) = m γ = m II γ (7.26) 2 όπου m είναι ο συντελεστής συνέπειας, n ο δείκτης του εκθετικού νόµου, και II γ η δεύτερη αναλλοίωτη του τανυστή γ, που στην περίπτωση της µονοαξονικής έλασης δίνεται από τη σχέση 2 du II γ = 6 (7.27) dz

15 7-15 Ακολουθώντας τα ίδια επιχειρήµατα όπως στην Νευτωνική ανάλυση, προκύπτει ότι η τάση έλασης σ δίνεται από τη σχέση n ( n 2 du σ = p + 2m3 1) / (7.28) dz Η επίλυση των εξισώσεων διατήρησης ορµής και µάζας δίνουν για την ταχύτητα της ίνας u u 0 q ( D 1) 1 q z = 1+ R L (7.29) όπου q=1-1/n. Έχει ενδιαφέρον να δούµε την επίδραση που έχει ο δείκτης n στη µορφή των καµπυλών της ταχύτητας κατά µήκος της γραµµής ινοποίησης. Αυτό φαίνεται στο Σχήµα 7.5. Σχήµα 7.5 Πειραµατικά δεδοµένα (σύµβολα) των Spearot και Metzner [SPE 71] για την ισοθερµοκρασιακή εκβολή ινών πολυαιθυλενίου σε σύγκριση µε τις προβλέψεις της ταχύτητας της ίνας µε το ψευδοπλαστικό µοντέλο εκθετικού νόµου (συνεχείς γραµµές). Ως γνωστό, για πολυµερικά τήγµατα 0 < n < 1. Για Νευτωνικά ρευστά, n = 1. Το Σχήµα 7.5 δείχνει ότι και το µοντέλο του εκθετικού νόµου, το οποίο προβλέπει ψευδοπλαστική συµπεριφορά (διατµητική λέπτυνση) για τα πολυµερικά τήγµατα, δεν µπορεί να προβλέψει τη συµπεριφορά πολυµερικών τηγµάτων σε εφελκυσµό, όπως συµβαίνει

16 7-16 στη διεργασία εκβολής ινών. Τα προφίλ της ταχύτητας που προβλέπει το µοντέλο είναι πιο καµπύλα από τα πειραµατικά δεδοµένα εκβολής ινών πολυαιθυλενίου, και γίνονται ακόµα πιο καµπύλα όσο αυξάνεται η µη γραµµικότητα του πολυµερούς (µικρότερος δείκτης n). Προφανώς, το µοντέλο του εκθετικού νόµου, που είναι ικανοποιητικό για διάτµηση, δεν είναι καθόλου ικανοποιητικό για εφελκυσµό πολυµερικών υλικών. Αυτό σηµαίνει ότι πρέπει να εξεταστεί ιξωδοελαστικό µοντέλο µε καλύτερη δυνατότητα πρόβλεψης των ιδιοτήτων σε εφελκυσµό Ισοθερµοκρασιακή Εκβολή Ινών µε το Μοντέλο Maxwell Για ιξωδοελαστικές προσοµοιώσεις, χρειάζεται η χρήση κατάλληλου ρεολογικού µοντέλου. Το πιο απλό ιξωδοελαστικό µοντέλο είναι το µοντέλο Maxwell άνω συναγωγής (upper-convected Maxwell ή UCM), το οποίο γράφεται σε γενική µορφή ως τ + λτ = µγ (7.30) όπου λ είναι ο χρόνος χαλάρωσης και τ δίνεται από τον τύπο τ t T T τ = + v τ v τ τ v (7.31) και καλείται παράγωγος άνω συναγωγής, που επιτρέπει την περιγραφή µετατόπισης, περιστροφής, και παραµόρφωσης ενός ειδικού όγκου ελέγχου του υλικού στον τρισδιάστατο χώρο. Η ιξωδοελαστικότητα του υλικού χαρακτηρίζεται από τον αδιάστατο αριθµό Weissenberg, Ws, που δίνεται από τη σχέση u0 Ws = λ (7.32) L

17 7-17 Προφανώς, Ws=0 αντιστοιχεί στο Νευτωνικό ρευστό (ανελαστικό, πλήρως ιξώδες), ενώ µη-µηδενικές τιµές του Ws αντιστοιχούν σε διαφορετικούς βαθµούς ιξωδοελαστικότητας, που αυξάνονται µε την αύξηση του Ws. Η επίλυση του παραπάνω µοντέλου για ακριβώς τις ίδιες συνθήκες όπως αυτές του Νευτωνικού ρευστού έχει γίνει πρώτα από τους Denn et al. [DEN 75] και Denn και Fisher [DEN 76] και επαληθευτεί µε το λογισµικό πρόγραµµα F-SPIN για διαφορετικές τιµές του αριθµού Ws (Ws=0.02, 0.04, 0.052). Τα αποτελέσµατα δίνονται στο Σχήµα 7.6, όπου φαίνεται ότι η ιξωδοελαστικότητα έχει σαν αποτέλεσµα τη µείωση της καµπυλότητας του προφίλ της ταχύτητας της ίνας, η οποία για µεγάλους αριθµούς Ws αντιστέκεται 20 This work Denn et al. (1975) Dimensionless Velocity, u / u o Ws = Ws = 0.04 Ws = 0.02 Ws Dimensionless Distance, z / L Σχήµα 7.6 Προβλέψεις από τις ισοθερµοκρασιακές ιξωδοελαστικές προσοµοιώσεις µε το µοντέλο Maxwell άνω συναγωγής (Upper- Convected Maxwell, UCM) για διαφορετικούς αριθµούς Ws και D R =20. Σύγκριση αποτελεσµάτων από το λογισµικό F-SPIN [BEA 99] (συνεχής γραµµή) µε τα αποτελέσµατα των Denn και Fisher [DEN 76] (διακεκοµµένη γραµµή).

18 7-18 στην παραµόρφωση και ελάσσεται σαν στερεό υλικό µε σταθερή ακτίνα και εποµένως ταχύτητα. Το ανώτατο όριο που επιτεύχθηκε σύγκλιση του αριθµητικού σχήµατος είναι για Ws= Είναι προφανές ότι σε ακόµα µεγαλύτερες τιµές του αριθµού Ws θα γινόταν ινοποίηση µε οµοιόµορφη ακτίνα και ταχύτητα (έλαση στερεής ίνας). Οι Denn και Fisher [DEN 76] έχουν κάνει προσεγγιστική ανάλυση τροποποιηµένου µοντέλου Maxwell, όπου εισάγουν το χρόνο χαλάρωσης λ σαν συνάρτηση του φαινοµενικού ιξώδους η και του µέτρου ελαστικότητας G η( γ ) λ = (7.33) G όπου το ιξώδες η δίνεται από το µοντέλο του εκθετικού νόµου. Μετά από πολλές παραδοχές και απλοποιήσεις καταλήγουν στην παρακάτω διαφορική εξίσωση 2 2 d u nαη 2 dz 2 du + 2α u 3 n du dz dz 2n 1 du dz n 1 u ( αu 3ε ) = 0 du dz (7.34) όπου έχουν εισαχθεί οι εξής αδιάστατες µεταβλητές u = u u 0, ( n 1) / 2 n ( n 1) / 2 n 1 m3 u0 m3 Q u0 α =, ε = (7.35) G L FL L Η εξίσωση είναι µη γραµµική και πρέπει να επιλυθεί αριθµητικά. Παρατηρούµε επίσης ότι είναι µια τάξη υψηλότερη από την αντίστοιχη για Νευτωνικά ρευστά, και εποµένως χρειάζεται και τρίτη οριακή συνθήκη για την επίλυσή της. Αυτή έχει να κάνει µε την παραδοχή γνωστής κάθετης τάσης τ για z=0, ήτοι τ = τ 0 στο z = 0 (7.36)

19 7-19 ή σε αδιάστατη µορφή τ Q = T = T0 στο z = 0 u F 0 (7.37) όπου F είναι η δύναµη έλασης που εξασκείται στην ίνα στο σηµείο που ελάσσεται από τον κύλινδρο έλασης, και δίνεται από τη σχέση F = πr 2 σ στο z L (7.38) L = Έχοντας υπόψη και την εξίσωση διατήρησης µάζας (7.1), µπορούµε να γράψουµε Fu σ σ rr = (7.39) Q Μετά από πράξεις βρίσκουµε για την αδιάστατη αξονική τάση T 2 ε u = u + 3 α du 3α dz n (7.40) Εποµένως, ο καθορισµός οριακής συνθήκης για την τάση τ και την ταχύτητα u ισοδυναµεί µε τον καθορισµό οριακής συνθήκης στην παράγωγο της ταχύτητας du/dz: du dz 1/ n 2 ε = 3α ( T0 ) + = 0 3 στο z (7.41) α Επειδή η παράγωγος της ταχύτητας du/dz πρέπει να είναι θετική (για να υπάρχει έλαση της ίνας), βρίσκουµε ότι η αρχική τιµή της τάσης Τ 0 πρέπει να ικανοποιεί τη συνθήκη 2 ε T 0 > (7.42) 3 α

20 7-20 Σχήµα 7.7 Προβλέψεις από τις ισοθερµοκρασιακές ιξωδοελαστικές προσοµοιώσεις µε το τροποποιηµένο µοντέλο Maxwell άνω συναγωγής (Modified Upper-Convected Maxwell, MUCM) για διαφορετικές τιµές του αριθµού α. Σύγκριση αποτελεσµάτων των Denn και Fisher [DEN 76] για την περίπτωση Τ 0 =1, n=1/3, D R =5.85 (συνεχής γραµµή) µε πειραµατικά αποτελέσµατα (σύµβολα) από ισοθερµοκρασιακή εκβολή ινών πολυστυρενίου. Πρέπει και πάλι να σηµειωθεί ότι η αρχική τιµή της τάσης Τ 0 είναι αυθαίρετη αφού στην πραγµατικότητα προκύπτει από την πλήρη επίλυση των εξισώσεων µέσα και έξω από τη µήτρα εκβολής που δεν γίνεται µε προσέγγιση. Στην παρούσα όµως ανάλυση η επίδραση της τιµής Τ 0 περιορίζεται στην περιοχή αµέσως µετά την έξοδο του πολυµερούς από τη µήτρα, και δεν έχει µεγάλη επίδραση στο προφίλ της ταχύτητας στη γραµµή ινοποίησης της ίνας. Τα προφίλ του Σχήµατος 7.7 έχουν ληφθεί από την παραπάνω ανάλυση θέτοντας Τ 0 =1. Βλέπουµε και πάλι ότι όσο αυξάνει η τιµή της παραµέτρου α αυξάνει η ιξωδοελαστικότητα και µειώνεται η καµπυλότητα του προφίλ της ταχύτητας (α=0 αντιστοιχεί στο Νευτωνικό ρευστό, για το οποίο όµως η ανάλυση δίνει συγκεκριµένη τιµή για το Τ 0 =2/3).

21 7-21 Σχήµα 7.8 Θεωρητικές προβλέψεις για τη δύναµη έλασης µέσω της παραµέτρου ε, σύµφωνα µε την ιξωδοελαστική θεωρία των Denn και Fisher [DEN 76] για την περίπτωση Τ 0 =1, n=1/3, D R =5.85 (συνεχής γραµµή-ίδιες συνθήκες όπως στο Σχήµα 7.7). Οι συγκεκριµένες τιµές των n και D R που έχουν χρησιµοποιηθεί στο Σχήµα 7.7 αντιστοιχούν σε πειραµατικά δεδοµένα για τήγµα πολυστυρενίου που χρησιµοποιήθηκε στην παραγωγή ινών. Από τα ρεολογικά δεδοµένα η τιµή της παραµέτρου α βρέθηκε να είναι µεταξύ 0.2 < α < 0.3. Για να υπάρχει όµως καλή συµφωνία της θεωρίας µε τα πειραµατικά δεδοµένα, φαίνεται ότι χρειάζεται µεγαλύτερη τιµή του α µεταξύ 0.4 < α < 0.5. Από την επίλυση του µοντέλου είναι δυνατή η συσχέτιση της δύναµης έλασης F µέσω της παραµέτρου ε µε την ιξωδοελαστική παράµετρο α, κάνοντας χρήση της Εξ. (7.40). Το Σχήµα 7.8 δείχνει τη θεωρητική καµπύλη ε(α) για τις ίδιες συνθήκες του Σχήµατος 7.7. Και πάλι όµως, για να υπάρχει συµφωνία µε τα πειραµατικά δεδοµένα του πολυστυρενίου για τη δύναµη έλασης, χρειάζεται η τιµή του α να είναι περίπου 0.5. Παρά τις αδυναµίες του µοντέλου για πλήρη δυνατότητα πρόβλεψης, αποτελεί την πρώτη προσπάθεια ιξωδοελαστικής αντιµετώπισης της διεργασίας εκβολής ινών, και έχει βοηθήσει στην κατανόηση των φαινοµένων αυτών.

22 7-22 Ένα ενδιαφέρον αποτέλεσµα της παραπάνω ανάλυσης είναι η πρόβλεψη ότι για δεδοµένη τιµή της παραµέτρου α υπάρχει µέγιστος λόγος έλασης D R που µπορεί να επιτευχθεί στη διεργασία και δίνεται από τη σχέση ( D R ) max 1 1/ n = + α (7.43) Η θεωρία δεν προβλέπει τι θα συµβεί αν ξεπεραστεί αυτό το όριο. Απλώς προβλέπει ότι χρειάζεται άπειρη δύναµη έλασης για την επίτευξη τιµών µεγαλύτερων του (D R ) max. Στο όριο αυτό το προφίλ της ταχύτητας γίνεται επίσης γραµµικό. Το Σχήµα 7.8 δίνει επίσης το ίδιο αποτέλεσµα, δηλ. το ε 0 (που σηµαίνει F 0) για δεδοµένη τιµή του α που ικανοποιεί την Εξ. (7.43). Αυτό έχει την εξής φυσική σηµασία. Αν θέσουµε όλες τις συνθήκες λειτουργίας εκτός του µήκους ινοποίησης L, και µειώνουµε το L, η δύναµη έλασης αυξάνεται (βλ. Σχ. 7.8) και το προφίλ της ταχύτητας γίνεται γραµµικό. Αυτό οδηγεί σε ελάχιστο µήκος της ίνας L min, πέραν του οποίου και πάλι απαιτείται άπειρη δύναµη έλασης. Τελικά διαπιστώνουµε ότι η οριακή γραµµική ταχύτητα αντιστοιχεί σε ρυθµό έλασης που δίνεται από τη σχέση du u0 ε = = ( DR 1) (7.44) dz L Κάνοντας χρήση των ορισµών για τις παραµέτρους α και λ, και της Εξ. (7.43) σαν περιορισµό για το D R, αποδεικνύεται µετά από διάφορες αλγεβρικές πράξεις ότι du λ = 1 (7.45) dz Η σηµασία του τελευταίου αυτού αποτελέσµατος είναι ότι ο µέγιστος ρυθµός έλασης (du/dz) max είναι τέτοιος ώστε ο λόγος έλασης D R επιτυγχάνεται στο χρόνο χαλάρωσης λ.

23 Μη-Ισοθερµοκρασιακή Εκβολή Ινών Υποθέτοντας οµοιόµορφη θερµοκρασιακή κατανοµή στη διατοµή της ίνας και αµελητέα αξονική θερµική αγωγή και ενέργεια λόγω ιξώδους τριβής (έλλειψη τοιχωµάτων), η αδιάστατη εξίσωση διατήρησης της ενέργειας για τη θερµοκρασία απλοποιείται στην εξής µορφή dt Q Q 4 4 ρ c pq + 2π hc ( T T ) + 2π σ SBε ( T T ) = 0 (7.46) dz πu πu όπου T είναι η θερµοκρασία του περιβάλλοντος αέρα, c P η ειδική θερµική χωρητικότητα του πολυµερούς, h c ο συντελεστής µεταφοράς θερµότητας, ε ο συντελεστής ακτινοβολίας, σ SB η σταθερά ακτινοβολίας Stefan-Boltzmann, και Q η ογκοµετρική παροχή στη δακτυλική µήτρα εκβολής. Η πυκνότητα, ρ, και η ειδική θερµική χωρητικότητα, c P, µεταβάλλονται µε την απόσταση κατά µήκος της ίνας, µιας και είναι συναρτήσεις της θερµοκρασίας. Για την θερµική χωρητικότητα των πολυµερών ισχύει η παρακάτω σχέση, όπως προτάθηκε από τον Haw [HAW 84] c P o k1 + k2t ( T ) = cp (7.47) k1 + k2to όπου c o P είναι η θερµική χωρητικότητα σε θερµοκρασία αναφοράς T o, και k 1 και k 2 είναι εµπειρικές σταθερές. Η πυκνότητα ρ δίνεται από ρo ρ ( T ) = (7.48) 1+ c ( T T ) ρ o

24 7-24 όπου ρ o είναι η πυκνότητα σε θερµοκρασία T o, και c ρ είναι η σταθερά διαστολής. Το ιξώδες µ σε θερµοκρασία Τ είναι µια εκθετικά φθίνουσα συνάρτηση της θερµοκρασίας και δίνεται από τη σχέση του Arrhenius E µ = µ 0 exp (7.49) R T T0 όπου µ 0 είναι το ιξώδες σε θερµοκρασία αναφοράς Τ 0, Ε 0 είναι η ενέργεια ενεργοποίησης, και R η σταθερά των ιδανικών αερίων. Ο συντελεστής µεταφοράς θερµότητας, h c, έχει µελετηθεί πειραµατικά από τους Kase και Matsuo [ΚΑS 67], οι οποίοι δίνουν την ακόλουθη σχέση: 1/ 3 2 h cd ρ aud va = γ (7.50) ka µ a u 1/ 6 όπου D είναι η διάµετρος της ίνας, k a η θερµική αγωγιµότητα του αέρα, και v a η ταχύτητα του προσφυσούµενου αέρα. Η παράµετρος γ είναι µια εµπειρική σταθερά. Οι Kase και Matsuo [ΚΑS 67] δίνουν την τιµή γ = Τυπικές τιµές των παραπάνω παραµέτρων για την περίπτωση µη-ισοθερµοκρασιακής εκβολής ινών για διάφορα πολυµερή (πολυπροπυλένιο ΡΡ, πολυαιθυλενικός τερεφθαλίτης ΡΕΤ, και πολυαιθυλένιο χαµηλής πυκνότητας (LDPE, τήγµα IUPAC-A) δίνονται στον Πίνακα 7.2. Τέλος η πρόσθετη οριακή συνθήκη για την εξίσωση ενέργειας είναι ότι είναι γνωστή η θερµοκρασία στην έξοδο από τη µήτρα εκβολής, δηλ. T = T0 στο z = 0 (7.51)

25 7-25 Πίνακας 7.2. Τιµές των παραµέτρων για µη-ισοθερµοκρασιακές προσοµοιώσεις για διάφορα πολυµερή. Ιδιότητα (Μονάδες) PP PET σ SB (erg s -1 cm -2 K 4 ) Eξ. (7.46) ε στην Eξ. (7.46) ρ o (g cm -3 ) στην Eξ. (7.48) c ρ στην Eξ. (7.48) c o p (erg g -1 K -1 ) στην Eξ. (7.47) k 1 στην Eξ. (7.47) k 2 (K -1 ) στην Eξ. (7.47) T ( o C, K) στην Eξ. (7.46) 25 (298) 25 (298) E 0 (J mol -1 ) στην Eξ. (7.49) R (J mol -1 K -1 ) στην Eξ. (7.49) T ref (K) 200 (473) 260 (533) IUPAC-A LDPE (298) (423) 7.3. ΜΕΘΟ ΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ Η επίλυση των παραπάνω εξισώσεων που διέπουν τη διεργασία µπορεί να γίνει είτε µε την αριθµητική µέθοδο Runge-Kutta 4ης τάξης για συνήθεις διαφορικές εξισώσεις είτε µε τη µέθοδο των πεπερασµένων στοιχείων (Finite Element Method, FEM), που είναι πιο γενική και ισχύει και για συνήθεις και για µερικές διαφορικές εξισώσεις. Η επίλυση µε τη FEM ακολουθεί όσα παρουσιάστηκαν στην περίπτωση εκβολής µε εµφύσηση, και δεν θα επαναληφθεί εδώ. Γενικά αναφέρεται όµως, ότι η διεργασία εκβολής ινών είναι υπολογιστικά πιο εύκολη από την προηγούµενη. Οι άγνωστοι του προβλήµατος είναι η επιφανειακή ταχύτητα u, η ακτίνα r, και η θερµοκρασία T, κατά µήκος της ίνας. Η εφαρµογή της µεθόδου επίλυσης γίνεται µε λογισµικό κώδικα πεπερασµένων στοιχείων (F-SPIN), γραµµένο ειδικά για προσοµοιώσεις της διεργασίας εκβολής ινών [BEA 99]. Το πρόγραµµα είναι γενικό και ισχύει τόσο για Νευτωνικά όσο και για µη-νευτωνικά ιξωδοελαστικά

26 7-26 ρευστά. Για ιξωδοελαστικές προσοµοιώσεις, γίνεται πρώτα η Νευτωνική επίλυση για χαµηλές παροχές (χαµηλά επίπεδα ιξωδοελαστικότητας) και κατόπιν αυξάνεται η παροχή (αυξάνοντας εποµένως και το επίπεδο ιξωδοελαστικότητας) κάνοντας χρήση συνέχειας της λύσης των µεταβλητών. Ένα παράδειγµα της όλης διεργασίας της επαναληπτικής επίλυσης δίνεται στον Πίνακα 7.3. Πίνακας 7.3. ιεργασία σύγκλισης αριθµητικού σχήµατος για το λογισµικό F-SPIN [BEA 99] που χρησιµοποιείται σε προσοµοιώσεις εκβολής ινών. Περίπτωση µη-ισοθερµοκρασιακών προσοµοιώσεων πολυαιθυλενικού τερεφθαλίτη (PEΤ) [GEO 82]. Ο χρόνος CPU δίνεται για υπολογισµούς σε PC (Intel Pentium στα 200 MHz). # στοιχείων # κόµβων # µεταβλητών # επαναλήψεων Χρόνος CPU (s/επανάληψη) Ολικός χρόνος CPU (min) ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΖΗΤΗΣΗ Ισοθερµοκρασιακή Νευτωνική Εκβολή Ινών Για την αξιοπιστία των αριθµητικών επιλύσεων υπάρχει η αναλυτική λύση της Εξ. (7.23) που δίνει την ταχύτητα της ίνας σαν συνάρτηση του µήκους της για διαφορετικούς λόγους έλασης D R. Το πρόβληµα έχει επιλυθεί αριθµητικά και µε τη µέθοδο Runge-Kutta (R- K) 4ης τάξης και µε τη µέθοδο πεπερασµένων στοιχείων (FEM), κάνοντας χρήση του λογισµικού πακέτου F-SPIN [BEA 99]. Τα αποτελέσµατα δίνονται στο Σχήµα 7.9 για την ταχύτητα της ίνας κατά µήκος της γραµµής ινοποίησης για διαφορετικούς λόγους έλασης D R. Όπως αναµένεται µεγαλύτερος λόγος έλασης αντιστοιχεί σε µεγαλύτερη ταχύτητα, η οποία αυξάνει εκθετικά µε το µήκος της γραµµής ινοποίησης.

27 Newtonian Viscoelastic (Ws = 0.001) Dimensionless Velocity, u / u o D R =20 D R = Dimensionless Distance, z / L Σχήµα 7.9 Προβλέψεις της ταχύτητας της ίνας για την ισοθερµοκρασιακή Νευτωνική εκβολή ινών. Σύγκριση επιλύσεων µε την αναλυτική λύση (συνεχής γραµµή) και τη µέθοδο πεπερασµένων στοιχείων (FEM) (σύµβολα) για διαφορετικούς λόγους έλασης D R Ισοθερµοκρασιακή Εκβολή Ινών µε το Μοντέλο Maxwell Η επίλυση του µοντέλου αυτού έχει επίσης γίνει µε το λογισµικό πακέτο F-SPIN [BEA 99]. Τα αποτελέσµατα έχουν δοθεί παραπάνω στο Σχήµα 7.6 για την ταχύτητα της ίνας κατά µήκος της γραµµής ινοποίησης για διαφορετικές τιµές του αριθµού Weissenberg και για D R =20. Υπενθυµίζεται ότι όσο αυξάνει η ιξωδοελαστικότητα του πολυµερούς τόσο µειώνεται η καµπυλότητα της ακτίνας και κατά συνέπεια της ταχύτητας, η οποία στο όριο της στερεάς ίνας µεταβάλλεται γραµµικά Ισοθερµοκρασιακή Εκβολή Ινών µε το Μοντέλο Παπ- Ζαπ - Σύγκριση µε Πειράµατα Οι Ishizuka et al. [ΙSH 80] εκτέλεσαν πειράµατα εκβολής ινών κάτω από ισοθερµοκρασιακές συνθήκες για τήγµα πολυπροπυλενίου

28 7-28 (ΡΡ) στους 200 o C µε το σκοπό να εξετάσουν την επίδραση των ρεολογικών παραµέτρων στη διεργασία. Στα πειράµατα έγιναν µετρήσεις της δύναµης έλασης και των προφίλ ταχύτητας για διαφορετικές συνθήκες λειτουργίας. Σύγκριση των αριθµητικών προσοµοιώσεων κάνοντας χρήση του ιξωδοελαστικού µοντέλου Παπ- Ζαπ µε τα πειράµατα #5, #6, και #7 των Ishizuka et al. [ΙSH 80] (βλ. δεδοµένα στον Πίνακα 7.2 και 7.4) παρουσιάζεται στο Σχήµα 7.10α,β,γ για την ακτίνα και ταχύτητα αντίστοιχα για κάθε πείραµα. Φαίνεται ότι λαµβάνεται καλή συµφωνία µεταξύ θεωρίας και πειραµατικών δεδοµένων και για τα τρία πειράµατα Exp. #5 radius (Ishizuka, 1980) Exp. #5 velocity (Ishizuka, 1980) Sim. radius Sim. velocity Exp. #6 radius (Ishizuka, 1980) Exp. #6 velocity (Ishizuka, 1980) Sim. radius Sim. velocity Exp. #7 radius (Ishizuka, 1980) Exp. #7 velocity (Ishizuka, 1980) Sim. radius Sim. velocity Radius (cm) Velocity (cm/s) Radius (cm) Velocity (cm/s) Radius (cm) Velocity (cm/s) Distance (cm) Distance (cm) Distance (cm) Σχήµα 7.10 Σύγκριση προσοµοιώσεων µε πειράµατα για την εκβολή ινών πολυπροπυλενίου (ΡΡ). Τα πειράµατα έχουν γίνει από τους Ishizuka et al. [ISH 80], ενώ οι προσοµοιώσεις από τον Beaulne [BEA 99]. Τα διάφορα δεδοµένα ιδιοτήτων του υλικού δίνονται στον Πίνακα 7.2 ενώ οι συνθήκες λειτουργίας της γραµµής δίνονται στον Πίνακα 7.4. Πίνακας 7.4 Συνθήκες λειτουργίας γραµµής εκβολής ινών που χρησιµοποιήθηκαν στα ισοθερµοκρασιακά πειράµατα µε πολυπροπυλένιο (ΡΡ) των Ishizuka et al. [ISH 80]. # Πείραµα Μήκος γραµµής L (cm) Ταχύτητα εκβολής u 0 (cm/s) Ταχύτητα έλασης u L (cm/s) ύναµη έλασης F (dyn)

29 Μη-Ισοθερµοκρασιακή Εκβολή Ινών µε το Μοντέλο Παπ-Ζαπ - Σύγκριση µε Πειράµατα Ο George [GEO 82] εκτέλεσε µη-ισοθερµοκρασιακά πειράµατα εκβολής ινών µε πολυαιθυλενικό τερεφθαλίτη (ΡΕΤ) στους 300 o C, κάτω από συνθήκες µέσης µέχρι υψηλής ταχύτητας ινοποίησης. Έγιναν µετρήσεις για την ταχύτητα και θερµοκρασία της ίνας για τρεις διαφορετικές πειραµατικές συνθήκες. Η τελική ταχύτητα για τα τρία πειράµατα ήταν 1000 m/min, 2000 m/min, and 3000 m/min. Περισσότερες πληροφορίες για τις συνθήκες λειτουργίας δίνονται στον Πίνακα 7.5. Πίνακας 7.5 Συνθήκες λειτουργίας γραµµής εκβολής ινών που χρησιµοποιήθηκαν στα µη-ισοθερµοκρασιακά πειράµατα µε πολυαιθυλενικό τερεφθαλίτη (ΡΕΤ) του George [GEO 82]. Ιδιότητα (Μονάδες) Τιµή Ακτίνα µήτρας εκβολής, r 0 (cm) Ταχύτητα τήγµατος στη µήτρα εκβολής, u 0 (cm/s) Μαζική παροχή, ρq (kg/s) Ταχύτητα αέρα ψύξης, u air (cm/s) Θερµοκρασία εκβολής, T 0 ( o C, K) Θερµοκρασία αέρα, T air ( o C, K) x (573) 30 (303) Μολονότι το στόµιο της µήτρας εκβολής ήταν διαµέτρου 0.25 mm, η αρχική διάµετρος της ίνας d 0 που χρησιµοποιήθηκε στις προσοµοιώσεις ήταν 0.36 mm, έχοντας λάβει υπόψη 100% διόγκωση του τήγµατος στην έξοδο από τη µήτρα εκβολής [GΕΟ 82]. Τα πειραµατικά δεδοµένα έχουν γίνει στόχος προηγούµενης προσοµοίωσης από τους Gagon και Denn [GAG 81] για τις ταχύτητες

