Μικτά δίκτυα. GPS και γωνίες, αποστάσεις, υψοµετρικές διαφορές και βαρύτητα. 7.1 H αρχή της τρισδιάστατης ολοκληρωµένης γεωδαισίας

Transcript

1 7 Μικτά δίκτυα. GPS και γωνίες, αποστάσεις, υψοµετρικές διαφορές και βαρύτητα. 7.1 H αρχή της τρισδιάστατης ολοκληρωµένης γεωδαισίας Στην κλασική οπογραφία και Γεωδαισία, ο υπολογισµός ενός δικτύου οριζόντιου ελέγχου διαχωρίζεται από τον υπολογισµό του αντίστοιχου υψοµετρικού ελέγχου. α στοιχεία που παρατηρούνται στην επιφάνεια της γης ανάγονται, στην περίπτωση του οριζόντιου δικτύου, στο τοπογραφικό ή προβολικό επίπεδο ή στην επιφάνεια ελλειψοειδούς, ή, στην περίπτωση του κατακόρυφου δικτύου, στη διεύθυνση µέτρησης των υψών. Παρά όµως τον παραπάνω δυασµό της Γεωδαισίας, οι παρατηρήσεις ενός οριζόντιου δικτύου δεν είναι ανεξάρτητες από τις παρατηρήσεις του κατακόρυφου δικτύου. Για παράδειγµα, ο θεοδόλιχος που χρησιµοποιείται για τις παρατηρήσεις των οριζόντιων διευθύνσεων και γωνιών προσανατολίζεται προς τη διεύθυνση της κατακορύφου στο σηµείο στάσης. O χωροβάτης και οι σταδίες που χρησιµοποιούνται για τη µέτρηση των υψοµετρικών διαφορών προσανατολίζονται κατά τις διευθύνσεις των κατακορύφων που διέρχονται από τα σηµεία στα οποία στέκονται διαδοχικά κατά τη χωροστάθµηση. Oι παρατηρήσεις εποµένως που φαίνονται να έχουν καθαρά γεωµετρικό χαρακτήρα, δέχονται στην πραγµατικότητα την επίδραση του γήινου πεδίου βαρύτητας, µια και η διεύθυνση της κατακορύφου που διέρχεται από ένα σηµείο είναι η διεύθυνση του διανύσµατος της έντασης του πεδίου βαρύτητας στο ση- µείο αυτό. Bέβαια, όταν πρόκειται για δίκτυα µεγάλης έκτασης η επίδραση αυτή του γήινου πεδίου βαρύτητας δεν αγνοείται και στην κλασική αντιµετώπιση. H αναγωγή στην επιφάνεια αναφοράς προϋποθέτει την γνώση των τιµών ορι-

2 96 Εφαρµογές GPS στα γεωδαιτικά δίκτυα σµένων παραµέτρων που έχουν σχέση µε το γήινο πεδίο βαρύτητας. Oι παρά- µετροι αυτές είναι οι συνιστώσες απόκλισης της κατακορύφου. Oι τιµές τους προκύπτουν από την επεξεργασία ξεχωριστών παρατηρήσεων που δεν έχουν σχέση µ εκείνες που αναφέρονται στις µετρήσεις γεωµετρικών στοιχείων µεταξύ των σηµείων του δικτύου. έτοιες είναι οι παρατηρήσεις που γίνονται στην ευρύτερη περιοχή του δικτύου και έχουν ως σκοπό τον λεπτοµερειακό υπολογισµό του γεωειδούς σε τοπική κλίµακα, όπως π.χ. οι παρατηρήσεις του αστρονοµικού µήκους ή πλάτους, οι παρατηρήσεις της έντασης του γήινου πεδίου βαρύτητας, κλπ. Στην κλασική αντιµετώπιση, παρά τις πιο πάνω αναγωγές χάνεται η πληροφορία που προέρχεται από την κοινή εξάρτηση όλων των παρατηρήσεων από τις διευθύνσεις της κατακορύφου στην περιοχή. H πληροφορία οφείλεται στο ότι οι διευθύνσεις αυτές δεν είναι µεταξύ τους παράλληλες, ούτε βρίσκονται σε τυχαία θέση, αλλά η σχετική τους θέση καθορίζεται από ένα κοινό αίτιο, το πεδίο βαρύτητας στην περιοχή. H πληροφορία αυτή µπορεί να ληφθεί υπόψη στη διαδικασία της συνόρθωσης µε τη βοήθεια της έννοιας της συσχέτισης ανάµεσα στις διευθύνσεις της κατακορύφου στα διάφορα σηµεία του δικτύου. H συσχέτιση αυτή εκφράζει τον "βαθµό οµοιότητας" ανάµεσα σε δύο µεγέθη που αναφέρονται σε διαφορετικά σηµεία, και είναι φυσικά µεγαλύτερη όσο µικρότερη είναι η απόσταση ανάµεσα στα δύο σηµεία, ενώ τείνει στο µηδέν για αποµακρυσµένα σηµεία. Σύµφωνα λοιπόν µε τα παραπάνω, στην τρισδιάστατη αντιµετώπιση των δικτύων η επίδραση της βαρύτητας στις καθαρά γεωµετρικές παρατηρήσεις π.χ. οριζόντιες διευθύνσεις, οριζόντιες και ζενίθιες γωνίες, γεωµετρική χωροστάθ- µηση, κλπ. οφείλεται στην εξάρτηση των παρατηρήσεων αυτών από τις διευθύνσεις της κατακορύφου στα σηµεία στάσης των οργάνων. Oι παράµετροι που ορίζουν τις διευθύνσεις της κατακορύφου στα µαθηµατικά µοντέλα κατά την ανάλυση των παρατηρήσεων, εξαρτώνται από την άγνωστη συνάρτηση του δυναµικού της γήινης βαρύτητας. έτοιες παράµετροι, που εξαρτώνται από κάποια άγνωστη συνάρτηση ονοµάζονται στη διεθνή βιβλιογραφία σήµατα. H γραµµικοποίηση των εξισώσεων του µαθηµατικού µοντέλου µε την παρουσία των σηµάτων, πραγµατοποιείται σε δύο στάδια, σύµφωνα µε το σχήµα: f r, "r # f r, " o r # f r o, " o r o. 1 Στο πρώτο στάδιο, η άγνωστη συνάρτηση ", από την οποία εξαρτάται το σήµα, προσεγγίζεται από µια γνωστή συνάρτηση " o που λέγεται κανονική συνάρτηση. Στο δεύτερο στάδιο, οι άγνωστες συντεταγµένες r, προσεγγίζονται από τις γνωστές προσεγγιστικές συντεταγµένες r o. Για τη γραµµικοποίηση εποµένως προσεγγίζεται η άγνωστη συνάρτηση W του δυναµικού του γήινου πεδίου βαρύτητας από µία γνωστή συνάρτηση U που ονοµάζεται συνάρτηση κανονικού

3 Μικτά δίκτυα. GPS και γωνίες, αποστάσεις, υψοµετρικές διαφορές και βαρύτητα 97 δυναµικού ή κανονικό δυναµικό. Στη γενική µορφή το σύστηµα των εξισώσεων παρατηρήσεων γράφεται w = A x + G s + v 2 όπου εκτός από τις διορθώσεις x των προσεγγιστικών συντεταγµένων r o, εµφανίζονται τα ανηγµένα σήµατα s που προκύπτουν από τη γραµµικοποίηση, και ο G είναι ο γνωστός πίνακας των συντελεστών. Όταν η περιοχή του δικτύου είναι περιορισµένης έκτασης, έτσι ώστε το πεδίο βαρύτητας να µπορεί να θεωρηθεί οµογενές, ο όρος G s µπορεί να αγνοηθεί ως πολύ µικρός σε σχέση µε τα σφάλµατα των µετρήσεων. Προκύπτει τότε η εξίσωση w = A x + v για δίκτυα ανεξάρτητα από το πεδίο βαρύτητας. έτοια είναι τα κλασικά τοπογραφικά δίκτυα. Στην περίπτωση που τα σήµατα s θεωρηθούν γνωστές ποσότητες, το σύστη- µα µπορεί να γραφεί w = w G s = A x + v. 3 Παράδειγµα εφαρµογής της περίπτωσης αυτής είναι η αναγωγή των παρατηρήσεων στην επιφάνεια ενός ελλειψοειδούς αναφοράς στην κλασική αντιµετώπιση των µεγάλων γεωδαιτικών δικτύων. α σήµατα s που εµφανίζονται στη γραµµικοποιηµένη µορφή των εξισώσεων παρατηρήσεων είναι οι διαταράξεις των ποσοτήτων που σχετίζονται µε το γήινο πεδίο βαρύτητας. Διατάραξη µιας ποσότητας, που σχετίζεται µε το πεδίο βαρύτητας, ονοµάζεται η διαφορά της κανονικής της τιµής από την πραγµατική τιµή. Oι διαταράξεις που εµφανίζονται στο σύστηµα των εξισώσεων παρατηρήσεων εξαρτώνται από τη διατάραξη του δυναµικού της γήινης βαρύτητας ή διαταρακτικό δυναµικό r =Wr "U r. 4 Aν η συνάρτηση του διαταρακτικού δυναµικού ήταν τελείως άγνωστη, τα σήµατα θα αντιµετωπίζονταν είτε ως άγνωστες παράµετροι ντετερµινιστική αντιµετώπιση, είτε θα αγνοούνταν κατά τη συνόρθωση, ανάλογα µε το µέγεθος του όρου G s. H συνάρτηση του διαταρακτικού δυναµικού είναι βέβαια άγνωστη, υπάρχουν όµως ορισµένοι περιορισµοί στη συµπεριφορά της, γνωστοί από τη στατιστική ανάλυση πεπερασµένου αριθµού σχετικών δεδοµένων. Oι περιορισµοί αυτοί εκφράζονται µέσω της συνάρτησης συµµεταβλητότητας του διαταρακτικού δυναµικού. H συνάρτηση συµµεταβλητότητας του διαταρακτικού δυναµικού περιγράφει το βαθµό αλληλοεξάρτησης ανάµεσα στις τιµές του διαταρακτικού δυναµικού σε δύο σηµεία.

