ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ABEL ΣΤΗΝ ΟΛΟΓΡΑΦΙΚΗ ΜΙΚΡΟΣΚΟΠΙΑ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ABEL ΣΤΗΝ ΟΛΟΓΡΑΦΙΚΗ ΜΙΚΡΟΣΚΟΠΙΑ"

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΠΤΙΚΗ ΚΑΙ ΟΡΑΣΗ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΠΟΣΤΟΛΟΠΟΥΛΟΥ ΜΙΧΑΛΗ Επιβλέπων Καθηγητής: Δημήτρης Παπάζογλου ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ABEL ΣΤΗΝ ΟΛΟΓΡΑΦΙΚΗ ΜΙΚΡΟΣΚΟΠΙΑ ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ

2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΠΤΙΚΗ ΚΑΙ ΟΡΑΣΗ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΠΟΣΤΟΛΟΠΟΥΛΟΥ ΜΙΧΑΛΗ Επιβλέπων Καθηγητής: Δημήτρης Παπάζογλου ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ABEL ΣΤΗΝ ΟΛΟΓΡΑΦΙΚΗ ΜΙΚΡΟΣΚΟΠΙΑ Η παρούσα εργασία υπεβλήθη ως μέρος των υποχρεώσεων για την απονομή του μεταπτυχιακού διπλώματος ειδίκευσης του Διατμηματικού Μεταπτυχιακού Προγράμματος Σπουδών «Οπτική και Όραση» και παρουσιάστηκε στην Τριμελή Επιτροπή αποτελούμενη από τους: 1. Δημήτρη Παπάζογλου 2. Μιχάλη Ταρουδάκη 3. Ιωάννη Ζαχαράκη ΗΡΑΚΛΕΙΟ 2008 ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ

3 «Το σημαντικότερο πράγμα στη ζωή είναι να γίνει κανείς άνθρωπος των αξιών κι όχι άνθρωπος των επιτυχιών». A. Einstein 2

4 3 Στην οικογένειά μου, μια σχέση αδιαπραγμάτευτη στη ζωή μου.

5 Ευχαριστίες Η παρούσα εργασία πραγματοποιήθηκε στα πλαίσια των υποχρεώσεων για την ολοκλήρωση του μεταπτυχιακού κύκλου σπουδών και την απονομή του μεταπτυχιακού διπλώματος ειδίκευσης του Διατμηματικού Προγράμματος Σπουδών Οπτική και Όραση και κατετέθη τον Σεπτέμβριο του Επιβλέπων καθηγητής ήταν ο κ. Δ. Παπάζογλου τον οποίον ευχαριστώ θερμά, τόσο για την ανάθεση της συγκεκριμένης μελέτης όσο βέβαια και για την βοήθεια, την στήριξη και την επιστημονική καθοδήγηση που μου προσέφερε καθ όλη τη διάρκεια της εκπόνησής της, όπου πραγματικά από την συνεργασία μας αποκόμισα πολύτιμες γνώσεις κι εμπειρίες. Θα ήθελα να ευχαριστήσω ιδιαίτερα τον αναπληρωτή καθηγητή του Τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Κρήτης και διδάσκοντα στο εν λόγω μεταπτυχιακό πρόγραμμα κ. Μ. Ταρουδάκη για την χρήσιμη συμβολή του ως συνεπιβλέπων καθηγητής της μεταπτυχιακής μου διατριβής, την επιστημονική και ηθική υποστήριξη που μου παρείχε, αλλά κυρίως για την εμπιστοσύνη που μου έδειξε. Ευχαριστώ επίσης, το Τμήμα Ιατρικής και το Διατμηματικό Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών Οπτική και Όραση για την δυνατότητα συμμετοχής μου σε αυτό και για την χορήγηση υποτροφίας κατά το πρώτο έτος των μεταπτυχιακών μου σπουδών. Θα ήθελα ακόμη, να ευχαριστήσω τον Δρ. Ι. Ζαχαράκη για την αποδοχή της συμμετοχής του στην Τριμελή Επιτροπή αξιολόγησης της παρούσας διατριβής, μαζί με τους κ. κ. Δ. Παπάζογλου και Μ. Ταρουδάκη. Τέλος, το μεγαλύτερο ευχαριστώ το οφείλω ολόψυχα στους γονείς μου Γιάννη και Άννα και τον αδερφό μου Γιώργο για την αδιάκοπη ηθική και οικονομική υποστήριξη που απλόχερα μου προσέφεραν καθ όλη την διάρκεια των σπουδών μου. 4

6 Περίληψη Μελετάμε την ανακατασκευή, με μικρομετρική ακρίβεια, της τρισδιάστατης κατανομής των διαταραχών του δείκτη διάθλασης, που προκαλούνται από τη διάδοση υπερβραχέων παλμών λέιζερ σε διαφανή μέσα. Η εργασία μας εστιάζεται στην ανάκτηση της κατανομής του δείκτη διάθλασης από τις πειραματικά μετρημένες τιμές της διαταραχής ενός μετώπου κύματος, το οποίο διέρχεται τον όγκο. Η διαταραχή του μετώπου κύματος ανασυντίθεται πειραματικά μέσω ολογραφικών τεχνικών. Προκειμένου να ανακτηθεί η τρισδιάστατη κατανομή της διαταραχής του δείκτη διάθλασης, εφαρμόζουμε τεχνικές αντιστροφής Abel. Οποιαδήποτε τεχνική αντιστροφής Abel, μπορεί να παραχθεί ως ειδική περίπτωση του Θεωρήματος Projection-Slice, μια θεμελιώδης σχέση στον τομέα της υπολογιστικής τομογραφίας. Η συνηθέστερα χρησιμοποιούμενη μέθοδος για τον υπολογισμό του αντίστροφου μετασχηματισμού Abel στις εφαρμογές απεικόνισης, είναι η τεχνική των Fourier-Hankel. Αυτή η μέθοδος είναι βασισμένη στην αναπαράσταση του αντίστροφου μετασχηματισμού Abel, μέσω του μετασχηματισμού Hankel του μετασχηματισμού Fourier της προβολής. Ωστόσο, η μέθοδος αυτή ενισχύει τον πειραματικό θόρυβο και γίνεται σχεδόν ακατάλληλη προς χρήση σε περιπτώσεις υπερβολικά θορυβωδών εικόνων ή εικόνων με μεγάλη δυναμική περιοχή. Σε αυτή την εργασία ελέγχουμε την αποτελεσματικότητα μιας νέας τεχνικής που ονομάζεται Gaussian basis-set expansion Abel transform (BASEX) και την συγκρίνουμε σε σχέση με την τεχνική Fourier-Hankel. H μέθοδος BASEX είναι βασισμένη στο ανάπτυγμα της προβολής σε ένα σύνολο βάσης συναρτήσεων, οι οποίες είναι αναλυτικές προβολές γνωστών, καλώς συμπεριφερόμενων συναρτήσεων. Τότε, η τρισδιάστατη κατανομή μπορεί να αναδημιουργηθεί ως γραμμικός συνδυασμός αυτών των καλώς συμπεριφερόμενων συναρτήσεων, οι οποίες έχουν Γκαουσσιανή μορφή, με τους ίδιους συντελεστές αναπτύγματος με την προβολή. Η μέθοδος BASEX είναι αποδοτική, απαιτεί λιγότερα υπολογιστικά βήματα κι είναι ιδιαίτερα επιτυχής σε θορυβώδεις εικόνες ή εικόνες με μεγάλη δυναμική περιοχή. 5

7 Abstract We study the reconstruction in fine (micrometer) volume detail of the 3D distribution of the refractive index perturbations induced by the propagation of ultrafast laser pulses in transparent media. Our work is focused on recovering the volume distribution of the refractive index from the experimentally measured values of the perturbation of a probe wave-front that transverses the volume. The probe wave-front perturbation is experimentally reconstructed by use of in-line holographic techniques. In order to recover the 3D distribution of the perturbation of the refractive index, we apply Abel inversion techniques. Any Abel inversion technique can be derived as a special case of the projection-slice theorem, a fundamental relation in the field of computed tomography. The most commonly used method for calculating the inverse Abel transform in imaging applications is the Fourier-Hankel technique. This method is based on a representation of the inverse Abel transform via the Hankel transform of the Fourier transform of the projection. However, this method magnifies experimental noise and becomes practically unusable in cases of excessively noisy images, or images with a large dynamic range. In this work we compare the effectiveness of the Fourier-Hankel technique to Gaussian basis-set expansion Abel transform (BASEX) method. This method is based on expanding the projection in a basis set of functions that are analytical projections of known well-behaved functions. The 3D distribution can then be reconstructed as a linear combination of these well-behaved functions, which have a Gaussian-like shape, with the same expansion coefficients as the projection. The BASEX method is efficient and it requires less computational steps in progress and is particularly well suited for noisy images, or images with a large dynamic range. 6

8 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1..9 Εισαγωγή Εισαγωγή Ευθύς μετασχηματισμός Abel Γεωμετρική ερμηνεία μετασχηματισμού Abel Αντίστροφος μετασχηματισμός Abel Τεχνικές υπολογισμού αντίστροφου μετασχηματισμού Abel Μετασχηματισμός Radon Μετασχηματισμός Fourier-Hankel Η Gaussian basis-set expansion Abel transform (BASEX) μέθοδος Γενική περιγραφή της μεθόδου BASEX Αντικείμενα μελέτης κι εφαρμογής της μεθόδου BASEX 27 Κεφάλαιο 2.28 Εφαρμογή της μεθόδου BASEX σε προσομοιωμένα δεδομένα θορύβου Εισαγωγή Α Μέρος Εφαρμογών Β Μέρος Εφαρμογών..38 Κεφάλαιο Εφαρμογή της μεθόδου BASEX σε πειραματικά δεδομένα Εισαγωγή Αναλυτική παρουσίαση πειραματικών εφαρμογών κι αποτελεσμάτων Σύγκριση της αποτελεσματικότητας της μεθόδου Fourier-Hankel με τη μέθοδο BASEX βάσει των πειραματικών αποτελεσμάτων...62 Κεφάλαιο

9 Συμπεράσματα 65 Παράρτημα.69 Εισαγωγή..70 Ειδική περιγραφή της μεθόδου BASEX 71 Εκτίμηση του εύρους της παραμέτρου κανονικοποίησης q Εφαρμογή της μεθόδου BASEX απουσία θορύβου..76 Βιβλιογραφία..79 8

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγή 9

11 1.1. Εισαγωγή Στον χώρο της ολογραφικής μικροσκοπίας η αντιμετώπιση αντίστροφων προβλημάτων, όπως για παράδειγμα αυτό της ανάκτησης της διαταραχής του δείκτη διάθλασης μιας τρισδιάστατης κατανομής, επιτυγχάνεται με την εφαρμογή διαφόρων τεχνικών αντιστροφής Abel. Σε αυτό το εισαγωγικό κεφάλαιο, αρχικά γίνεται λόγος στον μετασχηματισμό Abel, διατυπώνοντας και μελετώντας τις έννοιες του ευθέως και του αντίστροφου μετασχηματισμού Abel αντίστοιχα. Κατόπιν, καταγράφουμε τις σημαντικότερες μεθόδους αντιστροφής Abel, εστιάζοντας περισσότερο στην μέθοδο του αντίστροφου μετασχηματισμού Radon, καθώς και στην πλέον χρησιμοποιούμενη τεχνική αντιστροφής Abel, αυτή των Fourier-Hankel. Τέλος, περιγράφουμε αναλυτικά μία σχετικά πρόσφατη τεχνική αντιστροφής Abel, την Gaussian basis-set expansion Abel transform (BASEX) μέθοδο, μία μέθοδο η οποία θα αποτελέσει το κυριότερο αντικείμενο μελέτης επεξεργασίας κι έρευνας της παρούσας διατριβής Ευθύς μετασχηματισμός Abel Ο μετασχηματισμός Abel έλαβε το όνομά του από τον Niels Henrik Abel είναι ένας ολοκληρωτικός μετασχηματισμός που χρησιμοποιείται συχνά στην ανάλυση σφαιρικά συμμετρικών ή αξονικά συμμετρικών συναρτήσεων. Εν γένει, ο μετασχηματισμός Abel μιας συνάρτησης f(r) δίδεται από την παρακάτω σχέση [1]: f () rrdr F( y) = 2 y 2 2 r y (1.1) Πιο ειδικά, στο χώρο της ανάλυσης εικόνας, ο ευθύς μετασχηματισμός Abel (forward Abel transform) χρησιμοποιείται για να προβάλλει, μια αξονικά συμμετρική συνάρτηση εκπομπής, επάνω σε ένα επίπεδο. Τότε, η μετρούμενη ένταση, I(x), δίδεται σε όρους συντελεστών εκπομπής, f(r), μέσω του μετασχηματισμού Abel [2] από την σχέση, 10

12 rf ( r)dr I ( x ) = 2 x 2 2 r x (1.2) όπου x είναι η μετατόπιση του προφίλ έντασης και r είναι η ακτινική απόσταση από την πηγή. Η μετρούμενη ένταση I(x) απεικονίζει τη μονοδιάστατη προβολή της δισδιάστατης συμμετρικής συνάρτησης έχοντας το f(r) ως ακτινική φέτα - τομή Γεωμετρική ερμηνεία μετασχηματισμού Abel Στις δύο διαστάσεις, ο μετασχηματισμός Abel F( (y) μπορεί γεωμετρικά να ερμηνευθεί [1] ως η προβολή μιας, για παράδειγμα, κυκλικά συμμετρικής συνάρτησης f(r) κατά μήκος ενός συνόλου παράλληλων γραμμών όρασης, οι οποίες απέχουν απόσταση y από την αρχή των αξόνων (Σχήμα 1. 1.). Σύμφωνα με το Σχήμα 1.1.., ο παρατηρητής (Ι) θα δει την προβολή, F( y ) = f ( (1.3) x 2 + y 2 ) dx όπου f(r) είναι η κυκλικά συμμετρική συνάρτηση, η οποία στο Σχήμα 1.1. αναπαρίσταται με γκρι χρώμα. Υποτίθεται ότι ο παρατηρητής βρίσκεται πραγματικά σε άπειρη απόσταση x =, γι αυτό το λόγο τα όρια του ολοκληρώματος κυμαίνονται από ±, ενώ επίσης όλες οι γραμμές όρασης είναι παράλληλες προς τον άξονα x. Σχήμα 1.1.: Μια γεωμετρική ερμηνεία του μετασχηματισμού Abel στις δύο διαστάσεις. Ένας παρατηρητής (Ι) παρατηρεί κατά μήκος μίας γραμμής παράλληλης προς τον άξονα x μία απόσταση y από την αρχή των αξόνων. Αυτό που βλέπει ο παρατηρητής είναι η προβολή της κυκλικά συμμετρικής συνάρτησης f(r) κατά μήκος της γραμμής όρασης. Η συνάρτηση f(r) αναπαρίσταται με γκρι χρώμα. Ο παρατηρητής υποτίθεται ότι βρίσκεται απείρως μακριά από την αρχή των αξόνων, γι αυτό λοιπόν τα όρια ολοκλήρωσης κυμαίνονται από ± [1]. 11

13 θεωρώντας επίσης, ότι η ακτίνα r σχετίζεται με τα x και y μέσω της σχέσης 2 2 r = x + y 2, τότε προκύπτει ότι [1] dx = r rdr y 2 2 (1.4) Επιπλέον, η ολοκλήρωση κατά μήκος της ακτίνας r δεν διέρχεται από το μηδέν, οπότε η σχέση (1.3) γίνεται τελικά ως εξής [1]:, 0 F( y) = f( rdx ) = 2 f ( rdx ) (1.5) 2 2 r = x + y Με ανάλογο τρόπο, αντικαθιστώντας στην σχέση (1.2) την εξίσωση προβολή μπορεί να γραφεί ως [3] 2 r = x + y 2, η 2 2 I( x) = f ( x + y ) dy (1.6) Ο μετασχηματισμός Abel μπορεί να επεκταθεί και σε υψηλότερες διαστάσεις. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον αποτελεί η επέκταση του στις τρεις διαστάσεις. Έτσι λοιπόν, εάν έχουμε μία αξονικά συμμετρική συνάρτηση f(ρ,z), όπου ρ = x + y η κυλινδρική ακτίνα, τότε θέλουμε να γνωρίζουμε την προβολή αυτής της συνάρτησης επάνω σε ένα επίπεδο παράλληλο προς τον άξονα z. Χωρίς βλάβη της γενικότητας, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι το επίπεδο αυτό είναι το yz- επίπεδο, οπότε συνεπάγεται η σχέση [1], f ( ρ, z) ρdρ F( y, z) = f( ρ, z) dx= 2 y 2 2 ρ y (1.7) η οποία εκφράζει τον μετασχηματισμό Abel της συνάρτησης f(ρ,z) στο ρ και y. Επιπρόσθετα, ένας ιδιαίτερος τύπος αξονικής συμμετρίας είναι η σφαιρική 12

14 συμμετρία. Σε αυτή την περίπτωση, έχουμε μία συνάρτηση f(r), όπου r = x + y + z 2. Τότε, η προβολή για παράδειγμα, επάνω στο yz- επίπεδο θα είναι κυκλικά συμμετρική και θα εκφράζεται από την συνάρτηση F(s), όπου s = y + z. Ολοκληρώνοντας προκύπτει η παρακάτω σχέση [1], f () rrdr Fs () = frdx () = 2 s 2 2 r s (1.8) η οποία, εκφράζει ξανά τον μετασχηματισμό Abel της συνάρτησης f(r) στο r και s. Στην εικόνα που ακολουθεί (Εικόνα 1.1.) δεικνύεται ένα πρώτο παράδειγμα απεικόνισης της προβολής ενός αντικειμένου μετά από την εφαρμογή ευθέως μετασχηματισμού Abel. Εικόνα 1.1.: Ένα πρώτο παράδειγμα πώς περίπου απεικονίζεται ένα αντικείμενο ύστερα από την χρησιμοποίηση ευθέως μετασχηματισμού Abel (πειραματική εικόνα) Αντίστροφος μετασχηματισμός Abel Όπως προείπαμε, στον χώρο της ανάλυσης εικόνας, ο ευθύς μετασχηματισμός Abel χρησιμοποιείται για να προβάλλει μια αξονικά συμμετρική συνάρτηση εκπομπής f(r), επάνω σε ένα επίπεδο, γεγονός που εκφράζεται μέσω της σχέσης (1.1) ή ισοδύναμα της (1.2). Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Abel (inverse Abel transform) χρησιμοποιείται προκειμένου να υπολογίσει την συνάρτηση εκπομπής δίδοντας μία προβολή (δηλαδή, μια ανίχνευση ή μια φωτογραφία) αυτής της συνάρτησης διαταραχής [1]. Το ολοκλήρωμα αντιστροφής ή διαφορετικά ο αντίστροφος μετασχηματισμός Abel, δίδεται από την σχέση [3] 13

15 1 ( di / dx) f () r = π dx r 2 2 x r (1.9) Πρακτικά, είναι αρκετά δύσκολη η εφαρμογή της σχέσης (1.9) λόγω του σημείου ανωμαλίας στο άνω όριο του ολοκληρώματος κι επειδή η παράγωγος της προβολής (di/ dx) τείνει να ενισχύσει κατά πολύ την αλλοίωση των πειραματικών δεδομένων από το θόρυβο. Επιπλέον,, η ένταση δεν είναι συνήθως μια συνεχής συνάρτηση, αλλά γνωρίζουμε την τιμή της μόνο σε ορισμένα διακριτά σημεία [3]. Στην παρακάτω εικόνα (Εικόνα 1.2.) παρουσιάζουμε ένα παράδειγμα ανάκτησης ενός τρισδιάστατου κυλινδρικού αντικειμένο υ (Εικ (β)) από την δισδιάστατη προβολή του (Εικ. μετασχηματισμού Abel. 1.2.(α)) μετά την εφαρμογή αντίστροφου (α). (β). Εικόνα 1.2.: Ένα παράδειγμα ανασύνθεσης ενός τρισδιάστατου κυλινδρικού αντικειμένου (β). δεδομένης της δισδιάστατης προβολής του (α). χρησιμοποιώντας αντίστροφο μετασχηματισμό Abel (κύρια τομή) Τεχνικές υπολογισμού αντίστροφου μετασχηματισμού Abel Διάφορες προσεγγίσεις, που βασίζονται σε γεωμετρικές τεχνικές ή αριθμητικές μεθόδους και στη χρήση πολυωνύμων, έχουν υιοθετηθεί με σκοπό τον υπολογισμό του αντίστροφου μετασχηματισμού Abel [3]. Οι Nestor και Olsen [4], μετασχημάτισαν τις μεταβλητές θέτοντας όπου r 2 = υ και x 2 = u, έτσι ώστε το ολοκλήρωμα αντιστροφής να μπορεί να προσεγγιστεί από ένα απλούστερο άθροισμα. Ο Bockasten [5] εφάρμοσε κατάλληλα, πολυώνυμα τρίτου βαθμού στα πειραματικά 14

16 δεδομένα προσεγγίζοντας με αυτόν τρόπο το ολοκλήρωμα μέσω ενός αθροίσματος. Ωστόσο, αυτές οι μέθοδοι (exact polynomials fits methods) απαιτούν προγενέστερη ομαλοποίηση των δεδομένων γι αυτό και δεν θεωρούνται πλήρεις. Αργότερα, υιοθετήθηκαν κάποιες τεχνικές γνωστές ως μέθοδοι ελαχίστων τετραγώνων με χρήση εμπειρικής καμπύλης (least squares curve-fitting methods). Οι τεχνικές αυτές αναπτύχθηκαν για να παράγουν καλύτερα αποτελέσματα σε σχέση με τις προηγούμενες μεθόδους, όταν θα εφαρμόζονται σε θορυβώδη πειραματικά δεδομένα. Οι Freeman και Katz [6] χρησιμοποίησαν μία μοναδική πολυωνυμική καμπύλη, με σκοπό την παρεμβολή και το ταίριασμα της με τα δεδομένα. Βρέθηκαν τελικά πολυώνυμα τέταρτης τάξης να δίνουν τα πιο ακριβή αποτελέσματα μεταξύ δοκιμών στις οποίες χρησιμοποιήθηκαν μέχρι και πολυώνυμα δωδέκατης τάξης. Στη συνέχεια, οι Cremers και Birkebak [7], αφού συνέκριναν διάφορες τεχνικές αντιστροφής Abel, κατέδειξαν ότι least squares curve fitting τεχνικές είναι ευνοϊκότερες έναντι των exact fit μεθόδων. Σύντομες περιγραφές διαφόρων άλλων τεχνικών αντιστροφής Abel, καθώς και συγκρίσεις μεταξύ αυτών των τεχνικών υπάρχουν αν ανατρέξει κανείς στην παραπομπή [7]. Επίσης, μία άλλη τεχνική αντιστροφής αναπτύχθηκε από τον R. T. Shelby [8], στο πλαίσιο της μεταπτυχιακής του διατριβής, ο οποίος διαίρεσε τα δεδομένα σε διάφορα διαστήματα και χρησιμοποίησε μία least squares polynomial fit τεχνική σε κάθε διάστημα με σκοπό την λείανση των δεδομένων που είχαν υποστεί σκέδαση. Έπειτα, υπολόγισε την αντιστροφή αναλυτικά αθροίζοντας κατά διαστήματα κι έλαβε έτσι τους συντελεστές εκπομπής. Ακόμη, ο Maldonado κι άλλοι ερευνητές [9], εξέφρασαν την αντιστροφή Abel υπό μορφή αναπτύγματος σε σειρά ορθογώνιων πολυωνύμων και παρήγαγαν μία μέθοδο με σκοπό την εύρεση του συντελεστή αναπτύγματος για τα δεδομένα της έντασης. Τέλος, προτάθηκε από τους P. A. Vicharelli και W. P. Lapatovich [10] μία επαναληπτική μέθοδο γρήγορης σύγκλισης για τον υπολογισμό του αντίστροφου μετασχηματισμού Abel, βασισμένη σε τεχνικές αποσυνέλιξης. Οι υπολογισμοί σε αυτή την μέθοδο περιλαμβάνουν μόνο τις επαναλαμβανόμενες εφαρμογές του ευθέως μετασχηματισμού Abel, χωρίς να απαιτούνται άλλα παράγωγα. 15

17 1.4.1 Μετασχηματισμός Radon Εν γένει, ο μετασχηματισμός Radon (Radon Transform, RT) είναι μια τεχνική που επιτρέπει τον προσδιορισμό της προβολής μιας δισδιάστατης συνάρτησης f(x,y) σε συγκεκριμένη διεύθυνση. Ειδικότερα, ο δισδιάστατος μετασχηματισμός Radon, είναι η προβολή της έντασης μιας εικόνας κατά μήκος μιας ακτινικής γραμμής, προσανατολισμένης σε μία συγκεκριμένη γωνία [11]. Ο μετασχηματισμός Radon, εκφράζει το γεγονός της ανασύνθεσης μιας εικόνας, η οποία είναι εφικτή χρησιμοποιώντας τις προβολές που λαμβάνονται μέσω περιστροφικών ανιχνεύσεων. Το Θεώρημά του είναι το ακόλουθο: Η τιμή μιας δισδιάστατης συνάρτησης σε ένα αυθαίρετο σημείο λαμβάνεται μοναδικά μέσω των ολοκληρωμάτων, κατά μήκος των ευθειών όλων των διευθύνσεων που διέρχονται από το σημείο αυτό. Ο μετασχηματισμός Radon δεικνύει την σχέση μεταξύ του δισδιάστατου αντικειμένου και των προβολών του [12]. Θεωρούμε μια δισδιάστατη συνάρτηση f(x,y) (Σχήμα 1.2.). Ολοκληρώνοντας κατά μήκος της ευθείας, το κάθετο μοναδιαίο διάνυσμα της οποίας βρίσκεται κατά την διεύθυνση της γωνίας θ, οδηγεί στην συνάρτηση g(s,θ) που είναι η προβολή της δισδιάστατης συνάρτησης f(x,y) στον άξονα s της διεύθυνσης της θ. Όταν το s είναι μηδέν, η συνάρτηση g λαμβάνει την τιμή g(0,θ), η οποία προκύπτει από την ολοκλήρωση κατά μήκος της ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων του (x,y) συστήματος συντεταγμένων. Τα σημεία της ευθείας το κάθετο μοναδιαίο διάνυσμα των οποίων βρίσκεται στην διεύθυνση της θ και διέρχεται από την αρχή των αξόνων του συστήματος συντεταγμένων (x,y) ικανοποιούν την εξίσωση [16]: y x π cosθ = tan( θ + ) = xcosθ + ysinθ = 0 2 sinθ (1.10) 16

18 Σχήμα 1.2.: Υπολογισμός του μετασχηματισμού Radon (S. Venturas, I. Flaounas, 2005). Η ολοκλήρωση κατά μήκος της ευθείας, το κάθετο μοναδιαίο διάνυσμα της οποίας βρίσκεται στην διεύθυνση της θ και διέρχεται από την αρχή των αξόνων του (x,y) συστήματος συντεταγμένων, σημαίνει ότι η ολοκλήρωση της συνάρτησης f(x,y) πραγματοποιείται μόνο για τα σημεία που ικανοποιούν την παραπάνω εξίσωση (1.10). Με τη βοήθεια της συνάρτησης δέλτα (Dirac function) δ, η οποία είναι μηδέν για κάθε όρισμα εκτός από το μηδέν και κάθε ολοκλήρωμά της είναι μονάδα, η g(0,θ) εκφράζεται ως εξής: g(0, θ) = f ( x, y) δ( xcosθ + ysin θ) dxdy (1.11) Ομοίως, η ευθεία με κάθετο μοναδιαίο διάνυσμα στην διεύθυνση της θ και απόσταση s από την αρχή των αξόνων ικανοποιεί την παρακάτω εξίσωση: ( x s cos θ) cos θ + ( y s sin θ) sinθ = 0 x cosθ + y sinθ s= 0 (1.12) Συνεπώς, η γενική έκφραση του μετασχηματισμού Radon δίδεται από την σχέση [11-14]: 17

19 gs (, θ) = f(, xy) δ( xcosθ + ysin θ sdxdy ) (1.13) ενώ ο αντίστροφος μετασχηματισμός Radon υπολογίζεται από την ακόλουθη εξίσωση [16], f ( x, y) = π 2 π 2 ρ R θ (1.14) ( s( x, y) ) dθ όπου R θ είναι ο μετασχηματισμός Radon, ρ είναι ένα φίλτρο και ( x, y) = xcosθ ysinθ. s + Το πρόβλημα της αναγνώρισης της δομής ενός τρισδιάστατου αντικειμένου από τη γνώση των προβολών του, προκύπτει σε ποικίλες εκφάνσεις οπτικών εφαρμογών. Η γενική λύση αυτού του προβλήματος δίδεται μέσω του αντίστροφου μετασχηματισμού Radon των προβολών του. Όταν το πεδίο του αντικειμένου είναι εκ των προτέρων γνωστό να είναι ακτινικά συμμετρικό, μπορεί να καθοριστεί χρησιμοποιώντας τον αντίστροφο μετασχηματισμό Abel, μια αρκετά γνωστή διαδικασία που αναπτύχθηκε στις προηγούμενες ενότητες. Στην περίπτωση αυτή, η προβολή σε ένα επίπεδο παρέχει ικανοποιητικά δεδομένα. Όταν όμως, το πεδίο δεν διαθέτει ακτινική συμμετρία, τότε μπορεί να καθοριστεί με τη χρήση του αντίστροφου μετασχηματισμού Radon, μια λιγότερο γνωστή διαδικασία. Σ αυτή την περίπτωση, απαιτούνται προβολές σε πολλαπλά επίπεδα, με διαφορετικούς προσανατολισμούς, ώστε αυτές να παρέχουν ικανοποιητικά δεδομένα. Πιο συγκεκριμένα, ο C. M. Vest μελέτησε το πρόβλημα αυτό, θεωρώντας ότι το πεδίο αντικειμένου βρίσκεται ενταγμένο σε ένα σύστημα κυλινδρικών συντεταγμένων [17]. Φυσικά, το τρισδιάστατο αυτό αντικείμενο, μπορεί κάλλιστα να αναπαριστά μια κατανομή της οπτικής πυκνότητας, του συντελεστή εκπομπής, ή του δείκτη διάθλασης. Μέσα από την μελέτη του παρόντος προβλήματος, αναπτύχθηκε 18

20 μία αρχή υπέρθεσης, βάσει της οποίας ο αντίστροφος μετασχηματισμός Radon μπορεί να προέλθει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Abel, ο οποίος σχετίζεται με αντικείμενα ακτινικής συμμετρίας [17] Μετασχηματισμός Fourier - Hankel Κάθε τεχνική αντιστροφής Abel, μπορεί να παραχθεί ως μία ειδική περίπτωση του Θεωρήματος Projection-slice, μια θεμελιώδης σχέση στον χώρο της υπολογιστικής τομογραφίας. Υπάρχουν, όπως παρουσιάστηκαν προηγούμενα, διάφορες μέθοδοι αντιστροφής Abel, οι περισσότερες εκ των οποίων όμως περιέχουν μειονεκτήματα. Όμως, η πλέον χρησιμοποιούμενη μέθοδος για τον υπολογισμό του αντίστροφου μετασχηματισμού Abel, στον χώρο των απεικονιστικών εφαρμογών, είναι η τεχνική Fourier-Hankel [3]. Η τεχνική Fourier-Hankel, εν γένει, είναι μία τεχνική που βασίζεται σε ολοκληρωτικούς μετασχηματισμούς, η οποία συμβάλλει στο να ξεπεραστούν πολλές από τις δυσκολίες και τους περιορισμούς που σχετίζονται με τις προαναφερθείσες τεχνικές αντιστροφής Abel. Πιο συγκεκριμένα, η μέθοδος αυτή είναι βασισμένη στην αναπαράσταση του αντίστροφου μετασχηματισμού Abel (1.9) μέσω του μετασχηματισμού Hankel, του μετασχηματισμού Fourier της προβολής [3]. Πιο αναλυτικά, ο μονοδιάστατος μετασχηματισμός Fourier της εξίσωσης (1.6) δίδεται από την σχέση 2 2 ( 2 ) {()} = π ( + i xq F I x f x y ) e dxdy (1.15) Εάν τώρα, γίνει αλλαγή των μεταβλητών της ολοκλήρωσης από καρτεσιανές σε πολικές συντεταγμένες, τότε η τελευταία σχέση μπορεί να εκφραστεί ως εξής: F{()} I x = 2 π rf() r dyj 0 0(2 πrq) dr (1.16) 19

21 όπου J 0 (.) είναι η συνάρτηση Bessel πρώτου είδους μηδενικής τάξης. Η δεξιά πλευρά της εξίσωσης (1.16) είναι ο μετασχηματισμός Hankel μηδενικής τάξης της προβολής f(r), του οποίου ο αντίστροφος μετασχηματισμός έχει την ίδια μορφή με τον ευθύγραμμο μετασχηματισμό. Τότε, μια οποιαδήποτε τρισδιάστατη κατανομή, όπως για παράδειγμα η κατανομή πυκνότητας ενός πλάσματος, μπορεί να ανακτηθεί λαμβάνοντας τον αντίστροφο μετασχηματισμό Hankel, του μετασχηματισμού Fourier της προβεβλημένης έντασης, ως εξής, ( i2 π xq) f () r 2 π qj 0 0(2 πrq) I() x e dxdq = (1.17) Από υπολογιστικής άποψης, ο τύπος αντιστροφής της σχέσης (1.17) έχει διάφορα πλεονεκτήματα έναντι του ολοκληρωτικού τύπου αντιστροφής Abel της σχέσης (1.9). Πρώτον, αποφεύγουμε την δυσκολία που σχετίζεται με το σημείο ανωμαλίας στο άνω όριο της ολοκλήρωσης. Δεύτερον, μετά από την εφαρμογή του μετασχηματισμού Fourier της έντασης I(x), τα φίλτρα μπορούν να εφαρμοστούν άμεσα στο πεδίο της συχνότητας, με σκοπό να μειώσουν τον θόρυβο και να εξομαλύνουν έτσι τα δεδομένα με έναν γνωστό, συστηματικό τρόπο. Τέλος, η εξίσωση (1.17), μπορεί να προσεγγιστεί αριθμητικά με διακριτούς γρήγορους αλγορίθμους μετασχηματισμού (π.χ. FFT, Fast Fourier Transform) μειώνοντας τον χρόνο υπολογισμού σε σχέση με όλες τις προηγούμενα αναφερθείσες τεχνικές αντιστροφής Abel [3]. Η μέθοδος Fourier-Hankel χρησιμοποιείται ευρέως για την ανασύνθεση απεικονιστικών δεδομένων, δεδομένου ότι πρόκειται για μια υπολογιστικά γρήγορη, όπως αναφέρθηκε, μέθοδο, η οποία παράγει ικανοποιητικά αποτελέσματα για υψηλής ποιότητας εικόνες με μικρή δυναμική περιοχή. Ωστόσο, η μέθοδος ενισχύει τον πειραματικό θόρυβο παράγοντας συγχρόνως τεχνητές δομές, όταν ανασυνθέτει εικόνες με αιχμηρά χαρακτηριστικά υψηλής έντασης. Στην πραγματικότητα, η τεχνική Fourier-Hankel γίνεται πρακτικά ακατάλληλη προς χρήση σε περιπτώσεις υπερβολικά θορυβωδών εικόνων ή εικόνων με μεγάλη δυναμική περιοχή [18]. 20