30 7-30 των 1000 m/min και 3000 m/min, και συµπεριλαµβάνουν τις δυνάµεις βαρύτητας, αδράνειας, και προσφύσησης του αέρα ψύξης, ενώ έγινε χρήση τροποποιηµένου ιξωδοελαστικού µοντέλου του τύπου Maxwell. Η αριθµητική επίλυση κατά Gagon και Denn έγινε µε τη µέθοδο Runge-Kutta 4ης τάξης. Velocity (cm/s) Spinning of PET at 300 o C Gagon and Denn (1981) This Work 1000 m/min (George, 1979) 2000 m/min (George, 1979) 3000 m/min (George, 1979) Total Filament Stress (dyne / cm 2 ) Spinning of PET at 300 o C 10 8 Gagon and Denn (1981) This Work 3000 m/min m/min 10 6 Temperature ( o C) Spinning of PET at 300 o C This work 1000 m/min (George, 1979) 2000 m/min (George, 1979) 3000 m/min (George, 1979) Distance (cm) Distance (cm) Distance (cm) Σχήµα 7.11 Σύγκριση προσοµοιώσεων µε πειράµατα για την εκβολή ινών πολυαιθυλενικού τερεφθαλίτη (ΡΕΤ). Τα πειράµατα έχουν γίνει από τον George [GEO 82], ενώ οι προσοµοιώσεις από τους Gagon και Denn [GAG 81], και τον Beaulne [BEA 99]. Τα διάφορα δεδοµένα ιδιοτήτων του υλικού δίνονται στον Πίνακα 7.2 ενώ οι συνθήκες λειτουργίας της γραµµής δίνονται στον Πίνακα 7.5. Οι προσοµοιώσεις από τον Beaulne [BEA 99] παρουσιάζονται στο Σχήµα 7.11 και συγκρίνονται µε τις προσοµοιώσεις των Gagon και Denn και τα πειράµατα του George. Παρατηρείται σχετικά καλή δυνατότητα πρόβλεψης των πειραµατικών δεδοµένων και αρκετά καλή συµφωνία µεταξύ των δύο τύπων προσοµοιώσεων. Η διαφορά µεταξύ των δύο τύπων προσοµοιώσεων ανάγεται στη διαφορετική µεταχείριση των οριακών συνθηκών. Για το διαφορικό ρεολογικό µοντέλο τύπου Maxwell, χρειάζονται οριακές συνθήκες για τις κάθετες τάσεις [ τ, τ rr στην Εξ. (7.34)] στην έξοδο της µήτρας εκβολής. Για το ολοκληρωτικό µοντέλο Παπ-Ζαπ, δεν χρειάζονται τέτοιες οριακές συνθήκες αλλά γίνονται υποθέσεις για τον τύπο της παραµόρφωσης

31 7-31 µέσα στη µήτρα (εφελκυστική παραµόρφωση λόγω των δυνάµεων έλασης) ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Το µοντέλο ανάλυσης της διεργασίας εκβολής ινών που παρουσιάστηκε εδώ έχει αρκετές αδυναµίες, µε πιο σπουδαία την έλλειψη θεώρησης ψύξης µεταξύ της µήτρας εκβολής και της γραµµής ψύξης, στερεοποίησης και κρυστάλλωσης, καθώς επίσης και της θεώρησης Νευτωνικού ρευστού. Η εισαγωγή των δύο αυτών θεωρήσεων κάνει πιο δύσκολο το πρόβληµα αλλά δεν εισάγει µεγάλες µεταβολές στην µέχρι τώρα ανάπτυξη του µοντέλου. Η κύρια δυσκολία δεν είναι τόσο η επέκταση της θεωρίας όσο η εφαρµογή της. Η µη-ισοθερµοκρασιακή ανάλυση πρέπει να κάνει χρήση κάποιου κατάλληλου µοντέλου που να συσχετίζει τη θερµοκρασία των ινών µε το ρυθµό απώλειας θερµότητας προς τον περιβάλλοντα αέρα. Αυτό εισάγει το συντελεστή µεταφοράς θερµότητας, όπως δείχθηκε στην παραπάνω ανάλυση. Γίνονται προσπάθειες ώστε οι µέθοδοι που χρησιµοποιούνται σήµερα για την εκτίµηση τέτοιων παραµέτρων να βελτιώνονται πειραµατικά, κάτι το οποίο είναι πιο εύκολο στη διεργασία αυτή απ ό,τι στη διεργασία εκβολής µε εµφύσηση (κάθετη ροή αέρα προς την ελασσόµενη ίνα). Το πεδίο ροής στη διεργασία αυτή διέπεται από µονοαξονικό εφελκυσµό. Η εισαγωγή µη-νευτωνικής συµπεριφοράς πρέπει απαραίτητα να γίνει µε κατάλληλο ρεολογικό µοντέλο (καταστατική εξίσωση) που να περιγράφει µε ακρίβεια τη συµπεριφορά του πραγµατικού πολυµερικού τήγµατος σε µονοαξονικό εφελκυσµό. Τέτοιες µετρήσεις γίνονται σήµερα για ορισµένα πολυµερικά τήγµατα και είναι πιο εύκολες από τις µετρήσεις για τη διαξονική

32 7-32 παραµόρφωση που προκαλείται στην εκβολή µε εµφύσηση, αλλά κοστίζουν πολύ ακριβά και παραµένουν δύσκολες πειραµατικά. Εποµένως, εν κατακλείδι, πρέπει να θεωρήσουµε ότι το µοντέλο που παρουσιάστηκε στο κεφάλαιο αυτό αποτελεί µια αρκετά σωστή προσπάθεια κατανόησης της δύσκολης αυτής διεργασίας, και είναι κυρίως ποιοτικό, αλλά και ποσοτικό, όπως έδειξαν οι τελευταίες µη-ισοθερµοκρασιακές προσοµοιώσεις µε πολύπλοκα ρεολογικά µηγραµµικά ολοκληρωτικά µοντέλα του τύπου Παπ-Ζαπ. Αποτελεί τη βάση εκκίνησης για πιο πολύπλοκα µοντέλα [CHE 87], που να λαµβάνουν υπόψη τους και την κρυστάλλωση των τηγµάτων (ιδίως για µεγάλες ταχύτητες έλασης) και πιο ρεαλιστικές συνθήκες προσοµοίωσης (διδιάστατες προσοµοιώσεις), εποµένως αποτελεί πρόσφορο έδαφος για περαιτέρω έρευνα στον τοµέα της µορφοποίησης πολυµερών. Βιβλιογραφία [ACI 71] ACIERNO, D., DALTON, J.N., RODRIGUEZ, J.M., WHITE, J.L.: Rheological and Heat Transfer Aspects of the Melt Spinning of Monofilament Fibers of Polyethylene and Polystyrene, J. Appl. Polym. Sci., 15, p , [BEA 99] BEAULNE, M.: Rheological Characterization of Complex Materials and Modeling of Shear-Free Flows, M.A.Sc. Thesis, Dept. Chem. Eng., Univ. Ottawa, Ottawa, Ontario, Canada, [CHE 87] CHEN, Z., PAPANASTASIOU, A.C.: Fiber Spinning with Molecular Models, Intern. Polym. Proc., 2, p , [DEN 75] DENN, M.M., PETRIE, C.J.S., AVENAS, P.: Mechanics of Steady Spinning of a Viscoelastic Liquid, AIChE J., 21, p. 791, 1975.

33 7-33 [DEN 76] DENN, M.M., FISHER, R.J.: The Mechanics and Stability of Isothermal Melt Spinning, AIChE J., 22, p. 236, [GAG 81] GAGON, D.K., DENN, M.M.: Computer Simulation of Steady Polymer Melt Spinning, Polym. Eng. Sci., 21, p , [GEO 82] GEORGE, H.H.: Model of Steady-State Melt Spinning at Intermediate Take-Up Speeds, Polym. Eng. Sci., 22, p , [HAW 84] HAW, J.: A Study of Tubular Film Blowing Process, Ph.D. Thesis, Dept. Chem. Eng., Polytech. Inst. New York, NY, USA, [ISH 80] ISHIZUKA, O., KOYAMA, K., NOKUBO, H.: Elongational Viscosity in the Isothermal Melt Spinning of Polypropylene, Polymer, 21, p , [ΚΑS 67] KASE, S., MATSUO, T.: Studies on Melt Spinning. II. Steady-State and Transient Solutions of Fundamental Equations Compared with Experimental Results, J. Appl. Polym. Sci., 11, p , [MAT 69] MATOVICH, M.A., PEARSON, J.R.A.,: Spinning a Molten Threadline: Steady State Isothermal Viscous Flow, Ind. Eng. Chem. Fund., 8, p. 512, [SPE 72] SPEAROT, J.A., METZNER, A.B.: Isothermal Spinning of Molten Polyethylenes, Trans. Soc. Rheol., 16, p. 495, 1972.