ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ABEL ΣΤΗΝ ΟΛΟΓΡΑΦΙΚΗ ΜΙΚΡΟΣΚΟΠΙΑ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ABEL ΣΤΗΝ ΟΛΟΓΡΑΦΙΚΗ ΜΙΚΡΟΣΚΟΠΙΑ"

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΠΤΙΚΗ ΚΑΙ ΟΡΑΣΗ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΠΟΣΤΟΛΟΠΟΥΛΟΥ ΜΙΧΑΛΗ Επιβλέπων Καθηγητής: Δημήτρης Παπάζογλου ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ABEL ΣΤΗΝ ΟΛΟΓΡΑΦΙΚΗ ΜΙΚΡΟΣΚΟΠΙΑ ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ

2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΠΤΙΚΗ ΚΑΙ ΟΡΑΣΗ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΠΟΣΤΟΛΟΠΟΥΛΟΥ ΜΙΧΑΛΗ Επιβλέπων Καθηγητής: Δημήτρης Παπάζογλου ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ABEL ΣΤΗΝ ΟΛΟΓΡΑΦΙΚΗ ΜΙΚΡΟΣΚΟΠΙΑ Η παρούσα εργασία υπεβλήθη ως μέρος των υποχρεώσεων για την απονομή του μεταπτυχιακού διπλώματος ειδίκευσης του Διατμηματικού Μεταπτυχιακού Προγράμματος Σπουδών «Οπτική και Όραση» και παρουσιάστηκε στην Τριμελή Επιτροπή αποτελούμενη από τους: 1. Δημήτρη Παπάζογλου 2. Μιχάλη Ταρουδάκη 3. Ιωάννη Ζαχαράκη ΗΡΑΚΛΕΙΟ 2008 ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ

3 «Το σημαντικότερο πράγμα στη ζωή είναι να γίνει κανείς άνθρωπος των αξιών κι όχι άνθρωπος των επιτυχιών». A. Einstein 2

4 3 Στην οικογένειά μου, μια σχέση αδιαπραγμάτευτη στη ζωή μου.

5 Ευχαριστίες Η παρούσα εργασία πραγματοποιήθηκε στα πλαίσια των υποχρεώσεων για την ολοκλήρωση του μεταπτυχιακού κύκλου σπουδών και την απονομή του μεταπτυχιακού διπλώματος ειδίκευσης του Διατμηματικού Προγράμματος Σπουδών Οπτική και Όραση και κατετέθη τον Σεπτέμβριο του Επιβλέπων καθηγητής ήταν ο κ. Δ. Παπάζογλου τον οποίον ευχαριστώ θερμά, τόσο για την ανάθεση της συγκεκριμένης μελέτης όσο βέβαια και για την βοήθεια, την στήριξη και την επιστημονική καθοδήγηση που μου προσέφερε καθ όλη τη διάρκεια της εκπόνησής της, όπου πραγματικά από την συνεργασία μας αποκόμισα πολύτιμες γνώσεις κι εμπειρίες. Θα ήθελα να ευχαριστήσω ιδιαίτερα τον αναπληρωτή καθηγητή του Τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Κρήτης και διδάσκοντα στο εν λόγω μεταπτυχιακό πρόγραμμα κ. Μ. Ταρουδάκη για την χρήσιμη συμβολή του ως συνεπιβλέπων καθηγητής της μεταπτυχιακής μου διατριβής, την επιστημονική και ηθική υποστήριξη που μου παρείχε, αλλά κυρίως για την εμπιστοσύνη που μου έδειξε. Ευχαριστώ επίσης, το Τμήμα Ιατρικής και το Διατμηματικό Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών Οπτική και Όραση για την δυνατότητα συμμετοχής μου σε αυτό και για την χορήγηση υποτροφίας κατά το πρώτο έτος των μεταπτυχιακών μου σπουδών. Θα ήθελα ακόμη, να ευχαριστήσω τον Δρ. Ι. Ζαχαράκη για την αποδοχή της συμμετοχής του στην Τριμελή Επιτροπή αξιολόγησης της παρούσας διατριβής, μαζί με τους κ. κ. Δ. Παπάζογλου και Μ. Ταρουδάκη. Τέλος, το μεγαλύτερο ευχαριστώ το οφείλω ολόψυχα στους γονείς μου Γιάννη και Άννα και τον αδερφό μου Γιώργο για την αδιάκοπη ηθική και οικονομική υποστήριξη που απλόχερα μου προσέφεραν καθ όλη την διάρκεια των σπουδών μου. 4

6 Περίληψη Μελετάμε την ανακατασκευή, με μικρομετρική ακρίβεια, της τρισδιάστατης κατανομής των διαταραχών του δείκτη διάθλασης, που προκαλούνται από τη διάδοση υπερβραχέων παλμών λέιζερ σε διαφανή μέσα. Η εργασία μας εστιάζεται στην ανάκτηση της κατανομής του δείκτη διάθλασης από τις πειραματικά μετρημένες τιμές της διαταραχής ενός μετώπου κύματος, το οποίο διέρχεται τον όγκο. Η διαταραχή του μετώπου κύματος ανασυντίθεται πειραματικά μέσω ολογραφικών τεχνικών. Προκειμένου να ανακτηθεί η τρισδιάστατη κατανομή της διαταραχής του δείκτη διάθλασης, εφαρμόζουμε τεχνικές αντιστροφής Abel. Οποιαδήποτε τεχνική αντιστροφής Abel, μπορεί να παραχθεί ως ειδική περίπτωση του Θεωρήματος Projection-Slice, μια θεμελιώδης σχέση στον τομέα της υπολογιστικής τομογραφίας. Η συνηθέστερα χρησιμοποιούμενη μέθοδος για τον υπολογισμό του αντίστροφου μετασχηματισμού Abel στις εφαρμογές απεικόνισης, είναι η τεχνική των Fourier-Hankel. Αυτή η μέθοδος είναι βασισμένη στην αναπαράσταση του αντίστροφου μετασχηματισμού Abel, μέσω του μετασχηματισμού Hankel του μετασχηματισμού Fourier της προβολής. Ωστόσο, η μέθοδος αυτή ενισχύει τον πειραματικό θόρυβο και γίνεται σχεδόν ακατάλληλη προς χρήση σε περιπτώσεις υπερβολικά θορυβωδών εικόνων ή εικόνων με μεγάλη δυναμική περιοχή. Σε αυτή την εργασία ελέγχουμε την αποτελεσματικότητα μιας νέας τεχνικής που ονομάζεται Gaussian basis-set expansion Abel transform (BASEX) και την συγκρίνουμε σε σχέση με την τεχνική Fourier-Hankel. H μέθοδος BASEX είναι βασισμένη στο ανάπτυγμα της προβολής σε ένα σύνολο βάσης συναρτήσεων, οι οποίες είναι αναλυτικές προβολές γνωστών, καλώς συμπεριφερόμενων συναρτήσεων. Τότε, η τρισδιάστατη κατανομή μπορεί να αναδημιουργηθεί ως γραμμικός συνδυασμός αυτών των καλώς συμπεριφερόμενων συναρτήσεων, οι οποίες έχουν Γκαουσσιανή μορφή, με τους ίδιους συντελεστές αναπτύγματος με την προβολή. Η μέθοδος BASEX είναι αποδοτική, απαιτεί λιγότερα υπολογιστικά βήματα κι είναι ιδιαίτερα επιτυχής σε θορυβώδεις εικόνες ή εικόνες με μεγάλη δυναμική περιοχή. 5

7 Abstract We study the reconstruction in fine (micrometer) volume detail of the 3D distribution of the refractive index perturbations induced by the propagation of ultrafast laser pulses in transparent media. Our work is focused on recovering the volume distribution of the refractive index from the experimentally measured values of the perturbation of a probe wave-front that transverses the volume. The probe wave-front perturbation is experimentally reconstructed by use of in-line holographic techniques. In order to recover the 3D distribution of the perturbation of the refractive index, we apply Abel inversion techniques. Any Abel inversion technique can be derived as a special case of the projection-slice theorem, a fundamental relation in the field of computed tomography. The most commonly used method for calculating the inverse Abel transform in imaging applications is the Fourier-Hankel technique. This method is based on a representation of the inverse Abel transform via the Hankel transform of the Fourier transform of the projection. However, this method magnifies experimental noise and becomes practically unusable in cases of excessively noisy images, or images with a large dynamic range. In this work we compare the effectiveness of the Fourier-Hankel technique to Gaussian basis-set expansion Abel transform (BASEX) method. This method is based on expanding the projection in a basis set of functions that are analytical projections of known well-behaved functions. The 3D distribution can then be reconstructed as a linear combination of these well-behaved functions, which have a Gaussian-like shape, with the same expansion coefficients as the projection. The BASEX method is efficient and it requires less computational steps in progress and is particularly well suited for noisy images, or images with a large dynamic range. 6

8 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1..9 Εισαγωγή Εισαγωγή Ευθύς μετασχηματισμός Abel Γεωμετρική ερμηνεία μετασχηματισμού Abel Αντίστροφος μετασχηματισμός Abel Τεχνικές υπολογισμού αντίστροφου μετασχηματισμού Abel Μετασχηματισμός Radon Μετασχηματισμός Fourier-Hankel Η Gaussian basis-set expansion Abel transform (BASEX) μέθοδος Γενική περιγραφή της μεθόδου BASEX Αντικείμενα μελέτης κι εφαρμογής της μεθόδου BASEX 27 Κεφάλαιο 2.28 Εφαρμογή της μεθόδου BASEX σε προσομοιωμένα δεδομένα θορύβου Εισαγωγή Α Μέρος Εφαρμογών Β Μέρος Εφαρμογών..38 Κεφάλαιο Εφαρμογή της μεθόδου BASEX σε πειραματικά δεδομένα Εισαγωγή Αναλυτική παρουσίαση πειραματικών εφαρμογών κι αποτελεσμάτων Σύγκριση της αποτελεσματικότητας της μεθόδου Fourier-Hankel με τη μέθοδο BASEX βάσει των πειραματικών αποτελεσμάτων...62 Κεφάλαιο

9 Συμπεράσματα 65 Παράρτημα.69 Εισαγωγή..70 Ειδική περιγραφή της μεθόδου BASEX 71 Εκτίμηση του εύρους της παραμέτρου κανονικοποίησης q Εφαρμογή της μεθόδου BASEX απουσία θορύβου..76 Βιβλιογραφία..79 8

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγή 9

11 1.1. Εισαγωγή Στον χώρο της ολογραφικής μικροσκοπίας η αντιμετώπιση αντίστροφων προβλημάτων, όπως για παράδειγμα αυτό της ανάκτησης της διαταραχής του δείκτη διάθλασης μιας τρισδιάστατης κατανομής, επιτυγχάνεται με την εφαρμογή διαφόρων τεχνικών αντιστροφής Abel. Σε αυτό το εισαγωγικό κεφάλαιο, αρχικά γίνεται λόγος στον μετασχηματισμό Abel, διατυπώνοντας και μελετώντας τις έννοιες του ευθέως και του αντίστροφου μετασχηματισμού Abel αντίστοιχα. Κατόπιν, καταγράφουμε τις σημαντικότερες μεθόδους αντιστροφής Abel, εστιάζοντας περισσότερο στην μέθοδο του αντίστροφου μετασχηματισμού Radon, καθώς και στην πλέον χρησιμοποιούμενη τεχνική αντιστροφής Abel, αυτή των Fourier-Hankel. Τέλος, περιγράφουμε αναλυτικά μία σχετικά πρόσφατη τεχνική αντιστροφής Abel, την Gaussian basis-set expansion Abel transform (BASEX) μέθοδο, μία μέθοδο η οποία θα αποτελέσει το κυριότερο αντικείμενο μελέτης επεξεργασίας κι έρευνας της παρούσας διατριβής Ευθύς μετασχηματισμός Abel Ο μετασχηματισμός Abel έλαβε το όνομά του από τον Niels Henrik Abel είναι ένας ολοκληρωτικός μετασχηματισμός που χρησιμοποιείται συχνά στην ανάλυση σφαιρικά συμμετρικών ή αξονικά συμμετρικών συναρτήσεων. Εν γένει, ο μετασχηματισμός Abel μιας συνάρτησης f(r) δίδεται από την παρακάτω σχέση [1]: f () rrdr F( y) = 2 y 2 2 r y (1.1) Πιο ειδικά, στο χώρο της ανάλυσης εικόνας, ο ευθύς μετασχηματισμός Abel (forward Abel transform) χρησιμοποιείται για να προβάλλει, μια αξονικά συμμετρική συνάρτηση εκπομπής, επάνω σε ένα επίπεδο. Τότε, η μετρούμενη ένταση, I(x), δίδεται σε όρους συντελεστών εκπομπής, f(r), μέσω του μετασχηματισμού Abel [2] από την σχέση, 10

12 rf ( r)dr I ( x ) = 2 x 2 2 r x (1.2) όπου x είναι η μετατόπιση του προφίλ έντασης και r είναι η ακτινική απόσταση από την πηγή. Η μετρούμενη ένταση I(x) απεικονίζει τη μονοδιάστατη προβολή της δισδιάστατης συμμετρικής συνάρτησης έχοντας το f(r) ως ακτινική φέτα - τομή Γεωμετρική ερμηνεία μετασχηματισμού Abel Στις δύο διαστάσεις, ο μετασχηματισμός Abel F( (y) μπορεί γεωμετρικά να ερμηνευθεί [1] ως η προβολή μιας, για παράδειγμα, κυκλικά συμμετρικής συνάρτησης f(r) κατά μήκος ενός συνόλου παράλληλων γραμμών όρασης, οι οποίες απέχουν απόσταση y από την αρχή των αξόνων (Σχήμα 1. 1.). Σύμφωνα με το Σχήμα 1.1.., ο παρατηρητής (Ι) θα δει την προβολή, F( y ) = f ( (1.3) x 2 + y 2 ) dx όπου f(r) είναι η κυκλικά συμμετρική συνάρτηση, η οποία στο Σχήμα 1.1. αναπαρίσταται με γκρι χρώμα. Υποτίθεται ότι ο παρατηρητής βρίσκεται πραγματικά σε άπειρη απόσταση x =, γι αυτό το λόγο τα όρια του ολοκληρώματος κυμαίνονται από ±, ενώ επίσης όλες οι γραμμές όρασης είναι παράλληλες προς τον άξονα x. Σχήμα 1.1.: Μια γεωμετρική ερμηνεία του μετασχηματισμού Abel στις δύο διαστάσεις. Ένας παρατηρητής (Ι) παρατηρεί κατά μήκος μίας γραμμής παράλληλης προς τον άξονα x μία απόσταση y από την αρχή των αξόνων. Αυτό που βλέπει ο παρατηρητής είναι η προβολή της κυκλικά συμμετρικής συνάρτησης f(r) κατά μήκος της γραμμής όρασης. Η συνάρτηση f(r) αναπαρίσταται με γκρι χρώμα. Ο παρατηρητής υποτίθεται ότι βρίσκεται απείρως μακριά από την αρχή των αξόνων, γι αυτό λοιπόν τα όρια ολοκλήρωσης κυμαίνονται από ± [1]. 11

13 θεωρώντας επίσης, ότι η ακτίνα r σχετίζεται με τα x και y μέσω της σχέσης 2 2 r = x + y 2, τότε προκύπτει ότι [1] dx = r rdr y 2 2 (1.4) Επιπλέον, η ολοκλήρωση κατά μήκος της ακτίνας r δεν διέρχεται από το μηδέν, οπότε η σχέση (1.3) γίνεται τελικά ως εξής [1]:, 0 F( y) = f( rdx ) = 2 f ( rdx ) (1.5) 2 2 r = x + y Με ανάλογο τρόπο, αντικαθιστώντας στην σχέση (1.2) την εξίσωση προβολή μπορεί να γραφεί ως [3] 2 r = x + y 2, η 2 2 I( x) = f ( x + y ) dy (1.6) Ο μετασχηματισμός Abel μπορεί να επεκταθεί και σε υψηλότερες διαστάσεις. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον αποτελεί η επέκταση του στις τρεις διαστάσεις. Έτσι λοιπόν, εάν έχουμε μία αξονικά συμμετρική συνάρτηση f(ρ,z), όπου ρ = x + y η κυλινδρική ακτίνα, τότε θέλουμε να γνωρίζουμε την προβολή αυτής της συνάρτησης επάνω σε ένα επίπεδο παράλληλο προς τον άξονα z. Χωρίς βλάβη της γενικότητας, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι το επίπεδο αυτό είναι το yz- επίπεδο, οπότε συνεπάγεται η σχέση [1], f ( ρ, z) ρdρ F( y, z) = f( ρ, z) dx= 2 y 2 2 ρ y (1.7) η οποία εκφράζει τον μετασχηματισμό Abel της συνάρτησης f(ρ,z) στο ρ και y. Επιπρόσθετα, ένας ιδιαίτερος τύπος αξονικής συμμετρίας είναι η σφαιρική 12

14 συμμετρία. Σε αυτή την περίπτωση, έχουμε μία συνάρτηση f(r), όπου r = x + y + z 2. Τότε, η προβολή για παράδειγμα, επάνω στο yz- επίπεδο θα είναι κυκλικά συμμετρική και θα εκφράζεται από την συνάρτηση F(s), όπου s = y + z. Ολοκληρώνοντας προκύπτει η παρακάτω σχέση [1], f () rrdr Fs () = frdx () = 2 s 2 2 r s (1.8) η οποία, εκφράζει ξανά τον μετασχηματισμό Abel της συνάρτησης f(r) στο r και s. Στην εικόνα που ακολουθεί (Εικόνα 1.1.) δεικνύεται ένα πρώτο παράδειγμα απεικόνισης της προβολής ενός αντικειμένου μετά από την εφαρμογή ευθέως μετασχηματισμού Abel. Εικόνα 1.1.: Ένα πρώτο παράδειγμα πώς περίπου απεικονίζεται ένα αντικείμενο ύστερα από την χρησιμοποίηση ευθέως μετασχηματισμού Abel (πειραματική εικόνα) Αντίστροφος μετασχηματισμός Abel Όπως προείπαμε, στον χώρο της ανάλυσης εικόνας, ο ευθύς μετασχηματισμός Abel χρησιμοποιείται για να προβάλλει μια αξονικά συμμετρική συνάρτηση εκπομπής f(r), επάνω σε ένα επίπεδο, γεγονός που εκφράζεται μέσω της σχέσης (1.1) ή ισοδύναμα της (1.2). Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Abel (inverse Abel transform) χρησιμοποιείται προκειμένου να υπολογίσει την συνάρτηση εκπομπής δίδοντας μία προβολή (δηλαδή, μια ανίχνευση ή μια φωτογραφία) αυτής της συνάρτησης διαταραχής [1]. Το ολοκλήρωμα αντιστροφής ή διαφορετικά ο αντίστροφος μετασχηματισμός Abel, δίδεται από την σχέση [3] 13

15 1 ( di / dx) f () r = π dx r 2 2 x r (1.9) Πρακτικά, είναι αρκετά δύσκολη η εφαρμογή της σχέσης (1.9) λόγω του σημείου ανωμαλίας στο άνω όριο του ολοκληρώματος κι επειδή η παράγωγος της προβολής (di/ dx) τείνει να ενισχύσει κατά πολύ την αλλοίωση των πειραματικών δεδομένων από το θόρυβο. Επιπλέον,, η ένταση δεν είναι συνήθως μια συνεχής συνάρτηση, αλλά γνωρίζουμε την τιμή της μόνο σε ορισμένα διακριτά σημεία [3]. Στην παρακάτω εικόνα (Εικόνα 1.2.) παρουσιάζουμε ένα παράδειγμα ανάκτησης ενός τρισδιάστατου κυλινδρικού αντικειμένο υ (Εικ (β)) από την δισδιάστατη προβολή του (Εικ. μετασχηματισμού Abel. 1.2.(α)) μετά την εφαρμογή αντίστροφου (α). (β). Εικόνα 1.2.: Ένα παράδειγμα ανασύνθεσης ενός τρισδιάστατου κυλινδρικού αντικειμένου (β). δεδομένης της δισδιάστατης προβολής του (α). χρησιμοποιώντας αντίστροφο μετασχηματισμό Abel (κύρια τομή) Τεχνικές υπολογισμού αντίστροφου μετασχηματισμού Abel Διάφορες προσεγγίσεις, που βασίζονται σε γεωμετρικές τεχνικές ή αριθμητικές μεθόδους και στη χρήση πολυωνύμων, έχουν υιοθετηθεί με σκοπό τον υπολογισμό του αντίστροφου μετασχηματισμού Abel [3]. Οι Nestor και Olsen [4], μετασχημάτισαν τις μεταβλητές θέτοντας όπου r 2 = υ και x 2 = u, έτσι ώστε το ολοκλήρωμα αντιστροφής να μπορεί να προσεγγιστεί από ένα απλούστερο άθροισμα. Ο Bockasten [5] εφάρμοσε κατάλληλα, πολυώνυμα τρίτου βαθμού στα πειραματικά 14

16 δεδομένα προσεγγίζοντας με αυτόν τρόπο το ολοκλήρωμα μέσω ενός αθροίσματος. Ωστόσο, αυτές οι μέθοδοι (exact polynomials fits methods) απαιτούν προγενέστερη ομαλοποίηση των δεδομένων γι αυτό και δεν θεωρούνται πλήρεις. Αργότερα, υιοθετήθηκαν κάποιες τεχνικές γνωστές ως μέθοδοι ελαχίστων τετραγώνων με χρήση εμπειρικής καμπύλης (least squares curve-fitting methods). Οι τεχνικές αυτές αναπτύχθηκαν για να παράγουν καλύτερα αποτελέσματα σε σχέση με τις προηγούμενες μεθόδους, όταν θα εφαρμόζονται σε θορυβώδη πειραματικά δεδομένα. Οι Freeman και Katz [6] χρησιμοποίησαν μία μοναδική πολυωνυμική καμπύλη, με σκοπό την παρεμβολή και το ταίριασμα της με τα δεδομένα. Βρέθηκαν τελικά πολυώνυμα τέταρτης τάξης να δίνουν τα πιο ακριβή αποτελέσματα μεταξύ δοκιμών στις οποίες χρησιμοποιήθηκαν μέχρι και πολυώνυμα δωδέκατης τάξης. Στη συνέχεια, οι Cremers και Birkebak [7], αφού συνέκριναν διάφορες τεχνικές αντιστροφής Abel, κατέδειξαν ότι least squares curve fitting τεχνικές είναι ευνοϊκότερες έναντι των exact fit μεθόδων. Σύντομες περιγραφές διαφόρων άλλων τεχνικών αντιστροφής Abel, καθώς και συγκρίσεις μεταξύ αυτών των τεχνικών υπάρχουν αν ανατρέξει κανείς στην παραπομπή [7]. Επίσης, μία άλλη τεχνική αντιστροφής αναπτύχθηκε από τον R. T. Shelby [8], στο πλαίσιο της μεταπτυχιακής του διατριβής, ο οποίος διαίρεσε τα δεδομένα σε διάφορα διαστήματα και χρησιμοποίησε μία least squares polynomial fit τεχνική σε κάθε διάστημα με σκοπό την λείανση των δεδομένων που είχαν υποστεί σκέδαση. Έπειτα, υπολόγισε την αντιστροφή αναλυτικά αθροίζοντας κατά διαστήματα κι έλαβε έτσι τους συντελεστές εκπομπής. Ακόμη, ο Maldonado κι άλλοι ερευνητές [9], εξέφρασαν την αντιστροφή Abel υπό μορφή αναπτύγματος σε σειρά ορθογώνιων πολυωνύμων και παρήγαγαν μία μέθοδο με σκοπό την εύρεση του συντελεστή αναπτύγματος για τα δεδομένα της έντασης. Τέλος, προτάθηκε από τους P. A. Vicharelli και W. P. Lapatovich [10] μία επαναληπτική μέθοδο γρήγορης σύγκλισης για τον υπολογισμό του αντίστροφου μετασχηματισμού Abel, βασισμένη σε τεχνικές αποσυνέλιξης. Οι υπολογισμοί σε αυτή την μέθοδο περιλαμβάνουν μόνο τις επαναλαμβανόμενες εφαρμογές του ευθέως μετασχηματισμού Abel, χωρίς να απαιτούνται άλλα παράγωγα. 15

17 1.4.1 Μετασχηματισμός Radon Εν γένει, ο μετασχηματισμός Radon (Radon Transform, RT) είναι μια τεχνική που επιτρέπει τον προσδιορισμό της προβολής μιας δισδιάστατης συνάρτησης f(x,y) σε συγκεκριμένη διεύθυνση. Ειδικότερα, ο δισδιάστατος μετασχηματισμός Radon, είναι η προβολή της έντασης μιας εικόνας κατά μήκος μιας ακτινικής γραμμής, προσανατολισμένης σε μία συγκεκριμένη γωνία [11]. Ο μετασχηματισμός Radon, εκφράζει το γεγονός της ανασύνθεσης μιας εικόνας, η οποία είναι εφικτή χρησιμοποιώντας τις προβολές που λαμβάνονται μέσω περιστροφικών ανιχνεύσεων. Το Θεώρημά του είναι το ακόλουθο: Η τιμή μιας δισδιάστατης συνάρτησης σε ένα αυθαίρετο σημείο λαμβάνεται μοναδικά μέσω των ολοκληρωμάτων, κατά μήκος των ευθειών όλων των διευθύνσεων που διέρχονται από το σημείο αυτό. Ο μετασχηματισμός Radon δεικνύει την σχέση μεταξύ του δισδιάστατου αντικειμένου και των προβολών του [12]. Θεωρούμε μια δισδιάστατη συνάρτηση f(x,y) (Σχήμα 1.2.). Ολοκληρώνοντας κατά μήκος της ευθείας, το κάθετο μοναδιαίο διάνυσμα της οποίας βρίσκεται κατά την διεύθυνση της γωνίας θ, οδηγεί στην συνάρτηση g(s,θ) που είναι η προβολή της δισδιάστατης συνάρτησης f(x,y) στον άξονα s της διεύθυνσης της θ. Όταν το s είναι μηδέν, η συνάρτηση g λαμβάνει την τιμή g(0,θ), η οποία προκύπτει από την ολοκλήρωση κατά μήκος της ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων του (x,y) συστήματος συντεταγμένων. Τα σημεία της ευθείας το κάθετο μοναδιαίο διάνυσμα των οποίων βρίσκεται στην διεύθυνση της θ και διέρχεται από την αρχή των αξόνων του συστήματος συντεταγμένων (x,y) ικανοποιούν την εξίσωση [16]: y x π cosθ = tan( θ + ) = xcosθ + ysinθ = 0 2 sinθ (1.10) 16

18 Σχήμα 1.2.: Υπολογισμός του μετασχηματισμού Radon (S. Venturas, I. Flaounas, 2005). Η ολοκλήρωση κατά μήκος της ευθείας, το κάθετο μοναδιαίο διάνυσμα της οποίας βρίσκεται στην διεύθυνση της θ και διέρχεται από την αρχή των αξόνων του (x,y) συστήματος συντεταγμένων, σημαίνει ότι η ολοκλήρωση της συνάρτησης f(x,y) πραγματοποιείται μόνο για τα σημεία που ικανοποιούν την παραπάνω εξίσωση (1.10). Με τη βοήθεια της συνάρτησης δέλτα (Dirac function) δ, η οποία είναι μηδέν για κάθε όρισμα εκτός από το μηδέν και κάθε ολοκλήρωμά της είναι μονάδα, η g(0,θ) εκφράζεται ως εξής: g(0, θ) = f ( x, y) δ( xcosθ + ysin θ) dxdy (1.11) Ομοίως, η ευθεία με κάθετο μοναδιαίο διάνυσμα στην διεύθυνση της θ και απόσταση s από την αρχή των αξόνων ικανοποιεί την παρακάτω εξίσωση: ( x s cos θ) cos θ + ( y s sin θ) sinθ = 0 x cosθ + y sinθ s= 0 (1.12) Συνεπώς, η γενική έκφραση του μετασχηματισμού Radon δίδεται από την σχέση [11-14]: 17

19 gs (, θ) = f(, xy) δ( xcosθ + ysin θ sdxdy ) (1.13) ενώ ο αντίστροφος μετασχηματισμός Radon υπολογίζεται από την ακόλουθη εξίσωση [16], f ( x, y) = π 2 π 2 ρ R θ (1.14) ( s( x, y) ) dθ όπου R θ είναι ο μετασχηματισμός Radon, ρ είναι ένα φίλτρο και ( x, y) = xcosθ ysinθ. s + Το πρόβλημα της αναγνώρισης της δομής ενός τρισδιάστατου αντικειμένου από τη γνώση των προβολών του, προκύπτει σε ποικίλες εκφάνσεις οπτικών εφαρμογών. Η γενική λύση αυτού του προβλήματος δίδεται μέσω του αντίστροφου μετασχηματισμού Radon των προβολών του. Όταν το πεδίο του αντικειμένου είναι εκ των προτέρων γνωστό να είναι ακτινικά συμμετρικό, μπορεί να καθοριστεί χρησιμοποιώντας τον αντίστροφο μετασχηματισμό Abel, μια αρκετά γνωστή διαδικασία που αναπτύχθηκε στις προηγούμενες ενότητες. Στην περίπτωση αυτή, η προβολή σε ένα επίπεδο παρέχει ικανοποιητικά δεδομένα. Όταν όμως, το πεδίο δεν διαθέτει ακτινική συμμετρία, τότε μπορεί να καθοριστεί με τη χρήση του αντίστροφου μετασχηματισμού Radon, μια λιγότερο γνωστή διαδικασία. Σ αυτή την περίπτωση, απαιτούνται προβολές σε πολλαπλά επίπεδα, με διαφορετικούς προσανατολισμούς, ώστε αυτές να παρέχουν ικανοποιητικά δεδομένα. Πιο συγκεκριμένα, ο C. M. Vest μελέτησε το πρόβλημα αυτό, θεωρώντας ότι το πεδίο αντικειμένου βρίσκεται ενταγμένο σε ένα σύστημα κυλινδρικών συντεταγμένων [17]. Φυσικά, το τρισδιάστατο αυτό αντικείμενο, μπορεί κάλλιστα να αναπαριστά μια κατανομή της οπτικής πυκνότητας, του συντελεστή εκπομπής, ή του δείκτη διάθλασης. Μέσα από την μελέτη του παρόντος προβλήματος, αναπτύχθηκε 18

20 μία αρχή υπέρθεσης, βάσει της οποίας ο αντίστροφος μετασχηματισμός Radon μπορεί να προέλθει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Abel, ο οποίος σχετίζεται με αντικείμενα ακτινικής συμμετρίας [17] Μετασχηματισμός Fourier - Hankel Κάθε τεχνική αντιστροφής Abel, μπορεί να παραχθεί ως μία ειδική περίπτωση του Θεωρήματος Projection-slice, μια θεμελιώδης σχέση στον χώρο της υπολογιστικής τομογραφίας. Υπάρχουν, όπως παρουσιάστηκαν προηγούμενα, διάφορες μέθοδοι αντιστροφής Abel, οι περισσότερες εκ των οποίων όμως περιέχουν μειονεκτήματα. Όμως, η πλέον χρησιμοποιούμενη μέθοδος για τον υπολογισμό του αντίστροφου μετασχηματισμού Abel, στον χώρο των απεικονιστικών εφαρμογών, είναι η τεχνική Fourier-Hankel [3]. Η τεχνική Fourier-Hankel, εν γένει, είναι μία τεχνική που βασίζεται σε ολοκληρωτικούς μετασχηματισμούς, η οποία συμβάλλει στο να ξεπεραστούν πολλές από τις δυσκολίες και τους περιορισμούς που σχετίζονται με τις προαναφερθείσες τεχνικές αντιστροφής Abel. Πιο συγκεκριμένα, η μέθοδος αυτή είναι βασισμένη στην αναπαράσταση του αντίστροφου μετασχηματισμού Abel (1.9) μέσω του μετασχηματισμού Hankel, του μετασχηματισμού Fourier της προβολής [3]. Πιο αναλυτικά, ο μονοδιάστατος μετασχηματισμός Fourier της εξίσωσης (1.6) δίδεται από την σχέση 2 2 ( 2 ) {()} = π ( + i xq F I x f x y ) e dxdy (1.15) Εάν τώρα, γίνει αλλαγή των μεταβλητών της ολοκλήρωσης από καρτεσιανές σε πολικές συντεταγμένες, τότε η τελευταία σχέση μπορεί να εκφραστεί ως εξής: F{()} I x = 2 π rf() r dyj 0 0(2 πrq) dr (1.16) 19

21 όπου J 0 (.) είναι η συνάρτηση Bessel πρώτου είδους μηδενικής τάξης. Η δεξιά πλευρά της εξίσωσης (1.16) είναι ο μετασχηματισμός Hankel μηδενικής τάξης της προβολής f(r), του οποίου ο αντίστροφος μετασχηματισμός έχει την ίδια μορφή με τον ευθύγραμμο μετασχηματισμό. Τότε, μια οποιαδήποτε τρισδιάστατη κατανομή, όπως για παράδειγμα η κατανομή πυκνότητας ενός πλάσματος, μπορεί να ανακτηθεί λαμβάνοντας τον αντίστροφο μετασχηματισμό Hankel, του μετασχηματισμού Fourier της προβεβλημένης έντασης, ως εξής, ( i2 π xq) f () r 2 π qj 0 0(2 πrq) I() x e dxdq = (1.17) Από υπολογιστικής άποψης, ο τύπος αντιστροφής της σχέσης (1.17) έχει διάφορα πλεονεκτήματα έναντι του ολοκληρωτικού τύπου αντιστροφής Abel της σχέσης (1.9). Πρώτον, αποφεύγουμε την δυσκολία που σχετίζεται με το σημείο ανωμαλίας στο άνω όριο της ολοκλήρωσης. Δεύτερον, μετά από την εφαρμογή του μετασχηματισμού Fourier της έντασης I(x), τα φίλτρα μπορούν να εφαρμοστούν άμεσα στο πεδίο της συχνότητας, με σκοπό να μειώσουν τον θόρυβο και να εξομαλύνουν έτσι τα δεδομένα με έναν γνωστό, συστηματικό τρόπο. Τέλος, η εξίσωση (1.17), μπορεί να προσεγγιστεί αριθμητικά με διακριτούς γρήγορους αλγορίθμους μετασχηματισμού (π.χ. FFT, Fast Fourier Transform) μειώνοντας τον χρόνο υπολογισμού σε σχέση με όλες τις προηγούμενα αναφερθείσες τεχνικές αντιστροφής Abel [3]. Η μέθοδος Fourier-Hankel χρησιμοποιείται ευρέως για την ανασύνθεση απεικονιστικών δεδομένων, δεδομένου ότι πρόκειται για μια υπολογιστικά γρήγορη, όπως αναφέρθηκε, μέθοδο, η οποία παράγει ικανοποιητικά αποτελέσματα για υψηλής ποιότητας εικόνες με μικρή δυναμική περιοχή. Ωστόσο, η μέθοδος ενισχύει τον πειραματικό θόρυβο παράγοντας συγχρόνως τεχνητές δομές, όταν ανασυνθέτει εικόνες με αιχμηρά χαρακτηριστικά υψηλής έντασης. Στην πραγματικότητα, η τεχνική Fourier-Hankel γίνεται πρακτικά ακατάλληλη προς χρήση σε περιπτώσεις υπερβολικά θορυβωδών εικόνων ή εικόνων με μεγάλη δυναμική περιοχή [18]. 20

22 1.5. Η Gaussian basis-set expansion Abel transform (BASEX) μέθοδος Η Gaussian basis-set expansion Abel transform μέθοδος είναι μία νέα μέθοδος αναδημιουργίας τρισδιάστατων εικόνων με κυλινδρική συμμετρία από τις δισδιάστατες προβολές τους, η οποία μπορεί να χρησιμεύσει ως μια εναλλακτική λύση έναντι της τεχνικής μετασχηματισμού Fourier-Hankel, απαλλαγμένη ωστόσο από τους περιορισμούς της. Η νέα αυτή τεχνική, γνωστή κι ως μέθοδος BASEX, αναπτύχθηκε από τους V. Dribinski κι άλλους ερευνητές το 2002 κι είναι βασισμένη στο ανάπτυγμα της προβολής σε ένα σύνολο βάσης δισδιάστατων συναρτήσεων, οι οποίες είναι αναλυτικές προβολές γνωστών, καλώς συμπεριφερόμενων συναρτήσεων. Τότε, η τρισδιάστατη κατανομή δύναται να ανακτηθεί ως γραμμικός συνδυασμός αυτών των καλώς συμπεριφερόμενων συναρτήσεων, οι οποίες έχουν Γκαουσσιανή μορφή, με τους ίδιους συντελεστές αναπτύγματος με την προβολή [18]. Η μέθοδος BASEX είναι αποδοτική, απαιτεί λιγότερα υπολογιστικά βήματα κι είναι ιδιαιτέρως επιτυχής σε θορυβώδεις εικόνες ή εικόνες με μεγάλη δυναμική περιοχή. Ειδικότερα, είναι ιδιαιτέρως καλά ταιριασμένη για τον μετασχηματισμό προβολών που λαμβάνονται από πειράματα φωτοϊόντων και φωτοηλεκτονίων [18] Γενική περιγραφή της μεθόδου BASEX Θα μελετήσουμε γενικά την BASEX μέθοδο για ένα κακώς τεθειμένο αντίστροφο πρόβλημα. Θεωρούμε αρχικά ένα σύνολο δισδιάστατων συναρτήσεων {f k (r,z)} (k = 0,,K - 1) στον χώρο του αντικειμένου. Ένα κατάλληλο σύνολο τέτοιων δισδιάστατων συναρτήσεων Γκαουσσιανής μορφής περιγράφεται από την παρακάτω σχέση [18], ρ () r k 2 2 e r k σ = 2 k 2κ e 2 r σ (1.18), k = 0,..., K 1 x 21

23 όπου το σ είναι μία παράμετρος σχετιζόμενη με το εύρος των συναρτήσεων Γκαουσσιανής μορφής ρ k (r). Το παραπάνω σύνολο συναρτήσεων της σχέσης (1.18), για αρκετά μεγάλο k, μπορεί να περιγραφεί προσεγγιστικά από την σχέση, r 2 k σ 2 ρk () r e, k = 0,..., K 1 (1.19) x η οποία είναι σχεδόν όμοια με μία συνάρτηση Gauss. Η τελευταία αυτή σχέση (1.19) περιγράφει ένα σύνολο δισδιάστατων συναρτήσεων το οποίο αποτελεί μία βάση ικανή να καλύψει ομοιόμορφα τον χώρο της εικόνας [18]. Να σημειώσουμε ότι αυτή την βάση συναρτήσεων της σχέσης (1.19) επιλέγουμε τελικά να χρησιμοποιήσουμε σε όλες τις εφαρμογές της συγκεκριμένης μεθόδου, τα αποτελέσματα των οποίων παραθέτουμε σε επόμενα κεφάλαια. N Τώρα, το αντίστοιχο μετασχηματισμένο σύνολο διανυσμάτων {G k x Nz R } (k = 0,,K - 1) του συνόλου των συναρτήσεων {f k (r,z)} (k = 0,,K - 1), ορίζεται στο χώρο της προβολής. Τα δυο αυτά σύνολα υποτίθεται ότι σχετίζονται μέσω της σχέσης [18] G rfk (, r z) = 2 hx ( x, z z) dxdz dr x 2 2 r x kij i j (1.20) Χάριν απλότητας, θα θεωρήσουμε ότι η συνάρτηση hx ( x, z z) είναι ίση i j με μία συνάρτηση δέλτα η οποία είναι κεντραρισμένη στο σημείο ( x x, z z ). i j Τότε προκύπτει ότι, i j hx ( x, z z) dxdz= 1. Άρα, η σχέση (1.20) γίνεται ως εξής: G kij = 2 x rfk (, r z) dr 2 2 r x (1.21) 22

24 Ακολουθώντας την έκφραση της σχέσης (1.6), η παραπάνω σχέση (1.21) μπορεί ισοδύναμα να γραφεί ως G 2 2 kij = ( +, ) k i j f x y z dy (1.22) όπου f k είναι οι ίδιες συναρτήσεις βάσης που ονομάσαμε παραπάνω ως ρ k. Ουσιαστικά, η δεξιά πλευρά της σχέσης (1.21) ή ισοδύναμα της σχέσης (1.22) είναι ο ευθύς μετασχηματισμός Abel των συναρτήσεων βάσης f k που οδηγεί στο σύνολο G k, ένα σύνολο που περιέχει ως στοιχεία τις προβολές των συναρτήσεων βάσης f k, για διάφορες τιμές του δείκτη k. Στο σχήμα που ακολουθεί (Σχήμα 1.3.) παρατίθενται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων βάσης ρ k () r συγκεκριμένα γραφήματα καλούμε ως χ k () x (Σχ. 1.3.(β)). της σχέσης (1.19) για διαφορετικές τιμές του δείκτη k (Σχ. 1.3.(α)) και των αντίστοιχων προβολών τους G k που στα (α). Σχήμα 1.3.: Παραδείγματα των συναρτήσεων βάσης ρ k () r (α). και των αντίστοιχων προβολών χ k () x (β). για k = 0, 5, και 10 και σ = 1 (V. Dribinski, et al., Rev. Sci. Instrum. 73, 2634 (2002)). (β). Στο επόμενο σχήμα (Σχήμα 1.4.) δεικνύεται ένα άλλο παράδειγμα συναρτήσεων βάσης και των αντίστοιχων προβολών τους, συναρτήσεις βάσεις πλησιέστερων αυτών που θα χρησιμοποιήσουμε στις εφαρμογές που θα μελετήσουμε. Συγκεκριμένα, παρατίθενται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων βάσης ρ k () r της σχέσης (1.19) για k = 0,, 10 και σ = 1 (Σχ. 1.4.(α)) και των αντίστοιχων προβολών τους G k (Σχ. 1.4.(β)). 23

25 (α). Σχήμα 1.4.: Παράδειγμα συναρτήσεων βάσης ρ k () r (α). και των αντίστοιχων προβολών τους G k (β). για k = 0,, 10 και σ = 1. (β). Επιστρέφοντας στην μελέτη του αντίστροφου προβλήματος, υποθέτουμε ότι και τα δυο σύνολα είναι καλώς συμπεριφερόμενα, κι ειδικότερα αποτελούν καλές βάσεις, οπότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τα ακόλουθα αναπτύγματα [18]: 1 (, ) = K Irz C k fk(, rz), k = 0 (1.23) ή ισοδύναμα και = K i j C k k i + j k = 0 I ( x y, z ) f ( x y, z ) (1.24) 1 = K P C G ij k kij k = 0 (1.25) Η σχέση (1.23) ή ισοδύναμα η σχέση (1.24) εκφράζει το γεγονός ότι η τρισδιάστατη κατανομή μπορεί να ανακτηθεί ως γραμμικός συνδυασμός των συναρτήσεων βάσης f k ή ισοδύναμα των ρ k () r. Επίσης, η σχέση (1.25) εκφράζει το γεγονός ότι η 24

26 προβολή της τρισδιάστατης κατανομής μπορεί να ανακτηθεί ως γραμμικός συνδυασμός των προβολών G k των συναρτήσεων βάσης ρ k () r. Η τελευταία σχέση (1.25) γράφεται με την μορφή πινάκων ως εξής, P= CG (1.26) όπου, C= C0 Ck 1 (,..., ) είναι ο πίνακας των συντελεστών αναπτύγματος που καλούμαστε να υπολογίσουμε και G ( G,..., G ) είναι ο πίνακας που περιέχει ως = 0 k 1 στοιχεία τις προβολές των συναρτήσεων βάσης κι ονομάζεται πίνακας μετασχηματισμού βάσης (basis transformation matrix). Θα πρέπει να σημειώσουμε ότι γενικά, ο συνολικός αριθμός k των συναρτήσεων βάσης ενδέχεται να είναι μικρότερος ή μεγαλύτερος από τον συνολικό αριθμό, N N, των εικονοστοιχείων (pixels) της υπό μελέτης εικόνας. Σε τέτοιου είδους περιπτώσεις, ο αντίστροφος 1 G πίνακας δεν υπάρχει. Τότε, μία λύση του αντίστοιχου προβλήματος ελαχίστωντετραγώνων μπορεί να ληφθεί μέσω της κανονικοποίησης Tikhonov [19]: x z 2 = T T C PG ( GG + q I ) 1, q > 0 (1.27) όπου I είναι ο μοναδιαίος πίνακας και q 2 είναι μία παράμετρος κανονικοποίησης. Η διαδικασία της κανονικοποίησης χρησιμοποιείται με σκοπό την βελτίωση του δείκτη κατάστασης (condition number) [21-23] του πίνακα GG που εκφράζεται από την ακόλουθη σχέση, T ( ) 1 T T T T σ max ( GG ) Cond( GG ) = GG GG = 1 2 T 2 σ ( GG ) (1.28) Για τον υπολογισμό του δείκτη κατάστασης (condition number) του πίνακα χρησιμοποιούμε την συνήθη Ευκλείδεια νόρμα (σχ. 1.26), και τότε ο δείκτης GG T κατάστασης του πίνακα ισούται ισοδύναμα, με το λόγο της μέγιστης ( min T GG 25

Ανακατασκευή εικόνας από προβολές

Ανακατασκευή εικόνας από προβολές Ανακατασκευή εικόνας από προβολές Μέθοδος ανακατασκευής με χρήση χαρακτηριστικών δειγμάτων προβολής Αναστάσιος Κεσίδης Δρ. Ηλεκτρολόγος Μηχανικός Θέματα που θα αναπτυχθούν Εισαγωγή στις τομογραφικές μεθόδους

Διαβάστε περισσότερα

2.5. Απλές λύσεις κυματικών εξισώσεων σε δύο και τρεις διαστάσεις

2.5. Απλές λύσεις κυματικών εξισώσεων σε δύο και τρεις διαστάσεις ΚΕ. Εισαγωγή στην φυσική της κυματικής κίνησης.-0.5. Απλές λύσεις κυματικών εξισώσεων σε δύο και τρεις διαστάσεις.5.1 Σφαιρικά κύματα ως απλές λύσεις της εξίσωσης d Alembet στις τρεις διαστάσεις.5. Κυλινδρικά

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Κεφάλαιο. Για να δημιουργήσουμε τρισδιάστατα αντικείμενα, που μπορούν να παρασταθούν στην οθόνη του υπολογιστή ως ένα σύνολο από γραμμές, επίπεδες πολυγωνικές επιφάνειες ή ακόμη και από ένα συνδυασμό από

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης

Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης με παραγώγους Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc64.materials.uoi.gr/dpapageo

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 2 2 Μεγιστικός τελέστης στην μπάλα 2 2.1 Βασικό θεώρημα........................ 2 2.2 Γενική περίπτωση μπάλας.................. 6 2.2.1 Στο

Διαβάστε περισσότερα

Τοµογραφία Μετασχηµατισµός Radon

Τοµογραφία Μετασχηµατισµός Radon ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Τοµογραφία Μετασχηµατισµός Radon Βιοϊατρική Τεχνολογία ιδάσκων: Σεργιάδης Γεώργιος Τοµογραφία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών

Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών. Εισαγωγή (ορισμός προβλήματος, αριθμητική ολοκλήρωση ΣΔΕ, αντικατάσταση ΣΔΕ τάξης n με n εξισώσεις ης τάξης). Μέθοδος Euler 3. Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2011 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2011 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ [] ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Δείτε στις «Σημειώσεις Μιγαδικού Λογισμού» σελ β) Ας είναι ux (, ) = x+ cos( π ) και vx (, ) = cos( π x) το πραγματικό και το φανταστικό μέρος

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας Ενότητα 2 η : Δισδιάστατα Σήματα & Συστήματα Μέρος 2

Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας Ενότητα 2 η : Δισδιάστατα Σήματα & Συστήματα Μέρος 2 Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας Ενότητα 2 η : Δισδιάστατα Σήματα & Συστήματα Μέρος 2 Καθ. Κωνσταντίνος Μπερμπερίδης Πολυτεχνική Σχολή Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Σκοποί ενότητας Παρουσιάση πλάτους

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας. Παρουσίαση Νο. 3. Δισδιάστατα σήματα και συστήματα #2

Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας. Παρουσίαση Νο. 3. Δισδιάστατα σήματα και συστήματα #2 Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας Ακαδημαϊκό Έτος 2015-16 Παρουσίαση Νο. 3 Δισδιάστατα σήματα και συστήματα #2 Πληροφορία πλάτους-φάσης (1/4) Ο μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου είναι μιγαδική

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Στο κεφάλαιο που ακολουθεί θα ασχοληθούμε με την ( μη ομογενή ) εξίσωση Helmholtz σε D χωρικές διαστάσεις :

Στο κεφάλαιο που ακολουθεί θα ασχοληθούμε με την ( μη ομογενή ) εξίσωση Helmholtz σε D χωρικές διαστάσεις : Η Εξίσωση Helmholtz Στο κεφάλαιο που ακολουθεί θα ασχοληθούμε με την ( μη ομογενή εξίσωση Helmholtz σε χωρικές διαστάσεις : ( + k Ψ ( r f( r ( k (6 Η εξίσωση αυτή συνοδεύεται (συνήθως από συνοριακές συνθήκες

Διαβάστε περισσότερα

E[ (x- ) ]= trace[(x-x)(x- ) ]

E[ (x- ) ]= trace[(x-x)(x- ) ] 1 ΦΙΛΤΡΟ KALMAN ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Σε αυτό το μέρος της πτυχιακής θα ασχοληθούμε λεπτομερώς με το φίλτρο kalman και θα δούμε μια καινούρια έκδοση του φίλτρου πάνω στην εφαρμογή της γραμμικής εκτίμησης διακριτού

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία μετασχηματισμών

Θεωρία μετασχηματισμών Μήτρα Μετασχηματισμού Η γεωμετρία ενός αντικειμένου μπορεί να παρουσιαστεί από ένα σύνολο σημείων κατανεμημένων σε διάφορα επίπεδα. Έτσι λοιπόν ένα πλήθος δεδομένων για κάποιο αντικείμενο μπορεί να αναπαρασταθεί

Διαβάστε περισσότερα

ισδιάστατοι μετασχηματισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί

ισδιάστατοι μετασχηματισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί Πολλά προβλήματα λύνονται μέσω δισδιάστατων απεικονίσεων ενός μοντέλου. Μεταξύ αυτών και τα προβλήματα κίνησης, όπως η κίνηση ενός συρόμενου μηχανισμού.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Α. Υπολογισμός της θέσης του κέντρου μάζας συστημάτων που αποτελούνται από απλά διακριτά μέρη. Τα απλά διακριτά

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβλημα 4.9.

Πρόβλημα 4.9. Πρόβλημα 4.9. Να βρεθεί το δυναμικό V() παντού στο χώρο ενός θετικά φορτισμένου φύλλου απείρων διαστάσεων με επιφανειακή πυκνότητα φορτίου σ. Πάρτε τον άξονα κάθετα στο φύλλο και θεωρήστε ότι το φύλλο

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6. a2 x 2 y 2. = y

ΛΥΣΕΙΣ 6. a2 x 2 y 2. = y ΛΥΣΕΙΣ 6. Οι ασκήσεις από το βιβλίο των Marsden - romba. 7.5. Θεωρούμε την παραμετρικοποίηση rx, y = x, y, a 2 x 2 y 2, όπου το x, y διατρέχει τον δίσκο στο xy-επίπεδο που ορίζεται από την x 2 +y 2 a 2.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔ ΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Μεθοδολογία Κλεομένης Γ. Τσιγάνης Λέκτορας ΑΠΘ Πρόχειρες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ HY3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ Π. ΤΣΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Τα σφάλματα

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες σχεδίασης στο περιβάλλον Blender

Οδηγίες σχεδίασης στο περιβάλλον Blender Οδηγίες σχεδίασης στο περιβάλλον Blender Στον πραγματικό κόσμο, αντιλαμβανόμαστε τα αντικείμενα σε τρεις κατευθύνσεις ή διαστάσεις. Τυπικά λέμε ότι διαθέτουν ύψος, πλάτος και βάθος. Όταν θέλουμε να αναπαραστήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες Εργασία Παράδοση 0/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες 1. Υπολογίστε τα παρακάτω όρια: Α. Β. Γ. όπου x> 0, y > 0 Δ. όπου Κάνετε απευθείας τις πράξεις χωρίς να χρησιμοποιήσετε παραγώγους. Επιβεβαιώστε

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 9 Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Σε ότι ακολουθεί με τον όρο συνάρτηση θα εννοούμε μια πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής, ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή. Αφφινικοί Μετασχηματισμοί Αναπαράσταση Γεωμετρικών Μορφών

Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή. Αφφινικοί Μετασχηματισμοί Αναπαράσταση Γεωμετρικών Μορφών Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή Γεωμετρικός Πυρήνας Γεωμετρικός Πυρήνας Αφφινικοί Μετασχηματισμοί Αναπαράσταση Γεωμετρικών Μορφών Γεωμετρικός Πυρήνας Εξομάλυνση Σημεία Καμπύλες Επιφάνειες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 4ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διπλά Ολοκληρώματα Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 4ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διπλά Ολοκληρώματα Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διπλά Ολοκληρώματα Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Προσεγγίστε τo ολοκλήρωμα ( + ) I d d με αθροίσματα iemann χωρίζοντας το πεδίο ολοκλήρωσης σε ίσα ορθογώνια.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Χ. ΑΛΕΞΑΝΔΡΑΚΗΣ ΑΝ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Β ΤΟΜΟΣ Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα και τη σφραγίδα του εκδότη ISBN SET: 960-56-026-9

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ Διδάσκων: Θεόδωρος Ν. Τομαράς 1. Μετασχηματισμοί συντεταγμένων και συμμετρίες. 1α. Στροφές στο επίπεδο. Θεωρείστε δύο καρτεσιανά συστήματα συντεταγμένων στο επίπεδο, στραμμένα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ Διευθυντής: Διονύσιος-Ελευθ. Π. Μάργαρης, Αναπλ. Καθηγητής ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Ο μετασχηματισμός Fourier

Ο μετασχηματισμός Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier είναι από τα διαδεδομένα εργαλεία μετατροπής δεδομένων και συναρτήσεων (μιας ή περισσοτέρων διαστάσεων) από αυτό που ονομάζεται περιοχή χρόνου (time domain) στην περιοχή συχνότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Η ανάλυση προβλημάτων δύο διαστάσεων με τη μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων περιλαμβάνει τα ίδια βήματα όπως και στα προβλήματα μιας διάστασης. Η ανάλυση γίνεται λίγο πιο πολύπλοκη

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα 10 ο. Περιγραφή Σχήματος ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 1

Μάθημα 10 ο. Περιγραφή Σχήματος ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 1 Μάθημα 10 ο Περιγραφή Σχήματος ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 1 Εισαγωγή (1) Η περιγραφή μίας περιοχής μπορεί να γίνει: Με βάση τα εξωτερικά χαρακτηριστικά (ακμές, όρια). Αυτή η περιγραφή προτιμάται όταν μας ενδιαφέρουν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

Έστω μια συνεχής (και σχετικά ομαλή) συνάρτηση f( x ), x [0, L]

Έστω μια συνεχής (και σχετικά ομαλή) συνάρτηση f( x ), x [0, L] c Σειρές Fourier-Μετασχηματισμός Fourier Έστω μια συνεχής (και σχετικά ομαλή) συνάρτηση f( ) [ ] για την οποία ξέρουμε ότι f() = f( ) =. Μια τέτοια συνάρτηση μπορούμε πάντα να τη γράψουμε : π f( ) = A

Διαβάστε περισσότερα

Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis)

Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis) Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis) Η μέθοδος PCA (Ανάλυση Κύριων Συνιστωσών), αποτελεί μία γραμμική μέθοδο συμπίεσης Δεδομένων η οποία συνίσταται από τον επαναπροσδιορισμό των συντεταγμένων ενός

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

( y = 2, x R) και ( y = 0, x R ) ή ισοδύναμα πάνω στην ευθεία z = 2

( y = 2, x R) και ( y = 0, x R ) ή ισοδύναμα πάνω στην ευθεία z = 2 ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΘΕΜΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ α) Η f ( ) έχει πραγματικό μέρος uxy (, ) = ycosxκαι φανταστικό μέρος vxy (, ) = y sinx, όπου = x+ iy

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΚΕΝΤΡΟΥ ΑΝΤΩΣΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΚΕΝΤΡΟΥ ΛΟΓΩ ΕΓΚΑΡΣΙΑΣ ΚΛΙΣΗΣ

Κεφάλαιο 4 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΚΕΝΤΡΟΥ ΑΝΤΩΣΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΚΕΝΤΡΟΥ ΛΟΓΩ ΕΓΚΑΡΣΙΑΣ ΚΛΙΣΗΣ Κεφάλαιο 4 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΚΕΝΤΡΟΥ ΑΝΤΩΣΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΚΕΝΤΡΟΥ ΛΟΓΩ ΕΓΚΑΡΣΙΑΣ ΚΛΙΣΗΣ Σύνοψη Αυτό το κεφάλαιο έχει επίσης επαναληπτικό χαρακτήρα. Σε πρώτο στάδιο διερευνάται η μορφή της καμπύλης την οποία γράφει το

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων ΘΕ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων 1. Σκοπός Πρόκειται για θεωρητική άσκηση που σκοπό έχει την περιληπτική αναφορά σε θεµατολογίες που αφορούν την

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2015 1 / 68 Αριθμητικές Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΩΣΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ. H γραφική αναπαράσταση ενός κύματος φωτός δίνεται στο Σχήμα 1(α) που ακολουθεί: ΣΧΗΜΑ 1

ΠΟΛΩΣΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ. H γραφική αναπαράσταση ενός κύματος φωτός δίνεται στο Σχήμα 1(α) που ακολουθεί: ΣΧΗΜΑ 1 ΠΟΛΩΣΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ 1. ΟΡΙΣΜΟΙ Το φως είναι ένα σύνθετο κύμα. Με εξαίρεση την ακτινοβολία LASER, τα κύματα φωτός δεν είναι επίπεδα κύματα. Κάθε κύμα φωτός είναι ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα στο οποίο τα διανύσματα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κεφάλαιο M4 Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κινηµατική σε δύο διαστάσεις Θα περιγράψουµε τη διανυσµατική φύση της θέσης, της ταχύτητας, και της επιτάχυνσης µε περισσότερες λεπτοµέρειες. Θα µελετήσουµε την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

14 η εβδομάδα (26/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 28, 29 και 30. Έγινε επανάληψη στη Θεωρία Καμπυλών και στη Θεωρία Επιφανειών.

14 η εβδομάδα (26/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 28, 29 και 30. Έγινε επανάληψη στη Θεωρία Καμπυλών και στη Θεωρία Επιφανειών. 14 η εβδομάδα (26/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 28, 29 και 30. Έγινε επανάληψη στη Θεωρία Καμπυλών και στη Θεωρία Επιφανειών. 13 η εβδομάδα (16/01/2017 & 19/01/2017) Ασυμπτωτική διεύθυνση και ασυμπτωτικό

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά με υπολογιστές. Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς. Διαλέξεις #11-#12

Γραφικά με υπολογιστές. Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς. Διαλέξεις #11-#12 Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Χειμερινό εξάμηνο Γραφικά με υπολογιστές Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς fmlonas@ionio.gr Διαλέξεις #-# Σύνθεση Δ Μετασχηματισμών Ομογενείς Συντεταγμένες Παραδείγματα Μετασχηματισμών

Διαβάστε περισσότερα

L = T V = 1 2 (ṙ2 + r 2 φ2 + ż 2 ) U (3)

L = T V = 1 2 (ṙ2 + r 2 φ2 + ż 2 ) U (3) ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΑΣΤΡΟΔΥΝΑΜΙΚΗ 3): Κινήσεις αστέρων σε αστρικά συστήματα Βασικές έννοιες Θεωρούμε αστρικό σύστημα π.χ. γαλαξία ή αστρικό σμήνος) αποτελούμενο από μεγάλο αριθμό αστέρων της τάξης των 10 8 10

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Φυσική των Laser ΔΙΑΔΟΣΗ ΗΜ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΠΤΙΚΑ ΜΕΣΑ. Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Φυσική των Laser ΔΙΑΔΟΣΗ ΗΜ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΠΤΙΚΑ ΜΕΣΑ. Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Φυσική των Laser ΔΙΑΔΟΣΗ ΗΜ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΠΤΙΚΑ ΜΕΣΑ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Μείωσης Διαστάσεων. Ειδικά θέματα ψηφιακής επεξεργασίας σήματος και εικόνας Σ. Φωτόπουλος- Α. Μακεδόνας

Τεχνικές Μείωσης Διαστάσεων. Ειδικά θέματα ψηφιακής επεξεργασίας σήματος και εικόνας Σ. Φωτόπουλος- Α. Μακεδόνας Τεχνικές Μείωσης Διαστάσεων Ειδικά θέματα ψηφιακής επεξεργασίας σήματος και εικόνας Σ. Φωτόπουλος- Α. Μακεδόνας 1 Εισαγωγή Το μεγαλύτερο μέρος των δεδομένων που καλούμαστε να επεξεργαστούμε είναι πολυδιάστατα.

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία II

Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία II Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία II Ενότητα: Σσναλλοίωτη παράγωγος και παράλληλη μεταφορά Όνομα Καθηγητή: Ανδρέας Αρβανιτογεώργος Τμήμα: Μαθηματικών 17 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικές Εξισώσεις.

Διαφορικές Εξισώσεις. Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 05-6. Λύσεις δεύτερου φυλλαδίου ασκήσεων.. Βρείτε όλες τις λύσεις της εξίσωσης Bernoulli x y = xy + y 3 καθορίζοντας προσεκτικά το διάστημα στο οποίο ορίζεται καθεμιά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο. Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Στοιχεία της εκδοχής hp της ΜΠΣ στις 2- διαστάσεις

Κεφάλαιο 4: Στοιχεία της εκδοχής hp της ΜΠΣ στις 2- διαστάσεις Κεφάλαιο 4: Στοιχεία της εκδοχής hp της ΜΠΣ στις - διαστάσεις Στις -διαστάσεις, η περιγραφή της εκδοχής hp της ΜΠΣ είναι αρκετά πολύπλοκη. Στο παρόν κεφάλαιο θα δούμε κάποια στοιχεία της, ξεκινώντας με

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΥΨΗΛΩΝ ΤΑΣΕΩΝ

ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΥΨΗΛΩΝ ΤΑΣΕΩΝ Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Τομέας Ηλεκτρικής Ισχύος Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΥΨΗΛΩΝ ΤΑΣΕΩΝ (Αριθμητικές μέθοδοι υπολογισμού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/2012

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/2012 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: : : : ma 3 για κάθε Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει: 3 3 Τι συμπεραίνετε για τις παραπάνω νόρμες του Αν θεωρήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ

Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΜΑΘΗΜΑ 1: Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Τίποτε δεν θεωρώ μεγαλύτερο αίνιγμα από το χρόνο και το χώρο Εντούτοις, τίποτε δεν με απασχολεί λιγότερο από αυτά επειδή ποτέ δεν τα σκέφτομαι Charles

Διαβάστε περισσότερα

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex 3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x

Διαβάστε περισσότερα

Με τη σύμβαση της «κινηματικής αλυσίδας», ο μηχανισμός αποτυπώνεται σε πίνακα παραμέτρων ως εξής:

Με τη σύμβαση της «κινηματικής αλυσίδας», ο μηχανισμός αποτυπώνεται σε πίνακα παραμέτρων ως εξής: ΑΝΩΤΑΤΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Τ.Ε. ΤΟΜΕΑΣ ΙΙΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Π. Ράλλη & Θηβών 250, 12244 Αθήνα Καθηγητής Γ. Ε. Χαμηλοθώρης αρχείο: θέμα:

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ενότητα 6: Διπλά Ολοκληρώματα Δρ. Περικλής Παπαδόπουλος Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε Κάντε κλικ για

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ. Κεφ. 1: Εισαγωγή (διάρκεια: 0.5 εβδομάδες)

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ. Κεφ. 1: Εισαγωγή (διάρκεια: 0.5 εβδομάδες) ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, 2016-2017 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ Κεφ. 1: Εισαγωγή (διάρκεια: 0.5 εβδομάδες) Κεφ. 2: Επίλυση συστημάτων εξισώσεων (διάρκεια: 3 εβδομάδες) 2.1 Επίλυση εξισώσεων 2.2 Επίλυση

Διαβάστε περισσότερα

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x)

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x) [] 9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Η «συνάρτηση» δέλτα του irac Η «συνάρτηση» δέλτα ορίζεται μέσω της σχέσης φ (0) αν 0 δ[ φ ] = φ δ dx = (9) 0 αν 0 όπου η φ είναι μια συνάρτηση που ανήκει

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις για το μάθημα "Σχεδίαση με υπολογιστές και δίκτυα παραγωγής (CAD/CAM)"

Σημειώσεις για το μάθημα Σχεδίαση με υπολογιστές και δίκτυα παραγωγής (CAD/CAM) ΑΤΕΙ ΧΑΛΚΙ ΑΣ ΤΜΗΜΑ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Σημειώσεις για το μάθημα "Σχεδίαση με υπολογιστές και δίκτυα παραγωγής (CAD/CAM" Εαρινό εξάμηνο 5 Χ. Οικονομάκος . Γενικά Χρήση γεωμετρικών μετασχηματισμών στα προγράμματα

Διαβάστε περισσότερα

5 Σχετικιστική μάζα. Στο Σ Πριν Μετά. Στο Σ

5 Σχετικιστική μάζα. Στο Σ Πριν Μετά. Στο Σ Α Τόγκας - ΑΜ333: Ειδική Θεωρία Σχετικότητας Σχετικιστική μάζα 5 Σχετικιστική μάζα Όπως έχουμε διαπιστώσει στην ειδική θεωρία της Σχετικότητας οι μετρήσεις των χωρικών και χρονικών αποστάσεων εξαρτώνται

Διαβάστε περισσότερα

Αόριστο ολοκλήρωμα. επαληθεύει την παραπάνω ισότητα.

Αόριστο ολοκλήρωμα. επαληθεύει την παραπάνω ισότητα. Αόριστο ολοκλήρωμα Αντιπαράγωγος μίας συνάρτησης f() ορισμένης σε ένα διάστημα [α,β] λέγεται κάθε συνάρτηση F() που επαληθεύει την ισότητα F( ) f ( ) F( ) c επαληθεύει την παραπάνω ισότητα. Αόριστο ολοκλήρωμα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός

ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός 2 ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός 3 ΟΔΗΓΟΣ στη ΧΡΗΣΗ του ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ 4 ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός 5 ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΘΕΟΔΩΡΟΥ Καθηγητής Α.Π.Θ. ΧΡΙΣΤΙΝΑ ΘΕΟΔΩΡΟΥ Μαθηματικός ΟΔΗΓΟΣ στη ΧΡΗΣΗ του ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Πολυτεχνική Σχολή ΘΕΜΑΤΙΚΗ : ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΕΙΚΟΝΑΣ

Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Πολυτεχνική Σχολή ΘΕΜΑΤΙΚΗ : ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΕΙΚΟΝΑΣ Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας Πολεοδομίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης ΘΕΜΑΤΙΚΗ : ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΕΙΚΟΝΑΣ Ιωάννης Φαρασλής Τηλ : 24210-74466, Πεδίον Άρεως, Βόλος

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Διδάσκων : Επίκ Καθ Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

t : (x, y) x 2 +y 2 y x

t : (x, y) x 2 +y 2 y x Σύνοψη Κεφαλαίου 5: Αντιστροφική Γεωμετρία Αντιστροφή 1. Η ανάκλαση σε μία ευθεία l στο επίπεδο απεικονίζει ένα σημείο A σε ένα σημείο A που απέχει ίση απόσταση από την l αλλά βρίσκεται στην άλλη πλευρά

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Συστήματα συντεταγμένων Χρησιμοποιούνται για την περιγραφή της θέσης ενός σημείου στον χώρο. Κοινά συστήματα συντεταγμένων: Καρτεσιανό (x, y, z) Πολικό (r, θ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οι άξονες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

Η ΑΝΑΓΚΗ ΓΙΑ ΠΟΣΟΤΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΗΝ ΕΝΟΡΓΑΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

Η ΑΝΑΓΚΗ ΓΙΑ ΠΟΣΟΤΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΗΝ ΕΝΟΡΓΑΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Η ΑΝΑΓΚΗ ΓΙΑ ΠΟΣΟΤΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΗΝ ΕΝΟΡΓΑΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Οι Ενόργανες Μέθοδοι Ανάλυσης είναι σχετικές μέθοδοι και σχεδόν στο σύνολο τους παρέχουν την αριθμητική τιμή μιας φυσικής ή φυσικοχημικής ιδιότητας, η

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Ηλεκτρικό δυναμικό Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρικό δυναμικό Θα συνδέσουμε τον ηλεκτρομαγνητισμό με την ενέργεια. Χρησιμοποιώντας την αρχή διατήρησης της ενέργειας μπορούμε να λύνουμε διάφορα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων Περιεχόµενα Κεφαλαίου 15 Χαρακτηριστικά των Κυµάτων Είδη κυµάτων: Διαµήκη και Εγκάρσια Μεταφορά ενέργειας µε κύµατα Μαθηµατική Περιγραφή της Διάδοσης κυµάτων Η Εξίσωση του Κύµατος

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις 5 Τέσσερις πράξεις 5 Σύστημα πραγματικών αριθμών 5 Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών 6 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Κατάλογος Σχημάτων

Πρόλογος. Κατάλογος Σχημάτων Περιεχόμενα Πρόλογος Κατάλογος Σχημάτων v xv 1 ΜΔΕ πρώτης τάξης 21 1.1 Γενικότητες........................... 21 1.2 Εισαγωγή............................ 24 1.2.1 Γεωμετρικές θεωρήσεις στο πρόβλημα της

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Εισαγωγή

ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Εισαγωγή ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Εισαγωγή Η προβολή τρισδιάστατου αντικειμένου πάνω σε δισδιάστατη επιφάνεια αποτέλεσε μια από τις βασικές αναζητήσεις μεθόδων απεικόνισης και απασχόλησε από πολύ παλιά τους ανθρώπους. Με την

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1 - Σημειώσεις 1

Διάλεξη 1 - Σημειώσεις 1 Διάλεξη 1 - Σημειώσεις 1 Σύνολα Πως διαβάζουμε κάποιους συμβολισμούς: ανήκει και η άρνηση, δηλαδή δεν ανήκει υπάρχει για κάθε : τέτοιο ώστε. Επίσης το σύμβολο έχει την ερμηνεία «τέτοιο ώστε» και ή υπονοεί

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων Ι

Αναγνώριση Προτύπων Ι Αναγνώριση Προτύπων Ι Ενότητα 3: Στοχαστικά Συστήματα Αν. Καθηγητής Δερματάς Ευάγγελος Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα της Ενότητας. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας.

Περιεχόμενα της Ενότητας. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Περιεχόμενα της Ενότητας Στατιστική Ι Ενότητα 5: Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Επίκουρος Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Παρεμβολή Συναρτήσεις μιας μεταβλητής

Κεφάλαιο Παρεμβολή Συναρτήσεις μιας μεταβλητής Κεφάλαιο 6 Σύνοψη Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι η παρουσίαση της διαδικασίας της παρεμβολής για τις ανάγκες αναπαράστασης καμπύλων γραμμών. Με δεδομένο ότι, η συνηθέστερη τεχνική αντιμετώπισης του προβλήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ - ΟΠΤΟΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ & LASER ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ & Τ/Υ ΑΣΚΗΣΗ ΝΟ7 ΟΠΤΙΚΗ FOURIER. Γ. Μήτσου

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ - ΟΠΤΟΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ & LASER ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ & Τ/Υ ΑΣΚΗΣΗ ΝΟ7 ΟΠΤΙΚΗ FOURIER. Γ. Μήτσου ΕΡΓΑΣΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΟΠΙΚΗΣ - ΟΠΟΗΛΕΚΡΟΝΙΚΗΣ & LASER ΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ & /Υ ΑΣΚΗΣΗ ΝΟ7 ΟΠΙΚΗ FOURIER Γ. Μήτσου Μάρτιος 8 Α. Θεωρία. Εισαγωγή Η επεξεργασία οπτικών δεδοµένων, το φιλτράρισµα χωρικών συχνοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική Hλεκτροδυναμική

Κλασική Hλεκτροδυναμική Κλασική Hλεκτροδυναμική Ενότητα 1: Εισαγωγή Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι μια σύντομη επανάληψη στις βασικές έννοιες της ηλεκτροστατικής.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 5 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση... Error! Bookmark not defned. Σκοποί Μαθήματος (Επικεφαλίδα

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Ενότητα: Αναγνώριση Διεργασίας - Προσαρμοστικός Έλεγχος (Process Identification) Αλαφοδήμος Κωνσταντίνος

Διαβάστε περισσότερα

Τα διανύσματα xy, R είναι κάθετα αν και μόνο αν x y 0. Για το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων. Το ορθογώνιο συμπλήρωμα ενός υπόχωρου

Τα διανύσματα xy, R είναι κάθετα αν και μόνο αν x y 0. Για το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων. Το ορθογώνιο συμπλήρωμα ενός υπόχωρου ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ο ανάστροφος πίνακας του [ j ] σημειώνεται με [ j ] (δηλαδή οι γραμμές γίνονται στήλες αντίστροφα Ιδιότητες: ( ( B B ( R ( B B Ο αντίστροφος ενός τετραγωνικού πίνακα [ j ]

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

5. (Λειτουργικά) Δομικά Διαγράμματα

5. (Λειτουργικά) Δομικά Διαγράμματα 5. (Λειτουργικά) Δομικά Διαγράμματα Γενικά, ένα λειτουργικό δομικό διάγραμμα έχει συγκεκριμένη δομή που περιλαμβάνει: Τις δομικές μονάδες (λειτουργικά τμήματα ή βαθμίδες) που συμβολίζουν συγκεκριμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΤΙΜΙΣΗ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΦΑΝΕΙΑΣ

ΕΚΤΙΜΙΣΗ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΦΑΝΕΙΑΣ 3.1 Εισαγωγή ΕΚΤΙΜΙΣΗ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΦΑΝΕΙΑΣ Στο κεφ. 2 είδαμε πώς θα μπορούσαμε να σχεδιάσουμε έναν βέλτιστο ταξινομητή εάν ξέραμε τις προγενέστερες(prior) πιθανότητες ( ) και τις κλάση-υπό όρους πυκνότητες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Κίνηση σε κεντρικά δυναµικά 1.1.1 Κλασική περιγραφή Η Χαµιλτωνιανή κλασικού συστήµατος που κινείται

Διαβάστε περισσότερα