Δυναμικής των Κατασκευών, Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Βιομηχανίας, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας,

Transcript

1 TP TP TP PT Καθγτής PT Διδακτορικός PT Μεταπτυχιακός 3 o Πανελλήνιο Συνέδριο Αντισεισμικής Μχανικής & Τεχνικής Σεισμολογίας 5 7 Νοεμβρίου, 2008 Άρθρο 2017 Αναγνώρισ Μοντέλων Κατασκευών βάσει Μετρήσεων των Ταλαντώσεων σε Περιβαλλοντικές και Σεισμικές Διεγέρσεις Stuctual Identification based on Ambient and Eathquake Induced Vibations 1 Κώστας ΠΑΠΑΔΗΜΗΤΡΙΟΥTPF FPT, Ευάγγελος 2 ΝΤΟΤΣΙΟΣTPF FPT, Ιωάννς 3 ΝΙΚΟΛΑΟΥTPF FPT ΠΕΡΙΛΗΨΗ: TΗ εργασία αποσκοπεί στν παρουσίασ των μεθόδων αναγνώρισς ιδιομορφικών μοντέλων και μεθόδων αναθεώρσς μοντέλων πεπερασμένων στοιχείων κατασκευών με βάσ τις μετρήσεις των ταλαντώσεων που προέρχονται από περιβαλλοντικές (άνεμος, κυκλοφορία οχμάτων, θόρυβος) και σεισμικές διεγέρσεις. Παρουσιάζεται επίσς, μια σύντομ περιγραφή των διαθέσιμων λογισμικών με εύχρστο γραφικό περιβάλλον τα οποία έχουν αναπτυχθεί από το Εργαστήριο Δυναμικής Συστμάτων του Πανεπιστμίου Θεσσαλίας για τν υποβοήθσ του χρήστ στν διεξαγωγή τς διαδικασίας αναγνώρισς ιδιομορφικών μοντέλων και αναθεώρσς μοντέλων πεπερασμένων στοιχείων. Οι δυνατόττες των μεθόδων επιδεικνύονται με επιλεγμένες εφαρμογές σε προσομοιωμένα δεδομένα γεφυρών υποβαλλόμενα σε περιβαλλοντικές διεγέρσεις, καθώς και σε πραγματικά δεδομένα τς γέφυρας του Πολύμυλου υποβαλλόμεν σε φορτία οδικής κυκλοφορίας και σε χαμλής έντασς σεισμικές διεγέρσεις. ABSTRACT: The objective of this wok is to pesent methods fo modal identification and finite element model updating of stuctues based on vibation measuements induced by ambient (wind, taffic, noise) and eathquake excitations. A bief pesentation of the available gaphical use inteface softwae that has been developed by the System Dynamics Laboatoy at Univesity of Thessaly, is also outlined fo computing the modal popeties, as well as fo finite element model updating using the identified modal popeties. The capabilities of these methodologies ae demonstated with selected applications using simulated ambient vibation data fom a stuctue, and measued vibation data fom the Polymylos bidge, induced by taffic loading and by a low level eathquake event. 1 Δυναμικής των Κατασκευών, Τμήμα Μχανολόγων Μχανικών Βιομχανίας, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας, HTUcostasp@uth.gUTH 2 Φοιττής, Τμήμα Μχανολόγων Μχανικών Βιομχανίας, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας, HTentotsio@uth.g U UTH 3 Φοιττής, Τμήμα Μχανολόγων Μχανικών Βιομχανίας, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας, HTUionikola@uth.gUTH

2 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο προσδιορισμός των δυναμικών χαρακτριστικών κατασκευών βάσει μετρήσεων τς δυναμικής τους απόκρισς έχει προσελκύσει τα τελευταία χρόνια αυξανόμενο ερευντικό ενδιαφέρον διεθνώς. Η ταλαντωτική συμπεριφορά σύνθετων κατασκευών που προκαλούνται από τεχντές διεγέρσεις καθώς και από περιβαλλοντικά λειτουργικά φορτία αλλά και σεισμικά φορτία μετρείται με δίκτυο αισθτήρων τοποθετμένων σε συγκεκριμένα σμεία τς κατασκευής και δίνει τ δυνατόττα να μελετθεί ποσοτικά και ποιοτικά δυναμική συμπεριφορά τς. Η καταγραφή τς ταλαντωτικής συμπεριφοράς σύνθετων κατασκευών έχει αποκτήσει τεράστιο ενδιαφέρον λόγω τς σχετικής ευκολίας στν ενοργάνωσ αλλά κυρίως λόγω τς ανάπτυξς ισχυρότατων τεχνικών αναγνώρισς των ιδιομορφικών χαρακτριστικών τς κατασκευής καθώς και αναθεώρσς του αντίστοιχου μοντέλου (πεπερασμένων στοιχείων) τς κατασκευής που χρσιμοποιείται για προσομοιώσεις τς συμπεριφοράς τς. Οι πλροφορίες που προκύπτουν από τα αναγνωρισμένα ιδιομορφικά μοντέλα αλλά και από τα αναθεωρμένα μοντέλα πεπερασμένων στοιχείων είναι ιδιαίτερα χρήσιμες για τν αποδοχή των παραδοχών που χρσιμοποιούνται κατά τν κατασκευή ενός μοντέλου πεπερασμένων στοιχείων ή για βελτίωσ των τεχνικών μοντελοποίσς, ανάλυσς και σχεδιασμού κατασκευών. Επιπροσθέτως, οι πλροφορίες αυτές είναι σμαντικές και για τον έλεγχο τς δομικής ακεραιόττας τς κατασκευής. Ο υπολογισμός των ιδιομορφικών χαρακτριστικών απαιτεί εφαρμογή μεθόδων αναγνώρισς συστμάτων οι οποίες επεξεργάζονται δεδομένα εισόδου-εξόδου, όπως στν περίπτωσ που απόκρισ προκαλείται από γνωστές (μετρούμενες) δυνάμεις ή από γνωστές επιταχύνσεις στις στρίξεις τς κατασκευής όπως είναι οι επιταχύνσεις που μετρούνται στ βάσ μιας κατασκευής κατά τ διάρκεια ενός σεισμού, αλλά και μόνο εξόδου για τν περίπτωσ που απόκρισ προκαλείται από άγνωστα λειτουργικά φορτία. Οι αλγόριθμοι ιδιομορφικής αναγνώρισς παρέχουν εκτιμήσεις για τις ιδιοσυχνόττες, τους συντελεστές απόσβεσς, τις ιδιομορφές και τους ιδιομορφικούς συντελεστές συνεισφοράς στους μετρούμενους βαθμούς ελευθερίας τς κατασκευής χρσιμοποιώντας ιδιομορφικά μοντέλα κλασικής ή μ κλασικής απόσβεσς. Για τις περιπτώσεις που είναι γνωστές οι διεγέρσεις στν κατασκευή όπως είναι όταν οι ταλαντώσεις προκαλούνται από μετρούμενες σεισμικές διεγέρσεις στ βάσ τς κατασκευής έχουν αναπτυχθεί μέθοδοι ιδιομορφικής αναγνώρισς που εργάζονται τόσο στο πεδίο χρόνου (Beck 1978; Beck and Jennings 1980) αλλά και στο πεδίο συχνοτήτων (McVey 1980), οι οποίες βασίζονται στν ελαχιστοποίσ ενός μέτρου τς διαφοράς των χρονοιστοριών ή του μετασχματισμού Fouie, μεταξύ των επιταχύνσεων που μετρούνται στν κατασκευή και των αντίστοιχων επιταχύνσεων που προβλέπονται από το ιδιομορφικό μοντέλο κλασικής απόσβεσς τς κατασκευής. Επεκτάσεις των μεθόδων αυτών για τον υπολογισμό του ιδιομορφικού μοντέλου μ κλασικής απόσβεσς έχουν αναπτυχθεί επίσς από τους Chaudhay et al. (2000). Οι μεθοδολογίες αυτές έχουν εφαρμοστεί για τν αναγνώρισ των ιδιομορφικών χαρακτριστικών σε πλήθος εργασιών όπως για παράδειγμα σε γέφυρες (Wene et al. 1987, Chaudhay 2002) ή σε κτήρια (Papageogiou and Lin 1989) όπου επεξεργάζονται καταγραφές από πραγματικά σεισμικά συμβάντα. Για τν αναγνώρισ των ιδιομορφικών χαρακτριστικών στν περίπτωσ των ταλαντώσεων που προκαλούνται από λειτουργικά (μ μετρούμενα) φορτία έχουν αναπτυχθεί αρκετές 2

3 μεθοδολογίες καθώς και αντίστοιχο λογισμικό που εργάζονται στο πεδίο χρόνου αλλά και στο πεδίο συχνοτήτων. Οι μεθοδολογίες αυτές, οι οποίες επεξεργάζονται δεδομένα μόνο εξόδου, υποθέτουν πως είσοδος (διέγερσ) μπορεί να θεωρθεί σαν μια διανυσματική διεργασία λευκού θορύβου (white noise pocess). Πρόσφατες εργασίες που έχουν δμοσιευθεί από τους Peetes and De Roeck (1999, 2001) και τους Basseville et al. (2001) χρσιμοποιούν στο πεδίο χρόνου τ μέθοδο αναγνώρισς stochastic subspace, από τους Beck et al. (1994) εφαρμόζουν στο πεδίο χρόνου για τις συναρτήσεις διασυσχέτισς (coss coelation functions) των χρονο-ιστοριών τ μέθοδο ελάχιστων τετραγώνων, ενώ από τους Veboten (2001), Gaubeghe (2004) και Bincke et al. (2001) εφαρμόζουν στο πεδίο συχνοτήτων τ μέθοδο ελάχιστων τετραγώνων για τις πλήρς συναρτήσεις διαφασματικής πυκνόττας (full coss powe spectal density CPSD) και από τους Peetes and Van de Auweae (2005) για τις μισές συναρτήσεις διαφασματικής πυκνόττας (half CPSD). Ακόμ μεθοδολογίες αναγνώρισς βασισμένες στ θεωρία του Bayes αλλά και στατιστικές μέθοδοι μέγιστς αλθοφάνειας (maximum likelihood) έχουν προταθεί, όπως για παράδειγμα από τους Katafygiotis and Yuen (2001), Guillaume et al. (1999) και Veboten (2002). Για τν αναγνώρισ των ιδιομορφικών χαρακτριστικών κατασκευών ερευντική ομάδα του Εργαστρίου Δυναμικής Συστμάτων του Πανεπιστμίου Θεσσαλίας έχει επίσς αναπτύξει μεθοδολογίες και αντίστοιχο εύχρστο λογισμικό με περιβάλλον γραφικής διεπαφής με το χρήστ. Το λογισμικό εκτελεί διάφορες από τις διαθέσιμες μεθόδους ιδιομορφικής αναγνώρισς και είναι εφαρμόσιμο σε όλους τους τύπους κατασκευών, συμπεριλαμβανομένων των κατασκευών του πολιτικού μχανικού (κτήρια, γέφυρες, offshoe κατασκευές), μχανολογικές κατασκευές, αεροναυπγικές κατασκευές και κατασκευές οχμάτων εδάφους. Λεπτομέρειες για το λογισμικό με οδγίες χρήσς υπάρχουν στ δικτυακή διεύθυνσ HTUhttp:// Σε κατασκευές πολιτικού μχανικού έχει εφαρμοστεί με επιτυχία σε εργαστριακές κατασκευές μικρής κλίμακας αλλά και σε Tκτριακές κατασκευές και γέφυρες πολλαπλών ανοιγμάτων υποβαλλόμενες σε λειτουργικά φορτία ή σε φορτία οδικής κυκλοφορίας καθώς και σε χαμλής έντασς σεισμικές διεγέρσεις T(Ntotsios 2008, Ntotsios et al. 2008). Οι μεθοδολογίες αναθεώρσς μοντέλων πεπερασμένων στοιχείων χρσιμοποιώντας τα ιδιομορφικά χαρακτριστικά εφαρμόζονται συχνά για τν ανάπτυξ μοντέλων υψλής ακρίβειας τα οποία προβλέπουν συμπεριφορά τς κατασκευής σύμφων με τ μετρούμεν συμπεριφορά. Η ανάγκ για αναθεώρσ των μοντέλων πεπερασμένων στοιχείων απορρέει από το γεγονός ότι θα υπάρχουν πάντα παραδοχές και αριθμτικά σφάλματα που σχετίζονται με τ διαδικασία τς σύνθεσς ενός μοντέλου πεπερασμένων στοιχείων καθώς και τν πρόβλεψ τς απόκρισς από το αυτό μοντέλο. Επισκόπσ των μεθοδολογιών αναθεώρσς μοντέλων πεπερασμένων στοιχείων παρουσιάζεται από τους Motteshead and Fiswell (1993). Επιπροσθέτως, οι μεθοδολογίες αναθεώρσς μοντέλων πεπερασμένων στοιχείων είναι ιδιαίτερα σμαντικές για τν διάγνωσ βλαβών όταν εφαρμόζονται αναθεωρώντας διαρκώς το μοντέλο μιας κατασκευής με μετρήσεις από διαφορετικές καταστάσεις τς κατασκευής (Sohn and Law 1997, Fitzen et al. 1998, Teughels and De Roeck 2005, Vanik et al. 2000, Papadimitiou 2004). Τέτοια αναθεωρμένα μοντέλα πεπερασμένων στοιχείων που προκύπτουν χρσιμοποιώντας μετρήσεις από συνεχή καταγραφή τς ταλαντωτικής συμπεριφοράς μιας κατασκευής καθ όλ τ διάρκεια ζωής τς, μπορούν να χρσιμοποιθούν επιπρόσθετα για αναθεώρσ των προβλέψεων τς απόκρισής τς καθώς και για τον υπολογισμό τς δομικής αξιοπιστίας. Για τους σκοπούς 3

4 αυτούς ερευντική ομάδα του Εργαστρίου Δυναμικής Συστμάτων του Πανεπιστμίου Θεσσαλίας έχει αναπτύξει καινοτόμες μεθοδολογίες αναθεώρσς μοντέλων πεπερασμένων στοιχείων και αντίστοιχο εύχρστο λογισμικό με περιβάλλον γραφικής διεπαφής με το χρήστ. Το λογισμικό συνεργάζεται με το εμπορικό πακέτο COMSOL Multiphysics (COMSOL AB) το οποίο παρέχει τν απαραίττ μοντελοποίσ των κατασκευών με πεπερασμένα στοιχεία. Λεπτομέρειες για το λογισμικό με οδγίες χρήσς υπάρχουν στ δικτυακή διεύθυνσ HTUhttp:// Η παρούσα εργασία στοχεύει πρώτα στν παρουσίασ των μεθοδολογιών ιδιομορφικής αναγνώρισς των κατασκευών που έχουν πρόσφατα αναπτυχθεί για τον προσδιορισμό των ιδιομορφικών χαρακτριστικών αναλύοντας τις ταλαντώσεις απόκρισς κατασκευών που διεγείρονται από μετρούμενα σεισμικά φορτία (μετρούμενες σεισμικές επιταχύνσεις βάσς) αλλά και από μ μετρούμενα και τυχαία περιβαλλοντικά ή λειτουργικά φορτία. Στ συνέχεια παρουσιάζονται καινοτόμες μέθοδοι αναθεώρσς μοντέλων πεπερασμένων στοιχείων κατασκευών που έχουν αναπτυχθεί πρόσφατα με βάσ μονοκριτριακούς και πολυκριτριακούς αλγορίθμους αναγνώρισς. Τέλος, παρουσιάζονται τα εύχρστα γραφικά περιβάλλοντα του λογισμικού που έχει αναπτυχθεί από το Εργαστήριο Δυναμικής Συστμάτων του Πανεπιστμίου Θεσσαλίας για τν αναγνώρισ κατασκευών. TΟι δυνατόττες των μεθόδων επιδεικνύονται με επιλεγμένες εφαρμογές σε προσομοιωμένα δεδομένα γεφυρών υποβαλλόμενα σε περιβαλλοντικές λειτουργικές διεγέρσεις, καθώς και σε πραγματικά δεδομένα τς γέφυρας του Πολύμυλου υποβαλλόμεν σε φορτία οδικής κυκλοφορίας και σε χαμλής έντασς σεισμικές διεγέρσεις. Ειδικότερα, αναλύεται διεξοδικά το πρόβλμα αναγνώρισς των πολύ κοντινών ιδιομορφών οι οποίες δμιουργούν προβλήματα στν ακριβή αναγνώρισ των ιδιομορφικών χαρακτριστικών. Επίσς, εφαρμόζονται οι μεθοδολογίες αναθεώρσς μοντέλων πεπερασμένων στοιχείων και επιδεικνύονται οι δυνατόττες και αποτελεσματικόττα των προτεινόμενων μεθοδολογιών. ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΩΝ ΙΔΙΟΜΟΡΦΙΚΗΣ ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗΣ Προσπαθώντας να ταξινομήσει κανείς τις μεθοδολογίες ιδιομορφικής αναγνώρισς κατασκευών, ένας βασικός διαχωρισμός τους αφορά τν ικανόττά τους να αναγνωρίζουν τα ιδιομορφικά χαρακτριστικά χρσιμοποιώντας μετρήσεις τς απόκρισς των κατασκευών όταν υπόκεινται σε διαφορετικού τύπου διεγέρσεις. Έτσι, διαφορετικές μεθοδολογίες εφαρμόζονται όταν απόκρισ προκαλείται από γνωστές (μετρούμενες) δυνάμεις από όταν προκαλούνται από γνωστές επιταχύνσεις στις στρίξεις τς κατασκευής όπως είναι οι επιταχύνσεις που μετρούνται στ βάσ μιας κατασκευής κατά τ διάρκεια ενός σεισμού. Στν περίπτωσ πάλι που οι διεγέρσεις είναι μ μετρούμενες όπως είναι τα λειτουργικά φορτία εφαρμόζονται μεθοδολογίες οι οποίες λαμβάνουν υπόψ μόνο τις μετρούμενες αποκρίσεις τς κατασκευής και χρσιμοποιούν παραδοχές για να προσεγγίσουν τα άγνωστα φορτία με γνωστές θεωρτικές στοχαστικές ανελίξεις. Ακόμ ένας σμαντικός διαχωρισμός των μεθοδολογιών αναγνώρισς ιδιομορφικών χαρακτριστικών είναι ανάλογα με το αν επεξεργάζονται τα μετρούμενα δεδομένα στο πεδίο χρόνου ή στο πεδίο συχνοτήτων. Τέλος, θα πρέπει να αναφερθεί πως οι υπάρχουσες μεθοδολογίες οι οποίες αναγνωρίζουν τα ιδιομορφικά χαρακτριστικά του μοντέλου κλασικής απόσβεσς μιας κατασκευής έχουν γενικευθεί ώστε να αναγνωρίζουν τα ιδιομορφικά χαρακτριστικά και του μοντέλου μ 4

5 κλασικής απόσβεσς τς κατασκευής. Τα μοντέλα μ κλασικής απόσβεσς προκύπτουν όταν απόσβεσ δεν είναι ομοιόμορφα κατανεμμέν στα δομικά στοιχειά μιας κατασκευής γεγονός που έχει να κάνει με το μχανισμό απορρόφσς τς ενέργειας τοπικά στα στοιχεία τς κατασκευής. Για παράδειγμα εμφανίζεται στν περίπτωσ χρήσς των ελαστομερών εφεδράνων στις στρίξεις γεφυρών και στους μχανισμούς που χρσιμοποιούνται στις βάσεις κτριακών κατασκευών για τν απομόνωσ των ταλαντώσεων από σεισμικά φορτία. Οι μεθοδολογίες αναγνώρισς ιδιομορφικών χαρακτριστικών που έχουν αναπτυχθεί από τν ερευντική ομάδα του Εργαστρίου Δυναμικής Συστμάτων του Πανεπιστμίου Θεσσαλίας και έχουν συμπεριλφθεί στο λογισμικό αναγνώρισς ιδιομορφικών χαρακτριστικών κατασκευών αφορούν αλγόριθμους βελτιστοποίσς ελαχίστων τετραγώνων. Ο Πίνακας 1 παρουσιάζει μια συνολική ταξινόμσ των δυνατοτήτων των μεθοδολογιών αυτών. Πίνακας 1. Ταξινόμσ μεθόδων ιδιομορφικής αναγνώρισς. ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ ΜΟΡΦΙΚΉΣ ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Περιπτώσεις Ταλαντώσεων Πεδίο Χρόνου Πεδίο Συχνοτήτων Δυνατόττες Ελεύθερες Χρονο-ιστορίες Απόκρισς Πολλαπλών Εξόδων Συναρτήσεις Συναρτήσεις Διαφασματικών Λειτουργικά Διασυσχέτισς Φορτία Χρονο-ιστοριών Πυκνοτήτων Απόκρισς Πολλαπλών Εξόδων Σεισμικά Φορτία Επιβαλλόμενα Φορτία από Διεγέρτ Χρονο-ιστορίες Διέγερσς και Απόκρισς Φάσματα Χρονοιστοριών Διέγερσς και Απόκρισς Συναρτήσεις Μετάδοσς Πολλαπλών Εισόδων-Εξόδων Πολλαπλών Εισόδων-Εξόδων Στ συνέχεια παρουσιάζονται συνοπτικά οι μεθοδολογίες που έχουν πρόσφατα αναπτυχθεί από το Εργαστήριο Δυναμικής Συστμάτων για τν αναγνώρισ ιδιομορφικών χαρακτριστικών για τις περιπτώσεις ταλαντώσεων σε περιβαλλοντικά και λειτουργικά φορτία και ταλαντώσεων σε σεισμικά φορτία. Η αναγνώρισ γίνεται στο πεδίο συχνοτήτων και για τις δύο περιπτώσεις. Οι αλγόριθμοι που έχουν επίσς αναπτυχθεί για να καλύψουν και τις δύο περιπτώσεις των κλασσικών και μ κλασσικών μτρώων απόσβεσς. Λεπτομέρειες των μεθοδολογιών και των υπολογιστικών αλγορίθμων υπάρχουν στις εργασίες Ntotsios (2008) και Nikolaou (2008). Ταλαντώσεις από περιβαλλοντικά και λειτουργικά φορτία Στις περιπτώσεις κατά τις οποίες είναι δύσκολο να εφαρμοστεί σε μια κατασκευή ένα τεχντό φορτίο οι μετρούμενες ταλαντώσεις τς κατασκευής που προκαλούνται από τα περιβαλλοντικά φορτία (π.χ. φορτία ανέμου) και τα λειτουργικά φορτία (π.χ. κυκλοφορία οχμάτων σε γέφυρες) στν κατασκευή είναι αρκετές για αναγνώρισ του ιδιομορφικού τς μοντέλου. Για το λόγο ότι είναι πρακτικά αδύνατο να μετρθούν αυτές οι περιβαλλοντολογικές και λειτουργικές διεγέρσεις ιδιομορφική αναγνώρισ γίνεται χρσιμοποιώντας σαν πλροφορία μόνο τις μετρούμενες αποκρίσεις τς κατασκευής. Η 5

6 περίπτωσ αυτή εμφανίζεται πολύ συχνά σε κατασκευές πολιτικών μχανικών όπου είναι πολύ δύσκολο και δαπανρό να διεγερθούν τεχντά κατασκευές όπως γέφυρες ή κτήρια με κάποια σφύρα ή διεγέρτ έτσι ώστε να προκλθούν ταλαντώσεις στν κατασκευή οι οποίες να ξεπερνούν ικανοποιτικά σε έντασ τις φυσικές ταλαντώσεις οι οποίες προκαλούνται από φορτία όπως οδική κίνσ ή ο άνεμος. Επίσς, σε μχανολογικές κατασκευές ιδιομορφική αναγνώρισ εφαρμόζεται με επιτυχία για να παραχθεί το δυναμικό μοντέλο μιας κατασκευής όπως ενός αυτοκινήτου σε μία οδική δοκιμή ή ενός αεροσκάφους σε δοκιμή πτήσς. Στις μεθοδολογίες ιδιομορφικής αναγνώρισς που έχουν αναπτυχθεί, οι οποίες επεξεργάζονται δεδομένα μόνο εξόδου, γίνεται παραδοχή πως οι διεγέρσεις μπορούν να θεωρθούν σαν στοχαστικές διαδικασίες λευκού θορύβου (white noise pocess). Ο υπολογισμός τον ιδιομορφικών χαρακτριστικών βάσει των ταλαντώσεων που προκαλούνται από περιβαλλοντικά ή λειτουργικά φορτία επιτυγχάνεται εφαρμόζοντας τ μέθοδο των ελάχιστων τετραγώνων. Συγκεκριμένα, αναγνώρισ επιτυγχάνεται ελαχιστοποιώντας το σταθμισμένο (weighted) μέτρο τς διαφοράς Nω * T ψ = ( ω ˆ S Δ ψ S Δω ) w ( S Δω ψ S ˆ Δω ) E( ) t ( k ; ) ( k ) ( k ; ) ( k ) k= l (1) N0 N0 μεταξύ των συναρτήσεων διαφασματικής πυκνόττας Sˆ( kδω ) C που υπολογίζονται από τις μετρούμενες χρονο-ιστορίες τς απόκρισς και των συναρτήσεων διαφασματικής N0 N0 πυκνόττας S( kδω; ψ) C που προβλέπονται από ένα ιδιομορφικό μοντέλο, όπου N0 είναι ο αριθμός των μετρούμενων βαθμών ελευθερίας (DOF), Δ ω είναι το βήμα στο διακριτό πεδίο συχνοτήτων, k = { l,..., N ω } είναι οι δείκτες που αντιστοιχίζουν τις συχνόττες N0 N0 ω = kδ ω, N ω είναι ο αριθμός των διακριτών σμείων στο πεδίο συχνοτήτων, w R το μτρώο που περιέχει τους συντελεστές βαρύττας και ψ είναι το διάνυσμα των παραμέτρων που πρόκειται να αναγνωριστεί. Στ γενική περίπτωσ, θεωρώντας το ιδιομορφικό μοντέλο μ κλασικής απόσβεσς το μτρώο που περιέχει τις συναρτήσεις διαφασματικής πυκνόττας S( k Δω; ψ ) δίνεται από τ σχέσ (Gaubeghe 2004, Ntotsios 2008) m T * * T T * * T φg φ g gφ gφ 1 S( ω; ψ) = * * + Α+ Β (2) 4 = 1 ( jω) λ ( jω) λ ( jω) λ ( jω) λ ( jω) όπου m είναι ο αριθμός των ιδιομορφών που συνεισφέρουν στν περιοχή συχνοτήτων 2 [ lδω, N ω Δ ω] που εξετάζεται, λ = ζω ± jω 1 ζ είναι οι μιγαδικοί πόλοι (ιδιοτιμές) τς N 0 ιδιομορφής, ω είναι ιδιοσυχνόττα, ζ ο συντελεστής απόσβεσς, φ C είναι N0 N0 τα μιγαδικά ιδιοδιανύσματα τς ιδιομορφής, Α R N0 N0 και Β R είναι πραγματικοί συμμετρικοί πίνακες που εισάγονται για να λφθεί υπόψ συνεισφορά των εκτός τς εξεταζόμενς περιοχής συχνοτήτων ιδιομορφών (χαμλότερων και υψλότερων), και N 0 g C είναι διανυσματικά μεγέθ που εξαρτώνται από το ιδιομορφικό μοντέλο και από τις * συναρτήσεις διαφασματικής πυκνόττας τς διέγερσς λευκού θορύβου, ενώ το σύμβολο u ορίζει το συζυγή του μιγαδικού αριθμού u. Το διάνυσμα ψ των παραμέτρων προς αναγνώρισ περιέχει τον αριθμό m των ιδιομορφών που συνεισφέρουν και τις παραμέτρους ω, ζ, φ, g, = 1,, m, A και B οι οποίες ορίζουν πλήρως τον πίνακα των συναρτήσεων διαφασματικής πυκνόττας τς εξίσωσς X(2)X. 6

7 Ο συνολικός αριθμός των παραμέτρων είναι ιδιομορφικού μοντέλου μ κλασικής απόσβεσς. 2 m(1 2 N ) N για τν περίπτωσ του Η ελαχιστοποίσ τς αντικειμενικής συνάρτσς X(1)X μπορεί να επιτευχθεί αποδοτικότερα, μειώνοντας σμαντικά το υπολογιστικό κόστος, παρατρώντας πως εξίσωσ σφάλματος X(1)X είναι δευτέρου βαθμού ως προς τα μιγαδικά ιδιοδιανύσματα φ και τα στοιχεία που περιέχονται στους πίνακες A και B. Η παρατήρσ αυτή οδγεί στν ανάπτυξ αναλυτικών εκφράσεων που σχετίζουν τις παραμέτρους φ, A και B με τα διανύσματα g, τις ιδιοσυχνόττες ω και τους συντελεστές απόσβεσς ζ, με αποτέλεσμα ο αριθμός των αγνώστων παραμέτρων που συμμετέχουν στο πρόβλμα βελτιστοποίσς X(1)X να μειώνεται 2 από 2 m(1+ 2 N0) + N0 σε 2mN0. Η μείωσ αυτή είναι ιδιαίτερα σμαντική όταν ο αριθμός των μετρούμενων σμείων γίνεται ιδιαίτερα μεγάλος. Εφαρμόζοντας τις συνθήκες βελτιστοποίσς (στάσιμς τιμής) στν εξίσωσ X(1)X ως προς τις συνιστώσες των φ, A και B, προκύπτει ένα σύστμα γραμμικών εξισώσεων για τον προσδιορισμό των φ, A και B ως προς τα g, ω και ζ, = 1,, m. Το μ γραμμικό πρόβλμα βελτιστοποίσς που τελικά προκύπτει ως προς τις υπόλοιπες μεταβλτές g, ω και ζ, = 1,, m, λύνεται στο Matlab χρσιμοποιώντας τους διαθέσιμους αλγορίθμους βελτιστοποίσς βαθμίδας. Οι παράμετροι προς αναγνώρισ ω, ζ, φ, g, = 1,, m, A και B οι οποίες περιέχονται στο διάνυσμα ψ και ορίζουν πλήρως τον πίνακα των συναρτήσεων διαφασματικής πυκνόττας τς εξίσωσς X(2)X μπορούν να υπολογιστούν εναλλακτικά αλλά συνήθως αποτελεσματικότερα εφαρμόζοντας τν παρακάτω προσέγγισ τριών βμάτων. Κατά το πρώτο βήμα, αλγόριθμοι ελάχιστων τετραγώνων παρόμοιοι με αυτούς που έχουν αναπτυχθεί από άλλους ερευντές (π.χ. Veboten 2002) έχουν επεκταθεί (Ntotsios 2008) και προσαρμοστεί στ συγκεκριμέν περίπτωσ των συναρτήσεων διαφασματικής πυκνόττας X(2)X για τον αυτόματο προσδιορισμό των υποψήφιων τιμών των πόλων λ. Με τ βοήθεια διαγραμμάτων ευστάθειας των πόλων (stabilization diagams) διαχωρίζονται οι φυσικοί από τους μαθματικούς πόλους οι οποίοι περιέχουν τις ιδιοσυχνόττες ω και τους συντελεστές απόσβεσς ζ. Οι τιμές που προκύπτουν με τον τρόπο αυτό είναι συνήθως πολύ κοντά στις βέλτιστες τιμές. Κατά το δεύτερο βήμα, και με δεδομένες τις τιμές για τα ω και ζ, N0 N T 0 υπολογίζονται οι τιμές του γινομένου R που εμφανίζεται στν εξίσωσ X(2)X = φg C και παρατρώντας πως αντικειμενική συνάρτσ στν X(1)X είναι δευτέρου βαθμού ως προς τα R, A και B. Το γραμμικό σύστμα που προκύπτει εφαρμόζοντας τις συνθήκες βελτιστοποίσς στν εξίσωσ X(1)X έχει ως λύσ τα στοιχεία των R, A και B. Στ συνέχεια εφαρμόζοντας singula value decomposition για τον πίνακα R υπολογίζονται τα φ και g. Στ γενική περίπτωσ, οι τιμές που προκύπτουν από αυτή τν μεθοδολογία των δύο πρώτων βμάτων είναι πολύ κοντά στις βέλτιστες τιμές και προκύπτουν αποφεύγοντας τν εκτέλεσ αλγορίθμων βελτιστοποίσς που για να συγκλίνουν κυρίως σε προβλήματα πολλών μετρούμενων βαθμών ελευθερίας απαιτούν επαναλήψεις οι οποίες συνοδεύονται από υπολογιστικό κόστος αλλά και αρκετές φορές από προβλήματα σύγκλισς. Στο τρίτο βήμα επιλύεται απευθείας το αρχικό πρόβλμα βελτιστοποίσς ως προς τα g, ω και ζ, = 1,, m, εφαρμόζοντας ως αρχικές τιμές των παραμέτρων για τον αλγόριθμο βελτιστοποίσς τις τιμές που προκύπτουν από τα δύο προγούμενα βήματα προβλέποντας στν επιτάχυνσ τς σύγκλισς του αλγορίθμου με το μικρότερο αριθμό επαναλήψεων και επομένως μικρό υπολογιστικό κόστος. 7

8 Η αναγκαιόττα εφαρμογής του τρίτου βήματος στον αλγόριθμο αναγνώρισς γίνεται επιτακτικότερ κατά τν περίπτωσ που παρουσιάζονται κοντινές και αλλλεπικαλυπτόμενες ιδιομορφές σε συνδυασμό με τις δυσκολίες που εμφανίζονται από τν ανάλυσ του σήματος αλλά και τν αναπόφευκτ ύπαρξ θορύβου που εμφανίζεται από τα μετρτικά όργανα. Σύγκρισ μεταξύ των τιμών που υπολογίζονται εκτελώντας τον αλγόριθμο δύο βμάτων με τις τιμές υπολογίζονται εκτελώντας τον αλγόριθμο τριών βμάτων παρουσιάζεται στν ενόττα των εφαρμογών. Ταλαντώσεις από σεισμικά φορτία Οι μεθοδολογίες που έχουν αναπτυχθεί από τους McVey (1980) για το πεδίο συχνοτήτων και Beck (1978) και Beck και Jennings (1980) στο πεδίο του χρόνου έχουν γενικευθεί και εφαρμοστεί από τν ερευντική ομάδα του Εργαστρίου Δυναμικής Συστμάτων του Πανεπιστμίου Θεσσαλίας για τν περίπτωσ ιδιομορφικών μοντέλων μ κλασικής απόσβεσς. Στ συνέχεια παρουσιάζεται συνοπτικά μεθοδολογία ιδιομορφικής αναγνώρισς στο πεδίο συχνοτήτων για τν περίπτωσ ταλαντώσεων που προκαλούνται από σεισμικά φορτία. Στν περίπτωσ αυτή ιδιομορφική αναγνώρισ βασίζεται στν ελαχιστοποίσ τς διαφοράς N0 μεταξύ του μετασχματισμού Fouie y ( kδω) C του διανύσματος των μετρούμενων N0 επιταχύνσεων και του μετασχματισμού Fouie y ( kδω; ψ) C του διανύσματος των επιταχύνσεων που προβλέπεται από το παραμετροποιμένο ιδιομορφικό μοντέλο τς κατασκευής. Ο μετασχματισμός Fouie του διανύσματος τς επιτάχυνσς για το ιδιομορφικό μοντέλο μ κλασικής απόσβεσς έχει τ μορφή (Nikolaou 2008) y( ω; ψ) = + + P f( ) m T * * T φg φ g * ω (3) = 1 ( jω) λ ( jω) λ όπου το διάνυσμα f ( ω) περιέχει το μετασχματισμό Fouie των εισόδων δλαδή των μετρούμενων χρονο-ιστοριών των επιταχύνσεων στ βάσ τς κατασκευής. Το διάνυσμα των παραμέτρων ψ που πρόκειται να αναγνωριστεί περιέχει τις ιδιοσυχνόττες ω, τους συντελεστές απόσβεσς ζ, τα μιγαδικά ιδιοδιανύσματα φ, τους ιδιομορφικούς συντελεστές συνεισφοράς g, = 1,..., m, και το σταθερό πίνακα P R ο οποίος περιέχει τν ψευδοστατική απόκρισ τς κατασκευής λόγω των πολλαπλών διαφορετικών διεγέρσεων στις βάσεις τς κατασκευής. Ο συνολικός αριθμός των άγνωστων παραμέτρων είναι 2 m(1 + N0 + Nin ) + N 0 Nin για τν περίπτωσ του ιδιομορφικού μοντέλου μ κλασικής απόσβεσς. Η διατύπωσ τς εξίσωσς X(3)X λαμβάνει υπόψ ότι οι ταλαντώσεις στν κατασκευή ξεκινούν από τν ρεμία. Στν περίπτωσ που οι αρχικές συνθήκες είναι μ μδενικές, πρέπει να λφθούν υπόψ και να συμπεριλφθούν στν εξίσωσ X(3)X με πρόσθετους όρους και να αυξθεί το μέγεθος του διανύσματος των αγνώστων παραμέτρων ψ έτσι ώστε να περιέχει και τις παραμέτρους που αντιστοιχούν στις αρχικές συνθήκες των ιδιομορφικών εξισώσεων. Θα πρέπει να σμειωθεί ότι αντίστοιχ μεθοδολογία έχει αναπτυχθεί και στο πεδίο χρόνου οποία βασίζεται στν ελαχιστοποίσ τς διαφοράς μεταξύ του διανύσματος των μετρούμενων χρονο-ιστοριών τς επιτάχυνσς και του διανύσματος των επιταχύνσεων που προβλέπονται από το παραμετροποιμένο ιδιομορφικό 8

9 μοντέλο τς κατασκευής. Περισσότερες λεπτομέρειες παρουσιάζονται στν εργασία Nikolaou (2008). Οι βέλτιστες τιμές των παραμέτρων συνάρτσ ψ υπολογίζονται ελαχιστοποιώντας τν αντικειμενική Nω * T ψ = ( x Δω ψ xˆ Δω ) w( x Δω ψ x ˆ Δω ) E( ) t ( k ; ) ( k ) ( k ; ) ( k ) k= l (4) οποία είναι αντίστοιχ τς σχέσς X(1)X αντικαθιστώντας τους πίνακες για τις συναρτήσεις διαφασματικής πυκνόττας με τα διανύσματα του μετασχματισμού Fouie των επιταχύνσεων. Όμοια με τν περίπτωσ των συναρτήσεων διαφασματικής πυκνόττας που παρουσιάστκε, οι παράμετροι προς αναγνώρισ μπορούν να μειωθούν στους g, ω και ζ, = 1,, m, παρατρώντας πως αντικειμενική συνάρτσ είναι δευτέρου βαθμού ως προς τα μιγαδικά ιδιοδιανύσματα φ και τα στοιχεία του πραγματικού πίνακα P. Εφαρμόζοντας τις συνθήκες βελτιστοποίσς (στάσιμς τιμής) στν εξίσωσ X(4)X ως προς τις συνιστώσες των φ και P προκύπτει ένα γραμμικό σύστμα, λύσ του οποίου θα δώσει τα φ και P, συναρτήσει των g, ω και ζ, = 1,, m. Το μ γραμμικό πρόβλμα που τελικά προκύπτει ως προς τις υπόλοιπες 2 m(3 + N in ) μεταβλτές g, ω και ζ, = 1,, m, λύνεται στο Matlab χρσιμοποιώντας τους διαθέσιμους αλγορίθμους βελτιστοποίσς βαθμίδας. Οι παράγωγοι τς αντικειμενικής συνάρτσς ως προς τις ιδιομορφικές παραμέτρους έχουν υπολογιστεί αναλυτικά και χρσιμοποιούνται για να επιταχύνουν τ σύγκλισ του αλγόριθμου βελτιστοποίσς. Τεχνικές ιδιομορφικών σαρώσεων (modal sweeps) οι οποίες προτάθκαν στν εργασία Wene et al. (1987) για τν περίπτωσ των ιδιομορφικών μοντέλων κλασικής απόσβεσς έχουν υιοθετθεί και συμπεριλφθεί στο λογισμικό για να βελτιώσουν τν αποτελεσματικόττα του προτεινόμενου αλγόριθμου. Να σμειωθεί ότι εναλλακτικά έχει αναπτυχθεί αλγόριθμος τριών βμάτων, παρόμοιος με τον αλγόριθμο που παρουσιάστκε για τν περίπτωσ των ταλαντώσεων από λειτουργικά φορτία, για τν διάκρισ των φυσικών ιδιομορφών και τν υπολογιστικά πιο αποτελεσματική εκτίμσ των ιδιομορφικών χαρακτριστικών. Λεπτομέρειες παρουσιάζονται στν εργασία Nikolaou (2008). ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ ΑΝΑΘΕΩΡΗΣΗΣ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Θεωρείται περίπτωσ στν οποία οι πειραματικές μετρήσεις αποτελούνται από 0 ιδιοσυχνόττες και ιδιομορφές. Συγκεκριμένα, έστω { ˆ, ˆ N D = ω φ R, = 1,, m} οι τιμές των ιδιοσυχνοτήτων ˆ ω τς κατασκευής και ˆ φ οι ιδιομορφικές συνιστώσες στα N 0 σμεία μέτρσς. Στ συνέχεια θεωρούμε μία κατγορία παραμετροποιμένων γραμμικών μοντέλων πεπερασμένων στοιχείων που χρσιμοποιούνται για να προβλέψουν τ δυναμική N απόκρισ τς υπό μελέτ κατασκευής, με θ R θ να είναι ομάδα των ελεύθερων παραμέτρων που θα αναγνωριστούν με βάσ τα μετρούμενα δεδομένα. Επίσς, έστω { ω ( ), ( ) N d θ φ θ R, = 1,, m } είναι τιμές των ιδιοσυχνοτήτων και των ιδιομορφών αντίστοιχα που προβλέπονται από τν επιλεγμέν κατγορία μοντέλων πεπερασμένων στοιχείων τς κατασκευής για συγκεκριμέν τιμή των παραμέτρων θ, όπου είναι οι N d 9

10 συνολικοί βαθμοί ελευθερίας του μοντέλου των πεπερασμένων στοιχείων. Συγκεκριμένα, οι ιδιοσυχνόττες και ιδιομορφές ικανοποιούν το ιδιοπρόβλμα: όπου K ( θ ) και M ( θ ) ( K( ) ω 2 M ( )) θ θ φ = 0 για = 1, 2,..., m (5) είναι τα μτρώα ακαμψίας και μάζας του μοντέλου τς κατασκευής, τα οποία γενικά εξαρτώνται από τις παραμέτρους θ. Το πρόβλμα τς αναθεώρσς του μοντέλου των πεπερασμένων στοιχείων ανάγεται στον υπολογισμό των τιμών των παραμέτρων θ έτσι ώστε να ελαχιστοποιείται διαφορά μεταξύ των προβλεπόμενων ιδιομορφικών χαρακτριστικών που προκύπτουν από το μοντέλο πεπερασμένων στοιχείων και των ιδιομορφικών χαρακτριστικών που αναγνωρίζονται από τα πειραματικά δεδομένα (Papadimitiou, et al. 1997; Chistodoulou 2007, Chistodoulou and Papadimitiou 2007). Για το σκοπό αυτό έστω ω ˆ ω ε = ε( ω, ω ) = και ε = ( φ, φ ) = ω 2 2 ˆ ˆ 2 φ el ˆ ω β Lφ ˆ φ ˆ φ (6) = 1,, m, να είναι το μέτρο τς διαφοράς ή το υπόλοιπο μεταξύ των μετρούμενων ιδιομορφικών δεδομένων και των προβλεπόμενων από το μοντέλο ιδιομορφικών δεδομένων 2 T για τν ιδιοσυχνόττα και τις αντίστοιχες ιδιομορφικές συνιστώσες, όπου z = z z είναι το σύνθες Ευκλείδειο μέτρο και ˆ T T β = φ φ( θ)/ φ ( θ) φ( θ ) είναι ένας συντελεστής κανονικοποίσς που εξασφαλίζει ότι οι μετρούμενες συνιστώσες των ιδιομορφών στους μετρούμενους βαθμούς ελευθερίας είναι κοντά στις προβλεπόμενες από το μοντέλο βφ ( θ ) N0 Nd συνιστώσες για μία συγκεκριμέν τιμή των θ. Ο πίνακας L R αντιπροσωπεύει ένα μτρώο παρατήρσς που αποτελείται από μδενικά και μοναδιαία στοιχεία, και αντιστοιχεί τους N d βαθμούς ελευθερίας του μοντέλου στους N 0 μετρούμενους βαθμούς ελευθερίας του μοντέλου. Για τ διατύπωσ του προβλήματος τς αναθεώρσς μοντέλων πεπερασμένων στοιχείων τα μετρούμενα ιδιομορφικά χαρακτριστικά ομαδοποιούνται σε n ομάδες. Κάθε ομάδα αποτελείται από ένα ή και περισσότερα ιδιομορφικά χαρακτριστικά. Για τν i ομάδα ορίζεται μία συνάρτσ Ji ( θ ) οποία μετρά το υπόλοιπο τς διαφοράς (σφάλμα) μεταξύ των μετρούμενων ιδιομορφικών χαρακτριστικών που περιέχονται στν ομάδα και των αντίστοιχων ιδιομορφικών χαρακτριστικών που προβλέπονται από τν επιλεγμέν κατγορία μοντέλων για συγκεκριμένες τιμές των παραμέτρων θ. Η ομαδοποίσ των ιδιομορφικών χαρακτριστικών μπορεί να γίνει με πολλούς τρόπους. Ο αριθμός και το είδος των ιδιομορφικών χαρακτριστικών που συμπεριλαμβάνονται σε κάθε ομάδα i, καθώς και ο ορισμός του ιδιομορφικού υπολοίπου Ji ( θ ), εξαρτώνται από τα ιδιομορφικά χαρακτριστικά (είδος τς ιδιομορφής, ιδιοσυχνόττες και/ή ιδιομορφές), το εκτιμώμενο μέγεθος τς αβεβαιόττα τους και τ σμαντικόττα τς κάθε ιδιομορφικής ιδιόττας στν αναγνώρισ του μοντέλου. Τα ιδιομορφικά χαρακτριστικά κάθε ομάδας επιλέγονται από το χρήστ ανάλογα με το είδος και το σκοπό τς ανάλυσς. 10

11 Ανάμεσα σε όλους τους δυνατούς τρόπους ομαδοποίσς για λόγους επίδειξς εισάγεται ο παρακάτω τρόπος ομαδοποίσς. Έστω δύο ομάδες ιδιομορφικών χαρακτριστικών με τν πρώτ ομάδα να περιέχει όλες τις μετρούμενες ιδιοσυχνόττες και τν δεύτερ ομάδα να περιέχει όλες τις μετρούμενες ιδιομορφές. Τα ιδιομορφικά υπόλοιπα σε αυτή τν περίπτωσ παίρνουν τ μορφή: m m 2 1 = ˆ ˆ ε ω ω J2 = e 2 L = 1 = 1 J ( θ ) (, ) και ( θ) ( φ, φ ) (7) 1 θ επιλέγεται έτσι ώστε να αντιπροσωπεύει τ διαφορά ανάμεσα στις μετρούμενες και στις προβλεπόμενες από το μοντέλο ιδιοσυχνόττες, ενώ το ιδιομορφικό υπόλοιπο J2 ( θ ) επιλέγεται έτσι ώστε να αντιπροσωπεύει τ διαφορά ανάμεσα στις μετρούμενες και στις προβλεπόμενες από το μοντέλο συνιστώσες των ιδιομορφών. Αυτός ο τρόπος ομαδοποίσς επιτρέπει τν εκτίμσ όλων των βέλτιστων μοντέλων στν περίπτωσ που τα αλλλοσυγκρουόμενα κριτήρια είναι το ιδιομορφικό υπόλοιπο όλων των ιδιοσυχνοτήτων και το ιδιομορφικό υπόλοιπο όλων των ιδιομορφών. όπου το ιδιομορφικό υπόλοιπο J ( ) Πολικριτριακή μέθοδος αναθεώρσς μοντέλων πεπερασμένων στοιχείων Το πρόβλμα αναγνώρισς των τιμών των παραμέτρων του μοντέλου που ελαχιστοποιούν τα ιδιομορφικά υπόλοιπα που αναφέρθκαν παραπάνω, μπορεί να διατυπωθεί ως ένα πρόβλμα πολυκριτριακής βελτιστοποίσς (Haalampidis et al. 2005) ως εξής. Να βρεθούν οι τιμές των δομικών παραμέτρων θ που ελαχιστοποιούν ταυτόχρονα όλες τις αντικειμενικές συναρτήσεις ( ) z = J ( θ) = ( J1( θ), J2( θ),, Jn ( θ) ) (8) όπου θ = θ, 1, θ Θ είναι το διάνυσμα των παραμέτρων, Θ είναι το πεδίο μέσα Nθ στον οποίο κυμαίνονται οι τιμές των παραμέτρων, z = ( z1,, z n ) Z είναι το διάνυσμα των τιμών των αντικειμενικών συναρτήσεων και Z είναι το πεδίο μέσα στον οποίο κυμαίνονται οι τιμές των αντικειμενικών συναρτήσεων. Για ανταγωνιστικές αντικειμενικές συναρτήσεις J1 ( θ ),, Jn ( θ ), δεν υπάρχει μοναδική λύσ αλλά μία ομάδα εναλλακτικών λύσεων, γνωστές ως Paeto λύσεις, οι οποίες είναι όλες βέλτιστες, από τν άποψ ότι δεν υπάρχουν άλλες λύσεις στο πεδίο των παραμέτρων που να είναι καλύτερες από αυτές όταν λαμβάνονται υπόψ όλες οι αντικειμενικές συναρτήσεις. Μέθοδος σταθμισμένων ιδιομορφικών υπολοίπων Το πρόβλμα αναγνώρισς των τιμών των παραμέτρων βάσει δυναμικών μετρήσεων παραδοσιακά διατυπώνεται σαν ένα πρόβλμα σταθμισμένων υπολοίπων, στο οποίο οι επιμέρους αντικειμενικές συναρτήσεις που μετρούν το πόσο κοντά είναι τα μετρούμενα στα προβλεπόμενα από το μοντέλο ιδιομορφικά δεδομένα σταθμίζονται με συντελεστές βαρύττας, και στ συνέχεια αθροίζονται και δμιουργούν μία και μοναδική αντικειμενική συνάρτσ. Έτσι, το πρόβλμα διατυπώνεται ως ένα πρόβλμα ελαχιστοποίσς των σταθμισμένων ιδιομορφικών υπολοίπων 11

12 n J( θ ; w ) = wj ( θ ) (9) i= 1 i i όπου w 0, i = 1,, n, είναι οι συντελεστές βαρύττας κάθε ιδιομορφικού υπολοίπου οι i οποίες ικανοποιούν τ σχέσ n i= 1 w = 1. Τα αποτελέσματα τς αναθεώρσς εξαρτώνται από i τους συντελεστές βαρύττας που θα χρσιμοποιθούν. Οι συντελεστές βαρύττας εξαρτώνται από τν επάρκεια με τν οποία το μοντέλο περιγράφει τ συμπεριφορά τς κατασκευής (σφάλματα μοντελοποίσς), από τν ακρίβεια με τν οποία έχουν λφθεί οι μετρήσεις (σφάλματα μετρήσεων) και από τν ακρίβεια με τν οποία έχουν υπολογιστεί τα ιδιομορφικά χαρακτριστικά (σφάλματα επεξεργασίας). Συνήθως, τιμή του συντελεστή βαρύττας μιας ομάδας ιδιομορφικών χαρακτριστικών επιλέγεται αντιστρόφως ανάλογ του σφάλματος μοντέλου και μετρήσεων-επεξεργασίας με το οποίο προσδιορίζονται τα ιδιομορφικά χαρακτριστικά στν ομάδα αυτή. Ωστόσο, επιλογή των τιμών των συντελεστών βαρύττας γίνεται αυθαίρετα, καθώς τα σφάλματα στα μετρτικά δεδομένα και τα σφάλματα μοντελοποίσς δεν είναι γνωστά εκ των προτέρων. Σε πρακτικές εφαρμογές, οι συντελεστές βαρύττας επιλέγονται αυθαίρετα από τον χρήστ. Συνήθως οι τιμές των συντελεστών βαρύττας θεωρούνται μονάδες. Η μέθοδος αυτή αναφέρεται στν παρούσα εργασία ως μέθοδος ίσς στάθμισς των ιδιομορφικών υπολοίπων. Έχει αναπτυχθεί επίσς μεθοδολογία βέλτιστς στάθμισς των ιδιομορφικών υπολοίπων για τν επιλογή των βέλτιστων τιμών των συντελεστών βαρύττας με βάσ τα μετρτικά δεδομένα (Chistodoulou and Papadimitiou 2007, Chistodoulou 2007). Να σμειωθεί ότι μπορεί να αποδειχθεί ότι βέλτιστ λύσ τς μεθόδου σταθμισμένων υπολοίπων X(9)X είναι μια από τις Paeto βέλτιστες λύσεις. Επομένως, λύνοντας μια σειρά προβλμάτων μονοκριτριακής βελτιστοποίσς του τύπου τς X(9)X και διαφοροποιώντας τις τιμές των συντελεστών βαρύττας w i από 0 ως 1, μπορούν να υπολογιστούν με εναλλακτικό τρόπο οι Paeto βέλτιστες λύσεις. Η διαδικασία αυτή είναι στις περισσότερες περιπτώσεις ανεπαρκής και πρέπει να αποφεύγεται διότι δίνει λύσεις σε ορισμένες περιοχές του μετώπου Paeto, αδυνατώντας να υπολογίσει με αξιοπιστία ολόκλρο το μέτωπο Paeto. Πρέπει επίσς να ξεκαθαριστεί ότι γενικώς δεν αντιστοιχούν όλες οι Paeto βέλτιστες λύσεις σε κάποια τιμή των συντελεστών βαρύττας w i, οπότε μέθοδος στάθμισς των υπολοίπων δεν είναι δυνατό σε μερικές περιπτώσεις να περιγράψει πλήρως το σύνολο των Paeto λύσεων (Chistodoulou and Papadimitiou 2007). Διατυπώνοντας το πρόβλμα αναγνώρισς των παραμέτρων σαν ένα πρόβλμα πολυκριτριακής ελαχιστοποίσς, δεν υπάρχει πλέον ανάγκ επιλογής των τιμών των συντελεστών βαρύττας για τ στάθμισ των υπολοίπων J i( θ) κάθε ομάδας ιδιομορφικών χαρακτριστικών, όπως συμβαίνει στν περίπτωσ τς μεθόδου σταθμισμένων ιδιομορφικών υπολοίπων. Ένα πλεονέκτμα τς πολυκριτριακής αναγνώρισς είναι ότι υπολογίζονται όλες οι αποδεκτές λύσεις στο πεδίο των παραμέτρων. Ωστόσο, αυτή διαδικασία είναι χρονοβόρα, απαιτεί τν ύπαρξ και χρήσ αλγορίθμων πολυκριτριακής βελτιστοποίσς και πρέπει ο αριθμός των αντικειμενικών συναρτήσεων να παραμένει μικρός, ώστε να περιορίζεται ο αριθμός των λύσεων που απαιτείται για τν πλήρ περιγραφή του πολυδιάστατου μετώπου Paeto. 12

13 Υπολογιστικά θέματα Η ελαχιστοποίσ τς αντικειμενικής συνάρτσς J ( θ ; w) τς εξίσωσς X(9)X ως προς τις παραμέτρους θ επιτυγχάνεται αριθμτικά εφαρμόζοντας κατάλλλους αλγόριθμους βελτιστοποίσς βαθμίδας που ελαχιστοποιούν μ γραμμικές συναρτήσεις πολλών μεταβλτών. Για τν περίπτωσ που εμφανίζονται πολλαπλά τοπικά/ολικά ακρότατα, εφαρμόζεται ένας υβριδικός αλγόριθμος βελτιστοποίσς (Chistodoulou και Papadimitiou 2007) ο οποίος συνδυάζει τα πλεονεκτήματα τς τυχαίας εύρεσς ακροτάτων με εξελικτικούς αλγόριθμους (Beye 2001) και τους αλγόριθμους βελτιστοποίσς βαθμίδας. Ειδικότερα, αρχικά χρσιμοποιείται ένας εξελικτικός αλγόριθμος που διερευνά τον χώρο των παραμέτρων και ψάχνει να βρει τ γειτονία του καθολικού ελαχίστου. Στ συνέχεια χρσιμοποιείται ένας αλγόριθμος που κάνει χρήσ τς πλροφορίας τς παραγώγου για να επιταχυνθεί σύγκλισ στο καθολικό ελάχιστο. Στν περίπτωσ που εφαρμόζονται αλγόριθμοι βελτιστοποίσς βαθμίδας είναι σμαντικό να αναφερθεί πως για να εξασφαλιστεί σύγκλισ του αλγόριθμου ιδιαίτερα για προβλήματα βελτιστοποίσς τα οποία αφορούν μοντέλα πεπερασμένων στοιχείων πολλών βαθμών ελευθερίας με πολλές ιδιομορφές να συνεισφέρουν, παράγωγος τς αντικειμενικής συνάρτσς ως προς τις παραμέτρους θ θα πρέπει υπολογίζεται με ακρίβεια. Έχει παρατρθεί πως αριθμτικοί μέθοδοι υπολογισμού των παραγώγων όπως μέθοδος πεπερασμένων διαφορών δεν εξασφαλίζουν τ σύγκλισ του αλγορίθμου βελτιστοποίσς εξαιτίας των αριθμτικών σφαλμάτων που εμφανίζονται κατά τν εφαρμογή τους με αποτέλεσμα να παρέχεται εσφαλμέν διεύθυνσ στο χώρο των παραμέτρων και να αποτυγχάνει σύγκλισ στ βέλτιστ τιμή. Για το λόγο αυτό εισάγονται στον αλγόριθμο βελτιστοποίσς αναλυτικές εκφράσεις των παραγώγων τς αντικειμενικής συνάρτσς J ( θ ; w), οι οποίες υπολογίζονται ως προς τις ιδιοσυχνόττες, τα ιδιοδιανύσματα και τις παραγώγους των πινάκων μάζας και ακαμψίας χρσιμοποιώντας τ μέθοδο του Nelson (Nelson 1976). Με παρόμοια ανάλυσ, επεκτείνοντας τ μεθοδολογία του Nelson για τον υπολογισμό των πρώτων παραγώγων, οι δεύτερες παράγωγοι έχουν υπολογιστεί αναλυτικά (Ntotsios and Papadimitiou 2008) και έχουν εισαχθεί στον αλγόριθμο βελτιστοποίσς, επιταχύνοντας σμαντικά τ σύγκλισή του στα ακρότατα, παρόλο που οι υπολογισμοί για τν αναλυτική προσέγγισ των δευτέρων παραγώγων στον αλγόριθμο βελτιστοποίσς αυξάνει σμαντικά το υπολογιστικό κόστος. Ο υπολογισμός των Paeto λύσεων από τν ελαχιστοποίσ τς X(8)X επιτυγχάνεται με τ χρήσ δύο υπολογιστικών μεθόδων πολυκριτριακής βελτιστοποίσς. Η πρώτ μέθοδος χρσιμοποιεί τον αλγόριθμο SPEA (Stength Paeto Evolutionay Algoithm) ο οποίος βασίζεται στ χρήσ εξελικτικών αλγορίθμων (Zitzle and Thiele 1999, Haalampidis et al. 2005). Η δεύτερ μέθοδος χρσιμοποιεί τον αλγόριθμο Nomal Bounday Intesection Method (Das and Dennis 1998). Για τν περίπτωσ δύο ή και τριών ομάδων ιδιομορφικών υπολοίπων, μέθοδος NBI είναι υπολογιστικά πιο γρήγορ και ακριβής. Η μέθοδος NBI απαιτεί τν αναλυτική περιγραφή των παραγώγων των ιδιομορφικών χαρακτριστικών και των παραγώγων των πινάκων μάζας και ακαμψίας ως προς τις παραμέτρους του προβλήματος οποία επιτυγχάνεται χρσιμοποιώντας τ μέθοδο του Nelson (Nelson 1976) και είναι πιο γρήγορ από τ μέθοδο SPEA οποία δεν απαιτεί πλροφορία από τις παραγώγους αυτές αλλά αποφεύγει τν πρόωρ σύγκλισ σε τοπικά ακρότατα. 13

14 ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ ΙΔΙΟΜΟΡΦΙΚΗΣ ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Στν ενόττα αυτή περιέχεται μια πλήρς περιγραφή του γραφικού περιβάλλοντος του λογισμικού αναγνώρισς των ιδιομορφικών χαρακτριστικών κατασκευών, το οποίο αναπτύχθκε από τν ερευντική ομάδα του Εργαστρίου Δυναμικής Συστμάτων του Πανεπιστμίου Θεσσαλίας. Το λογισμικό αναγνώρισς ιδιομορφικών χαρακτριστικών κατασκευών αναπτύχθκε σε περιβάλλον Matlab και περιλαμβάνει γραφικό περιβάλλον αλλλεπίδρασς με το χρήστ ώστε να είναι απλό και κατανοτό στ χρήσ ακόμα και από μ εξειδικευμένα άτομα. Λεπτομέρειες για το λογισμικό με οδγίες χρήσς υπάρχουν στ δικτυακή διεύθυνσ HTUhttp:// Επιτρέπει τν πλήρ διερεύνσ και ανάλυσ των σμάτων που προέρχονται από μετρήσεις τς απόκρισς σε σμεία πάνω στν κατασκευή όταν αυτή διεγείρεται είτε από λειτουργικά φορτία (ambient vibations), είτε από σεισμικά φορτία (foced vibations), αλλά και από ελεγχόμενες Tδιεγέρσεις που εφαρμόζονται σε κατασκευές μικρής ή πλήρους κλίμακας κυρίως για εργαστριακά πειράματα. Το Tλογισμικό περιλαμβάνει ένα γραφικό περιβάλλον αναπαράστασς των μετρούμενων σμάτων που προέρχεται από τν κατασκευή, και γραφικά περιβάλλοντα ανάλυσς και επεξεργασίας των μετρούμενων σμάτων χρσιμοποιώντας μια ποικιλία μεθόδων αναγνώρισς για να υπολογίσει τα ζτούμενα ιδιομορφικά χαρακτριστικά τς κατασκευής. Μέσω του γραφικού περιβάλλοντος, ο χρήστς απλά επιλέγει τα μετρούμενα σήματα (επιταχύνσεις) που προέρχονται από ένα δίκτυο αισθτήρων πάνω στν κατασκευή (Σχήμα 1), τα μεταφέρει αν απαιτείται στο πεδίο συχνοτήτων (ανάλυσ Fouie, ανάλυσ διαφασματικής πυκνόττας), ανάλογα με το είδος τς φόρτισς, και ορίζει το χρονικό διάστμα ή το εύρος συχνοτήτων στο οποίο θα γίνει αναγνώρισ (Σχήμα 2). Σχήμα 1. Μετρούμενα σήματα (επιταχύνσεις) από κατασκευή που διεγείρεται (α) από περιβαλλοντικά και λειτουργικά φορτία, (β) από σεισμική διέγερσ στ βάσ τς. Το γραφικό περιβάλλον του λογισμικού περιέχει ένα σύνολο από καταλόγους (menus) στο πάνω μέρος του γραφικού περιβάλλοντος τα οποία ανοίγουν εμφανίζοντας πολλές από τις λειτουργίες του λογισμικού. Ακόμ περιέχει στοιχεία εισόδου (πλήκτρα και ρυθμίσεις) τα οποία αφορούν τ γραφική απεικόνισ και τον ορισμό του προβλήματος και τν εκτέλεσ τς αναγνώρισς καθώς και χώρο για τις γραφικές απεικονίσεις του σήματος και τς κατασκευής όπως αυτή επιλέγεται από τον χρήστ. 14

15 Σχήμα 2. Συναρτήσεις διαφασματικής πυκνόττας των μετρούμενων σμάτων στο πεδίο συχνοτήτων. Ο χρήστς έχει τ δυνατόττα να επιλέξει τον αριθμό των ιδιομορφικών χαρακτριστικών που ζτά να υπολογίσει και εκτιμά τις τιμές που μπορεί να έχουν είτε εποπτικά, είτε βοθούμενος από τα διαγράμματα σταθεροποίσς (stabilization diagams) πού είναι δυνατό να υπολογιστούν. Τέλος, ο χρήστς αφού επιλέξει τ μεθοδολογία που θα χρσιμοποιθεί κατά τν αναγνώρισ, με το πάτμα ενός κουμπιού ξεκινά τον αλγόριθμο που επεξεργάζεται το σήμα για να υπολογίσει τις ιδιοσυχνόττες, τους συντελεστές απόσβεσς, τις ιδιομορφές και τους ιδιομορφικούς συντελεστές συνεισφοράς για τν κατασκευή (Σχήμα 3). Σχήμα 3. Εργαλεία του λογισμικού ιδιομορφικής αναγνώρισς κατασκευών: (α) το παράθυρο διαλόγου επιλογής αλγόριθμου ιδιομορφικής αναγνώρισς τριών βμάτων, (β) διάγραμμα σταθεροποίσς (stabilization diagam). Αμέσως μετά τν ολοκλήρωσ τς εκτέλεσς τς διαδικασίας αναγνώρισς και τον υπολογισμό του ιδιομορφικού μοντέλου, απόκρισ του οποίου προσεγγίζει τν μετρούμεν απόκρισ, τα αποτελέσματα τς αναγνώρισς παρουσιάζονται στο παράθυρο τς 15

16 εφαρμογής αλλά και στν έξοδο του προγράμματος σε συνοπτικό αρχείο κειμένου. Ο χρήστς έχει τ δυνατόττα να εμφανίσει στο γραφικό περιβάλλον του λογισμικού τα αποτελέσματα τς αναγνώρισς επιλέγοντας τν κάθε εφαρμογή που έχει τρέξει. Συγκεκριμένα, έχει τ δυνατόττα να εμφανίσει τν προσέγγισ τς απόκρισς του ιδιομορφικού μοντέλου (modal identification fits) και να τ συγκρίνει με τν μετρούμεν (Σχήμα 4α), αλλά και να απεικονίσει γραφικά τις ιδιομορφικές συνιστώσες στα σμεία μέτρσς πάνω σε γραμμικό γεωμετρικό μοντέλο τς κατασκευής (Σχήμα 4β). Σχήμα 4. Αποτελέσματα ιδιομορφικής αναγνώρισς: (α) σύγκρισ μετρούμενων συναρτήσεων διαφασματικής πυκνόττας και των αντίστοιχων συναρτήσεων που προβλέπονται από το αναγνωρισμένο ιδιομορφικό μοντέλο, (β) απεικόνισ των ιδιομορφικών συνιστωσών στα σμεία μέτρσς. ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ ΑΝΑΘΕΩΡΗΣΗΣ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Στν ενόττα αυτή περιέχεται μια πλήρς περιγραφή του γραφικού περιβάλλοντος του λογισμικού αναθεώρσς μοντέλων πεπερασμένων στοιχείων κατασκευών, το οποίο αναπτύχθκε από τν ερευντική ομάδα του Εργαστρίου Δυναμικής Συστμάτων του Πανεπιστμίου Θεσσαλίας. Το λογισμικό αναθεώρσς μοντέλων πεπερασμένων στοιχείων αναπτύχθκε σε περιβάλλον Matlab και συνεργάζεται με το λογισμικό COMSOL Multiphysics το οποίο παρέχει τν απαραίττ μοντελοποίσ με πεπερασμένα στοιχεία. Λεπτομέρειες για το λογισμικό με οδγίες χρήσς υπάρχουν στ δικτυακή διεύθυνσ HTUhttp:// Το λογισμικό περιλαμβάνει γραφικό περιβάλλον αλλλεπίδρασς με το χρήστ ώστε να είναι απλό και κατανοτό στ χρήσ ακόμα και από μ εξειδικευμένα άτομα. Επιτρέπει τν πλήρ διερεύνσ των μοντέλων πεπερασμένων στοιχείων και των μετρτικών δεδομένων και είναι πλήρως προσαρμόσιμο στις ανάγκες του χρήστ αφού επιτρέπει τον επανακαθορισμό των περισσότερων παραμέτρων λειτουργίας του. Το λογισμικό περιλαμβάνει πολλαπλές δυνατόττες ανάλυσς και παραμετροποίσς των μοντέλων πεπερασμένων στοιχείων καθώς και ανάλυσς των μετρτικών δεδομένων. Περιέχει ρουτίνες μονοκριτριακής αλλά και πολυκριτριακής βελτιστοποίσς με τ χρήσ εξελικτικών αλγορίθμων σε συνδυασμό με κλασσικές μεθόδους βαθμίδας για τν επίλυσ του αντίστροφου προβλήματος τς αναθεώρσς μοντέλων πεπερασμένων στοιχείων. Το γραφικό περιβάλλον του λογισμικού περιέχει ένα σύνολο από καταλόγους (menus) οι οποίοι περιέχουν τις λειτουργίες του λογισμικού καθώς και χώρο για τις γραφικές απεικονίσεις του μοντέλου όπως αυτή επιλέγεται μέσω των menus από τον χρήστ. Μέσω 16

17 του γραφικού περιβάλλοντος, ο χρήστς απλά επιλέγει το μοντέλο πεπερασμένων στοιχείων που είναι προς αναθεώρσ και το παραμετροποιεί κατάλλλα (Σχήμα 5). Στ συνέχεια έχει τ δυνατόττα να επιλέξει τις πειραματικά μετρούμενες αποκρίσεις τς κατασκευής για να τις διαχειριστεί στν αναθεώρσ. Σχήμα 5. Το γραφικό περιβάλλον του λογισμικού αναθεώρσς μοντέλων πεπερασμένων στοιχείων. Ο χρήστς έχει τ δυνατόττα να επιλέξει τους βαθμούς ελευθερίας στους οποίους αντιστοιχούν οι μετρούμενες ιδομορφικές συνιστώσες και στ συνέχεια να επιλέξει τν κατάλλλ μεθοδολογία αναθεώρσς από τις διαθέσιμες (Σχήμα 6). Με το πάτμα ενός κουμπιού ο αλγόριθμος ξεκινά τν αναγνώρισ των βέλτιστων τιμών των παραμέτρων του μοντέλου προσπαθώντας να ελαχιστοποιήσει το σφάλμα μεταξύ των μετρούμενων και των προβλεπόμενων από το μοντέλο χαρακτριστικών απόκρισς. Τα αποτελέσματα παρουσιάζονται στο παράθυρο τς εφαρμογής αλλά και στν έξοδο του προγράμματος σε συνοπτικό αρχείο κειμένου. ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΚΟΝΤΙΝΩΝ ΙΔΙΟΜΟΡΦΩΝ ΜΕ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΕΝΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ ΓΕΦΥΡΩΝ Η περίπτωσ που μία κατασκευή παρουσιάζει κοντινές και αλλλεπικαλυπτόμενες ιδιομορφές, αναγνώρισή τους είναι ένα πρόβλμα που παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον. Το πρόβλμα αυτό μελετάται λεπτομερώς στν παρούσα ενόττα. Συγκεκριμένα, ο προτεινόμενος αλγόριθμος τριών βμάτων εφαρμόζεται στν ενόττα αυτή σε προσομοιωμένα δεδομένα μετρήσεων για τν αναγνώρισ των ιδιομορφικών χαρακτριστικών σε μοντέλο κατασκευής οποία παρουσιάζει κοντινές ιδιομορφές, για να διερευνθεί αποτελεσματικόττά του. Στ βιβλιογραφία έχει επικρατήσει χρήσ αλγορίθμων αναγνώρισς δύο βμάτων για τν ακριβή αναγνώρισ των ιδιομορφικών χαρακτριστικών. Διαπιστώνεται όμως από το παράδειγμα που παρουσιάζεται ότι τα δύο πρώτα βήματα είναι ανεπαρκή για περιπτώσεις κοντινών ιδιομορφών. Η χρήσ του τρίτου βήματος είναι απαραίττ και βελτιώνει σμαντικά τα αποτελέσματα ιδιομορφικής αναγνώρισς. 17

18 Σχήμα 6. Εργαλεία λογισμικού αναθεώρσς μοντέλων πεπερασμένων στοιχείων. Τα προσομοιωμένα δεδομένα μετρήσεων που αναλύονται προκύπτουν από τν απόκρισ που προβλέπεται από μοντέλο πεπερασμένων στοιχείων κατασκευής το οποίο υπόκειται σε διέγερσ λευκού θορύβου. Το μοντέλο τς κατασκευής έχει επιλεχθεί ώστε να παρουσιάζει όμοια συμπεριφορά με τν πραγματική γέφυρα Γ2 τς Καβάλας πολλαπλών ανοιγμάτων που έχει μελετθεί (Ntotsios et al. 2008, Ntotsios 2008) και παρουσιάζει κοντινές αλλλεπικαλυπτόμενες ιδιομορφές. Αναλυτικότερα, για να δμιουργθούν τα προσομοιωμένα δεδομένα, από το μοντέλο πεπερασμένων στοιχείων εξάγονται τα μτρώα ακαμψίας και μάζας και δμιουργείται εξίσωσ κατάστασς χώρου στο διακριτό χρόνο όπου ( ) x = Acx+ Bcu kδt (10) A 0 I = M K M C c 1 1 (11) και 18

19 0 B c = -1 (12) -M L με K το μτρώο ακαμψίας, M το μτρώο μάζας, C το μτρώο μ κλασικής απόσβεσς που σχματίζεται κατάλλλα, u (kδt) είναι ένα διάνυσμα διέγερσς λευκού θορύβου και L ένας πίνακας που αντιστοιχεί τις διεγέρσεις στους βαθμούς ελευθερίας που διεγείρονται. Από το μοντέλο κατάστασς χώρου υπολογίζονται οι επιταχύνσεις σε συγκεκριμένους βαθμούς ελευθερίας του μοντέλου οποία αποτελεί τα μετρούμενα δεδομένα. Η χρονική διάρκεια του σήματος που λαμβάνεται υπόψ θα πρέπει να είναι πολλαπλάσια του 1/ Δ ω, όπου Δ ω είναι απόστασ μεταξύ των κοντινών ιδιομορφών. Αρχικά, αφού υπολογιστούν οι συναρτήσεις διαφασματικής πυκνόττας για τις επιταχύνσεις, εφαρμόζονται τα δύο πρώτα βήματα τς προτεινόμενς μεθοδολογίας στν περιοχή συχνοτήτων όπου βρίσκονται οι κοντινές ιδιομορφές και υπολογίζονται τα ιδιομορφικά χαρακτριστικά ω, ζ, φ, g, A και B τα οποία ορίζουν τον πίνακα διαφασματικής πυκνόττας τς εξίσωσς X(2)X. Στν συνέχεια εκτελείται το τρίτο βήμα του αλγορίθμου κατά το οποίο επιλύεται απευθείας το αρχικό μ γραμμικό πρόβλμα βελτιστοποίσς ως προς τα g, ω και ζ, εφαρμόζοντας ως αρχικές συνθήκες για τον αλγόριθμο βελτιστοποίσς τις τιμές που προκύπτουν από τα δύο προγούμενα βήματα και υπολογίζονται εκ νέου οι συναρτήσεις διαφασματικής πυκνόττας. Στο Σχήμα 7 σχεδιάζεται το μέτρο S ˆ(k Δω) και S( kδω; ψ) των μετρούμενων αλλά και των αναγνωρισμένων συναρτήσεων διαφασματικής πυκνόττας που προκύπτουν εφαρμόζοντας τν προσέγγισ δύο και τριών βμάτων αντίστοιχα σε δύο από τα σμεία μέτρσς, όπου φαίνεται καθαρά πόσο ανεπαρκής είναι αναγνώρισ του ιδιομορφικού μοντέλου χωρίς τν εφαρμογή του τρίτου βήματος. Measued 2 step Alg. 3 step Alg. Measued 2 step Alg. 3 step Alg. PSD 10 5 PSD Fequency (Hz) Fequency (Hz) Σχήμα 7. Σύγκρισ των συναρτήσεων διαφασματικής πυκνόττας των μετρούμενων επιταχύνσεων και αυτών που προβλέπονται από το αναγνωρισμένο ιδιομορφικό μοντέλο εφαρμόζοντας τον αλγόριθμο δύο και τριών βμάτων σε δυο από τα σμεία μέτρσς. Θα πρέπει να σμειωθεί πως αυξάνοντας το χρόνο δειγματολψίας αποτελεσματικόττα τς μεθοδολογίας να αναγνωρίζει τις κοντινές ιδιομορφές αυξάνεται σμαντικά. Συγκεκριμένα ο χρόνος αυτός θα πρέπει να είναι πολλαπλάσιος του χρόνου 1/ Δ ω έτσι ώστε τα μετρούμενα σήματα να περιέχουν τν απαραίττ πλροφορία για τον διαχωρισμό των κοντινών αλλλεπικαλυπτόμενων ιδιομορφών. Στο Σχήμα 8 παρουσιάζεται βελτίωσ στν 19

20 προσέγγισ των ιδιομορφικών χαρακτριστικών που προκύπτει αυξάνοντας το χρόνο δειγματολψίας στο διπλάσιο για το παραπάνω σύστμα. Παρόλα αυτά μεγάλ δειγματολψία δμιουργεί επιμέρους προβλήματα όσον αφορά τν αποθήκευσ και μεταφορά των μετρτικών δεδομένων αλλά και του απαιτούμενου χρόνου για τον υπολογισμό των συναρτήσεων διαφασματικής πυκνόττας των μετρούμενων αποκρίσεων Measued 2 step Alg.. 3 step Alg Measued 2 step Alg. 3 step Alg. PSD PSD Fequency (Hz) Fequency (Hz) Σχήμα 8. Σύγκρισ των συναρτήσεων διαφασματικής πυκνόττας των μετρούμενων επιταχύνσεων και αυτών που προβλέπονται από το αναγνωρισμένο ιδιομορφικό μοντέλο εφαρμόζοντας τον αλγόριθμο δύο και τριών βμάτων σε δυο από τα σμεία μέτρσς για διπλάσια διάρκεια μέτρσς ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΓΕΦΥΡΑΣ ΒΑΣΕΙ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ ΣΕ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΚΕΣ ΚΑΙ ΣΕΙΣΜΙΚΕΣ ΔΙΕΓΕΡΣΕΙΣ Περιγραφή Γέφυρας του Πολύμυλου Η μεθοδολογία αναγνώρισς μοντέλων κατασκευών εφαρμόστκε με επιτυχία για τν αναγνώρισ του ιδιομορφικού μοντέλου και τν αναθεώρσ του μοντέλου πεπερασμένων στοιχείων τς γέφυρας Γ9 τς Εγνατίας Οδού που βρίσκεται στον Πολύμυλο. Η γέφυρα Γ9 του Πολύμυλου αποτελείται από δύο όμοιους, στατικά ανεξάρττους, κλάδους μορφής Τ με μικρή καμπυλόττα κατά μήκος τους (Σχήμα 10α). Το μήκος τς είναι 170m και διατομή του καταστρώματος είναι κυβωτοειδής, πλευράς που κυμαίνεται από 9m κοντά στο μεσόβαθρο ως 4m κοντά στα ακρόβαθρα. Έχει ένα μοναδικό βάθρο αποτελούμενο από δύο όμοιες κολώνες ύψους 35m μονολιθικά συνδεδεμένες με τν ανωδομή που θεμελιώνονται σε μια ογκώδς ορθογώνια βάσ οποία βρίσκεται μέσα στο έδαφος. Η γέφυρα είναι κατασκευασμέν με προβολοδόμσ και εδράζεται στα ακρόβαθρα επί ελαστομεταλλικών εφεδράνων τα οποία όμως ουσιαστικά λειτουργούν μόνο κατά τν εγκάρσια διεύθυνσ ενώ κατά τ διαμήκ επιτρέπεται ελεύθερ κύλισ. Ο βορεινός κλάδος τς γέφυρας έχει ενοργανωθεί με είκοσι τέσσερα επιταχυνσιόμετρα από τα οποία τα δεκαπέντε είναι τοποθετμένα στις πλευρές του καταστρώματος, τρία στ βάσ του μεσόβαθρου και από τρία στα δύο ακρόβαθρα στις βάσεις των ελαστομερών εφεδράνων. Οι ακριβείς θέσεις και διευθύνσεις των αισθτήρων πάνω στ γέφυρα φαίνονται στο Σχήμα 9. 20