22 1.5. Η Gaussian basis-set expansion Abel transform (BASEX) μέθοδος Η Gaussian basis-set expansion Abel transform μέθοδος είναι μία νέα μέθοδος αναδημιουργίας τρισδιάστατων εικόνων με κυλινδρική συμμετρία από τις δισδιάστατες προβολές τους, η οποία μπορεί να χρησιμεύσει ως μια εναλλακτική λύση έναντι της τεχνικής μετασχηματισμού Fourier-Hankel, απαλλαγμένη ωστόσο από τους περιορισμούς της. Η νέα αυτή τεχνική, γνωστή κι ως μέθοδος BASEX, αναπτύχθηκε από τους V. Dribinski κι άλλους ερευνητές το 2002 κι είναι βασισμένη στο ανάπτυγμα της προβολής σε ένα σύνολο βάσης δισδιάστατων συναρτήσεων, οι οποίες είναι αναλυτικές προβολές γνωστών, καλώς συμπεριφερόμενων συναρτήσεων. Τότε, η τρισδιάστατη κατανομή δύναται να ανακτηθεί ως γραμμικός συνδυασμός αυτών των καλώς συμπεριφερόμενων συναρτήσεων, οι οποίες έχουν Γκαουσσιανή μορφή, με τους ίδιους συντελεστές αναπτύγματος με την προβολή [18]. Η μέθοδος BASEX είναι αποδοτική, απαιτεί λιγότερα υπολογιστικά βήματα κι είναι ιδιαιτέρως επιτυχής σε θορυβώδεις εικόνες ή εικόνες με μεγάλη δυναμική περιοχή. Ειδικότερα, είναι ιδιαιτέρως καλά ταιριασμένη για τον μετασχηματισμό προβολών που λαμβάνονται από πειράματα φωτοϊόντων και φωτοηλεκτονίων [18] Γενική περιγραφή της μεθόδου BASEX Θα μελετήσουμε γενικά την BASEX μέθοδο για ένα κακώς τεθειμένο αντίστροφο πρόβλημα. Θεωρούμε αρχικά ένα σύνολο δισδιάστατων συναρτήσεων {f k (r,z)} (k = 0,,K - 1) στον χώρο του αντικειμένου. Ένα κατάλληλο σύνολο τέτοιων δισδιάστατων συναρτήσεων Γκαουσσιανής μορφής περιγράφεται από την παρακάτω σχέση [18], ρ () r k 2 2 e r k σ = 2 k 2κ e 2 r σ (1.18), k = 0,..., K 1 x 21

23 όπου το σ είναι μία παράμετρος σχετιζόμενη με το εύρος των συναρτήσεων Γκαουσσιανής μορφής ρ k (r). Το παραπάνω σύνολο συναρτήσεων της σχέσης (1.18), για αρκετά μεγάλο k, μπορεί να περιγραφεί προσεγγιστικά από την σχέση, r 2 k σ 2 ρk () r e, k = 0,..., K 1 (1.19) x η οποία είναι σχεδόν όμοια με μία συνάρτηση Gauss. Η τελευταία αυτή σχέση (1.19) περιγράφει ένα σύνολο δισδιάστατων συναρτήσεων το οποίο αποτελεί μία βάση ικανή να καλύψει ομοιόμορφα τον χώρο της εικόνας [18]. Να σημειώσουμε ότι αυτή την βάση συναρτήσεων της σχέσης (1.19) επιλέγουμε τελικά να χρησιμοποιήσουμε σε όλες τις εφαρμογές της συγκεκριμένης μεθόδου, τα αποτελέσματα των οποίων παραθέτουμε σε επόμενα κεφάλαια. N Τώρα, το αντίστοιχο μετασχηματισμένο σύνολο διανυσμάτων {G k x Nz R } (k = 0,,K - 1) του συνόλου των συναρτήσεων {f k (r,z)} (k = 0,,K - 1), ορίζεται στο χώρο της προβολής. Τα δυο αυτά σύνολα υποτίθεται ότι σχετίζονται μέσω της σχέσης [18] G rfk (, r z) = 2 hx ( x, z z) dxdz dr x 2 2 r x kij i j (1.20) Χάριν απλότητας, θα θεωρήσουμε ότι η συνάρτηση hx ( x, z z) είναι ίση i j με μία συνάρτηση δέλτα η οποία είναι κεντραρισμένη στο σημείο ( x x, z z ). i j Τότε προκύπτει ότι, i j hx ( x, z z) dxdz= 1. Άρα, η σχέση (1.20) γίνεται ως εξής: G kij = 2 x rfk (, r z) dr 2 2 r x (1.21) 22

24 Ακολουθώντας την έκφραση της σχέσης (1.6), η παραπάνω σχέση (1.21) μπορεί ισοδύναμα να γραφεί ως G 2 2 kij = ( +, ) k i j f x y z dy (1.22) όπου f k είναι οι ίδιες συναρτήσεις βάσης που ονομάσαμε παραπάνω ως ρ k. Ουσιαστικά, η δεξιά πλευρά της σχέσης (1.21) ή ισοδύναμα της σχέσης (1.22) είναι ο ευθύς μετασχηματισμός Abel των συναρτήσεων βάσης f k που οδηγεί στο σύνολο G k, ένα σύνολο που περιέχει ως στοιχεία τις προβολές των συναρτήσεων βάσης f k, για διάφορες τιμές του δείκτη k. Στο σχήμα που ακολουθεί (Σχήμα 1.3.) παρατίθενται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων βάσης ρ k () r συγκεκριμένα γραφήματα καλούμε ως χ k () x (Σχ. 1.3.(β)). της σχέσης (1.19) για διαφορετικές τιμές του δείκτη k (Σχ. 1.3.(α)) και των αντίστοιχων προβολών τους G k που στα (α). Σχήμα 1.3.: Παραδείγματα των συναρτήσεων βάσης ρ k () r (α). και των αντίστοιχων προβολών χ k () x (β). για k = 0, 5, και 10 και σ = 1 (V. Dribinski, et al., Rev. Sci. Instrum. 73, 2634 (2002)). (β). Στο επόμενο σχήμα (Σχήμα 1.4.) δεικνύεται ένα άλλο παράδειγμα συναρτήσεων βάσης και των αντίστοιχων προβολών τους, συναρτήσεις βάσεις πλησιέστερων αυτών που θα χρησιμοποιήσουμε στις εφαρμογές που θα μελετήσουμε. Συγκεκριμένα, παρατίθενται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων βάσης ρ k () r της σχέσης (1.19) για k = 0,, 10 και σ = 1 (Σχ. 1.4.(α)) και των αντίστοιχων προβολών τους G k (Σχ. 1.4.(β)). 23

25 (α). Σχήμα 1.4.: Παράδειγμα συναρτήσεων βάσης ρ k () r (α). και των αντίστοιχων προβολών τους G k (β). για k = 0,, 10 και σ = 1. (β). Επιστρέφοντας στην μελέτη του αντίστροφου προβλήματος, υποθέτουμε ότι και τα δυο σύνολα είναι καλώς συμπεριφερόμενα, κι ειδικότερα αποτελούν καλές βάσεις, οπότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τα ακόλουθα αναπτύγματα [18]: 1 (, ) = K Irz C k fk(, rz), k = 0 (1.23) ή ισοδύναμα και = K i j C k k i + j k = 0 I ( x y, z ) f ( x y, z ) (1.24) 1 = K P C G ij k kij k = 0 (1.25) Η σχέση (1.23) ή ισοδύναμα η σχέση (1.24) εκφράζει το γεγονός ότι η τρισδιάστατη κατανομή μπορεί να ανακτηθεί ως γραμμικός συνδυασμός των συναρτήσεων βάσης f k ή ισοδύναμα των ρ k () r. Επίσης, η σχέση (1.25) εκφράζει το γεγονός ότι η 24

