1 Μέθοδοι ελαχιστοποίησης
|
|
- Ευστοργιος Αρβανίτης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 1 Μέθοδοι ελαχιστοποίησης Θεωρούμε το n n πραγματικό σύστημα (1.1) Ax = b, με A ένα συμμετρικό και θετικά ορισμένο πίνακα και b R n. Ορίζουμε το συναρτησιακό ϕ : R n R (1.2) ϕ(x) = 1 (Ax, x) (b, x), 2 όπου (, ) είναι το ευκλείδειο εσωτερικό γινόμενο στον R n. Αν z = A 1 b είναι η λύση του (1.1) τότε για κάθε y R n έχουμε ϕ(y + z) = ϕ(z) (Ay, y). Συμπεραίνουμε ότι ϕ(z + y) > ϕ(z) για κάθε μη μηδενικό διάνυσμα y R n, δηλαδή το ϕ(x) παίρνει την ελάχιστη τιμή του στον R n στο σημείο z = A 1 b. Συνεπώς το πρόβλημα της επίλυσης του (1.1) είναι ισοδύναμο με το πρόβλημα ελαχιστοποίησης χωρίς περιορισμούς (1.3) min x R n ϕ(x). Επειδή ϕ(x) = Ax b, το z = A 1 b είναι το μοναδικό κρίσιμο σημείο στο οποίο το ϕ(x) έχει ελάχιστο (είναι συστηρά κυρτό). Αν ξέρουμε ότι ϕ(x) 0 τότε η συνάρτηση g(α) = ϕ(x + au), α R, x, u R n, που περιγράφει τη συμπεριφορά του ϕ κοντά στο σημείο x κατά την κατεύθυνση του u, ελαττώνεται με μέγιστο ρυθμό ελάττωσης όταν u = ϕ(x). Πράγματι, g(0) = ϕ(x) και g (0) = ( ϕ(x), u). Η παρατήρηση αυτή μας οδηγεί σε μια επαναληπτική μέθοδο για τον υπολογισμό των ελαχίστων του ϕ, τη λεγόμενη μέθοδο της καθόδου μέγιστης κλίσης (steepest descent method). Η μέθοδος παράγει μια ακολουθία {x j }, j 0 προσεγγίσεων ενός (τοπικού) ελαχίστου x του ϕ ως εξής: έστω x k μια προσέγγιση του x. Η x k+1 ορίζεται ως το πλησιέστερο στο x k ελάχιστο του ϕ(x) όταν το x περιορίζεται πάνω στην ακτίνα που διέρχεται από το x k και έχει τη δεύθυνση του ϕ(x k ). Βρίσκουμε δηλαδή τον μικρότερο θετικό αριθμό α όπου η συνάρτηση g(α) = ϕ(x k α ϕ(x k )) έχει ελάχιστο και ορίζουμε x k+1 = x k α ϕ(x k ). Στην περίπτωση του συναρτησιακού (1.2), στο σημείο x k το ϕ(x) ελαττώνεται ταχύτερα στην κατεύθυνση ϕ(x k ) = b Ax k, την οποία ταυτίζουμε με το υπόλοιπο r k του x k. Αν r k 0 (διαφορετικά x k = A 1 b) υπολογίζουμε το x k+1 ελαχιστοποιώντας το πολυώνυμο (ως πρός α) ϕ(x k + αr k ) = ϕ(x k ) (r k, r k )α (Ark, r k )α 2, του οποίου το ελάχιστο λαμβάνεται για α = (r k, r k )/(Ar k, r k ). Οδηγούμαστε λοιπόν στον εξής αλγόριθμο της μεθόδου της καθόδου μέγιστης κλίσης για την ελαχιστοποίηση του συναρτησιακού (1.2): x 0 = 0 for k = 1, 2,... do r k 1 = b Ax k 1 if r k 1 = 0 then x = x k 1, τέλος α k = (r k 1, r k 1 )/(Ar k 1, r k 1 ) x k = x k 1 + α k r k 1 1
2 Ο αλγόριθμος τερματίζεται όταν ικανοποιηθούν ένα ή περισσότερα από τα συνήθη κριτήρια τερματισμού επαναληπτικών μεθόδων, για παράδειγμα, αν r k δ r 0, για κάποια σταθερά 0 < δ < 1. Εδώ, = (, ) 1/2 είναι η νόρμα που παράγεται από το ευκλείδειο εσωτερικό γινόμενο. Θα μελετήσουμε τη σύγκλιση της μεθόδου στη φυσική νόρμα του προβλήματος δηλαδή τη νόρμα που παράγεται από το εσωτερικό γινόμενο (Ax, y) στον R n. Θα χρησιμοποιήσουμε το γεγονός ότι ο A, σαν συμμετρικός και θετικά ορισμένος πίνακας, έχει n θετικές ιδιοτιμές λ min = λ 1 λ 2 λ n = λ max και n αντίστοιχα, ορθοκανονικά ως προς το (, ), ιδιοδιανύσματα v j, j = 1,..., n. Θεώρημα 1.1. Έστω {x j } j 0 η ακολουθία που παράγει η μέθοδος της καθόδου μέγιστης κλίσης για οποιοδήποτε x 0 R n και έστω x η λύση του (1.1). Τότε x j x, j. Μάλιστα, αν e j = x x j είναι το σφάλμα της προσέγγισης x j και κ = λ max /λ min ισχύει ότι ( ) κ 1 j (1.4) (Ae j, e j ) 1/2 (Ae 0, e 0 ) 1/2, j = 0, 1,.... κ + 1 Απόδειξη. Έχουμε Ae j = r j και e j+1 = x x j+1 = e j α j+1 r j. Χρησιμοποιώντας τον ορισμό του α j+1 εύκολα βλέπουμε ότι (Ae j+1, r j ) = 0. Οι σχέσεις αυτές μας επιτρέπουν να γράψουμε, για οποιοδήποτε a R, (Ae j+1, e j+1 ) = (Ae j+1, e j α j+1 r j ) = (Ae j+1, e j ) a(ae j+1, r j ) = (Ae j+1, e j ar j ). Από την ανισότητα Cauchy Schwarz έχουμε τώρα (Ae j+1, e j+1 ) (Ae j+1, e j+1 ) 1/2 (A(e j ar j ), e j ar j ) 1/2, a R. Χρησιμοποιώντας τώρα την σχέση Ae j = r j έχουμε e j ar j = (I aa)e j οπότε A(e j ar j ) = A(I aa)e j = (I aa)ae j. Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι (1.5) (Ae j+1, e j+1 ) inf a R ((I aa)aej, (I aa)e j ), j 0. Αν u R n μπορούμε να γράψουμε u = n j=1 (u, vj )v j και Au = n j=1 λ j(u, v j )v j. Γενικώτερα, για κάθε πραγματικό πολυώνυμο p έχουμε p(a)u = n j=1 p(λ j)(u, v j )v j, οπότε n ((I aa)ae j, (I aa)e j ) = (1 aλ i ) 2 λ i (e j, v i ) 2 i=1 max 1 i n (1 aλ i) 2 n λ i (e j, v i ) 2 i=1 = max 1 i n (1 aλ i) 2 (Ae j, e j ). Η σχέση αυτή και η (1.5) δίνουν ( ) (1.6) (Ae j+1, e j+1 ) 1/2 inf max 1 aλ (Ae j, e j ) 1/2, j 0. a R λ [λ min,λ max] Προφανώς, ( ) σ = inf max 1 aλ a R λ [λ min,λ max ] = inf a R (max( 1 aλ min, 1 aλ max )), και η συνάρτηση a max( 1 aλ min, 1 aλ max ) παίρνει την ελάχιστη τιμή της όταν 1 aλ min > 0, 1 aλ max < 0 και 1 aλ min = 1 aλ max, δηλαδή όταν a = 2/(λ min + λ max ). Τότε σ = (κ 1)/(κ + 1) και η εκτίμηση της ταχύτητας σύγκλισης της ακολουθίας {e j } προκύπει από τη σχέση (1.6). 2
3 Παρατήρηση 1.2. Είναι φανερό από τη σχέση (1.4) ότι η ταχύτητα σύγκλισης της ακολουθίας {e j } μπορεί να είναι πολύ μικρή αν ο λόγος κ = λ max /λ min είναι μεγάλος, με άλλα λόγια αν ο δείκτης κατάστασης του πίνακα A στη νόρμα = (, ) 1/2 είναι μεγάλος. Ενδιαφέρον παρουσιάζει η γεωμετρική ερμηνεία της μεθόδου της καθόδου μέγιστης κλίσης. Οι ισοϋψείς επιφάνιες ϕ(x) = σταθ. του συναρτησιακού ϕ είναι ελλειψοειδή στον R n με κέντρο το σημείο A 1 b και άξονες παράλληλους προς τα ιδιοδιανύσματα v i με μήκη αξόνων ανάλογα των αριθμών λ 1/2 i. Μπορεί να δειχθεί ακόμα ότι τα διανύσματα x k+1 x k και x k x k 1 είναι ορθογώνια. Αν λοιπόν λ max λ min τα ελλειψοειδή είναι υπερβολικά στενόμακρα και η κάθοδος προς το κέντρο μιας βαθιάς χαράδρας με απότομες πλαγιές γίνεται με ζίγκ-ζάγκ στις διαδοχικές ορθογώνιες κατευθύνσεις r k = ϕ(x k ) μεταξύ των πλαγιών πράγμα που καθυστερεί πολύ την κάθοδο. Έτσι, η τακτική της ελαχιστοποίησης κατά μήκος των διευθύνσεων μέγιστης κλίσης αποδεικνύεται κακή στρατηγική. Επιχειρούμε τώρα να ελαχιστοποιήσουμε το συναρτησιακό ϕ σε κατευθύνσεις p 1, p 2,..., που δεν συμπίπτουν αναγκαστικά με τα υπόλοιπα r 0, r 1,..., ελπίζοντας να βελτιώσουμε την ταχύτητα σύγκλισης. Είναι εύκολο να δούμε ότι, για δεδομένα x k 1 και μη μηδενικό διάνυσμα p k, η συνάρτηση ϕ(x k 1 + αp k ) ελαχιστοποιείται όταν a = a k = (p k, r k 1 )/(Ap k, p k ). Αν λοιπόν θέσουμε x k = x k 1 + α k p k θα ισχύει ϕ(x k ) < ϕ(x k 1 ), εφ όσον (p k, r k 1 ) 0. Όπως και πρίν, ϕ(x k ) = ϕ(x k 1 ) (pk, r k 1 ) 2(Ap k, p k ). Γενικεύουμε λοιπόν τον αλγόριθμο της μεθόδου της καθόδου μέγιστης κλίσης ως εξής: x 0 = 0 for k = 1, 2,... do r k 1 = b Ax k 1 if r k 1 = 0 then x = x k 1, τέλος διάλεξε p k τέτοιο ώστε (p k, r k 1 ) 0 α k = (p k, r k 1 )/(Ap k, p k ) x k = x k 1 + α k p k Παρατηρούμε ότι, λόγω της αναδρομικής σχέσης x k = x k 1 + α k p k, μπορούμε να γράψουμε x k = a 1 p a k p k, 1 i k. Θα ήταν ιδανικό, για παράδειγμα, αν διαλέγαμε τα p i έτσι ώστε να είναι γραμμικά ανεξάρτητα και έτσι ώστε το x k να λύνει το πρόβλημα ελαχιστοποίησης (1.7) min ϕ(x), x p 1,...,p k όπου p 1,..., p k είναι το σύνολο των διανυσμάτων που είναι γραμμικοί συνδιασμοί των p 1,..., p k. Είναι εύκολο να δειχθεί ότι το πρόβλημα ελαχιστοποίησης (1.7) έχει μοναδική λύση. Είναι φανερό ότι με μια τέτοια κατασκευή ο γενικευμένος αλγόριθμος της μεθόδου της καθόδου μέγιστης κλίσης θα συνέκλινε σε ακριβώς n βήματα στη λύση του συστήματος (1.1). Πράγματι, το x n θα ελαχιστοποιούσε το ϕ(x) για x p 1,..., p n = R n, δηλαδή x n = A 1 b. Από την άλλη μεριά, όμως, είναι επίσης φανερό ότι ο συγκεκριμένος αλγόριθμος παράγει ένα διάνυσμα x k που λύνει το μονοδιάστατο πρόβλημα ελαχιστοποίησης (1.8) min α R ϕ(xk 1 + αp k ). 3
4 Τίθεται, λοιπόν, το ερώτημα κατά πόσο είναι δυνατόν να διαλέξουμε τις κατευθύνσεις p k έτσι ώστε το x k, η λύση του (1.8), να είναι επίσης λύση του (1.7). Η ανάλυση που ακολουθεί επιχειρεί να διακιολογήσει τη θετική απάντηση σε αυτό το ερώτημα. Αν P j = [ p 1,..., p j] είναι ο n j πίνακας με στήλες τα διανύσματα p 1,..., p j, τότε ένα διάνυσμα z R n ανήκει στο πεδίο τιμών R(P j ) του πίνακα P j αν και μόνο αν z p 1,..., p j. Ειδικώτερα, αν x R(P k ) τότε το x μπορεί να γραφεί στη μορφή x = P k 1 y+ap k για κάποιο y R n 1 και a R. Τότε έχουμε (1.9) ϕ(p k 1 y + ap k ) = ϕ(p k 1 y) + a2 2 (Apk, p k ) a(p k, b) + a(p k 1 y, Ap k ). Για την ελαχιστοποίηση λοιπόν του ϕ(x) για x R(P k ) θα μηδενίσουμε, κατ αρχήν, τον τελευταίο όρο στη σχέση (1.9): με δεδομένα p i, 1 i k 1 υπολογίζουμε το p k έτσι ώστε (1.10) P T k 1 Apk = 0. Μπορούμε ακόμα να μηδενίσουμε τον δεύτερο και τρίτο όρο στο δεξί μέλος της (1.9) επιλέγοντας (1.11) a = a k = (pk, b) (Ap k, p k ). Για τον πρώτο όρο στο δεξί μέλος της (1.9), δηλαδή την ελαχιστοποίηση του ϕ(p k 1 y) για y R k 1, αρκεί να ελαχιστοποιήσουμε το ϕ πάνω στον υπόχωρο p 1,..., p k 1, πρόβλημα που η λύση του x k 1 έχει ήδη βρεθεί. Αν λοιπόν συμβαίνει αυτό και ισχύουν οι σχέσεις (1.10) και (1.11) τότε το πρόβλημα (1.7) λύνεται για x = x k = x k 1 + a k p k. Επιπλέον, επειδή x k 1 p 1,..., p k 1, έχουμε x k 1 = P k 1 z για κάποιο z R k 1. Από την (1.10) προκύπτει τότε ότι (p k, Ax k 1 ) = (Ap k, P k 1 z) = z T P T k 1 Apk = 0, δηλαδή ότι το a k που δίνεται από τη σχέση (1.11) ικανοποιεί και τη σχέση (1.12) a k = (pk, b Ax k 1 ) (Ap k, p k ) = (pk, r k 1 ) (Ap k, p k ). Αυτό σημαίνει ότι το a k λύνει το μονοδιάστατο πρόβλημα ελαχιστοποίησης (1.8). Συνοψίζουμε τα συμπεράσματα αυτής της ανάλυσης: αν το p k επιλεγεί έτσι ώστε να ισχύει η (1.10), δηλαδή να ισχύουν οι σχέσεις (1.13) (Ap i, p k ) = 0, i = 1,..., k 1, τότε ο γενικευμένος αλγόριθμος της μεθόδου της καθόδου μέγιστης κλίσης κατασκευάζει a k και x k που λύνουν τα προβλήματα (1.7) και (1.8). Αν η (1.13) ισχύει, λέμε ότι το p k είναι A-συζυγές ή A-ορθογώνιο προς τα p 1,..., p k 1. Απομένει να απαντήσουμε στα εξής ερωτήματα: 1. Είναι τα p i γραμμικά ανεξάρτητα; 2. Ισχύει ότι (p k, r k 1 ) 0 έτσι ώστε να έχουμε ελάττωση του ϕ στο βήμα k του γενικευμένου αλγορίθμου της μεθόδου της καθόδου μέγιστης κλίσης; 3. Πως υπολογίζουμε στην πράξη τα p i ; Η απάντηση στο πρώτο ερώτημα είναι θετική. Αν τα διανύσματα p i, 1 i m του R n είναι A-συζυγή, δηλαδή αν (1.14) (Ap i, p j ) = 0, i j, 4
5 και m i=1 c ip i = 0 για κάποιες σταθερές c 1,..., c m, παίρνοντας το εσωτερικό γινόμενο με κάποιο p j και χρησιμοποιώντας την (1.14) έχουμε διαδοχικά ( m ) ( m ) 0 = c i p i, p j = c i Ap i, p j = i=1 i=1 m c i (Ap i, p j ) = c j (Ap j, p j ), i=1 σχέση από την οποία προκύπτει ότι c j = 0. Όπως τονίστηκε παραπάνω, αν κατασκευάσουμε τα p i έτσι ώστε να ισχύει η (1.13) τότε θα είναι γραμμικά ανεξάρτητα και επομένως ο γενικευμένος αλγόριθμος της μεθόδου της καθόδου μέγιστης κλίσης δίνει την ακριβή λύση του προβλήματος σε n βήματα. Για το δεύτερο ερώτημα, αν κάποιο r k 1 είναι μηδέν τότε ο αλγόριθμος τερματίζει και έχουμε x k 1 = x = A 1 b. Διαφορετικά, δείχνουμε ότι υπάρχει p k R n που ικανοποιεί την (1.13) και τέτοιο ώστε (p k, r k 1 ) 0. Πράγματι, αν για κάθε p R n που είναι A- συζυγές προς τα p i, 1 i k 1, ισχύει (p, r k 1 ) = 0, ή, ισοδύναμα, (p, b Ax k 1 ) = 0, τότε (p, b) = 0 (θυμηθείτε ότι x k 1 p 1,..., p k 1 ). Από τη σχέση αυτή συμπεραίνουμε ότι p Ap 1,..., Ap k 1, ισοδύναμα, b Ap 1,..., Ap k 1. Επομένως, A 1 b p 1,..., p k 1, δηλαδή x k 1 = A 1 b και r k 1 = 0, το οποίο είναι άτοπο. Συνεπώς, μπορούμε να βρούμε p k A-συζυγές προς τα p i, 1 i k 1, τέτιοιο ώστε (p k, r k 1 ) 0, αν βέβαια r k 1 0. Όπως παρατηρήσαμε παραπάνω, p είναι A-συζυγές προς τα p i, 1 i k 1 αν και μόνο αν p Ap 1,..., Ap k 1. Η λεγόμενη μέθοδος των συζυγλων κλίσεων των Hestens και Stiefel (1952) επιλέγει ως p k το πλησιέστερο προς το r k 1 διάνυσμα του υπόχωρου Ap 1,..., Ap k 1. Μπορούμε λοιπόν να εκφράσουμε τον αλγόριθμο της μεθόδου των συζυγών κλίσεων ως εξής: x 0 = 0 for k = 1, 2,... do r k 1 = b Ax k 1 if r k 1 = 0 then x = x k 1, τέλος { p k r 0, αν k = 1 = ορθή προβολή του r k 1 στον Ap 1,..., Ap k 1, αν k > 1 α k = (p k, r k 1 )/(Ap k, p k ) x k = x k 1 + α k p k Στην επόμενη ενότητα απαντάμε το τρίτο ερώτημα που θέσαμε παραπάνω, δηλαδή πως υπολογίζουμε αποτελεσματικά τα p k και, επιπλέον, εκτιμούμε το σφάλμα e k = x x k της μεθόδου των συζυγών κλίσεων. Ασκήσεις Άσκηση 1.1. Βρείτε μια αναδρομική σχέση μεταξύ των υπολοίπων r k, r k 1 που να μας επιτρέπει να γράψουμε τον αλγόριθμο της μεθόδου της καθόδου μέγιστης κλόσης έτσι ώστε να απαιτείται ένας μόνο πολλαπλασιασμός πίνακα επί διάνυσμα για κάθε k. Πόσες, συνολικά, πράξεις απαιτεί ο νέος αλγόριθμος; Άσκηση 1.2. Δείξτε ότι δύο διαδοχικά υπόλοιπα της μεθόδου της καθόδου της μέγιστης κλίσης είναι ορθογώνια, δηλαδή (r j, r j 1 ) = 0, j 1. Δείξτε επίσης ότι τα διανύσματα x j+1 x j και x j x j 1, j 1 είναι ορθογώνια. 5
6 Άσκηση 1.3. Δείξτε ότι η παράσταση (Ax, y), x, y R n, ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο στον R n και, ως εκ τούτου, η συνάρτηση x (Ax, x) 1/2 είναι νόρμα. Βρείτε τις καλύτερες σταθερές σύγκρισης μεταξύ αυτής της νόρμας και της ευκλείδειας νόρμας. Άσκηση 1.4. Χρησιμοποιώντας τον συμβολισμό του Θεωρήματος 1.1 δείξτε ότι για j 0 έχουμε [ (Ae j+1, e j+1 (r j, r j ) 2 ] ) = 1 (Ar j, r j )(A 1 r j, r j (Ae j, e j ). ) Δείξτε επίσης την ανισότητα του Kantorovich [ (Ax, x)(a 1 (λmax + λ min ) 2 ] x, x) x 4, 4λ max λ min και δώστε έτσι μια δεύτερη απόδειξη του Θεωρήματος 1.1. Άσκηση 1.5. Θεωρούμε το 2 2 σύστημα Ax = b με ( ) 1 0 A = 0 λ και b = x = 0. Αν x k = (x 1, x 2 ) δείξτε ότι η μέθοδος της καθόδου μέγιστης κλίσης δίνει x k+1 = x ( 1x 2 (λ 1) λ 2 ) x 2 x λ3 x 2 x 2 1 Σχεδιάστε για λ = 5 τις ισοϋψείς καμπύλες του συναρτησιακού ϕ(x) και μερικές διαδοχικές προσεγγίσεις x k, k = 1, 2,..., με x 0 = (5, 1) T. Αν λ = 100, πόσα βήματα της μεθόδου θα χρειαστούν έτσι ώστε το σφάλμα (Ae j, e j ) 1/2 να γίνει μικρότερο από ϵ(ae 0, e 0 ) 1/2 όπου ϵ > 0 δεδομένο; Άσκηση 1.6. Έστω M ένας υπόχωρος του R n και y R n ένα δεδομένο διάνυσμα. Δείξτε ότι το πρόβλημα ελαχιστοποίησης του ϕ(x) για x y + M έχει μοναδική λύση. 6
7 2 Η μέθοδος των συζυγών κλίσεων Ξεκινάμε την ανάλυση της μεθόδου των συζυγών κλίσεων αποδεικνύοντας μερικές χρήσιμες ιδιότητες των υπολοίπων r i και κατευθύνσεων p i. Κατ αρχήν, θα λέμε ότι ο αλγόριθμος της μεθόδου των συζυγών κλίσεων ολοκληρώνει k βήματα αν r i 0, 0 i k 1. Σε αυτή την περίπτωση, τα x i, 1 i k έχουν υπολογιστεί επαγωγικά από τις σχέσεις: x 0 = 0 και (2.1) x i = x i 1 + a i p i, i 1. Λήμμα 2.1. Αν ο αλγόριθμος της μεθόδου των συζυγών κλίσεων ολοκληρώνει k βήματα, τότε για i = 1, 2,..., k έχουμε (2.2) (2.3) r i = r i 1 a i Ap i, P T i r i = 0, όπου P i είναι ο n i πίνακας [p 1,..., p i ] με στήλες τα p i. Απόδειξη. Η σχέση (2.2) προκύπτει εύκολα από την (2.1). Για την (2.3) τώρα, γνωρίζουμε ότι το πρόβλημα ελαχιστοποίησης (2.4) min ϕ(x), x p 1,...,p i λύνεται μοναδικά για x = x i. Εξ άλλου, επειδή x p 1,..., p i, δηλαδή, x R(P i ), το (2.4) είναι ισοδύναμο με το πρόβλημα (2.5) min y R i ϕ(p iy), του οποίου η λύση y i ικανοποιεί (Pi T AP i)y i = Pi T b. Από τη σχέση xi = P y i έπεται αμέσως η Pi T Axi = Pi T b, δηλαδή P T i ri = 0. Λήμμα 2.2. Για k 2, τα διανύσματα p k που παράγονται από τον αλγόριθμο της μεθόδου των συζυγών κλίσεων (εφ όσον ολοκληρώνει k βήματα) δίνονται από τις σχέσεις (2.6) p k = r k 1 AP k 1 z k 1, όπου z k 1 R k 1 είναι η μοναδική λύση του προβλήματος ελαχιστοποίησης (2.7) min z R k 1 rk 1 AP k 1 z. Απόδειξη. Εξ ορισμού, το p k είναι η ορθή προβολή του r k 1 στον υπόχωρο R(AP k 1 ). Συνεπώς, το r k 1 p k είναι η ορθή προβολή του r k 1 στον υπόχωρο R(AP k 1 ), δηλαδή r k 1 p k = AP k 1 z k 1 για z k 1 R k 1. Η μοναδικότητα του z k 1 έπεται από την γραμμική ανεξαρτησία των p i. Το z k 1 λύνει το πρόβλημα ελαχιστοποίησης r k 1 (r k 1 p k ) = p k = r k 1 AP k 1 z k 1 = min u R(AP k 1 ) rk 1 u = min rk 1 AP k 1 z. z R k 1 Τα δύο αυτά λήμματα θα τα χρησιμοποιήσουμε για να απόδειξουμε το εξής σημαντικό, θεωρητικό αποτέλεσμα. 7
8 Πρόταση 2.3. Αν ο αλγόριθμος της μεθόδου των συζυγών κλίσεων ολοκληρώνει k βήματα, τότε τα υπόλοιπα r 0,..., r k 1 είναι ορθογώνια μεταξύ τους και για j = 1,..., k, ισχύει (2.8) p 1,..., p j = r 0,..., r j 1 = b, Ab,..., A j 1 b. Απόδειξη. Από την (2.2) για 1 i k 1 έχουμε ότι Ap i = (r i r i 1 )/a i. Άρα Ap i r 0,..., r i. Τότε η (2.6) δίνει ότι p j = r j 1 [Ap 1,..., Ap j 1 ]z j 1 r 0,..., r i, για 1 j k. Έπεται λοιπόν ότι p j = c j,0 r c j,j 1 r j 1, όπου c j,j 1 0 γιατί τα p j είναι γραμμικά ανεξάρτητα (ως A-συζυγή). Εισάγοντας τον n k πίνακα R k = [r 0,..., r k 1 ] έχουμε P k = R k C, όπου C ένας k k αντιστρέψιμος, άνω τριγωνικός πίνακας. Συνεπώς, R k = P k C 1 και επειδή ο C 1 είναι άνω τριγωνικός συμπεραίνουμε ότι για 1 j k, r j 1 p 1,..., p j. Από την (2.3) όμως έχουμε ότι (p j, r i ) = 0, 1 j i k 1. Από τις δύο αυτές σχέσεις έχουμε ότι (r j, r i ) = 0 για 0 j i k 1, το οποίο αποδεικνύει τον πρώτο ισχυρισμό της πρότασης. Η (2.8) αποδεικνύεται με επαγωγή ως προς j. Επειδή p 1 = r 0 = b, ισχύει για j = 1. Έστω ότι ισχύει για κάποιο j, 1 j k 1. Από την (2.2) έχουμε ότι r j = r j 1 a j Ap j b, Ab,..., A j b, ενώ η (2.6) δίνει p j+1 = r j A(z j 1 pj + + z j j pj ) b, Ab,..., A j b. Συνεπώς, οι δύο υπόχωροι r 0,..., r j και p 1,..., p j+1 (και οι δύο διαστάσεως j + 1) περιέχονται στον υπόχωρο b, Ab,..., A j b ο οποίος έχει επίσης διάσταση j + 1. Άρα η (2.8) ισχύει για j + 1. Παρατήρηση 2.4. Μπορούμε εύκολα να γενικεύσουμε τη μέθοδο των συζυγών κλίσεων για αρχική τιμή x 0 0. Ορισμένα όμως προφανή πράγματα αλλάζουν στις αποδείξεις, π.χ., το x j λύνει τώρα το πρόβλημα ελαχιστοποίησης (2.9) min ϕ(x). y x 0 + p 0,...p j Οι σχέσεις (2.1) (2.3) εξακολουθούν να ισχύουν όπως επίσης και το πρώτο συμπέρασμα της Πρότασης 2.3. Ακόμα, η (2.8) θα πρέπει να αντικατασταθεί από την (2.10) p 1,..., p j = r 0,..., r j 1 = r 0, Ar 0,..., A j 1 r 0, 1 j k. Είμαστε τώρα σε θέση να εκτιμήσουμε το σφάλμα x x k σε κάθε βήμα την μεθόδου. Θεώρημα 2.5. Έστω {x j }, j 0 η ακολουθία που παράγει η μέθοδος των συζυγών κλίσεων για οποιαδήποτε αρχική τιμή x 0 R n, x η λύση του (1.1) και e j = x x j. Έστω ακόμα κ = λ max /λ min. Για j 1 έχουμε τότε ότι [ ] j κ 1 (2.11) (Ae j, e j ) 1/2 2 (Ae 0, e 0 ) 1/2. κ + 1 Απόδειξη. Κατ αρχήν σημειώνουμε ότι για οποιοδήποτε y R n έχουμε (A(x y), x y) = 2ϕ(y) + (Ax, x). Συνεπώς το πρόβλημα ελαχιστοποίησης min y S ϕ(y) για S R n είναι ισοδύναμο με το πρόβλημα ελαχιστοποίησης min y S (A(x y), x y). Συμπεραίνουμε, επειδή x j είναι η μοναδική λύση του (2.9), ότι (2.12) (Ae j, e j ) = (A(x x j ), x x j ) = min (A(x y), x y) y x 0 + p 1,...,p j = min (A(e 0 + z), e 0 + z). z p 1,...,p j Λόγω της (2.10) έχουμε ότι z p 1,..., p j αν και μόνο αν z r 0, Ar 0,..., A j 1 r 0, δηλαδή αν z = π j 1 (A)r 0 για κάποιο πολυώνυμο π j 1 P j 1. Η (2.12) και το γεγονός ότι r 0 = Ae 0 δίνουν ότι (2.13) (Ae j, e j ) = min π P j 1 ((I + Aπ(A)) 2 Ae 0, e 0 ). 8
9 Εδώ υποθέτουμε ότι j 1 και ότι ο αλγόριθμος της μεθόδου των συζυγών κλίσεων ολοκληρώνει j βήματα. Η σχέση (2.13) ισχύει και για j = 0 αν ορίσουμε P 1 = {0}. Με πράξεις ανάλογες με εκείνες της απόδειξης του Θεωρήματος 1.1 παίρνουμε Έχουμε τελικά (Ae j, e j ) min π P j 1 max (1 + λ [λ min,λ max ] λπ(λ))2 (Ae 0, e 0 ). (2.14) (Ae j, e j ) 1/2 σ j (Ae 0, e 0 ) 1/2, j 0, όπου για j 0 έχουμε θέσει σ 0 = 1 και (2.15) σ j = min π P j 1,π(0)=1 max π(λ). λ [λ min,λ max] Αποδεικνύουμε στο Λήμμα 2.7 παρακάτω ότι [ ] j κ 1 (2.16) σ j 2, j 1. κ + 1 Από τις σχέσεις (2.14) και (2.16) έπεται αμέσως η (2.11) και αυτό ολοκληρώνει την απόδειξη του θεωρήματος. Η λύση του προβλήματος min max (2.14) γίνεται με χρήση πολυωνύμων Chebyshev. Υπενθυμίζουμε ότι τα πολυώνυμα Chebyshev T j (z) ορίζονται από τις αναδρομικές σχέσεις (2.17) T 0 (z) = 1, T 1 (z) = z, T j (z) = 2zT j 1 (z) T j 2 (z), j 2. Από τον ορισμό τους είναι εύκολο να αποδείξει κανείς τις ακόλουθες ιδιότητες των πολυωνύμων Chebyshev T m (z), m 0: 1. deg(t m (z)) = m, T m (1) = 1 και T m (z) είνα άρτια, αντίστοιχα, περιττή συνάρτηση αν m άρτιος, αντίστοιχα, περιττός. 2. Έχουμε, T m (z) = { cos(m cos 1 z), 1 z 1 cosh(m cosh 1 z), z 1 δηλαδή, T m (z) = cos(mθ), όπου z = cos(θ), θ [0, π], αν 1 z 1, και T m (z) = cosh(mu), όπου z = cosh u, u 0, αν z 1. [ (z 3. T m (z) = (z 2 1) 1/2) m ( + z (z 2 1) 1/2) ] m Τα πολυώνυμα Chebyshev είναι χρήσιμα στην περίπτωσή μας λόγω της εξής σημαντικής ιδιότητας: Λήμμα 2.6. Έστω 0 < a < b. Τότε το πρόβλημα min max ( ) (2.18) min max π(z) π P m,π(0)=1 a z b λύνεται μοναδικά από το πολυώνυμο (2.19) π m (z) = T m ( b + a 2z b a για το οποίο ισχύει (2.20) max a z b π(z) = 1/ T m 9 ) ( ) b + a / T m, b a ( ) b + a. b a
10 Απόδειξη. Για m 0 έχουμε max 1 y 1 T m (y) = 1 και η μέγιστη αυτή απόλυτη τιμή λαμβάνεται στα σημεία y j = cos(jπ/m), j = 0, 1,..., m, όπου T m (y j ) = ( 1) j. Θεωρούμε τον γραμμικό μετασχηματισμό z y, y = (b+a 2x)/(b a) που απεικονίζει αμφιμονοσήμαντα το διάστημα a z b πάνω στο διάστημα 1 y 1. Για το πολυώνυμο π(z), a z b στη σχέση (2.19) έχουμε π(0) = 1 και max π(z) = a z b max 1 y 1 T m(y) /T m ( ) ( ) b + a b + a = 1/T m, b a b a δηλαδή ισχύσει η (2.20). Η μέγιστη αυτή τιμή του π(z) λαμβάνεται σε m+1 διακριτά σημεία z j, j = 0,..., m, όπου το π έχει εναλλασσόμενο πρόσημο. Έστω τώρα ότι υπάρχει άλλο πραγματικό πολυώνυμο q m (z), βαθμού m, τέτοιο ώστε q m (0) = 1 και max a z b q m (z) < max a z b π(z). Τότε το πολυώνυμο p m (z) = q m (z) π(z) είναι βαθμού m και έχει m + 1 διακριτές ρίζες. Άρα p m (z) = 0, άτοπο. Συνεπώς το πρόβλημα π(z) λύνει το πρόβλημα min max (2.18). Είμαστε τώρα σε θέση να αποδείξουμε τις σχέσεις (2.16). Λήμμα 2.7. Αν οι αριθμοί σ j ορίζονται από την (2.15) τότε ισχύουν οι σχέσεις (2.16). Απόδειξη. Από το Λήμμα 2.6 και τη σχέση (2.15) συμπεραίνουμε ότι σ j = 1/T j ((λ max + λ min )/(λ max λ min )), αν λ min λ max. Συνεπώς για κ 1, j 1 έχουμε σ j = 1/T j ((κ + 1)/(κ 1)). Χρησιμοποιώντας την παράσταση (3) των πολυωνύμων Chebyshev που δώσαμε παραπάνω, για z = (κ + 1)/(κ 1), παίρνουμε [ j (2.21) σ j = f(κ 1/2 ) (κ 1/2 1)/(κ 1/2 + 1)], j 1, όπου για x [0, 1] η συνάρτηση f(x) ορίζεται ως f(x) = 2(1 + x) 2j / [ (1 + x) 2j + (1 x) 2j], για την οποία ισχύει 1 = f(0) f(x) f(1) = 2, x [0, 1]. Συνεπώς, λόγω της (2.21) και του ότι κ 1, μια εκτίμηση του σ j δίνεται από την (2.16). Ερχόμαστε τώρα στο πρόβλημα της αποτελεσματικής υλοποίησης του αλγορίθμου της μεθόδου των συζυγών κλίσεων που αναπτύξαμε στην προηγούμενη ενότητα. Κατ αρχήν, από τα Λήμματα 2.1 και 2.2 προκύπτει ότι για k 2 το διάνυσμα p k είναι γραμμικός συνδιασμός των p k 1 και r k 1. Για k = 2 αυτό είναι προφανές λόγω της (2.8). Για k 2, υποθέτοντας πάντα ότι r k 1 0, θεωρούμε το διάνυσμα z k 1 R k 1 της (2.6) το οποίο το γράφουμε ως z k 1 = (w, µ) T, με w R k 2 και µ R, µ 0. Χρησιμοποιώντας την (2.6) και την (2.2) με i = k 1 έχουμε (2.22) p k = (1 + µ a k 1 )r k 1 + s k 1, όπου, (2.23) s k 1 = µ a k 1 r k 2 AP k 2 w. 10
11 Η (2.23) δίνει τώρα ότι (s k 1, r k 1 ) = 0 επειδή τα r i είναι ορθογώνια και, λόγω της (2.8), AP k 2 w = A(w 1 p w k 2 P k 2 ) Ab, A 2 b,..., A k 2 b r 0,..., r k 2. Συνεπώς, από το Πυθαγόρειο Θεώρημα και την (2.22) έχουμε (2.24) p k 2 = (1 + µ a k 1 ) 2 r k s k 1 2. Το z k 1 = (w, µ) είναι εκείνο το στοιχείο του R k 1 που λύνει το πρόβλημα ελαχίστων τετραγώνων (2.7). Η κατασκευή του είναι ισοδύναμη με τον καθορισμό εκείνων των w, µ που ελαχιστοποιούν το p k = r k 1 AP k 1 ]z k 1, δηλαδή το δεξί μέλος της (2.24). Επειδή, πό την (2.23), η ποσότητα ( µ s k 1 2 = a k 1 ) 2 r k 2 AP k 2w 2, w = a k 1w ελαχιστοποιείται ως προς w για r k 2 AP k 2 w = p k 1, θα πρέπει το s k 1 να είναι πολλαπλάσιο του p k 1. Η (2.22) αποδεικνύει τον ισχυρισμό. Χωρίς περιορισμό της γενικότητας υποθέτουμε ότι (2.25) p k = r k 1 + β k p k 1, k 2. Επειδή τα p k, p k 1 είναι A-συζυγή η (2.25) δίνει (2.26) β k = (p k 1, Ar k 1 )/(Ap k 1, p k 1 ). Οι δύο αυτές σχέσεις ορίζουν πλήρως το p k. Εξ άλλου, επειδή (p k 1, r k 1 ) = 0, η (2.25) και η (1.12) δίνουν ότι (2.27) a k = r k 1 2 /(Ap k, p k ). Οδηγούμαστε λοιπόν στην εξής υλοποίηση του αλγορίθμου της μεθόδου των συζυγών κλίσεων: x 0 = 0 for k = 1, 2,... do r k 1 = b Ax k 1 if r k 1 = 0 then x = x k 1, τέλος if k = 1 then p k = r 0 β k = (p k 1, Ar k 1 )/(Ap k 1, p k 1 ) p k = r k 1 + β k p k 1 α k = r k 1 2 /(Ap k, p k ) x k = x k 1 + α k p k x = x n µ Ο αλγόριθμος απαιτεί δύο πολλαπλασιασμούς του πίνακα A επί διάνυσμα σε κάθε βήμα. Παρατηρώντας όμως ότι τα υπόλοιπα μπορούν να υπολογισθούν αναδρομικά μέσω 11
12 της σχέσης r j = r j 1 a j Ap j, έχουμε, χρησιμοποιώντας τη σχέση αυτή για j = k 1 και την ορθογωνιότητα των r k 1, r k 2, ότι r k 1 2 = a k 1 (r k 1, Ap k 1 ) και r k 2 2 = a k 1 (r k 2, Ap k 1 ) = a k 1 (p k 1, Ap k 1 ) (η τελευταία σχέση λόγω του ότι p k 1 = r k 2 + β k 1 p k 2 ). Συνεπώς, β k = (p k 1, Ar k 1 )/(Ap k 1, p k 1 ) = r k 1 2 / r k 2 2, αποφεύγοντας έτσι τον πολλαπλασιασμό Ar k 1. Η τελική μορφή του αλγορίθμου της μεθόδου των συζυγών κλίσεων, όπως την παρουσίασαν οι Hestens και Stiefel (1952) είναι η ακόλουθη: x 0 = 0 r 0 = b for k = 1, 2,... do r k 1 = b Ax k 1 if r k 1 = 0 then x = x k 1, τέλος if k = 1 then p k = r 0 β k = r k 1 2 / r k 2 2 p k = r k 1 + β k p k 1 α k = r k 1 2 /(Ap k, p k ) x k = x k 1 + α k p k r k = r k 1 a k Ap k x = x n Παρατήρηση 2.8. Η απόδειξη της βασικής ιδιότητας της μεθόδου των συζυγών κλίσεων, δηλαδή ότι βρίσκει τη λύση σε n βήματα, έγινε με την προϋπόθεση βέβαια ότι όλοι υπόλογισμοί στον παραπάνω αλγόριθμο γίνονται ακριβώς. Στην πράξη όμως τα σφάλματα στρογγύλευσης που οφείλονται στην αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας καταστρέφουν την ορθογωνιότητα των r j έτσι ώστε τελικά το r n να μην είναι μηδέν. Παρ όλα αυτά, η μέθοδος όντως ελαττώνει την τιμή του συναρτησιακού ϕ(x) από βήμα σε βήμα οπότε μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην πράξη ως επαναληπτική μέθοδος. Η επανάληψη δεν σταματάει στο βήμα n αλλά συνεχίζει μέχρι να ικανοποιηθούν κάποια από τα γνωστά κριτήρια τερματισμού. Σημειώνουμε τέλος ότι μια και η κύρια πράξη στον αγλοριθμο των συζυγλων κλίσεων είναι ο πολλαπλασιασμός πίνακα επί διάνυσμα, η μέθοδος είναι ιδιαίτερα αποτελεσματική για αραιούς πίνακες. Παρατήρηση 2.9. Η ταχύτητα της μεθόδου των συζυγών κλίσεων είναι 1 2κ 1/2 + O(κ 1 ) όταν κ, η οποία είναι αρκετά αργή για μεγάλο κ. Μια σημαντική τεχνική που χρησιμοποιείται για την επιτάχυνση τηε σύγκλισης είναι η λεγόμενη προρύθμιση (preconditioning), για την υλοποίηση της οποίας ο αλόριθμος απαιτεί τη λύση ενός n n γραμμικού συστήματος με συμμετρικό, θετικά ορισμένο πίνακα, τον προρυθμιστή M. Η επιλογή λοιπόν του προρυθμιστή είναι σημαντικό πρόβλημα: πρέπει να έχει απλή δομή έτσι ώστε η λύση συστημάτων με πίνακα M να μην απαιτεί πολλές πράξεις και, επιπλέον, ο πίνακας Ã = M 1 A να έχει λόγο ιδιοτιμών μικρότερο του κ ώστε πράγματι να επιταχύνεται η σύγκλιση. 12
13 Ασκήσεις Άσκηση 2.1. Αναπτύξτε τη μέθοδο των συζυγών κλίσεων για x 0 0. Ειδικώτερα, βρείτε τα ανάλογα των Λημμάτων 2.1 και 2.2. Σημειώστε, π.χ. ότι το x i λύνει τώρα το πρόβλημα (2.9). Άσκηση 2.2. Χρησιμοποιήστε τον ορισμό των πολυωνύμων Chebyshev για να αποδείξετε τις ιδιότητες τους που χρησιμοποιήθηκαν σε αυτή την ενότητα. Άσκηση 2.3. Έστω r R n και M υπόχωρος του R n. Λέμε ότι το p M είναι η ορθή προβολή του r στον M αν (r, x) = (p, x), x M, Δείξτε ότι: 1. η προβολή p του r στον M υπάρχει, είναι μοναδική και ικανοποιεί p 2 = r 2 r p το r p είναι προβολή του r στον υπόχωρο M. 3. r p = min x M r x και ότι η ιδιότητα αυτή χαρακτηρίζει μονοσήμαντα την προβολή p του r. 4. για κάθε B R m n, R(B) = N (B T ), όπου N (B T ) = {x R m : B T x = 0}. 13
ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση
ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 14, 30 Απριλίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Χώροι με εσωτερικό γινόμενο (Ευκλείδειοι χώροι) 2. Βέλτιστες προσεγγίσεις
Διαβάστε περισσότερα1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό
1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1.1 Όρια ακολουθιών Λέμε ότι η ακολουθία { n } συγκλίνει με όριο R αν για κάθε ϵ > 0 υπάρχει ακέραιος N = N(ϵ) τέτοιος ώστε (1.1) n < ϵ για κάθε n > N, και
Διαβάστε περισσότεραΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση
ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 07, 2 Μαρτίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Συμμετρικοί και θετικά ορισμένοι πίνακες. Η ανάλυση Cholesky 2. Νόρμες
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις3 Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα.
Ασκήσεις 0 Ασκήσεις Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα o H -στήλη του P P είναι E αν και μόνο αν η -στήλη του P είναι ιδιοδιάνυσμα του που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Παρεμβολή και Παρεκβολή Εισαγωγή Ορισμός 6.1 Αν έχουμε στη διάθεσή μας τιμές μιας συνάρτησης
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3
Ασκήσεις 8 Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμων και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα Αν ΑΧ=λΧ,
Διαβάστε περισσότεραΤι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)
TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών
Διαβάστε περισσότερα1. a. Έστω b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του A Έστω A και ( x) [ x]
σκήσεις Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Ιδιόχωροι, διάσταση ιδιόχωρου, εύρεση βάσης ιδιόχωρου Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις
Ασκήσεις 5 Βασικά σημεία Ιδιότητες ιδιόχωρων: Έστω,, Ισχύουν τα εξής Ασκήσεις Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις κάποιες διακεκριμένες ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης : V V, όπου o Αν v v 0, όπου
Διαβάστε περισσότεραΜΑΣ 371: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrange για τα σημεία (0, 1), (1, 2) και (4, 2).
ΜΑΣ 37: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrage για τα σημεία (, ), (, ) και (4, ) Να βρεθεί το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrage που προσεγγίζει τη συνάρτηση 3 f ( x) si x στους κόμβους
Διαβάστε περισσότεραΠεπερασμένες Διαφορές.
Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x
Διαβάστε περισσότεραJe rhma John L mma Dvoretzky-Rogers
Kefˆlaio 2 Je rhma Joh L mma Dvoretzky-Rogers 2.1 Elleiyoeidèc mègistou ìgkou eìc kurtoô s matoc Ορισμός 2.1.1. Ελλειψοειδές στον R είναι ένα κυρτό σώμα της μορφής { } (2.1.1) E = x R x, v i 2 : 1, όπου
Διαβάστε περισσότεραb. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0.
Ασκήσεις4 46 Ασκήσεις 4 Τριγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις, Θεώρημα των Cayley-Hamilton Βασικά σημεία Ορισμός τριγωνίσιμου πίνακα, ορισμός τριγωνίσιμης γραμμικής απεικόνισης Κριτήριο τριγωνισιμότητας
Διαβάστε περισσότεραΤο φασματικό Θεώρημα
Το φασματικό Θεώρημα 1 Το φάσμα ενός τελεστή Λήμμα 1.1 Έστω A B(H) φυσιολογικός τελεστής. Αν x H είναι ιδιοδιάνυσμα του A με ιδιοτιμή λ, τότε A x = λx. Έπεται ότι οι ιδιόχωροι ενός φυσιολογικού τελεστή
Διαβάστε περισσότεραi=1 i=1 i=1 (x i 1, x i +1) (x 1 1, x k +1),
Κεφάλαιο 6 Συμπάγεια 6.1 Ορισμός της συμπάγειας Οπως θα φανεί στην αμέσως επόμενη παράγραφο, υπάρχουν διάφοροι τρόποι με τους οποίους μπορεί κανείς να εισάγει την έννοια του συμπαγούς μετρικού χώρου. Ο
Διαβάστε περισσότεραΤο φασματικό Θεώρημα
Το φασματικό Θεώρημα 1 Το φάσμα ενός τελεστή Λήμμα 1.1 Έστω A B(H) φυσιολογικός τελεστής. Αν x H είναι ιδιοδιάνυσμα του A με ιδιοτιμή λ, τότε A x = λx. Έπεται ότι οι ιδιόχωροι ενός φυσιολογικού τελεστή
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ
ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ ΑΚΑΔ. ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ Χ. Τσιρώνης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΔΕΥΤΕΡΟ - Διανύσματα - Πράξεις με πίνακες - Διαφορικός λογισμός (1D) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων
Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή
Διαβάστε περισσότεραh(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i
Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι 1.1 Ορισμός και παραδείγματα Ορισμός 1.1.1 μετρική). Εστω X ένα μη κενό σύνολο. Μετρική στο X λέγεται κάθε συνάρτηση ρ : X X R με τις παρακάτω ιδιότητες: i) ρx, y) για κάθε x,
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις6 Το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στο
Ασκήσεις6 7 Ασκήσεις6 Το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στο και Βασικά σημεία Το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στο και (ορισμοί και ιδιότητες) Ορθοκανονικές βάσεις και η μέθοδος Gram-Schmidt Ορθογώνιο συμπλήρωμα
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
Ονοματεπώνυμο:......... Α.Μ....... Ετος... ΑΙΘΟΥΣΑ:....... I. (περί τις 55μ. = ++5++. Σωστό ή Λάθος: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - //8 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (αʹ Αν AB = BA όπου A, B τετραγωνικά και
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 9 Ιουνίου (διάρκεια ώρες και λ) Διαβάστε προσεκτικά και απαντήστε
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων
7 Βασικά σημεία Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων Το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στο και Ορθοκανονικές βάσεις και η μέθοδος Gram-Schmidt Ορισμός, Ερμιτιανού πίνακα και μοναδιαίου πίνακα Ιδιότητες
Διαβάστε περισσότεραΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση
ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 03, 12 Φεβρουαρίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Επαναληπτικές μέθοδοι - Γενική θεωρία 2. Η μέθοδος του Newton
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης
1 Oct 16 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Διάλεξη 4 η Γεωμετρική Αναπαράσταση
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Άλγεβρα II. Ασκήσεις με Υποδείξεις - Απαντήσεις. Περιεχόμενα
Γραμμική Άλγεβρα II Ασκήσεις με Υποδείξεις - Απαντήσεις ΜΜ Περιεχόμενα Ασκήσεις0: Όμοιοι Πίνακες Ασκήσεις: Πολυώνυμα 6 Ασκήσεις: Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Ασκήσεις: Διαγωνισιμότητα Ασκήσεις4: Τριγωνισιμότητα
Διαβάστε περισσότεραΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση
ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 09, 9 Μαρτίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Επαναληπτικές μέθοδοι 2. Θεωρία γενικών επαναληπτικών μεθόδων 3. Σύγκλιση
Διαβάστε περισσότεραEukleÐdeiec emfuteôseic: ˆnw frˆgmata
EukleÐdeiec emfuteôseic: ˆnw frˆgmata Εστω f : X Y μια εμφύτευση του μετρικού χώρου (X, ρ) στο χώρο με νόρμα (Y, ). Η παραμόρφωση της f ορίζεται ως εξής: f(x) f(y) ρ(x, y) dist(f) = sup sup x y ρ(x, y)
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50
Αριθµητική Γραµµική Αλγεβρα Κεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ΕΚΠΑ 2 Απριλίου 205 Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και205
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ , Β= 1 y, όπου y 0. , όπου y 0.
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 9 Ιουνίου 8:-: ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Θέμα (Α) ( 5 μονάδες) Δίδονται οι πίνακες Α=,
Διαβάστε περισσότεραΙδιάζουσες τιμές πίνακα. y έχουμε αντίστοιχα τις σχέσεις : Αυτές οι παρατηρήσεις συμβάλλουν στην παραγοντοποίηση ενός πίνακα
Ιδιάζουσες τιμές πίνακα Επειδή οι πίνακες που παρουσιάζονται στις εφαρμογές είναι μη τετραγωνικοί, υπάρχει ανάγκη να βρεθεί μία μέθοδος που να «μελετά» τους μη τετραγωνικούς με «μεθόδους και ποσά» που
Διαβάστε περισσότεραB = F i. (X \ F i ) = i I
Κεφάλαιο 3 Τοπολογία μετρικών χώρων Ομάδα Α 3.1. Εστω (X, ρ) μετρικός χώρος και F, G υποσύνολα του X. Αν το F είναι κλειστό και το G είναι ανοικτό, δείξτε ότι το F \ G είναι κλειστό και το G \ F είναι
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Άλγεβρα II Εαρινό εξάμηνο
Γραμμική Άλγεβρα II Εαρινό εξάμηνο 0-0 Υποδείξεις/Απαντήσεις των Ασκήσεων Περιεχόμενα Ασκήσεις Πολυώνυμα Ασκήσεις Ιδιοτιμές-Ιδιοδιανύσματα 6 Ασκήσεις Διαγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις 9 Ασκήσεις4 Τριγωνίσιμες
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα
Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A 4. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές πολλαπλότητες των ιδιοτιμών.
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43
Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 1 / 43 Κεφ.5. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ίνεται ένας πίνακας A C n n και Ϲητούνται να προσδιορισθούν οι
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii9/laii9html Παρασκευή 9 Μαρτίου 9 Ασκηση Εστω (E,,
Διαβάστε περισσότεραΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014
ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 2 2 Μεγιστικός τελέστης στην μπάλα 2 2.1 Βασικό θεώρημα........................ 2 2.2 Γενική περίπτωση μπάλας.................. 6 2.2.1 Στο
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Πεπερασμένες και Διαιρεμένες Διαφορές Εισαγωγή Θα εισάγουμε την έννοια των διαφορών με ένα
Διαβάστε περισσότερα,..., v n. W πεπερασμένα παραγόμενοι και dimv. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα f είναι ισομορφιμός. f είναι 1-1. f είναι επί.
Γραμμική Άλγεβρα Ι, 07-8 Ασκήσεις7: Γραμμικές Απεικονίσεις Βασικά σημεία Ορισμός και παραδείγματα γραμμικών απεικονίσεων Σύνθεση γραμμικών απεικονίσεων, ισομορφισμοί Κάθε γραμμική απεικόνιση f : V W, όπου
Διαβάστε περισσότεραΓια την κατανόηση της ύλης αυτής θα συμβουλευθείτε επίσης το: βοηθητικό υλικό που υπάρχει στη
ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Φεβρουαρίου Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Μαρτίου Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό είναι να
Διαβάστε περισσότεραβαθμού 1 με A 2. Υπολογίστε τα χαρακτηριστικά και ελάχιστα πολυώνυμα των
Ασκήσεις 6 Ασκήσεις Ελάχιστο Πολυώνυμο Βασικά σημεία Ορισμός ελαχίστου πολυωνύμου πίνακα και ιδιότητές του Ορισμός ελαχίστου πολυωνύμου γραμμικής απεικόνισης και ιδιότητές του Κριτήριο διαγωνισιμότητας
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Ολοκλήρωση Εισαγωγή Έστω ότι η f είναι μία φραγμένη συνάρτηση στο πεπερασμένο
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις1 Πολυώνυμα. x x c. με το. b. Να βρεθούν όλες οι τιμές των a, Να βρεθεί ο μκδ και το εκπ τους
Aσκήσεις1 1 Βασικά σημεία Ευκλείδεια διαίρεση πολυωνύμων Ορισμός και ιδιότητες μκδ και εκπ Ιδιότητες σχετικών πρώτων πολυωνύμων Τα ανάγωγα πολυώνυμα στο [ ] και [ ] Ασκήσεις1 Πολυώνυμα Ανάλυση πολυωνύμου
Διαβάστε περισσότερα1 Χώροι πηλίκα { } x = y x y Y. Με τις πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτού πολλαπλασιασμού που ορίζονται με τον
Χώροι πηλίκα Έστω διανυσματικός χώρος και Y διανυσματικός υπόχωρος του. Για κάθε θεωρούμε το σύμπλοκο σχετικά με τον Y, = + y y Y = + Y ορ { : } δηλαδή το είναι η παράλληλη μεταφορά του Y κατά το διάνυσμα.
Διαβάστε περισσότεραΠαναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής
Ανάλυση Πινάκων Κεφάλαιο 5: Κανονικοί Πίνακες Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Δ.Π.Μ.Σ. Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Εθνικό
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι
Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 0 Μιγαδικοί Αριθμοί
Κεφάλαιο 0 Μιγαδικοί Αριθμοί 0 Βασικοί ορισμοί και πράξεις Είναι γνωστό ότι δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός που επαληθεύει την εξίσωση x Η ανάγκη επίλυσης τέτοιων εξισώσεων οδηγεί στο σύνολο των μιγαδικών
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα
Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Ορθοκανονικοποίηση, Ορίζουσες, Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Παραγώγιση Εισαγωγή Ορισμός 7. Αν y f x είναι μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι
Κεφάλαιο Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο συμβολίζουμε με Σε αυτό το σύνολο γνωρίζουμε
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα
Κεφάλαιο 6 Ορισμοί Έστω Α ένας πίνακας με πραγματικά στοιχεία Ο πραγματικός ή μιγαδικός αριθμός λ καλείται ιδιοτιμή του πίνακα Α εάν υπάρχει μη μηδενικό διάνυσμα v με πραγματικά ή μιγαδικά στοιχεία τέτοιο
Διαβάστε περισσότεραΜεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων
Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάμε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων Αυτές συνδέονται μεταξύ τους με την έννοια της συνθετικής σειράς
Διαβάστε περισσότερα3.5 Το θεώρημα Hahn-Banach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους.
7 3.5 Το θεώρημα Hah-Baach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους. Εξετάζουμε καταρχήν τη σχέση μεταξύ ενός μιγαδικού διανυσματικού χώρου E και του υποκείμενου πραγματικού χώρου E R. Έστω E μιγαδικός διανυσματικός
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Εισαγωγή Σύστημα γραμμικών εξισώσεων a x a x a x b 11
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις4 48. P AP τριγωνικό. Αφού δείξτε ότι ο A δεν είναι διαγωνίσιμος, βρείτε αντιστρέψιμο A 1 3 1
Ασκήσεις4 48 Ασκήσεις4 Τριγωνισιμότητα Βασικά σημεία Ορισμός τριγωνίσιμου πίνακα, ορισμός τριγωνίσιμης γραμμικής απεικόνισης Θεώρημα: είναι τριγωνίσιμος αν και μόνο αν ( x ) γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων
Διαβάστε περισσότεραOΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β Έστω
Διαβάστε περισσότεραΠαναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής
Ανάλυση Πινάκων Κεφάλαιο 1: Νόρμες Διανυσμάτων και Πινάκων Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Δ.Π.Μ.Σ. Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών
Διαβάστε περισσότεραΘέμα 1. που. . Δηλαδή ο υπόχωρος V είναι το. Απάντηση 1α) ii)παρατηρούμε οτι
Θέμα ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ Ιουνίου (οποιεσδήποτε άλλες ορθές απαντήσεις είναι αποδεκτές)
Διαβάστε περισσότερα(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac
Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας
Διαβάστε περισσότερα2.1 Αριθμητική επίλυση εξισώσεων
. Αριθμητική επίλυση εξισώσεων Στο κεφάλαιο αυτό διαπραγματεύεται μεθόδους εύρεσης των ριζών εξισώσεων γραμμικών ή μη-γραμμικών για τις οποίες δεν υπάρχουν αναλυτικές 5 4 3 εκφράσεις. Παραδείγματα εξισώσεων
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Ημιαπλοί Δακτύλιοι Είδαμε στο κύριο θεώρημα του προηγούμενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισμα απλών προτύπων Εδώ θα χαρακτηρίσουμε όλους
Διαβάστε περισσότεραf(x) = και στην συνέχεια
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε
Διαβάστε περισσότερα8.1 Διαγωνοποίηση πίνακα
Κεφάλαιο 8 Κανονικές μορφές από 6 Κεφάλαιο 8 Κ Α Ν Ο Ν Ι Κ Ε Σ Μ Ο Ρ Φ Ε Σ 8. Διαγωνοποίηση πίνακα Ορισμός 8.α Ένας πίνακας M n ( ) oνομάζεται διαγωνοποιήσιμος στο αν υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας P M
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Άλγεβρα Ι,
Γραμμική Άλγεβρα Ι, 207-8 Ασκήσεις2 και Ασκήσεις3: Γραμμοϊσοδύναμοι Πίνακες και Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων Βασικά σημεία Γραμμοϊσοδυναμία πινάκων o Στοιχειώδεις πράξεις γραμμών o Ανηγμένη κλιμακωτή μορφή
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ
Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Στο πρώτο μέρος αυτού του κεφαλαίου συνοψίζουμε όσα είναι απαραίτητα για την εύρεση ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων ενός τετραγωνικού πίνακα Στο δεύτερο μέρος αναπτύσσονται
Διαβάστε περισσότεραA, και εξετάστε αν είναι διαγωνίσιμη.
Ασκήσεις 6 Ασκήσεις Ελάχιστο Πολυώνυμο Βασικά σημεία Ορισμός ελαχίστου πολυωνύμου πίνακα και ιδιότητές του Θεώρημα (Κριτήριο διαγωνισιμότητας) Ένας είναι διαγωνίσιμος αν και μόνο αν ( x) γινόμενο διακεκριμένων
Διαβάστε περισσότερα1. Για καθένα από τους ακόλουθους διανυσματικούς χώρους βρείτε μια βάση και τη διάσταση. 3. U x y z x y z x y. {(,, ) } a b. c d
Γραμμική Άλγεβρα Ι, 07-8 Ασκήσεις6: Βάση και Διάσταση Βασικά σημεία Βάση διανυσματικού χώρου (ορισμός, παραδείγματα, μοναδικότητα συντελεστών) Θεώρημα (ύπαρξη, πρώτη μορφή) Έστω V K μη μηδενικός με K πεπερασμένο
Διαβάστε περισσότεραf(t) = (1 t)a + tb. f(n) =
Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΕΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ : ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Σε κάθε ενότητα αυτού του βιβλίου θα βρείτε : Βασική θεωρία με τη μορφή ερωτήσεων Μεθοδολογίες και σχόλια
Διαβάστε περισσότερα2 3x 5x x
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ι ΙΩΑΝΝΗΣ Σ ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ ΣΑΜΟΣ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ
Διαβάστε περισσότεραHY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ
HY3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ Π. ΤΣΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Τα σφάλματα
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 11. Πολυώνυμα Taylor Ορισμός
Κεφάλαιο Πολυώνυμα Taylor Στο κεφάλαιο αυτό θα κάνουμε μια σύντομη εισαγωγή στα πολυώνυμα Taylor. Τα πολυώνυμα αυτά μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως προσεγγίσεις μιας συνάρτησης γύρω από ένα σημείο, και έχουν
Διαβάστε περισσότερα5.9 ΘΕΤΙΚΑ ΟΡΙΣΜΕΝΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΙ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ
ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ Α Β Δ J 1 =A+Γ και J 3 = Β Γ Ε Δ Ε Ζ d + c x + a + b y ac+ bd x y = R A έχουμε: 1 1 1 1 Για την εξίσωση ( ) ( ) ( ) ( ) A, B,, 0, E 0, Z A = c + d = ac+ bd Γ= a + b Δ= =
Διαβάστε περισσότεραΗ Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή
Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 7 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. Βρείτε όλους
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις Απειροστικού Λογισμού ΙΙ Πρόχειρες Σημειώσεις Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Περιεχόμενα Υπακολουθίες και ακολουθίες Cuchy Σειρές πραγματικών αριθμών 3 3 Ομοιόμορφη συνέχεια 3 4 Ολοκλήρωμα
Διαβάστε περισσότεραΜΑΣ 371: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 1. Να βρεθεί το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrange για τα σημεία (0, 1), (1, 2) και (4, 2).
ΜΑΣ 7: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Να βρεθεί το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrage για τα σημεία (, ), (, ) και (4, ) Λύση: Για τα σημεία x, x, x 4, y, y, y υπολογίζουμε x x x x () x x x x x x 4 L
Διαβάστε περισσότερα[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x)
[] 9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Η «συνάρτηση» δέλτα του irac Η «συνάρτηση» δέλτα ορίζεται μέσω της σχέσης φ (0) αν 0 δ[ φ ] = φ δ dx = (9) 0 αν 0 όπου η φ είναι μια συνάρτηση που ανήκει
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ (1/7/ 2013) y x + y.
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ (/7/ 203) ΘΕΜΑ. (α) Δίνεται η συνάρτηση f : R 2 R με f(x, y) = xy x + y, αν (x, y) (0, 0) και f(0, 0) = 0. Δείξτε ότι η f είναι συνεχής στο (0, 0). (β) Εξετάστε αν
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή )
Θεωρία Galos Πρόχειρες σημειώσεις 0- (εκδοχή -7-0) Περιεχόμενα 0 Υπενθυμίσεις και συμπληρώματα Ανάγωγα πολυώνυμα Ανάγωγα πολυώνυμα και σώματα Χαρακτηριστική σώματος Απλές ρίζες πολυωνύμων Ασκήσεις 0 Επεκτάσεις
Διαβάστε περισσότεραΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση
ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 08, 5 Μαρτίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Νόρμες πινάκων 2. Δείκτης κατάστασης πίνακα 3. Αριθμητική κινητής
Διαβάστε περισσότεραΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού
Διαβάστε περισσότεραΣυναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα
Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Περίληψη του μαθήματος Μιχάλης Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 1η εβδομάδα. Στα πρώτα δύο μαθήματα είπαμε κάποια πολύ βασικά πράγματα για
Διαβάστε περισσότεραΕπιστηµονικοί Υπολογισµοί (Αρ. Γρ. Αλγεβρα)Επαναληπτικές µέθοδοι και 31 Μαρτίου Ηµι-Επαναληπτικές Μέθοδο / 17
Επιστηµονικοί Υπολογισµοί (Αρ. Γρ. Αλγεβρα) Επαναληπτικές µέθοδοι και Ηµι-Επαναληπτικές Μέθοδοι Πανεπιστήµιο Αθηνών 31 Μαρτίου 2017 Επιστηµονικοί Υπολογισµοί (Αρ. Γρ. Αλγεβρα)Επαναληπτικές µέθοδοι και
Διαβάστε περισσότερα* * * ( ) mod p = (a p 1. 2 ) mod p.
Θεωρια Αριθμων Εαρινο Εξαμηνο 2016 17 Μέρος Α: Πρώτοι Αριθμοί Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Διαιρετότητα: Διαιρετότητα, διαιρέτες, πολλαπλάσια, στοιχειώδεις ιδιότητες. Γραμμικοί Συνδυασμοί (ΓΣ). Ενότητα 2. Πρώτοι
Διαβάστε περισσότεραV. Διαφορικός Λογισμός. math-gr
V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν
Διαβάστε περισσότεραΤετραγωνικά μοντέλα. Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1
Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης Τετραγωνικά μοντέλα Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc64.materials.uoi.gr/dpapageo Για συνάρτηση μιας
Διαβάστε περισσότεραΠαράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους
Παράδειγμα 1 Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με _ + Σχήμα 1 στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Α) Γράψτε το σύστημα ευθέως κλάδου σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή στο χώρο
Διαβάστε περισσότεραΦ(s(n)) = s (Φ(n)). (i) Φ(1) = a.
1. Τα θεμελιώδη αριθμητικά συστήματα Με τον όρο θεμελιώδη αριθμητικά συστήματα εννοούμε τα σύνολα N των φυσικών αριθμών, Z των ακεραίων, Q των ρητών και R των πραγματικών. Από αυτά, το σύνολο N είναι πρωτογενές
Διαβάστε περισσότερα1 Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών
Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών Μερικές χρήσιμες ταυτότητες + r + r 2 + + r n = rn r r + 2 + 3 + + n = 2 n(n + ) 2 + 2 2 + 3 2 + n 2 = n(n + )(2n + ) 6 Ανισότητα Cauchy Schwarz ( n ) 2 ( n x i y i i=
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008
ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 8 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 8 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό
Διαβάστε περισσότεραApì ton diakritì kôbo ston q ro tou Gauss
Apì ton diaritì Ôbo ston q ro tou Gauss 1 Isoperimetri anisìthta sto diaritì Ôbo Θεωρούμε την οικογένεια J των συναρτήσεων J : [0 1] [0 ) που ικανοποιούν τα εξής: J0) = J1) = 0. Για κάθε a b [0 1] a +
Διαβάστε περισσότεραa = a a Z n. a = a mod n.
Αλγεβρα Ι Χειμερινο Εξαμηνο 2017 18 Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Πράξεις: Πράξεις στο σύνολο S, ο πίνακας της πράξης, αντιμεταθετικές πράξεις. Προσεταιριστικές πράξεις, το στοιχείο a 1 a 2 a n. Η πράξη «σύνθεση
Διαβάστε περισσότεραΕΝΑΣ ΔΙΚΡΙΤΗΡΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΝΑΣ ΔΙΚΡΙΤΗΡΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX 3.1 Εισαγωγή Ο αλγόριθμος Simplex θεωρείται πλέον ως ένας κλασικός αλγόριθμος για την επίλυση γραμμικών προβλημάτων. Η πρακτική αποτελεσματικότητά του έχει
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 3 Ιουλίου 2010
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ Ιουλίου Θέμα ( μονάδες) 4 Θεωρούμε τον Ευκλείδειο χώρο και τον υποχώρο του V που παράγεται
Διαβάστε περισσότεραsup(a + B) = sup A + sup B inf(a + B) = inf A + inf B.
Ασκήσεις, Φυλλάδιο. Βρειτε το συνολο Φ A ολων των ανω ϕραγματων του A, και το συνολο φ A ολων των κατω ϕραγματων του A, οταν: a) A = m :, m N}, b) A = + m 2. Βρειτε το if και sup οποτε υπαρχουν) των συνολων
Διαβάστε περισσότεραΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση
ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 10, 12 Μαρτίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Παρεμβολή 2. Παράσταση και υπολογισμός του πολυωνύμου παρεμβολής
Διαβάστε περισσότερα