OT3OS Stabilnost i kauzalnost sistema. Da bi sistem bio stabilan oblast konvergencije
|
|
- Σωφρονία Ζερβός
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 8..4 OT3OS..4. Stbilnost i kuzlnost sistem D bi sistem bio stbiln oblst konvergencije mor obuhvtti jedinični krug D bi sistem bio kuzln oblst konvergencije mor se nlziti izvn krug koji rolzi kroz ol njudljeniji od koordinntnog očetk Z kuzlni linerni vremenski invrijntni sistem Z kuzlni linerni vremenski invrijntni sistem nveden dv uslov će biti zdovoljen ko i smo ko svi olovi funkcije renos leže unutr jediničnog krug komleksne z rvni
2 8..4 Secifikcije z mlitudsku krkteristiku IIR -δ ( ),, M M δ s ω ω π Secifikcije z mlitudsku krkteristiku IIR ( ),, M M A /A ω ω π
3 8..4 Secifikcije z krkteristiku slbljenj IIR ( ),, ω ω π Secifikcije z krkteristiku ojčnj IIR,, g g g g 3
4 8..4 Projektovnje IIR filtr Metode rojektovnj IIR filtr Direktn sintez u z rvni Trnsformcij funkcije renos nlognog rototi filtr Imulsno invrijntn trnsformcij Bilinern trnsformcij 4
5 8..4 Direktn sintez u z rvni - rimer notch IIR filtr Projektovti notch IIR filtr koji zdovoljv:. Potiskuje se frekvencij 5 z. 3 db rousni oseg je +/- 5 z u odnosu n frekvenciju koj se otiskuje 3. Frekvencij odbirnj je 5 z Primer rešenje. Postvimo nulu n *i*5/5 Koeficijenti b (uz x) i Mgnitude (db) Frequency (z) Imginry Prt Rel Prt Phse (degrees) Frequency (z) Komleksni koeficijenti filtr 5
6 8..4 Primer rešenje. Dodmo konjugovno komleksnu nulu.8 Mgnitude (db) Phse (degrees) - -4 Koeficijenti b (uz x) Frequency (z) Frequency (z) Imginry Prt Rel Prt Primer rešenje 3. Dodmo konjugovno komleksne olove Koeficijenti (uz y) Mgnitude (db) Phse (degrees) Frequency (z) 5-5 Imginry Prt Rel Prt Frequency (z) 6
7 8..4 Primer - rešenje - kod close ll cler fs=5; bw=; w=*i*5/5; z=ex(j*w); figure,zlne(z); b=oly(z) figure,freqz(b,,fs,fs) z=ex(-j*w); z_uk=[z;z]; figure,zlne(z_uk); b=oly(z_uk) figure,freqz(b,,fs,fs) ro=-(bw/fs)*i _uk=ro*[ex(j*w);ex(-j*w)] figure,zlne(z_uk,_uk); =oly(_uk) figure,freqz(b,,fs,fs) Primer romenjen fs Rel Prt.5.5 Rel Prt 7
8 8..4 Kontinulni sistemi Kontinulni sistemi 8
9 8..4 Primen Llsove trnsformcije Funkcij renos Polovi funkcije renos u s rvni 9
10 8..4 Trnsformcije Llsov trnsformcij imulsnog odziv Z trnsformcij imulsnog odziv Funkcije renos Rcionln funkcij komleksne frekvencije s=δ+jω Rcionln funkcij komleksne frekvencije z
11 8..4 Polovi funkcije renos Lev olovin komleksne s rvni Unutr jediničnog krug komleksne z rvni Frekvencijski odziv s = jω z = e jω
12 8..4 Secifikcije Anlogni rototi filtri
13 Butterworth-ov filtr j j j M 3dB normlizovno s 3dB.8. = = =3 =4 =5 =6 Krkteristik mksimlno rvn z = f [z] () Butterworth-ov filtr j j j M normlizovno s 3dB 3dB A
14 8..4 Butterworth-ov filtr j j j M normlizovno s A log log A Butterworth-ov filtr Primer: log log A log log f = z =f f =4 z =f = db =4 db >=3.8 =4 4
15 =4 =5 = Butterworth-ov filtr s s j s j = = 3dB k e s s s s k j ,,...,,,,...,, 3dB 3dB k e e s k e k j j k Polovi (s) Butterworth-ov filtr j j j M 3dB s 3dB 3dB 3dB - - s A A 3dB 3dB f [z] M()
16 8..4 Butterworth-ov filtr 3dB 3dB s 3dB A A s 3dB M Čebiševljev filtr j j j f =5 z, /(+ )=.6396 = = = =3 =4 T Krkteristik equl rile u rousnom osegu (j) /() [z] 6
17 8..4 T M x Čebiševljev filtr j j j cos cos cosh cosh, x, x x x T T T T T x xt xt x, x, T x x x x 3 x 4x 3x 3,,... Čebiševljev filtr T x xt xt x, cos cos x, x T x T x T x x, cosh cosh x, x T x x 3 T x 4x 3x 3,,... T (f) = = = =3 =4 T (f) = = = =3 = f [z] f [z] 7
18 Čebiševljev filtr T j j j M T j j j M f) f =5 z, /(+ )=.6396 = = = =3 = f [z] M (f T k T k Čebiševljev filtr A Primer: f = z T =f f =4 z =f = db =4 db A cosh cosh > 7 cosh cosh >=.7 =3
19 8..4 Čebiševljev filtr s k k [sinh sinh cos cosh sinh k j sin ], k,,..., Polovi (s) Inverzn Čebiševljev filtr M T / T normlizovno s.4. =4 =5 () Tlsnje u nerousnom osegu f [z] 9
20 8..4 Inverzn Čebiševljev filtr s s T T T T T Inverzn Čebiševljev filtr.9 M C M () -M C M C /()
21 8..4 Inverzn Čebiševljev filtr.9 M C M() M C /() Inverzn Čebiševljev filtr T T T T T M /
22 8..4 Inverzn Čebiševljev filtr Cebisevljev Recirocni i Cebisevljev Cebisevljev x 4 Elitički filtr M F normlizovno s.4. =4 =5 Tlsnje i u rousnom i u nerousnom osegu () f [z]
23 Beselov filtr s B s B B s s B s B s i i i!!! i i i B i Trnsformcije secifikcij j j j M M F rototi, Ω = M F rototi, Ω
24 8..4 Trnsformcije secifikcij. Trnsformcij F, VF, PO ili O secifikcij ij u secifikcije F rototi. Projektovnje F rototi 3. Trnsformcij funkcije renos u F, VF, PO ili O Trnsformcij F - F Trnsformcij F-F rototi ormlizcij, grničn frekvencij rousnog oseg F rototi filtr je, grničn frekvencij nerousnog oseg rototi filtr Ω sf =Ω s / Ω Projektuje se F rototi, (s) denormlizcij s s 4
25 8..4 Trnsformcije VF - F rototi Trnsformcij VF-F rototi normlizcij n gr. fr. VF s /s F, Ω sf =Ω VF / Ω svf Projektuje se F rototi s /s VF denormlizcij Trnsformcije PO - F rototi LP LP B B LP/ / / s s s 5
26 8..4 Trnsformcije PO - F rototi LP s s s Anlogno-digitlne trnsformcije Funkcij renos digitlnog IIR filtr njčešće se formir trnsformcijom nlognog rototi filtr. Primenom nlogno-digitlnog reslikvnj funkcij renos nlognog rototi filtr trnsformiše se u funkciju renos trženog digitlnog filtr. 6
27 8..4 Trnsformcij s rvni u z rvn Ideln trnsformcij bi treblo d im sledeće ć osobine Stbiln kuzln nlogni filtr trnsformiše u stbiln kuzln digitlni filtr. Zdržv neizmenjenu mlitudsku i fznu krkteristiku nlognog filtr. Trnsformcij s rvni u z rvn D bi osobin. bil zdovoljen, trnsformcij mor reslikti levu olovinu s rvni u unutršnjost jediničnog krug u z rvni, desnu olovinu s rvni u oblst z rvni izvn jediničnog krug. D bi osobin. bil zdovoljen j os s rvni morl bi se reslikti linerno n jedinični krug (z=e j ) u z rvni. žlost, ni jedn trnsformcij ne može zdovoljiti ovj drugi uslov. U rksi se koristi nekoliko trnsformcij koje dju zdovoljvjuće rezultte u mnogim slučjevim. 7
28 8..4 Trnsformcij s rvni u z rvn D bi osobin. bil zdovoljen, trnsformcij mor: reslikti levu olovinu s rvni u unutršnjost jediničnog krug u z rvni, reslikti desnu olovinu s rvni u oblst z rvni izvn jediničnog krug. Trnsformcij s rvni u z rvn D bi osobin. bil zdovoljen j os s rvni morl bi se reslikti linerno n jedinični krug (z=e j ) u z rvni. žlost, ni jedn trnsformcij ne može zdovoljiti ovj drugi uslov. U rksi se koristi nekoliko trnsformcij koje dju zdovoljvjuće rezultte u mnogim slučjevim. 8
29 8..4 Anlogno-digitlne trnsformcije Trnsformcij funkcije renos nlognog filtr u funkciju renos digitlnog it filtr Imulsno-invrijntn trnsformcij Amlitudsk i fzn krkteristik su ribližno iste osle reslikvnj Bilinern trnsformcij Amlitudsk krkteristik je identičn Fzn krkteristk je izobličen Imulsno-invrijntn trnsformcij Diskretizcij imulsnog odziv nlognog rototi ti filtr. Ako je dt nlogni filtr čiji je imulsni odziv h(t), rojektuje se digitlni filtr čiji se imulsni odziv h(nt) dobij diskretizcijom h(t), hnt Tht ThnT tnt 9
30 8..4 Imulsno-invrijntn trnsformcij j e k j T j k T j, T j e j j, T Isto ko u dokzu teoreme o odbirnju!!! Frekvencijsk krkteristik nlognog i digitlnog filtr d z k= z k= 3
31 8..4 Funkcij renos reko rcijlnih rzlomk Inverzn Llce-ov trnsformcij Funkcij renos reko rcijlnih rzlomk Z trnsformcij 3
32 8..4 Funkcij renos reko rcijlnih rzlomk Polovi iz leve olovine s rvni se reslikvju u olove unutr jediničnog krug z rvni Rk R s s s k * k sk Re T kt R k z e ReR k cos kt ImR k sin kt kt kt z e cos T z e k Primer Projektovnje Btervort-ovog filtr trećeg ć red Dt je rototi filtr ( =) PT s s s s Rstvljnjem n rcijlne rzlomke PT s.5 j j.887 s s.5 j.866 s.5 j.866 3
33 8..4 Denormlizcij s s Primer Rstvljnjem n rcijlne rzlomke i sređivnjem dobij se 3dB 3dB.5 j.887 3dB.5 j s s s.5 j.866 s.5 j 3dB 3dB 3dB Primer Polovi funkcije (s) i reziduumi u olovim su: s = Ω 3dB R =Ω 3dB s =Ω 3dB (.5+j.866) R =Ω 3dB (.5 j.887) s 3 =Ω 3dB (.5j.866) R 3 =Ω 3dB (.5+j.887) 33