4 98 Εφαρµογές GPS στα γεωδαιτικά δίκτυα Aπό τη συνάρτηση συµµεταβλητότητας του διαταρακτικού δυναµικού και µε την εφαρµογή του νόµου µετάδοσης συµµεταβλητοτήτων σε συναρτησιακά της µορφής s i = F i 5 που συνδέουν τα σήµατα µε το διαταρακτικό δυναµικό, προκύπτουν οι συµµεταβλητότητες των σηµάτων. Oι τιµές των συµµεταβλητοτήτων αποτελούν τα στοιχεία του πίνακα συµµεταβλητοτήτων των σηµάτων K. Σύµφωνα λοιπόν µε τα παραπάνω, τα σήµατα µπορούν να αντιµετωπισθούν είτε ως ντετερµινιστικά µεγέθη, σύµφωνα µε τις σχέσεις " w = [ A G] x + v, v P v = min. 6 # s είτε ως στοχαστικά µεγέθη σύµφωνα µε τις σχέσεις " w = A x + [ G I] s, s K "1 s + v P v = min. 7 # v H εισαγωγή των σηµάτων στη συνόρθωση, επιτρέπει την ταυτόχρονη ανάλυση τόσο των κλασικών γεωµετρικών παρατηρήσεων, όσο και παρατηρήσεων σχετικών µε το γήινο πεδίο βαρύτητας π.χ. αστρονοµικό µήκος και πλάτος, δυναµική χωροστάθµηση, ένταση του γήινου πεδίου βαρύτητας, κλπ.. Διάφορες εφαρµογές µε τη φιλοσοφία της ολοκληρωµένης γεωδαισίας δόθηκαν στα δίκτυα υψηλής ακριβείας, στα εθνικά δίκτυα, στα διαχρονικά δίκτυα για την παρακολούθηση παραµορφώσεων του στερεού φλοιού όπου οι γεωδαιτικές παρατηρήσεις αναλύονται ταυτόχρονα µε γεωδυναµικές ή γεωτεχνικές πληροφορίες, στον προσδιορισµό του γεωειδούς, στο αντίστροφο βαρυτηµετρικό πρόβληµα, στη δορυφορική γεωδαισία κλπ. Στη συνέχεια θα ασχοληθούµε µε τα τρισδιάστατα δίκτυα που ιδρύονται µε σκοπό την εκτίµηση µε όσο το δυνατόν µεγαλύτερη ακρίβεια της θέσης των κορυφών τους, οποιασδήποτε τάξης, παγκόσµια ή τοπικά. Θα δοθεί όµως έµφαση στα µικρά δίκτυα υψηλής ακρίβειας, που αναφέρονται σ ένα τοπικό σύστηµα αναφοράς και κατά τη γραµµικοποίησή τους χρησιµοποιείται ένα τοπικό µοντέλο κανονικού πεδίου βαρύτητας. Στο επόµενο κεφάλαιο θα αναφερθούµε στα διαχρονικά δίκτυα της ολοκληρωµένης γεωδαισίας, όπου ως σήµατα εµφανίζονται και οι µεταβολές της θέσης των σηµείων, καθώς και οι µεταβολές του πεδίου βαρύτητας.

5 Μικτά δίκτυα. GPS και γωνίες, αποστάσεις, υψοµετρικές διαφορές και βαρύτητα Oι εξισώσεις των παρατηρήσεων Σύµφωνα µε τα παραπάνω, µια τοπογραφική ή γεωδαιτική παρατήρηση µπορεί να είναι συνάρτηση όχι µόνο των καθαρά γεωµετρικών παραµέτρων που σχετίζονται µε τη θέση των σηµείων στο χώρο, αλλά και παραµέτρων που έ- χουν σχέση µε το γήινο πεδίο βαρύτητας. Έτσι οι παρατηρήσεις, ανάλογα µε τον αριθµό των σηµείων που συµµετέχουν και την επίδραση του πεδίου βαρύτητας σε ένα, σε όλα ή σε κανένα από αυτά, µπορούν να διακριθούν σε παρατηρήσεις ενός σηµείου εξαρτηµένες από το πεδίο βαρύτητας, σε παρατηρήσεις µεταξύ δύο σηµείων ανεξάρτητες από το πεδίο βαρύτητας, σε παρατηρήσεις µεταξύ δύο σηµείων εξαρτηµένες από το πεδίο βαρύτητας στο ένα σηµείο και σε παρατηρήσεις µεταξύ δύο σηµείων εξαρτηµένες από το πεδίο βαρύτητας και στα δύο σηµεία. Παρατηρήσεις ενός σηµείου, π.χ. του σηµείου P i, µε συντεταγµένες r i, είναι οι παρατηρήσεις του αστρονοµικού µήκους Λr i, του αστρονοµικού πλάτους Φr i και της απόλυτης τιµής της έντασης του πεδίου βαρύτητας gr i. ο α- στρονοµικό µήκος και πλάτος στο σηµείο P i µπορούν να χαρακτηρισθούν παρατηρήσεις της διεύθυνσης του διανύσµατος της βαρύτητας gr i, που το µέτρο του είναι η ένταση gr i. Oι µετρήσεις της έντασης του πεδίου βαρύτητας διακρίνονται σε απόλυτες µέτρηση της τιµής g i = gr i σ ένα σηµείο και σε σχετικές µέτρηση της διαφοράς Δg ij = gr j gr i ανάµεσα σε δύο σηµεία Oι συντεταγµένες r i αναφέρονται σε κάποιο τρισορθογώνιο καρτεσιανό σύστηµα αναφοράς. H θέση του συστήµατος αυτού στο χώρο µπορεί να είναι αυθαίρετη όταν αναλύονται µόνο επίγειες παρατηρήσεις γωνιών ή αποστάσεων π.χ. τοπογραφικό σύστηµα συντεταγµένων. Όταν όµως συµπεριληφθούν και παρατηρήσεις αστρονοµικού µήκους και πλάτους, τότε το σύστηµα αναφοράς προσανατολίζεται έτσι, ώστε οι άξονές του να γίνουν παράλληλοι προς τους άξονες του παγκόσµιου συµβατικού γήινου συστήµατος Conventional errestial System. ο διάνυσµα της βαρύτητας gr i στο σηµείο P i είναι η κλίση του δυναµικού W στο ίδιο σηµείο: # gr i = "W "r i. 8 α τοπογραφικά όργανα που χρησιµοποιούνται για τις µετρήσεις θεοδόλιχοι, χωροβάτες, κλπ. ορίζουν από µόνα τους ειδικά συστήµατα αναφοράς των συντεταγµένων. Ένα τέτοιο σύστηµα είναι το τοπικό σηµειακό ή τοποκεντρικό αστρονοµικό σύστηµα. ο τοποκεντρικό αστρονοµικό σύστηµα ορίζεται έτσι, ώστε η αρχή του να ταυτίζεται µε το σηµείο στάσης P i του οργάνου που χρησιµοποιείται για την παρατήρηση, ο άξονας z να ταυτίζεται µε τον

6 100 Εφαρµογές GPS στα γεωδαιτικά δίκτυα πρωτεύοντα άξονα του οργάνου που συµπίπτει µε τη διεύθυνση του διανύσµατος της έντασης του γήινου πεδίου βαρύτητας στο σηµείο P i διεύθυνση της κατακορύφου και µε θετική φορά αντίθετη από τη φορά του διανύσµατος της βαρύτητας, ο άξονας y να κατευθύνεται προς βορρά και ο άξονας x τέτοιος, ώστε το σύστηµα να είναι δεξιόστροφο. Oι συντεταγµένες r ij = x j [ y j z j ] 9 του σηµείου P j στο τοποκεντρικό αστρονοµικό σύστηµα µε κέντρο το σηµείο P i, συνδέονται µε τις συντεταγµένες r i = [ x i y i z i ], r j = [ x j y j z j ] 10 στο παγκόσµιο γήινο σύστηµα 1, µέσω της σχέσης r ij = R" i, # i r j r i = R 1 90 o # i R 2 90 o + " i r j r i 11 όπου " i = "r i, " i ="r i το αστρονοµικό µήκος και πλάτος του σηµείου P i και ο πίνακας στροφής R" i, # i έχει την αναλυτική µορφή sin " i cos " i 0 R" i,# i = cos " i sin# i sin " i sin# i cos# i cos " i cos# i sin " i cos# i sin# i 12 ο διάνυσµα της βαρύτητας στο σηµείο P i δίνεται από τη σχέση ή # gr i = "W "r i # # "W "r "r i = "r i 13 1 Η θέση των σηµείων αναφέρεται σε κάποιο τρισορθογώνιο σύστηµα αναφοράς. Η θέση του συστήµατος αυτού στο χώρο µπορεί να είναι αυθαίρετη όταν αναλύονται κλασικές τοπογραφικές παρατηρήσεις γωνιών και αποστάσεων. Όταν όµως συµπεριληφθούν παρατηρήσεις αστρονοµικού µήκους και πλάτους τότε το σύστηµα αναφοράς προσανατολίζεται έτσι ώστε οι άξονές του να γίνουν παράλληλοι προς τους άξονες του παγκόσµιου συµβατικού γήινου συστήµατος. Οι παρατήσεις της έντασης του πεδίου βαρύτητας ορίζουν και την αρχή του συστήµατος σε σχέση µε το κέντρο µάζας της γης.

7 Μικτά δίκτυα. GPS και γωνίες, αποστάσεις, υψοµετρικές διαφορές και βαρύτητα 101 Σχήµα 1. Η σχέση του παγκόσµιου αστρονοµικού συστήµατος µε το τοποκεντρικό αστρονοµικό που ορίζεται από το θεοδόλιχο στο σηµείο P i. 0 g i cos " i cos# i gr i = R " i,# i 0 = g i sin " i cos# i g i g i sin# i 14 Aπό τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει ότι "r i = arctan W # y, "r i = arctan #W z W x W 2 2, gr i = x +W y W x 2 +W 2 2 y +W z 15 όπου W x = "W "x και παρόµοια ορίζονται τα W y και W z. H εξίσωση που περιγράφει τις παρατηρήσεις του αστρονοµικού µήκους, του

8 102 Εφαρµογές GPS στα γεωδαιτικά δίκτυα αστρονοµικού πλάτους και της έντασης του πεδίου βαρύτητας, έχει τη γενική µορφή ψ = fgr i. Oι παρατηρήσεις των αποστάσεων, καθώς και οι παρατηρήσεις του διανύσµατος βάσης µε GPS, είναι παρατηρήσεις µεταξύ δύο σηµείων, ανεξάρτητες από το πεδίο βαρύτητας. H κεκλιµένη απόσταση r ij µεταξύ των σηµείων P i και P j, δίνεται από τη σχέση r ij = r j " r i r j " r i = x j " x i 2 + y j " y i 2 + z j " z i 2 16 ενώ το διάνυσµα βάσης r ij GPS συνδέεται µε τις συντεταγµένες στο σύστηµα α- ναφοράς της συνόρθωσης µέσω της σχέσης r ij GPS = " S# x, # y, # z r j r i = " R 1 # x R 2 # y R 3 # z r j r i 17 όπου S = S" x, " y, " z = R 1 " x R 2 " y R 3 " z και ε x, ε x, ε z είναι οι γωνίες στροφής µεταξύ των δύο συστηµάτων, του συστήµατος που αναφέρονται οι βάσεις GPS π.χ. WGS 84 και του παγκόσµιου γεωκεντρικού που ορίζουν π.χ. οι α- στρονοµικές συντεταγµένες, οι οποίες εµφανίζονται ως άγνωστες παράµετροι στη συνόρθωση. Oι παρατηρήσεις των αποστάσεων και οι παρατηρήσεις του διανύσµατος βάσης, ακολουθώντας τη γενική τυποποίηση, µπορούν να γραφούν στη µορφή ψ = fr i, r j. Oι παρατηρήσεις του αστρονοµικού αζιµουθίου, της οριζόντιας διεύθυνσης και της ζενίθιας γωνίας, είναι παρατηρήσεις µεταξύ δύο σηµείων, εξαρτηµένες από το πεδίο βαρύτητας στο ένα σηµείο. ο αζιµούθιο A ij, η ζενίθια γωνία ζ ij και το µήκος της κεκλιµένης απόστασης r ij ανάµεσα στα σηµεία P i και P j συνδέονται µε τις συντεταγµένες r ij του σηµείου P j στο τοποκεντρικό αστρονοµικό σύστηµα µε κέντρο το σηµείο P i, µε τη βοήθεια της σχέσης # 0 #r ij sin ij sin" ij r ij = R 3 A ij R 1 " ij 0 = r ij cos ij sin" ij r ij r ij cos" ij Aπό τις σχέσεις 11 και 18 προκύπτει ότι 18 #sin " ij = arctan i x j # x i + cos i y j # y i #cos i sin i x j # x i # sin i sin i y j # y i + cos i z j # z i 19 " ij = arccos cos # i cos i x j x i sin # i cos i y j y i + sin i z j z i x j x i 2 + y j y i 2 + z j z i 2 20

9 Μικτά δίκτυα. GPS και γωνίες, αποστάσεις, υψοµετρικές διαφορές και βαρύτητα 103 Σχήµα 2. Η σχέση του τοπικού συστήµατος µε το τοποκεντρικό αστρονοµικό που ορίζεται από το θεοδόλιχο στο σηµείο P i. ο σύστηµα αναφοράς των συντεταγµένων δεν είναι κατ ανάγκη το γεωκεντρικό. Όταν οι παρατηρήσεις είναι οι κλασικές τοπογραφικές, µπορεί να είναι ένα τυχαίο σύστηµα στην περιοχή του δικτύου. Για λόγους απλοποίησης όµως των υπολογισµών ορίζεται έτσι, ώστε η αρχή του να βρίσκεται πάνω στο γεωειδές, ο άξονας z να ταυτίζεται µε την κατακόρυφη και να έχει θετική φορά προς τα πάνω, ο άξονας y να κατευθύνεται προς τον αστρονοµικό βορρά και ο άξονας x να είναι τέτοιος ώστε το σύστηµα να είναι δεξιόστροφο. ο σύστηµα αυτό το ονοµάζουµε οπογραφικό Σύστηµα. Oι τοπογραφικές συντεταγµένες r i = [x i y i z i ] και r j = [x j y j z j ] των σηµείων P i και P j αντιστοίχως, συνδέονται µε τις τοποκεντρικές συντεταγµένες r ij του σηµείου P j µε κέντρο το σηµείο P i, µε τη βοήθεια της σχέσης r ij = R" i,µ i r j # r i = R 1 µ i R 2 #" i r j # r i 21 ή αναλυτικά

10 104 Εφαρµογές GPS στα γεωδαιτικά δίκτυα " # x ij y ij z ij " cos i 0 sin i " x j x i = sin i sinµ i cosµ i cos i sinµ i y j y i # sin i cosµ i sinµ i cos i cosµ i # z j z i 22 όπου ν i = νr i, µ i = µr i είναι οι παράµετροι απόκλισης του άξονα z του τοποκεντρικού αστρονοµικού συστήµατος, από τον άξονα z του τοπογραφικού, στα επίπεδα x, z και y, z αντιστοίχως. Aντίστοιχα µε τις σχέσεις 15 ισχύει "r i = arctan # W " x W, µr i = arctan W y y W 2 2 # x +W z 23 Aπό τις σχέσεις 18 και 21 προκύπτει ότι το αζιµούθιο A ij και η ζενίθια γωνία ζ ij συνδέονται µε τις συντεταγµένες των σηµείων P i και P j στο τοπικό σύστηµα συντεταγµένων, µε τη βοήθεια των σχέσεων cos# " ij = arctan i x j x i + sin# i z j z i cos# i sinµ i x j x i + cosµ i y j y i + cos# i sinµ i z j z i 24 " ij = arccos #sin i cosµ i x j # x i # sinµ i y j # y i + cos i cosµ i z j # z i x j # x i 2 + y j # y i 2 + z j # z i 2 25 Για λόγους γενικότητας ας θεωρηθεί ότι ο πίνακας στροφής R, που µετασχηµατίζει τις συντεταγµένες από το γενικό σύστηµα παγκόσµιο ή τοπογραφικό στο τοποκεντρικό σύστηµα, έχει τη µορφή R = R" i,# i 26 όπου " i, " i είναι οι παράµετροι " i, " i ή " i, µ i αντιστοίχως. Σύµφωνα µε τα παραπάνω, η εξίσωση που περιγράφει τις παρατηρήσεις του αστρονοµικού αζι- µουθίου, της οριζόντιας διεύθυνσης και της ζενίθιας γωνίας, έχει τη γενική µορφή ψ = fr i, r j, gr i. H οριζόντια διεύθυνση προκύπτει από το αστρονοµικό αζιµούθιο, αν αφαιρεθεί η σταθερά προσανατολισµού. Στην οµάδα αυτή των παρατηρήσεων συµπεριλαµβάνονται και οι παρατηρήσεις των οριζόντιων γωνιών, οι οποίες προκύπτουν από τη διαφορά δύο αζιµουθίων. Oι παρατηρήσεις διαφοράς δυναµικού, καθώς και οι παρατηρήσεις της γεωµετρικής χωροστάθµησης είναι παρατηρήσεις µεταξύ δύο σηµείων, εξαρτηµένες από το πεδίο βαρύτητας και στα δύο σηµεία. Oι παρατηρήσεις διαφοράς δυναµικού δεν γίνονται απευθείας, αλλά προκύπτουν από την απόλυτη τιµή της έντασης του πεδίου βαρύτητας και την υψοµε-

11 Μικτά δίκτυα. GPS και γωνίες, αποστάσεις, υψοµετρικές διαφορές και βαρύτητα 105 τρική διαφορά, σύµφωνα µε τη σχέση P j "W ij =Wr j #Wr i = g dh = g k h k 27 P i k όπου η άθροιση γίνεται για το σύνολο των σηµείων στάσης P k του χωροβάτη κατά τη µέτρηση της χωροσταθµικής όδευσης µεταξύ των σηµείων P i και P j, g k είναι η ένταση του πεδίου βαρύτητας στο σηµείο P k και δh k είναι η διαφορά των αναγνώσεων των σταδιών από το σηµείο στάσης P k του χωροβάτη. Oι παρατηρήσεις αυτές εκφράζονται από εξισώσεις της µορφής ψ = fwr i,wr j. H εισαγωγή παρατηρήσεων διαφοράς δυναµικού απαλείφει την αδυναµία της γεωµετρικής µορφής του δικτύου που σχετίζεται µε την τρίτη διάσταση. Oι παράµετροι που σχετίζονται µε το γήινο πεδίο βαρύτητας Oι συναρτήσεις που συνδέουν τις παρατηρήσεις µε τις άγνωστες παραµέτρους είναι γενικά µη γραµµικές και γραµµικοποιούνται χρησιµοποιώντας προσεγγιστικές τιµές για τις άγνωστες παραµέτρους. Στην περίπτωση του πεδίου βαρύτητας οι άγνωστες παράµετροι είναι οι τιµές της άγνωστης συνάρτησης του δυναµικού W και των συναρτησιακών της του αστρονοµικού µήκους και πλάτους ή των γωνιών ν και µ, της έντασης του πεδίου βαρύτητας. Mετά τη γραµµικοποίηση οι άγνωστες παράµετροι που προέρχονται από το πεδίο βαρύτητας είναι οι τιµές της συνάρτησης του διαταρακτικού δυναµικού και των αντίστοιχων συναρτησιακών του οι διαταράξεις των αγνώστων φυσικών ποσοτήτων των µη γραµµικών εξισώσεων. Στη συνέχεια θα αναφερθούν οι διαταράξεις 2 που εµφανίζονται στις γραµµικές εξισώσεις των τοπογραφικών/γεωδαιτικών παρατηρήσεων και θα αναλυθεί η διαδικασία µετάβασης από τα συναρτησιακά του δυναµικού W στα συναρτησιακά του διαταρακτικού δυναµικού, γραµµικοποιώντας µια γενικής µορφής εξίσωση παρατήρησης. Σύµφωνα λοιπόν µε τα παραπάνω, για τη γραµµικοποίηση των εξισώσεων παρατηρήσεων προσεγγίζεται η άγνωστη συνάρτηση W του δυναµικού από µία γνωστή συνάρτηση U, που ονοµάζεται συνάρτηση του κανονικού δυναµικού ή κανονικό δυναµικό. Oι συναρτήσεις W και U συνδέονται µε τη σχέση W i =Wr i = U r i + r i = U i + i 28 H νέα άγνωστη συνάρτηση ονοµάζεται συνάρτηση του διαταρακτικού δυνα- 2 Διατάραξη µιας ποσότητας που σχετίζεται µε το πεδίο βαρύτητας είναι η διαφορά της κανονικής της τιµής από την πραγµατική της τιµή. Οι διαταράξεις των µεγεθών των σχετικών µε το πεδίο βαρύτητας εξαρτώνται από τη διατάραξη του δυναµικού της βαρύτητας, το διαταρακτικό δυναµικό.

12 106 Εφαρµογές GPS στα γεωδαιτικά δίκτυα µικού ή διατακτικό δυναµικό. Aν σύµφωνα µε τον ορισµό του διανύσµατος της βαρύτητας της σχέσης 13 ονοµασθεί #! i =!r i = "U "r i 29 το διάνυσµα της κανονικής βαρύτητας στο σηµείο P i, τότε σε αντιστοιχία µε τη σχέση 14 έχουµε 0 "! i cos i cos# i! i = R 1 90 o "# i R i 0 = "! i sin i cos# i "! i "! i sin# i όπου λ i = λr i το κανονικό µήκος, φ i = φr i το κανονικό πλάτος και γ i = γr i η κανονική βαρύτητα στο σηµείο P i. Για τη διατάραξη του διανύσµατος της βαρύτητας ισχύουν οι σχέσεις 30 "g i = "gr i = gr i #!r i = W r i # U r i W #U = r i = r i. 31 Eκτός από τις τιµές του διαταρακτικού δυναµικού και της διατάραξης της βαρύτητας δgr i = gr i γr i, άλλες παράµετροι που εµφανίζονται στις γραµ- µικοποιηµένες εξισώσεις των παρατηρήσεων είναι οι διαταράξεις των γωνιών α και β "# i = "#r i = #r i # o r i, "# i = "#r i = #r i # o r i 32 όπου α ο, β ο είναι οι αντίστοιχες κανονικές τιµές. Στην περίπτωση του παγκόσµιου συστήµατος αναφοράς έχουµε τις διαταράξεις του µήκους και του πλάτους "# i = "#r i = #r i r i, "# i = "#r i =#r i r i 33 ενώ στην περίπτωση του τοπικού συστήµατος, έχουµε τις διαταράξεις των γωνιών ν και µ "# i = "#r i = #r i # o r i, "µ i = "µr i = µr i # µ o r i. 34 Aν ονοµάσουµε δq το διάνυσµα των διαταράξεων "#, "# και "g, τότε "q = Q #1/2 o R o r 35

13 Μικτά δίκτυα. GPS και γωνίες, αποστάσεις, υψοµετρικές διαφορές και βαρύτητα 107 Πίνακας 1. Οι παράµετροι σήµατα δα, δβ στο παγκόσµιο σύστηµα δλ, δφ και στο τοπικό δν, δµ Παγκόσµιο σύστηµα Τοπικό σύστηµα "# i "# i 1 cos" i # i 1 " # i cosµ oi " i "# i όπου R o = R" o r i o, # o r i o είναι ο πίνακας στροφής υπολογισµένος στις προσεγγιστικές τιµές, και "# cos 0 0 Q 1/2 o = 0 "# 0 ή Q o 0 0 "1 o 1/2 = " cosµ o " #1 o ανάλογα µε το σύστηµα αναφοράς. Oι συµµεταβλητότητες των σηµάτων "#, "# και "g προκύπτουν µε την εφαρµογή του νόµου µετάδοσης των συµµεταβλητοτήτων στη σχέση 35. Oι διαταράξεις "# i και "# i, του µήκους Λ i και του πλάτους Φ i, συνδέονται µε τις συνιστώσες απόκλισης της κατακορύφου κατά παράλληλο " i και κατά µεσηµβρινό " i, µε τη βοήθεια των σχέσεων "# i = i cos i, "# i = i 37 ενώ οι διαταράξεις "# i και "µ i µε τη βοήθεια των σχέσεων "# i = i cosµ oi, "µ i = # i 38 H επιλογή του κανονικού πεδίου Oι πιο συνηθισµένες επιλογές κανονικού πεδίου είναι τέτοιες ώστε οι ισοδυναµικές του επιφάνειες να είναι κλειστές καµπύλες επιφάνειες και, κατά συνέπεια, η µορφή του να εκφράζεται απλούστερα σε καµπυλόγραµµες συντεταγµένες π.χ. ελλειψοειδές εκ περιστροφής, σφαίρα, κλπ.. Είναι σκόπιµο, λοιπόν, να δοθεί η αντίστοιχη της 35 σχέση, που περιέχει στην έκφρασή της τις καµπυλόγραµµες συντεταγµένες z = [z 1 z 3 z 3 ] Τ αντί για τις καρτεσιανές του διανύσµατος r. Ισχύει η σχέση

14 108 Εφαρµογές GPS στα γεωδαιτικά δίκτυα Πίνακας 2α. Ισοδυναµική επιφάνεια ελλειψοειδούς εκ περιστροφής. Τα στοιχεία του ελλειψοειδούς ορίστηκαν από τη Διεθνή Ένωση Γεωδαισίας και Γεωφυσικής IUGG στη Cambera το U u," = km E arctan E u + #2 a 2 q sin 2 " 1 2q o #2 u 2 + E 2 cos 2 " q = qu = 1 + " 1+ 3u2 2 # E 2 arctan E u 3u - +., + E / +, q o = qb a = m., b = m., E = a 2 " b 2 k M = "10 14 m 3 " sec #2, = "10 #5 rad " sec #1 Ελλειψοειδείς συντεταγµένες: z = [" # u] r = u 2 + E 2 cos " cos # u 2 + E 2 cos " sin #, u sin " " = arctan # vcos " 0 0 "r "z = R z G 1/2 z, G 1/2 z = 0 L 0, L 0 0 v z x 2 + y 2 # E 2 cos 2 " u = z sin " v = u 2 + E 2 L = u 2 + E 2 sin 2 " R z = R 1 90 " # R , cos " = u L cos ", sin " = v L sin "! z = "U 0 0 "z = 2 q U # = 2 sin2#a2 + v 2 q U u o + km v a 2 q, sin 2 # + 1 2q o 3 +2 ucos 2 # " = #U #r = #z #U #r #z = R z G 1/2 z! z " = v2 U u 2 +U # 2 L = " 1 2 +" 2 2 +" 3 2, " = arctan # 3 # 1 2 +# 2 2 " "r = " "z "z "r = " "z G #1/2 z R z 39

15 Μικτά δίκτυα. GPS και γωνίες, αποστάσεις, υψοµετρικές διαφορές και βαρύτητα 109 Πίνακας 2β. Ισοδυναµική επιφάνεια σφαίρας. U r," = km r + #2 R 5 r 3 sin 2 " #2 r 2 cos 2 " [ ], r = z = " # r r cos" cos # r cos" sin # r sin" "r "z = R z G 1/2 z, R z = R 1 90 "# R , # r cos" 0 0 G 1/2 z = 0 r ! z = "U 0 0 "z = 2 U # = 2 sin2# R5 + r 5 r U r 3 + km v R 5 2r 4 sin 2 # r cos 2 # " = R z G z 1/2! z, " = 1 r 2 U 2 # +U 2 r, " = arctan # 3 # 1 2 +# 2 2 όπου R z είναι ένας ορθογώνιος πίνακας στροφής που συνδέει τις καρτεσιανές συντεταγµένες r µε τις καµπυλόγραµµες z dr = "r "z dz = R z G z 1/2 dz 40 και ο πίνακας G z είναι ο µετρικός πίνακας τέτοιος ώστε dr dr = dz G z dz G z 1/2 G z 1/2 = G z. H σχέση 35 γίνεται "q = Q #1/2 o R o R #1/2 z G z z 41

16 110 Εφαρµογές GPS στα γεωδαιτικά δίκτυα H µορφή των καµπυλόγραµµων συντεταγµένων z εξαρτάται από τη µορφή του κανονικού πεδίου που χρησιµοποιείται. Για τις επιλογές όπου οι δύο πρώτες συντεταγµένες είναι οι κανονικές τιµές α ο, β ο λ, φ ή ν, µ ισχύει R o = R z και R o R z = I. Σε παγκόσµια κλίµακα, χρησιµοποιείται ως κανονικό πεδίο βαρύτητας το πεδίο του οποίου οι ισοδυναµικές επιφάνειες είναι ελλειψοειδή εκ περιστροφής. Σε τοπική κλίµακα µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως κανονικό το πεδίο του οποίου µια συγκεκριµένη ισοδυναµική επιφάνεια µε εξίσωση Ur o = U o είναι η επιφάνεια σφαίρας ακτίνας R o. ο δυναµικό U o, η ακτίνα R o και το κέντρο των ισοδυναµικών επιφανειών θα πρέπει να εκλεγούν κατά τέτοιο τρόπο ώστε να ελαχιστοποιούνται οι διαταράξεις στην περιοχή όπου είναι εγκατεστηµένο το δίκτυο. H συνάρτηση του κανονικού δυναµικού, στο τοπικό σύστηµα αναφοράς των συντεταγµένων έχει τη µορφή U r i = m x i 2 + y i 2 + R+ z i 2 42 όπου m = f km, k ο συντελεστής της παγκόσµιας σταθεράς έλξης, M είναι η µάζα της γης και R η απόσταση της αρχής του συστήµατος αναφοράς από το κέντρο των ισοδυναµικών επιφανειών. Στην παραπάνω σχέση, για λόγους α- πλοποίησης αγνοήθηκε η επίδραση του φυγοκέντρου δυναµικού, επειδή η τιµή του σε µικρές περιοχές µπορεί να θεωρηθεί σταθερή. H σταθερή αυτή τιµή λαµβάνεται υπόψη στον υπολογισµό της ποσότητας m. H κανονική βαρύτητα δίνεται από τη σχέση "r i = m x i 2 + y i 2 + R+ z i 2 43 και το διάνυσµα της βαρύτητας # 0 # sin i!r i = R o 0 m = " m x 2 " x 2 i + y 2 i + R+ z i 2 i + y 2 i + R+ z i 2 cos i sinµ i. 44 cos i cosµ i o H γραµµικοποίηση των εξισώσεων παρατήρησης Aς θεωρήσουµε τη γενική τυπική παρατήρηση

17 Μικτά δίκτυα. GPS και γωνίες, αποστάσεις, υψοµετρικές διαφορές και βαρύτητα 111 " = f r i, r j, Wr i, gr i. 45 Mέσα από τη διαδικασία γραµµικοποίησης της σχέσης αυτής θα δειχτεί η σχέση γεωµετρίας και βαρύτητας. Aπό τη γραµµικοποιηµένη µορφή της παραπάνω σχέσης µπορούν να προκύψουν, ως ειδικές περιπτώσεις, οι γραµµικοποιήσεις όλων των µορφών παρατήρησης. Aν αναπτυχθεί η προηγούµενη σχέση σε σειρά aylor προκύπτει " = " o + #f r i r o i + #f r j r o j + #r i #r o j o όπου " o = f r i o, r j o, U r i o,!r i o και #f W + #f g 46 #Wr i o #gr i o "W =Wr i #U r i o, "g = gr i #!r i o 47 είναι οι ανωµαλίες του δυναµικού και του διανύσµατος της βαρύτητας αντίστοιχα. O δείκτης ο συµβολίζει την προσεγγιστική τιµή του αντίστοιχου µεγέθους. Aνωµαλίες ονοµάζονται οι διαφορές µεταξύ των πραγµατικών µεγεθών στο σηµείο µε συντεταγµένες r i και των κανονικών στο προσεγγιστικό σηµείο µε συντεταγµένες r i o. Γραµµικοποιώντας τις ανωµαλίες ΔW και Δg ως προς τη θέση προκύπτει "W = U r i # r i #U r i o = U r i o r i # r i o + r i o =!r i o r i # r i o + r i o και 48 "g =!r i + #gr i!r o i =! r i r o i + #gr o i 49 r i o παραλείποντας ως ασήµαντους τους όρους " "r i o r i # r i o και " # " "r i "r i o r i r i o. H τελική γραµµική εξίσωση παρατήρηση παίρνει τη µορφή " = " o + #f r i r o i + #f r j r o j + #r i #r o j o + #f [ #! r i r o i + gr o i ] #gr i o #r i o #f [!r o i r i r o i + r o i ] #Wr i o 50

18 112 Εφαρµογές GPS στα γεωδαιτικά δίκτυα όπου ο πίνακας M = "! = " # "U "r i "r o i "r i o 51 είναι γνωστός ως πίνακας του Marussi 3 σε πιο αυστηρή µαθηµατική ορολογία είναι ο πίνακας Hessian H U r της συνάρτησης του κανονικού δυναµικού U. Ο πίνακας του Marussi υπολογίζεται από τη σχέση M = R z H G z "1/2 R z 52 όπου z = [z 1 z 3 z 3 ] Τ είναι οι καµπυλόγραµµες συντεταγµένες ως συνάρτηση των οποίων δίνεται το κανονικό πεδίο π.χ. ελλειψοειδείς ", #, u, σφαιρικές ", #, r, Η = [h 1 h 3 h 3 ], h k = S k! z + G z "1/2 #! z #z k 53 "R S k = R z z G #1/2 z + "G #1/2 z 54 "z k "z k G z είναι ο µετρικός πίνακας που συνδέει τις καρτεσιανές και τις καµπυλόγραµ- µες συντεταγµένες dr = R z G z dz, και! z είναι το διάνυσµα της κανονικής βαρύτητας εκφρασµένο µε τις καµπυλόγραµµες συντεταγµένες z 4. O πίνακας του Marussi, για την επιλογή του κανονικού πεδίου βαρύτητας της σχέσης 42, δίνεται από τη σχέση 3 Ο πίνακας του Marussi είναι µια προσέγγιση του πίνακα Bruns, ο οποίος µε τη διαφορική σχέση dq = B dr συνδέει το χώρο βαρύτητας µε το γεωµετρικό χώρο. Ο µετασχηµατισµός αυτός λέγεται µετασχηµατισµός Bruns, από γεωµετρική σκοπιά χαρακτηρίζεται ως «οµογραφία» ή ως τανυστής όταν χρησιµοποιείται ο τανυστικός συµβολισµός και πρωτοαναφέρθηκε από το θεµελιωτή της διαφορικής γεωδαισίας Antonio Marussi στην εργασία του Fondamenti di Geodesia Intrinseca Aναλυτικά ο πίνακας M, για διάφορες επιλογές κανονικού πεδίου βαρύτητας π.χ., ελλειψοειδές εκ περιστροφής, σφαίρα κλπ., δίνεται στην εργασία "Oλοκληρωµένα τοπογραφικά δίκτυα" Pωσσικόπουλος, 1986.

19 Μικτά δίκτυα. GPS και γωνίες, αποστάσεις, υψοµετρικές διαφορές και βαρύτητα 113 Πίνακας 2α. Οι εξισώσεις παρατήρησης στο παγκόσµιο αστρονοµικό σύστηµα. Ως άγνωστες παράµετροι εµφανίζονται οι διορθώσεις των προσεγγιστικών καρτεσιανών συντεταγµένων x, y, z και οι αποκλίσεις της κατακορύφου, η διατάραξη της βαρύτητας και το διαταρακτικό δυναµικό. " ij = " ij o # a R i x i + a R i x j + " ij = " ij o # b R i x i + b R i x j + 1 cos i a R r ij o i + a R r ij o i 1 cos i b R r ij o i + b R r ij o i r ij GPS = r ij o " x i + x j + r ij o # + P 1 r ij o # x + P 2 r ij o # y + P 3 r ij o # z " i = # i 1 l 1 i M x i + i,! i cos i cos i " i = # i 1! i m i M x i + i g i =! i " n i M x i +#g i "W ij = "U ij + #! i [! j ] x i x j + #1 1 [ ] i r ij o = r j o " r i o, "U ij = U r j o #U r i o,! i =!r i o = "! i n i, i = r i o "sin i cos i 0 R i = R 1 90 o "# i R i = "cos i sin# i "sin i sin# i cos# i = cos i cos# i sin i cos# i sin# i N i = a 1" e 2 sin 2 # i, M i = a1" e 2 j 1" e 2 sin 2 # i 3 l i m i n i M = "! "r i o r i R 1 o = R 1/2 o Q 0 0 o cos# i r i " m "r i x 2 i + y 2 i + R+ z i 2 o. 55 Oι εξισώσεις του αζιµουθίου και της ζενίθιας γωνίας

20 114 Εφαρµογές GPS στα γεωδαιτικά δίκτυα Aναπτύσσοντας τις σχέσεις 19 και 20, ή 24 και 25, σε σειρές aylor σύµφωνα µε την προηγούµενη τεχνική και διατηρώντας µόνο όρους πρώτης τάξης, έχουµε και " ij = " ij o # a R o x i + a R o x j + a R r j o # r i o i + a R r j o # r i o i 56 " ij = " ij o # b R o x i + b R o x j + b R r j o # r i o i + b R r j o # r i o i 57 όπου # a = y j S ij 2 "x j S ij 2 0 #, b x = j z j S 2 ij d ij o y j z j S ij d ij 2 " S ij 58 2 d ij o είναι οι συντελεστές των αγνώστων διορθώσεων των προσεγγιστικών τιµών των συντεταγµένων, S ij = x j 2 + y j 2, d ij = x j 2 + y j 2 + z j 2 59 είναι οι αποστάσεις ανάµεσα στα σηµεία P i και P j πάνω στο επίπεδο x, y και η κεκλιµένη, και R o = R" i o,# i o, R " = " R, R # = # R 60 είναι ο πίνακας R και οι παράγωγοι πίνακες του R ως προς α i και β i αντίστοιχα, υπολογισµένοι στις προσεγγιστικές τιµές " i o, " i o. Aν οι τιµές " i o, " i o δεν είναι αυθαίρετες, αλλά προκύπτουν µετά από την επιλογή ενός κανονικού πεδίου βαρύτητας, τότε οι τιµές " i o, " i o είναι κανονικές τιµές, και οι ποσότητες δα i, δβ i, που προκύπτουν από τη γραµµικοποίηση, είναι οι διαταράξεις των ποσοτήτων α i και β i αντιστοίχως και σχετίζονται µε τις διαταράξεις του πεδίου βαρύτητας 5. Για το παγκόσµιο σύστηµα συντεταγµένων οι παραπάνω πίνακες 5 Για να αγνοηθούν οι όροι ανώτερης τάξης από τις σειρές aylor, απαραίτητη προϋπόθεση είναι οι προσεγγιστικές συντεταγµένες να βρίσκονται πολύ κοντά στις πραγµατικές και, αντίστοιχα, οι προσεγγιστικές τιµές των σηµάτων να βρίσκονται πολύ κοντά στις πραγµατικές. Αν δεν συµβαίνει αυτό τα σφάλµατα γραµµικοποίησης είναι σηµαντικά. Στα κλασικά τοπογραφικά δίκτυα, αλλά και στα τρισδιάστατα όσο αφορά στις συντεταγµένες, το πρόβληµα αυτό ξεπερνιέται µε επαναλήψεις λύσεων. Αυτό θα µπορούσε να εφαρµοστεί και στη συνόρθωση των ολοκληρωµένων δικτύων για τα σήµατα. Τότε όµως θα ήταν άγνωστος ο τρόπος που συνδέονται τα νέα σήµατα µε το διαταρακτικό δυναµικό και εποµένως άγνωστος ο πίνακας συµµεταβλητοτήτων τους. Στα

21 Μικτά δίκτυα. GPS και γωνίες, αποστάσεις, υψοµετρικές διαφορές και βαρύτητα 115 Πίνακας 2γ. Οι εξισώσεις παρατήρησης στο τοπικό σύστηµα αναφοράς των συντεταγµένων. " ij = " ij o # a R i x i + a R i x j + " ij = " ij o # b R o x i + b R o x j + r ij GPS = " o S o r ij o # " o S o x i + " o S o x j + 1 cosµ oi a R r ij o i # a R µ r ij o i 1 cosµ oi b R r ij o i # b R µ r ij o i + S o r ij o " + " o S x r ij o x + " o S y r ij o y + " o S z r ij o z g i =! i " n i M x i +#g i cos" i 0 sin" i R i = R 1 µ i R 2 µ i = #sin" i sinµ i cosµ i cos" i sinµ i = #sin" i cosµ i #sinµ i cos" i cosµ i R " = #R i #" i, R µ = "R i "µ i S = R 1 " x R 2 " y R 3 " z, S x = "S "# x, S y = "S "# y, S z = "S "# z l i m i n i γίνονται R " = #R cos i sin i 0, = sin i sin i cos i sin i 0 #", 61 o sin i cos i cos i cos i 0+, o R " = #R 0 0 0, = cos i cos i sin i cos i sin i #", 62 o cos i sin i sin i sin i cos i +, o όπου ο δείκτης ο σηµαίνει ότι τα στοιχεία Λ i, Φ i των πινάκων είναι υπολογισµένα στις κανονικές τιµές λ r i o, φ r i o, ενώ για το τοπογραφικό σύστηµα οι συµµεταβλητοτήτων τους. Στα δίκτυα της ολοκληρωµένης γεωδαισίας λοιπόν απαιτείται η επιλογή ενός κανονικού πεδίου τέτοιου ώστε οι διαταράξεις να είναι ελάχιστες.

22 116 Εφαρµογές GPS στα γεωδαιτικά δίκτυα Πίνακας 2δ. Οι εξισώσεις παρατήρησης στα µικτά δίκτυα ελέγχου των τεχνικών έργων. Τα δίκτυα αυτά είναι περιορισµένης έκτασης, αναφέρονται σε τοπικό σύστηµα αναφοράς και θεωρείται ότι ν ο=µ ο=0. " ij = " ij o # a x i + a x j # a P 2 r j o # r i o i # a P 1 r j o # r i o i " ij = " ij o # b x i + b x j # b P 2 r j o # r i o i # b P 1 r j o # r i o i r ij GPS = " o S o r ij o # " o S o x i + " o S o x j + + S o r ij o " + " o S x r ij o x + " o S y r ij o y + " o S z r ij o z παραπάνω σχέσεις γίνονται R " = # sin" i 0 cos" i #" R = cos" i sinµ i 0 sin" i sinµ i 63 cos" i cosµ i 0 sin" i cosµ i o R µ = " "µ R = #sin i cosµ i #sinµ i cos i cosµ i 64 sin i sinµ i #cosµ i cos i sinµ i o όπου ο δείκτης ο σηµαίνει ότι τα στοιχεία ν i, µ i των πινάκων είναι υπολογισµένα στις κανονικές τιµές ν ο r i o, µ ο r i o. Aπό τις σχέσεις 56, 57 προκύπτουν οι εξισώσεις παρατηρήσεων της οριζόντιας διεύθυνσης της οριζόντιας γωνίας καθώς και της ζενίθιας γωνίας. Oι εξισώσεις του αστρονοµικού µήκους, πλάτους και της έντασης του γήινου πεδίου βαρύτητας Oι εξισώσεις παρατηρήσεων του αστρονοµικού µήκους Λ i και πλάτους Φ i και της έντασης του γήινου πεδίου βαρύτητας g i, βασίζονται στη σχέση " i # i g i = i + i! i,! i cos+ i ,! i 0 0 0,1,1 -" i R o M x i + -# i -g i. 65 Aπό την τρίτη εξίσωση της προηγούµενης σχέσης προκύπτει και η εξίσωση της σχετικής βαρύτητας Δg ij = g j g i.

23 Μικτά δίκτυα. GPS και γωνίες, αποστάσεις, υψοµετρικές διαφορές και βαρύτητα 117 H εξίσωση της διαφοράς δυναµικού µεταξύ δύο σηµείων H εξίσωση παρατήρησης της διαφοράς δυναµικού ΔW ij είναι [ ] x i "W ij = U r j o #U r i o + #!r i o!r j o Oι εξισώσεις του διανύσµατος βάσης GPS x j + r o j # r o i. 66 Aπό τη σχέση 17, µετά τη γραµµικοποίησή της, προκύπτουν οι εξισώσεις παρατήρησης των συνιστωσών του διανύσµατος βάσης r ij GPS = " o S o r ij o # " o S o x i + " o S o x j + S o r ij o " + + " o S x r ij o x + " o S y r ij o y + " o S z r ij o z 67 όπου r o ij = r o o j " r i, λ ο η προσεγγιστική τιµή της µεταβολής της κλίµακας και οι ιακωβιανοί πίνακες S o x, S o y και S o z είναι υπολογισµένοι στις προσεγγιστικές τιµές! o x,! o y και! o z των γωνιών στροφής S x = cos" x sin" y cos" z + sin" x sin" z cos" x sin" y sin" z # sin" x cos" z cos" x cos" y cos" x sin" z # sin" x sin" y cos" z #sin" x sin" y sin" z # cos" x cos" z #sin" x cos" y "sin# y cos# z "sin# y sin# z "cos# y S y = sin# x cos# y cos# z sin# x cos# y sin# z "sin# x sin# y cos# x cos# y cos# z cos# x cos# y sin# z "cos# x sin# y "cos# y sin# z cos# y cos# z 0 S z = "sin# x sin# y sin# z " cos# x cos# z sin# x sin# y cos# z " cos# x sin# z 0 sin# x cos# z " cos# x sin# y sin# z cos# x sin# y cos# z + sin# x sin# z Στην περίπτωση που το σύστηµα συνόρθωσης είναι "σχεδόν" παράλληλο προς το συµβατικό γεωκεντρικό, οι γωνίες στροφής είναι αρκετά µικρές " x o = " y o = " z o = 0 και " o = 1 και η σχέση 67 γίνεται r ij GPS = r ij o " x i + x j + r ij o # + P 1 r ij o # x + P 2 r ij o # y + P 3 r ij o # z 69 όπου # # 0 0 "1 # P 1 = 0 0 1, P 2 = 0 0 0, P 3 = " "

24 118 Εφαρµογές GPS στα γεωδαιτικά δίκτυα 7.3 Απλά τρισδιάστατα δίκτυα Στα δίκτυα αυτά αγνοείται η κοινή εξάρτηση των σηµάτων από τη συνάρτηση του διαταρακτικού δυναµικού. Oι παρατηρήσεις είναι οι κλασικές γεωµετρικές παρατηρήσεις οριζόντιες και κατακόρυφες γωνίες, αποστάσεις και υψοµετρικές διαφορές καθώς και παρατηρήσεις του αστρονοµικού µήκους ή πλάτους ή των τιµών απόκλισης της κατακορύφου. Σήµατα είναι οι συνιστώσες απόκλισης της κατακορύφου ή οι διαταράξεις δφ, δλ ή δν, δµ και αντιµετωπίζονται και αυτά ως ντετερµινιστικές άγνωστες παράµετροι. ο σύστηµα των εξισώσεων παρατηρήσεων, καθώς και το κριτήριο των ελαχίστων τετραγώνων, γράφονται " w = [ A G] x + v, v P v = min. 71 # s ο σύστηµα των κανονικών εξισώσεων έχει τη µορφή ή " A P A A P G " x ˆ " # G P A G = A P b P G # s ˆ # G 72 P b " # N x N xs N xs N s " x ˆ " = u x # s ˆ 73 # u s O πίνακας N s έχει πλήρη βαθµό. O πίνακας N x παρουσιάζει αδυναµία βαθ- µού που εξαρτάται κάθε φορά από το είδος των παρατηρήσεων που έχουν γίνει στο δίκτυο. Στην περίπτωση που στο δίκτυο έχουν γίνει µόνο κλασικές γωνιο- µετρήσεις η αδυναµία βαθµού είναι 7. Aν προστεθούν στο δίκτυο πλευροµετρήσεις η αδυναµία βαθµού γίνεται 6. Στην περίπτωση που µετρηθούν οι α- στρονοµικές συντεταγµένες ή οι συνιστώσες απόκλισης της κατακορύφου σ ένα µόνο σηµείο, περιορίζονται οι µετακινήσεις του δικτύου ως προς το σύστη- µα αναφοράς και η αδυναµία βαθµού γίνεται 4. Aν και ο πιο απλός τρόπος εισαγωγής δεσµεύσεων είναι η διατήρηση ορισµένου αριθµού σταθερών συντεταγµένων, στη συνέχεια θα δώσουµε τη λύση για ελάχιστες δεσµεύσεις της µορφής H x = z, ή H x + H s = z, επειδή από τις σχέσεις αυτές προκύπτουν και οι εσωτερικές δεσµεύσεις E x = 0 ή E x + E s = 0. H λύση, στην περίπτωση των ελαχίστων δεσµεύσεων H x = z, δίνεται από τις σχέσεις ˆ x = R x "1 u x " N xs N s "1 u s + H z

25 Μικτά δίκτυα. GPS και γωνίες, αποστάσεις, υψοµετρικές διαφορές και βαρύτητα 119 Q x ˆ = R "1 x " E H E "1 E H "1 E 74 όπου R x = N x " N xs N "1 s N xs + H H και s ˆ = N "1 s u s " N xs x ˆ Qˆ s = N "1 s + N "1 s N "1 xs Q x ˆ N xs N s "1 Q x ˆ s ˆ = "Q x ˆ N xs N s 75 και E είναι ο πίνακας των εσωτερικών δεσµεύσεων E x = 0. Για τις εσωτερικές δεσµεύσεις E x = 0, ο πίνακας E έχει τη µορφή E =[ E 1 E 2... E N ] 76 όπου κάθε πίνακας E i είναι: Παρατηρήσεις: οριζόντιες διευθύνσεις ή γωνίες, ζενίθιες γωνίες, οριζόντιες ή κεκλιµένες αποστάσεις ή υψοµετρικές διαφορές # o o "z i y i E o o i = z i 0 "x i o o "y i x i 0 77 Παρατηρήσεις: οριζόντιες διευθύνσεις ή γωνίες, ζενίθιες γωνίες, οριζόντιες ή κεκλιµένες αποστάσεις ή υψοµετρικές διαφορές, αστρονοµικού µήκους και πλάτους σ ένα σηµείο P k sin" k y o o i # sin k cos" k z i E i = #sin" k x o o i + cos k cos" k z i sin k cos" k x o o i # cos k cos" k y i 78 Στην περίπτωση παρατηρήσεων αστρονοµικού µήκους και πλάτους σε περισσότερα από ένα σηµεία ο πίνακας E i ταυτίζεται µε τον µοναδιαίο E i = I 3. Όταν η έκταση που καλύπτει το δίκτυο είναι µικρή, έτσι ώστε οι διευθύνσεις που ορίζουν οι αστρονοµικές συντεταγµένες να είναι περίπου παράλληλες µεταξύ τους, το δίκτυο µπορεί να περιστραφεί γύρω από τον άξονα που ορίζεται από τη προσεγγιστική αυτή διεύθυνση. ο πρόβληµα αντιµετωπίζεται µε τις εσωτερικές δεσµεύσεις της προηγούµενης µορφής 78. H µορφή του πινακα E i δεν αλλάζει όταν, αντί για παρατηρήσεις αστρονο- µικών συντεταγµένων, διατίθενται ως ψευδοπαρατηρήσεις οι αποκλίσεις της

26 120 Εφαρµογές GPS στα γεωδαιτικά δίκτυα κατακορύφου η και ξ. Για το παγκόσµιο σύστηµα συντεταγµένων, το αστρονοµικό µήκος Λ k και πλάτος Φ k υπολογίζεται από τις σχέσεις " k = # k + k cos k, " k = # k + k. 79 Στην περίπτωση αυτή είναι προτιµότερη η χρησιµοποίηση ενός τοπικού συστή- µατος συντεταγµένων. O πίνακας Ė i παίρνει τη µορφή cos" k cosµ k y o o i + sinµ k z i E i = sin" k cosµ k x o o i # cos" k cosµ k z i sin" k cosµ k y o o i # sinµ k x i 80 όπου " k = " ok # k, µ k = µ ok "# k. cosµ ok Για περιοχές µικρής έκτασης δίκτυα ελέγχου τεχνικών έργων ή τοπικών παραµορφώσεων του φλοιού της γης, όπου γίνεται η προσέγγιση ν ο = µ ο = 0, η παραπάνω σχέση γράφεται cos" k cos# k y o o i sin# k z i E i = sin" k cos# k x o o i cos" k cos# k z i sin# k x o o i sin" k cos# k y i o y i o z i H εισαγωγή των παρατηρήσεων GPS δεν αλλάζει τις προηγούµενες µορφές των εσωτερικών δεσµεύσεων, επειδή ούτε το µέγεθος του δικτύου ορίζουν εξαιτίας της άγνωστης κλίµακας λ, αλλά και αδυνατούν να προσανατολίσουν το σύστηµα αναφοράς εξαιτίας των αγνώστων γωνιών ε x, ε y, ε z, καθώς επίσης και να ορίσουν την αρχή του. Στην περίπτωση των ελαχίστων δεσµεύσεων H x + H s = z, η λύση δίνεται από τις σχέσεις όπου x ˆ "1 = R x [u x "R xs R "1 s u s ] s ˆ "1 = R s [u s "R xs x ˆ ] 82 R x = N x " R xs R "1 s R xs + H H και R s = N s + H H, R xs = N xs + H H. 83 Oι πίνακες των συντελεστών των συµµεταβλητοτήτων δίνονται από τις σχέσεις

27 Μικτά δίκτυα. GPS και γωνίες, αποστάσεις, υψοµετρικές διαφορές και βαρύτητα 121 όπου Q x ˆ = R "1 x " E S "1 E 84 Qˆ s = R "1 s " R "1 s R xs Q x ˆ R xs R "1 s " E S "1 E 85 Q x ˆ s ˆ = "Q x ˆ R xs R "1 s " E S "1 E 86 S "1 = H E + H E "1 E H + E H "1. 87 και E, E είναι οι πίνακες των εσωτερικών δεσµεύσεων E x + E s = 0. Στην περίπτωση των εσωτερικών δεσµεύσεων E x + E s = 0 ο πίνακας E έχει τη µορφή E =[ E 1 E 2... E N ] που αναλύθηκε παραπάνω, ενώ ο πίνακας E έχει τη µορφή E =[ E 1 E 2... E N ], όπου κάθε πίνακας E i είναι E i = E i D i 88 και " sin # i "cos # i sin i cos cos# i " oi D i = 1 " cos # sin# oi sinµ oi i "sin # i sin i ή D r i cos i i = 1 cosµ oi r 0 "cosµ oi i 0 sin i " sin# 89 oi "cos# oi sinµ oi cosµ oi όπου r i = x i 2 + y i 2 + z i 2, ανάλογα µε το σύστηµα αναφοράς των συντεταγµένων. α σφάλµατα των παρατηρήσεων, η µεταβλητότητα αναφοράς, καθώς και ο πίνακας των συντελεστών των συµµεταβλητοτήτων τους δίνονται από τις σχέσεις v ˆ = b " A x ˆ " G s ˆ, ˆ " 2 = v ˆ P v ˆ n + k # r + q Q v ˆ = P "1 " A Q x ˆ A " A Q x ˆ s ˆ G " G Q xs 90 A " G Qˆ s G 91 όπου n είναι ο αριθµός των παρατηρήσεων, k ο αριθµός των δεσµεύσεων, r = 3N o αριθµός των αγνώστων συντεταγµένων και q ο αριθµός των σηµάτων. Oι βαθµοί ελευθερίας στην περίπτωση αυτή είναι f = n + k r + q. Σύµφωνα µε όσα αναπτύχθηκαν στο κεφάλαιο 6, οι µεταβλητότητες αναφοράς για κάθε οµάδα παρατηρήσεων δίνονται από τις σχέσεις

28 122 Εφαρµογές GPS στα γεωδαιτικά δίκτυα ˆ " i 2 = q i { } = ˆ tr W Q i v i Q i #1 ˆ v i f i, i = 1,2,...,m 92 όπου W = Q "1 Q ˆ v Q "1 και f i είναι ο αριθµός πλεονασµού της i oµάδας των παρατηρήσεων. Το άθροισµα των αριθµών αυτών δίνει τους συνολικούς βαθµούς ελευθερίας f = f 1 + f f m = n + k " r + q. 93 Όπως και στα κλασικά δίκτυα, ένας συνολικός έλεγχος της αξιοπιστίας των αποτελεσµάτων της συνόρθωσης µπορεί να γίνει µε τον έλεγχο της µεταβλητότητας αναφοράς. O αναλυτικότερος έλεγχος για τον εντοπισµό προβληµατικών παρατηρήσεων απαιτεί την εφαρµογή της σάρωσης δεδοµένων. Στην περίπτωση της ντετερµινιστικής αντιµετώπισης των σηµάτων η σάρωση δεδοµένων βασίζεται στις σχέσεις v ˆ r i = i " ˆ v ˆ i, " ˆ f "1 v ˆ i = " ˆ [Q v ˆ ] ii, t i = r i 2 f " r i ~ t f "1 94 όπως και στην περίπτωση των κλασικών τοπογραφικών δικτύων. Σχετικά µε την εφαρµογή του ελέγχου της γενικής υπόθεσης, οι υποθέσεις που ελέγχονται µπορεί να αφορούν τις συντεταγµένες των κορυφών του δικτύου και τα σήµατα H x + H s = z, ή µόνο τις συντεταγµένες H x = z, ή τα σήµατα H s = z. Aπό τις εκτιµήσεις x ˆ και s ˆ, υπολογίζονται τα σφάλµατα κλεισίµατος των δεσµεύσεων και ο πίνακας των συµµεταβλητοτήτων τους Qˆ e. O έλεγχος βασίζεται στη σχέση Πίνακας 3. H x + H s = z H x = z H s = z e ˆ = H x ˆ + H s ˆ " z Qˆ e = H Q x ˆ H " H Q x ˆ s ˆ H " e ˆ = H x ˆ " z, Qˆ e = H Q x ˆ H e ˆ = H s ˆ " z, Qˆ e = H Q s ˆ H H Q xs H " H Q s ˆ H F = ˆ e "1 Qˆ e e ˆ k # ˆ 2 ~ F k, f "k 95

29 Μικτά δίκτυα. GPS και γωνίες, αποστάσεις, υψοµετρικές διαφορές και βαρύτητα 123 όπου f οι βαθµοί ελευθερίας και k ο αριθµός των δεσµεύσεων που ελέγχονται. Mια απλή και χρήσιµη εφαρµογή είναι ο έλεγχος σηµαντικότητας των σηµάτων, H ο : s = 0, που βασίζεται στη σχέση F = ˆ s "1 Qˆ s s ˆ q # ˆ 2 ~ F q, f "q 96 f = n + k r + q οι βαθµοί ελευθερίας και q ο αριθµός των σηµάτων. Eναλλακτικές σχέσεις για τον παραπάνω έλεγχο βασίζονται στη λύση του διευρυµένου µοντέλου, όπου οι υποθέσεις που ελέγχονται συµµετέχουν ως δεσµεύσεις. Οι σχετικές σχέσεις δίνονται στον πίνακα 4. Πίνακας 4. H x + H s = z H x = z H s = z e ˆ = H x ˆ + H s ˆ " z Qˆ e = H Q x ˆ H " H Q x ˆ s ˆ H " x ˆ H = x ˆ " Q x ˆ H + Q x ˆ s ˆ H Q ˆ s ˆ H = s ˆ " Q ˆ x s ˆ H Q xs e e ˆ H + Q s ˆ H Qˆ e e ˆ e ˆ = H x ˆ " z, Qˆ e = H Q x ˆ H x ˆ H = x ˆ " Q x ˆ H Qˆ e e ˆ, s ˆ H = s ˆ " Q ˆ x s ˆ H " H Q s ˆ H H Q e ˆ e ˆ e ˆ = H s ˆ " z, Qˆ e = H Q s ˆ H x ˆ H = x ˆ " Q x ˆ s ˆ H Q e ˆ e ˆ, s ˆ H = s ˆ " Qˆ s H Q ˆ e e ˆ όπου x ˆ, s ˆ και Q x ˆ, Q x ˆ s ˆ, Qˆ s προέκυψαν από τη λύση µε ελάχιστες δεσµεύσεις. Στη συνέχεια υπολογίζονται τα σφάλµατα v ˆ H, το κριτήριο των ελαχίστων τετραγώνων " ˆ H και η µεταβλητότητα αναφοράς " ˆ 2 H. O έλεγχος βασίζεται στη σχέση F = f k " ˆ H # " ˆ = f " ˆ k " ˆ " ˆ H # " ˆ ~ F k, f #k 97 όπου f οι βαθµοί ελευθερίας και k ο αριθµός των δεσµεύσεων που ελέγχονται. 7.4 Δίκτυα της ολοκληρωµένης γεωδαισίας

30 124 Εφαρµογές GPS στα γεωδαιτικά δίκτυα Στη στοχαστική αντιµετώπιση των σηµάτων, εκτός από τον πίνακα συµµεταβλητοτήτων των σφαλµάτων των παρατηρήσεων C εµφανίζεται και ο πίνακας συµµεταβλητοτήτων των σηµάτων Κ, που προέρχονται από το γήινο πεδίο βαρύτητας. Ο πίνακας συµµεταβλητοτήτων των σηµάτων περιέχει τις πληροφορίες τις σχετικές µε τη στοχαστική συµπεριφορά των σηµάτων, ώστε να είναι δυνατός ο διαχωρισµός τους από τα σφάλµατα των παρατηρήσεων, και τα στοιχεία του, οι συµµεταβλητότητες των σηµάτων, είναι οι τιµές των αντίστοιχων συναρτήσεων συµµεταβλητότητας. Η έννοια της συµµεταβλητότητας των ση- µάτων, η µορφή της συνάρτησης συµµεταβλητότητας του διαταρακτικού δυνα- µικού και η δηµιουργία του πίνακα Κ εξετάζονται αναλυτικά στο Παράρτηµα Β. Πίνακας 5. Τοπική δοµή των συµµεταβλητοτήτων των σηµάτων " j " j "g j j " 1 i! 2 sin2 " K # + cos2 " sin# cos# K # " S! 2 K " 1 K " sin# 2 K sin" K # S! z 2! " i " 1! 2 cos2 # K + sin2 # K " cos# 2 K S! Sz cos" K #! "g i " K # " 1 K # " #K S #z i K S,z H εισαγωγή των σηµάτων στη συνόρθωση, επιτρέπει την ταυτόχρονη ανάλυση τόσο των κλασικών γεωµετρικών παρατηρήσεων οριζόντιες διευθύνσεις και γωνίες, ζενίθιες γωνίες, βάσεις GPS, γεωµετρική χωροστάθµηση, όσο και παρατηρήσεων σχετικών µε το γήινο πεδίο βαρύτητας π.χ. αστρονοµικό µήκος και πλάτος, δυναµική χωροστάθµηση, ένταση του γήινου πεδίου βαρύτητας, κλπ.. ο σύστηµα των εξισώσεων παρατηρήσεων, καθώς και το κριτήριο των ελαχίστων τετραγώνων, γράφονται " w = A x + [ G I] s, s K "1 s + v P v = min. 98 # v Το σύστηµα των κανονικών εξισώσεων παίρνει τη µορφή

31 Μικτά δίκτυα. GPS και γωνίες, αποστάσεις, υψοµετρικές διαφορές και βαρύτητα 125 Πίνακας 6. Οι µεταβλητότητες των σηµάτων στο επίπεδο ορισµού τους. " 2 = 1 2 " g 2 d 2 " 2 1 # = 2 2 cos " g 2 2, " # = " g 2 " # 2 = " 2 = " g 2 # N x N xs N xs # x ˆ # N s + K "1 = u x s ˆ 99 u s όπου οι υποπίνακες N s, N x, N xs δόθηκαν παραπάνω και K είναι ο πίνακας των συµµεταβλητοτήτων των σηµάτων. H λύση, στην περίπτωση των ελαχίστων δεσµεύσεων H x = z, δίνεται από τις σχέσεις 74 και 75, όπου όµως αντί για τον N "1 s χρησιµοποιείται ο N s + K 1 1. Mε τη συµµετοχή της ποσότητας s K 1 s στο κριτήριο των ελαχίστων τετραγώνων προσανατολίζεται το σύστηµα αναφοράς των συντεταγµένων ως προς το δίκτυο, οπότε, αν ορίζεται και το µέγεθος του δικτύου, ο κάθε υποπίνακας E i του πίνακα των εσωτερικών δεσµεύσεων E x = 0 ταυτίζεται µε τον µοναδιαίο πίνακα E i = I 3. Στην περίπτωση των ελαχίστων δεσµεύσεων H x + H s = z, η λύση δίνεται από τις σχέσεις 81 έως 86, όπου όµως R s = N s + K "1 + H H και Ė. = 0. H µεταβλητότητα αναφοράς δίνεται από τη σχέση " ˆ 2 v = ˆ P v ˆ + s ˆ K #1 s ˆ n + k # r και οι βαθµοί ελευθερίας είναι f = n + k r. 100 Αν θέσουµε e = G s + v και M = G K G + C το πρόβληµα της εκτίµησης των συνιστωσών της µεταβλητότητας αναφοράς διατυπώνεται ως εξής:

32 126 Εφαρµογές GPS στα γεωδαιτικά δίκτυα Πίνακας 7. Οι µεταβλητότητες των σηµάτων και οι συµµεταβλητότητες µεταξύ των σηµάτων στο ίδιο ση- µείο στην επιφάνεια του εδάφους. Οι διαφορετικές τιµές των µεταβλητοτήτων και συµµεταβλητοτήτων στις διαφορετικές επιλογές της συνάρτησης συµµεταβλητότητας οφείλονται στην επέκταση των συναρτήσεων στον πάνω ηµιχώρο. Εκθετική Reilly Moritz Poisson!, C E "1,0 C R 1,0 i i " g 2 2 d d + z d2 2 " g 2 d d + z 2 d 2 # " g, "C E 0,0 "C R 2,0 i! i " g 2 2 d d + z 2 d " g 2 2 d d + z 3 d "! g i,! g i 2C E 1,0 2C R 3,0 " 2 d g d + z 3 " 2 d g d + z 4 "# i, # i = = "# i,# i 2 C E 1,0 C R 3,0 " g " 2 " 2 2# 2 d d + z 3 2 " g 2# 2 d d + z 4 "# i, i = "# i,g i = " i, i = " i,g i = "# i, i = 0 α. Η περίπτωση των δύο συνιστωσών E{ ee 2 2 } = " v Q +" s G K G 101 Οι συνιστώσες " v 2 και " s 2 των παρατηρήσεων και των σηµάτων αντίστοιχα υπολογίζονται από τους τύπους " ˆ 2 # ˆ v = v tr W vv Q { } = ˆ " ˆ 2 s s = ˆ K #1 s ˆ tr W ss K { } = ˆ όπου f = f v + f s = n + k " r και W vv = M "1 " M "1 A R x "1 A M "1 W ss = G M "1 " M "1 A R x "1 A M "1 v Q 1 v ˆ 102 f v s K #1 s ˆ 103 f s G 104