qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj
|
|
- Κῆρες Μεταξάς
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι 0 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΤΑ qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj ΜΕΛΗ ΤΟΥ MATHEMATICA.GR Έλυσαν οι: klzxcvλοπbnαmqwertyuiopasdfghjkl Ευθύμης Αλεξίου(ealexiou), Γιώργος Βισβίκης (george visvikis), Γιώργος Γαβριλόπουλος(gavrilos), Γιώργης Καλαθάκης(exdx), Χρήστος Κυριαζής(chris_gatos) zxcvbnmσγqwφertyuioσδφpγρaηsόρ Μιχάλης Λάμπρου, Σωτήρης Λουρίδας(S.E.Louridas) Θάνος Μάγκος(matha), Βαγγέλης Μουρούκος(emouroukos), Γιώργος Μπαλόγλου(gbaloglou) ωυdfghjργklαzxcvbnβφδγωmζqwert Λευτέρης Πρωτοπαπάς, Γιώργος Ρίζος, Γιάννης Σταματόγιαννης(STOPJOHN) Νίκος Φραγκάκης(Doloros) λκοθξyuiύασφdfghjklzxcvbnmqwerty uiopaβsdfghjklzxcεrυtγyεuνiιoαpasdf ghjklzxcηvbnασφδmqwertασδyuiopa sdfασδφγθμκxcvυξσφbnmσφγqwθeξ τσδφrtyuφγςοιopaασδφsdfghjklzxcv ασδφbnγμ,mqwertyuiopasdfgασργκο ϊτbnmqwertyσδφγuiopasσδφγdfghjk lzxσδδγσφγcvbnmqwertyuioβκσλπp asdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdγαε ορlzxcvbnmqwertyuiopasdfghjkαεργ
2 Τα θέματα προτάθηκαν από τον Χρήστο Κυριαζή (chris_gatos) και τον Γιώργο Βισβίκη(george visvikis, θέματα 8 και 0) στα πλαίσια του φακέλου του mathematica.gr, ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ Α.Σ.Ε.Π- «Προτεινόμενα θέματα Μαθηματικών» Για το mathematica.gr, για όλα τα μέλη του. Βιβλιογραφία: ) Lecture notes on Mathematical Olympiad Courses for Junior section, vol., Xu Jiagu, World Scientific 00. ) Geometric Problems on maxima and minima, Titu Andreescu, Oleg Mushcarov, Luchezar Stoyanof, Birkhauser ) Ευκλείδιος Γεωμετρία Επίπεδος, Σπ.Γ. Κανέλλου, η έκδοσις, Παπαδημητρόπουλου )Ανισότητες,Π.Ε.Τσαούσογλου, Αναστασάκης Αυγούστου 04 ΚΑΛΗ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ!
3 η ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ Έστω AB, CD δύο ευθύγραμμα τμήματα τεμνόμενα στο εσωτερικό σημείο τους O. Αν AB CD και επιπλέον AOC ˆ 60 τότε να αποδείξετε ότι: AC BD. Λύση η (Μιχάλης Λάμπρου) Κάνουμε παράλληλη μετατόπιση του AC ώστε να έρθει στην θέση ED, οπότε το ACDE είναι παραλληλόγραμμο. Το τρίγωνο ABE είναι ισόπλευρο ως ισοσκελές, AE CD AB, με μία γωνία 60. Άρα AC BD ED BD BE, όπως θέλαμε. ΛΥΣΗ η (Σωτήρης Λουρίδας) Έχουμε AOC BOD 60 DBDO OB, ACAO OC, οπότε με μία πρόσθεση κατά μέλη άμεσα παίρνουμε το ζητούμενο. Το ισχύει όταν τα τρίγωνα ACO, BDO είναι ισόπλευρα. 3
4 η ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ Έστω κυρτό τετράπλευρο ABCD με BAD ˆ BCD ˆ 90. Αν η ημιευθεία Ax διχοτομεί τη BAD ˆ και επιπλέον A x / / BC, Ax CD και η Ax τέμνει τη BD στο E, να αποδείξετε ότι: AE CD. ΛΥΣΗ η (Νίκος Φραγκάκης) Για την επίτευξη του σχήματος της εκφώνησης θεωρώ κύκλο κέντρου K και διαμέτρου BD.Τα A, C βρίσκονται επί του κύκλου και εκατέρωθεν της BD. Ας πούμε στο «άνω» και «κάτω» ημικύκλιο. Ακόμα η AE διέρχεται από το μέσο N του κάτω ημικυκλίου. Για κάθε θέση του A στο άνω ημικύκλιο και προς τη μεριά του B γράφω κύκλο ( N, AB ) που τέμνει το κάτω ημικύκλιο σε δύο σημεία και έστω C αυτό που βρίσκεται ανάμεσα στα B, N. Το τετράπλευρο ABCD υπακούει στις προδιαγραφές της άσκησης. Ας είναι L το μέσο της χορδής AN, M το μέσο της χορδής CD και O το σημείο τομής των AN και CD. Τα τρίγωνα OAD, OCN είναι ισοσκελή ορθογώνια άρα το τετράπλευρο ACND ισοσκελές τραπέζιο συνεπώς και το τετράπλευρο CNML είναι κι αυτό ισοσκελές τραπέζιο αφού τα M, L μέσα των διαγωνίων του ACND. Μετά απ αυτά AE AL LN CM CD. 4
5 ΛΥΣΗ η (Σωτήρης Λουρίδας) Παρατηρούμε ότι: BK KA, BKT LNK KAL BTK ALK TK AL CD AL AE. Η ανισότητα είναι αυστηρή καθότι τα σημεία B, C δεν ταυτίζονται. 3 η ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ Σε ένα τρίγωνο ABC με μήκη πλευρών a BC, b AC, c AB. Αν ισχύει b ( a c ) τότε να αποδείξετε ότι: B ˆ ˆ ˆ ( A C ). ΛΥΣΗ η (Γιώργος Βισβίκης) ( ) b a c b a c 4b a ac c () () 4b 4a 4c 8ac cos B 3( a c ) 8ac cos B ac ac( 4 cos B) 3( a c ) 6ac 4 cos B 3 cos B κι επειδή η συνάρτηση cosx είναι γνησίως φθίνουσα στο [0, ] θα είναι B 60 3B 80 3 B A B C B ( A C ). ΛΥΣΗ η (Θάνος Μάγκος) 0 0 Από τον Νόμο των Ημιτόνων είναι a c sin A sin C b sin B, οπότε, λόγω της ανισότητας Jensen, είναι sin sin( A C B ) sin B sin( B ) sin B cos B cos B B B sin sin B,
6 δηλαδή η ζητούμενη. ΛΥΣΗ 3 η (Σωτήρης Λουρίδας) Θα εργαστούμε γεωμετρικά και με βάση την μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο. b a c BA C B60 bka bad c a, που είναι άτοπο άρα ισχύει B A C. Προφανώς το ευθύγραμμο τμήμα AD είναι διάμετρος του κύκλου d με κέντρο το K, που έχει την ιδιότητα ATC B, για τούτο ισχύει ADAT c a. (*) Απλά ας μου επιτραπεί να υπενθυμίσουμε για τους Μαθητές, πως για να εργαστούν με την μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο, για την απόδειξη της p q, υποθέτουμε p q, που είναι ισοδύναμη με την p q. 4 η ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ Έστω τρίγωνο ABC με μεγαλύτερη πλευρά AC. Έστω M σημείο της προέκτασης της AC τέτοιο ώστε CM BC. Να αποδείξετε ότι η γωνία ABM ˆ είναι αμβλεία. ΛΥΣΗ η (Λευτέρης Πρωτοπαπάς) Αφού AC BC CM θεωρούμε σημείο M στο AC έτσι ώστε CM CM. 6
7 Στο τρίγωνο M BM το BC είναι διάμεσος και ισούται με το μισό της υποτείνουσας, o άρα είναι ορθογώνιο με M BM 90.To M είναι εσωτερικό σημείο του AC, οπότε ABM M BM 90. ΛΥΣΗ η (Γιώργος Βισβίκης) Έστω A ˆ, B ˆ, C ˆ οι γωνίες του τριγώνου ABC, με ˆB τη μεγαλύτερη γωνία του. Είναι: ˆ ˆ Cˆ Bˆ Aˆ 90 ΛΥΣΗ 3 η ( Γιάννης Σταματόγιαννης) 0 ABM B, άρα αμβλεία. Θέτουμε CBM BMC, ABC Εφόσον η πλευρά AC είναι η μεγαλύτερη στο τρίγωνο ABC 0 80 A 90 ABM η ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ Έστω δύο κυρτά τετράπλευρα, ABCD A B C D τα οποία έχουν ίσες τις ομόλογες πλευρές τους. ( AB AB, BC BC... ). Αν ισχύει Aˆ A ˆ τότε να αποδείξετε ότι: Bˆ Bˆ, Cˆ Cˆ, Dˆ D ˆ. ΛΥΣΗ η (Γιώργης Καλαθάκης) 7
8 Από τη σύγκρισή των τριγώνων ABD, ABD (δυο πλευρές ίσες και τις περιεχόμενες γωνίες άνισες ) έπεται ότι BD BD Ομοίως από τα CBD, CBD έχουμε ότι : C C Τότε : A A C C B D B D A B C D A B C D 360 () Έστω ότι B B. Τότε και AC AC D D B D B D, άτοπο από την () Ομοίως αν D D. Τελικά Bˆ Bˆ, Cˆ Cˆ, Dˆ D ˆ. ΛΥΣΗ η (Μιχάλης Λάμπρου) Στα τρίγωνα ABD, ABD έχουμε AB AB, AD AD, A A. Άρα BD BD, οπότε στα τρίγωνα BCD, BCD έχουμε BC BC, CD CD, BD BD, από όπου C C. Για τις άλλες δύο γωνίες: Αφού ( A C) ( B D) 360 ( A C) ( B D) και A C A C, έπεται B D B D. Άρα ισχύει τουλάχιστον ένα από τα B B, D D. Όποιο από τα δύο και αν ισχύει, ένα επιχείρημα όπως το παραπάνω δείχνει ότι ισχύει και το άλλο. ΛΥΣΗ 3 η (Ευθύμης Αλεξίου) Κάνω χρήση a ) του θεωρήματος Αν δύο τρίγωνα ABC και A B C έχουν ίσες δύο αντίστοιχες πλευρές ( AB AB, AC AC ) και τις σχηματιζόμενες από αυτές γωνίες άνισες ( Aˆ A ˆ) τότε αντίστοιχα άνισες είναι και οι πλευρές τους έναντι των γωνιών ( BC BC ) και το αντίστροφο πόρισμα αυτού του θεωρήματος και ) της εις άτοπον απαγωγής. AB AB BC BC Έχουμε : AD AD BD BD και CD CD Cˆ Cˆ. ˆ ˆ A A BD BD AB AB AD AD Έστω B ˆ B ˆ, τότε: BC BC AC AC και CD CD Dˆ Dˆ ˆ ˆ B B AC BD Έτσι έχουμε 8
9 ˆ ˆ ˆ ˆ A B C D 360 A B C D 360, άτοπον άρα B ˆ B ˆ AC AC D ˆ D ˆ. 6 η ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ Έστω τρίγωνο ABC και G το κέντρο βάρους του. Έστω μία ευθεία η οποία διέρχεται από το G και D, E τα σημεία που τέμνει τις πλευρές AB, AC του τριγώνου. Να αποδείξετε ότι σε κάθε περίπτωση η διαφορά των εμβαδών των δύο χωρίων που χωρίζεται το εσωτερικό του τριγώνου από την δεν ξεπερνά το 9 του εμβαδού του ABC. ΛΥΣΗ(Ευθύμης Αλεξίου) Καθώς η ευθεία περιστρέφεται περί το G τέμνοντας τις AB και AC στα σημεία D και E διακρίνω δύο ακρότατα όσον αφορά την διαφορά των εμβαδών των δύο χωρίων που χωρίζεται το εσωτερικό του τριγώνου. -Όταν η τείνει να συμπέσει με μία διάμεσο τα εμβαδά των χωρίων τείνουν να γίνουν ίσα και συνεπώς και η διαφορά των εμβαδών τους τείνει στο 0 -Όταν η γίνει παράλληλος της BC, οπότε GD0 GE 0 η διαφορά των εμβαδών των δύο χωρίων γίνεται η μεγαλύτερη δυνατή. 4 Έστω, χωρίς βλάβη της γενικότητας, ότι ( ABC) ( AD0E0 ) ( ABC) και ( D0 E0CB) και η διαφορά είναι 5 4, άρα δεν ξεπερνά το Περιστρεφόμενη η και σε όποια θέση βρεθεί δημιουργούνται ένθεν και ένθεν του G και της D0E 0 δύο τρίγωνα με ίση βάση GD0 GE 0, το εμβαδόν του ενός GDD 0 με μεγαλύτερο ύψος, άρα και μεγαλύτερο εμβαδόν, προστίθεται στο \( AD0 E 0) και το εμβαδόν του άλλου ( GEE 0) με μικρότερο ύψος, άρα και μικρότερο εμβαδόν αφού 9
10 έχουν ίσες βάσεις, αφαιρείται από το ( AD0E 0), άρα ( ADE) ( AD0E 0 ) και κατά συνέπεια ( ADE ) ( DECB ). ( ABC) 9 7 η ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ Έστω ένα ορθογώνιο τρίγωνο ABC με C ˆ 90 και AC BC. Πάνω στην υποτείνουσα AB λαμβάνουμε σημείο P και φέρνουμε τις προβολές του πάνω στις κάθετες πλευρές AC, BC του τριγώνου, ας είναι αυτές Q, R αντίστοιχα. Θεωρώντας τα εμβαδά των ορθογωνίων τριγώνων BPR, AQP και του ορθογωνίου τετραπλεύρου PRCQ να αποδείξετε ότι ανεξάρτητα από τη θέση του P το μεγαλύτερο από τα τρία εμβαδά είναι τουλάχιστον. 9 ΛΥΣΗ(Μιχάλης Λάμπρου) Θέτουμε PQ x, οπότε PQ AQ x και CQ PR RB x. 4 Αν x / 3 τότε ( AQP) x Όμοια, αν x / 3 τότε ( BPR) ( x ). 9 9 Στην περίπτωση x είναι ( ) ( ) 3 3 PRCQ x x 9 x 3 3 x 9 ( άλλος τρόπος: το γράφημα της παραβολής x( x ) στο εν λόγω διάστημα στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω, άρα έχει ελάχιστη τιμή στα άκρα, ίση με 9. Οι ανισότητες είναι γνήσιες εκτός αν x ή 3 x οπότε έχουμε ισότητα η ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ Σε ένα τρίγωνο ABC με C ˆ B ˆ ας είναι BE, CF τα ύψη του τριγώνου στις CA, AB αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: AB CF AC BE. ΛΥΣΗ η (Γιώργος Βισβίκης) AB AC (αφού C ˆ B ˆ ) BE CF AB A AC A ( AB AC) A A 0
