ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΉΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΉΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΓΙΑΝΝΑΚΟΠΟΥΛΟΥ (Α.Μ. 0702) ΤΙΤΛΟΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: «Η BOOTSTRAP ΣΑΝ ΜΕΣΟ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗΣ ΤΟΥ ΘΟΡΥΒΟΥ ΤΗΣ DEA» ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ: ρ. ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΤΣΕΚΟΥΡΑΣ: Αναπληρωτής Καθηγητής Τµήµατος Οικονοµικών Επιστηµών Πανεπιστηµίου Πατρών. ΠΑΤΡΑ, ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2009

2

3 ΑΡΙΘΜΟΣ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΤΙΤΛΟΣ: «Η BOOTSTRAP ΣΑΝ ΜΕΣΟ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗΣ ΤΟΥ ΘΟΡΥΒΟΥ ΤΗΣ DEA» Εργασία του Μεταπτυχιακού Φοιτητή: Γιαννακόπουλου Βασίλειου Η Τριµελής Επιτροπή: Κωνσταντίνος Τσεκούρας Ευθαλία ηµαρά ηµήτριος Σκούρας

4 v

5 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η παρούσα διπλωµατική εργασία πραγµατεύεται την µελέτη της µεθόδου Bootstrap στα πλαίσια συµπλήρωσης των ελλείψεων της DEA, κατά τον υπολογισµό της τεχνικής αποτελεσµατικότητας διαφόρων µονάδων λήψης αποφάσεων. Πιο συγκεκριµένα θα µελετηθεί η Bootstrap ως µέσο για τον υπολογισµό της µεροληψίας, και διαστηµάτων εµπιστοσύνης των effcency scores που προκύπτουν από την χρήση της DEA. Όπως θα φανεί, η DEA, ως µία εφαρµογή του γραµµικού προγραµµατισµού, αποτελεί µία µη παραµετρική µέθοδο υπολογισµού της τεχνικής αποτελεσµατικότητας και χαρακτηρίζεται από το µειονέκτηµα της έλλειψης στατιστικών µεγεθών καθώς και την αδυναµία να ξεχωρίσει τον θόρυβο από την αναποτελεσµατικότητα. Η Bootstrap από την άλλη, αποτελεί µία επαναληπτική εφαρµογή της DEA, η οποία καλείται να δώσει λύση στα παραπάνω προβλήµατα. Σκοπός της παρούσας διπλωµατικής είναι να ελέγξει τον βαθµό στον οποίο η Bootstrap καταφέρνει να εκπληρώσει αυτή την αποστολή. Για το σκοπό αυτό χρησιµοποιούνται πραγµατικά δεδοµένα που αφορούν ιχθυοκαλλιέργειες που δραστηριοποιούνται στην ελληνική επικράτεια, ενώ οι υπολογισµοί γίνονται µέσω των προγραµµάτων DEAP και PIM DEA v2.0. Λέξεις Κλειδιά: Τεχνική Αποτελεσµατικότητα, Μέθοδος DEA, Μέθοδος Bootstrap, Θόρυβος, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης v

6 SUMMARY The present dplomatc essay treats the study of Bootstrap method wthn the bounds of completon of DEA defcences durng the estmaton of techncal effcency of several decson-makng unts. More precsely t wll be scrutnzed bootstrap as a mean of estmatng basness and the confdence ntervals of the effcency scores, whch arse from the use of DEA. As t wll be come clear, DEA as an mplementaton of lnear programmng, consttutes a non-parametrc method of estmatng techncal effcency and s characterzed by the drawback of non-dstngushng the nose by the neffcency. On the other hand, bootstrap consttutes a repettve mplementaton of DEA, whch s assgned to gve a soluton to the above questons. The purpose of ths essay s to verfy the degree n whch bootstrap completes ths msson. For ths reason there are used real data, whch concern fsh farms that are placed n Greek terrtory whle, the calculatons are executed through the programs DEAP and PIM DEA V2.0 Key Words: Techncal Effcency, DEA Method, Bootstrap Method, Nose, Confdence Intervals. v

7 Ευχαριστίες: Θα ήθελα να ευχαριστήσω θερµά τον επιβλέποντα της παρούσας ιπλωµατικής Εργασίας, κο. Κωνσταντίνο Τσεκούρα, Αναπληρωτή Καθηγητή, για την απαραίτητη καθοδήγηση του καθώς και την επιστηµονική γνώση που µου παρείχε, χωρίς τις οποίες θα ήταν αδύνατη η διεκπεραίωση της παρούσας εργασίας. Η συνεισφορά του όµως δεν περιορίζεται µόνο στην συνεργασία µας κατά την εκπόνηση της εργασίας, αλλά επεκτείνεται και κατά την διάρκεια διδασκαλίας του µεταπτυχιακού µαθήµατος Μικροοικονοµική, µιας και µου έδωσε τις κατευθυντήριες γραµµές για να µάθω να αντιµετωπίζω τα οικονοµικά ζητήµατα διεξοδικά, και µε βοήθησε να συνδυάσω τον τρόπο σκέψης του Μηχανικού και του Οικονοµολόγου. Τους συγγραφείς των βιβλίων και επιστηµονικών άρθρων που βασίστηκα για την συγγραφή αυτής της ιπλωµατικής καθώς και τους δηµιουργούς των πακέτων λογισµικού που χρησιµοποίησα. Τον ρ. Οικονοµολογίας κο. Κουνετά Κωνσταντίνο που µε βοήθησε κατά την επεξεργασία των δεδοµένων, κυρίως στην χρήση του προγράµµατος PIM DEAP V2.0. Τα µέλη της τριµελούς επιτροπής κα ηµαρά Ευθαλία, Καθηγήτρια, και κο Σκούρα ηµήτριο, Καθηγητή. Πέρα όµως από τους ανθρώπους που συνέβαλλαν άµεσα στο να περατώσω την παρούσα διπλωµατική, θα ήθελα επί της ευκαιρίας, να ευχαριστήσω και να εκφράσω την ευγνωµοσύνη µου, σε όλα τα µέλη ΕΠ του τµήµατος Οικονοµικών Επιστηµών του Πανεπιστηµίου Πατρών, και ιδιαίτερα την κα. ηµαρά Ευθαλία, Καθηγήτρια, την κα. Ζερβογιάννη Αθηνά, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια, τον κο Βενέτη Ιωάννη, Επίκουρο Καθηγητή και τον κο Φωτόπουλο Γεώργιο, Επίκουρο Καθηγητή, που είχα την τιµή να τους γνωρίσω κατά την διδασκαλία των µεταπτυχιακών µαθηµάτων που παρακολούθησα. Όντας ο ίδιος µη Οικονοµολόγος, µε βοήθησαν να καλλιεργήσω έναν τρόπο οικονοµικής σκέψης και αντίληψης, καθώς και µία µεθοδολογία αντιµετώπισης των οικονοµικών προβληµάτων, ικανών για να αντεπεξέλθω σε κάθε πρόκληση πάνω σε θέµατα οικονοµικής φύσης. v

8 Τέλος θα ήθελα να ευχαριστήσω και να συγχαρώ θερµά την Πρόεδρο του Τµήµατος Οικονοµικών Επιστηµών του Πανεπιστηµίου Πατρών και ιευθύντρια του Προγράµµατος Μεταπτυχιακών Σπουδών κα ηµαρά Ευθαλία, τον τέως ιευθυντή του Προγράµµατος Μεταπτυχιακών Σπουδών κο. Ντεµούση Μιχαήλ, Καθηγητή του τµήµατος Οικονοµικών Επιστηµών του Πανεπιστηµίου Πατρών, καθώς και όλους όσους εργάστηκαν για την ίδρυση και άριστη λειτουργία του συγκεκριµένου Προγράµµατος Μεταπτυχιακών Σπουδών, που ξεφεύγει από την παροχή στείρας γνώσης και ανοίγει τους ορίζοντες στο νέο επιστήµονα να πραγµατευθεί µε οικονοµικά ζητήµατα σύγχρονα και υψηλών απαιτήσεων. Σας ευχαριστώ πολύ. v

9 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 1 ο : «ΕΙΣΑΓΩΓΗ» σελ Σκοπός της Εργασίας σελ Ανασκόπηση σελ Λίγα Λόγια για την DEA σελ Λίγα Λόγια για την Bootstrap σελ οµή της Εργασίας σελ. 4 Κεφάλαιο 2 ο : «Βασικές Έννοιες» σελ Τεχνολογία Παραγωγής και Όριο Παραγωγικών υνατοτήτων σελ Παραγωγικότητα και Αποτελεσµατικότητα σελ Η Περίπτωση Παραγωγής Μιας Εισόδου Μιας Εξόδου σελ Ορισµός της Παραγωγικότητας σελ Ορισµός της Output Orented Techncal Effcency σελ Ορισµός της Input Orented Techncal Effcency σελ. 13 x

10 2.3.4 Σταθερές και Μεταβαλλόµενες Αποδόσεις Κλίµακας και Τεχνική Αποτελεσµατικότητα σελ Εκδοχές Αποτελεσµατικότητας σελ Η Έννοια της Αποτελεσµατικότητας Κλίµακας σελ Η Περίπτωση Παραγωγής Πολλών Εισόδων Πολλών Εξόδων σελ Τεχνική Αποτελεσµατικότητα ως προς τις Εισροές ή τις Εκροές; σελ. 20 Κεφάλαιο 3 ο : «Η ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ DEA» σελ Γενικά για την DEA σελ Υποθέσεις Εφαρµογής της DEA σελ Κατάστρωση των Εξισώσεων Γραµµικού Προγραµµατισµού της DEA σελ Η Περίπτωση των Σταθερών Αποδόσεων Κλίµακας (CRS) σελ Η Περίπτωση των Μεταβαλλόµενων Αποδόσεων Κλίµακας (VRS) σελ Το Υπόδειγµα DEA και Μη Αύξουσες Αποδόσεις Κλίµακας σελ Σχέση Μεταξύ των Effcency Scores των Μοντέλων CCR και BCC σελ Η Συνάρτηση Απόστασης Shephard σελ Τα Slacks σελ. 34 x

11 3.5 Ο Θόρυβος σελ Γενικές Αρχές της Μεθόδου DEA σελ Συµπεράσµατα του Τρίτου Κεφαλαίου σελ. 38 Κεφάλαιο 4 ο : «Η ΜΕΘΟ ΟΣ BOOTSTRAP» σελ Η Ουσία του Προβλήµατος σελ Περιγραφή της Ιδέας της Bootstrap σελ ιορθώνοντας την Μεροληψία της DEA σελ ιαστήµατα Εµπιστοσύνης για τον Εκτιµητή ˆ θ σελ Η ιαδικασία Bootstrap σελ Περιγραφή της ιαδικασίας σελ Παρατηρήσεις σελ Παραγωγή Νέων ειγµάτων σελ Η Απλοϊκή Bootstrap σελ Τεχνικές Οµαλοποίησης σελ Ο Αλγόριθµος της Οµαλοποιηµένης Bootstrap σελ Ο Αλγόριθµος Bootstrap σελ Κλείνοντας το Κεφάλαιο 4 σελ. 59 x

12 Κεφάλαιο 5 ο : «ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ Ε ΟΜΕΝΩΝ» σελ Τα εδοµένα σελ Η «Πηγή» των εδοµένων σελ Προετοιµασία των εδοµένων σελ Εφαρµογή της Μεθόδου DEA σελ Συµπεράσµατα από την Εφαρµογή της DEA σελ Εφαρµογή της Μεθόδου Bootstrap σελ Συµπεράσµατα από την Εφαρµογή της Μεθόδου Bootstrap σελ Περίπτωση CRS και VRS για Q tot σελ Περίπτωση VRS και CRS για Q d, Q f σελ Εν Κατακλείδι σελ. 72 Κεφάλαιο 6 ο : «ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΕΠΕΚΤΑΣΗ ΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ» σελ Τα Σηµαντικότερα Σηµεία αυτής της Εργασίας σελ Τι Επιχειρήσαµε και Γιατί; σελ Τι είναι τελικά η DEA και ποια τα βασικά της Μειονεκτήµατα; σελ. 76 x

13 6.1.3 Τι είναι τελικά η Μέθοδος Bootstrap και πώς συµπληρώνει την DEA; σελ Ποιον Θόρυβο «Αντιµετωπίζει» η Bootstrap; σελ Επέκταση της Εργασίας σελ Σκοπός της Εργασίας: Επιτεύχθη; σελ. 79 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ σελ. 81 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ σελ. Π-1 - Π-21 Πίν. 5.1 Τα εδοµένα του Προβλήµατος σελ. Π-1 Πιν. 5.2 Αποτελέσµατα DEA VRS και CRS για δύο εξόδους σελ. Π-4 Πιν. 5.3 Αποτελέσµατα DEA VRS και CRS για ενιαία έξοδο σελ. Π-7 Πιν. 5.4 Αποτελέσµατα Bootstrap για VRS και ενιαία έξοδο σελ. Π-10 Πιν. 5.5 Αποτελέσµατα Bootstrap για CRS και ενιαία έξοδο σελ. Π-13 Πιν. 5.6 Αποτελέσµατα Bootstrap για VRS και δύο εξόδους σελ. Π-16 Πιν. 5.7 Αποτελέσµατα Bootstrap για CRS και δύο εξόδους σελ. Π-19 x

14 xv

15 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ «ΕΙΣΑΓΩΓΗ» 1.1 Σκοπός της Εργασίας Σκοπός της παρούσας διπλωµατικής είναι η µελέτη της µεθόδου Bootstrap ως µέσου για την αντιµετώπιση του θορύβου που υπεισέρχεται στον υπολογισµό της τεχνικής αποτελεσµατικότητας µε την µέθοδο DEA. Τα θέµατα που θα µελετηθούν στην παρούσα εργασία αγγίζουν ένα µεγάλο φάσµα της σύγχρονης οικονοµικής επιστήµης, µε πολλές και σηµαντικές εφαρµογές, κυρίως στο πεδίο της λήψης αποφάσεων και της βελτιστοποίησης της λειτουργίας των παραγωγικών µονάδων. Πράγµατι, η έννοια της «Αποτελεσµατικότητας», που θα µας απασχολήσει ιδιαίτερα σε αυτή την διπλωµατική εργασία, αποτελεί µία από τις βασικότερες παραµέτρους που καθορίζουν την καλή λειτουργία µιας επιχείρησης, ενός οργανισµού, ενός ιδρύµατος και γενικά κάθε Μονάδας Λήψης Αποφάσεων. Στόχος κάθε µιας από αυτές τις µονάδες είναι η µεγιστοποίηση της αποτελεσµατικότητάς της. Η γνώση δε της αποτελεσµατικότητας αποτελεί χρήσιµη πληροφόρηση για τις διάφορες επιχειρήσεις, γιατί αυτές µπορούν να γνωρίζουν εάν υπάρχουν δυνατότητες εξοικονόµησης παραγωγικών πόρων, που θα οδηγούσαν σε αποδοτικότερη λειτουργία. Από την άλλη πλευρά, οι διοικήσεις των παραγωγικών µονάδων µπορούν να επανεξετάσουν τα µέτρα πολιτικής που εφαρµόζουν ούτως ώστε αυτά να στοχεύουν πραγµατικά στην βελτίωση της αποδοτικότητας και περαιτέρω στην αύξηση της ανταγωνιστικότητας τους. 1

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Είναι λοιπόν φυσικό, µε το θέµα της αποτελεσµατικότητας και της µέτρησής της, να έχουν ασχοληθεί, και να συνεχίζουν να ασχολούνται, επιφανείς επιστήµονες που έχουν αφήσει σηµαντικό επιστηµονικό έργο. Γενικά η µέτρηση της τεχνικής αποτελεσµατικότητας επιχειρήθηκε από δύο διαφορετικές στη φύση τους σχολές. Η πρώτη είναι η παραµετρική, όπου γίνονται κάποιες συγκεκριµένες παραδοχές αναφορικά µε την συνάρτηση που ορίζει το όριο των παραγωγικών δυνατοτήτων. Πιο συγκεκριµένα υποθέτουµε την µορφή του µοντέλου που περιγράφει το όριο των παραγωγικών δυνατοτήτων και προσπαθούµε στη συνέχεια να υπολογίσουµε, µε βάση τα πραγµατικά δεδοµένα, τις άγνωστες παραµέτρους. Η δεύτερη σχολή δεν υποθέτει παραµετρικά το µοντέλο της τεχνολογίας παραγωγής, παρά µόνο αρκείται σε κάποιες πολύ γενικές υποθέσεις αναφορικά µε τη µορφή του ορίου των παραγωγικών δυνατοτήτων. Με βάση αυτές τις υποθέσεις, και τα πραγµατικά δεδοµένα, υπολογίζουµε τα effcency scores, χωρίς να προβαίνουµε στην παραµετρική εκτίµηση της συνάρτησης παραγωγής. 1.2 Ανασκόπηση Ήδη από το 1951, οι Koopmans και Debreu ασχολήθηκαν συστηµατικά την µέτρηση της αποτελεσµατικότητας. Μάλιστα ο Koopmans µε το έργο του Actvty Analyss of Producton and Resoource Allocaton µελέτησε την έννοια της τεχνικής αποτελεσµατικότητας µέσω της γνωστής αποτελεσµατικότητας κατά Pareto, οπότε προέκυψε η Pareto Koopmans συνθήκη τεχνικής αποτελεσµατικότητας. Ακολούθησε ο Farell το 1957 ο οποίος µε το έργο του άνοιξε το δρόµο για σηµαντικό αριθµό νέων εργασιών επί του εν λόγω θέµατος. Ο Farell στην ουσία χρησιµοποίησε, ίσως για πρώτη φορά, τον γραµµικό προγραµµατισµό για τον υπολογισµό της τεχνικής αποτελεσµατικότητας, µε βάση την συνάρτηση απόστασης (dstance functon) που πρωτοεισήγαγε ο Shephard το Ο Farell σύντοµα διαπίστωσε την αδυναµία χρήσης της µεθοδολογίας ελαχίστων τετραγώνων για τον προσδιορισµό του ορίου παραγωγικών δυνατοτήτων επειδή ορισµένα παρατηρούµενα σηµεία λειτουργίας θα εµφανίζονταν πάνω από το όριο. 2

17 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι Agner και Chu το 1968, χρησιµοποίησαν µία παραµετρική προσέγγιση για τον προσδιορισµό του ορίου παραγωγικών δυνατοτήτων, µε χρήση µαθηµατικού προγραµµατισµού, είτε γραµµικού είτε τετραγωνικού, χρησιµοποιώντας όµως ως περιορισµό τα παρατηρούµενα σηµεία να βρίσκονται κάτω από το όριο των παραγωγικών δυνατοτήτων. 1.3 Λίγα Λόγια για την DEA Η µεθοδολογία Data Envelopment Analyss (DEA), ανήκει στην δεύτερη, µη παραµετρική προσέγγιση υπολογισµού, και πρωτοεισήχθη από τους Charnes, Cooper και Rhodes (CCR) το 1978 (European Journal of Operatonal Research) ως µία µεθοδολογία σε εφαρµογές επιχειρησιακής έρευνας. Το αρχικό µοντέλο ήταν εφαρµόσιµο µόνο σε τεχνολογίες που χαρακτηρίζονται από σταθερές αποδόσεις κλίµακας. Αργότερα οι Banker, Charnes, Cooper (BCC) τροποποίησαν το αρχικό µοντέλο ώστε να µπορεί να εφαρµοστεί και σε τεχνολογίες που χαρακτηρίζονται από µεταβαλλόµενες αποδόσεις κλίµακας. Όντας µη παραµετρική, η µεθοδολογία DEA παρουσιάζει τρία σηµαντικά µειονεκτήµατα: A. εν υπολογίζεται συνάρτηση παραγωγής, συνάρτηση κόστους ή συνάρτηση κερδών και κατ επέκταση δεν µπορούµε να υπολογίσουµε από την χρήση της ελαστικότητες ή οριακά µεγέθη. B. Η DEA χρησιµοποιεί τον γραµµικό προγραµµατισµό (Lnear Programmng, LP) αντί για την οικεία εκτίµηση βάσει των ελαχίστων τετραγώνων (Ordnary Least Squares, OLS). Η χρήση του γραµµικού προγραµµατισµού θα οδηγήσει στην δηµιουργία ενός ορίου παραγωγικών δυνατοτήτων το οποίο θα αποτελείται από υπερεπίπεδα. Όµως καµία οικονοµική θεωρία δεν υποστηρίζει µία τέτοια µορφή για το όριο των παραγωγικών δυνατοτήτων. C. Τέλος, η DEA δεν µπορεί να δώσει συµπεράσµατα αναφορικά µε την κατανοµή των effcency scores, όπως να υπολογίσει τυπικά σφάλµατα και διαστήµατα εµπιστοσύνης, ενώ παράλληλα δεν είναι δυνατός ο έλεγχος υποθέσεων. 3

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Λίγα Λόγια για την Bootstrap Από τις παραπάνω αδυναµίες που παρουσιάζει η DEA, η τρίτη είναι ιδιάζουσας σηµασίας. Για το σκοπό αυτό κρίνεται αναγκαία η χρήση µιας τεχνικής η οποία θα µπορεί να χρησιµοποιηθεί για στατιστική συµπερασµατολογία, αλλά θα βασίζεται αποκλειστικά στις πραγµατικές µετρήσεις των εισροών και εκροών που είναι διαθέσιµες για τις Μονάδες Λήψης Αποφάσεων (Decson Makng Unts και στο εξής θα αναφέρονται ως DMU). Η µέθοδος Bootstrap καλείται να δώσει τη λύση, δηµιουργώντας νέα δείγµατα, µέσω αναδειγµατοληψίας και επανατοποθέτησης, από το αρχικό δείγµα, δηλαδή τις πραγµατικές µετρήσεις. Με βάση αυτά τα νέα δείγµατα η Bootstrap προσοµοιάζει τις στατιστικές ιδιότητες της κατανοµής των effcency scores µε χρήση τεχνικών Monte Carlo. Αν και η µέθοδος Bootstrap είναι γνωστή εδώ και τουλάχιστον µισό αιώνα, πρωτοχρησιµοποιήθηκε για την µέτρηση της τεχνικής αποτελεσµατικότητας από τον Efron το Ο όρος Bootstrapng αποδίδεται στην προσπάθεια κάποιου να βελτιωθεί, χρησιµοποιώντας αποκλειστικά τα δικά του µέσα. Πιο συγκεκριµένα η αρχική έννοια αφορούσε την προσπάθεια ενός ανθρώπου να τραβήξει τον εαυτό του από έναν λάκκο, χωρίς εξωτερική βοήθεια, χρησιµοποιώντας απλά τα κορδόνια από τις µπότες του. Είναι αυτονόητο ότι η χρήση της µεθόδου Bootstrap δεν περιορίζεται µόνο στην Οικονοµική Επιστήµη αλλά επεκτείνεται οπουδήποτε χρειάζεται να γίνει στατιστική επαγωγή χωρίς παραµετρική προσέγγιση κάποιου µοντέλου, πχ στην βιολογία, στην φυσική και γενικότερα στην στατιστική επεξεργασία. Για το λόγο αυτό η χρήση της µεθόδου Bootstrap, καθώς και η σωστή ερµηνεία των αποτελεσµάτων της, είναι ιδιαίτερης σηµασίας ζητήµατα. 1.5 οµή της Εργασίας Ολοκληρώνοντας το πρώτο κεφάλαιο ο αναγνώστης έχει ήδη αποκοµίσει µία πρώτη ιδέα για τα ζητήµατα που πραγµατεύεται η παρούσα εργασία. 4

19 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στο δεύτερο κεφάλαιο γίνεται αναφορά στις βασικές έννοιες που απασχολούν την παρούσα εργασία. Βαρύτητα δίνεται στις έννοιες της τεχνικής αποτελεσµατικότητας, καθώς και σε άλλες έννοιες, όπως η «τεχνολογία παραγωγής», το «όριο των παραγωγικών δυνατοτήτων», η «παραγωγικότητα», που συσχετίζονται στενά µε το αντικείµενο της διπλωµατικής. Η εξοικείωση µε τις παραπάνω έννοιες βοηθά τον αναγνώστη στην καλύτερη κατανόηση της µεθοδολογίας που θα παρουσιαστεί στα επόµενα κεφάλαια, για αυτό και η µελέτη αυτού του κεφαλαίου είναι σηµαντική αλλά προαιρετική για τον καλό γνώστη αυτών των εννοιών. Στο τρίτο κεφάλαιο περιγράφουµε την µη παραµετρική µέθοδο υπολογισµού της τεχνικής αποτελεσµατικότητας Data Envelopment Analyss ή DEA. Πιο συγκεκριµένα αναφερόµαστε στις προϋποθέσεις για την εφαρµογή της και καταστρώνουµε τις εξισώσεις γραµµικού προγραµµατισµού που την υλοποιούν για σταθερές, µεταβαλλόµενες και µη αύξουσες αποδόσεις κλίµακας. Επιπλέον αναφέρουµε την συνάρτηση απόστασης του Shephard γιατί πολλοί αλγόριθµοι της DEA στηρίζονται σε αυτή την συνάρτηση. Άλλα αντικείµενα που πραγµατεύεται το τρίτο κεφάλαιο είναι τα slacks και η Pareto Koopmans αποτελεσµατικότητα, που σχετίζονται όπως θα διαπιστώσουµε µεταξύ τους, αλλά θίγεται για πρώτη φορά και η έννοια του «θορύβου» που θα µας απασχολήσει ιδιαίτερα στην πορεία της εργασίας. Στο τέταρτο κεφάλαιο αναφερόµαστε στην διαδικασία bootstrap. Αφού πρώτα κατανοήσουµε το πρόβληµα που καλείται να αντιµετωπίσει η bootstrap, εξετάζουµε την βασική ιδέα στην οποία στηρίζεται η εν λόγω µέθοδος και πώς καταφέρνει να διορθώσει την µεροληψία αλλά και να βρει διαστήµατα εµπιστοσύνης για τα αποτελέσµατα της DEA. Επιπλέον αναλύεται η διαδικασία υλοποίησης της διαδικασίας: Αρχικά σκιαγραφείται η απλοϊκή bootstrap, και τα προβλήµατα που προκύπτουν από την εφαρµογή της. Έπειτα γίνεται αναφορά στην οµαλοποίηση και την οµαλοποιηµένη bootstrap που αντιµετωπίζει αυτά τα προβλήµατα. Τέλος περιγράφεται ο αλγόριθµος bootstrap τον οποίο υλοποιούν τα διάφορα πακέτα λογισµικού. Ακολουθεί το πέµπτο κεφάλαιο στο οποίο εφαρµόζεται η µεθοδολογία των προηγουµένων κεφαλαίων σε στοιχεία που αφορούν ιχθυοκαλλιέργειες της ελληνικής επικράτειας. Επιπλέον παρατίθενται τα σηµαντικότερα συµπεράσµατα που προκύπτουν από αυτή την επεξεργασία των δεδοµένων. Η κατανόηση αυτών των 5

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 συµπερασµάτων είναι πολύ βασική και βοηθά τον νέο, µη έµπειρο µελετητή, να αποφύγει «παγίδες» που αφορούν την σωστή ερµηνεία των αποτελεσµάτων τόσο της DEA όσο και της Bootstrap. Στο έκτο και τελευταίο κεφάλαιο γίνεται µία σύντοµη ανασκόπηση των σηµαντικότερων θεµάτων που µελετήθηκαν σε όλη την διάρκεια της διπλωµατικής, αναφέρονται τα σηµαντικότερα συµπεράσµατα και προτείνονται ιδέες για περαιτέρω επέκταση της εργασίας. Ακολουθεί το παράρτηµα, στο οποίο υπάρχουν πίνακες επεξεργασίας των δεδοµένων, και η βιβλιογραφία στην οποία βασίστηκε η παρούσα διπλωµατική. 6

21 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΤΕΡΟ «ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ» Στο κεφάλαιο αυτό θα µας απασχολήσει η έννοια της τεχνικής αποτελεσµατικότητας, η µέτρησή της, καθώς και άλλες έννοιες, όπως η «τεχνολογία παραγωγής», το «όριο των παραγωγικών δυνατοτήτων», η «παραγωγικότητα», που συσχετίζονται µε το αντικείµενο της διπλωµατικής. Η εξοικείωση µε τις έννοιες που θα µελετηθούν σε αυτό το κεφάλαιο θα βοηθήσει στην καλύτερη κατανόηση της µεθοδολογίας που θα παρουσιαστεί στα επόµενα κεφάλαια. 2.1 Τεχνολογία Παραγωγής και Όριο Παραγωγικών υνατοτήτων Η παραγωγή είναι µία διαδικασία µετασχηµατισµού των εισροών σε εκροές. Επειδή το ζητούµενο είναι να παραχθούν εκροές από εισροές, οι εκροές θεωρούνται ως οι επιθυµητές έξοδοι ενώ οι εισροές µπορούν να θεωρηθούν ως οι απαραίτητες, για αυτό τον µετασχηµατισµό, είσοδοι. Στο πλαίσιο λοιπόν της οικονοµικής ανάλυσης µία παραγωγική µονάδα, η επιχείρηση, είναι µία οντότητα που µετατρέπει µε κάποιον τρόπο τις εισροές σε εκροές. Αυτή η διαδικασία φυσικού µετασχηµατισµού των εισροών σε εκροές χαρακτηρίζει την «τεχνολογία παραγωγής» (producton technology) που εφαρµόζει κάθε επιχείρηση. Σε µαθηµατικούς όρους µπορούµε να συµβολίσουµε την ποσότητα των εισροών µε ένα διάνυσµα Ν διαστάσεων που παίρνει µη αρνητικές πραγµατικές N χ1 χ2 χ Ν + τιµές, δηλαδή χ = (,,.., ) R. Αντίστοιχα οι ποσότητες των εκροών 7

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 µπορούν να συµβολιστούν µε ένα διάνυσµα Μ διαστάσεων που επίσης παίρνει µη M y1 y2 ym R+ αρνητικές πραγµατικές τιµές: y = (,,.., ). Με βάση τα διανύσµατα εισροών και εκροών, µπορούµε να ορίσουµε µαθηµατικά και την τεχνολογία παραγωγής ως το σύνολο όλων των δυνατών συνδυασµών εισροών εκροών (χ, y) τέτοιων ώστε οι ποσότητες εισροών χ να µπορούν να παράγουν ποσότητες εκροών y. Το σύνολο αυτό Ψ, ονοµάζεται «σύνολο παραγωγικών δυνατοτήτων» (possblty producton set) και χαρακτηρίζει την τεχνολογία παραγωγής: Ψ = {(χ, y): χ µπορεί να παράγει y}. Από τον ορισµό του συνόλου παραγωγικών δυνατοτήτων µπορούν να προκύψουν δύο ακόµα εναλλακτικοί τρόποι ορισµού της τεχνολογίας παραγωγής. Πιο συγκεκριµένα µία τεχνολογία παραγωγής µπορεί να οριστεί: a) Από το «σύνολο των απαιτούµενων εισροών» (nput requrement set) C(y) δηλαδή το σύνολο όλων των συνδυασµών εισροών χ οι οποίοι µπορούν να παράγουν κατ ελάχιστο ένα ορισµένο επίπεδο εκροών y o : C(y o ) = {χ: χ µπορεί να παράγει τουλάχιστον y o }. b) Από το «σύνολο των εφικτών ποσοτήτων των εκροών» (output possblty set) C(χ) δηλαδή το σύνολο όλων των συνδυασµών εκροών y οι οποίοι είναι εφικτό να παραχθούν το πολύ από ένα ορισµένο σύνολο εισροών χ o : C(χ o ) = {y: y µπορεί να παραχθεί το πολύ από χ o } Έχοντας ορίσει το σύνολο των παραγωγικών δυνατοτήτων, µπορούµε στη συνέχεια να ορίσουµε το «όριο των παραγωγικών δυνατοτήτων» (possblty producton fronter). Ο ορισµός αυτού του ορίου µπορεί να γίνει µε δύο εναλλακτικούς τρόπους: a) Ως η µέγιστη δυνατή ποσότητα εκροών, που µπορούµε να παράγουµε από ορισµένο διάνυσµα εισροών, και συµβολίζεται ως Χ(y). 8

23 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ b) Ως η ελάχιστη δυνατή ποσότητα εισροών, που απαιτείται για την παραγωγή ορισµένου διανύσµατος εκροών, και συµβολίζεται ως Y(χ). Το όριο των παραγωγικών δυνατοτήτων είναι στην ουσία το «φράγµα» που δεν µπορούµε να ξεπεράσουµε κατά τον υπολογισµό της τεχνικής αποτελεσµατικότητας. Στην βραχυχρόνια περίοδο το όριο αυτό θεωρείται σταθερό. Γενικά το όριο των παραγωγικών δυνατοτήτων καθορίζεται από την εξέλιξη της επιστήµης, την εφαρµογή νέων τεχνολογιών στην παραγωγή, από το θεσµικό και νοµοθετικό πλαίσιο που ρυθµίζει την παραγωγή (πχ κανονισµοί ασφάλειας, περιβαλλοντικοί κανονισµοί, επέµβαση της πολιτείας στην λειτουργία των αγορών, ύπαρξη εργατικών σωµατείων), καθώς και την συνεχή εκπαίδευση του προσωπικού και την εφαρµογή κατάλληλων µεθόδων διοίκησης και οργάνωσης των επιχειρήσεων. Συνεπώς είναι δύσκολο να οριστεί αντικειµενικά το όριο των παραγωγικών δυνατοτήτων αφού καθορίζεται από πολλούς παράγοντες, ορισµένοι από αυτούς µετρήσιµοι, ενώ άλλοι ούτε καν παρατηρήσιµοι. Εξάλλου η εφαρµογή νέων τεχνολογιών, ή µορφών διοίκησης ή η αλλαγή θεσµικού και νοµοθετικού πλαισίου είναι διαδικασίες αρκετά χρονοβόρες γεγονός που δικαιολογεί την υπόθεση ότι το όριο των παραγωγικών δυνατοτήτων είναι µία άγνωστη, αλλά βραχυχρόνια σταθερή, συνάρτηση. 2.2 Παραγωγικότητα και Αποτελεσµατικότητα Η κάθε ορθολογικά λειτουργούσα µονάδα παραγωγής θα επιθυµούσε να επιτύχει έναν στόχο, ο οποίος µπορεί να διατυπωθεί µε δύο διαφορετικούς τρόπους: Να παράγει όσο το δυνατό περισσότερες εξόδους, από µία δεδοµένη ποσότητα εισόδων ή Να χρησιµοποιήσει όσο το δυνατό λιγότερες εισόδους, για να παράγει µία συγκεκριµένη ποσότητα εξόδων. Οι έννοιες της παραγωγικότητας και της αποτελεσµατικότητας είναι δύο διαφορετικοί τρόποι για να ελέγξουµε κατά πόσο µία παραγωγική µονάδα εξυπηρετεί 9

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 τον παραπάνω στόχο. Πολλοί καταξιωµένοι οικονοµολόγοι που ασχολούνται συστηµατικά µε αυτά τα ζητήµατα δεν κάνουν ουσιαστική διάκριση µεταξύ των δύο αυτών εννοιών. Ενδεικτικά αναφέρουµε τους Sengupta (1995) και Cooper, Seford και Tone (2000) οι οποίοι ορίζουν τόσο την παραγωγικότητα όσο και την αποτελεσµατικότητα ως τον λόγο µεταξύ της εξόδου και της εισόδου. Στην παρούσα εργασία κρίνεται σκόπιµο να διαχωρίζονται αυτοί οι όροι. Στη συνέχεια θα γίνει ξεκάθαρο το τι ακριβώς εκφράζει η κάθε µία από αυτές τις έννοιες. 2.3 Η Περίπτωση Παραγωγής Μιας Εισόδου Μιας Εξόδου Ορισµός της Παραγωγικότητας Ας υποθέσουµε ότι η εταιρία Α χρησιµοποιεί χ Α µονάδες από την εισροή χ για να παράγει y A µονάδες από την εκροή y. Η εταιρία Β παράγει y B µονάδες προϊόντος y χρησιµοποιώντας χ Β µονάδες εισροής χ. Υποθέτουµε τα ακόλουθα: 1. Τόσο η εταιρία Α όσο και η Β παράγουν αποκλειστικά και µόνο το προϊόν y, χρησιµοποιώντας αποκλειστικά και µόνο την εισροή χ. 2. Καµία ποσότητα εισροής ή εκροής δεν µπορεί να είναι µικρότερη ή ίση µε µηδέν, δηλαδή χ Α, χ Β, y A, y B > Οι ποσότητες χ και y είναι τέλεια διαιρετές. Τότε η µέση παραγωγικότητα των δύο εταιριών είναι: AP y x AP y x A = και B A = B A B αντίστοιχα. Η σχετική παραγωγικότητα της εταιρίας Α ως προς την εταιρία Β ορίζεται ως το πηλίκο: AP AP Α = = ΠΑ, B B y y A B x x A B και εκφράζει πόσες φορές παραγωγικότερη είναι η εταιρία Α από την εταιρία Β. Προφανώς 0 < Π Α,Β < 1 εάν η εταιρία Α είναι λιγότερο παραγωγική από την Β και Π Α,Β 1 αν η εταιρία Α είναι τουλάχιστο το ίδιο παραγωγική µε την εταιρία Β. Παρατηρούµε ότι ο υπολογισµός της παραγωγικότητας δεν απαιτεί τη γνώση της τεχνολογίας (σύνολο παραγωγικών δυνατοτήτων, όριο παραγωγικών δυνατοτήτων κλπ). 10

25 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Ορισµός της Output Orented Techncal Effcency παραγωγής Έστω τώρα ότι γνωρίζουµε την τεχνολογία παραγωγής µέσω της συνάρτησης y = f(χ) (2.1α) όπου η συνάρτηση παραγωγής εκφράζει την µέγιστη δυνατή ποσότητα εκροής y που µπορεί να παραχθεί από µία συγκεκριµένη ποσότητα εισροής χ. Η γραφική παράσταση της y = f(χ) είναι στην ουσία το όριο των παραγωγικών δυνατοτήτων. Μπορούµε εναλλακτικά να ορίσουµε την αντίστροφη της συνάρτησης παραγωγής χ = g(y) (2.1β) που εκφράζει την ελάχιστη δυνατή ποσότητα εισροής που απαιτείται για την παραγωγή µιας συγκεκριµένης ποσότητας εκροής y. Ορίζουµε ως τεχνική αποτελεσµατικότητα ως προς τις εκροές (output orented techncal effcency) την ποσότητα: y y TE = (2.2) O που εκφράζει τον λόγο της παραγόµενης ποσότητας εκροής y, που παράγεται από την εισροή χ, προς την µέγιστη δυνατή ποσότητα y, που µπορεί να παραχθεί από την ποσότητα εισροής χ. Είναι προφανές ότι 0 ΤΕ Ο 1. TE A O Συνεπώς η output orented techncal effcency της εταιρίας Α θα είναι: y y = ενώ της εταιρίας Β θα είναι A A TE B O y y =. Έστω τώρα ότι µία άλλη εταιρία, η Α, παράγει την µέγιστη δυνατή ποσότητα y A από την εισροή χ Α. Τότε η µέση παραγωγικότητα της εταιρίας Α θα είναι παραγωγικότητα της εταιρίας Α θα είναι µπορεί να προκύψει ως το πηλίκο: B B AP AP A A y x = ενώ η παρατηρούµενη µέση A y x A =. Παρατηρούµε ότι η A A TE A O 11

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 y y x AP A A A A Α TE = = = O =ΠΑ, A y A A A y A x AP (2.3) ηλαδή η output orented techncal effcency µιας παραγωγικής µονάδας Α, είναι η σχετική παραγωγικότητα αυτής της µονάδας ως προς την ιδανική µονάδα Α, η οποία χρησιµοποιεί την ίδια ποσότητα εισροής µε την Α ( = ), λειτουργεί όµως στο όριο των παραγωγικών δυνατοτήτων, βάση της υφιστάµενης τεχνολογίας παραγωγής. x A x A Μπορούµε να δούµε τα παραπάνω σε ένα διάγραµµα: ιαγρ. 2.1 Μέση Παραγωγικότητα και Output Orented Τεχνική Αποτελεσµατικότητα Είναι εµφανές ότι στην περίπτωση της µιας εισροής µιας εκροής η είναι στην ουσία το πηλίκο των κλίσεων ΟΡ Α και ΟΡ Α: TE A O y P x TE y x slope of OP = = = (2.4) A A A A A O of OPA A P slope A A 12

27 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Ορισµός της Input Orented Techncal Effcency Με την ίδια λογική ορίζεται και η nput orented TE: x x TE = (2.5) I που εκφράζει τον λόγο της ελάχιστης δυνατής ποσότητα χ, που απαιτείται για να παραχθεί η ποσότητα y µε βάση την υφιστάµενη τεχνολογία παραγωγής, όπως αυτή ορίζεται από το όριο των παραγωγικών δυνατοτήτων, προς την χρησιµοποιούµενη ποσότητα εκροής χ, που χρειάζεται για να παραχθεί ποσότητα εκροής y. Ισχύει ότι 0 ΤΕ Ι 1, όπως και για την ΤΕ Ο. TE A I Συνεπώς η nput orented techncal effcency της εταιρίας Α θα είναι: x A = Έστω τώρα ότι µία άλλη εταιρία, η Α, παράγει την ποσότητα εκροής y A x A χρησιµοποιώντας την ελάχιστη δυνατή ποσότητα εισροής χ A. Τότε η µέση παραγωγικότητα της εταιρίας Α θα είναι A = ενώ η παρατηρούµενη µέση παραγωγικότητα της εταιρίας Α θα είναι µπορεί να προκύψει ως το πηλίκο: AP AP A y x y x A A =. Παρατηρούµε ότι η A A TE A I x y x TE AP x y AP A A A A Α = = = I =Π Α, A (2.3) A A A A x ηλαδή η nput orented techncal effcency µιας παραγωγικής µονάδας Α, είναι η σχετική παραγωγικότητα αυτής της µονάδας ως προς την παραγωγικότητα της ιδανικής παραγωγική µονάδα Α, η οποία παράγει την ίδια ποσότητα εκροής µε την Α ( = ), λειτουργεί όµως στο όριο των παραγωγικών δυνατοτήτων µε βάση την y A y A υφιστάµενη τεχνολογία παραγωγής. Μπορούµε να δούµε τα παραπάνω σε ένα διάγραµµα: 13

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ιαγρ. 2.2 Input Orented Τεχνική Αποτελεσµατικότητα Είναι εµφανές ότι στην περίπτωση της µιας εισροής µιας εκροής η είναι στην ουσία το πηλίκο των κλίσεων ΟΡ Α και ΟΡ Α: TE A I x P x TE x P x A A A A I A A A = = = slope slope of OP of OP A A Σταθερές και Μεταβαλλόµενες Αποδόσεις Κλίµακας και Τεχνική Αποτελεσµατικότητα Μία Τεχνολογία Παραγωγής παρουσιάζει Σταθερές Αποδόσεις Κλίµακας (Constant Returns to Scale ή CRS), όταν πολλαπλασιάζοντας όλες τις εισροές µε έναν αριθµό α, πολλαπλασιάζονται παράλληλα και όλες οι εκροές µε τον ίδιο αριθµό ενώ µία Τεχνολογία Παραγωγής παρουσιάζει Μεταβαλλόµενες Αποδόσεις Κλίµακας (Varable Returns to Scale ή VRS) όταν, πολλαπλασιάζοντας όλες τις εισροές µε 14

29 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ α > 1, πολλαπλασιάζονται παράλληλα όλες οι εκροές µε β > 1, αλλά β α. Πιο συγκεκριµένα µία Τεχνολογία Παραγωγής χαρακτηρίζεται από: a) Φθίνουσες Αποδόσεις Κλίµακας (Decreasng Returns to Scale) όταν β < α b) Αύξουσες Αποδόσεις Κλίµακας (Increasng Returns to Scale) όταν β > α Η nput και output orented techncal effcency διαφέρουν µεταξύ τους όταν η τεχνολογία παραγωγής παρουσιάζει VRS. Μάλιστα όταν έχουµε τεχνολογία παραγωγής που χαρακτηρίζεται από φθίνουσες αποδόσεις κλίµακας καθολικά, και µετρήσουµε την ΤΕ Ο και την ΤΕ Ι για την ίδια εταιρία, έστω Α, θα διαπιστώσουµε ότι ΤΕ Ο Α ΤΕ Ι Α. Αν πάλι η τεχνολογία χαρακτηρίζεται από αύξουσες αποδόσεις κλίµακας καθολικά τότε ΤΕ Ο Α ΤΕ Ι Α. Η περίπτωση της ισότητας αφορά µόνο την περίπτωση που οι µονάδες παραγωγής λειτουργούν στο όριο των παραγωγικών δυνατοτήτων, οπότε τόσο η nput όσο και η output orented TE είναι ίσες (και µοναδιαίες). Όµως στην περίπτωση που η Τεχνολογία Παραγωγής χαρακτηρίζεται από CRS, τότε παρατηρείται ισότητα µεταξύ της nput και της output orented ΤΕ µιας παραγωγικής µονάδας, είτε είναι είτε δεν είναι τεχνικά αποτελεσµατική. Στη συνέχεια θα περιγράψουµε την περίπτωση των πολλαπλών εισροών πολλαπλών εκροών. Προηγουµένως όµως θα δώσουµε µερικούς ακόµα ορισµούς αναφορικά µε την αποτελεσµατικότητα. 2.4 Εκδοχές Αποτελεσµατικότητας Από όσα προηγήθηκαν µπορούµε να συµπεράνουµε ότι η Τεχνική Αποτελεσµατικότητα αναφέρεται στην ικανότητα µιας παραγωγικής µονάδας να λειτουργεί (ή όχι) στο όριο των αντικειµενικών δυνατοτήτων της τεχνολογίας παραγωγής που χρησιµοποιεί. Όµως στη σύγχρονη οικονοµική έρευνα έχουν καθιερωθεί και άλλες µορφές αποτελεσµατικότητας. Πιο συγκεκριµένα, κατά τους Fare, Grosskopf και Lovell 15

30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 (1994), η «Συνολική Αποτελεσµατικότητα» µιας παραγωγικής µονάδας θεωρείται ότι περιλαµβάνει τα εξής: Την «Τεχνική Αποτελεσµατικότητα». Την «Αποτελεσµατικότητα Μεγέθους ή Κλίµακας» (Scale Effcency SE) η οποία αναφέρεται στην ικανότητα µιας παραγωγικής µονάδας να λειτουργεί µε το άριστο µέγεθος, δηλαδή να µεγιστοποιεί το µέσο προϊόν, µε δεδοµένη την υφιστάµενη τεχνολογία παραγωγής. Την «ιανεµητική Αποτελεσµατικότητα» (Allocatve Effcency AE) η οποία αναφέρεται στην ικανότητα µιας παραγωγικής µονάδας να χρησιµοποιεί τις εισροές της σε άριστες ποσότητες, µε δεδοµένες τις αγοραίες τιµές των εισροών αυτών αλλά και την τεχνολογία παραγωγής. Ο συνδυασµός των δύο πρώτων συστατικών ονοµάζεται «Παραγωγική Αποτελεσµατικότητα» (Productve Effcency PE) ενώ ο συνδυασµός και των τριών συστατικών ονοµάζεται «Οικονοµική Αποτελεσµατικότητα» (Economc Effcency EE) Η Έννοια της Αποτελεσµατικότητας Κλίµακας Όπως ήδη αναφέραµε στο παράδειγµα της παραγωγής µιας εισόδου µιας εξόδου, για να είναι µία εταιρία τεχνικά αποτελεσµατική, αρκεί να λειτουργεί επάνω στο όριο των παραγωγικών δυνατοτήτων. ηλαδή κάθε σηµείο πάνω στο όριο των παραγωγικών δυνατοτήτων χαρακτηρίζεται από µοναδιαία ΤΕ. Όµως µεταξύ όλων των σηµείων επί του ορίου των παραγωγικών δυνατοτήτων, ένα σηµείο (τουλάχιστο) εµφανίζει µεγιστοποίηση του µέσου παραγόµενου προϊόντος. Μία παραγωγική µονάδα που λειτουργεί στο σηµείο αυτό λέµε ότι λειτουργεί µε µοναδιαία Αποτελεσµατικότητα Κλίµακας. Το σηµείο µεγιστοποίησης του µέσου προϊόντος επί του ορίου των παραγωγικών δυνατοτήτων ορίζει το «Άριστο Μέγεθος Κλίµακας Παραγωγής» (Most Productve Scale Sze MPSS). 16

31 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Για να µετρήσουµε την αποτελεσµατικότητα κλίµακας µιας παραγωγικής µονάδας που λειτουργεί κάτω από το όριο παραγωγικών δυνατοτήτων (και άρα είναι τεχνικά αναποτελεσµατική) θα πρέπει πρώτα να υπολογίσουµε τον βαθµό της τεχνικής της αποτελεσµατικότητας. Έστω ότι µια παραγωγική µονάδα απασχολεί ποσότητα εισροής x και παράγει ποσότητα προϊόντος y. ηλαδή, γεωµετρικά, η λειτουργία της δίνεται από το σηµείο Α του διαγρ Για τον υπολογισµό της SE προβάλλουµε το σηµείο Α επάνω στο όριο παραγωγικών δυνατοτήτων, δηλαδή, στην καµπύλη παραγωγής Οf(x). εδοµένου ότι η προβολή αυτή µπορεί να γίνει χρησιµοποιώντας ως σηµείο αναφοράς είτε την ποσότητα της χρησιµοποιούµενης εισροής, είτε την ποσότητα της παραγόµενης εκροής, προκύπτουν δύο εναλλακτικές µετρήσεις της αποτελεσµατικότητας κλίµακας. ιαγρ. 2.3 Αποτελεσµατικότητα Κλίµακας Έτσι, µπορούµε να προβάλλουµε το σηµείο Α στο σηµείο Β µε βάση την τεχνική αποτελεσµατικότητα εισροών. Στην συνέχεια µπορούµε να συγκρίνουµε την µέση παραγωγικότητα του σηµείου Β µε αυτή του αρίστου µεγέθους στο σηµείο C. Με τον τρόπο αυτό προκύπτει η αποτελεσµατικότητα κλίµακας ως προς τις εισροές (nput orented scale effcency ISE) του σηµείου Α ως ο λόγος: 17

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 y ISE( x) = x (2.4.α) y % x % ηλαδή, η αποτελεσµατικότητα κλίµακας ως προς τις εκροές ISE(χ) δείχνει το ποσοστό της εξοικονόµησης εισροών που µια παραγωγική µονάδα, η οποία λειτουργεί τεχνικώς αποτελεσµατικά, θα µπορούσε να επιτύχει προσαρµόζοντας το µέγεθός της ούτως ώστε να µεγιστοποιεί το µέσο παραγόµενο προϊόν, για τη δεδοµένη τεχνολογία παραγωγής. Εναλλακτικά, µπορούµε να προβάλλουµε το σηµείο Α στο σηµείο D µε βάση την τεχνική αποτελεσµατικότητα εκροών. Στην συνέχεια µπορούµε να συγκρίνουµε την µέση παραγωγικότητα του σηµείου D µε αυτή του αρίστου µεγέθους στο σηµείο C. Με τον τρόπο αυτό προκύπτει η αποτελεσµατικότητα κλίµακας ως προς τις εκροές (output orented scale effcency OSE) του σηµείου Α ως ο λόγος: y x OSE( x) = (2.4.β) y % x% ηλαδή, η αποτελεσµατικότητα µεγέθους ως προς τις εκροές OSE(χ) δείχνει το ποσοστό του επιπλέον προϊόντος που µια παραγωγική µονάδα, η οποία λειτουργεί τεχνικώς αποτελεσµατικά, θα µπορούσε να επιτύχει προσαρµόζοντας το µέγεθός της ούτως ώστε να µεγιστοποιεί το µέσο παραγόµενο προϊόν για τη δεδοµένη τεχνολογία παραγωγής. Θα πρέπει να τονιστεί ότι ο τρόπος µε τον οποίο ορίστηκε η αποτελεσµατικότητα επιτρέπει την ανεξαρτητοποίησή της από τις µονάδες µέτρησης των εισροών και εκροών. 2.5 Η Περίπτωση Παραγωγής Πολλών Εισόδων Πολλών Εξόδων Η περίπτωση της παραγωγής µιας εξόδου µε χρήση µιας εισόδου είναι η απλούστερη δυνατή αλλά σπάνια συναντάται στον πραγµατικό κόσµο. Στην πιο ρεαλιστική περίπτωση µιας παραγωγικής µονάδας που απασχολεί περισσότερες από 18

33 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ µία εισροές για την παραγωγή περισσοτέρων από µία εκροών, η έννοια της µέσης παραγωγικότητας ΑΡ(χ), όπως έχει οριστεί, είναι προβληµατική. Παρ όλα αυτά, µπορούµε να θεωρήσουµε τον συνδυασµό εισροών που η µονάδα αυτή χρησιµοποιεί ως µια σύνθετη εισροή, χ, ώστε να λάβουµε υπ όψη στην ανάλυσή µας αναλογικές µεταβολές του συνδυασµού χ δηλαδή, µεταβολές οι οποίες αφήνουν αµετάβλητο το µίγµα των συστατικών του συνδυασµού αυτού. Όµοια µπορούµε να θεωρήσουµε τον συνδυασµό των εκροών που παράγει η µονάδα αυτή ως µία σύνθετη εκροή, y, ώστε να λάβουµε υπ όψη στην ανάλυση µας αναλογικές µεταβολές του συνδυασµού y. Με το τρόπο αυτό η αποτελεσµατικότητα µπορεί να µελετηθεί όπως και στην απλή περίπτωση της µιας εισροής µιας εκροής, χρησιµοποιώντας στην θέση της µέσης παραγωγικότητας ΑΡ(χ), την Αναλογική Μέση Παραγωγικότητα του συνδυασµού χ και y RAP(χ) (Ray Average Productvty). Ακολουθεί η ανάλυση υπολογισµού της µέσης παραγωγικότητας στην περίπτωση παραγωγής Μ εκροών από Ν εισροές. Έστω λοιπόν τα διανύσµατα N χ1 χ2 χ Ν + εισροών χ = (,,.., ) R ( 1 2 ) και εκροών y =,,.., M γνωρίζουµε τα διανύσµατα τιµών για τις εισροές r = (,,.., 1 2 ) ( 1 2 ) εκροές q =,,.., q q q R N Ν + M y y y R+ r r r R N Ν +. Αν και για τις, τότε µπορούµε να υπολογίσουµε την «αθροιστική εισροή» (aggregate nput) και την «αθροιστική εκροή» (aggregate output) ως: N X x r x r = = (2.5.α) = 1 και M Y y q y q = = (2.5.β) = 1 αντίστοιχα. Οπότε η αναλογική µέση παραγωγικότητα RAP προκύπτει από το πηλίκο: Y y q = 1 RAP= = = X x r N xr = 1 M y q (2.6) 19

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Όταν όµως δεν είναι γνωστές οι τιµές, τότε τα διανύσµατα τιµών αντικαθίστανται από τα διανύσµατα βαρών που έχουν για στοιχεία τις λεγόµενες «Σκιώδεις Τιµές» (Shadow Prces). Οι σκιώδεις τιµές δεν είναι ίδιες για όλες τις µονάδες λήψης αποφάσεων. 2.6 Τεχνική Αποτελεσµατικότητα ως προς τις Εισροές ή τις Εκροές; Με άλλα λόγια ποια τεχνική αποτελεσµατικότητα είναι πιο κατάλληλη; Στην περίπτωση βεβαίως των σταθερών αποδόσεων κλίµακας, δεν έχει σηµασία αφού και οι δύο δίνουν τα ίδια αποτελέσµατα. Τι γίνεται όµως στην περίπτωση των µεταβαλλόµενων αποδόσεων κλίµακας; Στη σύγχρονη οικονοµική έρευνα έχει επικρατήσει να επιλέγεται το είδος της τεχνικής αποτελεσµατικότητας µε βάση το εάν µια παραγωγική µονάδα επηρεάζει πρωτίστως τις εισροές ή τις εκροές της. Στον αγροτικό τοµέα για παράδειγµα, οι παραγωγικές µονάδες επηρεάζουν κυρίως τις ποσότητες των εισροών τους από τις οποίες προσπαθούν να παράγουν όσο το δυνατόν µεγαλύτερες ποσότητες εκροών. Σε αυτή την περίπτωση η τεχνική αποτελεσµατικότητα ως προς τις εκροές είναι περισσότερο κατάλληλη. Αντίθετα, σε άλλους παραγωγικούς κλάδους, για παράδειγµα στην βαριά βιοµηχανία, µε αγορές προϊόντων ολιγοπωλιακές ή µονοπωλιακές, οι παραγωγικές µονάδες αποφασίζουν πρωτίστως για τις ποσότητες εκροών που επιθυµούν να παράγουν και εν συνεχεία φροντίζουν αυτές οι ποσότητες να παράγονται µε όσο το δυνατόν µικρότερες ποσότητες εισροών. Στην περίπτωση αυτή η τεχνική αποτελεσµατικότητα εισροών είναι πιο κατάλληλη. Όταν χρησιµοποιούµε παραµετρικά υποδείγµατα για να εκτιµήσουµε το όριο µιας τεχνολογίας παραγωγής µε µεταβαλλόµενες αποδόσεις κλίµακας, τότε το εκτιµούµενο όριο των παραγωγικών δυνατοτήτων που προκύπτει χρησιµοποιώντας ως σηµείο αναφοράς τις εισροές, διαφέρει από εκείνο που προκύπτει χρησιµοποιώντας ως σηµείο αναφοράς τις εκροές. Όµως στο πλαίσιο της µεθοδολογίας DEA τόσο τα υπόδειγµα υπολογισµού του βαθµό της τεχνικής αποτελεσµατικότητας ως προς τις εισροές, όσο και τα υποδείγµατα υπολογισµού της τεχνικής αποτελεσµατικότητας ως προς τις εκροές, εκτιµούν το ίδιο ακριβώς όριο 20

35 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ παραγωγικών δυνατοτήτων, δηλαδή χρησιµοποιούν τις ίδιες ακριβώς DMU ως οριοθέτες (όπου οι οριοθέτες προκύπτουν από τη φύση της µεθόδου DEA ως τεχνικά αποτελεσµατικές). Μόνο οι τιµές του βαθµού της τεχνικής αποτελεσµατικότητας των µη αποτελεσµατικών DMU διαφέρουν. Εδώ ολοκληρώνεται το δεύτερο κεφάλαιο. Έχοντας κατανοήσει τις βασικές έννοιες που θα µας απασχολήσουν στη συνέχεια της διπλωµατικής, µπορούµε να προχωρήσουµε στο τρίτο κεφάλαιο στο οποίο περιγράφεται η µεθοδολογία DEA. 21

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 22

37 Η ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ DEA ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΤΟ «Η ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ DEA» Όπως ήδη αναφέρθηκε στο πρώτο κεφάλαιο, για να µετρήσουµε την τεχνική αποτελεσµατικότητα απαιτείται η γνώση του ορίου των παραγωγικών δυνατοτήτων, που περιγράφεται από τη συνάρτηση παραγωγής. Όµως στη γενική περίπτωση δεν γνωρίζουµε τη συνάρτηση παραγωγής. Το µόνο που γνωρίζουµε είναι τα διανύσµατα εισροών και εκροών των διαφόρων µονάδων λήψης αποφάσεων. Θα πρέπει λοιπόν µε κάποιο τρόπο να προσεγγίσουµε το όριο των παραγωγικών δυνατοτήτων. Αυτό µπορεί να γίνει µε δύο τρόπους: a) Θεωρώντας µία µορφή της συνάρτησης παραγωγής (πχ Cobb Douglas) και προσπαθώντας από τα δεδοµένα να υπολογίσουµε τις παραµέτρους της µέσω οικονοµετρικών τεχνικών. Πρόκειται για την λεγόµενη παραµετρική προσέγγιση. b) Προσδιορίζοντας το όριο των παραγωγικών δυνατοτήτων χωρίς να υποθέσουµε κάποια µορφή της συνάρτησης παραγωγής. Πρόκειται για την µη παραµετρική προσέγγιση, κατά την οποία δεν χρησιµοποιούνται οικονοµετρικές τεχνικές αλλά γραµµικός προγραµµατισµός. Η µέθοδος Data Envelopment Analyss (DEA) από τις πιο σηµαντικές αυτής της κατηγορίας. Σκοπός αυτού του κεφαλαίου είναι να περιγράψουµε την µεθοδολογία DEA, καθώς επίσης να αναφέρουµε τις υποθέσεις εφαρµογής της, τα µειονεκτήµατά της και ορισµένες βασικές αρχές που την διέπουν. 23

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Γενικά για την DEA Η µεθοδολογία DEA δίνει µία εκτίµηση των effcency scores των διαφόρων µονάδων λήψης αποφάσεων χρησιµοποιώντας αποκλειστικά και µόνο τα διανύσµατα εισροών εκροών των µονάδων αυτών. Θα πρέπει να τονιστεί ότι η DEA δεν απαιτεί τη γνώση των τιµών (prces) των εισροών και εκροών. Κατά την εφαρµογή της DEA προσδιορίζεται ένα εµπειρικό όριο παραγωγικών δυνατοτήτων, στο οποίο, κάποιες από τις µονάδες λήψης αποφάσεων, θα λαµβάνονται εκ των πραγµάτων ως τεχνικά αποτελεσµατικές. Αυτές οι µονάδες λήψης αποφάσεων καλούνται «οριοθέτες» (fronters), ακριβώς επειδή ορίζουν το εµπειρικό όριο των παραγωγικών δυνατοτήτων. Με βάση τον προσδιορισµό αυτού του ορίου θα υπολογίζεται η τεχνική αποτελεσµατικότητα των υπολοίπων µονάδων λήψης αποφάσεων. Η ελληνική µετάφραση της «Data Envelopment Analyss» θα µπορούσε να είναι «Περιβάλλουσα Ανάλυση εδοµένων». Ονοµάζεται έτσι διότι κατά την εφαρµογή της προκύπτει ένα «περικλείον όριο», το όριο των παραγωγικών δυνατοτήτων. Όλα τα σηµεία δεδοµένων (data ponts), που έχουν ως συντεταγµένες τα µεγέθη εισροών εκροών εκάστης µονάδας λήψης αποφάσεων, βρίσκονται εσωτερικά αυτού του ορίου ή επάνω σε αυτό. ηλαδή αυτό το όριο λειτουργεί σαν «φάκελος» για τα data ponts. 3.2 Υποθέσεις Εφαρµογής της DEA Οι απαραίτητες υποθέσεις εφαρµογής της DEA είναι πολύ γενικές και ισχύουν για κάθε συνάρτηση παραγωγής οιονεί κοίλη και µονότονη. Πιο συγκεκριµένα: A. Όλοι οι συνδυασµοί των παρατηρούµενων εισροών εκροών είναι εφικτοί συνδυασµοί. B. Το σύνολο παραγωγικών δυνατοτήτων είναι κυρτό. Έστω δύο εφικτοί συνδυασµοί εισροών εκροών (χ Α, y A ) και (χ Β, y Β ) που αφορούν δύο εταιρίες Α και Β αντίστοιχα. Τότε ο σταθµισµένος µέσος συνδυασµός εισροών 24

39 Η ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ DEA εκροών (χ C, y C ), όπου χ C = λχ Α +(1-λ)χ Β και y C = λy Α +(1-λ)y Β µε 1 λ 0, είναι επίσης εφικτός συνδυασµός. C. Τόσο οι εισροές όσο και οι εκροές είναι «ισχυρώς ή ελεύθερα διαθέσιµες» (free or strong dsposable). Αυτό σηµαίνει ότι αν (χ 0, y 0 ) είναι εφικτά τότε για κάθε χ χ 0 καθώς και για κάθε y 0 y οι συνδυασµοί εισροών εκροών (χ, y 0 ) και (χ 0, y) είναι επίσης εφικτοί. Με άλλα λόγια η µεµονωµένη αύξηση µιας οποιασδήποτε εισροής δεν µπορεί σε καµία περίπτωση να προκαλέσει µείωση της παραγόµενης ποσότητας οποιασδήποτε εκροής. Αυτό όµως δεν ισχύει πάντοτε. Ας θεωρήσουµε για παράδειγµα µία αγροτική έκταση. Το νερό είναι απαραίτητη εισροή για την παραγωγή των αγροτικών προϊόντων. Αν όµως η ποσότητα του νερού αυξηθεί υπερβολικά (πληµµυρά) τότε η καλλιέργεια θα καταστραφεί. Εδώ δεν µελετάµε τέτοιες περιπτώσεις. D. Αν επιπλέον θεωρήσουµε ότι ισχύει η υπόθεση των «Σταθερών Αποδόσεων Κλίµακας» (Constant Return to Scale, CRS) τότε για κάθε k 0 εάν (χ, y) είναι εφικτός συνδυασµός τότε και ο (kχ, ky) θα είναι επίσης εφικτός συνδυασµός. Η υπόθεση των σταθερών αποδόσεων κλίµακας ήταν απαραίτητη στην πρώτη εκδοχή της DEA, όπως παρουσιάστηκε από τους Charnes, Cooper και Rhodes (CCR). Όµως αργότερα οι Banker Charnes και Cooper (BCC) τροποποίησαν το CCR µοντέλο ώστε να είναι εφαρµόσιµο και σε τεχνολογίες παραγωγής µεταβαλλόµενων αποδόσεων κλίµακας. Παρατηρούµε ότι καµία υπόθεση δεν έγινε αναφορικά µε τη µορφή της συνάρτησης παραγωγής. Αυτό είναι ένα βασικό πλεονέκτηµα των µη παραµετρικών µεθόδων σε σχέση µε τις παραµετρικές µεθόδους για τις οποίες είναι πολύ σηµαντική η κατάλληλη επιλογή της µορφής της συνάρτησης παραγωγής αφού αυτή, σε σηµαντικό βαθµό, θα καθορίσει τα τελικά αποτελέσµατα. 3.3 Κατάστρωση των Εξισώσεων Γραµµικού Προγραµµατισµού της DEA Ας υποθέσουµε ότι υπάρχουν διαθέσιµα στοιχεία για Ν παραγωγικές µονάδες, καθεµία από τις οποίες χρησιµοποιεί Κ εισροές για να παράγει Μ εκροές µέσω µιας 25

40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 τεχνολογίας παραγωγής σταθερών αποδόσεων κλίµακας. Το διάνυσµα εισροών της παραγωγικής µονάδας συµβολίζεται µε Y και το αντίστοιχο διάνυσµα εισροών µε X. Οι εισροές όλων µαζί των παραγωγικών µονάδων περιλαµβάνονται στον διαστάσεων (ΚxΝ) πίνακα X και όλων των εκροών στον διαστάσεων (ΜxΝ) πίνακα Υ. Για να υπολογιστεί η τεχνική αποτελεσµατικότητα θα πρέπει να υπολογίσουµε τα σταθµισµένα αθροίσµατα εισροών εκροών, όπως αναφέραµε στην παράγραφο 2.5. Όµως το βασικό ερώτηµα που τίθεται είναι το πώς θα καθορίσουµε τα διανύσµατα βαρών που θα χρησιµοποιήσουµε στη στάθµιση. Η υπόθεση ότι τα διανύσµατα βαρών θα ήταν τα ίδια για όλες τις µονάδες λήψης αποφάσεων δεν είναι ρεαλιστική δεδοµένου ότι η κάθε µονάδα µπορεί να αξιολογεί µε διαφορετικό τρόπο την κάθε εισροή ή εκροή. Εξάλλου η αυθαίρετη επιλογή των συντελεστών στάθµισης δεν µπορεί να έχει κάποιο επιστηµονικό αντίκρισµα. Η µέθοδος DEA αναγνωρίζοντας τα δύο αυτά προβλήµατα επιλέγει για την κάθε DMU εκείνους τους συντελεστές βαρύτητας που την τοποθετούν στην πλέον ευνοϊκή θέση σε σύγκριση µε τις υπόλοιπες DMU. Έτσι στο πλαίσιο της µεθόδου DEA, η τεχνική αποτελεσµατικότητα (ΤΕ) µιας DMU, έστω, προκύπτει ως η λύση του παρακάτω προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού: «Να µεγιστοποιηθεί η Τεχνική Αποτελεσµατικότητα της κάθε DMU, υπό τον περιορισµό ότι η Τεχνική Αποτελεσµατικότητα των λοιπών DMU είναι 1». Σε αυστηρά µαθηµατική διατύπωση, το παραπάνω πρόβληµα, στην περίπτωση τεχνολογίας CRS, γράφεται ως εξής: Max ' y u v' χ u ' y v' χ u, v s. t. 1 = 1,2,..,N u, v 0 (3.1) όπου u, v είναι οι τα διανύσµατα των συντελεστών βαρύτητας για την οµαδοποίηση των εκροών και εισροών και ο τόνος συµβολίζει το ανάστροφο ενός διανύσµατος 26

41 Η ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ DEA (πρόκειται δηλαδή απλώς για εσωτερικά γινόµενα διανυσµάτων). Τα στοιχεία των διανυσµάτων u, v αποτελούνται από θετικές ή το πολύ µηδενικές ποσότητες. Εάν ο βαθµός της τεχνικής αποτελεσµατικότητας µιας συγκεκριµένης DMU είναι ίσος µε την µονάδα τότε η εν λόγω DMU χρησιµοποιεί την τεχνολογία παραγωγής µε τρόπο αποτελεσµατικό σε σχέση µε τις υπόλοιπες DMU. Εάν ωστόσο ο βαθµός της τεχνικής της αποτελεσµατικότητας είναι µικρότερος της µονάδας, αυτό σηµαίνει ότι κάποιες άλλες DMU είναι περισσότερο αποτελεσµατικές, ακόµη και όταν οι συντελεστές βαρύτητας για την οµαδοποίηση των εισροών της συγκεκριµένης DMU επιλέγονται έτσι ώστε να µεγιστοποιείται ο βαθµός της τεχνικής της αποτελεσµατικότητας (υπόθεση της DEA). Το πρόβληµα (3.1) είναι διατυπωµένο µε την µορφή λόγων οπότε θα πρέπει πρώτα να µετατραπεί σε γραµµική µορφή για να µπορέσει να επιλυθεί µε την µέθοδο του γραµµικού προγραµµατισµού. Αυτή η µετατροπή είναι εύκολη γιατί όταν µεγιστοποιεί κανείς έναν λόγο (κλάσµα) εκείνο που ενδιαφέρει τελικά είναι το σχετικό µέγεθος του αριθµητή προς τον παρανοµαστή και όχι οι απόλυτες τιµές τους. Συνεπώς, η µεγιστοποίηση ενός λόγου (κλάσµατος) µπορεί να επιτευχθεί θέτοντας τον παρανοµαστή ίσο µε κάποια σταθερή τιµή και µεγιστοποιώντας τον αριθµητή Η Περίπτωση των Σταθερών Αποδόσεων Κλίµακας (CRS) Για τον λόγο αυτό επιβάλλουµε τον περιορισµό εξής γραµµική µορφή του υποδείγµατος CRS DEA (3.1): v x = 1, οπότε προκύπτει η max ( µ y ) µν, s. t v x = 1 µ y v x 0, j = 1,2,..,N µ, ν 0 j j (3.2.α) όπου οι συντελεστές βαρύτητας συµβολίζονται πλέον µε µ και ν αντί των u και v για να υπογραµµισθεί το γεγονός ότι το πρόβληµα (3.2.α) είναι ένα διαφορετικό πρόβληµα γραµµικού προγραµµατισµού από το (3.1). 27

42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Στη συνέχεια, από το πρόβληµα γραµµικού προγραµµατισµού (3.2.α), προκύπτει το αντίστοιχο δυϊκό πρόβληµα: ˆ θ ˆ θ. λ s. t -y + Yλ 0 mn ˆθ x Xλ 0 λ 0 (3.2.β) όπου ˆ θ είναι µία παράµετρος που θα µας απασχολήσει πολύ στη συνέχεια, και λ το διαστάσεων (Νx1) διάνυσµα των νέων (δυϊκών) µεταβλητών. Το πρόβληµα αυτό µπορεί επίσης να γραφεί σε πιο αναλυτική µορφή: n ˆ θ = mn{ θ y l y ; θ x l x ; j j j j j= 1 j= 1 θ >0 ; l 0, j=1,..,n} j n (3.2.γ) όπου χ R + p και y R + q. Παρατηρούµε ότι το πρωτεύον πρόβληµα (3.2.α) υπόκειται σε (Ν+1) περιορισµούς ενώ το δυϊκό (3.2.β) σε (Κ+Μ) περιορισµούς. εδοµένου ότι ο αριθµός Ν των εξεταζόµενων DMU είναι κατά κανόνα πολύ µεγαλύτερος από των αριθµό εκροών Μ και εισροών Κ που αυτές χρησιµοποιούν, το δυϊκό πρόβληµα (3.2.β) υπόκειται σε πολύ λιγότερους περιορισµούς απ ότι το πρωτεύον πρόβληµα (3.2.α) και έτσι έχει επικρατήσει η λύση του δυϊκού προβλήµατος. Ο λόγος είναι ότι στα προβλήµατα γραµµικού προγραµµατισµού όσο λιγότεροι είναι οι περιορισµοί τόσο ευκολότερη είναι και η επίλυσή τους. Το πρόβληµα (3.2.β) λοιπόν πρέπει να επιλυθεί Ν φορές, δηλαδή, για κάθε µια DMU του εξεταζόµενου δείγµατος, ενώ η τιµή της παραµέτρου ˆ θ, που προκύπτει σε κάθε λύση, αντιστοιχεί στο βαθµό της τεχνικής αποτελεσµατικότητας εισροών της εκάστοτε παραγωγικής µονάδας, οπότε θα ισχύει 0 θ ˆ 1. Η τιµή αυτή ονοµάζεται στα αγγλικά effcency score. Χρησιµοποιούµε δε το συµβολισµό ˆ θ αντί θ, επειδή 28

43 Η ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ DEA αυτό το effcency score είναι η εκτίµηση της DEA, αναφορικά µε το πραγµατικό και άγνωστο effcency score. Το πρόβληµα (3.2.β) αντιστοιχεί στην nput orented εκδοχή της τεχνικής αποτελεσµατικότητας για CRS τεχνολογία παραγωγής. Η output orented εκδοχή είναι η ακόλουθη: max φ ˆ. φ λ ˆ s. t - ˆ φ y + Yλ 0 x Xλ 0 λ 0 (3.3.α) όπου ˆ φ p και ˆ φ είναι η αναλογική αύξηση των εκροών που θα µπορούσε να 1 επιτύχει µια DMU κρατώντας τις ποσότητες εισροών σταθερές. Τα output orented techncal effcency score θα είναι τα αντίστροφα των εκάστοτε ˆ φ, δηλαδή Η πιο αναλυτική µορφή της (3.3.β) είναι η ακόλουθη: ˆ θ = ˆ φ. 1 n ˆ φ = max{ φ φ y l y ; x l x ; j j j j j= 1 j= 1 φ >1 ; l 0, j=1,..,n} j n (3.3.β) και χ R + p και y R + q Η Περίπτωση των Μεταβαλλόµενων Αποδόσεων Κλίµακας (VRS) Η υπόθεση των σταθερών αποδόσεων κλίµακας είναι κατάλληλη µόνο όταν όλες οι εξεταζόµενες DMU λειτουργούν µε το άριστο µέγεθος, δηλαδή δεν αντιµετωπίζουν προβλήµατα αναποτελεσµατικότητας µεγέθους (κλίµακας). Στις περισσότερες όµως περιπτώσεις θα ήταν πιο ρεαλιστικό να υποθέσουµε ότι κάποιες τουλάχιστο από τις εξεταζόµενες DMU δεν λειτουργούν µε το άριστο µέγεθος. Η χρησιµοποίηση του υποδείγµατος CRS DEA στην περίπτωση αυτή οδηγεί σε εκτιµήσεις τεχνικής αποτελεσµατικότητας που ως ένα βαθµό µπορεί να οφείλονται 29