Βαθμονόμηση PID Ρυθμιστών

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Βαθμονόμηση PID Ρυθμιστών"

Transcript

1 Βαθμονόμηση PID Ρυθμιστών Η βαθμονόμηση του ρυθμιστή επηρεάζει σε μεγάλο βαθμό την ευστάθεια του συστήματος κλειστού βρόχου. Για τα περισσότερα προβλήματα ρύθμισης, το σύστημα κλειστού βρόχου είναι ευσταθές για μεγάλο εύρος τιμών βαθμονόμησης του ρυθμιστή. Κατά συνέπεια, υπάρχει η δυνατότητα επιλογής κατάλληλων τιμών των παραμέτρων του ρυθμιστή, ώστε να επιτυγχάνεται η επιθυμητή απόδοση του συστήματος ρύθμισης. Η σημασία της βαθμονόμησης του ρυθμιστή γίνεται εμφανής, αν θεωρήσουμε το σύστημα κλειστού βρόχου που αποτελείται από το μοντέλο πρώτης τάξης με νεκρό 1 4s χρόνο Gs () e και PI ρυθμιστή. Τα αποτελέσματα που περιλαμβάνονται 20s 1 στο Σχήμα 1 παρουσιάζουν την απόκριση του συστήματος στην περίπτωση που δίνεται μοναδιαία βηματική επιβολή στη διαταραχή. Συγκεκριμένα μελετώνται εννέα συνδυασμοί της ενίσχυσης K και του χρόνου μετενεργοποίησης τ I. Όσο αυξάνεται το K ή μειώνεται το τ I η απόκριση στην βηματική διαταραχή γίνεται πιο απότομη. Η απόκριση που αντιστοιχεί στο ρυθμιστή 1 είναι ασταθής, ενώ η καλύτερη απόκριση αντιστοιχεί στο ρυθμιστή 5. Στη συνέχεια θα παρουσιαστούν ποικίλες μέθοδοι σχεδιασμού ρυθμιστών και σχέσεις για την βαθμονόμηση PID ρυθμιστών βασισμένες σε μοντέλα συναρτήσεων μεταφοράς και κριτήρια που έχουν σχέση με τη δυναμική απόκριση. Σχ. 1 Αποκρίσεις σε μοναδιαίες βηματικές μεταβολές για τους υποψήφιους ρυθμιστές (μοντέλο πρώτης τάξης με καθυστέρηση : Κ 1, θ 4, τ 20).

2 1. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΚΑΛΗΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΓΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΒΡΟΧΟΥ Ο στόχος της χρησιμοποίησης ενός συστήματος ρύθμισης με ανατροφοδότηση είναι να διασφαλίσει ότι το σύστημα κλειστού βρόχου έχει την επιθυμητή δυναμική συμπεριφορά (απόκριση του συστήματος ως συνάρτηση του χρόνου) αλλά και καλή στατική συμπεριφορά. Στην ιδανική περίπτωση, θα θέλαμε το σύστημα κλειστού βρόχου να ικανοποιεί τα ακόλουθα κριτήρια απόδοσης: Α. Ευστάθεια του συστήματος κλειστού βρόχου. Β. Ελαχιστοποίηση των συνεπειών των διαταραχών (απόρριψη διαταραχών). Γ. Επίτευξη γρήγορων και ομαλών αποκρίσεων στις αλλαγές της επιθυμητής τιμής της ρυθμιζόμενης μεταβλητής (παρακολούθηση της επιθυμητής τιμής). Δ. Μηδενικό σφάλμα σε μόνιμη κατάσταση. Ε. Αποφυγή υπερβολικών και απότομων ρυθμιστικών κινήσεων ΣΤ. Ευρωστία, δηλαδή το σύστημα κλειστού βρόχου δεν πρέπει να είναι ευαίσθητο σε αλλαγές των συνθηκών της διεργασίας και σε σφάλματα του μοντέλου της διεργασίας. Σε συνηθισμένες εφαρμογές ρύθμισης, δεν είναι δυνατό να επιτυγχάνονται όλοι οι στόχοι ταυτόχρονα, γιατί κάποιοι στόχοι είναι αντικρουόμενοι. Πρέπει όμως να επιτυγχάνεται ισορροπία ανάμεσα σε δύο σημαντικούς στόχους, την απόδοση και την ευρωστία. Ένα σύστημα ρύθμισης παρουσιάζει ικανοποιητικό βαθμό απόδοσης αν παρέχει γρήγορη και ομαλή απόκριση σε αλλαγές της επιθυμητής τιμής και των διαταραχών με μικρή ή και καθόλου ταλάντωση. Ένα σύστημα ρύθμισης είναι εύρωστο αν παρέχει ικανοποιητική απόδοση για μια μεγάλη κλίμακα συνθηκών της διεργασίας και στην συνηθισμένη περίπτωση παρουσίας σφαλμάτων στο μοντέλο της διεργασίας. Η ευρωστία μπορεί να επιτευχθεί επιλέγοντας μια συντηρητική βαθμονόμηση του ρυθμιστή (τυπικά, μικρές τιμές του K και μεγάλες τιμές του τ I ), αλλά αυτή η επιλογή τείνει να οδηγεί σε χαμηλά επίπεδα απόδοσης. Έτσι οι συντηρητικές ρυθμιστικές κινήσεις του ρυθμιστή θυσιάζουν μέρος της καλής απόδοσης ώστε να επιτύχουν τη ζητούμενη ευρωστία. Για τους PID ρυθμιστές πρέπει να επιτευχθεί και ένα άλλο είδος ισορροπίας που έχει να κάνει με το γεγονός ότι οι ρυθμίσεις που επιτυγχάνουν άριστη απόρριψη των διαταραχών ενδέχεται να παράγουν μεγάλες διακυμάνσεις σε αλλαγές της επιθυμητής τιμής. Από την άλλη, αν οι παράμετροι του ρυθμιστή έχουν επιλεγεί με τρόπο που να παρέχουν άριστη παρακολούθηση της επιθυμητής τιμής, οι αποκρίσεις στις διαταραχές μπορεί να είναι αργές. Έτσι, για τους PID ρυθμιστές υπάρχει ένας συμβιβασμός μεταξύ καλύτερης παρακολούθησης της επιθυμητής τιμής και καλύτερης απόρριψης των διαταραχών. Ευτυχώς αυτός ο συμβιβασμός μπορεί να αποφευχθεί χρησιμοποιώντας ρυθμιστή με δυο βαθμούς ελευθερίας, όπως θα εξηγηθεί στη συνέχεια. Η βαθμονόμηση ενός PID ρυθμιστή μπορούν να γίνει με μια σειρά από εναλλακτικές τεχνικές: 1. Μέθοδο Άμεσης Σύνθεσης (Diret Synthesis, DS) 2. Μέθοδο Ρύθμισης Εσωτερικού Μοντέλου (Internal Model Control, IMC) 3. Σχέσεις Βαθμονόμησης Ρυθμιστή

3 4. Βαθμονόμηση σε πραγματικό χρόνο μετά την εγκατάσταση του συστήματος ρύθμισης Οι μέθοδοι 1-3 μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να προσδιορίσουν τις παραμέτρους του ρυθμιστή πριν εγκατασταθεί το σύστημα ρύθμισης, επειδή βασίζονται στο μοντέλο της διεργασίας. Ωστόσο, για σημαντικούς βρόχους ρύθμισης, η αρχική βαθμονόμηση του ρυθμιστή συχνά αναπροσαρμόζεται μετά την εγκατάσταση του συστήματος ρύθμισης. Κατά συνέπεια, ο στόχος των Μεθόδων 1-3 είναι να παρέχουν μια καλή αρχική βαθμονόμηση του ρυθμιστή, η οποία να μπορεί στη συνέχεια να διορθωθεί, αν αυτό κριθεί απαραίτητο, μετά την σύνδεση του ρυθμιστή. Η υπολογιστική προσομοίωση των ρυθμιζόμενων διεργασιών μπορεί να προσφέρει σημαντική γνώση για την δυναμική συμπεριφορά και την απόδοση του συστήματος ρύθμισης. Ειδικότερα, λογισμικό όπως το MatLab και το Simulink διευκολύνει την σύγκριση εναλλακτικών στρατηγικών βαθμονόμησης και διαφορετικών βαθμονομήσεων του ρυθμιστή. 2. ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΜΕΣΗΣ ΣΥΝΘΕΣΗΣ Στην μέθοδο της άμεσης σύνθεσης (DS), ο σχεδιασμός του ρυθμιστή βασίζεται σε ένα μοντέλο της διεργασίας και μια επιθυμητή συνάρτηση μεταφοράς κλειστού βρόχου. Η τελευταία είναι συνήθως η συνάρτηση μεταφοράς ανάμεσα στην επιθυμητή τιμή και τη ρυθμιζόμενη μεταβλητή, αλλά μπορούν να χρησιμοποιηθούν επίσης και συναρτήσεις μεταφοράς ανάμεσα στις διαταραχές και τη ρυθμιζόμενη μεταβλητή. Η προσέγγιση της άμεσης σύνθεσης παρέχει χρήσιμη γνώση για τη σχέση μεταξύ του μοντέλου της διεργασίας και του ρυθμιστή που προκύπτει. Παρόλο που αυτοί οι ρυθμιστές με ανατροφοδότηση δεν έχουν πάντα δομή PID, η μέθοδος DS παράγει PI και PID ρυθμιστές για συνηθισμένα μοντέλα διεργασιών, όπως θα δούμε στη συνέχεια. Ως σημείο εκκίνησης για την ανάλυση θεωρούμε το διάγραμμα βαθμίδων του Σχήματος 2. D G d Y d Ysp K m Y sp E P U G G u G p Y u Y Y m G m Σχήμα 2. Διάγραμμα βαθμίδων για πρότυπο σύστημα ρύθμισης με ανατροφοδότηση Η συνάρτηση μεταφοράς κλειστού βρόχου για αλλαγές της επιθυμητής τιμής είναι η εξής:

4 Y Y KGGG m u p 1 G G G Gm sp u p (1) Για απλούστευση, θεωρούμε GGG και θεωρούμε ότι G K.Έτσι η εξίσωση 2 απλοποιείται στην G u p m m m Y Y sp GG (2) 1 G G (Για λόγους απλότητας χρησιμοποιούμε τα σύμβολα G και G για να υποδηλώσουμε τα G(s) και G (s).) Ανακατατάσσοντας και λύνοντας ως προς ρυθμιστή με ανατροφοδότηση: G προκύπτει μια έκφραση για τον 1 Y / Ysp G G 1 Y / Y sp (3) Η εξίσωση (3) δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για σχεδιασμό ρυθμιστή γιατί η συνάρτηση μεταφοράς κλειστού βρόχου Y / Y δεν είναι γνωστή εκ των προτέρων. Επίσης είναι χρήσιμο να γίνεται διαχωρισμός μεταξύ της πραγματικής διεργασίας G και του μοντέλου, G, που παρέχει μια προσέγγιση της συμπεριφοράς της διεργασίας. Μια πρακτική εξίσωση σχεδιασμού μπορεί να προκύψει αντικαθιστώντας το άγνωστο G με το G κ αι το Y / Ysp μ ε μια επιθυμητή συνάρτηση μεταφοράς κλειστού βρόχου, (Y / Y ) d : sp sp G 1 ( Y / Y ) sp d G 1 ( Y / Ysp) d (4) Ο καθορισμός του ( Y / Ysp) dείναι το πιο σημαντικό μέρος της μεθοδολογίας και εξετάζεται στη συνέχεια. Στην ιδανική περίπτωση θα είχαμε ( Y / Y sp) d 1 έτσι ώστε η ρυθμιζόμενη μεταβλητή να ακολουθεί τις μεταβολές της επιθυμητής τιμής αυτομάτως και χωρίς σφάλμα. Ωστόσο, αυτή η ιδανική περίπτωση, που ονομάζεται τέλεια ρύθμιση, δεν μπορεί να επιτευχθεί με ρύθμιση με ανατροφοδότηση (ο παρονομαστής της συνάρτησης μεταφοράς που αντιστοιχεί στο ρυθμιστή μηδενίζεται και άρα απαιτείται άπειρη ενέργεια για τη ρύθμιση του συστήματος). Για διεργασίες χωρίς χρονικές καθυστερήσεις, μια πιο λογική επιλογή είναι ένα μοντέλο πρώτης τάξης όπως φαίνεται στην παρακάτω εξίσωση: Y 1 Y sp τs 1 d (5)

5 όπου τ είναι η επιθυμητή σταθερά χρόνου του συστήματος κλειστού βρόχου. Αυτό το μοντέλο έχει χρόνο απόκρισης 4 τ. Δεν υπάρχει σφάλμα σε μόνιμη κατάσταση επειδή η ενίσχυση στην σταθερή κατάσταση είναι η μονάδα. Αντικαθιστώντας την (5) στην (4) και λύνοντας ως προς G, η συνάρτηση μεταφοράς του ρυθμιστή γίνεται: G 1 1 G τ s (6) Ο όρος 1/τ παρέχει ολοκληρωτική ρυθμιστική δράση και έτσι εξαλείφεται η απόκλιση από την επιθυμητή τιμή. Η παράμετρος σχεδιασμού τ προσφέρει μια εύχρηστη παράμετρο βαθμονόμησης του ρυθμιστή, που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να κάνει τον ρυθμιστή πιο επιθετικό (μικρό τ ) ή λιγότερο επιθετικό (μεγάλα τ ). Αν η συνάρτηση μεταφοράς της διεργασίας περιέχει μια γνωστή χρονική υστέρηση θ, μια λογική επιλογή για την επιθυμητή συνάρτηση μεταφοράς του κλειστού βρόχου είναι θs Y e Y sp τs 1 d (7) Ο όρος της χρονικής υστέρησης στην (7) είναι απαραίτητος γιατί είναι αδύνατον για την ρυθμιζόμενη μεταβλητή να ανταποκρίνεται στις αλλαγές της επιθυμητής τιμής σε t 0, πριν t θ. Αν η χρονική υστέρηση δεν είναι γνωστή, το θ θα πρέπει να αντικαθίσταται με μια εκτίμηση. Ο συνδυασμός των εξισώσεων (7) και (4) δίνει: G 1 G θs e τ s 1 e θs (8) Παρόλο που ο ρυθμιστής αυτός δεν είναι σε πρότυπη μορφή PID, είναι δυνατόν να κατασκευαστεί. Ορισμένες φορές, στην εξίσωση (7) αντί για το τ χρησιμοποιείται το σύμβολο λ και η μέθοδος της Άμεσης Σύνθεσης αναφέρεται ως η μέθοδος βαθμονόμησης λάμδα. Στην συνέχεια δείχνουμε ότι η συνάρτηση μεταφοράς (8) μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να παραχθούν ρυθμιστές PID για απλά μοντέλα διεργασιών. Χρησιμοποιώντας τους πρώτους όρους της σειράς Taylor: θs e 1 θs (9) για να προσεγγίσουμε την χρονική υστέρηση στον παρανομαστή της (8), προκύπτει: G θs 1 e G (τ θ ) s (10) Να σημειωθεί ότι και αυτός ο ρυθμιστής περιέχει ολοκληρωτική ρυθμιστική δράση.

6 Οι προσεγγίσεις της χρονικής υστέρησης είναι λιγότερο ακριβείς όταν η χρονική υστέρηση είναι σχετικά μεγάλη συγκρινόμενη με την σταθερά χρόνου της διεργασίας. Να σημειωθεί ότι δεν είναι απαραίτητο να προσεγγιστεί η χρονική υστέρηση στον αριθμητή γιατί απαλείφεται από τον ίδιο όρο στο G, όταν η χρονική υστέρηση είναι γνωστή με ακρίβεια. Στη συνέχεια, παράγουμε ρυθμιστές για δύο σημαντικά μοντέλα διεργασιών. Για κάθε ρυθμιστή θεωρούμε ότι το μοντέλο είναι τέλειο (G G ). Μοντέλο πρώτης τάξης με χρονική υστέρηση Θεωρήστε το μοντέλο πρώτης τάξης με χρονική υστέρηση, θs Ke Gs () τs 1 (11) Αντικαθιστώντας την εξίσωση (11) στην εξίσωση (10) παράγεται ένας PI ρυθμιστής, G K (1 1/ τ s), με τις ακόλουθες τιμές παραμέτρων: I K 1 τ, τi τ (12) K θτ Η ενίσχυση του ρυθμιστή Κ είναι αντιστρόφως ανάλογη της ενίσχυσης του μοντέλου Κ. Ειδικότερα αν το γινόμενο Κ Κ παραμένει σταθερό, η χαρακτηριστική εξίσωση και τα χαρακτηριστικά ευστάθειας του συστήματος κλειστού βρόχου παραμένουν σταθερά. Επίσης είναι λογικό ότι τ Ι τ γιατί οι αργές διεργασίες έχουν μεγάλες τιμές για το τ και έτσι το τ Ι θα πρέπει να είναι επίσης μεγάλο για ικανοποιητική ρύθμιση. Όσο το τ μειώνεται, το Κ αυξάνεται γιατί μια πιο γρήγορη απόκριση στην επιθυμητή τιμή απαιτεί πιο έντονη ρυθμιστική δράση και επομένως μια μεγαλύτερη τιμή για το Κ. Η χρονική υστέρηση θ θέτει ένα άνω όριο στο Κ, ακόμα και για την κατάσταση όπου τ 0. Αντίθετα το Κ δεν περιορίζεται όταν θ 0 και τ 0. Μοντέλο δεύτερης τάξης βαθμού με χρονική υστέρηση Θεωρούμε το παρακάτω μοντέλο δεύτερης τάξης βαθμού με χρονική υστέρηση, θs Ke Gs () (τ s 1)(τ s 1) (13) 1 2 Αντικαθιστώντας την εξίσωση (13) στην εξίσωση (10) παράγεται ένας PID ρυθμιστής σε παράλληλη μορφή, όπου 1 G K(1 τ Ds) (14) τ s I

7 K 1 τ τ τ τ, τ τ τ, τ I 1 2 D K τ θ τ1 τ2 (15) Οι σχέσεις βαθμονόμησης του ρυθμιστή στην εξίσωση (15) υποδηλώνουν ότι για μεγάλες τιμές του θ, το Κ μειώνεται αλλά τα τ Ι και τ D δεν μεταβάλλονται. Και σε αυτή την περίπτωση, η χρονική υστέρηση θέτει ένα πάνω όριο στο Κ όταν τ 0. Οι παράμετροι του ρυθμιστή στις εξισώσεις (12) και (15) γίνονται πιο συντηρητικές (μικρότερα Κ ) όταν το τ αυξάνεται. Αν το θ είναι συγκριτικά μεγάλο (για παράδειγμα, θ/τ 1 > 0.5), είναι σκόπιμη μια συντηρητική επιλογή του τ επειδή οι εξισώσεις σχεδιασμού του ρυθμιστή βασίζονται στην προσέγγιση της υστέρησης χρόνου της εξίσωσης (9). ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 Χρησιμοποιήστε την μέθοδο σχεδιασμού DS για να υπολογίσετε τις παραμέτρους του PID ρυθμιστή για τη διεργασία: 2s 2e Gs () (10s 1)(5s 1) Θεωρείστε τρεις τιμές για την επιθυμητή τιμή της σταθεράς χρόνου του κλειστού βρόχου: τ 1, 3 και 10. Αξιολογήστε τον ρυθμιστή για βηματικές επιβολές στην επιθυμητή τιμή και την διαταραχή, υποθέτοντας ότι G d G. Επαναλάβετε την αξιολόγηση για τις δυο περιπτώσεις: (α) Το μοντέλο της διεργασίας είναι τέλειοg G. (β) Η ενίσχυση του μοντέλου είναι λανθασμένη, πραγματική τιμή Κ 2. Έτσι, K 0.9, αντί για την 2s 0.9e Gs () (10s 1)(5s 1) ΛΥΣΗ. Οι παράμετροι του ρυθμιστή για αυτό το παράδειγμα είναι τ 1 τ 3 τ 10 K ( 2 K ) K ( 0.9 K ) τ I τ D Οι τιμές του Κ μειώνονται όσο το τ αυξάνεται, αλλά οι τιμές των τ I και τ D δεν μεταβάλλονται, όπως φαίνεται στην εξίσωση (15). Τα Σχήματα 3 και 4 συγκρίνουν τις αποκρίσεις του κλειστού βρόχου για τους τρεις ρυθμιστές DS. Όσο το τ αυξάνεται, οι αποκρίσεις αναπτύσσονται πιο αργά και η μέγιστη απόκλιση είναι μεγαλύτερη αφού προκληθεί η διαταραχή το χρόνο t 80.

8 Σχήμα 3 Αποτελέσματα προσομοίωσης (α): σωστή ενίσχυση μοντέλου. Σχήμα 4 Αποτελέσματα προσομοίωσης (β) : λανθασμένη ενίσχυση μοντέλου. Για την περίπτωση (β), όταν η ενίσχυση του μοντέλου είναι 0.9, περίπου 50% πιο χαμηλή, η απόκριση του κλειστού βρόχου για τ 1 στο Σχήμα 4 παρουσιάζει υπερβολική ταλάντωση και θα γινόταν ακόμα και ασταθής αν είχαμε θεωρήσει K 0.8. Οι αποκρίσεις της διαταραχής για τ 3 και τ 10 στο Σχήμα 4 είναι ουσιαστικά καλύτερες από τις αντίστοιχες αποκρίσεις στο Σχήμα 3 γιατί οι πρώτες έχουν μικρότερο χρόνο απόκρισης και μικρότερες τυπικές αποκλίσεις. Αυτή η βελτίωση οφείλεται στις μεγαλύτερες τιμές για το Κ στην περίπτωση (β). Οι προδιαγραφές της επιθυμητής συνάρτησης μεταφοράς κλειστού βρόχου, (Y/Y sp ) d, πρέπει να βασίζονται στο μοντέλο της διεργασίας που έχουμε θεωρήσει, όπως επίσης και στην επιθυμητή απόκριση στην επιθυμητή τιμή. Το μοντέλο στην εξίσωση (7) είναι μια λογική επιλογή για πολλές διεργασίες αλλά όχι όλες. Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι το μοντέλο της διεργασίας περιέχει μια μηδενική θέση στο δεξιό ημιεπίπεδο που δηλώνεται από το (1-τ a s) όπου τ a >0. Τότε αν επιλεχθεί η εξίσωση (7), ο ρυθμιστής DS θα έχει τον όρο (1-τ a s) στον παρανομαστή του και έτσι θα είναι ασταθής. Αυτό το πρόβλημα μπορεί να αποφευχθεί αντικαθιστώντας την (7) με την εξίσωση (16):

9 Y (1 τ ase ) Y sp τs 1 d θs (16) Η προσέγγιση DS δεν πρέπει να χρησιμοποιείται απευθείας για μοντέλα διεργασιών με ασταθείς πόλους. Ωστόσο μπορεί να εφαρμοστεί αν το μοντέλο σταθεροποιηθεί πρώτα με έναν επιπλέον ρυθμιστικό βρόχο ανατροφοδότησης. 3. ΡΥΘΜΙΣΤΗΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ (INTERNAL MODEL CONTROL, IMC) Από τον Morari και τους συνεργάτες του, αναπτύχθηκε μια εναλλακτική μέθοδος σχεδιασμού, γνωστή ως Ρύθμιση Εσωτερικού Μοντέλου (Internal Model Control, IMC), που βασίζεται στο μοντέλο της διεργασίας. Η μέθοδος IMC, όπως και μέθοδος DS, βασίζεται στο μοντέλο της διεργασίας που έχουμε αρχικά υποθέσει και οδηγεί σε αναλυτικές σχέσεις για τις παραμέτρους του ρυθμιστή. Ωστόσο, η προσέγγιση IMC έχει το πλεονέκτημα ότι επιτρέπει να μελετηθεί με πιο συστηματικό τρόπο η αβεβαιότητα στο μοντέλο και η ισορροπία ανάμεσα στην απόδοση και την ευρωστία του συστήματος κλειστού βρόχου. Η μέθοδος IMC βασίζεται στο απλοποιημένο διάγραμμα βαθμίδων που εικονίζεται στο Σχήμα 5. Για τον υπολογισμό της απόκρισης του μοντέλου, Y, χρησιμοποιείται το μοντέλο της διεργασίας G και η έξοδος του ρυθμιστή P. Η απόκριση του μοντέλου αφαιρείται από την πραγματική απόκριση Υ, και η διαφορά Υ - Y *, χρησιμοποιείται ως σήμα εισόδου στον IMC ρυθμιστή, G. Γενικά, Υ Y εξαιτίας των σφαλμάτων μοντελοποίησης (G G ) και άγνωστων διαταραχών ( D 0 ) που δεν λαμβάνονται υπόψη στο μοντέλο. Ρυθμιστής Διεργασία (α) Κλασσική ρύθμιση με ανατροφοδότηση Ρυθμιστής Διεργασία Εσωτερικό μοντέλο (β) Ρύθμιση με εσωτερικό μοντέλο Σχήμα 5 Στρατηγικές ρύθμισης με ανατροφοδότηση

10 Στο Σχήμα 5 συγκρίνονται τα διαγράμματα βαθμίδων του κλασσικού συστήματος ρύθμισης με ανατροφοδότηση και ρύθμισης IMC. Μπορεί να αποδειχθεί ότι τα δυο * διαγράμματα βαθμίδων είναι πανομοιότυπα αν οι ρυθμιστές G και G ικανοποιούν την σχέση Έτσι ένας ρυθμιστής IMC G * G G G 1 GG * * (17) είναι ισοδύναμος με έναν κλασσικό ρυθμιστή με ανατροφοδότηση, και αντίστροφα. Η ακόλουθη σχέση κλειστού βρόχου για τον IMC μπορεί να προκύψει από το Σχήμα 5 Y GG 1 GG D 1 G ( G G ) 1 G ( G G ) * * Y * sp * (18) Για την ειδική περίπτωση ενός τέλειου μοντέλου, G G, η (12-17) γίνεται Y G GY G G D (19) * * sp (1 ) Ο ρυθμιστής IMC σχεδιάζεται σε δύο βήματα: Βήμα 1. Το μοντέλο της διεργασίας παραγοντοποιείται ως εξής G G G (20) Όπου το G περιέχει όλες τις χρονικές υστερήσεις και τις μηδενικές τιμές στο δεξιό ημιεπίπεδο. Επί πλέον επιβάλλεται το G να έχει ενίσχυση ίση με τη μονάδα έτσι ώστε να διασφαλίζεται ότι οι δυο παράγοντες στην εξίσωση (20) είναι μοναδικοί Βήμα 2. Ο ρυθμιστής ορίζεται ως * G 1 f (21) G Όπου f είναι ένα φίλτρο χαμηλής διαπερατότητας με ενίσχυση σταθερής κατάστασης ίση με την μονάδα. Τυπικά έχει την μορφή f 1 (τ s 1) r (22)

11 Σε αναλογία με την DS μέθοδο, το τ είναι η επιθυμητή σταθερά χρόνου του κλειστού βρόχου. Η παράμετρος r είναι θετικός ακέραιος. Η πιο συνηθισμένη επιλογή είναι r 1. Να σημειωθεί ότι ο ρυθμιστής IMC στην εξίσωση 21 έχει βασιστεί στο αντιστρέψιμο μέρος του μοντέλου του συστήματος, G, αντί για ολόκληρο το μοντέλο, G. Αν είχε χρησιμοποιηθεί το G, ο ρυθμιστής θα μπορούσε να περιέχει θs έναν όρο πρόβλεψης e (αν το G περιέχει χρονική υστέρηση θ), ή έναν ασταθή πόλο (αν το G περιέχει μια μηδενική τιμή στο δεξιό ημιεπίπεδο). Έτσι χρησιμοποιώντας την παραγοντοποίηση της σχέσης (20) και χρησιμοποιώντας ένα * φίλτρο της μορφής της (21), ο ρυθμιστής G που προκύπτει είναι εγγυημένα πραγματοποιήσιμος και ευσταθής. Γενικά το μη αντιστρέψιμο μέρος του μοντέλου G θέτει όρια στην απόδοση που μπορεί να επιτευχθεί από οποιοδήποτε σύστημα ρύθμισης. Για ασταθείς διεργασίες ανοικτού βρόχου, η προσέγγιση IMC πρέπει να τροποποιηθεί, γιατί η τυπική μέθοδος IMC βασίζεται σε ακύρωση των πόλων από μηδενικές θέσεις. Για την ιδανική περίπτωση ενός τέλειου μοντέλου (G G ), αντικαθιστώντας την εξίσωση (21) στην (19) προκύπτει η σχέση του κλειστού βρόχου Y G fy (1 fg ) D (23) sp Έτσι η συνάρτηση μεταφοράς κλειστού βρόχου για αλλαγές της επιθυμητής τιμής είναι Y Y sp G f (24) Οι μέθοδοι σχεδιασμού IMC και Άμεσης Σύνθεσης (DS) μπορούν να παράγουν ισοδύναμους ρυθμιστές και πανομοιότυπες αποκρίσεις κλειστού βρόχου, ακόμα και με την παρουσία σφαλμάτων μοντελοποίησης. Αυτή η ισοδυναμία προκύπτει αν η επιθυμητή συνάρτηση μεταφοράς ( Y / Y sp) dστην (4) εξισωθεί με την ( Y / Y sp ) στην * (24). Υπενθυμίζεται ότι η εξίσωση (17) υποδεικνύει πώς να μετατρέψουμε το G στο αντίστοιχο G. Η μέθοδος IMC παρουσιάζεται στο ακόλουθο παράδειγμα. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 Χρησιμοποιήστε την μέθοδο σχεδιασμού IMC για να σχεδιάσετε δυο ρυθμιστές για το μοντέλο πρώτης τάξης με καθυστέρηση (Εξ. 11). Θεωρήστε ότι το f δίνεται από την (22) με r 1 και θεωρήστε δυο προσεγγίσεις για τον όρο της χρονικής υστέρησης:

12 (α) Προσέγγιση Pade: e θs θ 1 s 2 θ 1 s 2 (25) (β) Προσέγγιση σειράς Taylor πρώτου βαθμού θs e 1 θs (26) ΛΥΣΗ (α) Αντικαθιστώντας την εξίσωση (25) στην (11) προκύπτει: θ K 1 s 2 Gs () (27) θ 1 s (τs 1) 2 Παραγοντοποιούμε το μοντέλο αυτό ως G G G όπου θ G 1 s (28) 2 Και K G (29) θ 1 s (τs 1) 2 Να σημειωθεί ότι το G έχει ενίσχυση σταθερής κατάστασης ίση με τη μονάδα, όπως απαιτείται στην διαδικασία σχεδιασμού IMC. Αντικαθιστώντας την εξίσωση (29) και την (22) στην εξίσωση (21) και θέτοντας r 1 προκύπτει G * θ 1 s (τs 1) 2 K(τ s 1) (30) Ο ισοδύναμος ρυθμιστής G μπορεί να προκύψει από την εξίσωση (17),

13 G θ 1 s (τs 1) 2 θ K(τ ) s 2 (31) Και να προκύψει ο PID ρυθμιστής της (14) με: K τ θ θ τ, τ τ, τ K τ 2 τ θ θ I D (32) (β) Επαναλαμβάνοντας τη διαδικασία για την προσέγγιση με την σειρά Taylor προκύπτει ο PI ρυθμιστής K 1 τ, τi τ K τ θ (33) Η σύγκριση των (32) και (33) δείχνει ότι ο τύπος του ρυθμιστή που σχεδιάζεται εξαρτάται από την προσέγγιση της χρονικής υστέρησης. Επιπλέον ο ρυθμιστής IMC στην (33) είναι πανομοιότυπος με τον DS ρυθμιστή για το μοντέλο πρώτου βαθμού με χρονική υστέρηση. Η ισοδυναμία αυτή μπορεί να επιβεβαιωθεί παρατηρώντας ότι οι ρυθμίσεις του ρυθμιστή DS στην (15) ανάγονται στις ρυθμίσεις του IMC στην (33) για τ τκαι τ Επιλογή του τ Η επιλογή της παραμέτρου σχεδιασμού τ έχει μεγάλη σημασία για την μέθοδο DS αλλά και για την μέθοδο IMC. Γενικά, αυξάνοντας το τ παράγεται ένας πιο συντηρητικός ρυθμιστής γιατί το K μειώνεται καθώς το τ αυξάνεται. Για την επιλογή τιμής της παραμέτρου τ του IMC έχουν προταθεί αρκετές μέθοδοι για το μοντέλο πρώτης τάξης με καθυστέρηση (εξίσωση 11): 1. τ /θ > 0.8 και τ > 0.1τ 2. τ >τ > θ 3. τ θ Για πιο γενικά μοντέλα διεργασιών με κυρίαρχη σταθερά χρόνου, τ dom, η μέθοδος (2) μπορεί να γενικευτεί σε: τ dom >τ > θ. Για παράδειγμα, θέτοντας τ τ dom /3 σημαίνει ότι η επιθυμητή απόκριση του συστήματος κλειστού βρόχου είναι τρεις φορές πιο γρήγορη από την απόκριση του ανοικτού βρόχου.

14 4. ΣΧΕΣΕΙΣ ΒΑΘΜΟΝΟΜΗΣΗΣ ΡΥΘΜΙΣΤΗ Στην τελευταία ενότητα, είδαμε ότι οι μέθοδοι σχεδιασμού που βασίζονται στο μοντέλο όπως η DS και η IMC παράγουν PI ή PID ρυθμιστές για ορισμένες τάξεις μοντέλων διεργασιών. Αναλυτικές εκφράσεις για τη βαθμονόμηση PID ρυθμιστών έχουν παραχθεί επίσης και από άλλες μεθόδους. Αυτές οι εκφράσεις αναφέρονται ως σχέσεις βαθμονόμησης ρυθμιστών, ή απλά σχέσεις βαθμονόμησης. Σε αυτή την ενότητα παρουσιάζουμε ορισμένες από τις πιο δημοφιλείς σχέσεις βαθμονόμησης. 4.1 Σχέσεις Βαθμονόμησης IMC Η μέθοδος ΙΜC μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη βαθμονόμηση PID ρυθμιστή για μια σειρά από μοντέλα συναρτήσεων μεταφοράς. Μπορούν να προκύψουν διαφορετικές σχέσεις βαθμονόμησης ανάλογα με το φίλτρο f και την προσέγγιση της χρονικής υστέρησης που επιλέγεται. Ο πίνακας 1 παρουσιάζει τις σχέσεις βαθμονόμησης του ρυθμιστή PID για συνηθισμένους τύπους μοντέλων διεργασιών. Το φίλτρο f του IMC έχει επιλεχθεί σύμφωνα με την εξίσωση (20) με r 1 για μοντέλα πρώτης και δεύτερης τάξης. Για μοντέλα με ολοκληρωτικά στοιχεία, χρησιμοποιείται η παρακάτω σχέση: f (2τ Cs ) 1 dg 2 όπου C (τs 1) ds s 0 (34)

15 Πίνακας 1 Ρυθμίσεις για PID ρυθμιστές που βασίζονται σε IMC για το G (s) Περ. Μοντέλο Το παρακάτω παράδειγμα παρουσιάζει την χρήση των σχέσεων βαθμονόμησης του Πίνακα 1. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 Η δυναμική συμπεριφορά ενός συστήματος αποθήκευσης υγρών περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση μεταφοράς: Gs () Ke s 7.4s Χρησιμοποιήστε τον Πίνακα 1 για να βαθμονομήσετε PI και PID ρυθμιστές για Κ0.2 και τ 8. Επαναλάβετε για τ 15 και απαντήστε στα ακόλουθα ερωτήματα:

16 (α) Συγκρίνετε τους τέσσερις ρυθμιστές για μοναδιαίες βηματικές μεταβολές στην επιθυμητή τιμή και την διαταραχή, θεωρώντας ότι G G. (β) Για να αξιολογηθεί η ευρωστία του κάθε ρυθμιστή του (α), καθορίστε το Κ max, δηλαδή την μεγαλύτερη τιμή του Κ για την οποία προκύπτει ευσταθές σύστημα κλειστού βρόχου. d ΛΥΣΗ (α) Για αυτή την ολοκληρωτική διεργασία, G θs e και άρα στην (34) C -θ. Η βαθμονόμηση του IMC ρυθμιστή με βάση τον Πίνακα 1 είναι: Κ τ Ι τ D PI (τ 8) PI (τ 15) PID (τ 8) PID (τ 15) Οι αποκρίσεις του κλειστού βρόχου στο Σχήμα 6 είναι πιο αργές και με μικρότερες ταλαντώσεις για τ 15 από ότι για τ 8. Επίσης, για τ 15 η υπέρβαση είναι μικρότερη για την αλλαγή της επιθυμητής τιμής και η μέγιστη απόκλιση είναι μεγαλύτερη μετά την διαταραχή. Ο ρυθμιστής PID παρέχει καλύτερη απόκριση στην διαταραχή από τον PI ρυθμιστή με μικρότερη μέγιστη απόκλιση. Επιπλέον ο ρυθμιστής PID έχει πολύ μικρό χρόνο απόκρισης για τ 8, που του δίνει την καλύτερη απόδοση από τους τέσσερις ρυθμιστές. (β) Η αριθμητική τιμή του Κ max μπορεί να προκύψει από την ανάλυση ευστάθειας. Για παράδειγμα μπορεί να εφαρμοστεί το κριτήριο Routh με χρήση της προσέγγισης Pade για το νεκρό χρόνο. Οι ακριβείς τιμές μπορούν να προκύψουν εφαρμόζοντας κριτήρια ευστάθειας συχνοτικής απόκρισης. Τα αριθμητικά αποτελέσματα που φαίνονται στον παρακάτω πίνακα υποδηλώνουν ότι το K μπορεί να αυξηθεί σημαντικά σε σχέση με την ονομαστική του τιμή (0.2) πριν το σύστημα κλειστού βρόχου γίνει ασταθές. Έτσι οι ρυθμιστές IMC είναι αρκετά εύρωστοι και γίνονται ακόμα περισσότερο όσο το τ αυξάνεται. Κ max Ρυθμιστής τ Προσέγγιση Ακριβής τιμή PI PI PID PID

17 Σχήμα 6 Αποτελέσματα προσομοίωσης για το Παράδειγμα 3: PI ρυθμιστής (πάνω) και PID ρυθμιστής (κάτω). Μοντέλα στα οποία ο νεκρός χρόνος είναι πολύ μικρότερος από τη σταθερά χρόνου (θ/τ << 1) Μοντέλα πρώτης ή δεύτερης τάξης με θ/τ << 1 αναφέρονται ως lag-dominant models. Οι μέθοδοι βαθμονόμησης IMC και DS παρέχουν ικανοποιητικές αποκρίσεις στην επιθυμητή τιμή, αλλά πολύ αργές αποκρίσεις στις διαταραχές, γιατί η τιμή του τ Ι είναι πολύ μεγάλη. Ευτυχώς το πρόβλημα αυτό μπορεί να λυθεί με τρεις διαφορετικούς τρόπους. 1. Προσέγγιση με ένα ολοκληρωτικό μοντέλο με νεκρό χρόνο. Το ολοκληρωτικό μοντέλο με νεκρό χρόνο στην εξίσωση (35) παρέχει μια ακριβή προσέγγιση του μοντέλου πρώτης τάξης με καθυστέρηση της εξίσωσης (31) για το αρχικό τμήμα της βηματικής μεταβολής: θs K* e Gs () (35) s Στην εξίσωση (35), K* K / τ. Τότε μπορούν να εφαρμοστούν οι σχέσεις βαθμονόμησης του IMC του Πίνακα 1 για οποιονδήποτε από τους ρυθμιστές Μ ή Ν.

18 2. Περιορισμός στην τιμή του τ Ι. Ως διόρθωση προτείνεται ο περιορισμός της τιμής του τ Ι (Skogestad): τ min{ τ, 4( τ θ)} (36) I 1 3. Σχεδιασμός του ρυθμιστή ώστε να απορρίπτει την διαταραχή, αντί να παρακολουθεί την επιθυμητή τιμή. Μια πιο γενικά εφαρμόσιμη λύση είναι να σχεδιαστεί ο ρυθμιστής που βασίζεται στο μοντέλο για διαταραχές αντί για αλλαγές της επιθυμητής τιμής (Chen and Seborg). Αυτές οι εναλλακτικές συγκρίνονται στο Παράδειγμα 4. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4 Θεωρήστε μια διεργασία πρώτης τάξης με καθυστέρηση όπου θ/τ 0.01: 100 Gs () 100s 1 e s Σχεδιάστε τέσσερις PI ρυθμιστές: (α) IMC (τ 1) (β) IMC (τ 2) με βάση τον ολοκληρωτική προσέγγιση της εξίσωσης (35). (γ) IMC (τ 1) με την τροποποίηση του Skogestad (εξίσωση 36) (δ) DS μέθοδο για απόρριψη διαταραχών με βάση την οποία προκύπτει η ακόλουθη βαθμονόμηση ενός PI ρυθμιστή: Κ και τ Ι Αξιολογήστε τους τέσσερις ρυθμιστές συγκρίνοντας την απόδοσή τους για μοναδιαίες βηματικές μεταβολές στην επιθυμητή τιμή και την διαταραχή. Θεωρήστε ότι το μοντέλο είναι τέλειο και ότι G () s G() s. d ΛΥΣΗ Οι ρυθμίσεις του PI ρυθμιστή είναι: Ρυθμιστής Κ τ Ι (α) IMC (β) Ολοκληρωτική Προσέγγιση (γ) Skogestad (δ) DS d Τα αποτελέσματα της προσομοίωσης του Σχήματος 7 δείχνουν ότι ο ρυθμιστής IMC παρέχει τέλεια απόκριση στην επιθυμητή τιμή, ενώ οι άλλοι τρεις ρυθμιστές έχουν σημαντικές υπερβάσεις και μεγαλύτερους χρόνους σταθεροποίησης. Ωστόσο, ο ρυθμιστής IMC παράγει απαράδεκτα αργή απόκριση στην διαταραχή,

19 που οφείλεται στην μεγάλη τιμή του τ Ι, παρόλο που τελικά η απόκριση όντως επιστρέφει στο μηδέν εξαιτίας της ολοκληρωτικής δράσης. Οι άλλοι τρεις ρυθμιστές παρέχουν πολύ καλύτερη απόρριψη της διαταραχής κρίνοντας από τους μικρούς χρόνους απόκρισης. Ολοκληρωτική Προσέγγιση Ολοκληρωτική Προσέγγιση Σχήμα 7 Σύγκριση αποκρίσεων επιθυμητής τιμής (πάνω) και αποκρίσεων διαταραχής (κάτω) για το Παράδειγμα 4. Οι αποκρίσεις για την DS μέθοδο και την μέθοδο της ολοκληρωτικής προσέγγισης είναι ουσιαστικά όμοιες. 4.2 Σχέσεις Βαθμονόμησης που Βασίζονται σε Κριτήρια Σφάλματος Ολοκλήρωσης Έχουν αναπτυχθεί σχέσεις βαθμονόμησης ρυθμιστών που βελτιστοποιούν την απόκριση κλειστού βρόχου για απλά μοντέλα διεργασιών και καθορισμένες αλλαγές σε επιθυμητή τιμή και διαταραχές. Οι βέλτιστη βαθμονόμηση ελαχιστοποιεί το κριτήριο ολοκληρωτικού σφάλματος. Τρία δημοφιλή ολοκληρωτικά κριτήρια είναι: 1. Ολοκλήρωμα της απόλυτης τιμής του σφάλματος (ΙΑΕ) ΙΑΕ et () dt (37) 0

20 Όπου το σήμα σφάλματος e(t) είναι η διαφορά μεταξύ της μέτρησης και της επιθυμητής τιμής (ρυθμιστική απόκλιση). 2. Ολοκλήρωμα του τετραγώνου του σφάλματος (ISE) 2 ΙSΕ et () dt (38) 3. Ολοκλήρωμα του απόλυτου σφάλματος με χρονικό βάρος (ITAE) 0 ΙΤΑΕ tet () dt (39) 0 (α) Αλλαγή της διαταραχής (α) Αλλαγή της επιθυμητής τιμής Σχήμα 8 Γραφική ερμηνεία του IAE. Η γραμμοσκιασμένη επιφάνεια είναι η τιμή του ΙΑΕ. Το κριτήριο ISE επιβάλει ποινή σε μεγάλα σφάλματα, ενώ το κριτήριο ΙΤΑΕ επιβάλει ποινή σε σφάλματα που επιμένουν για μεγάλο χρονικό διάστημα. Γενικά το κριτήριο ITAE είναι αυτό που προτιμάται γιατί έχει ως αποτέλεσμα την πιο συντηρητική βαθμονόμηση του ρυθμιστή. Αντίθετα το κριτήριο ISE παράγει πιο επιθετική βαθμονόμηση, ενώ το κριτήριο ΙΑΕ έχει την τάση να παράγει βαθμονόμηση ρυθμιστή που βρίσκεται μεταξύ των κριτηρίων ΙΤΑΕ και ISE. Στο Σχήμα 8 έχουμε μια γραφική ερμηνεία του δείκτη απόδοσης IAE. 4.3 Σύγκριση Σχέσεων Βαθμονόμησης Παρόλο που ο σχεδιασμός και οι σχέσεις βαθμονόμησης των προηγούμενων ενοτήτων βασίζονται σε διαφορετικά κριτήρια απόδοσης, μπορούν να εξαχθούν μερικά γενικά συμπεράσματα:

21 1. Η ενίσχυση του ρυθμιστή K πρέπει να είναι αντιστρόφως ανάλογη του γινομένου των άλλων ενισχύσεων στον βρόχο ανατροφοδότησης (π.χ. Κ είναι ανάλογο του 1/Κ όπου Κ K v K p K m ). 2. To K πρέπει να ελαττώνεται όσο αυξάνεται το θ/τ, δηλαδή ο λόγος της χρονικής υστέρησης προς την κυρίαρχη σταθερά χρόνου. Γενικά η ποιότητα της ρύθμισης μειώνεται όσο αυξάνεται το θ/τ εξαιτίας των μεγαλύτερων χρόνων απόσβεσης και μεγαλύτερων αποκλίσεων από την επιθυμητή τιμή. 3. Το τ Ι και το τ D πρέπει να αυξάνονται όσο αυξάνεται το θ/τ. Για πολλές σχέσεις βαθμονόμησης ρυθμιστών, ο λόγος τ D /τ Ι είναι μεταξύ 0,1 και 0,3. Σαν γενικό κανόνα χρησιμοποιούμε ως πρώτη υπόθεση το τ D /τ Ι 0, Όταν η ολοκληρωτική ρυθμιστική δράση προστίθεται σε έναν μόνο αναλογικό ρυθμιστή, το K πρέπει να μειώνεται. Η επιπλέον προσθήκη μιας διαφορικής δράσης επιτρέπει στο K να αυξηθεί σε μια τιμή μεγαλύτερη από αυτή ενός αποκλειστικά αναλογικού ρυθμιστή. 5 ON-LINE ΒΑΘΜΟΝΟΜΗΣΗ ΡΥΘΜΙΣΤΗ Μέθοδος της Συνεχούς Ταλάντωσης Πριν από περισσότερα από 60 χρόνια, οι Ziegler και Nihols (1942) έκαναν μια κλασσική δημοσίευση που εισήγαγε την μέθοδο της συνεχούς ταλάντωσης για την βαθμονόμηση των ρυθμιστών. Βασίζεται στην παρακάτω διαδικασία δοκιμής και σφάλματος: Βήμα 1. Αφού η διεργασία φτάσει σε κατάσταση ισορροπίας (τουλάχιστον κατά προσέγγιση), απαλείφουμε την ολοκληρωτική και την διαφορική δράση θέτοντας τ D ίσο με το μηδέν και τo τ Ι στην μεγαλύτερη δυνατή τιμή. Βήμα 2. Θέτουμε το Κ ίσο με μια μικρή τιμή (π.χ. 0.5) και τοποθετούμε τον ρυθμιστή στον αυτόματο τρόπο λειτουργίας. Βήμα 3. Εισάγουμε μια μικρή στιγμιαία αλλαγή στην επιθυμητή τιμή έτσι ώστε η ρυθμιζόμενη μεταβλητή να απομακρυνθεί από την επιθυμητή τιμή. Αυξάνουμε σταδιακά το Κ μέχρις ότου συμβεί συνεχής ταλάντωση με σταθερό πλάτος. Η αριθμητική τιμή του Κ για την οποία προκύπτει συνεχής ταλάντωση ονομάζεται οριακή ενίσχυση, K u. Η περίοδος της αντίστοιχης συνεχούς ταλάντωσης αναφέρεται ως οριακή περίοδος, P u. Βήμα 4. Υπολογίζουμε τη βαθμονόμηση του ρυθμιστή PID χρησιμοποιώντας τις σχέσεις βαθμονόμησης των Ziegler Nihols (Z-N) ή πιο συντηρητικά τις σχέσεις των Tyreus Luyben στον Πίνακα 2. Βήμα 5. Αξιολογούμε τη βαθμονόμηση κατά Ζ-Ν εισάγοντας μια μικρή αλλαγή στην επιθυμητή τιμή και παρατηρώντας την απόκριση του κλειστού βρόχου. Βελτιώνουμε την βαθμονόμηση αν είναι απαραίτητο.

22 Πίνακας 2 Βαθμονόμηση Ρυθμιστή με βάση την Μέθοδο της Συνεχούς Ταλάντωσης Ziegler Nihols K τ Ι τ D P 0.5K u - - PI 0.45 K u P u /1.2 - PID 0.6 K u P u /2 P u /8 Tyreus Luyben K τ Ι τ D PI 0.31 K u PID 0.45 K u 2.2 P u /6.3 Οι σχέσεις βαθμονόμησης που πρότειναν οι Ziegler και Nihols (1942) καθορίστηκαν εμπειρικά για να παρέχουν αποκρίσεις κλειστού βρόχου που έχουν λόγο απόσβεσης 50%. Όταν λαμβάνει χώρα μόνο αναλογική ρύθμιση, οι τιμές που υπολογίζονται από τον πίνακα 2 παρέχουν ένα περιθώριο ενίσχυσης ίσο με 2 για το K επειδή είναι ίσο με τα μιάμιση φορά την τιμή του ορίου ευστάθειας, K u. Όταν προστεθεί ολοκληρωτική δράση και ο ρυθμιστής γίνει PI, το K ελαττώνεται από 0.5K u σε 0.45K u. Η σταθεροποιητική επίδραση της διαφορικής δράσης, οπότε και σχηματίζεται ρυθμιστής PID, επιτρέπει την αύξηση του K στο 0.6K u. Αντιπροσωπευτικά αποτελέσματα για τον καθορισμό της K u μέσω δοκιμήςσφάλματος φαίνονται στο σχήμα 9. Για K <K u, η απόκριση κλειστού βρόχου y(t) συνήθως είναι δεν παρουσιάζει ταλαντώσεις ή παρουσιάζει ελαφρά ταλάντωση. Για την ιδανική περίπτωση όπου K K u, το σύστημα παρουσιάζει οριακή ευστάθεια (σχήμα 9b). Για K >K u, το σύστημα κλειστού βρόχου είναι ασταθές και θεωρητικά θα παρουσιάσει απόκριση με την μορφή ταλάντωσης με διαρκώς αυξανόμενο πλάτος (σχήμα 9). Αλλά στην πράξη, ο κορεσμός του ρυθμιστή (τιμή της μεταβλητής εκ χειρισμού στο πάνω ή στο κάτω όριο λειτουργίας παράγει ταλάντωση με σταθερό πλάτος (σχήμα 9d). (χωρίς κορεσμό) (με κορεσμό) Σχήμα 9.Πειραματικός καθορισμός της τελικής ενίσχυσης K u.

23 Η παραπάνω μέθοδος παρουσιάζει ορισμένα σημαντικά μειονεκτήματα: 1. Μπορεί να έχει υψηλές απαιτήσεις σε χρόνο εάν απαιτούνται αρκετές δοκιμές και η δυναμική του συστήματος είναι αργή. Η μεγάλη διάρκεια των πειραματικών ελέγχων μπορεί να οδηγήσει μειωμένη παραγωγή ή σε χαμηλή ποιότητα προϊόντος. 2. Σε πολλές εφαρμογές, δεν είναι επιτρεπτή η ταλάντωση που παρατηρείται στην περίπτωση της οριακής ευστάθειας, επειδή η διεργασία ωθείται στα όρια της ευσταθούς συμπεριφοράς και αν συμβούν εξωτερικές διαταραχές ή αλλαγές στην διεργασία κατά την διάρκεια του ελέγχου, είναι πιθανό να προκύψει ασταθής ή και επικίνδυνη λειτουργία (πχ. να βγει εκτός ελέγχου μια χημική διεργασία). 3. Αυτή η διαδικασία εύρεσης των παραμέτρων δεν είναι δυνατή σε διεργασίες με ολοκληρωτική συμπεριφορά ή ασταθείς διεργασίες ανοιχτού βρόχου επειδή η συμπεριφορά τους είναι γενικά ασταθής για υψηλές και χαμηλές τιμές του K, παρότι είναι ευσταθείς για ενδιάμεσες τιμές. 4. Για μοντέλα πρώτης και δεύτερης τάξης χωρίς χρονική καθυστέρηση, δεν υπάρχει τελική ενίσχυση επειδή το σύστημα κλειστού βρόχου είναι ευσταθές για όλες τις τιμές του K, εφόσον φέρει το σωστό πρόσημο. Ωστόσο, στην πράξη είναι ασυνήθιστο για να μην έχει τελική ενίσχυση ένας βρόχος ρύθμισης. Αν όμως είναι διαθέσιμο ένα μοντέλο της διεργασίας, οι K u και P u μπορούν να καθοριστούν από μια ανάλυση συχνοτικής απόκρισης ή μέσω προσομοιώσεων. Οι τιμές που προκύπτουν από την βαθμονόμηση κατά Ziegler-Nihols χρησιμοποιούνται ευρέως ως σημείο αναφοράς για την αξιολόγηση διαφόρων μεθόδων βαθμονόμησης και μεθοδολογιών ρύθμισης. Επειδή βασίζονται σε λόγο απόσβεσης 50% έχουν την τάση να οδηγούν σε ταλαντώσεις με μεγάλες υπερβάσεις. Συνεπώς, προτιμώνται πιο συντηρητικές βαθμονομήσεις, όπως αυτές που προκύπτουν από την μέθοδο των Tyreus-Luyben και που φαίνονται στον πίνακα 2. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5 Για το μοντέλο της διεργασίας του παραδείγματος 1, s 2e G ( 10s 1)( 5s 1) Συγκρίνετε τους ρυθμιστές PID που έχουν βαθμονομηθεί με τις ακόλουθες μεθόδους: i. Ziegler-NiChols (Z-N) ii. Tyreus-Luyben (T-L) iii. Μέθοδος Diret Synthesis (D-S) όπου τ 3 Αξιολογήστε αυτούς τους ρυθμιστές για μοναδιαίες βηματικές αλλαγές και στο επιθυμητό σημείο και στην διαταραχή, υποθέτοντας ότι G d G.

24 ΛΥΣΗ Η οριακή ενίσχυση και η οριακή περίοδος είναι K u 7,88 και P u 11,66 αντίστοιχα. Οι υπολογιζόμενες παράμετροι των ρυθμιστών είναι: Μέθοδος K τ Ι τ D Z-N 4,73 5,8 1,45 T-L 3,55 25,8 1,84 D-S 1,88 15,0 3,33 (min) Σχήμα 10. Σύγκριση των ρυθμιστών PID για το παράδειγμα 5. Αυτές οι ρυθμίσεις και οι αποκρίσεις κλειστού βρόχου στο σχήμα 10 δείχνουν ότι οι ρυθμίσεις Z-Ν είναι οι πιο απότομες κι παράγουν αποκρίσεις με ταλάντωση. Ο ρυθμιστής Ζ-Ν παρέχει την καλύτερη ρύθμιση για την διαταραχή και την χειρότερη για το πρόβλημα καθοδήγησης (αλλαγής του επιθυμητού σημείου). Οι ρυθμιστές T-L και DS οδηγούν σε ικανοποιητικές αποκρίσεις ως προς το επιθυμητό σημείο αλλά σε αργές αποκρίσεις ως προς την διαταρχή..

Εισαγωγή στον Αυτόματο Έλεγχο

Εισαγωγή στον Αυτόματο Έλεγχο Εισαγωγή στον Αυτόματο Έλεγχο ΣΑΕ 2016-2017 Δρ Γ Παπαλάμπρου Επίκουρος Καθηγητής ΕΜΠ georgepapalambrou@lmentuagr Εργαστήριο Ναυτικής Μηχανολογίας (Κτίριο Λ) Σχολή Ναυπηγών Μηχανολόγων Μηχανικών Εθνικό

Διαβάστε περισσότερα

Υποθέστε ότι ο ρυθμός ροής από ένα ακροφύσιο είναι γραμμική συνάρτηση της διαφοράς στάθμης στα δύο άκρα του ακροφυσίου.

Υποθέστε ότι ο ρυθμός ροής από ένα ακροφύσιο είναι γραμμική συνάρτηση της διαφοράς στάθμης στα δύο άκρα του ακροφυσίου. ΕΡΩΤΗΜΑ Δίνεται το σύστημα δεξαμενών του διπλανού σχήματος, όπου: q,q : h,h : Α : R : οι παροχές υγρού στις δύο δεξαμενές, τα ύψη του υγρού στις δύο δεξαμενές, η διατομή των δεξαμενών και η αντίσταση ροής

Διαβάστε περισσότερα

MATLAB. Εισαγωγή στο SIMULINK. Μονάδα Αυτόματης Ρύθμισης και Πληροφορικής

MATLAB. Εισαγωγή στο SIMULINK. Μονάδα Αυτόματης Ρύθμισης και Πληροφορικής MATLAB Εισαγωγή στο SIMULINK Μονάδα Αυτόματης Ρύθμισης και Πληροφορικής Εισαγωγή στο Simulink - Βιβλιοθήκες - Παραδείγματα Εκκίνηση BLOCKS click ή Βιβλιοθήκες Νέο αρχείο click ή Προσθήκη block σε αρχείο

Διαβάστε περισσότερα

Η Βασική Δομή Συστημάτων Ελέγχου Κίνησης

Η Βασική Δομή Συστημάτων Ελέγχου Κίνησης Η Βασική Δομή Συστημάτων Ελέγχου Κίνησης Σύστημα ονομάζουμε ένα σύνολο στοιχείων κατάλληλα συνδεδεμένων μεταξύ τους για να επιτελέσουν κάποιο έργο Είσοδο ονομάζουμε τη διέγερση, εντολή ή αιτία η οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Ενότητα: Προσαρμοστικός και Συμπερασματικός Έλεγχος Αλαφοδήμος Κωνσταντίνος Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Διορθωτών: Υπάρχουν πολλών ειδών διορθωτές. Μία βασική ταξινόμησή τους είναι οι «Ειδικοί Διορθωτές» και οι «Κλασσικοί Διορθωτές».

Είδη Διορθωτών: Υπάρχουν πολλών ειδών διορθωτές. Μία βασική ταξινόμησή τους είναι οι «Ειδικοί Διορθωτές» και οι «Κλασσικοί Διορθωτές». ΔΙΟΡΘΩΣΗ ΣΑΕ Είδη Διορθωτών: Οι Διορθωτές έχουν την δική τους (Σ.Μ). Ενσωματώνονται στον βρόχο του ΣΑΕ και δρουν πάνω στην αρχική Σ.Μ κατά τρόπο ώστε να της προσδώσουν την επιθυμητή συμπεριφορά, την οποία

Διαβάστε περισσότερα

Ο Βρόχος Ρύθµισης µε Ανατροφοδότηση

Ο Βρόχος Ρύθµισης µε Ανατροφοδότηση Ο Βρόχος Ρύθµισης µε Ανατροφοδότηση Ο Βρόχος Ανατροφοδότησης Στοιχεία ιεργασίας και Όργανα Μέτρησης ιατάξεις ιαγραµµάτων Βαθµίδας Μέτρα Απόδοσης Ρύθµισης Επιλογή Μεταβλητών Ρύθµισης 1 Ο βρόχος ανατροφοδότησης!

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Κίνησης

Έλεγχος Κίνησης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα 1501 - Έλεγχος Κίνησης Ενότητα: Συστήματα Ελέγχου Κίνησης Μιχαήλ Παπουτσιδάκης Τμήμα Αυτοματισμού Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

5o Εργαστήριο Σ.Α.Ε Ενότητα : Ελεγκτές PID

5o Εργαστήριο Σ.Α.Ε Ενότητα : Ελεγκτές PID ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα 5o Εργαστήριο Σ.Α.Ε Ενότητα : Ελεγκτές PID Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακός Έλεγχος. 6 η διάλεξη Σχεδίαση στο χώρο κατάστασης. Ψηφιακός Έλεγχος 1

Ψηφιακός Έλεγχος. 6 η διάλεξη Σχεδίαση στο χώρο κατάστασης. Ψηφιακός Έλεγχος 1 Ψηφιακός Έλεγχος 6 η διάλεξη Σχεδίαση στο χώρο κατάστασης Ψηφιακός Έλεγχος Μέθοδος μετατόπισης ιδιοτιμών Έστω γραμμικό χρονικά αμετάβλητο σύστημα διακριτού χρόνου: ( + ) = + x k Ax k Bu k Εφαρμόζουμε γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΒΑΣΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΚΑΙ ΤΥΠΟΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Δρ Γιώργος

Διαβάστε περισσότερα

(είσοδος) (έξοδος) καθώς το τείνει στο.

(είσοδος) (έξοδος) καθώς το τείνει στο. Υπενθυμίζουμε ότι αν ένα σύστημα είναι ευσταθές, τότε η απόκριση είναι άθροισμα μίας μεταβατικής και μίας μόνιμης. Δηλαδή, αν το σύστημα είναι ευσταθές όπου και Είθισται, σε ένα σύστημα αυτομάτου ελέγχου

Διαβάστε περισσότερα

Βιομηχανικοί Ελεγκτές

Βιομηχανικοί Ελεγκτές ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τ.Τ Βιομηχανικοί Ελεγκτές Ενότητα #12: Παραδείγματα Αναλογικών Συστημάτων Ελέγχου Κωνσταντίνος Αλαφοδήμος Τμήματος Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε. Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 3. Ποιοτική Μελέτη των νόμων ελέγχου δύο και τριών όρων (συσκευή: Προσομοιωτής ελέγχου PCS327: Σχ.1) Απαραίτητες γνώσεις

Άσκηση 3. Ποιοτική Μελέτη των νόμων ελέγχου δύο και τριών όρων (συσκευή: Προσομοιωτής ελέγχου PCS327: Σχ.1) Απαραίτητες γνώσεις Άσκηση 3 Ποιοτική Μελέτη των νόμων ελέγχου δύο και τριών όρων (συσκευή: Προσομοιωτής ελέγχου PCS327: Σχ.1) Απαραίτητες γνώσεις 1) Αυτόματος έλεγχος δύο και τριών όρων 2) Εμπειρικαί μέθοδοι εκλογής των

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στον Αυτόματο Έλεγχο ( ) Σημειώσεις Μαθήματος Μέρος 3ο: Κλασσικός Έλεγχος. Γεώργιος Παπαλάμπρου

Εισαγωγή στον Αυτόματο Έλεγχο ( ) Σημειώσεις Μαθήματος Μέρος 3ο: Κλασσικός Έλεγχος. Γεώργιος Παπαλάμπρου Εισαγωγή στον Αυτόματο Έλεγχο (8.3.01.5) Σημειώσεις Μαθήματος 2015-2016 Μέρος 3ο: Κλασσικός Έλεγχος Γεώργιος Παπαλάμπρου 2 Δρ. Γεώργιος Παπαλάμπρου Επίκουρος Καθηγητής ΕΜΠ Εργαστήριο Ναυτικής Μηχανολογίας

Διαβάστε περισσότερα

Βιομηχανικοί Ελεγκτές

Βιομηχανικοί Ελεγκτές ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τ.Τ Βιομηχανικοί Ελεγκτές Ενότητα #9: Αναλογικά Συστήματα Ελέγχου Κωνσταντίνος Αλαφοδήμος Τμήματος Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε. Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Ευστάθεια συστημάτων

Ευστάθεια συστημάτων 1. Ευστάθεια συστημάτων Ευστάθεια συστημάτων Κατά την ανάλυση και σχεδίαση ενός συστήματος αυτομάτου ελέγχου, η ευστάθεια αποτελεί έναν πολύ σημαντικό παράγοντα και, γενικά, είναι επιθυμητό να έχουμε ευσταθή

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου Χειμερινού εξαμήνου

Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου Χειμερινού εξαμήνου Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου Χειμερινού εξαμήνου 203 4 ΘΕΜΑ Ο (4,0 μονάδες) Στο παρακάτω σχήμα δίνεται το δομικό (λειτουργικό) διάγραμμα ενός συστήματος ελέγχου κλειστού βρόχου. α. Να προσδιοριστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Ενότητα: Αναγνώριση Διεργασίας - Προσαρμοστικός Έλεγχος (Process Identification) Αλαφοδήμος Κωνσταντίνος

Διαβάστε περισσότερα

Βιομηχανικοί Ελεγκτές

Βιομηχανικοί Ελεγκτές ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τ.Τ Βιομηχανικοί Ελεγκτές Ενότητα #11: Ελεγκτές PID & Συντονισμός Κωνσταντίνος Αλαφοδήμος Τμήματος Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε. Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΚΤΕΣ PID. Ελεγκτής τριών όρων Η συνάρτηση μεταφοράς του PID ελεγκτή είναι η ακόλουθη:

ΕΛΕΓΚΤΕΣ PID. Ελεγκτής τριών όρων Η συνάρτηση μεταφοράς του PID ελεγκτή είναι η ακόλουθη: ΕΛΕΓΚΤΕΣ PID Εισαγωγή Αυτό το βοήθημα θα σας δείξει τα χαρακτηριστικά καθενός από τους τρεις ελέγχους ενός PID ελεγκτή, του αναλογικού (P), του ολοκληρωτικού (I) και του διαφορικού (D) ελέγχου, καθώς και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΗΓΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ

ΠΡΟΗΓΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ ΠΡΟΗΓΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ Ενότητα 3: Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Διδάσκων: Γεώργιος Στεφανίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Σκοποί ενότητας Στην ενότητα αυτή θα ασχοληθούμε με τα Συστήματα

Διαβάστε περισσότερα

Ρύθμιση Πολυμεταβλητών Συστημάτων

Ρύθμιση Πολυμεταβλητών Συστημάτων Ρύθμιση Πολυμεταβλητών Συστημάτων Τα προβλήματα ρύθμισης που περιλαμβάνουν μόνο μια ρυθμιζόμενη μεταβλητή και μια μεταβλητή εκ χειρισμού αναφέρονται ως προβλήματα μιας εισόδου-μιας εξόδου (single input-single

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑΣ ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ (Process Identifications)

ΕΛΕΓΧΟΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑΣ ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ (Process Identifications) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑΣ ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ (Process Idetificatios) Στο κεφάλαιο αυτό γίνεται παρουσίαση μεθοδολογίας για την ανεύρεση ενός αξιόπιστου μοντέλου πριν ή κατά την λειτουργία της

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Χαρακτηριστικά των Συστημάτων Ελέγχου Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Αυτόματος Έλεγχος. Ενότητα 9 η : Σχεδίαση ελεγκτών με το γεωμετρικό τόπο ριζών. Παναγιώτης Σεφερλής

Αυτόματος Έλεγχος. Ενότητα 9 η : Σχεδίαση ελεγκτών με το γεωμετρικό τόπο ριζών. Παναγιώτης Σεφερλής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 9 η : Σχεδίαση ελεγκτών με το γεωμετρικό τόπο ριζών Παναγιώτης Σεφερλής Εργαστήριο Δυναμικής Μηχανών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου εαρινού εξαμήνου (Ιούνιος 2015)

Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου εαρινού εξαμήνου (Ιούνιος 2015) Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου εαρινού εξαμήνου 204 5 (Ιούνιος 205) ΘΕΜΑ Ο (4,0 μονάδες) Στο παρακάτω σχήμα δίνεται το δομικό (λειτουργικό) διάγραμμα ενός συστήματος. α. Να προσδιοριστούν οι τιμές

Διαβάστε περισσότερα

Controllers - Eλεγκτές

Controllers - Eλεγκτές Controller - Eλεγκτές Στις επόμενες ενότητες θα εξετασθούν οι βιομηχανικοί ελεγκτές ή ελεγκτές τριών όρων PID, (με τους διάφορους συνδυασμούς τους όπως: P, PI ή PID). Η προτίμηση των ελεγκτών PID οφείλεται

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Καθηγητής κ. Σ. Νατσιάβας Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων Στοιχεία Φοιτητή Ονοματεπώνυμο: Νατσάκης Αναστάσιος Αριθμός Ειδικού Μητρώου:

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα Β: Ευστάθεια Συστήματος (Α Μέρος) Όνομα Καθηγητή: Ραγκούση Μαρία Τμήμα: Ηλεκτρονικών Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακός Έλεγχος. 10 η διάλεξη Ασκήσεις. Ψηφιακός Έλεγχος 1

Ψηφιακός Έλεγχος. 10 η διάλεξη Ασκήσεις. Ψηφιακός Έλεγχος 1 Ψηφιακός Έλεγχος 10 η διάλεξη Ασκήσεις Ψηφιακός Έλεγχος 1 Άσκηση1 Ασκήσεις Επιθυμούμε να ελέγξουμε την γωνία ανύψωσης μιας κεραίας για να παρακολουθείται η θέση ενός δορυφόρου. Το σύστημα της κεραίας και

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιουνίου v 3 (t) - i 2 (t)

Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιουνίου v 3 (t) - i 2 (t) Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιουνίου 2015 ΘΕΜΑ 1 Ο (6,0 μονάδες) Δίνεται το κύκλωμα του σχήματος, όπου v 1 (t) είναι η είσοδος και v 3 (t) η έξοδος. Να θεωρήσετε μηδενικές αρχικές συνθήκες. v 1

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Γ.Π. ΠΑΠΑΒΑΣΙΛΟΠΟΥΛΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 2

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Γ.Π. ΠΑΠΑΒΑΣΙΛΟΠΟΥΛΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 2 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΗΜΑΤΩΝ ΕΛΕΓΧΟΥ ΚΑΙ ΡΟΜΠΟΤΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Γ.Π. ΠΑΠΑΒΑΣΙΛΟΠΟΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα 8 Μέθοδοι Βελτιστοποίησης

Περιεχόμενα 8 Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Περιεχόμενα 8 Μέθοδοι Βελτιστοποίησης 1 8.1 Βέλτιστη σχεδίαση συστημάτων αυτόματης ρύθμισης.......... 1 8.2 Ολοκληρωτικά κριτήρια........................... 5 8.2.1 Το γραμμικό βέλτιστο........................

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Κίνησης

Έλεγχος Κίνησης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα 1501 - Έλεγχος Κίνησης Ενότητα: Ελεγκτές - Controller Μιχαήλ Παπουτσιδάκης Τμήμα Αυτοματισμού Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών

Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών. Εισαγωγή (ορισμός προβλήματος, αριθμητική ολοκλήρωση ΣΔΕ, αντικατάσταση ΣΔΕ τάξης n με n εξισώσεις ης τάξης). Μέθοδος Euler 3. Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών

Κεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών Κεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών 7. Εισαγωγή (ορισμός προβλήματος, αριθμητική ολοκλήρωση ΣΔΕ, αντικατάσταση ΣΔΕ τάξης n με n εξισώσεις ης τάξης) 7. Μέθοδος Euler 7.3

Διαβάστε περισσότερα

Τελεστικοί Ενισχυτές

Τελεστικοί Ενισχυτές Τελεστικοί Ενισχυτές Ενισχυτές-Γενικά: Οι ενισχυτές είναι δίθυρα δίκτυα στα οποία η τάση ή το ρεύμα εξόδου είναι ευθέως ανάλογη της τάσεως ή του ρεύματος εισόδου. Υπάρχουν τέσσερα διαφορετικά είδη ενισχυτών:

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Ευστάθεια Συστημάτων Ελέγχου Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ Για τα µαθήµατα: Εισαγωγή στον Αυτόµατο Έλεγχο (5 ο Εξάµηνο ΣΗΜΜΥ) Σχεδίαση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου (6 ο Εξάµηνο ΣΗΜΜΥ)

ΑΣΚΗΣΗ Για τα µαθήµατα: Εισαγωγή στον Αυτόµατο Έλεγχο (5 ο Εξάµηνο ΣΗΜΜΥ) Σχεδίαση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου (6 ο Εξάµηνο ΣΗΜΜΥ) ΑΣΚΗΣΗ 7-2-27 Για τα µαθήµατα: Εισαγωγή στον Αυτόµατο Έλεγχο (5 ο Εξάµηνο ΣΗΜΜΥ) Σχεδίαση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου (6 ο Εξάµηνο ΣΗΜΜΥ) Ακαδηµαϊκό Έτος: 27-28 ιδάσκων:γ. Π. Παπαβασιλόπουλος Επιµέλεια

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚOΣ ΤΟΠΟΣ ΤΩΝ PIZΩN ή ΤΟΠΟΣ ΕVANS

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚOΣ ΤΟΠΟΣ ΤΩΝ PIZΩN ή ΤΟΠΟΣ ΕVANS ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΚOΣ ΤΟΠΟΣ ΤΩΝ PIZΩN ή ΤΟΠΟΣ ΕVANS Εισαγωγή Η μελέτη ενός ΣΑΕ μπορεί να γίνει με την επίλυση της διαφορικής εξίσωσης που το περιγράφει και είναι τόσο πιο δύσκολο, όσο μεγαλυτέρου βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ & ΕΛΕΓΧΟΣ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

ΔΥΝΑΜΙΚΗ & ΕΛΕΓΧΟΣ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΡΟΗΓΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ, ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ & ΡΟΜΠΟΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗ & ΕΛΕΓΧΟΣ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΧΕΙΜ17-18 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 2 ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ευστάθεια, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα

Ευστάθεια, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα 1. Ευστάθεια συστημάτων Ευστάθεια, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα Κατά την ανάλυση και σχεδίαση ενός συστήματος αυτομάτου ελέγχου, η ευστάθεια αποτελεί έναν πολύ σημαντικό παράγοντα και, γενικά, είναι επιθυμητό

Διαβάστε περισσότερα

Σφάλματα Είδη σφαλμάτων

Σφάλματα Είδη σφαλμάτων Σφάλματα Σφάλματα Κάθε μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους χαρακτηρίζεται από μία αβεβαιότητα που ονομάζουμε σφάλμα, το οποίο αναγράφεται με τη μορφή Τιμή ± αβεβαιότητα π.χ έστω ότι σε ένα πείραμα μετράμε την

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση: Ένα σύστηµα µε είσοδο u(t), έξοδο y(t) και διάνυσµα κατάστασης x(t) = (x 1 (t) x 2 (t)) T περιγράφεται από το ακόλουθο διάγραµµα:

Άσκηση: Ένα σύστηµα µε είσοδο u(t), έξοδο y(t) και διάνυσµα κατάστασης x(t) = (x 1 (t) x 2 (t)) T περιγράφεται από το ακόλουθο διάγραµµα: 1 Άσκηση: Ένα σύστηµα µε είσοδο u(t), έξοδο y(t) και διάνυσµα κατάστασης x(t) = (x 1 (t) x 2 (t)) T περιγράφεται από το ακόλουθο διάγραµµα: Όπου Κ R α) Να βρεθεί η περιγραφή στο χώρο κατάστασης και η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιανουαρίου Φεβρουαρίου 2015

Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιανουαρίου Φεβρουαρίου 2015 Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιανουαρίου Φεβρουαρίου 20 ΘΕΜΑ Ο (4,0 μονάδες). Να προσδιοριστεί η συνάρτηση μεταφοράς / του συστήματος που περιγράφεται από το δομικό (λειτουργικό) διάγραμμα. (2,0

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II Ενότητα #2: Ποιοτικά Χαρακτηριστικά Συστημάτων Κλειστού Βρόχου - Μόνιμα Σφάλματα Δημήτριος Δημογιαννόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Χρονική Απόκριση και Απόκριση Συχνότητας

Εισαγωγή στην Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Χρονική Απόκριση και Απόκριση Συχνότητας ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Εισαγωγή στην Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Χρονική Απόκριση και Απόκριση Συχνότητας 6 Ncola Tapaoul Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [5]: Κεφάλαιο 4 Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις 1 ου Θέματος [8 Χ 0.25= 2.0 β.] Οι απαντήσεις πρέπει υποχρεωτικά νε βρίσκονται εντός του περιγεγραμμένου χώρου G()

Ερωτήσεις 1 ου Θέματος [8 Χ 0.25= 2.0 β.] Οι απαντήσεις πρέπει υποχρεωτικά νε βρίσκονται εντός του περιγεγραμμένου χώρου G() ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Τελική εξέταση Ιουνίου Να επιστραφεί η εκφώνηση των θεμάτων υπογεγραμμένη από τον εξεταστή ΕΠΩΝΥΜΟ εξεταζόμενου/ης ΟΝΟΜΑ εξεταζόμενου/ης Αριθμός Μητρώου Έτος π.χ. ΓΔΕΕκ.λ.π.

Διαβάστε περισσότερα

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex 3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x

Διαβάστε περισσότερα

Ισοδυναµία τοπολογιών βρόχων.

Ισοδυναµία τοπολογιών βρόχων. Ισοδυναµία τοπολογιών βρόχων. Κατά κανόνα, συµφέρει να ανάγουµε τις «πολύπλοκες» τοπολογίες βρόχων σε έναν απλό κλειστό βρόχο, µε µία συνάρτηση µεταφοράς στον κατ ευθείαν κλάδο και µία συνάρτηση µεταφοράς

Διαβάστε περισσότερα

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. Σφάλματα Κάθε μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους χαρακτηρίζεται από μία αβεβαιότητα που ονομάζουμε σφάλμα, το οποίο αναγράφεται με τη μορφή Τιμή ± αβεβαιότητα π.χ έστω ότι σε ένα πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Μια από τις σημαντικότερες δυσκολίες που συναντά ο φυσικός στη διάρκεια ενός πειράματος, είναι τα σφάλματα.

Μια από τις σημαντικότερες δυσκολίες που συναντά ο φυσικός στη διάρκεια ενός πειράματος, είναι τα σφάλματα. Εισαγωγή Μετρήσεις-Σφάλματα Πολλές φορές θα έχει τύχει να ακούσουμε τη λέξη πείραμα, είτε στο μάθημα είτε σε κάποια είδηση που αφορά τη Φυσική, τη Χημεία ή τη Βιολογία. Είναι όμως γενικώς παραδεκτό ότι

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Απόκριση Συχνότητας Αναλογικών Σ.Α.Ε Διαγράμματα BODE Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ & ΕΛΕΓΧΟΣ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

ΔΥΝΑΜΙΚΗ & ΕΛΕΓΧΟΣ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ ΧΕΙΜ5-6 ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΡΟΗΓΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ, ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ & ΡΟΜΠΟΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗ & ΕΛΕΓΧΟΣ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 3 ΕΛΕΓΧΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

6. Στατιστικές μέθοδοι εκπαίδευσης

6. Στατιστικές μέθοδοι εκπαίδευσης 6. Στατιστικές μέθοδοι εκπαίδευσης Μία διαφορετική μέθοδος εκπαίδευσης των νευρωνικών δικτύων χρησιμοποιεί ιδέες από την Στατιστική Φυσική για να φέρει τελικά το ίδιο αποτέλεσμα όπως οι άλλες μέθοδοι,

Διαβάστε περισσότερα

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER 4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Σκοπός του κεφαλαίου είναι να παρουσιάσει μερικές εφαρμογές του Μετασχηματισμού Fourier (ΜF). Ειδικότερα στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφούν έμμεσοι τρόποι

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 9 Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Σε ότι ακολουθεί με τον όρο συνάρτηση θα εννοούμε μια πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής, ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Βαθμολογία Προβλημάτων Θέμα (μέγιστος βαθμός) (βαθμός εξέτασης)

Βαθμολογία Προβλημάτων Θέμα (μέγιστος βαθμός) (βαθμός εξέτασης) 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΙΙ - Τελική εξέταση Ιουλίου 007 ΕΠΩΝΥΜΟ (εξεταζόμενου/ης) ΟΝΟΜΑ (εξεταζόμενου/ης) Αριθμός Μητρώου Υπογραφή (εξεταζόμενου/ης)

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Γεωμετρικός Τόπος Ριζών Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΚΑΙ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ

ΕΛΕΓΧΟΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΚΑΙ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΚΑΙ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΜΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Προσαρμοζόμενο (adaptive) ονομάζεται ένα σύστημα ελέγχου, που μπορεί να προσαρμόσει τις παραμέτρους του αυτόματα, κατά τέτοιο

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές Δυναμική Μηχανών I Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις 5 3 Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

website:

website: Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Μαθηματική Μοντελοποίηση Αναγνώριση Συστημάτων Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 6 Μαρτίου 2017 1 Εισαγωγή Κάθε φυσικό σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

5. (Λειτουργικά) Δομικά Διαγράμματα

5. (Λειτουργικά) Δομικά Διαγράμματα 5. (Λειτουργικά) Δομικά Διαγράμματα Γενικά, ένα λειτουργικό δομικό διάγραμμα έχει συγκεκριμένη δομή που περιλαμβάνει: Τις δομικές μονάδες (λειτουργικά τμήματα ή βαθμίδες) που συμβολίζουν συγκεκριμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ & ΘΡΑΚΗΣ

ΤΕΙ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ & ΘΡΑΚΗΣ ΤΕΙ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ & ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Τ.Ε Πτυχιακή εργασία ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΘΕΣΗΣ ΓΡΑΦΙΔΑΣ ΕΚΤΥΠΩΤΗ ΕΚΠΟΝΗΣΗ: ΚΟΛΙΩΤΣΑ ΜΑΡΙΑ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΤΣΙΡΙΓΩΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου

Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα 7 η : ΕΛΕΓΚΤΕΣ PID Επ. Καθηγητής Γαύρος Κωνσταντίνος ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών. Διάλεξη 13

Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών. Διάλεξη 13 Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τομέας Συστημάτων και Αυτομάτου Ελέγχου ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Διάλεξη 13 Πάτρα 28 Προσαρμοστικός έλεγχος με μοντέλο αναφοράς

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Η έννοια του ορίου στο x ο Υπάρχουν συναρτήσεις οι τιμές των οποίων πλησιάζουν ένα πραγματικό αριθμό L, όταν η ανεξάρτητη μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transfer function) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙ ΤΩΝ ΠΟΛΩΝ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΞΟΔΟΥ Y(s) ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΓΝΩΡΙΣΜΑΤΑ ΤΗΣ ΧΡΟΝΙΚΗΣ ΑΠΟΚΡΙΣΗΣ ΣΕ ΕΙΣΟΔΟ ΜΟΝΑΔΙΑΙΑΣ ΒΑΘΜΙΔΑΣ

ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙ ΤΩΝ ΠΟΛΩΝ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΞΟΔΟΥ Y(s) ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΓΝΩΡΙΣΜΑΤΑ ΤΗΣ ΧΡΟΝΙΚΗΣ ΑΠΟΚΡΙΣΗΣ ΣΕ ΕΙΣΟΔΟ ΜΟΝΑΔΙΑΙΑΣ ΒΑΘΜΙΔΑΣ ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙ ΤΩΝ ΠΟΛΩΝ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΞΟΔΟΥ Y(s) 1 Πόλος στην αρχή των αξόνων: 2 Πόλος στον αρνητικό πραγματικό ημιάξονα: 3 Πόλος στον θετικό πραγματικό ημιάξονα: 4 Συζυγείς πόλοι πάνω

Διαβάστε περισσότερα

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΟΝΙΜΗΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΟΝΙΜΗΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΙΙ Χρονική Απόκριση Συστηµάτων Τα περισσότερα συστήµατα είναι από την φύση τους δυναµικά και παρουσιάζουν κάποιας µορφής αδράνεια

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων Εξεταστικής Περιόδου Σεπτεμβρίου 2014

Λύσεις θεμάτων Εξεταστικής Περιόδου Σεπτεμβρίου 2014 Λύσεις θεμάτων Εξεταστικής Περιόδου Σεπτεμβρίου 204 ΘΕΜΑ Ο (2,0 μονάδες) Η διαδικασία διεύθυνσης ενός αυτοκινήτου κατά την οδήγησή του μπορεί να περιγραφεί με ένα σύστημα αυτομάτου ελέγχου κλειστού βρόχου.

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης

Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης Εισαγωγή Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης: Δ18- Η δυναμική μετατόπιση u(t) είναι δυνατό να προσδιοριστεί με απ ευθείας αριθμητική ολοκλήρωση της εξίσωσης

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 3. Έλεγχος ανατροφοδότησης κατάστασης dc κινητήρα. Έλεγχος ανατροφοδότησης κατάστασης

Άσκηση 3. Έλεγχος ανατροφοδότησης κατάστασης dc κινητήρα. Έλεγχος ανατροφοδότησης κατάστασης Άσκηση 3 Έλεγχος ανατροφοδότησης κατάστασης dc κινητήρα Έλεγχος ανατροφοδότησης κατάστασης Ένα γραμμικό χρονικά αμετάβλητο (LTI) σύστημα όπως γνωρίζουμε, μπορεί να περιγραφεί στο πεδίο του χρόνου μέσω

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Ο ελεγκτής PID χοντρικά...

Ο ελεγκτής PID χοντρικά... Ο ελεγκτής PID χοντρικά... Έχετε ένα αμάξι που με τέρμα γκάζι πηγαίνει 200χλμ.. Σας λέει κάποιος λοιπόν ότι θέλει να πάτε με 100 ακριβώς. Λέει κάποιος άλλος..θα πατήσω το γκάζι μέχρι την μέση και άρα θα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στον Αυτόματο Έλεγχο ( ) Σημειώσεις Μαθήματος Μέρος 3ο: Κλασσικός Έλεγχος. Γεώργιος Παπαλάμπρου

Εισαγωγή στον Αυτόματο Έλεγχο ( ) Σημειώσεις Μαθήματος Μέρος 3ο: Κλασσικός Έλεγχος. Γεώργιος Παπαλάμπρου Εισαγωγή στον Αυτόματο Έλεγχο (8.3.01.5) Σημειώσεις Μαθήματος 2012-2013 Μέρος 3ο: Κλασσικός Έλεγχος Γεώργιος Παπαλάμπρου 2 Δρ. Γεώργιος Παπαλάμπρου Λέκτορας ΕΜΠ Εργαστήριο Ναυτικής Μηχανολογίας Σχολή Ναυπηγών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηματισμοί Laplace

Μετασχηματισμοί Laplace Μετασχηματισμοί Laplace Ιδιότητες μετασχηματισμών Laplace Βασικά ζεύγη μετασχηματισμών Laplace f(t) F(s) δ(t) 1 u(t) 1 / s t 1 / s 2 t n n! / s n1 e αt, α>0 1 / (s α) te αt, α>0 1 / (s α) 2 ημωt ω / (s

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΙΙ - Τελική εξέταση Σεπτεμβρίου 2008 ΕΠΩΝΥΜΟ (εξεταζόμενου/ης)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΙΙ - Τελική εξέταση Σεπτεμβρίου 2008 ΕΠΩΝΥΜΟ (εξεταζόμενου/ης) 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΙΙ - Τελική εξέταση Σεπτεμβρίου 008 ΕΠΩΝΥΜΟ (εξεταζόμενου/ης) ΟΝΟΜΑ (εξεταζόμενου/ης) Αριθμός Μητρώου Έτος (π.χ. Γ,Δ,Ε,Ε,κ.λ.π.) Υπογραφή εξεταστή Υπογραφή

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου

Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα 3 η : ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Επ. Καθηγητής Γαύρος Κωνσταντίνος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση και υπολογισμός του βρόχου φάσης (PLL). Β μέρος του Αθανάσιου Νασιόπουλου Τμήμα Ηλεκτρονικής ΤΕΙ Αθήνας

Ανάλυση και υπολογισμός του βρόχου φάσης (PLL). Β μέρος του Αθανάσιου Νασιόπουλου Τμήμα Ηλεκτρονικής ΤΕΙ Αθήνας Ανάλυση και υπολογισμός του βρόχου φάσης (PLL). Β μέρος του Αθανάσιου Νασιόπουλου Τμήμα Ηλεκτρονικής ΤΕΙ Αθήνας 1. Εισαγωγή Στο προηγούμενο μάθημα - εισήγηση αναλύθηκε ποιοτικά η λειτουργία του βρόχου

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Παράδειγμα 1 Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με _ + Σχήμα 1 στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Α) Γράψτε το σύστημα ευθέως κλάδου σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση Ηλεκτρονικών Κυκλωμάτων RF

Σχεδίαση Ηλεκτρονικών Κυκλωμάτων RF ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ᄃ Σχεδίαση Ηλεκτρονικών Κυκλωμάτων F Ασκήσεις Ενότητας: Ταλαντωτές και Πολυδονητές Στυλιανός Μυτιληναίος Τμήμα Ηλεκτρονικής, Σχολή

Διαβάστε περισσότερα

συστημάτων αυτόματης ρύθμισης... 34

συστημάτων αυτόματης ρύθμισης... 34 Περιεχόμενα 5 Πειραματικοί Μέθοδοι Προσδιορισμού Μεγεθών Γραμμικών Συστημάτων Ρύθμισης 5. Γενικά..................................... 5.2 Αναλυτικές μέθοδοι για τον προσδιορισμό της συνάρτησης μετάβασης

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Υπολογισμοί και Σφάλματα Παράσταση Πραγματικών Αριθμών Συστήματα Αριθμών Παράσταση Ακέραιου

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη προβλημάτων ΠΗΙ λόγω λειτουργίας βοηθητικών προωστήριων μηχανισμών

Μελέτη προβλημάτων ΠΗΙ λόγω λειτουργίας βοηθητικών προωστήριων μηχανισμών «ΔιερΕΥνηση Και Aντιμετώπιση προβλημάτων ποιότητας ηλεκτρικής Ισχύος σε Συστήματα Ηλεκτρικής Ενέργειας (ΣΗΕ) πλοίων» (ΔΕΥ.Κ.Α.Λ.Ι.ΩΝ) πράξη ΘΑΛΗΣ-ΕΜΠ, πράξη ένταξης 11012/9.7.2012, MIS: 380164, Κωδ.ΕΔΕΙΛ/ΕΜΠ:

Διαβάστε περισσότερα

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ 7 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ Δρ. Γιωργος Μαϊστρος Παράγοντας ης τάξης (+jωτ) Αντιστοιχεί σε πραγματικό πόλο: j j j Έτσι το μέτρο: ιαγράμματα χρήση ασυμπτώτων τομή τους

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές 0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)

Διαβάστε περισσότερα

Ακαδηµαϊκό Έτος , Εαρινό Εξάµηνο ιδάσκων Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης

Ακαδηµαϊκό Έτος , Εαρινό Εξάµηνο ιδάσκων Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ, ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΚΕΣ : ΑΥΤΟΜΑΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Ακαδηµαϊκό Έτος 5 6, Εαρινό Εξάµηνο Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Το τρέχον έγγραφο αποτελεί υπόδειγµα

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Αυτόματος Έλεγχος. Ενότητα 12 η : Συστήματα ελέγχου πολλαπλών βρόχων ανάδρασης. Παναγιώτης Σεφερλής

Αυτόματος Έλεγχος. Ενότητα 12 η : Συστήματα ελέγχου πολλαπλών βρόχων ανάδρασης. Παναγιώτης Σεφερλής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα η : Συστήματα ελέγχου πολλαπλών βρόχων ανάδρασης Παναγιώτης Σεφερλής Εργαστήριο Δυναμικής Μηχανών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια

Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια 6 Nicol Tptouli Ευστάθεια και θέση πόλων Σ.Α.Ε ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων

Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2016-2017 Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα