Εισαγωγή στον Αυτόματο Έλεγχο

Transcript

1 Εισαγωγή στον Αυτόματο Έλεγχο ΣΑΕ Δρ Γ Παπαλάμπρου Επίκουρος Καθηγητής ΕΜΠ Εργαστήριο Ναυτικής Μηχανολογίας (Κτίριο Λ) Σχολή Ναυπηγών Μηχανολόγων Μηχανικών Εθνικό Μετσοβιο Πολυτεχνείο December 9, 2016 Γ Παπαλάμπρου-ΣΑΕ ΣΑΕ

2 Περιεχόμενα Γ Παπαλάμπρου-ΣΑΕ ΣΑΕ

3 Σχεδιασμός Ελεγκτών Ποιός είναι ο στόχος? 1 Χρήση ελεγκτών Χρήση ελεγκτών P, I, D, PI, PID Χρήση ελεγκτών IMC (σήμερα) 2 Ρύθμιση παραμέτρων για ελεγκτές PID Πειραματικές μέθοδοι Ziegler-Nichols Χρήση παραμέτρων IMC (σήμερα) Γ Παπαλάμπρου-ΣΑΕ ΣΑΕ

4 Ελεγκτές IMC Η μέθοδος Internal Model Control (IMC) αναπτύχθηκε από τους Morari, Garcia και Rivera (1982, 1986) 1 Γίνεται η βασική υπόθεση για την ύπαρξη μοντέλου (Internal Model) που περιγράφει ικανοποιητικά την διεργασία και υπολογίζονται αναλυτικά εκφράσεις για τον ελεγκτή Πλεονέκτημα της μεθόδου είναι ότι λαμβάνεται υπόψη με συστηματικό τρόπο η αβεβαιότητα στο μοντέλο Δομικό διάγραμμα για ένα βρόχο ελέγχου με ελεγκτή τύπου IMC φαίνεται στο Σχήμα Ο ελεγκτής IMC περιλαμβάνεται στην σκιασμένη περιοχή 1 M Morari and E Zafiriou, Robust Process Control, Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1989 Γ Παπαλάμπρου-ΣΑΕ ΣΑΕ

5 Ελεγκτές IMC - Αβεβαιότητα στο μοντέλο Αβεβαιότητα (uncertainty) στο μοντέλο θεωρούμε τις διαφορές ανάμεσα στο πραγματικό σύστημα και στο μοντέλο (ή μοντέλα) που χρησιμοποιείται για τον σχεδιασμό του ελεγκτή Η απόκριση συστήματος με αβεβαιότητα σε βηματική είσοδο δίνεται στο Σχήμα Γ Παπαλάμπρου-ΣΑΕ ΣΑΕ

6 Ελεγκτές IMC Σ P Σ ˆP y Q r d ŷ u ˆd = y ŷ Σ Controller System Internal model e Γ Παπαλάμπρου-ΣΑΕ ΣΑΕ

7 Ελεγκτές IMC Ως P θεωρούμε τη συνάρτηση μεταφοράς της εγκατάστασης, ˆP το μοντέλο της εγκατάστασης, d την διαταραχή στην έξοδο y Ο ελεγκτής Q υπολογίζει την τιμή της εισόδου u (μεταβλητή ελέγχου) Στόχος του συστήματος ελέγχου είναι να κρατηθεί η έξοδος y κοντά στην αναφορά r Θεωρούμε ότι η έξοδος y είναι γνωστή με ακρίβεια, δηλ δεν υπάρχει θόρυβος και συνάρτηση μεταφοράς μετρητικής διάταξης Γίνεται χρήση του μοντέλου συστήματος ˆP και της εξόδου u του ελεγκτή για να υπολογισθεί η απόκριση του μοντέλου, ŷ Το σήμα πίσω-ανατροφοδότησης είναι ˆd = y ŷ = (P ˆP)u + d (1) Γ Παπαλάμπρου-ΣΑΕ ΣΑΕ

8 Ελεγκτές IMC Στην περίπτωση που το μοντέλο είναι ακριβές (P = ˆP) και δεν υπάρχει διαταραχή (d = 0), τότε η έξοδος του μοντέλου ŷ και η έξοδος της εγκατάστασης y είναι ίδιες και το σήμα ˆd είναι μηδέν Έτσι το σύστημα είναι ανοιχτού βρόχου στην περίπτωση που δεν υπάρχει αβεβαιότητα μοντέλου (model uncertainty) και άγνωστες είσοδοι d Γ Παπαλάμπρου-ΣΑΕ ΣΑΕ

9 Ελεγκτές IMC Ο ελεγκτής IMC σχεδιάζεται σε δύο βήματα Βήμα 1: Το μοντέλο εγκατάστασης αναλύεται σε παράγοντες ως ˆP = P + P (2) Ο παράγοντας P + περιλαμβάνει καθυστερήσεις (e θs ) και μηδενιστές στο δεξιό ημιεπίπεδο Ο παράγοντας P περιλαμβάνει συνάρτηση που μπορεί να αντιστραφεί Στο βήμα αυτό επιτυγχάνεται η επίδοση με το κανονικό μοντέλο (=Nominal Performance) Γ Παπαλάμπρου-ΣΑΕ ΣΑΕ

10 Ελεγκτές IMC Βήμα 2: Υλοποιείται ο ελεγκτής Q(s) ως Q = 1 P f (3) όπου f είναι βαθυπερατό φίλτρο (low pass filter) Το φίλτρο έχει μορφή f(s) = 1 (λs + 1) n (4) Στο βήμα αυτό επιτυγχάνεται η επίδοση και η ευστάθεια με το μοντέλο που περιέχει αβεβαιόητα (=Robust Performance και Robust Stability) Γ Παπαλάμπρου-ΣΑΕ ΣΑΕ

11 Ελεγκτές IMC Η επιλογή τιμή της παραμέτρου λ του φίλτρου είναι σημαντική Γενικά αυξάνοντας το λ παράγεται συντηρητικός ελεγκτής εφόσον αυξάνει το K c και μειώνεται το T i Για σύστημα FOPTD, στην βιβλιογραφία προτείνονται εναλλακτικά οι εξής περιπτώσεις: λ/θ > 08 και λ > 01τ τ > λ > θ λ = θ Εφαρμόζοντας ελεγκτή IMC σε συστήματα πρώτης και δεύτερης τάξης με καθυστέρηση, προκύπτουν ελεγκτές με δομή όμοια με αυτή των ελεγκτών PI, PID, με αναλυτικές εκφράσεις των τριών παραμέτρων Χρησιμοποιώντας τις αναλυτικές εκφράσεις των παραμέτρων, γίνεται ρύθμιση των παραμέτρων των ελεγκτών PI, PID Γ Παπαλάμπρου-ΣΑΕ ΣΑΕ

12 Καθυστέρηση Σύστημα 1ης τάξης με καθυστέρηση P(s) = Ke t ds τs + 1 Η ύπαρξη καθυστέρησης συναντάται συχνά στις διεργασίες, όπου η μέτρηση της μεταβλητής εξόδου φτάνει καθυστερημένα στο σύστημα επεξεργασίας/ελέγχου Λόγοι καθυστέρησης συνήθως είναι η απόκριση του αισθητήρα ή/και η τοποθεσία του κατάντι από το μέγεθος που μετράει (5) command u measurement y m Liquid A In Liquid B In Valve Pump Pipeline Density Sensor time delay t d Γ Παπαλάμπρου-ΣΑΕ ΣΑΕ

13 Καθυστέρηση (συνέχ) Σε ότι αφορά την μαθηματική απεικόνηση της καθυστέρησης, αυτή περιλαμβάνεται στην διαφορική εξίσωση ως t t d, με t d την καθυστέρηση, οπότε και σε συναρτήσεις μεταφοράς με τον μετασχηματισμό Laplace παριστάνεται ως e t ds command u measurement y m Liquid A In Liquid B In Valve Pump Pipeline Density Sensor time delay t d Γ Παπαλάμπρου-ΣΑΕ ΣΑΕ

14 Απεικόνηση Καθυστέρησης κατά Pade Για να υπάρχει σε συνάρτηση μεταφοράς που περιέχει παράγοντα καθυστέρησης δυνατότητα εκτέλεσης πράξεων, πρέπει να εξαλειφθεί ο παράγοντας αυτός, ως ακολούθως Αντικαθιστούμε τον παράγοντα καθυστέρησης e θs με το ανάπτυγμα του σε σειρά Taylor, κρατώντας μόνο τον όρο 1ης τάξης e θs 1 θ 2 s 1 + θ 2 s (6) Η προσέγγιση της εξ 16 είναι γνωστή ως προσέγγιση παράγοντα καθυστέρησης e θs με παράγοντα Pade 1ης τάξης Γ Παπαλάμπρου-ΣΑΕ ΣΑΕ

15 IMC - Εναλλακτική παράσταση κλασσικού ελέγχου Ο συνδιασμός των Q, ˆP που αποτελούν μέρος του συστήματος ελέγχου σε ένα στοιχείο C, δίνει κλασσικό σύστημα ελέγχου με ανατροφοδότηση, όπου C(s) = Q 1 ˆPQ (7) όπως φαίνεται στο Σχήμα Οι αλλαγές δεν επηρεάζουν τα σήματα u, y Γ Παπαλάμπρου-ΣΑΕ ΣΑΕ

16 Παράδειγμα: IMC για Σύστημα Δεύτερης Τάξης Εφαρμόζεται ελεγκτής IMC σε σύστημα δεύτερης τάξης με καθυστέρηση Το σύστημα έχει συνάρτηση μεταφοράς P(s) = Ο ελεγκτής έχει τη μορφή e 2s s 2 + 2s + 1 (8) Q(s) = (s s + 1) (2s + 1) 2 (9) με φίλτρο δεύτερης τάξης (n = 2), με παράμετρο φίλτρου λ = 2 Γ Παπαλάμπρου-ΣΑΕ ΣΑΕ

17 Παράδειγμα: IMC για Σύστημα Δεύτερης Τάξης Γ Παπαλάμπρου-ΣΑΕ ΣΑΕ

18 Παράδειγμα: IMC για Σύστημα Δεύτερης Τάξης Δίνεται μοναδιαία βηματική είσοδος σε t = 1sec και διαταραχή με μορφή μοναδιαίας βηματικής εισόδου σε t = 40sec Στο ίδιο διάγραμμα φαίνεται επίσης η απόκριση του συστήματος σε λειτουργία ανοιχτού βρόχου Γ Παπαλάμπρου-ΣΑΕ ΣΑΕ

19 Παράδειγμα: IMC για Σύστημα Δεύτερης Τάξης Στον ανοιχτό βρόχο το σύστημα έχει πιο γρήγορη αρχική απόκριση, όμως η διαταραχή παραμένει στο τελικό αποτέλεσμα Με την εφαρμογή του συγκεκριμένου ελεγκτή, το σύστημα αντιμετωπίζει με επιτυχία τη διαταραχή αλλά έχει πιο αργή απόκριση στην αρχή Γ Παπαλάμπρου-ΣΑΕ ΣΑΕ

20 Ρύθμιση Παραμέτρων Ελεγκτών PID Οι ρυθμίσεις παραμέτρων ελεγκτών PID μπορούν να γίνουν με διάφορους τρόπους όπως: Απευθείας σύνθεση (Direct Synthesis-DS), λαμβάνοντας υπόψη τις επιθυμητές προδιαγραφές του τελικού συστήματος Μέθοδος Internal Model Control-IMC, για ελεγκτές τύπου PI, PID Πειραματικές μεθόδους, μετά την εγκατάσταση του ελεγκτή στο σύστημα Είναι ιδιαίτερο πρόβλημα στην περίπτωση που δεν υπάρχει λεπτομερές μοντέλο εγκατάστασης Τότε χρησιμοποιούνται πειραματικές μέθοδοι για την αρχική εκτίμηση παραμέτρων κατευθυντή Τέτοιοι μέθοδοι είναι των Ziegler-Nichols (Z-N), Cohen-Coon (C-C), καθώς και auto-relay Μέθοδος απόκρισης συχνότητας (frequency response) Ρύθμιση σε πραγματικό χρόνο, μετά την εγκατάσταση του συστήματος και κατά την λειτουργία του (self-tuning control) Γ Παπαλάμπρου-ΣΑΕ ΣΑΕ

21 Μέθοδος PID-IMC Με την μέθοδο ρύθμισης PID-IMC προκύπτουν παράμετροι για ελεγκτές PI, PID για διάφορες συναρτήσεις μεταφοράς συστημάτων Οι επόμενοι πίνακες (μέρος 1, 2) δείχνουν τις διάφορες τιμές παραμέτρων ελεγκτών PI, PID με βάση τον ελεγκτή τύπου IMC Το σύστημα περιγράφεται με το μοντέλο, για περιπτώσεις Α-Η και Ι-Ο Έχει εκλεγεί φίλτρο τάξης n = 1 Η σταθερά χρόνου του φίλτρου τ c είναι παράμετρος σχεδιασμού Γ Παπαλάμπρου-ΣΑΕ ΣΑΕ

22 Μέθοδος PID-IMC: Τιμές ρύθμισης PID 1/2 Γ Παπαλάμπρου-ΣΑΕ ΣΑΕ

23 Μέθοδος PID-IMC: Τιμές ρύθμισης PID 2/2 Γ Παπαλάμπρου-ΣΑΕ ΣΑΕ

24 Άσκηση 1- PID-IMC Δίνεται σύστημα αποθήκευσης υγρού που περιγράφεται ως σύστημα ολοκληρωτή με καθυστέρηση G(s) = Ke θs s (10) όπου K το κέρδος και θ η καθυστέρηση Οι τιμές των παραμέτρων είναι: K = 02, θ = 74 sec, με τιμή παραμέτρου του φίλτρου IMC τ c = 8 και τ c = 15 Γ Παπαλάμπρου-ΣΑΕ ΣΑΕ

25 Άσκηση 1- PID-IMC Ζητείται: 1 Να υπολογιστούν οι ελεγκτές τύπου PI IMC, PID IMC, με ρύθμιση παραμέτρων IMC 2 Να γίνει προσομείωση των ελεγκτών PI IMC, PID IMC σε μοναδιαία βηματική αλλαγή α) σημείου αναφοράς και β) διαταραχής, εάν θεωρήσουμε ότι G d = G Γ Παπαλάμπρου-ΣΑΕ ΣΑΕ

26 Άσκηση 1- PID-IMC στο Simulink Το σύστημα και η διαταραχή σε ανοικτό βρόχο Γ Παπαλάμπρου-ΣΑΕ ΣΑΕ

27 Άσκηση 1- PID-IMC Λύση: 1 Η συνάρτηση μεταφοράς του ελεγκτή PID είναι G c (s) = K C (1 + 1 τ i s + τ D s) (11) 2 Για τον υπολογισμό παραμέτρων ελεγκτών χρησιμοποιείται ο πίνακας 2 Έτσι για τους PI IMC, PID IMC επιλέγονται αντίστοιχα οι περιπτώσεις Μ, Ν 3 Η περίπτωση Μ δίνει για τον PI IMC τις τιμές K c = 2τc+θ (τ c +θ) 2, τ i = 2τ c + θ 4 Έτσι για τ c = 8 έχουμε K C = 0493, τ i = 234 και για τ c = 15 έχουμε K p = 0373, τ I = 374 Γ Παπαλάμπρου-ΣΑΕ ΣΑΕ

28 Άσκηση 1- PID-IMC 1 Η περίπτωση Ν δίνει για τον PID IMC τις τιμές K C = 2τ c+θ (τ c, τ +θ/2) 2 i = 2τ c + θ, τ D = τ cθ+θ 2 /4 2τ c+θ 2 Έτσι για τ c = 8 έχουμε K C = 0857, τ I = 234, τ D = 312 και 3 για τ c = 15 έχουμε K C = 0535, τ I = 374, τ D = 333 Γ Παπαλάμπρου-ΣΑΕ ΣΑΕ

29 Άσκηση 1- PID-IMC Παρουσιάζονται οι αποκρίσεις ελεγκτών PI IMC, PID IMC για τ C = 8 Δίνεται μοναδιαία βηματική αλλαγή α) σημείου αναφοράς σε χρόνο t = 0 και β) διαταραχής σε χρόνο t = 150s, θεωρώντας G d = G Γ Παπαλάμπρου-ΣΑΕ ΣΑΕ

30 Άσκηση 1- PID-IMC Αποκρίσεις ελεγκτών PI IMC, PID IMC για τ C = 15 Γ Παπαλάμπρου-ΣΑΕ ΣΑΕ

31 Άσκηση 1- PID-IMC Συμπεράσματα: Παρατηρούμε ότι ο ελεγκτής με τ c = 15 δίνει πιό αργή και λιγώτερο ταλαντωτική απόκριση Επίσης η υπερακόντιση είναι μικρότερη για αλλαγή στο σημείο αναφοράς και η μέγιστη απόκλιση είναι μεγαλύτερη μετά την διαταραχή Ο ελεγκτής PID IMC έχει καλύτερη απόκριση στη διαταραχή, εφόσον είναι μικρότερη η μέγιστη απόκλιση Επιπλέον, ο ελεγκτής PID IMC έχει μικρό χρόνο αποκατάστασης για τ c = 8, έχοντας έτσι την καλύτερη απόδοση από τους 5 ελεγκτές που συγκρίθηκαν Γ Παπαλάμπρου-ΣΑΕ ΣΑΕ

32 Άσκηση 1- PID-IMC στο Simulink Γ Παπαλάμπρου-ΣΑΕ ΣΑΕ

33 Άσκηση 2-Σχεδιασμός ελεγκτή IMC εναλλάκτη Εξετάζεται σύστημα ελέγχου θερμοκρασίας νερού σε εναλλάκτη αντιρροής (heat exchanger), με ατμό Η παροχή ατμού γίνεται μέσω ρυθμιστικής αναλογικής βαλβίδας και η θερμοκρασία του εξερχόμενου νερού μετριέται με αισθητήριο θερμοκρασίας Ο Η/Υ ελέγχου μεταβάλει τη θέση της ρυθμιστικής βαλβίδας ώστε να διατηρεί το εξερχόμενο νερό την θερμοκασία του στην τιμή αναφοράς Controller e Control computer Σ Tref D/A A/D command u Sensor Measurement Steam In Valve Actuator Water Out Heat Exchanger Water In Steam Out System Γ Παπαλάμπρου-ΣΑΕ ΣΑΕ

34 Άσκηση 2-Σχεδιασμός ελεγκτή IMC εναλλάκτη Controller e Control computer Σ T ref D/A A/D command u Sensor Measurement Steam In Valve Actuator Water Out Heat Exchanger Water In Steam Out System Γ Παπαλάμπρου-ΣΑΕ ΣΑΕ

35 Άσκηση 2-Σχεδιασμός ελεγκτή IMC εναλλάκτη Γ Παπαλάμπρου-ΣΑΕ ΣΑΕ

36 Άσκηση 2-Σχεδιασμός ελεγκτή IMC εναλλάκτη Γ Παπαλάμπρου-ΣΑΕ ΣΑΕ

37 Άσκηση 2- PID-IMC Στο Σχήμα φαίνεται η απόκριση συστήματος ανοιχτού βρόχου σε μοναδιαία βηματική είσοδο, όπως μετρήθηκε πειραματικά Γ Παπαλάμπρου-ΣΑΕ ΣΑΕ

38 Άσκηση 2- PID-IMC Ζητείται: α) να σχεδιαστεί ελεγκτής IMC για έλεγχο της θερμοκρασίας, β) να συγκριθούν ελεγκτές IMC, PID_IMC, classical Θα γίνουν οι ακόλουθες ενέργειες: Για τον υπολογισμό ελεγκτή IMC, απαιτείται η ύπαρξη κατάλληλου μοντέλου της διεργασίας Έτσι κατ αρχήν θα εκτιμηθεί το μοντέλο του συστήματος Κατόπιν θα υπολογιστούν οι παράμετροι ελεγκτή IMC και θα υλοποιηθεί η διάταξη ελέγχου Τέλος, για σύγκριση θα υπολογιστεί επίσης κλασσικός ελεγκτής Η επίδοση των ελεγκτών θα αξιολογηθεί με εισαγωγή αλλαγών στις τιμές αναφοράς καθώς και στην εξωτερική διέγερση Γ Παπαλάμπρου-ΣΑΕ ΣΑΕ

39 Άσκηση 2- PID-IMC Η διατύπωση μοντέλου μιας διεργασίας από την πειραματική καμπύλη απόκρισης είναι γνωστή ως μέθοδος καμπύλης απόκρισης (process reaction curve method) Παρατηρώντας την πειραματική καμπύλη απόκρισης του συστήματος θεωρούμε ότι το σύστημα περιγράφεται επαρκώς από συνάρτηση μεταφοράς P πρώτης τάξης με καθυστέρηση (First Order Plus Time Delay-FOPTD), με μορφή P(s) = y(s) u(s) = K e θs τ s + 1 (12) Οι παράμετροι K, θ, τ προσδιορίζονται με γραφικό τρόπο Γ Παπαλάμπρου-ΣΑΕ ΣΑΕ

40 Άσκηση 2- PID-IMC Το κέρδος Κ στην μόνιμη κατάσταση υπολογίζεται ως K = Y u = 35 0 = 35 (13) 1 0 Η καθυστέρηση ευρίσκεται απο την καμπύλη ως θ = 3 sec Η σταθερά χρόνου τ αντιστοιχεί σε απόκριση ίση με το 632% της τελικής τιμής στην μόνιμη κατάσταση, δηλ y 632 = = 2212 Έτσι τ = 13 3 = 10 sec Ο χρόνος για να φτάσει το σύστημα στην μόνιμη κατάσταση αντιστοιχεί σε περίπου 4τ Το σύστημα τελικά προκύπτει ως P = 35 e 3s 10 s + 1 (14) Γ Παπαλάμπρου-ΣΑΕ ΣΑΕ

41 Άσκηση 2- PID-IMC Υπολογίζεται ελεγκτής IMC ως ακολούθως Q(s) = ˆP 1 f = 10s (15) 35 2s + 1 όπου η παράμετρος του φίλτρου είναι λ = 2, για n = 1 Στο Σχήμα φαίνεται η απόκριση συστήματος κλειστού βρόχου σε βηματική είσοδο αναφοράς στην θερμοκρασία, από 40 0 C σε 35 0 C Παράμετρος είναι το τ c Γ Παπαλάμπρου-ΣΑΕ ΣΑΕ

42 Άσκηση 2- PID-IMC Στο Σχήμα φαίνεται η απόκριση συστήματος κλειστού βρόχου σε διαταραχή στη θερμοκρασία με σταθερή είσοδο αναφοράς στους 35 0 C Παράμετρος είναι το τ c Γ Παπαλάμπρου-ΣΑΕ ΣΑΕ

43 Άσκηση 2- PID-IMC Τέλος στο Σχήμα 43 φαίνεται η απόκριση συστήματος κλειστού βρόχου σε διαταραχή στη θερμοκρασία με σταθερή είσοδο αναφοράς στους 35 0 C, με χρήση ελεγκτων IMC, PID_IMC Γ Παπαλάμπρου-ΣΑΕ ΣΑΕ

44 Άσκηση 2- PID-IMC Για να υπολογιστεί ένας ισοδύναμος κλασσικός ελεγκτής C γίνονται τα ακόλουθα Ο συνδιασμός των Q, ˆP που αποτελούν μέρος του συστήματος ελέγχου σε ένα στοιχείο C, δίνει κλασσικό σύστημα ελέγχου με ανατροφοδότηση, όπου C(s) = Σχήμα 15 Q 1 ˆPQ, Πρώτα αντικαθιστούμε τον παράγοντα καθυστέρησης e θs με κατάλληλη συνάρτηση μεταφοράς (βλέπε ένθετο Προσέγγιση Pade ) Γ Παπαλάμπρου-ΣΑΕ ΣΑΕ

45 Άσκηση 2- PID-IMC - Προσέγγιση Pade Για να υπάρχει σε συνάρτηση μεταφοράς που περιέχει παράγοντα καθυστέρησης δυνατότητα εκτέλεσης πράξεων, πρέπει να εξαλειφθεί ο παράγοντας αυτός, ως ακολούθως Αντικαθιστούμε τον παράγοντα καθυστέρησης e θs με το ανάπτυγμα του σε σειρά Taylor, κρατώντας μόνο τον όρο 1ης τάξης e θs 1 θ 2 s 1 + θ 2 s (16) Η προσέγγιση της εξ 16 είναι γνωστή ως προσέγγιση παράγοντα καθυστέρησης e θs με παράγοντα Pade 1ης τάξης Γ Παπαλάμπρου-ΣΑΕ ΣΑΕ

46 Άσκηση 2- PID-IMC Στην περίπτωση του εναλλάκτη, η παραπάνω προσέγγιση Pade δίνει e θs 1 θ 2 s 1 + θ 2 s = s s (17) Έτσι η συνάρτηση του συστήματος P γίνεται P(s) = 35 10s + 1 Κατόπιν υπολογίζεται ο κλασσικός ελεγκτής ως s s (18) C = Q 1 PQ = 15s s s s (19) Γ Παπαλάμπρου-ΣΑΕ ΣΑΕ

47 Άσκηση 2- PID-IMC Απόκριση συστήματος κλειστού βρόχου σε αλλαγή στην είσοδο αναφοράς, με χρήση ελεγκτων IMC, PID_IMC, classic φαίνεται στο Σχήμα Όπως διαπιστώνεται, οι αποκρίσεις των IMC, classic είναι παρόμοιες, όχι όμως και του PID Γ Παπαλάμπρου-ΣΑΕ ΣΑΕ

48 Άσκηση 2- PID-IMC Γ Παπαλάμπρου-ΣΑΕ ΣΑΕ

49 Άσκηση 2- PID-IMC Γ Παπαλάμπρου-ΣΑΕ ΣΑΕ