τατιςτικι ΘΕΩΡΙΑ Δ.Α.Ρ. Ν.Δ.Φ.Κ. ΡΑΝΕΡΙΣΤΗΜΙΟΥ ΡΕΙΑΙΩΣ ΡΩΤΗ ΚΑΙ ΚΑΛΥΤΕΗ 1

Transcript

1 ΘΕΩΡΙΑ

2 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΟΙ o Δείγμα : είναι μια ομάδα ςτοιχείων που ζχουν επιλεγεί από τον πλθκυςμό και χρθςιμοποιοφνται για τθν εκτίμθςθ των ιδιοτιτων του πλθκυςμοφ. o Ρλθκυςμόσ : είναι το ςφνολο των ςτοιχείων που μασ ενδιαφζρουν παραδείγματα Πληθυςμόσ : οι 3 γεφςεισ παγωτοφ ενόσ ηαχαροπλαςτείου που διακζτει 3 γεφςεισ παγωτοφ Δείγμα : οι πζντε γζυςεισ παγωτοφ που ζχετε δοκιμάςει προκειμζνου να διαπιςτϊςετε αν το ηαχαροπλαςτείο ζχει καλό παγωτό Πληθυςμόσ : όλοι οι κάτοικοι τθσ Ελλάδασ Δείγμα : οι άνκρωποι που ερωτικθκαν κατά τθ διάρκεια μιασ ζρευνασ τθσ Εκνικισ τατιςτικισ Τπθρεςίασ o Επειδι θ εξζταςθ ενόσ ολόκλθρου πλθκυςμοφ κοςτίηει πάρα πολφ και είναι δφςκολθ ςυνικωσ επιλζγεται για μελζτθ ζνα δείγμα του πλθκυςμοφ. o Για να αποφφγουμε τισ ανακριβείσ προβλζψεισ, θ επιλογι του δείγματοσ από ζναν πλθκυςμό με τζτοιον τρόπο ϊςτε να είναι αντιπροςωπευτικό του πλθκυςμοφ ζχει κεμελιϊδθ ςθμαςία. ΕΦΑΜΟΓΗ ΤΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΤΙΣ ΕΡΙΧΕΙΗΣΕΙΣ Μια εταιρία που ετοιμάηεται να προωκιςει ςτθν αγορά ζνα νζο προϊόν χρειάηετια να εκτιμιςει τισ προτιμιςεισ των καταναλωτϊν που ανικουν ςτθ ςχετικι αγορά. Για τον ζλεγχο μιασ εταιρίασ, ζνασ ορκωτόσ λογιςτισ αντί να ελζγξει όλα τα πρωτότυπα παραςτατικά τθσ εταιρίασ μπορεί να ελζγξει ζνα δείγμα των παραςτατικϊν το οποίο κα επιλζξει με τυχαίο τρόπο και να καταλιξει ςε

3 ςυμπεράςματα για ολόκλθρο τον πλθκυςμό των παραςτατικϊν με βάςθ αυτό το δείγμα. Για να ελζγξει ζνασ ζμποροσ μία μεγάλθ ποςότθτα αγακϊν που ζχει παραγγείλει μπορεί με τισ ςτατιςτικζσ να εξαγάγει ςυμπεράςματα για τθν ποιότθτα ολόκλθρθσ τθσ παρτίδασ ελζγχοντασ μόνο ζνα τυχαία επιλεγμζνο δείγμα αγακϊν που κα πάρει από τθν παρτίδα. ΡΕΙΓΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΟΙ o Διακφμανςθ (variance) ( ς ι s ): είναι ζνα μζτρο τθσ διαςποράσ μιασ λίςτασ αρικμϊν. o Διάμεςοσ (median) (Md): αν μια λίςτα αρικμϊν αποτελείται από περιττό πλικοσ ςτοιχείων, θ διάμεςοσ είναι ο μεςαίοσ αρικμόσ (όταν θ λίςτα είναι ταξινομθμζνθ), αν θ λίςτα αποτελείται από άρτιο πλικοσ ςτοιχείων, θ διάμεςοσ είναι ο μζςοσ όροσ των δφο αρικμϊν που βρίςκονται πλθςιζςτερα ςτθ μζςθ. o Επικρατοφςα τιμι ι κορυφι (Mode) (Mo): θ τιμι που εμφανίηεται ςυχνότερα ςε μία λίςτα αρικμϊν o Ιςτόγραμμα ςυχνοτιτων ι ςυχνόγραμμα (frequency histogram): ζνα διάγραμμα ράβδων (ιςτόγραμμα) ςτο οποίο απεικονίηεται το πλικοσ των παρατθριςεων που εμπίπτουν ςε κάκε κατθγορία. o Μζςοσ Προσ (average) (μ) : είναι ο ςπουδαιότεροσ δείκτθσ τθσ ςτατιςτικισ με ευρεία και κακθμερινι χριςθ, ορίηεται ωσ εξισ : Η τιμι που ιςοφται με το πθλίκο του ακροίςματοσ μιασ λίςτασ αρικμϊν διά το πλικοσ τουσ. μ = Μζςοσ Προσ Ρλθκυςμοφ Σ = Άκροιςμα x = Τιμζσ Δεδομζνων Ν = Ρλικοσ Δεδομζνων Ρλθκυςμοφ 3

4 Ο ςυμβολιςμόσ για το μζςο όρο δεδομζνων δείγματοσ είναι ο ακόλουκοσ : τατιςτικι Ππου n = Ρλικοσ δεδομζνων Δείγματοσ Σε περιπτϊςεισ που τα δεδομζνα δεν ζχουν όλα τθν ίδια βαρφτθτα ζχουμε το Στακμιςμζνο Μζςο Προ w. Ππου w = Θ Βαρφτθτα τθσ Τιμισ Δεδομζνων o Τυπικι απόκλιςθ (standard deviation)(ς ι s): θ τετραγωνικι ρίηα τθσ διακφμανςθσ. ΣΥΓΚΙΣΗ ΜΕΣΟΥ ΟΟΥ, ΔΙΑΜΕΣΟΥ ΚΑΙ ΕΡΙΚΑΤΟΥΣΑΣ ΤΙΜΗΣ Ο μζςοσ όροσ ( ) βαςίηεται ςε όλεσ τισ τιμζσ δεδομζνων και εννοιολογικά αντιςτοιχεί ςτο κζντρο βάρουσ ενόσ ςϊματοσ. Το αλγεβρικό άκροιςμα των αποκλίςεων των τιμϊν των δεδομζνων από το μζςο όρο είναι μθδζν. Δθλ. αν x= -x ζχουμε : H διάμεςοσ (Md) δεν επθρεάηεται από ακραίεσ τιμζσ. Θ επικρατοφςα τιμι (Μο) δεν επθρεάηεται από ακραίεσ τιμζσ και μπορεί να χρθςιμοποιθκεί και για μθ αρικμθτικά δεδομζνα. ςτθν περίπτωςθ που δεν υπάρχουν επαναλαμβανόμενεσ τιμζσ τότε δεν υπάρχει και επικρατοφςα τιμι. 4

5 o Οι τρείσ δείκτεσ (διάμεςοσ, επικρατουςα τιμι, μζςοσ όροσ) δεν ςυμπίπτουν κατ ανάγκθ. Συμπίπτουν μόνο όταν θ κατανομι είναι ςυμμετρικι. o Μία κατανομι με δφο επικρατοφςεσ τιμζσ (δφο κορυφζσ) ονομάηεται δικόρυφθ κατανομι. o Αν είναι αςφμμετρθ μία κορυφι (Μο) τότε ο Μζςοσ Προσ ελκόμενοσ από τισ ακρότατεσ τιμζσ, απομακρφνεται από το κζντρο προσ αυτζσ, θ Διάμεςοσ βρίςκεται μεταξφ τθσ επικρατοφςασ τιμισ και του μζςου όρου. ΣΥΜΜΕΤΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΜΕΣΟΣ ΟΟΣ = ΔΙΑΜΕΣΟΣ = ΕΡΙΚΑΤΟΥΣΑ ΤΙΜΗ ΑΣΥΜΜΕΤΗ ΔΕΞΙΑ ΕΡΛΚΑΤΟΥΣΑ ΤΛΜΘ ΔΛΑΜΕΣΟΣ ΜΕΣΟΣ ΟΟΣ 5

6 ΑΣΥΜΜΕΤΗ ΑΙΣΤΕΑ ΕΡΛΚΑΤΟΥΣΑ ΤΛΜΘ ΔΛΑΜΕΣΟΣ ΜΕΣΟΣ ΟΟΣ o Σε περίπτωςθ «περίπου» ςυμμετρικισ κατανομισ, ιςχφει θ εμπειρικι ςχζςθ : Δθλαδι θ Διάμεςοσ τιμι (Md) βρίςκεται «πιο κοντά» ςτο Μζςο Προ, και απζχει από τθν Επικρατοφςα Τιμι (Mo) διπλάςια απόςταςθ απ ότι από το μζςο όρο. o Εφροσ : ΔΕΙΚΤΕΣ ΔΙΑΣΡΟΑΣ όπου R: Εφροσ X max = Μζγιςτθ Τιμι δεδομζνων X min = Ελάχιςτθ Τιμι δεδομζνων 6

7 Εάν οι ακραίεσ τιμζσ είναι πολφ απομακρυςμζνεσ από τον κφριο όγκο των τιμϊν, τότε, ςυχνά υπολογίηεται το εφροσ ενόσ κεντρικοφ τμιματοσ τθσ κατανομισ των τιμϊν (π.χ. του 50% των μεςαίων τιμϊν). o Μζςθ Απόκλιςθ : Δείχνει πόςο απζχουν κατά μζςο όρο οι διάφορεσ τιμζσ των δεδομζνων από το δθλαδι από το δείκτθ τθσ κεντρικισ τάςθσ τουσ. Θ Μζςθ Απόκλιςθ (MAD) από το μζςο όρο δίνεται από τον τφπο: = Ο μζςοσ όροσ του πλθκυςμοφ = Το πλικοσ του δείγματοσ o Τυπικι Απόκλιςθ : Θ ζννοια τθσ τυπικισ απόκλιςθσ είναι παρόμοια με αυτι τθσ μζςθσ. Δείχνει ποια είναι θ αντιπροςωπευτικι απόκλιςθ των τιμϊν από το μζςο όρο τουσ. Για τθν τυπικι απόκλιςθ πλθκυςμοφ : Ππου ς = Θ τυπικι απόκλιςθ των τιμϊν του πλθκυςμοφ μ = Ο μζςοσ όροσ του πλθκυςμοφ Ν = Το πλικοσ του πλθκυςμοφ 7

8 Για τθν τυπικι απόκλιςθ δείγματοσ: Ππου s = θ τυπικι απόκλιςθ των τιμϊν του δείγματοσ = ο μζςοσ όροσ των τιμϊν του δείγματτοσ = το πλικοσ (αρικμόσ δεδομζνων) του δείγματοσ Η τυπικι απόκλιςθ μετριζται με τθν μονάδα μζτρθςθσ που μετριοφνται τα δεδομζνα του δείγματοσ ι του πλθκυςμοφ. Ζχει μακθματικζσ ιδιότθτεσ που τθν κάνουν πολφ χρθςιμότερθ από τθ μζςθ απόκλιςθ. Ραράδειγμα : Για τθν παρακάτω λίςτα αρικμϊν, να υπολογιςτεί ο μζςοσ, θ διάμεςοσ τιμι, το εφροσ και τθν τυπικι απόκλιςθ δείγματοσ. 7,, 39, 3, 3, 35, 03, 04, 3, 36, 0,, 3, 03,, 34 ΤΝΟΛΟ : ΜΕΟ : = = ΔΙΑΜΕΟ : Για να βροφμε τθ διάμεςο κατατάςουμε τα δεδομζνα ςε αφξανόμενθ ςειρά. 03, 03, 04, 0,,,, 7, 3, 3, 3, 3, 34, 35, 35, 39 8

9 Το πλικοσ των δεδομζνων είναι άρτιοσ αρικμόσ, άρα λαμβάνεται ω διάμεςοσ, ο μζςοσ όροσ των δφο μεςαίων τιμϊν. Md = ΕΤΡΟ : ΣΤΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΗ : x x- 7 3,75 4,065 -,5 50, ,75 48, ,75 76, ,75 60,065 35,75 38, ,5 40, ,5 370, ,75 76,565 36,75 6, ,5 75,565 -,5, ,75 60, ,5 40,065 -,5, ,75 5,565 ΣΥΝΟΛΟ: 38,5 47 9

10 o Διακφμανςθ : Θ διακφμνςθ είναι το τετράγωνο τθσ τυπικισ απόκλιςθσ (ς ι s ). Χρθςιμοποιείται ςε ςφνκετεσ ςτατιςτικζσ τεχνικζσ. o Συντελεςτισ Μεταβλθτότθτασ : λζγεται και ςχετικι τυπικι απόκλιςθ γιατί μετριζται ςυνικωσ ςαν ποςοςτό επί του Μζςου Πρου των δεδομζνων. δίνεται από τον τφπο : Ππου CV = Συντελεςτισ Μεταβλθτότθτασ (Coefficient of Variation) Ο Συντελεςτισ Μεταβλθτότθτασ δείχνει τι ποςοςτό του Μζςου Πρου αντιπροςωπεφει θ τυπικι απόκλιςθ. Ζτςι ζχουμε καλφτερθ αίςκθςθ του μεγζκουσ τθσ τυπικισ απόκλιςθσ και επιπλζον μποροφμε να ςυγκρίνουμε διαςπορζσ φαινομζνων που μετριοφνται ςε διαφορετικζσ κλίμακεσ μζτρθςθσ. ΣΗΜΑΣΙΑ ΜΕΣΟΥ ΟΟΥ ΚΑΙ ΤΥΡΙΚΗΣ ΑΡΟΚΛΙΣΗΣ Τόςο θ Μζςθ Απόκλιςθ όςο και θ Διακφμανςθ και θ Τυπικι Απόκλιςθ είναι μορφζσ μζςου όρου αποκλίςεων. Θ Τυπικι Απόκλιςθ μασ ενδιαφζρει ιδιαίτερα διότι μζςω αυτισ μποροφμε να υπολογίςουμε το ποςοςτό των τιμϊν των δεδομζνων που ςυγκεντρϊνονται ςε οριςμζνεσ και ςυγκεκριμζνεσ αποςτάςεισ γφρω από το μζςο όρο. Οι αποςτάςεισ αυτζσ μετριοφνται ςυνικωσ ςε πολλαπλάςια τθσ Τυπικισ Απόκλιςθσ. Με βάςθ τθν ανιςότθτα του Tchebysheff, ανεξάρτθτα από τθ μορφι κατανομισ των δεδομζνων μασ : Τουλάχιςτον 75% των τιμϊν βρίςκονται ςτο διάςτθμα Τουλάχιςτον 88,8% των τιμϊν βρίςκονται ςτο διάςτθμα Εάν τα δεδομζνα ακολουκοφν τθν κανονικι κατανομι τότε : Το 95,45 % των τιμϊν βρίςκονται ςτο διάςτθμα Το 99,73 % των τιμϊν βρίςκονται ςτο διάςτθμα και 0

11 ΡΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΡΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ τατιςτικι ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Ρείραμα : Διαδικαςία παρατιρθςθσ ι/και Μζτρθςθσ (που μπορεί να επαναλθφκεί υπό τισ ίδιεσ ςυνκικεσ ). Δειγματικόσ Χϊροσ (Ω) : Το Σφνολο (δθλ. θ Ολότθτα) όλων των δυνατϊν αποτελεςμάτων ενόσ Ρειράματοσ. Ω=,ω, ω,.,ω n } Ενδεχόμενο (Α): Ζνα υποςφνολο του Δειγματικοφ Χϊρου. Θ μθ εμφάνιςθ του Α ςυμβολίηετια με. Εάν το Α δεν μπορεί να υποδιαιρεκεί ςε επιμζρουσ μικρότερα, λζγεται απλό ι ςτοιχειϊδεσ ενδεχόμενο. Ζνα ενδεχόμενο ςτθν ορολογία των Συνόλων λζγεται και Δειγματικό Σθμείο : Α i =,ω i,ω i,,ω iκ },Επιλογι απλϊν ενδεχομζνων- Ραράδειγμα : ΡΕΙΑΜΑ ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΟΣ ίψθ Νομίςματοσ Κορϊνα ι Γράμματα ίψθ Ηαριοφ,,3,4,5,6. Επίςκεψθ Ρωλθτοφ Ρϊλθςθ, Μθ Ρϊλθςθ Ροιοτικόσ Ζλεγχοσ Αποδεκτό, Μθ Αποδεκτό Ο Δειγματικόσ χϊροσ των ανωτζρω πειραμάτων αποτελείται από απλά ενδεχόμενα : Ρ.χ. ςτο Ρείραμα ίψθ Ηαριοφ ζχουμε : Ω=,,,3,4,5,6 - Στο Ρείραμα ίψθ Νομίςματοσ ζχουμε : Ω=, Κορϊνα, Γράμματ - Εάν το πείραμα οριςκεί ωσ «ίψθ νομίςματοσ δφο φορζσ» κα ζχουμε ζνα δειγματικό χϊρο (Ω) τεςςάρων «Δειγματικϊν Σθμείων» : (Κορϊνα, Κορϊνα) (Κορϊνα, Γράμματα)

12 (Γράμματα, Κορϊνα) (Γράμματα, Γράμματα) Διαγραμματικι Απεικόνιςθ Ενδεχομζνων Τα ακόλουκα διαγράμματα (διαγράμματα Venn) απεικονίηουν τρεισ ςυνικεισ καταςτάςεισ ενδεχομζνων : Α Α Β Α Β Α Β «Α» και «Μθ Α» «Α» ι «Β» «Α+Β» «Α» και «Β» Το «Μθ Α» ι λζγεται ςυμπλιρωμα του Α γιατί και τα δφο μαηί αποτελοφν το Ω. Το ενδεχόμενο «Α ι Β» λζγεται ζνωςθ των Α και Β (παρίςταται και ωσ Α + Β ι ). Το ενδεχόμενο «Α και Β» λζγεται τομι των Α και Β (παρίςταται και ωσ ΑΒ ι ). Θ ζνωςθ (Α + Β) δφο ενδεχομζνων Α,Β, περιλαμβάνει όλα τα δειγματικά ςθμεία που ανικουν ςε ζνα τουλάχιςτον από αυτά. Θ τομι τουσ (ΑΒ) περιλαμβάνει μόνο τα κοινά τουσ ςθμεία. Αν δεν ζχουν κοινά ςθμεία (δθλ. όταν ΑΒ=0, δθλαδι όταν θ τομι είναι το κενό ςφνολο : ), τότε λζγονται αμοιβαία αποκλειόμενα γιατί θ εμφάνιςθ του ενόσ ενδεχομζνου αποκλείει τθν εμφάνιςθ του άλλου. Εάν θ εμφάνιςθ του ενόσ ενδεχομζνου δεν επθρεάηει τθν εμφάνιςθ του άλλου, λζγονται ανεξάρτθτα.

13 ΟΙΣΜΟΣ ΡΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Ρικανότθτα : είναι ζνα μζτρο τθσ αβεβαιότθτασ που χαρακτθρίηει τθν εμφάνιςθ «ενδεχομζνων» ςε ζνα «πείραμα». Ραράδειγμα : θ πικανότθτα να πάρουμε ζνα «ςπακί» από μία ςυνικθ τράπουλα είναι : P(«Σπακί») = Αρικμόσ «Σπακιϊν» / Σφνολο Ραιγνιοχάρτων = 3/5 = ¼ = 0,5 ΑΞΙΩΜΑΤΑ ΡΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΤΝΕΠΩ : ΥΡΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΡΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 3

14 Ραράδειγματα : Για τον υπολογιςμό πικανοτιτων Το ενδεχόμενο : άςςοσ (Α) ι ντάμα (Β) παίρνοντασ ζνα μόνο χαρτί από ςυνικθ τράπουλα ζχει πικανότθτα : ( άςςοσ ι ντάμα ) = ( άςςοσ ) + ( ντάμα )= 4/5 + 4/5=8/5 0,54 Το ενδεχόμενο : ζνασ άςςοσ (Α) ι μία κοφπα (Β) παίρνοντασ ζνα μόνο χαρτί από τθν τράπουλα, ζχει πικανότθτα : ( άςςοσ ι κοφπα ) = ( άςςοσ ) + ( κοφπα ) ( άςςοσ και κοφπα ) = = 4/5 + 3/5 /5 = 4,3 0,3 Θ πικανότθτα να εμφανιςκοφν τζςςερισ κορϊνεσ ςε τζςςερισ διαδοχικζσ ρίψεισ νομίςματοσ είναι : ( κορϊνα και κορϊνα και κορϊνα και κορϊνα ) =/ + / + / + /= /6 Θ πικανότθτα να πάρουμε τζςςερα χαρτιά από μία τράπουλα και να είναι και τα τζςςερα άςςοι είναι : (Α Α Α 3 Α 4 )=(Α και Α και Α 3 και Α 4 )= (Α )(Α /Α )(Α 3 /Α Α )(Α 4 /Α Α Α 3 ) = ΚΑΝΟΝΑΣ BAYES Ο κανόνασ του Bayes μασ επιτρζπει να υπολογίςουμε τθ δεςμευμζνθ πικανότθτα (Β/Α) όταν γνωρίηουμε τθν πικανότθτα (Α/Β). **όπου P(B c )=-P(B)] Πταν δθλαδι ζνα ενδεχόμενο Β οφείλεται ςε κάποιο άλλο ενδεχόμενο Α. Για δεςμευμζνεσ πικανότθτεσ Θ πικανότθτα να ςυμβεί το ενδεχόμενο Α με δεδομζνο το γεγονόσ ότι ζχει ςυμβεί το ενδεχόμενο Β. *Αν ] 4

15 Για ανεξάρτθτα ενδεχόμενα (Δθλαδι όταν δεν επθρεάηουν το ζνα το άλλο) Θ γνϊςθ ότι ζχει ςυμβεί κάποιο ενδεχόμενο δεν μασ δίνει καμιά πλθροφορία για το αν κα ςυμβεί το άλλο ενδεχόμενο. ΤΥΧΑΙΑ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ Είναι μία περιγραφι των δυνατϊν ενδεχομζνων ενόσ πειράματοσ. Ο όροσ τυχαία δθλϊνει ότι δεν υπάρχει προκακοριςμζνοσ τρόποσ με τον οποίο εμφανίηονται τα ενδεχόμενα. Μια τυχαία μεταβλθτι μπορεί να είναι ςυνεχισ ι αςυνεχισ, ανάλογα με τισ τιμζσ που μπορεί να λάβει. Μια κατανομι πικανοτιτων περιγράφει πόςο ςυχνά αναμζνεται να εμφανιςκοφν τα διάφορα ενδεχόμενα ενόσ πειράματοσ. Τα ενδεχόμενα προςδιορίηονται από τισ αντίςτοιχεσ τιμζσ τθσ τυχαίασ μεταβλθτισ. Οι μεταβλθτζσ διακρίνονται ςε : o Διακριτζσ, (αρικμόσ ελλατωματικϊν) ΑΚΕΑΛΟΛ ΑΛΚΜΟΛ o Συνεχείσ, (χρόνοσ) ΑΛΚΜΟΣ ΕΝΟΣ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΔΛΑΣΤΘΜΑΤΟΣ R Για παράδειγμα τα ολοκλθρϊματα είναι ςυνεχείσ μεταβλθτζσ. Θ διωνυμικι κατανομι είναι διακριτι μεταβλθτι. ΔΙΩΝΥΜΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Θ διωνυμικι κατανομι περιζχει δφο κατθγορίεσ, δφο ενδεχόμενα. Ρολλά πειράματα εμφανίηουν δφο είτε ανάγονται ςε δφο μόνο δυνατά ενδεχόμενα. Αν και μποροφμε να κεωριςουμε ςαν μία κατθγορία αυτι που ζχει το χαρακτθριςτικό που μασ ενδιαφζρει και ςαν μία άλλθ αυτι που το ςτερείται. Ζςτω : p = πικανότθτα εμφάνιςθσ του ενδεχομζνου που μασ ενδιαφζρει ςε ζνα πείραμα. q =-p (p + q =) n = αρικμόσ επαναλιψεων του ίδιου πειράματοσ x = αρικμόσ εμφάνιςθσ του ενδεχομζνου που μασ ενδιαφζρει ςε n πανομοιότυπεσ επαναλιψεισ του ίδιου πειράματοσ όπου για κάκε μία επανάλθψθ θ πικανότθτα εμφάνιςθσ του ενδεχομζνου είναι P δθλαδι ςτακερι.! = παραγοντικό 5

16 P x = θ πικανότθτα να εμφανιςκεί x φορζσ το ενδεχόμενο που μασ ενδιαφζρει ςε n επαναλιψεισ του πειράματοσ. Τότε : Ππου = άρα ο παραπάνω τφποσ μετατρζπεται ςε : [ακόμα για ] Στθ Διωνυμικι Κατανομι όταν το n είναι αρκετά μεγάλο τότε θ μζςθ τιμι είναι μ=np και θ τυπικι απόκλιςθ είναι. Εφαρμογι : Από ςωρό θλεκτρικϊν λαμπτιρων τραβάμε 0 λαμπτιρεσ με επανάκεςθ και θ πικανότθτα εφρεςθσ ελαττωματικοφ λαμπτιρα είναι 5%. Να βρεκοφν : i. Δφο λαμπτιρεσ να είναι ελαττωματικοί ii. Τουλάχιςτον λαμπτιρεσ να είναι ελαττωματικοί iii. Το πολφ ζνασ λαμπτιρασ να είναι ελαττωματικόσ iv. Ο αναμενόμενοσ αρικμόσ ελαττωματικϊν λαμπτιρων v. Ζνα 95% διάςτθμα εμπιςτοςφνθσ που να εμπεριζχει τον αρικμό ελαττωματικϊν λαμπτιρων. ΑΠΑΝΣΗΗ : Ο αναμενόμενος αρικμόσ προςπακειϊν : μ= np i. n = 0, P = 0,05 b ii. b iii. iv. μ = np = 0 0,05 = 0,5 () v. 6

17 (3) Άρα το διάςτθμα εμπιςτοςφνθσ ςτο οποίο βρίςκεται ο αρικμόσ των ελαττωματικϊν λαμπτιρων είναι (μ-ς, μ+ς) ΚΑΤΑΝΟΜΗ POISSON Εάν μία από τισ πικανότθτεσ ςυμβαίνει να είναι εξαιρετικά μικρι, τότε ζχει περιςςότερο νόθμα να μετράμε τον αρικμό εμφανίςεων του ενδεχομζνου παρά τισ πικανότθτζσ τουσ. Για παράδειγμα αυτό μπορεί να ςυμβεί με τον αρικμό τυπογραφικϊν λακϊν ανά ςελίδα, ψάρια ςε μία λίμνθ, τροχαία ατυχιματα ανά ϊρα, ελαττωματικά προϊόντα ανά βάρδια παραγωγισ, γκολ ανά αγϊνα ποδοςφαίρου, μικρόβια ανά κιλό γάλακτοσ. Σ όλεσ αυτζσ τισ περιπτϊςεισ, μποροφμε να μετράμε τον αρικμό εμφανίςεων του ενδεχομζνου που μασ ενδιαφζρει αλλά είναι, προφανϊσ αδφνατο να υπολογίςουμε τον αρικμό «μθ εμφανίςεων» του. Εάν αυτζσ οι εμφανίςεισ γίνονται τυχαία και ανεξάρτθτα θ μία από τθν άλλθ τότε, αν γνωρίηουμε το μζςο όρο αυτϊν των εμφανίςεων μποροφμε να υπολογίςουμε τθν πικανότθτα P x να ςυμβοφν χ εμφανίςεισ ςτο ίδιο διάςτθμα χρόνου (ι χϊρου). Ο υπολογιςμόσ μπορεί να γίνει με τθν κατανομι Poisson. Ππου : e =,788, x = αρικμόσ εμφανίςεων του ενδεχομζνου ανα ςυγκεκριμζνο διάςτθμα μ = μζςοσ όροσ εμφανίςεων ανά ςυγκεκριμζνο διάςτθμα. 7

18 Ο μζςοσ μ μεταβάλλεται ανάλογα με τθ μεταβολι του διαςτιματοσ για το οποίο ζχει υπολογιςκεί. Στθν Poisson κατανομι θ μζςθ τιμι = διαςπορά = μ τυπικι απόκλιςθ ς(x) = και θ Η κατανομι Poisson χρθςιμοποιείται για προςζγγιςθ τθσ διωνυμικισ όταν Εφαρμογι : Ο αρικμόσ των ςοβαρϊν τροχαίων ατθχυμάτων που ςυμβαίνουν ανά θμζρα ςτθν εκνικι οδό Ακθνϊν Ρατρϊν είναι 3. Να υπολογιςτοφν : a. θ πικανότθτα ςε μία θμζρα να ζχω τουλάχιςτον τροχαία ατυχιματα b. θ πικανότθτα ςε μία θμζρα να ζχω το πολφ ατφχθμα c. ο αναμενόμενοσ αρικμόσ ατθχυμάτων ανά θμζρα d. θ πικανότθτα να ζχω ςοβαρά ατυχιματα ςε ζνα διιμερο e. θ πικανότθτα ςε δφο διαδοχικζσ θμζρεσ να ζχω δφο τροχαία ατυχιματα ςε κάκε μία από αυτζσ f. θ πικανότθτα ςε 0 διαδοχικζσ θμζρεσ να υπάρχουν 4 όπου ςε κάκε μία από αυτζσ να ζχω (ακριβϊσ δφο) τροχαία ατυχιματα. Απαντήςεισ : a. Ζςτω x: # ατυχθμάτων ανά θμζρα ςτθν Εκνικι Οδό Ακθνϊν Ρατρϊν μ = 3 b. P( )= c. E(x)= 3/θμ. d. μ = 6/θμερο P(x=) = e. P = P (x=) = P f. b (4,0,p) ( ) = 8

19 ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Είναι, με μεγάλθ διαφορά, θ χρθςιμότερθ κατανομι ςτθ Στατιςτικι Ανάλυςθ. Οι ςπουδαιότερεσ ιδιότθτεσ τθσ κανονικισ κατανομισ είναι οι εξισ : Ο μζςοσ (μ) βρίςκεται ακριβϊσ ςτο κζντρο τθσ κατανομισ και ςυμπίπτει με τθ διάμεςο και τθ ςυχνότερθ τιμι. Το ολικό εμβαδόν κάτω από τθν καμπφλθ.0 Θ «κωδωνοειδθσ» μορφι τθσ δειχνεί ότι οι μεγαλφτερεσ ςυχνότθτεσ βρίςκονται γφρω από το μζςο και οι μικρότερεσ ςτα άκρα. Θ καμπφλθ είναι ςυμμετρικι, εκτεινόμενθ απεριόριςτα εκατζρωκεν του μζςου (μ) τείνει αςυμπτωτικά και αμφίπλευρα ςτον άξονα των χ. Πςο πιο «πεπλατυςμζνθ» είναι, τόςο μεγαλφτερθ τυπικι απόκλιςθ υπάρχει για τον ίδιο μζςο (μ). Θ τιμι του μζςου (μ) μπορεί να είναι οποιάδθποτε τιμι (αρνθτικι,κετικι ι μθδζν). Οποιαδιποτε κανονικι κατανομι τυχαίασ μεταβλθτισ χ με μζςο μ και τυπικι απόκλιςθ ς, μπορεί να μεταςχθματιςτεί ςε ΤΥΡΟΡΟΛΘΜΕΝΘ ΚΑΝΟΝΛΚΘ ΚΑΤΑΝΟΜΘ με μεταβλθτι Η, μζςο μ=0 και τυπικι απόκλιςθ ς=, βάςει του τφπου μεταςχθματιςμοφ : z= Τρία ςυνθκιςμζνα διαςτιματα τθσ τυποποιθμζνθσ κατανομισ με τισ αντιςτοιχεσ πικανότθτεσ εμφάνιςισ τουσ δίνονται κατωτζρω : (SXHMA ) (SXHMA II) (SXHMA III) Ραράδειγμα : Εάν ςε μία κανονικι κατανομι είναι μ=400 και ς=00, ποια είναι θ πικανότθτα (εμβαδόν) εμφάνιςθσ τιμϊν μεταξφ 50 και 500 ; Θ ηθτοφμενθ πικανότθτα δίνεται από το ςκιαγραφθμζνο εμβαδον κατωτζρω : (ςχθμα) Μεταςχθματίηοντασ τθν αρχικι κατανομι ςε τυποποιθμζνθ βρίςκουμε τισ μεταςχθματιςμζνεσ τιμζσ Η και Η που αντιςτοιχοφν ςτισ τιμζσ χ =50 και χ =500 τθσ αρχικισ μεταβλθτισ χ. Είναι λοιπόν : Η = [( )]=[(50-400)/00]=(-50)/00=-,5 9

20 Η = [ ]=[( /00)]=00/00=,0 Ο ςχετικόσ πίνακασ με τα εμβαδά τθσ κανονικισ καμπφλθσ δίνει : Για Η = -,5 το εμβαδόν από το μ=0 μζχρι το -,5 είναι : 0,433 Για Η=,0 το εμβαδόν είναι από το μ=0 μζχρι το,0 είναι : 0,343 Ππωσ φαίνεται από το διάγραμμα πρζπει να προςκζςουμε τα εμβαδά για να προςδιορίςουμε όλθ τθ ςκιαγραφθμζνθ περιοχι : P(50 500)= P(-,5 )= P(-,5 ) + P(0 )=0,433+0,343=0,7745 ι 77,45 % Για οποιαδήποτε κανονική κατανομή ιςχφει ότι το 68,7% των τιμών τησ τυχαίασ μεταβλητήσ ςε ζνα διάςτημα μιασ τυπικήσ απόκλιςησ κάτω του μζςου όρου και μιασ τυπικήσ απόκλιςησ άνω του μζςου όρου δηλαδή για. Σο 95,45 % των τιμών ςτο διάςτημα. Σο 99,73% των τιμών ςτο διάςτημα. Διάςτθμα Εμπιςτοςφνθσ είναι ζνα οποιοδιποτε διάςτθμα που μασ ενδιαφζρει και βρίςκεται εκατζρωκεν του Μζςου Πρου μιασ Κανονικισ Κατανομισ. Το ποςοςτό των τιμϊν που περιλαμβάνονται ςτο διάςτθμα εμπιςτοςφνθσ λζγεται ςυντελεςτισ εμπιςτοςφνθσ. ΕΡΛΡΕΔΟ ΕΜΡΛΣΤΟΣΥΝΘΣ + ΕΡΛΡΕΔΟ ΣΘΜΑΝΤΛΚΟΤΘΤΑΣ = ι 00% Θ Κανονικι Κατανομι προςεγγίηει τθ Διωνυμικι όταν : n np nq Το εμβαδόν Α(χ,χ ) που βρίςκεται κάτω από τθν καμπφλθ τθσ Κανονικισ Κατανομισ και μεταξφ των τιμϊν χ και χ τθσ τυχαίασ μεταβλθτισ χ δίνεται από τθ ςχζςθ : 0

21 ΕΡΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Το «δείγμα» είναι μζροσ ενόσ ςυνόλου του «πλθκυςμοφ» Ζνα δείγμα κεωρείται «μεγάλο» όταν ζχει τουλάχιςτον 30 παρατθριςεισ. Κατανομι του Ρλθκυςμοφ - Θ κατανομι όλων των ςυγκεκριμζνων τιμϊν που μπορεί κεωρθτικά να εμφανιςκοφν ςε ζνα πλθκυςμό. Κατανομι Δείγματοσ - Θ κατανομι τθσ ςυχνότθτασ με τθν οποία εμφανίςκθκαν όλεσ οι ςυγκεκριμζνεσ τιμζσ ενόσ μόνον δείγματοσ μεγζκουσ n. Δφο δείγματα είναι διαφορετικά, όταν ζχουν μία τουλάχιςτον παρατήρηςη διαφορετική. Για μεγάλα δείγματα μεγζκουσ n θ τυχαία μεταβλθτι ακολουκεί αρκετά τθν κανονικικατανομι με μζςο όρο και τυπικι απόκλιςθ : όπου ς = Τυπικι απόκλιςθ του πλθκυςμοφ και n = Αρικμόσ παρατθριςεων του δείγματοσ Σφάλμα Δειγματολθψίασ : Είναι το λάκοσ που κα κάναμε αν κεωροφςαμε το ςαν τθν πικανι τιμι του μζςου όρου μ του πλθκυςμοφ, ενϊ το είναι ο μζςοσ όροσ των ςυγκεκριμζνων τιμϊν ενόσ μόνο δείγματοσ. Διάςτθμα Εμπιςτοςφνθσ είναι ζνα ςυγκεκριμζνο διάςτθμα που μασ ενδιαφζρει και βρίςκεται εκατζρωκεν του μζςου όρου μιασ Κανονικισ Κατανομισ. Οι οριακζσ τιμζσ του διαςτιματοσ λζγονται όρια εμπιςτοςφνθσ Στθν περίπτωςθ που ζχουμε ζνα μόνο τυχαίο δείγμα που ζχει μζςο όρο μποροφμε να πικανολογιςουμε ότι υπάρχει 95% πικανότθτα ότι ο μζςοσ όροσ μ του πλθκυςμοφ από τον οποίο ελιφκθ το δείγμα να βρίςκεται μεταξφ των τιμϊν :

22 Κατά τθν δειγματολθψία θ διαφορά τθσ παρατιρθςθσ ενόσ μζςου όρου από τθ κεωρθτικά αναμενόμενθ τιμι μπορεί να είναι ςθμαντικι δθλαδι να μθν οφείλεται απλά και μόνο ςτο ότι ζχουμε δείγμα και όχι όλο τον πλθκυςμό. Σε αυτιν τθν περίπτωςθ : Θ Μθδενικι Υπόκεςθ ( ) δθλαδι θ υπόκεςθ ότι δεν υπάρχει ουςιαςτικι διαφορά μεταξφ τθσ παρατθροφμενθσ τιμισ και τθσ κεωρθτικά αναμενόμενθσ πρζπει να απορριφθεί. Για κάκε διάςτθμα εμπιςτοςφνθσ που προεπιλζγουμε μιασ δειγματολθπτικισ κατανομισ, το ποςοςτό των τιμϊν εκτόσ του επιλεγζντοσ διαςτιματοσ εμπιςτοςφνθσ λζγεται επίπεδο ςθμαντικότθτασ και ςυμβολίηεται με α. Μια διαφορά εκτόσ ορίου εμπιςτοςφνθσ 95% λζγεται ςθμαντικι ςε επίπεδο 5% (δθλαδι υπάρχει πικανότθτα 5% θ διαφορά να οφείλεται ςε ςφάλμα δειγματολθψίασ). Σε αυτι τθν περίπτωςθ απορρίπτεται θ Μθδενικι Υπόκεςθ και το δείγμα κεωρείται ότι δεν ανικει ςτον πλθκυςμό με μζςο όρο μ. ΚΙΣΙΜΕΣ ΤΙΜΕΣ ΣΕ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Μία παρατθροφμενθ απόςταςθ μεταξφ του μζςου όρου ενόσ δείγματοσ και του μζςου όρου του πλθκυςμοφ μ οφείλεται ςτθ φυςικι και αναμενόμενθ διακφμανςθ των τυχαίων δειγμάτων. Τα ςυνικθ «διαςτιματα εμπιςτοςφνθσ» ςτθν πράξθ είναι αυτά που αντιςτοιχοφν ςε επίπεδα εμπιςτοςφνθσ 95% ι 99%. Τα όρια του διαςτιματοσ εμπιςτοςφνθσ είναι κρίςιμεσ τιμζσ του διαςτιματοσ εμπιςτοςφνθσ. ΕΙΔΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ Ι και ΙΙ ΣΦΑΛΜΑ Ι : Δεν είναι εςφαλμζνθ θ Θο αλλά τθν απορρίπτουμε εξαιτίασ του επιπζδου ςθμαντικότθτασ α που επιλζξαμε. ΣΦΑΛΜΑ ΙΙ : Είναι εςφαλμζνθ θ Θο αλλά τθ δεχόμαςτε.

23 ΥΡΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ Εάν προκακορίςουμε τθ μζγιςτθ αποδεκτι τιμι του Ε τότε για ζνα επίπεδο ςθμαντικότθτασ α (που αντιςτοιχεί ςε μία κρίςιμθ τιμι )μποροφμε να υπολογίςμουμε το απαιτοφμενο μζγεκοσ του δείγματοσ ωσ εξισ : N= ΣΦΑΛΜΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ για n 30 ζχουμε Ε= από τον τφπο αυτό προκφπτει ότι το ςφάλμα τθ δειγματολθψίασ Ε μειϊνεται όταν : Αυξάνεται το μζγεκοσ του δείγματοσ n Μειϊνεται θ τυπικι απόκλιςθ s του δείγματοσ Αυξάνεται το επίπεδο ςθμαντικότθτασ α ι αντίςτοιχα όταν περιορίηεται το επίπεδο εμπιςτοςφνθσ (-α). Βαθμοί Ελευθερίασ είναι ο αριθμόσ των άγνωςτων ςε ζνα ςφςτημα μείον τον αριθμό των ανεξάρτητων εξιςώςεων που ςυνδζουν τουσ αγνώςτουσ. 3

24 ΓΑΜΜΙΚΗ ΡΑΛΙΝΔΟΜΗΣΗ Θ παλινδρόμθςθ είναι τεχνικι προςδιοριςμοφ μιασ ποςοτικισ ζκφραςθσ που περιγράφει τον τρόπο που αλλθλοςυςχετίηονται δφο ι περιςςότερεσ μεταβλθτζσ. τυχαίεσ μεταβλθτζσ x, y με γραμμικθ αλλθλοςυςχζτιςθ : Μεταξφ των x, y υπάρχει ςχζςθ αιτίου αποτελζςματοσ θ οποία προςδιορίηεται με τον υπολογιςμό των ςτακερϊν ποςοςτιτων a και b. Θ μεταβλθτι x λζγεται ανεξάρτθτθ και θ μεταβλθτι y εξαρτθμζνθ. ΡΛΗΘΥΣΜΟΣ ι ΔΕΙΓΜΑ ; Στισ περιςςότερεσ περιπτϊςεισ κεωροφμε ότι τα δεδομζνα αποτελοφν ζνα δείγμα οπότε και τα a και b τθσ ςχζςθσ είναι εκτίμθςθ πλθκυςμιακϊν παραμζτρων. ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΦΗ ΑΡΛΗΣ ΡΑΛΙΝΔΟΜΗΣΗΣ : ΔΙΑΓΑΜΜΑ ΣΚΕΔΑΣΜΟΥ : Είναι θ γραφικι απεικόνιςθ που δίνει μια εικόνα για το αν υπάρχει εμφανισ ςυςχζτιςθ μεταξφ x και y και εάν αυτι είναι γραμμικισ μορφισ. ΣΥΝΑΤΗΣΗ ΓΑΜΜΙΚΗΣ ΡΑΛΙΝΔΟΜΗΣΗΣ Θ ευκεία που δίνει τθν «καλφτερθ» περιγαρφι. Ρροςδιορίηεται με τθ μζκοδο των ελαχίςτων τετραγϊνων θ οποία απαιτεί τθν ελαχιςτοποίθςθ τθσ ποιότθτασ. = μια υπάρχουςα τιμι τθσ μεταβλθτισ y (αντιςτοιχεί ςε ςυγκεκριμζνθ τιμι τθσ x) = είναι θ τιμι που υπολογίηεται από τθ γραμμικι ςυνάρτθςθ ΑΞΙΟΡΙΣΤΙΑ ΤΗΣ ΓΑΜΜΙΚΗΣ ΡΑΛΙΝΔΟΜΗΣΗΣ Εάν δεν υπάρχει αλλθλοεξάρτθςθ μεταξφ x και y τότε το καλφτερο μοντζλο για τθν εκτίμθςθ τθσ πικανότερθσ τιμισ που μπορεί να πάρει θ τυχαία μεταβλθτι y κα ιταν ο μζςοσ όροσ τθσ, δθλ. = 4

25 Πταν οι τιμζσ του y εξαρτϊνται από τισ τιμζσ του x τότε θ καλφτερθ εκτίμθςθ για τθν τιμι του είναι θ τιμι και υπολογίηεται με βάςθ το αντίςτοιχο και τουσ ςυντελεςτζσ a και b όπωσ φαίνεται ςτθν ακόλουκθ ςχζςθ : Ρόςθ αξιοπιςτία δίνουμε ςτισ τιμζσ που υπολογίηονται κατά αυτό τον τρόπο ; - Από τθν τιμι του «ςυντελεςτι προςδιοριςμοφ» και - Από τθν τιμι του κριτθρίου F ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΡΟΣΔΙΟΙΣΜΟΥ Μετρά το βακμό αξιοπιςτία τθσ γραμμικισ παλινδρόμθςθσ. Δίνεται από τθ ςχζςθ : Το μεταβάλλεται από 0 μζχρι. Η ποςότθτα r λζγεται «ςυντελεςτισ ςυςχζτιςθσ» και μεταβάλλεται από - ζωσ + ΚΙΤΗΙΟ F - n = Το πλικοσ των παρατθριςεων (, ) - m = αρικμόσ παραμζτρων (είναι δφο για τθν απλι παλινδρόμθςθ a και b) 5

26 ΕΜΡΕΙΙΚΟΣ ΚΑΝΟΝΑΣ ΓΙΑ ΤΟ F Να απορρίπτουμε τθ μθδενικι υπόκεςθ ςε επίπεδο εμπιςτοςφνθσ 95% όταν το F είναι μεγαλφτερο του 6 για δείγματα μεταξφ 6 και 0 παρατθριςεων και μεγαλφτερο του 5 για μεγαλφτερα δείγματα ΑΞΙΟΡΙΣΤΙΑ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ b Ho : θ πραγματικι τιμι του b είναι μθδζν άρα δεν υπάρχει ςχζςθ αιτίασ αποτελζςματοσ μεταξφ x και y. Ο ζλεγχοσ γίνεται με το κριτιριο t - Οι κρίςιμεσ τιμζσ του t δίνονται από ςχετικοφσ πίνακεσ ΕΜΡΕΙΙΚΟΣ ΚΑΝΟΝΑΣ ΓΙΑ ΤΟ t Να απορρίπτουμε τθ μθδενικι υπόκεςθ ςε επίπεδο εμπιςτοςφνθσ 95% όταν το t είναι μεγαλφτερο του 3 για δείγματα 5-5 παρατθριςεων και μεγαλφτερο του για μεγαλφτερα δείγματα. ΤΥΡΙΚΟ ΣΦΑΛΜΑ ΡΑΛΙΝΔΟΜΗΣΗΣ 6

27 ΕΙΔΗ ΜΕΘΟΔΩΝ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Δθμοςκόπθςθ κατά ςυςτοιχίεσ Σφμφωνα με αυτι τθ μζκοδο, ο πλθκυςμόσ διαιρείται ςε διαφορετικζσ «ςυςτοιχίεσ» και το δείγμα λαμβάνεται μόνο από επιλεγμζνεσ ςυςτοιχίεσ και όχι από ολόκλθρο τον πλθκυςμό. ΙΔΑΝΙΚΗ ΡΕΙΡΤΩΣΗ: Κάκε ςυςτοιχία κα αντιπροςωπεφει τον πλθκυςμό όςο το δυνατό περιςςότερο. ΣΤΗΝ ΡΑΞΗ : Οι ςυςτοιχίεσ επιλζγονται κατά γεωγραφικζσ περιοχζσ. Επιλζγονται τυχαία μερικζσ περιοχζσ, και μετά οριςμζνεσ υποπεριοχζσ και μερικά νοικοκυριά. ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ : Εγγυάται ότι οι άνκρωποι του δείγματοσ ηοφν κοντά ο ζνασ ςτον άλλο και ζτςι είναι πιο εφκολο για το άτομο που κάνει τισ ερωτιςεισ να πάρει τθ γνϊμθ αρκετϊν ανκρϊπων. Στρωματοποιθμζνθ Δειγματολθψία Μπορεί να αποφζρει ακριβι δείγματα, όμωσ λειτουργεί ςωςτά μόνο όταν ο πλθκυςμόσ μπορεί να διαιρεκεί ςε ομοιογενείσ ομάδεσ. Ευκαιριακζσ Δειγματολθψίεσ Θ ςτατιςτικι ανάλυςθ εφαρμόηεται ςυχνά με λανκαςμζνο τρόπο ςε αυτά τα δείγματα ςαν να ιταν απολφτωσ τυχαία δείγματα. Δεν είναι ςωςτό να εφαρμόηεται ςτατιςτικι ανάλυςθ ςε δείγματα που αποτελοφνται από εκείνα τα άτομα που ιταν πιο εφκολα προςπελάςιμα για το άτομο ι τα άτομα που διεξάγουν τθ δθμοςκόπθςθ. 7

28 ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΕΣ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ Οποιαδιποτε επαναλαμβανόμενθ διαδικαςία υπόκειται ςε μεταβολζσ. Μεταβολζσ : - ςτα τεχνικά και άλλα μζςα που χρθςιμοποιεί θ διαδικαςία - ςτον τρόπο που ο χειριςτισ τθσ επεμβαίνει ςε αυτιν - ςτο υλικό που υφίςταται επεξεργαςία μζςω τθσ ςυγκεκριμζνθσ διαδικαςίασ. Μεταβολζσ ςτθ βιομθχανικι διαδικαςία : - από απορρυκμίςεισ μθχανων ι εγγενείσ καταςκευαςτικζσ αδυναμίεσ - από ελάττωςθ ι αφξθςθ τθσ προςοχισ ι τθσ πείρασ των εργαηομζνων - από αλλαγι των διαςτάςεων, χθμικισ ςφςταςθσ κλπ. των υλικϊν - από ςυνδυαςμοφσ των,, 3 Αιτίεσ Μεταβλθτότθτασ : Κοινζσ Αιτίεσ Μεταβλθτότθτασ : Μικρζσ, τυχαίεσ μεταβολζσ, ενδογενείσ του ςυγκεκριμζνου ςυςτιματοσ. - Επιδροφν μόνιμα ςε μία διαδικαςία προκαλϊντασ μια μεταβολι που ακολουκεί κάποια ςτατιςτικι κατανομι. - Πταν θ μεταβλθτότθτα ςε μία διαδικαςία προκαλείται μόνο από κοινζσ αιτίεσ τότε λζμε ότι θ διαδικαςία είναι ςε κατάςταςθ ςτατιςτικοφ ελζγχου. Ειδικζσ Αιτίεσ Μεταβλθτότθτασ : «Μεγάλεσ» ςχετικά μεταβολζσ που δεν οφείλονται ςτο ςυνικθ τρόπο λειτουργίασ τθσ διαδικαςίασ και που ζχουν ςθμαντικι επίδραςθ ςτθν όλθ διαδικαςία. - Πταν ζχουμε «ειδικζσ αιτίεσ μεταβλθτότθτασ» λζμε ότι το ςφςτθμα είναι εκτόσ ελζγχου και προςπακοφμε να εντοπίςουμε τισ αιτίεσ και να επαναφζρουμε το ςφςτθμα ςε κατάςταςθ ςτατιςτικοφ ελζγχου. 8

29 ΔΙΑΓΑΜΜΑ PARETO Είναι ζνα εργαλείο που χρθςιμοποιείται ςτθν ταξινόμθςθ των προβλθμάτων για τθ βελτίωςθ τθσ ποιότθτασ που εμφανίηονται ςε μια παραγωγικι διαδικαςία. Είναι θ ποςοςτιαία ταξινόμθςθ των ςφαλμάτων μιασ διαδικαςίασ ανάλογα με τισ αιτίεσ που τα δθμιουργοφν. ΚΑΝΟΝΑΣ PARETO 0/80 : υποςτθρίηει ότι χοντρικά το 0% των αιτιϊν είναι υπεφκυνο για το 80% των αποτελεςμάτων. Άρα επικεντρϊνοντασ τθν προςοςχι μασ ςτο 0% ζχουμε μεγαλφτερθ αποτελεςματικότθτα μια και αυτά είναι υπεφκυνα για το 80% των αποτελεςμάτων. - Ανάλογα με τθν περίπτωςθ μποροφμε να ζχουμε περιςςότερεσ από δφο (0% - 80% ) κατθγορίεσ. - ΧΟΝΟΣΕΙΕΣ Αρικμθτικζσ παρατθριςεισ ενόσ φαινομζνου ςε διαφορετικζσ χρονικζσ ςτιγμζσ ϊςτε να κατανοιςουμε και να προβλζψουμε τθ ςυμπεριφορά και τθν εξζλιξι του. Ραράγοντεσ : Τάςθ (T) *μακροχρόνια γενικι κατεφκυνςθ μεταβολισ των τιμϊν ενόσ φαινομζνου+ Εποχικότθτα (S) *βραχυχρόνια περιοδικι αυξομείωςθ των τιμϊν αφειλόμενθ ςυνικωσ ςε εγγενι χαρακτθριςτικά των εποχϊν του ζτουσ+ Κυκλικότθτα (C) *μακροχρόνια περιοδικι αυξομείωςθ των τιμϊν, οφειλόμενθ ςε μεταβολζσ τθσ γενικότερθσ οικονομικισ δραςτθριότθτασ+ Τυχαίεσ μεταβολζσ (R) *δεν μπορεί να ενταχκεί ςτουσ τρεισ προθγοφμενουσ παράγοντεσ οι οποίοι ζχουν κάποιο βακμό ςυςτθματικότθτασ ςτθ ςυμπεριφορά τουσ+ 9

30 ΔΙΑΧΕΙΙΣΗ ΕΓΩΝ Θ αποτελεςματικι διαχείριςθ ζργων περιλαμβάνει τρία ςτάδια : Σχεδίαςθ ζργου *πρζπει να τεκοφν οι ςτόχοι, να οριςτοφν οι ενζργειεσ που κα οδθγιςουν ςτθν ολοκλιρωςθ του ζργου, να εκτιμθκοφν τα όρια τθσ ολοκλιρωςθσ+ Κατάρτιςθ χρονοδιαγράμματοσ Ζλεγχο προόδου εργαςιϊν του ζργου ΔΙΚΤΥΑ Δίκτυο είναι το ςφνολο των ενεργειϊν ςε ζνα ζργο οι οποίεσ ςυνδζονται με ςχζςεισ προτεραιότθτασ. Οι βαςικζσ ζννοιεσ ςε ζνα δίκτυο PERT/CPM ορίηονται ωσ εξισ : Ενζργεια Γεγονόσ Μονοπάτι Κρίςιμο μονοπάτι ΔΙΑΧΕΙΙΣΗ ΧΑΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ Τα βαςικά ςθμεία που αφοροφν ςτθ διαχείριςθ χαρτοφυλακίου ακολουκοφν τθν παρακάτω δομι : Ραρουςίαςθ των απαραίτθτων ςτατιςτικϊ εννοιϊν Οριςμόσ τθσ ζννοιασ τθσ απόδοςθσ Οριςμόσ τθσ ζννοιασ του κινδφνου Οριςμόσ του ςυντελεςτι «βιτα» Σχζςθ κινδφνου και απόδοςθσ Αρχζσ διαχείριςθσ χαρτοφυλακίου - Στθ ςφγχρονθ κεωρία χαρτοφυλακίου ο κίνδυνοσ μιασ μετοχισ χωρίηεται ςε δφο μζρθ : o Στον κίνδυνο που ςυνδζεται με τθν απόδοςθ τθσ ςυγκεκριμζνθσ μετοχισ και ονομάηεται διαφοροποιιςιμοσ κίνδυνοσ o Στον κίνδυνο που ςυνδζεται με τθν απόδοςθ τθσ ςυνολικισ χρθματιςτθριακισ αγοράσ και ονομάηεται κίνδυνοσ αγοράσ. 30

31 - Ο κίνδυνοσ ενόσ χαρτοφυλακίου εξαρτάται από τθ ςχζςθ που ζχουν οι αποδόςεισ των μετοχϊν μεταξφ τουσ. τατιςτικι ΣΤΑΤΗΓΙΚΕΣ ΔΙΑΧΕΙΙΣΗΣ ΧΑΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΑΜΥΝΤΙΚΗ ΔΙΑΧΕΙΙΣΗ : βαςίηεται ςτθν υπόκεςθ ότι οι αποδόςεισ των μετοχϊν είναι αδφνατο να προβλεφκοφν και επομζνωσ είναι αςφαλζςτερο να αναηθτιςουμε τισ φυςιολογικζσ αποδόςεισ που προκφπτουν από ζνα χαρτοφυλάκιο. ΕΡΙΘΕΤΙΚΗ ΔΙΑΧΕΙΙΣΗ : ςτθρίηεται ςτθν υπόκεςθ ότι μποροφν να πραγματοποιθκοφν υψθλότερεσ από τισ φυςιολογικζσ αποδόςεισ είτε γιατί είναι δυνατό να κάνουμε προβλζψεισ για το μζλλον είτε γιατί ςυχνά υπάρχουν μετοχζσ των οποίων οι αγοραίεσ τιμζσ δεν αντικατοπτρίηουν τθν πραγματικι τουσ αξία. Ρρακτικζσ μζκοδοι υλοποίθςθσ επικετικισ διαχείριςθσ χαρτοφυλακίου: Διαμόρφωςθ χαρτοφυλακίου ςφμφωνα με τισ προβλζψεισ για τθ μελλοντικι πορεία τθσ αγοράσ. Διαμόρφωςθ χαρτοφυλακίου ςφμφωνα με τισ αναμενόμενεσ μελλοντικζσ αποδόςεισ των μετοχϊν Διαμόρφωςθ χαρτοφυλακίου με βάςθ κάποιο ι κάποιουσ κλάδουσ οικονομικισ δραςτθριότθτασ που αναμζνεται να ζχουν υψθλι απόδοςθ ςτο μζλλον. - Ρρακτικά τα αμυντικά χαρτοφυλάκια πραγματοποιοφν μεγαλφτερεσ αποδόςεισ από τα επικετικά χαρτοφυλάκια 3

32 ΑΚΗΕΙ 3

33 Μια οικογζνεια ζχει 6 παιδιά. Να βρεκεί θ πικανότθτα : α)να ζχει κορίτςια β)τουλάχιςτον 5 κορίτςια γ)το πολφ κορίτςι δ)ποιοσ ο αναμενόμενοσ αρικμόσ κοριτςιϊν ε)δϊςτε διάςτθμα που με 95% ςιγουριά κα βρίςκεται ο αρικμόσ κοριτςιϊν τθσ οικογζνειασ. ΛΥΣΗ α)n=6 ΤΥΡΟΣ:b=(n,k,p)= k n p k (-p) n k q=-p=-/=/ b(6,,/)= 6 6 = 6! 4!! 6 =5/64 β)b(6,k 5,/)=b(6,5,/)+b(6,6,/)= 5 6 =6/64+/64=7/ γ)b(6,k,/ ) =b(6,0,/)+b(6,,/)= =7/64 δ) μ=ε ( x ) =np=6 (/)=3 ε) μ=, ς= npq = 4 6, (3-. 5, ) 33

34 Το μζςο φψοσ των φοιτθτϊν του ΡΑ.ΡΕΛ. είναι 75 cm με διαςπορά 00 cm. Να υπολογιςτοφν : α)το ποςοςτό των φοιτθτϊν που το φψοσ τουσ κυμαίνεται από,65 μζχρι,85. β)το ποςοςτό των φοιτθτϊν που το φψοσ τουσ είναι μικρότερο από,75. γ)το ποςοςτό των φοιτθτϊν που το φψοσ τουσ είναι μικρότερο,55. δ)το ποςοςτό των φοιτθτϊν που είναι ψθλότεροι από,95. ε)με βάςθ ότι το ΡΑ.ΡΕΛ. ζχει 7000 φοιτθτζσ να υπολογίςετε πόςοι φοιτθτζσ ζχουν φψοσ πάνω από,05 cm. ΛΥΣΗ Μ=75 ς =00 άρα ς= α)(65<x<85)=p( < x < )=(-<z<)=φ()-φ(-)=φ()-(- 0 0 φ())=φ()-=(0,84)-=,68-=0,68=68% x β)p(x<75)=p( x γ)p(x<55)=p( )=P(z<0)=φ(0)=0,5=50% )=P(z<-)=φ(-)=-φ() 0 x δ)p(x>95)=p( ) =P(z>)=-P(z<)=-φ() 0 x ε)p(x>05)=p( ) 0 P(z>3)=-P(z<3)=-φ(3)=0,3% ςτουσ 00 αντιςτοιχεί 0,3 ςτουσ 7000 Χ(πόςοι?) 34

35 Ζςτω ότι τα τροχαία ατυχιματα ςτθν εκνικι οδό Ακθνϊν Κορίνκου είναι κατά μζςο όρο 3 ανά θμζρα. Να υπολογιςτοφν : α) θ πικανότθτα μια ςυγκεκριμζνθ μζρα να ζχουμε τουλάχιςτον ατφχθμα. β)θ πικανότθτα μια ςυγκεκριμζνθ μζρα να ζχουμε ακριβϊσ ατφχ γ)θ πικανότθτα μια ςυγκεκριμζνθ μζρα να ζχουμε το πολφ ζνα ατυχ. δ)να υπολογιςτεί ζνα διάςτθμα εμπιςτοςφνθσ που με ςιγουριά τουλάχιςτον 95%να εμπεριζχει τα ατυχιματα μιασ ςυγκεκριμζνθσ θμζρασ ε)να υπολογίςετε τθν πικανότθτα να ζχουμε ακριβϊσ ατυχιματα μζςα ςε ζνα διιμερο. Στ) τθν πικανότθτα ςε 0 διαδοχικζσ μζρεσ να υπάρχουν ακριβϊσ 3 που να ζχει ςυμβεί ακριβϊσ ατφχθμα. ΛΥΣΗ α)είναι κανονικι κατανομι τφποσ P x = e x! 6 e P()=! 6 36e 6 8e 6 P(τουλ. ατφχθμα)=-p(0)=- 0 3 e 0! 3 e 3 ςτ) ΔΛΩΝΥΜΛΚΘ b(0,3,3e 3 ) 3 e β) P()=! 3 γ) P(0)+P()= e 3 3e δ) μ=3 ς= 3 μ s 3 3 3e 4e ! 3!7! 0 3e 3e 3e e 3e 3e *μ-s,μ+s]=[3-3,3+ 3 ] ε) Το τριιμερο μ=*3=6 35

36 Από ςωρό θλεκτρικϊν λαμπτιρων τραβάμε 0 λαμπτιρεσ με επανάκεςθ και θ πικανότθτα εφρεςθσ ελατωμματικοφ λαμπτιρα είναι 5%. Να υπολογιςτοφν : α) δφο λαμπτιρεσ να είναι ελαττωματικοί β) τουλάχιςτον δφο λαμπτιρεσ να είναι ελαττωματικοί γ) το πολφ ζνασ λαμπτιρασ να είναι ελαττωματικόσ δ) ο αναμενόμενοσ αρικμόσ ελαττωματικϊν λαμπτιρων ε) ζνα 95 % διάςτθμα εμπιςτοςφνθσ που να εμπεριζχει τον αρικμό ελατωμματικϊν λαμπτιρων κάνοντασ χριςθ κανονικισ προςζγγιςθσ. α) ΛΥΣΗ β) b(x, 0j, 0,05) = -b (0,0j,0,05)-b(,0j,0,05) γ) b(x, 0j, 0,05) = b(0, 0j, 0,05) + b(, 0j, 0,05) δ) μ= n p = 0 0,05 = 0,5 ε) μ ς ς= = 36

37 Μθχανι παράγει βίδες το μικος των οποίων ακολουκεί τθν κανονικι κατανομι με μζςθ τιμι 0mm και διαςπορά 4m. Μία βίδα κεωρείται ελαττωματικι όταν το μικοσ είναι πάνω από 4mm ι κάτω από 6mm. Να υπολογιςτοφν : α) το ποςοςτό των ελαττωματικϊν βιδϊν που παράγει θ μθχανι β) το ποςοςτό των βιδϊν που παράγει θ μθχανι και το μικοσ τουσ είναι πάνω από 6mm γ) το ποςοςτό των βιδϊν που παράγει θ μθχανι και το μικοσ τουσ είναι κάτω από 0mm ΛΥΣΗ α) β) γ) 37

38 ΕΡΩΣΗΕΙ 38

39 )Θα μποροφςατε να χρθςιμοποιιςετε τθ διωνυμικι κατανομι για να μελετιςετε τθν επίδοςθ των φοιτθτϊν ςε ζνα μάκθμα; ΝΑΛ, για το αν ζχουν περάςει το μάκθμα ι όχι. Θ διωνυμικι κατανομι αποτελείται από ονόματα-κατθγορίεσ. ςχετίηεται με πειράματα ι φαινόμενα που εμφανίηουν ι που παράγονται ςε μόνο ενδεχόμενα. Σε αυτιν τθν περίπτωςθ, θ μία κατθγορία είναι οι μακθτζσ που πζραςαν ςε ζνα μάκθμα και θ άλλθ οι μακθτζσ που απζτυχαν. )Για να δθμιουργιςουμε μια κεωρθτικι κατανομι δειγματολθψίασ είναι απαραίτθτο να πάρουμε δείγματα με τουλάχιςτον 30 παρατθριςεισ. Σχολιάςτε. Ρλθκυςμόσ>δείγμα>παρατιρθςθ Εξαρτάται από το μζγεκοσ των δειγμάτων και του πλθκ. Πχι, δεν είναι απαραίτθτο. Τουλάχιςτον 30 παρατθριςεισ κζλουμε για να το χαρακτθρίςουμε το δείγμα μεγάλο. 3)Ο κίνδυνοσ καταναλωτι υπολογίηεται αφαιρϊντασ τον κίνδυνο παραγωγοφ από τθ μονάδα. Σχολιάςτε. Οι πικανότθτεσ δε ςυνδζονται ςυναρτθςιακά μεταξφ τουσ γιατί δεν ζχουν το ίδιο πεδίο οριςμοφ. Είναι όμωσ τζτοιεσ ϊςτε για οριςμζνο μζγεκοσ δείγματοσ να μθν μποροφμε να ελαττϊςουμε και τισ γιατί κατά κανόνα θ αφξθςθ τθσ μιασ ςυνεπάγεται αφξθςθ τθσ άλλθσ. Άρα ο κίνδυνοσ καταναλωτι (Β) και ο κίνδυνοσ παραγωγοφ (Α) ςυνδζονται ωσ εξθσ. (α)+(β)= 4) Αν ςασ δοκεί ότι F=0. και r =0.8 ςε μία γραμμικι παλινδρόμθςθ τι ςυμπζραςμα βγάηετε? Πτι υπάρχει χαλαρι ςυςχζτιςθ μεταξφ του x και y γιατί το r ενϊ το F ςχετικά μικρό. είναι πολφ μεγάλο 5) Ροιο ζχει μεγαλφτερθ τυπικι απόκλιςθ; 500,50,50,503,504,505 0,80,50,00,50 το Β ζχει μεγαλφτερθ τυπικι απόκλιςθ γιατί οι τιμζσ του είναι διεςπαρμζνεσ ςε τμιμα μεγαλφτερο από το διάςτθμα του ςυνόλου Α. 39

40 6) Ενδεχόμενα ςτθ ρίψθ ενόσ νομίςματοσ είναι αμοιβαία αποκλειόμενα όταν θ πικανότθτα για κορόνα =με πικανότθτα για γράμματα. Σχολιάςτε. Αμοιβαία αποκλειόμενα όταν αφοφ ςυμβεί το ζνα αποκλείεται το άλλο. Το κακζνα ζχει πικανότθτα 50% να ςυμβεί. 7) Σε μια κανονικι κατανομι με Μ.Ο. 9 και τυπικι απόκλιςθ s=6,μπορεί ο διάμεςοσ να είναι ; Κανονικι κατανομι ςυνεπάγεται Μ.Ο.=ΔΛΑΜΕΣΟΣ=ΕΡΛΚΤΟΥΣΑ ΤΛΜΘ. 8) Κατάλοιπο παλινδρόμθςθσ. Είναι θ διαφορά y - y θ οποία λζγεται και ανερμινευτθ απόκλιςθ από τθν παλινδρόμθςθ. Ολικι απόκλ.=ανερμινευτθ+ερμθνεφομενθ. 9)Εάν r =0,3 μποροφμε να ποφμε ότι το 30 % τθσ ολικισ μεταβλθτότθτασ ερμθνεφεται από τθ γραμμικι παλινδρόμθςθ; Αν r= 0.3 τότε r =0,09. ο ςυντελεςτισ προςδιοριςμοφ είναι αυτόσ που κακορίηει το ποςό τθσ ολικισ μεταβλθτότθτασ των y από το μζςο όρο y και εξθγείται από τθν γραμμικι παλινδρόμθςθ και όχι ο ςυντελεςτισ ςυςχζτιςθσ r. Άρα δε μποροφμε να το ποφμε αυτό. 0)Η χριςθ θλεκτρ. Υπολογ. Ζδωςε τθ δυνατότθτα για απόλυτθ ακρίβεια ςτον προςδιοριςμό του μζςου όρου δείγματοσ με το μ.ο. πλθκυςμοφ. Αν θ διαφορά μ.ο. δείγματοσ και μ.ο. πλθκυςμοφ είναι ςθμαντικι ι όχι μπορεί να γίνει με πικανολόγθςθ. το ςφάλμα δειγματολθψίασ δεν είναι αρμονικι διαφορά κ δεν οφείλεται ςτον άνκρωπο. )Αν α=4,χ= και Σ= υπολογίςτε το y=α+βχ y=4+*=8 ) Τι ςθμαίνει F=40 ςε μια γραμμικι παλινδρόμθςθ; Ζνα τόςο μεγάλο F ςθμαίνει ότι υπάρχει ζντονθ ςυςχζτιςθ μεταξφ των δυο μεταβλθτϊν. 3) Η διωνυμικι κατανομι ζχει μικρι ςθμαςία δεδομζνου ότι μπορεί πάντοτε να προςεγγίηεται από τθν κανονικι κατανομι. 40

41 Θ διωνυμικι κατανομι ζχει μεγάλθ ςθμαςία. Δε μπορεί πάντοτε να προςεγγίηεται από τθν κανονικι καταν. Θ κανονικι κατανομι προςεγγίηει τθ διωνυμικι όταν το πλικοσ των επαναλιψεων του πειράματοσ είναι μεγάλο και το πλικοσ των επικυμθτϊν αποτελεςμάτων μικρό. 4)Η τομι ςυμπλθρωματικϊν γεγονότων ςε ακραίεσ περιπτϊςεισ μπορεί να είναι μεγαλφτερθ ακόμα και από το δειγματικό τουσ χϊρο. Πχι, ποτζ θ τομι ςυμπλθρωματικϊν γεγονότων δε μπορεί να είναι μεγαλφτερθ από το δειγματικό τουσ χϊρο. 5)Ροιοι δείκτεσ διαςποράσ μετριοφνται με τθν ίδια μονάδα μζτρθςθσ που μετροφνται και τα δεδομζνα ενόσ δείγματοσ και ποιοι όχι; ΕΥΟΣ, ΜΕΣΘ ΑΡΟΚΛΛΣΘ, ΤΥΡΛΚΘ ΑΡΟΚΛΛΣΘ, με τθν ίδια μονάδα. ΔΛΑΚΥΜΑΝΣΘ, ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΘΣ ΜΕΤΑΒΛΘΤΟΤΘΤΑΣ όχι. 6)Σε ποιεσ περιπτϊςεισ τα όρια επιφυλακισ ςε μια διαδικαςία βρίςκονται ςτο διάςτθμα μ 3ς όταν θ φυςικι αρχι τθσ διαδικαςίασ είναι μ ς; Σε καμιά περίπτωςθ γιατί τα όρια βρίςκονται πάντα εκτόσ των ορίων τθσ φυςικι ανοχισ και μάλιςτα τα πρϊτα ςτο διάςτθμα μ ς και τα δεφτερα ςτο μ 3ς 7)Πταν το ςφάλμα δειγματολθψίασ είναι αςιμαντο πρζπει να απορρίψουμε τθ μθδενικι υπόκεςθ. Εξαρτάται από το τι ζχουμε ορίςει ωσ μθδενικι υπόκεςθ. Συνικωσ ορίηεται ότι δεν υπάρχει διαφορά μεταξφ τθσ παρατθροφμενθσ τιμισ και τθσ αναμενόμενθσ. Πταν αυτό ιςχφει και το ςφάλμα δειγματολθψίασ είναι αςιμαντο τθν αποδεχόμαςτε ωσ ορκι. 8)Ροφ χρθςιμοποιοφμε τον ζλεγχο τθσ μθδενικισ υπόκεςθσ ςτθν γραμμικι παλινδρόμθςθ; Για τον ζλεγχο τθσ αξιοπιςτίασ του ςυντελεςτι b. Ρραγματικι τιμι τουb είναι 0. ο ζλεγχοσ γίνεται με το κριτιριο t. Γιατί ακόμα κι αν είχαμε χρθςιμοποιιςει άςχετα x και y τυχαίοι παράγοντεσ μποροφν να δϊςουν b 0. 4

42 ΣΤΠΟΛΟΓΙΟ 4

43 ΔΕΙΚΣΕ ΚΕΝΣΡΙΚΗ ΣΑΗ ΜΕΣΟΣ ΟΟΣ= ά ή s ώ έ έ μ = x Ππου μ=μζςοσ όροs πλθκυςμοφ πλθκυςμοφ Ν= πλικοσ δεδομζνων Χ=τιμζσ δεδομζνων Σ=άκροιςμα x = n x xw = w wx όπου n=πλικοσ δεδομζνων δείγματοσ και όπου w= θ βαρφτθτα τθs τιμιs ενόσ δεδομζνου ΔΕΙΚΣΕ ΔΙΑΠΟΡΑ ΕΥΟΣ R= x x όπου R=εφροσ, max min xmax =μζγιςτθ τιμι δεδομζνων =ελάχιςτθ τιμι δεδομζνων xmin ΜΕΣΘ ΑΡΟΚΛΛΣΘ MAD= x n x όπου MAD=μζςθ απόκλιςθ ΤΥΡΛΚΘ ΑΡΟΚΛΛΣΘ ς= τιμϊν πλθκυςμοφ (x ) N όπου ς=θ τυπικι απόκλιςθ μ=μζςοσ όροσ πλθκυςμοφ Ν=πλικοσ πλθκυςμοφ 43

44 s s ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΜΕΤΑΒΛΘΤΟΤΘΤΑΣ C V= ι C V= 00 x x ςυντελεςτισ μεταβλθτότθτασ όπου C V= (Α)= ΑΛΚΜΟΣ ΣΤΟΛΧΕΛΩΔΩΝ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΩΝ Α / ΣΥΝΟΛ. ΑΛΚΜ. ΣΤΟΛΧΕΛΩΔΩΝ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΩΝ Δθλ.(Α)= ΑΛΚΜ. ΕΥΝΟΪΚΩΝ ΡΕΛΡΤΩΣΕΩΝ / ΣΥΝΟΛ. ΑΛΚΜ. ΔΥΝΑΤΩΝ ΡΕΛΡΤΩΣΕΩΝ ΑΞΛΩΜΑΤΑ KOLMOGOROV. (Α) 0. (Ω)= (ΒΕΒΑΛΟΤΘΤΑ) 3. (Α+Β)= (Α) = (Β), εάν ΑΒ=0 ΤΝΕΠΕΙΕ (Α) (Α)ϋ=-(Α) (Α+Β) με ΑΒ=0 τότε (Α+Β) = (Α ι Β) = (Α) + (Β) (Α+Β) με ΑΒ 0 τότε (Α+Β) =(Α ι Β) = (Α) + (Β) (ΑΒ)= (Α) + (Β) (Α και Β) (ΑΒ) όπου Α,Β ανεξάρτθτα, τότε (ΑΒ)=(Α και Β)= (Α) (Β) (ΑΒ) όπου Α,Β εξαρτθμζνα, τότε (ΑΒ)=(Α+Β)=(Α) (Β/Α) με (Α) 0 ΚΕΩΘΜΑ ΒAYES Ι (ΑΒ)=(Α+Β)=(Β) (Α/Β) με (Β) 0 ( B Ai )= P P Ai Ai P B P B Ai Ai όπου i=,, n 44

45 ΔΛΩΝΥΜΛΚΘ ΚΑΤΑΝΟΜΘ = n! Px x!( n x)! p x q n x ΜΕΗ ΣΙΜΗ μ=n p ΣΤΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΗ ς= npq KATANOMH POISSON P x x e x! χρθςιμοποιείται για προςζγγιςθ τθσ διωνυμικισ όταν p<0., n>0 και np<0 ΚΑΝΟΝΛΚΘ ΚΑΤΑΝΟΜΘ z= x [ x 6 ] 68.7% [ x 6 ] 95.45% [ x 36 ] 99.73% ΚΕΝΤΛΚΟ ΟΛΑΚΟ ΚΕΩΘΜΑ ς x = n όπου ς=τυπικι απόκλιςθ πλθκ. n=αρικμόσ παρατθρ. τιμϊν δείγματοσ ΣΦΑΛΜΑ ΔΕΛΓΜΑΤΟΛΘΨΛΑΣ Ε= x μ ι Ε=Η a s n για n>30 ΚΑΤΑ ΕΚΤΛΜΘΣΘ ΤΥΡΛΚΘ ΑΡΟΚΛΛΣΘ ς= ( x n x) 45

46 ΤΥΡΛΚΘ ΑΡΟΚΛΛΣΘ ΚΑΤΑ ΤΟ ΚΕΝΤΛΚΟ ΟΛΑΚΟ ΚΕΩΘΜΑ Σ D = PQ n ΣΦΑΛΜΑ ΕΚΤΛΜΘΣΘΣ Ε=p-P=Z a -ς p ΜΕΓΕΚΟΣ ΔΕΛΓΜΑΤΟΣ Z a n= E ΡΟΣΟΣΤΟ ΡΛΘΚΥΣΜΟΥ p= n p n n p n ΚΑΤΑΝΟΜΘ F S F= S ΜΕΚΟΔΟΣ ΕΛΑΧΛΣΤΩΝ ΤΕΤΑΓΩΝΩΝ Ε=Σ(y i -y i ) =Σ*y i -(a+bx i )] Ππου y i =μια γνωςτι από τα δεδομζνα τιμι τθσ μεταβλθτισ y i =θ τιμι που υπολογίηεται από τθ ηθτοφμενθ γραμμικι ςυνάρτθςθ x y όταν b= i i και α= y b x x i nx y nx ( y y) ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΘΣ ΡΟΣΔΛΟΛΣΜΟΥ r ( y y) ΟΛΛΚΘ ΑΡΟΚΛΛΣΘ y i - y 46

47 ΕΜΘΝΕΥΜΕΝΘ ΑΡΟΚΛΛΣΘ ΑΝΕΜΘΝΕΥΤΘ ΑΡΟΚΛΛΣΘ y y i i y y i ΛΣΧΥΕΛ ΟΛΛΚΘ ΑΡΟΚΛ.= ΕΜΘΝΕΥΜΕΝΘ ΚΑΛ ΑΝΕΜΘΝΕΥΤΘ ΚΛΤΘΛΟ F F= ( y m ( y i i n y) y ) i m ΚΛΤΘΛΟ t t= b ό b ΤΥΡΛΚΟ ΣΦΑΛΜΑ S yx ( y i n y ) i ΕΛΕΓΧΟΣ ΜΕΣΩΝ ΟΩΝ ΔΕΛΓΜΑΤΩΝ ΑΟΕ X = x 3 x x A R ΚΟΕ x = x 3 x x A R ΕΛΕΓΧΟΣ ΕΥΟΥΣ ΔΕΛΓΜΑΤΩΝ ΑΟΕ R = ΚΟΕ = R R R D 4 D 3 ΥΡΟΛΟΓΛΣΜΟΣ ΔΛΑΚΕΛΑΣ ΕΓΩΝ t e A A B e ( A AB B) ( A B ) t e a 4m b 6 e b a 6 ΡΛΚΑΝΟΤΘΤΑ ΟΛΟΚΛΘΩΣΘΣ ΕΓΟΥ e 47

48 διακφμανςθ τυπικι απόκλιςθ ΑΝΑΜΕΝΟΜΕΝΘ ΤΛΜΘ ΜΛΑΣ ΜΕΤΑΒΛΘΤΘΣ E x P X P P X P P P X n n n n P X i n P i n i P X ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΣΥΣΧΕΤΛΣΘΣ P Cov( x, y) S S x y S b S x y ΡΟΣΟΣΤΛΑΛΑ ΑΡΟΔΟΣΘ ΜΕΤΟΧΘΣ R i ( P P ) t P t t D R i =θ απόδοςθ μετοχισ i P t =θ τιμι μετοχισ τθ ςτιγμι t D=το τυχόν μζριςμα τθσ μετοχισ ςτο διάςτθμα από t- ζωσ t P t =θ τιμι μετοχισ τθ χρονικι ςτιγμι t- 48