34 8..4 Primer f s =6 Ω 3dB /(π), T=π/(6 Ω 3dB ) Preslikvmo nlogni filtr u digitlni imulsno invrijntnom trnsformcijom, odnosno reslikvmo olove iz s u z rvn sk T s e k Dobij se z T T z e 3dB 3dBT.53dBT.5 3dB z e.5 3dB cos.8663dbt.8873db sin.8663dbt.53dbt 3dBT z e cos.866 T z e 3dB. Primer Kd se sredi izrz, dobij se /3 z.6344 z z z Kork s denormlizcijom smo mogli i d reskočimo tko što bi rototi digitlizovli s fs=6/() 3.359z 34
35 8..4 Primer Bilinern trnsformcij 35
36 8..4 Bilinern trnsformcij z T T s s z T jt / T jt z Bilinern trnsformcij T jt / T j T z jt j T 36
37 8..4 Preslikvnje bilinernom trnsformcijom z jt jt e j jt jt Komresij frekvencijske ose T tn 37
38 8..4 Komresij frekvencijske ose C ( ) / fs=z wg =.e+3 * / Komresij frekvencijske ose D ( ) f [kz] 8 38
39 8..4 Primer Projektovnje digitlnog Čebiševljevog filtr 3. red rimenom bilinerne trnsformcije. f s = 8 kz, f = kz, =db. Anlogni rototi je Čebiševljev filtr 3. red, čij je funkcij renos PT (s), PT s s s.384s.493 Primer D bi digitlni filtr imo grničnu frekvenciju rem secifikciji, iji mor se uzeti u obzir sbijnje frekvencijske ose ω =πf /f s =π/4 Korigovn grničn frekvencij ro. oseg (54.8 z) c tn T 39
40 8..4 Denormlizcij BT Primer.493 c s 3 3 s s sređeno z.9883s c 3.384s c c 3 z z z 3 f s f. 493 s c f s c c z z z z z z.. z. z. z c Primer Moguće je d reskočimo kork denormlizcije i d digitlni filtr rojektujemo direktno u odnosu n rototi, PT (s) odredimo T z ω =πf /f s (grničn frekvencij digitlnog filtr koju želimo d ostvrimo) i Ω=, što odgovr rototi filtru, odnosno T=tn(πf /f s ) tj nčin će se efekt sbijnj frekvencij zrvo uvrstiti u konstntu bilinerne trnsformcije s tn z z.44 f f z z s 4
41 8..4 Korekcij fzne krkteristike min funkcij renos minimlne fze (nule su unutr jediničnog krug) funkcij renos sverousnik Trnsformcije digitlnih filtr F - F z z z = grničn frekv. novog filtr sin sin ' / ' / 4
42 Trnsformcije digitlnih filtr F - VF z z z = grničn frekv. novog filtr / ' cos / ' cos / cos Trnsformcije digitlnih filtr F - PO z z z z z K K K K / / / / cos / cos l u l u l u K tn cot
43 8..4 z Trnsformcije digitlnih filtr F - PO z z z z K / K K / K cos u l / cos / u u l K tn tn l R Imulsno invrijntn trnsformcij () u U C u I CR.6s CR.59 s CR s scr s CR 43
44 8..4 Imulsno invrijntn trnsformcij () R u U C u I f 3dB 3dB CR C R C R.6 s.59 s R Imulsno invrijntn trnsformcij (3) k s u U C u I R k s s CR s scr s CR k R s CR k CR 44
45 8..4 Imulsno invrijntn trnsformcij (4) h h t s k k R e k, R k s s skt, k t t sknt n Th nt TRke un k k R s CR h t e RC CR t RC h T RC nt RC n Th nt e un Imulsno invrijntn trnsformcij (5) h z n h n T e RC z n nt RC n Th nt un z e T RC T CR z C R.59 s 45
46 8..4 Imulsno invrijntn trnsformcij (6) h T e RC nt RC n Th nt un z n h n z n z e T RC T CR z C R.6 s Imulsno invrijntn trnsformcij (7) C R.59 s C R.6 s 46
47 8..4 Bilinern trnsformcij () R u U C u I CR.6 s f 3dB 3dB CR CR 3.83e - 4s Bilinern trnsformcij () CR.6 s 47
48 8..4 Bilinern trnsformcij (3) C R 3.83e - 4s Bilinern trnsformcij (4) gdig gaalog gaalog _ KORIGOVAO f s tg g CR.5e - 4s 48
49 8..4 Bilinern trnsformcij (5) Filter rousnik oseg Prousni oseg 3z Frekvencij odbirnj z Red filtr Bilinern trnsformcij (5) f g fs 6.8 z f g rd Ω tg fs tg T fs s 34.4 z f g rd Ω tg fs tg T fs s Ω Ω W Ω Ω Ω Ω PO F rototi Red LP nlognog rototi filtr će biti! 49
50 8..4 s Bilinern trnsformcij (6) LP F rototi Ω = s s s s s s s s W s W W BP Red BP nlognog filtr će biti! z s T z z z.36z. 765 z S s.367 z s T z Bilinern trnsformcij (7) - MATLAB rorcun (e jw ) [db] [b,]=butter(,[ 3]/); b=.367*[ -]; =[ ]; [,w]=freqz(b,,,); [,w]=freqz(b,,,); lot(w,*log(bs()), w,*log(bs())); f [z] 5
51 8..4 Primer - LP f=8; f=; fs=; w=f/(f/); ws=fs/(f/); r=; rs=4; [nb,wnb]=buttord(w,ws,r,rs) [nc,wnc]=chebord(w,ws,r,rs) [nc,wnc]=chebord(w,ws,r,rs) [ne,wne] wne]=elliord(w,ws,r,rs) ws r rs) [bb,b]=butter(nb,wnb); [bc,c]=cheby(nc,r,wnc); [bc,c]=cheby(nc,rs,wnc); [be,e]=elli(ne,r,rs,wne); ***ord ist list ulznih odtk Projektovnje filtr rzličit list ulznih odtk nb = 6 wnb =.767 Primer rezultti nc = 4 wnc =.5 U oštem slučju red elitičkog filtr će biti njmnji nc = 4 wnc =.5 ne = 4 wne =.5 5
52 8..4 Primer rezultti (e jw ) Butt Cheb Cheb elli Čebiševljev I i elitički tlsnje u rousnom osegu f [z] Primer rezultti Butt Cheb Cheb elli Čebiševljev II i elitički tlsnje u nerousnom osegu (e jw ) [db] f [z] 5
53 8..4 Primer rezultti 4 Butt.5 Imginry Prt Rel Prt Primer rezultti 5 Cheb Imginry Prt Rel Prt 53
54 8..4 Primer rezultti 6 Cheb.5 Imginry Prt Rel Prt Primer rezultti 7 elli.5 Imginry Prt Rel Prt 54
55 8..4 Primer f=8; Promenjeno f f=; fs=; w=f/(f/); ws=fs/(f/); r=; rs=4; [nb,wnb]=buttord(w,ws,r,rs) [nc,wnc]=chebord(w,ws,r,rs) [nc,wnc]=chebord(w,ws,r,rs) [ne,wne] wne]=elliord(w,ws,r,rs) ws r rs) [bb,b]=butter(nb,wnb); [bc,c]=cheby(nc,r,wnc); [bc,c]=cheby(nc,rs,wnc); [be,e]=elli(ne,r,rs,wne); nb = 8 wnb =.88 nc = 5 wnc =.5 nc = 5 wnc =.5 ne = 4 wne =.5 Primer rezultti 55
56 8..4 Primer rezultti.4. Butt Cheb Cheb elli (e jw ) f [z] 3 4 x 4 Primer rezultti 3 Butt Cheb Cheb elli - (e jw ) [db] f [z] 3 4 x 4 56
57 8..4 Primer rezultti 4 Butt.5 Imginry Prt Rel Prt Primer rezultti 5 Cheb.5 Imginry Prt Rel Prt 57
58 8..4 Primer rezultti 6 Cheb.5 Imginry Prt Rel Prt Primer rezultti 7 elli.5 Imginry Prt Rel Prt 58
59 8..4 Primer 3 - P f=8; f=; fs=; w=f/(f/); ws=fs/(f/); r=; rs=4; [nb,wnb]=buttord(w,ws,r,rs) [nc,wnc]=chebord(w,ws,r,rs) [nc,wnc]=chebord(w,ws,r,rs) [ne,wne] wne]=elliord(w,ws,r,rs) ws r rs) [bb,b]=butter(nb,wnb,'high'); [bc,c]=cheby(nc,r,wnc,'high'); [bc,c]=cheby(nc,rs,wnc,'high'); [be,e]=elli(ne,r,rs,wne,'high'); Ključn reč high nb = 6 wnb =.4638 nc = 4 wnc =.5 nc = 4 wnc =.5 ne = 4 wne =.5 Primer 3 rezultti 59
60 8..4 Primer 3 rezultti.4. Butt Cheb Cheb elli (e jw ) f [z] Primer 3 rezultti Butt Cheb Cheb elli - (e jw ) [db] f [z] 6
61 8..4 Primer 3 rezultti 4 Butt.5 Imginry Prt Rel Prt Primer 3 rezultti 5 Cheb Imginry Prt Rel Prt 6
62 8..4 Primer 3 rezultti 6 Cheb.5 Imginry Prt Rel Prt Primer 3 rezultti 7 elli.5 Imginry Prt Rel Prt 6
63 8..4 Primer 4 - BP f=8; f=[ 3]; f i fs - vektori fs=[ 35]; w=f/(f/); ws=fs/(f/); r=; rs=4; [nb,wnb]=buttord(w,ws,r,rs) [nc,wnc]=chebord(w,ws,r,rs) [nc,wnc]=chebord(w,ws,r,rs) [ne,wne] wne]=elliord(w,ws,r,rs) ws r rs) [bb,b]=butter(nb,wnb); [bc,c]=cheby(nc,r,wnc); [bc,c]=cheby(nc,rs,wnc); [be,e]=elli(ne,r,rs,wne); nb = 5 wnb = Primer 4 rezultti n* - red F (LP) rototi nc = 4 wnc =.5.75 wn* - vektori nc = 4 wnc = ne = 3 wne =
64 8..4 Primer 4 rezultti.9.8 Butt Cheb Cheb elli.7.6 (e jw ) f [z] Primer 4 rezultti 3-5 Butt Cheb Cheb elli - (e jw ) [db] f [z] 64
65 8..4 Primer 4 rezultti 4 Butt.5 Imginry Prt Rel Prt Primer 4 rezultti 5 Cheb Imginry Prt Rel Prt 65
66 8..4 Primer 4 rezultti 6 Cheb.5 Imginry Prt Rel Prt Primer 4 rezultti 7 elli.5 Imginry Prt Rel Prt 66
67 8..4 Primer 5 - BS f=8; f=[ 35]; f i fs - vektori fs=[ 3]; w=f/(f/); ws=fs/(f/); r=; rs=4; [nb,wnb]=buttord(w,ws,r,rs) [nc,wnc]=chebord(w,ws,r,rs) [nc,wnc]=chebord(w,ws,r,rs) [ne,wne] wne]=elliord(w,ws,r,rs) ws r rs) [bb,b]=butter(nb,wnb,'sto'); [bc,c]=cheby(nc,r,wnc,'sto'); Ključn reč sto [bc,c]=cheby(nc,rs,wnc,'sto'); [be,e]=elli(ne,r,rs,wne,'sto'); nb = 5 wnb = Primer 5 rezultti n* - red F (LP) rototi nc = 4 wnc = wn* - vektori nc = 4 wnc =.5.75 ne = 3 wne =
68 8..4 Primer 5 rezultti.4. Butt Cheb Cheb elli (e jw ) f [z] Primer 5 rezultti Butt Cheb Cheb elli - (e jw ) [db] f [z] 68
69 8..4 Primer 5 rezultti 4 Butt.5 Imginry Prt Rel Prt Primer 5 rezultti 5 4 Cheb.5 Imginry Prt Rel Prt 69
70 8..4 Primer 5 rezultti 6 Cheb.5 Imginry Prt Rel Prt Primer 5 rezultti 7 elli.5 Imginry Prt Rel Prt 7
Stabilnost i kauzalnost sistema
OT3OS 06.2.207. Stabilnost i kaualnost sistema Da bi sistem bio stabilan oblast konvergencije mora obuhvatati jedinični krug Da bi sistem bio kaualan oblast konvergencije mora se nalaiti ivan kruga koji
Διαβάστε περισσότεραFunkcija prenosa. Funkcija prenosa se definiše kao količnik z transformacija odziva i pobude. Za LTI sistem: y n h k x n k.
OT3OS1 7.11.217. Definicije Funkcija prenosa Funkcija prenosa se definiše kao količnik z transformacija odziva i pobude. Za LTI sistem: y n h k x n k Y z X z k Z y n Z h n Z x n Y z H z X z H z H z n h
Διαβάστε περισσότεραGRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo
GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zdci II deo U sledećim zdcim ćemo korisii poznu grničnu vrednos: li i mnje vrijcije n i 0 n ( Zdci: ) Odredii sledeće grnične vrednosi: Rešenj: 4 ; 0 g ; 0 cos v) ; g) ; 4 ;
Διαβάστε περισσότερα2.6 Nepravi integrali
66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,
Διαβάστε περισσότεραPRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Διαβάστε περισσότεραVALJAK. Valjak je geometrijsko telo ograničeno sa dva kruga u paralelnim ravnima i delom cilindrične površi čije su
ALJAK ljk je geometijsko telo ogničeno s dv kug u plelnim vnim i delom ilindične povši čije su izvodnie nomlne n vn ti kugov. Os vljk je pv koj polzi koz ente z. Nvno ko i do sd oznke su: - je povšin vljk
Διαβάστε περισσότεραdužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor
I. VEKTORI d. sc. Min Rodić Lipnović 009./010. 1 Pojm vekto A B dužin A B usmjeen (oijentin) dužin (n se koj je točk početn, koj kjnj) A B vekto - kls ( skup ) usmjeenih dužin C D E F AB je epeentnt vekto
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА
ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА empertur sežeg beton menj se tokom remen i zisi od ećeg broj utijnih prmetr: Početne temperture mešine (n izsku iz mešie), emperture sredine, opote hidrtije ement, Rzmene topote
Διαβάστε περισσότερα4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i
Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine
Διαβάστε περισσότεραOdred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.
Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραOSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA
OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRVOKUTNOG TROKUT - DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ KUTOV OD - PRIMJEN N PRVOKUTNI TROKUT - PRIMJEN U PLNIMETRIJI 4.1. DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραDissertation for the degree philosophiae doctor (PhD) at the University of Bergen
Dissertation for the degree philosophiae doctor (PhD) at the University of Bergen Dissertation date: GF F GF F SLE GF F D Ĉ = C { } Ĉ \ D D D = {z : z < 1} f : D D D D = D D, D = D D f f : D D
Διαβάστε περισσότεραPrvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum
27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραRešenja A/2 kolokvijuma iz predmeta MERNI SISTEMI U TELEKOMUNIKACIJAMA 10. januar 2006.
šnj A/ kolokvijum iz prdmt MENI SISEMI U ELEKOMUNIKACIJAMA. jnur. Zdtk. D i prikznim urđjm mogl mriti mplitud čtvrtog hrmonik u mmorijki lok tr d ud upin ditrovn zin unkcij ( t) y co π Izlz iz urđj j td
Διαβάστε περισσότεραc = α a + β b, [sustav rješavamo metodom suprotnih koeficijenata]
Zdtk (Tihomir, tehničk škol) c = 8 i. Rješenje Prikži vektor c ko linernu kombinciju vektor i b ko je = i + 3 j, b = 4 i 3 j, Nek su i b vektori i α, β relni brojevi. Vektor c = α + β b nzivmo linernom
Διαβάστε περισσότεραRijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5
Rijeseni neki zdci iz poglvlj 4.5 Prije rijesvnj zdtk prisjetimo se itnih stvri koje ce ns prtiti tijekom njihovog promtrnj. Definicij: (Trigonometrij prvokutnog trokut) ktet nsuprot kut ϕ sin ϕ hipotenuz
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραKUPA I ZARUBLJENA KUPA
KUPA I ZAUBLJENA KUPA KUPA Povšin bze B Povšin omotč M P BM to jet P B to jet S O o kupe Oni peek Obim onog peek O op Povšin onog peek P op Pimen pitgoine teoeme vnotn jednkotn kup je on kod koje je, p
Διαβάστε περισσότεραNeodreeni integrali. Glava Teorijski uvod
Glv Neodreeni integrli. Teorijski uvod Nek je funkcij f :, b R. Definicij: ϕ- primitivn funkcij funkcije f ϕ f, b Teorem: ϕ- primitivn funkcij funkcije f ϕ+c- primitivn funkcij funkcije f Definicij: f
Διαβάστε περισσότεραMate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza
Mte Vijug: Rijesei zdci iz mtemtike z sredju skolu. ARITMETICKI I GEOMETRIJKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. Aritmeticki iz Opci oblik ritmetickog iz: + - d Gdje je: prvi cl ritmetickog iz ti cl ritmetickog
Διαβάστε περισσότεραSpecijalna vrsta nepravih integrala jesu oni koji sadrze potencije ili geometrijski red u podintegralnoj funkciji.
Mt Vijug: Rijsni zdci iz vis mtmti 9. NEPRAVI INTEGRALI 9. Opcnito o nprvim intgrlim Intgrl oli f d s nziv nprviln o: ) jdn ili oj grnic intgrcij nisu oncn vc soncn:, ) pod intgrln funcij f j prinut u
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότερα= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi
Zdtk 0 (Anstzij, gimnzij) Provjeri je li funkcij f log( 5) + + injekcij Rješenje 0 Kžemo d funkcij f im svojstvo injektivnosti ili d je on injekcij ko vrijedi f ( ) f ( ) Dkle, funkcij je injekcij ko rzličitim
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραFURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II
FURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II deo Primer. Fukciju f ( = rzviti u Furijeov red segmetu [,] ztim izrčuti sumu red. ( Rešeje: Kko je f ( = = = f ( zkjučujemo d je fukcij pr. Koristimo formue: = f ( = + ( cos
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ "ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ"
ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ "ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ" ΠΡΟΣΕΓΓΙΣH BUTTERWORTH G(Ω H o %β 2 Ω 2n 20log H o H C a max 20log H o H S a min 0 a min 0 & Ω n S H 2 o H 2 S Ω n S & β min #β# β max H 2 o H 2 C & 0 a max
Διαβάστε περισσότεραMatematički osnovi Z transformacije
Mtemtiči osnovi Z trnsformcije Uvod u Z-trnsformciju: Z-trnsformcij i njen invern trnsformcij se u mtemtici rmtrju i rlog što ovve trnsformcije imju neposrednu primenu u eletrotehnici i to prvenstveno
Διαβάστε περισσότεραOsnove elektrotehnike I parcijalni ispit VARIJANTA A. Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti.
Osnove elektrotehnike I prcijlni ispit 3..23. RIJNT Prezime i ime: roj indeks: Profesorov prvi postult: Što se ne može pročitti, ne može se ni ocijeniti... U vzdušni pločsti kondenztor s rstojnjem između
Διαβάστε περισσότεραITU-R P (2009/10)
ITU-R.38-6 (009/0 $% #! " #( ' * & ' /0,-. # GHz 00 MHz 900 ITU-R.38-6 ii.. (IR (ITU-T/ITU-R/ISO/IEC.ITU-R http://www.itu.int/itu-r/go/patents/en. (http://www.itu.int/publ/r-rec/en ( ( BO BR BS BT F M
Διαβάστε περισσότεραΨηφιακή Επεξεργασία Σημάτων
Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ενότητα 13: Ψηφιακά Φίλτρα IIR Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ψηφιακά Φίλτρα IIR Εισαγωγή στα Φίλτρα Άπειρης Κρουστικής Απόκρισης (IIR) Σχεδίαση IIR Φίλτρων Γενική
Διαβάστε περισσότεραOpćenito, iznos normalne deformacije u smjeru normale n dan je izrazom:
Otporost mterijl. Zdtk ZDTK: U točki čeliče kostrukije postvlje su tri osjetil z mjereje deformij prem slii. ri opterećeju kostrukije izmjeree su reltive ormle (dužiske deformije: b ( - b 3 - -6 - ( b
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s
P P P P ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s r t r 3 2 r r r 3 t r ér t r s s r t s r s r s ér t r r t t q s t s sã s s s ér t
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότερα4. Trigonometrija pravokutnog trokuta
4. Trigonometrij prvokutnog trokut po školskoj ziri od Dkić-Elezović 4. Trigonometrij prvokutnog trokut Formule koje koristimo u rješvnju zdtk: sin os tg tg ktet nsuprot kut hipotenuz ktet uz kut hipotenuz
Διαβάστε περισσότεραLCs 2 + RCs + 1. s 1,2 = RC ± R 2 C 2 4LC 2LC. (s 2)(s 3) = A. = 4 s 3 s=2 s + 2 B = (s 2)(s 3) (s 3) s=3. = s + 2. x(t) = 4e 2t u(t) + 5e 3t u(t) (2)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-5: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 06-7 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λύσεις Εβδοµης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης
Διαβάστε περισσότεραMatematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum
Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότερα( ) p a. poklopac. Rješenje:
5 VJEŽB - RIJEŠENI ZDI IZ MENIKE LUID 1 1 Treb odrediti silu koj drži u rvnoteži poklopc B jedinične širine, zlobno vezn u točki, u položju prem slici Zdno je : =0,84 m; =0,65 m; =5,5 cm; =999 k/m B p
Διαβάστε περισσότεραΤο άτομο του Υδρογόνου
Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραITU-R P (2012/02) khz 150
(0/0) khz 0 P ii (IPR) (ITU-T/ITU-R/ISO/IEC) ITU-R http://www.itu.int/itu-r/go/patents/en http://www.itu.int/publ/r-rec/en BO BR BS BT F M P RA RS S SA SF SM SNG TF V ITU-R 0 ITU 0 (ITU) khz 0 (0-009-00-003-00-994-990)
Διαβάστε περισσότεραο ο 3 α. 3"* > ω > d καΐ 'Ενορία όλις ή Χώρί ^ 3 < KN < ^ < 13 > ο_ Μ ^~~ > > > > > Ο to X Η > ο_ ο Ο,2 Σχέδι Γλεγμα Ο Σ Ο Ζ < o w *< Χ χ Χ Χ < < < Ο
18 ρ * -sf. NO 1 D... 1: - ( ΰ ΐ - ι- *- 2 - UN _ ί=. r t ' \0 y «. _,2. "* co Ι». =; F S " 5 D 0 g H ', ( co* 5. «ΰ ' δ". o θ * * "ΰ 2 Ι o * "- 1 W co o -o1= to»g ι. *ΰ * Ε fc ΰ Ι.. L j to. Ι Q_ " 'T
Διαβάστε περισσότεραOM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 7 Σχεδιασμός IIR Φίλτρων
Kεφάλαιο 7 Σχεδιασμός IIR Φίλτρων Φίλτρα «άπειρης» κρουστικής απόκρισης IIR - Infinite impule repone filter Recurive filter / 77 / 78 Περιεχόμενα Εισαγωγικά χαρακτηριστικά των IIR φίλτρων, σχεδιασμός στο
Διαβάστε περισσότερα2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1
2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.
Διαβάστε περισσότεραPismeni dio ispita iz Matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja u zavisnosti od parametra a:
Zenica, 70006 + y+ z+ 4= 0 y+ z : i ( q) : = = y + z 4 = 0 a) Napisati pavu p u kanonskom, a pavu q u paametaskom obliku b) Naći jednačinu avni koja polazi koz pavu p i okomita je na pavu q ate su pave
Διαβάστε περισσότεραA MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1
A MATEMATIKA (.5.., treći kolokvij). Zdn je z 3 + os. () Izrčunjte ngib plohe u pozitivnom smjeru -osi. (b) Izrčunjte ngib pod ) u točki T(, ). () Izrčunjte z u T(, ). (5 bodov). Zdn je z 3 ln. () Izrčunjte
Διαβάστε περισσότεραObrada signala
Obrada signala 1 18.1.17. Greška kvantizacije Pretpostavka je da greška kvantizacije ima uniformnu raspodelu 7 6 5 4 -X m p x 1,, za x druge vrednosti x 3 x X m 1 X m = 3 x Greška kvantizacije x x x p
Διαβάστε περισσότεραφ(t) TE 0 φ(z) φ(z) φ(z) φ(z) η(λ) G(z,λ) λ φ(z) η(λ) η(λ) = t CIGS 0 G(z,λ)φ(z)dz t CIGS η(λ) φ(z) 0 z
Διαβάστε περισσότεραΚλασσική Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6: Αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραAppendix B Table of Radionuclides Γ Container 1 Posting Level cm per (mci) mci
3 H 12.35 Y β Low 80 1 - - Betas: 19 (100%) 11 C 20.38 M β+, EC Low 400 1 5.97 13.7 13 N 9.97 M β+ Low 1 5.97 13.7 Positrons: 960 (99.7%) Gaas: 511 (199.5%) Positrons: 1,199 (99.8%) Gaas: 511 (199.6%)
Διαβάστε περισσότεραČETVOROUGAO. β 1. β B. Četvorougao je konveksan ako duž koja spaja bilo koje dve tačke unutrašnje oblasti ostaje unutar četvorougla.
Mnogougo oji im četii stnice nziv se četvoougo. ČETVOROUGAO D δ δ γ C A α β B β Z svi četvoougo vži im je zi unutšnji i spoljšnji uglov isti i iznosi 0 0 α β γ δ 0 0 α β γ δ 0 0 Njpe žemo četvoouglovi
Διαβάστε περισσότεραC 1 D 1. AB = a, AD = b, AA1 = c. a, b, c : (1) AC 1 ; : (1) AB + BC + CC1, AC 1 = BC = AD, CC1 = AA 1, AC 1 = a + b + c. (2) BD 1 = BD + DD 1,
1 1., BD 1 B 1 1 D 1, E F B 1 D 1. B = a, D = b, 1 = c. a, b, c : (1) 1 ; () BD 1 ; () F; D 1 F 1 (4) EF. : (1) B = D, D c b 1 E a B 1 1 = 1, B1 1 = B + B + 1, 1 = a + b + c. () BD 1 = BD + DD 1, BD =
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραQ π (/) ^ ^ ^ Η φ. <f) c>o. ^ ο. ö ê ω Q. Ο. o 'c. _o _) o U 03. ,,, ω ^ ^ -g'^ ο 0) f ο. Ε. ιη ο Φ. ο 0) κ. ο 03.,Ο. g 2< οο"" ο φ.
II 4»» «i p û»7'' s V -Ζ G -7 y 1 X s? ' (/) Ζ L. - =! i- Ζ ) Η f) " i L. Û - 1 1 Ι û ( - " - ' t - ' t/î " ι-8. Ι -. : wî ' j 1 Τ J en " il-' - - ö ê., t= ' -; '9 ',,, ) Τ '.,/,. - ϊζ L - (- - s.1 ai
Διαβάστε περισσότεραΑντίστροφος Μετασχηματισμός Ζ. Υλοποίηση συστημάτων Διακριτού Χρόνου. Σχεδίαση φίλτρων
Αντίστροφος Μετασχηματισμός Ζ Υλοποίηση συστημάτων Διακριτού Χρόνου Σχεδίαση φίλτρων Αντίστροφος Μετασχηματισμός Ζ Αντίστροφος ΜΖ (inverse-zt) Προσεγγίσεις εύρεσης του αντίστροφου ΜΖ Τυπικά ο i-zt γίνεται
Διαβάστε περισσότεραOtpornost R u kolu naizmjenične struje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραElektrostatika. 1. zadatak. Uvodni pojmovi. Rješenje zadatka. Za pločasti kondenzator vrijedi:
tnic:iii- lektosttik lektično polje n gnici v ielektik. Pločsti konenzto. Cilinični konenzto. Kuglsti konenzto. tnic:iii-. ztk vije mete ploče s zkom ko izoltoom ile su spojene n izvo npon, ztim ospojene
Διαβάστε περισσότεραL A TEX 2ε. mathematica 5.2
Διδασκων: Τσαπογας Γεωργιος Διαφορικη Γεωμετρια Προχειρες Σημειωσεις Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών Σάμος Εαρινό Εξάμηνο 2005 στοιχεοθεσια : Ξενιτιδης Κλεανθης L A TEX 2ε σχεδια : Dia mathematica
Διαβάστε περισσότεραSLIČNOST TROUGLOVA. kažemo da su slične ( sa koeficijentom sličnosti k ) ako postoji transformacija sličnosti koja figuru F prevodi u figuru F
SLIČNOST TROUGLOV Z dve figure F i F kžemo d su slične ( s koefiijentom sličnosti k ) ko postoji trnsformij sličnosti koj figuru F prevodi u figuru F. Činjeniu d su dve figure slične obeležvmo s F F. Sličnost
Διαβάστε περισσότεραΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)
ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ Φύση του σύμπαντος Η γη είναι μία μονάδα μέσα στο ηλιακό μας σύστημα, το οποίο αποτελείται από τον ήλιο, τους πλανήτες μαζί με τους δορυφόρους τους, τους κομήτες, τα αστεροειδή και τους μετεωρίτες.
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότεραBasic Formulas. 8. sin(x) = cos(x π 2 ) 9. sin 2 (x) =1 cos 2 (x) 10. sin(2x) = 2 sin(x)cos(x) 11. cos(2x) =2cos 2 (x) tan(x) = 1 cos(2x)
Bsic Formuls. n d =. d b = 3. b d =. sin d = 5. cos d = 6. tn d = n n ln b ln b b cos sin ln cos 7. udv= uv vdu. sin( = cos( π 9. sin ( = cos ( 0. sin( = sin(cos(. cos( =cos (. tn( = cos( sin( 3. sin(b
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrijske nejednačine
Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja
Διαβάστε περισσότεραNEKE POVRŠI U. Površi koje se najčešće sreću u zadacima su: 1. Elipsoidi. 2. Hiperboloidi. 3. Paraboloidi. 4. Konusne površi. 5. Cilindrične površi
NEKE POVŠI U Pvrši kje se njčešće sreću u dcim su:. Elipsidi. Hiperlidi. Prlidi 4. Knusne pvrši 5. Cilindrične pvrši. Elipsidi Osnvn jednčin elipsid ( knnsk) je : + + = c, i c su dsečci n, i si. Presek
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότεραSOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραTermovizijski sistemi MS1TS
Termovizijski sistemi MS1TS Vežbe 02 primer 1 MATLAB funkcija conv. f x = rect x rect x 2 ( ) ( ) ( ) y=conv(rectangle_function(x),rectangle_function(x-2)); figure,subplot(3,1,1),plot(x,rectangle_function(x)),xlabel('\itx'),ylabel('rect({\itx})');
Διαβάστε περισσότερα5 Ι ^ο 3 X X X. go > 'α. ο. o f Ο > = S 3. > 3 w»a. *= < ^> ^ o,2 l g f ^ 2-3 ο. χ χ. > ω. m > ο ο ο - * * ^r 2 =>^ 3^ =5 b Ο? UJ. > ο ο.
728!. -θ-cr " -;. '. UW -,2 =*- Os Os rsi Tf co co Os r4 Ι. C Ι m. Ι? U Ι. Ι os ν ) ϋ. Q- o,2 l g f 2-2 CT= ν**? 1? «δ - * * 5 Ι -ΐ j s a* " 'g cn" w *" " 1 cog 'S=o " 1= 2 5 ν s/ O / 0Q Ε!θ Ρ h o."o.
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK
SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK. Rši sism jdnačina: d 7 d d d Ršnj: Ša j idja kod ovih zadaaka? Jdnu od jdnačina difrniramo, o js nađmo izvod l jdnačin i u zamnimo drugu jdnačinu.
Διαβάστε περισσότεραZadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.
Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Ανάλυση και Προσοµοίωση Δυναµικών Συστηµάτων
Εισαγωγή στην Ανάλυση και Προσοµοίωση Δυναµικών Συστηµάτων Control Systems Laboratory Περιγραφή Δυναµικών Συστηµάτων Εξίσωση µεταβολής όγκου Η µεταβολή όγκου ισούται µε τη παροχή υγρού Q που σχετίζεται
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Ανάλυση και Προσοµοίωση Δυναµικών Συστηµάτων
Εισαγωγή στην Ανάλυση και Προσοµοίωση Δυναµικών Συστηµάτων Control Systems Laboratory Περιγραφή Δυναµικών Συστηµάτων Εξίσωση µεταβολής όγκου Η µεταβολή όγκου ισούται µε τη παροχή υγρού Q που σχετίζεται
Διαβάστε περισσότεραME 365: SYSTEMS, MEASUREMENTS, AND CONTROL (SMAC) I
ME 365: SYSTEMS, MEASUREMENTS, AND CONTROL SMAC) I Dynamicresponseof 2 nd ordersystem Prof.SongZhangMEG088) Solutions to ODEs Forann@thorderLTIsystem a n yn) + a n 1 y n 1) ++ a 1 "y + a 0 y = b m u m)
Διαβάστε περισσότεραΤεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραPIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA. - omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi), naravno trostrana piramida u omotaču
PIRAMIDA I ZARULJENA PIRAMIDA Slično ko i kod pizme i ovde ćemo njpe ojniti oznke... - oeležvmo dužinu onovne ivice - oeležvmo dužinu viine pimide - oeležvmo dužinu viine očne tne ( potem) - oeležvmo dužinu
Διαβάστε περισσότεραΑναλογικά φίλτρα. Για να επιτύχουµε µια επιθυµητή απόκριση χρειαζόµαστε σηµαντικά λιγότερους συντελεστές γιαένα IIR φίλτροσεσχέσηµετοαντίστοιχο FIR.
Τα IIR φίλτρα είναι επαναληπτικά ή αναδροµικά, µε την έννοια ότι δείγµατα της εξόδου χρησιµοποιούνται από το σύστηµα για τον υπολογισµό τν νέν τιµών της εξόδου σε επόµενες χρονικές στιγµές. Για να επιτύχουµε
Διαβάστε περισσότεραMEHANIKA FLUIDA. Pritisak tečnosti na ravne površi
MEHANKA FLUDA Pritisk tečnosti n rvne površi. zdtk. Tešk brn dimenzij:, b i α nprvljen je od beton gustine ρ b. Kosi zid brne smo s jedne strne kvsi vod, gustine ρ, do visine h. Odrediti ukupni obrtni
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραKinematika materijalne toke. 3. dio a) Zadavanje krivocrtnog gibanja b) Brzina v i ubrzanje a
Kinemik meijlne oke 3. dio ) Zdnje kiocnog gibnj b) Bzin i ubznje 1 Kiocno gibnje meijlne oke Položj meijlne oke u skom enuku emen možemo definii n slijedee nine: 1. Vekoski nin defininj gibnj (). Piodni
Διαβάστε περισσότερα