Matematika 1 PODSJETNIK ZA UČENJE. Ivan Slapničar Marko Matić.
|
|
|
- Ήλιόδωρος Ρέντης
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Ivan Slapničar Marko Matić Matematika 1 PODSJETNIK ZA UČENJE Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Split, 2001.
2 Sadržaj 1 Osnove matematike 3 2 Linearna algebra 4 3 Vektorska algebra i analitička geometrija 6 4 Funkcije realne varijable 8 5 Derivacije i primjene 9 6 Nizovi i redovi 10 Ova skripta kao i internet materijali na adresi nastala su suradnjom CARNet-a i Fakulteta elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje u Splitu na projektu Predavanja, vježbe i zadaci iz Matematike 1. Copyright c 2002, Ivan Slapničar i Marko Matić. Sva prava pridržana.
3 1 Osnove matematike 1. Što je sud? Dajte primjer. 2. Kako glase tablice istinitosti slijedećih logičkih operacija: konjunkcija, disjunkcija, ekskluzivna disjunkcija, implikacija, ekvivalencija, negacija? 3. Što je predikat? Dajte primjer. 4. Objasnite univerzalni kvantifikator i egzistencijalne kvantifikatore i!. 5. Kako definiramo partitivni skup? 6. Što je binarna relacija? Kada kažemo da je binarna relacija refleksivna (simetrična, tranzitivna, ekvivalencija)? Primjeri. 7. Kako definiramo relaciju potpunog uredaja? Kako definiramo relaciju parcijalnog uredaja? Navedite primjere. Što je potpuno ureden skup? Što je gornja, a što donja meda? Što su infimum i supremum, a što minimum i maksimum? Navedite primjere. Što je funkcija? Što je domena, a što kodomena? Kako definiramo kompoziciju funkcija? Dokažite h (g f) = (h g) f. 10. Definirajte slijedeće vrste funkcija: surjekcija, injekcija, bijekcija, inverzna funkcija, restrikcija, ekstenzija. 11. Kada su skupovi ekvipotentni? Kako definiramo beskonačan skup? 12. Kako glase Peanovi aksiomi? Kako definiramo skup prirodnih brojeva N? Kako glasi princip matematičke indukcije? 13. Dokažite da je skup N beskonačan. 14. Što su binomni koeficijenti? Što nam o njima kaže Pascalov trokut? 15. Kako glasi binomni poučak? 16. Kako definiramo skupove Z, Q i R? 17. Dokažite da su skupovi N, Z i Q ekvipotentni. 3
4 18. Koje baze za brojevne sustave koristimo u praksi? 19. Koji od skupova N, Z, Q i R su diskretni; prebrojivi; gusti? 20. Dokažite da je Q gust, to jest da izmedu svaka dva različita racionalna broja imamo beskonačno racionalnih brojeva. Dokažite da postoje iracionalni brojevi tako što ćete pokazati da 2 Q. 21. Objasnite princip rada računala. 22. Koja su svojstva apsolutne vrijednosti realnog broja? 23. Kako definiramo skup kompleksnih brojeva C? Što je z, a što z? Kako zbrajamo kompleksne brojeve? Koja su svojstva operacija sa kompleksnim brojevima? Dajte primjere. 24. Što je trigonometrijski oblik kompleksnog broja? Kako prebacujemo kompleksne brojeve iz jednog u drugi oblik? Navedite primjer. 25. Nacrtajte skupove z z 0 r i z z 1 + z z 2 r. 26. Kako glase Moivreove formule za potenciranje kompleksnih brojeva i za vadenje n-tog korjena? Dokažite Moivreovu formulu za z Kako glasi eksponencijalni oblik kompleksnog broja? Kako definiramo potenciranje s kompleksnim eksponentom? 2 Linearna algebra Što je sustav linearnih jednadžbi? Što je matrica? Kako zbrajamo matrice? Kako množimo matrice? 3. Što je jedinična matrica; nul-matrica; transponirana matrica; simetrična matrica? 4. Kako pomoću matrice zapisujemo sustav linearnih jednadžbi? 5. Kako rješavamo trokutaste sustave? Opišite postupak Gaussove eliminacije. Što je pivotiranje? 6. Kada su vektori linearno nezavisni? Kako definiramo rang matrice? Kako odredujemo rang matrice? 4
5 7. Kada kažemo da su dvije matrice ekvivalentne i što vrijedi u tom slučaju? 8. Kako glasi Kronecker Capellijev teorem? Dokažite da je sustav Ax = b rješiv ako i samo ako rang(a) = rang( [ A b ] ). 9. Što je inverzna matrica? Dokažite da je inverzna matrica jedinstvena ako postoji. Dokažite da je (AB) 1 = B 1 A Opišite postupak traženja inverzne matrice. 11. Dokažite da je matrica A reda n regularna ako i samo ako je rang(a) = n. 12. Definirajte slijedeće pojmove: permutacija, inverzija, parnost. 13. Što je determinanta? 14. Navedite i dokažite svojstva determinanti: (a) determinanta trokutaste matrice jednaka je produktu elemenata na dijagonali, (b) det(a) = det(a) T, (c) zamjenom dvaju stupaca (redaka) determinanta mijenja predznak, (d) determinanta matrice s dva jednaka stupca (retka) je jednaka nuli, (e) determinanta je linearna funkcija svojih stupaca (redaka), (f) ako determinanta ima nul stupac (redak), tada je jednaka nuli, (g) determinanta se ne mijenja ako nekom stupcu (retku) pribrojimo neki drugi stupac (redak) pomnožen s nekim brojem, (h) det(a B) = det(a)det(b) ako obje determinante na desnoj strani postoje (bez dokaza). 15. Dokažite da su lijedeće tvrdnje ekvivalentne: (a) rang(a) = n, (b) det(a) 0, (c) postoji A 1, 16. Kako možemo definirati rang pomoću poddeterminanti? 5
6 17. Objasnite Laplaceov razvoj determinante: det A = j a ij A ij = i a ij A ij. 18. Objasnite i dokažite formulu A 1 = 19. Izrecite i dokažite Cramerovo pravilo. 1 det(a)ãt. 3 Vektorska algebra i analitička geometrija 1. Što je usmjerena dužina? Što je vektor? Kako definiramo jednakost dvaju vektora? Koje je osnovno svojstvo Euklidovog prostora? 2. Što su kolinearni vektori? 3. Kako definiramo nul-vektor? 4. Kako zbrajamo i oduzimamo vektore? Kako množimo vektore skalarom? Koja su svojstva tih operacija? 5. Što je radijus-vektor? 6. Što je koordinatni sustav? Kako definiramo vektore u koordinatnom sustavu? Što su skalarne, a što vektorske komponente vektora? 7. Što su koplanarni vektori? 8. Kako definiramo duljinu vektora? Što je jedinični vektor? Što su kosinusi smjerova i kako ih možemo izračunati? 9. Kako definiramo linearnu zavisnost odnosno nezavisnost vektora? 10. Što je baza prostora? Kako možemo vektor x prikazati u bazi (0,a,b,c), pri čemu su a,b,c i x zadani u bazi (0,i,j,k)? Dajte primjer. 11. Kako glase geometrijska i koordinatna definicija skalarnog produkta? Navedite svojstva skalarnog produkta. 6
7 12. Kako pomoću skalranog produkta računamo kut izmedu dva vektora? 13. Kako glase geometrijska i koordinatna definicija vektorskog produkta. Navedite svojstva vektorskog produkta i usporedite ih sa svojstvima determinanti. 14. Kako računamo površinu paralelograma, a kako površinu trokuta? Dajte primjere. 15. Kako glase geometrijska i koordinatna definicija mješovitog produkta. Navedite svojstva skalarnog produkta i usporedite ih sa svojstvima determinanti. 16. Objasnite zašto je (a b) c) = ±V, gdje je V volumen paralelopipeda kojeg razapinju vektori a, b i c. 17. Kako računamo volumen paralelopipeda, a kako volumen tetraedra? Dajte primjere. 18. Čemu je jednako (a b) c, a (b c)? 19. Izvedite jednadžbe pravca: vektorsku, parametarsku, kanonsku, kao presjek dvaju ravnina. Primjer. 20. Izvedite jednadžbe ravnine: vektorsku, segmentnu, kroz tri točke, kroz jednu točku uz zadani vektor normale n, opći oblik. Dajte primjere. 21. Kada su dva pravca paralelna? Kada su dvije ravnine paralelne? Kako možemo odrediti kut izmedu pravca i ravnine, dvije ravnine, dva pravca? 22. Kako odredujemo sjecište dvaju pravaca, dvije ravnine, pravca i ravnine? Dajte primjere. 23. Kako odredujemo udaljenost dvije točke, točke i pravca, točke i ravnine, dva pravca, dvije ravnine, pravca i ravnine? Dajte primjere. 24. Kako odredujemo težište trokuta, upisanu kružnicu, opisanu kružnicu, ortocentar? Dajte primjere. 25. Kako odredujemo projekciju točke na ravninu, točke na pravac, pravca na ravninu? Dajte primjere. 7
8 4 Funkcije realne varijable 1. Opišite načine zadavanja funkcija i navedite primjere. 2. Kako definiramo slijedeće vrste funkcija: omedena, parna, neparna, rastuća, strogo rastuća, periodička? 3. Definirajte limes funkcije f u točki x. Dokažite da je limes jedinstven ako postoji. Kako definiramo limese s lijeva i zdesna? Navedite svojstva limesa ( pravilo ukliještene funkcije; pravilo zamjene; limes zbroja, produkta, kvocijenta). Kako definiramo limese u beskonačnosti i beskonačne limese? 4. Kada kažemo da je funkcija f neprekidna u točki x? Kada kažemo da je funkcija f neprekidna na skupu A? Koja su osnovna svojstva neprekidnih funkcija? Ilustrirajte svojstva primjerima. 5. Kakve vrste prekida imamo? Navedite nekoliko primjera. 6. Što su asimptote i kako ih računamo? 7. Nacrtajte funkcije x 2, ( 4 x) 2 i 4 x Kako definiramo logaritamske funkcije? Dokažite da je log(xy) = log x + log y. Dokažite da je log a x = log a b log b x. 9. Objasnite opću sinusoidu f(x) = A sin(φx + ψ). 10. Dokažite kosinusov poučak i adicione teoreme Definirajte i nacrtajte sve elementarne funkcije: polinom n-tog stupnja, racionalnu funkciju, n-ti korijen, trigonometrijske funkcije, arkus funkcije, eksponencijalne funkcije i logaritamske funkcije (za različite baze), hiperbolne i area funkcije. 12. Što je inverzna funkcija i kada postoji? Što je (f f 1 )(x)? Nacrtajte funkcije f(x) = arcsin(sin x) i g(x) = sin(arcsin x). 13. Što kaže osnovni teorem algebre o nul-točkama polinoma n-tog stupnja? 8
9 14. Dostiže li neprekidna funkcija na zatvorenom skupu svoj maksimum i minimum? 15. Kakva mora biti biti funkcija f da vrijedi 5 Derivacije i primjene lim f(x) = f( lim x)? x x 0 x x 0 1. Kako definiramo derivaciju? Koja je geometrijska interpretacija derivacije? 2. Izvedite formule za derivaciju elementarnih funkcija. Dokažite formule za derivaciju zbroja, umnoška i kvocijenta. 3. Kako deriviramo inverznu funkciju? Kako deriviramo kompoziciju funkcija? Kako deriviramo implicitno zadanu funkciju? Dajte primjere. 4. Objasnite postupak logaritamskog deriviranja Navedite primjer. 5. Što je diferencijal? Koja je geometrijska interpretacija? Kako diferencijal možemo koristiti za približno računanje? 6. Kako definiramo derivacije i diferencijale višeg reda? 7. Izvedite formule za prvu i drugu derivaciju parametarski zadane funkcije. 8. Izrecite i dokažite Fermatov teorem. 9. Izrecite i dokažite Rolleov teorem. 10. Izrecite i dokažite Cauchyjev teorem srednje vrijednosti. 11. Izrecite i dokažite Lagrangeov teorem srednje vrijednosti. Koja je geometrijska interpretacija Lagrangeovog teorema? Zbog čega su važne pretpostavke teorema? 12. Navedite sedam neodredenih oblika koji se mogu javiti prilikom računanja limesa. 13. Izrecite L Hospitalovo pravilo. Dokažite L Hospitalovo pravilo za slučaj. Navedite nekoliko primjera
10 14. Dokažite da je derivabilna funkcija strogo rastuća na nekom otvorenom intervalu ako i samo je njena derivacija veća od nule. 15. Definirajte lokalne i globalne ekstreme. 16. Što je kritična, a što stacionarna točka? 17. Kako glasi nuždan uvjet ekstrema? 18. Kako glasi dovoljan uvjet ekstrema? (Preko promjene predznaka prve derivacije ili preko druge ili viših derivacija) Dokažite navede dovoljne uvjete ekstrema. 19. Kako definiramo konveksnost i konkavnost? Koja su svojstva grafa konveksne i konkavne funkcije? Kako možemo provjeriti konveksnost i konkavnost pomoću druge derivacije? 20. Što je točka infleksije i kada postoji? 21. Kako ispitujemo tok funkcije? Navedite primjer. 22. Kako ispitujemo tok parametarski zadane funkcije? Navedite primjer. 6 Nizovi i redovi 1. Što je niz? Kada je niz padajući, a kada strogo padajući? Kada je niz monoton? 2. Kako definiramo limes niza? Riješite osnovnu nejednadžbu konvergencije za neki konkretan niz. 3. Dokažite da je limes niza jedinstven. 4. Što je gomilište? Što je lim supa n, a što lim inf a n? 5. Što je podniz? Kako još možemo definirati gomilište (pomoću podniza)? 6. Konvergentan niz je omeden. Dokaz. 7. Svaki niz ima monoton podniz. Dokaz. 8. Monoton i omeden niz je konvergentan. Dokaz. 10
11 9. Dokažite da je niz ( e lim ) n n n konvergentan (rastući i omeden odozgo). 10. Kako možemo odrediti sin n lim n n? 11. Navedite dovoljan uvjet konvergencije niza (niz konvergira ako i samo ako je Cauchyjev). 12. Dokažite n a 1, n n Što je red brojeva? Kako definiramo sumu reda (limes niza parcijalnih suma)? 14. Što je geometrijski red? Opišite Zenonov paradoks. 15. Dokažite nuždan uvjet konvergencije reda (a n 0). 16. Opišite konvergenciju reda 1 n p u ovisnosti o parametru p. 17. Dokažite da harmonijski red 1 n divergira. 18. Opišite konvergenciju reda u ovisnosti o parametrima α i β. (n + 1) α (n!) β 19. Opišite kriterije konvergencije za redove s pozitivnim članovima poredbeni; D Alembertov; Cauchyjev; Raabeov. 11
12 20. Što je apsolutna konvergencija? Da li apsolutna konvergencija nekog reda povlači i konvergenciju tog reda? 21. Kako glasi Leibnitzov kriterij konvergencije i za kakve ga redove koristimo? 22. Što je niz funkcija? Navedite primjer. 23. Kako definiramo konvergenciju po točkama (običnu konvergenciju) niza funkcija? Naveidte primjere. 24. Kako definiramo uniformnu konvergenciju niza funkcija? Da li uniformna konvergencija povlači običnu konvergenciju? Navedite primjer. 25. Što je red funkcija? Navedite primjer. 26. Kako definiramo konvergenciju po točkama (običnu konvergenciju) reda funkcija? (Ili kao konvergenciju redova brojeva koji se dobiju kada uvrštavamo točke iz domene ili kao običnu konvergenciju pripadnog niza parcijalnih suma funkcija.) Navedite primjere. 27. Definirajte uniformnu i apsolutnu konvergenciju reda funkcija. Kako glasi Weierstraßov kriterij konvergencije? 28. Kako se nalazi područje konvergencije reda funkcija? Dajte primjer. 29. Što je red potencija i njegov radijus konvergencije? 30. Ispitajte konvergenciju reda 1 n xn. Uputa: prvo se nade područje apsolutne konvergencije pomoću kriterija za konvergenciju redova s pozitivnim članovima, a potom se posebno ispitaju rubovi područja apsolutne konvergencije. 31. Kada možemo derivirati red funkcija? Kako deriviramo red potencija? Navedite nakoliko primjera. 32. Kako glasi Taylorova formula i čemu služi? Što je ostatak? 33. S kojom točnošću Taylorov (ili MacLaurinov) red aproksimira zadanu funkciju u nekoj točki? 12
13 34. Koje vrijednosti funkcije ln x možemo izračunati pomoću MacLaurinovog reda funkcije ln 1 + x 1 x? 35. Kako glase MacLaurinovi redovi za funkcije e x, sin x, cos x, ln(1 + x), ln((1 + x)/(1 x))? Izvedite te redove i njihovo područje konvergencije. 13
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Linearna algebra Materijali za nastavu iz Matematike 1
Linearna algebra Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 40 Uvod Matrica: matematički objekt koji se sastoji od brojeva koji su rasporedeni u retke
Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
![Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.](/thumbs/72/66829778.jpg "Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.")
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
1 / 79 MATEMATIČKA ANALIZA II REDOVI
/ 79 MATEMATIČKA ANALIZA II REDOVI 6.. Definicija reda Promatrajmo niz Definicija reda ( ) n 2 :, 2 2 3 2 4 2,... Postupno zbrajajmo elemente niza: = + 2 2 = 5 4 + 2 2 + 3 2 = 49 36 + 2 2 + 3 2 + 4 2 =
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1
Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 45 Definicija derivacije funkcije Neka je funkcija f definirana u okolini točke x 0 i
2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Ispit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
LINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ
LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F
Zadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
4.1 Elementarne funkcije
. Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Ivan Slapničar MATEMATIKA 1. Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Split, 2002.
Ivan Slapničar MATEMATIKA http://www.fesb.hr/mat Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Split, 2002. Sadržaj Popis slika Popis tablica Predgovor xi xiii xv OSNOVE MATEMATIKE. Osnove matematičke
DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
Dijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Skupovi brojeva Materijali za nastavu iz Matematike 1
Skupovi brojeva Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 32 Podsjetnik teorije skupova Operacije sa skupovima: A B = {x : x A x B} A B = {x : x A
4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije
4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa
- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
k a k = a. Kao i u slučaju dimenzije n = 1 samo je jedan mogući limes niza u R n :
4 Nizovi u R n Neka je A R n. Niz u A je svaka funkcija a : N A. Označavamo ga s (a k ) k. Na primjer, jedan niz u R 2 je dan s ( 1 a k = k, 1 ) k 2, k N. Definicija 4.1. Za niz (a k ) k R n kažemo da
4. DERIVACIJA FUNKCIJE 1 / 115
4. DERIVACIJA FUNKCIJE 1 / 115 2 / 115 Motivacija: aproksimacija funkcije, problemi brzine i tangente Motivacija: aproksimacija funkcije, problemi brzine i tangente Povijesno su dva po prirodi različita
3 Funkcije. 3.1 Pojam funkcije
3 Funkcije 3.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
M086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.
M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
APROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:
2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i
Osnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Analitička geometrija i linearna algebra
1. VEKTORI POJAM VEKTORA Svakodnevno se susrećemo s veličinama za čije je određivanje potrean samo jedan roj. Na primjer udaljenost, površina, volumen,. Njih zovemo skalarnim veličinama. Međutim, postoje
MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
Redovi funkcija. Redovi potencija. Franka Miriam Brückler
Franka Miriam Brückler Redovi funkcija 1 + (x 2) + 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 +... = (x 2)2 2! + (x 2)3 3! + +... = sin(x) + sin(2x) + sin(3x) +... = x n, + + n=1 (x 2) n, n! sin(nx). Redovi funkcija 1 +
MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
JMBAG IM I PZIM BOJ BODOVA MJA I INTGAL 2. kolokvij 30. lipnja 2017. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je (, F, µ) prostor mjere i neka je (
Diferencijalni i integralni račun I. Prirodoslovno matematički fakultet
Diferencijalni i integralni račun I Saša Krešić-Jurić Prirodoslovno matematički fakultet Sveučilište u Splitu Sadržaj Skupovi i funkcije. Skupovi N, Z i Q................................. 4.2 Skup realnih
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LIMES NIZOVA LIMES MONOTONIH NIZOVA GEOMETRIJSKOG REDA LIMES FUNKCIJA 1 2.4. LIMES NIZA I TEOREMI O LIMESIMA 2.4.1. Definicija limesa i konvergentnog niza 2.4.1.1 Riješeni
3. poglavlje (korigirano) F U N K C I J E
. Funkcije (sa svim korekcijama) 5. poglavlje (korigirano) F U N K C I J E U ovom poglavlju: Elementarne unkcije Inverzne unkcije elementarnih unkcija Domena složenih unkcija Inverz složenih unkcija Ispitivanje
Vektori. 28. studenoga 2017.
Vektori 28. studenoga 2017. 1 / 42 Skalarna veličina: veličina odredena samo jednim (realnim) brojem ili skalarom npr. skalarne veličine su udaljenost, masa, površina, volumen,... Vektorska veličina: veličina
MATEMATIKA 1. Ivan Slapničar Josipa Barić. Zbirka zadataka.
Ivan Slapničar Josipa Barić Marina Ninčević MATEMATIKA Zbirka zadataka http://wwwfesbunisthr/mat Sveučilište u Splitu Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Split, rujan 08 Sadržaj Popis
Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
f : C C f(z) = w = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y), u, v : R 2 R, u(x, y) = Rew, v(x, y) = Imw
1. Funkcije kompleksne varijable f : C C f(z) = w = f(x + iy) = u(x y) + iv(x y) u v : R R u(x y) = Rew v(x y) = Imw Elementarne funkcije kompleksnog argumenta. 1. Eksponencijalna funkcija w = e z z C
Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
ISPITNI ZADACI FORMULE. A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule)
FORMULE Implicitni oblik jednadžbe pravca A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule) Eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili Pravci paralelni s koordinatnim osima - Kada je u općoj jednadžbi
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
Sadržaj: Diferencijalni račun (nastavak) Derivacije višeg reda Približno računanje pomoću diferencijala funkcije
Sadržaj: Diferencijalni račun (nastavak) Derivacije višeg reda Približno računanje pomoću diferencijala funkcije Osnovni teoremi diferencijalnog računa L Hospitalovo pravilo Derivacije višeg reda Derivacija
16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum
16 Lokalni ekstremi Važna primjena Taylorovog teorema odnosi se na analizu lokalnih ekstrema (minimuma odnosno maksimuma) relanih funkcija (više varijabli). Za n = 1 i f : a,b R ako funkcija ima lokalni
Uvod u diferencijalni račun
Uvod u diferencijalni račun Franka Miriam Brückler Problem tangente Ako je zadana neka krivulja i odabrana točka na njoj, kako konstruirati tangentu na tu krivulju u toj točki? I što je to uopće tangenta?
VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1
VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 14 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, točke infleksije i ekstremi funkcija Poglavlje 1 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, to ke ineksije
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo
ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš
1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Predavanja: Nenad Bakić, Vježbe: Luka Grubišić i Maja Starčević 22. listopada 2007. 1 Prostor radijvektora i sustavi linearni jednadžbi Neka je E 3 trodimenzionalni
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
5. PARCIJALNE DERIVACIJE
5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x
2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1
2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.
Matematika 1 { fiziqka hemija
UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju
Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1
Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 76 Definicija funkcije Funkcija iz skupa X u skup Y je svako pravilo f po kojemu se elementu x X
KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr
KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,
Linearna algebra za fizičare, zimski semestar Mirko Primc
Linearna algebra za fizičare, zimski semestar 006. Mirko Primc Sadržaj Poglavlje 1. Vektorski prostor R n 5 1. Vektorski prostor R n 6. Geometrijska interpretacija vektorskih prostora R i R 3 11 3. Linearne
Matematika 1. kolokviji. Sadržaj
Matematika kolokviji Sadržaj. kolokvij, 2..2004.............................................. 2. kolokvij, 2..2004.............................................. 3 2. kolokvij, 7.2.2004..............................................
ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA
Sveučilište u Zagrebu PMF-Matematički odsjek Franka Miriam Brückler, Vedran Čačić, Marko Doko, Mladen Vuković ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA Zagreb, 2009. Sadržaj 1 Osnovno o skupovima, relacijama
Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova
Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
( x) ( ) dy df dg. =, ( x) e = e, ( ) ' x. Zadatak 001 (Marinela, gimnazija) Nađite derivaciju funkcije f(x) = a + b x. ( ) ( )
Zadatak (Mariela, gimazija) Nađite derivaciju fukcije f() a + b c + d Rješeje Neka su f(), g(), h() fukcije ezavise varijable, a f (), g (), h () derivacije tih fukcija po Osova pravila deriviraja Derivacija
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo