ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ"

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ α x +β<0 Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ α.(β+γ)=α. β+α. γ =δ. π+υ 1.3 Δυνάμεις φυσικών αριθμών Πολλές φορές συναντάμε γινόμενα των οποίων όλοι οι παράγοντες είναι ίσοι. Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν έδρας κύβου και τον όγκο του, για διάφορες τιμές της ακμής του. Ο κύβος είναι ένα γεωμετρικό στερεό σώμα με επίπεδες επιφάνειες που έχουν σχήμα τετραγώνου και λέγονται έδρες. Ακμή είναι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο έδρες. ακμή ακμή έδρα Το εμβαδόν τετραγώνου πλευράς α δίνεται από τον τύπο Ε = α α. Επομένως, το εμβαδόν έδρας κύβου ακμής α δίνεται από τον τύπο Ε = α α.

2 4 Κεφάλαιο 1 ο Ο όγκος του κύβου είναι ίσος με το γινόμενο των ακμών που εκφράζουν το μήκος, το πλάτος και το ύψος του. Επειδή οι ακμές του κύβου είναι ίσες μεταξύ τους, αυτό εκφράζεται σύντομα με τον τύπο: Ο (κύβου) = α α α (ή V κύβου = α α α, όπου V ο διεθνής συμβολισμός του ό- γκου (αρχικό της λέξης Volume = όγκος). Εφαρμόζοντας τους τύπους υπολογισμού του εμβαδού έδρας και όγκου κύβου, βρίσκουμε ότι: Για ακμή α = 2 είναι: Ε = 2 2 = 4 τ.μ. και V = = 8 κ.μ. Για ακμή α = 3 είναι: Ε = 3 3 = 9 τ.μ. και V = =27 κ.μ. Για ακμή α = 4 είναι: Ε =4 4 = 16 τ.μ. και V = = 64 κ.μ. Για ακμή α = 5 είναι: Ε = 5 5 =25 τ.μ. και V = = 125 κ.μ. Παρατηρούμε ότι, γενικά, για να υπολογίσουμε το εμβαδόν μιας έδρας κύβου (τετραγώνου), πολλαπλασιάζουμε δύο ίσους αριθμούς και για να υπολογίσουμε τον όγκο ενός κύβου πολλαπλασιάζουμε τρεις ίσους αριθμούς. Δηλαδή, υπολογίζουμε γινόμενα αποτελούμενα από δύο και τρεις αντίστοιχα, ίσους παράγοντες. Ας δούμε ένα ακόμη παράδειγμα... Αναρωτηθήκατε ποτέ πόσοι είναι οι δυνατοί τετραψήφιοι κωδικοί pin ενός κινητού τηλεφώνου; Δεν είναι δύσκολο να τους υπολογίσουμε. Έστω λοιπόν ένας τετραψήφιος κωδικός pin Α Β Γ Δ Προφανώς, στη θέση Α μπορεί να μπει καθένας από τους αριθμούς 0, 1, 2, 3,,9 οι οποίοι είναι συνολικά 10. Για κάθε μία από τις 10 αυτές επιλογές για τη θέση Α, υπάρχουν 10 επιλογές για τη θέση Β. Δηλαδή, μόνο για τα δύο πρώτα ψηφία υπάρχουν = 100 επιλογές. Πράγματι, αν στη θέση Α μπει το 0, υπάρχουν 10 επιλογές (0-9) για τη θέση Β. Αν στη θέση Α μπει το 1, υπάρχουν 10 επιλογές (0-9) για τη θέση Β, κ.ο.κ. Οπότε όλες οι δυνατές περιπτώσεις είναι = = φορές

3 Κεφάλαιο 1 ο 5 Με την ίδια λογική, για κάθε μία από τις 100 δυνατές επιλογές για τις θέσεις Α και Β, υπάρχουν 10 επιλογές για τη θέση Γ. Δηλαδή, μόνο για τα τρία πρώτα ψηφία, υπάρχουν = = 1000 επιλογές. Τελικά, επειδή για κάθε μία από τις 1000 δυνατές επιλογές για τις θέσεις Α, Β και Γ υπάρχουν 10 για τη θέση Δ, για ένα τετραψήφιο κωδικό pin υπάρχουν = = επιλογές. Και πάλι είχαμε να υπολογίσουμε ένα γινόμενο αποτελούμενο από 4 ίσους παράγοντες. Θα μπορούσαμε να συνεχίζουμε να δίνουμε παραδείγματα στα οποία θα εμφανίζονταν γινόμενα οσωνδήποτε μεταξύ τους παραγόντων. Δεν θα είχε κάποιο ιδιαίτερο νόημα είμαστε σίγουροι αφενός ότι υπάρχουν και αφετέρου ότι μπορούμε να τα κατασκευάσουμε. Από έναν αριθμό παραγόντων και πέρα, είναι εύκολο να αντιληφθούμε τις δυσκολίες που θα συναντούσαμε για να τα γράψουμε (και κατόπιν, βέβαια, να τα υπολογίσουμε). Τα μαθηματικά είναι γνωστό ότι διακρίνονται (ή αν προτιμάτε, πρέπει να διακρίνονται) από ακρίβεια, σαφήνεια, λιτότητα και κομψότητα στην έκφραση (στη μαθηματική, όχι στη λεκτική ερμηνεία της). Αυτό απαιτεί και επιβάλλει την εκτεταμένη χρήση ορισμών και εννοιών, που συχνά συνοδεύονται και από τα αντίστοιχα σύμβολα. Το αποτέλεσμα είναι η μεγιστοποίηση των μαθηματικών εκφραστικών δυνατοτήτων, η οποία μπορεί ταυτόχρονα να γίνει δίκοπο μαχαίρι για όποιον δεν αποκωδικοποιεί σωστά όρους και σύμβολα (γι αυτό προσοχή και εγρήγορση!!!). Στην περίπτωση ενός γινομένου ίσων παραγόντων, εισάγουμε την έννοια της δύναμης συνοδευόμενη από τον αντίστοιχο συμβολισμό. Ονομάζουμε δύναμη με βάση το (φυσικό) αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό ν (ν > 1) και συμβολίζουμε με α ν το γινόμενο ν παραγόντων ίσων με α. Δηλαδή α ν = α14243 α α...α ν φορές Το σύμβολο α ν διαβάζεται επίσης «α στη νιοστή» ή «α στη ν».

4 6 Κεφάλαιο 1 ο Ορίζουμε επιπλέον ότι α 1 = α, για κάθε (φυσικό) α- ριθμό α (καθώς επίσης και α 0 = 1, για κάθε α διάφορο του μηδενός, όπως θα δούμε σε επόμενο κεφάλαιο, προς το τέλος αυτής της χρονιάς). Μπορεί να φαίνεται παράδοξος ο ορισμός των δυνάμεων α 1 και α 0, αφού για να έχουμε γινόμενο χρειαζόμαστε τουλάχιστον 2 παράγοντες!!! Καθώς όμως θα ε- μπλουτίζουμε τις γνώσεις μας πάνω στους αριθμούς, στις δυνάμεις και στις πράξεις με αυτές, θα γίνει φανερή τόσο η αναγκαιότητα της συμπλήρωσης του ορισμού κατά τον τρόπο αυτό, όσο και η λογική του. Μετά και την επέκταση του ορισμού της δύναμης για εκθέτη οποιονδήποτε φυσικό, προφανώς ισχύει: 1 ν =1, για κάθε ν φυσικό. ηλαδή όλες οι δυνάμεις του 1 είναι ίσες με 1. Επίσης είναι: 0 ν = 0, για κάθε φυσικό ν 0. ηλαδή όλες οι (διάφορες της μηδενικής) δυνάμεις του 0 είναι ίσες με 0. Το σύμβολο 0 0 δεν έχει νόημα (δεν ορίζεται η μηδενική δύναμη του μηδενός. Σε επόμενο κεφάλαιο, θα γίνει φανερό και το γιατί). Ενδιαφέρον επίσης, παρουσιάζουν και οι δυνάμεις του 10. Είναι: 10 1 = 10 (1 μηδενικό) 10 2 = = 100 (2 μηδενικά) 10 3 = = 1000 (3 μηδενικά)... και γενικά 10 ν = ηλαδή: ν μηδενικά Για να σχηματίσουμε μια οποιαδήποτε δύναμη του 10, αρκεί να γράψουμε το 1, και δεξιά του τόσα μηδενικά όσος είναι και ο εκθέτης της δύναμης. Η δύναμη είναι ένας σύντομος τρόπος για να γράψουμε ένα γινόμενο ίσων παραγόντων, ακριβώς όπως το γινόμενο είναι ένας σύντομος τρόπος για να γράψουμε ένα άθροισμα ίσων προσθετέων. Έτσι, η δύναμη α κ εκφράζει το γινόμενο κ παραγόντων ίσων με α, ενώ το γινόμενο κ α εκφράζει το άθροισμα κ προσθετέων ίσων με α. ηλαδή είναι:

5 Κεφάλαιο 1 ο 7 κ α14243 α α...α = α, αλλά κ φορές α α+ α... + α = κ α κ φορές Πρέπει λοιπόν να είμαστε πολύ προσεκτικοί και να μην τα μπερδεύουμε. Πράγματι ένα πολύ συνηθισμένο λάθος που γίνεται κατά τον υπολογισμό δυνάμεων είναι να πολλαπλασιάσουμε τη βάση με τον εκθέτη. Προσοχή λοιπόν!!! Για παράδειγμα είναι: 4 3 = = 64 ΠΟΤΕ 3 4 = 4 3= 12 Υπάρχει η περίπτωση ένα γινόμενο να αποτελείται από δύο ή και περισσότερους διαφορετικούς παράγοντες που ο ένας τουλάχιστον επαναλαμβάνεται (τουλάχιστον δύο φορές). Τότε, το γινόμενο αυτό μπορεί να γραφεί ως γινόμενο αριθμού με δύναμη ή γινόμενο δυνάμεων. Για παράδειγμα: = = φορές 3 φορές 5 φορές = φορές 3 φορές 4 φορές 3 φορές 2 φορές Προφανώς, όπως μπορούμε να γράψουμε ένα γινόμενο ίσων παραγόντων με τη μορφή δύναμης, έτσι μπορούμε να αναλύσουμε μια δύναμη σε γινόμενο (ίσων) παραγόντων και να μπορέσουμε να την υπολογίσουμε. Για παράδειγμα: 7 3 =7 7 7 = 49 7 = = = =256 4 = 1024 αφού, σύμφωνα με την προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού, μπορούμε να αντικαταθιστούμε παράγοντες με το γινόμενό τους (ή να αναλύουμε ένα παράγοντα σε γινόμενο). Ειδικά για τη δεύτερη και τρίτη δύναμη ενός αριθμού α (α 2 και α 3 αντίστοιχα) έχουν καθιερωθεί, επιπλέον, κάποιες ιδιαίτερες ονομασίες. Κατά κανόνα, λοιπόν τη δύναμη α 2 την αποκαλούμε α στο τετράγωνο (εκτός των ονομασιών «δεύτερη δύναμη» και «α στη δευτέρα»). Η ονομασία αυτή οφείλεται στο γεγονός ότι η δύναμη α 2 εκφράζει το εμβαδόν τετραγώνου πλευράς α. Θυμηθείτε: Το εμβαδόν τετραγώνου πλευράς α δίνεται από τον τύπο: Ε = α α = α 2

6 8 Κεφάλαιο 1 ο Λιγότερο συχνά, τη δύναμη α 3 την αποκαλούμε «α στον κύβο» (εκτός των ονομασιών «τρίτη δύναμη» και «α στην τρίτη»). Η ονομασία αυτή οφείλεται στο γεγονός ότι η δύναμη α 3 εκφράζει τον όγκο κύβου πλευράς α. Θυμηθείτε: Ο όγκος κύβου ακμής a δίνεται από τον τύπο: V = a a a = a 3 Αριθμητική παράσταση Αριθμητική παράσταση είναι μια σειρά αριθμών που συνδέονται μεταξύ τους με τα σύμβολα των πράξεων (πρόσθεσης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού, διαίρεσης) και στην οποία πιθανόν να υπάρχουν και παρενθέσεις. π.χ : (7 + 3) 9 (12 : 4 2) (8 5) 2-2 Τιμή της αριθμητικής παράστασης λέγεται το αποτέλεσμα που βρίσκουμε όταν εκτελέσουμε τις πράξεις που σημειώνονται. Η τιμή μιας αριθμητικής παράστασης ορίζεται μονοσήμαντα (δηλαδή σε κάθε α- ριθμητική παράσταση αντιστοιχεί μόνο μία τιμή). Επομένως, όταν υπολογίζουμε την τιμή μιας αριθμητικής παράστασης, οφείλουμε, εκτός από το να κάνουμε σωστά τις πράξεις, να τις κάνουμε και με μια συγκεκριμένη, προσυμφωνημένη σειρά, ώστε να καταλήγουμε όλοι πάντα στο ίδιο αποτέλεσμα. Όπως ακριβώς, ο Κώδικας Οδικής Κυκλοφορίας ορίζει ποιο αυτοκίνητο έχει προτεραιότητα σε μια διασταύρωση ανάλογα με την περίπτωση (απουσία σήμανσης, ύπαρξη ειδικής σήμανσης, εισαγωγή σε κυκλική πορεία, κ.λπ.) έτσι για να υπολογίσουμε την τιμή μιας αριθμητικής παράστασης εκτελούμε τις πράξεις σύμφωνα με την παρακάτω:

7 Κεφάλαιο 1 ο 9 Προτεραιότητα των πράξεων 1 ο : Δυνάμεις 2 ο : Πολλαπλασιασμοί διαιρέσεις 3 ο : Προσθέσεις αφαιρέσεις Αν υπάρχουν παρενθέσεις, εκτελούμε πρώτα τις πράξεις μέσα στις παρενθέσεις με την παραπάνω σειρά. Πράξεις με την ίδια προτεραιότητα (πολλαπλασιασμοί διαιρέσεις και προσθέσεις - αφαιρέσεις) γίνονται από τα αριστερά προς τα δεξιά. Όταν έχουμε μόνο προσθέσεις ή μόνο πολλαπλασιασμούς, μπορούμε να τις/ τους εκτελέσουμε με όποια σειρά θέλουμε, λόγω της αντιμεταθετικής και της προσεταιριστικής ιδιότητας της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού αντίστοιχα. Θα εκτελέσουμε τις πράξεις στις αριθμητικές παραστάσεις που αναφέραμε προηγουμένως και θα υπολογίσουμε την τιμή τους. Θα ονομάσουμε την πρώτη αριθμητική παράσταση με Α και τη δεύτερη με Β. Α = : (7 + 3) 9 = : Κάνουμε την πράξη της παρένθεσης = : Υπολογίζουμε τη δύναμη: 4 2 = 4 4 = 16 = Κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις = Εκτελούμε τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις = 94 9 με τη σειρά από αριστερά προς τα δεξιά = 85 Η τιμή της αριθμητικής παράστασης Α είναι 85

8 10 Κεφάλαιο 1 ο Β = (12 : 4 2) (8 5) 2 2 = (3 2) (8 5) 2 2 Κάνουμε πράξεις στις παρενθέσεις, πρώτα κάνουμε τη διαίρεση = και μετά τις αφαιρέσεις = Υπολογίζουμε τη δύναμη: 3 2 = 3 3 = 9 = Κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς = 68 2 Κάνουμε την πρόσθεση = 66 Κάνουμε την αφαίρεση Η τιμή της αριθμητικής παράστασης Β είναι Να γίνουν οι πράξεις α) (2 3) 2, β) (2 3 ) 2 Πρώτα θα γίνουν οι πράξεις μέσα στις παρενθέσεις και έπειτα θα υ- πολογίσουμε τις δυνάμεις. Λύση Κάνουμε πρώτα τις πράξεις που είναι μέσα στις παρενθέσεις και έπειτα υπολογίζουμε τη δύναμη που προκύπτει: α) (2 3) 2 = 6 2 = 6 6 = 36 β) (2 3 ) 2 = (2 2 2) 2 = (4 2) 2 = 8 2 = 8 8 = 64

9 Κεφάλαιο 1 ο 11 2 Να βρεθεί η τιμή της παράστασης: Α = 15 : : 8 Ακολουθούμε τη σειρά των πράξεων. 1. υνάμεις 2. Πολλαπλασιασμοί - διαιρέσεις με τη σειρά από αριστερά προς δεξιά 3. Προσθέσεις - αφαιρέσεις με τη σειρά από αριστερά προς δεξιά. Λύση Α = 15 : : 8 = 15 : : 8 υπολογίζουμε πρώτα τις δυνάμεις: 2 3 = = 4 2 = 8 και 4 2 = 4 4 = 16 = κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις = 45 2 κάνουμε την πρόσθεση = 43 κάνουμε την αφαίρεση

10 12 Κεφάλαιο 1 ο Με τη βοήθεια ηλεκτρονικού υπολογιστή τσέπης υπολογίστε τις παρακάτω δυνάμεις: 11 2 = = = Χωρίς τη βοήθεια του ηλεκτρονικού υπολογιστή τσέπης, μπορείτε να υπολογίσετε τις παρακάτω δυνάμεις; = = = Η Λύση βρίσκεται στο τέλος του τεύχους.

11 Κεφάλαιο 1 ο 13 Θυμόμαστε - Μαθαίνουμε Ονομάζουμε δύναμη με βάση το (φυσικό) αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό ν (ν > 1) και συμβολίζουμε με α ν το γινόμενο ν παραγόντων ίσων με α. Δηλαδή α ν = α14243 α α...α ν φορές Ορίζουμε επιπλέον ότι α 1 = α, για κάθε (φυσικό) αριθμό α (καθώς επίσης και α 0 = 1, για κάθε α διάφορο του μηδενός). 1 ν =1, για κάθε ν φυσικό. Δηλαδή όλες οι δυνάμεις του 1 είναι ίσες με 1. 0 ν = 0, για κάθε φυσικό ν 0. Δηλαδή όλες οι (διάφορες της μηδενικής) δυνάμεις του 0 είναι ίσες με 0. Το σύμβολο 0 0 δεν έχει νόημα (δεν ορίζεται η μηδενική δύναμη του μηδενός). 10 ν = Δηλαδή: ν μηδενικά Για να σχηματίσουμε μια οποιαδήποτε δύναμη του 10, αρκεί να γράψουμε το 1, και δεξιά του τόσα μηδενικά όσος είναι και ο εκθέτης της δύναμης. Η δύναμη είναι ένας σύντομος τρόπος για να γράψουμε ένα γινόμενο ίσων παραγόντων, ακριβώς όπως το γινόμενο είναι ένας σύντομος τρόπος για να γράψουμε ένα άθροισμα ίσων προσθετέων. κ α14243 α α...α = α, αλλά κ φορές α α+ α... + α = κ α κ φορές Τη δύναμη α 2 την αποκαλούμε α στο τετράγωνο (εκτός των ονομασιών «δεύτερη δύναμη» και «α στη δευτέρα»). Τη δύναμη α 3 την αποκαλούμε «α στον κύβο» (εκτός των ονομασιών «τρίτη δύναμη» και «α στην τρίτη»).

12 14 Κεφάλαιο 1 ο Αριθμητική παράσταση είναι μια σειρά αριθμών που συνδέονται μεταξύ τους με τα σύμβολα των πράξεων (πρόσθεσης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού, διαίρεσης) και στην οποία πιθανόν να υπάρχουν και παρενθέσεις. Τιμή της αριθμητικής παράστασης λέγεται το αποτέλεσμα που βρίσκουμε όταν εκτελέσουμε τις πράξεις που σημειώνονται. Προτεραιότητα πράξεων Όταν εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση, πρέπει να τηρούμε την εξής σειρά: 1. Υπολογίζουμε τις δυνάμεις 2. Εκτελούμε πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις 3. Εκτελούμε προσθέσεις και αφαιρέσεις. Αν υπάρχουν παρενθέσεις εκτελούμε πρώτα τις πράξεις σ αυτές με την ίδια σειρά. Όταν πρόκειται για πράξεις με την ίδια προτεραιότητα (προσθέσεις - αφαιρέσεις, πολλαπλασιασμούς - διαιρέσεις), τις εκτελούμε, από αριστερά προς τα δεξιά. Κατ εξαίρεση, όταν έχουμε μόνο προσθέσεις ή μόνο πολλαπλασιασμούς, μπορούμε να τις εκτελέσουμε με όποια σειρά θέλουμε, λόγω της αντιμεταθετικής και της προσεταιριστικής ιδιότητας της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού αντίστοιχα.

13 Κεφάλαιο 1 ο Να συμπληρωθούν τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: i) Έστω α και ν φυσικοί με ν > 1. Το σύμβολο α ν ονομάζεται με α και ν και εκφράζει το. ii) Επεκτείνοντας τον ορισμό της δύναμης για εκθέτη οποιονδήποτε φυσικό διαφορετικό του μηδενός, ορίζουμε επιπλέον ότι: α 1 = iii) Η δύναμη είναι ένας σύντομος τρόπος για να γράψουμε ένα ίσων, ακριβώς όπως το γινόμενο είναι ένας σύντομος τρόπος για να γράψουμε ένα ίσων. iv) Συνηθίζουμε να αποκαλούμε τη δεύτερη δύναμη ενός αριθμού α, επειδή το α 2 εκφράζει.. v) Η τρίτη δύναμη ενός αριθμού α αποκαλείται επίσης επειδή το α 3 εκφράζει. vi) Για να σχηματίσουμε οποιαδήποτε δύναμη του 10, αρκεί να γράψουμε τη μονάδα και δεξιά της. vii) Ισχύει: 1 ν =, για κάθε ν φυσικό και 0 ν = για κάθε ν φυσικό του μηδενός. 2. Να αντιστοιχίσετε τα στοιχεία της αριστερής στήλης με τα στοιχεία της δεξιάς

14 16 Κεφάλαιο 1 ο 3. Να συμπληρώσετε τα τετράγωνα με τους κατάλληλους αριθμούς, ώστε να ι- σχύουν οι ισότητες: i) =1 9 3 ii) = 4 iii) = Να χαρακτηρίσετε με Σωστό ή Λάθος τις παρακάτω προτάσεις: Σ Λ i) Στη δύναμη 3 2 η βάση είναι το 2 και ο εκθέτης το 3 ii) Ισχύει (5+1) < iii) Η δύναμη 8 4 εκφράζει το γινόμενο 4 παραγόντων ίσων με 8. iv) Κάθε αριθμός που τελειώνει σε ένα ή περισσότερα μηδενικά μπορεί να γραφεί ως γινόμενο με παράγοντα μία τουλάχιστον δύναμη του 10. v) Η δύναμη είναι ένας σύντομος τρόπος για να εκφράσουμε το άθροισμα ίδιων (ίσων) προσθετέων.

15 Κεφάλαιο 1 ο Να συμπληρωθούν τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: i) Έστω α και ν φυσικοί με ν > 1. Το σύμβολο α ν ονομάζεται δύναμη με βάση α και εκθέτη ν και εκφράζει το γινόμενο ν παραγόντων ίσων με α. ii) Επεκτείνοντας τον ορισμό της δύναμης για εκθέτη οποιονδήποτε φυσικό διαφορετικό του μηδενός, ορίζουμε επιπλέον ότι: α 1 = α. iii) Η δύναμη είναι ένας σύντομος τρόπος για να γράψουμε ένα γινόμενο ίσων παραγόντων, ακριβώς όπως το γινόμενο είναι ένας σύντομος τρόπος για να γράψουμε ένα άθροισμα ίσων προσθετέων. iv) Συνηθίζουμε να αποκαλούμε τη δεύτερη δύναμη ενός αριθμού α «α στο τετράγωνο», επειδή το α 2 εκφράζει το εμβαδόν τετραγώνου πλευράς α. v) Η τρίτη δύναμη ενός αριθμού α αποκαλείται επίσης «α στον κύβο» επειδή το α 3 εκφράζει τον όγκο κύβου ακμής α. vi) Για να σχηματίσουμε οποιαδήποτε δύναμη του 10, αρκεί να γράψουμε τη μονάδα και δεξιά της τόσα μηδενικά όσος είναι και ο εκθέτης της δύναμης. vii) Ισχύει: 1 ν =1, για κάθε ν φυσικό και 0 ν =0 για κάθε ν φυσικό διαφορετικό/ μεγαλύτερο του μηδενός. 2. Να αντιστοιχίσετε τα στοιχεία της αριστερής στήλης με τα στοιχεία της δεξιάς

16 18 Κεφάλαιο 1 ο 3. Να συμπληρώσετε τα τετράγωνα με τους κατάλληλους αριθμούς, ώστε να ισχύουν οι ισότητες: i) = ii) = iii) = Να χαρακτηρίσετε με Σωστό ή Λάθος τις παρακάτω προτάσεις: Σ Λ i) Στη δύναμη 3 2 η βάση είναι το 2 και ο εκθέτης το 3 Χ ii) Ισχύει (5+1) < Χ iii) Η δύναμη 8 4 εκφράζει το γινόμενο 4 παραγόντων ίσων με 8. Χ iv) Κάθε αριθμός που τελειώνει σε ένα ή περισσότερα μηδενικά μπορεί να γραφεί ως γινόμενο με παράγοντα μία τουλάχιστον δύναμη του 10. Χ v) Η δύναμη είναι ένας σύντομος τρόπος για να εκφράσουμε το άθροισμα ίδιων (ίσων) προσθετέων. Χ

17 Κεφάλαιο 1 ο 19 Δραστηριότητα 1 η Από πόσα τετράγωνα αποτελούνται τα τέσσερα πρώτα σχήματα και από πόσους κύβους τα επόμενα τρία; Στα τέσσερα πρώτα σχήματα, κάθε γραμμή αποτελείται από τον ίδιο αριθμό τετραγώνων. Επομένως, για να βρούμε από πόσα τετράγωνα α- ποτελείται κάθε σχήμα, αρκεί να πολλαπλασιάσουμε το πλήθος των τετραγώνων κάθε γραμμής με το πλήθος των γραμμών του σχήματος. Στα τρία τελευταία σχήματα, κάθε σειρά αποτελείται από τον ίδιο αριθμό κύβων. Επομένως, για να βρούμε από πόσους κύβους αποτελείται κάθε σχήμα, αρκεί να πολλαπλασιάσουμε το πλήθος των κύβων κάθε σειράς με το πλήθος των σειρών του σχήματος.

18 20 Κεφάλαιο 1 ο Το σχήμα 1 αποτελείται από δύο γραμμές κάθε μία από τις οποίες αποτελείται από δύο τετράγωνα. Συνεπώς, το σχήμα (1) αποτελείται συνολικά από 2 2 =4 τετράγωνα (όπως μπορούμε εύκολα να επαληθεύσουμε μετρώντας τα). 1 η γραμμή 2 η γραμμή Το σχήμα 2 αποτελείται από τρεις γραμμές κάθε μία από τις οποίες αποτελείται από τρία τετράγωνα. Συνεπώς, το σχήμα 2 αποτελείται συνολικά από 3 3 =9 τετράγωνα. 1 η γραμμή 2 η γραμμή 3 η γραμμή Το σχήμα 3 αποτελείται από τέσσερις γραμμές κάθε μία από τις οποίες αποτελείται από τέσσερα τετράγωνα. Συνεπώς, το σχήμα 3 αποτελείται συνολικά από 4 4 = 16 τετράγωνα. 1 η γραμμή 2 η γραμμή 3 η γραμμή 4 η γραμμή Το σχήμα 4 αποτελείται από πέντε γραμμές κάθε μία από τις οποίες αποτελείται από πέντε τετράγωνα. Συνεπώς, το σχήμα 4 αποτελείται συνολικά από 5 5 = 25 τετράγωνα 1 η γραμμή 2 η γραμμή 3 η γραμμή 4 η γραμμή 5 η γραμμή Το σχήμα 5 αποτελείται από δύο σειρές (στρώσεις) κύβων. Κάθε σειρά κύβων αποτελείται από 2 2 =4 κύβους (αφού κάθε σειρά αποτελείται από 2 γραμμές με 2 κύβους η κάθε μία). Συνεπώς, το σχήμα 5 αποτελείται συνολικά από = 8 κύβους. ύψος (5) μήκος πλάτος

19 Κεφάλαιο 1 ο 21 Το σχήμα 6 αποτελείται από τρεις σειρές (στρώσεις) κύβων. Κάθε σειρά κύβων αποτελείται από 3 3 = 9 κύβους (αφού κάθε σειρά αποτελείται από 3 γραμμές με 3 κύβους η κάθε μία). Συνεπώς, το σχήμα 6 αποτελείται συνολικά από = 27 κύβους (6) Το σχήμα 7 αποτελείται από τέσσερις σειρές (στρώσεις) κύβων. Κάθε σειρά κύβων αποτελείται από 4 4 = 16 κύβους (αφού κάθε σειρά αποτελείται από 4 γραμμές με 4 κύβους η κάθε μία). Συνεπώς, το σχήμα 7 αποτελείται συνολικά από = 64 κύβους (7) Λαμβάνοντας ως μονάδα μέτρησης επιφάνειας το και ως μονάδα όγκου του προφανώς οι αριθμοί που βρήκαμε παραπάνω εκφράζουν το εμβαδόν των σχημάτων (1) (4) και τον όγκο των σχημάτων (5) (7), τα οποία είναι τετράγωνα και κύβοι αντίστοιχα. ηλαδή, το εμβαδόν τετραγώνου είναι ίσο με το γινόμενο 2 ίσων αριθμών και ο όγκος του κύβου είναι ίσος με το γινόμενο 3 ίσων αριθμών. Γι αυτό, άλλωστε, και έχει επικρατήσει η δεύτερη δύναμη ενός αριθμού α να ονομάζεται και τετράγωνο του α και η τρίτη δύναμη ενός αριθμού α να ονομάζεται και κύβος του α.

20 22 Κεφάλαιο 1 ο Δραστηριότητα 2 η Ο Κωστάκης, η Ρένα και ο Δημήτρης έκαναν τις πράξεις στην αριθμητική παράσταση: 8 ( )+5 (7+7 9) + 10 και βρήκαν ο καθένας διαφορετικό αποτέλεσμα. Ο Κωστάκης βρήκε 1.312, η Ρένα 600 και ο Δημήτρης 180. Βρες ποιο από τα τρία αποτελέσματα είναι το σωστό. Μπορείς να μαντέψεις με ποια σειρά έκανε ο καθένας τις πράξεις; Διατύπωσε έναν κανόνα για την προτεραιότητα που πρέπει να τηρούμε, όταν κάνουμε πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση. Από το δημοτικό γνωρίζουμε ότι στις αριθμητικές παραστάσεις, οι πράξεις γίνονται από τα αριστερά προς τα δεξιά με μια ορισμένη σειρά: α) πρώτα πολλαπλασιασμοί και διαιρέσεις και β) μετά προσθέσεις και αφαιρέσεις. Αν υπάρχουν παρενθέσεις, κάνουμε πρώτα τις πράξεις μέσα στις παρενθέσεις με την ίδια σειρά. Βρες ποιο από τα τρία αποτελέσματα είναι το σωστό. Για να βρούμε ποιο από τα τρία αποτελέσματα είναι σωστό, πρέπει να εκτελέσουμε μόνοι μας τις πράξεις με τη σωστή σειρά. Στην αριθμητική παράσταση που δίνεται παρατηρούμε ότι υπάρχουν παρενθέσεις, πολλαπλασιασμοί και προσθέσεις. Από το δημοτικό γνωρίζουμε ότι στις αριθμητικές παραστάσεις, οι πράξεις γίνονται από τα αριστερά προς τα δεξιά με μια ορισμένη σειρά: α) πρώτα πολλαπλασιασμοί και διαιρέσεις και β) μετά προσθέσεις και αφαιρέσεις. Αν υπάρχουν παρενθέσεις, κάνουμε πρώτα τις πράξεις μέσα στις παρενθέσεις με την ίδια σειρά.

21 Κεφάλαιο 1 ο 23 Όταν υπάρχουν μόνο προσθέσεις (ή μόνο πολλαπλασιασμοί) λόγω της αντιμεταθετικής και της προσεταιριστικής ιδιότητας, της πρόσθεσης (αντίστοιχα, του πολλαπλασιασμού) μπορούμε να τις εκτελέσουμε με ό- ποια σειρά θέλουμε. Σε ό,τι αφορά πράξεις με την ίδια προτεραιότητα (πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός διαίρεση) εργαζόμαστε από α- ριστερά προς τα δεξιά. Μετά τις παραπάνω παρατηρήσεις, είμαστε έτοιμοι να υπολογίσουμε την τιμή της αριθμητικής παράστασης. Είναι: ( ) ( ) = Εκτελούμε τους πολλαπλασιασμούς στις παρενθέσεις = Εκτελούμε τις προσθέσεις στις παρενθέσεις = Εκτελούμε τους πολλαπλασιασμούς = Εκτελούμε την πρώτη από αριστερά πρόσθεση = 600 Εκτελούμε την πρόσθεση Από τη στιγμή που έμειναν μόνο προσθέσεις, μπορούσαν να γίνουν με οποιαδήποτε σειρά (και όχι υποχρεωτικά από αριστερά προς τα δεξιά) λόγω της αντιμεταθετικής και της προσεταιριστικής ιδιότητας.

22 24 Κεφάλαιο 1 ο Μπορείς να μαντέψεις με ποια σειρά έκανε ο καθένας τις πράξεις; Ο Κωστάκης Ενώ ξεκίνησε, όπως έπρεπε, με τον υπολογισμό των παρενθέσεων, μέσα στις παρενθέσεις δεν ακολούθησε τη σωστή σειρά των πράξεων. Δηλαδή, και στις δύο παρενθέσεις, πρόσθεσε πρώτα τους αριθμούς που βρίσκονται αριστερά και δεξιά του «+» και κατόπιν εκτέλεσε τους πολλαπλασιασμούς. Βέβαια, όταν δεν υπήρχαν πια παρενθέσεις, συνέχισε την εκτέλεση των πράξεων με τη σωστή σειρά, δηλαδή εκτέλεσε πρώτα τους πολλαπλασιασμούς και στο τέλος έκανε και τις προσθέσεις. Ο Κωστάκης, δηλαδή, υπολόγισε αντί της αριθμητικής παράστασης που δίνεται την ακόλουθη: ( ) ( ) = 8 ( 2 7 6) + 5 ( 14 9) + 10 Υπολογίζουμε την παρένθεση που βρίσκεται σε καθεμιά από τις αγκύλες. Οι παρενθέσεις φεύγουν και οι αγκύλες γίνονται παρενθέσεις. = 8 ( 14 6) Στην πρώτη (αριστερή) από τις παρενθέσεις, εκτελούμε τους πολλαπλασιασμούς, από αριστερά προς τα δεξιά. = Υπολογίζουμε και την τελευταία παρένθεση. = Εκτελούμε τους πολλαπλασιασμούς = Εκτελούμε τις προσθέσεις από τα αριστερά προς τα δεξιά (βέβαια, όχι απαραιτήτως, έτσι, αφού, πλέον έχουμε μόνο προσθέσεις). =1312 Εκτελούμε την τελευταία πρόσθεση Ο Δημήτρης Ο Δημήτρης αγνόησε εντελώς τις παρενθέσεις και εργάστηκε σαν να μην υπήρχαν. Υπολόγισε δηλαδή την αριθμητική παράσταση: = Εκτελούμε τους πολλαπλασιασμούς = Εκτελούμε τον πολλαπλασιασμό που απέμεινε =... = 180 Εκτελούμε τις προσθέσεις με όποια σειρά θέλουμε, λόγω της αντιμεταθετικής και της προσεταιριστικής ιδιότητας της πρόσθεσης.

23 Κεφάλαιο 1 ο 25 Διατύπωσε έναν κανόνα για την προτεραιότητα που πρέπει να τηρούμε, όταν κάνουμε πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση. Προφανώς, επειδή η δύναμη είναι ένας σύντομος τρόπος για να γράψουμε ένα γινόμενο ίσων παραγόντων (δηλαδή είναι σαν να έχουμε ένα γινόμενο σε παρένθεση) θα προηγείται σε σχέση με τον πολλαπλασιασμό ακριβώς όπως ο πολλαπλασιασμός προηγείται σε σχέση με την πρόσθεση. Συνοψίζοντας, όταν εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση, πρέπει να τηρούμε την εξής σειρά: 1. Υπολογίζουμε τις δυνάμεις 2. Εκτελούμε πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις 3. Εκτελούμε προσθέσεις και αφαιρέσεις. Αν υπάρχουν παρενθέσεις εκτελούμε πρώτα τις πράξεις σ αυτές με την ίδια σειρά. Όταν πρόκειται για πράξεις με την ίδια προτεραιότητα (προσθέσεις - αφαιρέσεις, πολλαπλασιασμούς - διαιρέσεις), τις εκτελούμε, από αριστερά προς τα δεξιά. Κατ εξαίρεση, όταν έχουμε μόνο προσθέσεις ή μόνο πολλαπλασιασμούς, μπορούμε να τις εκτελέσουμε με όποια σειρά θέλουμε, λόγω της αντιμεταθετικής και της προσεταιριστικής ιδιότητας της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού αντίστοιχα.

24 26 Κεφάλαιο 1 ο Στον υπολογισμό μιας δύναμης πρέπει να ξεχωρίζουμε ποιος είναι ο ρόλος της βάσης και ποιος του εκθέτη. Η βάση μας δείχνει ποιος είναι ο παράγοντας του γινομένου που επαναλαμβάνεται ενώ ο εκθέτης πόσες φορές επαναλαμβάνεται αυτός ο παράγοντας. Για παράδειγμα στη δύναμη 5 3 ο αριθμός 5 είναι η βάση, δηλαδή ο παράγοντας του γινομένου και ο αριθμός 3 είναι ο εκθέτης που μας δείχνει ότι πρέπει να πάρουμε τον παράγοντα τρεις φορές. Δηλαδή η δύναμη 5 3 γράφεται Προσοχή εν πρέπει ποτέ στον υπολογισμό μιας δύναμης να παίρνουμε το γινόμενο της βάσης με τον εκθέτη, δηλαδή η δύναμη α ν δεν είναι ίση με α ν. Όταν έχουμε να υπολογίσουμε μία δύναμη του 10 γράφουμε τη μονάδα και δεξιά τόσα μηδενικά όσος είναι ο εκθέτης της δύναμης. π.χ = (ο εκθέτης είναι το 7 άρα γράφουμε επτά μηδενικά) Όταν έχουμε να υπολογίσουμε μία δύναμη του 1 πρέπει να θυμόμαστε ότι οποιοσδήποτε και αν είναι ο εκθέτης, η δύναμη θα ισούται πάντα με 1. Δηλαδή 1 ν = 1, όπου ν οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός. Αριθμητική παράσταση είναι ένα σύνολο αριθμών που συνδέονται με τις πράξεις της πρόσθεσης, της αφαίρεσης, του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης. Αν κάνουμε (σωστά) τις πράξεις σε μία αριθμητική παράσταση με τη σωστή σειρά, τότε θα βρούμε έναν αριθμό που λέγεται τιμή της παράστασης.

25 Κεφάλαιο 1 ο 27 Σε μία αριθμητική παράσταση πρώτα κάνουμε τις πράξεις μέσα στις παρενθέσεις, αν υπάρχουν, με την κατάλληλη σειρά και ύστερα κάνουμε τις υπόλοιπες πράξεις. Η σειρά που ακολουθούμε είναι η εξής: - πρώτα υπολογίζουμε τις δυνάμεις, - έπειτα κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις, με τη σειρά από τ αριστερά προς τα δεξιά, - στο τέλος κάνουμε τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις με τη σειρά, από τ αριστερά προς τα δεξιά.

26 28 Κεφάλαιο 1 ο 1. Να υπολογιστούν το τετράγωνο, ο κύβος, η τέταρτη, η πέμπτη και η έκτη δύναμη του αριθμού 10. Τι παρατηρείτε; Νιοστή δύναμη του α ονομάζεται το γινόμενο α α α... α, που έχει ν παράγοντες (ν 2) ίσους με το α (και συμβολίζεται με α ν ). Τετράγωνο ενός αριθμού ονομάζεται η δεύτερη δύναμη του αριθμού. Κύβος ενός αριθμού ονομάζεται η τρίτη δύναμη του αριθμού. Για να πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό επί 10, 100, 1000,... γράφουμε στο τέλος του αριθμού τόσα μηδενικά όσα έχει κάθε φορά ο παράγοντας 10, 100, Σύμφωνα με τον ορισμό δύναμης αριθμού έχουμε: 10 2 = α 2 = α α (2 παράγοντες ίσοι με α) = 100 για να πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό με το 10, αρκεί να συμπληρώσουμε στο τέλος του αριθμού ένα μηδενικό = α 3 = α α α (3 παράγοντες ίσοι με α) = Εφαρμόζουμε την προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού α α = α 2 = = 100 (υπολογίστηκε προηγουμένως) =1000 για να πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό με το 10, αρκεί να συμπληρώσουμε στο τέλος του αριθμού ένα μηδενικό.

27 Κεφάλαιο 1 ο = α 4 = α α α α ( 4 παράγοντες ίσοι με α) = Εφαρμόζουμε την προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού α α α =α 3 = = 1000 (υπολογίστηκε προηγουμένως) = για να πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό με το 10, αρκεί να συμπληρώσουμε στο τέλος του αριθμού ένα μηδενικό = α 5 = α α α α α ( 5 παράγοντες ίσοι με α) = Εφαρμόζουμε την προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού α α α α = α 4 = = ( υπολογίστηκε προηγουμένως) = για να πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό με το 10, αρκεί να συμπληρώσουμε στο τέλος του αριθμού ένα μηδενικό = α 6 = α α α α α α = Εφαρμόζουμε την προσεταιριστική ιδιότητα = = (υπολογίστηκε προηγουμένως) = για να πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό με το 10, αρκεί να συμπληρώσουμε στο τέλος του αριθμού ένα μηδενικό. Παρατηρούμε ότι κάθε μία από τις δυνάμεις του 10 που υπολογίσαμε, έχει τόσα μηδενικά όσος είναι και ο εκθέτης της δύναμης. Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι: για να σχηματίσουμε μια οποιαδήποτε δύναμη του 10, αρκεί να γράψουμε το 1, και δεξιά του τόσα μηδενικά όσος είναι και ο εκθέτης της δύναμης.

28 30 Κεφάλαιο 1 ο 2. Να εκτελεστούν οι πράξεις: α) (2 5) (3 +2) 2 β) (2 +3) Για να υπολογίσουμε την τιμή μιας αριθμητικής παράστασης, εκτελούμε τις πράξεις με την ακόλουθη σειρά: 1. Υπολογίζουμε τις δυνάμεις 2. Εκτελούμε τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις 3. Εκτελούμε τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις Αν υπάρχουν παρενθέσεις, εκτελούμε πρώτα τις πράξεις στις παρενθέσεις με την ίδια σειρά. Ακολουθούμε τη σειρά των πράξεων: α) ( 2 5) + 4 ( 3+ 2) = = = = β) ( ) Εκτελούμε τις πράξεις μέσα στις παρενθέσεις Υπολογίζουμε τις δυνάμεις Εκτελούμε τους πολλαπλασιασμούς Εκτελούμε την πρόσθεση 3 2 = = = = 53 Εκτελούμε την πρόσθεση μέσα στην παρένθεση Υπολογίζουμε τις δυνάμεις 5 3 = 5 5 5= 125 και 3 2 = 3 3 = 9 Εκτελούμε τον πολλαπλασιασμό Εκτελούμε την αφαίρεση

29 Κεφάλαιο 1 ο Να γραφεί το ανάπτυγμα του αριθμού με χρήση των δυνάμεων του 10. Για να γράψουμε το ανάπτυγμα του αριθμού με χρήση των δυνάμεων του 10, θα δηλώσουμε την αξία του κάθε ψηφίου με: 1 ο βήμα: Λέξεις 2 ο βήμα: Αριθμούς 3 ο βήμα: υνάμεις του 10 (Πολλαπλασιαζόμενο πάντα με τον αριθμό κάθε ψηφίου). Έχουμε τον αριθμό Βήμα 1 ο : Δηλώνουμε την αξία του κάθε ψηφίου, με λέξεις. 7 χιλιάδες + 6 εκατοντάδες + 0 δεκάδες + 4 μονάδες Βήμα 2 ο : Αντικαθιστούμε τις λέξεις με αριθμούς Βήμα 3 ο : Αντικαθιστούμε τους αριθμούς με δυνάμεις του Επειδή : το 1000 έχει τρία μηδενικά, είναι: 1000 = 10 3 το 100 έχει δύο μηδενικά, είναι: 100 = 10 2 το 10 έχει 1 μηδενικό, είναι: 10 = 10 1 Η αναπτυγμένη μορφή σε δυνάμεις του 10 του αριθμού είναι:

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών 2 Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Προσθετέοι 18+17=35 α Προσθετέοι + β = γ Άθοι ρ σμα Άθοι ρ σμα 13 + 17 = 17 + 13 Πρόσθεση φυσικών αριθμών Πρόσθεση είναι η πράξη με την οποία από

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Θεσσαλονίκης Α Γυμνασίου Ακέραιοι Αριθμοί -Η ευθεία των αριθμών

1 ο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Θεσσαλονίκης Α Γυμνασίου Ακέραιοι Αριθμοί -Η ευθεία των αριθμών κέραιοι ριθμοί -Η ευθεία των αριθμών κέραιοι αριθμοί είναι οι φυσικοί αριθμοί μαζί με τους αντίστοιχους αρνητικούς αριθμούς. Τα σύμβολα «+» και «-» που γράφονται μπροστά από τους αριθμούς λέγονται πρόσημα.

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΕΙΣ ( 1 ) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις Α = 3 + 23 + 19 Β = 8 +13 +45-7 Γ = 3 + 0 Α = 3+23 +19 =

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΔΑΜΑΝΤΙΟΣ ΣΧΟΛΗ ΤΑΞΗ Δ ΟΝΟΜΑ α. Αντιμεταθετική ιδιότητα 1. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Π Ρ Ο Σ Θ Ε Σ Η Α. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ 8 + 7 = 15 ή 7 + 8 = 15 346 ή 517 ή 82 + 517 + 82 + 346 82 346 517 945 945

Διαβάστε περισσότερα

Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών

Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Δυνάμεις φυσικών αριθμών Δύναμη ονομάζουμε το γινόμενο πολλών ίσων παραγόντων Πχ: 8 8= 64, 4 4 4= 64, 3 3 3 3= 81. Έτσι, το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Οι φυσικοί αριθμοί. Παράδειγμα

Οι φυσικοί αριθμοί. Παράδειγμα Οι φυσικοί αριθμοί Φυσικοί Αριθμοί Είναι οι αριθμοί με τους οποίους δηλώνουμε πλήθος ή σειρά. Για παράδειγμα, φυσικοί αριθμοί είναι οι: 0, 1,, 3,..., 99, 100,...,999, 1000, 0... Χωρίζουμε τους Φυσικούς

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι κλάσμα; Κλάσμα είναι ένα μέρος μιας ποσότητας. ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κλάσμα είναι ένας λόγος δύο αριθμών(fraction is a ratio of two whole numbers) Πως εκφράζετε συμβολικά ένα κλάσμα; Εκφράζετε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά ΣT Δημοτικού ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά ΣT Δημοτικού ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Γρήγορα τεστ Μαθηματικά ΣT Δημοτικού 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΡΗΓΟΡΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΣΤ Δημοτικού No 1 Γιάννης Ζαχαρόπουλος Διόρθωση: Αντωνία Κιλεσσοπούλου 201, Εκδόσεις Κυριάκος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πίνακας περιεχομένων Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 2 Κεφάλαιο 2 ο - ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ... 6 Κεφάλαιο 3 ο - ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 10 ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ 1 Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Αρβανιτίδης Θεόδωρος, - Μαθηματικά Ε

Αρβανιτίδης Θεόδωρος,  - Μαθηματικά Ε Πρόσθεση Φυσικών Αριθμών Μάθημα 5 ο Για να προσθέσω φυσικούς αριθμούς πρέπει να προσθέσω τις μονάδες των αριθμών αυτών, μετά τις δεκάδες των αριθμών, μετά τις εκατοντάδες κλπ. Η πρόσθεση φυσικών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Λέγονται οι αριθμοί που βρίσκονται καθημερινά στη φύση, γύρω μας. π.χ. 1 μήλο, 2 παιδιά, 5 αυτοκίνητα, 100 πρόβατα, δέντρα κ.λ.π.

Λέγονται οι αριθμοί που βρίσκονται καθημερινά στη φύση, γύρω μας. π.χ. 1 μήλο, 2 παιδιά, 5 αυτοκίνητα, 100 πρόβατα, δέντρα κ.λ.π. Λέγονται οι αριθμοί που βρίσκονται καθημερινά στη φύση, γύρω μας. π.χ. 1 μήλο, 2 παιδιά, 5 αυτοκίνητα, 100 πρόβατα, 1.000 δέντρα κ.λ.π. Εκτός από πλήθος οι αριθμοί αυτοί μπορούν να δηλώσουν και τη θέση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης τόμος Καγκουρό Ελλάς 0 007 (ο πρώτος αριθµός σε µια γραµµή αναφέρεται στη σελίδα που αρχίζει το άρθρο και ο δεύτερος στη σελίδα που περιέχει τις απαντήσεις) Πρόλογος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ) τάξης n θα αντιστοιχίσουμε έναν πραγματικό ( ij αριθμό, τον οποίο θα ονομάσουμε ορίζουσα του πίνακα. Η ορίζουσα θα συμβολίζεται det ή Α ή n n

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 2. Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ

Ενότητα 2. Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ Ενότητα 2 : Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ -1- Ενότητα 2. Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ Κεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα α. Θέση και προσανατολισμός της μορφής Η θέση της κάθε μορφής στο σκηνικό προσδιορίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

1.2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ

1.2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ 1 1.2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πρόσθεση : Είναι µία πράξη, µε την οποία όταν µας δώσουν δύο φυσικούς αριθµούς α και β βρίσκουµε έναν τρίτο αριθµό γ που τον συµβολίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Αλγεβρικές παραστάσεις - Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων

Διαβάστε περισσότερα

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1,

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1, I ΠΙΝΑΚΕΣ 11 Σώμα 111 Ορισμός: Ενα σύνολο k εφοδιασμένο με δύο πράξεις + και ονομάζεται σώμα αν ικανοποιούνται οι παρακάτω ιδιότητες: (Α (α (Προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης (a + b + c = a + (b +

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 100

ΕΝΟΤΗΤΑ 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 100 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 100 ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ2.9 Αναγνωρίζουν και ονομάζουν τους όρους: άθροισμα, διαφορά, γινόμενο, πηλίκο, αφαιρέτης, αφαιρετέος, προσθετέος, διαιρέτης,

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές Παραστάσεις-Μονώνυμα

Αλγεβρικές Παραστάσεις-Μονώνυμα ΜΕΡΟΣ Α. ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΜΟΝΩΝΥΜΑ. ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΜΟΝΩΝΥΜΑ Β Αλγεβρικές Παραστάσεις-Μονώνυμα Πολλές φορές στην προσπάθειά μας να λύσουμε ένα πρόβλημα, καταλήγουμε σε εκφράσεις που περιέχουν μόνο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 4 ο, Τμήμα Α

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 4 ο, Τμήμα Α Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 4 ο, Τμήμα Α Τι συμβαίνει όταν η περίοδος δεν ξεκινάει αμέσως μετά το κόμμα όπως συμβαίνει με τον αριθμό 3,4555 και θέλουμε να γραφεί σαν κλάσμα; 345 Υπήρχαν πολλές

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά ΣT Δημοτικού ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά ΣT Δημοτικού ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Γρήγορα τεστ Μαθηματικά ΣT Δημοτικού 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΡΗΓΟΡΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΣΤ Δημοτικού No 1 Γιάννης Ζαχαρόπουλος Διόρθωση: Αντωνία Κιλεσσοπούλου 201, Εκδόσεις Κυριάκος

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» 1 2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ιδιότητες των πράξεων Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού και με την οήθειά τους η αφαίρεση και η διαίρεση. Για

Διαβάστε περισσότερα

1. 4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

1. 4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΜΕΡΟΣ Α 1.4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 59 1. 4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Πολλαπλασιασμός μονωνύμου με πολυώνυμο Ο πολλαπλασιασμός μονώνυμου με πολυώνυμο γίνεται ως εξής: Πολλαπλασιάζουμε το μονώνυμο με

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Ενότητα 2 η Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θεωρία - Μέθοδοι Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Επιλεγμένα θέματα «Σας εύχομαι, καλό κουράγιο και μεγάλη δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ- ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ- ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ- ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ Α Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Όπως γνωρίζουμε, το σύνολο των φυσικών αριθμών Ν είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Α Σύνολα αριθμών Για τα σύνολα των αριθμών γνωρίζουμε ότι N Z Q R. ) Το N= { 0,,,,... } είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών. ) Το Z = { 0, ±, ±, ±,... } είναι το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της.

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της. ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Α.1.2 1. Οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών αριθμών είναι οι εξής : Αντιμεταθετική ιδιότητα π.χ. α+β=β+α Προσετεριστική ιδιότητα π.χ. α+β+γ=(α+β)+γ=α+(β+γ) 2.Η πραξη της αφαίρεσης

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων 2016-2017 Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Περιεχόμενα Στόχοι Πηγή Υλικού 3.1 Αριθμοί Οι μαθητές πρέπει: Σχολικά βιβλία Ε και ΣΤ Φυσικοί, Δεκαδικοί, μετρήσεις Να μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΘΕΩΡΙΑ

ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΘΕΩΡΙΑ ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΘΕΩΡΙΑ Α. ΟΡΙΣΜΟΙ Θετικοί αριθµοί είναι οι αριθµοί που έχουν πρόσηµο το + (πολλές φορές το + παραλείπεται) π.χ. +3, +105, +, + 0,7, 326. Αρνητικοί αριθµοί είναι οι αριθµοί που έχουν πρόσηµο

Διαβάστε περισσότερα

Κάθε φυσικός αριθμός έχει έναν επόμενο αριθμό. Κάθε φυσικός αριθμός (εκτός από το 0) έχει έναν προηγούμενο φυσικό αριθμό.

Κάθε φυσικός αριθμός έχει έναν επόμενο αριθμό. Κάθε φυσικός αριθμός (εκτός από το 0) έχει έναν προηγούμενο φυσικό αριθμό. A.1.1 Φυσικοί αριθμοί Διάταξη φυσικών Στρογγυλοποίηση Φυσικοί αριθμοί OÚÈÛÌfi 1. Φυσικοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί 0, 1, 2, 3,... και συμβολίζονται με το γράμμα Ν (το οποίο είναι το αρχικό γράμμα της

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ.

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Σάλαρης Πολλές φορές μας δίνεται να λύσουμε ένα πρόβλημα που από την πρώτη

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Επιστήμονες και Μηχανικούς. Εισαγωγή Φυσική και μετρήσεις

Φυσική για Επιστήμονες και Μηχανικούς. Εισαγωγή Φυσική και μετρήσεις Φυσική για Επιστήμονες και Μηχανικούς Εισαγωγή Φυσική και μετρήσεις Φυσική Χωρίζεται σε έξι βασικούς κλάδους: Κλασική μηχανική Θερμοδυναμική Ηλεκτρομαγνητισμός Οπτική Σχετικότητα Κβαντική μηχανική είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Διαιρετότητα Μαθαίνω Πολλαπλάσια ενός φυσικού αριθμού α είναι όλοι οι αριθμοί που προκύπτουν από τον πολλαπλασιασμό του με όλους τους φυσικούς αριθμούς, δηλαδή οι αριθμοί: 0, α, 2 α, 3 α, 4 α,... Το μηδέν

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο :.2 -.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Αλγεβρικές παραστάσεις - Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων Πολλαπλασιασμός

Διαβάστε περισσότερα

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Φ: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ 0-0 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α - ΘΕΩΡΙΑ - ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ - ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ - ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΘΕΜΑ Β - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤ ΤΑΞΗΣ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ. Σάββατο, 8 Ιουνίου 2013

ΣΤ ΤΑΞΗΣ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ. Σάββατο, 8 Ιουνίου 2013 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Διεύθυνση: Προξένου Κορομηλά 51 Τ.Κ. 54622, Θεσσαλονίκη Τηλέφωνο και Fax 2310 285377 e-mail: emethes@otenet.gr http://www.emethes.gr ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Ακολουθίες ΕΝΟΤΗΤΑ. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε την ακολουθία. Να ορίζουμε τι είναι όρος ακολουθίας.

Ακολουθίες ΕΝΟΤΗΤΑ. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε την ακολουθία. Να ορίζουμε τι είναι όρος ακολουθίας. ΕΝΟΤΗΤΑ Ακολουθίες Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε την ακολουθία. Να ορίζουμε τι είναι όρος ακολουθίας. Να αναπαριστούμε τις ακολουθίες με διάφορους τρόπους. Να βρίσκουμε τον επόμενο όρο ή τον

Διαβάστε περισσότερα

Όλοι οι ακέραιοι αριθμοί από το 0 και μετά λέγονται φυσικοί αριθμοί π.χ.

Όλοι οι ακέραιοι αριθμοί από το 0 και μετά λέγονται φυσικοί αριθμοί π.χ. 1. Οι φυσικοί αριθμοί. Όλοι οι ακέραιοι αριθμοί από το 0 και μετά λέγονται φυσικοί αριθμοί π.χ. 0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, 10,..., 100,..., 1.000,..., 10.0000,10.001,..., 100.000, 100.001, 100.002,..., 200.000,...,

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

, ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο 2 καλείται δεύτερος όρος της ακολουθίας και τον συμβολίζουμε συνήθως με

, ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο 2 καλείται δεύτερος όρος της ακολουθίας και τον συμβολίζουμε συνήθως με 5. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Γενικά ακολουθία πραγματικών αριθμών είναι μια αντιστοίχιση των φυσικών αριθμών,,,...,ν,... στους πραγματικούς αριθμούς. Ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο καλείται πρώτος όρος της ακολουθίας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΡΟΣ 1ο : ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται φυσικοί, ποια ιδιότητα έχουν και πως χωρίζονται; Οι αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 5 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση.. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Γ'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της Γ Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν ίσως το αποκορύφωµα των

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

Δ = δπ + υ με υ < δ. (Ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης),

Δ = δπ + υ με υ < δ. (Ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης), ΜΕΡΟΣ Α 1.7 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 19 1. 7 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Διαίρεση πολυωνύμων Αν έχουμε δύο φυσικούς αριθμούς Δ (διαιρετέος) και δ (διαιρέτης) με δ και κάνουμε τη διαίρεση Δ : δ, τότε βρίσκουμε δύο άλλους

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΜΕ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 20

ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΜΕ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 20 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΜΕ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 20 ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ2.9 Αναγνωρίζουν και ονομάζουν τους όρους: άθροισμα, διαφορά, γινόμενο, πηλίκο, μειωτέος, αφαιρετέος, προσθετέος,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ. 2.3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ. 2.3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ..3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να βρείτε το μέτρο των μιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

4.2 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 4 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΩΡΗΜΑ (ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΔΙΑΙΡΕΣΗΣ) Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων ( και ( με ( 0 υπάρχουν δυο μοναδικά πολυώνυμα ( και (, τέτοια ώστε : ( ( όπου το ( ή είναι το μηδενικό

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνας, για να λύσεις αυτό το μαθηματικό σταυρόλεξο. Μια πρακτική συμβουλή για τη λύση του σταυρόλεξου:

Κανόνας, για να λύσεις αυτό το μαθηματικό σταυρόλεξο. Μια πρακτική συμβουλή για τη λύση του σταυρόλεξου: ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: Κανόνας, για να λύσεις αυτό το μαθηματικό σταυρόλεξο. Όλα τα κενά τετράγωνα με ροζ χρώμα πρέπει συμπληρωθούν είτε με μονοψήφιους αριθμούς είτε με ένα από τα μαθηματικά σύμβολα: +, -, >,

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

1. * Ο αριθμός, ν Ν, είναι ανάγωγο κλάσμα για κάθε ν Ν. Σ Λ 2. * Οι αριθμοί 2ν και 2ν + 2 είναι διαδοχικοί άρτιοι για κάθε ν Ν.

1. * Ο αριθμός, ν Ν, είναι ανάγωγο κλάσμα για κάθε ν Ν. Σ Λ 2. * Οι αριθμοί 2ν και 2ν + 2 είναι διαδοχικοί άρτιοι για κάθε ν Ν. Κεφάλαιο 4ο: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ν 1. * Ο αριθμός, ν Ν, είναι ανάγωγο κλάσμα για κάθε ν Ν. 3 Σ Λ. * Οι αριθμοί ν και ν + είναι διαδοχικοί άρτιοι για κάθε ν Ν. 3. * Αν ένας

Διαβάστε περισσότερα

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις 24 Κεφάλαιο ο. Να κάνετε τις πράξεις : α) 2 + 3 4-2 : (-4) + γ) -3 (-2) -5 +4: (-2) -6 β) 2 +3 (4-2): (-4 +) δ) -8 : (-3 +5) -4 (-2 + 6) Για να κάνουμε τις πράξεις ακολουθούμε τα εξής βήματα: ο βήμα: Πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί Πρόλογος Το βιβλίο αυτό περιέχει όλη την ύλη των Μαθηματικών της Β Γυμνασίου, χωρισμένη σε ενότητες, όπως ακριβώς στο σχολικό βιβλίο. Κάθε ενότητα περιλαμβάνει: Τη θεωρία Λυμένες ασκήσεις Χρήσιμες παρατηρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

2ο video (επίλυση ανίσωσης 1 ου βαθμού)

2ο video (επίλυση ανίσωσης 1 ου βαθμού) 2ο video (επίλυση ανίσωσης 1 ου βαθμού) 1 Γεια σας και πάλι! Συγχαρητήρια για την επιτυχία σας στην πρώτη ενότητα! 2 Σε αυτό το video θα θυμηθούμε τη διαδικασία επίλυσης πρωτοβάθμιας ανίσωσης, δηλαδή όλα

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; Κινηματική είναι ο κλάδος της Φυσικής που έχει ως αντικείμενο τη μελέτη της κίνησης.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός http://cutemaths.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 20,

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση

Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 2 Φυσικοί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012) Τμήμα Θ. Αποστολάτου & Π. Ιωάννου 1 Σειρές O Ζήνων ο Ελεάτης (490-430 π.χ.) στη προσπάθειά του να υποστηρίξει

Διαβάστε περισσότερα

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών Κεφάλαιο 1 ο 45 Β. Δυάμεις πραγματικώ αριθμώ Α έχουμε έα γιόμεο της μορφής (-) (-) (-) (-) όπου κάθε παράγοτας είαι (δηλαδή ο ίδιος ο αριθμός) μπορούμε α το συμβολίσουμε με μια πιο απλή μορφή : (-) 4.

Διαβάστε περισσότερα

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους Μάθημα 1 ου Εξαμήνου 2Θ+2Φ(ΑΠ) Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΒΙΒΛΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη;

1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; Κινηματική είναι ο κλάδος της Φυσικής που έχει ως αντικείμενο τη μελέτη της κίνησης. Στην Κινηματική

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Α+Β Δημοτικού

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Α+Β Δημοτικού Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων 2016-2017 Τάξεις Α+Β Δημοτικού Περιεχόμενα Στόχοι Πηγή Υλικού 1.1 Αριθμοί 1-1000 Γραφή, Ανάγνωση, Απαγγελία, Απαρίθμηση, Σύγκριση, Συμπλήρωση (κατά αύξουσα

Διαβάστε περισσότερα

4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου

4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου 4.1 Πολυώνυμα Η έννοια του πολυωνύμου ΟΡΙΣΜΟΙ 1. Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής αx ν, όπου α R, ν N (σταθερές) και x R (μεταβλητή). 2. Πολυώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11 2. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου

4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου 4.1 Πολυώνυμα Η έννοια του πολυωνύμου ΟΡΙΣΜΟΙ 1. Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής αx ν, όπου α R, ν N (σταθερές) και x R (μεταβλητή).. Πολυώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 10 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΙΡΕΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 10 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Υπολογισμοί και Εκτίμηση Αρ3.12 Εκτιμούν και υπολογίζουν το άθροισμα, τη διαφορά, το γινόμενο και το πηλίκο αριθμών μέχρι το 100 000 και επαληθεύουν

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα