Ευκλείδεια Γεωμετρία. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ και ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ευκλείδεια Γεωμετρία. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ και ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ"

Transcript

1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ και ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ 1 Σωτήρης Ε. Λουρίδας 1. ΓΕΝΙΚΑ: 1.1 Θεωρούμε ότι κάθε Μαθηματικό πρόβλημα είναι της μορφής «αν p τότε q», συμβολικά p q Λύση ενός Μαθηματικού προβλήματος σημαίνει να αποδείξουμε ότι ο ισχυρισμός «αν p τότε q» συμβολικά p q, είναι Αληθής πρόταση. Παρατήρηση 1: p είναι το σύνολο των δεδομένων (στα δεδομένα ανήκουν τα ειδικά, εκείνα δηλαδή που δίδονται μέσω της εκφώνησης και τα γενικά δηλαδή η θεωρία) και q είναι το σύνολο των ζητουμένων. Παρατήρηση 2: Μία μέθοδος απόδειξης της αλήθειας του ισχυρισμού «αν p τότε q», είναι η μέθοδος της εις Άτοπον απαγωγής. Κατά τη μέθοδο αυτή υποθέτουμε πως ισχύει η άρνηση του ισχυρισμού: «αν p τότε q», δηλαδή θεωρούμε ότι η άρνηση του ισχυρισμού «αν p τότε q» είναι Αληθής πρόταση και με αληθείς συνεπαγωγές καταλήγουμε σε κάτι που δεν ισχύει δηλαδή σε Άτοπο, οπότε αυτόματα δεχόμαστε την αλήθεια του ισχυρισμού «αν p τότε q». Θα πρέπει να επισημάνουμε ότι η άρνηση της «αν p τότε q» είναι η «p ΚΑΙ όχι q» (συμβολικά p q ) που αποδίδεται επίσης «Ισχύει η p και ΔΕΝ ισχύει η q». Π.Χ.: Δίνεται τρίγωνο ABC και σημεία D, E, Z στο εσωτερικό του, με την ιδιότητα DBC ABC EAC ABC ZAB ABC 3, 3, 3. Αποδείξτε ότι τα σημεία αυτά δεν είναι δυνατό να ταυτιστούν. Λύση: Υποθέτουμε ότι είναι δυνατό τα σημεία αυτά να ταυτιστούν δηλαδή είναι δυνατό να έχουμε D E Z P. Τότε παίρνουμε: PBC PAC PAB ABC ABC ABC , πράγμα άτοπο άρα τα σημεία D, E, Z δεν είναι δυνατό να ταυτιστούν. Παρατήρηση 3: Στη περίπτωση της ισχύος της συνεπαγωγής «αν p τότε q», η p είναι ικανή συνθήκη και η q αναγκαία συνθήκη Ως ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟ ΤΟΠΟ ΣΗΜΕΙΩΝ που έχουν την ιδιότητα p πάνω σε ένα σημειοσύνολο Αναφοράς (π.χ. γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου ή των σημείων του χώρου των τριών διαστάσεων ή των εσωτερικών σημείων ενός σχήματος κ.τ.λ. με την ιδιότητα p) θεωρούμε το σύνολο όλων των σημείων εξ εκείνων του σημειοσυνόλου Αναφοράς που έχουν αυτή την ιδιότητα, δηλαδή που έχουν την ιδιότητα p. Ένας γεωμετρικός τόπος σημείων δύναται να είναι σημειοσύνολο που προκύπτει ως ένωση σημειοσυνόλων Ως ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΣΧΗΜΑΤΟΣ, όταν δίδονται κάποια στοιχεία του, θεωρούμε το σύνολο των κινήσεων που εκτελούμε χρησιμοποιώντας ως όργανα τον Κανόνα είτε τον Διαβήτη και μόνο, ώστε να προκύψει το σχήμα που έχει σαν στοιχεία τα στοιχεία που δόθηκαν.

2 2. ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ: 2.1 ΙΣΟΔΥΝΑΜΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ: 2 Ήδη αναφερθήκαμε στην βασική μέθοδο της εις άτοπον απαγωγής. Στη περίπτωση που θέλουμε να αποδείξουμε την αλήθεια της ισοδυναμίας p q, τότε θα πρέπει να αποδείξουμε την αλήθεια της p q ως και την αλήθεια της q p. Το να μας ζητήσουν την αλήθεια της ισοδυναμίας p q, αυτό μπορεί να γίνει κάτω από την λεκτική απόδοση: «Αποδείξτε ότι η p είναι ικανή και αναγκαία συνθήκη, ώστε να ισχύει η q» ή την λεκτική απόδοση «ισχύει η q αν και μόνο αν ισχύει η p» Μέθοδος της ΑΝΑΛΥΣΗΣ: Είναι η διαδικασία της σκέψης που κάνουμε για να ανιχνεύσουμε την λύση. Κατά τη φάση της μεθόδου της Ανάλυσης θεωρούμε ότι το πρόβλημα είναι πρόταση αληθής χωρίς όμως αυτό να το εκλαμβάνουμε ως δεδομένο. Απλά έτσι προσπαθούμε να βρούμε τους «διαδρόμους» σύνδεσης με βάση λογικά αποδεκτά βήματα από τα δεδομένα προς τα ζητούμενα αφού αυτό τελικά είναι και η διαδικασία της επίλυσης. Η μέθοδος της Ανάλυσης μπορεί σε κάποιες περιπτώσεις να αρκεί και ως μέθοδος απόδειξης της Αλήθειας πρότασης «αν p τότε q». Κατά τη διαδικασία δηλαδή της Ανάλυσης για την απόδειξη της Αλήθειας μίας πρότασης «αν p τότε q», θεωρούμε όπως αναφέραμε ως αληθή την πρόταση αυτή, χωρίς όμως να εκλαμβάνουμε την θεώρηση αυτή ως δεδομένο και δημιουργούμε μία σχέση S 1 ώστε η πρόταση «αν p τότε q» να είναι αναγκαία όταν ως ικανή εκληφθεί η πρόταση 1 S S1 p q. Αν η S 1 είναι αληθής πρόταση τελειώσαμε, αν η S1 δεν μπορεί να χαρακτηριστεί ως αληθής ή ψευδής τότε δημιουργούμε μία σχέση S 2 ώστε η S 1 να είναι αναγκαία όταν εκληφθεί ως ικανή η S2 S2 S1 p q... έως καταλήξουμε σε μία αληθή πρόταση, έστω την S, για την οποία ισχύει S S S p q Παράδειγμα: Έστω τρίγωνο ABC και η διάμεσος του AM. Αποδείξτε ότι 2AM AB AC 1. AB AC Λύση: Η σχέση 1 παραπέμπει προς απόδειξη στη σχέση AM, δηλαδή AB AC θέλουμε να ισχύει η 1, αρκεί να ισχύει η AM, η οποία λόγω του παρονομαστή 2 (που παραπέμπει στην πρόταση: Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα δύο πλευρών τριγώνου ισούται με το ήμισυ της άλλης πλευράς) παραπέμπει προς απόδειξη στη σχέση AM MD DA AB AC, AM αρκεί να ισχύει η 2, δηλαδή θέλουμε την ισχύ της 2 αν το σημείο D είναι το μέσο της πλευράς AC.

3 Η σχέση όμως 2 αν το σημείο D είναι το μέσο της πλευράς AC, είναι αληθής αφού είναι η γνωστή τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο AMD. 3 Συνοπτικά δυνάμεθα να παρουσιάσουμε την λύση αυτή ως εξής: αποδείξουμε: Αν AM διάμεσος του τριγώνου ABC τότε θέλουμε να 2AM AB AC 1, αρκεί AB AC AM, αρκεί AM MD DA 2, αν D είναι το μέσον της πλευράς AC, η οποία όμως ισχύει ως τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο AMD Μέθοδος της ΣΥΝΘΕΣΗΣ: Εκκινούμε από μία ή περισσότερες γνωστές σχέσεις και χρησιμοποιούντες τα ειδικά δεδομένα «παράγουμε» ακριβείς συνεπαγωγές έως ότου καταλήξουμε στο συμπέρασμα. Είναι λιτή και ακριβής μέθοδος με το χαρακτηριστικό ότι για την επιλογή των κατάλληλων γνωστών σχέσεων εκκίνησης, σημαντικό ρόλο παίζει η ΑΝΑΛΥΣΗ που ενίοτε θα πρέπει να προηγείται, έστω και νοητά. Παράδειγμα: Έστω τρίγωνο ABC και η διάμεσος του AM. Αποδείξτε ότι 2AM AB AC 1. Λύση: Θεωρούμε το μέσο D της πλευράς AC και χρησιμοποιούμε την τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο AMD, που οδηγεί στην σχέση AC AB AM AD DA AM 2 AM AC AB, αφού ως γνωστό το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα δύο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο προς τη τρίτη πλευρά και ισούται με το ήμισυ της Μέθοδος της ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ: Είναι η γνωστή από την Άλγεβρα μέθοδος που τη χρησιμοποιούμε και εδώ στη Γεωμετρία για την απόδειξη της αλήθειας προτάσεων που η αλήθεια τους εξαρτάται από ένα ή περισσότερους φυσικούς. Παράδειγμα: Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ABC A BC a, AC b, AB c. 90, Αποδείξτε ότι a n b n c n n, \ 1 1. με μήκη πλευρών Λύση: Θα χρησιμοποιήσουμε την μέθοδο της ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ. Καταρχάς παρατηρούμε ότι ο ισχυρισμός 1 ισχύει για n 2 ως άμεση εφαρμογή του Πυθαγορείου Θεωρήματος. Θα αποδείξουμε την ισχύ του ισχυρισμού 1 για n δηλαδή θα αποδείξουμε ότι ισχύει a b c 2. Για να ισχύει η 2 αρκεί να ισχύει a b c b c, αρκεί να ισχύει ab ac b c 0, αρκεί να ισχύει b a b c a c 0, που είναι αληθής πρόταση καθότι ισχύει

4 b a b c a c 0, αφού η υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου είναι η μεγαλύτερη από τις πλευρές του. Δεχόμαστε τώρα την ισχύ της πρότασης 1 και θα αποδείξουμε: 3. Για να ισχύει η a b c n1 n1 n1 n 0, n 0, n b a b c a c n n n1 n1 3 αρκεί που είναι αληθής πρόταση καθότι ισχύ n b a b c a c a b c b c 0, αρκεί αφού η υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου είναι η μεγαλύτερη από τις πλευρές του. 4 Παρατήρηση 1 : Στα προβλήματα των Γεωμετρικών κατασκευών, η διαδικασία της Σύνθεσης ονομάζεται Κατασκευή. Παρατήρηση 2 : Για να εκκινήσουμε την Ανάλυση που θα μας οδηγήσει στην επίλυση ενός προβλήματος που ζητά ένα γεωμετρικό τόπο σημείων, θεωρούμε τυχόν σημείο του γεωμετρικού τόπου, έστω Μ, που έχει τις δοθείσες ιδιότητες. Στη φάση αυτή καλό θα είναι να ανιχνεύσουμε μερικά διακριτά σημεία του γεωμετρικού τόπου, κάποια από αυτά ει δυνατόν να είναι οριακά σημεία του γεωμετρικού αυτού τόπου. Με τον όρο Σύνθεση στους Γεωμετρικούς τόπους, εννοούμε τον λιτό αλλά ακριβή προσδιορισμό του Γεωμετρικού τόπου ως σχήμα πάνω στα δεδομένα του προβλήματος, ή δυνατόν και την κατασκευή του με κανόνα και διαβήτη, ώστε στο επόμενο βήμα της διαδικασίας επίλυσης να αποδείξουμε ότι το σχήμα αυτό είναι το μοναδικό με την συγκεκριμένη ιδιότητα. Απαραίτητη προϋπόθεση για τη διαδικασία του ακριβούς προσδιορισμό του Γεωμετρικού τόπου ως σχήμα, ή της κατασκευής του σχήματος αυτού είναι η Ανάλυση η οποία και μας καθοδηγεί για τον τρόπο με τον οποίο θα επιτευχθεί η συγκεκριμένη Σύνθεση ή Κατασκευή. Η διαδικασία της Απόδειξης που ακολουθεί της σύνθεσης, στην επίλυση προβλημάτων Γεωμετρικών τόπων, είναι εκείνη που έπεται από τη σύνθεση και πείθει ότι το σχήμα που χαρακτηρίσαμε ως γεωμετρικό τόπο προσδιορίστηκε καλώς και ως εκ τούτου είναι πράγματι ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος. Θα πρέπει λοιπόν να αποδεικνύουμε, ότι το τυχόν σημείο του προσδιορισθέντος σχήματος έχει τις ιδιότητες που αναφέρονται στην εκφώνηση, οπότε το σχήμα αυτό θα είναι το μοναδικό σχήμα με τις συγκεκριμένες ιδιότητες. Η διαδικασία αυτή ονομάζεται και Αντίστροφο. Με την ολοκλήρωση της διαδικασίας αυτής μιλάμε πλέον για την εύρεση του ζητούμενου γεωμετρικού τόπου. Τέλος ερχόμαστε στη Διερεύνηση τη διαδικασία δηλαδή που εξετάζει τόσο το ενδεχόμενο το πρόβλημα να είναι αδύνατο, για κάποιο σύνολο των δεδομένων στοιχείων, όσο και το ενδεχόμενο να έχουμε πλείονας της μία λύσης για κάποιο άλλο σύνολο των δεδομένων στοιχείων. Παρατήρηση 3: Για να εκκινήσουμε την Ανάλυση που θα μας οδηγήσει στην επίλυση ενός προβλήματος που ζητά τη κατασκευή ενός σχήματος όταν δίδονται κάποια στοιχεία του, θεωρούμε ότι το σχήμα είναι κατασκευασμένο έχοντας τα δεδομένα στοιχεία (χωρίς βέβαια όπως ήδη αναφέραμε να το θεωρήσουμε ως δεδομένο, αλλά μόνο υποθετικά για να εισέλθουμε στον

5 πυρήνα του προβλήματος, δηλαδή στο τρόπο που κατασκευάστηκε αυτό το πρόβλημα, οπότε η «επιστροφή» από αυτόν είναι το κτίσιμο της λύσης). Στόχος μας είναι η συσχέτιση του σχήματος του οποίου τη κατασκευή ζητάμε με άλλο σχήμα του οποίου γνωρίζουμε τη κατασκευή αλλά και τη δυνατότητα να μεταβούμε από τη γνωστή αυτή κατασκευή στη ζητούμενη. Κατά τη φάση αυτή πιθανόν να χρειαστεί να θεωρήσουμε βοηθητικές γραμμές εκ των οποίων θα επιλέξουμε τις κατάλληλες για την ζητούμενη κατασκευή. Με τον όρο Σύνθεση ή Κατασκευή στις Γεωμετρικές κατασκευές, εννοούμε την ακριβή λιτή κατασκευή του σχήματος που μας ζητούν και που έχει ως στοιχεία εκείνα που «απαιτεί» η εκφώνηση, καθοδηγούμενοι από την Ανάλυση που προηγήθηκε. Ακολουθεί η Απόδειξη ότι το κατασκευασθέν σχήμα είναι το ζητούμενο και βέβαια η Διερεύνηση που εξετάζει τόσο το ενδεχόμενο το πρόβλημα να είναι αδύνατο, για κάποιο σύνολο των δεδομένων στοιχείων όσο και το ενδεχόμενο να έχουμε πλείονας της μία λύσης για κάποιο άλλο σύνολο των δεδομένων στοιχείων ΜΙΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΠΟΔΕΙΞΗΣ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ. Έστω ότι μας ζητούν να αποδείξουμε ότι δύο σχήματα είναι ίσα (ή να εξετάσουμε αν είναι ίσα) όταν ένα σύνολο από στοιχεία του ενός είναι το ίδιο με το σύνολο από τα αντίστοιχα στοιχεία του άλλου. Τότε πέραν από την εν δυνάμει περίπτωση να χρησιμοποιήσουμε κάποιο κριτήριο, δυνάμεθα ισοδυνάμως να αποδείξουμε ότι η κατασκευή του σχήματος όταν δίνονται τα στοιχεία του συνόλου που αναφέραμε οδηγεί σε μοναδικό σχήμα. Π.Χ. : Εξετάστε αν δύο τρίγωνα ABC, DEF για τα οποία ισχύουν οι ισότητες BC EF, A D, AJ DK είναι ίσα, όταν AJ, από τις κορυφές τους A, D αντίστοιχα. DK είναι τα αντίστοιχα ύψη τους Λύση: Θα χρησιμοποιήσουμε την μέθοδο που αναφέραμε. Θα εξετάσουμε αν το τρίγωνο με δεδομένα στοιχεία μία πλευρά του που ισούται με την βάση BC, την απέναντι από αυτή γωνία του που ισούται τη γωνία A και το ύψος του που αντιστοιχίζεται στην πλευρά που ισούται με την BC και ισούται με το ύψος AJ κατασκευάζεται και είναι μοναδικό. Σε αυτή τη περίπτωση τα τρίγωνα θα είναι ίσα.

6 Πράγματι από το γεγονός ότι μας δίνουν τη πλευρά BC και την απέναντι από αυτή γωνία A σύμφωνα με βασικό θεώρημα η κορυφή A θα κινείται σε σταθερό τόξο p ( Αν και είναι γνωστό θεώρημα, παραθέτουμε την απόδειξη του: Το ισοσκελές τρίγωνο OBC είναι μονοσήμαντα κατασκευάσιμο, αφού είναι κατασκευάσιμες οι ίσες γωνίες του 90 A, CBO, OCB αφού κάθε μία από αυτές ισούται προς 90 A, που σημαίνει ότι παίρνουμε σαν βάση τη δεδομένη πλευρά BC και έτσι προσδιορίζουμε το σημείο O, ως τομή δύο σταθερών ημιευθειών). Ταυτόχρονα η κορυφή A, εκτός του ότι κινείται στο σταθερό τόξο p κινείται και σε σταθερή ευθεία e παράλληλη στη BC απέχουσα από την BC απόσταση ίση προς το δοθέν ύψος AJ. Η κορυφή A είναι η τομή του τόξου p με την ' ευθεία e. Το τρίγωνο ABC είναι μοναδικό αφού ισούται με το τρίγωνο A BC επειδή τα τρίγωνα αυτά είναι συμμετρικά ως προς τη μεσοκάθετη f της BC. Συνεπώς τα τρίγωνα ABC, DEF είναι ίσα. 6 Ερώτημα: Είναι δυνατόν να αποδειχθεί η ισότητα των τριγώνων ABC, DEF, του προβλήματος που προηγήθηκε, με την μέθοδο της χρησιμοποίησης κριτηρίου ισότητας δύο τριγώνων; Απάντηση: Ναι είναι δυνατό και αυτό προκύπτει ως εξής: Έστω ότι τα τρίγωνα είναι τοποθετημένα ώστε B C και E C. Λόγω της υπόθεσης BC EF, A D, προκύπτει ότι οι περιγεγραμμένοι κύκλοι p, q ' ' είναι ίσοι, αφού τα τρίγωνα OBC, O EZ είναι ίσα άρα παίρνουμε OM O N. Αυτό σημαίνει ότι και τα ορθογώνια τρίγωνα AO DO ', AV AJ VJ AJ OM ' ' AVO, AV O είναι ίσα διότι: ' ' DK O N DK V K DV ', ανάλογα αν τα τρίγωνα έχουν τις ίσες δεδομένες γωνίες τους A, D αμβλείες, οξείες ή ' ' ορθές. Συνεπώς ισχύει OAV O DV B C E Z και επειδή ' A A B C E Z, οδηγούμαστε στις εξής ισότητες: B E, C Z. Άρα τα τρίγωνα ABC, DEF έχουν την ιδιότητα, μία πλευρά του ενός να ισούται με μία πλευρά του άλλου και οι προσκείμενες στις πλευρές αυτές γωνίες να είναι αντίστοιχα ίσες, συνεπώς τα τρίγωνα αυτά είναι ίσα.

7 4. ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΤΟΠΩΝ Δίνεται ευθεία και ένας κύκλος, που δεν τέμνεται από την ευθεία, έστω K, R. Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των κέντρων των κύκλων που εφάπτονται στην ευθεία και εξωτερικά στον κύκλο K, R. 7 Λύση: Ανάλυση: Έστω M τυχόν σημείο του γεωμετρικού τόπου, δηλαδή το κέντρο ενός κύκλου M, r που εφάπτεται στη δεδομένη ευθεία σε σημείο της A και στον δοθέντα κύκλο K, R σε σημείο του C σύμφωνα με τα δεδομένα του προβλήματος. Θεωρούμε τον κύκλο M, r R. Ο κύκλος αυτός θα διέρχεται από το σταθερό σημείο K και θα εφάπτεται της ευθείας d που είναι παράλληλη στην ευθεία και απέχει από αυτήν απόσταση AB R. Αυτό οδηγεί στο συμπέρασμα ότι η ευθεία d είναι σταθερή. Έτσι αναζητούμε ισοδυνάμως, τον γεωμετρικό τόπο των σημείων M που απέχουν από το σταθερό σημείο K και τη σταθερή ευθεία d ίσες αποστάσεις. Άρα το σημείο M θα ευρίσκεται πάνω σε μία παραβολή p με εστία το σημείο K και διευθετούσα την ευθεία d. Σύνθεση: Θεωρούμε ευθεία d παράλληλη προς την ευθεία που να απέχει από αυτήν απόσταση R και να ευρίσκεται στο άλλο ημιεπίπεδο ως προς την από εκείνο που ευρίσκεται το K. Θεωρούμε την παραβολή p με εστία το σημείο K και διευθετούσα την ευθεία d. Αντίστροφο: Έστω M τυχόν σημείο της παραβολής p. Ενώνουμε το σημείο M με το σημείο K και θεωρούμε το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα MB στην ευθεία d (το B είναι σημείο της d ) που τέμνει την ευθεία στο σημείο A. Αν η MK τμήσει τον κύκλο K, R στο σημείο C τότε παίρνουμε MK MB MC R MA R MC MA, πού σημαίνει ότι υπάρχει κύκλος ακτίνας r MA MC που εφάπτεται τόσο στην ευθεία όσο και στον κύκλο K, R. Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η παραβολή p. Διερεύνηση: Το πρόβλημα έχει πάντα λύση. Παρατήρηση: Η κατασκευή κύκλου που να εφάπτεται του δεδομένου κύκλου K, R και της δοθείσας ευθείας είναι δυνατή αρκεί να θεωρήσουμε τυχόν σημείο C του κύκλου K, R διάφορο του Z (δείτε στο σχήμα) οπότε θα κατασκευάσουμε κύκλο που θα εφάπτεται του δεδομένου κύκλου K, R στο σημείο C και θα εφάπτεται της ευθείας. Τη κατασκευή αυτή θα τη δούμε ως άσκηση.

8 Δίδονται ένα ευθύγραμμο τμήμα BC σταθερό κατά θέση και μέγεθος δύο ευθύγραμμα τμήματα αντίστοιχων μέτρων m, n και μία γωνία xoy w. Θεωρούμε σημείο A, ώστε BAC w. Αν D είναι σημείο της πλευράς AC με την ιδιότητα AD m, προσδιορίστε τον γεωμετρικό τόπο της προβολής του D πάνω στην DB n πλευρά AB Δίδεται κύκλος K, R και δύο σημεία A, B ώστε το A να είναι σημείο του κύκλου και το B να είναι σημείο εκτός του κύκλου. Θεωρούμε εκ του σημείου B διερχόμενη ευθεία που τέμνει τον κύκλο στα σημεία C, D. Προσδιορίστε τον γεωμετρικό τόπο του ορθόκεντρου του τριγώνου ACD Δίνεται γωνία xoy και ευθύγραμμο τμήμα v. Επί των πλευρών Ox, Oy της γωνίας κινούνται τα σημεία A, B αντίστοιχα, ώστε OA OB v. Προσδιορίστε τον γεωμετρικό τόπο των κέντρων των περιγεγραμμένων κύκλων στα τρίγωνα OAB Δίδονται δύο κύκλοι,,, με τα άκρα του, O R K r ώστε R r OK. Έστω AB ευθύγραμμο τμήμα A B να είναι σημεία των κύκλων O, R,, τον γεωμετρικό τόπο του μέσου του ευθύγραμμου τμήματος AB. K r αντίστοιχα. Προσδιορίστε 4.6. Δίνεται οριζόντια ευθεία e, δύο γωνίες v, w με άθροισμα μικρότερο των 180 σημείο A εκτός αυτής που είναι σημείο του «πάνω» ημιεπιπέδου. Επί της e κινείται σημείο B. Θεωρούμε τρίγωνο ABC, για το οποίο έχουμε: A v, B w και ότι η κορυφή του C ευρίσκεται «δεξιά» της ευθείας AB. Προσδιορίστε τον γεωμετρικό τόπο της κορυφής C Προσδιορίστε τον γεωμετρικό τόπο των κύκλων που διέρχονται από δοθέν σημείο και εφάπτονται σε δοθέντα κύκλο. και

9 4.8. α) Δίδεται γωνία xoy και τα σημεία A, D της Ox με OD OA, ως και τα σημεία C, B της Oy με OC OB. Θεωρούμε T το σημείο τομής των AC, BD. Αποδείξτε ότι οι περιγεγραμμένοι κύκλοι στα τρίγωνα OCA, OBD, TDA, TBC έχουν κοινό σημείο. b) Δίδονται δύο σημεία A, B και μία γωνία v. Σημείο T κινείται ώστε ATB v. Επί των ημιευθειών AT, BT θεωρούμε τα σημεία C, D αντίστοιχα ώστε: AT AC, BT BD και το τετράπλευρο ODTC να είναι εγγράψιμο, αν O είναι το σημείο τομής των ημιευθειών AD, BC. Προσδιορίστε τους γεωμετρικούς τόπους των σημείων τομής των περιγεγραμμένων κύκλων στα τρίγωνα OAC, ODB αντίστοιχα Δίδεται ευθύγραμμο τμήμα k και γωνία xoy. Επί των πλευρών της Ox, Oy κινούνται αντίστοιχα τα σημεία A, B ώστε. Βρείτε σε ποια θέση της ευθείας AB το OA OB k μέτρο του ύψους OH του τριγώνου OAB λαμβάνει την μέγιστη τιμή Δύο μεταβλητές περιφέρειες εφάπτονται μεταξύ τους εξωτερικά στο σημείο M και της σταθερής περιφέρειας O, R στα σταθερά της σημεία A, B. Προσδιορίστε τον γεωμετρικό τόπο του σημείου M Δίδεται γωνία xoy. Προσδιορίστε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων M των οποίων το άθροισμα ή η διαφορά των αποστάσεων τους από τις πλευρές της γωνία είναι σταθερό Δίδεται γωνία xoy και εσωτερικό της σημείο M. Μία γωνία με κορυφή το σημείο M, παραπληρωματική της γωνίας xoy, κινείται περί το M με τις πλευρές της να τέμνουν τις πλευρές Ox, Oy στα σημεία A, B αντίστοιχα. Προσδιορίστε τον γεωμετρικό τόπο της προβολής του M στην ευθεία AB Δίνεται κατά θέση και μέγεθος ευθύγραμμο τμήμα AD και δύο ευθύγραμμα τμήματα k, u. Θεωρούμε το σύνολο των τριγώνων ABC που έχουν το AD ως διχοτόμο και για τα BC k οποία ισχύει. AB AC u Προσδιορίστε τον γεωμετρικό τόπο των κορυφών B, C Προσδιορίστε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων από τα οποία δύο δοθέντες κύκλοι φαίνονται υπό ίσες γωνίας Δίνεται εγγεγραμμένο τετράπλευρο ABCD. Προσδιορίστε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων επαφής δύο εφαπτόμενων κύκλων που ο ένα διέρχεται από τα σημεία A, B και ο άλλος από τα σημεία C, D. Υπόδειξη: Ριζικός άξων, περιπτώσεις Θεωρούμε δύο οριζόντιες και παράλληλες ευθείες e, h. Θεωρούμε επίσης ένα σημείο A εκτός της ζώνης που αυτές σχηματίζουν. Θεωρούμε από το σημείο A τυχούσα ευθεία k που τέμνει τις παράλληλες στα σημεία M, N αντίστοιχα και «δεξιά» της k τρίγωνο QMN όμοιο προς δοθέν. Προσδιορίστε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Q.

10 4.17. Δίνεται κύκλος K, R και σημείο A. Ορθή γωνία xoy στρέφεται περί το σημείο A με τις πλευρές της να τέμνουν τον κύκλο στα σημεία B, D. Σχηματίζουμε το ορθογώνιο ABCD. Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο της κορυφής D. Δίδεται γωνία xoy και σημείο A στο εσωτερικό της. Θεωρούμε Δίδεται γωνία xoy και σημείο A στο εσωτερικό της. Θεωρούμε τυχόντα κύκλο διερχόμενο από τα σημεία O, A, που τέμνει τις πλευρές Ox, Oy στα σημεία B, C αντίστοιχα. Προσδιορίστε τον γεωμετρικό τόπο του μέσου του BC όταν η ακτίνα του κύκλου μεταβάλλεται Δίνεται ευθεία e και τα σημεία της A, B, C, D με την ίδια σειρά, εξ αριστερών προς τα δεξιά. Προσδιορίστε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων από τα οποία τα ευθύγραμμα τμήματα AB, CD φαίνονται υπό ίσες γωνίες Δίνεται ευθεία e και δύο σημεία της A, B. Δύο περιφέρειες μεταβλητών ακτινών που κινούνται στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς την ευθεία e εφάπτονται σε αυτή στα σημεία A, B και μεταξύ τους στο σημείο M. Προσδιορίστε τον γεωμετρικό τόπο του κέντρου του εγγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο MAB. 5. ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Κατασκευάστε τρίγωνο ABC αν δίδονται η διχοτόμος του AD d a, η γωνία B και η απόσταση d της κορυφής C από την διχοτόμο AD. Ανάλυση: Έστω ότι το τρίγωνο είναι κατασκευασμένο καλώς δηλαδή έχοντας όλα τα στοιχεία που «θέλει» η εκφώνηση. Για να λειτουργήσει η κάθετη CM στη διχοτόμο, τη προεκτείνουμε έως ότου τμήσει την ημιευθεία, AB σε σημείο της E και δημιουργείται έτσι το ισοσκελές τρίγωνο AEC, οπότε ισχύει και CE 2 d. Μεταφέρουμε στη συνέχεια την AD στο σημείο C θεωρώντας το παραλληλόγραμμο ADCT και επειδή η γωνία TCE είναι ορθή, έχουμε το κατά τα γνωστά κατασκευάσιμο ορθογώνιο τρίγωνο CTE TCE 90, καθότι γνωρίζουμε τις κάθετες πλευρές του. Αυτό μας οδηγεί άμεσα και στο ότι γνωρίζουμε καλώς την υποτείνουσα του TE. Εδώ και λόγω της παραλληλίας των AT, BC παίρνουμε: EAT B που είναι κατασκευάσιμη αφού δίδεται η γωνία B. Αυτό σημαίνει ότι η κορυφή A κινείται στο σταθερό τόξο r. Ταυτόχρονα κινείται και στη σταθερή μεσοκάθετη του EC, συνεπώς το σημείο A είναι πλήρως κατασκευασμένο. Αυτό οδηγεί και στην κατασκευή του B, ως τομή της κατασκευασθείσας AE και της παράλληλης από το C στην AT.

11 11 Σύνθεση (Κατασκευή) Απόδειξη: Θα αποδείξουμε ότι το τρίγωνο ABC ( το οποίο είναι το καταληκτικό στο σχήμα fig. 4) που κατασκευαστικά προσδιορίσαμε είναι το ζητούμενο, δηλαδή ότι έχει σαν στοιχεία τα δεδομένα. Πράγματι έχουμε: AD TC d a, με το επιπλέον δεδομένο ότι η AD είναι διχοτόμος της γωνίας από το προκύπτον ισοσκελές τρίγωνο AEC. Από την ισχύ CE 2d της σχέσης CB AT έχουμε CBA EAT B και τέλος CM d. Διερεύνηση: Το πρόβλημα έχει λύση αρκεί η γωνία γωνίας. B να είναι μικρότερη της ευθείας 5.2. (Είναι από την παρατήρηση της άσκησης 4.1.) Δίδεται κύκλος K, R, ευθεία και σημείο C του δοθέντος κύκλου διαφορετικό από πιθανό σημείο τομής των K, R και. Κατασκευάστε κύκλο εφαπτόμενο του K, R στο C και της ευθείας Δίδεται ευθεία και σημείο εκτός αυτής. Κατασκευάστε ευθεία κάθετη από το σημείο στην ευθεία χρησιμοποιώντας μόνο μία φορά τον διαβήτη και όσες φορές χρειάζεται τον κανόνα.

12 5.4. Κατασκευάστε τετράπλευρο εγγεγραμμένο σε κύκλο για το οποίο δίνονται, η ακτίνα του κύκλου, δύο απέναντι πλευρές του και ότι ο λόγος των δύο άλλων απέναντι πλευρών του ισούται με τον λόγο δύο δοθέντων ευθύγραμμων τμημάτων Δίδονται δύο παράλληλες ευθείες, e και μία κοινή κάθετος τους AB Ae B,. Δίδεται επίσης σημείο C, C B. Μπορούμε εν γένει να κατασκευάσουμε εκ του C διερχόμενη ευθεία που να τέμνει το ευθύγραμμο τμήμα AB σε σημείο του D, την ευθεία e σε σημείο της E, ώστε DE 2 CA; 5.6. i) Κατασκευάστε τρίγωνο ABC, αν δίδονται η βάση του BC, η γωνία του A, το άθροισμα: AB AC. ii) Δίδονται δύο τρίγωνα ' ' ' ABC, A B C, ώστε BC B C A A AB AC A B AC ' ' ' ' ' ' ',,. Αρκούν αυτά τα δεδομένα ώστε αυτά να είναι ίσα; 5.7. (Πρόβλημα του αγάλματος) Στο σχήμα που ακολουθεί, το κάθετο στην ευθεία e ευθύγραμμο τμήμα BT είναι σταθερό κατά θέση και μέγεθος όπως σταθερό είναι και το σημείο του A. Το σημείο M κινείται στην ευθεία e. Ζητάται ο κατασκευαστικός προσδιορισμός του σημείου M, ώστε η γωνία BMA να λαμβάνει την μέγιστη τιμή Κατασκευάστε τραπέζιο αν γνωρίζουμε τις διαγώνιους του και τις γωνίες του Δίδεται γωνία και σημείο της διχοτόμου της. Κατασκευάστε ευθύγραμμο τμήμα δοθέντος μήκους που να διέρχεται από το δεδομένο σημείο της διχοτόμου και τα άκρα του να είναι σημεία των πλευρών της γωνίας Κατασκευάστε κύκλο διερχόμενο από δύο δεδομένα σημεία και που η κοινή χορδή του με δοθέντα κύκλο να έχει δοθείσα διεύθυνση Κατασκευάστε τρίγωνο ABC, αν δίνονται η ακτίνα του περιγεγραμμένου του κύκλου R, το μέσο M της πλευράς BC, το σημείο τομής της D διχοτόμου της γωνίας A με τη 2 πλευρά BC και ED DM k με k δοθέν ευθύγραμμο τμήμα, όπου E το ίχνος του ύψους του AE επί της πλευράς BC Δίνεται κύκλος K r παράλληλες πλευρές του.,. Περιγράψτε περί αυτόν τραπέζιο του οποίου δίνονται οι μη

13 5.13. Κατασκευάστε τετράπλευρο αν δίνονται τα μέσα των πλευρών του και δύο διαδοχικές του γωνίες Δίνεται γωνία ορθή γωνία xoy και δύο σημεία επί της πλευράς Ox A, B, ώστε OA AB. Προσδιορίστε σημείο M της πλευράς Oy, τέτοιο πού AMB 2 MBA Κατασκευάστε τρίγωνο αν γνωρίζουμε τα τρία του ύψη Προσδιορίστε επί του ύψους AE ισοσκελούς τριγώνου ABC AB AC M τέτοιο που kma vmb MC, όπου k, v δοθέντες θετικοί ακέραιοι., σημείο Δίνονται κύκλος O, R και σημείο του επιπέδου του K. Προσδιορίστε διατέμνουσα KA m KAB του κύκλου αυτού, ώστε να ισχύει, όπου m, v δοθέντα ευθύγραμμα AB v τμήματα Προσδιορίστε επί της διχοτόμου της γωνίας B ισοσκελούς τριγώνου ABC AB AC πλευρές του τριγώνου. σημείο, όταν μας δίδεται το άθροισμα των αποστάσεων του από τις Δίνεται κύκλος, σημείο και μία γωνία. Προσδιορίστε διάμετρο του κύκλου τέτοια που να φαίνεται από το σημείο υπό τη δοθείσα γωνία Κατασκευάστε παραλληλόγραμμο όταν δίδονται δύο κορυφές του και ότι οι άλλες δύο είναι σημεία δοθέντος κύκλου. Βιβλιογραφία: 1. Ευκλείδης Α, Ευκλείδης Β Εκδόσεις Ε.Μ.Ε. 2. Ευκλείδεια Γεωμετρία: Σπύρου Κανέλλου-Αθήνα Γεωμετρία: Ι. Ιωαννίδη- Εκδόσεις Κορφιάτη 4. Plane Geometry: I.F. Sharygin. 5. Problem Solving and Selected Topics in Euclidean Geometry: Sotirios E. Louridas Michael Th. Rassias Springer Μαθηματικές Ολυμπιάδες : Σωτήρης Ε. Λουρίδας- Κώστας Γ. Σάλαρης 7. Μαθηματικά για Εκπαιδευτικούς: Σωτήρης Ε. Λουρίδας- Εκδόσεις Μπόνιας- Αθήνα 2006 Μαθηματικά Sites:

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Πυθαγόρειο ενικό Λύκειο Σάμου ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία. I. Εισαγωγή

Γεωμετρία. I. Εισαγωγή I. Εισαγωγή Γεωμετρία Η διδασκαλία της Γεωμετρίας στην Α Λυκείου εστιάζει στο πέρασμα από τον εμπειρικό στο θεωρητικό τρόπο σκέψης, με ιδιαίτερη έμφαση στη μαθηματική απόδειξη. Οι μαθητές έχουν έρθει σε

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I.

Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I. Γεωμετρία Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I. Εισαγωγή Η διδασκαλία της Γεωμετρίας στην Α Λυκείου εστιάζει στο πέρασμα από τον εμπειρικό στο θεωρητικό τρόπο σκέψης, με ιδιαίτερη έμφαση στη μαθηματική απόδειξη. Οι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ 1 ΛΕΞΙΚΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΟΡΩΝ Α Ακτίνιο Ακτίνα κύκλου Ακτίνα σφαίρας Άκρα ευθύγραµµου τµήµατος Αµβλεία γωνία Αµβλυγώνιο Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα Αντιδιαµετρικό σηµείο Αντικείµενες ηµιευθείες Άξονας συµµετρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ 1 Σε τρίγωνο με > και ορθόκεντρο Η να δείξετε ότι: Δίνεται τρίγωνο στο οποίο ισχύει: α β γ βγ Να δείξετε ότι: A 10 Δίνεται τρίγωνο με πλευρές α, β, γ και διάμεσο μα ν ισχύει η

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Χεμερινό εξάμηνο ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Χεμερινό εξάμηνο ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Χεμερινό εξάμηνο 2006-07 ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ 1 ΔΕΥΤΕΡΑ, 9-10-06, 11-13. ΓΩΝΙΕΣ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ. Θεώρημα 1. Το άθροισμα των γωνιών τριγώνου είναι ίσο με 180 o. Θεώρημα 2. Κάθε εξωτερική γωνία τριγώνου

Διαβάστε περισσότερα

«Η Ευκλείδεια γεωμετρία και η διδασκαλία της» Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης

«Η Ευκλείδεια γεωμετρία και η διδασκαλία της» Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης Τομέας Παιδαγωγικής Ιστορίας, και Φιλοσοφίας των Μαθηματικών «Η Ευκλείδεια γεωμετρία και η διδασκαλία της» Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης 01-0-016 ΘΕΜΑ 1α [] Σε τυχαίο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α=90 Ο ) η διχοτόμος

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β τάξης Γενικού Λυκείου 2 ο Θέμα. Εκφωνήσεις - Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (14/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β τάξης Γενικού Λυκείου 2 ο Θέμα. Εκφωνήσεις - Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (14/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β τάξης Γενικού Λυκείου ο Θέμα Εκφωνήσεις - Λύσεις των θεμάτων Έκδοση 1 η (14/11/014) Θέματα ης Ομάδας GI_V_GEO 18975 Δίνεται τρίγωνο ABΓμε AB=9, AΓ=15. Από το βαρύκεντρο φέρνουμε

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η Γεωμετρία Κεφάλαιο 1: Βασικές γεωμετρικές έννοιες Β.1.1 61.Η ευθεία είναι βασική έννοια της γεωμετρίας που την αντιλαμβανόμαστε ως την γραμμή που αφήνει ο κανόνας (χάρακας).συμβολίζεται με μικρά γράμματα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ taexeiolag ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 uuuu uuuu uuuu Αν OA OB 3O 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ uuuu uuuu uuuu OA OB 1, O α Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2017

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2017 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2017 Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημερομηνία: 02/12/2017 Ώρα Εξέτασης: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα, αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ΩΜΤΡΙ ΛΥΚΙΟΥ ΩΜΤΡΙ ΘΜ o ΙΩΝΙΣΜ. Να αποδείξετε ότι : Ι) διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. ΙΙ) ν μια διάμεσος τριγώνου είναι ίση με το μισό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Γεωμετρικές κατασκευές Στα αιτήματα του Ευκλείδη περιλαμβάνονται μόνο τρία που αναφέρονται στη δυνατότητα κατασκευής ενός σχήματος. Ηιτήσθω από παντός σημείου επί παν σημείον ευθείαν γραμμήν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 1)Τι ονομάζεται διχοτόμος μιας γωνίας ; Διχοτόμος γωνίας ονομάζεται η ημιευθεία που έχει αρχή την κορυφή της γωνίας και τη χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες. 2)Να

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΣΤΟΧΟΙ: Με τη συμπλήρωση του στόχου αυτού θα μπορείτε να: Σχεδιάζετε τρίγωνα, τετράπλευρα και πολύγωνα.

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΣΤΟΧΟΙ: Με τη συμπλήρωση του στόχου αυτού θα μπορείτε να: Σχεδιάζετε τρίγωνα, τετράπλευρα και πολύγωνα. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΣΤΟΧΟΙ: Με τη συμπλήρωση του στόχου αυτού θα μπορείτε να: Σχεδιάζετε τρίγωνα, τετράπλευρα και πολύγωνα. ΓΕΝΙΚΑ: Οι γεωμετρικές κατασκευές εφαρμόζονται στην επίλυση σχεδιαστικών προβλημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές της αναλυτικοσυνθετικής μεθόδου. Δέκα Στοιχειώδεις Κατασκευές:

Εφαρμογές της αναλυτικοσυνθετικής μεθόδου. Δέκα Στοιχειώδεις Κατασκευές: Δέκα Στοιχειώδεις Κατασκευές: Κ 1 : Κατασκευή ευθείας διερχόμενης από δύο σημεία. Κ 2 : Κατασκευή κύκλου με δοθέν κέντρο και δοθείσα ακτίνα. Κ 3 : Κατασκευή ισοπλεύρου τριγώνου Κ 4 : Κατασκευή ευθυγράμμου

Διαβάστε περισσότερα

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες.

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες. ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ 1. Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 212-213 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 1 ο Α. Να αποδείξετε ότι κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ 1. Απόσταση δύο σηµείων Α και Β είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος που τα ενώνει. 2. Γωνία είναι το µέρος του επιπέδου που βρίσκεται µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ

Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ ΚΥΠΡΙΑΝΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς είναι ίσο με την υποτείνουσα επί την προβολή της πλευράς στην υποτείνουσα. ΑΒ 2 = ΒΓ ΑΔ ή ΑΓ 2 = ΒΓ ΓΔ Σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Τρίγωνα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός)

Τρίγωνα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) Τρίγωνα Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) www.peira.gr asepfreedom@yahoo.gr 1 3.1 Στοιχεία και είδη τριγώνων 2 Ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχει τρεις κορυφές Α, Β, Γ, τρεις πλευρές ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ και τρεις γωνίες Β ΑΓ,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 61 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στην εωμετρία Τάξη! Λυκείου ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 6. Να αποδείξετε ότι διάμεσος τραπεζίου είναι παράλληλη προς

Διαβάστε περισσότερα

1. Γενικά για τα τετράπλευρα

1. Γενικά για τα τετράπλευρα 1. ενικά για τα τετράπλευρα Ένα τετράπλευρο θα λέγεται κυρτό αν η προέκταση οποιασδήποτε πλευράς του αφήνει το σχήμα από το ίδιο μέρος (στο ίδιο ημιεπίπεδο, όπως λέμε καλύτερα). κορυφές γωνία εξωτερική

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσαματολισμού Β Λσκείοσ

Μαθηματικά προσαματολισμού Β Λσκείοσ Μαθηματικά προσαματολισμού Β Λσκείοσ Ο κύκλος Στέλιος Μιταήλογλοσ wwwaskisopolisgr Κύκλος Εξίσωση κύκλου Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και C ο κύκλος με M x, y του κέντρο το σημείο 0

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ ΕΜΕ 28 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" ΣΑΒΒΑΤΟ, 26 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2011 ( )

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ ΕΜΕ 28 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα Ο Αρχιμήδης ΣΑΒΒΑΤΟ, 26 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2011 ( ) ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ ΕΜΕ 8 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" ΣΑΒΒΑΤΟ 6 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 0 Ενδεικτικές Λύσεις θεμάτων μεγάλων τάξεων ΠΡΟΒΛΗΜΑ Να λύσετε στους ακέραιους την εξίσωση 4 xy y x = xy 6.

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12

Τράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12 Τράπεζα 0- Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα.58 Θεωρούμε τα διανύσματα α,β,γ και τυχαίο σημείο Ο. Αν α β 5γ, α 3β 4γ και 3α β 6γ, τότε: α) να εκφράσετε τα διανύσματα, συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ.

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος Εγγράψιμα και περιγράψιμα τετράπλευρα Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι παραλληλόγραμμο.. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού με το 0 ισούται με τον ίδιο αριθμό. α+0=α Αντιμεταθετική ιδιότητα. Με βάση την οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΕΡΟΣ ΚΕΦΛΙΟ 1 Ο ΕΩΜΕΤΡΙ 1.1 ΙΣΟΤΗΤ ΤΡΙΩΝΩΝ 1. Ποια ονομάζονται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνων; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου ονομάζουμε τις πλευρές και τις γωνίες του. Δευτερεύοντα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: i. Το ύψος ΑΗ ii. Το ύψος ΒΚ. ** Σε ένα τετράγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ + ΑΓ = +. Να υπολογίσετε:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΝΠΤΙΣ ΣΣΙΣ > 90. 1. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο µε = και 0 πό την κορυφή φέρνουµε τις ηµιευθείες x κάθετη στην πλευρά και y κάθετη στην πλευρά που τέµνουν την στα σηµεία και αντίστοιχα. Να αποδείξετε α)

Διαβάστε περισσότερα

6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης

6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης 6.5 6.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 34 ρωτήσεις Κατανόησης. Σε ένα εγγεγραµµένο τετράπλευρο i) Τα αθροίσµατα των απέναντι γωνιών του είναι ίσα Σ Λ ii) Κάθε πλευρά φαίνεται από τις απέναντι κορυφές

Διαβάστε περισσότερα

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση 1 ΘΕΩΡΙΑΣ.....με απάντηση ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 0 Εξισώσεις Ανισώσεις 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών.

Διαβάστε περισσότερα

Γενικές ασκήσεις 6 ου Κεφαλαίου σελίδας 140

Γενικές ασκήσεις 6 ου Κεφαλαίου σελίδας 140 ενικές ασκήσεις 6 ου Κεφαλαίου σελίδας 40. ίνεται τρίγωνο ορθογώνιο στο. πό τα άκρα, της υποτείνουσας φέρουµε κάθετες x και y στη και προς το ίδιο µέρος της. πό το µέσο Μ της φέρουµε κάθετη στην, που τέµνει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Β' ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ. «Ευκλείδης» Ημερομηνία: 4/03/2017 Ώρα εξέτασης: 10:00-14:30

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Β' ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ. «Ευκλείδης» Ημερομηνία: 4/03/2017 Ώρα εξέτασης: 10:00-14:30 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Β' ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ «Ευκλείδης» Ημερομηνία: 4/03/2017 Ώρα εξέτασης: 10:00-14:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις σας. 2.

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI

Διαβάστε περισσότερα

8.1 8.2. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 177 179

8.1 8.2. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 177 179 8. 8. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 77 79 ρωτήσεις Κατανόησης. i) ν δύο τρίγωνα είναι ίσα τότε είναι όµοια; ii) ν δύο τρίγωνα είναι όµοια προς τρίτο τότε είναι µεταξύ τους όµοια πάντηση i) Προφανώς

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 3x x 3 3 5x x β) 4 3 x x x 0

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΩΜΤΡΙ ΛΥΚΙΟΥ ΠΝΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΙΟ ΠΙΜΛΙ ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ ΘΜΤ ΘΩΡΙΣ ΚΦΛΙΟ ο Τ ΣΙΚ ΩΜΤΡΙΚ ΣΧΗΜΤ ΘΜ ο Τι καλείται μέσο ενός ευθυγράμμου τμήματος και τι ισχύει γι αυτό ; ΠΝΤΗΣΗ Μέσο ενός ευθύγραμμου

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10 ΥΣΙΣ ΙΑΩΝΙΣΜΑ ΩΜΤΡΙΑ Α ΥΚΙΟΥ ΘΜΑ ο 08/04/0 Α. Να αποδείξετε ότι η διάµεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουµε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση µε το µισό της υποτείνουσας. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ.09

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα.

Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. (2) Ποιοι είναι οι άρτιοι και ποιοι οι περιττοί αριθμοί; Γράψε από τρία παραδείγματα.

Διαβάστε περισσότερα

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 2014 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ο ΘΕΜΑ Επιμέλεια : xr.

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 2014 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ο ΘΕΜΑ Επιμέλεια : xr. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 14 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ο ΘΕΜΑ Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 1 Έλυσαν οι Δημήτρης Ιωάννου, Γιώργος Βισβίκης, Μπάμπης Στεργίου, Χρήστος Κάναβης, Γιώργης Καλαθάκης, Παναγιώτης Γκριμπαβιώτης,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 29 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 3 Μαρτίου 2012

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 29 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα Ο Αρχιμήδης 3 Μαρτίου 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΘΗΜΤΙΚΗ ΕΤΙΡΕΙ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 06 79 ΘΗΝ Τηλ 665-677 - F: 605 e-mail : info@hmsgr wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR 06

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΜΑ Α Άσκηση, μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: Αν = Έχουμε: = ( ) ( ) ( ) ( ) = = =. Το τελευταίο ισχύει, άρα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική σχέση.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Α) Να αποδείξετε ότι αν σε ορθογώνιο τρίγωνο μια γωνία του ισούται με 30 ο,

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ.  Α) Να αποδείξετε ότι αν σε ορθογώνιο τρίγωνο μια γωνία του ισούται με 30 ο, ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο Α) Να αποδείξετε ότι αν σε ορθογώνιο τρίγωνο μια γωνία του ισούται με 30 ο, τότε η απέναντι πλευρά του είναι το μισό της υποτείνουσας και αντίστροφα.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου.

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Τυπολόγιο Μαθηματικών Πρόλογος Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Π ε ρ ι ε χ ό μ ε ν α Λυκείου Άλγεβρα 001 018 Γεωμετρία 019

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµοί. Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγεγραµµένο σε κύκλο, αν οι κορυφές του είναι σηµεία του κύκλου.

Ορισµοί. Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγεγραµµένο σε κύκλο, αν οι κορυφές του είναι σηµεία του κύκλου. 6.5 6.6 ΘΩΡΙ. Ορισµοί Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγεγραµµένο σε κύκλο, αν οι κορυφές του είναι σηµεία του κύκλου. Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγράψιµο σε κύκλο, όταν µπορεί να γραφεί κύκλος που να διέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΕΥΘΕΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΣ (εχθροί ή φίλοι;) c πάνω στην οποία κινείται το σημείο Μ. M x, y. x 2λ 1 και. 3 λ Υπάρχει λ ώστε.

Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΕΥΘΕΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΣ (εχθροί ή φίλοι;) c πάνω στην οποία κινείται το σημείο Μ. M x, y. x 2λ 1 και. 3 λ Υπάρχει λ ώστε. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΘΕΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΣ (εχθροί ή φίλοι;) Του Κώστα Βακαλόπουλου Στο άρθρο που ακολουθεί παραθέτουμε μια σειρά από ασκήσεις στις οποίες συνυπάρχουν άλλοτε αρμονικά και άλλοτε ανταγωνιστικά οι δύο βασικές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 28 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα. "Ο Αρχιμήδης" ΣΑΒΒΑΤΟ, 26 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2011

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 28 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα. Ο Αρχιμήδης ΣΑΒΒΑΤΟ, 26 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2011 ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 8 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" ΣΑΒΒΑΤΟ, 6 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 011 Ενδεικτικές Λύσεις θεμάτων μικρών τάξεων ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με ˆ ΒΑΓ = 10. Αν Δ είναι το μέσον της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ ΕΜΕ 28 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" ΣΑΒΒΑΤΟ, 26 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2011 ( )

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ ΕΜΕ 28 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα Ο Αρχιμήδης ΣΑΒΒΑΤΟ, 26 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2011 ( ) ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ ΕΜΕ 8 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" ΣΑΒΒΑΤΟ, 6 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 011 Ενδεικτικές Λύσεις θεμάτων μεγάλων τάξεων ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 Να λύσετε στους ακέραιους την εξίσωση 4 xy y x =

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων, β

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων, β O A M B ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Ο ΘΕΜΑ ον : α α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων, β. Μονάδες 5 β. Αν α, ν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΣΑΝΑΤΛΙΣΜΥ Β ΛΥΚΕΙΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ Να δώσετε τους ορισμούς: διάνυσμα, μηδενικό διάνυσμα, μέτρο διανύσματος, μοναδιαίο διάνυσμα Διάνυσμα AB ονομάζεται ένα ευθύγραμμο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο - Α ( απόδειξη θεωρήματος) 1 ) Να αποδειχθεί ότι : «Οι διαγώνιοι ορθογωνίου είναι ίσες». ( 5.3 σελ 100 ) 2 ) Να αποδειχθεί ότι τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος

Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013-14 Μετά από σχετική εισήγηση του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (πράξη 32/2013

Διαβάστε περισσότερα

Τρίγωνο λέγεται το σχήμα που ορίζεται από τρία σημεία A,B και Γ, μη περιεχόμενα σε μία και μόνον ευθεία, καθώς και τα ευθύγραμμα τμήματα που τα

Τρίγωνο λέγεται το σχήμα που ορίζεται από τρία σημεία A,B και Γ, μη περιεχόμενα σε μία και μόνον ευθεία, καθώς και τα ευθύγραμμα τμήματα που τα Τρίγωνο λέγεται το σχήμα που ορίζεται από τρία σημεία A,B και Γ, μη περιεχόμενα σε μία και μόνον ευθεία, καθώς και τα ευθύγραμμα τμήματα που τα ενώνουν. Τα τρία σημεία αυτά λέγονται κορυφές του τριγώνου.

Διαβάστε περισσότερα

6 Γεωμετρικές κατασκευές

6 Γεωμετρικές κατασκευές 6 Γεωμετρικές κατασκευές 6.1 Γενικά Στα σχέδια εφαρμόζουμε γεωμετρικές κατασκευές, προκειμένου να επιλύσουμε προβλήματα που απαιτούν μεγάλη σχεδιαστική και κατασκευαστική ακρίβεια. Τα γεωμετρικά - σχεδιαστικά

Διαβάστε περισσότερα

γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες Β ευθεία (2 ) οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 )

γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες Β ευθεία (2 ) οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 ) γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες µη κυρτή ευθεία ( ) πλήρης (4 ) κυρτή, οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 ) συµπληρωµατικές παραπληρωµατικές φ ω ω

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 33 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 27 Φεβρουαρίου 2016

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 33 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα Ο Αρχιμήδης 27 Φεβρουαρίου 2016 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 6 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ 665-67784 - Fax: 645 e-mail : info@hmsgr wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4 Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street

Διαβάστε περισσότερα

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Εισαγωγή Η μελέτη της έλλειψης, της παραβολής και της υπερβολής από τους Αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς φαίνεται ότι είχε αφετηρία τη σχέση αυτών των καμπύλων με ορισμένα προβλήματα γεωμετρικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία 2014 2015 ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ιδακτέα εξεταστέα ύλη σχολικού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 73 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 20 Οκτωβρίου 2012 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 18 :

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 73 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 20 Οκτωβρίου 2012 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 18 : ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hmsgr wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou)

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα A. Αν α, β i. αβ Θέµα ο µη µηδενικά διανύσµατα και ισχύει α+ β + α β =, τότε να δείξετε ότι: και ii. Αν α β τότε ισχύει α + β =. B. Να βρεθούν οι τιµές του λ ώστε η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

«Η Ευκλείδεια γεωμετρία και η διδασκαλία της» Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης

«Η Ευκλείδεια γεωμετρία και η διδασκαλία της» Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης Τομέας Παιδαγωγικής Ιστορίας, και Φιλοσοφίας των Μαθηματικών «Η Ευκλείδεια γεωμετρία και η διδασκαλία της» Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης 0-0-06 ΘΕΜΑ α [] Σε τυχαίο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α=90 Ο ) η διχοτόμος

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Ερώτηση 1 η Ποια καλούνται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου; Τι ονομάζεται τριγωνική ανισότητα; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι πλευρές και οι γωνίες του. Οι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΓΙΑ ΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ 2 και 3

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΓΙΑ ΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ 2 και 3 ΡΩΤΗΣΙΣ ΘΩΡΙΣ Ι Τ ΚΦΛΙ και 3 1. Τι λέμε κυρτή γωνία, μη κυρτή γωνία, διχοτόμο γωνίας, κάθετες ευθείες. προβολή ή ίχνος σημείου σε ευθεία;. Πότε δύο σημεία λέγονται συμμετρικά ως προς ευθεία; 3. Τι λέμε

Διαβάστε περισσότερα

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών 6. 6.4 ΘΩΡΙ. γγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο Το µέτρο της επίκεντρης ισούται µε το µέτρο του αντίστοιχου τόξου. Η εγγεγραµµένη ισούται µε το µισό της αντίστοιχης επίκεντρης. Η εγγεγραµµένη

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Αν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Ο(0,0) τότε έχει εξίσωση της μορφής : x y και αντίστροφα. Ειδικότερα Ο κύκλος με κέντρο Ο(0,0)

Αν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Ο(0,0) τότε έχει εξίσωση της μορφής : x y και αντίστροφα. Ειδικότερα Ο κύκλος με κέντρο Ο(0,0) . Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν γνωρίζουμε το κέντρο του, και την ακτίνα του ρ. Αν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Ο, τότε έχει εξίσωση της μορφής : και αντίστροφα. Ειδικότερα

Διαβάστε περισσότερα

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο. ΘΕΜΑ 2 Ο : Δίνεται ΑΒΓ ισοσκελές (ΑΒ=ΑΓ) τρίγωνο.αν ΒΔ και ΓΕ οι διχοτόμοι των γωνιών Β και

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο. ΘΕΜΑ 2 Ο : Δίνεται ΑΒΓ ισοσκελές (ΑΒ=ΑΓ) τρίγωνο.αν ΒΔ και ΓΕ οι διχοτόμοι των γωνιών Β και ΔΙΩΝΙΣΜ 1 Ο ΘΕΜ 1 Ο : ) Να αποδείξετε ότι : Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα τα των δύο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίση με το μισό της.(13 μονάδες) ) Να χαρακτηρίσετε

Διαβάστε περισσότερα

2 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

2 η εκάδα θεµάτων επανάληψης η εκάδα θεµάτων επανάληψης. Έστω τρίγωνο µε + Ένα πρόχειρο σχήµα είναι το διπλανό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ.1.1. Σημείο - Ευθύγραμμο τμήμα - Ευθεία - Ημιευθεία - Επίπεδο - Ημιεπίπεδο. ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ / / 1. Σχεδιάστε το ευθύγραμμο τμήμα Α και το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ A B Γ Δ 2.

Διαβάστε περισσότερα

Σωστό -λάθος. 2) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα

Σωστό -λάθος. 2) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα Σωστό -λάθος Α. Για καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της και, ακριβώς δίπλα, την ένδειξη (Σ), αν η πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν αυτή είναι λανθασμένη. 1)Δύο ισόπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε

Διαβάστε περισσότερα