ΠΕΡΙ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΗΜΙΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΕ ΡΩΝ ΤΟΥ ΤΡΙ ΙΑΣΤΑΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΥ ΧΩΡΟΥ

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ Θεωρητικά Μαθηµατικά ΠΕΡΙ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΗΜΙΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΕ ΡΩΝ ΤΟΥ ΤΡΙ ΙΑΣΤΑΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΥ ΧΩΡΟΥ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ της Μαρίας Κυριακού Επιβλέπων : Στυλιανός Σταµατάκης Αναπληρωτής Καθηγητής Τµήµατος Μαθηµατικών Α.Π.Θ. Τριµελής Εξεταστική Επιτροπή : Ευθύµιος Κάππος Στυλιανός Σταµατάκης (επιβλέπων) Φανή Πεταλίδου ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2017

2 Copyright c Κυριακού Μαρία, Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος All rights reserved Απαγορεύεται η αντιγραφή, αποθήκευση και διανοµή της παρούσας εργασίας, εξολοκλήρου ή τµήµατος αυτής, για εµπορικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανοµή για σκοπό µη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής ϕύσης, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν µήνυµα. Ερωτήµατα που αφορούν τη χρήση της εργασίας για κερδοσκοπικό σκοπό πρέπει να απευθύνονται προς το συγγραφέα. Οι απόψεις και τα συµπεράσµατα που περιέχονται σε αυτό το έγγραφο εκφράζουν το συγγραφέα και δεν πρέπει να ερµηνευτεί ότι εκφράζουν επίσηµες ϑέσεις του Α.Π.Θ.

3 Περιεχόµενα 1 Κανονικά Πολύεδρα Ορισµοί, ϐασικές έννοιες Τα Κανονικά Πολύεδρα Η ύπαρξη και η µοναδικότητα των πέντε κανονικών πολυέδρων 8 2 Ηµικανονικά Πολύεδρα Η Ϲωή και το έργο του Αρχιµήδη Τα Ηµικανονικά Πολύεδρα Σύγκριση ηµικανονικών και κανονικών πολυέδρων Οι συµµετρίες των πολυέδρων Ορισµοί, ϐασικές έννοιες Ο δυϊσµός των κανονικών πολυέδρων Οι συµµετρίες του Κύβου Οι συµµετρίες του Τετραέδρου Οι συµµετρίες του εικοσαέδρου Τα ηµικανονικά δυϊκά πολύεδρα Ο τύπος του Euler και τα αποτελέσµατά του Ο τύπος του Euler Εφαρµογές του τύπου του Euler Η εµφάνιση των πολυέδρων στην τέχνη Τα πολύεδρα στην τέχνη και την αρχιτεκτονική Τα πολύεδρα στην σύγχρονη τέχνη

4

5 Οσα ϐουνά κι αν ανεβείτε, απ τις κορφές τους ϑ αγναντεύτε άλλες κορφές, ψηλότερες, µιαν άλλη πλάση ξελογιάστρα και στην κορφή σα ϕτάστε την κατάψηλη, πάλε ϑα καταλάβετε πως ϐρίσκεστε σαν πρώτα κάτου απ όλα τ άστρα. Κωστής Παλαµάς (Ο δωδεκάλογος του γύφτου)

6

7 Εισαγωγή Το ϑέµα αυτής της εργασίας είναι τα κανονικά και ηµικανονικά πολύεδρα του τριδιάστατου ευκλείδειου χώρου. Στη Γεωµετρία, ως πολύεδρο ορίζεται ένα τρισδιάστατο σχήµα, το οποίο ϕράσσεται από πεπερασµένα πολύγωνα. Στο πρώτο κεφάλαιο αναπτύσσεται η ιστορία των κανονικών πολυέδρων από τον Πλάτωνα έως και τον Kepler. Ο Πλάτωνας είναι ο πρώτος που έδωσε ένα συστη- µατικό τρόπο κατασκευής των κανονικών πολυέδρων. Προσπαθώντας να εξηγήσει και να κατανοήσει τη δηµιουργία της ϕύσης, συνέδεσε τα τέσσερα στοιχεία της (ϕωτιά, γη, αέρας, νερό) και το σύµπαν µε τα πέντε κανονικά πολύεδρα, που για το λόγο αυτό ονοµάστηκαν Πλατωνικά Σώµατα. Τα πέντε αυτά Πλατωνικά Σώµατα υπάρχουν και είναι µοναδικά. Η ύπαρξη και η µοναδικότητα τους αποδεικνύονται στο πρώτο κεφάλαιο. Στο δεύτερο κεφάλαιο παρουσιάζονται τα δεκατρία ηµικανονικά πολύεδρα. Τα πολύεδρα αυτά περιγράφτηκαν από τον Αρχιµήδη και για το λόγο αυτό ονοµά- Ϲονται Αρχιµήδεια Στερεά. Στο κεφάλαιο αυτό ξεκινάµε µε µία µικρή αναφορά στη Ϲωή και στο έργο του Αρχιµήδη. Παρουσιάζουµε τα ϐασικά γεωµετρικά χα- ϱακτηριστικά των ηµικανονικών πολυέδρων και τα συγκρίνουµε µε τα κανονικά πολύεδρα. Στο τρίτο κεφάλαιο, πραγµατευόµαστε τις συµµετρίες των κανονικών και ηµικανονικών πολυέδρων. Ορίζουµε την δυϊκότητα τους και µε ϐάση αυτή τα κατατάσσουµε σε οµάδες συµµετριών. Στις τρείς διαστάσεις συναντάµε Ϲεύγη πολυέδρων, που χαρακτηρίζονται ως δυϊκά. Ουσιαστικά, πρόκειται για αλληλοπαραγόµενα πολύεδρα και αυτή είναι µία πολύ ενδιαφέρουσα ιδιότητα την οποία παρουσιά- Ϲουµε στο κεφάλαιο αυτό. Στο τέταρτο κεφάλαιο κάνουµε µία σύντοµη αναφορά στο επιστηµονικό έργο του Euler και αποδεικνύουµε τον περίφηµο τύπο του που συσχετίζει τον αριθµό των κορυφών, των ακµών και των εδρών ενός κυρτού πολυέδρου (K A + E = 2). Με τη ϐοήθεια του τύπου δίνουµε µία δεύτερη απόδειξη για τη µοναδικότητα των πέντε Πλατωνικών Στερεών καθώς και µερικές εφαρµογές του. 1

8 Τα πολύεδρα γοήτευαν τους καλλιτέχνες όλων των εποχών και εµφανίζονταν συχνά στα έργα τους. Στο πέµτο κεφάλαιο, κάνουµε µία ιστορική αναδροµή για την εµφάνιση των πολυέδρων στην τέχνη αλλά και στην αρχιτεκτονική, από παλιά έως και τις ηµέρες µας. 2

9 Κεφάλαιο 1 Κανονικά Πολύεδρα Στο κεφάλαιο αυτό ϑα αναπτύξουµε την ιστορία των κανονικών πολυέδρων. Θα δώσουµε ορισµούς και κάποιες ϐασικές έννοιες που αφορούν τα πολύεδρα. Θα ορίσουµε τα κανονικά πολύεδρα και ϑα δούµε τη σύνδεση των τεσσάρων στοιχείων (ϕωτιά, γη, αέρας, νερό) µε τα κανονικά πολύεδρα (τετράεδρο, κύβος, οκτάεδρο, εικοσάεδρο). Η σύνδεση αυτή έγινε από τον Πλάτωνα που µέσω αυτής προσπαθεί να εξηγήσει και να κατανοήσει τη δηµιουργία της ϕύσης. Τέλος, ϑα δούµε πότε ένα κανονικό πολύγωνο, είναι κατασκευάσιµο µε κανόνα και διαβήτη και πώς αποδεικνύεται η ύπαρξη και η µοναδικότητα των κανονικών πολυέδρων. 1.1 Ορισµοί, ϐασικές έννοιες Ορισµός πολυέδρου. Ορισµός Στον τριδιάστατο ευκλείδειο χώρο, ϑεωρούµε ένα σύστηµα πολυγώνων, τα οποία είναι διατεταγµένα κατά τέτοιο τρόπο, ώστε να πληρούνται οι εξής δύο συνθήκες : α) Κάθε πλευρά των πολυγώνων του συστήµατος είναι κοινή πλευρά ακριβώς δύο πολυγώνων του συστήµατος. β) Το σύστηµα των πολυγώνων είναι συναφές. Η δεύτερη αυτή συνθήκη έχει την εξής έννοια : Οταν Π 1, Π 2 είναι δύο τυχόντα πολύγωνα του συστήµατος, A 1 τυχόν σηµείο του Π 1, A 2 τυχόν σηµείο του Π 2, τότε υπάρχει πολυγωνική γραµµή που συνδέει τα A 1, A 2 και κάθε τµήµα της ανήκει σε πολύγωνο του συστήµατος. Κάθε τέτοιο σύστηµα πολυγώνων ονοµάζεται πολύεδρο. Οι κορυφές και οι πλευρές των πολυγώνων ενός πολυέδρου ονοµάζονται αντιστοίχως κορυφές και ακµές του πολυέδρου. Κάθε πολύγωνο του πολυέδρου ορίζει µια έδρα του πολυέδρου. Στο σχήµα ϐλέπουµε ένα παράδειγµα πολυέδρου. 3

10 Σχήµα Ορισµός Ενα πολύεδρο καλείται κυρτό, αν κάθε ακµή του που ϐρίσκεται µεταξύ δύο κορυφών του, περνά µόνο από σηµεία που είτε ϐρίσκονται σε έδρα του πολυέδρου, είτε στο εσωτερικό του. Ορισµός Ενα κυρτό πολύεδρο καλείται κανονικό, αν όλες οι έδρες του, είναι ίσα µεταξύ τους κανονικά πολύγωνα. Στο σχήµα ϐλέπουµε ένα παράδειγµα κανονικού πολυέδρου. Είναι το κανονικό οκτάεδρο το οποίο έχει 8 έδρες, 12 ακµές και 6 κορυφές. Οι έδρες του είναι οκτώ ισόπλευρα τρίγωνα τα οποία ενώνονται ανά τέσσερα σε κάθε κορυφή του. Σχήµα Τα Κανονικά Πολύεδρα Τα κανονικά πολύεδρα µελετήθηκαν από τους αρχαίους Ελληνες Γεωµέτρες (Πυ- ϑαγόρας, Θεαίτητος) και αναφέρονται από τον Ευκλείδη στο έργο του Στοιχεία (ϐιβλίο ιγ ). 4

11 Οι Πυθαγόρειοι (6ος π.χ. αιώνας) γνώριζαν το τετράεδρο, τον κύβο και το δωδεκάεδρο. Είναι πιθανό να γνώριζαν και το οκτάεδρο αλλά δεν το συµπεριέλαβαν στα κανονικά πολύεδρα. Ο Αθηναίος Θεαίτητος ( π.χ.) ϑεώρησε και το οκτάεδρο και το εικοσάεδρο. Ο Ελληνας ϕιλόσοφος Πλάτων ( π.χ.), σύγχρονος του Θεαίτητου, έδωσε το όνοµά του στα 5 σώµατα. Στο έργο του Τίµαιος (Κεφ.2 53c4 55c6), τα πε- ϱιέγραψε µε λεπτοµέρεια. Συµπεριέλαβε τα κανονικά πολύεδρα στο ϕιλοσοφικό του σύστηµα, αντιστοιχίζοντας σε αυτά (µε εξαίρεση το δωδεκάεδρο) τα τέσσερα στοιχεία (Κεφ.2 55c7 56c7) : Ο Πλάτων αντιστοίχισε τα πολύεδρα στη ϕωτιά, στη γη, στο νερό και στον αέρα, χρησιµοποιώντας λογικοφανείς εξηγήσεις. Στη ϕωτιά αντιστοίχισε το τετράεδρο, επειδή είναι το πιο ευκίνητο, το πιο κοφτερό και οξύ προς κάθε κατεύθυνση και το πλέον ελαφρύ, αφού αποτελείται από τον µικρότερο αριθµό ίσων µερών. Με όµοιο σκεπτικό, αντιστοίχισε στη γη τη µορφή του κύβου, επειδή είναι η πιο δυσκίνητη και η πιο εύπλαστη, στον αέρα αντιστοίχισε το σχήµα του οκταέδρου, επειδή είναι το ενδιάµεσο, τόσο σε µέγεθος, όσο και σε οξύτητα, ενώ στο νερό αντιστοίχισε το εικοσάεδρο, για το οποίο γράφει πως είναι το µεγαλύτερο σε µέγεθος και το λιγότερο οξύ. Ο Θεαίτητος (380 π.χ.) απέδειξε ότι υπάρχουν µόνο 5 κανονικά πολύεδρα. Ο Ευκλείδης ( π.χ.) περιγράφει τα κανονικά πολύεδρα στο 13ο ϐιβλίο των Στοιχείων του ( 13 17), και αποδεικνύει, µεταξύ άλλων, ότι υπάρχουν µόνο 5 ( 18). Επίσης έδειξε πώς κατασκευάζεται κάθε κανονικό πολύεδρο και η περιγεγραµµένη σφαίρα του. Ο Πάππος (300 µ.χ.) έδειξε πώς εγγράφεται σε δοσµένη σφαίρα κάθε κανονικό πολύεδρο. Τα κανονικά πολύεδρα, είναι πέντε και τα σχήµατά τους παρατίθενται παρακάτω: Σχήµα Η ονοµασία τους και τα στοιχεία τους (πλήθος κορυφών, ακµές ανά κορυφή, έδρες και είδος ανά κορυφή) ϕαίνονται στον παρακάτω πίνακα : 5

12 Κάθε κανονικό πολύεδρο είναι εγγράψιµο σε µια σφαίρα και περιγράψιµο σε µια άλλη, που έχει το ίδιο κέντρο. Ο Johannes Kepler ( ), πίστευε ότι η µυστική αρµονία του Κόσµου, εδραζόταν στα πέντε κανονικά πολύεδρα. ιαβάζοντας τον Τίµαιο του Πλάτωνος, ϐασίστηκε στις απόψεις του µεγάλου ϕιλοσόφου για να δώσει τη δική του ερ- µηνεία για τα διάφορα µεγέθη των τροχιών των πλανητών γύρω από τον Ηλιο. Εξετάζοντας τα έργα του Πλάτωνος, του Απολλώνιου του Περγαίου, καθώς και των άλλων αρχαίων Ελλήνων ϕιλοσόφων, ανακάλυψε ότι εάν τοποθετούσε τα πέντε κανονικά πολύεδρα το ένα µέσα στο άλλο, τα αντίστοιχα µεγέθη τους, από το εσώτερο προς το εξώτερο, αντιστοιχούσαν στις πλανητικές τροχιές από τον Ερµή µέχρι τον Κρόνο. Ο Kepler, επηρεασµένος από τον Νεοπλατωνισµό της εποχής του, προσπαθούσε να αποδείξει την αλήθεια της αρµονίας των αριθµών, έχοντας την πεποίθηση ότι το Σύµπαν ήταν δοµηµένο µε τις αρχές της µαθηµατικής και γεωµετρικής ευταξίας. Πράγµατι, έχοντας υπόψη του τη ϱήση : Αεί ο Θεός ο µέγας γεωµετρεί 1 ήταν πεπεισµένος ότι η αρµονία του Κόσµου εκφραζόταν γεωµετρικά. Μολονότι η ϑεωρία που ανέπτυξε απέκλινε αρκετά στις περιπτώσεις του Ερµή και του Κρόνου, ο ίδιος 1 Αεί ο Θεός ο µέγας γεωµετρεί, το κύκλου µήκος ίνα ορίση διαµέτρω, παρήγαγεν αριθ- µόν απέραντον, και όν, ϕεύ, ουδέποτε όλον ϑνητοί ϑα εύρωσι. Το πλήθος των γραµµάτων κάθε λέξης της ϕράσης αυτής αντιστοιχεί σε καθένα από τα διαδοχικά ψηφία του αριθµού π , οι έξι πρώτες λέξεις του παραπάνω επιγράµµατος αποδίδονται στον Πλάτωνα, ενώ τις υπόλοιπες δεκαεφτά συνέταξε, αριστοτεχνικά, ο Νικόλαος Ι.Χατζηδάκης ( ). 6

13 δεν απογοητεύτηκε, απλώς συνειδητοποίησε ότι η άποψή του µάλλον ϐασίστηκε σε αναξιόπιστα δεδοµένα παρατηρήσεων. Ο Kepler, για την ορθότητα του ηλιοκεντρικού συστήµατος, έστειλε αντίγραφα του ϐιβλίου του Κοσµογραφικό Μυστήριο, σε όλους τους γνωστούς αστρονόµους της εποχής, µεταξύ των οποίων και στον Tycho Brahe 2, που εντυπωσιασµένος από το µαθηµατικό και αστρονοµικό ταλέντο του, κάλεσε τον Kepler κοντά του στην Πράγα, το Ο Kepler εργαζόµενος στην Πράγα, ϑα είχε την ευκαιρία να ασχοληθεί ολοκληρωτικά µε την έρευνα, έχοντας ταυτόχρονη πρόσβαση στα εκπληκτικά παρατηρησιακά δεδοµένα του Brahe. Γι αυτούς τους λόγους αποδέχτηκε την πρόσκληση και τη ϑέση το 1600, πιστεύοντας ότι ήταν η µέριµνα του Θεού, ένα πραγµατικό ϑεϊκό δώρο, που ήρθε την κατάλληλη στιγµή για να αποδείξει τη ϑεωρία του µέσω του επακριβούς και συνεχούς αρχείου αστρονοµικών παρατηρήσεων του Tycho Brahe. Οσον αφορά την αφθαρσία των ουρανών και τις κρυστάλλινες σφαίρες, ο Kepler τις είχε απορρίψει εντελώς. Ηταν πεπεισµένος ότι δεν υπήρχαν. Και αφού δεν υπήρχαν, πίστευε κι αυτός, όπως και ο Brahe, ότι έπρεπε είτε να δοµηθεί ένα καινούργιο σύστηµα κινήσεων είτε να υποστηριχτεί το ηλιοκεντρικό, που έπρεπε να αιτιολογεί τις περιοδικές κινήσεις των γνωστών τότε πλανητών γύρω από τον Ηλιο. Η πρώτη του δηµοσίευση στην Πράγα, είχε τον τίτλο Οι πιο αξιόπιστες ϐάσεις της αστρολογίας (De Fundamentis Astrologiae Certioribus, 1601), εφόσον ως µυστικιστής πίστευε στην αρµονία του Σύµπαντος, άρα και στην ταυτόχρονη αρµονική σχέση που διέπει τον άνθρωπο µε την ολότητα του Κόσµου. Οι πυθαγόρειες και πλατωνικές ιδέες, που εµπεριέχονται στις απόψεις και αντιλήψεις του Kepler για την ουράνια αρµονία, µολονότι σήµερα µας ϕαίνονται µυστηριώδεις και µυστικιστικές ως προς την προέλευσή τους, εντούτοις ϕαίνεται πως µάλλον τον ϐοήθησαν καθοριστικά στη σύλληψη και διατύπωση των τριών ϑεµελιωδών νόµων 3 του που διέπουν την κίνηση των ουρανίων σωµάτων. Το 1604 συνέγραψε Το οπτικό µέρος της αστρονοµίας (Astronomia pars Optica), το 1606 Περί του νέου αστέρος (De Stella Nova), δηλαδή για τον υπερκαινοφανή που ανέλαµψε το 1604, γνωστόν έκτοτε ως υπερκαινοφανή του Kepler. Τέλος, το 2 Tycho Brahe ( ) ανός αστρονόµος 3 Οι 3 νόµοι του Kepler: α.νόµος των ελλειπτικών τροχιών:οι πλανήτες περιφέρονται περί τον Ηλιο σε ελλειπτικές τροχιές, των οποίων ο Ηλιος καταλαµβάνει τη µία από τις δύο εστίες. ϐ.νόµος των ίσων εµβαδών: Η επιβατική ακτίνα (η γραµµή που ενώνει ένα πλανήτη µε το κέντρο του Ηλιου) σε ίσους χρόνους σαρώνει ίσα εµβαδά. Ο λόγος είναι ότι ο κάθε πλανήτης κινείται ταχύτερα όταν ϐρίσκεται κοντά στο περιήλιο της τροχιάς του από ό,τι κοντά στο αφήλιο. γ.νόµος των περιόδων: Το τετράγωνο του χρόνου που απαιτείται για να συµπληρώσει ένας πλανήτης µία πλήρη περιφορά γύρω από τον Ηλιο (η περίοδος του πλανήτη) είναι ανάλογο του κύβου του µεγάλου ηµιάξονα της ελλειπτικής του τροχιάς, και η σταθερά της αναλογίας είναι η ίδια για όλους τους πλανήτες. 7

14 1609 έγραψε τη Νέα Αστρονοµία (Astronomia Nova), όπου κατέγραψε τους δύο πρώτους από τους νόµους της κίνησης των ουρανίων σωµάτων. 1.3 Η ύπαρξη και η µοναδικότητα των πέντε κανονικών πολυέδρων Η επιβεβαίωση ότι πράγµατι υπάρχουν αυτά τα πέντε κανονικά πολύεδρα, γίνεται µε την κατασκευή τους. Το 1796 ο Carl Friedrich Gauss ( ), µελετώντας την κυκλοτοµική εξίσωση z n = 1 ανακάλυψε ότι οι ϱίζες της χωρίζουν τον κύκλο σε τόξα ίσου µέτρου και µε αυτό τον τρόπο προσδιορίζουν τις κορυφές ενός κανονικού πολυγώνου. Ο τύπος που δίνει τον αριθµό n των πλευρών που πρέπει να έχει ένα κανονικό πολύγωνο, για να είναι κατασκευάσιµο µε τα ευκλείδεια όργανα (κανόνα-διαβήτη), είναι ο εξής : n = 2 k p 0 p 1...p r όπου οι p i µε 0 i r είναι πρώτοι, διακεκριµένοι της µορφής p i = 2 2m i + 1, m i N 0. Οι αριθµοί αυτοί ονοµάστηκαν πρώτοι αριθµοί του Fermat 4. Οι πέντε πρώτοι τέτοιοι αριθµοί είναι οι επόµενοι m = = 3 m = = 5 m = = 17 m = = 257 m = = Για 5 m 32 οι αντίστοιχοι αριθµοί δεν είναι πρώτοι. Για m > 16 τα αντίστοιχα πολύγωνα, λόγω του υπερβολικού πλήθους των πλευρών τους είναι πρακτικά µη κατασκευάσιµα. Ενδεικτικά αναφέρουµε τον αριθµό Ισχύει, επίσης, και το αντίστροφο του αποτελέσµατος του Gauss, δηλαδή, αν η παραγοντοποίηση ενός αριθµου n σε πρώτους παράγοντες, δεν είναι της µορφής n = 2 k p 0 p 1...p r µε p i διακεκριµένους πρώτους αριθµούς του Fermat, τότε το α- ντίστοιχο κανονικό πολύγωνο, δεν είναι κατασκευάσιµο µε κανόνα και διαβήτη. Για παράδειγµα, το κανονικό εννιάγωνο, δεν είναι κατασκευάσιµο µε κανόνα και διαβήτη, καθώς 9 = 3 2, δηλαδή αναλύεται σε µη διακεκριµένους πρώτους 4 P ierre de F ermat ( ). Γάλλος νοµικός στο κοινοβούλιο της Τουλούζης και ερασιτέχνης µαθηµατικός µε µεγάλη συµβολή στην ανάπτυξη του απειροστικού λογισµού. Είναι γνωστός για την ανακάλυψη µιας πρωτότυπης µεθόδου υπολογισµού των ελάχιστων και µέγιστων σηµείων σε καµπύλες γραµµές. Κυρίως όµως είναι γνωστός για το τελευταίο ϑεώρηµα του Φερµά, το οποίο διατυπώνεται ως εξής: για ακέραιο n µεγαλύτερο του 2 δεν υπάρχουν µη µηδενικοί ακέραιοι a, b και c που να ικανοποιούν την ισότητα a n + b n = c n. 8

15 αριθµούς. Στο παρακάτω πίνακα, παρουσιάζουµε κατασκευάσιµα και µη κατασκευάσιµα µε κανόνα και διαβήτη κανονικά πολύγωνα. Τα κανονικά πολύγωνα που σηµειώνονται µε είναι τα κατασκευάσιµα. Πίνακας 1.3.1: Κατασκευάσιµα και µη κατασκευάσιµα κανονικά πολύγωνα. Η ϑεωρία της κατασκευής των πέντε κανονικών πολυέδρων εκτίθεται όπως ήδη αναφέραµε στο 13ο ϐιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη, όπου οι ακµές τους εκ- ϕράζονται ως συνάρτηση της ακτίνας της περιγεγραµµένης σφαίρας µε τη ϐοήθεια της ϑεωρίας των αρρήτων και αποδεικνύεται ότι υπάρχουν ακριβώς πέντε κανονικά πολύεδρα. Για το τετράεδρο, τον κύβο και το οκτάεδρο, οι κατασκευές είναι πιο απλές, όχι όµως για το εικοσάεδρο. Ο Ευκλείδης δυσκολεύτηκε σχετικά µε το πρόβληµα της κατασκευής του κανονικού εικοσαέδρου και για αυτό το τοπο- ϑέτησε προς το τέλος του 13ου ϐιβλίου των Στοιχείων (Πρόταση 16). 9

16 Σύµφωνα µε τον Πλάτωνα, τα τέσσερα στοιχεία, από τα οποία δηµιουργείται το κάθε τι, είναι στερεά σώµατα, οπότε, γράφει, ϑα περικλείονται από επίπεδες επι- ϕάνειες που µε τη σειρά τους ϑα δηµιουργούνται από τρίγωνα. Ολα τα τρίγωνα συντίθενται από δύο είδη στοιχειωδών τριγώνων: το ορθογώνιο ισοσκελές και το ορθογώνιο σκαληνό. Από όλα τα ορθογώνια σκαληνά, προκρίνει αυτό που έχει την υποτείνουσα διπλάσια από την µικρότερη κάθετη, δηλαδή το µισό ισόπλευρο τρίγωνο, όπως στο σχήµα. Το ορθογώνιο σκαληνό του Τίµαιου. Ετσι, ο Πλάτων ϑεωρεί, ότι σε τελευταία ανάλυση τα πάντα συντίθενται από δύο είδη ορθογωνίων τριγώνων, το ισοσκελές και το µισό ισόπλευρο. Ο λόγος για τον οποίο επιλέγει αυτά, είναι πιθανότατα η συµµετρική διαιρετότητά τους, ότι δηλαδή µπορούν να υποδιαιρεθούν συνεχώς σε µικρότερα τρίγωνα τα οποία πάντα διατηρούν την ίδια αναλογία πλευρών. Στο ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (Σχήµα 1.3.1), έστω Α η κάθετος. Προφανώς οι γωνίες των τριγώνων ΒΑΓ, Β Α είναι ίσες, εποµένως τα τρίγωνα είναι όµοια, άρα οι λόγοι των πλευρών τους διατηρούνται. Σχήµα Παρόµοια και στο ορθογώνιο µισό ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ (Σχήµα 1.3.2), έστω Α η κάθετος. Προφανώς οι γωνίες των τριγώνων ΒΑΓ, Β Α είναι ίσες, εποµένως τα τρίγωνα είναι όµοια, άρα οι λόγοι των πλευρών τους διατηρούνται. 10

17 Σχήµα Με αυτόν το τρόπο ίσως να επεδίωκε να κρατήσει σταθερή την αναλογία, οπότε τα ατοµικά τρίγωνα είναι ϑεµελιώδη για την εξήγηση όχι της σύστασης των αισθητών σωµάτων, αλλά της διάταξης τους. Γι αυτό και πουθενά ο Τίµαιος δεν αναφέρεται σε µεγέθη. Κατόπιν, δίνει τον γεωµετρικό τρόπο κατασκευής, από αυτά τα στοιχειώδη τρίγωνα, των τεσσάρων κανονικών πολύεδρων : του τετράεδρου, του οκτάεδρου του εικοσάεδρου και του κύβου. Τα τρία πρώτα κατασκευάζονται από το ορθογώνιο µισό ισόπλευρο, ενώ ο κύβος από το ορθογώνιο ισοσκελές. Για το πέµπτο κανονικό πολύεδρο, το δωδεκάεδρο, µας δίνει ελάχιστες πληροφορίες λέγοντας ότι αυτήν την κατασκευή ο Θεός την προέβαλε στο σύµπαν και το διακόσµησε περιχαράσσοντας το µε αυτή έτι δε ούσης συστάσεως µιας πέµπτης, επί το πάν ο ϑεός αυτή κατεχρήσατο εκείνο διαζωγραφών. Για παράδειγµα, η γεωµετρική κατασκευή του κανονικού τετράεδρου έχει ως εξής: δύο σκαληνά ορθογώνια τρίγωνα συνενώνονται στις υποτείνουσές τους σχηµατίζοντας τετράπλευρο και αυτό επαναλαµβάνεται τρεις ϕορές. Τρία τέτοια τετράπλευ- ϱα συνθέτονται έτσι ώστε οι υποτείνουσες και οι µικρότερες πλευρές των τριγώνων να ενωθούν στο ίδιο κεντρικό σηµείο. Οπότε δηµιουργείται το ισόπλευρο τρίγωνο του σχήµατος, που αποτελείται από έξι στοιχειώδη ορθογώνια σκαληνά. Είναι ϐέβαια άξιο απορίας γιατί χρησιµοποιεί έξι τέτοια τρίγωνα για να κατασκευάσει το ισόπλευρο αφού το τελευταίο µπορεί να σχηµατιστεί µόνο από δύο. Κατασκευή του ισόπλευρου από ορθογώνιο σκαληνό. Με ϐάση αυτό το ισόπλευρο τρίγωνο, ο Τίµαιος κατασκευάζει το τετράεδρο, όπως και άλλα δύο πολύεδρα, το οκτάεδρο και το εικοσάεδρο. Στη συνέχεια, παίρνουµε τέσσερα τέτοια ισόπλευρα τρίγωνα και τα συνθέτουµε κατά τέτοιο τρόπο ώστε οι επίπεδες γωνίες τους να σχηµατίζουν ανά τρεις µια στερεά γωνία, το µέγεθος της 11

18 οποίας προσεγγίζει οριακά την αµβλύτερη επίπεδη γωνία. Οταν δηµιουργηθούν τέσσερις τέτοιες γωνίες έχουµε κατασκευάσει το πρώτο είδος στερεού, που διαι- ϱεί την περιγεγραµµένη σφαίρα σε τέσσερα ίσα και όµοια µέρη. Αυτό είναι το κανονικό τετράεδρο. Με ανάλογους συλλογισµούς και χρησιµοποιώντας το ίδιο ισόπλευρο τρίγωνο περισσότερες ϕορές και σε περισσότερες γωνίες, κατασκευά- Ϲεται το οκτάεδρο και το εικοσάεδρο. Τα πολύεδρα που παράγονται από µισό ισόπλευρο τρίγωνο. Αντίθετα, για το εξάεδρο, δηλαδή τον κύβο, και µόνον γι αυτόν χρησιµοποιεί το ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο τέσσερις ϕορές για να κατασκευάσει ένα τετράγωνο όπως στο σχήµα. Κατασκευή τετραγώνου από τέσσερα ισοσκελή τρίγωνα. Συνδυάζοντας σε ορθές γωνίες έξι τέτοιες έδρες, κατασκευάζει τον κύβο. Η σύνθεση έξι τέτοιων τετραγώνων, απέδωσε οκτώ στερεές γωνίες που αποτελούνται από τρεις επίπεδες ορθές. 12

19 Ο Ευκλείδης απέδειξε και τη µοναδικότητα των πέντε αυτών κανονικών πολυέδρων. Αρχικά, αναφέρουµε την απόδειξη του Ευκλείδη και στη συνέχεια παρα- ϑέτουµε µία ακόµη. Πρόταση Υπάρχουν ακριβώς πέντε κανονικά πολύεδρα Απόδειξη. Εστω m το πλήθος των κανονικών πολυγώνων µιας στερεάς γωνίας ενός κανονικού πολυέδρου. Σηµειώνουµε µε n το πλήθος των πλευρών ενός τέτοιου πολυγώνου, όπου m, n 3. Επειδή το άθροισµα των γωνιών µιας στερεάς γωνίας είναι µικρότερο από τέσσερις ορθές γωνίες, έχουµε ) ( m ( < 360 m 1 2 ) < 2 n n 2n + 2m nm > 0 (n 2)(m 2) < 4, m, n 3. Συνεπώς ϑα έχουµε Για n = 3, οι έδρες των πολυέδρων ϑα είναι τρίγωνα, και ϑα είναι m = 3, 4, 5, δηλαδή τετράεδρο ή οκτάεδρο ή εικοσάεδρο αντίστοιχα. Για n = 4, οι έδρες των πολυέδρων ϑα είναι τετράγωνα, και ϑα είναι m = 3, δηλαδή κύβος. Για n = 5, οι έδρες των πολυέδρων ϑα είναι πεντάγωνα, και ϑα είναι m = 3, δηλαδή δωδεκάεδρο. Για n = 6, 7,... ϑα είναι m < 3, αδύνατο. Στη συνέχεια, ϑα αναφέρουµε τη δεύτερη απόδειξη της προηγούµενης πρότασης (ϐλ.[πρόταση 1.3.1]), στο πλαίσιο της οποίας ϑα δώσουµε κάποιους ϐασικούς ορισµούς που ϑα µας ϐοηθήσουν να κατανοήσουµε τα ϐήµατά της. Ορισµός Μεταξύ δύο ηµιευθειών ορίζουµε γωνία ϑ το µήκος s του τόξου της περιφέρειας του µοναδιαίου κύκλου, µε κέντρο το σηµείο τοµής των ηµιευθειών. (Σχήµα 1.3.3) 13

20 Σχήµα Ορισµός ίεδρη γωνία ονοµάζεται η γωνία δύο διαδοχικών εδρών, δηλαδή δύο επιπέδων που τέµνονται σε µία ακµή. (Σχήµα 1.3.4) Σχήµα Ορισµός Σφαιρικό τρίγωνο είναι ένα καµπυλόγραµµο τρίγωνο πάνω στην επιφάνεια της σφαίρας µε πλευρές τόξα µέγιστων κύκλων της σφαίρας. (Σχήµα 1.3.6) Σχήµα Αντίστοιχα, σφαιρικό πολύγωνο είναι ένα καµπυλόγραµµο πολύγωνο πάνω στην επιφάνεια της σφαίρας µε πλευρές τόξα µέγιστων κύκλων της σφαίρας. (Σχήµα 1.3.7) 14

21 Σχήµα Ορισµός Στερεά γωνία Ω είναι το εµβαδόν του σφαιρικού πολυγώνου S πάνω στην επιφάνεια της µοναδιαίας σφαίρας, µε κορυφή το κέντρο της µοναδιαίας σφαίρας (Σχήµα 1.3.8). Το στερακτίνιο - sr είναι η µονάδα µέτρησης της στερεάς γωνίας και ορίζεται ως η στερεά γωνία µε την οποία ϕαίνεται από το κέντρο της σφαίρας µια περιοχή της επιφάνειάς της ίση µε το τετράγωνο της ακτίνας της. Οπως το κέντρο ενός κύκλου ϐλέπει ολόκληρη την περιφέρειά του µε γωνία (2π) rd έτσι και το κέντρο µιας σφαίρας ϐλέπει ολόκληρη την επιφάνειά της µε στερεά γωνία (4π) sr. Σχήµα Ορισµός Πλακόστρωση καλούµε µία κάλυψη της σφαίρας µε σφαιρικά πολύγωνα (πλακάκια), κάθε δύο από τα οποία είτε είναι ξένα µεταξύ τους, είτε τέµνονται κατά κοινή ακµή ή κατά κοινή κορυφή. Μία πλακόστρωση καλείται κανονική αν όλα τα πλακάκια της είναι ίσα µεταξύ τους και κάθε ένα πλακάκι είναι κανονικό σφαιρικό πολύγωνο. ηλαδή, πολύγωνο του οποίου όλες οι πλευρές είναι ίσες µεταξύ τους και όλες οι γωνίες είναι επίσης ίσες µεταξύ τους. Τα πέντε κανονικά πολύεδρα συνδέονται µε τις κανονικές πλακοστρώσεις της σφαίρας. Αποδεικνύεται παρακάτω ϐλ.[πρόταση 1.3.7] ότι υπάρχουν ακριβώς πέντε τέτοιες πλακοστρώσεις της σφαίρας. Από αυτές, οι τρεις αποτελούνται από 15

22 σφαιρικά τρίγωνα, µία από σφαιρικά τετράγωνα και µία από σφαιρικά πεντάγωνα. Αρχικά, ϑα αποδείξουµε τον τύπο για το εµβαδόν ενός σφαιρικού τριγώνου και ϑα τον γενικεύσουµε για το εµβαδόν ενός σφαιρικού πολυγώνου. Πρόταση Ας είναι ΑΒΓ σφαιρικό τρίγωνο σφαίρας ακτίνας ρ και α, ϐ, γ οι σφαιρικοί τοµείς που ορίζουν οι γωνίες του τριγώνου. Τότε, το εµβαδόν του σφαιρικού αυτού τριγώνου, δίνεται από τον τύπο ε(abγ ) = ρ 2 (α + β + γ π) Απόδειξη. Θεωρούµε σφαίρα S ακτίνας ρ και το σφαιρικό τοµέα αυτής που αποτέµνεται από µία δίεδρη γωνία ω της οποίας η ακµή διέρχεται από το κέντρο της σφαίρας, όπως το σχήµα Σχήµα Συµβολίζουµε µε ε(ω) το εµβαδόν του παραπάνω σφαιρικού τοµέα. Προφανώς, για δύο σφαιρικούς τοµείς που αντιστοιχούν στις ω 1, ω 2, έχουµε ε(ω 1 + ω 2 ) = ε(ω 1 ) + ε(ω 2 ). Για ω = 2π έχουµε όλη τη σφαίρα µε εµβαδόν ε(2π) = 4πρ 2, οπότε για τυχαία δίεδρη γωνία ω ισχύει ε(ω) = ( ω 2π ) 4πρ 2 (1.1) ε(ω) = 2ρ 2 ω. Ας δούµε, τώρα, το εµβαδόν του σφαιρικού τριγώνου ABΓ (ϐλ.σχήµα 1.3.9).Θεωρούµε σφαιρικό τρίγωνο A B Γ, το οποίο είναι αντιδιαµετρικό του ABΓ. 16

23 Σχήµα Συµβολίζουµε µε α, ϐ και γ τους σφαιρικούς τοµείς που ορίζουν οι αντίστοιχες γωνίες του τριγώνου. Εχουµε ε(α) = ε(abγ ) + ε(ba Γ ) = ε(abγ ) + ε(aγ B ) όπου η τελευταία ισότητα προκύπτει από τη συµµετρία της σφαίρας ως προς το κέντρο της. Παρόµοια για το ε(β), ε(γ). Συνεπώς ε(α) + ε(β) + ε(γ) = 2πρ 2 + 2ε(ABΓ ) και λόγω της (1.1) η παραπάνω σχέση ϑα µας δώσει 2ρ 2 (α + β + γ) = 2πρ 2 + 2ε(ABΓ ) απ όπου τελικά ϑα πάρουµε το Ϲητούµενο αποτέλεσµα ε(abγ ) = ρ 2 (α + β + γ π). 5 ίνουµε, τώρα, τη γενίκευση της παραπάνω πρότασης για το εµβαδόν ενός σφαι- ϱικού πολυγώνου. Πρόταση Ας είναι A 1 A 2...A n κυρτό σφαιρικό πολύγωνο σφαίρας ακτίνας ϱ και a 1, a 2,..., a n τα µέτρα των δίεδρων γωνιών του πολυγώνου. Τότε, το εµβαδόν του σφαιρικού αυτού πολυγώνου, δίνεται από τον τύπο ε(a 1 A 2...A n ) = ρ 2 [a 1 + a a n (n 2)π] 5 Προκύπτει και από τον τύπο του Gauss Bonnet ϐλ. σηµ. του µαθήµατος Κ..Γ.ΙΙ στην ιστοσελίδα users.auth.gr/stamata. 17

24 Απόδειξη. Θεωρούµε σηµείο Ο στο εσωτερικό του πολυγώνου όπως το σχήµα Σχήµα Αθροίζοντας τα εµβαδά των τριγώνων OA 1 A 2, OA 2 A 3,..., OA n A 1, ϐρίσκουµε ε(a 1 A 2...A n ) = ε(oa 1 A 2 ) + ε(oa 2 A 3 ) ε(oa n A 1 ) n = ρ 2 [ (OA i A i+1 + A i A i+1 O + A i+1 OA i π)] i=1 = ρ 2 (a 1 + a a n + 2π nπ) = ρ 2 [a 1 + a a n (n 2)π] όπου ϑέσαµε A n+1 = A 1 και συµβολίσαµε µε OA i A i+1 το µέτρο της αντίστοιχης δίεδρου γωνίας. Το 2π, στον τύπο προέκυψε ως άθροισµα όλων των δίεδρων µε κορυφή το Ο. Στο σηµείο αυτό, είµαστε έτοιµοι να δώσουµε µία δεύτερη απόδειξη για τα κανονικά πολύεδρα. Πρόταση Υπάρχουν ακριβώς πέντε κανονικά πολύεδρα Απόδειξη. Από τη στοιχειώδη γεωµετρία έχουµε ότι κάθε κανονικό πολύεδρο είναι εγγράψιµο σε σφαίρα (ϐλ. Στοιχεία του Ευκλείδη Βιβλίο ΧΙΙΙ Προτάσεις 13 17). Προβάλλοντας λοιπόν από το κέντρο ακτινικά το κανονικό πολύεδρο στην πε- ϱιγεγραµµένη σφαίρα του, παίρνουµε µία κανονική πλακόστρωση της σφαίρας. Σχήµα

25 Σχήµα Για να δείξουµε ότι υπάρχουν ακριβώς πέντε κανονικά πολύεδρα, αρκεί πλέον ν αποδείξουµε ότι υπάρχουν πέντε µόνο κανονικές πλακοστρώσεις της σφαίρας, καθώς επίσης και ότι σε κάθε κανονική πλακόστρωση της σφαίρας αντιστοιχεί ένα ακριβώς κανονικό πολύεδρο. Εστω ότι η κανονική πλακόστρωση συµπεριλαµβάνει µ στο πλήθος κανονικά πολύγωνα, καθένα από τα οποία έχει κ στο πλήθος πλευρές. Εστω, επίσης, ότι σε κάθε κορυφή της πλακόστρωσης συντρέχουν ν το πλήθος πολύγωνα. Τότε οι γωνίες των σφαιρικών πολυγώνων ϑα είναι όλες ίσες µε ϕ = 2π ν. Το εµβαδόν της σφαίρας, σύµφωνα µε την πρόταση (1.3.7) ϑα είναι 4πρ 2 = µρ 2 [κϕ (κ 2)π] οπότε, για ϕ = 2π ν ϑα πάρουµε (1.2) 4ν = 2µκ + (2 κ)µν. Τα ν, κ και µ πρέπει να είναι όλα µεγαλύτερα του 2, άλλως ϑα έχουµε κάλυψη µε ηµισφαίρια. Ετσι, το δεξί µέλος της (1.2) είναι πάντα ϑετικό. Συνεπώς 2µκ + (2 κ)µν > 0 2κ + (2 κ)ν > 0 2ν > κ(ν 2) και επειδή ν > 2, ϑα πάρουµε κ < 6 κ = 3, 4, 5. Αυτό σηµαίνει ότι τα πολύγωνα µπορεί να έχουν µόνο 3 ή 4 ή 5 πλευρές. ηλαδή, κάθε κανονική πλακόστρωση ϑα αποτελείται από τρίγωνα ή τετράγωνα ή πεντάγωνα. Θα εξετάσουµε ξεχωριστά κάθε µία από τις παραπάνω περιπτώσεις. Για κ = 3 από τη (1.2) ϑα πάρουµε (µ + 4)(6 ν) = 24 Συνεπώς ϑα είναι ν = 3, 4, 5 µε αντίστοιχα µ = 4, 8, 20 Για κ = 4 από τη (1.2) ϑα πάρουµε (µ + 2)(4 ν) = 8 Συνεπώς ϑα είναι ν = 3 µε αντίστοιχο µ = 6 19

26 Για κ = 5 από τη (1.2) ϑα πάρουµε (3µ + 4)(10 3ν) = 40 Συνεπώς ϑα είναι ν = 3 µε αντίστοιχο µ = 12 Συνολικά, λοιπόν, έχουµε πέντε ακριβώς τριάδες (κ, µ, ν) που κάθε µία τους δίνει και µία πλακόστρωση της σφαίρας και ένα αντίστοιχο κανονικό πολύεδρο. Συνοψίζουµε τα παραπάνω αποτελέσµατα στον πίνακα που ακολουθεί. Πίνακας 1.3.2: Κανονικά πολύεδρα Τώρα, έχοντας τα κ και ν µπορούµε να κατασκεύασουµε, µε τη ϐοήθεια τύπων της σφαιρικής τριγωνοµετρίας, το κανονικό πολύγωνο της αντίστοιχης κάλυψης. Ενώνοντας τις κορυφές αυτής της κάλυψης µε ευθύγραµµα τµήµατα, ορίζουµε αυτόµατα τα κανονικά πολύεδρα. 20

27 Κεφάλαιο 2 Ηµικανονικά Πολύεδρα Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ξεκινήσουµε µε µία µικρή αναφορά στη Ϲωή και στο έργο του Αρχιµήδη. Θα παρουσιάσουµε τα 13 ηµικανονικά πολύεδρα ή Αρχιµήδεια στερεά και τα γεωµετρικά χαρακτηριστικά τους. Στο 5ο ϐιβλίο της Συναγωγής του Πάππου ( µ.Χ.) αναφέρονται 13 ηµικανονικά πολύεδρα που περιγρά- ϕτηκαν από τον Αρχιµήδη και προς τιµήν του ϕέρουν το όνοµα Αρχιµήδεια. Τέλος, ϑα κάνουµε σύγκριση των ηµικανονικών πολυέδρων µε τα κανονικά, όπως αυτά παρουσιάστηκαν στο πρώτο κεφάλαιο και ϑα µιλήσουµε για τη σύνδεση και τις διαφορές τους. 2.1 Η Ϲωή και το έργο του Αρχιµήδη Ο Αρχιµήδης ήταν µαθηµατικός, ϕυσικός, µηχανικός, απαράµµιλος ερευνητής. Γεννήθηκε στις Συρακούσες της Σικελίας γύρω στα 287 π.χ. και πέθανε εκεί στα 212 π.χ. σε ηλικία 75 ετών. Σκοτώθηκε από Ρωµαίο στρατιώτη, µετά την άλωση της πόλεως, αφού για µεγάλο χρονικό διάστηµα την υπερασπίστηκε µε τις εκπληκτικές µηχανές που κατασκεύαζε και µε τις οποίες προκαλούσε τον όλεθρο και τον πανικό στον εχθρό. 21

28 Ο Αρχιµήδης τη στιγµή που ο στρατιώτης ετοιµάζεται να τον σκοτώσει και εκείνος του απαντάει µε τη ϕράση µη µου τους κύκλους τάραττε. Σύµφωνα µε τον Πλούταρχο, ο Αρχιµήδης ήταν συγγενής του Ιέρωνα, του ϐασιλιά των Συρακουσών. Ο πατέρας του Φειδίας ήταν αστρονόµος. Πήγε στην Αλεξάνδρεια, όταν πιά δε Ϲούσε ο Ευκλείδης. Εκεί γνωρίστηκε µε τους διαδόχους του Ευκλείδη και σπουδαίους µαθηµατικούς, όπως ο Κόνων, ο οσίθεος και ο Ερατοσθένης. Από όσα µέχρι σήµερα ξέρουµε, ο Αρχιµήδης έγραψε 37 έργα από τα οποία σώθηκαν µόνο τα 15. Ενα από τα χαµένα του έργα είναι και το Περί 13 ηµικανονικών πολυέδρων. Τα συγγράµµατα του Αρχιµήδη που σώθηκαν µέχρι σήµερα είναι τα ακόλουθα: Περί σφαίρας και κυλίνδρου Κύκλου µέτρησις Περί σφαιροειδέων και κωνοειδέων Περί ελίκων Επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα ϐαρών επιπέδων Ψαµµίτης Τετραγωνισµός παραβολής Οχουµένων Στοµάχιον Προς Ερατοσθένην Εφοδος Βιβλίον περί ληµµάτων Πρόβληµα ϐοεικόν Αποσπάσµατα Μερικά από αυτά διασώθηκαν ατελώς. Πολλά επίσης είναι τα συγγράµµατά του που χάθηκαν. 22

29 Πίνακας σε λάδι του Αρχιµήδη από τον Ιταλό καλλιτέχνη Giuseppe Nogari που ϕυλάσσεται στο Punkish State Museum of Fine Arts στην Μόσχα. Εκανε τα πρώτα ϐήµατα για τον υπολογισµό των εµβαδών των επιφανειών µε α- κανόνιστο περίγραµµα και συµµετρικών εκ περιστροφής σωµάτων, µέθοδος που εξελίχθηκε, τεκµηριώθηκε και ονοµάστηκε στη σύγχρονη εποχή Ολοκληρωτικός Λογισµός, υπολόγισε µία προσεγγιστική τιµή για τον άρρητο αριθµό π, διατύπωσε το νόµο της Μηχανικής για τους µοχλούς και αντιλαµβανόµενος τις απεριόριστες προεκτάσεις του, γενίκευσε την εφαρµογή λέγοντας ώσε µου σηµείο να στη- ϱιχθώ και ϑα κινήσω τη γη, διατύπωσε την οµώνυµη αρχή για την άνωση του νερού, κατασκεύασε διάφορες µηχανές, ένα τύπο πολύσπαστου, τον κοχλία, µία αντλητική µηχανή µε την αρχιµήδειον έλικα κ.ά. Στον χώρο της εφαρµοσµένης µηχανικής ο Αρχιµήδης επινόησε ιδιοφυείς µηχανές κάθε είδους. Εφηύρε τον Ρωµαϊκό Ϲυγό (καντάρι), το τρίσπαστο (ανυψωτική τριπλή τροχαλία) και τον ατέρµονα κοχλία έλιξ του Αρχιµήδους, µηχανή ά- ντλησης νερού από ποταµούς και ϕρέατα (η οποία χρησιµοποιείται ακόµα και στις µέρες µας σε περιοχές της Β. Αφρικής). Για την µέτρηση του χρόνου κατασκεύασε ένα υδραυλικό ϱολόι το οποίο υπολόγιζε µε µεγάλη ακρίβεια τις ώρες (και ειδοποιούσε για την αλλαγή της ώρας). Μεγάλη ϕήµη απέκτησαν και οι πολε- µικές µηχανές του Αρχιµήδη : αρχιτρόνιτο (πυροβόλο ατµού - το οποίο πολλούς αιώνες αργότερα επανα- ανακάλυψε και ο Λεονάρντο Ντα Βίντσι), καταπέλτες, αρπάγες (ένας µηχανισµός ο οποίος ανύψωνε και αναποδογύριζε τα εχθρικά πλοία) και κάτοπτρα για την καύση των Ρωµαϊκών εχθρικών πλοίων. Εξαιρετικές του µελέτες, και για τη µέθοδο και για το αποτέλεσµα, είναι εκείνες που έδωσαν τα εµβαδά των χωρίων του επιπέδου που περικλείονται από Κύκλο, Ελλειψη, Παραβολή και Ελικα καθώς και τα εµβαδά και τους όγκους των χωρίων που περικλείονται από τις επιφάνειες των Κυλίνδρων, των Κώνων και κυρίως των Σφαιρών. Σηµαντικότατη ϑεωρείται και η ανακάλυψη, από τον ίδιο, τύπου που 23

30 δίνει το εµβαδόν τριγώνου συναρτήσει των πλευρών του. Ο Αρχιµήδης επίσης γνώριζε να κατασκευάζει τη λύση ειδικών τριτοβάθµιων εξισώσεων, και µεταξύ αυτών και του ηλίου Προβλήµατος (διπλασιαµός του όγκου του κύβου). Μοναδική είναι η προσφορά του στην µετρική Γεωµετρία. Συγκεκριµένα υπολόγισε τους ό- γκους στερεών που περικλείονται από επιφάνειες εκ περιστροφής κωνικών τοµών εφαρµόζοντας απειροστικές µεθόδους ανάλυσης των στερεών αυτών. Η πρωτοτυπία και η αποτελεσµατικότητα των µελετών του έγιναν αιτία να χαρακτηριστεί από τους ιστορικούς των µαθηµατικών, ως ο µεγαλύτερος µαθηµατικός όλων των εποχών και όλων των εθνών. 2.2 Τα Ηµικανονικά Πολύεδρα Στο 5ο ϐιβλίο της Συναγωγής του Πάππου ( µ.Χ.) αναφέρονται 13 ηµικανονικά πολύεδρα που περιγράφτηκαν από τον Αρχιµήδη και προς τιµήν του ϕέρουν το όνοµα Αρχιµήδεια. Σύµφωνα µε τον Πάππο, ο Αρχιµήδης λέγοντας ηµικανονικά πολύεδρα εννοούσε τα κυρτά πολύεδρα που περικλείονται από κανονικά πολύγωνα, αλλά όχι όµοια µεταξύ τους, σε αντίθεση µε τα κανονικά πολύεδρα. Ο Loria στην ιστορία των Μαθηµατικών γράφει ότι ο Αρχιµήδης στο έργο του Περί 13 ηµικανονικών πολυέδρων προσδιόρισε µε άγνωστο σε µας τρόπο τον αριθµό των ηµικανονικών πολυέδρων σε δεκατρία. Ετσι, ηµικανονικό πολύεδρο λέγεται ένα πολύεδρο του οποίου όλες οι έδρες είναι κανονικά πολύγωνα διαφόρων τύπων, τα οποία ενώνονται µε τον ίδιο τρόπο γύρω από κάθε κορυφή. Ενα ηµικανονικό πολύεδρο αναγνωρίζεται από τη διαµόρφωση κορυφής, δηλαδή από τον τρόπο µε τον οποίο οι πολυγωνικές έδρες ενώνονται για να σχηµατίσουν την πολυεδρική γωνία της κάθε κορυφής του. Για παράδειγ- µα, η διαµόρφωση κορυφής (3-6-6), τρίγωνο-εξάγωνο-εξάγωνο, αντιστοιχεί στο κόλουρο τετράεδρο όπως δείχνει το σχήµα Σχήµα 2.2.1: το κόλουρο τετράεδρο (Σε κάθε κορυφή του συναντώνται : τρίγωνο-εξάγωνο-εξάγωνο κυκλικά). 24

31 Ο Johannes Kepler ( ), ήταν ο επόµενος που έγραψε για τα ηµικανονικά πολύεδρα στο έργο του Harmonices Mundi παρ ότι κάποια από αυτά τα πολύεδρα είχαν επανακαλυφτεί από άλλους. Ο Kepler απέδειξε ότι είναι ακριβώς 13. (Η αναφορά γίνεται στο Βιβλίο ΙΙ του έργου του De Corguentia Figurarum H- armonicarum Πρόταση XXVIII, σελίδες 61-65), δίνοντάς τους σύγχρονα ονόµατα. Στη συνέχεια, παρουσιάζουµε πίνακες µε τα 13 ηµικανονικά πολύεδρα. Πίνακας

32 Πίνακας Στα παραπάνω πολύεδρα πρέπει να προσθέσουµε και δύο άπειρες σειρές από ηµικανονικά εγγράψιµα πολύεδρα : τα κανονικά ορθογώνια πρίσµατα τα οποία εγγράφονται σε σφαίρα (δύο κανονικά πανοµοιότυπα παράλληλα πολύγωνα µε n πλευρές που συνδέονται µε n τετράγωνα) και τα κανονικά αντιπρίσµατα, δηλαδή 26

33 δύο κανονικά ίδια πολύγωνα που το ένα έχει περιστραφεί κατά γωνία 360 2n σε σχέση µε το άλλο, και ενώνονται µε 2n ισόπλευρα τρίγωνα. Οι κατηγορίες αυτές περιλαµβάνουν άπειρα τέτοια ηµικανονικά πολύεδρα, σε αντίθεση µε τα πέντε κανονικά και δεκατρία ηµικανονικά πολύεδρα. Πενταγωνικό ηµικανονικό πρίσµα και αντιπρίσµα. Τα κανονικά πρίσµατα και αντιπρίσµατα είναι εγγράψιµα σε σφαίρα και έχουν όλες τις ιδιότητες των ηµικανονικών πολυέδρων (σε κάθε ένα οι στερεές γωνίες που ξεκινούν από τις κορυφές είναι ίδιες). Οι λεπτοµέρειές τους είναι οι ακόλουθες : Πέντε από τα ηµικανονικά πολύεδρα προέρχονται από την αποκοπή των πέντε κανονικών πολυέδρων, για παράδειγµα, το κόλουρο τετράεδρο από την αποκοπή του κανονικού τετραέδρου. Αποκοπή είναι η απόσπαση όλων των γωνιών γύρω από µια κορυφή µε ένα συµµετρικό τρόπο. Τέλος, ϑα παρουσιάσουµε και ϑα µελετήσουµε κάποια γεωµετρικά χαρακτηριστικά για τρία από αυτά τα πολύεδρα. Παρακάτω συµβολίζουµε µε α το µήκος της ακµής ενός ηµικανονικού πολυέδρου. Κόλουρο τετράεδρο. ιαθέτει 8 έδρες: 4 κανονικά εξάγωνα και 4 ισόπλευρα τρίγωνα. Εχει 12 κορυφές και 18 ακµές. Σε κάθε κορυφή του συναντώνται : τρίγωνο-εξάγωνο-εξάγωνο κυκλικά. ιαµόρφωση κορυφής (3-6-6). 27

34 Πίνακας Γεωµετρικά χαρακτηριστικά κόλουρου τετραέδρου Το πολύεδρο αυτό προκύπτει από το κανονικό τετράεδρο, αν οι ακµές του διαι- ϱεθούν σε τρία ίσα µέρη, περάσουν από τις τοµές επίπεδα και αποκοπούν οι τέσσερις κορυφές. Σχήµα Οπως ϕαίνεται στο παραπάνω σχήµα, αν c είναι η πλευρά του κανονικού τετραέδρου, έχουµε ϑα είναι και για AE = AK = c 3 EK = EΣ = KΣ = c 3 28

35 ηλαδή, τα τρίγωνα ΕΚΣ, ΖΗΛ, ΜΝΠ, ΙΘΡ, είναι ισόπλευρα και µεταξύ τους ί- σα. Επίσης, και τα εξάγωνα που σχηµατίζονται είναι κανονικά, διότι οι πλευρές τους είναι όλες ίσες µε c 3 και οι γωνίες τους είναι κάθε µία 120, γιατί είναι παραπληρωµατικές των γωνιών των ισοπλεύρων τριγώνων. Κάθε στερεά γωνία αποτελείται από δύο εξαγωνικές και µία τριγωνική γωνία, που έχουν άθροισµα = 300. Ετσι, από τις 360 υπολείπονται 60. Το πολύεδρο έχει 8 έδρες διότι στις 4 που είχε το κανονικό τετράεδρο προστέθηκαν και οι 4 που προέκυψαν από την τοµή των τεσσάρων κορυφών. Εστω α η πλευρά του κόλουρου τετραέδρου. Τότε α = c 3 c = 3α Για τη συνολική επιφάνεια του κόλουρου τετραέδρου ϑα έχουµε : S = 4S 6 + 4S 3 όπου S 6 και S 3 είναι οι επιφάνειες του εξαγώνου και του τριγώνου, αντίστοιχα. Ετσι S = 4 3α α2 3 4 Για τον όγκο του κόλουρου τετραέδρου ϑα έχουµε : = 7α 2 3 V = V 1 4V 2 όπου V 1 είναι ο όγκος του τετραέδρου ΑΒΓ και V 2 ο όγκος του τετραέδρου ΑΣΕΚ. Ετσι V = c α3 12 = 23α Εστω R η ακτίνα της περιγεγραµµένης σφαίρας του κόλουρου τετραέδρου και R 4 η ακτίνα της περιγεγραµµένης σφαίρας του κανονικού τετραέδρου. Τότε (2R 4 ) 2 = 3c2 2 Επίσης, από το 13ο ϐιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη (πρόταση 13) R 4 = c 6 4. AO = c 6 3 AX = AO 3 = c 6 9 και αν συµβολίσουµε µε T το κέντρο της σφαίρας, ϑα είναι T X = c 6 4 c 6 9 = 5c 6 36 = 5α Τώρα, από το ορθογώνιο τρίγωνο T XE έχουµε 29

36 T E 2 = T X 2 + EX 2 = ( 5α 6 12 )2 + ( α 3 R = T E = α )2 = 11α2 8 Κυβοκτάεδρο. ιαθέτει 14 έδρες: 8 ισόπλευρα τρίγωνα και 6 τετράγωνα. Εχει 12 κορυφές και 24 ακµές. Η διαµόρφωση κορυφής του είναι ( ), δηλαδή σε κάθε κορυφή του ενώνονται εναλλάξ δύο τρίγωνα και δύο τετράγωνα. Πίνακας Γεωµετρικά χαρακτηριστικά κυβοκτάεδρου Το πολύεδρο αυτό προκύπτει από τον κύβο, αν διαιρέσουµε τις πλευρές του σε δύο ίσα µέρη και από τις τοµές περάσουν επίπεδα τα οποία ϑα αποκόψουν τις 8 γωνίες. Σχήµα

37 Οπως ϕαίνεται στο παραπάνω σχήµα, αν c είναι η πλευρά του κύβου και Α, Β, Γ,, τα µέσα των πλευρών µιας έδρας, το τετράγωνο ΑΒΓ έχει πλευρά α = c 2 2 Επίσης, το τρίγωνο ΑΒΕ είναι ισόπλευρο µε την ίδια πλευρά α. Ετσι το πολύεδρο περικλείεται από 6 τετράγωνα και 8 ισόπλευρα τρίγωνα. Είναι δηλαδή ηµικανονικό 14εδρο µε πλευρά c = α 2. Κάθε στερεά γωνία είναι τετράεδρη και αποτελείται από δύο τετραγωνικές και δύο τριγωνικές. Η επιφάνεια S του πολυέδρου αποτελείται από τα εµβαδά των 6 τετραγώνων και των 8 τριγώνων. S = 6S 4 + 8S 3 = 6α α2 3 4 = α 2 ( ). Ο όγκος V του πολυέδρου προκύπτει αν από τον όγκο του κύβου αφαιρέσουµε τον όγκο των 8 τετραέδρων που αποκόπτονται. Ας είναι V 6 ο όγκος του κύβου και V 0 ο όγκος του τετραέδρου ΣΑΒΕ, τότε V = V 6 8V 0 = c c c 2 = 5c3 6 = 5α Για την ακτίνα R της περιγεγραµµένης σφαίρας έχουµε : Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΟΚΑ ( ˆK = 1 ορθή) είναι OA 2 = OK 2 + AK 2. Αλλά OK = c 2 = α 2 2 και AK = α 2 2, καθώς το ΑΚ είναι το µισό της διαγωνίου του τετραγώνου. Ετσι OA 2 = 2α α2 4 = α2 OA = α Τώρα, επειδή ΟΑ=Ο =ΟΒ=ΟΕ=..., η ΟΑ είναι η ακτίνα της περιγεγραµµένης σφαίρας. ηλαδή R = α. Κόλουρος κύβος. ιαθέτει 14 έδρες: 8 ισόπλευρα τρίγωνα και 6 κανονικά οκτάγωνα. Εχει 24 κορυφές και 36 ακµές. Η διαµόρφωση κορυφής του είναι (3-8-8). Κατασκευαστικά, ο κόλουρος κύβος µπορεί να προέλθει από τον κύβο, εάν αποκοπούν όλες οι κορυφές του, έτσι ώστε από τις έδρες του αρχικού κύβου να προκύψουν κανονικά οκτάγωνα και στη ϑέση των αποκοµµένων κορυφών του να σχηµατιστούν τρίγωνα. 31

38 Πίνακας Γεωµετρικά χαρακτηριστικά κόλουρου κύβου Το πολύεδρο αυτό περικλείεται από 8 ισόπλευρα τρίγωνα και 6 κανονικά οκτάγωνα. Προκύπτει από τον κύβο, αν κάθε του πλευρά διαιρεθεί σε τρία µέρη, ώστε το µεσαίο να έχει λόγο µε κάθε ένα από τα άλλα (που είναι ίσα µεταξύ τους) ίσο µε 2. ηλαδή το τετράγωνο του µεσαίου να είναι διπλάσιο από το τετράγωνο ενός από τα ακραία. Σχήµα Ας είναι c η πλευρά του κύβου που ϕαίνεται στο παραπάνω σχήµα και x, α, x τα τµήµατα στα οποία ϑα την διαιρέσουµε, έτσι ώστε α να είναι η πλευρά του δεκατετραέδρου. Ετσι, ϑα πρέπει να είναι α 2 = 2x 2 α = x 2 x + x 2 + x = c x = c c 2 2 Αφαιρούµε από την πλευρά c του κύβου το µισό της διαγωνίου της έδρας του. Τότε α = x 2 = c(2 2) 2 2 = c( 2 1) c = α( 2 + 1) 32

39 Ετσι σχηµατίζεται σε κάθε έδρα του κύβου ένα οκτάγωνο. Οι πλευρές του, που είναι πάνω στις πλευρές των τετραγώνων, είναι ίσες µε α. Οι άλλες 4 είναι υποτείνουσες ορθογωνίων τριγώνων που έχουν κάθετες πλευρές x. Άρα κάθε υποτείνουσα είναι x 2 = α. ηλαδή, το οκτάγωνο είναι ισόπλευρο. Αλλά είναι και ισογώνιο διότι κάθε του γωνία είναι παραπληρωµατική µίας οξείας γωνίας ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου. ηλαδή τα οκτάγωνα είναι κανονικά. Τέλος, τα τρίγωνα είναι ισόπλευρα µε πλευρά ίση µε x 2 = α Η επιφάνεια S του πολυέδρου αποτελείται από τις επιφάνειες των 6 οκταγώνων και των 8 τριγώνων. S = 6S 8 + 8S 3 = 6[2α 2 ( 2 + 1)] + 8 α2 3 4 = 2α 2 ( ) Ο όγκος V του πολυέδρου προκύπτει αν από τον όγκο του κύβου αφαιρέσουµε τον όγκο των 8 τετραέδρων που αποκόπηκαν. Τώρα, ο όγκος του κύβου είναι V 1 = c 3 = α 3 ( 2 + 1) 3 = α 3 ( ) και ο όγκος για κάθε ένα από τα 8 τετράεδρα είναι και τελικά V 2 = x3.x.x.x = 2 6 = α V = V 1 8V 2 = 1 3 ( )α 3 Για την ακτίνα R της περιγεγραµµένης σφαίρας έχουµε : Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΚΚ Λ είναι αλλά (KΛ) 2 = (KK ) 2 + (K Λ) 2 KK = c 2 = α( 2 + 1) 2 και Κ Λ είναι η ακτίνα του περιγεγραµµένου κύκλου στο οκτάγωνο και είναι Ετσι και K Λ = α (KΛ) 2 = α2 4 ( ) R = KΛ = α

40 2.3 Σύγκριση ηµικανονικών και κανονικών πολυέδρων Οπως αναφέραµε και στην προηγούµενη παράγραφο, πέντε από τα ηµικανονικά πολύεδρα προέρχονται από την αποκοπή των πέντε κανονικών πολυέδρων. Γενικότερα, τα ηµικανονικά πολύεδρα συνδέονται µε τα κανονικά πολύεδρα, α- ϕού τα πρώτα µπορούν να προκύψουν από τα δεύτερα, µε µία ή περισσότερες α- ποκοπές κατάλληλων τµηµάτων από τις στερεές γωνίες των κανονικών πολυέδρων ή µε άλλου είδους διαδοχικές γεωµετρικές πράξεις. Εξαιτίας της γεωµετρικής αυτής σχέσης τα κανονικά πολύεδρα καλούνται µητρικά πολύεδρα των ηµικανονικών πολυέδρων. Ως παράδειγµα αναφέρουµε τη δηµιουργία του ηµικανονικού πολυέδρου που ονοµάζεται κολοβό εικοσάεδρο και έχει τη µορφή µπάλας ποδοσφαίρου σε πολυεδρική µορφή (Σχήµα 2.3.1). Το πολύεδρο αυτό προέρχεται από την απότµηση κατάλληλων πυραµίδων από τις στερεές γωνίες κανονικού εικοσαέδρου. Σχήµα Υπάρχουν έξι τρόποι για να κατασκευάσουµε ηµικανονικά πολύεδρα από κανονικά πολύεδρα. Κάθε κανονικό πολύεδρο είναι µητρικό µερικών από τα ηµικανονικά πολύεδρα, ενώ κάθε ηµικανονικό πολύεδρο µπορεί να παραχθεί συνήθως από δύο κανονικά πολύεδρα και µερικά από τρία. Ενδεικτικά αναφέρουµε το κυβοκτάεδρο, το οποίο µπορεί να δηµιουργηθεί είτε από τον κύβο είτε από το οκτάεδρο (Σχήµα 2.3.2) Σχήµα

41 Επίσης, ένα ηµικανονικό πολύεδρο µπορεί να έχει ως µητρικό όχι µόνο κανονικό, αλλά και άλλο ηµικανονικό πολύεδρο. Τέλος, κλείνοντας αυτό το κεφάλαιο, δίνουµε τρείς ϐασικές ιδιότητες οι οποίες διαφοροποιούν τα κανονικά από τα ηµικανονικά πολύεδρα: 1. Τα κανονικά πολύεδρα αποτελούνται από ίσα κανονικά πολύγωνα ενός µόνο είδους. Αυτό έχει ως συνέπεια οι στερεές γωνίες να είναι όλες ίσες, καθώς επίσης ίσες είναι και οι δίεδρες γωνίες τους, δηλαδή διαθέτουν ένα σύνολο ίσων στερεών γωνιών και ένα σύνολο ίσων δίεδρων γωνιών. Αντίθετα, 3 από τα 13 ηµικανονικά πολύεδρα αποτελούνται από τρία είδη ίσων κανονικών πολυγώνων, ενώ 10 από δύο είδη. Συνέπεια της διαφοράς αυτής είναι εκτός των άλλων, ότι ενώ οι στερεές γωνίες στο ίδιο ηµικανονικό πολύεδρο είναι όλες ίσες, δηλαδή το κάθε πολύεδρο διαθέτει ένα µόνο σύνολο ίσων στερεών γωνιών, υπάρχουν σε κάθε ένα από αυτά περισσότερα του ενός σύνολα ίσων δίεδρων γωνιών, διότι δεν είναι όλες οι δίεδρες γωνίες των όµορων εδρών του ίσες. 2. Τα κανονικά πολύεδρα έχουν ίσες και κανονικές 1 στερεές γωνίες, ενώ τα ηµικανονικά έχουν ίσες αλλά όχι κανονικές. 3. Στα κανονικά πολύεδρα υπάρχουν εγγεγραµµένη και περιγεγραµµένη σφαίρα, µε ίδιο κέντρο. Αντίθετα, στα ηµικανονικά πολύεδρα υπάρχει µόνο περιγεγραµ- µένη σφαίρα ϐλ.[10]. Προφανώς και υπάρχουν πολύεδρα τα οποία δεν ανήκουν σε καµία από τις δύο παραπάνω κατηγορίες των κανονικών και ηµικανονικών πολυέδρων. Μία τέτοια περίπτωση είναι και τα πολύεδρα του Johnson. Ενα πολύεδρο Johnson είναι ένα κυρτό πολύεδρο που η κάθε έδρα του είναι κανονικό πολύγωνο και δεν υ- πάρχει απαίτηση να είναι όλα τα πολύγωνα του ίδιου είδους, ή γύρω από κάθε κορυφή του να εντάσσονται ίδιου είδους πολύγωνα. Σε κάθε κυρτό πολύεδρο συναντώνται σε κάθε κορυφή τουλάχιστον τρεις έδρες και το σύνολο των γωνιών τους είναι µικρότερο από 360 µοίρες. εδοµένου ότι ένα κανονικό πολύγωνο έχει γωνίες τουλάχιστον 60 µοιρών, συνεπάγεται ότι το πολύ πέντε έδρες συναντώνται σε κάθε κορυφή. Ο µαθηµατικός Norman Johnson γεννήθηκε το 1930 στις Η.Π.Α. Το 1966, δηµοσίευσε µια λίστα που περιελάµβανε όλα αυτά τα πολύεδρα, 92 σε πλήθος, τα οποία αρίθµησε και τους έδωσε ονόµατα. εν απέδειξε ότι υπήρχαν µόνο 92, αλλά έκανε την εικασία ότι δεν υπάρχουν άλλα. Το 1969, ο Ρώσος µαθηµατικός Victor Zalgaller, απέδειξε ότι ο κατάλογος του Johnson ή- ταν πλήρης. Ενα παράδειγµα πολυέδρου Johnson είναι ο επιµήκης τετραγωνικός γυροδιτρούλος(j37), που ονοµάζεται επίσης ψευδο-ϱοµβοκυβοκτάεδρο. Είναι τοπικά οµοιόµορφο στις κορυφές. ηλαδή, σε κάθε κορυφή υπάρχουν 4 έδρες και η διάταξή τους είναι πάντα η ίδια: 3 τετράγωνα και 1 τρίγωνο. Ωστόσο, οι κορυφές 1 Κανονική στερεά γωνία λέγεται η κυρτή στερεά που έχει όλες τις εδρικές γωνίες ίσες και όλες τις δίεδρες επίσης ίσες. 35

42 του, δεν είναι µεταβατικές καθώς έχει διαφορετική ισοµετρία σε διάφορες από τις κορυφές ( ϐλ.[10], σελ. 91), καθιστώντας το έτσι, πολύεδρο του Johnson αντί για ηµικανονικό πολύεδρο. Σχήµα Στερεό Johnson J37. 36

43 Κεφάλαιο 3 Οι συµµετρίες των πολυέδρων Στις τρεις διαστάσεις, η συµµετρία έχει την πιο ενδιαφέρουσα εφαρµογή της στα πολύεδρα και δη τα κανονικά. Σε αυτό το κεφάλαιο ϑα πραγµατευθούµε τις συµµετρίες των κανονικών και ηµικανονικών πολυέδρων. 3.1 Ορισµοί, ϐασικές έννοιες Ορισµός Καλούµε ορθογώνια οµάδα O(n) το σύνολο των γραµµικών µετασχηµατισµών που διατηρούν το κανονικό εσωτερικό γινόµενο στον R n. O(n) = {f : R n R n /f γραµµική και < f(x), f(y) >=< x, y >, x, y R n } Το όνοµα που χρησιµοποιήσαµε για το σύνολο O(n) υποδηλώνει ότι πρόκειται περί µιας οµάδας, ενώ ο επιθετικός προσδιορισµός ορθογώνια, δικαιολογείται από το γεγονός ότι οι µετασχηµατισµοί του απεικονίζουν Ϲεύγη ορθογωνίων διανυσµάτων του R n σε αντίστοιχα διανύσµατα που διατηρούν την ιδιότητα της καθετότητας. Ορισµός Καλούµε ειδική ορθογώνια οµάδα SO(n) το σύνολο όλων των ορθογωνίων απεικονίσεων, των οποίων η ορίζουσα είναι 1 δηλαδή διατηρούν τον προσανατολισµό. Η ειδική ορθογώνια οµάδα SO(n) είναι µια κανονική υποοµάδα της O(n) και όπως ϑα δούµε αργότερα εκφράζει τις περιστροφές του R n περί την αρχή των αξόνων. Ορισµός Εστω X ένα κανονικό πολύεδρο µε το κέντρο του στην αρχή των αξόνων O του καρτεσιανού συστήµατος συντεταγµένων Oxyz του R 3. Καλούµε οµάδα συµµετριών του X και συµβολίζουµε µε Sym(X), το σύνολο όλων των ορθογώνιων απεικονίσεων του R 3 που διατηρούν το X. ηλαδή Sym(X) = {f : R 3 R 3 /f O(3) και f(x) = X} 37

44 Τα στοιχεία της Sym(X) καλούνται συµµετρίες του X. Ορισµός Εστω X ένα κανονικό πολύεδρο µε το κέντρο του στην αρχή των αξόνων O του καρτεσιανού συστήµατος συντεταγµένων Oxyz του R 3. Καλούµε ο- µάδα περιστροφικών συµµετριών του X και συµβολίζουµε µε RSym(X), το σύνολο όλων των ειδικών ορθογώνιων απεικονίσεων του R 3 που διατηρούν το X. ηλαδή RSym(X) = {f : R 3 R 3 /f SO(3) και f(x) = X}. 3.2 Ο δυϊσµός των κανονικών πολυέδρων Μια ενδιαφέρουσα ιδιότητα που παρουσιάζουν τα κανονικά πολύεδρα είναι αυτή που συνδέεται µε την έννοια της δυϊκότητας. Γενικά, στον R 3 συναντάµε Ϲεύγη πολυέδρων που χαρακτηρίζονται ως δυϊκά. Ας ξεκινήσουµε, λοιπόν, δίνοντας τον ορισµό της δυϊκότητας των πολυέδρων και πρίν από αυτό ϑα χρειαστεί να ορίσουµε το κέντρο ϐάρους (ϐαρύκεντρο) ενός πολυγώνου. Ορισµός Καλούµε κέντρο ϐάρους ή ϐαρύκεντρο ή απλά κέντρο ενός πολυγώνου D µε n κορυφές, το σηµείο µε συντεταγµένες X G = x 1 + x x n n Y G = y 1 + y y n n π.χ. Εστω τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφές τα σηµεία A(x A, y A ), B(x B, y B ) και Γ(x Γ, y Γ ). Αν G(x G, y G ) είναι το ϐαρύκεντρο του τριγώνου, τότε οι συντεταγµένες του είναι x G = x A+x B +x Γ 3 και y G = y A+y B +y Γ 3. Για το τετράγωνο και γενικά για οποιοδήποτε παραλληλόγραµµο το κέντρο ϐάρους είναι το σηµείο τοµής των διαγωνίων του. Ορισµός Ας είναι S ένα πολύεδρο. Συνδέουµε µε ευθύγραµµα τµήµατα τα ϐαρύκεντρα εκείνων των εδρών του πολυέδρου που έχουν κοινή ακµή. Με τον τρόπο αυτό, ορίζουµε τις ακµές ενός δεύτερου πολυέδρου S που καλείται δυϊκό του S. Τα ϐαρύκεντρα των εδρών του αρχικού πολυέδρου S αποτελούν τις κορυφές του δυϊκού του S. Επαναλαµβάνοντας την ίδια διαδικασία στο δεύτερο πολύεδρο, ανακτούµε ένα πολύεδρο όµοιο µε το αρχικό. Τα S και S καλούνται Ϲεύγος δυϊκών πολυέδρων. Στο σχήµα είναι ϕανερό ότι ο κύβος και το οκτάεδρο είναι δυϊκά πολύεδρα. Τα κέντρα των εδρών του κύβου συµπίπτουν µε τις κορυφές του δυϊκού του και αν τα ενώσουµε τότε ϑα προκύψει το οκτάεδρο. ηλαδή το πλήθος των εδρών γίνεται πλήθος κορυφών και αντίστροφα, ενώ το πλήθος των ακµών δεν αλλάζει. 38

45 Σχήµα υϊκό του εικοσαέδρου είναι το δωδεκάεδρο, όπως ϕαίνεται στο σχήµα Αν πάρουµε τα κέντρα των είκοσι εδρών του εικοσάεδρου και τα ενώσουµε ϑα προκύψει το δωδεκάεδρο µε τις είκοσι κορυφές. Αντίστροφα, τα κέντρα των εδρών του δωδεκάεδρου είναι οι δώδεκα κορυφές του εικοσάεδρου. Σχήµα Το τετράεδρο είναι αυτοδυϊκό, δηλαδή το δυϊκό του πολύεδρο είναι πάλι τετράεδρο. Εάν ενώσουµε τα κέντρα των εδρών του, προκύπτει πάλι τετράεδρο και είναι το µόνο πολύεδρο µε αυτή την ιδιότητα (Σχήµα 3.2.3). 39

46 Σχήµα Οι συµµετρίες του Κύβου Ο κύβος έχει έξι έδρες, δώδεκα ακµές και οκτώ κορυφές. Σε κάθε του κορυφή συναντώνται τρεις ακµές. Εχει δυϊκό το οκτάεδρο και οκταεδρική συµµετρία που είναι η οµάδα περιστροφών του. Ας δούµε τις περιστροφικές συµµετρίες του κύ- ϐου. Ο άξονας περιστροφής k διέρχεται από τα κέντρα δύο απέναντι εδρών. Με στρο- ϕές κατά π 2, π ή 3π 2, δηµιουργούνται 3 συµµετρίες. Υπάρχουν 3 άξονες αυτού του τύπου, εποµένως προκύπτουν 3 3 = 9 από τις 24 περιστροφικές συµµετρίες του κύβου. Για παράδειγµα, στο Σχήµα αν συµβολίσουµε µε g την αριστερόστροφη κίνηση γύρω από την ευθεία k κατά π 2 δίνει τους κύκλους (1234)(5678). Η στροφή κατά π δεν είναι άλλη από τη σύνθεση της g µε τον ευατό της και οδηγεί στη µετάθεση g 2, ενώ η στροφή κατά 3π 2 δίνει τη σύνθεση της g µε τη g2 και οδηγεί στη µετάθεση g 3. Σχήµα

47 Επίσης, στροφή κατά π γύρω από ευθεία που διέρχεται από τα µέσα δύο απέναντι ακµών του κύβου δίνει σε µια συµµετρία τάξης 2. Στο Σχήµα η στροφή γύρω από τον άξονα m αντιστοιχεί στις αντιµεταθέσεις (14)(26)(37)(58). Υπάρχουν 6 άξονες που συνδέουν τα µέσα των Ϲευγών απέναντι ακµών. Οι στροφές γύρω απ αυτούς δίνουν 6 ακόµα συµµετρίες του κύβου. Σχήµα Στο Σχήµα έχουµε τον τρίτο τύπο άξονα περιστροφής του κύβου, την ευθεία που διέρχεται από δύο απέναντι (αντίθετες) κορυφές. Με στροφή κατά 2π 3 γύρω από τον άξονα n προκύπτει η µετάθεση (247)(368). Οι 4 άξονες αυτού του τύπου δίνουν 8 ακόµα συµµετρίες. Σχήµα Μαζί µε την τετριµµένη ταυτοτική συµµετρία συµπληρώνουµε τις = 24 περιστροφικές συµµετρίες. Στη συνέχεια οι κατοπτρισµοί ορίζουν κάποιες ακόµα συµµετρίες. Στο παρακάτω σχήµα ϕαίνονται µερικά από τα επίπεδα κατοπτρισµού. 41

48 Σχήµα Συνολικά έχουµε 48 συµµετρίες, εκ των οποίων οι 24 είναι περιστροφικές και άλλες τόσες είναι κατοπτρικές. Αν X είναι το στερεό του κύβου έχουµε RSym(X) = 24 και Sym(X) = 48 Οι συµµετρίες του κύβου αποτελούν οµάδα, τη λεγόµενη οκταεδρική, µε τάξη Οι συµµετρίες του Τετραέδρου Το τετράεδρο έχει τέσσερα ίσα ισόπλευρα τρίγωνα ως έδρες, τέσσερις κορυφές και έξι ακµές. Σε κάθε του κορυφή συντρέχουν τρεις ακµές. Εχει δυϊκό το ίδιο το τετράεδρο και τετραεδρική οµάδα συµµετρίας. Οι δυνατές συµµετρίες του τετράεδρου, µε ανάλογο τρόπο όπως στον κύβο, είναι περιστροφές και ανακλάσεις. Ας δούµε τις περιστροφικές συµµετρίες του τετραέδρου. Παρατηρούµε ότι µια ευθεία που διέρχεται από µια κορυφή του τετραέδρου και το ϐαρύκεντρο της απέναντι έδρας αποτελεί έναν άξονα συµµετρίας, γύρω από τον οποίο µπορεί να περιστραφεί το τετράεδρο κατά 2π 3 ή κατά 4π 3, δίνοντας µε τον τρόπο αυτό 2 από τις 12 ισοµετρίες του τετραέδρου (Σχήµα 3.4.1). Αν συµ- ϐολίσουµε µε ϑ τη στροφή κατά τη θετική ϕορά (δηλαδή την αντίθετη από τους δείκτες του ϱολογιού) κατά γωνία 2π 3 γύρω από τον άξονα L που διέρχεται από την κορυφή 1, τότε η ϑ είναι ένας 3-κύκλος (234). Η στροφή κατά 4π 3 δεν είναι άλλη από τη σύνθεση της ϑ µε τον εαυτό της και οδηγεί στη µετάθεση ϑ 2 = (243). 42

49 Σχήµα Υπάρχουν συνολικά 4 άξονες αυτού του τύπου, καθένας διερχόµενος από µια κορυφή του τετραέδρου, την οποία και αφήνει αναλλοίωτη κατά τις περιστροφές, εποµένως έχουµε ακόµα τις παρακάτω 6 µεταθέσεις. Στρέφοντας τον άξονα που διέρχεται από την κορυφή 2 παίρνουµε τις (143) και (134). Γύρω σπό την κορυφή 3 έχουµε τις (124) και (142), ενώ µε άξονα διερχόµενο από την κορυφή 4 τις µεταθέσεις (132) και (123). Επίσης, η ευθεία που διέρχεται από τα µέσα δύο απέναντι ασύµβατων ακµών του τετραέδρου, αποτελεί άξονα µιας συµµετρίας, καθώς, µε περιστροφή κατά γωνία π, το τετράεδρο συµπίπτει µε την αρχική του ϑέση, οπότε παράγεται µια ακόµα µετάθεση των κορυφών του. Σχήµα Η περιστροφή 180 γύρω από την ευθεία που διέρχεται από τα µέσα Μ, Ν των ακµών 2-3 και 1-4 (Σχήµα 3.4.2), δηµιουργεί τη µετάθεση (23)(14). Στο σχήµα που ακολουθεί ϕαίνονται δύο ακόµα άξονες αυτού του τύπου και οι µεταθέσεις που παράγουν. 43

50 Σχήµα Μαζί µε τον ταυτοτικό µετασχηµατισµό Ι, έχουµε συνολικά 12 µεταθέσεις. Στη συνέχεια έχουµε κατοπτρισµούς ως προς επίπεδα που διέρχονται από µία ακµή του τετραέδρου και το µέσον της απέναντι ακµής και τις συνθέσεις τους. Οι συµµετρίες του τετραέδρου που διατηρούν τον προσανατολισµό είναι 12. Σχήµα Άρα συνολικά ϐρήκαµε = 24 συµµετρίες. Ωστε, αν X είναι το στερεό του τετραέδρου έχουµε RSym(X) = 12 και Sym(X) = 24. Οι συµµετρίες του τετραέδρου αποτελούν οµάδα, τη λεγόµενη τετραεδρική, µε τάξη Οι συµµετρίες του εικοσαέδρου Το εικοσάεδρο έχει είκοσι έδρες, δώδεκα κορυφές και τριάντα ακµές. Σε κάθε του κορυφή συντρέχουν πέντε ακµές. Εχει δυϊκό το δωδεκάεδρο και εικοσαεδρική 44

51 οµάδα συµµετρίας. Οι δυνατές συµµετρίες του εικοσαέδρου, µε ανάλογο τρόπο όπως στον κύβο, είναι περιστροφές και ανακλάσεις. Αρχικά ϑα ξεκινήσουµε αναζητώντας τις 12 δυνατές ϑέσεις που πηγαίνει το ένα µόνο τριγωνάκι-έδρα εικοσαέδρου καθώς τα υπόλοιπα τριγωνάκια ϑα ακολουθήσουν µε µοναδικό τρόπο το αρχικό. Καταµετρούµε τους τρόπους µε τους οποίους οι 12 διαδοχικές κορυφές του Α, Β, Γ,... µπορούν να καταλάβουν τις ϑέσεις 1, 2, 3,..., 2, 1, (Σχήµα ) διατηρώντας τις σχετικές τους αποστάσεις. Αρχικά έχουµε 12 επιλογές για την κορυφή Α και στη συνέχεια 5 επιλογές για την κο- ϱυφή Β. Από τη στιγµή που έχουµε τοποθετήσει δύο κορυφές του εικοσαέδρου, υπάρχουν δύο επιλογές για την τρίτη, η µία που διατηρεί τον προσανατολισµό και η άλλη που τον αλλάζει. Άρα υπάρχουν συνολικά = 120 δυνατές συµµετρίες, που αποτελούν οµάδα, την λεγόµενη εικοσαεδρική µε τάξη 120. Σχήµα Οπως αναφέραµε και προηγούµενα, τα κανονικά πολύεδρα έχουν την ιδιότητα του δυϊσµού. Συγκεκριµένα, ο κύβος έχει δυϊκό αντίστοιχο το οκτάεδρο και το εικοσάεδρο αντιστοιχίζεται µε το δωδεκάεδρο, ενώ το τετράεδρο µε τον εαυτό του. Βάσει αυτής της ιδιότητας, τα δυϊκά πολύεδρα έχουν το ίδιο πλήθος συµµετριών, αφού κάθε µετασχηµατισµός που αφήνει αναλλοίωτο ένα πολύεδρο, ϑα κάνει το ίδιο και για το δυϊκό του. Οπότε περιµένουµε ότι το οκτάεδρο ϑα έχει τις ίδιες συµµετρίες µε τον κύβο που σηµαίνει ότι ϑα έχει την ίδια οκταεδρική οµάδα συµ- µετρίας. Οµοίως το δωδεκάεδρο ϑα έχει την ίδια εικοσαεδρική οµάδα συµµετρίας µε το εικοσάεδρο. Με παρόµοιους συλλογισµούς µε τους προηγούµενους, προκύπτει ο παρακάτω πίνακας των συµµετριών των κανονικών πολυέδρων (Πίνακας 3.5.1). Πίνακας :Πίνακας συµµετριών των κανονικών πολυέδρων 45

52 3.6 Τα ηµικανονικά δυϊκά πολύεδρα Τα ηµικανονικά δυϊκά πολύεδρα περιγράφτηκαν πρώτα από τον Βέλγο µαθηµατικό Ευγένιο Καταλάν το 1865 και προς τιµήν του ϕέρουν το όνοµα Catalan solids. Τα ηµικανονικά πολύεδρα, έχουν µεταβατικότητα κορυφών και όχι ε- δρών. Αυτό σηµαίνει ότι κάθε κορυφή είναι περιτριγυρισµένη από ίδιου είδους επιφάνειες µε ίδια ή αντίστροφη σειρά, και µε ίδιες γωνίες µεταξύ των αντίστοιχων επιφανειών. Τεχνικά, µπορούµε να πούµε ότι για οποιεσδήποτε δύο κορυφές υπάρχει µία συµµετρία του πολυτόπου η οποία απεικονίζει την πρώτη κορυφή ισοµετρικά πάνω στη δεύτερη. Ετσι τα ηµικανονικά δυϊκά πολύεδρα είναι ό- λα κυρτά και έχουν µεταβατικότητα εδρών και όχι κορυφών. Σε αντίθεση µε τα κανονικά πολύεδρα και τα ηµικανονικά πολύεδρα, οι έδρες των ηµικανονικών δυϊκών πολυέδρων είναι µη κανονικά πολύγωνα. Ωστόσο, το σχήµα κορυφής των πολυέδρων αυτών είναι κανονικό και έχουν σταθερές δίεδρες γωνίες και λόγω της µεταβατικότητας των εδρών τους είναι ισόεδρα. Υπάρχουν συνολικά 13 ηµικανονικά δυϊκά πολύεδρα. Στους παρακάτω πίνακες δίνουµε αυτά τα πολύεδρα. 46

53 Πίνακας : Πίνακας ηµικανονικών δυϊκών πολυέδρων 47

54 Αντίστοιχα µε τα κανονικά πολύεδρα, τα ηµικανονικά πολύεδρα και τα δυϊκά τους, µπορούν να οµαδοποιηθούν ως προς τη συµµετρία τους (τετραεδρική, οκταεδρική και εικοσαεδρική). Ετσι για παράδειγµα, τα Ϲεύγη (ϱοµβικό δωδεκάεδροκυβοκτάεδρο),(τριάκις οκτάεδρο-κόλουρος κύβος), (τετράκις εξάεδρο-κόλουρο ο- κτάεδρο),(δελτοειδές εικοσιτετράεδρο-ϱοµβοκυβοκτάεδρο) και (δισδυάκις δωδεκάεδροκόλουρο κυβοκτάεδρο) έχουν την ίδια οκταεδρική οµάδα συµµετρίας. 48

55 Κεφάλαιο 4 Ο τύπος του Euler και τα αποτελέσµατά του 4.1 Ο τύπος του Euler Ο Leonhard Euler ( ) ήταν πρωτοπόρος Ελβετός µαθηµατικός και ϕυσικός. Εκανε σηµαντικές ανακαλύψεις σε τοµείς όπως ο απειροστικός λογισµός και η ϑεωρία γραφηµάτων. Καθιέρωσε τη µοντέρνα µαθηµατική ορολογία και ση- µειογραφία, κυρίως στον τοµέα της µαθηµατικής ανάλυσης, όπως την έννοια της συνάρτησης. Επίσης είναι ϕηµισµένος για τις έρευνες του στη µηχανική, τη δυναµική των ϱευστών, την οπτική και την αστρονοµία. Θεωρείται ως ο κατ εξοχήν µαθηµατικός του 18ου αιώνα, και ένας από τους σηµαντικότερους µαθηµατικούς που έχουν υπάρξει ποτέ. Είναι επιπλέον ένας από τους πιο παραγωγικούς µαθη- µατικούς όλων των εποχών, το έργο του αποτελείται από 75 τόµους. Ο τύπος του Euler (4.1) K A + E = 2 συσχετίζει τον αριθµό των κορυφών, των ακµών και των εδρών ενός κυρτού πολυέδρου. Η σταθερά στον τύπο αυτό είναι σήµερα γνωστή ως χαρακτηριστική του Euler για το γράφηµα ή άλλο µαθηµατικό αντικείµενο (τοπολογική πολλαπλότητα π.χ. µία καµπύλη, µία επιφάνεια) και σχετίζεται µε το γένος του αντικειµένου. Η µελέτη και η γενίκευση αυτού του τύπου, ειδικά από τους Cauchy και L Huillier αποτελεί το ϑεµέλιο λίθο της Τοπολογίας. Κατά τον Howard Eves, στο ϐιβλίο History of M athematics, ο Descartes είχε ήδη διατυπώσει τη σχέση (4.1) περίπου 120 χρόνια πριν από τον Euler, γύρω στο 1635, γι αυτό και πολλοί την αναφέρουν και ως τύπο των Euler Descartes, ενώ µε ϐάση τις πληροφορίες του Πάππου, εικάζεται ότι ήταν γνωστή και στον Αρχιµήδη. 49

56 Θεώρηµα Οι αριθµοί Κ, Α, Ε των κορυφών, ακµών και εδρών ενός κυρτού πολυέδρου ικανοποιούν τη σχέση K A + E = 2. Ο Euler αναφέρει για πρώτη ϕορά τον περίφηµο τύπο του σ ένα γράµµα στον Goldbach το Νοέµβριο του 1750 και όταν, λίγες εβδοµάδες αργότερα, α- νακοινώνει στην Ακαδηµία του Saint P etersburg τις νέες ανακαλύψεις του στην στερεοµετρία, σχετικά µε τα πολύεδρα, παραδέχεται ότι δεν είναι σε ϑέση να δώσει µια απόδειξη ότι ο τύπος του ισχύει στη γενική περίπτωση, µπορεί µόνο να τον επιβεβαιώσει σε ορισµένες οικογένειες πολυέδρων. Θα χρειαστεί να περάσει ένας χρόνος, µέχρις ότου ο Euler επιστρέψει µε µια δεύτερη εργασία, όπου και πα- ϱουσιάζει την απόδειξή του. Η απόδειξη αυτή στηρίζεται στο µετασχηµατισµό του πολυέδρου µε διαδοχικές αφαιρέσεις τµηµάτων του, µειώνοντας τον αριθµό των κορυφών, (Σχήµα 4.1.1), ώσπου να µείνουν µόνο 4, διατηρώντας αναλλοίωτη την ποσότητα K A + E = 2. Επιβεβαιώνοντας τέλος ότι στο τετράεδρο η παραπάνω σχέση ισχύει, η απόδειξη είχε ολοκληρωθεί. Σχήµα Το αδύναµο σηµείο της απόδειξης του Euler ϐρίσκεται στο γεγονός ότι κατά τη διαδικασία αφαίρεσης κορυφών ενδέχεται να προκύψουν εκφυλιστικά αποτελέσµατα, όπου το σχήµα παύει να είναι πολύεδρο, καθώς µια ακµή ανήκει σε περισσότερες από δύο έδρες (Σχήµα 4.1.2). Σχήµα Το 1794 ο Legendre, στο ϐιβλίο του Éléments de Géométrie, παρουσιάζει µια νέα απόδειξη του τύπου του Euler. Χρησιµοποιεί το πλέγµα των σφαιρικών πο- 50

57 λυγώνων που δηµιουργεί η προβολή των κορυφών και των ακµών του πολυέδρου όταν, από το κέντρο προβάλλονται πάνω στην επιφάνεια της σφαίρας που το πε- ϱιβάλει (ακτινική προβολή). Στη συνέχεια, µια σειρά υπολογισµών των εµβαδών των σφαιρικών πολυγώνων οδηγεί στο αποτέλεσµα. Σχήµα : Ακτινικές προβολές των κανονικών πολυέδρων Περίπου 20 χρόνια αργότερα, το 1813, ο Cauchy συλλαµβάνοντας την έννοια της παραµορφωσιµότητας επανέρχεται µε µια απόδειξη του τύπου του Euler, η οποία ταυτόχρονα επεκτείνει την ισχύ του σε κάθε συναφές επίπεδο γράφηµα που αποτελείται από ένα πεπερασµένο πλήθος σηµείων ενωµένων µε ευθύγραµ- µα τµήµατα που δεν έχουν κοινά εσωτερικά σηµεία. Ας δούµε αναλυτικά την προσέγγιση του Cauchy : Αρχικά αφαιρούµε µια έδρα του πολυέδρου και στη συνέχεια, αποµακρύνοντας µεταξύ τους τις κορυφές της έδρας που αφαιρέσαµε, τεντώνουµε το πολύεδρο, ώστε οι υπόλοιπες έδρες να ϐρεθούν πάνω σε ένα επίπεδο. Με τον τρόπο αυτό σχηµατίζεται ένα διάγραµµα που έχει τον ίδιο αριθµό κορυφών και ακµών µε το αρχικό πολύεδρο, ενώ τα πολύγωνα που έχουν σχηµατισθεί και αντιστοιχούν στις έδρες του πολυέδρου είναι προφανώς κατά ένα λιγότερα από τον αριθµό των εδρών του, καθώς στην αρχή αφαιρέσαµε µια έδρα. Για να ισχύει ο τύπος του Euler, αρκεί να δειχθεί ότι στο επίπεδο σχήµα που έχει προκύψει ισχύει η σχέση K A + E = 1, για τις K κορυφές του, τις A ακµές και τις E έδρες (πολύγωνά) του. 51

58 Το διάγραµµα που δηµιούργησε µε την παραπάνω διαδικασία ο Cauchy, είναι ένα παράδειγµα διαγράµµατος Schlegel. Το διάγραµµα αυτό είναι η προβολή ενός πολυτόπου από τον R n στον R n 1, από ένα σηµείο πάνω από µια έδρα διάστασης n 1, δηµιουργώντας µε τον τρόπο αυτό µια πολυτοπική υποδιαίρεση της έδρας. Η προβολή που προκύπτει είναι ισοδύναµη µε το αρχικό πολύτοπο. Ενας δεύτερος τρόπος κατασκευής του διαγράµµατος Schlegel είναι η στερεογραφική προβολή : Τοποθετούµε το πολύεδρο έτσι, ώστε η πάνω έδρα του να είναι οριζόντια, παράλληλη προς το επίπεδο των αξόνων Oxy. Στεκόµαστε στη συνέχεια σε ένα σηµείο πάνω από το κέντρο της έδρας αυτής και αρκετά κοντά της, ώστε, ϑεωρώντας το πολύεδρο διαφανές, να µπορούµε να δούµε το σκελετό των κορυ- ϕών και των ακµών του πολυέδρου µέσα από την πάνω έδρα του. Ο κύβος µπορεί να ϑεωρηθεί αστεροειδής περιοχή καθώς το ευθύγραµµο τµήµα που συνδέει δύο οποιαδήποτε σηµεία του ϐρίσκεται σε αυτό. Ετσι δεν έχουµε τοµές προβολών των ακµών. Η εικόνα που παίρνουµε ως προβολή είναι ένα επίπεδο γράφηµα το οποίο λέγεται διάγραµµα Schlegel. Σχήµα : ιάγραµµα Schlegel ενός κύβου µε χρήση στερεογραφικής προβολής 52

59 Σχήµα : ιάγραµµα Schlegel των κανονικών πολυέδρων Στην περίπτωση που υπάρχει έδρα µε περισσότερες από 3 ακµές, σχεδιάζουµε µια ακµή που ενώνει δύο από τις κορυφές της έδρας, διαιρώντας την σε δύο πολύγωνα. Επαναλαµβάνουµε την κίνηση αυτή µέχρις ότου όλες οι έδρες γίνουν τριγωνικές. Σχήµα Σχήµα : Η αποδόµηση του διαγράµµατος Schlegel ενός κύβου Σε κάθε ϐήµα της διαδικασίας αυτής ο αριθµός των κορυφών παραµένει αµετάβλητος, ενώ οι ακµές αυξάνονται κατά µία και το ίδιο συµβαίνει µε τις έδρες, οπότε η ποσότητα K A + E διατηρείται σταθερή. 53

60 Στην επόµενη ϕάση στόχος είναι να µειώσουµε τον αριθµό των τριγώνων και αυτό γίνεται εφαρµόζοντας ένα από τα εξής δύο : 1. Αφαιρούµε µια ακµή από το σύνορο του διαγράµµατος, ώστε να διαγραφεί ένα τρίγωνο (Σχήµα γ και δ). 2. Αφαιρούµε ένα τρίγωνο του οποίου δύο ακµές ϐρίσκονται στο σύνορο του διαγράµµατος (Σχήµα ε). Στην πρώτη περίπτωση έχουµε ελάττωση των ακµών κατά µία και ταυτόχρονη ελάττωση των εδρών κατά µία, οπότε η ποσότητα K A + E παραµένει σταθε- ϱή. Στη δεύτερη περίπτωση διαγράφεται µια κορυφή, δύο ακµές και µια έδρα, οπότε και πάλι η ποσότητα K A + E δεν µεταβάλλεται. Μετά από πεπερασµένο αριθµό επαναλήψεων των παραπάνω, καταλήγουµε σε ένα διάγραµµα που αποτελείται από ένα µόνο τρίγωνο (Σχήµα Ϲ), χωρίς να έχει µεταβληθεί η ποσότητα K A + E. Το τρίγωνο όµως έχει 3 κορυφές, 3 ακµές και 1 έδρα, άρα είναι K A + E = 1 και ο τύπος του Euler έχει αποδειχθεί. Ακολούθησαν αρκετές άλλες αποδείξεις για τον τύπο του Euler. Κλείνοντας την παράγραφο αυτή δίνουµε µία ακόµη απόδειξη ϐλ.[3], σύµφωνα µε την οποία η σχέση (4.1) ανάγεται σε µία σχέση για τα στοιχεία µιας πλακόστρωσης της σφαίρας που προκύπτει ως εξής: ιαλέγουµε κατάλληλο σηµείο Ο στο εσωτερικό του πρίσµατος και προβάλλουµε από το Ο ακτινικά το πρίσµα σε µία σφαίρα µε κέντρο το Ο, που περιέχει το πρίσµα στο εσωτερικό της. (ϐλ. Σχήµα 4.1.6) Σχήµα Προκύπτει τότε µία πλακόστρωση της σφαίρας στην οποία το Ε είναι ο αριθµός των πολυγώνων (εδρών), το Α ο αριθµός των ακµών και το Κ ο αριθµός των κορυφών της πλακόστρωσης. Ο τύπος του Euler αποδεικνύεται υπολογίζοντας το εµβαδόν της σφαίρας σαν άθροισµα των εµβαδών των πολυγώνων της πλακόστρωσης. Πράγµατι, αν συµβολίσουµε µε π 1, π 2,..., π E τα πολύγωνα της πλακόστρωσης, µε 54

61 k 1, k 2,..., k E αντίστοιχα το πλήθος των πλευρών τους και µε a i1, a i2,..., a iki τις γωνίες του π i, έχουµε για το εµβαδόν της σφαίρας 4πρ 2 = ε(π 1 ) + ε(π 2 ) ε(π E ) E (4.2) = ρ 2 [a i1 + a i a iki + (2 k i )π] i=1 Οι γωνίες που συντρέχουν σε µία ορισµένη κορυφή ϑα δίνουν συνολικό άθροισµα 2π. Το άθροισµα όλων των γωνιών ϑα είναι, κατά συνέπεια, E (4.3) (a i1 + a i a iki ) = 2Kπ i=1 Κάθε ακµή της πλακόστρωσης είναι κοινή σε δύο ακριβώς πολύγωνα, συνεπώς (4.4) k 1 + k k E = 2A Αντικαθιστώντας τις (4.3) και (4.4) στην (4.2) ϑα πάρουµε 4πρ 2 = ρ 2 (2Kπ + 2Eπ 2Aπ) 2 = K + E A 4.2 Εφαρµογές του τύπου του Euler Εφοδιασµένοι, τώρα, µε τον τύπο του Euler, µπορούµε να προχωρήσουµε στη µελέτη των δυνατών περιπτώσεων για τα κανονικά πολύεδρα, δηλαδή να δώσουµε µία νέα απόδειξη για τη µοναδικότητα των πέντε κανονικών πολυέδρων. ίνουµε για αρχή την παρακάτω πρόταση. Πρόταση Αν µία στερεά γωνία κυρτού κανονικού πολυέδρου αποτελείται από ρ πλήθους κανονικά ν γώνα, ρ, ν 3, τότε για το πλήθος Ε των εδρών,το πλήθος Κ των κορυφών και το πλήθος Α των ακµών του πολυέδρου ισχύουν οι παρακάτω τύποι : 4ρ E = 2ν + 2ρ νρ, K = 4ν 2ν + 2ρ νρ, A = 2νρ 2ν + 2ρ νρ Απόδειξη. Εστω ρ το πλήθος των κανονικών ν γώνων µιας στερεάς γωνίας του πολυέδρου. Επειδή το άθροισµα των γωνιών µιας στερεάς γωνίας είναι µικρότερο από τέσσερις ορθές γωνίες, έχουµε ρ( ν ) < 360 ρ(1 2 ) < 2 2ν + 2ρ νρ > 0 ν Οι E έδρες έχουν νe κορυφές και επειδή ρ από αυτές ενώνονται σε µία κορυφή, έχουµε (4.5) K = νe ρ 55

62 Επίσης οι E έδρες έχουν νe ακµές και επειδή κάθε δύο από αυτές ενώνονται και δίνουν µία ακµή ϑα είναι (4.6) A = νe 2 Από τον τύπο του Euler ισχύει K + E = A + 2 Αντικαθιστούµε στον παραπάνω τύπο τις (4.5) και (4.6) και έχουµε νe ρ + E = νe E(ν ρ + 1 ν 2 ) = 2 E = 4ρ 2ν + 2ρ νρ Τώρα K = A E + 2 = νe 2 E + 2 = E(ν 2 1) + 2 = 4ρ 2ν + 2ρ νρ (ν 2 1) + 2 4ν K = 2ν + 2ρ νρ και τέλος 4ν A = K + E 2 = 2ν + 2ρ νρ + 4ρ 2ν + 2ρ νρ 2 A = 2νρ 2ν + 2ρ νρ Θα δείξουµε, τώρα, ότι οι µόνες επιτρεπτές τιµές των ρ και ν για κάποιο κανονικό πολύεδρο είναι ακριβώς εκείνες που αντιστοιχούν στα κανονικά πολύεδρα, αποκλείοντας τη δυνατότητα ύπαρξης άλλων κανονικών πολυέδρων στον ευκλείδειο χώρο R 3. Πρόταση Υπάρχουν ακριβώς πέντε κανονικά πολύεδρα Απόδειξη. Το Ϲεύγος {ν, ρ} των ρ σε πλήθος ν γώνων σε µια οποιαδήποτε κορυφή του πολυέδρου, χαρακτηρίζει πλήρως το κανονικό πολύεδρο. Πράγµατι, από τους τύπους της πρότασης ϑα πάρουµε τα εξής : Οταν ν = 3 (τρίγωνα) έχουµε 2ν + 2ρ νρ > 0 ρ < 6 ρ = 3, 4, 5 Αν ρ = 3 τότε E = 4, K = 4, A = 6, Τετράεδρο µε 4 κορυφές και 6 ακµές. Αν ρ = 4 τότε E = 8, K = 6, A = 12, Οκτάεδρο µε 6 κορυφές και 12 ακµές. Αν ρ = 5 τότε E = 20, K = 12, A = 30, Εικοσάεδρο µε 12 κορυφές και 30 ακµές. Οταν ν = 4 (τετράγωνα) έχουµε 2ν + 2ρ νρ > 0 ρ < 4 ρ = 3. Οπότε E = 6, K = 8, A = 12, Κύβος µε 8 κορυφές και 12 ακµές. Οταν ν = 5 (πεντάγωνα) έχουµε 2ν + 2ρ νρ > 0 ρ < 10 3 ρ = 3. Οπότε E = 12, K = 20, A = 30, ωδεκάεδρο µε 20 κορυφές και 30 ακµές. Το Ϲεύγος {ν, ρ} ονοµάζεται σύµβολο Schläf li και καθορίζει πλήρως το κανονικό πολύεδρο. Για παράδειγµα, το σύµβολο Schläfli 1 του κύβου είναι {4, 3}, αφού σε κάθε κορυφή συναντιούνται 3 τετράγωνα. Στον παρακάτω πίνακα καταγράφονται τα σύµβολα Schläf li των πέντε κανονικών πολυέδρων. 1 Ludwig Schläfli( ). Ελβετός µαθηµατικός, καθηγητής στο πανεπιστήµιο της Βέρνης από το Το κύριο τµήµα της έρευνας του είναι αφιερωµένο στην Πολυδιάστατη Γεωµετρία και στην Μιγαδική Ανάλυση. 56

63 Σχήµα : Σύµβολα Schläf li των κανονικών πολυέδρων Κλείνοντας, δίνουµε µία ακόµη πρόταση την οποία ϑα αποδείξουµε µε τη ϐοήθεια του τύπου του Euler και αφορά τα ηµικανονικά αλλά και τα κανονικά πολυέδρα. Πρόταση Αν µια στερεά γωνία κυρτού ηµικανονικού πολυέδρου έχει έδρες αποτελούµενες από ρ τρίγωνα, τ τετράγωνα, γ πεντάγωνα, ξ εξάγωνα, ω οκτάγωνα και δ δεκάγωνα, µε ρ, τ, γ, ξ, ω, δ N, τότε για το πλήθος των κορυφών, εδρών και ακµών του πολυέδρου ισχύουν οι τύποι όπου K = 240 2(40ρ + 30τ + 24γ + 20ξ + 15ω + 12δ), E =, Σ Σ 120(ρ + τ + γ + ξ + ω + δ) A =, Σ Σ = ρ 30τ 36γ 40ξ 45ω 48δ, και το συνολικό πλήθος των τριγώνων, τετραγώνων, πενταγώνων, εξαγώνων, οκταγώνων και δεκαγώνων εδρών του πολυέδρου, είναι αντίστοιχα ίσο µε P = 80ρ Σ, T = 60τ Σ, Π = 48γ Σ, Ξ = 40ξ Σ, Ω = 30ω Σ, = 24δ Σ. Απόδειξη. Εστω S το πολύεδρο και έστω ότι αυτό αποτελείται συνολικά από P τρίγωνα, T τετράγωνα, Π πεντάγωνα, Ξ εξάγωνα, Ω οκτάγωνα και δεκάγωνα. πλήθος των εδρών του S ϑα είναι (4.7) E = P + T + Π + Ξ + Ω + 57 Τότε, το

64 Αν K είναι το πλήθος των κορυφών του S τότε ϑα έχουµε για τα τρίγωνα, τετράγωνα, πεντάγωνα, εξάγωνα, οκτάγωνα και δεκάγωνα αντίστοιχα ρk = 3P, τk = 4T, γk = 5Π, ξk = 6Ξ, ωk = 8Ω, δk = 10 οπότε αντικαθιστώντας στην (4.7) ϑα πάρουµε (4.8) E = ( ρ 3 + τ 4 + γ 5 + ξ 6 + ω 8 + δ 10 )K Επίσης, έχουµε 2A = 3P + 4T + 5Π + 6Ξ + 8Ω A = ρk + τk + γk + ξk + ωk + δk (4.9) A = (ρ + τ + γ + ξ + ω + δ) K 2 Τώρα, από τον τύπο του Euler έχουµε K + E = A + 2 και αντικαθιστώντας τις σχέσεις (4.8) και (4.9) ϑα πάρουµε K + ( ρ 3 + τ 4 + γ 5 + ξ 6 + ω 8 + δ 10 )K = (ρ + τ + γ + ξ + ω + δ)k K(120 20ρ 30τ 36γ 40ξ 45ω 48δ) = 240 KΣ = 240 K = 240 Σ Επίσης E = ( ρ 3 + τ 4 + γ 5 + ξ 6 + ω 8 + δ 10 )K = (ρ 3 + τ 4 + γ 5 + ξ 6 + ω 8 + δ 10 )240 Σ 2(40ρ + 30τ + 24γ + 20ξ + 15ω + 12δ) E = Σ και Τέλος A = (ρ + τ + γ + ξ + ω + δ) K 2 = (ρ + τ + γ + ξ + ω + δ)120 Σ ρk = 3P P = ρ 3 K = 80ρ Σ τk = 4T T = τ 4 K = 60τ Σ γk = 5Π Π = γ 5 K = 48γ Σ ξk = 6Ξ Ξ = ξ 6 K = 40ξ Σ ωk = 8Ω Ω = ω 8 K = 30ω Σ δk = 10 = δ 10 K = 24δ Σ Παρατήρηση Η παραπάνω πρόταση ισχύει και στην περίπτωση που το πολύεδρο είναι κανονικό. Στην περίπτωση αυτή τα τρίγωνα, τετράγωνα, πεντάγωνα, εξάγωνα, οκτάγωνα και δεκάγωνα από τα οποία αποτελούνται οι έδρες του πολυέδρου, ϑα είναι κανονικά. 58

65 Παρατήρηση Η εξάδα (ρ, τ, γ, ξ, ω, δ) N 6 χαρακτηρίζει πλήρως το ηµικανονικό ή κανονικό πολύεδρο. Ετσι, ο κόλουρος κύβος µε 1 τρίγωνο και δύο οκτάγωνα σε µία στερεά γωνία του, αντιστοιχεί στην εξάδα (1, 0, 0, 0, 2, 0), το κόλουρο οκτάεδρο αντιστοιχεί στην εξάδα (0, 1, 0, 2, 0, 0), το εικοσάεδρο αντιστοιχεί στην εξάδα (5, 0, 0, 0, 0, 0), το δωδεκάεδρο αντιστοιχεί στην εξάδα (0, 0, 3, 0, 0, 0), κτλ. Παρατήρηση Οι παραπάνω τύποι γενικεύονται και για την περίπτωση των δύο άλλων κατηγοριών ηµικανονικών πολυέδρων, των πρισµάτων και των αντιπρισµάτων. 59

66 Κεφάλαιο 5 Η εµφάνιση των πολυέδρων στην τέχνη Τα πέντε κανονικά πολύεδρα γοήτευαν τους καλλιτέχνες όλων των εποχών και εµφανίζονταν συχνά στα έργα τους. Στην αρχιτεκτονική, στη ξυλοτεχνία, στη Ϲωγραφική, αλλά και στην τέχνη γενικότερα, συχνά εµφανίζονται αρκετά από τα πολύεδρα που προαναφέραµε, αφού πολλοί καλλιτέχνες έχουν εµπνευστεί από τα πολύεδρα αυτά σε όλες τις εποχές, µέχρι και τις ηµέρες µας και έχουν εκφραστεί, µέσω αυτών, µε ποικίλους εικαστικούς τρόπους. Γενικότερα, η τέχνη και η γεωµετρία, αν και ϐασίζονται σε διαφορετικά µοντέλα σκέψης, συνδέονται µεταξύ τους και αλληλεπιδρούν. Η γεωµετρική γνώση συνέ- ϐαλε αποφασιστικά ως ϑεωρητικό όργανο στις εικαστικές τέχνες. Η τέχνη πάλι αφοµοιώνει στοιχεία τα οποία πήρε τόσο από τον υλικό όσο και από τον αφηρη- µένο κόσµο της επιστήµης. Η άµεση αυτή σχέση της γεωµετρίας µε τις τέχνες καταγράφεται ήδη από τα πολύ παλιά χρόνια. Ακόµα και από την παλαιολιθική εποχή, όπου ο άνθρωπος χρησι- µοποιούσε µια ενστικτώδη γεωµετρική γνώση για την κατασκευή των εργαλείων. Οι απεικονίσεις της εποχής εκείνης των καθηµερινών αντικειµένων απεικονίζονται σε ϕυσικό µέγεθος. Το γεωµετρικό τους ένστικτο οδηγεί τον πρωτόγονο καλλιτέχνη στην απεικόνιση του τρισδιάστατου χώρου. Η τέχνη των Αιγυπτίων για παράδειγµα είναι εµποτισµένη µε απρόσωπη ανθρώπινη µορφή και στην απεικόνιση της ϕύσης χρησιµοποιώντας τον όγκο και την κίνηση. Οι Ελληνες είχαν συνειδητοποιήσει ότι χωρίς το ϑεωρητικό όργανο της γεωµετρίας, δε ϑα µπορούσαν να προχωρήσουν ϐαθιά στην τέχνη. Πολλοί µελετητές της ιστορίας της τέχνης έχουν σηµειώσει ότι οι δύο µεγάλες επαναστάσεις στην τέχνη, της Αναγέννησης και της Μοντέρνας τέχνης, έχουν γίνει από καλλιτέχνες που σκέφτονταν νέες γεωµετρίες : την προοπτική γεωµετρία για την Α- ναγέννηση και την µη Ευκλείδεια και πολυδιάστατη γεωµετρία για τη µοντέρνα 60

67 τέχνη. Οι καλλιτέχνες του 1300, 1400 και 1500 είχαν στρέψει το ϐλέµµα τους προς τον Ευκλείδη (αφού το σύγγραµµα του ήρθε µεταφρασµένο στα αραβικά από την Ισπανία, στην Τοσκάνη). Μερικοί καλλιτέχνες της αναγέννησης όπως ο F illippo Brunelleschi, ο Leon Baptista Alberti για παράδειγµα, έγραψαν προοπτική γεωµετρία, η οποία ϕυσικά προέρχεται από την κλασσική γεωµετρία. Επίσης ο Gerard Desarge ( ) µηχανικός και αρχιτέκτων, συνέβαλε στην εξέλιξη της προβολικής γεωµετρίας. Ο υπέρτατος άνθρωπος της Αναγέννησης όµως ϑεωρείται ο Leonardo Da V inci ( ), µαθηµατικός, ϕιλόσοφος, αρχιτέκτονας, µηχανολόγος, Ϲωγράφος, γλύπτης, επιστήµονας, µουσικός,εφευρέτης. Ο Leonardo Da V inci ήταν της ίδιας εποχής µε τον Κοπέρνικο και προυπήρχε του Γαλιλαίου. Στη συνέχεια έρχονται ο Kepler, ο Descartes, ο F ermat και ο P ascal. Η επιρροή της µη Ευκλείδειας και πολυδιάστατης γεω- µετρίας οδήγησε στη γέννηση της µοντέρνας τέχνης. Αυτές οι γεωµετρίες ήταν η κύρια επιστηµονική επιρροή στη µοντέρνα τέχνη. 5.1 Τα πολύεδρα στην τέχνη και την αρχιτεκτονική Τα πολύεδρα συνδέθηκαν στενά µε την Τέχνη και ειδικά µε την Ξυλοτεχνία. Το ξύλο την εποχή της Αναγέννησης υπήρξε µέσο έκφρασης της τέχνης. Οι αρχικές επενδύσεις σε ξύλο απεικόνιζαν γεωµετρικά αντικείµενα ή απόψεις κτιρίων σε προοπτική. Πολλά τέτοια σχέδια έγιναν και είδη εµπορικού σήµατος. Τα πιο πολλά πολύεδρα όπως τα κανονικά πολύεδρα και κάποια από τα ηµικανονικά πολύεδρα υπήρξαν ϑέµατα για τέτοιες απεικονίσεις. Η περίπτωση της 72 εδρης σφαίρας είναι ένα χαρακτηριστικό παράδειγµα τέτοιων απεικονίσεων. Στην Γαλλία, ϐρίσκουµε αυτό το εξώφυλλο από την πραγµατεία του Jean Cousin Livre de P erspective του Στο εξώφυλλο αυτό διακρίνονται και τα πέντε κανονικά πολύεδρα. Σχήµα

68 Πολύεδρα εµφανίζονται και σε πίνακες του Du rer, όπως ο παρακάτω που είναι γνωστός ως M elancholia Σχήµα Η Μελαγχολία. Χαρακτικό του Du rer. Στον πίνακα διακρίνεται το πολύεδρο του Du rer, η σφαίρα και το µαγικό τετράγωνο. Ο Du rer υπήρξε ο πρώτος γνώστης των µαγικών τετραγώνων. Πιθανόν να έµαθε το µαγικό τετράγωνο στη Βαβυλωνία όπου εµαθήτευσε. Ο Albrecht Du rer ( ) ήταν Γερµανός Ϲωγράφος, χαράκτης και µαϑηµατικός. Από τα είκοσί του χρόνια γνώρισε την τεχνοτροπία της Προοπτικής, όταν ταξίδεψε στη Βενετία, αφού ενέσκηψε στην πατρίδα του τη Νυρεµβέργη, επιδηµία πανώλης. ιδάχτηκε νωρίς την τέχνη της χρυσοχοΐας από τον χρυσοχόο στο επάγγελµα πατέρα του. Ακόµη γνώρισε την τέχνη της χαρακτικής πάνω σε ξύλο και χαλκό, την υδατογραφία, ελαιογραφία και µαθήτευσε κοντά στο Ϲωγράϕο M ichael V olgemut. Στη Βενετία µελέτησε το έργο του Leonardo da V inci και του Ραφαήλ, ενώ στη Μπολόνια γνώρισε τον Luca P acioli. Το 1507 επιστρέφει στη Νυρεµβέργη. Γνωστοί του πίνακες : Η στέψη της Παρθένου, Αδάµ και Εύα και από τις προσωπογραφίες του πάνω σε ξύλο ή χαλκό σηµαντικότερες είναι: Ο Ιππότης, ο Θάνατος και ο ιάβολος, Ο Αγιος Ιερώνυµος στο Σπουδαστήριό του και το υπέροχο έργο του και πιο ενδιαφέρον από µαθηµατική άποψη Μελαγχολία. Τα τρία αυτά έργα ονοµάστηκαν M eisterstiche (αριστουργήµατα). Το 1525 εκδίδει ϐιβλίο µε ϑέµα τη γεωµετρία και την προοπτική και το 1526, δύο χρόνια πριν το ϑάνατό του, το έργο Οι τέσσερις Απόστολοι. Το 1528 (έτος του ϑανάτου του) δηµοσιεύθηκε ένα έργο προορισµένο για καλλιτέχνες µε σηµασία µεγάλη γιατί σκόπευε να καθορίσει αριθµητικά τις αναλογίες του ανϑρώπινου σώµατος. Με αυτό τον τρόπο ο Du rer εκτός από την ένωση της γε62

69 ωµετρίας µε την τέχνη, προχώρησε και στη σύνδεση της τέχνης µε την Αριθ- µητική. Το σπουδαιότερο έργο του που επιβεβαιώνει την αξία του Dürer σαν µαθηµατικού και που δηµοσιεύτηκε το 1525 είναι µια σειρά τεσσάρων ϐιβλίων µε τίτλο U nterweysung der M essung mit dem Zirckel und Richtscheit (Οδηγίες πάνω στην τέχνη της µέτρησης µε κανόνα και διαβήτη). Το έργο σκόπευε να ϐοη- ϑήσει τους τεχνουργούς της εποχής του µεταδίδοντάς τους ϑεωρητικές γνώσεις της Γεωµετρίας και κυρίως κατασκευές µε απλό τρόπο. (Ο ίδιος ο Dürer ήταν πολύ καλός γνώστης της γεωµετρίας του Ευκλείδη και των έργων του Απολλώνιου και του Αρχιµήδη). Το πρώτο ϐιβλίο της σειράς περιλαµβάνει ϐασικές γεωµετρικές έννοιες όπως το σηµείο, η ευθεία και προχωρά σε πιο πολύπλοκες καµπύλες όπως κογχοειδείς, επίκυκλους και έλικες. Το δεύτερο ϐιβλίο αφορά το κανονικό πολύγωνο και δίνει ϑεωρητικά ακριβείς καθώς και προσεγγιστικές κατασκευές τους. Το ϐιβλίο ακόµα περιέχει µια κατασκευή που χρησιµοποιήθηκε από τους ξυλουργούς της εποχής του και παρήγαγε ένα κανονικό 9 γωνο κατά προσέγγιση. (Το κανονικό 9 γωνο δεν είναι κατασκευάσιµο µε κανόνα και διαβήτη καθώς ο αριθµός των πλευρών του 9 = 3 2 είναι γινόµενο µη διακεκριµένων πρώτων παραγόντων.) Ακόµη έδωσε τον Ινδικό κανόνα της µεθόδου της εγγραφής ενός κατά προσέγγιση κανονικού επταγώνου σε κύκλο. Ο Dürer ασχολήθηκε µε την κατασκευή κανονικού πενταγώνου καθώς ο αριθµός 5 που αντιστοιχούσε στη ϑεϊκή τελειότητα ήταν ιδιαίτερα ελκυστικός στους καλλιτέχνες. Ο Dürer κατάφερε µια γρήγορη, πρακτική κατασκευή του κανονικού πενταγώνου η οποία ήταν προσεγγιστική. Επεδίωκε µια απλή κατασκευή που ϑα εξυπηρετούσε τους τεχνίτες της εποχής του αφού από το Μεσαίωνα και την Αναγέννηση είχαν δηµιουργηθεί ανάγκες για τέτοιες κατασκευές. Σκοπός του ήταν, οι κατασκευές να γίνονται µε σταθερό άνοιγµα του διαβήτη, καθώς δεν υπήρχε τεχνική να επανακτά ο διαβήτης το αρχικό του άνοιγµα από τη στιγµή που αυτό ϑα άλλαζε. Ο Dürer συνεισέφερε στα πολύεδρα µε το ϐιβλίο που αναφέραµε παραπάνω, το οποίο στα Αγγλικά έχει µεταφραστεί σαν P ainter s Manual. Στο ϐιβλίο αυτό συναντάµε για πρώτη ϕορά πολυεδρικά δίχτυα, δηλαδή επίπεδα σχήµατα που είναι ξεδιπλωµένα για εκτύπωση. Στις παρακάτω ϕωτογραφίες (Σχήµα 5.1.3), ϕαίνονται τα σχέδια για ένα εικοσάεδρο αλλά και για ένα από τα δεκατρία ηµικανονικά πολύεδρα, το κολοβό κύβο. 63

70 Σχήµα Ο Dürer απέδειξε ότι τα κανονικά πολύγωνα µπορούν να ενσωµατωθούν σε πλακοστρώσεις, σε κοσµήµατα και σε πατώµατα παρκέ. Το τρίτο ϐιβλίο της πραγ- µατείας του ασχολείται µε ϑέµατα αρχιτεκτονικής και µηχανικής, ενώ το τέταρτο αρχίζει µε Στερεοµετρία. Εισήγαγε ακόµα και µια τεχνική µεταφοράς πληροφο- ϱιών γύρω από τα τρισδιάστατα αντικείµενα πάνω σε µια επίπεδη επιφάνεια που σήµερα λέγεται πλέγµα. Σχήµα Το πλέγµα του Dürer για το δωδεκάεδρο. 64

71 Σχήµα Το πολύεδρο του Dürer το οποίο εµφανίζεται στον πίνακα Μελαγχολία. Το γράφηµα του Dürer είναι ένα γράφηµα µη κατευθυνόµενο µε 12 κορυφές και 18 ακµές και αποτελεί το σκελετό του πολυέδρου του Dürer ένα κόλουρο ϱοµ- ϐοειδές. Το πολύεδρο αυτό διακρίνεται καθαρά στον πίνακα του Μελαγχολία. ιάφορες ερµηνείες έχουν δοθεί γι αυτό το ασυνήθιστο πολύεδρο, από απλές γεωµετρικές εξηγήσεις σχετικά µε την εγγραφή του σε σφαίρα µέχρι ψυχολογικές, όπου ο κύβος συµβολίζει την αρρενωπότητα και η αποκοπή των γωνιών κάποια ϕροϋδική σηµασία. Ο πιο σηµαντικός ίσως καλλιτέχνης της Αναγέννησης που ασχολήθηκε µε τα πολύεδρα ήταν ο Leonardo Da V inci. Η συνεισφορά του τόσο µε τα σχέδια για το ϐιβλίο του P accioli, όσο και σε ξεχωριστά δικά του σχέδια πολύεδρων, είναι τεράστια. Ειδικότερα η τεχνοτροπία αναπαράστασης πολύεδρων που πρώτος χρησιµοποίησε, απεικονίζοντας τα στέρεα και κοίλα, σαν ξύλινα µοντέλα (που πιθανόν να έφτιαξε για αυτό το λόγο ο P accioli) ώστε να ϕαίνονται και οι πίσω ακµές, επηρέασε καθοριστικά όσους µεταγενέστερους ασχολήθηκαν µε τα πολύεδρα στην Ϲωγραφική ή κάποιο άλλο είδος τέχνης. Ο Luca P accioli έγραψε ένα ϐιβλίο που ονοµάζεται Η Θεϊκή αναλογία (1509) το οποίο περιέχει ένα τµή- µα για τα κανονικά πολύεδρα το οποίο µέσα στις σελίδες του έχει σχέδια του Leonardo Da V inci. Παρακάτω ϐλέπουµε µερικά από τα σχέδια του Leonardo. 65

72 Σχήµα Σχήµα Ακόµη ένα σχέδιο από το ίδιο ϐιβλίο αναπαριστά την 72εδρη σφαίρα (Σχήµα 5.1.8), πολύ δηµοφιλές πολύεδρο, που είναι επίσης η ϐάση για κατασκευή αρχιτεκτονικών ϑόλων. Σχήµα

73 Ο παρακάτω πίνακας δείχνει τον F ra Luca P accioli και τον µαθητή του Guidobaldo δούκα του Ουρπίνο. Πάνω ψηλά στα αριστερά είναι ένα ϱοµβοκυβοκτάεδρο και πάνω στο τραπέζι ένα δωδεκάεδρο πάνω από τα Στοιχεία του Ευκλείδη Σχήµα Ενας άλλος καλλιτέχνης που ασχολήθηκε µε τα πολύεδρα ήταν ο W entzel Jamnitzer ( ) που το ϐιβλίο του 1568 P erspectiva Corporum Regularium είναι πραγµατικό αριστούργηµα γεωµετρικών σχεδίων. Ενα δείγµα αυτών ϐλέπουµε στο παρακάτω σχήµα. Σχήµα Ενα ϱοµβικό τριακοντάεδρο αριστερα ενώ ο πυρήνας του δεξιού σχεδίου είναι το µικρό δωδεκάεδρο αστέρας. Ενα δηµοφιλές είδος τέχνης στον µεσαίωνα και την Αναγέννηση ήταν τα Intarsia, τα οποία ήταν µωσαϊκά ϕτιαγµένα µε κοµµατάκια από ξύλο. Στο σχήµα που ακολουθεί ϕαίνεται ένα δείγµα τέτοιου µωσαϊκού ϕτιαγµένο γύρω στα

74 από τον by F ra Giovanni da V erona στην εκκλησία Santa Maria στο Organo, της V erona. Από πάνω προς τα κάτω ϕαίνονται µια σφαίρα µε 72 πλευρές, ένα εικοσάεδρο, και ένα κόλουρο εικοσάεδρο. Παρατηρούµε ότι όλα είναι επηρεασµένα από την τεχνοτροπία του Leonardo. Τα µωσαϊκά αυτά εξαλείφθηκαν σταδιακά ως µορφή τέχνης. Σχήµα Τα πολύεδρα στην σύγχρονη τέχνη Στη σύγχρονη εποχή τα πολύεδρα εξακολουθούν να ενδιαφέρουν καλλιτέχνες και µαθηµατικούς. Ο Stewart Cof f in αναγνωρίζεται ως ο καλύτερος σχεδιαστής στον κόσµο των πολυεδρικών puzzles. Μέχρι σήµερα, έχει πάνω από 500 πρωτότυπα σχέδια στο ενεργητικό του, τα λεγόµενα puzzle designs, που απαιτούν ιδιαίτερες ικανότητες ώστε να τοποθετηθούν τα κοµµάτια κατάλληλα και να δη- µιουργηθεί το αρχικό πολύεδρο. Αυτά τα puzzles του Cof f in γοητεύουν τόσο για την αισθητική τους, όσο και σαν µαθηµατικά puzzles. 68

75 Σχήµα puzzle designs του Stewart Coffin Σχήµα puzzle designs του Stewart Coffin Σχήµα puzzle designs του Stewart Coffin Origami είναι η παραδοσιακή ιαπωνική τεχνική περιτυλίγµατος χαρτιού και συνίσταται στο να παίρνουµε ένα κοµµάτι από χαρτί και να το περιτυλίγουµε δη- µιουργώντας πολύπλοκα σχήµατα όπως πολύεδρα. Χρησιµοποιείται ως εικαστική τέχνη και τρόπος διασκέδασης, και έχει εφαρµογές και σε τοµείς όπως τα µαθη- µατικά, και την αρχιτεκτονική. Μαζί µε τις origami καλλιτεχνικές κατασκευές αναπτύχθηκε µια µαθηµατική ϑεωρία. Γεννήθηκαν ερωτήµατα όπως : Ποιά είναι τα σχήµατα που κατασκευάζονται µε την χρήση αξιωµάτων (κανόνων) που αφο- ϱούν την τεχνική της περιτύλιξης. Τα µαθηµατικά πλέον εµπλέκονται σε ιδέες και µεθόδους διαφορετικές αυτών του παρελθόντος, ώστε να γίνει κατανοητό πώς ένα κοµµάτι ενός επιπέδου ϑα µπορούσε να µετασχηµατιστεί γεωµετρικά αφού στο τέλος το ένα κοµµάτι χαρτιού έρχεται σε επαφή µε το άλλο, παρά το γεγονός ότι δεν διαπερνούν άλλα µέρη του χαρτιού. 69

76 Σχήµα Σχέδιο Origami Ο Alberto Giacometti ( ) ήταν Ελβετός γλύπτης και Ϲωγράφος που από το 1922 και µετά εγκαταστάθηκε στο Παρίσι. Γιος ιµπρεσιονιστή Ϲωγράφου, ο Giacometti έδειξε από πολύ νωρίς τις καλλιτεχνικές του τάσεις. Στα 13 του χρόνια ϕιλοτεχνούσε ήδη προτοµές. Πίστευε ακράδαντα ότι το σχέδιο είναι η ϐάση των πάντων. Εργαζόταν αδιάκοπα, πειραµατιζόµενος σε διάφορες κατευθύνσεις. Ανήκει στους σηµαντικότερους γλύπτες του 20ου αιώνα και το έργο του χαρακτηρίζεται από στοιχεία του κυβισµού, του σουρεαλισµού και των ϕιλοσοφικών αναζητήσεων του υπαρξισµού και της ανθρώπινης ϕύσης και συχνά στα έργα του περιλαµβάνει πολύεδρα. Σχήµα Πίνακας του Alberto Giacometti Τέλος, αξίζει να αναφέρουµε έναν επίσης σπουδαίο καλλιτέχνη στα έργα του ο- ποίου συναντάµε αρκετά από τα πολύεδρα. Ο M aurits Cornelis Escher ( ) ήταν Ολλανδός εικαστικός καλλιτέχνης. Εκτός από το σχέδιο και τη γρα- ϕιστική, δούλεψε επίσης µε τις τεχνικές της ξυλογραφίας, της λιθογραφίας και της χαλκογραφίας. Κύριο στοιχείο της τέχνης του είναι η απεικόνιση αδύνατων 70

77 γραφικών παραστάσεων, οι οποίες δηµιουργούν τη ψευδαίσθηση του απείρου, δηλαδή της ατελείωτης δηµιουργίας σχεδίων ή οι αδύνατες παραδοξολογικές κατασκευές. Αυτή η ιδιαιτερότητα των σχεδίων του οφείλεται στην επιρροή που δέχτηκε από τα µαθηµατικά και ιδιαίτερα από αρχές της προβολικής γεωµετρίας, όπως και από τα πορίσµατα και τις προτάσεις της µη Ευκλείδειας γεωµετρίας. Οι µαθηµατικοί και οι επιστήµονες εκτιµούν ιδιαίτερα την τεχνοτροπία του Escher, καθώς χρησιµοποιεί πολύεδρα και γεωµετρικές παραµορφώσεις. Για παράδειγµα στο έργο του Βαρύτητα, πολύχρωµες χελώνες ϐγάζουν τα κεφάλια τους µέσα από ένα ψηφιδωτό δωδεκάεδρο. (Σχήµα 5.2.6) Σχήµα Βαρύτητα 1952 Κατασκευασµένο την εποχή της ωριµότητας του Escher, το έργο Τάξη και Χάος (Σχήµα 5.2.7) µοιάζει να αίρει τις αµφισηµίες και να κάνει µια ευθεία δήλωση. Από τον τίτλο ήδη προκύπτει η αντιπαραβολή δύο στοιχείων. Η τάξη δηλώνεται από το δωδεκάεδρο που προεκτείνεται σε τρισδιάστατο αστέρι και είναι ϐυθισµένο µέσα σε µια κρυστάλλινη σφαίρα. Το χάος συµβολίζεται από µια σειρά κατεστραµµένων αντικειµένων που περιβάλλουν το άστρο. Είναι χαρακτηριστικό ότι όλα αυτά τα σκουπίδια είναι κατασκευάσµατα του ανθρώπου, τα οποία στη χρηστική τους µορφή έχουν τυπικά γεωµετρικό σχήµα, όλα εκτός από το τσόφλι του αυγού. Το αυγό είναι το µόνο ϕυσικό προϊόν του πίνακα και το αρχαϊκό σχήµα που έχει λατρευτεί ως σχήµα της τελειότητας µε σχεδόν υπερφυσικές ιδιότητες. Προκύπτει λοιπόν η ιδέα ότι οποιοδήποτε ϕυσικό ή τεχνητό πράγµα µπορεί να αλλοιωθεί ή να καταστραφεί, µπορεί δηλαδή να διαλυθεί στο χάος. Εκείνο που παραµένει λαµπρό και αναλλοίωτο στο κέντρο του κόσµου που µας περιβάλλει είναι η δοµή, ο πυρήνας της κατασκευής των στοιχείων του κόσµου. Το πολύεδρο 71

78 µέσα στη σφαίρα είναι εσκεµµένα απόκοσµο. Παραπέµπει αδρά στους πλανήτες ακριβώς για να δηλώσει τη ϕύση του. Πρόκειται για ένα κύτταρο, για την ψηφίδα ενός ϕράκταλ, για µια υποκείµενη τάξη µέσα στο χάος των µορφών. Συχνά στα έργα του ο Escher διερευνά τη δοµή των πολυέδρων, στα οποία απεικονίζεται µόνο ο σκελετός, οι ακµές ή οι συντεταγµένες ενός πολυέδρου, έτσι ώστε να µπορούµε να δούµε και το εσωτερικό του που είναι κενό. Σχήµα Τάξη και Χάος, λιθογραφία 1950 Στο παρακάτω χαρακτικό του 1948, ο Escher αποτυπώνει τρία οκτάεδρα συντιθέ- µενα, τη σύνθεση δύο κύβων και την Stella Octangula του Kepler, όλα σε διπλές εµφανίσεις τόσων σε γεµάτη µορφή όσο και στο στυλ του Leonardo. Σχήµα Αστέρια, γκραβούρα