Πεπερασμένα στοιχεία στις πολλές διαστάσεις

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Πεπερασμένα στοιχεία στις πολλές διαστάσεις"

Transcript

1 Κεφάλαιο 10 Πεπερασμένα στοιχεία στις πολλές διαστάσεις Σε αυτή την παράγραφο θα μελετήσουμε τη μέθοδο πεπερασμένων στοιχείων για τη διακριτοποίηση μιας διαφορικής εξίσωσης στις πολλές διαστάσεις. Πιο συγκεκριμένα, θα θεωρήσουμε την ελλειπτική εξίσωση σε ένα χωρίο R d, d =2, 3 και θα τη διακριτοποιήσουμε χρησιμοποιώντας τη μέθοδο πεπερασμένων στοιχείων. Στη συνέχεια, θα θεωρήσουμε την εξίσωση της θερμότητας στο [0,T], όπου T>0, R d, και θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο πεπερασμένων στοιχείων για τη διακριτοποίηση της διαφορικής εξίσωσης ως προς τη χωρική μεταβλητή στο. Στη συνέχεια, θα διακριτοποιήσουμε και ως προς τη χρονική μεταβλήτη στο [0,T], χρησιμοποιώντας μια από τις μεθόδους που θεωρήσαμε στα προηγούμενα κεφάλαια για την εξισώση της θερμότητας Μεταβολικό πρόβλημα Στην παράγραφο αυτή θα υποθέσουμε ότι το είναι ένα φραγμένο χωρίο στον R d, d 2, με σύνορο και θα θεωρήσουμε προβλήματα συνοριακών τιμών για ελλειπτικές μερικές διαφορικές εξισώσεις. Τυπικά παραδείγματα ελλειπτικών μερικών διαφορικών εξισώσεων αποτελούν, για παράδειγμα, η εξίσωση του Laplace u = 0 και η εξίσωση του Poisson u = f, όπου για u : R d R, x = (x 1,...,x d ) T, συμβολίζουμε u = d i=1 2 u. Γενικότερα, θεωρούμε τη μερική x 2 i διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης i,j=1 ( a ij (x) u(x) ) + a 0 (x)u(x) =f(x), x, (10.1) x j 169

2 170 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΙΣ ΠΟΛΛΕΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ όπου a ij C 1 ( ), i, j =1,...,dκαι με συμβολίζουμε τη κλειστότητα του, =. Επίσης, υποθέτουμε ότι a ij = a ji, i, j =1,...,dκαι ότι ο πίνακας A =[a ij ] d i,j=1 είναι ομοιόμορφα θετικά ορισμένος, δηλαδή υπάρχει σταθερά c > 0, τέτοια ώστε a ij (x)ξ i ξ j c i,j=1 ξi 2, x, ξ R d. (10.2) i=1 Υποθέτουμε, επίσης, ότι f,a 0 C( ) και ότι a 0 0 στο. Η συνθήκη (10.2) καλείται συνθήκη της ομοιόμορφης ελλειπτικότητας και η εξίσωση (10.1) ελλειπτική εξίσωση. Σε προβλήματα συνοριακών τιμών, η εξίσωση (10.1) συνοδεύεται, συνήθως, από μια από τις παρακάτω συνοριακές συνθήκες, στο σύνορο του,, όπου g είναι μια δοσμένη συνάρτηση: αʹ. αν u = g στο, τότε η συνοριακή συνθήκη είναι τύπου Dirichlet, βʹ. αν d i,j=1 a ij u ν j = g στο, όπου ν = (ν 1,...,ν d ) T το μοναδιαίο εξωτερικό κάθετο διάνυσμα στο, τότε η συνοριακή συνθήκη είναι τύπου Neumann, γʹ. και αν d i,j=1 a ij u ν j + σu = g στο, όπου σ 0 στο, τότε η συνοριακή συνθήκη είναι τύπου Robin. Ξεκινούμε με τη μελέτη του ελλειπτικού προβλήματος με ομογενείς συνοριακές συνθήκες τύπου Dirichlet, δηλαδή, i,j=1 ( a ij (x) u ) + a 0 (x)u = f(x), x, (10.3) x j u =0, x, (10.4) όπου οι a ij,a 0 και f είναι όπως και στην (10.1). Όπως και στο Κεφάλαιο 4 για το πρόβλημα των δύο σημείων, θα γενικεύσουμε την έννοια της λύσης του προβλήματος (10.3) (10.4) εξασθενώντας τις προφανείς συνθήκες ομαλότητας που πρέπει να ικανοποιεί. Συγκεκριμένα, θα λέμε ότι μια συνάρτηση u C 2 () C( ) η οποία ικανοποιεί τις (10.3) και (10.4) ονομάζεται κλασική λύση. Από τη θεωρία των μερικών διαφορικών εξισώσεων, δείτε για παράδειγμα (Gilbarg & Trudinger, 1983), προκύπτει ότι αν το είναι αρκετά ομαλό και οι συναρτήσεις a ij,a 0 και f ικανοποιούν τις παραπάνω συνθήκες ομαλότητας και τη συνθήκη ομοιόμορφης ελλειπτικότητας (10.2), τότε το πρόβλημα (10.3) (10.4) έχει μοναδική κλασική λύση.

3 10.1. ΜΕΤΑΒΟΛΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 171 Στη συνέχεια, θα συμβολίζουμε με C0 κ(), Cκ 0 () = {v Cκ () : v = 0 στο }. Αν τώρα u είναι η κλασική λύση του (10.3) (10.4), τότε για κάθε v C0 1 () έχουμε i,j=1 = f(x)v(x) dx. ( a ij (x) u(x) ) v(x) dx + a 0 (x)u(x)v(x) dx x j Ολοκληρώνοντας κατά μέρη το αριστερό μέλος της προηγούμενης σχέσης και χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι v =0στο, λαμβάνουμε για κάθε v C 1 0 (), a ij (x) u(x) v(x) dx + a 0 (x)u(x)v(x) dx x j = f(x)v(x) dx. i,j=1 (10.5) Για την ισχύ της (10.5) δεν είναι απαραίτητο να υποθέσουμε ότι u C 2 (). u Αρκεί, για παράδειγμα, η u όσο και οι μερικές παράγωγοί, i =1,...,d, να είναι τετραγωνικά ολοκληρώσιμες συναρτήσεις και, επιπλέον η u να μηδενίζεται στο σύνορο του. Η περαιτέρω γενίκευση του χαρακτηρισμού της λύσης του προβλήματος (10.3) (10.4) απαιτεί στοιχεία συναρτησιακής ανάλυσης τα οποία θα παρουσιάσουμε εν συντομία και παραπέμπουμε τον ενδιαφερόμενο αναγνώστη στα βιβλία (Adams, 1975 Brezis, 1997 Royden, 1988). Οι χώροι Sobolev Θα περιοριστούμε σε πραγματικές συναρτήσεις ορισμένες στο χωρίο οι οποίες είναι ολοκληρώσιμες με την έννοια του Lebesgue, βλ. π.χ. (Brezis, 1997 Royden, 1988). Θα συμβολίζουμε με f(x) dx, το ολοκλήρωμα Lebesgue της συνάρτησης f στο χωρίο. Αν μια συνάρτηση f είναι Riemann ολοκληρώσιμη, τότε το ολοκλήρωμα Lebesgue της f ταυτίζεται με το ολοκλήρωμα Riemann της f. Επίσης, ορίζουμε την ακόλουθη νόρμα ( 1/p f(x) dx) p, για 1 p<, f Lp () = inf{c : f(x) C : σχεδόν παντού στο }, για p =.

4 172 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΙΣ ΠΟΛΛΕΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Οι χώροι Lebesgue ορίζονται τώρα ως εξής: L p () = {f : f Lp () < }. Στη συνέχεια, για χάριν συντομίας, θα παραλείπουμε τοn δείκτη L 2 () και θα γράφουμε = L2 (). Στον χώρο L 2 () μπορούμε να ορίσουμε το ακόλουθο εσωτερικό γινόμενο ως εξής: (u, v) = u(x)v(x) dx. Για μια παραγωγίσιμη συνάρτηση v στο, έχουμε v(x) φ(x) v(x) dx = φ(x) dx, 1 i d, φ C x 0(). 1 i Θα γενικέυσουμε την έννοια της μερικής παραγώγου μιας συνάρτησης με τον ακόλουθο τρόπο. Θα λέμε ότι v έχει ασθενείς μερικές παραγώγους, αν υπάρχουν συναρτήσεις g i, i =1,...,d, τέτοιες ώστε v φ dx = g i φdx, 1 i d, φ C 1 0(). Αν η συνάρτηση v C 1 ( ), τότε οι ασθενείς μερικές παράγωγοι ταυτίζονται με την κλασική μερική παράγωγο v. Όταν υπάρχει η ασθενής μερική παράγωγος μιας συνάρτησης v, θα την συμβολίζουμε και πάλι με v. Με όμοιο τρόπο τώρα ορίζουμε και την ασθενή μερική παράγωγο D α v, όπου D α α v v = x α xα d με α έναν πολυδείκτη α =(α 1,...,α d ). Έτσι D α v είναι η ασθενής παράγωγος της v, αν vd α φdx=( 1) α D α vφ dx, 1 i d, φ C α 0 (). Ορίζουμε τώρα τον χώρο Sobolev H k () ως τον χώρο των συναρτήσεων v όπου όλες οι ασθενείς παράγωγοι μέχρι τάξεως k ανήκουν στον L 2 (), H k () = {v L 2 () : D α v L 2 () για α k}. Επίσης, θεωρούμε το εσωτερικό γινόμενο (v, w) k και την αντίστοιχη νόρμα v k (v, w) k =(v, w) H k = (D α v, D α w), α k d

5 10.1. ΜΕΤΑΒΟΛΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 173 v k = v H k =(v, v) 1/2 k = α k D α v 2 Σημειώνουμε ακόμα ότι αν v L 2 (), τότε ο περιορισμός της v σύνορο του χωρίου δεν είναι μια καλά ορισμένη συνάρτηση. Φυσικά, αν v C( ), τότε η v μπορεί να ορισθεί στο. Μπορούμε να δείξουμε, βλ. π.χ. (Adams, 1975 Brezis, 1997), ότι αν v H 1 () και το είναι ομαλό ή πολυγωνικό, τότε ο περιορισμός της v στο είναι μια καλά ορισμένη συνάρτηση. Θα συμβολίζουμε στη συνέχεια H 1 0 () τον χώρο των συναρτήσεων του H1 () που μηδενίζονται στο σύνορο, H 1 0 () = {v H 1 () : v =0}. Επιστρέφοντας τώρα στη σχέση (10.5) παρατηρούμε ότι μπορούμε να γενικεύσουμε την έννοια της λύσης του προβλήματος συνοριακών τιμών (10.3) υποθέτοντας ότι u L 2 () και u L 2 (),i =1,...,d. Μια και η u πρέπει να ικανοποιεί την ομογενή συνοριακή συνθήκη Dirichlet, είναι φυσικό να θεωρήσουμε το παρακάτω πρόβλημα: Να βρεθεί u H0 1 (), τέτοια ώστε u (a ij, v )+(a 0 u, v) =(f,v), v H0 1 (). (10.6) x j i,j=1 Στη συνέχεια, εισάγουμε τη διγραμμική μορφή a : H 1 () H 1 () R, a(v, w) = v (a ij, w ), +(a 0 v, w), v, w H 1 () (10.7) x j i,j=1 και το γραμμικό συναρτησιακό l : L 2 () R, 1/2 l(v) =(f,v) v L 2 (). (10.8) Με το συμβολισμό αυτό, το πρόβλημα (10.6) γράφεται: Να βρεθεί u H 1 0 (), τέτοια ώστε a(u, v) =l(v) v H 1 0 (). (10.9) Η εξίσωση (10.6) (ή (10.9)) ονομάζεται ασθενής ή μεταβολική μορφή του προβλήματος συνοριακών τιμών (10.3) (10.4) και η λύση του ασθενής λύση. Αν σε έναν γραμμικό χώρο V με εσωτερικό γινόμενο (, ) V κάθε ακολουθία Cauchy {v n } n=1 V είναι συγκλίσουσα σε ένα στοιχείο v V, ως προς τη νόρμα V που παράγεται από το (, ) V, τότε ο χώρος καλείται χώρος Hilbert. Η.

6 174 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΙΣ ΠΟΛΛΕΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ ύπαρξη μοναδικής ασθενούς λύσης μπορεί να αποδειχθεί με τη βοήθεια του θεωρήματος Lax Milgram, η απόδειξη του οποίου μπορεί να βρεθεί, για παράδειγμα, στα (Brezis, 1997 Δουγαλής, 2013). Στη συνέχεια, διατυπώνουμε το Θεώρημα Lax Milgram. Θεώρημα 10.1 (Lax Milgram). Έστω (V, V ) ένας (πραγματικός) χώρος Hilbert και a(, ) μια διγραμμική μορφή στο V V, τέτοια ώστε α>0 v V a(v, v) α v 2 V, (10.10) β>0 v, w V a(v, w) β v V w V. (10.11) Έστω, επίσης, l : V R ένα γραμμικό συναρτησιακό για το οποίο γ>0 v V l(v) γ v V. (10.12) Τότε, υπάρχει μοναδικό u V, τέτοιo ώστε a(u, v) =l(v) για κάθε v V. Είναι εύκολο να επαληθεύσουμε τις υποθέσεις (10.10) (10.12) του Θεωρήματος Lax Milgram για το πρόβλημα (10.3) (10.4). Πράγματι, με V = H0 1 () και V = 1, έχουμε από την (10.7) με χρήση της ανισότητας Cauchy Schwarz όπου a(v, w) max a ij (x) v w + max a 0 (x) v w x x i,j=1 j x C ( v w )+ v w x j β v 1 w 1, i,j=1 { C = max max max 1 i,j d x } a ij (x), max a 0 (x). x Οπότε ισχύει η (10.11). Για να δείξουμε τη σχέση (10.10), θα χρειαστούμε το ακόλουθο λήμμα, η απόδειξη του οποίου μπορεί να βρεθεί π.χ. στα (Brezis, 1997 Ciarlet, 2002). Λήμμα 10.1 (Ανισότητα Poincaré Friedrichs). Για v H0 1 (), έχουμε ( ) 1/2 v(x) c v 2 v H0 1 (). (10.13) x i=1 i Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας την (10.2) και το γεγονός ότι a 0 0 στο, έχουμε a(v, v) c v 2 +(a 0 v, v) c v 2. (10.14) i=1 i=1

7 10.1. ΜΕΤΑΒΟΛΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 175 Επομένως, συνδυάζοντας τις (10.13) και (10.14), λαμβάνουμε a(v, v) c c v 2, (10.15) και αθροίζοντας τις (10.14) και (10.15), παίρνουμε την (10.10) με α = c/(1 + c ). Τέλος, με χρήση της ανισότητας Cauchy Schwarz, έχουμε l(v) = (f,v) f v f v 1, (10.16) επομένως, ισχύει η (10.12) με γ = f. Έχοντας επαληθεύσει όλες τις υποθέσεις του θεωρήματος Lax Milgram, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το πρόβλημα (10.9) έχει μοναδική λύση. Επιπλέον, από τις σχέσεις (10.16) και (10.10) έχουμε α u 2 1 a(u, u) =l(u) f u f u 1, από την οποία λαμβάνουμε το εκ των προτέρων φράγμα για τη λύση u 1 1 α f. Παρατήρηση Θεωρούμε το πρόβλημα συνοριακών τιμών στο =( 1, 1), ( ) 1 u = sgn 2 x, x, (10.17) u =0, x. (10.18) Είναι προφανές ότι το πρόβλημα (10.17) (10.18) δεν μπορεί να έχει κλασική λύση u C 2 () C( ), γιατί διαφορετικά η συνάρτηση sgn θα έπρεπε να είναι συνεχής στο, το οποίο δεν συμβαίνει. Παρόλα αυτά είναι εύκολο να βεβαιωθεί ότι ισχύουν όλες οι υποθέσεις του θεωρήματος Lax Milgram και, επομένως, το πρόβλημα (10.17) (10.18) έχει μοναδική λύση u H 1 0 (). Μπορούμε, με παρόμοιο τρόπο, να αποδείξουμε την ύπαρξη και μοναδικότητα της λύσης ελλειπτικών προβλημάτων συνοριακών τιμών με άλλες συνοριακές συνθήκες, όπως τις ομογενείς συνθήκες Neumann ή τις συνθήκες Robin, βλ. π.χ. (Brezis, 1997). Μπορούμε, επίσης, να θεωρήσουμε προβλήματα μεικτών συνοριακών συνθηκών, όπως το u + u = f u =0 στο στο Γ 1 και u n = g στο Γ 2,

8 176 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΙΣ ΠΟΛΛΕΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ όπου Γ 1 είναι μη κενό και Γ 1 Γ 2 = και f L 2 (),g L 2 (Γ 2 ). Ακολουθώντας την περίπτωση των ομογενών συνθηκών Dirichlet, ορίζουμε H 1 0 () = {v H 1 () : v =0 στο Γ 1 }, και θεωρούμε το μεταβολικό πρόβλημα της εύρεσης u H 0 1 (), τέτοιο ώστε όπου τώρα a(u, v) =l(v), v H 1 0 (), (10.19) και a(v, w) = i=1 l(v) = v (x) w (x) dx + v(x)w(x) dx w i f(x)v(x) dx + g(s)v(s) ds. Γ 2 Εφαρμόζοντας το θεώρημα Lax Milgram με V = H 0 1 (), μπορούμε με ανάλογα επιχειρήματα όπως και προηγουμένως να αποδείξουμε την ύπαρξη και τη μοναδικότητα της ασθενούς λύσης του (10.19) Η μέθοδος Galerkin για ελλειπτικά προβλήματα Όπως είδαμε και στο Κεφάλαιο 4, η μέθοδος Galerkin για την προσέγγιση της λύσης u του προβλήματος (10.3) (10.4) έγκειται στην κατασκευή μιας οικογένειας {S h } 0<h<1, υποχώρων του χώρου V, και την εύρεση u h S h, τέτοιων ώστε a(u h,χ)=l(χ) για κάθε χ S h. Εδώ, η διαγραμμική μορφή a(, ) και το γραμμικό συναρτησιακό l( ) υποθέτουμε ότι ικανοποιούν τις υποθέσεις του θεωρήματος Lax Milgram. ς ένα παράδειγμα, θα θεωρήσουμε το ακόλουθο πρόβλημα με ομογενείς συνθήκες Dirichlet u(x) =f(x), x, με u(x) =0, x, (10.20) όπου είναι ένα φραγμένο, κυρτό, πολυγωνικό χωρίο στον R 2. Θα υποθέσουμε ότι για το πολυγωνικό χωρίο υπάρχει μια πεπερασμένη συλλογή ανοιχτών συνόλων {K i }, τέτοια ώστε K i K j =, αν i j, K i =. (10.21) i

9 10.2. Η ΜΕΘΟΔΟΣ GALERKIN ΓΙΑ ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 177 Η συλλογή αυτή θα ονομάζεται τριγωνισμός, αν τα σύνολα K i είναι τρίγωνα και είναι τέτοια ώστε, καμιά κορυφή ενός τριγώνου να μην βρίσκεται στο εσωτερικό της πλευράς ενός άλλου τριγώνου, δείτε το Σχήμα Θα συμβολίζουμε με h K τη διάμετρο του τριγώνου K και h = max K h K. Επίσης, θα συμβολίζουμε με T h έναν τριγωνισμό με μέγιστη πλευρά τριγώνων h. Θα αναζητήσουμε τη συνάρτηση u h στον χώρο S h, τον χώρο των συνεχών συναρτήσεων στο οι οποίες μηδενίζονται στο και είναι πολυώνυμα βαθμού το πολύ ένα σε κάθε τρίγωνο K του τριγωνισμού T h. Η μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων για το πρόβλημα (10.20) είναι όπου a(u, v) = a(u h,v h )=l(v h ) για κάθε v h S h, (10.22) ( u v x x + u ) v dxdy, l(v) = y y fvdxdy. Αν N είναι το πλήθος των εσωτερικών κόμβων, P i, i =1,...,N, δηλαδή των κορυφών των τριγώνων του T h που δεν βρίσκονται στο, τότε κάθε στοιχείο v h S h ορίζεται μονοσήμαντα από τις τιμές του σε αυτά τα σημεία. Μια κατάλληλη βάση για τον χώρο S h αποτελείται από τις συναρτήσεις φ i S h,i=1,...n,οι οποίες ικανοποιούν φ i (P j )=δ ij, 1 i, j N. Πράγματι, o φορέας της συνάρτησης φ i αποτελείται από τα τρίγωνα του T h τα οποία έχουν το P i ως κορυφή. Οι φ i είναι γραμμικά ανεξάρτητες, γιατί αν N i=1 c iφ i =0, τότε για x = x j έχουμε c j =0,j =1,...,N. Επιπλέον, αν ψ S h, μπορούμε να γράψουμε ψ(x) = N ψ(p i )φ i (x), x, (10.23) i=1 γιατί οι συναρτήσεις στο αριστερό και δεξιό μέλος της (10.23) είναι στον S h και οι τιμές τους συμφωνούν στους εσωτερικούς κόμβους P i. Επομένως οι {φ i } N i=1 Σχήμα 10.1: Μια υποδιαίρεση ενός τετραγώνου (αριστερά) και ένας τριγωνισμός του (δεξιά).

10 178 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΙΣ ΠΟΛΛΕΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ αποτελούν βάση του S h. Μπορεί να δειχθεί ότι ο χώρος S h είναι υπόχωρος του H0 1 (), δείτε για παράδειγμα (Δουγαλής, 2013). Σημειώνουμε ότι οι συναρτήσεις του S h είναι, προφανώς, στον L 2 () και μηδενίζονται κατά σημείο στο σύνορο του. Μπορεί να αποδειχθεί, δείτε για παράδειγμα (Brenner & Scott, 2008 Δουγαλής, 2013), ότι ο S h = {φ C( ) : φ K P 1, K T h,φ =0}, ικανοποιεί τη inf χ S h { v χ + h (v χ) } Ch 2 v 2 για v H 2 () H 1 0 (). Υποθέτουμε ότι έχουμε μια διαμέριση του με παράμετρο διαμέρισης h και μια οικογένεια υποχώρων πεπερασμένης διάστασης {Sh r} του H1 0 (), με r ακέραιο, r 2. Επίσης, υποθέτουμε ότι ο Sh r έχει την ακόλουθη ιδιότητα προσέγγισης, για 2 s r inf { v χ +h (v χ) } Ch s v s για v H s () H 1 χ Sh r 0 (), (10.24) όπου C είναι μια θετική σταθερά ανεξάρτητη των h και v. Η ιδιότητα προσέγγισης (10.24) μας επιτρέπει τώρα να αποδείξουμε εκτιμήσεις για τα σφάλματα u u h και (u u h ) με ανάλογο τρόπο όπως στο Θεώρημα 4.2, βλ. π.χ. (Larsson & Thomée, 2009 Johnson, 1987). Θεώρημα Έστω u H r () H0 1 () η λύση του προβλήματος (10.20) και u h Sh r η λύση του μεταβολικού προβλήματος (10.22). Τότε υπάρχει σταθερά C, ανεξάρτητη των u και h, τέτοια ώστε u u h + h (u u h ) Ch r u r. (10.25) Όπως και στην περίπτωση του προβλήματος δύο σημείων, ένα σημαντικό πρόβλημα στην υλοποίηση της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων είναι η διαχείριση των βαθμών ελευθερίας. Έστω τώρα R 2 ένα πολυγωνικό χωρίο και T h ένας τριγωνισμός του, της μορφής (10.21), ο οποίος αποτελείται από τρίγωνα K με h = max K diam(k). Συγκεκριμένα, έστω K ένα τρίγωνο του τριγωνισμού T h με κορυφές P (K) i για i =1, 2, 3. Οι τοπικές συναρτήσεις βάσης φ (K) j,j =1, 2, 3 ανήκουν στον χώρο P 1 (K) και ικανοποιούν φ (K) j (P (K) i )=δ ij για 1 i, j 3. Επομένως, για τη λύση πεπερασμένων στοιχείων u h έχουμε u h (x) = 3 j=1 φ (K) j (x)u h (P (K) j ), x K. (10.26)

11 10.2. Η ΜΕΘΟΔΟΣ GALERKIN ΓΙΑ ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 179 Οι πραγματικοί αριθμοί {u h (P (K) j )}, j=1, 2, 3, είναι οι τοπικοί βαθμοί ελευθερίας οι οποίοι ορίζουν μονοσήμαντα την u h (x) στο τρίγωνο K. Αν τώρα ο τριγωνισμός T h αποτελείται από N κόμβους P i, i =1,...,N, (απαριθμούμε και αυτούς που βρίσκονται στο σύνορο), τότε οι κόμβοι P (K) 1,P (K) 2,P (K) 3 του τριγώνου K αντιστοιχούν σε κάποιους κόμβους P j1,p j2,p j3 στην καθολική αρίθμηση των κόμβων του τριγωνισμού. Μας ενδιαφέρει να εκφράσουμε τους τοπικούς βαθμούς ελευθερίας {u h (P (K) j )}, j = 1, 2, 3 συναρτήσει των καθολικών βαθμών ελευθερίας u h (P j ),j=1,...,n. ς παράδειγμα, ας πάρουμε το χωρίο να είναι το τετράγωνο [0, 1] 2, το οποίο διαμερίζουμε σε 32 τρίγωνα και N = 25 κόμβους, όπως φαίνεται στο Σχήμα Για χάρη ευκολίας, οι εσωτερικοί κόμβοι αριθμούνται πριν τους συνοριακούς κόμβους. Αν τ είναι ο αριθμός του σκιασμένου πεπερασμένου στοιχείου στο Σχήμα 10.2, τότε οι κόμβοι P 5,P 6,P 8, στην καθολική αρίθμηση των κόμβων, αντιστοιχούν στους κόμβους P (τ) 1,P (τ) 2,P (τ) 3 στην τοπική αρίθμηση των κόμβων του τριγώνου τ. Αν οι βαθμοί ελευθερίας U j = u h (P j ),j=1,...,n περιέχονται στο διάνυσμα U = (U 1,U 2,,U N ) T και U τ = (U1 τ,uτ 2,Uτ 3 )T, όπου Uj τ = u h (P (τ) j ),j =1, 2, 3 τότε μπορούμε να γράψουμε U τ = GU, όπου G είναι ένας 3 N πίνακας με στοιχεία 0 ή 1. Στο παράδειγμά μας, θα είναι της μορφής U 1 U 2 U 3 U τ U2 τ = U3 τ Γενικότερα, αν τα τρίγωνα του τριγωνισμού T h είναι {τ} με τ =1, 2,...,Jκαι U N Σχήμα 10.2: Αρίθμηση των κόμβων ενός τριγωνισμού του [0, 1] 2.

12 180 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΙΣ ΠΟΛΛΕΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ έστω i = g(τ,j), η συνάρτηση η οποία αντιστοιχεί τον τοπικό δείκτη j, 1 j 3 των κόμβων Pj τ με τον καθολικό δείκτη i, 1 i N, των κόμβων P i, τότε η g είναι μια συνάρτηση ορισμένη στο σύνολο {1, 2,...,J} {1, 2, 3}, με τιμές στο σύνολο {1, 2,...,N}, η οποία υπολογίζεται και αποθηκεύεται εύκολα. Σημειώνουμε ακόμα, ότι αν Φ τ =[φ τ 1,φτ 2,φτ 3 ] είναι το διάνυσμα των τοπικών συναρτήσεων βάσης, τότε μπορούμε να γράψουμε την αναπαράσταση (10.26) της u h στο τρίγωνο τ ως u h (x) =Φ(x) τ U τ και, φυσικά, u h (x) =DΦ τ (x) U τ, όπου DΦ τ συμβολίζει τον πίνακα ) DΦ τ = ( φ τ 1 φ τ 2 φ τ 3 x 1 x 1 x 1 φ τ 1 φ τ 2 φ τ 3 x 2 x 2 x 2 Μπορούμε τώρα να γράψουμε τη μέθοδο πεπερασμένων στοιχείων για το πρόβλημα (10.20) στη μορφή u h v h dx = f(x)v h dx, v h S h. τ T h τ τ T h Αν τώρα θέσουμε v h =Φ τ V τ, τότε η προηγούμενη σχέση γίνεται (V τ (DΦ τ ) T DΦ τ U τ ) dx = (V τ ) T (Φ τ ) T f(x) dx, v h S h. τ T h τ τ T h Η τελευταία αυτή σχέση μας επιτρέπει να κατασκευάσουμε τόσο τον πίνακα ακαμψίας όσο και το δεξί μέλος αθροίζοντας τις συνεισφόρες από κάθε πεπερασμένο στοιχείο τ του τριγωνισμού T h. τ τ Η εξίσωση της θερμότητας Έστω ένα φραγμένο χωρίο στον R d, d =2ή3. Αναζητούμε μια πραγματική συνάρτηση u = u(x, t), x,t [0,T], T>0, τέτοια ώστε u t (x, t) u(x, t) =f(x, t), x, t [0,T], u(x, t) =0, x, t [0,T], (10.27) u(x, 0) = u 0 (x), x, όπου f = f(x, t) είναι μια πραγματική συνάρτηση στο [0,T] και η αρχική συνθήκη u 0 είναι, επίσης, μια πραγματική συνάρτηση στο. Θα υποθέσουμε ότι το πρόβλημα αρχικών και συνοριακών τιμών (10.27) έχει μοναδική και αρκετά ομαλή λύση, έτσι ώστε να ισχύουν οι εκτιμήσεις που παρουσιάζονται στη συνέχεια.

13 10.3. Η ΕΞΙΣΣΗ ΤΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ 181 Για τις ανάγκες της εφαρμογής της μεθόδου Galerkin ή πεπερασμένων στοιχείων θα υποθέσουμε ότι έχουμε μια διαμέριση του με παράμετρο διαμέρισης h και μια οικογένεια υποχώρων πεπερασμένης διάστασης {Sh r} του H1 0 () με r ακέραιο r 2, οι οποίοι ικανοποιούν την ιδιότητα (10.24). Στο αντίστοιχο πρόβλημα της θερμότητας που μελετήσαμε στο Κεφάλαιο 6 θεωρήσαμε τον τελεστή της ελλειπτικής προβολής, βλ. (6.9), ο οποίος είχε σημαντικό ρόλο στη μελέτη του σφάλματος των μεθόδων που παρουσιάσαμε. Τώρα ο τελεστής της ελλειπτικής προβολής ορίζεται ως εξής: Για v H 1 () η ελλειπτική προβολή του v στον χώρο Sh r ορίζεται ως η γραμμική απεικόνιση R h : H 1 () Sh r, έτσι ώστε ( R h v, χ) =( v, χ), χ Sh r. (10.28) Είναι προφανές ότι η ελλειπτική προβολή είναι καλά ορισμένη και ικανοποιεί τη σχέση R h v v, για v H 1 (). Οι ιδιότητες προσέγγισης της ελλειπτικής προβολής αποδεικνύονται στην παρακάτω πρόταση. Λήμμα Έστω ότι v H s () H0 1 () με 2 s r. Τότε υπάρχει μια σταθερά C ανεξάρτητη του v και του h, τέτοια ώστε R h v v + h (R h v v) Ch s v s, 2 s r. (10.29) Απόδειξη. Η απόδειξη γίνεται με ανάλογο τρόπο όπως στο Λήμμα 6.1, βλ. π.χ. (Larsson & Thomée, 2009 Johnson, 1987) Ημιδιακριτή προσέγγιση Galerkin Για μια συνάρτηση v H0 1 () θεωρώντας το εσωτερικό γινόμενο και ως προς τα δύο μέλη της (10.27) και ολοκληρώνοντας κατά μέρη παίρνουμε τη μεταβολική μορφή του προβλήματος (u t (,t),v)+( u(,t), v) =(f(,t),v), v H 1 0 (), t [0,T]. (10.30) Στη συνέχεια, οδηγούμαστε στο αντίστοιχο ημιδιακριτό πρόβλημα στον Sh r: Ζητείται u h (t) =u h (,t) Sh r, t [0,T], τέτοια ώστε { (uht (,t),χ)+( u h (,t), χ) =(f(,t),χ), χ Sh r,t [0,T], u h (0) = u 0 h, (10.31) όπου u 0 h είναι μια προσέγγιση του u0 από τον Sh r την οποία θα επιλέξουμε αργότερα. Αν {φ i } N i=1 με N = dim(sr h ), είναι μια βάση του Sr h και N u h (x, t) = α j (t)φ j (x), j=1 N u 0 h (x) = γ j φ j (x), j=1

14 182 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΙΣ ΠΟΛΛΕΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ τότε, όπως και στην Παράγραφο 6.1, το (10.31) είναι ισοδύναμο με ένα γραμμικό σύστημα συνήθων διαφορικών εξισώσεων. Έτσι, παίρνουμε το ανάλογο πρόβλημα της (6.6) { Mα (t)+sα(t) =F (t), t [0,T], (10.32) α(0) = Γ, όπου οι πίνακες μάζας M και ακαμψίας S είναι οι N N πίνακες με στοιχεία M ij = (φ j,φ i ) και S ij = ( φ j, φ i ), i, j = 1,...,N, αντίστοιχα, α(t) = (α 1 (t),...,α N (t)) T, Γ=(γ 1,...,γ N ) T, F (t) =(F 1 (t),...,f N (t)) T, με F i (t) = (f(,t),φ i ),i=1,...,n. Τόσο ο πίνακας μάζας M όσο και ο πίνακας ακαμψίας S είναι συμμετρικοί και θετικά ορισμένοι πίνακες και ειδικότερα ο M αντιστρέφεται, το οποίο οδηγεί στη μονοσήμαντη λύση του (10.32). Με ανάλογο τρόπο όπως και στην Παράγραφο 6.1 μπορούμε να αποδείξουμε το ακόλουθο θεώρημα, για την απόδειξη του οποίου παραπέμπουμε στα (Larsson & Thomée, 2009 Johnson, 1987). Θεώρημα Έστω u και u h οι λύσεις των προβλημάτων (10.27) και (10.31), αντίστοιχα. Τότε, t ) u h (t) u(t) u 0 h u0 + Ch ( u r 0 r + u t r ds, t 0, (10.33) για κάποια σταθερά C ανεξάρτητη του h. Παρατήρηση Είναι δυνατόν να επιλέξουμε την αρχική τιμή u 0 h, έτσι ώστε u 0 h u0 Ch r, με σταθερά C ανεξάρτητη του h, διατηρώντας με αυτό τον τρόπο την τάξη r του σφάλματος στη σχέση (10.33). Μπορούμε, για παράδειγμα, να πάρουμε u 0 h = R hu 0 ή να επιλέξουμε ως u 0 h την L 2 προβολή του u 0 στον Sh r. Και στις δύο περιπτώσεις u 0 h u0 Ch r u 0 r Πλήρως διακριτές προσεγγίσεις Galerkin Για τη λύση του γραμμικού συστήματος συνήθων διαφορικών εξισώσεων (10.31) είναι απαραίτητο να διακριτοποιήσουμε τη χρονική μεταβλητή t, όπου μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε π.χ. την πεπλεγμένη μέθοδο του Euler ή τη μέθοδο Crank Nicolson. Για έναν φυσικό αριθμό M 1 θέτουμε k = T /M και t n = nk, n =0, 1,..., M. Η πεπλεγμένη μέθοδος του Euler για τη διακριτοποίηση στον χρόνο του ημιδιακριτού σχήματος (10.31) ορίζεται ως εξής: για n =1, 2,..., M, αναζητούμε προσεγγίσεις U n Sh r των u h(t n ) που ορίζονται από τις σχέσεις ( U n U n 1 ),χ +( U n, χ) =(f n,χ), χ Sh r k, U0 = u 0 h, (10.34) 0

15 10.3. Η ΕΞΙΣΣΗ ΤΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ 183 με f n = f(,t n ).Αν{φ j } N j=1 είναι μια βάση του Sr h και U n = N j=1 αn j φ j, με α n =(α n 1,...,αn N )T R N, για n 0, τότε οι σχέσεις (10.34) είναι ισοδύναμες με το γραμμικό σύστημα εξισωσεων (M + ks)α n = Mα n 1 + kf n 1, n 1, (10.35) όπου F n =(F1 n,...,fn N )T, με Fi n =(f n,φ i ), 1 i N. Επειδή ο M + ks είναι συμμετρικός και θετικά ορισμένος, είναι αντιστρέψιμος και, άρα, τα α n, n 1 προσδιορίζονται μοναδικά και κατ επέκταση οι U n. Για την επίλυση του (10.35) μπορούν να εφαρμοσθούν διάφορες μέθοδοι, συνήθως χρησιμοποιείται είτε η ανάλυση Cholesky είτε η (προρυθμισμένη) μέθοδος των συζυγών κλίσεων. Με ανάλογο τρόπο όπως και στην Παράγραφο 6.2 μπορούμε να αποδείξουμε το ακόλουθο θεώρημα, για την απόδειξη του οποίου παραπέμπουμε στα (Larsson & Thomée, 2009 Johnson, 1987). Θεώρημα Έστω U n, u(t) =u(,t) οι λύσεις των (10.34), (10.27), αντίστοιχα. Τότε υπάρχει θετική σταθερά C, ανεξάρτητη των h και k, τέτοια ώστε [ T ] max U n u(t n ) u 0 h 0 n M u0 + Ch r u 0 r + u t r ds 0 T + Ck u tt ds. 0 (10.36) Στη συνέχεια, μπορούμε να θεωρήσουμε και τη μέθοδο των Crank Nicolson για τη διακριτοποίηση του ημιδιακριτού σχήματος (10.31). Έτσι, αναζητούμε προσεγγίσεις U n S r h των u h(t n ), n =0, 1,...,M, τέτοιες ώστε ( U n U n 1 k ),χ +( U n 1/2, χ) =(f n 1/2,χ), χ Sh r, (10.37) U 0 = u 0 h, όπου U n 1/2 =(U n + U n 1 )/2 και f n 1/2 = f(,t n k 2 ). Με ανάλογο τρόπο, όπως προηγουμένως για την πεπλεγμένη μέθοδο του Euler μπορούμε να θεωρήσουμε το ανάλογο γραμμικό σύστημα με το (10.35). Έτσι, οι (10.37) είναι ισοδύναμες με το γραμμικό σύστημα (M + k2 S ) α n = (M k2 S ) α n 1 + kf n 1/2, n 1, (10.38) όπου F n 1/2 =(F n 1/2 1,...,F n 1/2 N ) T, με F n 1/2 i =(f n 1/2,φ i ), 1 i N. Εύκολα μπορούμε να δούμε ότι ο πίνακας M + k 2 S είναι συμμετρικός και θετικά

16 184 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΙΣ ΠΟΛΛΕΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ ορισμένος, οπότε το σύστημα εξισώσεων (10.38) έχει μοναδική λύση. Με ανάλογο τρόπο, όπως και στην Παράγραφο 6.3, μπορούμε να αποδείξουμε το ακόλουθο θεώρημα, για την απόδειξη του οποίου παραπέμπουμε στα (Larsson & Thomée, 2009 Johnson, 1987). Θεώρημα Έστω U n,u(t) =u(,t n ) οι λύσεις των προβλημάτων (10.27), (10.37), αντίστοιχα. Τότε υπάρχει θετική σταθερά C, ανεξάρτητη των h και k, τέτοια ώστε max U n u(t n ) u 0 h 0 n M u0 + Ch r [ T ] u 0 r + u t (s) r ds 0 T + Ck 2 ( u ttt (s) r + u tt (s) r ) ds. 0 (10.39) Επίσης, μπορούμε να θεωρήσουμε και την άμεση μέθοδο του Euler για τη διακριτοποίηση του ημιδιακριτού σχήματος (10.31). Έτσι, αναζητούμε προσεγγίσεις U n Sh r των τιμών u(tn )=u(,t n ) για n 0 οι οποίες ικανοποιούν ( U n U n 1 ),χ +( U n 1, χ) =(f n 1,χ), χ Sh r k, (10.40) U 0 = u 0 h. Χρησιμοποιώντας τον συμβολισμό προηγούμενων παραγράφων, βλέπουμε ότι ο προσδιορισμός του U n για n 1, δεδομένου του U n 1, απαιτεί τη λύση του γραμμικού συστήματος Mα n =(M ks)α n 1 = kf n 1, n 1. (10.41) Το σύστημα αυτό έχει μοναδική λύση, μια και ο πίνακας μάζας M είναι συμμετρικός και θετικά ορισμένος. Για να δείξουμε την ευστάθεια και τη σύγκλιση της μεθόδου είναι απαραίτητη η υπόθεση ότι οι συναρτήσεις του Sh r ικανοποιούν μια αντίστροφη ανισότητα, ανάλογη της (6.41), έτσι υποθέτουμε ότι χ C h 1 χ, χ S r h, (10.42) για κάποια σταθερά C ανεξάρτητη των χ και h. Αν R 2 είναι ένα πολυγωνικό χωρίο και υποθέσουμε ότι ο τριγωνισμός T h του είναι ημιομοιόμορφος, δηλαδή ότι υπάρχει σταθερά ν ανεξάρτητη του τριγωνισμού, τέτοια ώστε h h K ν, K T h,

17 10.4. ΑΛΛΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 185 όπου h = max K h K, και θεωρήσουμε τον χώρο Sh 2 των κατά τμήματα γραμμικών πολυωνύμων στον T h, τότε ο Sh 2 ικανοποιεί την (10.42). Ο ενδιαφερόμενος αναγνώστης μπορεί να βρει την απόδειξη της αντίστροφης ανισότητας στο βιβλίου του Ciarlet (Ciarlet, 2002). Έστω τώρα ότι k h 2 2 C 2, (10.43) τότε για το σφάλμα της άμεσης μεθόδου του Euler έχουμε το ακόλουθο αποτέλεσμα: Θεώρημα Έστω u και U n οι λύσεις των προβλημάτων (10.27) και (10.40), αντίστοιχα. Υποθέτουμε ότι ισχύουν οι σχέσεις (10.42) και (10.43). Τότε υπάρχει θετική σταθερά C, ανεξάρτηση των h και k τέτοια ώστε, [ T max U n u(t n ) u 0 h 0 n M u0 +Ch r u 0 r Άλλες μέθοδοι και προβλήματα 0 ] u t (s) r ds T + Ck u tt (s) r ds. 0 Μέθοδοι πεπερασμένων στοιχείων για γενικότερα ελλειπτικά προβλήματα με συνορικακές συνθήκες τύπου Dirichlet ή και με άλλες συνοριακές συνθήκες όπως π.χ. τύπου Neumann, αναλύονται με παρόμοιο τρόπο όπως με αυτά που παρουσιάσαμε σε αυτό το κεφάλαιο. Για τη μελέτη αυτών των αριθμητικών μεθόδων, καθώς και για πιο λεπτομερή παρουσίαση των αποτελεσμάτων αυτού του κεφαλαίου, παραπέμπουμε τον αναγνώστη στα (Ciarlet, 2002 Johnson, 1987 Knabner & Angermann, 2003 Larsson & Thomée, 2009 Morton & Mayers, 2005) Ασκήσεις Δείξτε ότι η συνάρτηση f(x) =x β, x (0, 1) ανήκει στον L 2 (0, 1), αν β<1/ Δείξτε ότι η συνάρτηση f(x) = x β, x, με =(0, 1) (0, 1) ανήκει στον L 2 (), αν β< Δείξτε ότι η συνάρτηση f(x) = x β, x, με =(0, 1) (0, 1) ανήκει στον H 1 (), αν β>0.

18 186 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΙΣ ΠΟΛΛΕΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Δείξτε ότι το πρόβλημα (10.19) έχει μοναδική λύση στον H 0 1 () και διατυπώστε μια μέθοδο πεπερασμένων στοιχείων για αυτό το πρόβλημα Αποδείξτε το Θεώρημα Αποδείξτε το Λήμμα Αποδείξτε το Θεώρημα Βιβλιογραφία Δουγαλής, Β. (2013). Finite element methods for the numerical solution of partial differential equations. Αθήνα. (Πανεπιστημιακές Σημειώσεις). Adams, R. A. (1975). Sobolev spaces. Academic Press, New York-London. Brenner, S. C., & Scott, L. R. (2008). The mathematical theory of finite element methods (Third ed., Vol. 15). Springer, New York. Brezis, H. (1997). Συναρτησιακή Ανάλυση: Θεωρία και Εφαρμογές. Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Ε.Μ.Π., Αθήνα. (Ελληνική μετάφραση από τους Δ. Κραββαρίτη και Ι. Χρυσοβέργη). Ciarlet, P. G. (2002). The finite element method for elliptic problems (Vol. 40). Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA. Gilbarg, D., & Trudinger, N. S. (1983). Elliptic partial differential equations of second order (Second ed., Vol. 224). Springer-Verlag, Berlin. Johnson, C. (1987). Numerical solution of partial differential equations by the finite element method. Cambridge University Press, Cambridge. Knabner, P., & Angermann, L. (2003). Numerical methods for elliptic and parabolic partial differential equations (Vol. 44). Springer-Verlag, New York. Larsson, S., & Thomée, V. (2009). Partial differential equations with numerical methods (Vol. 45). Springer-Verlag, Berlin. Morton, K. W., & Mayers, D. F. (2005). Numerical solution of partial differential equations (Second ed.). Cambridge University Press, Cambridge. Royden, H. L. (1988). Real analysis (Third ed.). Macmillan Publishing Company, New York.

Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων για το πρόβλημα δύο σημείων

Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων για το πρόβλημα δύο σημείων Κεφάλαιο 4 Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων για το πρόβλημα δύο σημείων Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων είναι μια τεχνική για την κατασκευή προσεγγιστικών λύσεων μερικών και ολοκληρωτικών διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβλημα δύο σημείων. Κεφάλαιο Διακριτοποίηση

Πρόβλημα δύο σημείων. Κεφάλαιο Διακριτοποίηση Κεφάλαιο 3 Πρόβλημα δύο σημείων Σε αυτό το κεφάλαιο θα μελετήσουμε τη μεθόδο πεπερασμένων διαφορών για προβλήματα Σ.Δ.Ε. δεύτερης τάξεως, τα οποία καλούνται και προβλήματα δύο σημείων. Ο λόγος που θα ασχοληθούμε

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες διαφορές για την ελλειπτική εξίσωση στις δύο διαστάσεις

Πεπερασμένες διαφορές για την ελλειπτική εξίσωση στις δύο διαστάσεις Κεφάλαιο 9 Πεπερασμένες διαφορές για την ελλειπτική εξίσωση στις δύο διαστάσεις Σε αυτό το κεφάλαιο θεωρούμε μια απλή ελλειπτική εξίσωση, στις δύο διαστάσεις. Θα κατασκευάσουμε μεθόδους πεπερασμένων διαφορών

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες διαφορές

Πεπερασμένες διαφορές Κεφάλαιο 2 Πεπερασμένες διαφορές Αυτό το κεφάλαιο αποτελεί μια εισαγωγή στο αντικείμενο των πεπερασμένων διαφορών για την επίλυση διαφορικών εξισώσεων. Θα εισαγάγουμε ποσότητες που προκύπτουν από διαφορές

Διαβάστε περισσότερα

Η μέθοδος των πεπερασμένων διαφορών για την εξίσωση θερμότητας

Η μέθοδος των πεπερασμένων διαφορών για την εξίσωση θερμότητας Κεφάλαιο 5 Η μέθοδος των πεπερασμένων διαφορών για την εξίσωση θερμότητας Σε αυτό το κεφάλαιο θεωρούμε μια απλή παραβολική εξίσωση, την εξίσωση της θερμότητας, στη μια διάσταση ως προς τον χώρο. Θα κατασκευάσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Κεφάλαιο Διαφορικές εξισώσεις

Εισαγωγή. Κεφάλαιο Διαφορικές εξισώσεις Κεφάλαιο Εισαγωγή Θα παρουσιάσουμε τις διαφορικές εξισώσεις και τα αντίστοιχα προβλήματα αρχικών και συνοριακών τιμών που θα συναντήσουμε στα επόμενα κεφάλαια. Επίσης, θα δούμε ορισμένες ιδιότητες και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. H ( Ω ). Αυτό επιβάλλει τη χρήση C πεπερασμένων. C ( Ω )). Άλλες προσεγγίσεις που αποφεύγουν τη χρήση C πεπερασμένων

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. H ( Ω ). Αυτό επιβάλλει τη χρήση C πεπερασμένων. C ( Ω )). Άλλες προσεγγίσεις που αποφεύγουν τη χρήση C πεπερασμένων ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι μερικές διαφορικές εξισώσεις οι οποίες προκύπτουν στη Μαθηματική Μοντελοποίηση πολλών φυσικών, χημικών, βιολογικών φαινομένων και σε ποικίλες θεματικές περιοχές όπως η Δυναμική των Ρευστών,

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων σε Χώρους Sobolev

Μελέτη Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων σε Χώρους Sobolev ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Γενικό τμήμα-τομέας Εφαρμοσμένων και Υπολογιστικών Μαθηματικών Διπλωματική εργασία Μελέτη Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων σε Χώρους Sobolev Λιαντράκη Σοφία Επιβλέπων καθηγητής: Κανδυλάκης

Διαβάστε περισσότερα

Η ΑΣΥΝΕΧΗΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΟΥ GALERKIN

Η ΑΣΥΝΕΧΗΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΟΥ GALERKIN Η ΑΣΥΝΕΧΗΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΟΥ GALERKIN ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΑΛΑΝΔΡΑΚΗ ΓΑΡΥΦΑΛΙΑ Επιβλέπων καθηγητής : Μακριδάκης Χαράλαμπος Περιεχόμενα Εισαγωγή Κεφάλαιο 1. Η ΑΣΥΝΕΧΗΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΟΥ GALERKIN 1.1 Προκαταρκτικά 1.2

Διαβάστε περισσότερα

Ύπαρξη και Mοναδικότητα Λύσης Μη γραμμικών ΔΕ

Ύπαρξη και Mοναδικότητα Λύσης Μη γραμμικών ΔΕ Κεφάλαιο 3 Ύπαρξη και Mοναδικότητα Λύσης Μη γραμμικών ΔΕ Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφέρουμε τις συνθήκες ύπαρξης και μοναδικότητας ΠΑΤ μη γραμμικών ΔΕ. Στο εδάφιο 3.1, θα παρουσιάσουμε την προσεγγιστική μέθοδο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 2 2 Μεγιστικός τελέστης στην μπάλα 2 2.1 Βασικό θεώρημα........................ 2 2.2 Γενική περίπτωση μπάλας.................. 6 2.2.1 Στο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Στοιχεία της εκδοχής hp της ΜΠΣ στις 2- διαστάσεις

Κεφάλαιο 4: Στοιχεία της εκδοχής hp της ΜΠΣ στις 2- διαστάσεις Κεφάλαιο 4: Στοιχεία της εκδοχής hp της ΜΠΣ στις - διαστάσεις Στις -διαστάσεις, η περιγραφή της εκδοχής hp της ΜΠΣ είναι αρκετά πολύπλοκη. Στο παρόν κεφάλαιο θα δούμε κάποια στοιχεία της, ξεκινώντας με

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Η ανάλυση προβλημάτων δύο διαστάσεων με τη μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων περιλαμβάνει τα ίδια βήματα όπως και στα προβλήματα μιας διάστασης. Η ανάλυση γίνεται λίγο πιο πολύπλοκη

Διαβάστε περισσότερα

Εξίσωση μεταφοράς. Κεφάλαιο Μέθοδοι upwind και downwind

Εξίσωση μεταφοράς. Κεφάλαιο Μέθοδοι upwind και downwind Κεφάλαιο 7 Εξίσωση μεταφοράς Σε αυτό το κεφάλαιο θεωρούμε μια απλή διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης, την εξίσωση μεταφοράς, στη μια διάσταση ως προς τον χώρο και ως προς τον χρόνο. Θα κατασκευάσουμε μεθόδους

Διαβάστε περισσότερα

M. J. Lighthill. g(y) = f(x) e 2πixy dx, (1) d N. g (p) (y) =

M. J. Lighthill. g(y) = f(x) e 2πixy dx, (1) d N. g (p) (y) = Εισαγωγή στην ανάλυση Fourier και τις γενικευμένες συναρτήσεις * M. J. Lighthill μετάφραση: Γ. Ευθυβουλίδης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΟΥΣ FOURIER 2.1. Καλές

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015.

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες άρα

Διαβάστε περισσότερα

Συντελεστές και σειρές Fourier

Συντελεστές και σειρές Fourier Κεφάλαιο 3 Συντελεστές και σειρές Fourier Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Zygmund 22, Katznelson 24 και Stein and Shakarchi 211. 3.1 Συντελεστές Fourier μιας ολοκληρώσιμης

Διαβάστε περισσότερα

Ο αναλυτικός δείκτης και η χαρακτηριστική του Euler 1

Ο αναλυτικός δείκτης και η χαρακτηριστική του Euler 1 Ο αναλυτικός δείκτης και η χαρακτηριστική του Euler 1 Ιάκωβος Ανδρουλιδάκης users.uoa.gr/ iandroul iandroul@math.uoa.gr Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Μαθηματικών, Τομέας Άλγεβρας-Γεωμετρίας Περίληψη Στη διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

(1) L{a 1 x 1 + a 2 x 2 } = a 1 L{x 1 } + a 2 L{x 2 } (2) x(t) = δ(t t ) x(t ) dt x[i] = δ[i i ] x[i ] (3) h[i, i ] x[i ] (4)

(1) L{a 1 x 1 + a 2 x 2 } = a 1 L{x 1 } + a 2 L{x 2 } (2) x(t) = δ(t t ) x(t ) dt x[i] = δ[i i ] x[i ] (3) h[i, i ] x[i ] (4) Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΗΥ240: Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων Γραμμικά χρονικά μεταβαλλόμενα συστήματα Συνάρτηση συστήματος Ένα σύστημα L απεικονίζει κάθε σήμα εισόδου x σε ένα σήμα εξόδου y, δηλ., συνεχής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό θα υπενθυμίσουμε τις βασικές έννοιες που αφορούν πρότυπα πάνω από ένα δακτύλιο Θα περιοριστούμε στα πλέον απαραίτητα για αυτά που ακολουθούν στα άλλα κεφάλαια Η κατευθυντήρια

Διαβάστε περισσότερα

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) = Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Π Κ Τ Μ Ε Μ Λύσεις των ασκήσεων

Π Κ Τ Μ Ε Μ Λύσεις των ασκήσεων Π Κ Τ Μ Ε Μ Λύσεις των ασκήσεων Πρ. Η f : [0, ] R είναι συνεχής στο [0, ]. Χρησιμοποιώντας το Θεώρημα Bolzao- Weierstraß δείξτε ότι η f είναι φραγμένη στο [0, ]. Μην επικαλεστείτε κάποιο άλλο θεώρημα.

Διαβάστε περισσότερα

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι 1.1 Ορισμός και παραδείγματα Ορισμός 1.1.1 μετρική). Εστω X ένα μη κενό σύνολο. Μετρική στο X λέγεται κάθε συνάρτηση ρ : X X R με τις παρακάτω ιδιότητες: i) ρx, y) για κάθε x,

Διαβάστε περισσότερα

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι 36 6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι Έστω R διάστημα και f : R συνεχής συνάρτηση τότε, όπως γνωρίζουμε από τον Απειροστικό Λογισμό, η f έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσου τιμής. Η ιδιότητα αυτή δεν εξαρτάται

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Περίληψη του μαθήματος Μιχάλης Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 1η εβδομάδα. Στα πρώτα δύο μαθήματα είπαμε κάποια πολύ βασικά πράγματα για

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 5-10-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Τώρα θα μιλήσουμε για την έννοια της περιοχής, η οποία έχει κεντρικό ρόλο στη μελέτη της έννοιας του ορίου (ακολουθίας και συνάρτησης). Αν > 0, ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Ανάλυση Πινάκων Κεφάλαιο 1: Νόρμες Διανυσμάτων και Πινάκων Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Δ.Π.Μ.Σ. Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Apì ton diakritì kôbo ston q ro tou Gauss

Apì ton diakritì kôbo ston q ro tou Gauss Apì ton diaritì Ôbo ston q ro tou Gauss 1 Isoperimetri anisìthta sto diaritì Ôbo Θεωρούμε την οικογένεια J των συναρτήσεων J : [0 1] [0 ) που ικανοποιούν τα εξής: J0) = J1) = 0. Για κάθε a b [0 1] a +

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι διάστηµα και f : Ι συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f ( Ι )

Διαβάστε περισσότερα

lim y < inf B + ε = x = +. f(x) =

lim y < inf B + ε = x = +. f(x) = ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μαθηματική Ανάλυση Ι ΟΜΑΔΑ: Α 8 Μαρτίου, 0 Θέμα. (αʹ) Εστω A, B μη κενά σύνολα πραγματικών αριθμών τέτοια ώστε x y, για

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Ημιαπλοί Δακτύλιοι Είδαμε στο κύριο θεώρημα του προηγούμενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισμα απλών προτύπων Εδώ θα χαρακτηρίσουμε όλους

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = lim f n (t) = d(t, x n ) d(t, x) = f(t)

f(x) = lim f n (t) = d(t, x n ) d(t, x) = f(t) Κεφάλαιο 7 Ακολουθίες και σειρές συναρτήσεων 7.1 Ακολουθίες συναρτήσεων: κατά σημείο σύγκλιση Ορισμός 7.1.1. Εστω X σύνολο, (Y, ρ) μετρικός χώρος και f n, f : X Y (n = 1, 2,...). Λέμε ότι η ακολουθία συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών & Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών & Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών & Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Μαθηματική προτυποποίηση στις σύγχρονες επιστήμες και την

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι R διάστηµα και f : Ι R συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f (

Διαβάστε περισσότερα

X v (q) = ( x v (q), y v (q), z v (q) ) x u (q) y u (q) z u (q) x v (q) y v (q) z v (q) X 1 u (q) X 1. det. X 2 u (q) X 2. v (q)

X v (q) = ( x v (q), y v (q), z v (q) ) x u (q) y u (q) z u (q) x v (q) y v (q) z v (q) X 1 u (q) X 1. det. X 2 u (q) X 2. v (q) Κεφάλαιο 2 Κανονικές επιφάνειες Σύνοψη Προκειμένου να ορίσουμε την έννοια της επιφάνειας στον R 3, έχουμε δύο δυνατές προσεγγίσεις. Με την πρώτη μπορούμε να ορίσουμε μια επιφάνεια ως ένα υποσύνολο του

Διαβάστε περισσότερα

7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ. και σε κάθε γειτονιά του z

7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ. και σε κάθε γειτονιά του z 7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ Ένα σημείο λέγεται ανώμαλο σημείο της συνάρτησης f( ) αν η f( ) δεν είναι αναλυτική στο και σε κάθε γειτονιά του υπάρχει ένα τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

Το φασματικό Θεώρημα

Το φασματικό Θεώρημα Το φασματικό Θεώρημα 1 Το φάσμα ενός τελεστή Λήμμα 1.1 Έστω A B(H) φυσιολογικός τελεστής. Αν x H είναι ιδιοδιάνυσμα του A με ιδιοτιμή λ, τότε A x = λx. Έπεται ότι οι ιδιόχωροι ενός φυσιολογικού τελεστή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο.

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο. Κεφάλαιο Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο Ορισμοί και Παραδείγματα Παραδοχές Στo βιβλίο αυτό θα κάνουμε τις εξής παραδοχές Χρησιμοποιούμε προσθετικό συμβολισμό

Διαβάστε περισσότερα

8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι

8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι 94 8 Πολλαπλές μερικές παράγωγοι Οι μερικές παράγωγοι,,, αν υπάρχουν, μιας συνάρτησης : U R R ( U ανοικτό είναι αυτές συναρτήσεις από το U στο R, επομένως μπορεί να ορισθεί για αυτές η έννοια της μερικής

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΘΕΜΗΣ ΜΗΤΣΗΣ TΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ

ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΘΕΜΗΣ ΜΗΤΣΗΣ TΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΘΕΜΗΣ ΜΗΤΣΗΣ TΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ Περιεχόμενα 1. Το εξωτερικό μέτρο Lebesgue 2 2. Mετρήσιμα σύνολα 4 3. Η κανονικότητα του μέτρου Lebesgue

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ Μ. Παπαδημητράκης. 1 ΕΒΔΟΜΟ ΜΑΘΗΜΑ Θα γυρίσουμε πίσω για να κάνουμε μια απόδειξη που είχαμε παραλείψει σε κάποιο προηγούμενο παράδειγμα. Παράδειγμα. Έστω ξ [, b] και η συνάρτηση { 0, αν x [, b],

Διαβάστε περισσότερα

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher Το ϑεώρηµα του Rademacher Νικόλαος Μουρδουκούτας Περίληψη Σε αυτήν την εργασία ϑα αποδείξουµε το ϑεώρηµα του Rademacher, σύµφωνα µε το οποίο κάθε Lipschiz συνάρτηση f : R m είναι διαφορίσιµη σχεδόν παντού.

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015.

Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015. Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες

Διαβάστε περισσότερα

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0.

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0. Ασκήσεις4 46 Ασκήσεις 4 Τριγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις, Θεώρημα των Cayley-Hamilton Βασικά σημεία Ορισμός τριγωνίσιμου πίνακα, ορισμός τριγωνίσιμης γραμμικής απεικόνισης Κριτήριο τριγωνισιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier Κεφάλαιο 7 L -σύγκλιση σειρών Fourier 7.1 Χώροι Hilbert 7.1.1 Χώροι µε εσωτερικό γινόµενο και χώροι Hilbert Ορισµός 7.1.1. Εστω X γραµµικός χώρος πάνω από το K. Μια συνάρτηση, : X X K λέγεται εσωτερικό

Διαβάστε περισσότερα

21 a 22 a 2n. a m1 a m2 a mn

21 a 22 a 2n. a m1 a m2 a mn Παράρτημα Α Βασική γραμμική άλγεβρα Στην ενότητα αυτή θα παρουσιαστούν με συνοπτικό τρόπο βασικές έννοιες της γραμμικής άλγεβρας. Ο στόχος της ενότητας είναι να αποτελέσει ένα άμεσο σημείο αναφοράς και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3: Οι εκδοχές p και hp της ΜΠΣ στη 1- διάσταση

Κεφάλαιο 3: Οι εκδοχές p και hp της ΜΠΣ στη 1- διάσταση Κεφάλαιο 3: Οι εκδοχές και της ΜΠΣ στη - διάσταση Μέχρι τώρα είδαμε την εκδοχή της ΜΠΣ (με γραμμικά πολυώνυμα βάσης) στην οποία η σύγκλιση επιτυγχάνεται με την εκλέπτυνση του πλέγματος δηλ 0 Κατά τη δεκαετία

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Αρμονικής Ανάλυσης

Θέματα Αρμονικής Ανάλυσης ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θέματα Αρμονικής Ανάλυσης Ενότητα 2: Πραγματική Ανάλυση Μιχ. Μ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( ) Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά

Διαβάστε περισσότερα

1 1 + nx. f n (x) = nx 1 + n 2 x 2. x2n 1 + x 2n

1 1 + nx. f n (x) = nx 1 + n 2 x 2. x2n 1 + x 2n Οι ασκήσεις αυτές έχουν σκοπό να βοηθήσουν τους φοιτητές στην μελέτη τους για το μάθημα «Ανάλυση ΙΙ» του Τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Αιγαίου. Συνιστούμε στους φοιτητές να επεξεργαστούν αυτές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11. Πολυώνυμα Taylor Ορισμός

Κεφάλαιο 11. Πολυώνυμα Taylor Ορισμός Κεφάλαιο Πολυώνυμα Taylor Στο κεφάλαιο αυτό θα κάνουμε μια σύντομη εισαγωγή στα πολυώνυμα Taylor. Τα πολυώνυμα αυτά μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως προσεγγίσεις μιας συνάρτησης γύρω από ένα σημείο, και έχουν

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ο διανυσματικός χώρος των φυσικών καταστάσεων Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β.

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Η έννοια της ακολουθίας Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Δηλαδή: f : A B Η ακολουθία είναι συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

X u, X u. Z = X u. W EG F 2 (X v F E X u). X u, X v X v, X v

X u, X u. Z = X u. W EG F 2 (X v F E X u). X u, X v X v, X v Κεφάλαιο 6 Το Θαυμαστό Θεώρημα Σύνοψη Στο Κεφάλαιο αυτό αποδεικνύουμε ένα από τα δύο κεντρικά θεωρήματα της θεωρίας επιφανειών το άλλο είναι το Θεώρημα των auss-bonnet. Το θεώρημα αυτό είναι γνωστό ως

Διαβάστε περισσότερα

1 m z. 1 mz. 1 mz M 1, 2 M 1

1 m z. 1 mz. 1 mz M 1, 2 M 1 Σύνοψη Κεφαλαίου 6: Υπερβολική Γεωμετρία Υπερβολική γεωμετρία: το μοντέλο του δίσκου 1. Στο μοντέλο του Poincaré της υπερβολικής γεωμετρίας, υπερβολικά σημεία είναι τα σημεία του μοναδιαίου δίσκου, D =

Διαβάστε περισσότερα

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE 6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE Σκοπός του κεφαλαίου είναι να ορίσει τον αμφίπλευρο μετασχηματισμό aplace ή απλώς μετασχηματισμό aplace (Μ) και το μονόπλευρο μετασχηματισμό aplace (ΜΜ), να περιγράψει

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικές Εξισώσεις.

Διαφορικές Εξισώσεις. Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 2015-16. Λύσεις του έβδομου φυλλαδίου ασκήσεων. 1. Λύστε την παρακάτω δ.ε. με τη δοσμένη αρχική συνθήκη. Σχεδιάστε τις χαρακτηριστικές καθώς και το γράφημα της λύσης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφαλαιο 7: Η ΜΠΣ για ελλειπτικά προβλήματα με μη-ομαλές λύσεις

Κεφαλαιο 7: Η ΜΠΣ για ελλειπτικά προβλήματα με μη-ομαλές λύσεις Κεφαλαιο 7: Η ΜΠΣ για ελλειπτικά προβλήματα με μη-ομαλές λύσεις Όπως είδαμε μέχρι τώρα η ομαλότητα της ακριβούς λύσης επηρεάζει τις εκτιμήσεις σφάλματος με τέτοιο τρόπο ώστε ολα όσα αποδείξαμε ισχύουν

Διαβάστε περισσότερα

1 Μέθοδοι ελαχιστοποίησης

1 Μέθοδοι ελαχιστοποίησης 1 Μέθοδοι ελαχιστοποίησης Θεωρούμε το n n πραγματικό σύστημα (1.1) Ax = b, με A ένα συμμετρικό και θετικά ορισμένο πίνακα και b R n. Ορίζουμε το συναρτησιακό ϕ : R n R (1.2) ϕ(x) = 1 (Ax, x) (b, x), 2

Διαβάστε περισσότερα

Το Θεώρημα Stone - Weierstrass

Το Θεώρημα Stone - Weierstrass Το Θεώρημα Stone - Weierstrass Θεώρημα 1 Έστω ¹ X συμπαγής χώρος Hausdorff και έστω C R (X η πραγματική άλγεβρα όλων των συνεχών συναρτήσεων f : X R. Έστω ότι ένα υποσύνολο A C R (X (1 το A είναι υπάλγεβρα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 2 Μ. Παπαδημητράκης. 1 ΔΩΔΕΚΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Έστω συνάρτηση f ορισμένη σε διάστημα I. Λέμε ότι η F είναι αντιπαράγωγος της f στο I αν ισχύει F = f στο I. ΠΡΟΤΑΣΗ. Αν η F είναι αντιπαράγωγος της f στο

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Αρμονική Ανάλυση. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Αρμονική Ανάλυση. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης Μιχάλης Παπαδημητράκης Αρμονική Ανάλυση Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Περιεχόμενα 1 Το ολοκλήρωμα Lebesgue. 1 1.1 Σύνολα μηδενικού μέτρου..................................... 1 1.2 Η συλλογή C

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 6. Βέλτιστες προσεγγίσεις σε ευκλείδειους χώρους Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε προσεγγίσεις που ελαχιστοποιούν αποστάσεις σε διανυσµατικούς χώρους, µε νόρµα που προέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

(1.1) y (t) = f ( t, y(t) ), a t b, y(a) = y 0.

(1.1) y (t) = f ( t, y(t) ), a t b, y(a) = y 0. 1. Προβλήματα αρχικών τιμών Στο μεγαλύτερο μέρος αυτού του βιβλίου θα ασχοληθούμε με μεθόδους αριθμητικής επίλυσης προβλημάτων αρχικών τιμών για Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις (Σ.Δ.Ε.). Στο πρώτο κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη 94 Ένας χώρος με νόρμα (, ( ( ( ϕ : : ϕ =, ( 4. Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια λέγεται αυτοπαθής ( refleive, αν η κανονική εμφύτευση,, είναι επί του, δηλαδή ϕ =. Παρατηρούμε ότι ένας αυτοπαθής χώρος

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Εισαγωγή Οι αριθμοί που εκφράζουν το πλήθος των στοιχείων ανά αποτελούν ίσως τους πιο σημαντικούς αριθμούς της Συνδυαστικής και καλούνται διωνυμικοί συντελεστές διότι εμφανίζονται

Διαβάστε περισσότερα

(β) Από την έκφραση (22) και την απαίτηση (20) βλέπουμε ότι η συνάρτηση Green υπάρχει αρκεί η ομογενής εξίσωση. ( L z) ( x) 0

(β) Από την έκφραση (22) και την απαίτηση (20) βλέπουμε ότι η συνάρτηση Green υπάρχει αρκεί η ομογενής εξίσωση. ( L z) ( x) 0 Τρόποι Κατασκευής Εάν οι ιδιοσυναρτήσεις του διαφορικού τελεστή L αποτελούν ένα ορθοκανονικό L ( ) ( ) (7) και πλήρες σύστημα συναρτήσεων ( ) m( ), m (8) και εάν τότε η εξίσωση Gree ( ) ( ) ( ) (9) z ()

Διαβάστε περισσότερα

Έχοντας υπόψιν το Λήμμα του Urysohn, είναι φυσικό να θέσουμε το ακόλουθο ερώτημα: Αν

Έχοντας υπόψιν το Λήμμα του Urysohn, είναι φυσικό να θέσουμε το ακόλουθο ερώτημα: Αν 3 4.3 Τελείως κανονικοί χώροι ( ). 3 2 Έχοντας υπόψιν το Λήμμα του Urysoh, είναι φυσικό να θέσουμε το ακόλουθο ερώτημα: Αν κανονικός χώρος, x και κλειστό ώστε x. Υπάρχει τότε συνεχής συνάρτηση f :, ώστε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 15-10-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Παράδειγμα. Ως εφαρμογή της Αρχιμήδειας Ιδιότητας θα μελετήσουμε το σύνολο { 1 } A = n N = {1, 1 n 2, 1 } 3,.... Κατ αρχάς το σύνολο A έχει προφανώς

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάμε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων Αυτές συνδέονται μεταξύ τους με την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

Aριθμητική Ανάλυση, 4 ο Εξάμηνο Θ. Σ. Παπαθεοδώρου

Aριθμητική Ανάλυση, 4 ο Εξάμηνο Θ. Σ. Παπαθεοδώρου Aριθμητική Ανάλυση, 4 ο Εξάμηνο Θ. Σ. Παπαθεοδώρου Άνοιξη 2002 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. Τι σημαίνει f ; f 2 ; f 1 ; Να υπολογισθούν αυτές οι ποσότητες για f(x)=(x-α) 3 (β-x) 3, α

Διαβάστε περισσότερα

n = r J n,r J n,s = J

n = r J n,r J n,s = J Ανάλυση Fourer και Ολοκλήρωμα Lebesgue (2011 12) 4ο Φυλλάδιο Ασκήσεων Υποδείξεις 1. Εστω E [a, b] με µ (E) = 0. Δείξτε ότι το [a, b] \ E είναι πυκνό υποσύνολο του [a, b]. Υπόδειξη. Θεωρήστε ένα μη κενό

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]}

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]} 7 ΙΙΙ Ολοκληρωτικός Λογισµός πολλών µεταβλητών Βασικές έννοιες στη µια µεταβλητή Έστω f :[ ] φραγµένη συνάρτηση ( Ρ = { t = < < t = } είναι διαµέριση του [ ] 0 ( Ρ ) = Μ ( ) όπου sup f ( t) : t [ t t]

Διαβάστε περισσότερα

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν

Διαβάστε περισσότερα

3. Γραμμικά Συστήματα

3. Γραμμικά Συστήματα 3. Γραμμικά Συστήματα Ασκήσεις 3. Αποδείξτε ότι το γινόμενο δύο άνω τριγωνικών πινάκων είναι άνω τριγωνικός πίνακας. Επίσης, στην περίπτωση που ένας άνω τριγωνικός πίνακας U 2 R n;n είναι αντιστρέψιμος,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ (1/7/ 2013) y x + y.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ (1/7/ 2013) y x + y. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ (/7/ 203) ΘΕΜΑ. (α) Δίνεται η συνάρτηση f : R 2 R με f(x, y) = xy x + y, αν (x, y) (0, 0) και f(0, 0) = 0. Δείξτε ότι η f είναι συνεχής στο (0, 0). (β) Εξετάστε αν

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Κατάλογος Σχημάτων

Πρόλογος. Κατάλογος Σχημάτων Περιεχόμενα Πρόλογος Κατάλογος Σχημάτων v xv 1 ΜΔΕ πρώτης τάξης 21 1.1 Γενικότητες........................... 21 1.2 Εισαγωγή............................ 24 1.2.1 Γεωμετρικές θεωρήσεις στο πρόβλημα της

Διαβάστε περισσότερα

Καµπύλες στον R. σ τελικό σηµείο της σ. Το σ. σ =. Η σ λέγεται διαφορίσιµη ( αντιστοίχως

Καµπύλες στον R. σ τελικό σηµείο της σ. Το σ. σ =. Η σ λέγεται διαφορίσιµη ( αντιστοίχως Καµπύλες στον R 9. Ορισµός Μια καµπύλη στον R είναι µια συνεχής συνάρτηση σ : Ι R R όπου Ι διάστηµα ( συνήθως κλειστό και φραγµένο ) στον R. Συνήθως φανταζόµαστε την µεταβλητή t Ι ως τον χρόνο και την

Διαβάστε περισσότερα

κυρτές συναρτήσεις. Αν η g είναι γνησίως αύξουσα τότε η gof : είναι κυρτή. . Θα δείξουμε ότι η h είναι γνησίως αύξουσα.

κυρτές συναρτήσεις. Αν η g είναι γνησίως αύξουσα τότε η gof : είναι κυρτή. . Θα δείξουμε ότι η h είναι γνησίως αύξουσα. Άσκηση Έστω f, g: κυρτές συναρτήσεις Αν η g είναι γνησίως αύξουσα τότε η gof : είναι κυρτή Λύση Θα δείξουμε ότι η h ( ) Θέτουμε h( ) gof ( ) g f ( ) είναι γνησίως αύξουσα h( ) g f ( ) f ( ) Έχουμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΦΩΤΙΟΣ ΚΑΣΟΛΗΣ. PhD Εφαρμοσμένων Μαθηματικών MSc Μαθηματικής Φυσικής. ΔΙΑΛΕΞΕΙΣ Κβαντομηχανικής

ΦΩΤΙΟΣ ΚΑΣΟΛΗΣ. PhD Εφαρμοσμένων Μαθηματικών MSc Μαθηματικής Φυσικής. ΔΙΑΛΕΞΕΙΣ Κβαντομηχανικής ΦΩΤΙΟΣ ΚΑΣΟΛΗΣ PhD Εφαρμοσμένων Μαθηματικών MSc Μαθηματικής Φυσικής ΔΙΑΛΕΞΕΙΣ Κβαντομηχανικής ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 216 Ε Ν Ο Τ Η Τ Α 1 Στοιχεία συναρτησιακής ανάλυσης Βασικοί ορισμοί Το σύνολο C των μιγαδικών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

f I X i I f i X, για κάθεi I.

f I X i I f i X, για κάθεi I. 47 2 Πράξεις σε τοπολογικούς χώρους 2. Η τοπολογία γινόμενο Σε προηγούμενη παράγραφο ορίσαμε την τοπολογία γινόμενο στο καρτεσιανό γινόμενο Y δύο τοπολογικών χώρων Y, ( παράδειγμα.33 () ). Στην παρούσα

Διαβάστε περισσότερα

R f. P = {a = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n = b} m k = inf{f(x) : x k x x k+1 } και M k = sup{f(x) : x k x x k+1 }

R f. P = {a = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n = b} m k = inf{f(x) : x k x x k+1 } και M k = sup{f(x) : x k x x k+1 } Σημειώσεις Θεωρίας Μέτρου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα, 2014 ii Πρώτη έκδοση, πιθανόν με τυπογραφικά λάθη. Περιεχόμενα Εισαγωγή 1 1 σ-άλγεβρες 5 1.1 Άλγεβρες και σ-άλγεβρες.........................

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 2: Εισαγωγικές έννοιες

Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 2: Εισαγωγικές έννοιες Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 2: Εισαγωγικές έννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τμήμα Πληροφορικής Μέρος I Εναρξη μαθήματος Γραμμική άλγεβρα Ι Ευάγγελος Ράπτης 1 Τα παρακάτω κείμενα, γράφονται και ενημερώνονται καθημερινά

Διαβάστε περισσότερα

V x, y W x, y, y συνιστούν προφανώς ένα ανοικτό

V x, y W x, y, y συνιστούν προφανώς ένα ανοικτό 81 3.2 Το θεώρημα Tychooff. Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε με το θεώρημα Tychooff, δηλαδή ότι ένα αυθαίρετο καρτεσιανό γινόμενο συμπαγών χώρων είναι, με την τοπολογία γινόμενο, συμπαγής χώρος. Το θεώρημα

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Μιχάλης Παπαδημητράκης Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Περιεχόμενα 1 Γενικά. 1 1.1 Μερικές διαφορικές εξισώσεις............................ 1 1.2 Διαφορικοί τελεστές................................. 2 1.3

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις Ασκήσεις 5 Βασικά σημεία Ιδιότητες ιδιόχωρων: Έστω,, Ισχύουν τα εξής Ασκήσεις Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις κάποιες διακεκριμένες ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης : V V, όπου o Αν v v 0, όπου

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων

Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων 7 Βασικά σημεία Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων Το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στο και Ορθοκανονικές βάσεις και η μέθοδος Gram-Schmidt Ορισμός, Ερμιτιανού πίνακα και μοναδιαίου πίνακα Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 6. Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα6, Εφαρμογές Θεωρημάτων Δομής στη Γραμμική Αλγεβρα.

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 6. Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα6, Εφαρμογές Θεωρημάτων Δομής στη Γραμμική Αλγεβρα. Δακτύλιοι και Πρότυπα 0-7 Ασκήσεις Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα, Εφαρμογές Θεωρημάτων Δομής στη Γραμμική Αλγεβρα Βρείτε τη ρητή κανονική μορφή και μια κανονική μορφή Jorda του M( ) 0 0 Έστω

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΝΟΥΤΣΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΚΩΝ. Ιωάννινα 2014

ΘΕΩΡΙΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΝΟΥΤΣΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΚΩΝ. Ιωάννινα 2014 ΘΕΩΡΙΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΝΟΥΤΣΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΚΩΝ Ιωάννινα 0 Περιεχόμενα ΕΙΣΑΓΩΓΗ 5. Νόρμες.................................... 6. Υπαρξη και μονοσήμαντο.......................... 8 ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1 - Σημειώσεις 1

Διάλεξη 1 - Σημειώσεις 1 Διάλεξη 1 - Σημειώσεις 1 Σύνολα Πως διαβάζουμε κάποιους συμβολισμούς: ανήκει και η άρνηση, δηλαδή δεν ανήκει υπάρχει για κάθε : τέτοιο ώστε. Επίσης το σύμβολο έχει την ερμηνεία «τέτοιο ώστε» και ή υπονοεί

Διαβάστε περισσότερα

ILP-Feasibility conp

ILP-Feasibility conp Διάλεξη 19: 23.12.2014 Θεωρία Γραμμικού Προγραμματισμού Γραφέας: Χαρίλαος Τζόβας Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος 19.1 Θεωρία Πολυπλοκότητας και προβλήματα απόφασης Για να μιλήσουμε για προβλήματα και τον

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή

Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή Κεφάλαιο : Εισαγωγή. Στοιχεία συναρτησιακών χώρων Αρχίζουμε με κάποια προκαταρτικά στοιχεία συναρτησιακών χώρων τα οποία θα μας χρησιμεύσουν στη συνέχεια. Υποθέτουμε ότι όλες οι συναρτήσεις είναι πραγματικές...

Διαβάστε περισσότερα