26 προβολή της τρισδιάστατης κατανομής μπορεί να ανακτηθεί ως γραμμικός συνδυασμός των προβολών G k των συναρτήσεων βάσης ρ k () r. Η τελευταία σχέση (1.25) γράφεται με την μορφή πινάκων ως εξής, P= CG (1.26) όπου, C= C0 Ck 1 (,..., ) είναι ο πίνακας των συντελεστών αναπτύγματος που καλούμαστε να υπολογίσουμε και G ( G,..., G ) είναι ο πίνακας που περιέχει ως = 0 k 1 στοιχεία τις προβολές των συναρτήσεων βάσης κι ονομάζεται πίνακας μετασχηματισμού βάσης (basis transformation matrix). Θα πρέπει να σημειώσουμε ότι γενικά, ο συνολικός αριθμός k των συναρτήσεων βάσης ενδέχεται να είναι μικρότερος ή μεγαλύτερος από τον συνολικό αριθμό, N N, των εικονοστοιχείων (pixels) της υπό μελέτης εικόνας. Σε τέτοιου είδους περιπτώσεις, ο αντίστροφος 1 G πίνακας δεν υπάρχει. Τότε, μία λύση του αντίστοιχου προβλήματος ελαχίστωντετραγώνων μπορεί να ληφθεί μέσω της κανονικοποίησης Tikhonov [19]: x z 2 = T T C PG ( GG + q I ) 1, q > 0 (1.27) όπου I είναι ο μοναδιαίος πίνακας και q 2 είναι μία παράμετρος κανονικοποίησης. Η διαδικασία της κανονικοποίησης χρησιμοποιείται με σκοπό την βελτίωση του δείκτη κατάστασης (condition number) [21-23] του πίνακα GG που εκφράζεται από την ακόλουθη σχέση, T ( ) 1 T T T T σ max ( GG ) Cond( GG ) = GG GG = 1 2 T 2 σ ( GG ) (1.28) Για τον υπολογισμό του δείκτη κατάστασης (condition number) του πίνακα χρησιμοποιούμε την συνήθη Ευκλείδεια νόρμα (σχ. 1.26), και τότε ο δείκτης GG T κατάστασης του πίνακα ισούται ισοδύναμα, με το λόγο της μέγιστης ( min T GG 25

Ανακατασκευή εικόνας από προβολές

Ανακατασκευή εικόνας από προβολές Ανακατασκευή εικόνας από προβολές Μέθοδος ανακατασκευής με χρήση χαρακτηριστικών δειγμάτων προβολής Αναστάσιος Κεσίδης Δρ. Ηλεκτρολόγος Μηχανικός Θέματα που θα αναπτυχθούν Εισαγωγή στις τομογραφικές μεθόδους

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Κεφάλαιο. Για να δημιουργήσουμε τρισδιάστατα αντικείμενα, που μπορούν να παρασταθούν στην οθόνη του υπολογιστή ως ένα σύνολο από γραμμές, επίπεδες πολυγωνικές επιφάνειες ή ακόμη και από ένα συνδυασμό από

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων ΘΕ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων 1. Σκοπός Πρόκειται για θεωρητική άσκηση που σκοπό έχει την περιληπτική αναφορά σε θεµατολογίες που αφορούν την

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ Διευθυντής: Διονύσιος-Ελευθ. Π. Μάργαρης, Αναπλ. Καθηγητής ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ HY3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ Π. ΤΣΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Τα σφάλματα

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Χ. ΑΛΕΞΑΝΔΡΑΚΗΣ ΑΝ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Β ΤΟΜΟΣ Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα και τη σφραγίδα του εκδότη ISBN SET: 960-56-026-9

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Μείωσης Διαστάσεων. Ειδικά θέματα ψηφιακής επεξεργασίας σήματος και εικόνας Σ. Φωτόπουλος- Α. Μακεδόνας

Τεχνικές Μείωσης Διαστάσεων. Ειδικά θέματα ψηφιακής επεξεργασίας σήματος και εικόνας Σ. Φωτόπουλος- Α. Μακεδόνας Τεχνικές Μείωσης Διαστάσεων Ειδικά θέματα ψηφιακής επεξεργασίας σήματος και εικόνας Σ. Φωτόπουλος- Α. Μακεδόνας 1 Εισαγωγή Το μεγαλύτερο μέρος των δεδομένων που καλούμαστε να επεξεργαστούμε είναι πολυδιάστατα.

Διαβάστε περισσότερα

Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis)

Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis) Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis) Η μέθοδος PCA (Ανάλυση Κύριων Συνιστωσών), αποτελεί μία γραμμική μέθοδο συμπίεσης Δεδομένων η οποία συνίσταται από τον επαναπροσδιορισμό των συντεταγμένων ενός

Διαβάστε περισσότερα

Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ

Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΜΑΘΗΜΑ 1: Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Τίποτε δεν θεωρώ μεγαλύτερο αίνιγμα από το χρόνο και το χώρο Εντούτοις, τίποτε δεν με απασχολεί λιγότερο από αυτά επειδή ποτέ δεν τα σκέφτομαι Charles

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις για το μάθημα "Σχεδίαση με υπολογιστές και δίκτυα παραγωγής (CAD/CAM)"

Σημειώσεις για το μάθημα Σχεδίαση με υπολογιστές και δίκτυα παραγωγής (CAD/CAM) ΑΤΕΙ ΧΑΛΚΙ ΑΣ ΤΜΗΜΑ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Σημειώσεις για το μάθημα "Σχεδίαση με υπολογιστές και δίκτυα παραγωγής (CAD/CAM" Εαρινό εξάμηνο 5 Χ. Οικονομάκος . Γενικά Χρήση γεωμετρικών μετασχηματισμών στα προγράμματα

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Ηλεκτρικό δυναμικό Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρικό δυναμικό Θα συνδέσουμε τον ηλεκτρομαγνητισμό με την ενέργεια. Χρησιμοποιώντας την αρχή διατήρησης της ενέργειας μπορούμε να λύνουμε διάφορα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση ΙI

Μαθηματική Ανάλυση ΙI Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση ΙI Ενότητα 8: Διπλά ολοκληρώματα Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ενότητα 6: Διπλά Ολοκληρώματα Δρ. Περικλής Παπαδόπουλος Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε Κάντε κλικ για

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Φυσική των Laser ΔΙΑΔΟΣΗ ΗΜ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΠΤΙΚΑ ΜΕΣΑ. Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Φυσική των Laser ΔΙΑΔΟΣΗ ΗΜ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΠΤΙΚΑ ΜΕΣΑ. Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Φυσική των Laser ΔΙΑΔΟΣΗ ΗΜ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΠΤΙΚΑ ΜΕΣΑ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός

ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός 2 ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός 3 ΟΔΗΓΟΣ στη ΧΡΗΣΗ του ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ 4 ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός 5 ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΘΕΟΔΩΡΟΥ Καθηγητής Α.Π.Θ. ΧΡΙΣΤΙΝΑ ΘΕΟΔΩΡΟΥ Μαθηματικός ΟΔΗΓΟΣ στη ΧΡΗΣΗ του ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ

Διαβάστε περισσότερα

Η ΑΝΑΓΚΗ ΓΙΑ ΠΟΣΟΤΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΗΝ ΕΝΟΡΓΑΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

Η ΑΝΑΓΚΗ ΓΙΑ ΠΟΣΟΤΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΗΝ ΕΝΟΡΓΑΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Η ΑΝΑΓΚΗ ΓΙΑ ΠΟΣΟΤΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΗΝ ΕΝΟΡΓΑΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Οι Ενόργανες Μέθοδοι Ανάλυσης είναι σχετικές μέθοδοι και σχεδόν στο σύνολο τους παρέχουν την αριθμητική τιμή μιας φυσικής ή φυσικοχημικής ιδιότητας, η

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

5 Σχετικιστική μάζα. Στο Σ Πριν Μετά. Στο Σ

5 Σχετικιστική μάζα. Στο Σ Πριν Μετά. Στο Σ Α Τόγκας - ΑΜ333: Ειδική Θεωρία Σχετικότητας Σχετικιστική μάζα 5 Σχετικιστική μάζα Όπως έχουμε διαπιστώσει στην ειδική θεωρία της Σχετικότητας οι μετρήσεις των χωρικών και χρονικών αποστάσεων εξαρτώνται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Εισαγωγή

ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Εισαγωγή ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Εισαγωγή Η προβολή τρισδιάστατου αντικειμένου πάνω σε δισδιάστατη επιφάνεια αποτέλεσε μια από τις βασικές αναζητήσεις μεθόδων απεικόνισης και απασχόλησε από πολύ παλιά τους ανθρώπους. Με την

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων Περιεχόµενα Κεφαλαίου 15 Χαρακτηριστικά των Κυµάτων Είδη κυµάτων: Διαµήκη και Εγκάρσια Μεταφορά ενέργειας µε κύµατα Μαθηµατική Περιγραφή της Διάδοσης κυµάτων Η Εξίσωση του Κύµατος

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

Απαντησεις στις ερωτησεις της εξετασης της 24 ης Ιουνιου 2005

Απαντησεις στις ερωτησεις της εξετασης της 24 ης Ιουνιου 2005 ΑΤΜΟΦ Απαντησεις στις ερωτησεις της εξετασης της 4 ης Ιουνιου 005. Ερωτηση που αφορα στις ασκησεις του εργαστηριου. Α) Με βάση τη σχέση που συνδέει τις αποστάσεις α και b με την εστιακή απόσταση του σφαιρικού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ - ΟΠΤΟΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ & LASER ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ & Τ/Υ ΑΣΚΗΣΗ ΝΟ7 ΟΠΤΙΚΗ FOURIER. Γ. Μήτσου

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ - ΟΠΤΟΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ & LASER ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ & Τ/Υ ΑΣΚΗΣΗ ΝΟ7 ΟΠΤΙΚΗ FOURIER. Γ. Μήτσου ΕΡΓΑΣΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΟΠΙΚΗΣ - ΟΠΟΗΛΕΚΡΟΝΙΚΗΣ & LASER ΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ & /Υ ΑΣΚΗΣΗ ΝΟ7 ΟΠΙΚΗ FOURIER Γ. Μήτσου Μάρτιος 8 Α. Θεωρία. Εισαγωγή Η επεξεργασία οπτικών δεδοµένων, το φιλτράρισµα χωρικών συχνοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα.

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα. i Π Ρ Ο Λ Ο Γ Ο Σ Το βιβλίο αυτό αποτελεί μια εισαγωγή στα βασικά προβλήματα των αριθμητικών μεθόδων της υπολογιστικής γραμμικής άλγεβρας (computational linear algebra) και της αριθμητικής ανάλυσης (numerical

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER (H ΣΕΙΡΑ FOURIER ΚΑΙ Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER) Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ 1 Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα διάλεξης

Περιεχόμενα διάλεξης 7η Διάλεξη Οπτικές ίνες Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. 1 Περιεχόμενα διάλεξης Διασπορά Πόλωσης Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. Page 1 Πόλωση Γενική θεωρία Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. 3 Μηχανικό ανάλογο Εγκάρσια

Διαβάστε περισσότερα

Μετάδοση Πολυμεσικών Υπηρεσιών Ψηφιακή Τηλεόραση

Μετάδοση Πολυμεσικών Υπηρεσιών Ψηφιακή Τηλεόραση Χειμερινό Εξάμηνο 2013-2014 Μετάδοση Πολυμεσικών Υπηρεσιών Ψηφιακή Τηλεόραση 5 η Παρουσίαση : Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Διδάσκων: Γιάννης Ντόκας Σύνθεση Χρωμάτων Αφαιρετική Παραγωγή Χρώματος Χρωματικά

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Καθηγητής κ. Σ. Νατσιάβας Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων Στοιχεία Φοιτητή Ονοματεπώνυμο: Νατσάκης Αναστάσιος Αριθμός Ειδικού Μητρώου:

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα 5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα εισάγει τους μαθητές στο ολοκλήρωμα Riemann μέσω του υπολογισμού του εμβαδού ενός παραβολικού χωρίου. Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) 3.1 ΘΕΩΡΙΑ-ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση, ή απεικόνιση όπως ονομάζεται διαφορετικά, είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων,

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

9.9 Ανεξαρτησία του επικαμπυλίου ολοκληρώματος από την καμπύλη ολοκληρώσεως. Συνάρτηση δυναμικού

9.9 Ανεξαρτησία του επικαμπυλίου ολοκληρώματος από την καμπύλη ολοκληρώσεως. Συνάρτηση δυναμικού 1 2 Τα θεωρήματα του Green, Stokes και Gauss 211 9.9 Ανεξαρτησία του επικαμπυλίου ολοκληρώματος από την καμπύλη ολοκληρώσεως. Συνάρτηση δυναμικού Ήδη στην παράγραφο 5.7 ασχοληθήκαμε με την ύπαρξη συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 1.1. Τι είναι το Matlab... 13 1.2. Περιβάλλον εργασίας... 14 1.3. Δουλεύοντας με το Matlab... 16 1.3.1. Απλές αριθμητικές πράξεις... 16 1.3.2. Σχόλια...

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Β Πρόχειρες σημειώσεις

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Β Πρόχειρες σημειώσεις ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Β Μιγαδική ανάλυση Μέρος Β Πρόχειρες σημειώσεις Παράγωγος συνάρτησης μιγαδικής μεταβλητής Πριν ορίσουμε την παράγωγο μιας μιγαδικής συνάρτησης f(z) θα σταθούμε

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία. Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 2014

Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία. Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 2014 Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 14 Άσκηση: Ηλεκτρικό πεδίο διακριτών φορτίων Δύο ίσα θετικά φορτία q βρίσκονται σε απόσταση α μεταξύ τους. Να βρεθεί η ακτίνα του κύκλου,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 15 ΚίνησηΚυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 15 ΚίνησηΚυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 15 ΚίνησηΚυµάτων ΠεριεχόµεναΚεφαλαίου 15 Χαρακτηριστικά Κυµατικής Είδη κυµάτων: ιαµήκη και Εγκάρσια Μεταφορά ενέργειας µε κύµατα Μαθηµατική Περιγραφή της ιάδοσης κυµάτων ΗΕξίσωσητουΚύµατος Κανόνας

Διαβάστε περισσότερα

Επεξεργασία Δεδομένων - Γραφικές Παραστάσεις

Επεξεργασία Δεδομένων - Γραφικές Παραστάσεις 1. Σκοπός Επεξεργασία Δεδομένων - Γραφικές Παραστάσεις Σκοπός της άσκησης είναι να εξοικειωθούν οι σπουδαστές με τη γραφική απεικόνιση των δεδομένων τους, την χρήση των γραφικών παραστάσεων για την εξαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Digital Image Processing

Digital Image Processing Digital Image Processing Intensity Transformations Πέτρος Καρβέλης pkarvelis@gmail.com Images taken from: R. Gonzalez and R. Woods. Digital Image Processing, Prentice Hall, 2008. Image Enhancement: είναι

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά Υπολογιστών: Θέαση στις 3D

Γραφικά Υπολογιστών: Θέαση στις 3D 1 ΤΕΙ Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Γραφικά Υπολογιστών: Θέαση στις 3D Πασχάλης Ράπτης http://aetos.it.teithe.gr/~praptis praptis@it.teithe.gr 2 Περιεχόμενα Σήμερα θα δούμε τα παρακάτω θέματα: Μετασχηματισμοί

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηση και Γενίκευση. "Τεχνητά Νευρωνικά Δίκτυα" (Διαφάνειες), Α. Λύκας, Παν. Ιωαννίνων

Μάθηση και Γενίκευση. Τεχνητά Νευρωνικά Δίκτυα (Διαφάνειες), Α. Λύκας, Παν. Ιωαννίνων Μάθηση και Γενίκευση Το Πολυεπίπεδο Perceptron (MultiLayer Perceptron (MLP)) Έστω σύνολο εκπαίδευσης D={(x n,t n )}, n=1,,n. x n =(x n1,, x nd ) T, t n =(t n1,, t np ) T Θα πρέπει το MLP να έχει d νευρώνες

Διαβάστε περισσότερα

f x και τέσσερα ζευγάρια σημείων

f x και τέσσερα ζευγάρια σημείων ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 014 015, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ Ημερομηνία ανάρτησης εργασίας στην ιστοσελίδα του μαθήματος: 1 11 014 Ημερομηνία παράδοσης εργασίας: 18 11 014 Επιμέλεια απαντήσεων:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/2011 ΚΕΦ. 9

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/2011 ΚΕΦ. 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/011 ΚΕΦ. 9 1 ΓΩΝΙΑΚΗ ΚΙΝΗΣΗ: ΟΡΙΣΜΟΙ Περιστροφική κινηματική: περιγράφει την περιστροφική κίνηση. Στερεό Σώμα: Ιδανικό μοντέλο σώματος που έχει τελείως ορισμένα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 10: Συναγωγή και διάχυση (συνέχεια)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 10: Συναγωγή και διάχυση (συνέχεια) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Διάλεξη 10: Συναγωγή και διάχυση (συνέχεια) Χειμερινό εξάμηνο 2008 Προηγούμενη παρουσίαση... Ολοκληρώσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π.

