7 Περιγραφή συστημάτων στο Χώρο Κατάστασης Γενικά Περιγραφή γραμμικών συστημάτων με τη βοήθεια μεταβλητών κατάστασης

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "7 Περιγραφή συστημάτων στο Χώρο Κατάστασης Γενικά Περιγραφή γραμμικών συστημάτων με τη βοήθεια μεταβλητών κατάστασης"

Transcript

1 Περιεχόμενα 7 Περιγραφή συστημάτων στο Χώρο Κατάστασης 1 71 Γενικά 1 72 Περιγραφή γραμμικών συστημάτων με τη βοήθεια μεταβλητών κατάστασης Περίληψη γνωστών μεθόδων περιγραφής Κατάσταση και μεταβλητή κατάστασης 3 73 Εξισώσεις κατάστασης γραμμικών συστημάτων με πολλαπλά σήματα εισόδου και εξόδου Ορισμός της κατάστασης Παράσταση των εξισώσεων κατάστασης ως διάγραμμα ροής μητρώων Εξισώσεις κατάστασης σύνθετων συστημάτων Συνδεσμολογία σε σειρά Κατάστρωση των εξισώσεων κατάστασης από περίπλοκα διαγράμματα βαθμίδων με εφαρμογή των μητρώων ζεύξης Κατάστρωση των εξισώσεων κατάστασης από την αρχική διαφορική εξίσωση ή τη συνάρτηση μεταφοράς Τυπικός τρόπος (1 ης μορφής) Τυπικός τρόπος (2 ης μορφής) Η μέθοδος διαχωρισμού σε μερικά κλάσματα Μέθοδος προσομοίωσης με ανατροφοδότηση Παραδείγματα εφαρμογών προσδιορισμού των εξισώσεων κατάστασης γραμμικών συστημάτων Προσδιορισμός της συμπεριφοράς του συστήματος στην περιοχή του χρόνου από τη λύση της ανυσματικής διαφορικής εξίσωσης Επίλυση της ανυσματικής ΔΕ με ολοκλήρωση Επίλυση της q = αq + bu με ολοκληρωτικό συντελεστή Επίλυση της ανυσματικής Δ Ε Ιδιότητες της Φ(t) Η φυσική έννοια του θεμελιακού μητρώου Φ(t) Επίλυση της ανυσματικής ΔΕ μέσω της κανονικής μορφής Δομή του μητρώου του συστήματος A 79 i

2 7922 Υπολογισμός του θεμελιακού μητρώου με το μετασχηματισμό ομοιότητας Μετασχηματισμός των εξισώσεων κατάστασης στην κανονική μορφή Διερεύνηση της ευστάθειας γραμμικών χρονικά αναλλοίωτων συστημάτων με τη βοήθεια των εξισώσεων κατάστασης Διερεύνηση της ευστάθειας συστημάτων με τη βοήθεια της ιδιοκατανομής του μητρώου συστήματος Εισαγωγή της συνάρτησης Lyapunov για τη διερεύνηση της ευστάθειας συστημάτων Ρυθμισιμότητα και παρατηρησιμότητα συστημάτων αυτόματης ρύθμισης Ρυθμισιμότητα συστημάτων Κριτήρια για τη ρυθμισιμότητα Παρατηρησιμότητα συστημάτων Κριτήρια για την παρατηρησιμότητα Διαχωρισμός ενός συστήματος στη βάση της ρυθμισιμότητας και της παρατηρησιμότητας Τοποθέτηση πόλων για το σχεδιασμό ρυθμιστών ανατροφοδότησης Παραδείγματα σε Matlab Ασκήσεις κεφαλαίου 124 Βιβλιογραφία Κεφαλαίου 125 ii

3 Περιγραφή συστημάτων στο Χώρο Κατάστασης 7 71 Γενικά Η μέθοδος περιγραφής του χώρου κατάστασης (state-space) ενός συστήματος μπορεί να ερμηνευτεί και ως μέθοδος περιγραφής δυναμικών συστημάτων με μεταβλητές κατάστασης Η συγκεκριμένη μέθοδος εμφανίζεται σήμερα ως η πλέον ενδεδειγμένη για την ανάλυση και σύνθεση συστημάτων αυτόματης ρύθμισης με τη βοήθεια Ηλεκτρονικών Υπολογιστών (Η/Υ) Το βασικό πλεονέκτημα της μεθόδου περιγραφής του χώρου κατάστασης έναντι γνωστών κλασικών μεθόδων όπως η συνάρτηση μεταφοράς, η συχνοτική απόκριση κλπ, είναι ότι διερευνά και την εσωτερική δομή του συστήματος σε σχέση με το σήμα εισόδου και εξόδου, προϋπόθεση που είναι αναμφισβήτητα απαραίτητη στην περίπτωση σχεδιασμού ανάλυσης ή σύνθεσης περίπλοκων συστημάτων Με την εφαρμογή του μητρώου ανυσμάτων προκύπτει μια συνοπτική αλγεβρική παρουσίαση της περιγραφής των συστημάτων και πιο εύχρηστη στην εφαρμογή Η/Υ Επειδή στη συγκεκριμένη περίπτωση τα μητρώα που προκύπτουν είναι μητρώα με πραγματικούς σταθερούς συντελεστές, η περαιτέρω επεξεργασία του συστήματος εξισώσεων, με σκοπό την ανάλυση της δυναμικής συμπεριφοράς του συστήματος ή τη διερεύνηση της ευστάθειας ακόμα και κατά το σχεδιασμό του συστήματος είναι σχετικά εύκολη με τη χρήση Η/Υ 1

4 Ενότητα Περιγραφή γραμμικών συστημάτων με τη βοήθεια μεταβλητών κατάστασης 721 Περίληψη γνωστών μεθόδων περιγραφής Όπως είναι γνωστό για τη μαθηματική περιγραφή γραμμικών χρονικά αναλλοίωτων συστημάτων υπάρχουν περισσότερες δυνατότητες Ένα τέτοιο σύστημα που να ανταποκρίνεται πλήρως στα προαναφερόμενα n τάξης με ένα σήμα εισόδου u και ένα σήμα εξόδου x α μπορεί να περιγραφεί πλήρως με τους ακόλουθους τρόπους: 1 Με τη (ΔΕ) αυτού: a n x (n) (t) + a n 1 x (n 1) (t) + + a 1 ẋ(t) + a 0 x(t) = b m u (m) (t) + b m 1 u (m 1) (t) + + a 1 u(t) + b 0 u(t) (71) 2 Με τη συνάρτηση μετάβασης αυτού h(t) δηλαδή την απόκριση του συστήματος στη βηματική αλλαγή του συστήματος εισόδου 3 Με τη συνάρτηση βάρους του συστήματος g(t), δηλαδή την απόκριση αυτού στην παλμική διέγερση του σήματος εισόδου 4 Τη συχνοτική απόκριση G(jω) ή F (jω) 5 Τη συνάρτηση μεταφοράς G(s) = β ms m + β m 1 s m β 1 s + β 0 α n s n + α n 1 s n α 1 s + α 0 (72) Οι περιπτώσεις 1 μέχρι 3 ανήκουν στις μεθόδους περιγραφής συστημάτων στη χρονική περιοχή ενώ η συνάρτηση μεταφοράς 5 είναι γνωστή ως η μέθοδος περιγραφής συστημάτων στην s-περιοχή Για τον μηχανικό αυτόματης ρύθμισης παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον για το σχεδιασμό συστημάτων ΣΑΡ οι μέθοδοι περιγραφής συστημάτων που περιλαμβάνουν στην ανάλυση τους και την εσωτερική δομή του συστήματος Τη δυνατότητα αυτή παρέχει η διαφορική εξίσωση που προκύπτει από θεωρητική ανάλυση του συστήματος στη χρονική περιοχή και η συνάρτηση μεταφοράς στην s-περιοχή Οι

5 Ενότητα 72 3 δύο μέθοδοι δίνουν τις ίδιες πληροφορίες για το σύστημα και συνεπώς θεωρούνται ισοδύναμες Για ένα σύστημα n τάξης η απευθείας κατάστρωση της διαφορικής εξίσωσης είναι σχετικά δύσκολη αν όχι αδύνατη και συνήθως πρέπει να αναπτυχθεί από τις διαφορικές εξισώσεις επιμέρους συστημάτων, κατά κανόνα πρώτης τάξης Τελικά όμως προκύπτει μία διαφορική εξίσωση που βασίζεται σε διάφορες απλουστεύσεις οι οποίες δεν ισχύουν στην πράξη με αποτέλεσμα η συνισταμένη διαφορική εξίσωση να μην περιγράφει πλήρως το σύστημα Στη συγκεκριμένη περίπτωση τίθεται λοιπόν το ερώτημα κατά πόσο η διαφορική εξίσωση (71) η οποία συνδέει την είσοδο με την έξοδο του συστήματος είναι η ενδεδειγμένη και για τη δομική περιγραφή του συστήματος Το δεύτερο ερώτημα είναι μήπως το σύστημα διαφορικών εξισώσεων χαμηλότερης τάξης, συνήθως πρώτης τάξης, αποτελεί μια μέθοδο περιγραφής και της εσωτερικής δομής συστημάτων και μάλιστα με μεγαλύτερη αξιοπιστία; Τα δύο προαναφερόμενα ερωτήματα έρχεται να απαντήσει η μέθοδος δομικής περιγραφής συστημάτων με μεταβλητές κατάστασης που θα περιγραφεί στη συνέχεια με τη μορφή παραδειγμάτων 722 Κατάσταση και μεταβλητή κατάστασης Η μέθοδος περιγραφής ΣΑΡ με τις μεταβλητές κατάστασης δίνει τη δυνατότητα εξέτασης της δυναμικής συμπεριφοράς ενός συστήματος σε σχέση με το σήμα εισόδου-εξόδου, καθώς επίσης τη συμπεριφορά του συστήματος σε σχέση με την εσωτερική δομή αυτού Ο χώρος που ορίζεται από τις μεταβλητές κατάστασης ως συντεταγμένες ονομάζεται χώρος κατάστασης Στο σχήμα 71 δίνεται ένας ταλαντωτής ελατηρίου-μάζας Η δύναμη τριβής που δημιουργείται από την πλευρική οδήγηση της μάζας M είναι ανάλογη της ταχύτητας Ως σήμα εισόδου του θεωρούμενου γραμμικού συστήματος μπορεί να είναι μια εξωτερική δύναμη η οποία μετακινεί τη μάζα M Σύμφωνα με τους βασικούς κανόνες της φυσικής και μηχανικής, οι κύριες μεταβλητές του συστήματος του 71 είναι η μετατόπιση της μάζας X(t) και η ταχύτητα

6 Ενότητα 72 4 Σχήμα 71: Ταλαντωτής ελατηρίου-μάζας r k M f u(t) αυτής V (t) με τις ακόλουθες σχέσεις: dx(t) dt = V (t) (73) dv (t) M + fv (t) + KX(t) = U(t) (74) dt Από τις σχέσεις (73) και (74) προκύπτει η συνισταμένη διαφορική εξίσωση (ΔΕ): M d2 X(t) dt 2 + f dx(t) dt + KX(t) = U(t) (75) Η χρονική συμπεριφορά και συνεπώς και η δυναμική συμπεριφορά του συστήματος προσδιορίζεται με τη λύση της ΔΕ (75) Για τη λύση της ΔΕ απαιτούνται εκτός από τη ΔΕ και τη χρονική συμπεριφορά του σήματος εισόδου U(t), οι αρχικές συνθήκες της ΔΕ που στη συγκεκριμένη περίπτωση είναι: X(t 0 ) και V (t 0 ) = dx(t) dt t=t0 Διαπιστώνεται λοιπόν ότι οι μεταβλητές των οποίων απαιτούνται οι αρχικές συνθήκες στη χρονική στιγμή t = t 0, για τη λύση της ΔΕ (75) είναι ακριβώς εκείνες για τις οποίες ισχύει το αρχικό σύστημα ΔΕ πρώτης τάξης με τις σχέσεις (73) και

7 Ενότητα 72 5 (74), δηλαδή: Ẋ(t) = V (t) (76) V (t) = K M X(t) f M V (t) + 1 M U(t) (77) έτσι διαπιστώνεται ότι για τη λύση απαιτούνται οι αρχικές συνθήκες X(t 0 ) και V (t 0 ) Στην περίπτωση που ενδιαφέρουν μόνο οι ελεύθερες κινήσεις του συστήματος τότε δεν υπάρχει σήμα εισόδου, δηλαδή U(t) = 0 Ελεύθερες κινήσεις είναι εκείνες που κάνει το σύστημα όταν το φέρουμε για μια και μόνο στιγμή στη συγκεκριμένη αρχική κατάσταση X(t 0 ) και V (t 0 ) μετά το αφήσουμε ελεύθερο Για παράδειγμα θα μπορούσε αρχικά η μάζα M να μετατοπιστεί κατά X(t 0 ) από την κατάσταση ηρεμίας της Αφήνοντας στη συνέχεια τη μάζα M ελεύθερη προκαλείται η ελεύθερη κίνηση με τις αρχικές συνθήκες (X(t 0 ), 0) Η ελεύθερη κίνηση μπορεί να εκφραστεί πιο κατανοητά με το γνωστό από προηγούμενα μαθήματα της ΑΡ επίπεδο φάσης σχήμα 72 Η τροχιά της φάσης με παράμετρο τον χρόνο περιγράφει μονοσήμαντα την ελεύθερη κίνηση που αντιστοιχεί στις συγκεκριμένες αρχικές συνθήκες Οι στιγμιαίες τιμές των μεταβλητών φάσης X και V που αντιστοιχούν σε κάθε χρονικό σημείο t t 0, προσδιορίζονται από την προβολή των σημείων επί των συντεταγμένων Σχήμα 72: Τροχιά της φάσης με παράμετρο τον χρόνο, για αρχικές συνθήκες (X(t 0 ), 0) V X Το σύνολο των σημείων X(t) και V (t) ως προς τον χρόνο μας δίνει την καμπύλη του ανύσματος-ταχύτητας

8 Ενότητα 72 6 Η παράσταση στο επίπεδο φάσης παρέχει πληροφορίες σχετικά με την έκβαση της ελεύθερης κίνησης ή της κατάστασης του ταλαντωτή ελατηρίου-μάζας Είναι γνωστό ότι η προαναφερόμενη μέθοδος εξέτασης των συστημάτων μπορεί να επεκταθεί και σε μη μηχανικά συστήματα δεύτερης τάξης Θα πρέπει επίσης να αναφερθεί ότι οι μεταβλητές φάσης X(t) και V (t) του προαναφερόμενου παραδείγματος βρίσκονται σε άμεση σχέση με την ενέργεια που αποθηκεύει το σύστημα σε κάθε χρονική στιγμή t t 0 και προσδιορίζεται από την ακόλουθη σχέση: W (t) = W δυν (t) + W κιν (t) = 1 2 KX2 (t) MV 2 (t) (78) Η προαναφερόμενη μέθοδος ανάλυσης ή σύνθεσης των συστημάτων μπορεί να εφαρμοστεί ομοιότυπα ακόμη και στις περιπτώσεις εκείνες που δεν έχουμε παρόμοιες φυσικές σχέσεις στο σύστημα Βασικά το σύστημα περιγράφεται μαθηματικά με δύο ΔΕ πρώτης τάξης Οι δύο μεταβλητές που εμφανίζονται στη ΔΕ με την πρώτη παράγωγο αυτών είναι ακριβώς εκείνες που πρέπει να είναι γνωστές στην αρχική κατάσταση t = t 0, ώστε, από το σύστημα ΔΕ πρώτης τάξης, να προσδιοριστούν οι ελεύθερες κινήσεις του συστήματος, ή στην περίπτωση που υπάρχει σήμα εισόδου U(t) να υπολογιστεί η απόκριση του συστήματος Οι μεταβλητές αυτές στο εξής θα ονομάζονται μεταβλητές κατάστασης Επομένως από κάθε ΔΕ όπως αυτή της σχέσης (71) που περιγράφει ένα γραμμικό σύστημα δεύτερης τάξης: a 2 Ẍ(t) + a 1 Ẋ(t) + a 0 X(t) = U(t) (79) με απλή αντικατάσταση: X(t) = q 1 (t) Ẋ(t) = q 2 (t) (710) (711)

9 Ενότητα 72 7 προκύπτει το ακόλουθο σύστημα δύο ΔΕ πρώτης τάξης: q 1 (t) = q 2 (t) a 2 q 2 (t) + a 1 q 2 (t) + a 0 q 1 (t) = U(t) Λύνοντας ως προς q 2 έχουμε την ακόλουθη παράσταση που είναι όμοια με αυτές των σχέσεων (76) και (77): q 1 (t) = q 2 (t) q 2 (t) = a o a 2 q 1 (t) a 1 a 2 q 2 (t) + 1 a 2 U(t) (712) (713) Οι μεταβλητές κατάστασης q 1 (t) και q 2 (t) μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την παράσταση του επιπέδου φάσης ή γενικά για την παράσταση του επιπέδου κατάστασης, όπου η συμπεριφορά του συστήματος δεν εκφράζεται με τις αντίστοιχες τροχιές Η κατάσταση αυτή ή το επίπεδο κατάστασης προέκυψε από την εν μέρη κατ αναλογία και εν μέρη κατά γενίκευση του όρου των μεταβλητών φάσης που εξετάζει η θεωρία της μηχανικής Η νέα αυτή θεώρηση πραγμάτων θεωρείται επιβεβλημένη από το γεγονός ότι οι μεταβλητές φάσης της μηχανικής έχουν συγκεκριμένη σημασία ενώ στη γενική περίπτωση περιγραφής συστημάτων οι μεταβλητές αυτές μπορούν να παραστήσουν οποιαδήποτε φυσική μεταβλητή, όπως θερμοκρασία, πίεση, συγκέντρωση, ένταση και τάση ρεύματος, ή ακόμη και μεγέθη υπολογιστικά μη εκφραζόμενα φυσικά τα οποία λαμβάνουν συνάρτηση μεταβλητών κατάστασης Η συγκεκριμένη μέθοδος που εξετάστηκε στην περίπτωση συστημάτων δεύτερης τάξης μπορεί κατά αντιστοιχία να επεκταθεί και σε συστήματα n τάξης εισάγοντας μεταβλητές κατάστασης q n (t) Με την ακόλουθη τυπική αντικατάσταση: q 1 (t) = X(t), q 2 (t) = Ẋ(t),, q n(t) = dn 1 X(t) dt n 1 = X (n 1) (t) (714) μπορεί από κάθε ΔΕ n τάξης: a n X (n) + a n 1 X (n 1) + + a 1 Ẋ + a 0 X = U (715)

10 Ενότητα 72 8 να προκύψει το σύστημα των ακόλουθων n διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης: q 1 = q 2 q 2 = q 3 q n 1 = q n q n = a o a n q 1 a 1 a n q 2 a n 1 a n q n + 1 a n U (716) Οι n μεταβλητές κατάστασης q 2 (t), i = 1, 2,, n που προκύπτουν με την εφαρμογή της προαναφερόμενης μεθόδου είναι ακριβώς εκείνες οι μεταβλητές των οποίων οι αρχικές συνθήκες πρέπει να είναι γνωστές αν θα επιθυμούσαμε να λύσουμε τη διαφορική εξίσωση (715) με την κλασσική μέθοδο Βέβαια δεν είναι πάντα δυνατό με αυτή τη γενική μέθοδο εισαγωγής των μεταβλητών κατάστασης, να υπάρξει για κάθε μεταβλητή κατάστασης και η αντίστοιχη φυσική έννοια αυτής Οι μεταβλητές κατάστασης αποτελούν όμως ένα πλήθος από μεταβλητές των οποίων πρέπει να είναι γνωστές οι τιμές τους στη χρονική στιγμή t = t 0, ώστε με ταυτόχρονη γνώση των ΔΕ του συστήματος και του σήματος εισόδου αυτού U(t), να είναι δυνατός ο προσδιορισμός της δυναμικής συμπεριφοράς του συστήματος για όλες τις τιμές t t 0 Το πλήθος των μεταβλητών q i (t) μπορεί να παραστεί και με το ακόλουθο άνυσμα: q 1 (t) q 2 (t) q(t) = q n (t) (717)

11 Ενότητα 72 9 Στην περίπτωση του ταλαντωτή ελατηρίου-μάζας (σχήμα 71) οι δύο μεταβλητές κατάστασης ήταν ταυτόσημες με τις δύο μεταβλητές φάσης: q 1 (t) = X(t) q 2 (t) = V (t) Στο επίπεδο φάσης (σχήμα 72) ο δείκτης με αρχή των συντεταγμένων V, X και τέλος την κατάσταση (X(t), V (t)) του συστήματος στο συγκεκριμένο σημείο t t 0, μπορεί να θεωρηθεί ως ένα άνυσμα Επειδή ο χρόνος t είναι παράμετρος της τροχιάς της φάσης, η κορυφή του δείκτη του ανύσματος με μεταβαλλόμενο τον χρόνο κινείται επί της τροχιάς της φάσης Το συγκεκριμένο άνυσμα δίνεται από την ακόλουθη σχέση: q(t) = X(t) = q 1 (t) V (t) 1 2 (t) Σε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή t 1 t 0 ο δείκτης του ανύσματος κατάστασης q υποδεικνύει ένα σημείο στο επίπεδο φάσης, φυσικά στη συγκεκριμένη περίπτωση θα πρέπει να μιλάμε για επίπεδο κατάστασης πια και όχι επίπεδο φάσης, το οποίο αντιπροσωπεύει την κατάσταση του συστήματος στη συγκεκριμένη χρονική στιγμή Οι δύο μεταβλητές κατάστασης που είναι ταυτόχρονα και στοιχεία του ανύσματος κατάστασης q προσδιορίζονται από την προβολή στους άξονες του επιπέδου κατάστασης Η επέκταση αυτή της γεωμετρικής θεώρησης σε συστήματα ανώτερης τάξης για ένα άνυσμα κατάστασης n διαστάσεων q, κατ αντιστοιχία με το άνυσμα της σχέσης (717) του οποίου ο δείκτης με μεταβαλλόμενο το χρόνο t περιγράφει στον n-διάστατο χώρο ένα επίπεδο κατάστασης Τα στοιχεία αυτού του ανύσματος κατάστασης στον n-διάστατο χώρο κατάστασης είναι οι μεταβλητές κατάστασης q i (t) του συστήματος Η γεωμετρική αυτή θεώρηση είναι σαφής και πιο κατανοητή για n = 3 Η γεωμετρική αυτή θεώρηση εξηγεί την ευρέως χρησιμοποιούμενη ορολογία «περιγραφή του χώρου κατάστασης» συστημάτων αυτόματης ρύθμισης Η συγκεφαλαίωση των μεταβλητών κατάστασης στο άνυσμα κατάστασης αποτελεί κατά κάποιο τρόπο τη βάση ώστε το σύστημα των n διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης, με την εισαγωγή του μητρώου ανυσμάτων, να παρίσταται ως μια γραμμική διαφορικά εξίσωση ανυσμάτων Για παράδειγμα από τη σχέση (716)

12 Ενότητα προκύπτει η ακόλουθη παράσταση του μητρώου ανυσμάτων: d dt q 1 (t) q 1 (t) q 2 (t) q 2 (t) = = q n (t) q n (t) a 0 a n a 0 a n a 2 a n a n 1 a n q 1 (t) 0 q 2 (t) 0 + U(t) 1 q n (t) a n dq(t) dt = q(t) = A q(t) + βu(t) (718) Το μητρώο A είναι ένα τετραγωνικό της μορφής (n, n), το οποίο στο εξής θα ονομάζεται μητρώο συστήματος Το άνυσμα β με n στοιχεία είναι το σύστημα εισόδου του συστήματος Το q είναι το γνωστό ήδη άνυσμα κατάστασης με τα n στοιχεία και τις μεταβλητές κατάστασης q i του συστήματος Το n είναι η τάξη του συστήματος οπότε σύμφωνα με τα προαναφερόμενα ένα σύστημα n τάξης έχει και n μεταβλητές κατάστασης Από τα προαναφερόμενα εύκολα συμπεραίνεται ότι με την τυπική εισαγωγή των μεταβλητών κατάστασης σύμφωνα με την (714), καθίσταται δυνατό για ένα γραμμικό χρονικά αναλλοίωτο σύστημα n τάξης με μία είσοδο u, το οποίο περιγράφεται με μία διαφορική εξίσωση τύπου (715), να προσδιοριστεί η περιγραφή του χώρου κατάστασης υπό μορφή ανυσματικής εξίσωσης, q(t) = Aq(t) + βu(t) κατ αντιστοιχία με τη σχέση (718) τα n 2 στοιχεία a ij του μητρώου συστήματος A και τα n στοιχεία του ανύσματος εισόδου β μπορούν να προσδιοριστούν μονοσήμαντα από τους συντελεστές της ΔΕ (715) ή και αντίστροφα Ως έκφραση του αναλλοίωτου του περιγραφόμενου συστήματος, είναι σταθερά τα στοιχεία των A και β Συμπεραίνεται λοιπόν ότι οι σχέσεις (715) και (718) είναι δύο μαθηματικά ισοδύναμες σχέσεις για ένα και το αυτό σύστημα, φυσικά ενός συγκεκριμένου τύπου συστημάτων Επομένως η περιγραφή του χώρου κατάστασης (718) αποτελεί μία μέθοδο περιγραφής συστημάτων στην περιοχή του χρόνου και όπως θα αποδειχθεί και στη συνέχεια η μέθοδος αυτή αποτελεί ένα σοβαρό εργαλείο επίλυσης προβλημάτων της αυτόματης ρύθμισης και ιδιαίτερα επίλυσης προβλημάτων που έχουν σχέση με τον σχεδιασμό βέλτιστων συστημάτων ρύθμισης

13 Ενότητα Για τον ταλαντωτή ελατηρίου-μάζας η περιγραφή του χώρου κατάστασης δίνεται από την ακόλουθη σχέση: q 1 (t) = 0 1 q 1 (t) q 2 (t) K f + 0 u(t) 1 q M M 2 (t) M q(t) = Aq(t) + βu(t) (719) Στη συγκεκριμένη περίπτωση το άνυσμα κατάστασης q περιέχει την μεταβλητή εξόδου του συστήματος που ενδιαφέρει τον δρόμο x(t), ως πρώτο στοιχείο q 1 = x Η ανυσματική ΔΕ (719) δίνει μόνο μία σχέση που υφίσταται μεταξύ της εισόδου του συστήματος u(t) στη συγκεκριμένη περίπτωση η δύναμη που δρα, και την κατάσταση q ή την παράγωγο αυτής q Η σχέση μεταξύ εισόδου και εξόδου που εκφράζεται άμεσα στη σχέση (75) δεν εκφράζεται εξίσου άμεσα και από τη σχέση (719) και το σήμα εξόδου που ενδιαφέρει δίνεται από την ακόλουθη σχέση: x(t) = q 1 (t) = [ ] 1 0 q 1 (t) q 2 (t) x(t) = C T q(t) (720) Συμπεραίνεται λοιπόν ότι στην περίπτωση που απαιτείται ειδική αναφορά στη σχέση που διέπει την είσοδο και έξοδο ενός συστήματος που εκφράζεται με περιγραφή του χώρου κατάστασης, τότε εκτός από την ανυσματική διαφορική εξίσωση, q(t) = Aq(t) + βu(t) απαιτείται και η εξίσωση εξόδου του συστήματος που δίνεται από την ακόλουθη σχέση: n x(t) = C T q(t) = C i q i (t) (721) i=1 Κάθε σήμα εισόδου x(t) ενός γραμμικού συστήματος, της μορφής όπως αυτών που προαναφέρθηκαν, είναι δυνατό να εκφραστεί ως γραμμικός συνδυασμός των μεταβλητών κατάστασης όπως αυτή της σχέσης (721)

14 Ενότητα Το άνυσμα C T ονομάζεται άνυσμα εξόδου Τα στοιχεία του ανύσματος εξόδου C i είναι σταθερά για τα συστήματα που είναι αναλλοίωτα στο χρόνο Από τα προαναφερόμενα συμπεραίνεται ότι κατά την ανάλυση ενός συστήματος ανώτερης τάξης η συνισταμένη διαφορική εξίσωση δεν είναι δυνατό να προκύψει σ ένα μόνο βήμα Σύμφωνα με την εσωτερική δομή του συστήματος η συνισταμένη διαφορική εξίσωση του συστήματος προκύπτει από την απαλοιφή των ενδιάμεσων μεταβλητών στις επί μέρους διαφορικές εξισώσεις οι οποίες συνήθως είναι πρώτης τάξης Με την εισαγωγή όμως της μεθόδου περιγραφής του χώρου κατάστασης αποδεικνύεται ότι η θεωρητική ανάλυση και σύνδεση συστημάτων με την προαναφερόμενη μέθοδο στις περισσότερες πρακτικές εφαρμογές φαίνεται πιο εύκολη σε σχέση με τη γνωστή μέθοδο της συνισταμένης διαφορικής εξίσωσης το γεγονός αυτό επιβεβαιώνεται και από την εξέταση του σταθερά διεγειρόμενου κινητήρα συνεχούς τάσης του σχήματος 73 Σχήμα 73: Σταθερά διεγειρόμενος κινητήρας συνεχούς ρεύματος με φορτίο i L A R A u e M ω J L u e = J A D Για την εξέταση του συστήματος του σχήματος 73 ισχύουν τα ακόλουθα: Ο άξονας δεν υφίσταται καμία στρέψη και συνεπώς η σταθερά στρέψης του ελατηρίου είναι C r Η δύναμη τριβής που δημιουργείται από την περιστροφική κίνηση είναι ανάλογη της ταχύτητας περιστροφής ω με τον συντελεστή D Η περιοχή εργασίας για την οποία ισχύει η γραμμικότητα της τάσης εισόδου u(t) και του σήματος εξόδου, αριθμός στροφών n = (30/π)ω, δεν θα την υπερβεί το σύστημα Για την ανάλυση του συγκεκριμένου παραδείγματος ακολουθείται η παρακάτω μέθοδος:

15 Ενότητα Βασική εξίσωση για την ηλεκτρική πλευρά του συστήματος: di(t) u(t) = L A + R A i(t) + e(t) dt e(t) = c ϕ ω(t) = C e ω(t) 2 Βασική εξίσωση για τη ροπή που παράγει ο κινητήρας: M(t) = C ϕ Φi(t) = C m i(t) 3 Βασική εξίσωση για το μηχανικό μέρος του συστήματος M(t) = (J A + J L ) dω(t) dt J A + J L = J + Dω(t) Επομένως το σύστημα του σχήματος 73 περιγράφεται αρχικά από τις δύο ακόλουθες ΔΕ: u(t) = L A di(t) dt + R A i(t) + C e ω(t) (722) C m i(t) = J dω dt + Dω(t) (723) Η πρώτη ΔΕ προκύπτει από την εφαρμογή των βασικών κανόνων του ηλεκτρικού κυκλώματος του κινητήρα και η δεύτερη από περιστροφική κίνηση Για την εισαγωγή των μεταβλητών κατάστασης στο συγκεκριμένο σύστημα, υπάρχουν προφανώς οι δύο ακόλουθοι τρόποι: Πρώτος τρόπος Επειδή οι δύο ΔΕ (722) και (723) που καταστρώθηκαν με εφαρμογή των βασικών φυσικών κανόνων είναι ήδη πρώτης τάξης, είναι δυνατή η άμεση μετατροπή αυτών στη μέθοδο περιγραφής του χώρου κατάστασης: di(t) dt dω(t) dt = R A L A i(t) C e L A ω(t) + 1 L A u(t) = C m J i(t) D J ω(t)

16 Ενότητα Οι δύο μεταβλητές i και ω, δηλαδή ένταση του στάτορα και ταχύτητα περιστροφής που εμφανίζονται με την πρώτη παράγωγο αυτών αποτελούν τις μεταβλητές κατάστασης του ανύσματος κατάστασης: i(t) q(t) = (724) ω(t) Έτσι προκύπτει η ακόλουθη ανυσματική ΔΕ d dt i(t) = R L A A C ω(t) mj C e 1 L A i(t) + L A (725) D ω(t) 0 J Το σήμα εξόδου «αριθμός στροφών» εκφράζεται ως γραμμική σχέση των μεταβλητών κατάστασης q 1 = i, q 2 = ω ως ακολούθως: x(t) = n(t) = [ ] i(t) 0 30 π (726) ω(t) Επομένως σύμφωνα με τον προαναφερόμενο πρώτο τρόπο προκύπτει η ακόλουθη περιγραφή του χώρου κατάστασης του συστήματος του σχήματος 73 i q =, A = R A /L A ω C m /J C e /L A, β = 1/L A, CT = D/J 0 [ ] 0 30/π (727) Δεύτερος τρόπος Για το ίδιο σύστημα (σχήμα 73) θα καταστρωθεί μια δεύτερη περιγραφή του χώρου κατάστασης με μία πιο γενική μέθοδο

17 Ενότητα Από τις δύο ΔΕ (722) και (723) με απαλοιφή της ενδιάμεσης μεταβλητής i(t) θα καταστρωθεί μία συνισταμένη ΔΕ δεύτερης τάξης του ω(t): L A J d 2 ( ω C m dt + RA J 2 C m + L ) ( ) AD dω C m dt + RA D + C e ω = u (728) C m Η σχέση (728) είναι του τύπου της σχέσης (79) και συνεπώς μπορεί με την τυπική εισαγωγή των μεταβλητών κατάστασης, q 1 (t) = ω(t), q 2 (t) = ω(t), να μεταφερθεί στη μορφή των σχέσεων (712) και (713) με την αντίστοιχη περιγραφή του χώρου κατάστασης Οπότε εκφραζόμενη με το μητρώο ανυσμάτων προκύπτει η ακόλουθη σχέση: d dt ω(t) = ω(t) 0 1 ω(t) ) D ω(t) J R AD+C m C e L A J ( R A L A C m L A J u(t) (729) Οι δύο μεταβλητές κατάστασης του συστήματος, γωνιακή ταχύτητα και γωνιακή επιτάχυνση του άξονα του κινητήρα, είναι και σ αυτή την περίπτωση πραγματικά φυσικά μεγέθη Το σήμα εξόδου αριθμός στροφών n του άξονα του ηλεκτρικού κινητήρα, εκφράζεται ως γραμμική σχέση των μεταβλητών κατάστασης q 1 = ω και q 2 = ω με την ακόλουθη σχέση: [ ] ω(t) x(t) = n(t) = 30/π 0 (730) ω(t) Επομένως με την εφαρμογή του δεύτερου τρόπου προκύπτει για το σύστημα του σχήματος 73 η ακόλουθη περιγραφή χώρου κατάστασης: ω q =, A = ω 0 1 R AD+C m C e L A J ( R A L A + D J ), β = 0 C m L A J, CT = [ ] 30/π 0 (731)

18 Ενότητα Διαπιστώνεται ότι η περιγραφή του χώρου κατάστασης ενός συστήματος δεν είναι μονοσήμαντη αλλά υπάρχει κάποια ελευθερία στην εισαγωγή των μεταβλητών κατάστασης Πρέπει όμως να τονιστεί ότι η εφαρμογή του γενικού «δεύτερου τρόπου» σε συστήματα ανώτερης της δεύτερης τάξης οδηγεί συνήθως σε μεταβλητές κατάστασης που δεν έχουν αντίστοιχη φυσική επεξήγηση Το γεγονός αυτό αποτελεί σοβαρό μειονέκτημα στον σχεδιασμό ΣΑΡ και ιδιαίτερα στην περίπτωση σχεδιασμού και κατασκευής βέλτιστων ΣΑΡ, που στη βάση των μεταβλητών κατάστασης απαιτείται η μέτρηση πολλών, συνήθως όλων, των μεταβλητών κατάστασης Η προαναφερόμενη αναγκαιότητα της μέτρησης της κατάστασης βρίσκει ανταπόκριση ακόμη και στην περίπτωση συστημάτων ανώτερης τάξης στην εφαρμογή του «πρώτου δρόμου» Σε συνδυασμό μάλιστα με την αποθηκευμένη ενέργεια του υπό εξέταση συστήματος δίνεται η δυνατότητα μια γενικότερης αντιμετώπισης του συστήματος Για ένα μεγάλο αριθμό συστημάτων και από τεχνικής πλευράς πολύ σημαντικής ομάδας συστημάτων, ηλεκτρομηχανικά, ηλεκτρικά και συστήματα χημικής τεχνολογίας, είναι δυνατό η δυναμική συμπεριφορά του συστήματος να συνδυαστεί άμεσα με την αποθηκευμένη στο σύστημα ενέργεια Είναι γνωστό ότι κάθε μεταβατικό φαινόμενο ή κάθε μεταβολή της δυναμικής του συστήματος οφείλεται στην νέα κατανομή της ενέργειας στο σύστημα Ο αριθμός των ανεξάρτητων δυνατοτήτων αποθήκευσης ενέργειας σε ένα σύστημα είναι ίσος του αριθμού των μεταβλητών κατάστασης και συνεπώς ίσος της τάξης του συστήματος Όταν οι ενέργειες που αποθηκεύει το σύστημα μπορούν να εκφραστούν με τετράγωνο αντίστοιχων φυσικών μεγεθών, και αυτό είναι δυνατό για τα προαναφερόμενα συστήματα και το παράδειγμα (σχήμα 73), σ αυτά τα φυσικά μεγέθη υπάρχουν και οι μεταβλητές κατάστασης Με την προαναφερόμενη σκέψη δίνεται στη συνέχεια μία νέα διάσταση στην ανάλυση ΣΑΡ Το σύστημα του σχήματος 73 με την προϋπόθεση, ότι C r, έχει τις δύο ακόλουθες ανεξάρτητες ενέργειες αποθηκευμένες (χώρηση ενέργειας): i) Η αυτεπαγωγή του κυκλώματος του στάτορα του ηλεκτρικού κινητήρα αποθηκεύει την μαγνητική ενέργεια 1 2 L Ai 2 (t)

19 Ενότητα ii) Το σύνολο της περιστρεφόμενης μάζας με τη ροπή αδράνειας J αποθηκεύει την κινητική ενέργεια 1 2 Jω2 (t) Το σύστημα είναι δεύτερης τάξης και ως μεταβλητές κατάστασης επιλέγονται τα φυσικά μεγέθη i(t) και ω(t) τα οποία στις σχέσεις των αποθηκευμένων ενεργειών εμφανίζονται στο τετράγωνο: q 1 (t) = i(t), q 2 (t) = ω(t) Είναι γνωστό ότι και οι δύο μεταβλητές κατάστασης μπορούν να μετρηθούν με μεγάλη ευχέρεια Από τις εξισώσεις που περιγράφουν το σύστημα στο συγκεκριμένο παράδειγμα, σχέσεις (722) και (723) προσδιορίζεται μια ανυσματική ΔΕ τύπου: d dt i(t) = a 11 a 12 i(t) + β 1 u(t) ω(t) a 21 a 22 ω(t) β 2 και για το συγκεκριμένο παράδειγμα είναι η σχέση (725) 73 Εξισώσεις κατάστασης γραμμικών συστημάτων με πολλαπλά σήματα εισόδου και εξόδου Γενικά για κάθε γραμμικό στο χρόνο αναλλοίωτο σύστημα n τάξης με m σήματα εισόδου μπορεί να καταστρωθεί το ακόλουθο σύστημα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης: q 1 = a 11 q 1 + a 12 q a 1n q n + β 11 u 1 + β 12 u β 1m u m q 2 = a 21 q 1 + a 22 q a 2n q n + β 21 u 1 + β 22 u β 2m u m q n = a n1 q 1 + a n2 q a nn q n + β n1 u 1 + β n2 u β nm u m (732) εκφραζόμενο με το μητρώο ανυσμάτων προκύπτει η ακόλουθη ανυσματική ΔΕ: q = Aq + βu (733)

20 Ενότητα όπου: q 1 q 2 q είναι το άνυσμα κατάστασης, q = q n (n,1) a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A είναι το μητρώο του συστήματος, A = a n1 a n2 a nn β 11 β 12 β 1m β 21 β 22 β 2m B είναι το μητρώο εισόδου, B = β n1 β n2 β nm (n,n) (n,m) Γενικά κάθε μεταβλητή κατάστασης q i δεν αποτελεί οπωσδήποτε και ένα σήμα εξόδου του συστήματος, ακόμη πρέπει να τονιστεί ότι κάθε μεταβλητή κατάστασης δεν παριστάνει οπωσδήποτε και ένα πραγματικό φυσικό μέγεθος του συστήματος Μόνο γενικά μπορεί να θεωρηθεί ότι τα σήματα εξόδου ενός συστήματος παριστάνουν φυσικά μεγέθη Για παράδειγμα αν δεχτούμε ότι ένα σύστημα έχει r σήματα εξόδου, τότε στο συγκεκριμένο γραμμικό σύστημα πρέπει τα r μεγέθη εξόδου να μπορούν να σχηματιστούν από γραμμικό συνδυασμό συγκεκριμένων μεταβλητών κατάστασης (επειδή ισχύει η αρχή υπέρθεσης) Επομένως είναι δυνατό κάθε σήμα εξόδου, για παράδειγμα το K σήμα εξόδου ενός γραμμικού συστήματος, να παραστεί με την ακόλουθη σχέση: n X K = C Ki q i και K = 1, 2,, r i=1 Στη συγκεκριμένη περίπτωση είναι ορισμένα στοιχεία C Ki ίσα με μηδέν

21 Ενότητα Σε μερικές σπάνιες περιπτώσεις οι μεταβλητές εξόδου (σήματα εξόδου) μπορούν να εξαρτώνται άμεσα από συγκεκριμένες μεταβλητές εισόδου (σήματα εισόδου) του συστήματος, οπότε για το K σήμα εξόδου ισχύει: n m X K = C Ki q i + d Kj u j i=1 j=1 Στην προηγούμενη σχέση πολλοί συντελεστές d kj είναι επίσης ίσοι με μηδέν Από τα προαναφερόμενα συμπεραίνεται ότι για τον υπολογισμό των r μεταβλητών εξόδου ενός γραμμικού στο χρόνο αναλλοίωτου συστήματος ισχύει το ακόλουθο σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων: X 1 = c 11 q 1 + c 12 q c 1n q n + d 11 u 1 + d 12 u d 1m u m X 2 = c 21 q 1 + c 22 q c 2n q n + d 21 u 1 + d 22 u d 2m u m X r = c r1 q 1 + c r2 q c rn q n + d r1 u 1 + d r2 u d rm u m (734) Στη συνέχεια δίνεται η σχέση (734) εκφραζόμενη με τα μητρώα A και D: x = Cq + Du (735) όπου: C = (C ij ) (r, n) το μητρώο εξόδου και D = (d ij ) (r, m) το μητρώο εισόδου του συστήματος Γενικά πρέπει να σημειωθεί ότι τα μητρώα C και D περιέχουν συνήθως πολλά μηδενικά στοιχεία Ένα γραμμικό αναλλοίωτο στο χρόνο σύστημα με πολλαπλές εισόδους και εξόδους περιγράφεται στη γενικότερη περίπτωση με τις ακόλουθες εξισώσεις κατάστασης: q = Aq + Bu, X = Cq + Du

22 Ενότητα Επειδή το σύστημα είναι αναλλοίωτο στο χρόνο τα στοιχεία των μητρώων A, B, C, και D είναι σταθερά Ο αριθμός των μεταβλητών κατάστασης q i, δηλαδή ο αριθμός των στοιχείων του ανύσματος κατάστασης q, προσδιορίζει την τάξη του συστήματος και συνεπώς προσδιορίζει ταυτόχρονα και τον αριθμό σειρών του τετραγωνικού μητρώου A και τις στήλες των B και C Στη συνέχεια εξετάζεται το ηλεκτρικό σύστημα του σχήματος 74 Σχήμα 74: Ηλεκτρικό δίκτυο i R L1 L 1 u L 1 2 i 2 U 1 C u C U 2 Οι μεταβλητές εισόδου και εξόδου του ηλεκτρικού δικτύου του σχήματος 74 είναι αντίστοιχα: u = u 1, x = u L1 u 2 u c Το σύστημα έχει τις τρεις ακόλουθες ανεξάρτητες μεταξύ τους αποθήκες ενέργειας: L 1 : E 1 = 1 2 L 1i 2 1 L 2 : E 2 = 1 2 L 2i 2 2 C : E 3 = 1 2 Cu2 c Συμπεραίνεται ότι το σύστημα είναι τρίτης τάξης και για την περιγραφή του απαιτούνται τρεις μεταβλητές κατάστασης Ως μεταβλητές κατάστασης επιλέγονται οι τρεις μεταβλητές που υπάρχουν για τον προσδιορισμό των ενεργειών (μεταβλητές στο τετράγωνο) οι οποίες μπορούν να μετρηθούν με μεγάλη ευκολία: i 1 q 1 q = i 2 = q 2 u c q 3 (736)

23 Ενότητα Στη συνέχεια δίνονται οι βασικές εξισώσεις που προκύπτουν από την εφαρμογή των νόμων του Kirchhoff στο ηλεκτρικό δίκτυο του σχήματος 74 u 1 = i 1 R + L 1 di 1 dt + u c u 2 = L 2 di 2 dt + u c du c dt = 1 C (i 1 + i 2 ) (737) (738) (739) Με ανασχηματισμό των σχέσεων (737), (738) και (739) προκύπτουν οι ακόλουθες σχέσεις με τις μεταβλητές κατάστασης: di 1 dt = R L 1 i 1 1 L 1 u c + 1 L 1 u 1 di 2 dt = 1 L 2 u c + 1 L 2 u 2 du c dt = 1 C i C i 2 (740) (741) (742) με τις διαφορικές εξισώσεις ανυσμάτων: d dt i 1 R L L 1 i 1 L 1 0 u 1 i 2 = L 2 i L 2 u u c 0 u C C c 0 0 q = Aq + Bu (743) Τα μεγέθη (σήματα) εξόδου δίνονται από τις ακόλουθες σχέσεις: x 1 = u L1 = L 1 di 1 dt, x 2u c (744) Το μέγεθος εξόδου x 2 είναι το ίδιο με τη μεταβλητή κατάστασης q 3 = u c Το μέγεθος εξόδου (σήμα) x 1 δεν προκύπτει άμεσα και συνεπώς, σύμφωνα με τα προαναφερόμενα μπορεί να εκφραστεί ως γραμμικός συνδυασμός των μεταβλητών κατάστασης

24 Ενότητα και των μεγεθών (σημάτων) εισόδου: x 1 = u L1 = R i1 u c + u 1 (745) Επομένως για το άνυσμα των σημάτων εισόδου του συστήματος του σχήματος 74 ισχύει: u L1 = R 0 1 i 1 i u 1 (746) u c u 2 u c x = Cq + Du 74 Ορισμός της κατάστασης Σύμφωνα με τα προαναφερόμενα είναι δυνατό με τη βοήθεια των μεταβλητών κατάστασης να περιγραφούν πλήρως γραμμικά στον χρόνο αναλλοίωτα συστήματα Στον χρόνο t 0 κατάστασης ενός συστήματος είναι το μικρότερο πλήθος δεδομένων, συνήθως ένα πλήθος από αριθμούς q 1 (t 0 ), q 2 (t 0 ), από τους οποίους είναι δυνατός ο μονοσήμαντος προσδιορισμός της συμπεριφοράς του συστήματος για όλες τις τιμές του t t 0 Προϋπόθεση για τη μονοσήμαντη περιγραφή της συμπεριφοράς του συστήματος είναι ότι πρέπει να είναι γνωστές όλες οι εξωτερικές επιρροές (σήματα εισόδου) που επιδρούν στο σύστημα για όλες τις τιμές t t 0 Η πληροφορία που περιέχει το πλήθος των αριθμών q 1 (t 0 ), q 2 (t 0 ), είναι ακριβώς εκείνο που πρέπει να είναι γνωστό για την περιγραφή του συστήματος για τιμές (t t 0 ), ώστε με γνώση του ανύσματος εισόδου u(t) και των λειτουργικών εξισώσεων, να καθίστανται δυνατός ο προσδιορισμός της συμπεριφοράς του συστήματος για τιμές t t 0 Με τον ορισμό αυτό για την κατάσταση ενός συστήματος διαπιστώνεται η γενικά ισχύ της μεθόδου για τα μη γραμμικά συστήματα Η μέθοδος περιγραφής συστημάτων με τις μεταβλητές κατάστασης μπορεί να εφαρμοστεί και σε συστήματα ασυνεχή ως προς το χρόνο Στη συγκεκριμένη περίπτωση οι λειτουργικές εξισώσεις των ασυνεχών ως προς το χρόνο συστημάτων δεν είναι διαφορικές εξισώσεις αλλά εξισώσεις διαφορών

25 Ενότητα Παράσταση των εξισώσεων κατάστασης ως διάγραμμα ροής μητρώων Σύμφωνα με τα προαναφερόμενα ένα γραμμικά αναλλοίωτο σύστημα με m εισόδους, r εξόδους και n τάξης μπορεί να περιγραφεί με τις μεταβλητές κατάστασης με τις ακόλουθες σχέσεις: q = Aq(t) + Bu(t) x(t) = Cq(t) + Du(t) (747) Οι δύο εξισώσεις μπορούν να εκφραστούν ως ένα διάγραμμα ροής μητρώων (σχήμα 75) Σχήμα 75: Διάγραμμα ροής μητρώων D u q q B (m, 1) (n, m) (r, m) (n, 1) (n, 1) C (r, n) x (r, 1) A (n, n) Από το σχήμα 75 προκύπτει ο τρόπος σχηματισμού των εξισώσεων κατάστασης (747), καθώς επίσης οι ίδιες οι εξισώσεις κατάστασης Τα αριστερά μέρη των εξισώσεων κατάστασης (747) δίνονται στο διάγραμμα ροής μητρώων (σχήμα 75) ως έξοδοι των σημείων άθροισης Η έξοδος κάθε βαθμίδας μητρώου προκύπτει ως μητρώο που βρίσκεται μέσα στη βαθμίδα ή άνυσμα που εισέρχεται στην βαθμίδα, δηλαδή ισχύει ο ακόλουθος γενικός κανόνας: Κατά την ανάγνωση των σχέσεων που διέπουν το διάγραμμα ροής μητρώων, η σειρά των παραγόντων στον πολλαπλασιασμό των μητρώων είναι αντίθετη της ροής του σήματος

26 Ενότητα Το διάγραμμα ροής μητρώων περιέχει έναν «εσωτερικό βρόγχο» που εκφράζει την ομογενή ΔΕ ανυσμάτων: q = Aq Ο ολοκληρωτής που βρίσκεται στον εσωτερικό βρόγχο του διαγράμματος ροής μητρώων είναι συμβολικός και εκφράζει την μοναδική «χρονική πράξη» (τέλεση) που υπάρχει στο σύστημα Οι υπόλοιποι κλάδοι του διαγράμματος ροής μητρώων εκφράζουν καθαρά αλγεβρικές σχέσεις που υπάρχουν μεταξύ των ανυσμάτων των σημάτων Από τα προαναφερόμενα εύκολα συμπεραίνεται ότι η δυναμική συμπεριφορά και η ευστάθεια του συστήματος πρέπει να εξεταστούν σε σχέση με τον εσωτερικό βρόγχο και συνεπώς τα συγκεκριμένα συμπεράσματα μπορούν να προκύψουν από την εξέταση της ομογενούς ΔΕ του συστήματος ή από τη δομή του μητρώου του συστήματος A 76 Εξισώσεις κατάστασης σύνθετων συστημάτων Στην πράξη είναι πολύ συχνές εκείνες οι περιπτώσεις κατά τις οποίες ένα σύστημα αποτελείται από τη διασύνδεση περισσότερων υποσυστημάτων των οποίων τα μαθηματικά μοντέλα είναι γνωστά, δηλαδή είναι γνωστές οι ανυσματικές ΔΕ των υποσυστημάτων και ενδιαφέρει η ανυσματική ΔΕ του συστήματος που προκύπτει από τη σύνθεση των επιμέρους υποσυστημάτων 761 Συνδεσμολογία σε σειρά Με το παράδειγμα της εν σειρά συνδεσμολογίας δύο συστημάτων θα υποδειχθεί ο τρόπος προσδιορισμού της ανυσματικής ΔΕ του συστήματος, που προέκυψε από τη σύνθεση των δύο υποσυστημάτων, εφαρμόζοντας το διάγραμμα ροής μητρώων Δίνονται τα δύο ακόλουθα υποσυστήματα: Σύστημα 1 : q 1 = A 1 q 1 + B 1 u n 1 τάξης x 1 = C 1 q 1 m 1 εισόδους, r 1 εξόδους Σύστημα 2 : q 2 = A 2 q 2 + B 2 u 2 n 2 τάξης x 2 = C 2 q 2 m 2 = r 1 εισόδους, r 2 εξόδους Στη συγκεκριμένη περίπτωση ο αριθμός των εξόδων του πρώτου συστήματος είναι ίσος του αριθμού των εισόδων του δεύτερου συστήματος και συνεπώς ως συνθήκη

27 Ενότητα ζεύξης ισχύει η ακόλουθη σχέση: x 1 = u 2 τύπου (r 1, 1) Στο σχήμα 76 δίνονται οι προαναφερόμενες σχέσεις των δύο συστημάτων ως διάγραμμα ροής μητρώων Σχήμα 76: Εν σειρά συνδεσμολογία δύο συστημάτων (i) u 1 q 1 q 1 x 1 u 2 q 2 q 2 x 2 B 1 C 1 B 2 C 2 A 1 A 2 (ii) u 1 B 1 q 1 q 1 C 1 B 2 q 2 q 2 C 2 x 2 A 1 A 2 (iii) u q q [0 ] C 2 x 0 A 1 0 B 2 C 1 A 2 Από το σχήμα 76 διαπιστώνεται ότι το άνυσμα q 1 επηρεάζει μέσω B 2 C 1 την παράγωγο q 2 Στη συγκεκριμένη περίπτωση πρέπει να σημειωθεί ότι τα μητρώα C 1 και B 2 στο διάγραμμα ροής μητρώων πρέπει να πολλαπλασιαστούν με τη σειρά που είναι αντίθετη της κατεύθυνσης της ροής του σήματος Επομένως το μητρώο ζεύξης είναι B 2 C 1, και είναι τύπου (n 2, n 1 ) Το άνυσμα κατάστασης του συνολικού συστήματος 76iii πρέπει να περιέχει τα ανύσματα κατάστασης των επιμέρους συστημάτων: q q = 1 q 2 (n 1 +n 2,1)

28 Ενότητα Το άνυσμα εισόδου u του συνολικού συστήματος δίνεται από το άνυσμα εισόδου u 1 : u = u 1 αντίστοιχα ισχύει και για το άνυσμα εξόδου: x = x 2 Από το σχήμα 76ii προκύπτει η ακόλουθη ανυσματική ΔΕ: q 1 = A 1 q 1 + 0q 2 + B 1 u 1 q 2 = B 2 C 1 q 1 + A 2 q 2 + 0u 1 Λαμβάνοντας υπόψη ότι u 1 = u τότε οι προηγούμενες σχέσεις μπορούν να εκφραστούν με τα ακόλουθα μητρώα: q 1 = A 1 0 q 1 + B 1 u q 2 B 2 C 1 A 2 q 2 0 οπότε με q προκύπτει: A 1 0 q = q + B 1 u B 2 C 1 A 2 0 επομένως το μητρώο συστήματος της σε σειρά συνδεσμολογίας του πρώτου και δεύτερου υποσυστήματος δίνεται από την ακόλουθη σχέση: A 1 0 A = B 2 C 1 A 1 (n 1 +n 2,n 1 +n 2 ) Το μητρώο εισόδου της σε σειρά συνδεσμολογίας είναι: B = B 0 (n 1 +n 2,m 1 )

29 Ενότητα Το 0 μητρώο της προηγούμενης σχέσης είναι τύπου (n 2, m 1 ) Σύμφωνα με το σχήμα 76ii ισχύει: x = 0q 1 + C 2 q 2 Εκφραζόμενη με μητρώο η προηγούμενη σχέση προκύπτει: x = ] [0 C 2 q [ 1 = q 2 0 C 2 ] q και συνεπώς για το μητρώο εξόδου της σε σειρά συνδεσμολογίας ισχύει: ] C = [0 C 2 (r 2,n 1 +n 2 ) Η 0-βαθμίδα που περιέχεται στην προηγούμενη σχέση είναι τύπου (r 2, n 1 ) διάγραμμα ροής μητρώων του συνολικού συστήματος δίνεται στο σχήμα 76iii Το Με την περιγραφή της σε σειρά συνδεσμολογίας δύο συστημάτων υποδείχτηκε ο τρόπος προσδιορισμού των εξισώσεων κατάστασης σύνθετων συστημάτων, τα οποία προκύπτουν από την συνδεσμολογία περισσότερων υποσυστημάτων Η ίδια διαδικασία με τα ίδια βήματα ακολουθείται και για τον προσδιορισμό των εξισώσεων κατάστασης της παράλληλης ή κυκλικής συνδεσμολογίας δύο υποσυστημάτων 762 Κατάστρωση των εξισώσεων κατάστασης από περίπλοκα διαγράμματα βαθμίδων με εφαρμογή των μητρώων ζεύξης Δίνεται το διάγραμμα βαθμίδων ενός περίπλοκου συστήματος με οποιεσδήποτε επιμέρους συνδεσμολογίες βαθμίδων, m εξωτερικές εισόδους και r εξόδους (σχήμα 77) Το σύστημα του σχήματος 77 αποτελείται από l συνδεδεμένα μεταξύ τους υποσυστήματα S i τα οποία έχουν από ένα σήμα εισόδου και εξόδου Σχήμα 77: Σύστημα περισσότερων μεταβλητών u 1 u 2 v i S i w i x 1 x 2 u m i = 1, 2,, l x r

30 Ενότητα Συστήματα όπως το προαναφερόμενο συναντώνται πολύ συχνά κατά την θεωρητική ανάλυση συστημάτων Το πρόβλημα στη συγκεκριμένη περίπτωση είναι, για παράδειγμα στη διάρκεια της φάσης προετοιμασίας σχεδιασμού ενός συστήματος με βέλτιστη ρύθμιση, η περιγραφή του συστήματος με τη βοήθεια μεταβλητών κατάστασης Κάθε επιμέρους σύστημα S i με τη βοήθεια του σύνθετου συστήματος περιγράφεται με μια συνάρτηση μεταφοράς, σύμφωνα με την ακόλουθη σχέση: w i (s) v i (s) = s i j=0 n i j=0 b ij s j a ij s j, s i n i (748) Οι ζεύξεις που υπάρχουν για τα l επιμέρους συστήματα υποδεικνύονται στο διάγραμμα βαθμίδων με τις γραμμές σήματος Η μεταφορά του περίπλοκου διαγράμματος βαθμίδων ενός σύνθετου συστήματος στη περιγραφή του χώρου κατάστασης του συνολικού συστήματος περιλαμβάνει τα ακόλουθα τρία βήματα: 1 Μεταφορά από τη μορφή περιγραφής των l υποσυστημάτων με τη συνάρτηση μεταφοράς, δίνεται από τη σχέση (748), στην περιγραφή με τη βοήθεια των μεταβλητών κατάστασης 2 Εντοπισμός των σχέσεων ζεύξης που υφίσταται μέσω γραμμών σημάτων στο διάγραμμα βαθμίδων και παράσταση αυτών υπό μορφή σχήματος 3 Κατάστρωση των εξισώσεων κατάστασης για το συνολικό σύστημα από τις l εξισώσεις κατάστασης για τα l υποσυστήματα που καταστρώθηκαν στο πρώτο βήμα, λαμβάνοντας υπόψη τις σχέσεις που προσδιορίστηκαν στο δεύτερο βήμα και το σχήμα ζεύξης του διαγράμματος Ο τρόπος επίλυσης του προβλήματος που απαιτεί το πρώτο βήμα εξηγείται στην παράγραφο 77 που ακολουθεί στη συνέχεια, όπου αναφέρονται οι πιο σημαντικές μέθοδοι κατάστρωσης των εξισώσεων κατάστασης ενός συστήματος με μία είσοδο και μία έξοδο το οποίο περιγράφεται με τη συνάρτηση μεταφοράς σύμφωνα με τη σχέση (748) Εφαρμόζοντας το πρώτο βήμα κατά κάποιο τρόπο ρουτίνας προκύπτουν οι εξισώσεις κατάστασης των l υποσυστημάτων s i : q i = A i q i + b i v i, i = 1, 2,, l (749)

31 Ενότητα w i = C T i q i + d i v i, i = 1, 2,, l (750) Το άνυσμα κατάστασης q i του i υποσυστήματος περιέχει, σύμφωνα με την τάξη n i και n i μεταβλητές κατάστασης Για να συμπεριληφθούν οι σχέσεις ζεύξης (διασύνδεσης) και η μαθηματική περιγραφή αυτών υπάρχουν επίσης περισσότεροι τρόποι: Η είσοδος v i του i υποσυστήματος S i στο πολύπλοκο διάγραμμα βαθμίδων στη γενική περίπτωση μπορεί να παραστεί ως ένας γραμμικός συνδυασμός όλων των εξωτερικών εισόδων u 1, u 2,, u m και ένας γραμμικός συνδυασμός όλων των εξόδων w j όλων των άλλων (l 1) υποσυστημάτων (σχήμα 78) Σχήμα 78: Για τη διέγερση ενός υποσυστήματος S i (i = 1, 2,, l) ως στοιχείο ενός πολύπλοκου διαγράμματος βαθμίδων e i1 u 1 i = 1, 2,, m e ij u j e im u m + + v i S i w i i = 1, 2,, l j i k i1 w 1 k ij w j k il w l + Η μαθηματική έκφραση των προαναφερόμενων είναι η ακόλουθη σχέση: m v i = e ij u j + j=1 l K ij w j (751) j=1 j i ή υπό μορφή ανυσμάτων: v i = e T i u + K T i w (752) όπου: ] e T i = [e i1 e i2 e im (753) ] K T i = [K i1 K i2 K i(i 1) 0 K i(i+1) K il (754)

32 Ενότητα u είναι το άνυσμα των εξωτερικών εισόδων του συνολικού συστήματος και w το άνυσμα εξόδου των l υποσυστημάτων: u 1 w 1 u 2 w 2 u =, w = u m w l Η διέγερση του i υποσυστήματος που δίνεται στο σχήμα 78 και περιγράφεται με τις σχέσεις (751) και (752) προϋποθέτει ότι το i υποσύστημα δεν επιτρέπεται να έχει δική του «άκαμπτη» (k R = 1) ανατροφοδότηση, δηλαδή απαιτείται από το περίπλοκο διάγραμμα βαθμίδων να μην έχει κανένα υποσύστημα της μορφής όπως αυτό του σχήματος 79 Επειδή όμως η συγκεκριμένη περίπτωση στην πράξη συναντάται και μάλιστα τακτικά για αυτό το λόγο ακολουθείται η εξής μέθοδος Σχήμα 79: Υποσύστημα με άκαμπτη ανατροφοδότηση v i G i (s) w i v i Si Ο βρόχος με την «άκαμπτη» ανατροφοδότηση (σχήμα 79) αντικαθίστανται ως ένα i υποσύστημα S i με την συνολική συνάρτηση μεταφοράς αυτού: S i : w i (s) v i (s) = G i (s) 1 + v i G i (s) (755) Μετά την προαναφερόμενη αντικατάσταση των βρόχων με άκαμπτη ανατροφοδότηση, με τη συνολική συνάρτηση μεταφοράς (755) αυτών, εφαρμόζεται το πρώτο βήμα για την κατάστρωση των εξισώσεων κατάστασης (749), (750) Για τον προσδιορισμό των εξισώσεων κατάστασης: q = Aq + Bu (756)

33 Ενότητα x = Cq + Du (757) του συνολικού συστήματος είναι σημαντικό να λεχθεί ότι το άνυσμα κατάστασης q του συνολικού συστήματος, σύμφωνα με τον ορισμό των μεταβλητών κατάστασης, αποτελείται από τα l ανύσματα κατάστασης q i των υποσυστημάτων: q = q 1 q 2 q l (758) Οι σχέσεις ζεύξης που υπάρχουν στο εξεταζόμενο διάγραμμα βαθμίδων μπορούν να εκφραστούν μόνο μέσων μητρώων A, B, C και D των εξισώσεων κατάστασης (756), (757) για το συνολικό σύστημα Με q από τη σχέση (758) και εφαρμογή των εξισώσεων (749), (750) και (752) που ισχύουν για κάθε υποσύστημα μπορούν να καταστρωθούν οι ακόλουθες εξισώσεις: q 1 q 2 q l = A 1 A 2 A l q 1 q 2 q l + β 1 β 2 β l e T 1 e T 2 e T l u + K T 1 K T 2 K T l w (759) δηλαδή: q = A D q + B D (Eu + Kw) (760) όπου: A D = διαγa i i = 1, 2,, l (761) B D = διαγβ i i = 1, 2,, l (762)

34 Ενότητα και E = e T 1 e T 2 e T l = (e ij ) i = 1, 2,, l j = 1, 2,, m (763) και K = K T 1 K T 2 K T l = 0 K 12 K 1l K 21 0 K 2l K l1 K l2 0 (764) w 1 w 2 w l = C T 1 C T 2 C T l q 1 q 2 q l + d 1 d 2 d l e T 1 e T 2 e T l u + K T 1 K T 2 K T l w (765) δηλαδή: w = C D q + D D (Eu + Kw) (766) όπου: C D = διαγ C T i i = 1, 2,, l (767) D D = διαγ d i i = 1, 2,, l (768) Ο σχηματισμός των υπερ-διαγώνιων μητρώων A D, B D, και C D καθώς επίσης του διαγωνίου μητρώου D D είναι σχετικά εύκολος στη βάση των εξισώσεων κατάστασης (749), (750) για τα l υποσυστήματα Η κατάστρωση των μητρώων E και K που εκφράζουν τις ζεύξεις του πολύπλοκου διαγράμματος βαθμίδων, γίνεται ευκολότερη με το σχήμα 710 Οι ζεύξεις των υποσυστημάτων του εξεταζόμενου πολύπλοκου διαγράμματος βαθμίδων με τις m εξωτερικές εισόδους και οι ζεύξεις των υποσυστημάτων μεταξύ τους αναλύονται

35 Ενότητα ακολουθώντας την γραμμή του σήματος και τα αποτελέσματα καταχωρούνται στο ακόλουθο διάγραμμα (σχήμα 710) Σχήμα 710: Διάγραμμα έκφρασης των σχέσεων ζεύξης που υπάρχουν στο περίπλοκο διάγραμμα βαθμίδων u 1 u 2 u m e 11 e 12 e 1m e 21 e 22 e 2m e T 1 u e T 2 u S 1 k 12 k 1l k 21 S 2 k 2l e l1 e l2 e lm e T l u k l1 k l2 S l w 1 w 2 w l Το δεξιό μέρος του σχήματος 710 αντιπροσωπεύει το ζεύγος των υποσυστημάτων μεταξύ τους Τα S i υποσυστήματα βρίσκονται συμβολικά στην διαγώνιο του τετραγωνικού διαγράμματος (σχήμα 710) Σύμφωνα με τη σχέση (752) κάθε υποσύστημα S i διεγείρεται από δύο μέρη: 1 Από το γραμμικό συνδυασμό των εξωτερικών σημάτων εισόδου, e T i u 2 Από το γραμμικό συνδυασμό των σημάτων εξόδου όλων των άλλων υποσυστημάτων, K T i w Το πρώτο μέρος παριστάνεται με την παχιά οριζόντια γραμμή του διαγράμματος (σχήμα 710) Οι παχιές κάθετες γραμμές παριστάνουν τα σήματα εξόδου w i των υποσυστημάτων Κάθε σημείο διασταύρωσης των γραμμών υποδεικνύει μια δυνατότητα σύνδεσης μεταξύ δύο υποσυστημάτων και χαρακτηρίζεται με K ij Για παράδειγμα K l2 υπάρχει για τη δυνατότητα σύνδεσης «από το υποσύστημα 2 στο υποσύστημα l» ή «έξοδος w 2 του υποσυστήματος S 2 στην είσοδο v 1 του υποσυστήματος S 1» K 2l υπάρχει για τη δυνατότητα σύνδεσης «από το υποσύστημα l στο υποσύστημα 2» ή «έξοδος w 1 του υποσυστήματος S 1 στην είσοδο v 2 του υποσυστήματος S 2» Στην περίπτωση εκείνη που η συγκεκριμένη διασύνδεση δεν υπάρχει, δηλαδή δεν υπάρχει στο εξεταζόμενο διάγραμμα βαθμίδων, τότε το αντίστοιχο στοιχείο K ij

36 Ενότητα είναι ίσο με μηδέν Όταν η διασύνδεση υπάρχει και μάλιστα με ένα συγκεκριμένο συντελεστή βάρους ή ενίσχυσης V, τότε για το συγκεκριμένο στοιχείο K ij αντιστοιχεί η τιμή του V Για το σκοπό αυτό ακολουθείται η γραμμή σήματος από S j προς S i στο διάγραμμα βαθμίδων και τοποθετείται ο συνισταμένος συντελεστής ζεύξης στη σωστή θέση του διαγράμματος (σχήμα 710) Ακολουθείται ο ίδιος τρόπος μέχρι όλοι οι (l 2 l)k ij συντελεστές ζεύξης από το διάγραμμα βαθμίδων προσδιοριστούν και περαστούν στις σωστές θέσεις στο δεξιό μέρος του διαγράμματος του σχήματος 710 Με το προαναφερόμενο τρόπο σχηματίζεται το διάγραμμα του σχήματος 710 το οποίο δίνει την πληροφορία για τις υπάρχουσες σχέσεις ζεύξης μεταξύ των υποσυστημάτων του σύνθετου συστήματος Το ζητούμενο μητρώο ζεύξης K, σχέση (764), προκύπτει από την «απεικόνιση» του δεξιού μέρους του διαγράμματος του σχήματος 710 Για το σκοπό αυτό γράφοντας μηδενικά στις θέσεις, όπου στο διάγραμμα του σχήματος 710 συμβολικά υπάρχουν τα l υποσυστήματα S i, δηλαδή στην κύρια διαγώνιο του διαγράμματος Με την προαναφερόμενη ασήμαντη τροποποίηση προκύπτει το μητρώο ζεύξης K (764) ως «απεικόνιση» του δεξιού μέρους του διαγράμματος (σχήμα 710) Ακριβώς αυτό το συγκεκριμένο βήμα δίνει στη μέθοδο την επιθυμητή ρουτίνα που θα επιθυμούσε ο κάθε μηχανικός κατά την εξέταση εφαρμοσμένων ΣΑΡ Με τον ίδιο τρόπο μπορεί να εξηγηθεί το γεγονός ότι το αριστερό μέρος του διαγράμματος (σχήμα 710) παριστάνει την απεικόνιση του ζητούμενου μητρώου E, το οποίο προκύπτει από την εφαρμογή της προαναφερόμενης μεθόδου Τα σημεία διασταύρωσης των κάθετων γραμμών, παριστάνουν τα m εξωτερικά σήματα εισόδου του συνολικού συστήματος, με τις οριζόντιες γραμμές παριστάνονται με e ij Για τιμές e ij 0 σημαίνει ότι στη συγκεκριμένη θέση υπάρχει μια σύνδεση, γεγονός που υποδηλώνει επίσης ότι το εξωτερικό σήμα εισόδου u j συμμετέχει με τον συντελεστή βάρους e ij στον σχηματισμό του σήματος εισόδου v i του i υποσυστήματος S i Με αποτέλεσμα τα στοιχεία της i καθέτου του αριστερού μέρους του διαγράμματος (σχήμα 710) να σχηματίζουν το κάθετο άνυσμα e T i, σε τρόπο ώστε σύμφωνα

37 Ενότητα με την (763) η απεικόνιση ολόκληρου του αριστερού μέρους του διαγράμματος να δίνει το ζητούμενο μητρώο ζεύξης E Μετά τον προσδιορισμό των μητρώων ζεύξης E και K μπορεί με εφαρμογή των (760) και (766) να καταστρωθεί η ανυσματική ΔΕ (756) για το συνολικό σύστημα Από τη σχέση (766) απαλείφεται το άνυσμα w: w = (I D D K) 1 C D q + (I D D K) 1 D D Eu (769) και εισάγεται στην (760) οπότε προκύπτει η ακόλουθη σχέση: q = { A D + B D K(I D D K) 1 C D q + B D [ E + K(I DD K) 1 D D E ]} u (770) δηλαδή: q = q + Bu όπου: A = A D + B D K(I D D K) 1 C D (771) [ B = B D E + K(I DD K) 1 D D E ] (772) Για την κατάστρωση της εξίσωσης των σημάτων εξόδου του συνολικού συστήματος, σύμφωνα με τη σχέση (757), τίθεται ως βάση η σχέση (769) Κάθε σήμα εξόδου του συνολικού συστήματος, επειδή πρόκειται για γραμμικό σύστημα, πρέπει να είναι δυνατή η έκφραση αυτού ως γραμμικός συνδυασμός των σημάτων εισόδου w j των l υποσυστημάτων * και συνεπώς ισχύουν οι ακόλουθες σχέσεις: l x i = a ij w j i = 1, 2,, r (773) j=1 *Με την προϋπόθεση ότι δεν υπάρχει καμία άμεση σύνδεση μεταξύ οποιοδήποτε εξωτερικού σήματος εισόδου u i με ένα σήμα εξόδου x i του συνολικού συστήματος στο διάγραμμα βαθμίδων Η προαναφερόμενη περίπτωση είναι και η πιο συνηθισμένη για τα συστήματα που συναντώνται στην πράξη

38 Ενότητα ή εκφραζόμενη με ανύσματα: x i = a T i w i = 1, 2,, r (774) όπου a T i [a i1 a i2 a il ] (775) Τα r σήματα εξόδου x i (σχήμα 77) σχηματίζουν το άνυσμα εξόδου x του συνολικού συστήματος, σε τρόπο ώστε οι r γραμμικοί συνδυασμοί (773) και (774) να μπορούν να εκφραστούν μαζί με τον ακόλουθο γραμμικό μετασχηματισμό: x = K A w (776) Για το μητρώο μετασχηματισμού K A ισχύει: a T 1 a T 2 K A = = (a ij ) a T r i = 1, 2,, r j = 1, 2,, l (777) και προσδιορίζεται στοιχείο προς στοιχείο από το διάγραμμα βαθμίδων όπως ακριβώς προσδιορίζεται και το μητρώο ζεύξης E Όπως το μητρώο ζεύξης E έτσι και το μητρώο μετασχηματισμού K A μπορεί να παραστεί στο διάγραμμα ζεύξης Για το σκοπό αυτό πρέπει το διάγραμμα ζεύξης του σχήματος 710 να συμπληρωθεί με το διάγραμμα του σχήματος 711 Μετά τον προσδιορισμό του μητρώου μετασχηματισμού K A, ακολουθώντας τις γραμμές του σήματος από τις εξόδους των υποσυστημάτων w j προς τις εξόδους του συνολικού συστήματος x i, μπορεί να καταστρωθεί η συνισταμένη εξίσωση εξόδου, σύμφωνα με τη σχέση (757), με τη βοήθεια των σχέσεων (769) και (776): x = K A (I D D K) 1 C D q + K A (I D D K) 1 D D Eu (778)

39 Ενότητα Σχήμα 711: Συμπληρωματικό διάγραμμα για να ληφθούν υπόψη οι σχέσεις ζεύξης ενός πολύπλοκου διαγράμματος βαθμίδων u 1 u m e 11 e 1m S 1 k 1l E K e l1 e lm k l1 S l w 1 w l x1 a 11 a 1l K A a r1 a rl x r δηλαδή: x = Cq + Du όπου: C = K A (I D D K) 1 C D D = K A (I D D K) 1 D D E (779) (780) Ο αριθμητικός υπολογισμός των μητρώων A, B, C και D που περιγράφουν το συνολικό σύστημα συμπεριλαμβάνει και τον υπολογισμό του αντίστροφου (I D D K) Ακόμα και για την περίπτωση που το αντίστροφο του (I D D K) 1 υπάρχει για όλα τα πρακτικά πραγματικά συστήματα και τα συστήματα με φυσική έννοια, δηλαδή κάτω από τις συνθήκες της (748), ακόμα και τότε καθαρά από αριθμητική πλευρά, ο υπολογισμός αυτός αποτελεί και το αδύνατο σημείο της όλης μεθόδου για συστήματα μεγάλης κλίμακας (large-scale-systems) Αντίθετα στις περιπτώσεις εκείνες που συναντώνται συστήματα με διαγράμματα βαθμίδων τα οποία περιέχουν υποσυστήματα, δηλαδή συναρτήσεις μεταφοράς, των οποίων η δυναμική του παρονομαστή υπερισχύει συνολικά τότε απλουστεύεται

Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση

Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση ονομάζονται εκείνα στα οποία επιβάλλεται τάση της μορφής: = ( ω ϕ ) vt V sin t όπου: V το πλάτος (στιγμιαία μέγιστη τιμή) της τάσης ω

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 55

ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 55 ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 55 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3.. Εισαγωγή Αναφέρθηκε ήδη στο ο κεφάλαιο ότι η αναπαράσταση της ταλαντωτικής

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 2: Μοντελοποίηση φυσικών συστημάτων στο πεδίο του χρόνου Διαφορικές Εξισώσεις Δ. Δημογιαννόπουλος, dimogian@teipir.gr

Διαβάστε περισσότερα

website:

website: Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Μαθηματική Μοντελοποίηση και Αναγνώριση Συστημάτων Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 17 Μαρτίου 2017 1 Βασικά μεγέθη Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού

Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑIΟΥ & ΑΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Τ.Τ. Τμήματα Ναυτιλίας και Επιχειρηματικών Υπηρεσιών & Μηχ. Αυτοματισμού ΤΕ Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού Ενότητα # 3: Μετασχηματισμός Laplace: Συνάρτηση μεταφοράς

Διαβάστε περισσότερα

website:

website: Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Μαθηματική Μοντελοποίηση Αναγνώριση Συστημάτων Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 6 Μαρτίου 2017 1 Εισαγωγή Κάθε φυσικό σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού

Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑIΟΥ & ΑΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Τ.Τ. Τμήματα Ναυτιλίας και Επιχειρηματικών Υπηρεσιών & Μηχ. Αυτοματισμού ΤΕ Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού Ενότητα # 2: Μαθηματική αναπαράσταση φυσικών συστημάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔ ΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Μεθοδολογία Κλεομένης Γ. Τσιγάνης Λέκτορας ΑΠΘ Πρόχειρες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΚΥΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Καθηγητής: Δ. ΔΗΜΟΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ Εργαστηριακοί Συνεργάτες: Σ. ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΟΥ, Α. ΟΙΚΟΝΟΜΙΔΗΣ,

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΤΡΗΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΣΕ ΠΡΑΚΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΤΡΗΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΣΕ ΠΡΑΚΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Κεφάλαιο ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΤΡΗΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΣΕ ΠΡΑΚΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Στη διαδικασία σχεδιασμού των Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου, η απαραίτητη και η πρώτη εργασία που έχουμε να κάνουμε, είναι να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transfer function) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Ι ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ Ι Από το πραγματικό κύκλωμα στο μοντέλο Μαθηματική μοντελοποίηση Η θεωρία κυκλωμάτων είναι

Διαβάστε περισσότερα

website:

website: Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Μαθηματική Μοντελοποίηση και Αναγνώριση Συστημάτων Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 29 Μαρτίου 2017 1 Συναρτήσεις μεταφοράς σε

Διαβάστε περισσότερα

Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου

Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Τµήµα Αυτοµατισµού Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου Ειδικά θέµατα Ανάλυσης συστηµάτων Σύνθεσης συστηµάτων ελέγχου Μελέτης στοχαστικών συστηµάτων. Καλλιγερόπουλος Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου Ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 13: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 13: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 13: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace 1. Επίλυση Γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Ηλεκτρικών Μηχανών

Δυναμική Ηλεκτρικών Μηχανών Δυναμική Ηλεκτρικών Μηχανών Ενότητα 1: Εισαγωγή Βασικές Αρχές Επ. Καθηγήτρια Τζόγια Χ. Καππάτου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

1η Εργαστηριακή Άσκηση: Απόκριση κυκλώµατος RC σε βηµατική και αρµονική διέγερση

1η Εργαστηριακή Άσκηση: Απόκριση κυκλώµατος RC σε βηµατική και αρµονική διέγερση Ονοµατεπώνυµο: Αριθµός Μητρώου: Εξάµηνο: Υπογραφή Εργαστήριο Ηλεκτρικών Κυκλωµάτων και Συστηµάτων 1η Εργαστηριακή Άσκηση: Απόκριση κυκλώµατος σε βηµατική και αρµονική διέγερση Μέρος Α : Απόκριση στο πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή Φώτης Πλέσσας

Εισαγωγή Φώτης Πλέσσας Ανάλυση Κυκλωμάτων Εισαγωγή Φώτης Πλέσσας fplessas@inf.uth.gr Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Δομή Παρουσίασης Εισαγωγικές Κυκλωμάτων Έννοιες Ανάλυσης Φυσικά και μαθηματικά μοντέλα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER 4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Σκοπός του κεφαλαίου είναι να παρουσιάσει μερικές εφαρμογές του Μετασχηματισμού Fourier (ΜF). Ειδικότερα στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφούν έμμεσοι τρόποι

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική και Έλεγχος E-L Ηλεκτρομηχανικών Συστημάτων

Δυναμική και Έλεγχος E-L Ηλεκτρομηχανικών Συστημάτων Δυναμική και Έλεγχος E-L Ηλεκτρομηχανικών Συστημάτων Ενότητα 6: Δυναμική μηχανής συνεχούς ρεύματος Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών

Διαβάστε περισσότερα

5. (Λειτουργικά) Δομικά Διαγράμματα

5. (Λειτουργικά) Δομικά Διαγράμματα 5. (Λειτουργικά) Δομικά Διαγράμματα Γενικά, ένα λειτουργικό δομικό διάγραμμα έχει συγκεκριμένη δομή που περιλαμβάνει: Τις δομικές μονάδες (λειτουργικά τμήματα ή βαθμίδες) που συμβολίζουν συγκεκριμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Χημείας Φυσική 1 1 Φεβρουαρίου 2017

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Χημείας Φυσική 1 1 Φεβρουαρίου 2017 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Χημείας Φυσική 1 1 Φεβρουαρίου 017 Πρόβλημα Α Ένα σημειακό σωματίδιο μάζας m βάλλεται υπό γωνία ϕ και με αρχική ταχύτητα μέτρου v 0 από το έδαφος Η κίνηση εκτελείται στο ομογενές

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 7: Άλγεβρα βαθμίδων (μπλόκ) Ολική συνάρτηση μεταφοράς

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 7: Άλγεβρα βαθμίδων (μπλόκ) Ολική συνάρτηση μεταφοράς ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 7: Άλγεβρα βαθμίδων (μπλόκ) Ολική συνάρτηση μεταφοράς Δ. Δημογιαννόπουλος, dimogian@teipir.gr Επ. Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Φυσική Σημασία του Μετασχηματισμού Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 1: Μαθηματικά Μοντέλα Συστημάτων Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II Ενότητα #8: Χώρος Κατάστασης: Μεταβλητές, Εξισώσεις, Κανονικές Μορφές Δημήτριος Δημογιαννόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Περιγραφή και Ανάλυση Συστημάτων Ελέγχου στο Χώρο Κατάστασης Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ

Διαβάστε περισσότερα

0 f(t)e st dt. L[f(t)] = F (s) =

0 f(t)e st dt. L[f(t)] = F (s) = Α. Δροσόπουλος 3 Ιανουαρίου 29 Περιεχόμενα Μετασχηματισμοί Laplace 2 Αντιστάσεις, πυκνωτές και πηνία 2 3 Διέγερση βαθμίδας σε L κυκλώματα 5 3. Φόρτιση.....................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ 14 5η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση ( Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες) Άσκηση 1 : Aσκηση 2 :

ΦΥΕ 14 5η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση ( Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες) Άσκηση 1 : Aσκηση 2 : ΦΥΕ 14 5 η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 19-5-8 ( Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες) Άσκηση 1 : Συμπαγής κύλινδρος μάζας Μ συνδεδεμένος σε ελατήριο σταθεράς k = 3. N / και αμελητέας μάζας, κυλίεται, χωρίς να

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Ηλεκτρικών Μηχανών

Δυναμική Ηλεκτρικών Μηχανών Δυναμική Ηλεκτρικών Μηχανών Ενότητα 1: Εισαγωγή Βασικές Αρχές Επ. Καθηγήτρια Τζόγια Χ. Καππάτου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ. Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων. Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση

2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ. Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων. Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση 2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση Ένας τροχός εκκινεί από την ηρεμία και επιταχύνει με γωνιακή ταχύτητα που δίνεται από την,

Διαβάστε περισσότερα

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE 6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE Σκοπός του κεφαλαίου είναι να ορίσει τον αμφίπλευρο μετασχηματισμό aplace ή απλώς μετασχηματισμό aplace (Μ) και το μονόπλευρο μετασχηματισμό aplace (ΜΜ), να περιγράψει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 93

ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 93 ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 93 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 5.. Εισαγωγή Η παρουσία εξωτερικών διεγέρσεων σε ένα σύστηµα πολλών Β.Ε. δηµιουργεί σ'

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΣΠΥΡΙΔΩΝΑ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011-2012 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΣΠΥΡΙΔΩΝΑ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011-2012 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΠΥΡΙΔΩΝΑ ΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011-2012 ΓΡΑΠΤΕ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕ ΕΞΕΤΑΕΙ ΦΥΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 31-05-2012 ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 07.45 10.15 Οδηγίες 1. Το εξεταστικό δοκίμιο αποτελείται από 9 σελίδες.

Διαβάστε περισσότερα

Αυτόματος Έλεγχος. Ενότητα 4 η : Πρότυπα μεταβλητών κατάστασης. Παναγιώτης Σεφερλής. Εργαστήριο Δυναμικής Μηχανών Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

Αυτόματος Έλεγχος. Ενότητα 4 η : Πρότυπα μεταβλητών κατάστασης. Παναγιώτης Σεφερλής. Εργαστήριο Δυναμικής Μηχανών Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 4 η : Πρότυπα μεταβλητών κατάστασης Παναγιώτης Σεφερλής Εργαστήριο Δυναμικής Μηχανών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιουνίου v 3 (t) - i 2 (t)

Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιουνίου v 3 (t) - i 2 (t) Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιουνίου 2015 ΘΕΜΑ 1 Ο (6,0 μονάδες) Δίνεται το κύκλωμα του σχήματος, όπου v 1 (t) είναι η είσοδος και v 3 (t) η έξοδος. Να θεωρήσετε μηδενικές αρχικές συνθήκες. v 1

Διαβάστε περισσότερα

Παραρτήματα. Παράρτημα 1 ο : Μιγαδικοί Αριθμοί

Παραρτήματα. Παράρτημα 1 ο : Μιγαδικοί Αριθμοί Παράρτημα ο : Μιγαδικοί Αριθμοί Παράρτημα ο : Μετασχηματισμός Lplce Παράρτημα 3 ο : Αντίστροφος μετασχηματισμός Lplce Παράρτημα 4 ο : Μετασχηματισμοί δομικών διαγραμμάτων Παράρτημα 5 ο : Τυποποιημένα σήματα

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 9: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 9: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 9: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Fourier Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Fourier 1. Μετασχηματισμός Fourier

Διαβάστε περισσότερα

3. Κεφάλαιο Μετασχηματισμός Fourier

3. Κεφάλαιο Μετασχηματισμός Fourier 3 Κεφάλαιο 3 Ορισμοί Ο μετασχηματισμός Fourir αποτελεί την επέκταση των σειρών Fourir στη γενική κατηγορία των συναρτήσεων (περιοδικών και μη) Όπως και στις σειρές οι συναρτήσεις θα εκφράζονται με τη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

v(t) = Ri(t). (1) website:

v(t) = Ri(t). (1) website: Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Μαθηματική Μοντελοποίηση και Αναγνώριση Συστημάτων Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 10 Μαρτίου 2017 1 Βασικά μεγέθη ηλεκτρικών

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Συστήματος Γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεων

Επίλυση Συστήματος Γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεων Επίλυση Συστήματος Γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεων. Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Ανυσμάτων Θεωρούμε χώρο δύο διαστάσεων και συμβατικά ένα ορθογώνιο σύστημα αξόνων για την περιγραφή κάθε ανύσματος του χώρου

Διαβάστε περισσότερα

1.Η δύναμη μεταξύ δύο φορτίων έχει μέτρο 120 N. Αν η απόσταση των φορτίων διπλασιαστεί, το μέτρο της δύναμης θα γίνει:

1.Η δύναμη μεταξύ δύο φορτίων έχει μέτρο 120 N. Αν η απόσταση των φορτίων διπλασιαστεί, το μέτρο της δύναμης θα γίνει: ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΕΠΙΛΟΓΩΝ Ηλεκτρικό φορτίο Ηλεκτρικό πεδίο 1.Η δύναμη μεταξύ δύο φορτίων έχει μέτρο 10 N. Αν η απόσταση των φορτίων διπλασιαστεί, το μέτρο της δύναμης θα γίνει: (α)

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικά Συστήματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικό Σύστημα a11x1 + a12x2 + + a1 nxn = b1 a x + a x + +

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ Ι ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΟ ΤΕΥΧΟΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ Ι ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΟ ΤΕΥΧΟΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ Ε. Μ. Πολυτεχνείο Εργαστήριο Ηλεκτρονικής ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ Ι ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΟ ΤΕΥΧΟΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ Γ. ΠΑΠΑΝΑΝΟΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ : Συναρτήσεις Δικτύων Βασικοί ορισμοί Ας θεωρήσουμε ένα γραμμικό, χρονικά

Διαβάστε περισσότερα

p& i m p mi i m Με τη ίδια λογική όπως αυτή που αναπτύχθηκε προηγουµένως καταλήγουµε στην έκφραση της κινητικής ενέργειας του ρότορα i,

p& i m p mi i m Με τη ίδια λογική όπως αυτή που αναπτύχθηκε προηγουµένως καταλήγουµε στην έκφραση της κινητικής ενέργειας του ρότορα i, Κινητική Ενέργεια Κινητήρων Περνάµε τώρα στη συνεισφορά κινητικής ενέργειας λόγω της κίνησης & ϑ m του κινητήρα που κινεί την άρθρωση µε q& και, προφανώς όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήµα, ευρίσκεται στον

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 14.2 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων

Παράδειγμα 14.2 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων Κεφάλαιο 4 Μετασχηματισμός aplace 4. Μετασχηματισμός aplace της εκθετικής συνάρτησης e Είναι Άρα a a a u( a ( a ( a ( aj F( e e d e d [ e ] [ e ] ( a e (c ji, με a (4.9 a a a [ e u( ] a, με a (4.3 Η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 22. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 22. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 22 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Ανακοινώσεις Εξέταση Μαθήματος: 1/4/2014, 12.00 Απαιτείται αποδεικτικό ταυτότητας (Α.Τ., Διαβατήριο, Διπλ. Οδ.) Απαγορεύεται

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι Δυναμική Μηχανών Ι Ακαδημαϊκό έτος: 015-016 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 1.1- Δυναμική Μηχανών Ι Ακαδημαϊκό έτος: 015-016 Copyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο Δυναμικής και Κατασκευών - 015.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/2013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/2013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σώμα μάζας m=0.1 Kg κινείται σε οριζόντιο δάπεδο ευθύγραμμα με την

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ.

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. Ν. Ε. Ηλιού Επίκουρος Καθηγητής Τµήµατος Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστηµίου Θεσσαλίας Γ.. Καλιαµπέτσος Επιστηµονικός

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 11. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 11. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 11 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Περιεχόμενα Γραμμικοποίηση Ευστάθεια Απόκριση Συστημάτων 1 Β.Ε. που περιγράφονται από ΣΔΕ 1 ης τάξης 2 Πρόβλημα/Ερώτημα

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ

ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 1 1. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ Κύκλωμα είναι ένα σύνολο ηλεκτρικών πηγών και άλλων στοιχείων που είναι συνδεμένα μεταξύ τους και διέρχεται ηλεκτρικό ρεύμα από

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΗΜ: 1/7/14 ΣΤΕΦ - ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Α ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ -ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ.

ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΗΜ: 1/7/14 ΣΤΕΦ - ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Α ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ -ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ. ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΗΜ: 1/7/14 ΣΤΕΦ - ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Α ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ -ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ:Μ.ΠΗΛΑΚΟΥΤΑ ΔΙΑΡΚΕΙΑ 2 ΩΡΕΣ B ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ. 1. (2.5) Σώμα μάζας m=0.1 Kg κινείται σε οριζόντιο

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση: Ένα σύστηµα µε είσοδο u(t), έξοδο y(t) και διάνυσµα κατάστασης x(t) = (x 1 (t) x 2 (t)) T περιγράφεται από το ακόλουθο διάγραµµα:

Άσκηση: Ένα σύστηµα µε είσοδο u(t), έξοδο y(t) και διάνυσµα κατάστασης x(t) = (x 1 (t) x 2 (t)) T περιγράφεται από το ακόλουθο διάγραµµα: 1 Άσκηση: Ένα σύστηµα µε είσοδο u(t), έξοδο y(t) και διάνυσµα κατάστασης x(t) = (x 1 (t) x 2 (t)) T περιγράφεται από το ακόλουθο διάγραµµα: Όπου Κ R α) Να βρεθεί η περιγραφή στο χώρο κατάστασης και η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α. Στις ημιτελείς προτάσεις - 4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη φράση, η οποία τη συμπληρώνει σωστά.. Το μέτρο της

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Αριθμητική Επίλυση Δυναμικών Συστημάτων στο Περιβάλλον MATLAB και Simulink

Δυναμική Μηχανών I. Αριθμητική Επίλυση Δυναμικών Συστημάτων στο Περιβάλλον MATLAB και Simulink Δυναμική Μηχανών I 5 6 Αριθμητική Επίλυση Δυναμικών Συστημάτων στο Περιβάλλον MATLAB και Simulink 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ 2013

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ 2013 ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ 2013 ΘΕΜΑ Α Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1- Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (hhp://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή της Ύλης του Μαθήματος Εισαγωγή στο Χώρο

Διαβάστε περισσότερα

Η Βασική Δομή Συστημάτων Ελέγχου Κίνησης

Η Βασική Δομή Συστημάτων Ελέγχου Κίνησης Η Βασική Δομή Συστημάτων Ελέγχου Κίνησης Σύστημα ονομάζουμε ένα σύνολο στοιχείων κατάλληλα συνδεδεμένων μεταξύ τους για να επιτελέσουν κάποιο έργο Είσοδο ονομάζουμε τη διέγερση, εντολή ή αιτία η οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3/2/2016 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3/2/2016 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3/2/2016 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ 2 ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σώμα μάζας m 0.25 Kg κινείται στο επίπεδο xy, με τις εξισώσεις κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενο διαγώνισμα Φυσικής Α Λυκείου

Προτεινόμενο διαγώνισμα Φυσικής Α Λυκείου Προτεινόμενο διαγώνισμα Φυσικής Α Λυκείου Θέμα 1 ο Σε κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις 1-5 να επιλέξετε τη μια σωστή απάντηση: 1. Όταν ένα σώμα ισορροπεί τότε: i. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητάς του

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα

Σήματα και Συστήματα Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 12: Ιδιότητες του Μετασχηματισμού aplace Ο αντίστροφος Μετασχηματισμός aplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού aplace 1. Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

[ i) 34V, 18V, 16V, -16V ii) 240W, - 96W, 144W, iii)14,4j, 96J/s ]

[ i) 34V, 18V, 16V, -16V ii) 240W, - 96W, 144W, iii)14,4j, 96J/s ] ΕΠΑΓΩΓΗ 1) Ένα τετράγωνο πλαίσιο ΑΓΔΕ βρίσκεται μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο, με το επίπεδό του κάθετο στις δυναμικές γραμμές του. Στο διάγραμμα φαίνεται η μεταβολή της ροής που διέρχεται από το πλαίσιο

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 6: Έννοια της συνάρτησης μεταφοράς Παραδείγματα εφαρμογής σε φυσικά συστήματα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 6: Έννοια της συνάρτησης μεταφοράς Παραδείγματα εφαρμογής σε φυσικά συστήματα ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 6: Έννοια της συνάρτησης μεταφοράς Παραδείγματα εφαρμογής σε φυσικά συστήματα Δ. Δημογιαννόπουλος, dimogian@teipir.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 73

ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 73 ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 73 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 4.. Εισαγωγή Στο παρόν κεφάλαιο θα μελετηθούν οι ελεύθερες ταλαντώσεις συστημάτων που περιγράφονται

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 11: Η ημιτονοειδής διέγερση Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ: 50657177

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2019

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2019 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 019 Κινηματική ΑΣΚΗΣΗ Κ.1 Η επιτάχυνση ενός σώματος που κινείται ευθύγραμμα δίνεται από τη σχέση a = (4 t ) m s. Υπολογίστε την ταχύτητα και το διάστημα που διανύει το σώμα

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική Στερεού Ασκήσεις Εμπέδωσης

Μηχανική Στερεού Ασκήσεις Εμπέδωσης Μηχανική Στερεού Ασκήσεις Εμπέδωσης Όπου χρειάζεται, θεωρείστε δεδομένο ότι g = 10m/s 2. 1. Μία ράβδος ΟΑ, μήκους L = 0,5m, περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα που περνάει από το ένα άκρο της Ο, με σταθερή

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 13. Θεωρήματα Δικτύων

Άσκηση 13. Θεωρήματα Δικτύων Άσκηση Θεωρήματα Δικτύων. Θεώρημα Βρόχων ΣΚΟΠΟΣ Πειραματική επαλήθευση της μεθόδου των βρογχικών ρευμάτων. ΘΕΩΡΙΑ Με τη μέθοδο των βρογχικών ρευμάτων, η επίλυση ενός κυκλώματος στηρίζεται στον υπολογισμό

Διαβάστε περισσότερα

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή,

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή, Φίλη μαθήτρια φίλε μαθητή Η εργασία αυτή έγινε με σκοπό να συμβάλει στην κατανόηση στην εμπέδωση και στην εμβάθυνση των μαθηματικών εννοιών που αναπτύσσονται στην Άλγεβρα της Β Λυκείου. Η ύλη είναι γραμμένη

Διαβάστε περισσότερα

Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Ποια η σημασία των παρακάτω μεγεθών; Αναφερόμαστε στην κυκλική κίνηση. Α. Επιτρόχια επιτάχυνση: Β. Κεντρομόλος επιτάχυνση: Γ. Συχνότητα: Δ. Περίοδος: 2. Ένας τροχός περιστρέφεται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας Διανύσματα Καστοριά,

Διαβάστε περισσότερα

Σύστημα και Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων

Σύστημα και Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων Σύστημα και Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων Όταν μελετούμε έναν συγκεκριμένο μηχανισμό η μια φυσική διεργασία επικεντρώνουμε το ενδιαφέρον μας στα φυσικά μεγέθη του μηχανισμού τα οποία μας ενδιαφέρει να

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Η ενέργεια ταλάντωσης ενός κυλιόμενου κυλίνδρου

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Η ενέργεια ταλάντωσης ενός κυλιόμενου κυλίνδρου A A N A B P Y A 9 5 ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Η ενέργεια ταλάντωσης ενός κυλιόμενου κυλίνδρου Στερεό σώμα με κυλινδρική συμμετρία (κύλινδρος, σφαίρα, σφαιρικό κέλυφος, κυκλική στεφάνη κλπ) μπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 10. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 10. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 10 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Περιεχόμενα Προσομοίωση απόκρισης συστήματος στο MATLAB μέσω της συνάρτησης ode45 (Runge-Kutta) Προσομοίωση απόκρισης

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιανουαρίου Φεβρουαρίου 2015

Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιανουαρίου Φεβρουαρίου 2015 Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιανουαρίου Φεβρουαρίου 205 ΘΕΜΑ Ο (2,0 μονάδες) Ο ηλεκτρικός θερμοσίφωνας χρησιμοποιείται για τη θέρμανση νερού σε μια προκαθορισμένη επιθυμητή θερμοκρασία (θερμοκρασία

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΕΓΕΡΣΗ

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 d x dx Η διαφορική εξίσωση κίνησης ενός ταλαντωτή δίνεται από τη σχέση: λ μx. Αν η μάζα d d του ταλαντωτή είναι ίση με =.5 kg, τότε να διερευνήσετε την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήματα διαφορικών εξισώσεων. F : : F = F r, όπου r xy

Kεφάλαιο 4. Συστήματα διαφορικών εξισώσεων. F : : F = F r, όπου r xy 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήματα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσματικό πεδίο F : : F = Fr, όπου r x, και είναι η ταχύτητα στο σημείο πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουμε τις τροχιές κίνησης των

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Σύνοψη Εξεταστέας Ύλης

Δυναμική Μηχανών I. Σύνοψη Εξεταστέας Ύλης Δυναμική Μηχανών I 9 1 Σύνοψη Εξεταστέας Ύλης 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Ύλη Δυναμικής Μηχανών

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα 2 η : ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ

Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα 2 η : ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα 2 η : ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Επ. Καθηγητής Γαύρος Κωνσταντίνος ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

website:

website: Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ρευστών Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 3 Μαρτίου 2019 1 Τανυστής Παραμόρφωσης Συνοδεύον σύστημα ονομάζεται το σύστημα συντεταγμένων ξ i το οποίο μεταβάλλεται

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ενότητα 6: Διπλά Ολοκληρώματα Δρ. Περικλής Παπαδόπουλος Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε Κάντε κλικ για

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Καθηγητής κ. Σ. Νατσιάβας Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων Στοιχεία Φοιτητή Ονοματεπώνυμο: Νατσάκης Αναστάσιος Αριθμός Ειδικού Μητρώου:

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 10//10/01 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σώμα μάζας 1 Kg βρίσκεται πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης 45º. Μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΕΠΩΗ 1. Ευθύγραμμος αγωγός μήκους L = 1 m κινείται με σταθερή ταχύτητα υ = 2 m/s μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο έντασης Β = 0,8 Τ. Η κίνηση γίνεται έτσι ώστε η ταχύτητα του αγωγού να σχηματίζει γωνία

Διαβάστε περισσότερα

συστημάτων αυτόματης ρύθμισης... 34

συστημάτων αυτόματης ρύθμισης... 34 Περιεχόμενα 5 Πειραματικοί Μέθοδοι Προσδιορισμού Μεγεθών Γραμμικών Συστημάτων Ρύθμισης 5. Γενικά..................................... 5.2 Αναλυτικές μέθοδοι για τον προσδιορισμό της συνάρτησης μετάβασης

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ 14 5η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 19-05-08 ( Οι ασκήσεις είναι βαθµολογικά ισοδύναµες) Άσκηση 1 : Aσκηση 2 :

ΦΥΕ 14 5η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 19-05-08 ( Οι ασκήσεις είναι βαθµολογικά ισοδύναµες) Άσκηση 1 : Aσκηση 2 : ΦΥΕ 14 5 η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 19-5-8 ( Οι ασκήσεις είναι βαθµολογικά ισοδύναµες) Άσκηση 1 : Συµπαγής κύλινδρος µάζας Μ συνδεδεµένος σε ελατήριο σταθεράς k = 3. N / και αµελητέας µάζας, κυλίεται, χωρίς να

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Ηλεκτρικό κύκλωμα ονομάζεται μια διάταξη που αποτελείται από ένα σύνολο ηλεκτρικών στοιχείων στα οποία κυκλοφορεί ηλεκτρικό ρεύμα. Τα βασικά ηλεκτρικά στοιχεία είναι οι γεννήτριες,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 ο 1. Aν ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ενός σώματος είναι σταθερός, τότε το σώμα: (i) Ηρεμεί. (ii) Κινείται με σταθερή ταχύτητα. (iii) Κινείται με μεταβαλλόμενη

Διαβάστε περισσότερα

Αρχές και Θεωρήματα Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Αρχές και Θεωρήματα Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Κυκλωμάτων Αρχές και Θεωρήματα Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Φώτης Πλέσσας fplessas@inf.uth.gr Αρχή της επαλληλίας Θεώρημα της αντικατάστασης Εισαγωγή Θεωρήματα Thevenin και Norton Μετατόπιση των πηγών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Εργαστηριακές Ασκήσεις με χρήση του λογισμικού Matlab ΣΚΟΠΟΣ: Σκοπός των εργαστηριακών ασκήσεων είναι η πλήρης μελέτη ενός συστήματος αυτομάτου ελέγχου. Για το λόγο αυτό, στη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι 22 Ιανουαρίου, 2019

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι 22 Ιανουαρίου, 2019 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι Ιανουαρίου, 9 Καλή σας επιτυχία. Πρόβλημα Α Ένα σωματίδιο μάζας m κινείται υπό την επίδραση του πεδίου δύο σημειακών ελκτικών κέντρων, το ένα εκ των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΙ Τμήμα Μαθηματικών - Τομέας Υπολογιστών & Αριθμητικής Ανάλυσης Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 2016

ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΙ Τμήμα Μαθηματικών - Τομέας Υπολογιστών & Αριθμητικής Ανάλυσης Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 2016 ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΙ Τμήμα Μαθηματικών - Τομέας Υπολογιστών & Αριθμητικής Ανάλυσης Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 016 Θέμα 1. α) (Μον.1.5) Αποδείξτε ότι αν το σύστημα στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Κίνησης

Έλεγχος Κίνησης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα 1501 - Έλεγχος Κίνησης Ενότητα: Συστήματα Ελέγχου Κίνησης Μιχαήλ Παπουτσιδάκης Τμήμα Αυτοματισμού Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων 1. Γενικά Για να κατανοήσουμε και να ελέγξουμε διάφορα πολύπλοκα συστήματα πρέπει να καταφύγουμε σε κάποιο ποσοτικό μοντέλο των συστημάτων αυτών. Έτσι, είναι απαραίτητο να

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 9 Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Σε ότι ακολουθεί με τον όρο συνάρτηση θα εννοούμε μια πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής, ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα