Κεφάλαιο 1. Πίνακες και απαλοιφή Gauss

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 1. Πίνακες και απαλοιφή Gauss"

Transcript

1 Κεφάλαιο 1 Πίνακες και απαλοιφή Gauss Γύρω απ το γινομένου πινάκων Κάτι σαν τυπολόγιο Αν AB = C, τότε: 1 (C) i j = (i-γραμμή A) ( j-στήλη B) Το συμβολίζει εσωτερικό γινόμενο 2 (i-γραμμή C) = k(a) ik (k-γραμμή B) Το συμβολίζει γινόμενο αριθμού επί γραμμή Η σχέση αυτή μας λέει ότι κάθε γραμμή του C είναι γραμμικός συνδυασμός των γραμμών του B Αρα, ο χώρος γραμμών του AB περιέχεται στον χώρο γραμμών του B Πιο παραστατικά: Ο χώρος γραμμών του γινομένου δύο πινάκων περιέχεται στον χώρο γραμμών του δεξιού παράγοντα 3 (i-γραμμή C) = (i-γραμμή A) B Το συμβολίζει γινόμενο πινάκων 4 ( j-στήλη C) = k(b) k j (k-στήλη A) Το συμβολίζει γινόμενο αριθμού επί στήλη Η σχέση αυτή μας λέει ότι κάθε στήλη του C είναι γραμμικός συνδυασμός των στηλών του A Αρα, ο χώρος στηλών του AB περιέχεται στον χώρο στηλών του A Πιο παραστατικά: Ο χώρος στηλών του γινομένου δύο πινάκων περιέχεται στον χώρο στηλών του αριστερού παράγοντα 5 ( j-στήλη C) = A ( j-στήλη B) Το συμβολίζει γινόμενο πινάκων Συμβολισμός (α ) Αν v 1,, v n είναι m 1 στήλες, τότε, με A = (v 1 v 2 v n ) συμβολίζομε τον m n πίνακα A, του οποίου η j-στήλη είναι η v j (β ) Αν v 1,, v n είναι 1 m γραμμές, τότε, με v 1 v 2 v n 1

2 2 συμβολίζομε τον n m πίνακα A, του οποίου η i-γραμμή είναι η v i Ασκήσεις 1 (α ) Εστω ότι v 1,, v n είναι διανύσματα-στήλες και x 1,, x n είναι αριθμοί Τότε x 1 x 2 x 1 v 1 + x 2 v x n v n = (v 1 v 2 v n ) (β ) Εστω ότι v 1,, v n είναι διανύσματα-γραμμές και x 1,, x n είναι αριθμοί Τότε v 1 v 2 x 1 v 1 + x 2 v x n v n = (x 1 x 2 x n ) 2 (α ) Εστω ότι a 1,, a k είναι m 1 στήλες, b 1,, b k είναι n 1 στήλες, C είναι m n πίνακας και a i = Cb i για κάθε i = 1,, k Τότε (a 1 a 2 a k ) = C (b 1 b 2 b k ) (β ) Εστω ότι a 1,, a k είναι 1 m γραμμές, b 1,, b k είναι 1 n γραμμές, C είναι n m πίνακας και a i = b i C για κάθε i = 1,, k Τότε a 1 b 1 a 2 b 2 a k = 3 (α ) Εστω ότι u 1,, u m και v 1,, v n είναι διανύσματα- στήλες του ίδιου χώρου και, για κάθε j, το v j είναι γραμμικός συνδυασμός των u 1,, u m : b k C x n v n v j = λ 1 j u 1 + λ 2 j u λ m j u m ( j = 1,, n) Τότε (v 1 v 2 v n ) = (u 1 u 2 u m ) Λ, Λ = λ 11 λ 12 λ 1n λ 21 λ 22 λ 2n λ m1 λ m2 λ mn (β ) Εστω ότι u 1,, u m και v 1,, v n είναι διανύσματα- γραμμές του ίδιου χώρου και, για κάθε i, το v i είναι γραμμικός συνδυασμός των u 1,, u m : v i = λ i1 u 1 + λ i2 u λ im u m (i = 1,, n) Τότε v 1 v 2 v n = Λ u 1 u 2 u m, Λ = λ 11 λ 12 λ 1n λ 21 λ 22 λ 2n λ m1 λ m2 λ mn

3 3 Ορισμός πίνακες: Για n 2 σταθερό, 1 l < k n, t R και 1 i j n ορίζομε τους εξής E kl (t) είναι ο πίνακας που προκύπτει από τον I = I n, αν το 0 στην (k, l)-θέση αντικατασταθεί από το t Ισοδύναμη διατύπωση (k-γραμμή E kl (t)) = (k-γραμμή I) + t (l-γραμμή I) και (i-γραμμή E kl (t)) = (i-γραμμή I) αν i k P i j είναι ο πίνακας που προκύπτει από τον I = I n, αν εναλλάξομε την i-γραμμή με την j-γραμμή Ισοδύναμη διατύπωση (i-γραμμή P i j ) = ( j-γραμμή I), ( j-γραμμή P i j ) = (i-γραμμή I) και (r-γραμμή P i j ) = (r-γραμμή I) αν r i, j Πρόταση 11 Ερμηνείες των γινομένων E kl (t)a και P i j A, όπου ο A έχει διάσταση m n και οι E kl (t) και P i j έχουν διάσταση m m: (k-γραμμή E kl (t)a) = (k-γραμμή A)+t (l-γραμμή A) και (i-γραμμή E kl (t)a) = (i-γραμμή A) για κάθε i k Δηλαδή, E kl (t)a είναι ο πίνακας που προκύπτει απ τον A, αν στην (k-γραμμή A) προσθέσομε t φορές την (l-γραμμή A) (i-γραμμή P i j A) = ( j-γραμμή A), ( j-γραμμή P i j A) = (i-γραμμή A) και (r-γραμμή P i j A) = (r-γραμμή A) για κάθε r i, j Δηλαδή, P i j A είναι ο πίνακας που προκύπτει απ τον A, αν εναλλάξομε την i-γραμμή με την j-γραμμή Απόδειξη Θέμα απλής παρατήρησης Πρόταση 12 Εστω m n πίνακας A Η διαδικασία που οδηγεί, μέσω γραμμοπράξεων, από τον A σ ένα κλιμακωτό πίνακα U, μπορεί να κωδικοποιηθεί από ένα γινόμενο (πολλών, εν γένει) πινάκων, που ανήκουν σ έναν από τους τύπους E kl (t) (1 l < k n) και P i j (1 j < i n) Επιπλέον, στο γινόμενο αυτό, οπουδήποτε εμφανίζεται γινόμενο τύπου P i j E kl (t), με i, j και k, l όπως παραπάνω, τότε είναι j > l Πρόταση 13 Εστω i > j > l και k > l Τότε Για k i, j : P i j E kl (t)p i j = E kl (t) P i j E il (t)p i j = E jl (t) P i j E jl (t)p i j = E il (t) Απόδειξη Στην απόδειξη θα χρησιμοποιηθεί επανειλημμένως η τρίτη «ερμηνεία» του γινομένου πινάκων, με τη μορφή [AB] i = [A] i B, για διάφορους πίνακες A, B Αν k i, j, και r i, j, k, l, [P i j E kl (t)p i j ] r = [P i j ] r E kl (t)p i j = [I] r E kl (t)p i j = [IE kl (t)p i j ] r = [E kl (t)p i j ] r = [E kl (t)] r P i j = [I] r P i j = [IP i j ] r = [P i j ] r = [I] r = [E kl ] r [P i j E kl (t)p i j ] i = [P i j ] i E kl (t)p i j = [I] j E kl (t)p i j = [IE kl (t)p i j ] j = [E kl (t)p i j ] j = [E kl (t)] j P i j = [I] j P i j = [IP i j ] j = [P i j ] j = [I] i = [E kl ] i [P i j E kl (t)p i j ] j = [P i j ] j E kl (t)p i j = [I] i E kl (t)p i j = [IE kl (t)p i j ] i = [E kl (t)p i j ] i = [E kl (t)] i P i j = [I] j P i j = [IP i j ] i = [P i j ] i = [I] j = [E kl ] j

4 4 [P i j E kl (t)p i j ] k = [P i j ] k E kl (t)p i j = [I] k E kl (t)p i j = [IE kl (t)p i j ] k = [E kl (t)p i j ] k = [E kl (t)] k P i j = ([I] k + t[i] l )P i j = [IP i j ] k + t[ip i j ] l = [P i j ] k + t[p i j ] l = [I] k + t[i] l = [E kl (t)] k [P i j E kl (t)p i j ] l = [P i j ] l E kl (t)p i j = [I] l E kl (t)p i j = [IE kl (t)p i j ] l = [E kl (t)p i j ] l = [E kl (t)] l P i j = [I] l P i j = [IP i j ] l = [P i j ] l = [I] l = [E kl (t)] l Ετσι αποδείχθηκε η πρώτη Πάμε στην απόδειξη της δεύτερης [P i j E il (t)p i j ] r = [P i j ] r E il (t)p i j = [I] r E il (t)p i j = [IE il (t)p i j ] r = [E il (t)p i j ] r = [E il (t)] r P i j = [I] r P i j = [IP i j ] r = [P i j ] r = [I] r = [E jl (t)] r [P i j E il (t)p i j ] i = [P i j ] i E il (t)p i j = [I] j E il (t)p i j = [IE il (t)p i j ] j = [E il (t)p i j ] j = [E il (t)] j P i j = [I] j P i j = [IP i j ] j = [P i j ] j = [I] i = [E jl (t)] i [P i j E il (t)p i j ] j = [P i j ] j E il (t)p i j = [I] i E il (t)p i j = [IE il (t)p i j ] i = [E il (t)p i j ] i = [E il (t)] i P i j = ([I] i + t[i] l )P i j = [IP i j ] i + t[ip i j ] l = [P i j ] i + t[p i j ] l = [I] j + t[i] l = [E jl (t)] i [P i j E il (t)p i j ] l = [P i j ] l E il (t)p i j = [I] l E il (t)p i j = [IE il (t)p i j ] l = [E il (t)p i j ] l = [E il (t)] l P i j = [I] l P i j = [IP i j ] l = [P i j ] l = [I] l = [E jl (t)] l Η τρίτη αποδεικνύεται εντελώς ανάλογα με τη δεύτερη Θεώρημα 14 Εστω m n πίνακας A Τότε υπάρχουν m n πίνακες P, E και m n πίνακας U, με τις εξής ιδιότητες: Ο P είναι γινόμενο πινάκων τύπου P i j, ο E είναι γινόμενο πινάκων τύπου P i j, ο U είναι κλιμακωτός και EPA = U Ορισμός Ο τετραγωνικός πίνακας A λέγεται αντιστρέψιμος αν υπάρχει πίνακας A ίδιας διαστάσεως, τέτοιος ώστε A A = I = AA Πρόταση 15 Αν ο πίνακας A είναι αντιστρέψιμος, τότε, ο πίνακας A με την ιδιότητα A A = I = AA, είναι μοναδικός και συμβολίζεται A 1 Συνεπώς, στην περίπτωση αντιστρέψιμου πίνακα A, μπορούμε να μιλούμε για τον αντίστροφο του A Αν ο πίνακας A είναι αντιστρέψιμος, τότε και ο A 1 είναι αντιστρέψιμος και, πιο συγκεκριμένα, (A 1 ) 1 = A Αν οι A, B είναι αντιστρέψιμοι (ίδιας διάστασης), τότε και ο AB είναι αντιστρέψιμος και, πιο συγκεκριμένα, (AB) 1 = B 1 A 1 Απόδειξη Εστω A A = I = AA και A A = I = AA Τότε A = A I = A (AA ) = (A A)A = IA = A Η απόδειξη του δευτέρου μέρους της πρότασης είναι ακόμη πιο απλή Λήμμα 16 Γινόμενο πινάκων τύπου E kl (t) είναι αντιστρέψιμος πίνακας Γινόμενο πινάκων τύπου P i j είναι αντιστρέψιμος πίνακας Απόδειξη Ο πρώτος ισχυρισμός είναι άμεση συνέπεια του γεγονότος ότι, για οποιαδήποτε k > l και t, ισχύει ότι E kl ( t)e kl (t) = I και της Πρότασης 15 Οσον αφορά στην απόδειξη της τελευταίας σχέσης: Από την Πρόταση 11, ο πίνακας E kl ( t)e kl (t) είναι αυτός που προκύπτει απ τον E kl (t) όταν στην k-γραμμή του προσθέσομε ( t) φορές την l-γραμμή του Αμέσως φαίνεται ότι ο προκύπτων πίνακας είναι ο ταυτοτικός Ο δεύτερος ισχυρισμός προκύπτει ανάλογα, αλλά πολύ απλούστερα, αφού βασίζεται στην τετριμμένη σχέση P i j P i j = I

5 5 Λήμμα 17 Αν ο n n πίνακας U είναι κλιμακωτός και διαγώνιος, τότε ο U είναι άνω τριγωνικός, δηλαδή, της μορφής u 11 u 12 u 1,n 1 u 1n 0 u 22 u 2,n 1 u 2n U =, (11) 0 0 u n 1,n 1 u n 1,n u n,n όπου τα διαγώνια στοιχεία u 11, u 22,, u nn είναι, ή όλα μη μηδενικά, ή υπάρχει δείκτης i {1,, n}, τέτοιος ώστε u j j 0 για j < i και u j j = 0 για j i Απόδειξη Δια παρατηρήσεως Προσπάθησε να κατασκευάσεις τετραγωνικό κλιμακωτό πίνακα Πρόταση 18 Κάθε άνω τριγωνικός πίνακας, με όλα τα διαγώνια στοιχεία του μη μηδενικά, είναι αντιστρέψιμος Απόδειξη Εστω ο πίνακας U όπως στην (11), με όλα τα διαγώνια στοιχεία του μη μηδενικά Για κάθε στήλη b, το σύστημα UX = b έχει λύση (και, μάλιστα, μοναδική, αλλά αυτό δεν μας χρειάζεται εδώ) Αν στη θέση του b πάρομε διαδοχικά τις στήλες e 1,, e n του ταυτοτικού πίνακα I n = I, τότε, για κάθε j = 1,, n, υπάρχει v j, έτσι ώστε Uv j = e j Αλλά τότε, για τον πίνακα V, του οποίου οι στήλες είναι οι v 1,, v n, ισχύει, προφανώς, ότι UV = I Εντελώς ανάλογα, για κάθε γραμμή (b 1 b 2 b n ), το σύστημα (x 1 x 2 x n )U = (b 1 b 2 b n ) έχει λύση Παίρνοντας στο δεξιό μέλος, διαδοχικά, τις γραμμές του πίνακα I, καταλήγομε στο συμπέρασμα ότι, για κάθε i = 1,, n, υπάρχει γραμμή w i, που ικανοποιεί τη σχέση w i U = [I] i Τούτο σημαίνει ότι, για τον πίνακα W, του οποίου οι γραμμές είναι οι w 1,, w n, ισχύει η σχέση WU = I Τώρα, W = WI = W(UV) = (WU)V = IV = V Συνεπώς, UV = I και VU = WU = I, άρα V = U 1 Ορισμός Ενας τετραγωνικός πίνακας χαρακτηρίζεται μη ιδιόμορφος αν έχει αναγμένο κλιμακωτό με όλα τα διαγώνια στοιχεία του μη μηδενικά Αν αυτό δεν συμβαίνει, τότε ο πίνακας χαρακτηρίζεται ιδιόμορφος Πρόταση 19 Εστω n n πίνακας A (1) Αν ο A είναι μη ιδιόμορφος, τότε το σύστημα AX = b έχει ακριβώς μία λύση για κάθε b (2) Αν ο A είναι ιδιόμορφος, τότε υπάρχει b για το οποίο το σύστημα AX = b είναι αδύνατο Απόδειξη Εστω U ο κλιμακωτός πίνακας του A Ο U είναι όπως τον περιγράφει το Λήμμα 17 Η διαδικασία με την οποία οδηγούμαι από τον A στον U, περιγράφεται από τη σχέση EPA = U, όπου ο E είναι γινόμενο πινάκων τύπου E kl (t) και ο P είναι πίνακας μετάθεσης γραμμών Αν A είναι ο επαυξημένος πίνακας του συστήματος, δηλαδή, A = (A b), τότε EPA = (U b ), όπου b = EP b (1) Αν ο A είναι μη ιδιόμορφος, τότε όλα τα διαγώνια στοιχεία του U είναι μη μηδενικά, εξ ορισμού της μη ιδιομορφίας του A Αρα το σύστημα AX = b είναι ισοδύναμο με το UX = b, το οποίο, προφανώς, έχει μία ακριβώς λύση (οποιοδήποτε κι αν είναι το b ), λόγω του ότι τα διαγώνια στοιχεία του U είναι όλα μη μηδενικά

6 6 (2) Εστω u ii = 0 Τότε, απ το Λήμμα 17, όλα τα διαγώνια στοιχεία από το u ii και κάτω είναι 0 Αυτό, ειδικώτερα, συνεπάγεται ότι η τελευταί γραμμή του U είναι μηδενική Συνεπώς, το σύστημα UX = b, με b = e n = n-οστή στήλη του I n, είναι αδύνατο Αρα, το σύστημα AX = b, με b = P 1 E 1 e n, είναι αδύνατο Θεώρημα 110 Ενας n n πίνακας είναι μη ιδιόμορφος αν και μόνο αν είναι αντιστρέψιμος Απόδειξη Εστω ότι ο n n πίνακας A είναι μη ιδιόμορφος και U κλιμακωτός πίνακας προερχόμενος από τον A Ο U είναι της μορφής (11) με όλα τα διαγώνια στοιχεία μη μηδενικά, άρα, απ την Πρόταση 18, ο U είναι αντιστρέψιμος Επιπλέον, από το Θεώρημα 14, υπάρχουν αντιστρέψιμοι πίνακες E και P, έτσι ώστε να ισχύει PEA = U Ισχυρίσμός: Ο αντίστροφος του A είναι ο U 1 PE Πράγματι, (U 1 PE)A = U 1 (PEA) = U 1 U = I και A(U 1 PE = (AU 1 )PE Από τη σχέση PEA = U και την αντιστρεψιμότητα των U, P, E προκύπτει η σχέση AU 1 = E 1 P 1, άρα (AU 1 )PE = (E 1 P 1 )PE = I Αντιστρόφως, έστω ότι ο A είναι αντιστρέψιμος Τότε το σύστημα AX = b είναι επιλύσιμο για κάθε b: αρκεί να πάρομε X = A 1 b (δεν απαιτείται εδώ να εξετάσομε αν είναι μοναδική η λύση) Αρα, από την Πρόταση 19, ο A δεν μπορεί να είναι ιδιόμορφος Πόρισμα 111 Εστω τετραγωνικός πίνακας A Διαφορετικές διαδικασίες με γραμμοπράξεις μπορεί να οδηγήσουν από τον A σε διαφορετικούς κλιμακωτούς πίνακες Το συμπέρασμα σχετικά με το αν είναι ο A ιδιόμορφος θα είναι το ίδιο, σε οποιονδήποτε από τους κλιμακωτούς αυτούς πίνακες κι αν βασιστεί κανείς

7 Κεφάλαιο 2 Πίνακες και Διανυσματικοί Υπόχωροι Θεώρημα 21 Εστω U κλιμακωτός m n πίνακας, του οποίου οι r πρώτες γραμμές είναι μη μηδενικές και οι τελευταίες n r γραμμές είναι μηδενικές Εστω c j1,, c jr οι στήλες του U που αντιστοιχούν στους οδηγούς του Εστω U 1 ο r r ελλάσων πίνακας του U, ο οποίος σχηματίζεται από τις τομές των r πρώτων γραμμών του U με τις στήλες c j1,, c jr και U 2 ο r (n r) ελλάσων πίνακας του U, ο οποίος σχηματίζεται από τις τομές των r πρώτων γραμμών του U με τις υπόλοιπες στήλες του U Τότε: (α ) Το σύστημα UX = 0 είναι ισοδύναμο με το U 1 X β = U 2 X ε, όπου η στήλη X β περιλαμβάνει τους βασικούς αγνώστους x j1,, x jr και η στήλη X ε περιλαμβάνει τους ελεύθερους (δηλαδή, τους υπόλοιπους) αγνώστους (με τη διάταξη που αυτοί εμφανίζονται στη λίστα x 1,, x r ) (β ) Για j = 1,, n r, έστω e j η (n r) 1 στήλη με 1 στη θέση j και 0 στις υπόλοιπες θέσεις, και b j η μοναδική λύση του συστήματος U 1 X β = U 2 e j Τότε, για j = 1,, n r, θέτοντας (X β, X ε ) = (b j, e j ), παίρνομε βάση του χώρου λύσεων του συστήματος UX = 0 Απόδειξη Η απόδειξη του (α ) είναι προφανής (β ) Εστω τυχαία λύση X = (X β, X ε ) = (s 1,, s r, t 1,, t n r ) Συμβολίζομε με s την r 1 στήλη με στοιχεία s 1,, s r και με t την (n r) 1 στήλη με στοιχεία τα t 1,, t n r, οπότε n r n r n r n r U 1 s = U 2 t = U 2 ( t j e j ) = t j ( U 2 e j ) = t j (U 1 b j ) = U 1 ( t j b j ) j=1 j=1 Συνεπώς, λόγω της αντιστρεψιμότητας του U 1, έπεται ότι s = n r j=1 t j b j Ομως, ισχύει και η σχέση t = n r j=1 t j e j, άρα (s, t) = n r j=1 t j (b j, e j ) Δηλαδή, η λύση (s 1,, s r, t 1,, t n r ) είναι γραμμικός συνδυασμός των n r το πλήθος λύσεων (b j, e j ), j = 1,, n r Το σύνολο αυτών των n r λύσεων είναι προφανώς γραμμικώς ανεξάρτητο λόγω της μορφής των τελευταίων n r συντεταγμένων κάθε μιας λύσης Πόρισμα 22 Αν ο πίνακας A είναι διαστάσεως m n με m < n, τότε το ομογενές σύστημα AX = 0 έχει μη μηδενικές λύσεις Απόδειξη Εστω U κλιμακωτός πίνακας, που προκύπτει από τον A με τη μέθοδο απαλοιφής Gauss και r το πλήθος των οδηγών του Προφανώς, r m < n Το σύστημα AX = 0 είναι ισοδύναμο με το UX = 0 Από το Θεώρημα 21 ξέρομε ότι ο χώρος των λύσεων του συστήματος έχει μια βάση αποτελούμενη από n r το πλήθος λύσεις Καθώς n r > 0, συμπεραίνομε ότι ο χώρος των λύσεων περιέχει και μη μηδενικές λύσεις 7 j=1 j=1

8 8 Πόρισμα 23 (α ) Αν n > m, τότε οποιαδήποτε n το πλήθος διανύσματα του R m είναι γραμμικώς εξαρτημένα (β ) Κάθε μη μηδενικός διανυσματικός υπόχωρος του R m έχει βάση Απόδειξη (α ) Εστω ότι v 1,, v n R m Ας θεωρήσομε την εξίσωση x 1 v x n v n = 0 Αυτή ισοδυναμεί με την AX = 0, όπου ο A έχει στήλες τα v 1,, v n και X είναι η στήλη των αγνώστων x 1,, x n Η διάσταση του A είναι m n με m < n, άρα, από το Πόρισμα 22, υπάρχει μη μηδενική λύση (β ) Εστω διανυσματικός υπόχωρος V {0} του R m και v 1 V, μη μηδενικό Το σύνολο {v 1 } είναι γραμμικώς ανεξάρτητο Αν v 1 = V, τότε το (μονο)σύνολο αυτό είναι βάση του V Αν όχι, τότε υπάρχει v 2 V \ v 1, οπότε το σύνολο {v 1, v 2 } είναι γραμμικώς ανεξάρτητο Αν v 1, v 2 = V, τότε το {v 1, v 2 } είναι βάση του V Αν όχι, τότε υπάρχει v 3 V \ v 1, v 2, οπότε το σύνολο {v 1, v 2, v 3 } είναι γραμμικώς ανεξάρτητο κλπ Η διαδικασία κάποτε θα σταματήσει γιατί, λόγω του (α ), το πλήθος των γραμμικώς ανεξαρτήτων v 1, v 2, v 3,, τα οποία θα βρούμε, δεν μπορεί να υπερβεί τον αριθμό m Αρα, κάποτε θα βρούμε v 1,, v k, με 1 k m, τα οποία θα είναι γραμμικώς ανεξάρτητα και V = v 1,, v k, δηλαδή, τα v 1,, v k θα είναι βάση του V Θεώρημα-Ορισμός 24 Αν u 1,, u m είναι μια βάση του διανυσματικού υποχώρου V και τα v 1,, v n V είναι γραμμικώς ανεξάρτητα, τότε n m Συνεπώς, όλες οι βάσεις ενός διανυσματικού υποχώρου V έχουν το ίδιο πλήθος στοιχείων, το οποίο λέγεται διάσταση του V και συμβολίζεται dim(v) Αρα, η πρώτη πρόταση του θεωρήματος μπορεί να διατυπωθεί και ως εξής: Οποιοδήποτε σύνολο διανυσμάτων του υποχώρου V έχει πληθάριθμο που υπερβαίνει τη διάσταση του V, είναι σύνολο γραμμικώς εξαρτημένων διανυσμάτων Απόδειξη Βλέπομε τα διανύσματα του V ως στήλες Εστω ότι n > m Για κατάλληλους a i j R έχομε v 1 = a 11 u a m1 u m (21) (22) v n = a 1n u a mn u m (23) Ισοδύναμα (πβλ άσκηση 3 του κεφαλαίου 1) (v 1 v n ) = (u 1 u m ) a 11 a 1n a m1 a mn και έστω A ο παραπάνω πίνακας των a i j Επειδή m < n, συμπεραίνομε βάσει του Πορίσματος 22, ότι υπάρχει μη μηδενική n 1 στήλη X, τέτοια ώστε AX = 0 Αλλά τότε, (v 1 v n )X = 0, που σημαίνει ότι x 1 v 1 + x n v n = 0, όπου x 1,, x n είναι οι συντεταγμένες της στήλης X Η τελευταία σχέση, όμως, αντιβαίνει στη γραμμική ανεξαρτησία των v 1,, v n Ασκήσεις 1 Εστω ότι v 1,, v k R n είναι γραμμικώς ανεξάρτητα και v k+1 R n, τέτοιο ώστε v k+1 v 1,, v k Τότε v 1,, v k, v k+1 είναι γραμμικώς ανεξάρτητα

9 9 2 Εστω ότι v 1,, v k R n και v k+1 R n, τέτοιο ώστε v k+1 v 1,, v k Τότε v 1,, v k, v k+1 = v 1,, v k 3 Εστω ότι v 1,, v k R n (k 1), όχι όλα μηδενικά Τότε μπορούμε να βρούμε ένα μη κενό υποσύνολο S του {v 1,, v k }, αποτελούμενο από γραμμικώς ανεξάρτητα διανύσματα, με μέγιστο δυνατό πληθάριθμο Μ άλλα λόγια, S {v 1,, v n } και αν v i S για κάποιο i {1,, n}, τότε το S {v i } είναι γραμμικώς εξαρτημένο σύνολο διανυσμάτων Θεώρημα 25 Εστω V διανυσματικός υπόχωρος διαστάσεως m Τότε, οποιαδήποτε m διανύσματα του V, τα οποία, είτε είναι γραμμικώς ανεξάρτητα, είτε παράγουν τον V, αποτελούν βάση του V Αν v 1,, v k V είναι γραμμικώς ανεξάρτητα και k < m, τότε τα διανύσματα αυτά μπορούν να συμπληρωθούν με m k διανύσματα v k+1,, v m, έτσι ώστε τα v 1,, v k, v k+1,, v m να είναι βάση του R m Απόδειξη Εστω, πρώτα, ότι τα v 1,, v m V είναι γραμμικώς ανεξάρτητα Θα δείξομε ότι αυτά παράγουν τον V, άρα είναι βάση του Δηλαδή, θα δείξομε ότι v 1,, v m = V Αν αυτό δεν συνέβαινε, θα μπορούσαμε να βρούμε u V v 1,, v m Αλλά τότε, από την άσκηση 1, τα v 1,, v m, u είναι γραμμικώς ανεξάρτητα διανύσματα Δηλαδή, στον υπόχωρο V διαστάσεως m υπάρχουν m + 1 γραμμικώς ανεξάρτητα διανύσματα, γεγονός που αντιφάσκει στο Θεώρημα 24 Στη συνέχεια, έστω ότι τα v 1,, v m V παράγουν τον V Θα δείξομε ότι τα διανύσματα αυτά είναι και γραμμικώς ανεξάρτητα Αν δεν ήταν, τότε θα μπορούσαμε να βρούμε ένα γνήσιο υποσύνολο S του {v 1,, v m }, αποτελούμενο από γραμμικώς ανεξάρτητα διανύσματα, του οποίου ο πληθάριμος να είναι ο μέγιστος δυνατός (πρβλ άσκηση 3) Αυτό συνεπάγεται ότι, αν κάποιο v i δεν ανήκει στο S, τότε, το S {v i } είναι γραμμικώς εξαρτημένο σύνολο, άρα το v i ανήκει στον υπόχωρο S, που παράγουν τα στοιχεία του S Αλλά τότε, S = v 1,, v m = V και, συνεπώς, το S είναι βάση του V, αφού αποτελείται από γραμμικώς ανεξάρτητα διανύσματα και παράγει τον V Τούτο, όμως, είναι άτοπο, διότι, καθώς η διάσταση του V είναι m, πρέπει όλες οι βάσεις του V έχουν m στοιχεία, ενώ το S, ως γνήσιο υποσύνολο του {v 1,, v m }, έχει λιγώτερα από m στοιχεία Τέλος, έστω ότι τα v 1,, v k V είναι γραμμικώς ανεξάρτητα και k < m Το γεγονός ότι dim(v) = m, σε συνδυασμό με το Θεώρημα 24 μας λέει ότι όλες οι βάσεις του V έχουν ακριβώς m διανύσματα Αφού k < m, τα διανύσματα v 1,, v k δεν παράγουν τον V, άρα μπορούμε να βρούμε διάνυσμα v k+1 V v 1,, v k Τότε (άσκηση 1) τα v 1,, v k+1 είναι γραμμικώς ανεξάρτητα Αν k + 1 = m τότε, βάσει του ήδη αποδειχθέντος πρώτου μέρους του θεωρήματος, τα διανύσματα αυτά είναι βάση του V Αν k + 1 < m τότε, ακριβώς ανάλογος συλλογισμός μας επιτρέπει την επανάληψη της διαδικασίας, οπότε βρίσκομε v k+2 V v 1,, v k, v k+1 Η διαδικασία θα σταματήσει όταν η λίστα των v 1,, v k+1, v k+2, καταλήξει σε m διανύσματα Πόρισμα 26 Εστω ότι V, W είναι υπόχωροι του R m και W V Τότε, dim(w) dim(v) Αν, επιπλέον, dim(w) = dim(v), τότε W = V Απόδειξη Εστω w 1,, w n βάση του W Ειδικότερα, τα διανύσματα αυτά είναι γραμμικώς ανεξάρτητα διανύσματα του V, άρα, από το Θεώρημα 24, n dim(v), δηλαδή, dim(w) dim(v) Αν, επιπλέον, υποθέσομε ότι dim(v) = dim(w) = n, τότε τα w 1,, w n είναι γραμμικώς ανεξάρτητα διανύσματα, τόσα, όση η διάσταση του W, οπότε το Θεώρημα

10 10 25 συνεπάγεται αυτά αποτελούν βάση του V Αλλά τότε, V = w 1,, w n = W Λήμμα 27 Εστω κλιμακωτός πίνακας U τάξεως r (α ) Οι r μη μηδενικές γραμμές του U είναι γραμμικώς ανεξάρτητες, άρα αποτελούν μια βάση για τον χώρο γραμμών U ειδικότερα, η διάσταση του χώρου γραμμών του U είναι r (β ) Οι r στήλες του U, που αντιστοιχούν σε οδηγούς είναι γραμμικός ανεξάρτητες και όλες οι υπόλοιπες στήλες του U είναι γραμμικός συνδυασμός αυτών των r στηλών Συνεπώς, οι r στήλες του U, που αντιστοιχούν σε οδηγούς, αποτελούν βάση για τον χώρο στηλών του U ειδικότερα, η διάσταση του χώρου στηλών του U είναι r Απόδειξη (α ) Εστω m n κλιμακωτός πίνακας U και r m οι μη μηδενικές γραμμές του Για i = 1,, r, έστω j i η θέση του οδηγού της i-γραμμής, οπότε 1 j 1 < < j r n Θεωρώ τώρα ένα γραμμικό συνδυασμό των r μη μηδενικών γραμμών του U (εξ ορισμού του κλιμακωτού πίνακα, αυτές είναι, ακριβώς, οι r πρώτες γραμμές), έστω t 1 [U] 1 + +t r [U] r = 0 Είναι (U) 1 j1 0, ενώ (εξ ορισμού του κλιμακωτού πίνακα) (U) i j1 = 0 για i > 1 Αρα, η j 1 -συντεταγμένη του t 1 [U] t r [U] r είναι t 1 (U) 1 j1 + t t r 0 Αυτή, όμως, πρέπει να είναι ίση με 0, άρα t 1 = 0 Επιπλέον δε, η αρχική σχέση t 1 [U] t r [U] r = 0 γίνεται τώρα t 2 [U] t r [U] r = 0 Επαναλαμβάνοντας ανάλογο συλλογισμό με τον παραπάνω, συμπεραίνομε ότι t 2 = 0 κλπ (β ) Με το παράδειγμα φαίνεται πολύ καθαρά η απόδειξη: Εστω U = a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a b 3 b 4 b 5 b 6 b c 4 c 5 c 6 c d όπου a 1 b 3 c 4 d 7 0 Αναδιατάσσοντας τις στήλες του, έτσι ώστε να είναι πρώτες αυτές που αντιστοιχούν σε οδηγό, παίρνομε τον πίνακα U = a 1 a 3 a 4 a 7 a 2 a 5 a 6 0 b 3 b 4 b 7 0 b 5 b c 4 c 7 0 c 5 c d , = (U α U δ ) Είναι σαφές ότι οι στήλες του U α είναι γραμμικώς ανεξάρτητες Είναι σαφές, επίσης, ότι, για κάθε στήλη b του U δ, το σύστημα U α X = b είναι επιλύσιμο, γεγονός που αποδεικνύει ότι οι στήλες του U δ είναι γραμμικοί συνδυασμοί των στηλών του U α Αρα,οι στήλες του U α είναι βάση του R(U ) = R(U) Πρόταση 28 (α ) R(AB) R(A) Αν ο B είναι τετραγωνικός και αντιστρέψιμος, τότε ισχύει η ισότητα (β ) dim R(AB) dim R(B) Αν ο A είναι τετραγωνικός και αντιστρέψιμος, τότε ισχύει η ισότητα Απόδειξη (α ) Η σχέση R(AB) R(A) είναι, απλώς, επαναδιατύπωση του (4), στο «τυπολόγιο», που υπάρχει στην αρχή του Κεφαλαίου 1 Αν ο B είναι αντιστρέψιμος, έχομε και τη σχέση A = (AB)B 1, άρα, κατ αναλογίαν, R(A) R(AB), οπότε ισχύει το =

11 11 (β ) Εστω AB = C και, δίχως βλάβη της γενικότητος, ας υποθέσομε ότι οι r πρώτες στήλες του C αποτελούν βάση για τον R(C) Θα δείξομε ότι, τότε, οι r πρώτες στήλες του B είναι γραμμικώς ανεξάρτητες, το οποίο σημαίνει ότι dim R(B) dim R(C) = dim R(AB) Εστω, λοιπόν, ότι λ 1 B λ r B r = 0 Κάνοντας χρήση του (5) του «τυπολογίου», στην αρχή του Κεφαλαίου 1, έχομε λ 1 C λ r C r = λ 1 AB λ r AB r = λ 1 A B λ r A B r = A (λ 1 B λ r B r ) = A0 = 0 Λόγω της ανεξαρτησίας των C 1,, C r συμπεραίνομε ότι λ 1 = = λ r = 0, που αποδεικνύει την ανεξαρτησία των B 1,, B r Αν ο A είναι αντιστρέψιμος, τότε B = A 1 C, άρα, κατ αναλογίαν, dim R(B) = dim R(A 1 C) dim R(C) = dim R(AB), άρα, τελικά, dim R(AB) = dim R(B) Θεώρημα 29 (α ) Αν A είναι ένας οποιοσδήποτε πίνακας και U είναι κλιμακωτός πίνακας του A, τότε R(A T ) = R(U T ), άρα οι μη μηδενικές γραμμές του U αποτελούν βάση για τον χώρο γραμμών του A (β ) Η σχέση dim R(A T ) = r(a) = dim R(A) αληθεύει για κάθε πίνακα A (γ ) Για κάθε πίνακα A ισχύει r(a) = r(a T ) Απόδειξη Υπάρχει τετραγωνικός κάτω κλιμακωτός πίνακας L, με τα διαγώνια στοιχεία του 1, και πίνακας μετάθεσης P, τέτοιοι ώστε PA = LU Αρα, A = (P 1 L)U και ο πίνακας P 1 L είναι αντιστρέψιμος Ισοδύναμα, A T = U T B, όπου ο B = (P 1 L) T είναι αντιστρέψιμος πίνακας Συνεπώς, απ την Πρόταση 28 (α ) συμπεραίνομε ότι R(A T ) = R(U T ) και τώρα, από το Λήμμα 27 (α ) συμπεραίνομε ότι οι μη μηδενικές γραμμές του U αποτελούν βάση και για τον χώρο γραμμών του A ειδικότερα, dim R(A T ) = r(a) Ετσι αποδείξαμε τον ισχυρισμό (α ) και την αριστερή ισότητα του (β ) Μένει να δείξομε ότι dim R(A) = r(a) Απ τη σχέση A = (P 1 L)U, την οποία χρησιμοποιήσαμε πιο πάνω, και την Πρόταση 28 (β ), έπεται αμέσως ότι dim R(A) = dim R(U) και τώρα το Λήμμα 27 (β ) ότι dim R(U) = r(a) Ο ισχυρισμός (γ ) του θεωρήματος είναι άμεση συνέπεια του (β ) Πόρισμα 210 Εστω πίνακας A διαστάσεως m n και τάξεως r Τότε, ο A έχει αριστερό αντίστροφο αν και μόνο αν n = r και δεξιό αντίστροφο, αν και μόνο αν r = m Απόδειξη Αποδεικνύομε την πρώτη ισοδυναμία Εστω ότι ο n m πίνακας B είναι αριστερός αντίστροφος του A Προφανώς, αφού ο A έχει n στήλες, έχομε dim R(A) n Κάνοντας τώρα χρήση της Προτάσεως 28 (β ), έχομε n = dim R(I n ) = dim R(BA) dim R(A) n, άρα n = dim R(A) και απ το Θεώρημα 29 (β ), dim R(A) = r Αντιστρόφως, έστω r = n Τότε ο χώρος γραμμών του A, που είναι, φυσικά, υπόχωρος του R n περιέχει n γραμμικώς ανεξάρτητες γραμμές και, συνεπώς, αυτές οι γραμμές παράγουν τον R n, βάσει του Θεωρήματος 25 Αρα, ο χώρος γραμμών του A είναι ολόκληρος ο R n Ταυτίζομε τον R n με τις 1 n γραμμές και θεωρούμε τη στάνταρ βάση του e 1,, e n Αν

12 12 a 1,, a m είναι οι γραμμές του A, τότε, κάθε e i είναι γραμμικός συνδυασμός των a 1,, a m, άρα, από την άσκηση 3 (β ) του Κεφαλαίου 1, έχομε e 1 e 2 e n = Λ για κάποιον πίνακα Λ Αλλά ο αριστερότερος πίνακας είναι, προφανώς, ο I n και ο δεξιότερος είναι ο A συνεπώς, ΛA = I n, άρα ο A έχει αριστερό αντίστροφο Εστω τώρα ότι ο n m πίνακας B είναι δεξιός αντίστροφος του A Τότε ο B T είναι αριστερός αντίστροφος του A T, άρα, από αυτό που έχομε ήδη αποδείξει, συμπεραίνομε ότι r(a T ) = πλήθος στηλών του A T = m Αλλά r(a T ) = r(a) = r, άρα r = m Αντιστρόφως, αν r = m τότε η τάξη του A T ισούται με το πλήθος των στηλών του, άρα, χάρη στο ήδη αποδειχθέν, ο A T (διαστάσεως n m) έχει αριστερό αντίστροφο, έστω B (διαστάσεως m n), που σημαίνει ότι BA T = I m, άρα AB T = I m, δηλαδή ο A έχει δεξιό αντίστροφο Πόρισμα 211 Ενας τετραγωνικός πίνακας είναι αντιστρέψιμος απ τ αριστερά, αν και μόνο αν είναι αντιστρέψιμος απ τα δεξιά Στην περίπτωση αυτή, ο δεξιός και ο αριστερός αντίστροφος συμπίπτουν Απόδειξη Εστω n n πίνακας A Από το Πόρισμα 210, ο A έχει αριστερό αντίστροφο αν και μόνο αν η τάξη του ισούται με το πλήθος των στηλών του, άρα (αφού ο A είναι τετραγωνικός), αν και μόνο αν η τάξη του A ισούται με το πλήθος των γραμμών του, άρα (πάλι από το Πόρισμα 210) αν και μόνο αν ο A έχει δεξιό αντίστροφο Εστω τώρα ότι B, C είναι, αντιστοίχως, ο αριστερός και ο δεξιός αντίστροφος του A Τότε C = I n C = (BA)C = B(AC) = BI n = B a 1 a 2 a m

13 Κεφάλαιο 3 Πίνακες και Γραμμικές Απεικονίσεις Αν A είναι πίνακας διαστάσεως m n, με L A συμβολίζομε τη γραμμική απεικόνιση R n R m, που στέλνει το X R n (βλέπομε το X ως στήλη) στο AX Αντιστρόφως, αν f : R n R m είναι γραμμική απεικόνιση και κατασκευάσομε τον πίνακα A με στήλες τα f (e 1 ),, f (e n ), όπου e 1,, e n είναι η στάνταρ βάση του R n, τότε f = L A Τετριμμένα, L A L B = L AB Δίδεται ο ορισμός του πυρήνα Ker( f ) μιας γραμμικής απεικόνισης f : R n R m Είναι πολύ απλό ν αποδείξει κανείς το εξής: Θεώρημα 31 Εστω f : R n R m γραμμική απεικόνιση 1 Ker( f ) είναι διανυσματικός υπόχωρος του R n Η f είναι 1-1 αν και μόνο αν Ker( f ) = {0} 2 Αν V είναι διανυσματικός υπόχωρος του R n, τότε f (V) είναι διανυσματικός υπόχωρος του R m 3 Αν W είναι διανυσματικός υπόχωρος του R m, τότε f 1 (W) είναι διανυσματικός υπόχωρος του R n Βάσει αυτού αποδεικνύεται εύκολα το εξής: Θεώρημα 32 Εστω πίνακας A διαστάσεως m n, r η τάξη του A και η αντίστοιχη γραμμική απεικόνιση L A : R n R m Τότε: 1 Η L A είναι 1-1 αν και μόνο αν r = n 2 Η L A είναι επί αν και μόνο αν r = m 3 Η L A είναι αμφιμονοσήμαντη αν και μόνο αν m = n = r Απόδειξη (1) Είναι προφανές ότι Ker(L A ) = N(A) Αρα, βάσει του Θεωρήματος 31, η L A είναι 1-1 αν και μόνο αν N(A) = {0} και αυτό συμβαίνει αν και μόνο αν dimn(a) = 0, δηλαδή, αν και μόνο n r = 0 (2) L A (R n ) = R(A) (ο χώρος στηλών του A) και, φυσικά, R(A) R m Η L A είναι επί αν και μόνο αν R(A) = R m και αυτό συμβαίνει αν και μόνο αν dimr(a) = m, δηλαδή, αν και μόνο αν r = m (3) Συνδυασμός των (1) και (2) Πόρισμα 33 Εστω πίνακας A διαστάσεως m n, r η τάξη του A και η αντίστοιχη γραμμική απεικόνιση L A : R n R m Τότε: 13

14 14 1 Η L A έχει αριστερά αντίστροφη απεικόνιση R m R n αν και μόνο αν r = n 2 Η L A έχει αριστερά αντίστροφη απεικόνιση R m R n αν και μόνο αν r = m 3 Η L A έχει αντίστροφη απεικόνιση R m R n (από αριστερά και από δεξιά) αν και μόνο αν m = n = r Απόδειξη Θα γίνει χρήση του Πορίσματος 210 (1) r = n ισοδυναμεί με το ότι ο A έχει αριστερό αντίστροφο, έστω B, διαστάσεως n m Αλλά τότε, L B L A = L BA = L In = ταυτοτική του R n (2) r = m ισοδυναμεί με το ότι ο A έχει δεξιό αντίστροφο, έστω B, διαστάσεως n m Αλλά τότε, L A L B = L AB = L Im = ταυτοτική του R m (3) r = m = n ισοδυναμεί με το ότι ο A είναι, βέβαια, τετραγωνικός και, επιπλέον, έχει αντίστροφο από δεξιά και από αριστερά Αυτοί οι δύο αντίστροφοι συμπίπτουν, βάσει του Πορίσματος 211 Εστω B αυτός ο αντίστροφος (διαστάσεως m m Τότε, από την AB = I m = BA έπεται ότι L B L A = ταυτοτική του R m = L A L B

15 Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Σ αυτό το κεφάλαιο, τα διανύσματα τα βλέπομε ως στήλες Οι συντεταγμένες τους είναι πραγματικοί αριθμοί Μήκος διανύσματος - Ορθογώνια διανύσματα Ορισμός Το μήκος ενός διανύσματος v R n είναι, εξ ορισμού, ο μη αρνητικός αριθμός vt v Το μήκος του v συμβολίζεται με v Πιο συγκεκριμένα, αν v = v 1 v n, τότε v = v v2 n Βάσει των παραπάνω, παρατηρήστε ότι, για κάθε v, ισχύει v 0 (εδώ παίζει ρόλο ότι οι συντεταγμένες του v είναι πραγματικοί αριθμοί), ενώ v = 0 v = 0 Ορισμός Λέμε ότι το διάνυσμα v R n είναι ορθογώνιο, ή κάθετο στο διάνυσμα v R n και το συμβολίζομε v w, αν v T w = 0 Παρατηρήστε ότι, αν v T w = 0, τότε (το 0 στο δεξιό μέλος το βλέπομε σαν 1 1 πίνακα), (v T w) T = 0 T = 0 Το αριστερό μέλος ισούται με w T (v T ) T = w v, άρα w T v = 0, που σημαίνει, σύμφωνα με τον ορισμό, ότι w v Αρα, η σχέση καθετότητας είναι συμμετρική: v w w v Το μοναδικό διάνυσμα, που είναι ορθογώνιο στον εαυτό του, είναι το μηδενικό διάνυσμα: v v v T v = 0 v 2 = 0 v = 0 Θεώρημα 41 - Πυθαγόρειο Θεώρημα: x y x 2 + y 2 = x y 2 Παρατηρήστε ότι, αν θεωρήσομε τα διανύσματα x, y να έχουν κοινή αρχή, τότε σχιματίζεται ένα τρίγωνο με μήκη πλευρών x, y και x y Απόδειξη x y 2 = x 2 + y 2 (x y) T (x y) = x 2 + y 2 (x T y T ) (x y) = x 2 + y 2 x T x x T y y T x + y T y = x 2 + y 2 x 2 x T y y T x + y 2 = x 2 + y 2 x T y y T x = 0 2x T y = 0 x y 15

16 16 Εισαγωγή στη Γραμμική Αλγεβρα Στην προτελευταία ισοδυναμία χρησιμοποιήσαμε το ότι ένας αριθμός, θεωρούμενος σαν 1 1 πίνακας, είναι ίσος με τον ανάστροφό του, άρα x T y = (x T y) T = y T x και, συνεπώς, x T y y T x = 2x T y Πρόταση 42 Εάν τα διανύσματα v 1,, v n είναι μη μηδενικά και ορθογώνια μεταξύ τους, τότε είναι γραμμικώς ανεξάρτητα Απόδειξη Εστω ένας γραμμικός συνδυασμός c 1 v c n v n = 0 Παίρνουμε το εσωτερικό γινόμενο με το v 1 : 0 = v T 1 0 = vt 1 (c 1v c n v n ) = v T 1 c 1v 1 + v T 1 c 2v v T 1 c nv n = c 1 (v T 1 v 1) + c 2 (v T 1 v 2) + + c n (v T 1 v n) = c 1 v 1 2, διότι v T 1 v i = 0 για κάθε i 1, λόγω ορθογωνιότητος Αρα, c 1 v 1 2 = 0 και, επειδή, v 1 0, συμπεραίνομε ότι c 1 = 0 Είναι προφανές ότι δεν ισχύει το αντίστροφο: δυο γραμμικώς ανεξάρτητα διανύσματα δεν είναι υποχρεωτικά ορθογώνια Ορθογώνιοι υπόχωροι Στον R 3, μία ευθεία είναι κάθετη σε ένα επίπεδο όταν σχηματίζει ορθή γωνία με κάθε ευθεία του επιπέδου που την τέμνει Ανάλογα, ορίζουμε την ορθογωνιότητα δύο υποχώρων Ορισμός Δύο υπόχωροι V και W του χώρου R n είναι ορθογώνιοι (συμβολικά, V W) όταν κάθε διάνυσμα του V είναι ορθογώνιο σε κάθε διάνυσμα του W Προσέξτε, όμως, ότι στο R 3, δύο κάθετα επίπεδα W 1 και W 2 (δηλαδή, τα κάθετα σε αυτά διανύσματα είναι κάθετα μεταξύ τους) δεν ικανοποιούν αυτή τη συνθήκη, δηλαδή, ως υπόχωροι του R n, οι W 1, W 2 δεν είναι ορθογώνιοι Πράγματι, ας θεωρήσουμε μία βάση από δύο ορθογώνια διανύσματα σε κάθε επίπεδο, u 1, v 1 στο W 1, u 2, v 2 στο W 2 Εάν τα W 1 και W 2 ήταν ορθογώνια, τότε θα είχαμε 4 διανύσματα u 1, v 1, u 2, v 2 ορθογώνια μεταξύ τους Από την Πρόταση 42 αυτά θα ήταν γραμμικώς ανεξάρτητα Αλλά στον R 3 δεν υπάρχουν 4 γραμμικώς ανεξάρτητα διανύσματα Πρόταση 43 Αν V W τότε V W = {0} Απόδειξη Αν x V W, τότε x x, άρα x = 0, οπότε x = 0 Πρόταση 44 Αν V W, v 1,, v k V είναι γραμμικώς ανεξάρτητα και w 1,, w l W είναι, επίσης, γραμμικώς ανεξάρτητα, τότε τα v 1,, v k, w 1,, w l είναι γραμμικώς ανεξάρτητα Απόδειξη Εστω x 1 v x k v k + y 1 w y l w l = 0, όπου x 1,, x k, y 1,, y l R Θα δείξομε ότι όλοι οι συντελεστές x i και όλοι οι συντελεστές y j είναι μηδενικοί Για τον σκοπό αυτό θέτομε v = x 1 v x k v k και w = y 1 w 1 + +y l w l, οπότε v+w = 0 Καθώς v V και w W, η τελευταία ισότητα συνεπάγεται ότι v V W, άρα, από την Πρόταση 43, v = 0 και w = 0 Συνεπώς, x 1 v x k v k = 0 και y 1 w y l w l = 0 Λόγω της γραμμικής ανεξαρτησίας των v 1,, v k έπεται ότι x 1 = = x k = 0 και, ανάλογα, w 1 = = w l = 0

17 Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες 17 Πόρισμα 45 Αν οι V, W είναι ορθογώνιοι υπόχωροι του R n και dim V + dim W = n, τότε η ένωση μιας οποιασδήποτε βάσης του V με οποιαδήποτε βάση του W δίνει μια βάση του R n Πόρισμα 46 Αν οι V, W είναι ορθογώνιοι υπόχωροι του R n και dim V + dim W = n, τότε κάθε x R n γράφεται με ένα και μοναδικό τρόπο ως x = v + w, όπου v V και w W Απόδειξη Θεωρούμε βάσεις v 1,, v k του V και w 1,, w l του W Από το πόρισμα 45 έπεται ότι υπάρχουν x 1,, x k, y 1,, y l R τέτοιοι ώστε x 1 v 1 + +x k v k +y 1 w 1 + +y l w l = x Θέτομε v = x 1 v x k v k και w = y 1 w y l w l, οπότε v + w = x με το v V και το w W Αν τώρα ισχύει και x = v + w, όπου v V και w W, τότε v + w = v + w, απ όπου v v = w w Αυτό σημαίνει ότι το τελευταίο διάνυσμα ανήκει στην τομή των V και W άρα, από την πρόταση 43, είναι το μηδενικό διάνυσμα Αρα v = v και w = w Ασκηση 41 Εστω ότι V, W είναι μη μηδενικοί υπόχωροι του R n, v 1,, v k μια οποιαδήποτε βάση του V και w 1,, w l μια οποιαδήποτε βάση του W Αποδείξτε ότι V W αν και μόνο αν v i w j για κάθε i = 1,, k και j = 1,, l Ασκηση 42 Εστω ότι V, W είναι μη μηδενικοί υπόχωροι του R n, και V = v 1,, v k Αποδείξτε ότι V W αν και μόνο αν w v i για κάθε i = 1,, k Ορισμός Εστω V υπόχωρος του R n Το σύνολο λέγεται ορθογώνιο συμπλήρωμα του V V := {w R n : w v v V} Ασκηση 43 Αποδείξτε ότι το ορθογώνιο συμπλήρωμα ενός υποχώρου V του R n είναι υπόχωρος του R n Θεώρημα 47 Το ορθογώνιο συμπλήρωμα ενός υποχώρου V του R n είναι υπόχωρος του R n διαστάσεως n dim V Ακόμη, (V ) = V Απόδειξη Αν V = {0} τότε, προφανώς, V = R n και ο ισχυρισμός αποδείχθηκε Εστω τώρα dim V = m 1, v 1,, v m μια βάση του V και A ο πίνακας με γραμμές v T 1,, vt m Ο A είναι πίνακας m n τάξεως m, αφού οι m γραμμές του είναι γραμμικώς ανεξάρτητες Σύμφωνα με την άσκηση 41, ένα w R n ανήκει στο V αν και μόνο αν w v i για κάθε i = 1,, m Αυτή η συνθήκη, όμως, ισοδυναμεί με την Aw = 0 Αρα w V w N(A), δηλαδή, V = N(A) Αρα dim V = dim N(A) = n τάξη(a) = n m Θα αποδείξομε τώρα ότι (V ) = V Πράγματι, εξ ορισμού του V, κάθε v V είναι ορθογώνιο πρός κάθε w V, άρα V (V ) Επιπλέον, οι διαστάσεις των δύο υποχώρων είναι ίσες, αφού dim(v ) = n dim V = n (n m) = m Συνεπώς, οι δύο υπόχωροι ταυτίζονται Βάσει του θεωρήματος αυτού και του πορίσματος 46, αν V είναι μη μηδενικός υπόχωρος του R n, τότε κάθε x R n αναλύεται με ένα και μοναδικό τρόπο σε άθροισμα x = v + w, όπου v V και w V Το v λέγεται προβολή του x στον υπόχωρο V

18 18 Εισαγωγή στη Γραμμική Αλγεβρα Θεώρημα 48 Σε κάθε πίνακα A ισχύουν τα εξής: (α ) R(A T ) = N(A) και N(A) = R(A T ), δηλαδή, για τον χώρο γραμμών και τον μηδενόχωρο ισχύει ότι ο ένας είναι ορθογώνιο συμπλήρωμα του άλλου (β ) R(A) = N(A T ) και N(A T ) = R(A), δηλαδή, για τον χώρο στηλών και τον αριστερό μηδενόχωρο ισχύει ότι ο ένας είναι ορθογώνιο συμπλήρωμα του άλλου Απόδειξη (α ) Πρώτα αποδεικνύομε ότι N(A) = R(A T ) Ο R(A T ), εξ ορισμού, παράγεται από τις γραμμές του A, άρα, από την άσκηση 42, ένα διάνυσμα (στήλη) του R n ανήκει στον R(A T ) αν, και μόνο αν, το x είναι ορθογώνιο προς κάθε γραμμή του A Προφανώς, αυτό ισοδυναμεί με τη σχέση Ax = 0, δηλαδή, με τη σχέση x N(A) Αρα, N(A) = R(A T ) Ο δεύτερος ισχυρισμός του (α ) είναι άμεση συνέπεια του δευτέρου ισχυρισμού του θεωρήματος 47 (β ) Προκύπτει αμέσως από το (α ) αν βάλομε στη θέση του A τον A T Εστω A ένας m n πίνακας Σύμφωνα με το θεώρημα 48, ο χώρος γραμμών R(A T ) και ο μηδενόχωρος N(A) είναι υπόχωροι του R n, που ο ένας είναι ορθογώνιο συμπλήρωμα του άλλου Αρα, από την παρατήρηση μετά το θεώρημα 47, κάθε x R n γράφεται με ένα και μοναδικό τρόπο ως άθροισμα x = x γ + x µ, όπου το x γ ανήκει στον χώρο γραμμών του πίνακα A και το x µ στον μηδενόχωρο του A Επίσης, ο χώρος στηλών R(A) και ο αριστερός μηδενόχωρος N(A T ) είναι υπόχωροι του R m, που ο ένας είναι ορθογώνιο συμπλήρωμα του άλλου Το επόμενο θεώρημα μας περιγράφει τη δράση της απεικόνισης L A : R n R m Θεώρημα 49 - Θεμελιώδες Θεώρημα της Γραμμικής Αλγεβρας Εστω A ένας m n πίνακας και L A : R n R m η αντίστοιχη γραμμική απεικόνιση (α ) Αν περιορίσομε την L A στον χώρο γραμμών, τότε παίρνομε αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση επί του χώρου στηλών Δηλαδή, η γραμμική απεικόνιση L A : R(A T ) R(A) είναι αμφιμονοσήμαντη (1-1 και επί) (β ) Αν περιορίσομε την L A στον μηδενόχωρο, τότε παίρνομε τη μηδενική απεικόνιση, δηλαδή, έχομε την τετριμμένη γραμμική απεικόνιση L A : N(A) {0} R m (γ ) Κάθε x R n αναλύεται με μοναδικό τρόπο ως άθροισμα x = x γ + x µ, όπου το x γ R(A T ) και x µ N(A) Τότε, L A (x) = L A (x γ ) + L A (x µ ) = L A (x γ ) + 0 = L A (x γ ) (δ ) Ολα τα μη μηδενικά διανύσματα του αριστερού μηδενόχωρου του A είναι απρόσιτα από την L A, δηλαδή, αν κάποιο μη μηδενικό y R m ανήκει στον αριστερό μηδενόχωρο του A, τότε δεν υπάρχει x R n που ν απεικονίζεται μέσω της L A στο y Απόδειξη (γ ) Εχει ήδη αποδειχθεί αμέσως πριν απ την εκφώνηση του θεωρήματος (α ) Για κάθε x = (x 1,, x n ) ισχύει L A (x) = A x 1 x n = x 1 (1-στήλη A) + + x n (n-στήλη A) R(A), άρα, και κάθε x R(A T ) απεικονίζεται μέσω της L A στον χώρο στηλών R(A) Αντιστρόφως, έστω y R(A) Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν αριθμοί λ 1,, λ n, τέτοιοι ώστε y = λ 1 (1-στήλη A) + + λ n (n-στήλη A) = A λ 1 λ n = L A(λ 1,, λ n )

19 Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες 19 Βρήκαμε, λοιπόν, το x = (λ 1,, λ n ) R n με την ιδιότητα L A (x) = y Αναλύομε το x = x γ + x µ, όπως μας λέει το (γ ) Ετσι x γ R(A T ) και L A (x γ ) = y Αυτό αποδεικνύει ότι η L A : R(A T ) R(A) είναι επί Επίσης, η L A περιορισμένη στον R(A T ) είναι 1-1 Πράγματι, έστω u, v R(A T ) και L A (u) = L A (v) Τότε L A (u v) = 0, άρα u v N(A) Συνεπώς, το u v ανήκει στην τομή των υποχώρων R(A T ) και N(A), οι οποίοι είναι ορθογώνιοι μεταξύ τους, σύμφωνα με το Θεώρημα 48(α ), άρα, απ την Πρόταση 43 συμπεραίνομε ότι u v = 0 Δηλαδή αποδείξαμε ότι, αν για τα u, v R(A T ) ισχύει L A (u) = L A (v), τότε u = v Αυτό σημαίνει ότι η L A, περιορισμένη στον υπόχωρο R(A T ) είναι 1-1 (β ) Το x R n ανήκει στον μηδενόχωρο N(A) εξ ορισμού αν Ax = 0, δηλαδή, αν και μόνο αν L A (x) = 0 (δ ) Εστω ότι κάποιο y N(A T ) είναι εικόνα μέσω της L A κάποιου x R n Αναλύομε το x = x γ + x µ, όπως μας λέει το (γ ), οπότε L A (x) = L A (x γ ), όπου x γ R(A T ) και, λόγω του (α ), L A (x γ ) R(A) Αρα y R(A) N(A T ) Η τελευταία τομή, όμως, είναι το μηδενικό διάνυσμα, λόγω του Θεωρήματος 48(β ) και της πρότασης 43

20 Κεφάλαιο 5 Ορίζουσες 51 Στρατηγική παρουσίασης Εστω φυσικός αριθμός n Εστω το σύνολο των n n πινάκων με στοιχεία μιγαδικούς αριθμούς Για τον τυπικό πίνακα A M n χρησιμοποιούμε τους εξής συμβολισμούς: Για κάθε i, j, 1 i, j n, συμβολίζομε a i j = (A) i j, δηλαδή, το στοιχείο του A που βρίσκεται στη γραμμή i και τη στήλη j του A, και με A i j συμβολίζομε τον (n 1) (n 1) πίνακα, ο οποίος προκύπτει από τον A όταν του διαγράψομε την i-γραμμή και τη j-στήλη Συμβολίζομε με,, τις γραμμές του A και με σ 1,, σ n τις στήλες του Ετσι, ο A περιγράφεται και με τους εξής τρόπους: A = A = [ σ 1 σ 2 σ n ] Ορίζομε μια απεικόνιση-φάντασμα det : M n C μέσω της απαίτησης να ικανοποιεί αυτή τις εξής ιδιότητες: 1) det I n = 1 2) Αν B είναι ένας πίνακας, που προκύπτει από την εναλλαγή δύο γραμμών του A, τότε det B = det A 3) Εστω γ 1 ένα οποιοδήποτε διάνυσμα-γραμμή του Cn Τότε det + γ 1 = det + det γ 1 3 ) Εστω λ ένας οποιοδήποτε μιγαδικός αριθμός Τότε det λ = λ det 20

21 Κεφάλαιο 5 Ορίζουσες 21 Βάσει των (1), (2), (3) και (3 ) αποδεικνύονται εύκολα οι εξής ιδιότητες, με την εξής λογική σειρά: 4) Η ιδιότητα (3) επεκτείνεται για κάθε i = 1,, n Απόδειξη: Προφανής συνδυασμός των ιδιοτήτων (2) και (3) 4 ) Η ιδιότητα (3 ) επεκτείνεται για κάθε i = 1,, n Απόδειξη: Προφανής συνδυασμός των ιδιοτήτων (2) και (3 ) 5) Αν δύο γραμμές του A είναι ίσες, τότε det A = 0 Απόδειξη Αμεση συνέπεια της (2) 6) Αν σε μια γραμμή προσθέσω πολλαπλάσιο μιας άλλης γραμμής, η τιμή της ορίζουσας δεν αλλάζει Απόδειξη Προφανής συνδυασμός των (4), (4 ) και (5) 7) Αν μια γραμμή του A είναι μηδενική, τότε det A = 0 Απόδειξη Αν η i-γραμμή είναι μηδενική, τότε μπορώ να τη γράψω, πχ, 0 [1 1, 1] και να εφαρμόσω μετά την (3 ) 8) Αν U είναι κλιμακωτός, που προκύπτει απ τον A, τότε det U = ± det A Το πρόσημο στα δεξιά είναι + ή, ανάλογα με το αν, κατά τη διαδικασία μετάβασης από τον A στον U, έγινε άρτιο ή περιττό πλήθος εναλλαγών γραμμών, αντιστοίχως Απόδειξη Επαναληπτικός συνδυασμός των (2) ή/και (4), (4 ) 9) Η ορίζουσα διαγώνιου πίνακα ισούται με το γινόμενο των διαγώνιων στοιχείων Απόδειξη Επανειλημμένη εφαρμογή της (3 ) και, τέλος, εφαρμογή της (1) 10) Αν ο A είναι άνω ή κάτω τριγωνικός, τότε η det A ισούται με το γινόμενο των στοιχείων της διαγωνίου Απόδειξη Εστω ότι ο A είναι κάτω τριγωνικός Αν κάποιο διαγώνιο στοιχείο είναι 0, τότε ο A έχει μια γραμμή μηδενική, άρα det A = 0 = γινόμενο των στοιχείων της διαγωνίου Αν όλα τα διαγώνια στοιχεία είναι 0, τότε, με επανειλημμένη χρήση της (6), μπορώ να μηδενίζω όλα τα στοιχεία κάτω από κάθε διαγώνιο στοιχείο και ο προκύπτων πίνακας, σε κάθε βήμα, να έχει ορίζουσα ίση με αυτήν του αρχικού πίνακα A Αλλά με αυτό τον τρόπο θα καταλήξω τελικά σε διαγώνιο πίνακα, με τα διαγώνια στοιχεία να είναι τα διαγώνια στοιχεία του A, οπότε θα εφαρμόσω την (9) Ανάλογα αν ο A είναι άνω τριγωνικός πίνακας 11) Αν U είναι κλιμακωτός πίνακας, που προκύπτει απ τον det A, τότε η det A ισούται με το γινόμενο των οδηγών του U Απόδειξη Ο U είναι άνω τριγωνικός, άρα εφαρμόζεται η (10) 12) Ο A είναι μη ιδιόμορφος αν, και μόνο αν, det A 0 Πόρισμα: Ο A είναι αντιστρέψιμος αν, και μόνο αν, det A 0 Απόδειξη Εστω U κλιμακωτός του A Ο A είναι μη ιδιόμορφος αν, και μόνο αν, όλοι οι οδηγοί του U είναι μη μηδενικοί, δηλαδή (λόγω του (11» αν, και μόνο αν, det A 0 Το πόρισμα προκύπτει από παλαιότερη πρόταση, σύμφωνα με την οποία, ο A είναι αντιστρέψιμος αν, και μόνο αν, είναι μη ιδιόμορφος Θεώρημα 51 Εστω συνάρτηση δ : M n C, η οποία ικανοποιεί τις εξής ιδιότητες: i) δ(i n ) = 1 ii) Αν B είναι ένας πίνακας, που προκύπτει από την εναλλαγή δύο γραμμών του A, τότε δ(b) = δ(a) iii) Εστω γ 1 ένα οποιοδήποτε διάνυσμα-γραμμή του Cn Τότε δ + γ 1 = δ + δ γ 1

22 22 Εισαγωγή στη Γραμμική Αλγεβρα iii ) Εστω λ ένας οποιοδήποτε μιγαδικός αριθμός Τότε δ λ = λδ Τότε, δ(a) = det A για κάθε A M n Το Θεώρημα 51 δεν θ αποδειχθεί στο μάθημα Επί τη βάσει αυτού, όμως, πιθανόν να μπορεί να τους αποδείξει κανείς το θεμελιώδες Θεώρημα 52 det(ab) = det(a) det(b) και det(a T ) = det(a) Απόδειξη Εστω B M n αυθαίρετος, αλλά σταθερός μέχρι το τέλος της απόδειξης Αν det B = 0, τότε ο B είναι ιδιόμορφος και, συνεπώς, η τάξη του B, έστω r < n Απ την Πρόταση 28 (β ) είναι dim R(AB) dim R(B) = r < n, άρα, η τάξη του AB είναι < n, οπότε ο AB είναι ιδιόμορφος Ετσι, από την ιδιότητα (12) των οριζουσών, det(ab) = 0 = det(a) det(b) Ας υποθέσομε τώρα ότι ο B είναι μη ιδιόμορφος και ας ορίσομε τη συνάρτηση δ(a) = det(ab) det(b) για κάθε A M n Αν αποδείξομε ότι η δ ικανοποιεί τις ιδιότητες (i), (ii), (iii) και (iii ) του Θεωρήματος 51, τότε, βάσει εκείνου του θεωρήματος, δ(a) = det(a), άρα det(ab) = det(a) det(b) Η (i) είναι προφανής Οσον αφορά στις υπόλοιπες ιδιότητες, ας συμβολίσομε κατ αρχάς με,, τις γραμμές του A Η i-γραμμή του AB ισούται με γ i B, άρα, αν εναλλάξομε δύο γραμμές του A, τότε εναλλάσσονται και οι αντίστοιχες γραμμές του AB και, συνεπώς, εναλλαγή δύο γραμμών στον A προκαλεί αλλαγή προσήμου στην τιμή δ(a) Αρα ισχύει και η ιδιότητα (ii)

23 Κεφάλαιο 5 Ορίζουσες 23 Για την ιδιότητα (iii): Εστω γ 1 μια γραμμή Cn + γ 1 (det B) δ = det B det(ab) ( + γ 1 )B B = (det B) det B B + γ 1 B B = (det B) det B B B = (det B) det + (det B) det B γ 1 = (det B) δ + (det B) δ γ 1 B B B Εξισώνοντας την πρώτη από τις παραπάνω σχέσεις με την τελευταία και διαιρώντας δια det B συμπεραίνομε ότι ισχύει η ιδιότητα (iii) Με ανάλογο τρόπο αποδεικνύεται και η (iii ) Τώρα αποδεικνύομε τη σχέση det A T = det A Θεωρούμε την ανάλυση PA = LU, με τους P, L, U να έχουν τη στάνταρ σημασία Απ την πολλαπλασιαστικότητα της det, det P det A = det L det U = 1 (γινόμενο διαγωνίων στοιχείων του U), (51) διότι ο L είναι κάτω τριγωνικός με όλα τα διαγώνια στοιχεία του 1 και ο U είναι άνω τριγωνικός (εφαρμογή της ιδιότητας (10) ) Παίρνοντας αναστρόφους στην PA = LU έχομε A T P T = U T L T, άρα det A T det P T = det U T det L T = (γινόμενο διαγωνίων στοιχείων του U T ) 1 (52) Αλλά οι U και U T έχουν τα ίδια διαγώνια στοιχεία, άρα τα δεύτερα μέλη των (52) και (51) είναι ίσα, οπότε det A T det P T = det P det A Καθώς ο P προκύπτει απ τον I n με εναλλαγές γραμμών, η ορίζουσά του είναι ±1 Αφ ετέρου P T P = I n 1, άρα det P T det P = 1 Ομως det P = ±1, άρα det P T = det P και, τελικά, det A T = det A Περιληπτική παρουσίαση των βασικών ιδιοτήτων τους Εστω A πίνακας n n Για κάθε i, j, 1 i, j n, συμβολίζομε a i j = (A) i j, δηλαδή, το στοιχείο του A που βρίσκεται στη γραμμή i και τη στήλη j του A, και με A i j συμβολίζομε τον 1 Εδώ απαιτείται η παρατήρηση ότι για ένα στοιχειώδη πίνακα P i j είναι P T i j = P i j

24 24 Εισαγωγή στη Γραμμική Αλγεβρα (n 1) (n 1) πίνακα, ο οποίος προκύπτει από τον A όταν του διαγράψομε την i-γραμμή και τη j-στήλη Συμβολίζομε με,, τις γραμμές του A και με σ 1,, σ n τις στήλες του Ετσι, ο A περιγράφεται και με τους εξής τρόπους: A = A = [ σ 1 σ 2 σ n ] Η ορίζουσα det A είναι ένας μιγαδικός αριθμός, ο οποίος, αναδρομικά, ορίζεται ως εξής: Αν n = 2, τότε det A = a 11 a 22 a 12 a 21 Αν n 3, τότε det A = a 11 det A 11 a 12 det A ( 1) n+1 det A 1n Η ορίζουσα χαρακτηρίζεται από τις παρακάτω ιδιότητες 1) det I n = 1 2) Αν B είναι ένας πίνακας, που προκύπτει από την εναλλαγή δύο γραμμών του A, τότε det B = det A Αντίστοιχη ιδιότητα ισχύει και για τις στήλες 3) Αν δύο γραμμές του A είναι ίσες, τότε det A = 0 Αντίστοιχη ιδιότητα ισχύει και για τις στήλες 4) Εστω i {1,, n} και γ i ένα οποιοδήποτε διάνυσμα-γραμμή του Rn Τότε det γ i + γ i = det γ i + det γ i Αντίστοιχη ιδιότητα ισχύει και για τις στήλες Αν i {1,, n} και σ i ένα οποιοδήποτε διάνυσμα-στήλη του R n, τότε det [ σ 1 σ 2 σ i + σ i σ n ] = det [ σ1 σ 2 σ i σ n ] + det [ σ 1 σ 2 σ i σ n ] 5) Εστω i {1,, n} και λ ένας οποιοδήποτε μιγαδικός αριθμός Τότε det λγ i Αντίστοιχη ιδιότητα ισχύει και για τις στήλες = λ det det [ σ 1 σ 2 λσ i σ n ] = λ det [ σ1 σ 2 σ i σ n ] γ i

25 Κεφάλαιο 5 Ορίζουσες 25 6) Αν στην i-γραμμή προστεθεί πολλαπλασιο μιας διαφορετικής j-γραμμής, η τιμή της ορίζουσας δεν αλλάζει det γ i + λγ j γ j = det Αντίστοιχη ιδιότητα ισχύει και για τις στήλες Αν στην i-στήλη προστεθεί πολλαπλασιο μιας διαφορετικής j-στήλης, η τιμή της ορίζουσας δεν αλλάζει det [ σ 1 σ i + λσ j σ j σ n ] = det [ σ1 σ i σ j σ n ] 7) Αν ο A είναι τριγωνικός (άνω είτε κάτω), τότε η det A ισούται με το γινόμενο των στοιχείων της διαγωνίου του A 8) Αν U είναι ο κλιμακωτός, που προκύπτει από τον A με απαλοιφή Gauss, τότε det A = ( 1) k det U, όπου k είναι το πλήθος των εναλλαγών γραμμών, που έγιναν κατά την απαλοιφή 9) Ο A είναι ιδιόμορφος αν και μόνο αν det A = 0 10) det(ab) = det A det B 11) det(a T ) = det A 12) Για κάθε i = 1,, n ισχύει η σχέση (ανάπτυγμα της ορίζουσας κατά την i-γραμμή) γ i γ j det A = n ( 1) i+ j a i j det A i j = j=1 n a i j C i j, j=1 όπου C i j = ( 1) i+ j det A i j είναι ο συμπαράγων ή αλγεβρικό συμπλήρωμα του a i j Ανάλογα έχομε το ανάπτυγμα της ορίζουσας κατά την j-στήλη: det A = n ( 1) i+ j a i j det A i j = i=1 n a i j C i j, i=1 Ο Προσαρτημένος ή συζυγής του A συμβολίζεται adj A και κατασκευάζεται ως εξής: Πρώτα σχηματίζομε τον n n πίνακα, του οποίου το (i, j)-στοιχείο είναι C i j και μετά παίρνομε τον ανάστροφό του, άρα (adj A) i j = C ji

Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή.

Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Mαθηματικό σύστημα Ένα μαθηματικό σύστημα αποτελείται από αξιώματα, ορισμούς, μη καθορισμένες έννοιες και θεωρήματα. Η Ευκλείδειος γεωμετρία αποτελεί ένα

Διαβάστε περισσότερα

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος ιαφορικές Εξισώσεις Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Ατελείς ιδιοτιμές Εκθετικά πινάκων Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 9 Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

Ας υποθέσουμε ότι ο παίκτης Ι διαλέγει πρώτος την τυχαιοποιημένη στρατηγική (x 1, x 2 ), x 1, x2 0,

Ας υποθέσουμε ότι ο παίκτης Ι διαλέγει πρώτος την τυχαιοποιημένη στρατηγική (x 1, x 2 ), x 1, x2 0, Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Στατιστικής Εισαγωγή στην Επιχειρησιακή Ερευνα Εαρινό Εξάμηνο 2015 Μ. Ζαζάνης Πρόβλημα 1. Να διατυπώσετε το παρακάτω παίγνιο μηδενικού αθροίσματος ως πρόβλημα γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές 10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,

Διαβάστε περισσότερα

Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg)

Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Β Δ Β Δ Γ Γ Κύκλος του Euler (Euler cycle) είναι κύκλος σε γράφημα Γ που περιέχει κάθε κορυφή του γραφήματος, και κάθε ακμή αυτού ακριβώς μία φορά. Για γράφημα

Διαβάστε περισσότερα

{ i f i == 0 and p > 0

{ i f i == 0 and p > 0 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Φθινοπωρινό εξάμηνο 014-015 Λύσεις 1ης Σειράς Ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις

Αναγνώριση Προτύπων. Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις Αναγνώριση Προτύπων Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις 1 Λόγος Πιθανοφάνειας Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να ταξινομήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

«ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ»

«ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» HY 118α «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ» ΣΚΗΣΕΙΣ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ εώργιος Φρ. εωργακόπουλος ΜΕΡΟΣ (1) ασικά στοιχεία της θεωρίας συνόλων. Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ». Φ. εωργακόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ.

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ. HY 280 «ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ» θεμελικές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Γεώργιος Φρ. Γεωργκόπουλος μέρος Α Εισγωγή, κι η σική θεωρί των πεπερσμένων

Διαβάστε περισσότερα

21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου

21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ A Ε B Ζ Η Γ K Θ Δ Ι Ορισμός Ένα (μη κατευθυνόμενο) γράφημα (non directed graph) Γ, είναι μία δυάδα από σύνολα Ε και V και συμβολίζεται με Γ=(Ε,V). Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Ανεξαρτησία. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. 17 Μαρτίου 2013, Βόλος

Γραμμική Ανεξαρτησία. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. 17 Μαρτίου 2013, Βόλος Γραμμικές Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις Ανώτερης Τάξης Γραμμικές Σ Ε 2ης τάξης Σ Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία Μανόλης Βάβαλης

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις και ιδιότητές τους

Σχέσεις και ιδιότητές τους Σχέσεις και ιδιότητές τους Διμελής (binary) σχέση Σ από σύνολο Χ σε σύνολο Υ είναι ένα υποσύνολο του καρτεσιανού γινομένου Χ Υ. Αν (χ,ψ) Σ, λέμε ότι το χ σχετίζεται με το ψ και σημειώνουμε χσψ. Στην περίπτωση

Διαβάστε περισσότερα

Ο τύπος του Itô. f (s) ds (12.1) f (g(s)) dg(s). (12.2) t f (B s ) db s + 1 2

Ο τύπος του Itô. f (s) ds (12.1) f (g(s)) dg(s). (12.2) t f (B s ) db s + 1 2 12 Ο τύπος του Itô Για συνάρτηση f : R R με συνεχή παράγωγο, έχουμε d f (s) = f (s) ds που σε ολοκληρωτική μορφή σημαίνει f (b) f (a) = b a f (s) ds (12.1) για κάθε a < b. Αν επιπλέον και η g : R R έχει

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Δευτέρα 8 Μαΐου 0 Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του αποκτά πρόσβαση στο περιβάλλον του ιατρού που παρέχει η εφαρμογή.

ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του αποκτά πρόσβαση στο περιβάλλον του ιατρού που παρέχει η εφαρμογή. ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ Ο ιατρός αφού διαπιστώσει εάν το πρόσωπο που προσέρχεται για εξέταση είναι το ίδιο με αυτό που εικονίζεται στο βιβλιάριο υγείας και ελέγξει ότι είναι ασφαλιστικά ενήμερο (όπως ακριβώς γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα

ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα Τα βιβλία διακριτών μαθηματικών του Γ.Β. Η/Υ με επεξεργαστή Pentium και χωρητικότητα

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση

Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση Καθηγητὴς Ν.Γ. Τζανάκης Εφαρμογὲς τῶν συνεχῶν κλασμάτων 1 1. Η τιμὴ τοῦ π μὲ σωστὰ τὰ 50 πρῶτα δεκαδικὰ ψηφία μετὰ τὴν ὑποδιαστολή, εἶναι 3.14159265358979323846264338327950288419716939937511.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΝΟΜΑ: ΟΜΑΔΑ Α Για τις προτάσεις Α1 μέχρι και Α6 να

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του έχει πρόσβαση στο περιβάλλον του φαρμακείου που παρέχει η εφαρμογή.

ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του έχει πρόσβαση στο περιβάλλον του φαρμακείου που παρέχει η εφαρμογή. ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ Ο ασθενής έχοντας μαζί του το βιβλιάριο υγείας του και την τυπωμένη συνταγή από τον ιατρό, η οποία αναγράφει τον μοναδικό κωδικό της, πάει στο φαρμακείο. Το φαρμακείο αφού ταυτοποιήσει το

Διαβάστε περισσότερα

Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών

Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών 1 Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζουμε ένα από τα σημαντικότερα αποτελέσματα της Θεωρίας Πιθανοτήτων, τον ισχυρό νόμο των μεγάλων αριθμών. Η διατύπωση που θα αποδείξουμε

Διαβάστε περισσότερα

( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «απεικονίσεις»

( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «απεικονίσεις» ( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «πεικονίσεις» 1. ΣΧΕΣΕΙΣ: το σκεπτικό κι ο ορισμός. Τ σύνολ νπριστούν ιδιότητες μεμονωμένων στοιχείων: δεδομένου συνόλου S, κι ενός στοιχείου σ, είνι δυντόν είτε σ S είτε

Διαβάστε περισσότερα

Θεμελιωδης Θεωρια Αριθμων. Ν.Γ. Τζανάκης

Θεμελιωδης Θεωρια Αριθμων. Ν.Γ. Τζανάκης Θεμελιωδης Θεωρια Αριθμων Ν.Γ. Τζανάκης Τμῆμα Μαθηματικῶν - Πανεπιστήμιο Κρήτης 22-5-2012 2 Περιεχόμενα 1 Διαιρετότητα 3 1.1 Βασικὲς προτάσεις........................... 3 1.2 Μέγιστος κοινὸς διαιρέτης......................

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδες 5 1.2.α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συµπληρωµένο.

Μονάδες 5 1.2.α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συµπληρωµένο. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ): ΧΗΜΕΙΑ - ΒΙΟΧΗΜΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ

Διαβάστε περισσότερα

επίπεδων καμπυλών Χειμερινό Εξάμηνο I(P, F G) των F και G σε ένα σημείο P A 2 K

επίπεδων καμπυλών Χειμερινό Εξάμηνο I(P, F G) των F και G σε ένα σημείο P A 2 K Θεωρία Τομών Επίπεδων Καμπυλών Εργασία στο πλαίσιο τού μαθήματος Αλγεβρικές Καμπύλες (με κωδ. αριθμό Α 19) Χειμερινό Εξάμηνο 2008-2009 Μιχαήλ Γκίκας 1 Αριθμός τομής δυο συσχετικών επίπεδων καμπυλών Εστω

Διαβάστε περισσότερα

Μεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης

Μεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης 7 Μεγάλες αποκλίσεις* 7. Η έννοια της μεγάλης απόκλισης Εστω (X ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές ώστε P(X = = P(X = = /2 και S = k= X k το άθροισμα των πρώτων από αυτές. Ο νόμος των μεγάλων

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Τετάρτη 23 Μαΐου 2012 Εκφωήσεις και Λύσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Πληροφορικής

Μαθηματικά Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Αθηνών Μαθηματικά Πληροφορικής Ηλίας Κουτσουπιάς Αθήνα, Οκτώβριος 2009 Περιεχόμενα Περιεχόμενα 1 Σύνολα... 5 ΆλλαΣύμβολα... 6 1 Υποθέσεις και Θεωρήματα 9 1.1 Παρατήρηση-Υπόθεση-Απόδειξη...

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Bias (απόκλιση) και variance (διακύμανση) Ελεύθεροι Παράμετροι Ελεύθεροι Παράμετροι Διαίρεση dataset Μέθοδος holdout Cross Validation Bootstrap Bias (απόκλιση) και variance

Διαβάστε περισσότερα

Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν

Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν 1 1. Αποδοχή κληρονομίας Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν μπορεί να ασκηθεί από τους δανειστές του κληρονόμου, τον εκτελεστή της διαθήκης, τον κηδεμόνα ή εκκαθαριστή

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Μη Παραμετρικός Υπολογισμός πυκνότητας με εκτίμηση Ιστόγραμμα Παράθυρα Parzen Εξομαλυμένη Kernel Ασκήσεις 1 Μη Παραμετρικός Υπολογισμός πυκνότητας με εκτίμηση Κατά τη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Πρώτη Γραπτή Εργασία. Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Πρώτη Γραπτή Εργασία. Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2012-13 Πρώτη Γραπτή Εργασία Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά

Διαβάστε περισσότερα

17 Μαρτίου 2013, Βόλος

17 Μαρτίου 2013, Βόλος Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις 1ης Τάξης Σ Ε 1ης τάξης, Πεδία κατευθύνσεων, Υπαρξη και μοναδικότητα, ιαχωρίσιμες εξισώσεις, Ολοκληρωτικοί παράγοντες, Αντικαταστάσεις, Αυτόνομες εξισώσεις Μανόλης Βάβαλης

Διαβάστε περισσότερα

α 0. α ν x ν +α ν 1 x ν α 1 x+α 0 α ν x ν,α ν 1 x ν 1,...,α 1 x,α 0, ...,α 1,α 0,

α 0. α ν x ν +α ν 1 x ν α 1 x+α 0 α ν x ν,α ν 1 x ν 1,...,α 1 x,α 0, ...,α 1,α 0, Άλγεβρα Β Λυκείου - Πολυώνυμα: Θεωρία, Μεθοδολογία και Λυμένες ασκήσεις Κώστας Ράπτης Μάιος 2011 Μέρος I Πολυώνυμα 1 Πολυώνυμα 1.1 Στοιχεία ϑεωρίας Καλούμε μονώνυμο του x κάθε παράσταση της μορφήςαx ν,

Διαβάστε περισσότερα

Ταξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια.

Ταξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ταξινόμηη των μοντέλων διαποράς ατμοφαιρικών ρύπων βαιμένη ε μαθηματικά κριτήρια. Μοντέλο Ελεριανά μοντέλα (Elerian) Λαγκρατζιανά μοντέλα (Lagrangian) Επιπρόθετος διαχωριμός Μοντέλα

Διαβάστε περισσότερα

Τρίτη, 05 Ιουνίου 2001 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

Τρίτη, 05 Ιουνίου 2001 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Τρίτη, 05 Ιουνίου 2001 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΘΕΜΑ 1 Α. Να µεταφέρετε στο τετράδιό σας και να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα αλήθειας δύο προτάσεων

Διαβάστε περισσότερα

Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης

Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης Η εργασιακή διαδικασία και τα στοιχεία της. Η κοινωνική επικύρωση των ιδιωτικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΝΟΛΩΝ: μια σύνοψη των θεμελιακών χαρακτηριστικών.

ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΝΟΛΩΝ: μια σύνοψη των θεμελιακών χαρακτηριστικών. ΘΕΩΡΙ ΣΥΝΟΛΩΝ: μια σύνοψη των θεμελιακών χαρακτηριστικών. 1. ΣΥΝΟΛ: το σκεπτικό. σύνολο = πολλά στοιχεία ως «ένα», ως «μία» ολότητα. τα στοιχεία ανήκουν στο σύνολο, ή είναι μέλη του συνόλου το σύνολο περιέχει

Διαβάστε περισσότερα

Ν.Γ. Τζανάκης. Πανεπιστήμιο Κρήτης - Ηράκλειο

Ν.Γ. Τζανάκης. Πανεπιστήμιο Κρήτης - Ηράκλειο Διαιρετότητα σὲ ἀκέραιες περιοχές Ν.Γ. Τζανάκης Τμῆμα Μαθηματικῶν Πανεπιστήμιο Κρήτης - Ηράκλειο Εαρινὸ ἑξάμηνο 2015 Σ αὐτὲς τὶς σημειώσεις, το D συμβολίζει πάντα ἀκέραια περιοχή. 1 Τα βασικα Ορισμός.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο επιτελείο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Aποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία

ΘΕΜΑ: Aποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία ΘΕΜΑ: ποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία Σύνταξη: Μπαντούλας Κων/νος, Οικονομολόγος, Ms Χρηματοοικονομικών 1 Η πρώτη θεωρία σχετικά με τον αυτόματο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ

ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο επιτελείο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ11 ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ

ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ11 ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ11 ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ Μάθημα: Ενόργανη Γυμναστική Χρήσιμα θεωρία στο κεφάλαιο της ενόργανης γυμναστικής για το γνωστικό αντικείμενο ΠΕ11 της Φυσικής Αγωγής από τα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια Κολλίντζα.

Διαβάστε περισσότερα

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις Μελέτη Συναρτήσεων: άρτιες, περιττές συναρτήσεις - μονοτονία - ακρότατα Κώστας Ράπτης Άρτιες και περιττές συναρτήσεις Ὁι ψυχολόγοι κάνουν λόγο για δύο επίπεδα συλλογιστικής και μνήμης: το αρχαϊκό και το

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Η κατάρα της διαστατικότητας Μείωση διαστάσεων εξαγωγή χαρακτηριστικών επιλογή χαρακτηριστικών Αναπαράσταση έναντι Κατηγοριοποίησης Ανάλυση Κυρίων Συνιστωσών PCA Γραμμική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΕΠ 2000 ΑΣΕΠ 2000 Εμπορική Τράπεζα 1983 Υπουργείο Κοιν. Υπηρ. 1983

ΑΣΕΠ 2000 ΑΣΕΠ 2000 Εμπορική Τράπεζα 1983 Υπουργείο Κοιν. Υπηρ. 1983 20 Φεβρουαρίου 2010 ΑΣΕΠ 2000 1. Η δεξαμενή βενζίνης ενός πρατηρίου υγρών καυσίμων είναι γεμάτη κατά τα 8/9. Κατά τη διάρκεια μιας εβδομάδας το πρατήριο διέθεσε τα 3/4 της βενζίνης αυτής και έμειναν 4000

Διαβάστε περισσότερα

Κληρονομικότητα. Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading

Κληρονομικότητα. Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading Κληρονομικότητα Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading 2 1 Κλάση Βάση/Παράγωγη Τα διάφορα αντικείμενα μπορούν να έχουν μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΜΟΣ και ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗ ΘΕΜΕΛΙΑΚΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ

ΟΡΙΣΜΟΣ και ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗ ΘΕΜΕΛΙΑΚΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ και ΚΤΜΤΡΗΣΗ ΘΜΛΙΚΩΝ ΣΥΝ ΥΣΤΙΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ. ΣΥΝΥΣΤΙΚΣ ΜΟΡΦΣ: η μορφολογία. Όλες οι συνδυαστικές μορφές που θα εξετάσουμε είναι διαφόρων ειδών συναρτήσεις. Οι «παράμετροι» που παραλλάσονται είναι οι

Διαβάστε περισσότερα

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις Μελέτη Συναρτήσεων: άρτιες, περιττές συναρτήσεις - μονοτονία - ακρότατα Κωνσταντίνος Α. Ράπτης Άρτιες και περιττές συναρτήσεις Ὁι ψυχολόγοι κάνουν λόγο για δύο επίπεδα συλλογιστικής και μνήμης: το αρχαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο 2: Ανάλυση Αλγόριθμου. Νικόλας Νικολάου ΕΠΛ432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι 1 / 10

Φροντιστήριο 2: Ανάλυση Αλγόριθμου. Νικόλας Νικολάου ΕΠΛ432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι 1 / 10 Φροντιστήριο 2: Ανάλυση Αλγόριθμου Εκλογής Προέδρου με O(nlogn) μηνύματα Νικόλας Νικολάου ΕΠΛ432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι 1 / 10 Περιγραφικός Αλγόριθμος Αρχικά στείλε μήνυμα εξερεύνησης προς τα δεξιά

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Εικόνα. Σημερινό μάθημα!

Ψηφιακή Εικόνα. Σημερινό μάθημα! Ψηφιακή Εικόνα Σημερινό μάθημα! Ψηφιακή Εικόνα Αναλογική εικόνα Ψηφιοποίηση (digitalization) Δειγματοληψία Κβαντισμός Δυαδικές δ έ (Binary) εικόνες Ψηφιακή εικόνα & οθόνη Η/Υ 1 Ψηφιακή Εικόνα Μια ακίνητη

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Β Λυκείου Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Παναγόπουλος Γιώργος Φυσικός

Φυσική Β Λυκείου Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Παναγόπουλος Γιώργος Φυσικός Φυσική Β Λυκείου Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Παναγόπουλος Γιώργος Φυσικός gior.panagopoulos@gmail.com Βουλδής Άγγελος Φυσικός angelos_vouldis@hotmail.com Μεντζελόπουλος Λευτέρης Φυσικός MSc Περιβαλλοντολογία

Διαβάστε περισσότερα

Pointers. Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2

Pointers. Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2 Pointers 1 Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2 1 Μνήμη μεταβλητών Κάθε μεταβλητή έχει διεύθυνση Δεν χρειάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Διαφορές εσωτερικού εξωτερικού δανεισμού. Η διαχρονική κατανομή του βάρους από το δημόσιο δανεισμό.

ΘΕΜΑ: Διαφορές εσωτερικού εξωτερικού δανεισμού. Η διαχρονική κατανομή του βάρους από το δημόσιο δανεισμό. 1 ΘΕΜΑ: Διαφορές εσωτερικού εξωτερικού δανεισμού. Η διαχρονική κατανομή του βάρους από το δημόσιο δανεισμό. Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate, εισηγητής Φροντιστηρίων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2011-12 Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική Γενικές οδηγίες

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΜΙΚΡΑ ΒΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ: ΠΩΣ ΕΡΧΟΝΤΑΙ ΚΑΙ ΠΩΣ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΒΟΗΘΗΣΟΥΜΕ ΓΙΑ ΝΑ ΕΡΘΟΥΝ

ΤΑ ΜΙΚΡΑ ΒΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ: ΠΩΣ ΕΡΧΟΝΤΑΙ ΚΑΙ ΠΩΣ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΒΟΗΘΗΣΟΥΜΕ ΓΙΑ ΝΑ ΕΡΘΟΥΝ ΤΑ ΜΙΚΡΑ ΒΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ: ΠΩΣ ΕΡΧΟΝΤΑΙ ΚΑΙ ΠΩΣ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΒΟΗΘΗΣΟΥΜΕ ΓΙΑ ΝΑ ΕΡΘΟΥΝ Eugene T. GENDLIN University of Chicago, U.S.A Αυτό το άρθρο είναι μια αναθεωρημένη έκδοση της πλήρους

Διαβάστε περισσότερα

Αφιερώνεται στο Δάσκαλο μου Χρήστο Αλεξόπουλο, για την πολύτιμη βοήθεια που μου προσέφερε στα μαθητικά μου χρόνια Άγγελος Βουλδής

Αφιερώνεται στο Δάσκαλο μου Χρήστο Αλεξόπουλο, για την πολύτιμη βοήθεια που μου προσέφερε στα μαθητικά μου χρόνια Άγγελος Βουλδής Αφιερώνεται στο Δάσκαλο μου Χρήστο Αλεξόπουλο, για την πολύτιμη βοήθεια που μου προσέφερε στα μαθητικά μου χρόνια Άγγελος Βουλδής Αφιερώνεται στους Δασκάλους μας, που μας βοήθησαν να φτάσουμε μέχρι εδώ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ-ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ

ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ-ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ-ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate Κατηγορίες οφέλους και κόστους που προέρχονται από τις δημόσιες δαπάνες Για την αξιολόγηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΝΙΚΟ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΔΙΚΑΣΤΩΝ

ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΝΙΚΟ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΔΙΚΑΣΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΝΙΚΟ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΔΙΚΑΣΤΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Γεώργιος Κ. Πατρίκιος, Δικηγόρος, ΜΔΕ Δημοσίου Δικαίου, Υπ. Διδάκτωρ Νομικής Σχολής Πανεπιστημίου Αθηνών. ΘΕΜΑΤΙΚΗ : Η αρμοδιότητα των διοικητικών

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΕΙΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Μούλου Ευγενία

ΒΑΣΕΙΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Μούλου Ευγενία ΒΑΣΕΙΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΑΡΧΕΙΑ Ο πιο γνωστός τρόπος οργάνωσης δεδομένων με τη χρήση ηλεκτρονικών υπολογιστών είναι σε αρχεία. Ένα αρχείο μπορούμε να το χαρακτηρίσουμε σαν ένα σύνολο που αποτελείται από οργανωμένα

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα. Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α. Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της

Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα. Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α. Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της καθεμιάς και δίπλα σε κάθε αριθμό την ένδειξη Σωστό, αν

Διαβάστε περισσότερα

Ημέρα 4 η (α) Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης. (β) Η απόλυτη υπεραξία. Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης

Ημέρα 4 η (α) Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης. (β) Η απόλυτη υπεραξία. Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης Ημέρα 4 η (α) Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης (β) Η απόλυτη υπεραξία Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης Στο κεφάλαιο για την αγορά και την πώληση της εργατικής δύναμης (ελληνική έκδοση: τόμος

Διαβάστε περισσότερα

ÅéêïóéäùäåêÜåäñïí. www.mathematica.gr. Ìáèçìáôéêü Äåëôßï. Ôåý ïò 13ï. Ïêôþâñéïò 2014 ISSN: 2241-7133

ÅéêïóéäùäåêÜåäñïí. www.mathematica.gr. Ìáèçìáôéêü Äåëôßï. Ôåý ïò 13ï. Ïêôþâñéïò 2014 ISSN: 2241-7133 ÅéêïóéäùäåêÜåäñïí Ìáèçìáôéêü Äåëôßï Ôåý ïò 3ï Ïêôþâñéïò 04 www.mathematica.gr ISSN: 4-733 Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mathematica.gr. Η επιλογή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ 2014 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ 2014 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Διδαγμένο Κείμενο ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ 2014 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α1. Επομένως οι αρετές δεν υπάρχουν μέσα μας εκ φύσεως ούτε αντίθετα προς τη φύση μας, αλλά έχουμε από τη φύση την ιδιότητα να τις δεχτούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΗΣ ΕΝΤΡΟΠΙΑΣ ΣΤΗΝ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΤΗ ΣΚΕ ΑΣΗ Ι ΑΚΤΟΡΙΚΗ ΙΑΤΡΙΒΗ

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΗΣ ΕΝΤΡΟΠΙΑΣ ΣΤΗΝ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΤΗ ΣΚΕ ΑΣΗ Ι ΑΚΤΟΡΙΚΗ ΙΑΤΡΙΒΗ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΠΥΡΗΝΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩ ΩΝ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ Π. ΨΩΝΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΗΣ ΕΝΤΡΟΠΙΑΣ ΣΤΗΝ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΤΗ ΣΚΕ

Διαβάστε περισσότερα

- 1 - Ποιοι κερδίζουν από το εμπόριο αγαθών και υπηρεσιών; Γιατί η άμεση ανταλλαγή αγαθών, ορισμένες φορές, είναι δύσκολο να

- 1 - Ποιοι κερδίζουν από το εμπόριο αγαθών και υπηρεσιών; Γιατί η άμεση ανταλλαγή αγαθών, ορισμένες φορές, είναι δύσκολο να - 1 - Ο παράξενος πραματευτής Ανθολόγιο Ε & Στ τάξης: 277-279 Οικονομικές έννοιες Ανταλλαγή Αντιπραγματισμός Εμπόριο Ερωτήσεις Ποιοι κερδίζουν από το εμπόριο αγαθών και υπηρεσιών; Γιατί η άμεση ανταλλαγή

Διαβάστε περισσότερα

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mathematica.gr. Η επιλογή και η φροντίδα του περιεχομένου γίνεται από τους Επιμελητές του mathematica.gr. Μετατροπές

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ FRACTALS

Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ FRACTALS Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ FRACTALS ΕΛΕΝΗ ΤΑΝΤΟΥΛΟΥ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΑΝΤΩΝΗΣ ΤΣΟΛΟΜΥΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΑΜΟΣ 2009 Στην μητέρα μου που μπορεί και με ανέχεται ακόμα,

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 6: Ελεγχος γενικών γραμμικών υποθέσεων. Αναπληρωτής Καθηγητής. Σχολή ιοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Πατρών

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 6: Ελεγχος γενικών γραμμικών υποθέσεων. Αναπληρωτής Καθηγητής. Σχολή ιοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Πατρών ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 6: Ελεγχος γενικών γραμμικών υποθέσεων Ιωάννης Βενέτης Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σχολή ιοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Πατρών 1/56 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 24 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ): ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ : ΕΞΙ

Διαβάστε περισσότερα

Συντάκτης: Παναγιώτης Βεργούρος, Οικονομολόγος Συγγραφέας βιβλίων, Μικρο μακροοικονομίας διαγωνισμών ΑΣΕΠ

Συντάκτης: Παναγιώτης Βεργούρος, Οικονομολόγος Συγγραφέας βιβλίων, Μικρο μακροοικονομίας διαγωνισμών ΑΣΕΠ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υ- πουργείου Οικονομικών και στοχεύοντας στην όσο το δυνατό πληρέστερη

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πειραιώς. Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου

Πανεπιστήμιο Πειραιώς. Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου Πανεπιστήμιο Πειραιώς Τμήμα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου Παραμετρικά Μοντέλα Επιβίωσης που προκύπτουν από μεταβολές

Διαβάστε περισσότερα

23/2/07 Sleep out Πλατεία Κλαυθμώνος

23/2/07 Sleep out Πλατεία Κλαυθμώνος 23/2/07 Sleep out Πλατεία Κλαυθμώνος Μια βραδιά στο λούκι με τους αστέγους «Έχετε ποτέ σκεφτεί να κοιμηθείτε μια χειμωνιάτικη νύχτα στο δρόμο;» Με αυτό το ερώτημα απευθύναμε και φέτος την πρόσκληση στους

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΡΜΙΣΗΣ, ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ, ΠΡΥΜΝΟΔΕΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΛΛΙΜΕΝΙΣΜΟΥ ΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΘΑΛΑΣΣΙΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ. (ΛΙΜΑΝΙΑ κ.λπ.) ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΑΣ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ

ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΡΜΙΣΗΣ, ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ, ΠΡΥΜΝΟΔΕΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΛΛΙΜΕΝΙΣΜΟΥ ΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΘΑΛΑΣΣΙΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ. (ΛΙΜΑΝΙΑ κ.λπ.) ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΑΣ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΡΜΙΣΗΣ, ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ, ΠΡΥΜΝΟΔΕΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΛΛΙΜΕΝΙΣΜΟΥ ΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΘΑΛΑΣΣΙΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ (ΛΙΜΑΝΙΑ κ.λπ.) ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΑΣ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ ΤΑΜΕΙΩΝ ΚΑΙ ΔΗΜΟΤΙΚΩΝ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ ΤΑΜΕΙΩΝ Επιμέλεια Άγγελου Αργυρακόπουλου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 015 Ανεξάρτητα δείγματα: Αφορά δύο κανονικούς πληθυσμούς με παραμέτρους

Διαβάστε περισσότερα

Μητροπολιτικά Οπτικά Δίκτυα. 11.1. Εισαγωγή

Μητροπολιτικά Οπτικά Δίκτυα. 11.1. Εισαγωγή Μητροπολιτικά Οπτικά Δίκτυα 11.1. Εισαγωγή Τα τηλεπικοινωνιακά δίκτυα είναι διαιρεμένα σε μια ιεραρχία τριών επιπέδων: Στα δίκτυα πρόσβασης, τα μητροπολιτικά δίκτυα και τα δίκτυα κορμού. Τα δίκτυα κορμού

Διαβάστε περισσότερα

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ.

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ. HY 280 «ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ» θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Γεώργιος Φρ. Γεωργακόπουλος Μέρος B Βασικά στοιχεία περί ασυμφραστικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΠΑ, ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΝΑΥΤΙΛΟΣ

ΕΚΠΑ, ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΝΑΥΤΙΛΟΣ ΣΧΟΛΙΑ Οι κληρούχοι συντάκτες της αίτησης και οι εμπλεκόμενοι Πτολεμαϊκοί αξιωματούχοι Η αίτηση υποβάλλεται από δύο κληρούχους ιππείς, το Μακεδόνα Αντίμαχο, γιο του Αριστομήδη, και το Θράκα Ηρακλείδη,

Διαβάστε περισσότερα

Συμπληρωματικές σημειώσεις στις Ασκήσεις

Συμπληρωματικές σημειώσεις στις Ασκήσεις Άσκηση 1 Συμπληρωματικές σημειώσεις στις Ασκήσεις 30-4-2010 Στο δυναμόμετρο μονάδα μέτρησης της δύναμης είναι το 1 kp ή 1 kgr * η οποία είναι μονάδα βάρους ίση με 9.80665 Ν. Το kp ορίζεται έτσι ώστε η

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΤΟΥ ΚΡΑΤΟΥΣ

ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΤΟΥ ΚΡΑΤΟΥΣ ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΤΟΥ ΚΡΑΤΟΥΣ ΘΕΜΑ: Η ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΤΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΟΥ ΚΡΑΤΟΥΣ Ο ΙΕΡΑΡΧΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΚΑΙ Η ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ ΕΠΟΠΤΕΙΑ Σύνταξη: Ηλίας Κουβαράς, Δικηγόρος L.L.M., Υπ. Διδάκτωρ Δημοσίου Δικαίου

Διαβάστε περισσότερα

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ. Γεωργακόπουλος.

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ. Γεωργακόπουλος. HY 280 «ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ» θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Γεώργιος Φρ. Γεωργακόπουλος Μέρος B Βασικά στοιχεία περί ασυμφραστικών γραμματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 2014 15 ΔΙΚΤΥΑ ΠΡΟΣΒΑΣΗΣ ΑΣΚΗΣΗ 1

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 2014 15 ΔΙΚΤΥΑ ΠΡΟΣΒΑΣΗΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 2014 15 ΔΙΚΤΥΑ ΠΡΟΣΒΑΣΗΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Ένας χρήστης μιας PDH μισθωμένης γραμμής χρησιμοποιεί μια συσκευή πρόσβασης που υλοποιεί τη στοίβα ΑΤΜ/Ε1. α) Ποιος είναι ο μέγιστος υποστηριζόμενος ρυθμός (σε

Διαβάστε περισσότερα

Συγκέντρωση Κίνησης. 6.1. Εισαγωγή. 6.2. Στατική Συγκέντρωση Κίνησης

Συγκέντρωση Κίνησης. 6.1. Εισαγωγή. 6.2. Στατική Συγκέντρωση Κίνησης Συγκέντρωση Κίνησης 6.1. Εισαγωγή Σε ένα οπτικό WDM δίκτυο, οι κόμβοι κορμού επικοινωνούν μεταξύ τους και ανταλλάσουν πληροφορία μέσω των lightpaths. Ένα WDM δίκτυο κορμού είναι υπεύθυνο για την εγκατάσταση

Διαβάστε περισσότερα

1. Η συγκεκριμένη εφαρμογή της λειτουργίας για τη λήψη φορολογικής ενημερότητας βρίσκεται στην αρχική σελίδα της ιστοσελίδας της Γ.Γ.Π.Σ.

1. Η συγκεκριμένη εφαρμογή της λειτουργίας για τη λήψη φορολογικής ενημερότητας βρίσκεται στην αρχική σελίδα της ιστοσελίδας της Γ.Γ.Π.Σ. ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ 23 η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Αθήνα, 10 Ιουλίου 2013 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΔΙΚΑΙΟΣΥΝΗΣ, ΔΙΑΦΑΝΕΙΑΣ ΚΑΙ ΑΝΘΡΩΠΙΝΩΝ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΩΝ ΣΥΝΤΟΝΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ Αριθμ. Πρωτ. 153 ΣΥΜΒΟΛΑΙΟΓΡΑΦΙΚΩΝ ΣΥΛΛΟΓΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ Α Θ Η Ν

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστηριακή Άσκηση Θερμομόρφωση (Thermoforming)

Εργαστηριακή Άσκηση Θερμομόρφωση (Thermoforming) Σελίδα 1 Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Μηχανικών Μηχανολογίας και Κατασκευαστικής ΜΜΚ 452: Μηχανικές Ιδιότητες και Κατεργασία Πολυμερών Εργαστηριακή Άσκηση Θερμομόρφωση (Thermoforming) Σελίδα 2 Εισαγωγή: Η

Διαβάστε περισσότερα

Ο όρος εισήχθηκε το 1961 από τον Bellman Αναφέρεται στο πρόβλημα της ανάλυσης δεδομένων πολλών μεταβλητών καθώς αυξάνει η διάσταση.

Ο όρος εισήχθηκε το 1961 από τον Bellman Αναφέρεται στο πρόβλημα της ανάλυσης δεδομένων πολλών μεταβλητών καθώς αυξάνει η διάσταση. Αναγνώριση Προτύπων Η κατάρα της διαστατικότητας Ο όρος εισήχθηκε το 1961 από τον Bellman Αναφέρεται στο πρόβλημα της ανάλυσης δεδομένων πολλών μεταβλητών καθώς αυξάνει η διάσταση. Η κατάρα της διαστατικότητας

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφή Περιοχής. Σήμερα!

Περιγραφή Περιοχής. Σήμερα! Περιγραφή Περιοχής Σήμερα! Υφή (texture) Ιστόγραμμα & Ροπές Ιστογράμματος Πίνακες συνεμφάνισης Φασματική περιγραφή Ροπές (moments) Στροφορμή (angular momentum) 1 Υφή (texture) Ο ορισμός της έννοιας της

Διαβάστε περισσότερα

Βελτίωση Εικόνας. Σήμερα!

Βελτίωση Εικόνας. Σήμερα! Βελτίωση Εικόνας Σήμερα! Υποβάθμιση εικόνας Τεχνικές Βελτίωσης Restoration (Αποκατάσταση) Τροποποίηση ιστογράμματος Ολίσθηση ιστογράμματος Διάταση (stretching) Ισοστάθμιση του ιστογράμματος (histogram

Διαβάστε περισσότερα

Βιωματική Απόκριση. (Άρθρο του Eugene Gendlin) ΚΑΝΟΝΕΣ ΓΙΑ ΑΠΟΚΡΙΣΕΙΣ. Βιωμένο νόημα

Βιωματική Απόκριση. (Άρθρο του Eugene Gendlin) ΚΑΝΟΝΕΣ ΓΙΑ ΑΠΟΚΡΙΣΕΙΣ. Βιωμένο νόημα Βιωματική Απόκριση (Άρθρο του Eugene Gendlin) ΚΑΝΟΝΕΣ ΓΙΑ ΑΠΟΚΡΙΣΕΙΣ Βιωμένο νόημα Τα προσωπικά προβλήματα και οι δυσκολίες της ζωής δεν είναι ποτέ μόνο γνωσιακού επιπέδου, δεν είναι ποτέ μόνο θέμα του

Διαβάστε περισσότερα

1. Σε περίπτωση κατά την οποία η τιμή ενός αγαθού μειωθεί κατά 2% και η ζητούμενη

1. Σε περίπτωση κατά την οποία η τιμή ενός αγαθού μειωθεί κατά 2% και η ζητούμενη Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υ- πουργείου Οικονομικών και στοχεύοντας στην όσο το δυνατό πληρέστερη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΙΜΕΣ DISNEYLAND RESORT PARIS

ΤΙΜΕΣ DISNEYLAND RESORT PARIS ΤΙΜΕΣ DISNEYLAND RESORT PARIS 09 Νοεµβρίου 2009 01 Απριλίου 2010 DISNEYLAND 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 CHD ΠΑΚΕΤΟ 2N/3Μ 350 419 558 973 392 475 641 1140 491 607 840 1538 117 ΠΑΚΕΤΟ 3N/4Μ 464 562 760 1353

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα. στο μάθημα. Αρχές οργάνωσης και διοίκησης επιχειρήσεων. ΟΜΑΔΑ Α: Ερωτήσεις Σωστού Λάθους.

Προτεινόμενα θέματα. στο μάθημα. Αρχές οργάνωσης και διοίκησης επιχειρήσεων. ΟΜΑΔΑ Α: Ερωτήσεις Σωστού Λάθους. Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα Αρχές οργάνωσης και διοίκησης επιχειρήσεων ΟΜΑΔΑ Α: Ερωτήσεις Σωστού Λάθους Στις παρακάτω προτάσεις να γράψετε δίπλα στον αριθμό της καθεμιάς τη λέξη Σωστό αν κρίνετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

1. Ας υποθέσουμε ότι η εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης για όσπρια είναι ίση με το μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι:

1. Ας υποθέσουμε ότι η εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης για όσπρια είναι ίση με το μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι: 1. Ας υποθέσουμε ότι η εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης για όσπρια είναι ίση με το μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι: α) Ανεξάρτητα από το ύψος της τιμής των οσπρίων, ο καταναλωτής θα δαπανά πάντα ένα σταθερό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Επειδή βλέπουμε κάθε πόλη κράτος να είναι ένα είδος κοινότητας και κάθε κοινότητα να έχει συσταθεί για χάρη κάποιου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Β ΤΑΞΗ ΚΕΙΜΕΝΟ. Πέµπτη 19 Νοεµβρίου 1942. Αγαπητή Κίττυ,

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Β ΤΑΞΗ ΚΕΙΜΕΝΟ. Πέµπτη 19 Νοεµβρίου 1942. Αγαπητή Κίττυ, ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 6 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΝΕΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ ΕΚΦΡΑΣΗ - ΕΚΘΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) Αγαπητή

Διαβάστε περισσότερα

2. Κατάθεσε κάποιος στην Εθνική Τράπεζα 4800 με επιτόκιο 3%. Μετά από πόσο χρόνο θα πάρει τόκο 60 ; α) 90 ημέρες β) 1,5 έτη γ) 5 μήνες δ) 24 μήνες

2. Κατάθεσε κάποιος στην Εθνική Τράπεζα 4800 με επιτόκιο 3%. Μετά από πόσο χρόνο θα πάρει τόκο 60 ; α) 90 ημέρες β) 1,5 έτη γ) 5 μήνες δ) 24 μήνες 20 Φεβρουαρίου 2010 1. Ένας έμπορος αγόρασε 720 κιλά κρασί προς 2 το κιλό. Πρόσθεσε νερό, το πούλησε προς 2,5 το κιλό και κέρδισε 500. Το νερό που πρόσθεσε ήταν σε κιλά: α) 88 β) 56 γ) 60 δ) 65 2. Κατάθεσε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο επιτελείο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΙΚΟΝΑΣ ADOBE PHOTOSHOP CS ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΣ Β. ΣΥΜΕΩΝΙ ΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

1. Ο εγγυημένος ρυθμός οικονομικής ανάπτυξης στο υπόδειγμα Harrod Domar εξαρτάται

1. Ο εγγυημένος ρυθμός οικονομικής ανάπτυξης στο υπόδειγμα Harrod Domar εξαρτάται 1. Ο εγγυημένος ρυθμός οικονομικής ανάπτυξης στο υπόδειγμα Harrod Domar εξαρτάται από: α) Τη ροπή για αποταμίευση β) Το λόγο κεφαλαίου προϊόντος και τη ροπή για αποταμίευση γ) Το λόγο κεφαλαίου προϊόντος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΑΣΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ

ΜΑΘΗΜΑ: ΑΣΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΣΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ Διδάσκων : Βασίλειος Σταματόπουλος, Δικηγόρος, Δ.Μ.Σ. Συνάντηση 4 η ΕΝΟΧΕΣ ΔΙΑΖΕΥΚΤΙΚΕΣ Εννοιολογική προσέγγιση. Διαζευκτική είναι η ενοχή που έχει ως αντικείμενο δύο ή περισσότερες

Διαβάστε περισσότερα