11 BE CF AB AC AB CF AC BE (Η ανισότητα είναι γνήσια, εκτός κι αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο στο A και τα σημεία A, E, F συμπίπτουν). ΛΥΣΗ η (Νίκος Φραγκάκης) Έστω Z σημείο της πλευράς AB τέτοιο ώστε AZ AB. Αν K, T οι προβολές του Z στις AC και BF αντίστοιχα,θα είναι ZK CF Y c ως ύψη από την βάση ισοσκελούς τριγώνου προς τις ίσες πλευρές. Προφανές δε ότι το TEKZ είναι ορθογώνιο. Επίσης BZ BA ZA AB AC c b () και BT BE TE BE ZK BE CF Y Y Από το ορθογώνιο τρίγωνο TBZ με υποτείνουσα την BZ έχουμε: BZ BT c b Yb Yc c Yc b Y b. Έχουμε: b c () ΛΥΣΗ 3 η (Σωτήρης Λουρίδας) BE CF AB AC AB AC AB AC AB BE AC CF AB CF AC BE. 9 η ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ Σε ένα τρίγωνο ABC ισχύουν AB AC, AD BC. Αν P είναι ένα τυχαίο σημείο πάνω στην AD, διαφορετικό από τα A, D, να αποδείξετε ότι PB PC AB AC. ΛΥΣΗ η (Μιχάλης Λάμπρου) Με χρήση της AB AC PB PC έχουμε
12 PB PC PB PC ( PB PD ) ( PC PD ) PB PC PB PC AB AC AB AC BD DC ( AB AD ) ( AC AD ) AB AC AB BC AB AC AB AC AB AC ΛΥΣΗ η (Νίκος Φραγκάκης) Επειδή AB AC θα είναι και DB DC. Έτσι το συμμετρικό K του C ως προς το D θα είναι σημείο του τμήματος BD και προφανώς τα τρίγωνα AKC, PKC ισοσκελή με κοινή βάση το KC. Έστω ακόμα T το σημείο τομής των διαγωνίων του τετραπλεύρου ABKP. Η προς απόδειξη : PB PC AB AC PB PK AB AK PB AK AB PK. ΛΥΣΗ 3 η (Γιάννης Σταματόγιαννης) Έστω AM η διάμεσος του τριγώνου ABC Τότε ισχύουν CP PB CA AB AB AC CB DM (),. () CB DM CB DM Θα είναι,λόγω των (),() : PB CP AB AC PC PB AC AB Έγινε εφαρμογή και του θεωρήματος διαμέσων στο τρίγωνο CPB.
13 ΛΥΣΗ 4 η (Γιώργος Ρίζος) Σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων με κέντρο O (0,0) παίρνουμε τα σημεία A(0, a), B( b,0), C(,0), a 0, b ), που σχηματίζουν τρίγωνο ABC με AB AC. Στο ύψος AO παίρνουμε σημείο P(0, t),0 t a. Τότε για να ισχύει η συνθήκη PB PC AB AC αρκεί: PB AC PC AB t b a a b t t b a a t b a t b a b t a t b t a b a t b a t b a t b t a b b a t b t a b a t a t 0 b a t 0, που ισχύει, αφού, t a b. 0 η ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ Έστω ABC τρίγωνο με μήκη πλευρών a, b, c. Να αποδείξετε πως υπάρχει τρίγωνο με πλευρές,, a b b c c a. ΛΥΣΗ (Θάνος Μάγκος) Έστω a max{ a, b, c }. Είναι max {,, }. b c a b b c c a Επομένως αρκεί να αποδείξουμε ότι. b c a b a c 4 abc 4 Είναι. a b a c a b c 3( b c) b c 3
14 η ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ Έστω τρίγωνο ABC και BB, CC οι δύο διάμεσοι του. 9 Να αποδείξετε ότι: BB CC BC. 8 ΛΥΣΗ η (Νίκος Φραγκάκης) Για ευκολία συμβολισμών και πράξεων θέτω: BB x ( m ) CC y ( m ). Επίσης έστω ακόμα: b c BC a, CA b, AB c και τη διάμεσο από το A, έστω AA ma Επειδή x a c b, a y b c έχουμε: x 4 4 4a b c 9a Αρκεί να δείξουμε ότι: 4 8 ισοδύναμα αρκεί να δείξουμε ότι : a b c y a b c 9a, δηλαδή a a a b c ma ma 0 που ισχύει. ΛΥΣΗ η (Γιώργος Βισβίκης) Έστω G το βαρύκεντρο του τριγώνου. Εφαρμόζω το θεώρημα των διαμέσων στο τρίγωνο GBC. BC 4 BC GB GC GA BB CC AA 9 9 AA 9 9 BB CC BC BB CC BC 8 8 4
15 η ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ Έστω τρίγωνο ABC. Μία ευθεία γραμμή τέμνει τις πλευρές AB, BC του τριγώνου στα σημεία M και K αντιστοίχως, έτσι ώστε το εμβαδόν του τριγώνου MBK και MB BK του τετραπλεύρου AMKC να είναι ίσα. Να αποδείξετε ότι. AM CA KC 3 ΛΥΣΗ (Γιάννης Σταματόγιαννης) Θέτουμε BM x, BK.Η αποδεικτέα ανισοϊσότητα γράφεται 4( x ) a b c(*). Από την υπόθεση είναι: AB BC ( MBK ) ( AMKC) ( ABC) ( MBK ) x ca,() BM BK Ισχύουν οι ανισότητες : 0 (),0 x c(3) Οι (),(3) λόγω της () δίνουν: 0 ca ca a c x 0 c a x Προσθέτουμε τις δυο τελευταίες σχέσεις και από την τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο ABC έχουμε το επιθυμητό αποτέλεσμα δηλαδή την (*) Σημείωση του επιμελητή μετά από επικοινωνία με τον λύτη: x y a c x y a c και x y a b c 4 4. a c b a c a b c επομένως: ΥΓ: Δεν βλέπω να ισχύει η ισότητα...; και στην ανισότητα () άφησα το ίσον για προβληματισμό... 3 η ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ Έστω τρίγωνο ABC. Ας είναι D το μέσο του AB, E και F σημεία των AC, BC αντιστοίχως. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τριγώνου DEF δεν ξεπερνά το άθροισμα των εμβαδών ADE, BDF. 5
16 ΛΥΣΗ η (Γιώργος Βισβίκης) Προεκτείνω την ED κατά τμήμα DZ DE, οπότε ( ADE) ( BDZ ). Άρα: ( ADE) ( BDF ) ( BFDZ ) () Αλλά ( DEF) ( FZD) ( BFDZ ) και από την () προκύπτει το ζητούμενο: ( DEF) ( ADE) ( BDF). Αν τα σημεία E, F είναι εσωτερικά των πλευρών AC, BC, η ανισότητα είναι γνήσια. ΛΥΣΗ η (Γιώργος Μπαλόγλου) Ισχύει ακόμη και όταν το D δεν είναι το μέσον του AB : το είχα αποδείξει πλήρως αναλυτικά. Θέτουμε A ( a,0), D (0,0), B ( b,0), C ( p, q), οπότε E r( a,0) ( r)( p, q) ( ra ( r) p,( r) q) με 0 r και F s( b,0) ( s)( p, q) ( sb ( s) p,( s) q) με 0 s. Τα εμβαδά των ADE και BDF υπολογίζονται άμεσα, ενώ το εμβαδόν του FED υπολογίζεται με ορίζουσα (κατά τον γνωστό τρόπο που είναι καλό να γνωρίζει ο υποψήφιος ΑΣΕΠ). Η ζητούμενη ανισότητα είναι πλέον ισοδύναμη προς την [ r( s) a s( r) b] q [( r) a ( s) b] q, που είναι με την σειρά της ισοδύναμη προς την rs. 4 η ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ Υπάρχει τρίγωνο με μήκη υψών, 5, 5 ; ΛΥΣΗ η (Γιώργος Γαβριλόπουλος) Δεν υπάρχει. Έστω ότι υπάρχει και ότι αν a, b, c τα μήκη των πλευρών, ισχύει a b c. Ακόμη θεωρούμε E το εμβαδόν του. 6
17 Προφανώς, 5 5 επομένως θα είναι E a b 5 c( 5 ). Έτσι έχουμε a a b και c 5 5. a a Η τριγωνική ανισότητα δίνει b c a a ( 5 ) , 9 5 9,3 5 5,7 Όμως άτοπο. ΛΥΣΗ η (Ευθύμης Αλεξίου) Έστω a, b, c οι πλευρές που αντιστοιχούν τα ύψη, 5, 5 και έστω ότι υπάρχει τέτοιο τρίγωνο τότε a b 5 c( 5) E a b 5 c ( 5) b 5 c 5 c a ( b c) 5 c a ( b c) 5 5 a ( b c) και επειδή τρίγωνο. 5 κατά μείζονα λόγο a ( b c ) άτοπο, άρα δεν υπάρχει τέτοιο ΛΥΣΗ 3 η (Γιώργος Βισβίκης) Έστω h, h 5, h 5 και R η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου. Τότε a b c θα έχουμε: bc R, ac R 5, ab R 5 5 5b, απ' όπου παίρνουμε: a b 5, c και από τριγωνική ανισότητα: a b c που είναι άτοπο. 4 Άρα δεν υπάρχει τέτοιο τρίγωνο. 5 η ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ Τα σημεία C, A, B ανήκουν πάνω στις πλευρές AB,BC,CA, αντίστοιχα, ενός AC BA CB τριγώνου ABC τα οποία ικανοποιούν τη σχέση:. C B AC B A 3 7
18 Να αποδείξετε ότι η περίμετρος P του τριγώνου ABC και η περίμετρος p του τριγώνου A BC ικανοποιούν την ανισότητα: P 3 p P. 4 ΛΥΣΗ (Γιώργος Βισβίκης) Έστω τα σημεία D, E, F επί των πλευρών BC, AC, AB αντίστοιχα, ώστε: BF AC x, DC BA y, EA CB z, οπότε P 4( x y z). Από τριγωνική ανισότητα στα τρίγωνα ACB, CA B, BAC έχουμε: 3z x B C 3y z A B 3x y AC P Και με πρόσθεση κατά μέλη: ( x y z) p, απ' όπου p Εύκολα διαπιστώνουμε ότι CE y, A F z, DB x. Από τριγωνική ανισότητα στα τρίγωνα FC A, A DB, BEC έχουμε: B C z x A B y z A C x y και με πρόσθεση κατά μέλη p 3( x y z) 6 η ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των αποστάσεων ενός σημείου M στο εσωτερικό ενός τριγώνου ABC από τις κορυφές του είναι μικρότερο από το άθροισμα των δύο μεγαλύτερων πλευρών του τριγώνου. ΛΥΣΗ(Γιώργος Βισβίκης) p 3 4 P Έστω a b c. Θα δείξω ότι MA MB MC a b. Φέρνω DE / / AB, οπότε θα είναι A ˆ DEC ˆ, B ˆ EDC ˆ. Είναι a b. Αλλά (ως εξωτερική γωνία στο τρίγωνο MEC ) επομένως θα είναι και, οπότε: MC DC () 8
19 Αλλά από τριγωνική ανισότητα έχουμε: MA AE ME () MB MD DB (3) Προσθέτοντας κατά μέλη τις σχέσεις (),(),(3) προκύπτει: MA MB MC AE ME MD DB DC AE ED a (4) Αλλά c b Cˆ DE DC Αντικαθιστώντας αυτή τη σχέση στην (4) έχουμε: MA MB MC AE EC a MA MB MC a b. 7 η ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ Για ένα οξυγώνιο τρίγωνο ABC με ύψη ha, hb, h c να αποδείξετε ότι: a b c ha hb hc a b c ΛΥΣΗ η (Θάνος Μάγκος) Για τη δεξιά μπορούμε να πούμε και κάτι καλύτερο. Σε τυχόν τρίγωνο ισχύει h h h s( s a) s( s b) s( s c) 3( s( s a) s( s b) s( s b)) s 3. a b c Έγινε χρήση των γνωστών: h s( s a), x y z 3( x y z) a ΛΥΣΗ η (Γιώργος Γαβριλόπουλος) Με πρόσθεση κατά μέλη των παραπάνω παίρνουμε ha hb hc a b c όπως θέλαμε. AE AZ Τώρα, ισχύει AH AE και AH AZ επομένως AH. B BZ E Ομοίως BH και H. Με πρόσθεση κατά μέλη των παραπάνω και λαμβάνοντας υπ' όψιν το γεγονός ότι AH h a και H hc και BH hb 9
20 (στο ορθογώνιο ισχύουν ισότητες αλλά μόνο δύο από τις τρεις, ανάλογα με το ποια είναι η ορθή γωνία) παίρνουμε τη ζητούμενη. ΛΥΣΗ 3 η (Γιώργος Βισβίκης) Το αριστερό μέρος, πάλι με τριγωνική ανισότητα, αλλά λίγο διαφορετικά. Στα τρίγωνα BFC, BEC ισχύει: a h BF, a h CE, οπότε: a hb hc BF CE () c Ομοίως βρίσκουμε: b ha hc DC AF () και c ha hb BD AE (3) Με πρόσθεση κατά μέλη των (),(),(3) προκύπτει το ζητούμενο: ( a b c ) ha hb hc Υ.Γ: Αυτό το σκέλος έχει και άλλο φράγμα h h h 9r, όπου r η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου. b a b c Πράγματι από Cauchy είναι h h h 33 h h h και a b c a b c 3, h h h h h h 3 a b c a b c οπότε με πολλαπλασιασμό κατά μέλη και χρησιμοποιώντας τη γνωστή ισότητα, φτάνουμε στο παραπάνω αποτέλεσμα. ha hb hc r Η ισότητα ισχύει στο ισόπλευρο τρίγωνο. 8 η ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ Αν E είναι το εμβαδόν τριγώνου με μήκη πλευρών a, b, c και E το εμβαδόν τριγώνου με μήκη πλευρών a b, b c, c a, να αποδείξετε ότι E 4E. ΛΥΣΗ (Ευθύμης Αλεξίου-Γιώργος Βισβίκης) Από τον τύπο του Ήρωνα έχουμε: E ( r( r a)( r b)( r c) ο οποίος μπορεί να γραφτεί και ως παρακάτω: 0
21 ( a b c)( a b c)( b c a)( a c b) E και αντίστοιχα για το E : 4 ( a b c)( a b b c c a)( b c c a a b)( a b c a b c) E 4 ( a b c) b c a 4 ( a b c) abc E 4 4 Με βάση τα παραπάνω έχουμε: E 4 ( a b c) abc E ( a b c)( a b c)( b c a)( a c b) E 4 abc E ( a b c)( b c a)( a c b) Επειδή ισχύει a b c, a c b, b c a και με την βοήθεια λογισμικού παίρνουμε: abc ( a b c)( b c a)( a c b) (με την ισότητα να ισχύει για a b c (ισόπλευρο τρίγωνο)), συνεπώς E 4 E 4E E Γιώργος Βισβίκης: Απλώς θα εκτελέσω χρέη λογισμικού a a b c a a b c a b c ( ) ( )( ) Ομοίως βρίσκουμε: b a b c b a c ( )( ) c a c b c a b ( )( ) Με πολλαπλασιασμό κατά μέλη αυτών των σχέσεων: a b c ( a b c) ( a b c) ( b c a), απ' όπου προκύπτει το ζητούμενο. ΛΥΣΗ η (Χρήστος Κυριαζής) Χρησιμοποιώντας τον τύπο του Ήρωνα όπως ο Ευθύμης κι ο Γιώργος παραπάνω, φτάνω κι εγώ στο σημείο όπου αρκεί να αποδείξω ότι: abc a b cb c aa c b Θέτω x a b c 0, y b c a 0, z c a b 0. Λύνοντας το σύστημα προκύπτει:
22 y z x z x y a, b, c. Αντικαθιστώντας, αρκεί να δείξω ότι: x y y z z x 8 xyz. Αυτό όμως ισχύει αφού από την ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου, έχω: x y xy, y z yz, z x xz απ' όπου με γινόμενο κατά μέλη(όλα θετικά φυσικά) έχουμε το τελευταίο ζητούμενο. 9 η ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ Έστω ABC ένα τρίγωνο. Να αποδείξετε την παρακάτω σχέση μεταξύ των πλευρών και γωνιών του: Aa B b C c b C c A a B c B a C b A ΛΥΣΗ η (Βαγγέλης Μουρούκος) Δίχως βλάβη της γενικότητας, υποθέτουμε ότι a b c, οπότε θα είναι και A B C. Έχουμε τότε ότι: A B a b A a b B aa bb ab ba A C a c A a c C aa cc ac ca B C b c B b c C bb cc bc cb aa bb cc bc ca ab cb ac ba, που είναι η αποδεικτέα ανισότητα.(δε χρησιμοποίησα το "καπελάκι" για τις γωνίες, αλλά νομίζω ότι το νόημα είναι αντιληπτό...) ΛΥΣΗ η (Γιώργος Γαβριλόπουλος) Έστω a b c.τότε θα ισχύει και A ˆ B ˆ C ˆ. Από την ανισότητα της αναδιάταξης παίρνουμε a Aˆ b Bˆ c Cˆ a Bˆ b Cˆ c Aˆ. Από την ίδια ανισότητα a A ˆ b Bˆ c C ˆ a C ˆ b A ˆ c Bˆ. Προσθέτοντας κατά μέλη παίρνουμε το ζητούμενο.
23 ΛΥΣΗ 3 η (Γιώργος Βισβίκης) Χωρίς βλάβη της γενικότητας θεωρώ ότι a b c A B C, οπότε θα είναι: A( a b) B( a b) Aa Bb Ab Ba Ομοίως βρίσκουμε: Aa Cc Ac Ca και Bb Cc Bc Cb Με πρόσθεση τώρα κατά μέλη των τριών αυτών σχέσεων προκύπτει το ζητούμενο: Aa B b C c b C c A a B c B a C b A 0 η ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ Έστω M εσωτερικό σημείο ενός κανονικού n γώνου πλευράς a και h, h,..., h n οι αποστάσεις του M από τις πλευρές του πολυγώνου. Να αποδείξετε ότι:... h h h a n ΛΥΣΗ(Βαγγέλης Μουρούκος) Εξετάζουμε πρώτα την περίπτωση n 3. Είναι γνωστό ότι το άθροισμα d d d3 είναι ίσο με το ύψος του ισοπλεύρου x 3 τριγώνου: d d d Από την ανισότητα αριθμητικού-αρμονικού μέσου έχουμε ότι: di 9 i i di, 9 οπότε αρκεί να αποδείξουμε ότι:, ή ισοδύναμα 9 3, που ισχύει x 3 x προφανώς. Άρα, το συμπέρασμα για n 3 δείχθηκε. Υποθέτουμε τώρα ότι n 4. Τότε, αν συμβολίσουμε με S το εμβαδόν του κανονικού πολυγώνου και με R την ακτίνα του περιγεγραμμένου του κύκλου, θα είναι: n nr sin S n di. x x i Από την ανισότητα αριθμητικού-αρμονικού μέσου έχουμε ότι n n di n. i i di 3
24 Επομένως, αρκεί να αποδείξουμε ότι: ή ισοδύναμα: x R sin, n n ή ισοδύναμα: cos sin. n n n Η συνάρτηση f t cost t sin t R nx, sin x n είναι, όπως εύκολα φαίνεται, γνησίως φθίνουσα στο 0,. Αφού f 0, f t για κάθε t 0,. Άρα, θα είναι και θα είναι 0 f 0, και το συμπέρασμα έπεται. n Συνεχίζεται. 4
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1
ΩΜΤΡΙ ΛΥΚΙΟΥ ΩΜΤΡΙ ΘΜ o ΙΩΝΙΣΜ. Να αποδείξετε ότι : Ι) διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. ΙΙ) ν μια διάμεσος τριγώνου είναι ίση με το μισό
Διαβάστε περισσότεραΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Χεμερινό εξάμηνο ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ
ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Χεμερινό εξάμηνο 2006-07 ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ 1 ΔΕΥΤΕΡΑ, 9-10-06, 11-13. ΓΩΝΙΕΣ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ. Θεώρημα 1. Το άθροισμα των γωνιών τριγώνου είναι ίσο με 180 o. Θεώρημα 2. Κάθε εξωτερική γωνία τριγώνου
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 31 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 22 Φεβρουαρίου 2014
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 361653-3617784 - Fax: 364105 e-mail : info@hms.gr, GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou)
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )
Πυθαγόρειο ενικό Λύκειο Σάμου ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 34 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 4 Μαρτίου 2017
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 665-67784 - Fax: 6405 e-mail : ifo@hms.gr, www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Paepistimiou (Εleftheriou Veizelou)
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο
Διαβάστε περισσότεραΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 212-213 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 1 ο Α. Να αποδείξετε ότι κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει
Διαβάστε περισσότεραΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ
qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj klzxcvλοπbnαmqwertyuiopasdfghjklz ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ
Διαβάστε περισσότεραΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β τάξης Γενικού Λυκείου 2 ο Θέμα. Εκφωνήσεις - Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (14/11/2014)
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β τάξης Γενικού Λυκείου ο Θέμα Εκφωνήσεις - Λύσεις των θεμάτων Έκδοση 1 η (14/11/014) Θέματα ης Ομάδας GI_V_GEO 18975 Δίνεται τρίγωνο ABΓμε AB=9, AΓ=15. Από το βαρύκεντρο φέρνουμε
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ ΕΜΕ 28 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" ΣΑΒΒΑΤΟ, 26 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2011 ( )
ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ ΕΜΕ 8 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" ΣΑΒΒΑΤΟ 6 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 0 Ενδεικτικές Λύσεις θεμάτων μεγάλων τάξεων ΠΡΟΒΛΗΜΑ Να λύσετε στους ακέραιους την εξίσωση 4 xy y x = xy 6.
Διαβάστε περισσότεραΟι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες.
ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ 1. Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ
taexeiolag ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 uuuu uuuu uuuu Αν OA OB 3O 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ uuuu uuuu uuuu OA OB 1, O α Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι
Διαβάστε περισσότεραhttp://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 2014 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ο ΘΕΜΑ Επιμέλεια : xr.
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 14 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ο ΘΕΜΑ Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 1 Έλυσαν οι Δημήτρης Ιωάννου, Γιώργος Βισβίκης, Μπάμπης Στεργίου, Χρήστος Κάναβης, Γιώργης Καλαθάκης, Παναγιώτης Γκριμπαβιώτης,
Διαβάστε περισσότεραΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2017
ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2017 Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημερομηνία: 02/12/2017 Ώρα Εξέτασης: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα, αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις
Διαβάστε περισσότερα2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ
1 ΛΕΞΙΚΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΟΡΩΝ Α Ακτίνιο Ακτίνα κύκλου Ακτίνα σφαίρας Άκρα ευθύγραµµου τµήµατος Αµβλεία γωνία Αµβλυγώνιο Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα Αντιδιαµετρικό σηµείο Αντικείµενες ηµιευθείες Άξονας συµµετρίας
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ 1 Σε τρίγωνο με > και ορθόκεντρο Η να δείξετε ότι: Δίνεται τρίγωνο στο οποίο ισχύει: α β γ βγ Να δείξετε ότι: A 10 Δίνεται τρίγωνο με πλευρές α, β, γ και διάμεσο μα ν ισχύει η
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 34 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 4 Μαρτίου 2017
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 6 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 3645 e-mail : ifo@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Paepistimiou (Εleftheriou Veizelou)
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 1ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες 2ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Βρείτε το διάνυσμα με άκρα το Α(3,-,5) και Β(5,,-) ΑΒ=< 5 3, ( ), 5 >=
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα
Διαβάστε περισσότεραΤρίγωνο λέγεται το σχήμα που ορίζεται από τρία σημεία A,B και Γ, μη περιεχόμενα σε μία και μόνον ευθεία, καθώς και τα ευθύγραμμα τμήματα που τα
Τρίγωνο λέγεται το σχήμα που ορίζεται από τρία σημεία A,B και Γ, μη περιεχόμενα σε μία και μόνον ευθεία, καθώς και τα ευθύγραμμα τμήματα που τα ενώνουν. Τα τρία σημεία αυτά λέγονται κορυφές του τριγώνου.
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 75 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 1 Νοεμβρίου Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hmsgr wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou)
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Επιμέλεια: ιώργος Ράπτης ΘΕΤ ΣΤΗΝ ΕΩΕΤΡΙ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕ 1 ο. Να αποδείξετε ότι το εμβαδό τραπεζίου με βάσεις 1, και ύψος υ δίνεται από τον τύπο: ( 1+ ) υ Ε= ονάδες 1 B. ν φν, λν και αν είναι: η γωνία, η πλευρά
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 73 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 20 Οκτωβρίου 2012 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 18 :
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hmsgr wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou)
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
ΜΕΡΟΣ ΚΕΦΛΙΟ 1 Ο ΕΩΜΕΤΡΙ 1.1 ΙΣΟΤΗΤ ΤΡΙΩΝΩΝ 1. Ποια ονομάζονται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνων; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου ονομάζουμε τις πλευρές και τις γωνίες του. Δευτερεύοντα στοιχεία
Διαβάστε περισσότεραx ax by c y a x b y c
Γεωμετρία Affine - Εφαρμογές Δόρτσιος Κων/νος, Μαθηματικός mail:kdortsi@sch.gr Τσίντσιφας Γεώργιος, Μαθηματικός mail :gtsintsifas@yahoo.com Εισαγωγή Η Γραμμική Γεωμετρία περιέχει τρία είδη Μετασχηματισμών
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 28 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα. "Ο Αρχιμήδης" ΣΑΒΒΑΤΟ, 26 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2011
ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 8 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" ΣΑΒΒΑΤΟ, 6 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 011 Ενδεικτικές Λύσεις θεμάτων μικρών τάξεων ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με ˆ ΒΑΓ = 10. Αν Δ είναι το μέσον της
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ ΕΜΕ 28 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" ΣΑΒΒΑΤΟ, 26 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2011 ( )
ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ ΕΜΕ 8 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" ΣΑΒΒΑΤΟ, 6 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 011 Ενδεικτικές Λύσεις θεμάτων μεγάλων τάξεων ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 Να λύσετε στους ακέραιους την εξίσωση 4 xy y x =
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου
Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI
Διαβάστε περισσότεραΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...
Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο
Διαβάστε περισσότεραΤάξη A Μάθημα: Γεωμετρία
Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού
Διαβάστε περισσότεραΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΒ.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες
Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία
Διαβάστε περισσότερα1. Γενικά για τα τετράπλευρα
1. ενικά για τα τετράπλευρα Ένα τετράπλευρο θα λέγεται κυρτό αν η προέκταση οποιασδήποτε πλευράς του αφήνει το σχήμα από το ίδιο μέρος (στο ίδιο ημιεπίπεδο, όπως λέμε καλύτερα). κορυφές γωνία εξωτερική
Διαβάστε περισσότεραΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Ερώτηση 1 η Ποια καλούνται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου; Τι ονομάζεται τριγωνική ανισότητα; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι πλευρές και οι γωνίες του. Οι
Διαβάστε περισσότεραΤο τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της.
5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων 155 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων Α Εφαρµογές στα τρίγωνα Α1 Θεώρηµα 1 Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και
Διαβάστε περισσότερα1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση
1 ΘΕΩΡΙΑΣ.....με απάντηση ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 0 Εξισώσεις Ανισώσεις 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών.
Διαβάστε περισσότεραΓ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α - Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1
Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α - Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1 Εμβαδά Επίπεδων Σχημάτων & Πυθαγόρειο Θεώρημα Η συλλογή των ασκήσεων προέρχεται από μια ποικιλία πηγών, σημαντικότερες από τις οποίες είναι το Mathematica.gr, παλιότερα
Διαβάστε περισσότεραΓενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α
ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 61 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στην εωμετρία Τάξη! Λυκείου ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 6. Να αποδείξετε ότι διάμεσος τραπεζίου είναι παράλληλη προς
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β)
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 3x x 3 3 5x x β) 4 3 x x x 0
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 33 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 27 Φεβρουαρίου 2016
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 6 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ 665-67784 - Fax: 645 e-mail : info@hmsgr wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4 Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street
Διαβάστε περισσότεραΕπιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΤΕΥΧΟΣ 9ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 801-900 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς Τσιφάκης
Διαβάστε περισσότεραΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο - Α ( απόδειξη θεωρήματος) 1 ) Να αποδειχθεί ότι : «Οι διαγώνιοι ορθογωνίου είναι ίσες». ( 5.3 σελ 100 ) 2 ) Να αποδειχθεί ότι τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)
Διαβάστε περισσότερα1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ
Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: i. Το ύψος ΑΗ ii. Το ύψος ΒΚ. ** Σε ένα τετράγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ + ΑΓ = +. Να υπολογίσετε:
Διαβάστε περισσότεραΣε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ
ΚΥΠΡΙΑΝΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς είναι ίσο με την υποτείνουσα επί την προβολή της πλευράς στην υποτείνουσα. ΑΒ 2 = ΒΓ ΑΔ ή ΑΓ 2 = ΒΓ ΓΔ Σε κάθε
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ
Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 015-016 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Ο : ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΟΡΘΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ Το τμήμα ΒΔ λέγεται προβολή του.. πάνω στην Το τμήμα
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ
ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ 1. Απόσταση δύο σηµείων Α και Β είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος που τα ενώνει. 2. Γωνία είναι το µέρος του επιπέδου που βρίσκεται µεταξύ
Διαβάστε περισσότερα: :
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 361653-3617784 - Fax: 364105 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou
Διαβάστε περισσότεραΤρίγωνα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός)
Τρίγωνα Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) www.peira.gr asepfreedom@yahoo.gr 1 3.1 Στοιχεία και είδη τριγώνων 2 Ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχει τρεις κορυφές Α, Β, Γ, τρεις πλευρές ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ και τρεις γωνίες Β ΑΓ,
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις στα ιανύσµατα
Ασκήσεις στα ιανύσµατα Λυγάτσικας Ζήνων zenon7@otenet.gr http://blogs.sch.gr/zenonlig/ Πρότυπο Πειραµατικό Γ.Ε.Λ. Βαρβακείου Σχολής 15 Νοεµβρίου 014 c:\education\ B lycee \module\ module\revision vec.tex
Διαβάστε περισσότεραΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»
ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:
Διαβάστε περισσότεραΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Β' ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ. «Ευκλείδης» Ημερομηνία: 4/03/2017 Ώρα εξέτασης: 10:00-14:30
ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Β' ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ «Ευκλείδης» Ημερομηνία: 4/03/2017 Ώρα εξέτασης: 10:00-14:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις σας. 2.
Διαβάστε περισσότεραAΓ BΓ BΓ. = 40 MN = 2 AB + AΓ AN =
1 ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Οι πρωταρχικές έννοιες της Γεωμετρίας είναι το σημείο, η ευθεία και το επίπεδο. Δεχόμαστε ότι: Από δύο διαφορετικά σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία
Διαβάστε περισσότεραΘέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Γεωμετρίας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ
1 ο Θεώρημα διαμέσου ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ Σε κάθε τρίγωνο, το άθροισμα των τετραγώνων δύο πλευρών τριγώνου ισούται με το διπλάσιο του τετραγώνου της περιεχόμενης διαμέσου, αυξημένο κατά το μισό του τετραγώνου
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΠΝΠΤΙΣ ΣΣΙΣ > 90. 1. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο µε = και 0 πό την κορυφή φέρνουµε τις ηµιευθείες x κάθετη στην πλευρά και y κάθετη στην πλευρά που τέµνουν την στα σηµεία και αντίστοιχα. Να αποδείξετε α)
Διαβάστε περισσότεραΕπιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΤΕΥΧΟΣ 8ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 701-800 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς Τσιφάκης
Διαβάστε περισσότερα6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών
6. 6.4 ΘΩΡΙ. γγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο Το µέτρο της επίκεντρης ισούται µε το µέτρο του αντίστοιχου τόξου. Η εγγεγραµµένη ισούται µε το µισό της αντίστοιχης επίκεντρης. Η εγγεγραµµένη
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΠΑΡΑΛΛΗΛOΓΡΑΜΜΑ - ΤΡΑΠΕΖΙΑ. Εισαγωγή
ΚΦΛΙΟ 5ο ΠΡΛΛΗΛOΡΜΜ - ΤΡΠΙ ισαγωγή. Τι καλείται τετράπλευρο ; Πόσες διαγώνιες έχει ένα κυρτό τετράπλευρο ; Τι καλείται παραλληλόγραμμο και τι τραπέζιο ; Το ευθύγραμμο σχήμα που έχει τέσσερις πλευρές λέγεται
Διαβάστε περισσότεραΕυκλείδεια Γεωμετρία. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ και ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ
ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ και ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ 1 Σωτήρης Ε. Λουρίδας 1. ΓΕΝΙΚΑ: 1.1 Θεωρούμε ότι κάθε Μαθηματικό πρόβλημα είναι της μορφής «αν p τότε q», συμβολικά p q. 1.2. Λύση ενός Μαθηματικού προβλήματος
Διαβάστε περισσότεραΗ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας
Διαβάστε περισσότερα7.7 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 156
1 7.7 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 156 ρωτήσεις ατανόησης 1. Στα παρακάτω σχήματα να βρείτε τα x, ψ (α) ε 1 ε x 1 2 ε 2 ψ 6 ε 2 3 3 ε 4 ε 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 3 ε 2 ε 1 ε 2 4 x 1,5 ψ 3 4 ε 3 (β) (γ) ε 1
Διαβάστε περισσότεραΓεωμετρία Β Λυκείου. Τράπεζα Θεμάτων 18-22/1/2015
Τράπεζα Θεμάτων 8 -//0 ο Θέμα Δικαιοσυνόπουλος Νίκος Κολλινιάτη Γιωργία Μιχαήλογλου Στέλιος Πατσιμάς Δημήτρης Θεωρήματα διχοτόμων..8.δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΔ διχοτόμο της γωνίας και Φέρουμε τις διχοτόμους
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα
Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â = 90 ο ) µε ΒΓ = 0 και ΑΓ =. Αν το µέσο της ΒΓ και Ε ΒΓ (Ε σηµείο της ΑΒ) τότε το µήκος της ΑΕ είναι: i) 3 3,5 i 4 iv) 4,5 v) 5. Έστω ορθογώνιο
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. β γ α β. α γ β δ. Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις
Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙ ΤΗΣ Β Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις 1. σε ορθογώνιο τρίγωνο µε 30 ο, η απέναντι 30 ο κάθετη είναι το µισό της υποτείνουσας και αντίστροφα.
Διαβάστε περισσότεραγεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες Β ευθεία (2 ) οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 )
γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες µη κυρτή ευθεία ( ) πλήρης (4 ) κυρτή, οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 ) συµπληρωµατικές παραπληρωµατικές φ ω ω
Διαβάστε περισσότεραΒασικές Γεωμετρικές έννοιες
Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: A ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ισούται με το μισό της.
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 27 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" ΣΑΒΒΑΤΟ, 27 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2010
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 361653-3617784 - Fax: 364105 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα.
Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. (2) Ποιοι είναι οι άρτιοι και ποιοι οι περιττοί αριθμοί; Γράψε από τρία παραδείγματα.
Διαβάστε περισσότεραΓεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η
Γεωμετρία Κεφάλαιο 1: Βασικές γεωμετρικές έννοιες Β.1.1 61.Η ευθεία είναι βασική έννοια της γεωμετρίας που την αντιλαμβανόμαστε ως την γραμμή που αφήνει ο κανόνας (χάρακας).συμβολίζεται με μικρά γράμματα
Διαβάστε περισσότερα1 m z. 1 mz. 1 mz M 1, 2 M 1
Σύνοψη Κεφαλαίου 6: Υπερβολική Γεωμετρία Υπερβολική γεωμετρία: το μοντέλο του δίσκου 1. Στο μοντέλο του Poincaré της υπερβολικής γεωμετρίας, υπερβολικά σημεία είναι τα σημεία του μοναδιαίου δίσκου, D =
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις κατανόησης σελίδας 114. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Στα παρακάτω τραπέζια να βρείτε τα x, ψ ω, και θ
5.0 5. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 4 5 ρωτήσεις κατανόησης σελίδας 4. Στα παρακάτω τραπέζια να βρείτε τα x, ψ ω, και θ 3 3 (α) x 0 ψ 4 (β) x ψ 7 (γ) x (δ) θ x+ 3x ω 0 ο πάντηση + 0 Στο σχήµα (α) το
Διαβάστε περισσότερα(1) (2) A ΑE Α = AΒ (ΑΒΕ) (Α Ε)
9. Τα τρίγωνα και έχουν κοινή γωνία, άρα: () () A E AB A E A (1) Όµοια τα τρίγωνα και, άρα: () () A E AB A A () E Όµως από το θεώρηµα του Θαλή: A A () ( // ) () () πό (1), (), () έχουµε. () () Άρα () ()
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης
Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης Αναλυτική θεωρία Λυμένα παραδείγματα Ερωτήσεις κατανόησης Ασκήσεις Επαναληπτικά διαγωνίσματα ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο ο : Διανύσματα Ενότητα I: Η έννοια
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 73 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 20 Οκτωβρίου 2012 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 9 ΑΘΗΝΑ Τηλ 36653-3684 - Fax: 36405 e-mail : info@hmsgr wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou)
Διαβάστε περισσότεραGREEK MATHEMATICAL SOCIETY Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) ΑΘΗΝΑ Τηλ Fax:
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ GREEK MATHEMATICAL SOCIETY Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 361653-3617784 - Fax: 364105 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr 34, Panepistimiou (Εleftheriou
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 75 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 1 Νοεμβρίου 2014. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ Προκριματικός διαγωνισμός Απριλίου 2015
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hmsgr, wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou)
Διαβάστε περισσότεραΔιαίρεση ευθυγράμμου τμήματος σε ν ίσα τμήματα
ΜΕΡΟΣ Β. ΛΟΓΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ 7. ΛΟΓΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ Ίσα τμήματα μεταξύ παραλλήλων ευθειών Αν παράλληλες ευθείες ορίζουν ίσα τμήματα σε μια ευθεία, τότε θα ορίζουν ίσα τμήματα και σε οποιαδήποτε
Διαβάστε περισσότεραΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα
ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο δείγμα Α1 Αν α> με α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ> να αποδείξετε ότι ισχύει: logα(θ1θ) = logαθ1 + logαθ Α Πότε ένα πολυώνυμο
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 1)Τι ονομάζεται διχοτόμος μιας γωνίας ; Διχοτόμος γωνίας ονομάζεται η ημιευθεία που έχει αρχή την κορυφή της γωνίας και τη χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες. 2)Να
Διαβάστε περισσότεραΕ Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Ω Ρ Ι Α Σ.
Μ Ν Σ Υ Κ Σ Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Ω Ρ Ι Σ. 1. Να γράψετε τους τύπους του εμβαδού των : (α) τετραγώνου (β) ορθογωνίου παραλληλογράμμου (γ) παραλληλογράμμου (δ) τριγώνου (ε) ορθογωνίου τριγώνου (στ) τραπεζίου.
Διαβάστε περισσότεραΚαλή Επιτυχία!!! ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...
Αµυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 011 ΘΕΜΑ 1 Ο Να αποδείξετε ότι, σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο µιας κάθετης πλευράς του ισούται µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της στην
Διαβάστε περισσότεραΣτις ΗΠΑ διεξάγονται κάθε χρόνο διάφοροι µαθηµατικοί διαγωνισµοί από τους οποίους ο USAMO, που αποτελεί την εθνική µαθηµατική ολυµπιάδα της χώρας, έχε
Στις ΗΠΑ διεξάγονται κάθε χρόνο διάφοροι µαθηµατικοί διαγωνισµοί από τους οποίους ο USAMO, που αποτελεί την εθνική µαθηµατική ολυµπιάδα της χώρας, έχει τα δυσκολότερα θέµατα. Άλλοι διαγωνισµοί µε σειρά
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 32 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 28 Φεβρουαρίου 2015 Θέματα μικρών τάξεων
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 665-67784 - Fax: 6405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou)
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 35 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 3 Μαρτίου 2018 Θέματα μικρών τάξεων Ενδεικτικές λύσεις
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 665-67784 - Fax: 6405 e-ail : ifo@hs.gr, www.hs.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Paepistiiou (Εleftheriou Veizelou)
Διαβάστε περισσότεραΒ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ,,,,,,,
Τηλ 36653-367784 - Fa: 36405 Tel 36653-367784 - Fa: 36405 Νοεμβρίου 04 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 3 74 3 3 Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: :8 9 9 37 4 Πρόβλημα Ένας έμπορος συλλεκτικών αντικειμένων αγόρασε δύο
Διαβάστε περισσότεραΙωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός
1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις με αριθμούς ονομάζεται αριθμητική παράσταση. Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις
Διαβάστε περισσότεραΓραμμή. Σημείο. κεφαλαίο γράμμα. Κάθε γραμμή. αποτελείται. Ευθεία κι αν αρχή και χωρίς. τέλος! x x
1. Οι Πρωταρχικές Γεωμετρικές Έννοιες Σημείο Γραμμή Δεν έχει διαστάσεις!! Υπάρχει μόνο στο μυαλό μας. Συμβολίζεται με κεφαλαίο γράμμα. Κάθε γραμμή αποτελείται από άπειρα σημεία. Ευθεία Δεν είναι εύκολο
Διαβάστε περισσότερα