Dr Miodrag Popović. Osnovi elektronike. za studente Odseka za softversko inženjerstvo. Elektrotehnički fakultet Beograd, 2006.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Dr Miodrag Popović. Osnovi elektronike. za studente Odseka za softversko inženjerstvo. Elektrotehnički fakultet Beograd, 2006."

Transcript

1 Dr Miodrag Popović Osnovi elektronike za studente Odseka za softversko inženjerstvo Elektrotehnički fakultet Beograd, 2006.

2 Sadržaj 1. UOD Šta je to elektrotehnika? Oblasti elektrotehnike: Šta je to elektronika? OSNONI POJMOI O ELEKTIITETU Električno opterećenje Sila između dva tačkasta električna opterećenja Provodnici, izolatori i poluprovodnici Električna struja Napon eferentni smerovi i polariteti Energija i snaga Električno polje Modelovanje električnih sistema Idealni električni elementi Idealni pasivni električni elementi Idealni nezavisni električni izvori Idealni zavisni (kontrolisani) električni izvori KOLA SA STALNIM JEDNOSMENIM STUJAMA Omov zakon Električno kolo Prvi (strujni) Kirhofov zakon Drugi (naponski) Kirhofov zakon Paralelna i serijska veza otpornika Serijska (redna) veza otpornika Paralelna veza otpornika Transformacije trougao zvezda i zvezda trougao Sistem jednačina napona čvorova Linearna kola: principi superpozicije i homogenosti Transformacija izvora Tevenenova i Nortonova teorema KOLA SA POMENLJIIM STUJAMA Kondenzator Kalem Kola prvog reda sa kondenzatorima i kalemovima Kola drugog reda sa kondenzatorima i kalemovima KOLA SA NAIZMENIČNIM STUJAMA Osnovni pojmovi Predstavljanje sinusoidalnih veličina kompleksnim brojevima Opis elemenata kola pomoću fazora Uopšteni Omov zakon: impedansa i admitansa Snaga naizmenične struje Kirhofovi zakoni u kolima sa naizmeničnim strujama Osnovne transformacije u kolima sa naizmeničnim strujama Serijska (redna) veza impedansi Paralelna veza impedansi Transformacije trougao zvezda i zvezda trougao Transformacije izvora u kolima sa naizmeničnim strujama Sistem jednačina napona čvorova za kola sa naizmeničnim strujama Tevenenova i Nortonova teorema za kola sa naizmeničnim strujama Kola sa jednim i dva pristupa Analiza kola sa složenoperiodičnim strujama ii

3 6. OSNOI FIZIKE POLUPOODNIKA Osnovni pojmovi o provodnosti materijala Elektronska struktura materijala Silicijum kao poluprovodnik Dopiranje silicijuma primesama PN SPOJ Nepolarisani pn spoj Direktno polarisani pn spoj Inverzno polarisani pn spoj Proboj pn spoja i Zener dioda Modeli diode Karakteristika diode Idealna dioda Izlomljeno linearni model diode Model diode sa konstantnim padom napona Model diode za male signale adna tačka diode Primene i vrste dioda BIPOLANI TANZISTO Struktura i simboli bipolarnog tranzistora ad bipolarnog tranzistora u aktivnom režimu Model npn tranzistora za velike signale Model tranzistora za male signale Ulazne i izlazne karakteristike tranzistora Polarizacija tranzistora Osnovna pojačavačka kola sa jednim tranzistorom Pojačavač sa zajedničkim emitorom Pojačavač sa zajedničkim kolektorom Pojačavač sa zajedničkom bazom MOS TANZISTO (MOSFET) Struktura i simboli MOS tranzistora Princip rada NMOS tranzistora Ponašanje NMOS tranzistora pri malim naponima DS Ponašanje NMOS tranzistora pri većim naponima DS PMOS tranzistor i komplementarni MOS (MOS) Model NMOS tranzistora za velike signale NMOS tranzistor u zakočenju NMOS tranzistor u triodnoj oblasti NMOS tranzistor u zasićenju Model NMOS tranzistora za male signale Osnovna pojačavačka kola sa NMOS tranzistorom Pojačavač sa zajedničkim sorsom Pojačavač sa zajedničkim drejnom Pojačavač sa zajedničkim gejtom SLOŽENA POJAČAAČKA KOLA Strujni izvori Pojačavač sa dinamičkim opterećenjem Diferencijalni pojačavač Operacioni pojačavač Primene operacionog pojačavača Invertorski pojačavač Neinvertorski pojačavač Jedinični pojačavač Kolo za sabiranje Kolo za integraljenje Kolo za diferenciranje DIGITALNA ELEKTONSKA KOLA Analogni i digitalni signali i kola iii

4 11.2 Logičke funkcije idealnih logičkih kola i Bulova algebra I operacija (logičko množenje) ILI operacija (logičko sabiranje) NE operacija (komplementiranje) Pravila Bulove algebre Identiteti Bulove algebre Zakoni Bulove algebre Teoreme Bulove algebre NI operacija NILI operacija IsključivoILI operacija Operacija koincidencije (isključivonili) Predstavljanje logičkih funkcija Karakteristike realnih logičkih kola Karakteristika prenosa Margine šuma Faktor grananja na izlazu i ulazu Dinamičke karakteristike Disipacija (potrošnja) logičkog kola i proizvod snage i kašnjenja ealizacija invertora sa MOS tranzistorima Karakteristika prenosa Dinamičke karakteristike Disipacija MOS kola Logička kola sa MOS tranzistorima Bistabilna kola S leč D leč D flipflop Multivibratorska kola Monostabilni multivibrator Astabilni multivibrator Digitalnoanalogna i analognodigitalna konverzija Digitalnoanalogna konverzija Analognodigitalna konverzija Osnovna memorijska kola Statičke memorije Dinamičke memorije iv

5 1. Uvod Savremeni tehnološki problemi su veoma složeni i njihovo rešavanje zahteva učešće inženjera i istraživača iz raznih oblasti nauke i tehnike, koji se organizuju u razvojne ili istraživačke timove. U takvim uslovima inženjer, koji je specijalizovan za određenu oblast, često treba da radi sa stručnjacima drugih specijalnosti. Da bi se olakšala saradnja inženjera različitih specijalnosti potrebno je da svaki od njih bar delimično poznaje srodne oblasti tehnike, kako bi razumeo probleme i ograničenja u rešavanju problema u celini. Zbog toga se u svetu, prilikom obrazovanja inženjera uvek proučavaju i oblasti koje nisu direktno u vezi sa odabranom specijalizacijom. U savremenom svetu svedoci smo da električni ili elektronski uređaji prodiru u sve oblasti života. Automobili imaju elektronske uređaje za nadzor i upravljanje, uređaji bele tehnike u domaćinstvu imaju sve više elektronskih funkcija, mobilni telefoni su napravili revoluciju u telekomunikacijama, uvođenje računara i Interneta u kuće je promenilo način života, itd. Ovaj predmet upravo ima za cilj da studente, kojima će primarna specijalizacija biti pisanje softvera za razne vrste računara, upozna sa osnovima elektrotehnike i elektronike kako bi razumeli kako takvi elektronski sistemi funkcionišu i kako bi mogli da efikasno komuniciraju sa ekspertima iz drugih struka sa kojima će sarađivati. 1.1 Šta je to elektrotehnika? Oblast elektrotehnike obuhvata primene elektriciteta za zadovoljavanje potreba društva. Postoje dve glavne primene elektriciteta: za prenos električne energije sa jednog mesta na drugo ili za prenos informacija. Elektrotehnika je oblast koja se izdvojila iz fizike i poslednjih 150 godina se stalno i dinamično razvijala. O razvoju elektrotehnike svedoči stalna pojava novih podoblasti kao i broj naučnih i stručnih publikacija iz elektrotehnike koji u velikoj meri prevazilazi obim sličnih publikacija iz drugih oblasti tehnike. 1.2 Oblasti elektrotehnike: Osnovno jezgro elektrotehnike se tradicionalno deli na sedam specijalizovanih podoblasti: 1. Elektroenergetika 2. Elektromagnetika 3. Komunikacije 4. ačunarsko inženjerstvo 5. Sistemi 6. Upravljanje 7. Elektronika Elektroenergetika se bavi proizvodnjom i prenosom električne energije sa jedne lokacije na drugu i najstarija je elektrotehnička specijalnost. eo razvoj savremenog društva zavisi u kritičnoj meri od potreba za električnom energijom za napajanje električnih uređaja u domaćinstvu i industriji. Zato su za proizvodnju električne energije razvijeni razni sistemi za 1

6 pretvaranje drugih oblika energije (toplotne, hidromehaničke, nuklearne, solarne, energije vetra, elektrohemijske,...) u električnu energiju. Elektromagnetika premošćava jaz između primena elektrotehnike za prenos energije i ostalih disciplina koje su uglavnom vezane za prenos informacija. Ona se bavi proučavanjem i primenom električnog polja, magnetskog polja i struje. Električna struja može biti uvek istog smera (jednosmerna struja) ili promenljivog smera (naizmenična struja). Kod naizmeničnih struja definiše se pojam učestanosti ili frekvencije, koja predstavlja broj promena smera struje u sekundi. Jedinica za frekvenciju je Herc (Hz). Opseg učestanosti koji se sreće u praksi je veoma širok. U elektroenergetici se koriste naizmenične struje učestanosti 50 Hz ili 60 Hz, dok se u drugim oblastima koriste znatno više učestanosti, čak do Hz. Na višim učestanostima počinje zračenje iz kablova i kroz atmosferu se prostiru elektromagnetski talasi. Ovakvi talasi su omogućili pojavu radija, televizije, bežičnih komunikacija, radara, itd. Komunikacije ili telekomunikacije su podoblast elektrotehnike koja se bavi prenosom informacija sa jednog mesta na drugo. Informacije se prenose pomoću električnih provodnika, elektromagnetskih talasa, klasičnim kablovima, optičkim kablovima, itd. Jedan od važnih problema koji se rešava u komunikacijama je način na koji se informacije utiskuju u električni signal. Taj proces se naziva modulacija ili kodovanje i obavlja se na predajnoj strani, dok se na prijemnoj strani obavlja inverzni proces koji se naziva demodulacija ili dekodovanje. U procesu prenosa nastaje i degradacija signala sbog dejstva smetnji ili šuma pa se u komunikacijama velika pažnja posvećuje metodima za izvlačenje korisnih informacija iz šuma i metodima za zaštitu informacija. ećina ovih metoda zahteva upotrebu računara. ačunarsko inženjerstvo je jedna od podoblasti elektrotehnike koje se bavi razvojem i projektovanjem računarskog hardvera i softvera koji kontroliše njegov rad. Savremeni računarski sistemi mogu biti veoma različiti, počev od jednostavnih mikrokontrolera koji obavljaju jednostavne nadzorne funkcije, preko personalnih računara i radnih stanica koji se koriste za obavljanje raznovrsnih aplikacija, slušanja muzike, gledanje filmova i igru, pa do moćnih superračunara za izvršavanje kompleksnih proračuna u fizici, meteorologiji i istraživanju svemira. Oblast sistemskog inženjerstva se bavi modelovanjem kompleksnih sistema matematičkim modelima u cilju njihovog jednostavnijeg opisa i predviđanja njihovog ponašanja. Primeri takvih sistema su, na primer, modelovanje saobraćaja ili modelovanje leta aviona. Takav matematički opis sistema omogućava jednostavniju analizu ponašanja sistema u raznim uslovima bez izvođenja eksperimenta. Upravljanje sistemima je takođe jedna od važnih oblasti elektrotehnike koja se bavi upravljanjem raznim elektromehaničkim i drugim složenim sistemima uz pomoć odgovarajućih modela i algoritama za reagovanje u različitim situacijama. 1.3 Šta je to elektronika? Oblast elektronike se bavi proučavanjem i konstrukcijem elektronskih elemenata kojima se kontroliše tok struje i povezivanjem takvih elemenata u složena kola koja obavljaju željenu funkciju. Osnovni elementi savremene elektronike su diode i tranzistori koji se povezuju u diskretna ili integrisana kola. Pored toga, elektronika se bavi i projektovanjem elektronskih kola za određene namene, razvojem algoritama za projektovanje, razvojem i primenom računarske podrške procesu projektovanja, implementacijom elektronskih kola koja realizuju razne metode potrebne u ostalim oblastima elektrotehnike, itd. Mada je oblast elektronike stara već oko 100 godina, ona je u toku svoje istorije imala izuzetno dinamičan razvoj, a takva je i danas. Usled razvoja tehnologije stalno se pronalaze novi materijali i konstruišu nove komponente, što u velikoj meri utiče na promenu postupaka 2

7 projektovanja. eć dvadesetak godina je prisutan trend minijaturizacije komponenata i trend integracije velikog broja komponenata u jedno integrisano kolo. To je omogućilo drastično smanjenje dimenzija elektronskih uređaja, smanjenje njihove potrošnje, povećanje brzine rada i povećanje pouzdanosti uređaja. Na primer, jedan od prvih elektronskih računara ENIA iz godine koji je imao oko elektronskih cevi i memoriju od svega nekoliko kb, bio je smešten u prostoriju veličine sportske sale, a njegova potrošnja se merila desetinama kw. Današnji računari imaju sve važne performanse najmanje 1000 do puta bolje. Drugi karakterističan primer je mobilni telefon koji je pre samo dvadesetak godina, za neuporedivo lošije performanse, imao veličinu koja je jedva mogla da stane u automobil. 3

8 2. Osnovni pojmovi o elektricitetu Elektrotehnika se prvenstveno bavi električnim opterećenjem (naelektrisanjem), njegovim kretanjem i efektima tog kretanja. Za nepokretno naelektrisanje često se koristi termin statičko naelektrisanje, a za pokretno naelektrisanje termin električna struja. 2.1 Električno opterećenje Električno opterećenje je fundamentalno svojstvo materije koje se ne može se stvoriti niti uništiti. To znači da ako se naelektrisanje odstrani sa nekog mesta, ono se mora pojaviti na nekom drugom mestu. Postoje dva tipa naelektrisanja: pozitivno i negativno naelektrisanje. Dva nelektrisanja se međusobno privlače ako su suprotnog polariteta ili međusobno odbijaju ako su istog polariteta. Uprošćena struktura atoma se sastoji od pozitivno naelektrisanog jezgra i elektrona koji kruže oko jezgra po različitim orbitama. Električno opterećenje elektrona je najmanje naelektrisanje koje postoji. Električno opterećenje jednog elektrona naziva se elementarno naelektrisanje ili kvant naelektrisanja. Pozitivno naelektrisanje jezgra je kompenzovano istom količinom negativnog naelektrisanja elektrona, pa je atom električki neutralan. Međutim, pošto se elektroni iz najudaljenijih orbita mogu na razne načine odvojiti od atoma, atom može postati naelektrisan (tada se naziva jon), a elektroni se mogu kretati i formirati električnu struju. Uobičajeni simbol za opterećenje je q (Q) a jedinica Kulon (). Električno opterećenje jednog elektrona je Sila između dva tačkasta električna opterećenja Sila između dva naelektrisanja, koja su dovoljno mala u odnosu na njihovo rastojanje (pa se nazivaju tačkasta naelektrisanja), opisana je sledećom jednačinom: qq 1 2 F = k (2.1) d 2 gde je konstanta k = Nm 2 / 2, q 1 i q 2 predstavljaju veličine naelektrisanja (u ), a d njihovo međusobno rastojanje (u m). Ova relacija se naziva Kulonov zakon. Ako su naelektrisanja istog znaka sila je pozitivna i naelektrisanja se odbijaju, a ako su naelektrisanja suprotnog znaka sila je negativna i naelektrisanja se privlače. 2.3 Provodnici, izolatori i poluprovodnici Materijal kod kojeg su elektroni lako pokretljivi naziva se provodnik. Tipični provodnici su metali: srebro, zlato, bakar, aluminijum, itd. Kod metala elektroni iz spoljašnjih orbita atoma mogu lako napustiti atome. Takvi elektroni se nazivaju slobodni elektroni i oni omgućavaju lako uspostavljanje električne struje. Materijal kod kojeg su elektroni slabo pokretljivi naziva se izolator ili dielektrik. Tipični izolatori su nemetali: staklo, plastične mase, keramika, guma, itd. Naelektrisanje koje se dovede 4

9 na izolator ostaje nepokretno i naziva se statički elektricitet. Izolacioni materijali se često koriste za izolovanje provodnika da bi se sprečio neželjeni dodir dva provodnika i uspostavljanje struje između njih. Poluprovodnici su po svojim osobinama negde između provodnika i izolatora i umereno se suprostavljaju kretanju nosilaca elektriciteta. Najvažniji poluprovodnici su silicijum, germanijum, galijum arsenid, itd. Poluprovodnički materijali su osnov savremene elektronike. Otpornost je mera suprostavljanja kretanju nosilaca elektriciteta i biće kasnije kvantitativno definisana. Provodnici imaju malu otpornost, dok izolatori imaju veliku otpornost. Na primer, otpornost bakra je oko puta manja od otpornosti kvarca istih dimenzija. 2.4 Električna struja Električna struja je jedan od osnovnih pojmova u elektrotehnici i predstavlja meru količine elektriciteta koja se pomerila u jedinici vremena. Pomeraj naelektrisanja može se vršiti na različite načine. Kod metalnih provodnika, mehanizam pomeranja je kretanje slobodnih elektrona. U rastvorima mehanizam pomeranja je kretanje pozitivno ili negativno naelektrisanih jona, kao što je to slučaj u elektrohemijskim baterijama ili u postupku galvanizacije. U poluprovodnicima naelektrisanje se kreće kretanjem slobodnih elektrona ili šupljina koje su nosioci pozitivnog naelektrisanja. Uobičajena oznaka za struju je I ili i. Jedinica za struju je Amper (A) i predstavlja pomeraj od 1 /s. Po konvenciji se uzima da smer struje odgovara smeru kretanja pozitivnog naelektrisanja. Prosečna (srednja) struja I se definiše kao količnik ukupnog pomerenog naelektrisanja Δq i vremenskog intervala u kome se vrši taj pomeraj Δt: Δq I = (2.2) Δ t S druge strane, trenutna struja i se definiše kao brzina promene naelektrisanja, odnosno prvi izvod količine elektriciteta po vremenu: dq i = (2.3) dt U slučajevima kada se struja sastoji od kretanja dva tipa nosilaca, trenutna struja se može izraziti i na sledeći način: dq dq dq i = = (2.4) dt dt gde je dq pomereno inkrementalno pozitivno naelektrisanje dok je dq pomereno inkrementalno negativno naelektrisanje. U elektrotehnici se sreću vrlo različite vrednosti struje. Struja kod munja i gromova je reda nekoliko desetina hiljada ampera. U industrijskim pogonima i električnim vozilima struje su reda stotinu ampera. Uređaji u domaćinstvu obično rade sa strujama u opsegu od 0.5 A do 16 A. U elektronskim kolima struje su reda ma, μa ili na. U raznim mernim uređajima u fizici struje mogu biti vrlo male, reda pa (10 12 A), kolike su i struje između nervnih ćelija kod živih bića. 5

10 2.5 Napon Napon predstavlja potencijalnu energiju. azlika potencijala predstavlja sposobnost prenosa naelektrisanja u toku struje. Jedinica za napon je olt () i predstavlja energiju od 1 J, koja je potrebna za pomeraj pozitivnog naelektrisanja od 1. Uobičajena oznaka za napon u elektronici je ili v. Posmatrajući inkrementalne promene energije i naelektrisanja, trenutni napon se može definisati kao: dw v = (2.5) dq 2.6 eferentni smerovi i polariteti Prilikom analize mehaničkih sistema uvek se koristi neki koordinatni sistem, koji definiše šta se podrazumeva pod pozitivnim smerom. Slična situacija je i u analizi električnih pojava, gde je vrlo važno da naponi i struje u kolu budu tako definisani da se lako može odrediti koja je od dve tačke na višem potencijalu, ili koji je stvarni smer neke struje. Na sl. 2.1a sa je označen napon između tačaka A i B. Znaci i označavaju referentni smer napona. Ako je > 0, onda je tačka sa oznakom (A) na višem potencijalu od tačke sa oznakom (B), ako je < 0, onda je tačka sa oznakom (A) na nižem potencijalu od tačke sa oznakom (B). Znak se ne mora pisati, tada se on implicitno podrazumeva. eferentni smer napona se može proizvoljno usvojiti. Neka je, na primer, na slici 2.1a vrednost napona = 3, što znači da je potencijal tačke A veći za 3 od potencijala tačke B. Ako bi se referentni smer usvojio tako da bude kod tačke B, onda bi vrednost napona bila = 3, što ima isto značenje kao u prethodnom slučaju. A A I Kolo Kolo B B Slika 2.1: Označavanje polariteta napona i referentnog smera za struju. Na slici 2.1b je strelicom označen referentni smer za struju I, tako da ona protiče od tačke A, kroz element kola, do tačke B. Ako je I > 0, onda je stvarni smer struje isti sa referentnim smerom, a ako je I < 0, onda je stvarni smer struje suprotan referentnom smeru. Neka je I = 4 A. Onda je stvarni smer struje identičan sa nacrtanim referentnim smerom, a amplituda struje je 4 A. Ako bi pretpostavljeni referentni smer bio suprotan nacrtanom na sl. 2.1b, tada bi vrednost struje bila I = 4 A, pa bi stvarni smer struje bio suprotan referentnom, odnosno isti kao u prvom slučaju. Kao što se vidi, neophodno je potrebno specificirati vrednost i referentni smer bilo kog napona ili struje u kolu. rednosti veličina date bez referentnog smera su nekompletne, jer definišu samo vrednosti odgovarajućih veličina, a ne i njihove smerove. 6

11 2.7 Energija i snaga Energija je važan pojam u analizi električnih kola. U elektrotehnici i elektronici se srećemo sa elementima koji primaju energiju od kola ili predaju energiju kolu. Smer prenosa energije zavisi od znakova napona i struje. A i(t) Kolo v(t) B Slika 2.2: Konvencija za označavanje polariteta pri izračunavanje snage. Na primer, na sl. 2.2 energija iz kola se predaje elementu vezanom između tačaka A i B ako je v(t) > 0 i i(t) > 0. Za takav element se kaže da prima energiju i on se naziva pasivni element. Kod pasivnih elemenata pozitivna struja ulazi u pozitivni naponski terminal. Ako je v(t) > 0 i i(t) < 0, element predaje energiju kolu. Takav element se naziva aktivni element ili izvor. Kod aktivnih elemenata pozitivna struja ulazi u negativni naponski terminal. Snaga se definiše kao brzina promene energije: dw dw dq p = vi dt = dq dt = (2.6) Gornja jednačina pokazuje da se snaga na elementu kola može predstaviti proizvodom napona na elementu i struje kroz element. Pošto napon i struja mogu biti vremenski promenljivi, snaga se takođe može menjati sa vremenom i onda se označava sa p(t). Promena energije od trenutka t 1 do trenutka t 2 može se odrediti integracijom jednačine za snagu kao: t2 t2 (2.7) w = p dt = vi dt t1 t1 Izračunavanje snage zahteva konsistentno korišćenje konvencije o smerovima napona na elementi i struje kroz element. eferentni polaritet napona na elementu v(t) i referentni smer struje kroz element i(t), moraju biti tako definisani da pozitivni terminal napona bude kod one tačke elementa u koju ulazi referentni smer stuje, kao što je prikazano na sl Onda će proizvod napona i struje odrediti znak snage. Ako je p(t) > 0, element je pasivan, ako je p(t) < 0, element je aktivan. 2.8 Električno polje U prethodnom izlaganju smo objasnili da svako naelektrisano telo deluje na druga naelektrisana tela nekom mehaničkom silom. Dakle, oko svakog naelektrisanog tela postoji polje koje se naziva električno polje. Jačina električnog polja se definiše kao vektor čiji je intenzitet: 7

12 F E = (2.8) q a pravac i smer se poklapaju sa smerom sile koja deluje na pozitivno električno opetrećenje. Električno polje oko tačkastog nalektrisanja je: q E = k (2.9) d 2 Posebno interesantan je slučaj električnog polja između dve ravne paralelne ploče razdvojene dielektrikom debljine d. Takva struktura se naziva pločasti kondenzator. Neka je površina ploča S, njihova nalektrisanja q i q, a napon (potencijalna razlika) između ploča. Onda je jačina električnog polja: q E = = εs d (2.10) gde je ε tzv. dielektrična konstanta materijala. Dakle, električno polje u pločastom kondenzatoru je homogeno. 2.9 Modelovanje električnih sistema Modelovanje je proces uprošćenog predstavljanja realnog fizičkog sistema na način koji omogućava primenu matematičkih tehnika za analizu takvog sistema. Uprošćavanje predstave sistema se izvodi usvajanjem izvesnih pretpostavki kojima se zanemaruju nebitna svojstva. U analizi električnih kola jedna od najvažnijih uprošćavajućih pretpostavki je da su osnovne karakteristike kola koncentrisane u pojedinačne blokove (električne elemente), koji su povezani idealnim provodnicima. Takva pretpostavka je opravdana sve dok učestanost signala nije suviše visoka, tj. manja je od mikrotalasnih učestanosti Idealni električni elementi Idealni električni elementi su kompletno opisani matematičkom relacijom između napona na elementu i struje kroz element. Idealni električni elementi se mogu podeliti na aktivne ili pasivne zavisno od toga da li predaju energiju ostatku kola ili primaju energiju iz kola Idealni pasivni električni elementi Idealni pasivni električni elementi su otpornik, kalem i kondenzator. Oni su opisani matematičkim relacijama: ili v = i di v = L dt 1 v = i dt (2.11) 8

13 1 i = v i predstavljeni simbolima kao na slici 2.3: Otpornik 1 i = v dt L Kalem dv i = (2.12) dt Kondenzator v i v i v i Slika 2.3: Idealni pasivni električni elementi. Otpornik predstavlja komponentu kod koje se energija koja se predaje elementu pretvara u toplotu ili svetlosnu energiju. Konstanta u definicionim relacijama predstavlja otpornost otpornika (jedinica Om Ω). Kalem predstavlja komponentu kod koje se energija koja se predaje elementu pretvara u magnetsko polje. Konstanta L u definicionim relacijama predstavlja induktivnost kalema (jedinica Henri H). Kondenzator predstavlja komponentu kod koje se energija koja se predaje elementu pretvara u električno polje. Konstanta u definicionim relacijama predstavlja kapacitivnost kondenzatora (jedinica Farad F). Ova tri pasivna elementa, zajedno sa izvorima koji će biti definisani u narednim odeljcima, omogućavaju da se predstavi i analizira vrlo širok krug električnih i elektronskih kola Idealni nezavisni električni izvori Idealni nezavisni naponski izvor je aktivni element koji održava napon između pristupa nezavisno od struje kroz njega. rednost napona nezavisnog naponskog izvora može biti konstantna (kao kod elektrohemijskih baterija), ili neka funkcija vremena v(t). Simboli koji se koriste za predstavljanje idealnih naponskih izvora prikazani su na sl Znak pored simbola označava referentni polaritet napona izvora. v(t) Slika 2.4: Idealni nezavisni naponski izvori. Idealni nezavisni strujni izvor je aktivni element koji održava struju između pristupa nezavisno od napona između pristupa. rednost struje nezavisnog strujnog izvora može biti konstantna I, ili neka funkcija vremena i(t). Simbol koji se koristi za predstavljanje idealnog strujnog izvora prikazan je na sl Strelica u simbolu označava referentni smer struje izvora. 9

14 i(t) Slika 2.5: Idealni nezavisni strujni izvor. Na primerima modela nezavisnih izvora mogu se lako uočiti upročćavanja prilikom modelovanja komponenti. Na primer, idealni naponski izvor održava napon v(t) na svojim krajevima nezavisno od struje. Teorijski, struja bi mogla da bude i beskonačno velika, što bi izazvalo da takav izvor može generisati beskonačnu snagu. To je naravno fizički nemoguće. Dakle, idealni modeli komponenata predstavljaju važeće aproksimacije realnih komponenata samo pod izvesnim uslovima Idealni zavisni (kontrolisani) električni izvori Za razliku od nezavisnih izvora koji generišu neki napon (ili struju) nezavisno od toga šta se dešava u ostatku kola, idealni zavisni izvori generišu napon (ili struju) koja zavisi od nekog drugog napona ili struje u kolu. Ovakvi izvori su važni jer omogućavaju modelovanje mnogih elektronskih elemenata, kao što su, na primer, tranzistori. Postoje 4 tipa idealnih zavisnih izvora, koji su prikazani na slikama 2.6 i 2.7. Kao što se vidi, zavisni izvori imaju četiri priključka. Ulazni krajevi (sa leve strane) predstavljaju veličinu koja kontroliše izvor, a izlazni krajevi (sa desne strane) predstavljaju izlaznu struju ili napon kontrolisanog izvora. Primetimo da su konstante μ i β bezdimenzione konstante, jer se u prvom slučaju napon transformiše u napon, a u drugom slučaju se struja transformiše u struju. Konstanta μ se često naziva naponsko pojačanje, a konstanta β strujno pojačanje. S druge strane, konstante r i g su dimenzione konstante. Konstanta r ima dimenziju otpornosti pa se naziva transimpedansa, dok konstanta g ima dimenziju recipročnu otpornosti i naziva se transkonduktansa. v 0 v=μv 0 i 0 v=ri 0 Slika 2.6: Naponski kontrolisani naponski izvor (NKNI) i strujno kontrolisani naponski izvor (SKNI). v 0 i=gv 0 i 0 i=βi 0 Slika 2.7: Naponski kontrolisani strujni izvor (NKSI) i strujno kontrolisani strujni izvor (SKSI). 10

15 Equation Section (Next) 3. Kola sa stalnim jednosmernim strujama Kola sa stalnim jednosmernim strujama sastoje se samo od otpornika i izvora konstantnog napona ili struje. Jednačine koje opisuju takvo kolo su linearne, tako da se takav sistem jednačina može lako rešiti. Zbog jednostavnosti opisa kola, kod kola sa stalnim jednosmernim strujama lako je objasniti osnovne zakone, kao što su Omov zakon, prvi i drugi Kirhofov zakon. 3.1 Omov zakon Omov zakon definiše zavisnost napona od struje kod otpornika i glasi: Napon na otporniku je direktno proporcionalan struji kroz otpornik. = I (3.1) I Slika 3.1: Omov zakon. Konstanta proporcionalnosti predstavlja otpornost otpornika. Jedinica za otpornost je Om (Ω). U praksi se otpornici prave nanošenjem metalnog ili ugljenog filma na keramičku podlogu, ili od žice velike specifične otpornosti. U integrisanim kolima se otpornici prave posebnim tehnikama koje su prilagođene proizvodnji ostalih poluprovodničkih komponenata. Tipične vrednosti otpornosti koje se sreću u elektrotehnici i elektronici se kreću od delova Ω do nekoliko MΩ. Provodnost otpornika G je recipročna vrednost otpornosti: 1 G = (3.2) Jedinica za provodnost je Simens (S). Omov zakon izražen preko provodnosti glasi: I = G (3.3) Otpornik je pasivni element koji apsorbuje snagu elektri;ne energije i pretvara je u toplotu. Snaga razvijena na otporniku je proizvod struje i napona: P = I (3.4) 11

16 Primenom Omovog zakona, snaga na otporniku se može izraziti i primenom ekvivalentnih izraza: Specijalni slučajevi otpornosti: I P = I = G = = G (3.5) = 0 ( G = ) (3.6) Ovaj slučaj se naziva kratak spoj. Napon između pristupa kod kratkog spoja je jednak nuli, a struja može imati ma kakvu vrednost. G = 0 ( = ) (3.7) Ovaj slučaj se naziva otvorena veza. Napon između pristupa kod otvorene veze može imati ma kakvu vrednost, a struja je jednaka nuli. 3.2 Električno kolo Električno kolo predstavlja interkonekciju dva ili više elemenata. Povezivanje elemenata se vrši provodnicima čija se otpornost može zanemariti. A B 1 I 2 3 D Slika 3.2: Primer jednog električnog kola. Pre nego što formulišemo osnovne zakone koji opisuju ponašanje električnih kola, moramo se upoznati sa nekoliko definicija osnovnih termina: Čvor kola je tačka spajanja dva ili više elemenata kola (A, B,, D, na sl. 3.2). Grana je deo kola koji sadrži samo jedan element i čvorove na krajevima elementa (AB, A, B, BD, D, na sl. 3.2). Petlja predstavlja ma koji zatvoreni put kroz kolo kod koga se kroz jedan čvor može proći samo jednom (ABA, BDB, ADBA, na sl. 3.2). Kontura predstavlja petlju koji ne sadrži u sebi neku drugu petlju (ABA, BDB, na sl. 3.2). 12

17 3.3 Prvi (strujni) Kirhofov zakon Nemački fizičar Gustav Kirhof je još sredinom 19. veka formulisao dva osnovna zakona koji opisuju ponašanje električnih kola. Prvi Kirhofov zakon se odnosi na struje u kolu i glasi: Algebarska suma struja koje utiču u ma koji čvor kola jednaka je nuli. N I j = 0 (3.8) j= 1 gde je I j struja jte grane koja ulazi u čvor, dok je N broj grana koje ulaze u čvor. Po konvenciji se struje čija je referentna orijentacija ka čvoru uzimaju se sa pozitivnim predznakom, dok se struje čija je referentna orijentacija od čvora uzimaju sa negativnim predznakom. Alternativna formulacija prvog Kirhofovog zakona glasi: čvora. Suma struja koje utiču u ma koji čvor kola jednaka je sumi struja koje ističu iz istog 3.4 Drugi (naponski) Kirhofov zakon Drugi Kirhofov zakon se odnosi na napone u kolu i glasi: Algebarska suma napona u bilo kojoj petlji kola jednaka je nuli. N j = 0 (3.9) j= 1 gde je j napon na jtoj grani petlje koja ukupno ima N grana. Po konvenciji se naponi na granama čija je referentna orijentacija suprotna orijentaciji petlje uzimaju se sa pozitivnim predznakom, dok se naponi na granama čija je referentna orijentacija ista sa orijentacijom petlje uzimaju sa negativnim predznakom. 3.5 Paralelna i serijska veza otpornika Prvi i drugi Kirhofov zakon opisuju stanje svakog električnog kola. Međutim, kada se primene na kola sa samo jednim parom čvorova, ili na kola sa samo jednom petljom, oni daju neke vrlo korisne rezultate, koji se mogu primeniti za uprošćavanje električnih kola Serijska (redna) veza otpornika Ako se N otpornika tako poveže tako da se u svakom čvoru stiču samo po dva otpornika (osim kod prvog i poslednjeg čvora), takva veza se naziva serijska ili redna veza otpornika i prikazana je na slici 3.3a. Za jedinu petlju u kolu se može napisati jednačina po drugom Kirhofovom zakonu: = I I I = ( ) I (3.10) 1 s 2 s N s 1 2 N s 13

18 dok se za ekvivalentnu petlju na slici 3.3b može napisati: = I (3.11) s s I s N I s s Slika 3.3: Serijska (redna) veza otpornika. Ako su napon izvora i struja kroz izvor u oba kola isti, onda se za ekvivalentnu otpornost s dobija: = (3.12) s 1 2 N odnosno, ekvivalentna otpornost serijski vezanih otpornika jednaka je zbiru pojedinačnih otpornosti. Posmatrajmo dva serijski vezana otpornika, kao na slici 3.4. Pošto kroz oba otpornika protiče ista struja i, naponi na serijski vezanim otpornicima su: =, = (3.13) odnosno, napon izvora deli se između otpornika 1 i 2 u direktnoj srazmeri sa njihovim otpornostima. Ovakvo kolo se naziva delitelj (razdelnik) napona i često se primenjuje u elektronici. I Slika 3.4: Delitelj (razdelnik) napona Paralelna veza otpornika Ako se N otpornika tako poveže da svi imaju zajedničke priključke, takva veza se naziva paralelna veza otpornika i prikazana je na slici 3.5a. Za čvor u kome su povezani naponski izvor i svi otpornici se može napisati jednačina po prvom Kirhofovom zakonu: 14

19 I = G G G = ( G G G ) (3.14) p 1 2 N 1 2 N dok se za ekvivalentni čvor na slici 3.5b može napisati: I p = G (3.15) p I p... I p 1 2 N p Slika 3.5: Paralelna veza otpornika. Ako su napon izvora i struja kroz izvor u oba kola isti, onda se za ekvivalentnu otpornost G p dobija: G = G G G (3.16) p 1 2 N odnosno, ekvivalentna provodnost paralelno vezanih otpornika jednaka je zbiru pojedinačnih provodnosti. Alternativni oblik prethodne jednačine je: = (3.17) p 1 2 N Posmatrajmo dva paralelno vezana otpornika, kao na slici 3.6. Pošto je napon na oba otpornika isti, struje kroz paralelno vezane otpornike su: I = I, I = I (3.18) odnosno, struja izvora I deli se između otpornika 1 i 2 u obrnutoj srazmeri sa njihovim otpornostima. Ovakvo kolo se naziva delitelj (razdelnik) struje i često se primenjuje u elektronici. I 1 I 2 I Slika 3.6: Delitelj (razdelnik) struje. 15

20 3.6 Transformacije trougao zvezda i zvezda trougao Još dve često korišćene transformacije u rešavanju električnih kola su transformacije trougla u zvezdu i obrnuto. Na slici 3.7 je prikazano vezivanje tri otpornika u trougao i zvezdu. U literaturi na engleskom jeziku ove transformacije su poznate kao Δ Y, odnosno, Y Δ. A A 1 2 A B 3 B B Slika 3.7: ezivanje otpornika u trougao (Δ) i zvezdu (Y). Da bi ova dva kola bila ekvivalentna, otpornost između ma koje dve tačke u oba kola, kada se treća tačka ostavi nepovezana, mora biti ista. Dakle, korišćenjem pravila za paralelno i serijsko vezivanje otpornika, sa slike 3.7 se dobija: 2( 1 3) AB = A B = ( 1 2) B = B = ( 2 3) A = A = (3.19) ešavanjem ovog sistema jednačina po A, B i, dobija se: A B 1 2 = = = (3.20) dok se rešavanjem sistema jednačina po 1, 2 i 3, dobija: AB A B 1 = 2 = B A B A B AB A B 3 = A (3.21) 16

21 3.7 Sistem jednačina napona čvorova U procesu rešavanja električnog kola potrebno je odrediti struje kroz elemente kola i napone na elementima kola. Za njihovo određivanje možemo napisati sistem linearnih jednačina, koji se sastoji od jednačina po prvom Kirhofovom zakonu, jednačina po drugom Kirhofovom zakonu i jednačina elemenata po Omovom zakonu. Prilikom određivanja napona u kolu, jedan čvor u kolu se bira za referentni čvor, pa se preostali naponi računaju u odnosu na njega. eferentni čvor se najčešće naziva masa. Ovako formirani sistem ima veliki broj jednačina. Da bi se smanjio broj jednačina u sistemu može se postupiti na dva načina. Prvi način je da se prvo odrede svi naponi u kolu, a da se potom odrede struje kroz elemente na osnovu Omovog zakona. Drugi način je da se prvo odrede struje u kolu, pa tek onda naponi na elementima. U oba slučaja se broj jednačina u sistemu značajno smanjuje. U elektronskim kolima je broj čvorova obično znatno manji od broja elemenata, pa je prvi način formiranja jednačina korisniji. Da bi se formirao takav sistem jednačina, prvo se za svaki čvor (osim za referentni) napiše odgovarajuća jednačina po prvom Kirhofovom zakonu, a zatim se struje koje utiču u čvor ili ističu iz čvora izraze preko napona čvorova i Omovog zakona. U slučaju kola sa N čvorova, broj jednačina u sistemu je N 1. Takav sistem jednačina se naziva sistem jednačina napona čvorova. Po Omovom zakonu struja kroz otpornik između čvorova m i n je: I m n mn = (3.22) Ova struja se pojavljuje samo u jednačinama po prvom Kirhofovom zakonu napisanom za čvorove m i n. U slučaju kola sa N čvorova, broj nepoznatih veličina (napona) u sistemu N1, tj. isti je kao broj jednačina. Dakle, posle sređivanja napisanih jednačina, koje se sastoji u grupisanju članova koji odgovaraju istim nepoznatim naponima i prebacivanja konstantnih članova na desnu stranu jednačina, formirani sistem izgleda ovako: G G G = I N 1 N 1 1 G G G = I N 1 N 1 2 G G G = I N 11 1 N 12 2 N 1N 1 N 1 N 1 (3.23) Ovaj sistem jednačina se može i direktno napisati na osnovu posmatranja kola, bez prethodnog formiranja jednačina po prvom Kirhofovom zakonu. Koeficijenti van glavne dijagonale G mn, gde je m n, predstavljaju zbir provodnosti svih grana između čvorova m i n i uvek imaju negativni predznak. Dijagonalni koeficijenti G kk predstavljaju zbir provodnosti svih grana koje se stiču u čvor k i uvek imaju pozitivni predznak. 3.8 Linearna kola: principi superpozicije i homogenosti U elektrotehnici i elektronici veliku primenu ima klasa linearnih kola. Da bi kolo bilo linearno mora zadovoljiti principe superpozicije i homogenosti. 17

22 Princip superpozicije tvrdi da se u jednom linearnom kolu sa više nezavisnih izvora, struja kroz ma koji element ili napon bilo kog čvora u kolu, može biti predstavljen kao algebarski zbir doprinosa pojedinačnih izvora. Prilikom određivanja doprinosa jednog izvora, preostali nezavisni naponski izvori moraju biti zamenjeni kratkim spojevima, a preostali nezavisni strujni izvori se moraju zameniti otvorenim vezama. Zavisni izvori ostaju neizmenjeni u kolu. Iako primena principa superpozicije zahteva višestruko rešavanje sistema jednačina, sistemi jednačina koji se dobijaju posle anuliranja preostalih nezavisnih izvora su često znatno jednostavniji, pa njihovo rešavanje ne predstavlja problem. Princip homogenosti tvrdi da ako se u jednom linearnom kolu neki nezavisni izvor pomnoži (skalira) nekom konstantom, onda se njegovi doprinosi strujama i naponima u kolu množe istom konstantom. Dokaz ovih principa sledi iz linearnosti sitema jednačina koje opisuju kolo. 3.9 Transformacija izvora U električnim kolima se retko sreću idealni naponski i strujni izvori. ealni naponski izvor, prikazan na slici 3.8, ima konačnu unutrašnju otpornost. ealni strujni izvor, takođe prikazan na slici 3.8, ima konačnu unutrašnju provodnost G = 1. i i v I p I p p p I i p p Slika 3.8: ealni strujni izvor i realni naponski izvor. U cilju uprošćenja kola, ponekad je pogodno pretvoriti strujni izvor u ekvivalentni naponski izvor i obrnuto. Do uslova ekvivalencije se lako može doći posmatranjem slike 3.8. Ako se na realni strujni ili naponski izvor priključi isti otpornik proizvoljne otpornosti p, onda u slučaju ekvivalentnih izvora struja kroz otpornik p mora biti isti u oba kola. Po Omovom zakonu, onda je isti i napon na otporniku p. Dakle, iz uslova jednakosti struja kroz p sledi: 1 i Ip = = I v p i p (3.24) odakle se direktno dobijaju uslovi ekvivalencije realnog naponskog i strujnog izvora: = I, = (3.25) i v i Dakle, ako u kolu imamo strujni izvor struje I i njemu paralelno vezan otpornik, onda se ova kombinacija može zameniti ekvivalentnim naponskim izvorom napona = I i serijski vezanim otpornikom. Takođe važi i obrnuto: ako u kolu imamo naponski izvor napona sa 18

23 serijski vezanim otpornikom, onda se ova kombinacija može zameniti ekvivalentnim strujnim izvorom struje I = i njemu paralelno vezanim otpornikom. Ostali parametri kola u kome se nalaze nezavisni izvori ostaju nepromenjeni. Transformacije izvora imaju veliku primenu u uprošćavanju električnih kola, kada je potrebno smanjiti broj čvorova ili smanjiti broj petlji u kolu Tevenenova i Nortonova teorema Pretpostavimo da imamo neko električno kolo i da želimo da odredimo struju, napon ili snagu na nekom otporniku, koji ćemo nazvati potrošač i obeležiti sa p. Ova situacija je ilustrovana na slici 3.10a. Tevenenova i Nortonova teorema pokazuju kako se celo kolo, osim potrošača, može zameniti ekvivalentnim realnim naponskim ili strujnim izvorom, tako da struja i napon potrošača ostanu nepromenjeni. Posmatrajmo kolo na sl. 3.10a. Ako se potrošač isključi iz kola, pristupni krajevi ostaju otvoreni, i na njima postoji napon, koji ćemo nazvati napon otvorene veze i obeležiti sa O, kao na slici 3.10b. Međutim, ako se posle isključenja potrošača pristupni krajevi kratko spoje, onda između njih postoji struja kratkog spoja, koju ćemo obeležiti sa I S, kao na slici 3.10c. A A A Kolo sa izvorima i otpornicima p Kolo sa izvorima i otpornicima O Kolo sa izvorima i otpornicima I S B B B Slika 3.10: Određivanje napona otvorenih krajeva i struje kratkog spoja. Za izvođenje Tevenenove teoreme posmatrajmo kolo na sl. 3.11a, u kome je kompletno kolo sa izvorima i otpornicima (bez potrošača) zamenjeno ekvivalentnim naponskim izvorom T i serijski vezanim otpornikom T. Poređenjem kola sa slike 3.10 i slike 3.11a, lako se vidi da su struja kroz potrošač i napon na potrošaču isti ako je: = = (3.26) O T O, T IS A A T p p T I N N B B Slika 3.11: Tevenenovo i Nortonovo ekvivalentno kolo. 19

24 Ove relacije predstavljaju Tevenenovu teoremu koja glasi: Svako električno kolo sa zavisnim i nezavisnim izvorima i otpornicima se može zameniti ekvivalentnim kolom koje se sastoji od idealnog naponskog izvora T, čiji je napon jednak naponu kola sa isključenim potrošačem O, i serijskog otpornika T, čija je otpornost jednaka količniku napona kola sa isključenim potrošačem O i struje kroz kratkospojeni potrošač I S. Za izvođenje Nortonove teoreme posmatrajmo kolo na sl. 3.11b, u kome je kompletno kolo sa izvorima i otpornicima (bez potrošača) zamenjeno ekvivalentnim strujnim izvorom I N i paralelno vezanim otpornikom N. Poređenjem kola sa slike 3.10 i slike 3.11b, lako se vidi da su struja kroz potrošač i napon na potrošaču isti ako je: I = I = (3.27) O N S, N IS Ove relacije predstavljaju Nortonovu teoremu koja glasi: Svako električno kolo sa zavisnim i nezavisnim izvorima i otpornicima se može zameniti ekvivalentnim kolom koje se sastoji od idealnog strujnog izvora I N, čija je struja jednaka struji kroz kratkospojeni potrošač I S, i paralelnog otpornika N, čija je otpornost jednaka količniku napona kola sa isključenim potrošačem O i struje kroz kratkospojeni potrošač I S. Specijalni slučaj Tevenenove i Nortonove teoreme nastaje kada kolo čiji se ekvivalent traži sadrži samo nezavisne izvore, odnosno ne sadrži zavisne izvore. Tada se izračunavanje ekvivalentne otpornosti T ili N može uprostiti. Umesto potrošača na krajeve A i B priključi se naponski generator T, nezavisni izvori u kolu se anuliraju kratkospajanjem nezavisnih naponskih izvora i raskidanjem nezavisnih strujnih izvora, zatim se odredi struja kroz test generator I T, i na kraju ekvivalentna otpornost T = T I. T Isti postupak se može sprovesti i priključivanjem strujnog test generatora, I T, i određivanjem napona na njemu, T. Odluka o tome koji postupak treba primeniti zavisi od toga kolika uprošćenja donosi jedan ili drugi način. 20

25 Equation Section (Next) 4. Kola sa promenljivim strujama U elektronskim kolima se često dešava da se struktura kola menja otvaranjem ili zatvaranjem nekog prekidača. Posle takve promene nastaje promena napona i struja u kolu koja se odvija po određenim zakonitostima, a koje ćemo proučavati u ovom poglavlju. Takva analiza kola se naziva analiza prelaznog režima. U odvijanju prelaznih pojava ključnu ulogu imaju dva pasivna elementa koje smo već pomenuli: kondenzator i kalem. Oba ova elementa imaju neke zajedničke osobine. Oni su linearni elementi jer je kod njih relacija između struje i napona predstavljena linearnim diferencijalnim jednačinama. Takođe, oba elementa imaju sposobnost akumulacije energije. Kod kondenzatora energija se akumulira u električnom polju, a kod kalema u magnetskom polju. Akumulirana energija se može predati ostatku kola. Zbog ove osobine akumulacije energije, kondenzator i kalem se nazivaju i reaktivni elementi. 4.1 Kondenzator Kondenzator se sastoji od dve provodne površine razdvojene izolacionim materijalom (dielektrikom). Opterećenje kondenzatora, čiji je simbol zajedno sa referentnim smerovima za napon i struju prikazan na slici 4.1, srazmerno je naponu na kondenzatoru: Q = (4.1) Konstanta u prethodnom izrazu naziva se kapacitivnost (kapacitet) kondenzatora. Ako se napon na kondenzatoru ne menja, pošto su elektrode kondenzatora izolovane dielektrikom, nema stalne struje kroz kondenzator. Dakle, pri konstantnoj pobudi kondenzator se ponaša kao otvorena veza. v(t) i(t) q(t) Slika 4.1: Simbol kondenzatora i referentni smerovi za struju i napon. Međutim, ako se napon na kondenzatoru menja sa vremenom, menjaće se i njegovo električno opterećenje: Diferenciranjem ove jednačine po vremenu se dobija: qt () = vt () (4.2) dq() t dv() t = it () = (4.3) dt dt 21

26 Dakle, ako se napon na kondenzatoru menja, opterećenje na kondenzatoru se takođe menja, što znači da postoji struja kroz kondenzator. Iz poslednje jednačine se takođe vidi da nije moguće naglo promeniti napon na kondenzatoru jer bi to zahtevalo beskonačno veliku struju kroz njega. Integracijom jednačine (4.3) se dobija: t t t t t0 t0 (4.4) vt ( ) = ixdx ( ) = ixdx ( ) ixdx ( ) = vt ( ) ixdx ( ) gde se v t ) naziva početni napon na kondenzatoru. ( 0 Energija akumulirana u električnom polju kondenzatora se može odrediti iz snage koja se predaje kondenzatoru: t t dv( x) 1 2 c( ) = c( ) = ( ) = ( ) dx 2 (4.5) w t p x dx v x dx v t Kapacitet kondenzatora u praksi kreće se od pikofarada (1 pf = F) do farada. ealni kondenzatori nemaju idealni dielektrik, tako da postoji slaba provodnost između dve ploče. Neidealni dielektrik se modeluje vezivanjem otpornika velike otpornosti paralelno kondenzatoru. Slično otpornicima, i kondenzatori se mogu vezivati paralelno ili serijski. Koristeći I Kirhofov zakon, lako se može pokazati da ekvivalentna kapacitivnost paralelne veze kondenzatora predstavlja zbir kapacitivnosti paralelno vezanih kondenzatora: = (4.6) p 1 2 N Korišćenjem II Kirhofovog zakona, lako se dobija da recipročna vrednost ekvivalentne kapacitivnosti serijske veze kondenzatora predstavlja zbir recipročnih vrednosti kapacitivnosti serijski vezanih kondenzatora: = (4.7) p 1 2 N 4.2 Kalem Kalem se sastoji od provodne žice koja je namotana oko jezgra od nemagnetnog ili magnetnog materijala. Simbol kalema, zajedno sa referentnim smerovima za napon i struju prikazan je na slici 4.2. elacija između napona i struje kalema data je diferencijalnom jednačinom: di() t vt () = L (4.8) dt Konstanta L u prethodnom izrazu naziva se induktivnost kalema. Ako je struja kroz kalem konstantna, njen prvi izvod je nula, pa je napon na kalemu takođe nula. Dakle, u stalnom jednosmernom režimu kalem se ponaša kao kratak spoj. 22

27 i(t) v(t) L Slika 4.2: Simbol kalema i referentni smerovi za struju i napon. Postupajući na sličan način kao kod kondenzatora, integracijom jednačine (4.8) se dobija: t t 0 L (4.9) t0 1 1 it ( ) = vxdx ( ) = it ( ) vxdx ( ) L gde je i ( t 0 ) početna struja kroz kalem. Energija akumulirana u magnetskom polju kalema može se odrediti iz snage koja se predaje kalemu: t t di( x) 1 2 L( ) = L( ) = ( ) = ( ) dx 2 (4.10) w t p x dx L i x dx Li t Induktivnost kalemova u praksi se kreće od μh do nekoliko H. ealni kalemovi imaju malu, ali konačnu otpornost žice, tako da disipiraju energiju. Neidealni kalem se modeluje vezivanjem otpornika male otpornosti na red sa kalemom. Kalemovi se mogu povezivati paralelno ili serijski. U slučaju paralelne veza kalemova, iz I Kirhofovog zakona sledi da recipročna vrednost ekvivalentne induktivnosti paralelne veze kalemova predstavlja zbir recipročnih vrednosti induktivnosti paralelno vezanih kalemova: = (4.11) L L L L p 1 2 N Korišćenjem II Kirhofovog zakona, dobija se da ekvivalentna induktivnost serijske veze kalemova predstavlja zbir vrednosti induktivnosti serijski vezanih kalemova: L = L L L (4.12) s 1 2 N 4.3 Kola prvog reda sa kondenzatorima i kalemovima Kola prvog reda sadrže izvore, otpornike i jedan kondenzator ( kola) ili jedan kalem (L kola) i prikazana su na slici 4.3. Da bi posmatrali prelazni režim kod kola prvog reda, smatraćemo da se prekidač, koji je bio otvoren, zatvara u trenutku t = 0, čime se pobudni izvor vezuje u kolo. Ponašanje kola za t > 0 određeno je drugim Kirhofovim zakonom, koji za kolo sa slike 4.3a glasi: t 1 ixdx ( ) it ( ) = s (4.13) 23

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Katedra za elektroniku Elementi elektronike Laboratorijske vežbe Vežba br. 2 STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Datum: Vreme: Studenti: 1. grupa 2. grupa Dežurni: Ocena: Elementi elektronike -

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Induktivno spregnuta kola

Induktivno spregnuta kola Induktivno spregnuta kola 13. januar 2016 Transformatori se koriste u elektroenergetskim sistemima za povišavanje i snižavanje napona, u elektronskim i komunikacionim kolima za promjenu napona i odvajanje

Διαβάστε περισσότερα

Snage u kolima naizmjenične struje

Snage u kolima naizmjenične struje Snage u kolima naizmjenične struje U naizmjeničnim kolima struje i naponi su vremenski promjenljive veličine pa će i snaga koja se isporučuje potrošaču biti vremenski promjenljiva Ta snaga naziva se trenutna

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVE ELEKTROTEHNIKE II Vježba 11.

OSNOVE ELEKTROTEHNIKE II Vježba 11. OSNOVE EEKTOTEHNKE Vježba... Za redno rezonantno kolo, prikazano na slici. je poznato E V, =Ω, =Ω, =Ω kao i rezonantna učestanost f =5kHz. zračunati: a) kompleksnu struju u kolu kao i kompleksne napone

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA OSNOVI ELEKTRONIKE

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA OSNOVI ELEKTRONIKE ELEKTRONSKI FAKULTET NIŠ KATEDRA ZA ELEKTRONIKU predmet: OSNOVI ELEKTRONIKE studijske grupe: EMT, EKM Godina 2014/2015 RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA OSNOVI ELEKTRONIKE 1 1. ZADATAK Na slici je prikazano električno

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

NAIZMENIČNE STRUJE POTREBNE FORMULE: Trenutna vrednost ems naizmeničnog izvora: e(t) = E max sin(ωt + θ)

NAIZMENIČNE STRUJE POTREBNE FORMULE: Trenutna vrednost ems naizmeničnog izvora: e(t) = E max sin(ωt + θ) NAIZMENIČNE STRUJE POTREBNE FORMULE: Trenutna vrednost ems naizmeničnog izvora: e(t) = E max sin(ωt + θ) Trenutna vrednost naizmeničnog napona: u(t) = U max sin(ωt + θ) Trenutna vrednost naizmenične struje:

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 2 DIODA I TRANZISTOR

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 2 DIODA I TRANZISTOR ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U BEOGRADU KATEDRA ZA ELEKTRONIKU OSNOVI ELEKTRONIKE ODSEK ZA SOFTVERSKO INŽENJERSTVO LABORATORIJSKE VEŽBE VEŽBA BROJ 2 DIODA I TRANZISTOR 1. 2. IME I PREZIME BR. INDEKSA GRUPA

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

TERMALNOG ZRAČENJA. Plankov zakon Stefan Bolcmanov i Vinov zakon Zračenje realnih tela Razmena snage između dve površine. Ž. Barbarić, MS1-TS 1

TERMALNOG ZRAČENJA. Plankov zakon Stefan Bolcmanov i Vinov zakon Zračenje realnih tela Razmena snage između dve površine. Ž. Barbarić, MS1-TS 1 OSNOVNI ZAKONI TERMALNOG ZRAČENJA Plankov zakon Stefan Bolcmanov i Vinov zakon Zračenje realnih tela Razmena snage između dve površine Ž. Barbarić, MS1-TS 1 Plankon zakon zračenja Svako telo čija je temperatura

Διαβάστε περισσότερα

Metode rješavanja električnih strujnih krugova

Metode rješavanja električnih strujnih krugova Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku lektrotehnički fakultet sijek Stručni studij snove elektrotehnike Metode rješavanja električnih strujnih krugova snovni pojmovi rana električne mreže (g) dio mreže

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Osnove mikroelektronike

Osnove mikroelektronike Osnove mikroelektronike Z. Prijić T. Pešić Elektronski fakultet Niš Katedra za mikroelektroniku Predavanja 2006. Sadržaj Bipolarni tranzistor 1 Bipolarni tranzistor 2 Ebers-Molov model Strujno-naponske

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 { fiziqka hemija

Matematika 1 { fiziqka hemija UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIKA. Profesor: Miroslav Lutovac Singidunum University, Predavanje: 9

ELEKTROTEHNIKA. Profesor: Miroslav Lutovac Singidunum University,   Predavanje: 9 ELEKTROTEHNIKA Profesor: Miroslav Lutovac Singidunum University, e-mail: mlutovac@singidunum.ac.rs Predavanje: 9 MOSFET Metal Oxide Semiconductor Field Effect Transistor Kontrolna elektroda (gejt) je izolovana

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) II deo. Miloš Marjanović

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) II deo. Miloš Marjanović Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) II deo Miloš Marjanović Bipolarni tranzistor kao prekidač BIPOLARNI TRANZISTORI ZADATAK 16. U kolu sa slike bipolarni

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Snage u ustaljenom prostoperiodičnom režimu

Snage u ustaljenom prostoperiodičnom režimu Snage u ustaljenom prostoperiodičnom režimu 13. januar 016 Posmatrajmo kolo koje se sastoji od dvije podmreže M i N, kao na Slici 1. U kolu je uspostavljen ustaljeni prostoperiodični režim i ulazni napon

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

ISTOSMJERNE STRUJE 3 ANALIZA LINEARNIH ELEKTRIČNIH MREŽA

ISTOSMJERNE STRUJE 3 ANALIZA LINEARNIH ELEKTRIČNIH MREŽA STOSMJN STUJ ANALZA LNANH LKTČNH MŽA Saržaj preavanja. Uvo. zravna primjena Kirchhoffovih zakona. Metoa napona čvorova. Metoa konturnih struja 5. Metoa superpozicije. Theveninov teorem. Nortonov teorem

Διαβάστε περισσότερα

VEŽBA 4 DIODA. 1. Obrazovanje PN spoja

VEŽBA 4 DIODA. 1. Obrazovanje PN spoja VEŽBA 4 DIODA 1. Obrazovanje PN spoja Poluprovodnik može da bude tako obrađen da mu jedan deo bude P-tipa, o drugi N-tipa. Ovako se dobije PN spoj. U oblasti P-tipa šupljine čine pokretni oblik elektriciteta.

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1

OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 UNVZTT STOČNO SAAJVO LKTOTHNČK FAKULTT redovni profesor dr Slavko Pokorni, dipl inž el OSNOV LKTOTHNK Vremenski konstantne električne struje stočno Sarajevo, 05 Sadržaj OSNOVN POJMOV PV KHOFOV ZAKON 4

Διαβάστε περισσότερα

Snaga naizmenicne i struje

Snaga naizmenicne i struje Snaga naizmenicne i struje Zadatak električne mreže u okviru elektroenergetskog sistema (EES) je prenos i distribucija električne energije od izvora do potrošača, uz zadovoljenje kriterijuma koji se tiču

Διαβάστε περισσότερα

Elektronske komponente

Elektronske komponente Elektronske komponente Z. Prijić Elektronski fakultet Niš Katedra za mikroelektroniku Predavanja 2014. Sadržaj 1 Kalem Sadržaj Kalem 1 Kalem - definicije Kalem Kalem je pasivna elektronska komponenta koja

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

Jednosmerne i naizmenične struje

Jednosmerne i naizmenične struje Glava 5 Jednosmerne i naizmenične struje 51 Intenzitet i gustina struje Električna struja predstavlja usmereno kretanje naelektrisanja Pokretljiva naelektrisanja koja mogu obrazovati električnu struju

Διαβάστε περισσότερα

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA MODEL VOZILA U UZDUŽNOJ DINAMICI Zanemaruju se sva pomeranja u pravcima normalnim na pravac kretanja (ΣZ i = 0, ΣY i = 0) Zanemaruju se svi vidovi pobuda na oscilovanje i vibracije,

Διαβάστε περισσότερα

RAD, SNAGA I ENERGIJA

RAD, SNAGA I ENERGIJA RAD, SNAGA I ENERGIJA SADRŢAJ 1. MEHANIĈKI RAD SILE 2. SNAGA 3. MEHANIĈKA ENERGIJA a) Kinetiĉka energija b) Potencijalna energija c) Ukupna energija d) Rad kao mera za promenu energije 4. ZAKON ODRŢANJA

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

5. Predavanje. October 25, 2016

5. Predavanje. October 25, 2016 5. Predavanje October 25, 2016 1 Električne struje Za razliku od struja koje su vidljive: morske struje, rečne struje, strujanje vazduha itd., električne struje nisu direktno vidljive, već se celokupno

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

Odredivanje odziva u električnim kolima

Odredivanje odziva u električnim kolima Odredivanje odziva u električnim kolima 28. oktobar 2015 Kada se u električno kolo uključe naponski ili strujni generatori dolazi do promjene stanja kola. Na elementima kola se javljaju naponi, a kroz

Διαβάστε περισσότερα

Stalne jednosmerne struje

Stalne jednosmerne struje Stalne jednosmerne struje Električna struja Električnom strujom se može nazvati svako ureñeno kretanje električnih naelektrisanja, bez obzira na uzroke ovog kretanja i na vrstu električnih naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

Jednodimenzionalne slučajne promenljive

Jednodimenzionalne slučajne promenljive Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/

Διαβάστε περισσότερα

Unipolarni tranzistori - MOSFET

Unipolarni tranzistori - MOSFET nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]

Διαβάστε περισσότερα

θ a ukupna fluks se onda dobija sabiranjem ovih elementarnih flukseva, tj. njihovim integraljenjem.

θ a ukupna fluks se onda dobija sabiranjem ovih elementarnih flukseva, tj. njihovim integraljenjem. 4. Magnetski fluks i Faradejev zakon magnetske indukcije a) Magnetski fluks Ako je magnetsko polje kroz neku konturu površine θ homogeno (kao na lici 5), tada je fluks kroz tu konturu jednak Φ = = cosθ

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

2. Data je žičana otpornička mreža na slici. Odrediti ekvivalentnu otpornost između krajeva

2. Data je žičana otpornička mreža na slici. Odrediti ekvivalentnu otpornost između krajeva 1. U kolu stalne struje sa slike 1 poznato je R1 = 2R = 200 Ω, Rp> R1, E1 =-E2 = 10 V i E3 = E4 = 10 V. izračunati Ig (Ig 0) tako da snage koje razvijaju idealni naponski generator E3 i idealni strujni

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79 TEORIJA BETOSKIH KOSTRUKCIJA 79 Primer 1. Odrediti potrebn površin armatre za stb poznatih dimenzija, pravogaonog poprečnog preseka, opterećen momentima savijanja sled stalnog ( g ) i povremenog ( w )

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 1. U temenima kvadrata stranice a (Sl.1) nalaze se mala tela istoimene količine 11. naelektrisanja Q 4 10

Zadatak 1. U temenima kvadrata stranice a (Sl.1) nalaze se mala tela istoimene količine 11. naelektrisanja Q 4 10 adatak temenima kvadrata stranice a (Sl) nalaze se mala tela istoimene količine naelektrisanja Q 0 C u vakumu Koliku količinu elektriciteta negativnog znaka treba postaviti u tačku preseka dijagonala da

Διαβάστε περισσότερα

ПИТАЊА ЗА УСМЕНИ ИСПИТ ИЗ ЕЛЕКТРОТЕХНИКЕ

ПИТАЊА ЗА УСМЕНИ ИСПИТ ИЗ ЕЛЕКТРОТЕХНИКЕ ПИТАЊА ЗА УСМЕНИ ИСПИТ ИЗ ЕЛЕКТРОТЕХНИКЕ 1. Napisati vektorski izraz za Kulonov zakon i objasni značenje pojedinih članova izraza. Kada važi Kulonov zakon? 2. Šta je Faradejev kavez? 3. Kako se može detektovati

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

Elektronički Elementi i Sklopovi

Elektronički Elementi i Sklopovi Sadržaj predavanja: 1. Strujna zrcala pomoću BJT tranzistora 2. Strujni izvori sa BJT tranzistorima 3. Tranzistor kao sklopka 4. Stabilizacija radne točke 5. Praktični sklopovi s tranzistorima Strujno

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od

Διαβάστε περισσότερα

LINEARNA ELEKTRONIKA VEŽBA BROJ 4 ANALIZA AKTIVNIH FILTARA SA JEDNIM OPERACIONIM POJAČAVAČEM

LINEARNA ELEKTRONIKA VEŽBA BROJ 4 ANALIZA AKTIVNIH FILTARA SA JEDNIM OPERACIONIM POJAČAVAČEM ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U BEOGRADU KATEDRA ZA ELEKTRONIKU LINEARNA ELEKTRONIKA LABORATORIJSKE VEŽBE VEŽBA BROJ 4 ANALIZA AKTIVNIH FILTARA SA JEDNIM OPERACIONIM POJAČAVAČEM.. IME I PREZIME BR. INDEKSA

Διαβάστε περισσότερα

1. As (Amper sekunda) upotrebljava se kao mjerna jedinica za. A) jakost električne struje B) influenciju C) elektromotornu silu D) kapacitet E) naboj

1. As (Amper sekunda) upotrebljava se kao mjerna jedinica za. A) jakost električne struje B) influenciju C) elektromotornu silu D) kapacitet E) naboj ELEKTROTEHNIKA TZ Prezime i ime GRUPA Matični br. Napomena: U tablicu upisivati slovo pod kojim smatrate da je točan odgovor. Upisivati isključivo velika štampana slova. Točan odgovor donosi jedan bod.

Διαβάστε περισσότερα

Prediktor-korektor metodi

Prediktor-korektor metodi Prediktor-korektor metodi Prilikom numeričkog rešavanja primenom KP: x = fx,, x 0 = 0, x 0 x b LVM α j = h β j f n = 0, 1, 2,..., N, javlja se kompromis izmed u eksplicitnih metoda, koji su lakši za primenu

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTRODINAMIKA ELEMENTI STRUJNOG KRUGA IZVOR ELEKTRIČNE ENERGIJE

ELEKTRODINAMIKA ELEMENTI STRUJNOG KRUGA IZVOR ELEKTRIČNE ENERGIJE ELEKTRODINAMIKA ELEKTRIČNA STRUJA I PRIPADNE POJAVE ELEMENTI STRUJNOG KRUGA Strujni krug je sastavljen od: izvora u kojemu se neki oblik energije pretvara u električnu energiju, spojnih vodiča i trošila

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi linearnih jednačina

Sistemi linearnih jednačina Sistemi linearnih jednačina Sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih (x 1, x 2,..., x n ) je a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2, a n1 x 1 + a n2 x 2 +

Διαβάστε περισσότερα

POJAČAVAČI VELIKIH SIGNALA (drugi deo)

POJAČAVAČI VELIKIH SIGNALA (drugi deo) OJAČAAČI ELIKIH SIGNALA (drugi deo) Obrtači faze 0. decembar 0. ojačavači velikih signala 0. decembar 0. ojačavači velikih signala Obrtači faze Diferencijalni pojačavač sa nesimetričnim ulazom. Rc Rb Rb

Διαβάστε περισσότερα

='5$9.2 STRUJNI IZVOR

='5$9.2 STRUJNI IZVOR . STJN KGOV MŽ.. Strujni krug... zvori Skup elektrotehničkih elemenata koji su preko električnih vodiča međusobno spojeni naziva se električna mreža ili elektrotehnički sklop. električnoj mreži, kada su

Διαβάστε περισσότερα

Drugi zakon termodinamike

Drugi zakon termodinamike Drugi zakon termodinamike Uvod Drugi zakon termodinamike nije univerzalni prirodni zakon, ne važi za sve sisteme, naročito ne za neobične sisteme (mikrouslovi, svemirski uslovi). Zasnovan je na zajedničkom

Διαβάστε περισσότερα

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. 5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a

Διαβάστε περισσότερα

Elektromagnetizam. Elektromagnetizam. Elektromagnetizam. Elektromagnetizam

Elektromagnetizam. Elektromagnetizam. Elektromagnetizam. Elektromagnetizam (AP301-302) Magnetno polje dva pravolinijska provodnika (AP312-314) Magnetna indukcija (AP329-331) i samoindukcija (AP331-337) Prvi zapisi o magentizmu se nalaze još u starom veku: pronalazak rude gvožđa

Διαβάστε περισσότερα

Pravilo 1. Svaki tip entiteta ER modela postaje relaciona šema sa istim imenom.

Pravilo 1. Svaki tip entiteta ER modela postaje relaciona šema sa istim imenom. 1 Pravilo 1. Svaki tip entiteta ER modela postaje relaciona šema sa istim imenom. Pravilo 2. Svaki atribut entiteta postaje atribut relacione šeme pod istim imenom. Pravilo 3. Primarni ključ entiteta postaje

Διαβάστε περισσότερα

8 Funkcije više promenljivih

8 Funkcije više promenljivih 8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

Čas 11: Optimizacija parametara električnih mreža sa EM komponentama

Čas 11: Optimizacija parametara električnih mreža sa EM komponentama Čas 11: Optimizacija parametara električnih mreža sa EM komponentama Kratak uvod. EM projekti i komponente mogu se uvesti (importovati) u MW Circuit Solver na tri načina: 1. Iz biblioteke gotovih EM komponenti.

Διαβάστε περισσότερα

Elektrodinamika ( ) ELEKTRODINAMIKA Q t l R = ρ R R R R = W = U I t P = U I

Elektrodinamika ( ) ELEKTRODINAMIKA Q t l R = ρ R R R R = W = U I t P = U I Elektrodinamika ELEKTRODINAMIKA Jakost električnog struje I definiramo kao količinu naboja Q koja u vremenu t prođe kroz presjek vodiča: Q I = t Gustoća struje J je omjer jakosti struje I i površine presjeka

Διαβάστε περισσότερα

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

Trofazno trošilo je simetrično ako su impedanse u sve tri faze međusobno potpuno jednake, tj. ako su istog karaktera i imaju isti modul.

Trofazno trošilo je simetrično ako su impedanse u sve tri faze međusobno potpuno jednake, tj. ako su istog karaktera i imaju isti modul. Zadaci uz predavanja iz EK 500 god Zadatak Trofazno trošilo spojeno je u zvijezdu i priključeno na trofaznu simetričnu mrežu napona direktnog redoslijeda faza Pokazivanja sva tri idealna ampermetra priključena

Διαβάστε περισσότερα

Topologija električnih mreža

Topologija električnih mreža Topologija električnih mreža 16. decembar 215 Već je pomenuto da se električna mreža može matematički opisati korištenjem modela (karakteristika) elemenata i modela njihovih veza. Modeli elemenata i načina

Διαβάστε περισσότερα

l = l = 0, 2 m; l = 0,1 m; d = d = 10 cm; S = S = S = S = 5 cm Slika1.

l = l = 0, 2 m; l = 0,1 m; d = d = 10 cm; S = S = S = S = 5 cm Slika1. . U zračnom rasporu d magnetnog kruga prema slici akumulirana je energija od,8 mj. Odrediti: a. Struju I; b. Magnetnu energiju akumuliranu u zračnom rasporu d ; Poznato je: l = l =, m; l =, m; d = d =

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

2. METODE RJEŠAVANJA STRUJNIH KRUGOVA ISTOSMJERNE STRUJE

2. METODE RJEŠAVANJA STRUJNIH KRUGOVA ISTOSMJERNE STRUJE 2. METOE RJEŠVNJ STRUJNH KRUGOV STOSMJERNE STRUJE U svrhu lakšeg snalaženja u analizi složenih strujnih krugova i električnih mreža uvode se nazivi za pojedine dijelove mreže. Onaj dio električne mreže

Διαβάστε περισσότερα

Električna struja Generatori električne struje elektrohemijske akumulatori galvanski elementi dinamomašine termoelemente fotoelemente

Električna struja Generatori električne struje elektrohemijske akumulatori galvanski elementi dinamomašine termoelemente fotoelemente ELEKTRIČNE STRUJE ELEKTRIČNE STRUJE Električna struja predstavlja usmereno kretanje elektrona ili jona u provodniku, koji može biti metal (legura), elektrolit ili jonizovan gas. Takvo usmereno kretanje

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia.

Iskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia. Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu istinitosnu

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... } VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,

Διαβάστε περισσότερα

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C)

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) PRILOG Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) Tab 3. Vrednosti sačinilaca α i β za tipične konstrukcije SN-sabirnica Tab 4. Minimalni

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da

Διαβάστε περισσότερα

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj

Διαβάστε περισσότερα