Περιγραφή Περιοχής. Σήμερα!

Transcript

1 Περιγραφή Περιοχής Σήμερα! Υφή (texture) Ιστόγραμμα & Ροπές Ιστογράμματος Πίνακες συνεμφάνισης Φασματική περιγραφή Ροπές (moments) Στροφορμή (angular momentum) 1

2 Υφή (texture) Ο ορισμός της έννοιας της υφής δεν μπορεί να δοθεί. Από την περιγραφή της υφής προκύπτουν ουσιώδη χαρακτηριστικά για την ταξινόμηση της περιοχής. H υφή χρησιμοποιείται για να εκφραστούν οπτικές ιδιότητες της παρατηρούμενης περιοχής, όπως λεπτή υφή, τραχεία υφή, ινώδης, κοκκώδης υφή, κτλ. Για να οριστούν περιγράφοντα στοιχεία της υφής πρέπει να προηγηθεί η ποσοτική έκφραση και η μέτρηση των ιδιοτήτων της. Xρησιμοποιούνται διάφορες τεχνικές. Ιστόγραμμα Φασματική Ιστόγραμμα Στη μέθοδο αυτή οι ιδιότητες της υφής μετρούνται απότοιστόγραμματωντιμώντωνpixels των τιμών των της περιοχής και τους Πίνακες Συνεμφάνισης. Αν Ν είναι το πλήθος των pixels μιας περιοχής και r(i) η ακολουθία επανάληψης τιμών, καλούμε ακολουθία συχνότητας τιμών την p(i) = r(i)/n, i = 0,1,...,Q 1 Ιστόγραμμα συχνότητας τιμών ή ιστόγραμμα 1ης τάξης ονομάζεται το ιστόγραμμα της p(i). Το άθροισμα των όρων της p(i) ισούται με μονάδα. 2

3 Ιστόγραμμα Ένας τρόπος μέτρησης των ιδιοτήτων της υφής του εσωτερικού μιας περιοχής είναι ο υπολογισμός της p(i) και η παράστασή της με το αντίστοιχο ιστόγραμμα. Ως περιγράφοντα στοιχεία του ιστογράμματος συχνότητας τιμών, χρησιμοποιούνται οι μονοδιάστατες κεντρικές ροπές (moments). Αυτές ορίζονται με βάση την ακολουθία συχνότητας τιμών της περιοχής p(i): υπολογίζουμε τη μέση τιμή m της περιοχής: ορίζεται η k τάξεως κεντρική ροπή, μ k ως: Ιστόγραμμα 3

4 Ροπές Ιστογράμματος Για κάθε ιστόγραμμα ισχύει: μ 0 = 1 και μ 1 = 0 και δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν για περιγραφή. Για κεντρικές ροπές τάξης μεγαλύτερης ή ίσης του 2, η τιμή εξαρτάται άμεσα από τη μορφή του ιστογράμματος και κατ επέκταση της υφής. Η ροπή μ 2 = σ 2 είναι γνωστή σαν διακύμανση και είναι μέτρο της διασποράς των τιμών, δίνει επίσης, το μέτρο της αντίθεσης στη φωτεινότητα της εικόνας. Η μ 3 είναι γνωστή ως ασυμμετρία (skewness) και δίνει ένα μέτρο της ασυμμετρίας του ιστογράμματος. Η τιμή της μ 3 για συμμετρικά ιστογράμματα, όπως αυτό της Gaussian κατανομής, είναι μηδενική. Ροπές Ιστογράμματος Για μη συμμετρικά ιστογράμματα, η μ 3 γίνεται θετική ή αρνητική. Η μ 4 είναι γνωστή ως κύρτωση (kurtosis). Η τιμή της μ 4 είναι ίση με 3σ 4. Ιστόγραμμα περισσότερο πεπλατυσμένο από αυτό της Gaussian, καλείται πλατύκυρτο και η αντίστοιχη τιμή της μ 4 είναι μεγαλύτερη από 3σ 4. Αντίθετα, όταν το ιστόγραμμα είναι πιο λεπτό από τo αντίστοιχο της Gaussian, καλείται λεπτόκυρτο και η μ 4 είναι μικρότερη από 3σ 4. Οι τιμές των μ 3 και μ 4 πολλές φορές κανονικοποιούνται πριν χρησιμοποιηθούν διαιρούμενες με την σ 3 αντίστοιχα σ 4. 4

5 Ιστόγραμμα μ 3 >0 μ μ μ 4 <3σ 4 4 >3σ 4 3 <0 Πίνακες συνεμφάνισης Περιγράφοντας ένα τμήμα υφής με ροπές του ιστογράμματος δεν χρησιμοποιούμε τη βασική πληροφορία που χαρακτηρίζει την υφή: πώς οι τιμές των pixels διαδέχονται η μια την άλλη μέσα στην περιοχή. Το χαρακτηριστικό αυτό, που ποσοτικοποιεί τη χωρική οργάνωση της φωτεινότητας στην εικόνα, μπορούμε μ να το αναδείξουμε χρησιμοποιώντας τον Πίνακα Συνεμφάνισης (Co occurrence Matrix) (Π.Σ). 5

6 Πίνακες συνεμφάνισης Δίνεται μια ψηφιακή εικόνα ε μεγέθους 8 8 με τιμές από Q = 4 στάθμες κβάντισης. Ορίζουμε τη διεύθυνση γειτνίασης των pixels, D = SE. Υπάρχουν συνολικά Ν = (8 1) (8 1) = 49 ζεύγη pixels της ε που γειτνιάζουν κατά την διεύθυνση D. Ο γείτονας του ε(1,1) είναι το ε(2,2) και γενικά του ε(k,k) το ε(k+1,k+1). Καλούμε n(i,j) τα ζύ ζεύγη, στα οποία το πρώτο pixel έχει τιμή i και το δεύτερο j, με i,j=0,1,2,3 και δημιουργούμε τον πίνακα επαναλήψεων Α D. Διαιρώντας τα στοιχεία του Α D με το πλήθος των ζευγών Ν = 49, προκύπτει ο πίνακας Πίνακας Συνεμφάνισης C D. Πίνακας συνεμφάνισης για D=SE 6

7 Πίνακες συνεμφάνισης Kάθε στοιχείο του C D (k,m) με k,m=1,2,3,4 είναι η συνδυασμένη πιθανότητα του ενδεχομένου «ένα ζεύγος από διαδοχικά pixels που γειτνιάζουν κατά την διεύθυνση D, να έχουν τιμές το πρώτο k 1 και το δεύτερο m 1». Το άθροισμα των στοιχείων του Π.Σ. ισούται με 1. Οι θέσεις που ο Π.Σ. εμφανίζει μεγάλες, ή μικρές τιμές χαρακτηρίζουν την υφή. Για μικρής διάστασης Π.Σ., πρέπει οι στάθμες κβάντισης Q της εικόνας να είναι μικρός αριθμός. Ο Π.Σ αλλάζει αν επιλέξουμε άλλη κατεύθυνση D. Αλλη δυνατότητα είναι να εξετάσουμε pixels που απέχουν συγκεκριμένη απόσταση. Πίνακας συνεμφάνισης για D=E 7

8 Άλλα χαρακτηριστικά της υφής Βασικές ποσότητες που υπολογίζονται από τους Π.Σ. και χρησιμοποιούνται για ταξινόμηση περιοχών με διαφορετική υφή είναι: Η Μέγιστη Πιθανότητα: το μέγιστο στοιχείο του Π.Σ. δηλ. είναι η πιθανότητα του πιο συχνά εμφανιζόμενου ζεύγους τιμών της εικόνας: Η Εντροπία: Είναι τόσο μεγαλύτερη όσο πιο ομοιόμορφος ο C D. Σε ένα πίνακα με όλα τα στοιχεία ίσα η τιμή της εντροπίας γίνεται μέγιστη Η = log 2 (Q 2 ). Άλλα χαρακτηριστικά της υφής Ενέργεια Ε: είναι τόσο μικρότερη τιμή όσο μεγαλύτερη η ομοιομορφία του C D. Σε ένα πίνακα με όλα τα στοιχεία ίσα εμφανίζει ελάχιστη τιμή ίση με 1/(Q 2 ). 8

9 Άλλα χαρακτηριστικά της υφής Ροπές Αδράνειας τάξης k ως προς τη κύρια διαγώνιο Παρουσιάζουν μικρές τιμές όταν τα μεγάλα στοιχεία του Π.Σ. βρίσκονται στη κύρια διαγώνιο, δηλ. όταν εμφανίζονται συχνά ζεύγη της μορφής (i,i) πράγμα που σημαίνει όμοια pixels κατά τη διεύθυνση γειτονίας, δηλαδή λεπτή υφή. Αντίθετα, σε τραχεία υφή παρουσιάζονται απότομες μεταβολές στα γειτονικά pixels, εμφανίζουν μεγάλη τιμή τα απομακρυσμένα από τη κύρια διαγώνιο σημεία του CD και η R k έχει αυξημένη σημαντικά την τιμή της. Φασματική περιγραφή Η ποσοτική περιγραφή της υφής γίνεται με το φάσμα Fourier F(u,v) της περιοχής. Fourier F(u,v) της περιοχής. To φάσμα προσεγγίζεται από το διακριτό μετασχηματισμό, μέσω του ταχέως αλγόριθμου FFT. Υπάρχουν πολλοί τρόποι για τη δημιουργία στοιχείων περιγραφής του F(u,v). 9

10 Φασματική περιγραφή Ροπές περιοχής Οι ροπές είναι τα πιο συχνά χρησιμοποιούμενα στοιχεία περιγραφής μιας περιοχής. Απεικονίζουν συμμετρίες ή ασυμμετρίες της περιοχής. Κάνουν δυνατό τον ορισμό χαρακτηριστικών ευθειών (αξόνων) της περιοχής, ο εντοπισμός των οποίων φανερώνει τον προσανατολισμό της περιοχής στο επίπεδο. Οι ροπές είναι στοιχεία περιγραφής αναλλοίωτα σε μετασχηματισμούς παράλληλης μεταφοράς, περιστροφής και αλλαγής κλίμακας. 10

11 Ροπές (moments) H ροπή m i,j τάξεως i+j ορίζεται: όπου το άθροισμα εκτείνεται σε όλα τα pixels της. Η ροπή ισούται με τη «μάζα» της περιοχής, ή Ν φορές τη μέση φωτεινότητα, όπου Ν είναι ο αριθμός των pixels της. Το σημείο (x C,y C ) με συντεταγμένες : καλείται κεντροειδές (centroid) της περιοχής και είναι χαρακτηριστικό της περιοχής και χρησιμοποιείται για την κατασκευή της υπογραφής του περιγράμματος και τον ορισμό των κεντρικών ροπών Κεντρικές Ροπές Οι Κεντρικές Ροπές συμβολίζονται με μ ij και ορίζονται με βάση τη σχετική απόσταση των pixels της περιοχής από το κεντροειδές C. 11

12 Κεντρικές Κανονικοποίημένες Ροπές Κατά την παράλληλη μεταφορά του συστήματος συντεταγμένων οι αποστάσεις των σημείων από το κεντροειδές παραμένουν σταθερές και οι κεντρικές ροπές αναλλοίωτες. Όμως μεταβάλλονται μετά από αλλαγή κλίμακας, ή την περιστροφή των αξόνων. Οι κεντρικές κανονικοποιημένες ροπές, συμβολίζονται με n ij, και ορίζονται ως: Παραμένουν αναλλοίωτες σε παράλληλη μεταφορά και αλλαγή κλίμακας. Ροπές Hu Η αναζήτηση ουσιωδών χαρακτηριστικών αναλλοίωτων και σε μετασχηματισμούς περιστροφής οδήγησε στη δημιουργία των ροπών Hu. Πρόκειται για μια σειρά από επτά μεγέθη, τα φ1, φ2,,φ7, που υπολογίζονται συναρτήσει των κεντρικών κανονικοποιημένων ροπών της περιοχής Οι έξη πρώτες από αυτές παραμένουν αναλλοίωτες και σε κατοπτρικούς μετασχηματισμούς: προκύπτει μια περιοχή συμμετρική με την αρχική, ως προς άξονα. Η φ7 δίνει τιμές περίπου αντίθετες για μια ασύμμετρη περιοχή και την κατοπτρική της. 12

13 Ροπές Hu Ροπές Hu 13

14 Ροπές Hu Οι μεταβολές οφείλονται στο θόρυβο που εισέρχεται στις εικόνες κατά τη δημιουργία των περιστραμμένων ή αναδειγματοληπτημένων αντιγράφων, καθώς και στα σφάλματα των πράξεων κατά τον υπολογισμό των ροπών. Φωτογραφίες της ίδιας περιοχής που έχουν ληφθεί σε διαφορετικές χρονικές στιγμές, με διαφορετικές κάμερες μρςκαι φωτισμό, μ, διαφέρουν φρ σημαντικά στις τιμές των pixels και στην τιμή των ροπών. Πρέπει να γίνει προεπεξεργασία των λήψεων ώστε να αποκτήσουν παρόμοιο ιστόγραμμα πριν από τον υπολογισμό των ροπών. 14

15 Ροπές Hu Ροπές Hu Μεγάλη αξιοπιστία παρουσιάζει η εφαρμογή των ροπών του Hu στις μονόχρωμες εικόνες καθώς δεν υπάρχει το πρόβλημα της διαφοροποίησης των τιμών των pixels. Οι ροπές φ1, φ2, φ3 είναι ιδιαίτερα ελκυστικές για επιλογή τους ως ουσιώδη χαρακτηριστικά σε ένα πρόβλημα ταξινόμησης, δεδομένου ότι παρουσιάζουν υψηλή διαχωριστική ικανότητα. Δηλαδή, για διαφορετικό τύπο αεροπλάνου συγκεντρώνονται σε διαφορετική περιοχή του χώρου. 15

16 Στροφορμή (angular momentum) Έστω μια περιοχή s με Ν pixels τα P k (x k,y k ), ε μια ευθεία του επιπέδου και d k, οι αποστάσεις των pixels από την ε. Ορίζουμε ως στροφορμή Ι ε της s ως προς την ε το άθροισμα: Ας θεωρήσουμε μια δέσμη ευθειών που διέρχονται από το κεντροειδές C της s και ας υπολογίσουμε την στροφορμή της s ως προς μερικές από τις ευθείες αυτές. Μια περιοχή για την οποία οι στροφορμές έχουν διαφορετικές τιμές μςκαλείται έκκεντρος ρς(eccentric). e Στην αντίθετη περίπτωση, όταν οι στροφορμές έχουν την ίδια τιμή για οποιαδήποτε ευθεία της συγκεκριμένης δέσμης η μορφή καλείται μη έκκεντρος. Μια μορφή με σχήμα κυκλικού δίσκου, ή τετραγώνου, ή ισόπλευρου τριγώνου είναι μη έκκεντρος. Στροφορμή Θεώρημα Από τις ευθείες που διέρχονται από το κεντροειδές μιας έκκεντρης περιοχής, s, υπάρχει μια μόνο ευθεία, η ε Π, ως προς την οποία η ροπή αδράνειας της s, Ι Π, λαμβάνει τη μικρότερη τιμή και μία μόνο, η ε Δ, ως προς την οποία η ροπή αδράνειας της s, Ι Δ, λαμβάνει τη μεγαλύτερη τιμή. Δηλαδή, για κάθε ευθεία ε της δέσμης, διαφορετική από την ε Π και την ε Δ, ισχύει: Ι Π < Ι ε< Ι Δ. Επίσης ισχύει,, ότι η ε Π και η ε Δ είναι κάθετες μεταξύ τους. 16

17 Στροφορμή (angular momentum) Τις ευθείες ε Π και ε Δ καλούμε κύριους (prιncipal) άξονες της s. Τον πρώτο καλούμε πρωτεύοντα (major), και το δεύτερο δευτερεύοντα (minor). Αυτοί χρησιμοποιούνται για τη δημιουργία υπογραφών περιγράμματος, για την δημιουργία αναλλοίωτων ροπών, για τον ορισμό ενός συστήματος συντεταγμένων που εξαρτάται αποκλειστικά από την περιοχή. Στροφορμή (angular momentum) 17

18 Στροφορμή (angular momentum) Με βάση τους κύριους άξονες ορίζονται περιγράφοντα στοιχεία της περιοχής όπως: Η εκκεντρότητα e της μορφής που ορίζεται με βάση τις τιμές των στροφορμών της περιοχής ως προς τους κύριους άξονες από τη σχέση: Ο λόγος λ C = w C /h C των διαστάσεων του περιγραμμένου στη μορφή ορθογώνιου, τουοποίουοι οποίου οι πλευρές είναι παράλληλες προς τους κύριους άξονες αυτής. Και τα δύο στοιχεία είναι αναλλοίωτα σε μετασχηματισμούς μεταφοράς, περιστροφής και αλλαγής κλίμακας. Στροφορμή (angular momentum) 18