Σχεδίαση και Προσομοίωση PID Ελεγκτή Design and Simulation of PID Controller

Transcript

1 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ (ΤΕΙ) ΚΑΒΑΛΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Τττ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Σχεδίαση και Προσομοίωση PID Ελεγκτή Design and Simulation of PID Controller Επιβλέπων Καθηγητής Τραμαντζάς Κωνσταντίνος Σπουδαστής Κρίκας Παναγιώτης ΚΑΒΑΛΑ, ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ

2 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Ένα από τα πλέον στοιχειώδη εξαρτήματα στην επιστήμη του αυτομάτου ελέγχου είναι ο PID ελεγκτής. Πρόκειται για έναν γενικό μηχανισμό βρόχου ανάδρασης που χρησιμοποιείται εκτεταμένα στα συστήματα αυτομάτου ελέγχου. Ο ελεγκτής προσπαθεί να ελαχιστοποιήσει το σφάλμα προσαρμόζοντας τις εισόδους της διαδικασίας ελέγχου. Ο PID ελεγκτής ακολουθεί έναν αλγόριθμο που αφορά τρεις ξεχωριστές παραμέτρους και γι αυτό πολλές φορές καλείται ελεγκτής τριών όρων: αναλογικό (P), ολοκληρωτικό (I) και διαφορικό (D). Σε αυτή την εργασία εστιάζουμε στη σχεδίαση και την προσομοίωση PID ελεγκτών σε έναν αριθμό πραγματικών συστημάτων. Στο κεφάλαιο 1, εισάγουμε στον αναγνώστη την έννοια του ελέγχου σε βιομηχανικά συστήματα, την αξία της προσομοίωσης και τη χρησιμότητα των PID ελεγκτών. Στο κεφάλαιο 2, παρέχουμε μία αυστηρή ανάλυση του PID ελεγκτή με πολλαπλά διαγράμματα που δείχνουν την επίδραση της κάθε παραμέτρου. Στο κεφάλαιο 3 δίνουμε συγκεκριμένα παραδείγματα στο MATLAB για τη σχεδίαση παρόμοιων ελεγκτών. Τέλος στο κεφάλαιο 4 παρουσιάζουμε διάφορες αριθμητικές προσομοιώσεις των PID ελεγχόμενων συστημάτων. ABSTRACT One of the most fundamental components in the science of automatic control is the PID controller. It is a generic control loop feedback mechanism widely used in industrial control systems. The controller attempts to minimize the error by adjusting the process control inputs. The PID controller calculation (algorithm) involves three separate constant parameters, and is accordingly sometimes called three-term control: the proportional, the integral and derivative values, denoted P, I, and D. In this work we focus on the designing and the simulation of PID controllers in a number of actual systems. In chapter 1, we introduce the reader to the notion of controlling industrial system, the merit of simulation and the usefulness of the PID controllers. In chapter 2, we provide a rigorous analysis of the PID controller with multiple graphs demonstrating the influence of each parameter. In chapter 3, we give certain MATLAB examples for designing similar controllers. Finally, in chapter 4 we present numerous simulations of PID controlled automation systems. 2

3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΓΕΝΙΚΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΕΛΕΓΧΟ Ενότητα 1.1 Ενότητα 1.2 Ενότητα 1.3 Ενότητα 1.4 Ενότητα 1.5 Βρόχος Ανάδρασης...4 Παραδείγματα Παλιά και Νέα..6 Η Αξία της Προσομοίωσης...8 Ο PID Ελεγκτής..10 Διάρθρωση της Εργασίας.12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ενότητα 2.1 Ενότητα 2.2 Ενότητα 2.3 Ενότητα 2.4 ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΟΥ PID ΕΛΕΓΚΤΗ Μπλοκ Διάγραμμα 13 Επιλογή PID Ελεγκτή χωρίς διαταραχή...15 Επιλογή PID Ελεγκτή με διαταραχή.18 Βελτιστοποίηση Ελεγκτή 20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ MATLAB ΣΧΕΔΙΑΣΗΣ P,I,D ΕΛΕΓΚΤΩΝ Ενότητα 3.1 Ενότητα 3.2 Επισκόπηση Προηγούμενων Συμπερασμάτων...24 Λυμένα Παραδείγματα..26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ PID ΕΛΕΓΚΤΕΣ Ενότητα 4.1 Ενότητα 4.2 Ενότητα 4.3 Ενότητα 4.4 Τρόπος Χρήσης SIMULINK..39 Πολλαπλά Διαγράμματα στο SIMULINK...41 Επίτευξη Ευστάθειας..44 Βαθμονόμηση PID Ελεγκτή.47 ΒΑΣΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ.54 3

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΓΕΝΙΚΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΕΛΕΓΧΟ Ενότητα 1.1 Βρόχος Ανάδρασης Η επιστήμη του μηχανικού σχετίζεται με την κατανόηση και τον έλεγχο των υλικών και της φύσης προς όφελος του ανθρώπου. Οι επιστήμονες συστημάτων ελέγχου αποτελούν μία υποκατηγορία μηχανικών που ασχολείται με τον έλεγχο των διάφορων φυσικών ή τεχνητών εξαρτημάτων προκειμένου να βελτιστοποιηθεί η λειτουργία τους. Λόγω της μεγάλης σημασίας αυτού του στόχου, ένας ολόκληρος επιστημονικός κλάδος έχει διαμορφωθεί και υφίσταται επηρεαζόμενος και επηρεάζοντας τους άλλους κλάδους ο οποίος αφορά τον έλεγχο συστημάτων. Η πιο απλή διάταξη ελέγχου εικονίζεται στο Σχήμα 1.1 και πρόκειται για μια απλή επιλογή της επιθυμητής εξόδου (Desired output response) η οποία αποτελεί την είσοδο. Το συγκεκριμένο σήμα περνάει από έναν ελεγκτή (Controller) και από ένα δευτερογενή μηχανισμό (Actuator) προκειμένου να «μεταφραστεί» για να το «κατανοήσει» το βασικό σύστημα της διαδικασίας (Process). Με αυτή την διαδικασία ελπίζουμε ότι το σύστημα θα συμπεριφερθεί σωστά και θα παράξει μία έξοδο (Output) η οποία θα είναι αρκετά κοντά στην επιθυμητή εκδοχή της. Σχήμα 1.1: Ένα σύστημα ελέγχου με ανοικτό βρόχο. Δηλαδή χωρίς βρόχο ανάδρασης. Με αυτό τον τρόπο όμως αφήνουμε το σύστημα να λειτουργήσει ελεύθερα και δεν παρακολουθούμε τη δράση του. Πιθανότατα καθώς ο χρόνος περνάει θα αποκλίνει σημαντικά από την επιθυμητή εκδοχή δεδομένου πως θα συσσωρεύονται σφάλματα. Το πρόβλημα αυτό επιλύθηκε με την εισαγωγή ενός εργαλείου που παίζει πολύ σπουδαίο ρόλο στην επιστήμη του ελέγχου των συστημάτων: του βρόχου ανατροφοδότησης. Η εισαγωγή αυτού του εξαρτήματος 4

5 φαίνεται στο Σχήμα 1.2. Παρατηρούμε ότι το σήμα της εξόδου (Actual output) περνάει από ένα ανιχνευτή (Sensor) ο οποίος μετράει την τιμή της και την επιστρέφει στην είσοδο του ολικού συστήματος όπου και αφαιρείται από την επιθυμητή έξοδο. Αυτή η διαφορά μεταξύ της ιδανικής εξόδου και της πραγματικής εξόδου αποτελεί την είσοδο στο εσωτερικό σύστημα (σύστημα ανοικτού βρόχου) και συνιστά το σφάλμα. Αν αυτό το σφάλμα έχει μικρή τιμή, σημαίνει πως η κατάσταση είναι κοντά στην επιθυμητή και άρα η αντίδραση από το εσωτερικό σύστημα δε θα είναι σημαντική. Από την άλλη πλευρά αν το σφάλμα έχει μεγάλη τιμή, αυτό δρα ως «συναγερμός» για το σύστημα το οποίο δέχεται ως είσοδο ένα σήμα μεγάλης ισχύος και άρα πρέπει να δράσει έτσι ώστε να το ουδετεροποιήσει. Σχήμα 1.2: Ένα σύστημα κλειστού βρόχου. Έχει προστεθεί ένας βρόχος ανάδρασης ο οποίος αφαιρεί από την επιθυμητή έξοδο την πραγματική. Με αυτό τον τρόπο, έχουμε διαρκώς στραμμένη την προσοχή μας στην έξοδο του συστήματος και όταν η κατάσταση πάει να παρεκτραπεί, η αντίδραση του συστήματος είναι ανάλογη αυτής της παρεκτροπής. Οι ατέλειες και οι πηγές σφαλμάτων σε ένα τέτοιο σύστημα αφορούν την κατασκευή των επιμέρους συστημάτων και εκφράζονται μέσω των σχετικών ερωτημάτων. Πόσο ακριβής θα είναι ο ελεγκτής και ο μηχανισμός ώστε να «μεταφράσει σωστά» τη διαφορά επιθυμητής/πραγματικής εξόδου στο βασικό σύστημα; Πόσο γρήγορος θα είναι ο ανιχνευτής προκειμένου να μην υπάρχει καθυστέρηση μεταξύ επιθυμητής και πραγματικής εξόδου; Αρκεί ένας βρόχος ανάδρασης ή χρειάζονται κι άλλοι επιμέρους προκειμένου να διασφαλιστεί καλύτερα η ευστάθεια του συστήματος και η προστασία του από κάποια λανθασμένη αντίδραση; Αρκεί ένα σήμα το οποίο να καταδεικνύει την επιθυμητή έξοδο ή απαιτείται ένα σύνολο σημάτων και ποια η επιλογή τους; Είναι το τελικό σύστημα αρκετά ανεκτικό και εύρωστο σε κακές εκτιμήσεις εισόδου και εξόδου. Μπορεί να προστατευτεί από τυχόν λανθασμένες επιλογές που αναπόφευκτα θα συμβούν κατά τη διάρκεια της λειτουργίας 5

6 του; Όλα τα παραπάνω κι άλλα πολλά ζητήματα εξετάζονται στην επιστήμη του αυτομάτου ελέγχου και στην παρούσα εργασία. Ενότητα 1.2 Παραδείγματα Παλιά και Νέα Η έννοια του βρόχου ανάδρασης και η χρησιμοποίησή του ως μηχανισμό ελέγχου είναι πολύ παλαιά. Στο Σχήμα 1.3 εικονίζεται μία πρώτη εφαρμογή του βρόχου ανάδρασης. Παρατηρούμε μία δεξαμενή όπου δέχεται υγρό από ένα σωλήνα (Fluid input) και αποβάλλει υγρό από έναν άλλο (Fluid output) ο οποίος ελέγχεται από βαλβίδα. Τη βαλβίδα χειρίζεται εργάτης ο οποίος ελέγχει οπτικά τη στάθμη του νερού της δεξαμενής. Εάν ανέβει πάνω από ένα ορισμένο επίπεδο, ο εργάτης αυξάνει τη ροή εξόδου ενώ κάνει το αντίθετο όταν η στάθμη πέσει κάτω από ένα άλλο ορισμένο επίπεδο. Έτσι η έννοια του βρόχου ανάδρασης χρησιμοποιείται για να κρατιέται η στάθμη του υγρού εντός της δεξαμενής σχεδόν σταθερή. Σχήμα 1.3: Μία πολύ πρώιμη εφαρμογή του βρόχου ανάδρασης. Ο εργάτης ελέγχει οπτικά τη στάθμη του υγρού και σε περίπτωση που ξεπεράσει ένα ορισμένο επίπεδο ανοίγει κατάλληλα τη στρόφιγγα προκειμένου να υπάρξει διαρροή της σωστής ποσότητας υγρού. Στο Σχήμα 1.4 παρατηρούμε το λειτουργικό διάγραμμα μιας σύγχρονης εφαρμογής αυτομάτου ελέγχου. Πρόκειται για ένα ιατρικό μηχάνημα που χρησιμοποιείται για ευαίσθητες 6

7 επεμβάσεις στον αμφιβληστροειδή χιτώνα του ματιού. Μέσω της κάμερας οι οπτικές πληροφορίες του ματιού καταγράφονται από ένα σύστημα laser μέσω κάμερας οι οποίες προωθούνται στην είσοδο ενός ελεγκτή ο οποίος ρυθμίζει τη νέα θέση του laser. Ο οφθαλμίατρος επιτηρεί την όλη κατάσταση προκειμένου να προλάβει κάποιο σφάλμα που μπορεί να συμβεί εξαιτίας κάποιας τυχαίας αστάθειας. Σχήμα 1.4: Ένας ρομποτικός βραχίονας αυτομάτου ελέγχου που χρησιμοποιείται για ευαίσθητες οφθαλμολογικές επεμβάσεις. Άλλες σύγχρονες εφαρμογές εικονίζονται στο Σχήμα 1.5. Η επιστήμη του αυτομάτου ελέγχου έχει χρησιμοποιηθεί για την ανάπτυξη συστημάτων μη επανδρωμένων αεροσκαφών που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για κατασκοπευτικούς ή πολεμικούς σκοπούς.. Σχήμα 1.5: Δύο παραδείγματα χρήσης της τεχνικής των βρόχων ανάδρασης και του αυτομάτου ελέγχου. Ένα μη επανδρωμένο αεροσκάφος και μία αρπαγή για ευαίσθητους βιομηχανικούς σκοπούς. Επίσης πτητικές μηχανές χωρίς πιλότους είναι χρήσιμες για την παρατήρηση περιοχών όπου έχουν συμβεί πυρηνικά ατυχήματα και κατά συνέπεια θα ήταν επικίνδυνη μία επάνδρωσή τους. Στο ίδιο σχήμα μπορούμε να δούμε ένα ρομποτικό βραχίονα σαν κι αυτούς που 7

8 χρησιμοποιούνται ευρέως στη βιομηχανία και ειδικότερα σε εργοστάσια με καθετοποίηση στη γραμμή παραγωγής όπως αυτοκινητοβιομηχανίες ή βιοτεχνίες παραγωγής φαρμάκων. Και αυτές οι εφαρμογές εδράζονται στην κατάλληλη εκμετάλλευση του βρόχου ανάδρασης και του διαρκούς ελέγχου της κίνησης μέσα από τεχνικές αυτόματα ρυθμιζόμενης απόκρισης. Ενότητα 1.3 Η Αξία της Προσομοίωσης Στο Σχήμα 1.6 παρατηρούμε τον κύκλο των διαφορών σταδίων που ακολουθούνται προκειμένου να αναπτυχθεί ένα οποιοδήποτε σύστημα που να επιτελεί μία χρήσιμη για τον άνθρωπο ή την Οικονομία διαδικασία. Στην αρχή γίνεται η μοντελοποίηση (Physical System Modeling) του συστήματος περιγράφοντας σε αδρές γραμμές τις βασικές λειτουργίες. Εν συνεχεία, η ανάλυση ποσοτικοποιείται λαμβάνοντας υπόψη τεχνικές της σηματικής θεωρίας (Signals and Systems). Στη συνέχεια υπεισέρχεται η επιστήμη της Πληροφορικής με τα λογικά κυκλώματα υλικού (Computers and Logic Systems), για να ακολουθήσει το λογισμικό και η απόκτηση των δεδομένων (Software and Data Acquisition). Τα δεδομένα προέρχονται από αισθητήρες (Sensors and Actuators). Σχήμα 1.6: Η θέση του αυτομάτου ελέγχου στην αλυσίδα της παραγωγής σύγχρονων συστημάτων. Όπως παρατηρούμε στο σχετικό Σχήμα 1.6, ο έλεγχος των συστημάτων εμφανίζεται ως ανάγκη μετά το σχεδιασμό και πριν την υλοποίηση της διάταξης. Υπό μία έννοια ο αυτόματος έλεγχος γεφυρώνει τη Θεωρία με την Πράξη και γι αυτό η χρησιμότητά του είναι αυταπόδεικτη. Καθοριστικό ρόλο στην ανάπτυξη των συστημάτων αυτομάτου ελέγχου διαδραματίζεται από τη διαδικασία της προσομοίωσης. 8

9 Με την έννοια της προσομοίωσης εννοούμε την υλοποίηση των συστημάτων στον υπολογιστή πριν την πραγματική κατασκευή τους. Με αυτό τον τρόπο μπορούμε να τεστάρουμε τη συμπεριφορά της εκάστοτε επίδοξης συσκευής χωρίς να μπούμε στην κοστοβόρα και χρονοβόρα διεργασία της φυσικής υλοποίησης. Σε όλα τα πανεπιστήμια, τα επιστημονικά εργαστήρια αλλά και τις εταιρείες έρευνας και ανάπτυξης υπάρχει ειδικό τμήμα προσομοιώσεων συστημάτων όπου γίνεται και η λεγόμενη βελτιστοποίηση της συμπεριφοράς τους. Με άλλα λόγια οι εκεί επιστήμονες εξετάζουν μία πλειάδα διαφορετικών συνδυασμών που αντιστοιχούν σε διαφορετικές επιλογές παραμέτρων και καταλήγουν σε εκείνες που επιδεικνύουν την καλύτερη συμπεριφορά. Μόνο τότε η σχετική διάταξη προωθείται για υλοποίηση στο τμήμα κατασκευής. Η προσομοίωση όπως προαναφέραμε λαμβάνει χώρα σε υπολογιστικό περιβάλλον με τη βοήθεια κατάλληλου λογισμικού. Στην περίπτωσή μας όπου μελετάμε συστήματα αυτομάτου ελέγχου με χαμηλές απαιτήσεις και για εκπαιδευτικούς κυρίως λόγους χρησιμοποιείται κυρίως η υπολογιστική πλατφόρμα MATLAB. Σχήμα 1.7: Η διαδικασία της προσομοίωσης όπως αυτή διεκπεραιώνεται σε περιβάλλον MATLAB Simulink. Στο Σχήμα 1.7 παρατηρούμε κάποια χαρακτηριστικά στιγμιότυπα του υπολογιστικού πακέτου MATLAB αλλά και ειδικότερα του συνόλου ρουτινών SIMULINK. Αυτή η εξειδίκευση του γενικότερου υπολογιστικού πλαισίου αποτελείται από ένα περιβάλλον διεπαφών όπου ο χρήστης μπορεί να επιλέξει το είδος των συστημάτων και να τα τοποθετήσει ως κουτάκια σε έναν καμβά, τα είδη των πηγών και της διέγερσης και να τα σημειώσει εποπτικά στο ίδιο πλαίσιο όπως επίσης και τον τρόπο αναπαράστασης των συστημάτων μέσω εικονικών 9

10 παλμογράφων. Η πλειάδα των διαφορετικών επιλογών του πακέτου MATLAB SIMULINK εικονίζεται στο Σχήμα 1.8 και θα είναι ο βασικός βραχίονας υλοποίησης των προσομοιώσεων που θα πραγματοποιήσουμε στην παρούσα εργασία. Φυσικά θα πρέπει να σημειωθεί ότι και το βασικό πακέτο του MATLAB θα χρησιμοποιηθεί σε πολλές περιπτώσεις όπου οι εξειδικεύσεις του SIMULINK κρίνονται περιττές. Σχήμα 1.8: Οι διάφορες επιλογές σχεδίασης που προσφέρει η MATLAB Simulink. Ενότητα 1. Ο PID Ελεγκτής Στα συστήματα αυτομάτου ελέγχου ξεχωριστό ρόλο παίζουν κάποια συγκεκριμένα εξαρτήματα που ονομάζονται ελεγκτές. Αυτά τα υπό-συστήματα κύρια δραστηριότητα έχουν να τροποποιούν το σφάλμα μεταξύ της ιδεατής και της πραγματικής εξόδου έτσι ώστε να γίνει περισσότερο αντιληπτό από το κεντρικό σύστημα και να μηδενίσει (ή να ελαχιστοποιήσει) το τελικό σφάλμα γρηγορότερα. Τα αρχικά PID αντιπροσωπεύουν τρεις λέξεις: Proportional (αναλογικός), Integral (ολοκληρωτικός) και Derivative (διαφορικός). Με άλλα λόγια το σφάλμα εισόδου πολλαπλασιάζετε με μία σταθερά (Proportional), ολοκληρώνεται (Integral) και παραγωγίζεται (Derivative). Στη συνέχεια, οι τρεις αυτές ποσότητες αθροίζονται και αποτελούν την πραγματική είσοδο του κυριώς συστήματος όπως φαίνεται στο Σχήμα

11 Σχήμα 1.9: Το γενικό block διάγραμμα ενός PID ελεγκτή. Το σύστημα αντιστοιχεί στη λέξη: «Process». Μέχρι το 1940 η αξία του PID ελεγκτή είχε αποδειχθεί σε πολλές απαιτητικές εφαρμογές, ενώ κυκλοφορούσαν πνευματικοί ελεγκτές γενικής χρήσης. Τρία ήταν τα βασικά θέματα που ζητούσαν λύση: i) Απλοί τρόποι για την επιλογή των παραμέτρων του ελεγκτή, ii) να απλοποιηθεί και να γίνει πιο ανθεκτικός ο μηχανισμός των ελεγκτών, και να γίνουν πιο ανεξάρτητες οι δράσεις τους και iii) να πεισθούν οι σχεδιαστές των διεργασιών για την ανάγκη χρήσης των ελεγκτών. Ανάλογα με τις ιδιότητες του συστήματος είναι δυνατό να χρησιμοποιηθούν διάφοροι συνδυασμοί των παραπάνω δράσεων. Πιο συχνά συναντάτε ο PI ελεγκτής, κυρίως σε εφαρμογές με μικρές καθυστερήσεις χρόνου ή σε περιπτώσεις όπου ο θόρυβος μέτρησης είναι σημαντικός ώστε να αποτρέπεται η χρήση του διαφορικού όρου, ή τέλος όταν δεν απαιτείται το κλειστό σύστημα να είναι αρκετά γρήγορο. Επίσης, σε συστήματα τύπου ένα (ή μεγαλύτερου), λόγω της εξασφάλισης του μηδενικού σφάλματος στη μόνιμη κατάσταση, πολλές φορές χρησιμοποιείται ο PD ελεγκτής. Ο PID ελεγκτής έχει διάφορες πολύ σημαντικές ιδιότητες: παρέχει ανάδραση, έχει τη δυνατότητα να εγγυάται μηδενικό σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση με την ολοκληρωτική του δράση και προβλέπει το μέλλον με τη διαφορική δράση. Στη συνέχεια αυτής της ενότητας παρουσιάζουμε εν συντομία τις ιδιότητες που παρέχει στο κλειστό σύστημα καθένας από τους τρεις όρους του ελεγκτή. 11

12 Ενότητα 1.5 Διάρθρωση της Εργασίας Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι να προσφέρει μία πλήρη μελέτη για τη φιλοσοφία, τη δομή και τη λειτουργία του PID ελεγκτή σε ένα σύστημα αυτομάτου ελέγχου. Στο δεύτερο κεφάλαιο παρουσιάζεται η μαθηματική ανάλυση ενός γενικού συστήματος υπό την επήρεια ενός PID ελεγκτή. Η επίδραση των διαφόρων παραμέτρων του ελεγκτή για διάφορα συστήματα παρουσιάζεται και σχολιάζεται. Στο τρίτο κεφάλαιο αναλύονται κάποιες συγκεκριμένες εφαρμογές του PID ελεγκτή και τονίζεται η χρησιμότητά του. Στο τέταρτο κεφάλαιο αναλύονται εκτενώς σε σχέση με την προσομοίωση PID ελεγκτών σε περιβάλλον MATLAB-SIMULINK και αναπτύσσονται σχετικές μεθοδολογίες και προσεγγίσεις. 12

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΟΥ PID ΕΛΕΓΚΤΗ Ενότητα 2.1 Μπλοκ Διάγραμμα Ας υποθέσουμε τον συνδυασμό συστημάτων που εικονίζεται στο Σχήμα 2.1. Σε αυτή την εικόνα βλέπουμε: Το κύριο, βασικό σύστημα που αποτελεί τη διάταξή μας με συνάρτηση μεταφοράς:, (2.1) όπου είναι πολυωνυμικές συναρτήσεις με πραγματικούς συντελεστές. Ενδεικτικά θα μπορούσαμε να γράψουμε τα εξής:, (2.2), (2.3) όπου. Το αναλογικό εξάρτημα του PID ελεγκτή με σταθερά συνάρτηση μεταφοράς. Το ολοκληρωτικό εξάρτημα του PID ελεγκτή με συνάρτηση μεταφοράς. Το διαφορικό εξάρτημα του PID ελεγκτή με συνάρτηση μεταφοράς. 13

14 Σχήμα 2.1: Ένα γενικό διάγραμμα ενός συστήματος υπό τη δράση ενός PID ελεγκτή. O μοναδιαίος βρόχος ανάδρασης του συστήματος. Όσον αφορά τα σήματα που συμμετέχουν στην ανάλυσή μας, αυτά έχουν τις παρακάτω ονομασίες: Η επίσημη είσοδος του ολικού συστήματος ανάδρασης) αποτελεί την επιθυμητή έξοδο του ολικού συστήματος. όπου (για μοναδιαίο βρόχο Το σφάλμα που εκφράζει (στο πεδίο της μιγαδικής συχνότητας Laplace) τη διαφορά μεταξύ της επιθυμητής και της πραγματικής εξόδου ολικού συστήματος. του Τη διαταραχή που λειτουργεί ως δευτερεύουσα είσοδος στο ολικό σύστημα και εκφράζει κάθε φύσης θόρυβο ή ανεπιθύμητα σήματα που κάνουν τη συσκευή να παρεκλίνει από την ορθολογιστική της λειτουργία. Την είσοδο στο κύριο σύστημα. Μετά από προσεκτική ανάλυση, η συνάρτηση μεταφοράς ως προς την επίσημη είσοδο δίνεται από την εξίσωση:. (2.4) 14

15 Σημειωτεόν ότι η διαταραχή στον παραπάνω υπολογισμό τίθεται ίση προς μηδέν. Επίσης, η συνάρτηση μεταφοράς ως προς τη διαταραχή δίνεται από την εξίσωση:. (2.5) Σημειωτεόν ότι η βασική είσοδος στον παραπάνω υπολογισμό τίθεται ίση προς μηδέν. Η συνολική έξοδος δίνεται ως γνωστόν από το γραμμικό συνδυασμό:. (2.6) Στα παρακάτω θα θεωρήσουμε σαν σύστημα μια απλοϊκή εκδοχή για ένα DC κινητήρα του οποίου η συνάρτηση μεταφοράς δίνεται ως:. (2.7) Για περεταίρω απλοποίηση επιλέγουμε τη σταθερά ίση προς τη μονάδα. Επίσης, η βασική είσοδος θα ληφθεί ίση προς τη βηματική: της βηματικής απόκρισης του εν λόγω συστήματος. και κατά συνέπεια θα μιλάμε για μελέτη Ενότητα 2.2 Επιλογή PID Ελεγκτή χωρίς διαταραχή Για βηματική διέγερση και μηδενική διαταραχή, λαμβάνουμε τον παρακάτω μετασχηματισμό Laplace της εξόδου:. (2.8) Με τη βοήθεια εντολών και προγραμμάτων που συναποτελούν το toolbox του MATLAB για το αυτόματο έλεγχο και τα οποία φαίνονται και εξηγούνται στο σχετικό κεφάλαιο, μπορούμε να υπολογίσουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace της (2.8). Πιο συγκεκριμένα, στο Σχήμα 2.2 αναπαριστούμε γραφικά ως προς το χρόνο τη βηματική απόκριση του συστήματος για και για διάφορες αναλογικές σταθερές. 15

16 Σχήμα 2.2: H βηματική απόκριση του συστήματος ως συνάρτηση του χρόνου για διάφορες αναλογικές σταθερές ΚP. Με μαύρη συνεχή γραμμή απεικονίζεται η ιδανική βηματική απόκριση και με διακεκομμένη η αντίδραση του συστήματος εν απουσία του PID ελεγκτή. Είναι ξεκάθαρο ότι αύξηση του προξενεί μείωση του τελικού σφάλματος και βελτιώνει την αποτελεσματικότητα του συστήματος. Φυσικά, όσο μεγάλη τιμή και να έχει, δεν μηδενίζεται το μόνιμο σφάλμα. Πιο συγκεκριμένα, με άμεση αντικατάσταση λαμβάνουμε: (2.9) Στο Σχήμα 2.3 κάνουμε μια επιλογή και αναπαριστούμε τις βηματικές αποκρίσεις του συστήματος για διάφορες σταθερές. Σε αυτή την περίπτωση παρατηρούμε ότι το μόνιμο σφάλμα μηδενίζεται για μη μηδενική, επομένως υπογραμμίζεται η χρησιμότητα της διαφορικής σταθεράς. Μάλιστα παρατηρούμε ότι η καλύτερη συμπεριφορά παρατηρείται γι αυξημένο μέγεθος της. Πρέπει επίσης να σημειωθεί ότι όλες οι καμπύλες ευρίσκονται μεταξύ της μαύρης συνεχούς καμπύλης (ιδανική απόκριση) και της μαύρης διακεκομμένης καμπύλης (απόκριση συστήματος στην απουσία οποιουδήποτε ελεγκτή, 16

17 , ). Με άλλα λόγια δεν υπάρχει καμία υπερύψωση πάνω από τη μονάδα δηλαδή δεν υφίσταται αύξηση της τάξης του συνολικού συστήματος. Σχήμα 2.3: H βηματική απόκριση του συστήματος ως συνάρτηση του χρόνου για διάφορες ολοκληρωτικές σταθερές ΚΙ. Η ταχύτητα αποκατάστασης, όπως υπονοήθηκε παραπάνω, είναι μεγαλύτερη αυξανόμενης της σταθεράς. 17

18 Σχήμα 2.4: H βηματική απόκριση του συστήματος ως συνάρτηση του χρόνου για διάφορες διαφορικές σταθερές ΚD. Με τα παραπάνω δεδομένα, κάνουμε επίσης μία τυχαία επιλογή για την ολοκληρωτική σταθερά και αναπαριστούμε στο Σχήμα 2.4 τις βηματικές αποκρίσεις του συστήματος για διάφορες διαφορικές σταθερές. Σε αυτή την περίπτωση βλέπουμε ότι με μικρή τιμή της, η συμπεριφορά του συστήματος σε σχέση με την βηματική διέγερση είναι καλύτερη. Ενότητα 2.3 Επιλογή PID Ελεγκτή με διαταραχή Για βηματική διέγερση και μη μηδενική διαταραχή λευκού θορύβου, λαμβάνουμε τον παρακάτω μετασχηματισμό Laplace της εξόδου:. (2.8) 18

19 Στο τριπλό γράφημα του Σχήματος 2.5 αναπαριστούμε τις βηματικές αποκρίσεις του διαταραγμένου συστήματος σαν συνάρτηση του χρόνου για διάφορες αναλογικές, ολοκληρωτικές και διαφορικές σταθερές. Στο πρώτο γράφημα παρατηρούμε ότι οι καμπύλες είναι φθίνουσες σε αντίθεση με τις αντίστοιχες του αδιατάρακτου συστήματος. Και πάλι παρατηρούμε την ευεργετική επίδραση της. Στο δεύτερο διάγραμμα παρατηρούμε ότι η εισαγωγή της εξισορροπεί το σύστημα και μηδενίζει το μόνιμο σφάλμα. Μάλιστα η ταχύτητα σύγκλισης της εκάστοτε καμπύλης είναι μεγαλύτερη για αυξημένη. Στο τρίτο διάγραμμα βλέπουμε ότι η κατάσταση βελτιώνεται με την εισαγωγή μιας διαφορικής σταθεράς και πόσο κοντά στην ιδανική καμπύλη ευρίσκονται οι αποκρίσεις. Είναι επίσης προφανές ότι υπάρχει μια ισορροπία μεταξύ του πόσο βυθίζεται στους αρχικούς χρόνους η καμπύλη και του πόσο ταχέως συγκλίνει στη μονάδα στους τελικούς χρόνους. Σχήμα 2.5: H βηματική απόκριση του συστήματος υπό την επήρεια της διαταραχής λευκού θορύβου ως συνάρτηση του χρόνου για διάφορες αναλογικές σταθερές ΚP, για διάφορες ολοκληρωτικές σταθερές ΚΙ και για διάφορες διαφορικές σταθερές KD. Στο Σχήμα 2.6 παρατηρούμε τις βηματικές αποκρίσεις του συστήματος σαν συναρτήσεις του χρόνου για διάφορες στάθμες της διαταραχής. Είναι ξεκάθαρο και λογικό 19

20 ότι αυξημένου του, η αντίδραση του συστήματος παρουσιάζει μεγαλύτερη υπερπήδηση, πιο έντονες ταλαντώσεις και μεγαλύτερο χρόνο αποκατάστασης. Σχήμα 2.6: H βηματική απόκριση του συστήματος υπό την επήρεια της διαταραχής λευκού θορύβου ως συνάρτηση του χρόνου για διάφορες στάθμες της διαταραχής λευκού θορύβου. Ενότητα 2.4 Βελτιστοποίηση Ελεγκτή Στα επόμενα θα αγνοήσουμε την διαταραχή και θα αναπτύξουμε ένα γενικό τρόπο που Ένα σύστημα προκειμένου να έχει την καλύτερη δυνατή αντίδραση δεδομένων των εξαρτημάτων που περιέχει, πρέπει η συνάρτηση μεταφοράς κλειστού βρόχου να είναι όσο το δυνατόν πιο κοντά στη μονάδα. Αυτή συνθήκη θα πρέπει να ισχύει κατά το δυνατόν σε 20

21 περισσότερες συχνότητες. Επομένως η ποσότητα που πρέπει να ελαχιστοποιηθεί αφορά τις συχνότητες και ορίζεται όπως παρακάτω:. (2.9) Αν αγνοήσουμε τη φάση της συνάρτησης μεταφοράς και δώσουμε σημασία μόνο στο μέτρο του, θα μπορούσε να οριστεί η εναλλακτική ποσότητα :. (2.10) Οι ποσότητες επιτυχή εφαρμογή ενός PID ελεγκτή. πρέπει να είναι κατά το δυνατόν μικρότερες προκειμένου να μιλάμε για Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση μεταφοράς. Στο Σχήμα 2.7 παρατηρούμε σε contour plots την ποσότητα ως συνάρτηση της αναλογικής σταθεράς και της διαφορικής σταθεράς στο πρώτο γράφημα και την ποσότητα ως συνάρτηση της αναλογικής σταθεράς και της διαφορικής σταθεράς. Σχήμα 2.7: H ποσότητα Q σε contour plots σαν συνάρτηση: (α) της αναλογικής και διαφορικής σταθεράς για σύστημα πρώτης τάξης. 21

22 Στην πρώτη περίπτωση παρατηρούμε ότι καλύτερα αποτελέσματα επιτυγχάνονται για αυξημένα και. Αντίθετα, στη δεύτερη περίπτωση βλέπουμε ότι μικρότερα σφάλματα συμβαίνουν για μικρές ολοκληρωτικές σταθερές και για μεγάλες διαφορικές σταθερές. Επομένως μία επιλογή με ένα είναι κοντά στο βέλτιστο. Στο Σχήμα 2.8 παρατηρούμε τη μεταβολή της ποσότητας αντί της ως προς τις ίδιες ποσότητες. Αναφορικά με το πρώτο διάγραμμα, οι μεταβολές είναι παρόμοιες με της. Αντίθετα, στο δεύτερο διάγραμμα παρατηρούμε ότι μεγάλες τιμές εμφανίζονται και στο κάτω αριστερά τμήμα του γραφήματος. Σχήμα 2.8: H ποσότητα Q σε contour plots σαν συνάρτηση: (α) της αναλογικής και διαφορικής σταθεράς για σύστημα πρώτης τάξης. Σε αυτό το σημείο θα Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση μεταφοράς. Στο Σχήμα 2.9 παρατηρούμε σε contour plots την ποσότητα ως συνάρτηση της αναλογικής σταθεράς και της διαφορικής σταθεράς στο πρώτο γράφημα και την ποσότητα ως συνάρτηση της αναλογικής σταθεράς και της διαφορικής σταθεράς. 22

23 Σχήμα 2.9: H ποσότητα Q σε contour plots σαν συνάρτηση: (α) της αναλογικής και διαφορικής σταθεράς για σύστημα δεύτερης τάξης. Είναι ξεκάθαρο πως αναφορικά με την επιλογή της αναλογικής σταθεράς τα αποτελέσματα είναι παρόμοια με αυτά του συστήματος πρώτης τάξης. Μεγάλες τιμές στις σταθερές και οδηγούν σε μικρότερα σφάλματα. Αντίθετα, όταν παρατηρούμε τη μεταβολή του ως προς τις σταθερές και, είναι ξεκάθαρο ότι η επιλογή του πρέπει να γίνει αρκετά χαμηλά προκειμένου η πιστότητα της συσκευής να είναι υψηλή. Σχήμα 2.10: H ποσότητα Q σε contour plots σαν συνάρτηση: (α) της αναλογικής και διαφορικής σταθεράς για σύστημα δεύτερης τάξης. 23

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ MATLAB ΣΧΕΔΙΑΣΗΣ P,I,D ΕΛΕΓΚΤΩΝ Ενότητα 3.1: Επισκόπηση Προηγούμενων Συμπερασμάτων Όπως είδαμε στα προηγούμενα η πλέον ευρύτατα χρησιμοποιημένη μονάδα ελεγκτή είναι ο ελεγκτής PID ο οποίος ονομάζεται και ελεγκτής τριών όρων γιατί στη ουσία αποτελεί συνδυασμό το τριών βασικών ελεγκτών. Ο ελεγκτής PID περιλαμβάνει έναν αναλογικό, ένα διαφορικό και ένα ολοκληρωτικό όρο. Υπάρχουν όμως και ελεγκτές που περιέχουν τους δύο από τους τρεις όρους. Ο αναλογικός ελεγκτής (Proportional Control) δίνει στην έξοδο του σήμα ανάλογο του σφάλματος που δέχεται στην είσοδο και στην ουσία πρόκειται για μια διάταξη ενίσχυσης του σήματος σφάλματος με κέρδος. Ο αναλογικός ελεγκτής έχει την μορφή που παρουσιάζεται στο παρακάτω Σχήμα 3.1. Σχήμα 3.1: Αναλογικός τελεστής. O αναλογικός ελεγκτής αυξάνει την ταχύτητα απόκρισης του συστήματος αλλά πιθανόν να δημιουργεί σφάλμα μόνιμης κατάστασης αναλόγως τον τύπο του συστήματος, ενώ για μηδενικό σφάλμα όπως είναι λογικό θα έχει και μηδενική έξοδο. Ο ολοκληρωτικός ελεγκτής (Integral Control) πήρε αυτή την ονομασία επειδή δίνει στην έξοδο του σήμα ανάλογο του ολοκληρώματος του σφάλματος που δέχεται στην είσοδο. Ο ολοκληρωτικός ελεγκτής περιέχει και μια παράμετρο την η οποία ονομάζεται συντελεστής ολοκλήρωσης. Ο ολοκληρωτικός ελεγκτής έχει την μορφή που παρουσιάζεται στο παρακάτω σχήμα. 24

25 Σχήμα 3.2: Ολοκληρωτικός τελεστής. Ένας ολοκληρωτικός ελεγκτής εξαλείφει το σφάλμα μόνιμης κατάστασης για σταθερή είσοδο αναφοράς και επιπλέον αντιμετωπίζει με επιτυχία αποκλίσεις από πιθανό διαταραχές του συστήματος. Ο διαφορικός ελεγκτής (Differential Control) όταν το σήμα του σφάλματος στην είσοδο του έχει τη μορφή βηματικής διέγερσης τότε η έξοδος του ελεγκτή είναι η κρουστική συνάρτηση με θεωρητικά άπειρο πλάτος. Όταν το σφάλμα είναι σταθερό τότε η έξοδος του διαφορικού ελεγκτή είναι μηδέν. Σχήμα 3.3: Διαφορικός τελεστής. Ο διαφορικός ελεγκτής περιορίζει το σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση κατά το στάδιο της μεταβατικής απόκρισης των συστημάτων όμως στη πράξη δεν χρησιμοποιείται ποτέ αποκλειστικά διαφορικός ελεγκτής. Συνολικά τα παραπάνω ευρήματα συμπυκνώνται παρακάτω: Σχήμα 3.4: Βασικά χαρακτηριστικά P, I, D ελεγκτών. 25

26 Ενότητα 3.2: Λυμένα Παραδείγματα Λυμένο Παράδειγμα 3.Α Εκφώνηση: Θεωρούμε το σύστημα που εικονίζεται στο Σχήμα. (α) Χρησιμοποιώντας το MATLAB, να σχεδιαστεί το διάγραμμα Bode του συστήματος χωρίς την εξισορρόπηση. Να βρεθεί το περιθώριο κέρδους και το περιθώριο φάσης. (β) (γ) Να επαναληφθεί το (α) για το εξισορροπημένο σύστημα. Συγκρίνω (α) και (β). Σχήμα 3.5: Τα διαγράμματα Bode πλάτους και φάσης ως προς τη συχνότητα λειτουργίας σε λογαριθμικό άξονα. Επίλυση: Για την κατασκευή του m-file και της βηματικής απόκρισης φαίνεται παρακάτω. Το περιθώριο φάσης και η επί τοις εκατό ανύψωση δίνονται παρακάτω και αντίστοιχα:, Το m-file που υπολογίζει τα παραπάνω χαρακτηριστικά δίνεται παρακάτω:. numc=[5.5]; denc=[1 0]; sysc = tf(numc,denc); numg=[1]; deng=[1 1]; sysg = tf(numg,deng); syss = series(sysc,sysg); [gm,pm]=margin(syss); pm % sys_cl = feedback(syss,1); y=step(sys_cl); step(sys_cl); grid ymax=max(y) 26

27 Το διάγραμμα που παράγεται ακολουθεί και δείχνει ένα ευσταθές σύστημα να αποκαθιστά τη μοναδιαία του τιμή (τιμή της βηματική εισόδου) σε εύλογο χρονικό διάστημα. Σχήμα 3.6: Τα διαγράμματα Bode πλάτους και φάσης ως προς τη συχνότητα λειτουργίας σε λογαριθμικό άξονα. Λυμένο Παράδειγμα 3.Β Εκφώνηση: Ένα σύστημα πλοήγησης έχει ένα σύστημα κλειστού βρόχου όπως φαίνεται στο Σχήμα. Η συνάρτηση μεταφοράς δίνεται ως: Θεωρούμε τον ακόλουθο ελεγκτή PI:.. 27

28 (α) Να σχεδιαστεί ένα σύστημα ελέγχου που να επαληθεύει τις εξής απαιτήσεις: (1) Χρόνος αποκατάστασης (με το κριτήριο του 2%) στη βηματική διέγερση σε λιγότερο από ένα 1 sec. (2) Σφάλμα τελικής τιμής στη διέγερση ράμπας λιγότερο από 0.1. (β) Να επαληθευτεί ο σχεδιασμός με προσομοίωση. Σχήμα 3.7: Αεροσκάφος που εξισορροπείται από έναν PI ελεγκτή. Επίλυση: Με δοκιμές μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι η παρουσία του αναλογικού ελεγκτή δεν είναι απαραίτητη. Αντίθετα, ένας ολοκληρωτής πρέπει να έχει ένα αρκετά μεγάλο πλάτος ίσο προς 10. Το πρόγραμμα προσομοίωσης ακολουθεί: K1=0; K2=10; numc=[k1 K2]; denc=[1 0]; sysc = tf(numc,denc); numg=[23]; deng=[1 23]; sysg = tf(numg,deng); sys_o = series(sysc,sysg); sys_cl = feedback(sys_o,[1]); t=[0:0.01:1]; ys=step(sys_cl,t); subplot(211) plot(t,ys), xlabel('time (sec)'), ylabel('phi dot') title('unit Step Response'), grid u=t; yr=lsim(sys_cl,u,t); subplot(212) plot(t,yr-u','--') xlabel('time (sec)'), ylabel('tracking error') title('unit Ramp Response'), grid Τα παρακάτω διαγράμματα επαληθεύουν τις απαιτήσεις: 28

29 Σχήμα 3.8: Βηματική απόκριση και απόκριση ράμπας. Λυμένο Παράδειγμα 3.Γ Εκφώνηση: Η συνάρτηση μεταφοράς του Σχήματος γράφεται ως:. Η χρονική καθυστέρηση ισούται προς: συστήματος σαν συνάρτηση του κέρδους στο εύρος. Να εκτυπωθεί το περιθώριο φάσης του. Να βρεθεί το κέρδος που μεγιστοποιεί το περιθώριο φάσης. 29

30 Σχήμα 3.9: Σύστημα με χρονική καθυστέρηση. Επίλυση: Για την υλοποίηση του καθυστερητή θα χρησιμοποιηθεί η προσέγγιση Pade τάξεως 6 με τη βοήθεια της συνάρτησης pade(t,n). Το πρόγραμμα του MATLAB ακολουθεί. Το περιθώριο πλάτους και της φάσης υπολογίζεται με τη βοήθεια της συνάρτησης margin. clear all; Kmin = 0.01; Kmax = 10; Kpoints = 1000; K = Kmin + (Kmax-Kmin)*[0:Kpoints]/Kpoints; T = 0.2; [np,dp] = pade(t,6); sysp = tf(np,dp); for i=1:kpoints+1 ng = K(i)*[1 0.2]; dg = [ ]; sysg = tf(ng,dg); [gm,pm] = margin(sysg*sysp); PM(i) = pm; end figure; plot(k,pm) grid; [P,n]=max(PM); K(n) xlabel('k'); ylabel('p.m.'); Το διάγραμμα φαίνεται παρακάτω. Πράγματι για περιθωρίου φάσης έχουμε μεγιστοποίηση του 30

31 Σχήμα 3.10: Το διάγραμμα του περιθωρίου φάσης σαν συνάρτηση της σταθεράς του ελεγκτή. Λυμένο Παράδειγμα 3.Δ Εκφώνηση: Δίνεται σύστημα ανοιχτού βρόχου με συνάρτηση μεταφοράς: του οποίου επιθυμούμε να βελτιώσουμε την απόκριση. Να χρησιμοποιηθούν οι ελεγκτές P- ελεγκτής ( ), PΙ-ελεγκτής ( ) και PID-ελεγκτής ( ) και να δοθεί κοινό γράφημα με την απόκριση του συστήματος με και χωρίς έλεγχο για κάθε ελεγκτή ξεχωριστά. Επίλυση: Στο παρακάτω διάγραμμα παρατηρούμε ότι με τη χρήση του P-ελεγκτή το σύστημα έγινε πιο γρήγορο αλλά με σημαντικό ποσοστό υπερύψωσης και ταλαντώσεων και μικρό σφάλμα 31

32 μόνιμης κατάστασης. Μπορούμε χρησιμοποιώντας τα χαρακτηριστικά του διαγράμματος (αριστερό κλικ στο διάγραμμα απόκρισης Characteristics) να πάρουμε τις εξής πληροφορίες. Για το σύστημα, χρόνος ανύψωσης 1.64 sec, χρόνος αποκατάστασης 8.08 sec και 16.3% ποσοστό υπερύψωσης. Για το σύστημα με τον έλεγχο, χρόνος ανύψωσης sec, χρόνος αποκατάστασης 7.91 sec και 61.9% ποσοστό υπερύψωσης. Σχήμα 3.11: Οι βηματικές αποκρίσεις του συστήματος ανοικτού και κλειστού βρόχου υπό την επίδραση του P ελεγκτή. Για τον PI ελεγκτή, λαμβάνουμε το πιο κάτω αποτέλεσμα: Σχήμα 3.12: Οι βηματικές αποκρίσεις του συστήματος ανοικτού και κλειστού βρόχου υπό την επίδραση του PΙ ελεγκτή. 32

33 Στο παρακάτω διάγραμμα παρατηρούμε ότι με τη χρήση του PΙD ελεγκτή το σύστημα απέκτησε σχεδόν τέλεια απόκριση. Για το σύστημα με τον έλεγχο, χρόνος ανύψωσης sec, χρόνος αποκατάστασης sec και μηδενικό ποσοστό υπερύψωσης και μηδενικό σφάλμα μόνιμης κατάστασης. Σχήμα 3.13: Οι βηματικές αποκρίσεις του συστήματος ανοικτού και κλειστού βρόχου υπό την επίδραση του PΙD ελεγκτή. O κώδικας MATLAB που χρησιμοποιήθηκε, ακολουθεί: % P Controller G = tf(1, [1, 1, 1]); Kp = 10; Gc = Pcontrol(G, 1, Kp); figure; step(g, Gc); xlabel('time t'); ylabel('magnitude'); legend('open loop system', 'close loop system'); grid on; % PD Controller G = tf(1, [1, 1, 1]); 33

34 Kp = 10; Ki = 1; Gc = PIcontrol(G, 1, Kp, Ki); figure; step(g, Gc); xlabel('time t'); ylabel('magnitude'); legend('open loop system', 'close loop system'); grid on; % PID Controller G = tf(1, [1, 1, 1]); Kp = 100; Kd = 1; Ki = 100; Gc = PIDcontrol(G, 1, Kp, Ki, Kd); figure; step(g, Gc); xlabel('time t'); ylabel('magnitude'); legend('open loop system', 'close loop system'); grid on; function [Gc] = Pcontrol(H, A, Kp) P = tf(kp, 1); Gc = feedback(series(p, H), A); function [Gc] = PIcontrol(H, A, Kp, Ki) PI = tf([kp, Ki], [1, 0]); Gc = feedback(series(pi, H), A); function [Gc] = PIDcontrol(H, A, Kp, Ki, Kd) PID = tf([kd, Kp, Ki], [1, 0]); Gc = feedback(series(pid, H), A); Λυμένο Παράδειγμα 3.E Εκφώνηση: Δίνεται παρακάτω η συνάρτηση μεταφοράς ενός συστήματος, i) Να βρεθεί ο χρόνος που απαιτείται για να φτάσει η απόκριση του συστήματος στο 90% της τελικής τιμής της για βηματική είσοδο. ii) Να βρεθεί ο χρόνος που απαιτείται για να φτάσει η απόκριση του συστήματος στο 90% της τελικής τιμής της για βηματική είσοδο με τη χρήση P-ελεγκτή με. 34

35 iii) Να βρεθούν οι παράμετροι ενός PD-ελεγκτή έτσι ώστε να επιτυγχάνει τη μείωση του χρόνου που απαιτείται για να φτάσει η απόκριση του συστήματος στο 90% της τελικής τιμής της κατά 6000 φορές και ταυτόχρονα η υπερύψωση της απόκρισης να μην υπερβαίνει το ποσοστό του 10%. Επίλυση: Από το παρακάτω διάγραμμα της απόκρισης του συστήματος δεν μπορούμε να βρούμε το χρόνο που απαιτείται για να φτάσει η απόκριση του συστήματος στο 90% της τελικής τιμής της αφού το σύστημα δεν σταθεροποιείται. H = tf([4], [4, 92, 1045, 5550, 10625, 0]); figure; step(h); grid on; Σχήμα 3.14: Βηματική απόκριση χωρίς ελεγκτή. Για τη χρήση του αναλογικού ελεγκτή δίνουμε τις παρακάτω εντολές στο MATLAB. H = tf([4], [4, 92, 1045, 5550, 10625, 0]); Kp = 1; Gc = Pcontrol(H, 1, Kp); figure; step(gc); grid on; 35

36 Σχήμα 3.15: Βηματική απόκριση με αναλογικό τελεστή. Ο χρόνος που απαιτείται για να φτάσει η απόκριση του συστήματος στο 90% της τελικής της τιμής είναι 6191 sec. iii) Για να βρούμε τις τιμές των παραμέτρων του PD-ελεγκτή που θα ικανοποιούν τις απαιτήσεις θα πειραματιστούμε με διάφορες τιμές των Κρ και Κd. Επιθυμούμε rise time μικρότερο των και ποσοστό υπερύψωσης κάτω από το 10%. Σχήμα 3.16: Βηματική απόκριση με PD ελεγκτή. 36

37 Σο σύστημα μπορεί για τις παραπάνω τιμές των παραμέτρων του PD-ελεγκτή να μην παρουσιάζει υπερύψωση αλλά το rise time (0-90%) είναι πολύ μεγαλύτερο από ότι επιθυμούμε. Σχήμα 3.17: Βηματική απόκριση με ένα άλλο PD ελεγκτή. Με τιμές παραμέτρων Κρ=4700 και Κd=850 επιτυγχάνουμε χρόνο που απαιτείται για να φτάσει η απόκριση του συστήματος στο 90% της τε-λικής τιμής της sec και ποσοστό υπερύψωσης 9%. Σχήμα 3.16: Βηματική απόκριση με (κοντά στο) βέλτιστο PD ελεγκτή. Ο χρησιμοποιούμενος κώδικας MATLAB ακολουθεί: 37

38 H = tf([4], [4, 92, 1045, 5550, 10625, 0]); Kp = 100; Kd = 100; Gc = PIDcontrol(H, 1, Kp,0, Kd); figure; step(gc); grid on; H = tf([4], [4, 92, 1045, 5550, 10625, 0]); Kp = 1000; Kd = 1000; Gc = PIDcontrol(H, 1, Kp,0, Kd); figure; step(gc); grid on; H = tf([4], [4, 92, 1045, 5550, 10625, 0]); Kp = 4000; Kd = 100; Gc = PIDcontrol(H, 1, Kp,0, Kd); figure; step(gc); grid on; H = tf([4], [4, 92, 1045, 5550, 10625, 0]); Kp = 4000; Kd = 500; Gc = PIDcontrol(H, 1, Kp,0, Kd); figure; step(gc); grid on; H = tf([4], [4, 92, 1045, 5550, 10625, 0]); Kp = 4700; Kd = 850; Gc = PIDcontrol(H, 1, Kp,0, Kd); figure; step(gc); grid on; 38

39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ PID ΕΛΕΓΚΤΕΣ Ενότητα 4.1 Τρόπος Χρήσης SIMULINK Χρησιμοποιούμε το menu SIMULINK και πιο συγκεκριμένα τις ακόλουθες λειτουργίες: Μία γεννήτρια μιας βηματικής συνάρτησης:. Έναν αθροιστή μέσω του οποίου υλοποιείται ο μοναδιαίος βρόχος ανάδρασης:. Έναν PID ελεγκτή:. Το σύστημα με τη συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος που εξετάζουμε:. Μία οθόνη αναπαράστασης του σήματος εξόδου:. Συνδυάζοντας τα παραπάνω και συνδέοντας τα στοιχεία με αγώγιμους δρόμους λαμβάνουμε το παρακάτω κύκλωμα: 39

40 Σχήμα 4.1: Ένα απλό κύκλωμα στο περιβάλλον SIMULINK. Οι παράμετροι που καθορίζουν τον PID ελεγκτή προκύπτει από το παράθυρο των ιδιοτήτων μετά από διπλό κλικ στο σύμβολο του PID ελεγκτή. Όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, η επιλογή μας είναι: Σχήμα 4.2: Παράμετροι ενισχυτή PID. Στο διάγραμμα που προκύπτει με διπλό κλικ στο Scope φαίνεται παρακάτω. Παρατηρούμε ότι σε άπειρο χρόνο, το σφάλμα μηδενίζεται (τείνει στη μονάδα). 40

41 Σχήμα 4.3: Βηματική απόκριση του συστήματος. Ενότητα 4.2 Πολλαπλά Διαγράμματα στο SIMULINK Στο περιβάλλον SIMULINK μπορούμε να αναπαραστήσουμε στο ίδιο διάγραμμα παραπάνω από μία γραφική παράσταση με τη βοήθεια του εργαλείου του πουπλέκτη με το ακόλουθο σύμβολο:. Στο παρακάτω σχήμα παρατηρούμε ένα απλό σύστημα μοναδιαίου βρόχου ανάδρασης υπό τον έλεγχο ενός PID ελεγκτή με: Η συνάρτηση μεταφοράς ανοικτού βρόχου είναι η ακόλουθη:. To μπλοκ διάγραμμα του συστήματος φαίνεται στο παρακάτω σχήμα: 41

42 Σχήμα 4.4: Το κύκλωμα υπό την επίδραση μιας εισόδου διπλού βήματος. Βλέπουμε ότι εκτός της εξόδου, στο Scope αναπαρίσταται και η είσοδος. Με αυτό τον τρόπο μπορούμε να συγκρίνουμε την επιθυμητή με την πραγματική απόκριση τους συστήματος και να κρίνουμε πόσο καλά η δεύτερη παρακολουθεί την πρώτη. Το διάγραμμα στο παρακάτω σχήμα αναπαρίστανται οι δύο παραπάνω καμπύλες με κόκκινο (είσοδος) και κίτρινο χρώμα (έξοδος). Η έξοδος του συστήματος ξεκινάει φυσικά από το μηδέν και ανεβαίνει απότομα (ως αποτέλεσμα της μεγάλης αύξησης της εισόδου από το 0 στο 2. Στη συνέχεια η έξοδος σταθεροποιείται, μεγιστοποιείται (υπό την επίδραση της μειωμένης εισόδου) και τελικά μηδενίζεται ομαλά παρακολουθώντας την είσοδο. Σχήμα 4.5: Γραφικές παραστάσεις εισόδου και εξόδου. 42

43 Αν τώρα αντί για διπλό βηματικό άλμα χρησιμοποιήσουμε μία απλή step function, δημιουργούμε σε περιβάλλον SIMULINK το παρακάτω μπλοκ διάγραμμα: Σχήμα 4.6: Το κύκλωμα υπό την επίδραση μιας εισόδου απλού βήματος. Και πάλι χρησιμοποιούμε έναν multiplexer προκειμένου να αναπαραστήσουμε και τα δύο σήματα στον ίδιο παλμογράφο Scope. Όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, η έξοδος αντιδρά αργά στην είσοδο, επιδεικνύει μια μικρή υπερύψωση και εν συνεχεία με ήπιες αργές ταλαντώσεις, παρακολουθεί τη βηματική είσοδο. Σχήμα 4.7: Γραφικές παραστάσεις εισόδου και εξόδου. 43

44 Ενότητα 4.3 Επίτευξη Ευστάθειας Ο PID ελεγκτής, όπως είδαμε, μπορεί να επηρεάσει δραστικά την έξοδο του συστήματος. Κατά συνέπεια, μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για να καταστήσει ένα ασταθές σύστημα, ευσταθές. Ένα παράδειγμα με συνάρτηση μεταφοράς ανοικτού βρόχου: εικονίζεται στο παρακάτω διάγραμμα: Σχήμα 4.8: Σύστημα με PID ελεγκτή που οδηγεί σε αστάθεια. Η επιλογή των τιμών για τις σταθερές P, I, D είναι η ακόλουθη: 44

45 Όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα: Σχήμα 4.9: PID ελεγκτής που οδηγεί σε αστάθεια. Με απόκριση που φαίνεται στο παρακάτω διάγραμμα παλμογράφου: Σχήμα 4.10: Ασταθής απόκριση. Τώρα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε έναν ελεγκτή με διαφορετική επιλογή σταθερών που εικονίζεται στο παρακάτω σχήμα. Πιο συγκεκριμένα μηδενίσαμε την ολοκληρωτική σταθερά με ευνοϊκά αποτελέσματα. 45

46 Σχήμα 4.12: PID ελεγκτής που οδηγεί σε ευστάθεια. Το διάγραμμα της εξόδου με την επίδραση του PID ελεγκτή φαίνεται στον παρακάτω παλμογράφο. Είναι ξεκάθαρο ότι η απόκριση γίνεται ευσταθής και συγκλίνει σε σταθερή τιμή μικρότερη της μονάδας που επιβάλλεται από την είσοδο. Σχήμα 4.13: Ευσταθής απόκριση. 46

47 Ενότητα 4.4 Βαθμονόμηση PID Ελεγκτή Ο στόχος της χρησιμοποίησης ενός συστήματος ρύθμισης με ανατροφοδότηση είναι να διασφαλίσει ότι το σύστημα κλειστού βρόχου έχει την επιθυμητή δυναμική συμπεριφορά (απόκριση του συστήματος ως συνάρτηση του χρόνου) αλλά και καλή στατική συμπεριφορά. Στην ιδανική περίπτωση, θα θέλαμε το σύστημα κλειστού βρόχου να ικανοποιεί τα ακόλουθα κριτήρια απόδοσης: Α. Ευστάθεια του συστήματος κλειστού βρόχου. Β. Ελαχιστοποίηση των συνεπειών των διαταραχών (απόρριψη διαταραχών). Γ. Επίτευξη γρήγορων και ομαλών αποκρίσεων στις αλλαγές της επιθυμητής τιμής της ρυθμιζόμενης μεταβλητής (παρακολούθηση της επιθυμητής τιμής). Δ. Μηδενικό σφάλμα σε μόνιμη κατάσταση. Ε. Αποφυγή υπερβολικών και απότομων ρυθμιστικών κινήσεων ΣΤ. Ευρωστία, δηλαδή το σύστημα κλειστού βρόχου δεν πρέπει να είναι ευαίσθητο σε αλλαγές των συνθηκών της διεργασίας και σε σφάλματα του μοντέλου της διεργασίας. Σε συνηθισμένες εφαρμογές ρύθμισης, δεν είναι δυνατό να επιτυγχάνονται όλοι οι στόχοι ταυτόχρονα, γιατί κάποιοι στόχοι είναι αντικρουόμενοι. Πρέπει όμως να επιτυγχάνεται ισορροπία ανάμεσα σε δύο σημαντικούς στόχους, την απόδοση και την ευρωστία. Ένα σύστημα ρύθμισης παρουσιάζει ικανοποιητικό βαθμό απόδοσης αν παρέχει γρήγορη και ομαλή απόκριση σε αλλαγές της επιθυμητής τιμής και των διαταραχών με μικρή ή και καθόλου ταλάντωση. Ένα σύστημα ρύθμισης είναι εύρωστο αν παρέχει ικανοποιητική απόδοση για μια μεγάλη κλίμακα συνθηκών της διεργασίας και στην συνηθισμένη περίπτωση παρουσίας σφαλμάτων στο μοντέλο της διεργασίας. Η ευρωστία μπορεί να επιτευχθεί επιλέγοντας μια συντηρητική βαθμονόμηση του ρυθμιστή αλλά αυτή η επιλογή τείνει να οδηγεί σε χαμηλά επίπεδα απόδοσης. Έτσι οι συντηρητικές ρυθμιστικές κινήσεις του ρυθμιστή θυσιάζουν μέρος της καλής απόδοσης ώστε να επιτύχουν τη ζητούμενη ευρωστία. Για τους PID ρυθμιστές πρέπει να επιτευχθεί και ένα άλλο είδος ισορροπίας που έχει να κάνει με το γεγονός ότι οι ρυθμίσεις που επιτυγχάνουν άριστη απόρριψη των διαταραχών ενδέχεται να παράγουν μεγάλες διακυμάνσεις σε αλλαγές της επιθυμητής τιμής. Από την άλλη, 47

48 αν οι παράμετροι του ρυθμιστή έχουν επιλεγεί με τρόπο που να παρέχουν άριστη παρακολούθηση της επιθυμητής τιμής, οι αποκρίσεις στις διαταραχές μπορεί να είναι αργές. Έτσι, για τους PID ρυθμιστές υπάρχει ένας συμβιβασμός μεταξύ καλύτερης παρακολούθησης της επιθυμητής τιμής και καλύτερης απόρριψης των διαταραχών. Ας δούμε ένα χρήσιμο πίνακα για τη βαθμονόμηση κατάλληλων ελεγκτών στηριγμένο πάνω στη μέθοδο Ziegler-Nichols. Ο πίνακας αυτός μας δίνει τους εμπειρικούς τύπους υπολογισμών των αντίστοιχων παραμέτρων των απαιτούμενων μερών του παραπάνω ελεγκτή για τις περιπτώσεις σχεδιασμού ελεγκτών P, PI, PID. P PI PID Πριν προχωρήσουμε, θα πρέπει να ορίσουμε τις ακόλουθες ποσότητες: Περιθώριο Κέρδους, Κρίσιμη Περίοδος. Το περιθώριο κέρδους καθορίζεται από το διάγραμμα BODE ως εξής: Στο διάγραμμα της φάσης βρίσκουμε τη συχνότητα στην οποία η καμπύλη τέμνει τις. Για αυτήν την κρίσιμη συχνότητα εξετάζουμε στο διάγραμμα του μέτρου πόσο απέχει η καμπύλη από τα 0 db. Αυτό είναι το περιθώριο κέρδους. Τόσο το περιθώριο κέρδους όσο και η κρίσιμη συχνότητα εικονίζονται στο παρακάτω διάγραμμα. Στους κατακόρυφους άξονες αναπαρίστανται το μέτρο και το όρισμα της αρμονικής απόκρισης της συνάρτησης μεταφοράς του ανοικτού βρόχου. 48

49 Σχήμα 4.14: Περιθώριο κέρδους και κρίσιμη συχνότητα (από την οποία προκύπτει η κρίσιμη περίοδος). Τo πρόγραμμα MATLAB που υλοποιεί τον παραπάνω πίνακα και υπολογίζει τον βέλτιστο ελεγκτή function [Kp, Ki, Kd] = FindOptimalController(G, ControllerSort) [Kcr, X, wcr, Y] = margin(g); Tcr = 2*pi/wcr; switch ControllerSort case 'P' Kp = 0.5*Kcr; Ki = 0; Kd = 0; case 'PI' Kp = 0.45*Kcr; Ki = 0.55*Kcr/Tcr; Kd = 0; case 'PID' Kp = 0.59*Kcr; Ki = 1.18*Kcr/Tcr; Kd = 0.074*Kcr*Tcr; otherwise disp('errored Input'); end 49

50 Ας δούμε ένα παράδειγμα με συνάρτηση μεταφοράς ανοικτού βρόχου: Με τη βοήθεια του MATLAB αναπαριστούμε το διάγραμμα Bode πλάτους και φάσης, όπου εικονίζονται και το περιθώριο κέρδους και η κρίσιμη συχνότητα. Πιο συγκεκριμένα: Kcr=11.6, ωcr=3.67rad/sec Σχήμα 4.15: Περιθώριο κέρδους και κρίσιμη συχνότητα (από την οποία προκύπτει η κρίσιμη περίοδος). To μπλοκ διάγραμμα των συστημάτων φαίνεται στην επόμενη σελίδα. Η ολίσθηση του χρόνου επιτυγχάνεται με τη βοήθεια του στοιχείου Transport Delay του MATLAB. Το σύστημα υπό την επίδραση του βέλτιστου PID ελεγκτή (που υπολογίζεται με τη βοήθεια του παραπάνω πίνακα) και χωρίς ελεγκτή αναπαριστά την έξοδο του στο ίδιο διάγραμμα παλμογράφου. 50

51 Σχήμα 4.16: Τα μπλοκ διαγράμματα του συστήματος με το βέλτιστο τελεστή και χωρίς ελεγκτή. Το διάγραμμα φαίνεται παρακάτω. Με κίτρινο χρώμα βλέπουμε τη βέλτιστη απόκριση στη βηματική διέγερση ενώ με μωβ χρώμα την απόκριση του συστήματος χωρίς ελεγκτή. Σχήμα 4.17: Οι βηματικές αποκρίσεις του συστήματος υπό το βέλτιστο PID ελεγκτή και χωρίς ελεγκτή. Ας θεωρήσουμε ένα σύστημα ανοικτού βρόχου με συνάρτηση μεταφοράς ανοικτού βρόχου: 51

52 Το διάγραμμα Bode του σχετικού συστήματος εικονίζεται παρακάτω: Σχήμα 4.18: Περιθώριο κέρδους και κρίσιμη συχνότητα (από την οποία προκύπτει η κρίσιμη περίοδος). Παρατηρούμε ότι:,. Από τον παραπάνω πίνακα υπολογίζουμε το βέλτιστο PID ελεγκτή: Στο παρακάτω σχήμα παρατηρούμε το μπλοκ διάγραμμα του συγκεκριμένου συστήματος. Η διέγερση και πάλι είναι η βηματική συνάρτηση. 52

53 Σχήμα 4.19: Τα μπλοκ διαγράμματα του συστήματος με το βέλτιστο τελεστή και χωρίς ελεγκτή. Στον παρακάτω παλμογράφο Scope βλέπουμε και πάλι την υπεροχή του βέλτιστου PID ελεγκτή σε σχέση με το σύστημα με μοναδιαίο αναλογικό ελεγκτή. Σχήμα 4.20: Οι βηματικές αποκρίσεις του συστήματος υπό το βέλτιστο PID ελεγκτή και χωρίς ελεγκτή. 53

54 Αν αλλάξουμε τη διέγερση από βηματική σε ράμπα, λαμβάνουμε το παρακάτω μπλοκ διάγραμμα: Σχήμα 4.21: Τα μπλοκ διαγράμματα του συστήματος με το βέλτιστο τελεστή και χωρίς ελεγκτή. Η διέγερση αυτή τη φορά είναι συνάρτηση ράμπας. Οι καμπύλες αναπαρίστανται στον παρακάτω παλμογράφο: Σχήμα 4.22: Οι ραμπικές αποκρίσεις του συστήματος υπό το βέλτιστο PID ελεγκτή και χωρίς ελεγκτή. 54

55 ΒΑΣΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ [1] Richard C. Dorf Robert H. Bishop, «Σύγχρονα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου», 7η έκδοση, εκδόσεις Τζιόλα. [2] Αναστασία Ν. Βελώνη, «Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου - Λυμένες Ασκήσεις», εκδόσεις Παπασωτηρίου. [3] Σταύρος Βολογιαννίδης, «Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Θεωρία και Εφαρμογές». [4] Γιώργος Γεωργίου Φρίστος Ξενοφώντος, «Εισαγωγή στη MΑΤLΑΒ». [5] Αριστοτέλης Γιαννακουδάκης, «Άσκηση Πράξεις 1 4». [6] Μανώλης Καβουσιανός, «Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου». [7] Δημήτρης Καλλιγερόπουλος, «Αναλογική Εξομοίωση Συστημάτων». [8] Νίκος Καραμπετάκης, «Εισαγωγή στα Συστήματα Αυτόμα-του Ελέγχου». [9] Παρασκευάς Ν. Παρασκευοπούλου, «Εισαγωγή στον Αυτόματο Έλεγχο, Τόμος Α : Θεωρία», Πρώτη Έκδοση Αθήνα [10] Μιχάλης Σφακιωτάκης, «Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου ΙΙ Διαλέξεις Θεωρίας», Δεκέμβριος [11] Γεώργιος Υ. Φραγκούλης, «Εισαγωγή στο ΜATLAB SIMULINK 55