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 04) Ε.Μ.Π. (παρατηρήσεις για τη βελτίωση των σημειώσεων ευπρόσδεκτες) Παράσταση σημείου. Σχήμα Σχήμα

Διαβάστε περισσότερα

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. Σφάλματα Κάθε μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους χαρακτηρίζεται από μία αβεβαιότητα που ονομάζουμε σφάλμα, το οποίο αναγράφεται με τη μορφή Τιμή ± αβεβαιότητα π.χ έστω ότι σε ένα πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΑ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗ. ΈΈστω ένα φυσικό σύστημα που περιγράφεται σε γενικευμένες συντεταγμένες από την Λαγκρανζιανή συνάρτηση

ΣΗΜΕΙΑ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗ. ΈΈστω ένα φυσικό σύστημα που περιγράφεται σε γενικευμένες συντεταγμένες από την Λαγκρανζιανή συνάρτηση ΣΗΜΕΙΑ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΈΈστω ένα φυσικό σύστημα που περιγράφεται σε γενικευμένες συντεταγμένες από την Λαγκρανζιανή συνάρτηση. Ο πίνακας Μ μπορεί να ληφθεί χωρίς καμμία έλλειψη γενικότητας ως

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Γράφημα της συνάρτησης = (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R )

Γράφημα της συνάρτησης = (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R ) Γράφημα της συνάρτησης f( x), αν p x< 0 F( x) = f( x), αν 0 x p και F( x+ 2 p) = F( x), x R (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R ) ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το Βιβλίο αυτό απευθύνεται στους

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Συμπεριφορά συναρτήσεως σε κλειστές φραγμένες περιοχές. (x 0, y 0, f(x 0, y 0 ) z = L(x, y)

Συμπεριφορά συναρτήσεως σε κλειστές φραγμένες περιοχές. (x 0, y 0, f(x 0, y 0 ) z = L(x, y) 11.7. Aκρότατα και σαγματικά σημεία 903 39. Εκτίμηση μέγιστου σφάλματος Έστω ότι u e sin και ότι τα,, και μπορούν να μετρηθούν με μέγιστα δυνατά σφάλματα 0,, 0,6, και / 180, αντίστοιχα. Εκτιμήστε το μέγιστο

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Τίτλος Μαθήματος

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Τίτλος Μαθήματος ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Τίτλος Μαθήματος Ενότητα : Μετασχηματισμός LAPLACE (Laplace Tranform) Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκληρώματα. ΗΥ111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ

Ολοκληρώματα. ΗΥ111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ ΗΥ- Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Ολοκληρώματα Εφαρμογές Ολοκληρωμάτων Υπολογισμός μήκους Υπολογισμός εμβαδού Υπολογισμός όγκου Χρήση σε Τύπους/Μετρικές Φυσική Πιθανότητες Γραφική Θέματα Αναγνώρισης προτύπων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων.

Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων. Χώρος Διανύσματα Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων. Καρτεσιανές συντεταγμένες και διανύσματα στο χώρο. Στο σύστημα καρτεσιανών (ή ορθογώνιων) συντεταγμένων κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Διάθλαση φωτός και ολική ανάκλαση: Εύρεση του δείκτη διάθλασης και της γωνίας ολικής ανάκλασης

Διάθλαση φωτός και ολική ανάκλαση: Εύρεση του δείκτη διάθλασης και της γωνίας ολικής ανάκλασης 3 Διάθλαση φωτός και ολική ανάκλαση: Εύρεση του δείκτη διάθλασης και της γωνίας ολικής ανάκλασης Μέθοδος Σε σώμα διαφανές ημικυλινδρικού σχήματος είναι εύκολο να επιβεβαιωθεί ο νόμος του Sell και να εφαρμοστεί

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς.

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς. Μ2 Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς. 1 Σκοπός Η εργαστηριακή αυτή άσκηση αποσκοπεί στη μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας σε ένα τόπο. Αυτή η μέτρηση επιτυγχάνεται

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

Τηλεπικοινωνίες. Ενότητα 2.1: Ανάλυση Fourier. Μιχάλας Άγγελος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Τηλεπικοινωνίες. Ενότητα 2.1: Ανάλυση Fourier. Μιχάλας Άγγελος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Τηλεπικοινωνίες Ενότητα 2.1: Ανάλυση Fourier Μιχάλας Άγγελος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ ΧΩΡΟ Στη συνέχεια θα δοθούν ορισμένες βασικές έννοιες μαθηματικών και φυσικήςμηχανικής που είναι απαραίτητες για την κατανόηση του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή Στοιχεία Θεωρίας

Εισαγωγή Στοιχεία Θεωρίας Εισαγωγή Σκοπός της άσκησης αυτής είναι η εισαγωγή στην τεχνογνωσία των οπτικών ινών και η μελέτη τους κατά τη διάδοση μιας δέσμης laser. Συγκεκριμένα μελετάται η εξασθένιση που υφίσταται το σήμα στην

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας Κεφάλαιο 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας. Στο Κεφάλαιο αυτό περιέχονται: 5.1 Γωνία διεύθυνσης. 5. Πρώτο θεμελιώδες πρόβλημα. 5.3 εύτερο θεμελιώδες

Διαβάστε περισσότερα

11 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

11 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 11 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 11.1 Γενικά περί συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μια συνήθης διαφορική εξίσωση (ΣΔΕ) 1 ης τάξης έχει τη μορφή dy d = f (, y()) όπου f(, y) γνωστή και y() άγνωστη συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Απεικόνιση Υφής. Μέρος B Δημιουργία Συντεταγμένων Υφής

Απεικόνιση Υφής. Μέρος B Δημιουργία Συντεταγμένων Υφής Απεικόνιση Γραφικά ΥφήςΥπολογιστών Απεικόνιση Υφής Μέρος B Δημιουργία Συντεταγμένων Υφής Γ. Γ. Παπαϊωάννου, - 2008 Γενικά Είδαμε ότι μπορούμε να αποθηκεύσουμε συντεταγμένες υφής στις κορυφές των τριγώνων

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 1.1 Εισαγωγή... 1 1.2 Λύση ΔΕ, αντίστροφο πρόβλημα αυτής... 3 Ασκήσεις... 10 1.3 ΔΕ πρώτης τάξης χωριζομένων μεταβλητών... 12 Ασκήσεις... 15 1.4 Ομογενείς

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός της κινηματικής είναι η περιγραφή της κίνησης του ρευστού Τα αίτια που δημιούργησαν την κίνηση και η αναζήτηση των δυνάμεων που την διατηρούν είναι αντικείμενο της

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

Μαρία Χ.Γουσίδου-Κουτίτα Επίκουρη Καθηγήτρια Τμήματος Μαθηματικών Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

Μαρία Χ.Γουσίδου-Κουτίτα Επίκουρη Καθηγήτρια Τμήματος Μαθηματικών Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Μαρία Χ.Γουσίδου-Κουτίτα Επίκουρη Καθηγήτρια Τμήματος Μαθηματικών Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2004 Κάθε γνήσιο αντίτυπο υπογράφεται από τη συγγραφέα ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

n. Έστω αποτελείται από όλους τους πίνακες που αντιμετατίθενται με ένα συγκεκριμένο μη μηδενικό nxn πίνακα Τ:

n. Έστω αποτελείται από όλους τους πίνακες που αντιμετατίθενται με ένα συγκεκριμένο μη μηδενικό nxn πίνακα Τ: Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ καθώς είναι από τα σημαντικότερα κομμάτια της Άλγεβρας με τις περισσότερες εφαρμογές ΔΕΝ πρέπει να αποστηθίζεται και κυρίως ΔΕΝ πρέπει να γίνεται αντιπαθητική. Για τη σωστή εκμάθηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 3 4 ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:.

Διαβάστε περισσότερα

Τα θεωρήματα Green, Stokes και Gauss

Τα θεωρήματα Green, Stokes και Gauss Τα θεωρήματα των Green, Stokes και Guss Αντώνης Τσολομύτης Σάμος, 2012 curl F div S F Επειδή αναϕέρθηκε στο μάθημα... Ενεργητική ϕωνή Ενεστώτας παράγω παρέχω Ενεστώτας-υποτακτική να παράγω να παρέχω Ενεστώτας-προστακτική

Διαβάστε περισσότερα

Ροπή αδράνειας. q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: I = m(2r) 2 = 4mr 2

Ροπή αδράνειας. q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: I = m(2r) 2 = 4mr 2 ΦΥΣ 131 - Διαλ.22 1 Ροπή αδράνειας q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: m (α) m (β) m r r 2r 2 2 I =! m i r i = 2mr 2 1 I = m(2r) 2 = 4mr 2 Ø Είναι δυσκολότερο να προκαλέσεις περιστροφή

Διαβάστε περισσότερα

Πρόχειρες Σημειώσεις

Πρόχειρες Σημειώσεις Πρόχειρες Σημειώσεις ΛΕΠΤΟΤΟΙΧΑ ΔΟΧΕΙΑ ΠΙΕΣΗΣ Τα λεπτότοιχα δοχεία πίεσης μπορεί να είναι κυλινδρικά, σφαιρικά ή κωνικά και υπόκεινται σε εσωτερική ή εξωτερική πίεση από αέριο ή υγρό. Θα ασχοληθούμε μόνο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί.

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί. O μετασχηματισμός Laplace αποτελεί περίπτωση ολοκληρωτικού μετασχηματισμού, κατά τον οποίο κατάλληλη συνάρτηση (χρονικό σήμα) μετατρέπεται σε συνάρτηση της «συχνότητας» μέσω της σχέσης. (1) Γενικότερα

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Οπτικής ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ

Εργαστήριο Οπτικής ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ Μάκης Αγγελακέρης 010 Σκοπός της άσκησης Να μπορείτε να εξηγήσετε το φαινόμενο της Συμβολής και κάτω από ποιες προϋποθέσεις δύο δέσμες φωτός, μπορεί να συμβάλουν. Να μπορείτε να περιγράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα