Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση"

Transcript

1 Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θεωρία - Μέθοδοι Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Επιλεγμένα θέματα «Σας εύχομαι, καλό κουράγιο και μεγάλη δύναμη ψυχής, ώστε στο τέλος να έχετε την μεγαλύτερη δυνατή επιτυχία!» Θωμάς Ραϊκόφτσαλης

2 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Μάθημα ον ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ Η εξίσωση δεν έχει λύση στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, αφού το τετράγωνο κάθε πραγματικού αριθμού είναι μη αρνητικός αριθμός Για να ξεπεράσουμε την «αδυναμία» αυτή, διευρύνουμε το σύνολο σε ένα σύνολο, το οποίο θα έχει τις ίδιες πράξεις αλλά και τις ίδιες ιδιότητες των πράξεων αυτών με το, και στο οποίο θα υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης, δηλαδή ένα στοιχείο, τέτοιο, ώστε Στο σύνολο, δεχόμαστε ότι η εξίσωση επιλύεται ως εξής: ή Σύμφωνα με τις παραδοχές αυτές το διευρυμένο σύνολο θα έχει ως στοιχεία: Όλους τους πραγματικούς αριθμούς Όλα τα στοιχεία της μορφής β, δηλαδή όλους τους αριθμούς που είναι που είναι γινόμενα των στοιχείων β του με το και τα οποία καλούνται φανταστικοί αριθμοί Το σύνολο των φανταστικών αριθμών συμβολίζεται με», δηλαδή»{β, όπου β και } Όλα τα αθροίσματα της μορφής α β, με α και β πραγματικούς αριθμούς Τα στοιχεία του λέγονται μιγαδικοί αριθμοί και το σύνολο των μιγαδικών αριθμών Επομένως: Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών είναι ένα υπερσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών, στο οποίο: Επεκτείνονται οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού έτσι, ώστε να έχουν τις ίδιες ιδιότητες όπως και στο, με το μηδέν (0) να είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης και το ένα () το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού, Υπάρχει ένα στοιχείο τέτοιο, ώστε, Κάθε στοιχείο του γράφεται κατά μοναδικό τρόπο με τη μορφή α β, όπου α, β Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα

3 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘMΟΙ Μάθε καλά τα επόμενα Κάθε μιγάδας έχει την μορφή α β με α, β Είναι λοιπόν αλγεβρικό άθροισμα δυο αριθμών, του πραγματικού α και του φανταστικού αριθμού β Ο α λέγεται πραγματικό μέρος του και σημειώνεται Re( ) Ο β λέγεται φανταστικό μέρος του και σημειώνεται Im( ) Στο σύνολο στο, κάθε πραγματικός αριθμός α εκφράζεται ως α 0, ενώ κάθε φανταστικός αριθμός β εκφράζεται ως 0 β Στη συνέχεια, όταν λέμε ο μιγαδικός α β, εννοούμε ότι οι α και β είναι πραγματικοί αριθμοί και το γεγονός αυτό δε θα τονίζεται ιδιαίτερα Καθαρός μιγαδικός λέγεται ο α β, όταν α 0 και β 0 Το σύνολο των καθαρών μιγαδικών το συμβολίζουμε με - Ισότητα Μιγαδικών Αριθμών Επειδή κάθε μιγαδικός αριθμός γράφεται με μοναδικό τρόπο στη μορφή α β, δύο μιγαδικοί αριθμοί α β και γ δ είναι ίσοι, αν και μόνο αν α γ και β δ Δηλαδή ισχύει: α β γ δ α γ και β δ Επειδή 0 0 0, έχουμε α β 0 α 0 και β 0 Μετά τον ορισμό της ισότητας μιγαδικών αριθμών δημιουργείται το ερώτημα αν διατάσσονται οι μιγαδικοί αριθμοί Γνωρίζουμε ότι, κατά την επέκταση από το Õ στο Ÿ, οι πράξεις, η διάταξη και οι ιδιότητες αυτών οι οποίες ισχύουν στο Õ, μεταφέρονται και στο Ÿ Τα ίδια συμβαίνουν και για τις επεκτάσεις από το Ÿ στο και από το στο Στην επέκταση, όμως, από το στο, ενώ οι πράξεις και οι ιδιότητες αυτών που ισχύουν στο εξακολουθούν να ισχύουν και στο, εν τούτοις η διάταξη και οι ιδιότητές της δεν μεταφέρονται, δηλαδή οι έννοιες >,, <, μεταξύ δυο μιγαδικών ή δυο φανταστικών, ή μεταξύ ενός μιγαδικού και ενός φανταστικού δεν έχουν νόημα Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα

4 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Πρόσεξε λοιπόν ότι αν ισχύει η σχέση α β γ δ, αυτό θα σημαίνει ότι βρίσκεσαι στους πραγματικούς αριθμούς, οπότε: β δ 0 και α γ Αντίστοιχα συμπεράσματα έχουμε και στις σχέσεις α β > γ δ, α β γ δ, α β < γ δ Επίσης δεν υπάρχουν θετικοί ή αρνητικοί μιγαδικοί ή φανταστικοί αριθμοί Πρόσεξε λοιπόν ότι αν ισχύει η σχέση α β 0, αυτό θα σημαίνει ότι βρίσκεσαι στους πραγματικούς αριθμούς, οπότε: β 0 και α 0 Αντίστοιχα συμπεράσματα έχουμε και στις σχέσεις α β > 0, α β 0, α β < 0 Γεωμετρική Παράσταση Μιγαδικών Kάθε μιγαδικό αριθμό α β μπορούμε να y τον αντιστοιχίσουμε στο σημείο M( α, β) ενός καρτεσιανού επιπέδου και αντίστροφα, M(α,β) ή Μ() β κάθε σημείο M( α, β) του καρτεσιανού αυτού επιπέδου μπορούμε να το αντιστοιχίσουμε στο μιγαδικό α β Το σημείο M λέγεται εικόνα του μιγαδικού α β Aν θέσουμε Ο a α β, τότε το σημείο M( α, β) μπορούμε να το συμβολίζουμε και με M () Ένα καρτεσιανό επίπεδο του οποίου τα σημεία είναι εικόνες μιγαδικών αριθμών θα αναφέρεται ως μιγαδικό επίπεδο Ο άξονας λέγεται πραγματικός άξονας, αφού ανήκουν σε αυτόν τα σημεία M( α,0) που είναι εικόνες των πραγματικών αριθμών α α 0, ενώ ο άξονας y y λέγεται φανταστικός άξονας, αφού ανήκουν σε αυτόν τα σημεία M(0, β ) που είναι εικόνες των φανταστικών β 0 β Ένας μιγαδικός α β παριστάνεται επίσης και με τη διανυσματική ακτίνα, OM, του σημείου M( α, β) Οι πράξεις στο σύνολο σύνολο των μιγαδικών αριθμών Σύμφωνα με τον ορισμό του, η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός δύο μιγαδικών αριθμών γίνονται όπως ακριβώς και οι αντίστοιχες πράξεις με διώνυμα α β στο, όπου βέβαια αντί για έχουμε το Έτσι: Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα

5 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘMΟΙ Για την πρόσθεση δύο μιγαδικών αριθμών α β και γ δ ( α β) ( γ δ) ( α γ) ( β δ) έχουμε: Για παράδειγμα, ( 4) (5 6) ( 5) (4 6) 8 Για την πρόσθεση ισχύουν οι γνωστές ιδιότητες: Αντιμεταθετική, δηλαδή, για κάθε, Προσεταιριστική, δηλαδή ( ) ( ), για κάθε,, Έχει ουδέτερο στοιχείο το 0, δηλαδή 0 0, για κάθε 4 Για κάθε μιγαδικό αριθμό υπάρχει μοναδικός μιγαδικός αριθμός τέτοιος ώστε να ισχύει: 0 Ο καλείται αντίθετος του και συμβολίζεται με Ισχύει λοιπόν ότι ( ) ( ) 0 Αν α β, τότε α β, δηλαδή Re( ) Re() και Im( ) Im() Για την αφαίρεση του μιγαδικού αριθμού γ δ από τον α β, επειδή ο αντίθετος του μιγαδικού γ δ είναι ο μιγαδικός γ δ, έχουμε: ( α β) ( γ δ) ( α β) ( γ δ) ( α γ) ( β δ) Δηλαδή ( α β) ( γ δ) ( α γ) ( β δ) Για παράδειγμα ( 4) (5 6) ( 5) (4 6) 0 Αν M ( α, β) και M ( γ, δ) είναι οι εικόνες των α β και γ δ αντιστοίχως στο y μιγαδικό επίπεδο, τότε το άθροισμα ( α β) ( γ δ) ( α γ) ( β δ) παριστάνεται με το σημείο M( α γ, β δ) M (γ,δ) M(αγ,βδ) Επομένως, OM OM OM, δηλαδή: Ο M (α,β) Η διανυσματική ακτίνα του αθροίσματος των μιγαδικών α β και γ δ είναι το άθροισμα των διανυσματικών ακτίνων τους Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα 4

6 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Επίσης, η διαφορά ( α β) ( γ δ) ( α γ) ( β δ) παριστάνεται με το σημείο N( α γ, β δ) y Ο Μ (γ,δ) Μ (α,β) Επομένως, ON OM OM, δηλαδή: Η διανυσματική ακτίνα της διαφοράς των μιγαδικών α β και γ δ είναι η διαφορά των διανυσματικών ακτίνων τους Για τον πολλαπλασιασμό δύο μιγαδικών α β και γ δ έχουμε: ( α β)( γ δ) α( γ δ) β( γ δ) αγ αδ βγ ( β)( δ) αγ αδ βγ βδ αγ αδ βγ βδ ( αγ βδ) ( αδ βγ) Δηλαδή, ( α β)( γ δ) ( αγ βδ) ( αδ βγ) Για παράδειγμα, Μ ( γ, δ) Ν(α γ,β δ) ( 4) ( 5 6) ( 5 4) ( 0 8) 9 α β Τέλος, για να εκφράσουμε το πηλίκο, όπου γ δ 0, στη μορφή γ δ κ λ, πολλαπλασιάζουμε τους όρους του κλάσματος με το συζυγή του παρονομαστή και έχουμε: α β ( α β)( γ δ) ( αγ βδ) ( βγ αδ) αγ βδ βγ αδ γ δ ( γ δ)( γ δ) γ δ γ δ γ δ Δηλαδή, α β γ δ γ αγ βδ δ βγ αδ γ δ Για παράδειγμα: ( )( ) 6 ( )( ) Δύναμη Μιγαδικού Οι δυνάμεις ενός μιγαδικού αριθμού με εκθέτη ακέραιο ορίζονται ακριβώς όπως και στους πραγματικούς, δηλαδή ορίζουμε:,,, και γενικά ν ν, για κάθε θετικό ακέραιο ν, με ν > Επίσης, αν 0, ορίζουμε 0 ν, για κάθε θετικό ακέραιο ν ν Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα 5

7 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘMΟΙ Για τις δυνάμεις των μιγαδικών αριθμών ισχύουν οι ίδιες ιδιότητες που ισχύουν και για τις δυνάμεις των πραγματικών αριθμών Ιδιαίτερα για τις δυνάμεις του έχουμε: 0,,, Στη συνέχεια, παρατηρούμε ότι είναι: 4, 5 4, 6 4, 7 4, 4 ν δηλαδή, μετά το οι τιμές του επαναλαμβάνονται Άρα, για να υπολογίσουμε συγκεκριμένη δύναμη του, γράφουμε τον εκθέτη ν στη μορφή ν 4 ρ υ, όπου ρ το πηλίκο και υ το υπόλοιπο της ευκλείδειας διαίρεσης του ν με το 4, οπότε έχουμε:, αν υ 0 ν 4ρυ 4ρ υ 4 ρ υ ρ υ υ, αν υ ( ) -, αν υ, αν υ 4 4 Για παράδειγμα: Ο συζυγής ενός μιγάδα , 4 5, Έστω ο μιγαδικός αριθμός α β Τον μιγαδικό με το ίδιο πραγματικό μέρος και αντίθετο φανταστικό, δηλαδή τον α β τον λέμε συζυγή του α β και τον συμβολίζουμε α β α β Ιδιότητες Συζυγών Επειδή οι συζυγείς μιγαδικοί, όπως θα δούμε στις επόμενες παραγράφους, μας διευκολύνουν στη μελέτη των μιγαδικών αριθμών, θα αναφερθούμε ιδιαιτέρως σε αυτούς Ειδικότερα, έχουμε: ( α β)( α β) α β, δηλαδή α β Επειδή είναι και α β α β, οι α β, α β λέγονται συζυγείς μιγαδικοί Πρόσεξε ότι ισχύει η σχέση Επίσης ισχύει α β, α β και α β Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα 6

8 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνες M( α, β) και M ( α, β) δύο συζυγών μιγαδικών α β και α β είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον πραγματικό άξονα y Ο M() Για δύο συζυγείς μιγαδικούς αριθμούς α β και α β μπορούμε εύκολα, με εκτέλεση των πράξεων, να διαπιστώσουμε ότι: α Re() και β Im() Αν α β και γ δ είναι δυο μιγαδικοί αριθμοί, τότε: M () 4 Οι ιδιότητες αυτές μπορούν να αποδειχτούν με εκτέλεση των πράξεων Για παράδειγμα έχουμε: ( α β) ( γ δ) ( α γ) ( β ) δ ( α γ) ( β δ) ( α β) ( γ δ) Οι παραπάνω ιδιότητες και ισχύουν και για περισσότερους από δυο μιγαδικούς αριθμούς Είναι δηλαδή: Αν είναι Για παράδειγμα, ν ν και ν ν ν ν, τότε η τελευταία ισότητα γίνεται: ( ) ( ) ν Μέθοδος Να ξέρεις ότι αν τότε και αντίστροφα Να ξέρεις ότι αν τότε» και αντίστροφα Απόδειξη Έστω α β, οπότε α β Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα 7

9 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘMΟΙ Αν Αν α β α β β 0 β 0 α β ( α β) α β α β α 0 α 0» Επίλυση της Εξίσωσης α βγ0 με α,β και α 0 Επειδή και ( ), η εξίσωση έχει στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών δύο λύσεις, τις και Ομοίως, η εξίσωση 4 έχει στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών δύο λύσεις, τις και, αφού 4 4 () ή Εύκολα, όμως, μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι και κάθε εξίσωση δεύτερου βαθμού με πραγματικούς συντελεστές έχει πάντα λύση στο σύνολο C Πράγματι, έστω η εξίσωση α β γ 0, με α, β, γ και α 0 Εργαζόμαστε όπως στην αντίστοιχη περίπτωση στο και τη μετασχηματίζουμε, με τη μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνων, στη μορφή: β Δ, όπου Δ β 4αγ η διακρίνουσα της εξίσωσης α 4α Έτσι, έχουμε τις εξής περιπτώσεις: Δ > 0 Tότε η εξίσωση έχει δύο πραγματικές λύσεις: Δ 0 Tότε έχει μια διπλή πραγματική λύση: Δ < 0 Tότε, επειδή γράφεται: Δ ( )( Δ) β α Δ), 4α 4α (α) ( β ± Δ α Δ, η εξίσωση α β Δ Άρα οι λύσεις της είναι: α α β ± Δ,, οι οποίες είναι συζυγείς μιγαδικοί αριθμοί α Για παράδειγμα, η εξίσωση έχει Δ 5 4 > 0 και οι λύσεις 5 5 της είναι:, Όμως, η εξίσωση 0 έχει Δ < 0 και οι λύσεις της είναι οι συζυγείς μιγαδικοί αριθμοί: 4 4, ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Παρατηρούμε ότι και εδώ ισχύουν οι σχέσεις: (Τύποι του Vetta) β και α γ α Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα 8

10 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΦΑΡΜΟΓH Για τις διάφορες τιμές του θετικού ακέραιου ν να υπολογιστεί το ν άθροισμα S ΛΥΣΗ Οι προσθετέοι του αθροίσματος έχουν πλήθος ν και είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο και λόγο επίσης Επομένως, ν S, οπότε, λόγω της ισότητας ν 4 ρ υ της ευκλείδειας διαίρεσης του ν με το 4, έχουμε τις εξής περιπτώσεις: υ 0 Τότε ν 4 ρ, οπότε S 0 υ Τότε ν 4 ρ, οπότε S ( ) υ Τότε ν 4 ρ, οπότε S υ Τότε ν 4 ρ, οπότε S ΕΦΑΡΜΟΓH Να βρεθεί το σύνολο των εικόνων των μιγαδικών στις περιπτώσεις κατά τις οποίες ο αριθμός είναι α) φανταστικός β) πραγματικός ΛΥΣΗ ( ) y ( y y) ( y ) Αν y, τότε: (y ) (y ) y y y (y ) (y ) Επομένως: y y α) Ο αριθμός είναι φανταστικός, αν και μόνο αν 0, (y ) δηλαδή, αν και μόνο αν y y 0 και (y ) 0 ή, ισοδύναμα, 5 (y ) και (, y) (0,) 4 Άρα, το σύνολο των εικόνων του είναι τα σημεία του κύκλου με κέντρο 5 K, και ακτίνα, με εξαίρεση το σημείο ( 0,) Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα 9

11 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘMΟΙ y β) Ο αριθμός είναι πραγματικός, αν και μόνο αν 0, (y ) δηλαδή, αν και μόνο αν y 0 και (y ) 0 Άρα, το σύνολο των εικόνων του είναι τα σημεία της ευθείας με εξίσωση y 0, με εξαίρεση το σημείο ( 0,) ος Τρόπος Για να ορίζεται το κλάσμα αρκεί 0 y 0 Για να ισχύει αυτό αρκεί να μην ισχύει ταυτόχρονα ότι 0 και y α) Για να είναι ο αριθμός φανταστικός αρκεί και πρέπει ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 0() 0 Ξέρουμε ότι αν y τότε y, και y, οπότε αντικαθιστώντας στην () έχουμε: ( y ) y 0 y 4y 0 και διαιρώντας και τα δυο μέλη δια του, έχουμε y y 0 που είναι εξίσωση του κύκλου 5 (y ) Όμως το σημείο (0,) επαληθεύει την εξίσωσή του 5 5 διότι 0 ( ) 4 4, οπότε πρέπει να το εξαιρέσουμε β) Για να είναι ο αριθμός πραγματικός αρκεί και πρέπει ( )( ) ( )( ) 4 0 ( ) ( ) 4 0 () Ξέρουμε ότι αν y τότε y, και y, οπότε αντικαθιστώντας στην () έχουμε: y 4 0 (y ) 0 y 0 Όμως το σημείο (0,) επαληθεύει την εξίσωση γιατί 0 0, οπότε πρέπει να το εξαιρέσουμε Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα 0

12 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Υποδειγματικά Λυμένες Ασκήσεις Άλυτες Ασκήσεις ΛΑ Να βρείτε τις τιμές του λ R, ώστε ο ( λ )( ) να είναι: α) πραγματικός αριθμός β) φανταστικός αριθμός Υπόδειξη Θα φέρουμε τον μιγαδικό αριθμό στην μορφή α β, οπότε: για να είναι πραγματικός αρκεί β 0 και για να είναι φανταστικός αρκεί α 0 Έχουμε λ λ 6 λ 6 λ (λ ) (6 λ), οπότε: α) πραγματικός αν και μόνο αν 6 λ 0, δηλαδή λ 6 β) φανταστικός αν και μόνο αν λ 0, δηλαδή λ ΛΑ Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α) ( y) ( y) β) 6 ( ) γ) 9 7 ( y) y, y για τους οποίους ισχύει: Υπόδειξη Οι μιγαδικοί α β και γ δ είναι ίσοι τότε και μόνον τότε όταν αγ και βδ, οπότε θα εξισώσουμε τα πραγματικά και τα φανταστικά τους μέρη και θα επιλύσουμε το σύστημα που θα προκύψει Πρόσεξε ότι η ισότητα δυο μιγαδικών αριθμών καταλήγει πάντα σε δυο ισότητες πραγματικών! y α) Είναι: ( y) ( y) (, y) (, ) y β) Είναι: 6 ( 6 0 ) 6 Όμως η () 4 ή Άρα, αφού μόνο αυτή επαληθεύει τις () και () () () () Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα

13 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘMΟΙ 9 y 9 54 y 9 γ) Είναι: 9 7 ( y) y 7 y y 7 y (, y) ( 5,7) y 7 Aσκήσεις προς λύση Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς και y ώστε να ισχύουν οι ισότητες: α) - y - - y β) y - ( ) γ) 4y - y δ) ( ) - - Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί και w - y,, y R α) Να βρείτε τους, y ώστε w, β) Να βρείτε τον Δίνεται ο μιγαδικός 6 - ( - 4) - y - ( - ) (4 - y),, y R α) Να γράψετε τον στη μορφή α β β) Να λύσετε τις εξισώσεις: ) Re () 0 ) Im () 0 ) Re () Im () v) 0 4 Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός ( ) (y - ) - 5,, y R α) Να τον γράψετε στη μορφή α β β) Να γράψετε τον συναρτήσει του, αν Im () 0 γ) Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τα και y, αν Re () Im () 5 Η ισότητα (y - ) 4 ισχύει αν και μόνο αν Α ή y 5 Β και y 4 Γ ή y 4 Δ και y 5 Ε y 7 6 Αν η εικόνα του μιγαδικού w ( ) (y - ),, y R, στο μιγαδικό επίπεδο είναι η αρχή των αξόνων, τότε ο y ισούται με Α - Β Γ - - Δ - E ΛΑ Να περιγράψετε γεωμετρικά το σύνολο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών που ικανοποιούν τις σχέσεις: α) Το πραγματικό μέρος του είναι ίσο με μηδέν β) Το φανταστικό μέρος του είναι ίσο με μηδέν γ) Το πραγματικό μέρος του είναι ίσο με το φανταστικό του μέρος Υπόδειξη Μάθε τους πρώτους απλούς γεωμετρικούς τόπους! Κάνε επανάληψη και μάθε τις εξισώσεις: ευθείας, κύκλου, έλλειψης, παραβολής, υπερβολής γιατί θα σου χρειασθούν στη συνέχεια! Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα

14 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ α) Αν y, τότε 0 Άρα, οι εικόνες του είναι τα σημεία της ευθείας με εξίσωση 0, δηλαδή τα σημεία M (0, y), οπότε το σύνολο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών με πραγματικό μέρος ίσο με το μηδέν είναι τα σημεία του άξονα y y β) Αν y, τότε y 0 Άρα, οι εικόνες του είναι τα σημεία της ευθείας με εξίσωση y 0, δηλαδή τα σημεία M (,0), οπότε το σύνολο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών με φανταστικό μέρος ίσο με το μηδέν είναι τα σημεία του άξονα Είναι 0 Άρα, οι εικόνες του είναι τα σημεία M (,0), δηλαδή τα σημεία του άξονα γ) Αν y, τότε y Άρα, οι εικόνες του είναι τα σημεία της ευθείας με εξίσωση y, δηλαδή τα σημεία M (, ), οπότε το σύνολο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών με πραγματικό μέρος ίσο με το φανταστικό είναι τα σημεία της ευθείας που είναι διχοτόμος της ης και ης γωνίας των αξόνων Aσκήσεις προς λύση Η εικόνα κάθε φανταστικού αριθμού στο μιγαδικό επίπεδο βρίσκεται πάνω στην ευθεία με εξίσωση Α y Β y - Γ y 0 Δ 0 Ε σε καμία από τις προηγούμενες Οι εικόνες των μιγαδικών και στο μιγαδικό επίπεδο έχουν άξονα συμμετρίας την ευθεία Α Β y Γ y Δ y - Ε 0 Αν η διανυσματική ακτίνα του μιγαδικού αριθμού στο μιγαδικό επίπεδο έχει φορέα τη διχοτόμο της ης και 4ης γωνίας των αξόνων του μιγαδικού επιπέδου, τότε ο μπορεί να είναι ο Α Β - Γ Δ - - Ε Αν η εικόνα του μιγαδικού στο μιγαδικό επίπεδο είναι σημείο της ευθείας y - 0, τότε ο δεν μπορεί να είναι ο Α Β - Γ 5 - Δ Ε ΛΑ4 Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να εκτελέσετε τις πράξεις που σημειώνονται και να γράψετε το αποτέλεσμα στη μορφή α β α) ( 4 6) (7 ) β) ( ) (6 4) γ) ( 4) ( 8 7) (5 ) δ) ( )(4 5) ε) (6 ) στ) ( 4 )(4 ) ζ) ( )( ) Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα

15 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘMΟΙ Υπόδειξη Ας μάθουμε να κάνουμε απλές πράξεις με μιγαδικούς! α) ( 4 6) (7 ) ( 4 7) (6 ) 4 β) ( ) (6 4) ( 6) ( 4) 6 γ) ( 4) ( 8 7) (5 ) ( 8 5) (4 7 ) δ) ( )(4 5) ε) (6 ) 6 8 στ) (4 )(4 ) 4 () ( ) ζ) ( )( ) (6 ) (6 ) 7 7 ΛΑ5 Να γράψετε τους παρακάτω μιγαδικούς στη μορφή α) β) 6 γ) ( ) δ) ( ) ε) Υπόδειξη Ας κάνουμε και άλλες πράξεις! α β : στ) 6 ( ) α) ( )( ) 6 4 β) ( ) 0 γ) ( ) 0 δ) ( ) ( ) ( ) ( ) ε) ( )( ) 4 5 στ) 6 (6 ( ) ( ) ( ) 6 7 ) ΛΑ6Αν, να βρείτε την τιμή της παράστασης Υπόδειξη Και άλλες πράξεις! Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα 4

16 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Έχουμε, οπότε: 4 Άρα: 0 ΛΑ7Να αποδείξετε ότι ( α β) 0 ( β α) 0, όπου α, β R Υπόδειξη Ας κάνουμε κάτι πιο δύσκολο! Πρέπει να ξέρεις ότι: β α ( ) β α β α ( α β) Είναι β α ( α β) Επομένως: ( α β) 0 ( β α) 0 ( α β) 0 0 ( α β) 0 ( α β) 0 ( α β) 0 0 Aσκήσεις προς λύση Δίνονται οι μιγαδικοί,, 4 9, 4, 5, Να βρείτε το άθροισμα των απείρων όρων w 4 5 Να γράψετε στη μορφή α β τους μιγαδικούς αριθμούς: α) β) - - (- ) Να γράψετε στη μορφή α β τους μιγαδικούς αριθμούς: α) (- 5) β) ( ) (- ) γ) 4 δ) - ε) - - ζ) ( ) (- ) - 4 Να γράψετε στη μορφή α β τους μιγαδικούς αριθμούς: Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα 5

17 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘMΟΙ α) ( - ) (4-5) 7 - β) - γ) δ) - ε) ( - ) - ΛΑ8 Να βρείτε τους, y R, για τους οποίους ισχύει: α) ( ) ( y) y, β) y γ) ( )( y) ( y) Υπόδειξη Οι μιγαδικοί α β και γ δ είναι ίσοι τότε και μόνον τότε όταν αγ και βδ, οπότε θα εξισώσουμε τα πραγματικά και τα φανταστικά τους μέρη και θα επιλύσουμε το σύστημα που θα προκύψει Πρόσεξε ότι η ισότητα δυο μιγαδικών αριθμών καταλήγει πάντα σε δυο ισότητες πραγματικών! α) Είναι: ( ) ( y) y 9 4 y y 9 4 (5 ) 0 Αυτή όμως είναι αδύνατη, αφού το 0 β) Είναι: Άρα η σχέση γράφεται: y y και y y 5 5 y 5 γ) Είναι: ( )( y) ( y) ( )( y) ( y) ( )( y) ( ) y και y 0 Ασκήσεις προς λύση Να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς α, β ώστε οι μιγαδικοί α β και 8-5 να είναι ίσοι Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα 6

18 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α, β ώστε να ισχύει: (α β) 5 Να υπολογιστεί το R ώστε να ισχύει: - ΛΑ9 Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: α) β) Υπόδειξη Ας θυμηθούμε τις δυνάμεις του 0 4, υ και γενικά n, όπου υ το υπόλοιπο της διαίρεσης του φυσικού αριθμού n δια του 4, οπότε υ 0,,, Επίσης n, και γενικά n υ α) 0 β) ΛΑ0Να βρείτε την τιμή της παράστασης ( 0 0 ) ( ) Υπόδειξη Πρέπει να ξέρεις ότι: ( ), διότι ( ) ( ), διότι ( ) 0 ( ) ( ) (), Είναι ( ) (( ) ) ( ) ( ) 0 ( ) Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα 7

19 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘMΟΙ Άρα ( ) ( ) ( ) 0 ΛΑΠόσες διαφορετικές τιμές μπορεί να πάρει η παράσταση ν ν ; Υπόδειξη Θα διακρίνουμε σε τέτοιες ασκήσεις 4 περιπτώσεις για το φυσικό ν η ν περίπτωση να είναι της μορφής ν 4 κ 0, οπότε η ν περίπτωση να είναι της μορφής ν 4 κ, οπότε η ν περίπτωση να είναι της μορφής ν 4 κ, οπότε 4 η ν περίπτωση να είναι της μορφής ν 4 κ, οπότε ν ν ν Έχουμε A Επομένως: ν Αν ν 4 κ, τότε ν, οπότε A Αν ν 4 κ, τότε ν, οπότε A 0 ν Αν ν 4 κ, τότε, οπότε A ν Αν ν 4 κ, τότε, οπότε A 0 Aσκήσεις προς λύση Αν - και [( ] ) κ, τότε η μικρότερη τιμή του θετικού ακεραίου κ είναι Α Β Γ 6 Δ Ε 5 Αν ν Ν, από τις παρακάτω ισότητες δεν είναι σωστή η Α 4ν Β 4ν - Γ 4ν - Δ ν4 ν Ε 4ν - Για τις διάφορες τιμές του ν Ν να βρεθεί η τιμή της παράστασης ν f (ν) 4 Να αποδείξετε ότι για κάθε ν Ν ισχύει ( ) 0ν ( - ) 0ν ΛΑ Ποιος είναι ο, όταν: α) 5 7, β) 4 9, γ) 4, δ), ε), στ) 0 Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα 8

20 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Υπόδειξη Ας θυμηθούμε ότι Ο συζυγής ενός μιγαδικού αριθμού α β είναι ο α β Αν τότε και αντίστροφα Αν» τότε και αντίστροφα Οι εικόνες δυο συζυγών μιγάδων στο μιγαδικό επίπεδο είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον άξονα των α) Για 5 7 είναι 5 7, β) Για 4 9 είναι 4 9 γ) Για 4 είναι 4, δ) Για είναι ε) Για είναι, στ) Για 0 είναι 0 ΛΑΜε ποιες συμμετρίες μπορούν να προκύψουν από την εικόνα του μιγαδικού y οι εικόνες των μιγαδικών, και ; Υπόδειξη Μάθε τις συμμετρίες που έχουν οι εικόνες των,,, Αν M (, y) είναι η εικόνα στο μιγαδικό επίπεδο του μιγαδικού y, τότε η εικόνα του y είναι το σημείο M (, y), του y είναι το σημείο M (, y) και, τέλος, του y y είναι το σημείο M (, y) Έτσι, μπορούμε M (-,y) M(,y) να πούμε ότι: Ο προκύπτει από τον με συμμετρία ως προς τον άξονα Ο προκύπτει από τον με συμμετρία ως προς κέντρο το O (0,0) και τέλος: M (-,-y) M (,-y) y Ο προκύπτει από τον με συμμετρία ως προς τον άξονα y y ΛΑ4Αν και, να δείξετε ότι ο είναι πραγματικός αριθμός, ενώ ο φανταστικός αριθμός Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα 9

21 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘMΟΙ Ας θυμηθούμε ότι Αν τότε Αν τότε» Υπόδειξη Είναι, άρα είναι πραγματικός αριθμός Ομοίως ( ), άρα ο είναι φανταστικός ΛΑ5Να περιγράψετε γεωμετρικά το σύνολο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών που ικανοποιούν τις παρακάτω σχέσεις: α) 6 β) γ) δ) Υπόδειξη Να ξέρουμε ότι στους απλούς γεωμετρικούς τόπους θέτουμε y και αναζητούμε τη σχέση (συνήθως σχέση ισότητας) που συνδέει το με το y Αν y τότε: α) 6 y y 6 y 6 y y Άρα, οι εικόνες των μιγαδικών είναι τα σημεία της οριζόντιας ευθείας με εξίσωση y β) ( y) ( y) ( y) ( y) 0 ( y y)( y y) 0 y 0 0 ή y 0 Άρα, οι εικόνες των μιγαδικών είναι τα σημεία των δύο αξόνων y y και γ) ( y) ( y) (y) y ( y y y y y ( y ) 0 y ± y) Άρα, οι εικόνες των μιγαδικών είναι τα σημεία των διχοτόμων των τεσσάρων τεταρτημορίων δ) y ( y) y ( ) y y y, y R y Άρα, οι εικόνες των μιγαδικών είναι τα σημεία της κατακόρυφης ευθείας Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα 0

22 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΑ6Αν α β, γ α β είναι πραγματικός αριθμός γ δ, και δ είναι πραγματικοί αριθμοί, να εξετάσετε πότε το πηλίκο Ας θυμηθούμε ότι Αν τότε Υπόδειξη α β Αφού θέλουμε το να είναι πραγματικός αριθμός θα είναι και γ δ β α β α β α β αγ αδ βγ βδ γ δ γ δ γ δ γ δ βγ αδ βγ αδ α ος Τρόπος α β ( α β)( γ δ) ( αγ βδ) ( βγ αδ) Έχουμε: γ δ ( γ δ)( γ δ) γ δ Άρα: R βγ αδ 0 αδ βγ αγ αδ βγ βδ ΛΑ7Έστω ο μιγαδικός με 0 Να δείξετε ότι ο ότι είναι πραγματικός και Ας θυμηθούμε ότι αν Υπόδειξη τότε και αντίστροφα, οπότε ο είναι πραγματικός αφού ισούται με τον συζυγή του Στη συνέχεια θέλουμε να δείξουμε ότι Αν y, τότε θέλουμε να δείξουμε ότι (y) y (y) y ( y ) y y Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα

23 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘMΟΙ Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα y y y y ) y ( y 0 0 y y y y που ισχύουν και οι δύο Άρα ισχύει και η αρχική διπλή ανισότητα ΛΑ8Αν και και, να αποδείξετε ότι ο αριθμός u είναι πραγματικός, ενώ ο αριθμός v είναι φανταστικός Αρκεί να δείξουμε ότι u u και v v Επειδή και θα είναι: u u v ) ( v Aσκήσεις προς λύση Αν α β με αβ 0 και ο συζυγής του ποια από τις παρακάτω προτάσεις δεν είναι σωστή; Α πραγματικός αριθμός Β - φανταστικός αριθμός Γ φανταστικός αριθμός Δ - πραγματικός αριθμός Ε πραγματικός αριθμός Στο μιγαδικό επίπεδο, οι εικόνες δύο συζυγών μιγαδικών αριθμών είναι σημεία συμμετρικά Α ως προς τον άξονα y y Β ως προς τον άξονα Γ ως προς την ευθεία y Δ ως προς την ευθεία y - Ε ως προς την αρχή των αξόνων Υπόδειξη Ας θυμηθούμε για μια ακόμη φορά ότι αν τότε και αντίστροφα

24 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Να βρεθούν τα, y R ώστε οι μιγαδικοί: y - και - (4 - y) να είναι συζυγείς 4 Αν φανταστικός αριθμός με - δείξτε ότι ο αριθμός ω πραγματικός αριθμός - είναι αρνητικός 5 Αν οι εικόνες δύο μη μηδενικών μιγαδικών αριθμών και στο μιγαδικό επίπεδο είναι στο ίδιο τεταρτημόριο, ποια από τις παρακάτω σχέσεις μπορεί να ισχύει; Α - B Γ - Δ Ιm ( ) Im ( ) 0 E κανένα από τα παραπάνω 6 Να δείξετε ότι αν ω και ω R τότε ο είναι φανταστικός αριθμός ΛΑ9 Να λύσετε στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών τις εξισώσεις: α) 0 β) 0 γ) Υπόδειξη Να ξέρουμε ότι τις δευτεροβάθμιες εξισώσεις με πραγματικούς συντελεστές τις λύνουμε κατά τον γνωστό τρόπο Αν αυτή έχει ρίζες μιγαδικές τότε οι ρίζες είναι συζυγείς μιγαδικοί Υπενθυμίζουμε ότι η τετραγωνική ρίζα ενός αρνητικού αριθμού υπάρχει στο Για παράδειγμα 6 6 (4) ± 4 ± 9 8 ± α) 0 ή ± 4 ± 8 ± 4 ± β) 0 ( ± ) ± γ) Είναι 0 και έχουμε: ± 4 ± ± 0 ΛΑ0Αν μια ρίζα της εξίσωσης β γ 0, όπου β, γ R, είναι, να βρείτε τις τιμές των β και γ Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα

25 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘMΟΙ Υπόδειξη Να ξέρουμε ότι για τις ρίζες ρ, ρ μιας δευτεροβάθμιες εξίσωσης α β γ 0 με α 0, ισχύουν οι τύποι του Vetta: β γ ρ ρ και ρ ρ α α Αφού οι συντελεστές της εξίσωσης β γ 0 είναι πραγματικοί αριθμοί και μία ρίζα της είναι η, η άλλη θα είναι η, οπότε θα ισχύει: β β 6 β γ γ γ 6 Aσκήσεις προς λύση Η εξίσωση - 6 λ 0, λ R, μπορεί να έχει ρίζα τον αριθμό Α Β - Γ Δ - Ε Η εξίσωση α 5 0, α R μπορεί να έχει ρίζα τον Α - Β - Γ - Δ - Ε - - Αν η εξίσωση - κ λ 0, κ, λ Ζ έχει ρίζα τον τότε ισχύει Α κ 6 και λ 5 Β κ 4 και λ Γ κ και λ 4 Δ κ 4 και λ 5 Ε κ 5 και λ 4 4 Η εξίσωση α β 0, α, β R έχει ρίζα τον μιγαδικό αριθμό - α) Να βρείτε την άλλη ρίζα β) Να βρείτε τα α και β ΛΑΝα λύσετε τις εξισώσεις α), β) Υπόδειξη Πρέπει να ξέρεις ότι τις απλές εξισώσεις και ανισώσεις τις λύνουμε θέτοντας y, οπότε καταλήγουμε σε σύστημα εξισώσεων με δυο αγνώστους τους, y το οποίο αφού το επιλύσουμε βρίσκουμε τα, y, άρα τον α) Αν y τότε έχουμε: Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα 4

26 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ( )y 0 ( y ) ( )y 0 y 0 y ( y) y (y) y y y 0 ή y y 0 y 0 () () Αν 0, δηλαδή αν, τότε η () γράφεται: y 0 y y ± Άρα: ή 4 4 Αν y 0, τότε η () γράφεται: 0 ( ) 0 0 ή Άρα: 0 ή β) Αν y, έχουμε: y ( y) y y (y) (y) y y y y y ( y ) ( y )y y ( y )y y ( y y( y ) 0 ) 0 0 y( ή y ) 0 y 0 () () Αν 0, τότε η () γράφεται: y( y ) 0 y 0 ή y ± Άρα: 0 ή ή Αν y, τότε η () γράφεται: y[(y ) y ] y(8y 4) 0 y 0 Άρα, οπότε ή και επομένως ή Aσκήσεις προς λύση α) Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς που επαληθεύουν την ισότητα ( - ) β) Να βρεθεί ο μιγαδικός αριθμός που ικανοποιεί την ισότητα - Να βρείτε τους μιγαδικούς y,, y R, για τους οποίους ισχύει: 0 Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα 5

27 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘMΟΙ ΛΑΝα βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών για τους οποίους ισχύει: α) Re 5Re() β) Im Im() Υπόδειξη Να ξέρουμε ότι στους απλούς γεωμετρικούς τόπους θέτουμε y και αναζητούμε τη σχέση (συνήθως σχέση ισότητας) που συνδέει το με το y Κάνε ακόμα μια φορά επανάληψη και μάθε τις εξισώσεις: ευθείας, κύκλου, έλλειψης, παραβολής, υπερβολής γιατί θα σου χρειασθούν στη συνέχεια! y α) Έστω y Τότε Επομένως: y y Re 5 Re() y y ή y 4 0 ή y Άρα, ο γεωμετρικός τόπος είναι ο άξονας y y με εξαίρεση το σημείο O (0,0) ή ο κύκλος με κέντρο O(0,0) και ακτίνα ρ y y β) Έχουμε: Im Im() y y 4y 0 y y y 4 0 y y 0 ή 4 y 0 ή y y Άρα, ο γεωμετρικός τόπος είναι ο άξονας με εξαίρεση το σημείο O (0,0) ή κύκλος με κέντρο O (0,0) και ακτίνα ρ Ασκήσεις προς λύση Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός y,, y R α) Να γράψετε στη μορφή α β τον μιγαδικό w 8 6 β) Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τα και y, αν Im (w) 0 γ) Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τα και y, αν Re (w) 0 δ) Να δείξετε ότι η προηγούμενη σχέση (γ) είναι εξίσωση κύκλου και να βρείτε το κέντρο του και την ακτίνα του ε) Να δείξετε ότι ο προηγούμενος κύκλος διέρχεται από την αρχή των αξόνων Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα 6

28 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η εξίσωση α β 0, α, β R έχει ρίζα τον μιγαδικό αριθμό - α) Να βρείτε την άλλη ρίζα β) Να βρείτε τα α και β Αν η εικόνα του μιγαδικού λ (λ - ) στο μιγαδικό επίπεδο βρίσκεται στην ευθεία y 4, να βρεθεί ο λ R 4 Να συμπληρώσετε το διπλανό σχήμα με το σημείο Μ () Μετά να βρείτε τα σημεία Μ ( ), Μ (-) και Μ 4 (- ) Να βρείτε το εμβαδόν του τετραπλεύρου Μ Μ Μ Μ 4 5 Ο μιγαδικός να αναλυθεί σε άθροισμα δύο μιγαδικών, που οι εικόνες τους βρίσκονται αντίστοιχα στις ευθείες y - και y - Ερωτήσεις αντιστοίχισης Αν α β, να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα ώστε κάθε παράσταση της στήλης Α να αντιστοιχεί στην ίση της που βρίσκεται στη στήλη Β Στήλη Α Α α Στήλη Β Β α β Γ - α β 4 α - β Δ 5 β 6 α Α Β Γ Δ Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα 7

29 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘMΟΙ Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα ώστε σε κάθε σχέση της στήλης Α να αντιστοιχεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του που βρίσκεται στη στήλη Β Στήλη Α σχέση που ικανοποιεί ο μιγαδικός αριθμός Α το πραγματικό μέρος του είναι Στήλη Β γεωμετρική περιγραφή των εικόνων του στο μιγαδικό επίπεδο ο άξονας Β το πραγματικό μέρος του είναι ίσο με το φανταστικό μέρος του η ευθεία y η ευθεία y - Γ το πραγματικό μέρος του είναι αντίθετο του φανταστικού μέρους του 4 η ευθεία 5 η ευθεία y - Α Β Γ Αν η εικόνα του μιγαδικού αριθμού στο μιγαδικό επίπεδο είναι το σημείο Μ (, ), να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα ώστε κάθε μιγαδικός αριθμός της στήλης Α να αντιστοιχεί στην εικόνα του που βρίσκεται στη στήλη Β Στήλη Α μιγαδικός αριθμός Στήλη Β σημείο στο μιγαδικό επίπεδο Α (-, ) Β - ( 5, ) Γ (, 5 4 ) Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα 8

30 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 4 (-, ) 5 ( 5, 5 4 ) Α Β Γ 4 Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα ώστε κάθε δύναμη του που υπάρχει στη στήλη Α να αντιστοιχεί στην τιμή της που βρίσκεται στη στήλη Β Στήλη Α δύναμη του Α - Στήλη Β Β 4 - Γ Δ Α Β Γ Δ 5 Αν y,, y 0 και c σταθερός πραγματικός αριθμός, διάφορος του μηδενός, να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα ώστε σε κάθε παράσταση της στήλης Α να αντιστοιχεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του που βρίσκεται στη στήλη Β Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα 9

31 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘMΟΙ Στήλη Α σχέση που ικανοποιεί ο μιγαδικός αριθμός Α Re () c Στήλη Β γεωμετρικός τόπος του στο μιγαδικό επίπεδο y c Β Im () c y c Γ Re () Im () c y c 4 c y 0 5 c Α Β Γ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» Αν α β, α, β R και 0, τότε α 0 και β 0 Σ Λ Αν α β και αβ 0, τότε α β Σ Λ Αν κ λ κ, λ R, τότε Re () κ Σ Λ 4 Αν (y - ) και Ιm () 0, τότε y Σ Λ 5 Αν, C με Re ( ) 0, τότε Re ( ) Re ( ) 0 Σ Λ 6 Οι εικόνες των φανταστικών αριθμών στο μιγαδικό επίπεδο βρίσκονται πάνω στον άξονα y y Σ Λ 7 Αν - τότε 00 Σ Λ 8 Οι εικόνες των αντίθετων μιγαδικών αριθμών στο μιγαδικό επίπεδο είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον άξονα Σ Λ 9 Για κάθε μιγαδικό αριθμό 0 ορίζεται Σ Λ 0 Αν Μ, Μ είναι οι εικόνες των μιγαδικών και αντιστοίχως στο μιγαδικό επίπεδο και ο άξονας είναι η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος Μ Μ, τότε είναι Σ Λ Αν α β, C, και α, τότε Σ Λ Αν Re() τότε οι εικόνες των μιγαδικών στο μιγαδικό επίπεδο βρίσκονται πάνω στην ευθεία Σ Λ Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα 0

32 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Αν Ιm ( ) 8 τότε οι εικόνες των μιγαδικών στο μιγαδικό επίπεδο βρίσκονται στην ευθεία y 8 Σ Λ 4 Η εξίσωση - λ 0, λ R, μπορεί να έχει ρίζες τους μιγαδικούς και - Σ Λ 5 Αν η εξίσωση α β γ 0, α 0, α, β, γ R έχει 5 ρίζα τον θα έχει και τον Σ Λ 6 Η εξίσωση α β γ 0, α, β, γ, R * έχει πάντοτε λύση στο C Σ Λ 7 Αν Re ( ) 0 τότε ισχύει πάντα Re ( ) Re ( ) 0 Σ Λ Επιλεγμένα Θέματα Να βρεθούν οι μιγαδικοί αριθμοί ώστε να ισχύουν: α) β)» Αν, είναι μιγαδικοί αριθμοί να βρεθούν οι ικανές και αναγκαίες συνθήκες ώστε ο αριθμός να είναι πραγματικός Αν y, όπου, y,θ, να βρεθούν τα, y συναρτήσει συνθ ημθ του θ και να δειχθεί ότι ( ) 9y 4 Αν,w και w 0, να δειχθεί ότι ο αριθμός w w 5 Να λυθεί η εξίσωση 0, αν γνωρίζουμε ότι έχει μια ρίζα πραγματική 6 Να λυθεί στο η εξίσωση: 0 7 Να δειχθεί ότι αν οι συζυγείς μιγαδικοί w y και w y είναι ρίζες της εξίσωσης α β 0, τότε α, β 8 Να δειχθεί ότι ο αριθμός ν ν ( ) ( ), είναι πραγματικός για κάθε ν Õ 9 Αν α β γ ( αβ βγ γα) δ δ, όπου α, β, γ, δ, να δειχθεί ότι α β γ α 0 Αν y, με α, β,, y * και θ, να δειχθεί ότι β συνθ ημθ ( β )( y ) α αβ Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα

33 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘMΟΙ Μάθημα ον ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Ορισμός Έστω ο μιγαδικός αριθμός y Ορίζουμε ως μέτρο του και συμβολίζουμε, τον μη αρνητικό αριθμό y 0 Τι εκφράζει γεωμετρικά το μέτρο ενός μιγαδικού; Αν M (, y) η εικόνα του μιγαδικού y στο μιγαδικό επίπεδο, τότε το μέτρο εκφράζει το μήκος της διανυσματικής ακτίνας OM του σημείου Μ, δηλαδή εκφράζει την απόσταση του σημείου Μ από την αρχή των αξόνων, οπότε OM y 0 y β Ο a M(,y) Για παράδειγμα, 4 ( 4) 5 Όταν ο μιγαδικός είναι πραγματικός, δηλαδή είναι της μορφής 0, τότε 0, που είναι η γνωστή μας απόλυτη τιμή του πραγματικού αριθμού Όταν ο μιγαδικός είναι φανταστικός, δηλαδή είναι της μορφής 0 y y, τότε 0 y y Πρόσεξε! ότι αν, δηλαδή αν δυο μιγαδικοί είναι ίσοι τότε και τα μέτρα τους θα είναι ίσα Πρόσεξε! ότι το αντίστροφο δεν ισχύει, δηλαδή αν δυο μιγαδικοί έχουν ίσα μέτρα, τότε δεν είναι κατ ανάγκη ίσοι Αυτό σημαίνει ότι: από ισότητα μιγάδων περνάμε άφοβα σε ισότητα μέτρων, από ισότητα μέτρων δεν περνάμε σε ισότητα μιγάδων! Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα

34 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ξέρουμε ότι στο σύνολο των πραγματικών αριθμών η εξίσωση λύση ρ ή ρ Πρόσεξε! τώρα το εξής: ρ, με ρ > 0, έχει Στο σύνολο των μιγαδικών η αντίστοιχη εξίσωση ρ, με ρ > 0, έχει για λύση όλους τους μιγαδικούς αριθμούς των οποίων οι εικόνες βρίσκονται πάνω στο κύκλο με κέντρο την αρχή των αξόνων Ο και ακτίνα τον θετικό αριθμό ρ, δηλαδή η εξίσωση ρ με ρ > 0, είναι εξίσωση γεωμετρικού τόπου και μάλιστα κύκλου! Απόδειξη ος τρόπος (αλγεβρικός): ρ y ρ y ρ ος τρόπος (γεωμετρικός): ρ OM ρ, οπότε αφού η εικόνα Μ του μιγαδικού απέχει από την αρχή των αξόνων απόσταση ρ, συμπεραίνουμε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων Μ είναι ο κύκλος κέντρου Ο και ακτίνας ρ > 0 Ποιες ιδιότητες έχει το μέτρο ενός μιγαδικού αριθμού;,, 0, 4, 5, 6, ν ν 7 ν ν Επίσης, από τη γνωστή μας τριγωνική ανισότητα και από τη γεωμετρική ερμηνεία του αθροίσματος και της διαφοράς δύο μιγαδικών προκύπτει ότι: y M ( ) M ( ) M( ) Ο Είναι OM ( OM ) και N( ) M ( ) Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα

35 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘMΟΙ ON M M ( M M ) Σχόλιο: Μάθε τα ακόλουθα πάρα πολύ καλά!!! Το μέτρο του διανύσματος ON είναι ίσο με το μέτρο του διανύσματος M M Επομένως: Το μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών είναι ίσο με την απόσταση των εικόνων τους, δηλαδή: M M ) ( Έστω η εξίσωση ( ) () Αν καλέσουμε Μ την εικόνα του και Κ την εικόνα του, τότε η σχέση () παίρνει τη μορφή (ΜΚ), που σημαίνει ότι η εικόνα Μ του απέχει από το σημείο Κ σταθερή απόσταση ίση με, άρα η () είναι εξίσωση κύκλου με κέντρο το σημείο K (,) και ακτίνα ρ y K(,) Ο Γενικά, η εξίσωση: 0 ρ, ρ > 0, παριστάνει τον κύκλο με κέντρο το σημείο K( 0 ) και ακτίνα ρ Αν λοιπόν καλέσεις y και 0 α β, τότε η εξίσωση του κύκλου είναι ( α) (y β) ρ Τον κύκλο αυτό μπορεί να τον βρίσκεις και αλγεβρικά ως εξής: 0 ρ ( y) ( α β) ρ ( α) (y β) ρ ( α) (y β) ρ ( α) (y β) ρ εξίσωση του κύκλου με κέντρο Κ(α,β) και ακτίνας ρ > 0, που ως γνωστόν είναι Πρόσεξε! Αν σου δίνεται εξίσωση της μορφής λ 0 κ, κ > 0 και λ 0, τότε και αυτή είναι εξίσωση κύκλου, που θα την επεξεργάζεσαι ως εξής: κ λ 0 κ λ( 0 κ λ 0 κ 0, η οποία είναι λ λ λ λ εξίσωση κύκλου με κέντρο το σημείο Κ που είναι η εικόνα του μιγαδικού κ 0 και έχει ακτίνα ρ Η αλγεβρική της εξίσωση είναι: λ λ Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα 4

36 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ α β y κ λ, όπου y και 0 α β λ λ y Έστω η εξίσωση ( ) ( ) () Αν καλέσουμε Μ την εικόνα του, Α την B(,) εικόνα του, Β την εικόνα του,τότε η σχέση () παίρνει τη μορφή (ΜΑ)(ΜΒ), που σημαίνει ότι η εικόνα Μ του ισαπέχει από τα σημεία Α(,) και Β(-,), άρα η εξίσωση αυτή είναι εξίσωση της μεσοκαθέτου του ευθύγραμμου τμήματος K Λ A(,) Ο Την εξίσωση της μεσοκαθέτου θα την βρίσκουμε αλγεβρικά ως εξής: Έστω y, α β και γ δ, έχουμε: Γενικά, η εξίσωση παριστάνει τη μεσοκάθετο του τμήματος με άκρα τα σημεία A( ) και B( ), εφόσον ( y) ( α β) ( y) ( γ δ) ( α) (y β) ( γ) (y δ) ( α) (y β) ( γ) (y δ ) α α y βy β γ γ y δy δ ( γ α) ( δ β)y 0 ( γ α) ( δ β)y 0 (), η οποία εφόσον, θα είναι τουλάχιστον ένας από τους αριθμούς γ α και δ β θα είναι διάφορος του μηδενός οπότε η () θα είναι εξίσωση ευθείας, δηλαδή η εξίσωση της μεσοκαθέτου του τμήματος με άκρα τα Α ( α, β) και Β ( γ, δ) Πρόσεξε! Αν σου δίνεται εξίσωση της μορφής λ λ και λ 0, τότε και αυτή είναι εξίσωση μεσοκαθέτου, την οποία την βρίσκεις ως εξής: λ λ λ λ, που είναι η λ λ λ λ εξίσωση της μεσοκάθετης του τμήματος με άκρα τα σημεία A και λ B λ Πρόσεξε! Τέλος η εξίσωση λ κ με κ, λ 0 και κ λ, είναι εξίσωση κύκλου (Απολλώνιος Κύκλος), την οποία θα την βρίσκεις μόνον αλγεβρικά! Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα 5

37 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘMΟΙ 4 Στις ασκήσεις που έχουν μέτρα και θέλουμε να απαλλαγούμε από αυτά, αφού εξασφαλίσουμε ότι και τα δυο μέλη είναι ομόσημα, υψώνουμε στο τετράγωνο (μέθοδος του τετραγωνισμού) και χρησιμοποιούμε την ιδιότητα, για κάθε μέτρο μιγάδα που είναι υψωμένο στο τετράγωνο Τη σχέση αυτή την χρησιμοποιούμε όταν θέλουμε να περάσουμε από μια σχέση που περιέχει τον ή τον σε μια σχέση που περιέχει μόνο τον 5 Όταν ένας μιγάδας έχει μέτρο κ, με κ > 0, να ξέρεις ότι: κ κ κ κ ή Συνήθως μας δίνεται ότι, οπότε: ή () κ κ κ () Πρόσεξε! μην κάνεις το λάθος και θεωρήσεις ότι, επειδή στους πραγματικούς ισχύει η σχέση η αντίστοιχη σχέση, θα ισχύει και στους μιγαδικούς, γιατί δεν ισχύει! Θυμήσου ότι ισχύει Πρόσεξε! 6 Αν αν, τότε ο είναι πραγματικός και αντίστροφα, ενώ, τότε ο είναι φανταστικός και αντίστροφα! Απόδειξη 0 Αν 0 ( ) 0 ή 0 Αν 0 ( ) 0 ή» Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα 6

38 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Έλεγχος των γνώσεων Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» Για κάθε μιγαδικό αριθμό ισχύει - Σ Λ Για κάθε, C ισχύει Σ Λ Η εξίσωση - -, C, παριστάνει στο μιγαδικό επίπεδο τη μεσοκάθετο του ευθυγράμμου τμήματος που έχει άκρα τα σημεία Α ( ) και B ( ) Σ Λ 4 Η εξίσωση - - με άγνωστο το C και, C έχει μόνο μια λύση Σ Λ 5 Η εξίσωση - 0 ρ, ρ > 0 παριστάνει στο μιγαδικό επίπεδο κύκλο με κέντρο Κ ( 0 ) και ακτίνα ρ Σ Λ 6 Στο μιγαδικό επίπεδο η εικόνα του μιγαδικού αριθμού είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου 4 Σ Λ 7 Στο μιγαδικό επίπεδο του διπλανού σχήματος η εξίσωση του κύκλου είναι - 4 Σ Λ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Αν y ποια από τις παρακάτω ισότητες δεν είναι πάντα σωστή; Α Β - Γ Δ (-y ) Ε Αν και 4 τότε η μεγαλύτερη τιμή του είναι Α 5 Β 8 Γ 9 Δ Ε 4 Αν και - 5 τότε η ελάχιστη τιμή του είναι Α B Γ 5 Δ 7 E 0 4 Αν y και 5, τότε μια τιμή του y είναι η Α 5 B 5 Γ - 4 Δ E 5 Αν το σημείο Ρ (, y) είναι εικόνα του μιγαδικού y στο μιγαδικό επίπεδο για τον οποίο ισχύει - 5, το Ρ βρίσκεται πάνω σε Α ευθεία B έλλειψη Γ κύκλο Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα 7

39 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘMΟΙ Δ παραβολή E υπερβολή 6 Η εξίσωση - ( ) 4 παριστάνει στο μιγαδικό επίπεδο κύκλο με Α κέντρο (-, ) και ακτίνα 4 B κέντρο (, - ) και ακτίνα Γ κέντρο (, - ) και ακτίνα 4 Δ κέντρο (, ) και ακτίνα E κέντρο (, ) και ακτίνα 4 7 Θεωρούμε στο μιγαδικό επίπεδο τον κύκλο με κέντρο το Ο (αρχή των αξόνων) και ακτίνα 0 Από τους παρακάτω αριθμούς έχει εικόνα πάνω στον κύκλο ο μιγαδικός αριθμός Α B 7 Γ - 8 Δ 8 6 E 8 8 Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού αριθμού στο μιγαδικό επίπεδο για τον οποίο ισχύει - - είναι Α ο άξονας y y B η ευθεία y Γ ο άξονας Δ η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος με άκρα τα σημεία (, 0) και (0, ) E η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος με άκρα τα σημεία (0, ) και (, 0) 9 Στο μιγαδικό επίπεδο ο κύκλος με κέντρο το σημείο Κ (, ) και ακτίνα είναι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού για τον οποίο ισχύει Α - ( - ) B - ( ) Γ - ( ) 9 Δ - ( ) E ( ) 0 Οι μιγαδικοί αριθμοί που οι εικόνες τους στο μιγαδικό επίπεδο βρίσκονται στο γραμμοσκιασμένο τμήμα του σχήματος είναι αυτοί για τους οποίους ισχύει Α < και < B < και < Γ > και > Δ < και < Ε < και < Αν η εξίσωση κ επαληθεύεται από τους μιγαδικούς αριθμούς που η εικόνα τους στο μιγαδικό επίπεδο βρίσκεται στην ευθεία y, ο πραγματικός αριθμός κ ισούται με Α B - Γ Δ - E 4 Αν οι εικόνες των μιγαδικών,, στο μιγαδικό επίπεδο δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία, τότε το πλήθος των λύσεων του συστήματος με άγνωστο τον είναι Α B Γ Δ 4 Ε 0 Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα 8

40 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Οι μιγαδικοί αριθμοί που οι εικόνες τους στο μιγαδικό επίπεδο βρίσκονται στο γραμμοσκιασμένο τμήμα του σχήματος είναι αυτοί για τους οποίους ισχύει Α < και < B < και > Γ < και > Δ < και > Ε > και < Ερωτήσεις αντιστοίχισης Αν -, να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα ώστε κάθε στοιχείο της στήλης Α να αντιστοιχεί στο ίσο του που βρίσκεται στη στήλη Β Στήλη Α Στήλη Β Α Β - Γ () Α Β Γ Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα ώστε ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του στο μιγαδικό επίπεδο της στήλης Α να αντιστοιχεί στη σχέση που βρίσκεται στη στήλη Β Στήλη Α γεωμετρική περιγραφή των εικόνων του στο μιγαδικό επίπεδο Α κύκλος κέντρου Κ (, ) και ακτίνας Β μεσοκάθετος του τμήματος με άκρα τα σημεία (, 0), (0, - ) Γ κύκλος κέντρου Ο (0, 0) και ακτίνας Στήλη Β σχέση που ικανοποιεί ο μιγαδικός αριθμός 4 Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα 9

41 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘMΟΙ Α Β Γ 5 Στα σχήματα της στήλης Α φαίνονται τόξα κύκλων στα οποία βρίσκεται η εικόνα του μιγαδικού αριθμού στο μιγαδικό επίπεδο Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα ώστε σε κάθε σχήμα της στήλης Α να αντιστοιχεί η σωστή σχέση της στήλης Β Στήλη Α Στήλη Β Α, Im () 0 και Re () 0 - και Im () 0 και Re () 0 Β 4 και Re () < 0 Γ Α Β Γ Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα 40

42 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Υποδειγματικά Λυμένες Ασκήσεις Άλυτες Ασκήσεις Πρόσεξε να μάθεις να υπολογίζεις σωστά το μέτρο! Αν y, τότε y και όχι (y)!!! Μελέτησε τις ασκήσεις ΛΑ,ΛΑ ΛΑΝα βρείτε τα μέτρα των μιγαδικών αριθμών:,, 4, 4, 5, 4,, 4 ( ) ( ), ( ) ( ) και 4 Έχουμε:, αφού ( 5) ,, αφού 4 4 ( ) ( ) 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ΛΑΝα βρείτε τα μέτρα των μιγαδικών αριθμών: ( ), Έχουμε, ( ), λ μ λ μ, όπου λ, μ με λ μ 0 Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα 4

43 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘMΟΙ λ μ λ μ λ μ λ μ λ μ λ μ Ασκήσεις προς λύση Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών αριθμών: ( ) α) β) - Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών αριθμών: α) - β) 5 ν - 4, ν Õ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών αριθμών: α) εφ β) συν ημ 4 Να βρεθεί το μέτρο του μιγαδικού αριθμού, αν α, β, γ και α β γ, όπου α β α γ ΛΑΝα βρείτε τους μιγαδικούς y για τους οποίους ισχύει: α) β) α τρόπος: α) Ας ερμηνεύσουμε τι μας δίνεται! Το πρώτο μέλος της ισότητας είναι 0, άρα και το δεύτερο μέλος είναι πραγματικός αριθμός και μάλιστα μη αρνητικός, άρα, 0, οπότε θα έχουμε: ή Άρα, β) Ας ερμηνεύσουμε τι μας δίνεται! Αν Πρόσεξε να μάθεις να ερμηνεύεις αυτό που σου δίνεται!, τότε ο θα είναι μη αρνητικός πραγματικός Επομένως θα είναι, 0, y 0, οπότε θα έχουμε: 4, αφού 0 Άρα, β τρόπος: Μιας και είναι απλές εξισώσεις ας θέσουμε y, οπότε: Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα 4

44 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ α) ( ) y y ( ) y y ( ) y 0 y Άρα, y 0 y 0 β) Θέστε y και δουλέψτε κατά τα γνωστά Ασκήσεις προς λύση Να βρείτε τους μιγαδικούς y για τους οποίους ισχύει: α) β) Να βρείτε τους μιγαδικούς y για τους οποίους ισχύει: α) 5 β) () Μάθε να ξεχωρίζεις και να ερμηνεύεις τις σχέσεις που περιέχουν μέτρα της διαφοράς δυο μιγαδικών αριθμών, δηλαδή σχέσεις της μορφής (AB), όπου Α, Β οι εικόνες των μιγαδικών Μελέτησε πολύ καλά τις ασκήσεις ΛΑ4,ΛΑ5,ΛΑ6,ΛΑ7,ΛΑ8,ΛΑ9 ΛΑ4Να βρείτε πού ανήκουν οι μιγαδικοί για τους οποίους ισχύει: α) β) γ) δ) < < ε) α) Αν, τότε ο θα απέχει από το O (0,0) απόσταση ίση με Άρα, ο θα βρίσκεται σε κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας ρ, ο οποίος έχει εξίσωση y β) Αν, ο θα απέχει από τον μιγαδικό (δηλαδή από το σημείο Κ(0,)) απόσταση σταθερή ίση με Άρα, ο θα βρίσκεται σε κύκλο κέντρου Κ(0,) και ακτίνας ρ, ο οποίος έχει εξίσωση: (y ) γ) Ομοίως, αν, δηλαδή αν ( ), τότε ο θα απέχει από τον μιγαδικό απόσταση ίση με Άρα, ο θα βρίσκεται σε κύκλο κέντρου K(, ) και ακτίνας ρ, ο οποίος έχει εξίσωση ( ) (y ) 9 δ) Αν < <, τότε ο θα βρίσκεται μεταξύ των κύκλων με κέντρο το O (0,0) και ακτίνες ρ και ρ ε) Αν, τότε ο θα βρίσκεται στο εξωτερικό του κύκλου κέντρου O (0,0) και ακτίνας ρ ή πάνω στον κύκλο αυτό ΛΑ5Να βρείτε που ανήκουν οι εικόνες των μιγαδικών για τους οποίους ισχύει: Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα 4

45 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘMΟΙ α) β) > α) Έχουμε ( ) Άρα, οι αποστάσεις του μιγαδικού από τους μιγαδικούς 0 και 0, δηλαδή από τα σημεία A(,0) και B (0,) είναι ίσες Επομένως ο θα ανήκει στη μεσοκάθετο του τμήματος ΑΒ β) Έχουμε > > ( ) Επομένως, η απόσταση του μιγαδικού από τον, είναι μεγαλύτερη από την απόσταση του από τον μιγαδικό 0 Άρα ο θα βρίσκεται στο ημιεπίπεδο που ορίζεται από τη μεσοκάθετο του ΑΒ και από το σημείο Β, όπου Α και Β τα σημεία με συντεταγμένες (0, ) και (, 0) αντιστοίχως Πρόσεξε να μάθεις καλά την τεχνική της ΛΑ6!!! ΛΑ6Αν για το μιγαδικό ισχύει, ( ) να βρεθεί: α) Ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας του στο μιγαδικό επίπεδο β) Η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή του α) Η ισότητα ( ) επαληθεύεται από όλους τους μιγαδικούς που έχουν την ιδιότητα οι εικόνες τους να απέχουν από το σημείο K (,) σταθερή απόσταση ίση με και μόνο από αυτούς Επομένως, ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι ο κύκλος με κέντρο K (,) και ακτίνα ρ, δηλαδή ο κύκλος ( ) (y ) β) Το είναι η απόσταση της εικόνας M () από την αρχή O (0,0), δηλαδή το μήκος OM Από τη Γεωμετρία, όμως, γνωρίζουμε ότι αν η ευθεία O Κ τέμνει τον κύκλο στα A και B, y y B K(,) τότε ( OA) (OM) (OB), που σημαίνει ότι η Μ() A μέγιστη τιμή του είναι το μήκος ( OB) και η ελάχιστη το μήκος ( OA) Πρέπει λοιπόν να βρούμε την εξίσωση της ευθείας OK και να λύσουμε το σύστημα της Ο ευθείας και του κύκλου ( ) (y ), για να βρούμε τα κοινά σημεία τους που είναι τα A, B Η ευθεία OK θα έχει εξίσωση y y0 λ( 0 ), όπου ( 0, y0 ), ένα σημείο από το οποίο διέρχεται και λ ο συντελεστής διεύθυνσής της Ένα σημείο από το οποίο διέρχεται είναι το O (0,0), άρα 0 0 και y 0 0 Ο yk yo 0 συντελεστής διεύθυνσής της είναι ο λ, μιας και διέρχεται K O 0 από τα σημεία O (0,0) και K (,), οπότε η εξίσωση της OK είναι: y 0 λ( 0) y λ Επομένως, οι συντεταγμένες των σημείων A και B Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα 44

46 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ θα είναι οι λύσεις του συστήματος ( ) (y ) y, που είναι τα ζεύγη (,) και (,) Άρα, η μέγιστη τιμή του είναι ίση με (OB) και η ελάχιστη ίση με (OA) ΛΑ7Από τους μιγαδικούς, για τους οποίους ισχύει 4, ποιος έχει το ελάχιστο και ποιος το μέγιστο δυνατό μέτρο; Από την ισότητα 4 προκύπτει ότι η απόσταση του M () από το σημείο K (0,4) είναι σταθερή και ίση με Επομένως το Μ ανήκει σε κύκλο με κέντρο K (0,4) και ακτίνα ρ Σύμφωνα με την προηγούμενη άσκηση ο μιγαδικός με το ελάχιστο μέτρο είναι ο και ο μιγαδικός με το μέγιστο μέτρο είναι ο 6 y Β(0,6) Κ(0,4) Α(0,) O Θυμήσου ότι η εξίσωση λ κ με κ, λ 0 και κ λ, είναι εξίσωση κύκλου (Απολλώνιος Κύκλος), την οποία θα την βρίσκεις μόνον αλγεβρικά! Μελέτησε την ΛΑ8 ΛΑ8Αν για το μιγαδικό ισχύει, να δείξετε ότι η εικόνα του ανήκει στον κύκλο με κέντρο O (0,0) και ακτίνα ρ α! τρόπος: (μέθοδος του τετραγωνισμού) Έχουμε: ( )( ) ( )( ) 4 4 Άρα, η εικόνα του ανήκει στο μοναδιαίο κύκλο β! τρόπος: με αντικατάσταση Αν y, έχουμε: ( y) y ( ) y ( ) y ( ) (y) ( ) y 4 4 4y 4 4 y y Άρα, η εικόνα του ανήκει στο μοναδιαίο κύκλο y Πρόσεξε να μάθεις καλά την τεχνική της ΛΑ9!!! ΛΑ9Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων Μ των μιγαδικών, για τους οποίους ισχύει: 4 Να βρεθεί ο μιγαδικός με το ελάχιστο μέτρο και το ελάχιστο μέτρο Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα 45

47 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘMΟΙ Η σχέση που μας δίνεται 4 μετατρέπεται στην ( 0) (0 4), που ως γνωστόν είναι εξίσωση της μεσοκάθετης του ευθυγράμμου τμήματος με άκρα A(,0) και B(0, 4) Επειδή όμως θα χρειασθούμε την εξίσωσή της εργαζόμαστε αλγεβρικά Αν y, τότε θα έχουμε: ε y Α(-,0) O 5 60 Γ (, ) 4 4 Β(0,-4) 4 ( ) y (y 4) ( ) y (y ( ) y (y 4) y y 8y 6 5 8y 6 y Άρα, ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η ευθεία ε : y 4 8 Ο μιγαδικός με το ελάχιστο μέτρο είναι αυτός που έχει για εικόνα το ίχνος της καθέτου από την αρχή Ο στην ε Η κάθετος αυτή διέρχεται από την αρχή των αξόνων O(0,0) και έχει συντελεστή διεύθυνσης τον αντιθετοαντίστροφο του συντελεστή 5 διεύθυνσης της ε : y, άρα λ 4, οπότε έχει εξίσωση y y0 λ( 0 ) 4 8 με y 0 και λ 4, άρα y 4 και επομένως οι συντεταγμένες του σημείου 0 0 y 4 τομής της με την ε βρίσκεται από τη λύση του συστήματος 5, που είναι y το ζεύγος, Άρα ο μιγαδικός με το ελάχιστο μέτρο είναι ο και το ελάχιστο μέτρο είναι το Παρατήρηση: Επειδή ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων Μ των μιγάδων είναι ευθεία και επεκτείνεται απεριόριστα, δεν μπορούμε να βρούμε τον μιγάδα με το μεγαλύτερο μέτρο Το ίδιο συμβαίνει αν ο γτ είναι υπερβολή ή παραβολή! Εν αντιθέσει στις ασκήσεις ΛΑ6 και ΛΑ7 που ο γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος μπορούμε να βρούμε τον μιγάδα και με το μικρότερο και με το μεγαλύτερο μέτρο! Το ίδιο συμβαίνει αν ο γτ είναι έλλειψη! 4) Ασκήσεις προς λύση Ο μιγαδικός αριθμός ικανοποιεί τις σχέσεις: - Re () () Im () () () Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα 46

48 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Να γραμμοσκιάσετε στο μιγαδικό επίπεδο το χωρίο που αντιπροσωπεύει το σύνολο των εικόνων του και να βρείτε το εμβαδόν του Να βρεθεί στο μιγαδικό επίπεδο ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού για τον οποίο ισχύει: α) - β) -- < 4 γ) < - < Ο κύκλος του διπλανού σχήματος εφάπτεται του άξονα των τετμημένων και είναι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού αριθμού y K y,, y R στο μιγαδικό επίπεδο α) Από τις παρακάτω εξισώσεις, να 0 4 επιλέξετε δύο που τον αντιπροσωπεύουν: ) ( - ) (y - ) 9 ) y 4 ) - 4 v) y - 6-4y 9 0 v) - - β) Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας 4 Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών στο μιγαδικό επίπεδο που ικανοποιούν τη σχέση βρίσκονται σε κύκλο κέντρου Ο (0, 0) και ακτίνας 5 Στο διπλανό σχήμα η μεσοκάθετος y (ε) (ε) του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ είναι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού αριθμού y,,y R στο μιγαδικό επίπεδο 0 Α Μ Β 4 α) Από τις παρακάτω εξισώσεις, να επιλέξετε τρεις που τον αντιπροσωπεύουν: ) - y 4 Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα 47

49 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘMΟΙ ) ) v) y 4 - v) Re () Im () v) 8Re () 5 Im () β) Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας Πρόσεξε να μάθεις τις ασκήσεις ΛΑ0, ΛΑ γιατί είναι βασικές! ΛΑ0Για δύο μιγαδικούς αριθμούς και να αποδείξετε ότι: α) Re( ) Re( ) β) Re( ) Re( ) γ) Re( ) Re( ) α) Γνωρίζουμε ότι Re(), για κάθε μιγαδικό αριθμό Έχουμε λοιπόν τα εξής: () Re() ή ( ) Re( ) β) ( )( ) Re( ) Re( ) γ) ( )( ) ( ) Re() Re( ) ΛΑΓια δύο μιγαδικούς αριθμούς και να αποδείξετε ότι α τρόπος: αλγεβρικός Έστω y και y Τότε: ( ) (y y ) και ( ) (y y ) Άρα: ( (y y ( (y y ) ) ) ) ( y ) ( y ) β τρόπος: εφαρμόζουμε την ΛΑ0 Έχουμε: Re( ) () και Re( ) () Προσθέτοντας κατά μέλη τις () και () έχουμε: Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα 48

50 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ασκήσεις προς λύση Αν w w 0, δείξτε ότι w Για δύο μιγαδικούς αριθμούς και να αποδείξετε τη σχέση: 4Re( ) 4Re( ) Για δύο μιγαδικούς αριθμούς και 0 να αποδείξετε τη σχέση: 0 4 Για δύο μιγαδικούς αριθμούς και 0 να αποδείξετε τη σχέση: 0 5 Να αποδειχθεί η σχέση: Μερικές ασκήσεις γεωμετρικών τόπων Πρόσεξε να μάθεις την τεχνική της άσκησης ΛΑ! Μελέτησε τις ασκήσεις ΛΑ, ΛΑ, ΛΑ4, ΛΑ5 ΛΑΑν για τους μιγαδικούς ισχύει, να βρείτε που ανήκουν οι εικόνες των μιγαδικών w με w Σχόλιο! Στην άσκηση αυτή έχουμε τον μιγάδα που ξέρουμε τον γεωμετρικό του τόπο γιατί αφού, συμπεραίνουμε ότι οι εικόνες του θα βρίσκονται στον κύκλο κέντρου O (0,0) και ακτίνας ρ, και αναζητάμε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού w που εκφράζεται συναρτήσει του Στις ασκήσεις αυτής της κατηγορίας θα εργαζόμαστε ως εξής: Θέτουμε α β, οπότε α β α β () και w y Αναζητάμε τη σχέση που συνδέει το με το y Έχουμε: α w y ( α β) y (α ) β και y β () Πρόσεξε τώρα! Αν και ζητάμε την σχέση που συνδέει το με το y, θα επιλύσουμε το σύστημα ως προς τα α και β και στη συνέχεια αυτά που θα Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα 49

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ O z είναι πραγματικός, αν και μόνο αν Ο z είναι φανταστικός, αν και μόνο αν β) Αν και να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι πραγματικός, ενώ ο αριθμός είναι φανταστικός. 9. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( ) ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ . ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 4 α. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του. β. Αν Re ( ) 0, τότε: 4 i. Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός w = + είναι πραγματικός και ισχύει 4 w 4. ii. Να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός http://cutemaths.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 20,

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

στους μιγαδικούς αριθμούς

στους μιγαδικούς αριθμούς Πράξεις στους μιγαδικούς αριθμούς Πρόσθεση μιγαδικώ αριθμώ Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία α) ) Πώς γίεται η πρόσθεση δύο μιγαδικώ αριθμώ; ) Ποια είαι η γεωμετρική ερμηεία του αθροίσματος δύο μιγαδικώ;

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι αν α,β τότε α //β α λβ, λ. είναι δύο διανύσματα, με β 0, Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Φώτης Κουνάδης Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ ΕΚ ΟΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΛΙΒΑΝΗ ΑΘΗΝΑ 2007 Σειρά:

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014-2015 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014-2015 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04-05 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ Θεωρούμε τους μιγαδικούς C για τους οποίους ισχύει: - = + Im() και τη συνάρτηση f : w f ( w), όπου w C, w - και f (w) = w ) Να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες Ορισμός: Κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και αληθεύει για όλες τις τιμές των μεταβλητών της λέγεται ταυτότητα. Ταυτότητες που πρέπει να γνωρίζουμε: Τετράγωνο αθροίσματος

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i,

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 1) Δίνεται η εξίσωση x 2-2(λ + 2) χ + 2λ 2-17 = 0. Να βρείτε το λ ώστε η εξίσωση να έχει μία ρίζα διπλή. Υπολογίστε τη ρίζα. Aσκήσεις στις εξισώσεις Β βαθμού Για να έχει η εξίσωση μία ρίζα διπλή πρέπει:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ. Δίνεται η συνάρτηση f (). Να βρείτε για ποιες τιμές του δεν ορίζεται η συνάρτηση f. Να βρείτε τον αριθμό f ( ). Να δείξετε ότι f () I. Δίνεται η εξίσωση με η οποία έχει ρίζες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 4 Η Ευκλείδεια Γεωμετρία στην εκπαίδευση και στην κοινωνία. Κώστας Μαλλιάκας, Καθηγητής Δ.Ε., 1 ο ΓΕΛ Ρόδου, kmath@otenet.gr

Διαβάστε περισσότερα

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 1. Δυο μαθητές Α και Β παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι: Τους δίνεται ένα κανονικό πολύγωνο με άρτιο πλήθος πλευρών, μεγαλύτερο από 6 (π.χ. ένα 100-γωνο). Κάθε παίκτης συνδέει δυο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012 Μαθηματικά Γ Λυκείου Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων 5/5/ Έκδοση Α Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ( mac964@gmail.com) Αθήνα (λίγο πριν τις εκλογές) Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΣΚΗΣΗ 1 Να αποδειχθεί ότι οι γεωμετρικές εικόνες των μιγαδικών ριζών της εξίσωσης (συν θ)z (4συνθ)z + (5 συν θ) = 0 με θ π, π κινούνται σε υπερβολή, της οποίας να ευρεθούν τα στοιχεί ΑΣΚΗΣΗ Στο μιγαδικό

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' τάξης Γενικού Λυκείου

ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' τάξης Γενικού Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ Α' τάξης Γενικού Λυκείου ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος Παπασταυρίδης Σταύρος Πολύζος Γεώργιος Σβέρκος Ανδρέας ΟΜΑΔΑ ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗΣ Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ αγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ΛΙΑ ΛΟΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 0, δηλαδή το σύνολο των μονάδων των απολυτήριων

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων 8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων Βασική θεωρία Σύνθεση δυνάμεων Συνισταμένη Σύνθεση δυνάμεων είναι η διαδικασία με την οποία προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τη δύναμη εκείνη που προκαλεί τα ίδια αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ----- Ταχ. /νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Η πρώτη οθόνη μετά την εκτέλεση του προγράμματος διαφέρει κάπως από τα προηγούμενα λογισμικά, αν και έχει αρκετά κοινά στοιχεία. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή

Διαβάστε περισσότερα

6. Εγγεγραμμένα Σχήματα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr

6. Εγγεγραμμένα Σχήματα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 6. Εγγεγραμμένα Σχήματα Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 1 Επίκεντρη γωνία Μια γωνία λέγεται επίκεντρη γωνία ενός κύκλου αν η κορυφή της είναι το κέντρο του κύκλου. Το τόξο ΑΓΒ που

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 4. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονία συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε διάστηµα, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.

Διαβάστε περισσότερα

Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Ξ εκινώντας τη προσπάθεια μου να γράψω αυτό το βιβλίο αναρωτιόμουν πως

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών 2 Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Προσθετέοι 18+17=35 α Προσθετέοι + β = γ Άθοι ρ σμα Άθοι ρ σμα 13 + 17 = 17 + 13 Πρόσθεση φυσικών αριθμών Πρόσθεση είναι η πράξη με την οποία από

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης γωνιών: Το ακτίνιο (ή rad) είναι η γωνία που, όταν γίνει επίκεντρη κύκλου (Ο, ρ), βαίνει σε τόξο που έχει μήκος ίσο με την ακτίνα

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση ( ) ( ) ( ).. Ισχύει ότι P( A B) P( A

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ OMNN. Επιλέξτε τη σωστή απάντηση στις παρακάτω προτάσεις :

ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ OMNN. Επιλέξτε τη σωστή απάντηση στις παρακάτω προτάσεις : ΓΥΜΝΑΣ Ο ΕΞΑΠ ΑΤΑΝΟΥ ΣχολK Έτος: OMNM-OMNN Τάξη: Α Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙ Α Ημερομηνία : 30/05/2011 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ OMNN Θέμα 1 ο (ΘΕΩΡ Α) Επιλέξτε τη σωστή απάντηση στις παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρία ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ 2 ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ

Τριγωνομετρία ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ 2 ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΤΟ ΒΑΣΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ: ημ χ+συν χ= ημ χ=-συν χ συν χ=- ημ χ εφχ + σφ χ = εφχ ημχ συνχ = σφχ = ημ χ εφχσφχ σφχ = = συνχ ημχ + εφ χ = συν χ Γωνία χ Τριγωνομετρικοί Αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 Τηλ. 6165-617784 - Fax: 64105 Tel. 6165-617784 - Fax: 64105 ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ 1. Παρακαλούμε να διαβάσετε προσεκτικά

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ 1. Δίνεται η αριθμητική πρόοδος με α 2 =0 και α 4 =4. α) Να δείξετε ότι ω=2 και α 1 = 2. β) Να δείξετε ότι α ν =2ν 4 και να βρείτε ποιος όρος της είναι το 98. (51 ος ) 2. α) Να

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 2000-2015

Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 2000-2015 Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 000-05 Περιεχόµενα Θέµατα Επαναληπτικών 05............................................. 3 Θέµατα 05......................................................

Διαβάστε περισσότερα

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ENOTHTA. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο. Πώς προσδιορίζουμε τη θέση των αντικειμένων; A O M B ' y P Ì(,y) Ð Για τον προσδιορισμό της θέσης πάνω σε μία ευθεία πρέπει να έχουμε ένα σημείο της

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και

Διαβάστε περισσότερα

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012.

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ B ----- Να διατηρηθεί μέχρι... Βαθμός

Διαβάστε περισσότερα

Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών

Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Δυνάμεις φυσικών αριθμών Δύναμη ονομάζουμε το γινόμενο πολλών ίσων παραγόντων Πχ: 8 8= 64, 4 4 4= 64, 3 3 3 3= 81. Έτσι, το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Σταύρος Σ. Λίτσας. Μ α θ η μ α τ ι κ ό ς. Μιγαδικοί αριθμοί. ΞΑΝΘΗ Αύγουστος 2013 ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΛΥΚΕΙΟ

Σταύρος Σ. Λίτσας. Μ α θ η μ α τ ι κ ό ς. Μιγαδικοί αριθμοί. ΞΑΝΘΗ Αύγουστος 2013 ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΛΥΚΕΙΟ Σταύρος Σ Λίτσας Μ α θ η μ α τ ι κ ό ς Μιγαδικοί αριθμοί i =- ΞΑΝΘΗ Αύγουστος 0 C:\Users\Stavros\Desktop\ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ internet\00 0 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ για internet Αdoc 7/07/ διάχυση της γνώσης Vincent Van Gogh Στη

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικά θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Πειραματικά Λύκεια

Ενδεικτικά θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Πειραματικά Λύκεια ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΑ 6 η Δοκιμασία ο Θέμα Στις ερωτήσεις έως και 4 να επιλέξτε τη σωστή απάντηση αιτιολογώντας την απάντησή σας. Ερώτηση

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ν περνά από σταθερό σημείο. ν περνά από το σταθερό μέσο του επίσης σταθερού ΚΛ. Το διανυσματικό άθροισμα f Μ γράφεται:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ν περνά από σταθερό σημείο. ν περνά από το σταθερό μέσο του επίσης σταθερού ΚΛ. Το διανυσματικό άθροισμα f Μ γράφεται: Το διανυσματικό άθροισμα f Μ γράφεται: f Μ = x ΜΑ+ x ΜΑ+ΑΒ + x ΜΑ+ΑΓ = ΜΑ + ΜΑ + ΜΑ + ΑΒ + ΑΓ ( x) ( x) ( x ) ( x) ( x ) = ( x + x + x ) ΜΑ + ( x) ΑΒ + ( x ) ΑΓ = ( x 4x+ ) ΜΑ+ ( x) ΑΒ+ ( x ) Α Γ f Μ είναι

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ 6 1) Να εκφράσετε τον αριθμό 48 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων με δενδροδιάγραμμα. 2) Να συγκρίνετε

Διαβάστε περισσότερα

1.1. 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β ΘΕΜΑΤΑ

1.1. 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β ΘΕΜΑΤΑ 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β ΘΕΜΑΤΑ 1.1 16950 Β (ΑΝΑΡΤΗΘΗΚΕ 08-11-14) α) Να κατασκευάσετε ένα γραµµικό σύστηµα δυο εξισώσεων µε δυο αγνώστους µε συντελεστές διάφορους του µηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε

Διαβάστε περισσότερα

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( )

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( ) ΚΕΦΑΛΑΙ 6 ΕΥΘΕΙΑ-ΕΠΙΠΕ 6 Γεωµετρικοί τόποι και εξισώσεις στο χώρο Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών ρισµός 6 Θεωρούµε τη συνάρτηση F:Α,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α 1 1. α) Να γίνει γινόµενο το τριώνυµο λ -3λ+. β) Να βρεθεί το λ έτσι ώστε η εξίσωση λ(λχ-1)χ(3λ-)-λ i) να είναι αδύνατη ii) να είναι αόριστη iii) να έχει µία µόνο λύση

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδης Β' Γυμνασίου 1995-1996. 1. Να λύσετε την εξίσωση: 1 {3 [5 7 x : 9] 7} 5=26

Ευκλείδης Β' Γυμνασίου 1995-1996. 1. Να λύσετε την εξίσωση: 1 {3 [5 7 x : 9] 7} 5=26 Ευκλείδης Β' Γυμνασίου 1995-1996 1. Να λύσετε την εξίσωση: 1 {3 [5 7 x : 9] 7} 5=26 2. Σ' ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ παίρνουμε τις διαμέσους ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ (που διέρχονται από το ίδιο σημείο Θ). Πόσες γωνίες,

Διαβάστε περισσότερα

β φυσικοί αριθμοί. Δίνεται ότι η Ευκλείδεια διαίρεση με διαιρετέο τον α και

β φυσικοί αριθμοί. Δίνεται ότι η Ευκλείδεια διαίρεση με διαιρετέο τον α και 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 GR. 06 79 - Athens - HELLAS Tel. 36653-367784 - Fax: 36405 ΣΑΒΒΑΤΟ, 30 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 00 B Γυμνασίου 3. Έστω x = 3 4 :4+ 5 και y = 45 4 3 + 73. (α) Να βρεθούν οι αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα